JP2021028736A - 最短経路探索プログラム、装置、及び方法 - Google Patents

Abstract

【課題】ｋ−最短経路探索の処理コストを削減することを目的とする。【解決手段】始点から、元のグラフに含まれる各頂点までの最短経路と、終点から、元のグラフに含まれる各頂点までの最短経路とに基づいて導出された、始点から各頂点のいずれかを経由点として終点に至る経由最短経路の各々を導出し、導出した経由最短経路から距離の短い上位Ｋ２個（Ｋ２はＫ１以上の正の整数）の経由最短経路のいずれにも含まれない頂点及び辺を、元のグラフから除外した縮約グラフを生成し、縮約グラフに対して、Ｋ１−最短経路探索の処理を行う。【選択図】図１

Description

開示の技術は、最短経路探索プログラム、最短経路探索装置、及び最短経路探索方法に関する。

複数の頂点と、頂点間の連結関係を表す複数の辺とを含むネットワークグラフにおいて、始点となる頂点から終点となる頂点までのｋ番目までの最短経路（以下、「ｋ−最短経路」と呼ぶ）を探索するｋ−最短経路探索という技術が存在する。

ｋ−最短経路探索は、最短経路以外の準最短経路を求めるために重要であり、また、最近は、グラフを分析する手段として重要になってきている。グラフで２頂点間の最短経路を求めることは、２頂点が示す要素間の基本的な関係を知る上で重要であるが、２頂点間のｋ−最短経路を求めることで、さらに詳しい関係を知ることができるためである。例えば、ｋ−最短経路探索の応用例として、次のようなものが考えられる。

例えば、鉄道網、道路網、航空網などの交通網を表すグラフに対して、ｋ−最短経路探索を行うことで、地点間の最短経路に加え、準最短経路の探索も行うことができる。一般人にとっても、運送業者にとっても、準最短経路まで把握することは重要である。例えば、最短経路上でのトラブル時の迂回路として準最短経路を利用可能となる。また、最短経路が、距離又は時間面では最適であったとしても、コスト面や他の面を考慮すると、準最短経路の方が有利な可能性もある。

また、例えば、ＳＮＳ（Social Networking Service）において、人を頂点とし、友人関係にある人同士、又は社内でメールのやり取りを行なっている人同士を辺で結ぶことにより、人間関係のグラフが作れる。二人の人に相当する頂点間の最短経路を求めることで、二人の間にどのような人が関係しているかを把握することができる。さらに、準最短経路を求めることで、より詳しい人間関係を把握することができる。

また、例えば、企業を頂点、企業間のお金の流れを辺とするグラフにおいて、最短経路に加え、準最短経路まで求めることで、上記の人間関係の例と同様に、２つの企業間にどういう企業が関係しているかを詳細に分析することができる。

上記のようなｋ−最短経路探索の手法として、既に求めた最短経路に含まれる辺を取り除いたグラフで最短経路を求めることにより、既に求めた最短経路とは別の最短経路を求める手法が存在する。

また、最短経路探索のアルゴリズムであるＤｉｊｋｓｔｒａ法をｋ−最短経路に拡張した手法が存在する。

Yen, J. Y. (1971). "Finding the K Shortest Loopless Paths in a Network". Management Science. 1 7 (11): 712-716. doi:10.1287/mnsc.17.11.712.

しかしながら、ｋ−最短経路探索は、１番目の最短経路だけ求める最短経路探索より処理コストがかかる。特に、グラフに含まれる頂点の数が多くなるほど、ｋ−最短経路探索の処理コストも大きくなる。

一つの側面として、開示の技術は、ｋ−最短経路探索の処理コストを削減することを目的とする。

一つの態様として、開示の技術は、複数の頂点と、頂点間の連結関係を表す複数の辺とを含むグラフ構造データにおいて、第１の頂点から第２の頂点までのＫ１−最短経路探索（Ｋ１は正の整数）の処理を実行する。また、開示の技術は、前記第１の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路と、前記第２の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路とを求める。そして、開示の技術は、求めた最短経路に基づいて、前記第１の頂点から前記各頂点のいずれかを経由点として前記第２の頂点に至る経路の最短経路である経由最短経路の各々を導出する。また、開示の技術は、前記経由最短経路のうち、距離の短い上位Ｋ２個（Ｋ２はＫ１以上の正の整数）の経由最短経路のいずれにも含まれない頂点及び辺を、前記グラフ構造データから除外した縮約グラフ構造データを生成する。そして、開示の技術は、前記縮約グラフ構造データに対して、前記Ｋ１−最短経路探索の処理を行う。

一つの側面として、ｋ−最短経路探索の処理コストを削減することができる、という効果を有する。

実施形態の概要を説明するための図である。 第１及び第２実施形態に係る最短経路探索装置の機能ブロック図である。 経由最短経路の導出を説明するための図である。 ループを含む経由最短経路の一例を示す図である。 ループを含まない経由最短経路の一例を示す図である。 第１及び第２実施形態に係る最短経路探索装置として機能するコンピュータの概略構成を示すブロック図である。 第１実施形態における最短経路探索処理の一例を示すフローチャートである。 経由最短経路の集合の一例を示す図である。 重複を排除した経由最短経路の集合の一例を示す図である。 距離の小さい順にソートした経由最短経路の集合の一例を示す図である。 ループを含まないｋ番目の経由最短経路までの全ての経由最短経路の集合、及び縮約グラフに含める頂点集合の一例を示す図である。 縮約グラフの生成を説明するための図である。 縮約グラフから探索したｋ−最短経路の一例を示す図である。 第２実施形態における最短経路探索処理の一例を示すフローチャートである。 距離の小さい順にソートした経由最短経路の集合の一例を示す図である。 １回目の処理時の経由最短経路の集合及び頂点集合の一例を示す図である。 ２回目の処理時の経由最短経路の集合及び頂点集合の一例を示す図である。 ３回目の処理時の経由最短経路の集合及び頂点集合の一例を示す図である。 ４回目の処理時の経由最短経路の集合及び頂点集合の一例を示す図である。 重複した経由最短経路の排除を説明するための図である。 線状のループを含む経由最短経路の一例を示す図である。 環状のループを含む経由最短経路の一例を示す図である。 ｋ−ＤｉｊとＧＲ（ｋ−Ｄｉｊ）との性能比較を示すグラフである。 ｋ−ＤｉｊとＧＲ（ｋ−Ｄｉｊ）との性能比較の詳細を示す表である。 ｋ−ＤｉｊとＧＲ（ｋ−Ｄｉｊ）との性能比較の詳細を示す表である。

まず、各実施形態の詳細を説明する前に、各実施形態の概要について説明する。

各実施形態の基本的な考え方は、図１に示すように、元のグラフを、解となるｋ−最短経路を含むような部分グラフに縮約することである。図１の左図に示す元のグラフでは、黒丸が頂点、各頂点間を連結する線が辺であり、頂点に併記した整数の数値は頂点の識別番号（以下、「頂点番号」という）である。以下、頂点番号ｉの頂点を「頂点ｉ」と表記する。図１左図に示す元のグラフには、頂点１〜頂点２５までの２５個の頂点が含まれている。また、辺に併記した小数点第１位までの数値は、その辺の重みであり、重みが併記されていない実線の辺は重み１．０、破線の辺は重み１０．０とする。

図１に示すグラフにおいて、ｋ＝３として、始点である頂点１（以下、「始点１」ともいう）から終点である頂点９（以下、「終点９」ともいう）までの３−最短経路を求めると、距離が短い順に実線（１）、破線（２）、点線（３）の３経路が求められる。実施形態では、２５個の頂点を含む元のグラフを、これら３経路を含む、７個の頂点からなる部分グラフ（又は、７個の頂点を含み且つ元のグラフＧよりも少ない頂点からなる部分グラフ）に縮約する。高速にサイズの小さなグラフ（頂点数の少ないグラフ）に縮約することができれば、その縮約したグラフに、既存の任意のｋ−最短経路探索の方式を適用することにより、高速にｋ−最短経路を求めることが可能となる。

既存の任意のｋ−最短経路探索の方式を適用できるという意味で、本実施形態の方式はメタな方式である。本実施形態では、グラフを縮約する方法をＧＲ（Ｇｒａｐｈ Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ）法と呼び、縮約されたグラフから既存の任意のｋ−最短経路探索の方式Ｅを用いてｋ−最短経路を探索する方法をＧＲ（Ｅ）法と呼ぶ。

以下、図面を参照して、開示の技術に係る実施形態の一例を説明する。

なお、ｋ−最短経路探索では、最短経路の中にループを含む経路を許す方式と許さない方式とがある。以下の各実施形態では、より処理コストを要するループを含む経路を許さない方式について説明する。また、グラフには、無向グラフと有向グラフ、及び重み付きグラフと重みなしグラフがあり、それらの組み合わせで４種類（＝２×２）のグラフが考えられる。開示の技術はその全ての種類に適用可能であるが、以下では、説明を簡略化するために、連結した重み付きグラフの場合について説明し、他の種類のグラフについては後で補足する。

＜第１実施形態＞
第１実施形態に係る最短経路探索装置１０は、機能的には、図２に示すように、導出部１２と、生成部１４と、探索部１６とを含む。また、最短経路探索装置１０の所定の記憶領域には、グラフ構造データ２２が記憶される。

グラフ構造データ２２は、複数の頂点と、頂点間の連結関係を表す複数の辺とを含むグラフであり、上述した元のグラフを示すデータである。具体的には、元のグラフに含まれる頂点及び辺の情報が含まれる。頂点の情報は、各頂点の頂点番号を含む。辺の情報は、各辺の両端の頂点の頂点番号及び重みを含む。以下では、グラフ構造データ２２が示す元のグラフをＧ＝（Ｖ，Ｅ）で表す。Ｖは元のグラフに含まれる頂点の集合であり、Ｅは辺の集合である。また、ｎ＝｜Ｖ｜とする。

導出部１２は、始点から、元のグラフに含まれる各頂点までの第１の最短経路と、終点から、元のグラフに含まれる各頂点までの第２の最短経路とを求める。そして、導出部１２は、第１の最短経路と第２の最短経路とに基づいて、始点から各頂点のいずれかを経由点として第２の頂点に至る経路の最短経路である経由最短経路の各々を導出する。なお、始点は、開示の技術の「第１の頂点」の一例であり、終点は「第２の頂点」の一例である。

具体的には、導出部１２は、求めるべきｋ−最短経路の始点をｖ_ｓ、終点をｖ_ｔとし、始点ｖ_ｓ及び終点ｖ_ｔの各々から、全ての頂点までの最短経路を求める。以下、ここで求められる最短経路を「ｓｔ−最短経路」、ｓｔ−最短経路の集合を「ｓｔ−最短経路群」と呼ぶ。なお、ｓｔはｓｏｕｒｃｅ（始点）、ｔａｒｇｅｔ（終点）を意味する。

例えば、全頂点をｖ_１，ｖ_２，・・・，ｖ_ｎとする。導出部１２は、始点ｖ_ｓから他の各頂点ｖ_ｉまでの最短経路を計算し、始点ｖ_ｓから各頂点ｖ_ｉまでの距離をベクトルｄ_ｓ＝［ｄ_ｓｊ］として、所定の記憶領域に記憶する。同様に、導出部１２は、終点ｖ_ｔから他の各頂点ｖ_ｉまでの最短経路を計算し、終点ｖ_ｔから各頂点ｖ_ｉまでの距離をベクトルｄ_ｔ＝［ｄ_ｔｊ］として記憶する。ここで、ｄ_ｉｊは、頂点ｖ_ｊから頂点ｖ_ｉまでの距離を表す。

ある頂点ｖ_ｉから他の全頂点までの最短経路、又は、ある頂点ｖ_ｉまでの他の全頂点からの最短経路は最短経路木として表現でき、最短経路木はベクトルとして表現できることが知られている。このような最短経路木をベクトルとして所定の記憶領域に記憶する。例えば、全頂点から頂点ｖ_ｉまでの最短経路木は、ｎ個の要素からなるベクトル［ｐ_ｊ］として表現できる。ｐ_ｊはｖ_ｊからｖ_ｉまでの最短経路木の経路におけるｖ_ｊの次の頂点の頂点番号であり、順に辿っていくことで、ｖ_ｊからｖ_ｉまでの最短経路を求めることができる。

以下では、ｖ_ｓからｖ_ｉまでの最短経路をｓｐ（ｖ_ｓ，ｖ_ｉ）、ｖ_ｉからｖ_ｔまでの最短経路をｓｐ（ｖ_ｉ，ｖ_ｔ）で表す。

また、導出部１２は、図３に示すように、始点ｖ_ｓから、各頂点ｖ_ｉを経由して、終点ｖ_ｔに至る経路を、上記のｖ_ｓからｖ_ｉまでの最短経路、及びｖ_ｉからｖ_ｔまでの最短経路を通るように導出する。この経路を上述したように、ｖ_ｉを経由する「経由最短経路」と呼び、ｂ_ｉで表す。ｂ_ｉは、ｖ_ｓからｖ_ｉを経由してｖ_ｔに行く経路の中では最短である。他により短い経路が存在すれば、ｂ_ｉ上のｖ_ｓからｖ_ｉまでの経路、及びｖ_ｉからｖ_ｔまでの経路が最短経路であることに反するからである。なお、ｂ_ｓ及びｂ_ｔは、ｖ_ｓからｖ_ｔまでの最短経路であり、ｂ_ｓとｂ_ｔとは一致する。

経由最短経路群ｂ_１，ｂ_２，・・・，ｂ_ｎは、一旦始点及び終点の各々から各頂点までの最短経路が求まれば、容易に求められる。導出部１２は、導出した経由最短経路群ｂ_１，ｂ_２，・・・，ｂ_ｎを生成部１４へ受け渡す。

ここで、以下で用いる記号について説明する。最短経路を含め、経路ｐの長さ（距離）をｄ（ｐ）で、頂点ｖ_ｉとｖ_ｊとの間の距離をｄ（ｖ_ｉ，ｖ_ｊ）で表す。すなわち、ｄ（ｖ_ｉ，ｖ_ｊ）＝ｄ_ｉｊである。また、ｋ−最短経路のｉ番目の最短経路の長さをｓｐｄ_ｉで表す。ｖ_ｓからｖ_ｔまでの経路ｐがｋ−最短経路探索の解となる条件は、経路ｐがループを含まず、かつｄ（ｐ）≦ｓｐｄ_ｋを満たすことと言える。

生成部１４は、経由最短経路のうち、距離の短い上位Ｋ２個（Ｋ２はＫ１以上の正の整数）の経由最短経路のいずれにも含まれない頂点及び辺を、元のグラフから除外した縮約グラフを生成する。以下では、説明を簡単にするため、Ｋ１＝Ｋ２＝ｋとして説明する。

具体的には、生成部１４は、導出部１２から受け渡された経由最短経路群ｂ_１，ｂ_２，・・・，ｂ_ｎに含まれる同一の経路について、重複を排除する。例えば、生成部１４は、経路に含まれる頂点番号の列で表される経由最短経路の各々を頂点番号列に基づいてソートする。そして、生成部１４は、上から順に隣同士の経由最短経路を比較して、同じであれば一方を削除していく。また、生成部１４は、各経由最短経路の頂点番号列をハッシュし、バケット毎に重複を排除してもよい。

生成部１４は、重複を排除した経由最短経路群ｂ_ｈ１，ｂ_ｈ２，・・・，ｂ_ｈｎ’（ｎ’≦ｎ）を、ｖ_ｓからｖ_ｔまでの距離、すなわちｄ（ｂ_ｉ）が小さい順にソートする。ソートされた経由最短経路群をｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｎ’とする。生成部１４は、経由最短経路群をｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｎ’の先頭の経由最短経路から、ループを含む経由最短経路を除いて上位ｋ番目となる経由最短経路までの全ての経由最短経路の各々に含まれる頂点を特定する。そして、生成部１４は、特定した頂点と、元のグラフにおいて特定した頂点間を連結する辺とに基づいて、縮約グラフを生成する。

例えば、ｂ_ｉｅが上記のループを含む経由最短経路を除いて上位ｋ番目となる経由最短経路であったとする。この場合、ｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｅに含まれる頂点の集合をＶ’、Ｅ’＝｛（ｖ，ｗ）｜（ｖ，ｗ）∈Ｅ，ａｎｄ ｖ，ｗ∈Ｖ’｝とすれば、グラフＧ’＝（Ｖ’，Ｅ’）が求めるべきｋ−最短経路を含む縮約グラフである。なお、経由最短経路群をｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｎ’のうち、ループを含まない経路がｋ個未満の場合は、元のグラフを縮約できないことを意味するため、ｅ＝ｎ’、すなわち、Ｖ’＝Ｖであるとする。

生成部１４は、縮約グラフＧ’を示す縮約グラフ構造データ２４を、所定の記憶領域に記憶する。

ここで、ｅ＜ｎ’、すなわち、元のグラフを縮約できる場合を考える。ｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｅの中には、ｖ_ｓからｖ_ｔまでの異なる、ループを含まないｋ個の経路が含まれているが、それらが、求めるべきｋ番目までの最短経路とは限らない。すなわち、ｓｐｄ_ｋ≦ｄ（ｂ_ｉｅ）である。ただし、少なくともループを含まないｋ個の経路が縮約グラフに含まれることは保証される。

また、ｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｅの中には、ループを含む経由最短経路も含めるが、その理由を説明する。

図４に示すループを含む経由最短経路ｂ_ｉｊ２（ｊ_２＜ｅ）を考える。ｊ_２＜ｅとしているのは、ｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｅは、ループを含む経由最短経路を除いて上位ｋ番目となる経由最短経路までを抽出したものであるため、ｂ_ｉｊｅはループを含まない経路だからである。ｓｐ（ｖ_ｓ，ｖ_ｉｊ２）とｓｐ（ｖ_ｉｊ２，ｖ_ｓ）とは、ｖ_ｉｊ１を共有しているためにループが発生している。さらに、ｖ_ｉｊ２はｖ_ｉｊ１と隣接しているとする。すなわち、ｂ_ｉｊ２は、ｂ_ｉｊ１にｖ_ｉｊ２を付けた経路になっている。したがって、ｄ（ｂ_ｉｊ１）＜ｄ（ｂ_ｉｊ２）であるから、ｉ_ｊ１＜ｉ_ｊ２が成り立っている。

ここで、ｄ（ｖ_ｉｊ１，ｖ_ｉｊ２）は極めて短いものとする。また、図５に示すように、ｖ_ｔからｖ_ｉｊ１までの最短経路上に頂点ｖ’があり、ｄ（ｖ_ｉｊ２，ｖ’）も極めて短いものとする。この場合、ｖ_ｓからｖ_ｉｊ１、ｖ_ｉｊ２、ｖ’を通ってｖ_ｔに至る経路ｐは、わずかにｂ_ｉｊ１よりは長い。ｂ_{ｉｊ２＋１}がｂ_ｉｊ１よりかなり長いと仮定すると、ｄ（ｐ）＜ｄ（ｂ_{ｉｊ２＋１}）が成り立つ。このことは、経路ｐがｋ番目の経由最短経路より短いことを意味する。ｋ番目の経由最短経路の頂点もＶ’に入れているのだから、ｖ_ｉｊ２もＶ’に当然入れるべきことになる。以上が、ｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｅの中には、ループを含む経由最短経路も含める理由である。

また、縮約グラフＧ’＝（Ｖ’，Ｅ’）が、求めるべきｋ−最短経路を含んでいることは、次のように証明することができる。

ｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｅについて、ｅ＝ｎ’の場合は、元のグラフを縮約できないことを意味するため、ｅ＜ｎ’の場合について証明すれば十分である。ｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｅに含まれる頂点の集合をＶ’とする。またｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｅから、ループを含む経由最短経路を除き、距離が小さい順にソートして、ｂ’_１，ｂ’_２，・・・，ｂ’_ｋとする。ｂ’_ｋは前述のように、ｓｐｄ_ｋ≦ｄ（ｂ’_ｋ）である。

ここで、Ｖ’に含まれない頂点ｖを考える。ｖを経由するｖ_ｓからｖ_ｔまでの経路ｐで、ｄ（ｐ）＜ｓｐｄ_ｋを満たすような経路が存在しないことが言えれば、ｖをＶ’に含めなくても問題ないため、証明できたことになる。

ｖを経由する経由最短経路ｂを考える。以上述べたことから、ｄ（ｂ）≦ｄ（ｐ）であり、ｄ（ｂ’_ｋ）≦ｄ（ｂ）であるはずである。もし、ｄ（ｂ’_ｋ）＞ｄ（ｂ）であれば、ｂは、ｂ’_１，ｂ’_２，・・・，ｂ’_ｋの中に含まれているはずだからである。上述のとおり、ｓｐｄ_ｋ≦ｄ（ｂ’_ｋ）であるため、ｓｐｄ_ｋ≦ｄ（ｂ）である。すなわち、ｓｐｄ_ｋ≦ｄ（ｐ）でなければならず、ｄ（ｐ）＜ｓｐｄ_ｋを満たすようなｐは存在しないことを意味する。

探索部１６は、縮約グラフ構造データ２４が示す縮約グラフＧ’に対して、既存の任意のｋ−最短経路探索の方式を適用することにより、ｋ−最短経路を探索し、探索されたｋ−最短経路を出力する。

最短経路探索装置１０は、例えば図６に示すコンピュータ４０で実現することができる。コンピュータ４０は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）４１と、一時記憶領域としてのメモリ４２と、不揮発性の記憶部４３とを備える。また、コンピュータ４０は、入力部、表示部等の入出力装置４４と、記憶媒体４９に対するデータの読み込み及び書き込みを制御するＲ／Ｗ（Read/Write）部４５とを備える。また、コンピュータ４０は、インターネット等のネットワークに接続される通信Ｉ／Ｆ（Interface）４６を備える。ＣＰＵ４１、メモリ４２、記憶部４３、入出力装置４４、Ｒ／Ｗ部４５、及び通信Ｉ／Ｆ４６は、バス４７を介して互いに接続される。

記憶部４３は、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）、ＳＳＤ（Solid State Drive）、フラッシュメモリ等によって実現できる。記憶媒体としての記憶部４３には、コンピュータ４０を、最短経路探索装置１０として機能させるための最短経路探索プログラム５０が記憶される。最短経路探索プログラム５０は、導出プロセス５２と、生成プロセス５４と、探索プロセス５６とを有する。また、記憶部４３は、グラフ構造データ２２及び縮約グラフ構造データ２４が記憶される情報記憶領域６０を有する。

ＣＰＵ４１は、最短経路探索プログラム５０を記憶部４３から読み出してメモリ４２に展開し、最短経路探索プログラム５０が有するプロセスを順次実行する。ＣＰＵ４１は、導出プロセス５２を実行することで、図２に示す導出部１２として動作する。また、ＣＰＵ４１は、生成プロセス５４を実行することで、図２に示す生成部１４として動作する。また、ＣＰＵ４１は、探索プロセス５６を実行することで、図２に示す探索部１６として動作する。また、ＣＰＵ４１は、情報記憶領域６０からグラフ構造データ２２を読み出して、グラフ構造データ２２が示す元のグラフＧをメモリ４２に展開する。また、ＣＰＵ４１は、メモリ４２上にある縮約グラフＧ’を縮約グラフ構造データ２４として情報記憶領域６０に格納したり、情報記憶領域６０から縮約グラフ構造データ２４を読み出して、縮約グラフＧ’をメモリ４２に展開したりする。これにより、最短経路探索プログラム５０を実行したコンピュータ４０が、最短経路探索装置１０として機能することになる。なお、プログラムを実行するＣＰＵ４１はハードウェアである。

なお、最短経路探索プログラム５０により実現される機能は、例えば半導体集積回路、より詳しくはＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）等で実現することも可能である。

次に、第１実施形態に係る最短経路探索装置１０の作用について説明する。元のグラフに含まれる頂点から、始点ｖ_ｓ及び終点ｖ_ｔが指定されると、最短経路探索装置１０において、図７に示す最短経路探索処理が実行される。なお、最短経路探索処理は、開示の技術の最短経路探索方法の一例である。ここでは、図１左図に示す元のグラフにおいて、始点ｖ_ｓとして頂点１、終点ｖ_ｔとして頂点９が指定された場合を例に説明する。

ステップＳ１２で、導出部１２が、ｖ_ｓ及びｖ_ｔの各々から各頂点までのｓｔ−最短経路群を求める。

次に、ステップＳ１４で、導出部１２が、ｓｔ−最短経路群を用いて、経由最短経路の集合Ｂ＝｛ｂ_１，ｂ_２，・・・，ｂ_ｎ｝を導出する。図８に、経由最短経路の集合Ｂの一例を示す。図８において、ｂ_ｉの次の列の数値はｄ（ｂ_ｉ）であり、次の列の頂点番号列が経由最短経路である。また、下線が付与された頂点番号は、経由する頂点（経由点）の頂点番号を示している。

次に、ステップＳ１６で、生成部１４が、ソートやハッシュを使って、Ｂの重複を排除し、その結果の集合をＢ_ｕ＝｛ｂ_ｈ１，ｂ_ｈ２，・・・，ｂ_ｈｎ’｝（ｎ’≦ｎ）とする。図９に、重複を排除した経由最短経路の集合Ｂ_ｕの一例を示す。図９において、取り消し線で取り消した経由最短経路が、重複により排除された経由最短経路であることを示している。

次に、ステップＳ１８で、生成部１４が、Ｂ_ｕを距離の小さい順にソートし、その結果の列をＢ_ｓ＝｛ｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｎ’｝（ｎ’≦ｎ）とする。図１０に、距離の小さい順にソートした経由最短経路の集合Ｂ_ｓの一例を示す。

次に、ステップＳ２０で、生成部１４が、Ｂ_ｓの中で、ループを含む経由最短経路を除いて上位ｋ番目となる経由最短経路ｂ_ｉｅを特定する。特定できない場合は、ｅ＝ｎ’とする。ｋ＝３とすると、図１０の例では、ｂ_２はループを含んでいるため、ｂ_６がｂ_ｉｅとして特定される。

次に、ステップＳ２２で、生成部１４が、ｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｅに含まれる頂点の集合をＶ’とする。図１１に、ｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｅ及びＶ’の例を示す。

次に、ステップＳ２４で、生成部１４が、Ｅ’＝｛（ｖ，ｗ）｜（ｖ，ｗ）∈Ｅ，ａｎｄ ｖ，ｗ∈Ｖ’｝として、縮約グラフＧ’＝（Ｖ’，Ｅ’）を生成し、縮約グラフＧ’を示す縮約グラフ構造データ２４を、所定の記憶領域に記憶する。図１２に、Ｖ’に辺を加えて生成した縮約グラフＧ’を示す。

次に、ステップＳ２６で、探索部１６は、縮約グラフ構造データ２４が示す縮約グラフＧ’に対して、既存の任意のｋ−最短経路探索の方式を適用することにより、ｋ−最短経路を探索し、探索されたｋ−最短経路を出力する。そして、最短経路探索処理は終了する。図１３に、図１２に示す縮約グラフＧ’から探索した３−最短経路を示す。

以上説明したように、第１実施形態に係る最短経路探索装置は、始点から、元のグラフに含まれる各頂点までの第１の最短経路と、終点から、元のグラフに含まれる各頂点までの第２の最短経路とを求める。また、最短経路探索装置は、第１の最短経路と第２の最短経路とに基づいて、始点から各頂点のいずれかを経由点として終点に至る経由最短経路の各々を導出する。そして、最短経路探索装置は、経由最短経路のうち、距離の短い上位ｋ個の経由最短経路のいずれにも含まれない頂点及び辺を、元のグラフから除外した縮約グラフを生成する。さらに、最短経路探索装置は、縮約グラフに対して、既存の任意の手法を適用して、ｋ−最短経路探索の処理を行う。これにより、ｋ−最短経路探索の処理コストを削減することができる。

＜第２実施形態＞
次に、第２実施形態について説明する。なお、第２実施形態に係る最短経路探索装置において、第１実施形態に係る最短経路探索装置１０と同様の部分については、同一符号を付して詳細な説明を省略する。

第１実施形態におけるＧＲ（Ｅ）法では、導出された経由最短経路から重複を排除する部分の処理コストが大きい。そこで、第２実施形態では、この重複を排除する処理を行うことなく縮約グラフを生成する方式について説明する。

第２実施形態に係る最短経路探索装置２１０は、機能的には、図２に示すように、導出部１２と、生成部２１４と、探索部１６とを含む。また、最短経路探索装置１０の所定の記憶領域には、グラフ構造データ２２が記憶される。

生成部２１４は、導出部１２により導出された経由最短経路を距離の昇順で並び替えた経由最短経路群の先頭から順に処理対象の経由最短経路とし、処理対象の経由最短経路に含まれる頂点を縮約グラフに含める頂点集合に追加する。また、生成部２１４は、経由最短経路群から、頂点集合に追加された頂点を経由点とする経由最短経路を除外する処理をｋ回繰り返した場合に、頂点集合に含まれる頂点に基づいて、縮約グラフを生成する。縮約グラフの生成方法は、第１実施形態と同様である。

なお、生成部２１４は、処理対象の経由最短経路がループを含む場合、処理対象の経由最短経路に含まれる経由点のみを頂点集合に追加すると共に、処理の繰り返し回数を加算しない。

最短経路探索装置２１０は、例えば図６に示すコンピュータ４０で実現することができる。コンピュータ４０の記憶部４３には、コンピュータ４０を、最短経路探索装置２１０として機能させるための最短経路探索プログラム２５０が記憶される。最短経路探索プログラム５０は、導出プロセス５２と、生成プロセス２５４と、探索プロセス５６とを有する。

ＣＰＵ４１は、最短経路探索プログラム２５０を記憶部４３から読み出してメモリ４２に展開し、最短経路探索プログラム２５０が有するプロセスを順次実行する。ＣＰＵ４１は、生成プロセス２５４を実行することで、図２に示す生成部２１４として動作する。他のプロセスについては、第１実施形態に係る最短経路探索プログラム５０と同様である。これにより、最短経路探索プログラム２５０を実行したコンピュータ４０が、最短経路探索装置１０として機能することになる。

なお、最短経路探索プログラム２５０により実現される機能は、例えば半導体集積回路、より詳しくはＡＳＩＣ等で実現することも可能である。

次に、第２実施形態に係る最短経路探索装置２１０の作用について説明する。元のグラフに含まれる頂点から、始点ｖ_ｓ及び終点ｖ_ｔが指定されると、最短経路探索装置２１０において、図１４に示す最短経路探索処理が実行される。なお、第２実施形態の最短経路探索処理において、第１実施形態の最短経路探索処理と同様の処理については、同一のステップ番号を付与して詳細な説明を省略する。また、ここでは、第１実施形態と同様に、図１左図に示す元のグラフにおいて、始点ｖ_ｓとして頂点１、終点ｖ_ｔとして頂点９が指定された場合を例に説明する。

ステップＳ１２及びＳ１４で、導出部１２が、図８に示すように、経由最短経路の集合Ｂ＝｛ｂ_１，ｂ_２，・・・，ｂ_ｎ｝を導出する。

次に、ステップＳ２１２で、生成部２１４が、経由最短経路の集合Ｂを距離の小さい順にソートし、その結果を列Ｂ_ｓ＝｛ｂ_ｉ１，ｂ_ｉ２，・・・，ｂ_ｉｎ｝とする。図１５に、距離の小さい順にソートした経由最短経路の集合Ｂ_ｓの一例を示す。

次に、ステップＳ２１４で、生成部２１４が、縮約グラフに含める頂点の集合Ｖ’として空集合を用意する。また、生成部２１４が、ループを含まない経由最短経路を数えるためのカウンタｃを０に設定する。

次に、ステップＳ２１６で、生成部２１４が、Ｂ_ｓが空か否かを判定する。Ｂ_ｓが空の場合は、処理はステップＳ２４へ移行し、Ｂ_ｓに経由最短経路が残っている場合には、処理はステップＳ２１８へ移行する。

ステップＳ２１８では、生成部２１４が、Ｂ_ｓの先頭の経由最短経路を、処理対象の経由最短経路ｂ_ｉｊに設定する。

次に、ステップＳ２２０で、生成部２１４が、処理対象の経由最短経路ｂ_ｉｊがループを含むか否かを判定する。ｂ_ｉｊがループを含まない場合、処理はステップＳ２２２へ移行し、ｂ_ｉｊがループを含む場合、処理はステップＳ２２６へ移行する。

ステップＳ２２２では、生成部２１４が、ｂ_ｉｊに含まれる頂点をｖ_ｊ１，ｖ_ｊ２，・・・，ｖ_ｊｈとし、Ｖ’にｖ_ｊ１，ｖ_ｊ２，・・・，ｖ_ｊｈを追加する。また、生成部２１４が、Ｂ_ｓから、ｂ_ｊ１，ｂ_ｊ２，・・・，ｂ_ｊｈを取り除く。さらに、生成部２１４が、カウンタｃを１カウントアップし、処理はステップＳ２２４へ移行する。

一方、ステップＳ２２６では、生成部２１４が、Ｖ’にｖ_ｉｊのみを追加し、Ｂ_ｓからｂ_ｉｊを取り除き、処理はステップＳ２１６に戻る。

ステップＳ２２４では、生成部２１４が、カウンタｃがｋになったか否かを判定する。ｃ＝ｋの場合は、処理はステップＳ２４へ移行し、ｃ≠ｋの場合は、処理はステップＳ２１６に戻る。

ｋ＝３として、上記ステップＳ２１６〜Ｓ２２４の処理についてより詳細に説明する。１回目の処理では、Ｂｓが図１５に示す状態であり、ステップＳ２１６で否定判定となり、ステップＳ２１８で、ｂ_１が処理対象の経由最短経路として選択される。ｂ_１にはループが含まれないため、ステップＳ２２２で、図１６に示すように、ｂ_１に含まれる頂点ｖ_１，ｖ_４，ｖ_７，ｖ_８，ｖ_９を経由点とする経由最短経路ｂ_１，ｂ_４，ｂ_７，ｂ_８，ｂ_９がＢｓから取り除かれる。また、頂点ｖ_１，ｖ_４，ｖ_７，ｖ_８，ｖ_９がＶ’に追加される。さらに、ｃ＝１となる。

ステップＳ２１６に戻り、２回目の処理では、ステップＳ２１８で、ｂ_５が処理対象の経由最短経路として選択される。ｂ_５にはループが含まれないため、ステップＳ２２２で、図１７に示すように、ｂ_５に含まれる頂点ｖ_１，ｖ_４，ｖ_５，ｖ_８，ｖ_９を経由点とする経由最短経路ｂ_１，ｂ_４，ｂ_５，ｂ_８，ｂ_９がＢｓから取り除かれる。なお、ｂ_１，ｂ_４，ｂ_８，ｂ_９は既にＢ_ｓから取り除かれているため、ここでは、ｂ_５が取り除かれる。また、頂点ｖ_１，ｖ_４，ｖ_５，ｖ_８，ｖ_９がＶ’に追加される。なお、ｖ_１，ｖ_４，ｖ_８，ｖ_９は既にＶ’に追加されているため、ここでは、ｖ_５が新たに追加される。さらに、ｃ＝２となる。

ステップＳ２１６に戻り、３回目の処理では、ステップＳ２１８で、ｂ_２が処理対象の経由最短経路として選択される。ｂ_２にはループが含まれるため、ステップＳ２２６で、図１８に示すように、処理対象の経由最短経路であるｂ_２がＢｓから取り除かれる。また、ｂ_２の経由点であるｖ_２がＶ’に追加される。なお、ここでは、ｃ＝２のままである。

ステップＳ２１６に戻り、４回目の処理では、ステップＳ２１８で、ｂ_６が処理対象の経由最短経路として選択される。ｂ_６にはループが含まれないため、ステップＳ２２２で、図１９に示すように、ｂ_６に含まれる頂点ｖ_１，ｖ_４，ｖ_５，ｖ_６，ｖ_９を経由点とする経由最短経路ｂ_１，ｂ_４，ｂ_５，ｂ_６，ｂ_９がＢｓから取り除かれる。なお、ｂ_１，ｂ_４，ｂ_５，ｂ_９は既にＢ_ｓから取り除かれているため、ここでは、ｂ_６が取り除かれる。また、頂点ｖ_１，ｖ_４，ｖ_５，ｖ_６，ｖ_９がＶ’に追加される。なお、ｖ_１，ｖ_４，ｖ_５，ｖ_９は既にＶ’に追加されているため、ここでは、ｖ_６が新たに追加される。さらに、ｃ＝３となる。

この段階で、ｃ＝ｋとなり、現時点でＶ’に含まれる頂点に基づいて、図１２に示すような縮約グラフが生成される。

第１実施形態と第２実施形態とでは、縮約グラフの生成方法が異なるが、生成される縮約グラフは同じものが得られる。この理由について説明する。

上記ステップＳ２２２の処理は、第１実施形態において、導出された経由最短経路の重複を排除する処理に相当する。また、上記ステップＳ２２６の処理は、第１実施形態において、ループを含む経由最短経路の頂点をＶ’に含める導処理に相当する。

まず、上記ステップＳ２２２の処理について説明する。ｂ_ｉｊに含まれる頂点をｖ_ｊ１，ｖ_ｊ２，・・・，ｖ_ｊｈとする。ｂ_ｉｊはｖ_ｉｊを経由点とする経由最短経路であるが、ｖ_ｊ１はｖ_ｉｊに等しい、すなわち、ｊ_１＝ｉ_ｊとする。ｖ_ｊ１，ｖ_ｊ２，・・・，ｖｂ_ｊｈの中には、ｖ_ｓ及びｖ_ｔも含まれているが、この中のｖ_ｊ１でもｖ_ｓでもｖ_ｔでもない、図２０に示すような頂点ｖ_ｉｘを考える。この場合、ｄ（ｂ_ｉｊ）＝ｄ（ｂ_ｉｘ）である。なぜなら、ｂ_ｉｊはＢ_ｓの先頭の経由最短経路であることから、ｄ（ｂ_ｉｊ）≦ｄ（ｂ_ｉｘ）、ｄ（ｂ_ｉｊ）＜ｄ（ｂ（_ｉｘ）であることは、ｂ_ｉｘにおけるｖ_ｓからｖ_ｉｘまでの距離が、ｂ_ｉｊにおけるｖ_ｓからｖ_ｉｘまでの距離より長いことを意味する。これはｂ_ｉｘにおけるｖ_ｓからｖ_ｉｘまでの距離が最短であることに反するからである。このことは、ｂ_ｉｘはｂ_ｉｊと全く同じでもよいことを意味している。すなわち、ｂ_ｉｘは重複したものとして削除さてもよいことを意味している。

次に、上記ステップＳ２２６の処理について説明する。ステップＳ２２６において、ｖ_ｉｊだけがＶ’に追加される。ここで、図２１のような状況、すなわち、ループの中にｖ_ｉｊ以外のｖ’含まれている場合でも、ｖ’をＶ’に追加する必要はない。これは、ｄ（ｂ（ｖ’））＜ｄ（ｂ_ｉｊ）であるから、ｖ’は既にＶ’に加えられているからである。図２１の例では、ループは線状であるが、図２２に示すように、環状のループの場合も同様である。ｖ_ｉｘからｖ’を通ってｖ_ｉｊに至る経路の距離と、ｖ_ｉｘからｖ''を通ってｖ_ｉｊに至る経路の距離とは同じであるので、ｄ（ｂ（ｖ’））＜ｄ（ｂ_ｉｊ）及びｄ（ｂ（ｖ''））＜ｄ（ｂ_ｉｊ）が成り立つからである。

また、第２実施形態では、第１実施形態の場合に比べ、より縮約された縮約グラフを生成できる可能性がある。第１実施形態のアルゴリズムと第２実施形態のアルゴリズムとで、縮約グラフに含める頂点の数について、ループを含む経由最短経路に関する処理では違いは生じないが、重複した経由最短経路の排除の処理の関係で違いが生じる。

ループを含む経由最短経路に関する処理で、縮約グラフに含める頂点の数が同じである理由は、以下のとおりである。まず、両アルゴリズムでループを含む経由最短経路は全く同じである。ただし、第１実施形態のアルゴリズムでは、ループを含む経由最短経路中の全ての頂点が、縮約グラフに含まれる。第２実施形態のアルゴリズムでは、頂点ｖ_ｉｊを経由点とする経由最短経路ｂ_ｉｊを加える際に、ｖ_ｉｊだけを縮約グラフの頂点として加える。上述したように、図２１及び図２２に示すｖ_ｉｊとｖ_ｉｘとの間の頂点は既にそれ以前に縮約グラフの頂点として加えられている。また、ｖ_ｉｘの経由最短経路ｂ_ｉｘもｂ_ｉｊより前に既に現れているため、その頂点も加えられている。すなわち、結局同じ頂点が縮約グラフに加えられている。以上が、両アルゴリズムでループを含む経由最短経路については、頂点の数に違いが生じない理由である。

重複した経由最短経路の排除の処理の関係で、縮約グラフに含める頂点の数に違いが生じる理由は以下のとおりである。図２０で、ｂ_ｉｊ及びｂ_ｉｘは、第２実施形態のアルゴリズムでは重複したものとみなしている。一方、第１実施形態のアルゴリズムでは、ｓｔ−最短経路群を計算する際、距離は同じであるが、別経路として計算されている可能性もある。その場合は、第１実施形態のアルゴリズムの方が縮約グラフの頂点数が増えてしまう。これが、第１実施形態の方が縮約グラフの頂点の個数が増えてしまう可能性がある理由である。

以上説明したように、第２実施形態に係る最短経路探索装置は、元のグラフから縮約グラフを生成する際に、導出された経由最短経路の重複を排除する処理を行わないこと。これにより、第１実施形態に係る最短経路探索装置よりも、更にｋ−最短経路探索の処理コストを削減することができる。

ここで、２つの従来手法と、本実施形態の手法との性能の比較結果について説明する。従来手法の１つは、既に求めた最短経路に含まれる辺を取り除いたグラフで最短経路を求めることにより、既に求めた最短経路とは別の最短経路を求める手法（以下、「Ｙｅｎ法」という）である。もう１つの従来手法は、Ｄｉｊｋｓｔｒａ法をｋ−最短経路に拡張した手法（以下、「ｋ−Ｄｉｊ」という）である。なお、以下の性能比較で用いたｋ−Ｄｉｊは、以下の［Ｋ−ｓｈｏｒｔｅｓｔ］に掲載されているアルゴリズムに改良を加えたものである。本実施形態の手法は、既存のｋ−最短経路探索にｋ−Ｄｉｊを適用したＧＲ（ｋ−Ｄｉｊ）である。

［Ｋ−ｓｈｏｒｔｅｓｔ］：k shortest path routing, https://en.wikipedia.org/wiki/K_shortest_path_routing

Ｙｅｎ法及びｋ−ＤｉｊとＧＲ（ｋ−Ｄｉｊ）とを、ｋ＝√ｎで比較した場合、ｋ−Ｄｉｊの方がＹｅｎ法よりも処理速度が高速であったため、以下では、ｋ−ＤｉｊとＧＲ（ｋ−Ｄｉｊ）との比較結果のみを示す。

元のグラフとしては、現実世界に遍在すると言われるスケールフリーグラフを用いた。頂点数ｎは、ｎ＝２^２ｉ（ｉ＝３，４，５，６，７）、すなわち、ｎ＝６４，２５６，１０２４，４０９６，１６３８４で測定した。フリースケールのグラフを生成する際は、ｎ個の頂点からなるグラフを生成する場合、ｎ’（＜ｎ）個の頂点からなる完全グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）をまず生成する。２番目に残りのｎ−ｎ’個の頂点が１つずつ加えられる。その１つをｖとする。Ｖからランダムに選ばれたｎ’個の頂点をｖ_１，ｖ_２，・・・，ｖ_ｎ’としたとき、Ｖ＝Ｖ∪｛ｖ｝、Ｅ＝Ｅ∪｛（ｖ，ｖ_１），（ｖ，ｖ_２），・・・，（ｖ，ｖ_ｎ’）｝とする。ｖ_ｉ（ｉ＝１，２，・・・，ｎ’）を選ぶ確率は、ｖ_ｉの次数に比例させた。

図２３は、スケールフリーのグラフでｎ’＝２，√ｎ、すなわちグラフが疎な場合と密な場合とについて、ｋ−Ｄｉｊ及びＧＲ（ｋ−Ｄｉｊ）のＣＰＵ時間を両対数のグラフで比較したものである。図２４及び図２５は、両方式のＣＰＵ時間の比較、ＧＲ（ｋ−Ｄｉｊ）のＣＰＵ時間の内訳、及び縮約グラフの頂点数をまとめたものである。

図２４及び図２５のｋ−Ｄｉｊ／ＧＲ（ｋ＿Ｄｉｊ）の列は、ｋ−ＤｉｊのＣＰＵ時間のＧＲ（ｋ＿Ｄｉｊ）のＣＰＵ時間に対する比、すなわちＧＲ（ｋ＿Ｄｉｊ）がｋ−Ｄｉｊに比べ何倍速いかを表す。ＧＲ（ｋ＿Ｄｉｊ）のＣＰＵ時間の内訳は、ＧＲ（ｋ＿Ｄｉｊ）が要するＣＰＵ時間をｓｔ−最短経路群計算、それに基づくグラフの縮約、そして縮約されたグラフへのｋ−Ｄｉｊによるｋ−最短経路探索の３つに分けたものである。なお、上記実施形態では、縮約グラフを生成するまでの処理に、ｓｔ−最短経路群を求める処理も含まれるが、ここでは、ｓｔ−最短経路群を求める処理は含まないことを表すために、グラフの「真縮約」と呼ぶ。

ｎ＝１６３８４の場合について、ｎ’＝２の場合、ＧＲ（ｋ−Ｄｉｊ）がｋ−Ｄｉｊを約４．５倍上回っているが、ｎ’＝√ｎの場合は、ＧＲ（ｋ−Ｄｉｊ）が約２３０倍とｋ−Ｄｉｊを大きく上回っている。ｎ’が大きい、すなわちグラフが密な場合、性能差が顕著になることがわかる。

図２４及び図２５のｋ−Ｄｉｊ／ＧＲ（ｋ＿Ｄｉｊ）の値は、ｎ’＝２，√ｎの両方で、ｎが増えるにつれ、比が大きくなっている。真縮約の部分の割合は、ｎ’＝２，√ｎの両方でわずかであり、真縮約の部分のアルゴリズムは高速であると言える。

縮約グラフの頂点数を見ると、ｎ’＝√ｎの場合、すなわちグラフが密な場合の方が、ｎ’＝２の場合、すなわちグラフが疎な場合よりもより縮約されていることがわかる。これがｎ’＝√ｎの方がｎ’＝２の場合に比べ、ｋ−Ｄｉｊ／ＧＲ（ｋ＿Ｄｉｊ）の値が大きい原因と考えられる。

上記の比較結果から、密なグラフのように処理負荷が重く時間がかかるグラフほど、本実施形態に係る手法が効果的であることが期待できる。

また、縮約グラフを求めるのに要する時間のほとんどがｓｔ−最短経路の計算で、グラフの真縮約に要する時間はわずかであり、その意味で真縮約の部分のアルゴリズムは高速であると言える。真縮約に時間が掛かる場合、ＧＲ法の効果が薄れるため、この点は重要である。

また、第２実施形態のアルゴリズムは、第１実施形態のアルゴリズムより高速なだけでなく、上述したように、生成される縮約グラフに含まれる頂点の数が、第１実施形態のアルゴリズムにより生成される縮約グラフの頂点数以下である点においても有利である。

なお、上記各実施形態では、連結した重み付き無向グラフについて説明したが、これに限定されず、開示の技術は、以下の他の３種類の組み合わせにも適用可能である。

まず、重みなしグラフは、無向グラフでも有向グラフでも、辺の重みが全て１であるグラフとみなすことで、開示の技術を適用可能である。

また、有向グラフでは、重み付きでも重みなしでも、始点から全ての頂点への最短経路と、全ての頂点から終点までの最短経路とを求める際、ある頂点ｖではどちらかが求まらない可能性がある。その場合は、ｖの経由最短経路は求まらないものとして、またｖをＶ’に入れないようにすることで、開示の技術を適用することが可能となる。

以上で、無向グラフと有向グラフ、及び重み付きグラフと重みなしグラフの４種類全ての組み合わせに対して開示の技術が適用可能であることが示せた。

非連結グラフ

また、上記各実施形態では、連結グラフを前提として説明したが、非連結グラフにも開示の技術を適用可能である。非連結グラフの場合は、始点及び終点が同じ連結成分に含まれる場合は、開示の技術を適用することで解を求め、そうでない場合は、解がなしとすればよい。

また、上記各実施形態では、始点及び終点が指定された際、すなわち、ｋ−最短経路探索の処理を実行する際に、ｓｔ−最短経路群の計算、及び縮約グラフの生成を行う場合について説明したが、これに限定されない。各処理を事前に行うことで、ｋ−最短経路探索時の処理時間を更に短縮することができる。

具体的には、上記各実施形態の中で処理時間の多くを占めるｓｔ−最短経路群の計算を事前に行い、二次記憶や主記憶に記憶させておくことで、ｋ−最短経路探索時の処理時間の短縮を図ることができる。

また、ｋの値として使われる値が、だいたいｋ_ｍａｘくらいまでであることが想定される場合、ｋ_ｍａｘ−最短経路探索を前もって行い、その縮約グラフを記憶させておくことで、ｓｔ−最短経路群の計算及び縮約グラフの生成の処理を省くことが可能である。

なお、事前にｓｔ−最短経路群を計算しておく方法は、特にｓｔ−最短経路群の計算が処理全体に占める割合が高い場合に有効である。例えば、図２５に示すように、ｎ’＝√ｎ、ｎ＝２５６の場合は、ｓｔ−最短経路計算の占める割合が７４％と高く、ＧＲ（ｋ−Ｄｉｊ）で０．２３２秒かかっていたものを、０．０５８秒と４倍高速化することができる。したがって、ｋ−最短経路探索では、０．５７３秒が０．２３２秒になり約２．５倍の高速化にとどまっていたが、事前に計算しておくことで、０．０５８秒と約１０倍に高速化でき、効果が大きいことがわかる。

また、上記各実施形態では、ｋ−最短経路探索での解の数であるＫ１と、縮約グラフに含めるループを含まない経由最短経路の数であるＫ２とを共にｋとして説明したが、これに限定されず、Ｋ１≦Ｋ２であればよく、異なる値を設定してもよい。

また、上記実施形態では、最短経路探索プログラムが記憶部に予め記憶（インストール）されている態様を説明したが、これに限定されない。開示の技術に係るプログラムは、ＣＤ−ＲＯＭ、ＤＶＤ−ＲＯＭ、ＵＳＢメモリ等の記憶媒体に記憶された形態で提供することも可能である。

以上の各実施形態に関し、更に以下の付記を開示する。

（付記１）
複数の頂点と、頂点間の連結関係を表す複数の辺とを含むグラフ構造データにおいて、第１の頂点から第２の頂点までのＫ１−最短経路探索（Ｋ１は正の整数）の処理をコンピュータに実行させるための最短経路探索プログラムであって、
前記第１の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路と、前記第２の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路とに基づいて、前記第１の頂点から前記各頂点のいずれかを経由点として前記第２の頂点に至る経路の最短経路である経由最短経路の各々を導出し、
前記経由最短経路のうち、距離の短い上位Ｋ２個（Ｋ２はＫ１以上の正の整数）の経由最短経路のいずれにも含まれない頂点及び辺を、前記グラフ構造データから除外した縮約グラフ構造データを生成し、
前記縮約グラフ構造データに対して、前記Ｋ１−最短経路探索の処理を行う
ことを含む処理を前記コンピュータに実行させるための最短経路探索プログラム。

（付記２）
導出された前記経由最短経路の重複を排除し、残りの経由最短経路を距離の昇順で並び替えて、前記上位Ｋ２個に含まれる経由最短経路を特定する付記１に記載の最短経路探索プログラム。

（付記３）
前記距離の昇順で並び替えられた先頭の経由最短経路から、ループを含む経由最短経路を除いて上位Ｋ２番目となる経由最短経路までの全ての経由最短経路の各々に含まれる頂点を特定し、前記グラフ構造データにおいて、特定した前記頂点間を連結する辺と、特定した前記頂点とに基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する付記２に記載の最短経路探索プログラム。

（付記４）
導出された前記経由最短経路を距離の昇順で並び替えた経由最短経路群の先頭から順に処理対象の経由最短経路とし、前記処理対象の経由最短経路に含まれる頂点を前記縮約グラフ構造データに含める頂点集合に追加すると共に、前記経由最短経路群から、前記頂点集合に追加された頂点を前記経由点とする経由最短経路を除外する処理をＫ２回繰り返した場合に、前記頂点集合に含まれる頂点に基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する付記１に記載の最短経路探索プログラム。

（付記５）
前記グラフ構造データにおいて、前記頂点集合に含まれる頂点間を連結する辺と、前記頂点集合に含まれる頂点とに基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する付記４に記載の最短経路探索プログラム。

（付記６）
前記処理対象の経由最短経路がループを含む場合、前記処理対象の経由最短経路に含まれる前記経由点のみを前記頂点集合に追加すると共に、処理の繰り返し回数を加算しない付記４又は付記５に記載の最短経路探索プログラム。

（付記７）
複数の頂点と、頂点間の連結関係を表す複数の辺とを含むグラフ構造データにおいて、第１の頂点から第２の頂点までのＫ１−最短経路探索（Ｋ１は正の整数）の処理を実行する最短経路探索装置であって、
前記第１の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路と、前記第２の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路とに基づいて、前記第１の頂点から前記各頂点のいずれかを経由点として前記第２の頂点に至る経路の最短経路である経由最短経路の各々を導出する導出部と、
前記経由最短経路のうち、距離の短い上位Ｋ２個（Ｋ２はＫ１以上の正の整数）の経由最短経路のいずれにも含まれない頂点及び辺を、前記グラフ構造データから除外した縮約グラフ構造データを生成する生成部と、
前記縮約グラフ構造データに対して、前記Ｋ１−最短経路探索の処理を行う探索部と、
を含む最短経路探索装置。

（付記８）
前記生成部は、導出された前記経由最短経路の重複を排除し、残りの経由最短経路を距離の昇順で並び替えて、前記上位Ｋ２個に含まれる経由最短経路を特定する付記７に記載の最短経路探索装置。

（付記９）
前記生成部は、前記距離の昇順で並び替えられた先頭の経由最短経路から、ループを含む経由最短経路を除いて上位Ｋ２番目となる経由最短経路までの全ての経由最短経路の各々に含まれる頂点を特定し、前記グラフ構造データにおいて、特定した前記頂点間を連結する辺と、特定した前記頂点とに基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する付記８に記載の最短経路探索装置。

（付記１０）
前記生成部は、導出された前記経由最短経路を距離の昇順で並び替えた経由最短経路群の先頭から順に処理対象の経由最短経路とし、前記処理対象の経由最短経路に含まれる頂点を前記縮約グラフ構造データに含める頂点集合に追加すると共に、前記経由最短経路群から、前記頂点集合に追加された頂点を前記経由点とする経由最短経路を除外する処理をＫ２回繰り返した場合に、前記頂点集合に含まれる頂点に基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する付記７に記載の最短経路探索装置。

（付記１１）
前記生成部は、前記グラフ構造データにおいて、前記頂点集合に含まれる頂点間を連結する辺と、前記頂点集合に含まれる頂点とに基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する付記１０に記載の最短経路探索装置。

（付記１２）
前記生成部は、前記処理対象の経由最短経路がループを含む場合、前記処理対象の経由最短経路に含まれる前記経由点のみを前記頂点集合に追加すると共に、処理の繰り返し回数を加算しない付記１０又は付記１１に記載の最短経路探索装置。

（付記１３）
複数の頂点と、頂点間の連結関係を表す複数の辺とを含むグラフ構造データにおいて、第１の頂点から第２の頂点までのＫ１−最短経路探索（Ｋ１は正の整数）の処理をコンピュータが実行する最短経路探索方法であって、
前記第１の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路と、前記第２の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路とに基づいて、前記第１の頂点から前記各頂点のいずれかを経由点として前記第２の頂点に至る経路の最短経路である経由最短経路の各々を導出し、
前記経由最短経路のうち、距離の短い上位Ｋ２個（Ｋ２はＫ１以上の正の整数）の経由最短経路のいずれにも含まれない頂点及び辺を、前記グラフ構造データから除外した縮約グラフ構造データを生成し、
前記縮約グラフ構造データに対して、前記Ｋ１−最短経路探索の処理を行う
ことを含む処理を前記コンピュータが実行する最短経路探索方法。

（付記１４）
導出された前記経由最短経路の重複を排除し、残りの経由最短経路を距離の昇順で並び替えて、前記上位Ｋ２個に含まれる経由最短経路を特定する付記１３に記載の最短経路探索方法。

（付記１５）
前記距離の昇順で並び替えられた先頭の経由最短経路から、ループを含む経由最短経路を除いて上位Ｋ２番目となる経由最短経路までの全ての経由最短経路の各々に含まれる頂点を特定し、前記グラフ構造データにおいて、特定した前記頂点間を連結する辺と、特定した前記頂点とに基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する付記１４に記載の最短経路探索方法。

（付記１６）
導出された前記経由最短経路を距離の昇順で並び替えた経由最短経路群の先頭から順に処理対象の経由最短経路とし、前記処理対象の経由最短経路に含まれる頂点を前記縮約グラフ構造データに含める頂点集合に追加すると共に、前記経由最短経路群から、前記頂点集合に追加された頂点を前記経由点とする経由最短経路を除外する処理をＫ２回繰り返した場合に、前記頂点集合に含まれる頂点に基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する付記１３に記載の最短経路探索方法。

（付記１７）
前記グラフ構造データにおいて、前記頂点集合に含まれる頂点間を連結する辺と、前記頂点集合に含まれる頂点とに基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する付記１６に記載の最短経路探索方法。

（付記１８）
前記処理対象の経由最短経路がループを含む場合、前記処理対象の経由最短経路に含まれる前記経由点のみを前記頂点集合に追加すると共に、処理の繰り返し回数を加算しない付記１６又は付記１７に記載の最短経路探索方法。

（付記１９）
複数の頂点と、頂点間の連結関係を表す複数の辺とを含むグラフ構造データにおいて、第１の頂点から第２の頂点までのＫ１−最短経路探索（Ｋ１は正の整数）の処理をコンピュータに実行させるための最短経路探索プログラムであって、
前記第１の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路と、前記第２の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路とに基づいて、前記第１の頂点から前記各頂点のいずれかを経由点として前記第２の頂点に至る経路の最短経路である経由最短経路の各々を導出し、
前記経由最短経路のうち、距離の短い上位Ｋ２個（Ｋ２はＫ１以上の正の整数）の経由最短経路のいずれにも含まれない頂点及び辺を、前記グラフ構造データから除外した縮約グラフ構造データを生成し、
前記縮約グラフ構造データに対して、前記Ｋ１−最短経路探索の処理を行う
ことを含む処理を前記コンピュータに実行させるための最短経路探索プログラムを記憶した記憶媒体。

１０、２１０ 最短経路探索装置
１２ 導出部
１４、２１４ 生成部
１６ 探索部
２２ グラフ構造データ
２４ 縮約グラフ構造データ
４０ コンピュータ
４１ ＣＰＵ
４２ メモリ
４３ 記憶部
４９ 記憶媒体
５０、２５０ 最短経路探索プログラム

Claims (8)

1. 複数の頂点と、頂点間の連結関係を表す複数の辺とを含むグラフ構造データにおいて、第１の頂点から第２の頂点までのＫ１−最短経路探索（Ｋ１は正の整数）の処理をコンピュータに実行させるための最短経路探索プログラムであって、
   前記第１の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路と、前記第２の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路とに基づいて、前記第１の頂点から前記各頂点のいずれかを経由点として前記第２の頂点に至る経路の最短経路である経由最短経路の各々を導出し、
   前記経由最短経路のうち、距離の短い上位Ｋ２個（Ｋ２はＫ１以上の正の整数）の経由最短経路のいずれにも含まれない頂点及び辺を、前記グラフ構造データから除外した縮約グラフ構造データを生成し、
   前記縮約グラフ構造データに対して、前記Ｋ１−最短経路探索の処理を行う
   ことを含む処理を前記コンピュータに実行させるための最短経路探索プログラム。
2. 導出された前記経由最短経路の重複を排除し、残りの経由最短経路を距離の昇順で並び替えて、前記上位Ｋ２個に含まれる経由最短経路を特定する請求項１に記載の最短経路探索プログラム。
3. 前記距離の昇順で並び替えられた先頭の経由最短経路から、ループを含む経由最短経路を除いて上位Ｋ２番目となる経由最短経路までの全ての経由最短経路の各々に含まれる頂点を特定し、前記グラフ構造データにおいて、特定した前記頂点間を連結する辺と、特定した前記頂点とに基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する請求項２に記載の最短経路探索プログラム。
4. 導出された前記経由最短経路を距離の昇順で並び替えた経由最短経路群の先頭から順に処理対象の経由最短経路とし、前記処理対象の経由最短経路に含まれる頂点を前記縮約グラフ構造データに含める頂点集合に追加すると共に、前記経由最短経路群から、前記頂点集合に追加された頂点を前記経由点とする経由最短経路を除外する処理をＫ２回繰り返した場合に、前記頂点集合に含まれる頂点に基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する請求項１に記載の最短経路探索プログラム。
5. 前記グラフ構造データにおいて、前記頂点集合に含まれる頂点間を連結する辺と、前記頂点集合に含まれる頂点とに基づいて、前記縮約グラフ構造データを生成する請求項４に記載の最短経路探索プログラム。
6. 前記処理対象の経由最短経路がループを含む場合、前記処理対象の経由最短経路に含まれる前記経由点のみを前記頂点集合に追加すると共に、処理の繰り返し回数を加算しない請求項４又は請求項５に記載の最短経路探索プログラム。
7. 複数の頂点と、頂点間の連結関係を表す複数の辺とを含むグラフ構造データにおいて、第１の頂点から第２の頂点までのＫ１−最短経路探索（Ｋ１は正の整数）の処理を実行する最短経路探索装置であって、
   前記第１の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路と、前記第２の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路とに基づいて、前記第１の頂点から前記各頂点のいずれかを経由点として前記第２の頂点に至る経路の最短経路である経由最短経路の各々を導出する導出部と、
   前記経由最短経路のうち、距離の短い上位Ｋ２個（Ｋ２はＫ１以上の正の整数）の経由最短経路のいずれにも含まれない頂点及び辺を、前記グラフ構造データから除外した縮約グラフ構造データを生成する生成部と、
   前記縮約グラフ構造データに対して、前記Ｋ１−最短経路探索の処理を行う探索部と、
   を含む最短経路探索装置。
8. 複数の頂点と、頂点間の連結関係を表す複数の辺とを含むグラフ構造データにおいて、第１の頂点から第２の頂点までのＫ１−最短経路探索（Ｋ１は正の整数）の処理をコンピュータが実行する最短経路探索方法であって、
   前記第１の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路と、前記第２の頂点から、前記複数の頂点に含まれる各頂点までの最短経路とに基づいて、前記第１の頂点から前記各頂点のいずれかを経由点として前記第２の頂点に至る経路の最短経路である経由最短経路の各々を導出し、
   前記経由最短経路のうち、距離の短い上位Ｋ２個（Ｋ２はＫ１以上の正の整数）の経由最短経路のいずれにも含まれない頂点及び辺を、前記グラフ構造データから除外した縮約グラフ構造データを生成し、
   前記縮約グラフ構造データに対して、前記Ｋ１−最短経路探索の処理を行う
   ことを含む処理を前記コンピュータが実行する最短経路探索方法。