JP2018527667A - 異なる点像分布関数での一連の画像内の様々な発光強度をもつ点光源の検出 - Google Patents

Abstract

１以上の新規物体および／または１以上の既知の物体のトランジェントを、複雑で不変の背景ＤＭにおいて検出するための物理的特性の少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を、少なくとも１つのプロセッサおよび少なくとも１つメモリ要素を使用して、処理するためのシステムおよび方法であって、本方法は：基準ＤＭのインパルス応答に対して、新規ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した新規ＤＭを生成すること；新規ＤＭのインパルス応答に対して、基準ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した基準ＤＭを生成すること；フィルタ処理した基準ＤＭをフィルタ処理した新規ＤＭから、またはその逆に、減算することによりＭ次元の物体指標（ＯＩ）を生成すること；およびスコアの各々が特定のＭ次元位置における物体の存在に対するプローブである、Ｍ次元のデータスコア（ＤＳ）をＭ次元のＯＩから生成すること、を含む。【選択図】図１

Description

本発明は、一般に、天体撮像の分野であり、詳細には、画像の処理および比較の分野である。

トランジェント（ｔｒａｎｓｉｅｎｔ）検出およびフラックス測定は、時間領域天文学の根底である。観測状況の変化に起因して、複雑で不変の背景上での新規光源の検出は非常に重要な問題である。これらの問題に対する既存のソリューションは、多数の画像減算アーチファクトが、実際のトランジェントを数において圧倒するので、大きくて深刻な問題を経験する。この問題に対する既存の救済策は、多量にある候補を狭めるために機械学習アルゴリズムを使用する高度に複雑なソリューションを使用する。最後に、人間スキャナが、大量の候補から実際のトランジェント信号を抽出するために、残りの候補をより分ける。

今まで知られていなかったトランジェント源の検出は、天文学の多くの分野の基礎である。かかる例は、超新星およびマイクロレンズ現象の探索である。画像減算の問題は、提案された多くのソリューション、例えば、［Ｐｈｉｌｌｉｐｓ ＆ Ｄａｖｉｓ １９９５，Ａｓｔｒｏｎｏｍｉｃａｌ Ｄａｔａ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｓｏｆｔｗａｒｅ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ ＩＶ，７７，２９７；Ａｌａｒｄ，＆ Ｌｕｐｔｏｎ，１９９８，ＡｐＪ，５０３，３２５；Ｂｒａｍｉｃｈ，２００８，ＭＮＲＡＳ，３８６，Ｌ７７；Ｇａｌ−Ｙａｍ，Ｍａｏｚ，Ｇｕｈａｔｈａｋｕｒｔａ，＆ Ｆｉｌｉｐｐｅｎｋｏ，２００８，ＡｐＪ，６８０，５５０］では、対処するのが困難であることが分かっている。画像減算における困難の原因は、地上から撮影された画像の点像分布関数（ＰＳＦ）が変化することである。観測のＰＳＦにおけるこの変化は、画像の単純な減算（ｎａｉｖｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ）において多くの減算アーチファクトを生じ得る。

ほとんどの調査で使用されるソリューションは、画像減算自体に対するＡｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎのアルゴリズムに基づく。その後、整合フィルタの適用および新規光源の探索などの、検出プロセスが生じる。このソリューションは、完全性からは程遠く、その演算後、その多くはいわゆる「減算アーチファクト」が残ったままである。

［Ａｌａｒｄ ＆ ＬｕｐｔｏｎおよびＢｒａｍｉｃｈ ２００８］などの普及している画像減算法によって生じるこれらの減算アーチファクトは、複雑な反転問題を解く必要性によって引き起こされる。この反転問題は、Ｐｈｉｌｌｉｐｓ ＆ Ｄａｖｉｓによって行われた部分的逆畳み込み（ｄｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ）に対する正則化の影響と見なすことができる。遅いこと以外に、逆畳み込みプロセスの数値不安定性は隠すことができないので、この反転問題はそれ自体、有効な逆畳み込みである。新規画像のＰＳＦが実質的に基準ＰＳＦと異なる場合、前述のアルゴリズムは、フーリエ面における有効な除算に起因してリンギングアーティファクトを減算画像に出現させ得るか、または新規画像ＰＳＦの形式に対する基準画像のＰＳＦを成形することができず、非整合のＰＳＦが出現して単純な減算の多くの減算アーチファクトが残る。

これらのアーチファクトは、多数の誤検出信号を生じることにより、トランジェントの自動検出を阻む。この問題に対する技術ソリューションの現在の状態は、機械学習アルゴリズム、例えば、ほとんどのアーチファクトをフィルタ処理して、誤検出の数を最小限まで減らすための［Ｂｌｏｏｍ，Ｒｉｃｈａｒｄｓ，Ｎｕｇｅｎｔ，ｅｔ ａｌ．２０１２，ＰＡＳＰ，１２４，１１７５；Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ，Ｄ'Ａｎｄｒｅａ，Ｆｉｓｃｈｅｒ ｅｔ ａｌ．２０１５，ａｒＸｉｖ：１５０４．０２９３６；Ｗｒｉｇｈｔ，Ｓｍａｒｔｔ，Ｓｍｉｔｈ ｅｔ ａｌ．２０１５，ＭＮＲＡＳ］を訓練することである。その後、人間スキャナが残り全部の候補検出をより分け、どれが本物でどれが違うかを決定する。

この複雑なプロセスは、トランジェント検出調査の良好な運用を多くの点で台無しにし得る。第１は、多数の人間スキャナを採用することは非常に厄介で費用がかかることである。多くの現在の調査では、候補の選別に多くのマンパワーを使っており、例えば、かかる調査の例にはＰＴＦ［Ｌａｗ，Ｋｕｌｋａｒｎｉ，Ｄｅｋａｎｙ，ｅｔ ａｌ．２００９，ＲＡＳＰ，１２１，１３９５］およびＰＡＮＳＴＡＲＲＳ［Ｋａｉｓｅｒ，Ａｕｓｓｅｌ，Ｂｕｒｋｅ，ｅｔ ａｌ．２００２，Ｐｒｏｃ．ＳＰＩＥ，４８３６，１５４］がある。人間スキャナのこの使用は、拡張性がなく、ＬＳＳＴ［Ｉｖｅｚｉｃ，Ｔｙｓｏｎ，Ａｂｅｌ，ｅｔ ａｌ．２００８，ａｒＸｉｖ：０８０５．２３６６］などの将来の調査に対して実現不可能である。

第２は、人間スキャナがトランジェントをリアルタイムで検出することは非常に困難であるので、トランジェント検出に時間遅延が発生することである。これは、新しいトランジェントの迅速な追跡観察を行うことが最も重要な多くの科学的事例に大いにダメージを与え得る。その上、少なくともいくつかの機械学習アルゴリズムは、本物の明らかなトランジェントを破棄する。最後に、人間スキャナは自分の意思決定プロセスを持続することはできないので、人間によるスキャンステップは、完全性トランジェント調査を推定することを非常に困難にする。かかる科学的事例の例は、超新星前駆天体の星周環境の特性化であり、それは、時間単位の時間尺度での迅速な追跡でのみ可能である（Ｇａｌ−Ｙａｍ ｅｔ ａｌ．）。

別の問題は、人間スキャナでさえ、トランジェントが本物か違うかは不確かであり得ることであり、多くの調査は２つ以上の連続した観測で存在し続ける候補だけを受け入れる手法を適合させる。言うまでもなく、この手法は、調査速度と引換えに候補の確実性を得る。

最後に、このスキャン手法は、検出統計を定量化するが困難であり、当然ながら統計的検出限界でトランジェントを検出できない人間スキャナの目視検査に頼るので、トランジェント検出を最も暗い限界で阻む。

画像減算のための既存の方法の概要

画像減算に対して提案されたソリューションは、自然に２つの変形に分かれる。第１の、より普及している変形は、一般に、正規化部分的逆畳み込みと呼ばれ得る。この系統のソリューションは、Ｐｈｉｌｌｉｐｓ ＆ Ｄａｖｉｓ；Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ；およびＢｒａｍｉｃｈ ２００８のものである。Ｇａｌ−Ｙａｍ ｅｔ ａｌ．は、第２の変形を提案し、それは、本明細書では「対称整合フィルタ処理」と呼ぶ。

新規画像をＮ、そのＰＳＦをＰ_Ｎで、基準画像をＲ、そのＰＳＦをＰ_Ｒで表すと、畳み込みカーネルｋを見つけるための第１のアプローチは次のとおりである：

かかるカーネルｋを見つけるために提案された第１のソリューションは、Ｐｈｉｌｌｉｐｓ ＆ Ｄａｖｉｓによって与えられた。彼らは、フーリエ空間で逆畳み込みソリューションを実行するように単に提案しただけである：

式中、＾はフーリエ変換を表す。しかし、逆畳み込み演算は、小さい数による除算を伴い得る（多くの場合、実際に伴う）ので、このソリューションは、数値的に不安定である。

Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎは、数値的不安定の問題を解決するための実用的な方法を提案した。ｋを基底関数の集合として表し、式１が線形であることに留意して、線形最小二乗を使用してｋを解決することを提案した。Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎは、低次多項式で乗じたガウス分布の線形結合である、基底関数集合を使用することを提案した。その後、Ｂｒａｍｉｃｈ２００８は、ピクセル化カーネル（ｐｉｘｅｌｉｚｅｄ ｋｅｒｎａｌ）の値を求めることを提案した。Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ法およびＢｒａｍｉｃｈ ２００８法の両方は、Ｐｈｉｌｌｉｐｓ ＆ Ｄａｖｉｓの逆畳み込み法の正則化と見なすことができる、すなわち、カーネルｋに対するソリューションを「論理的」ソリューションに限定することである。

たとえこれらのアルゴリズムの数値安定性が式２より良くても、依然としていくつかの問題がある：第１に、ゼロ除算の問題が依然としてあり、新規画像が、基準画像と比較して狭いＰＳＦを有する場合（実際、いくつかの軸において狭くするだけで十分である）に、特に顕著になり得る（興味深いことに、これらの方法は新規および基準画像に対して非対称であるが、問題はＲとＮの交換に対して対称である）。第２に、これらの方法のいずれに対しても統計的正当性がなく、それらが情報を失っていないという厳密な証拠がなく、また、どの画像処理をさらに適用すべきかが不明瞭である。例えば、差分画像に別の整合フィルタを適用する必要があるか？そうであれば、どのフィルタを使用すべきか？第３に、新規光源検出に対して検出閾値をどのように設定するか、および検出された光源が本物であるかアーチファクトであるかをどのように決定するか、またはそれが誤検出である可能性を定量化するか、について明快な規定がない。

Ｇａｌ−Ｙａｍ ｅｔ ａｌ．によって提案された対称整合フィルタ処理ソリューションは、新規画像を基準画像のＰＳＦで整合フィルタ処理すること、その逆、および減算することである。すなわち：

このソリューションは、常に数値的に安定しており、減算アーチファクトが残らない。このソリューションに関連する問題は、この場合もやはり、常識以外に、統計的正当性がないことである。このソリューションは、主に感度を失う懸念のために、コミュニティ内で一般に、無視された。この主張も、等しいＰＳＦをもつ２つの画像にそれを適用する場合、減算画像は、元の２倍の広さの有効ＰＳＦを有するという常識を使用して導出することができ、これは感度の喪失となる。

２つの画像を減算し、結果として生じる差分画像を最小二乗の意味において最小限にすることの問題は、無数の解を有することに言及すべきである（［Ｙｕａｎ ＆ Ａｋｅｒｌｏｆ，２００８，６７７，８０８］にも見られる）。例えば、線形方程式は：

式中、Ｋ_ｒおよびＫ_ｎは任意のカーネルであり、無数の解をもつ。これは、任意のＫ_ｒに対して、式４を満たすＫ_ｎを最小二乗の意味において見つけることができるためである。この単純な分析から、言及した全ての減算法は、２つの画像のＰＳＦを同一にすることに重点が置かれて、画像の１つに出現するトランジェント源の信号対雑音比（Ｓ／Ｎ）の最大化にはほとんど留意されていないことが示されている。ある意味で、これらの方法は、トランジェント検出の問題を解決するのではなく、畳み込みを使用して、どのように２つの画像を可能な限り同一にするかという、異なる問題を解決する。

その結果、数値的に安定しており、最大限の感度で、速く計算できる方法に対する長年にわたる切実な必要性がある。

以下で、時間一定画像のキャンセリングおよびトランジェント源のＳ／Ｎの最大化を同時に行うための新しい方法およびシステムを示す。

いくつかの実施形態によれば、一般には、画像減算、詳細には、トランジェント検出のための閉じた方法が提供される。これは、不変の空の画像のキャンセル、およびトランジェント検出に必要なさらなる統計的分析の両方を一緒に分析することによって達成される。本方法は、背景の制限された雑音のコンテキストで最良の線形解を提供する。提供する方法の強い光源近くでの統計的挙動は、自明に特性化でき、明るい物体の近くでの減算アーチファクトの防止につながる。その上、提供する方法は、常に、数値的に安定しており、実装、分析が自明であり、普及している方法またはアルゴリズムよりも著しく速い。

以下で、データに関する任意の統計的測定または決定が、同じ減算画像上で最適に、かつ直観的に実行できることを示しており、それは、本明細書では、「適正画像減算」統計量として言及する。この画像は、多くの良好で直観的な品質を有しており、例えば：基準画像と新規画像との間に差がない場合、どこでも予測値ゼロを有し、全ての画素対は無相関で、全ての画素は等分散である。その上、整合フィルタ処理により、最適トランジェント検出統計量を再現する、閉形式の有効なＰＳＦを有している。この画像は、基準画像および新規画像の両方において粒子ヒットを検出して除去するために使用でき、それらを実際の光源から分離する。

本方法は、Ｐａｌｏｍａｒ Ｔｒａｎｓｉｅｎｔ Ｆａｃｔｏｒｙ ＰＴＦ；Ｌａｗ ｅｔ ａｌ．、データリリース１の一部として取得された、シミュレートした画像および実画像について実証する。

いくつかの実施形態によれば、１以上の新規物体および／または１以上の既知の物体のトランジェントを、複雑で不変の背景ＤＭにおいて、検出するための物理的特性の少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を、少なくとも１つのプロセッサおよび少なくとも１つメモリ要素を使用して、処理するための新規の方法が提供され、本方法は：
基準ＤＭのインパルス応答に対して、新規ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した新規ＤＭを生成すること、
新規ＤＭのインパルス応答に対して、基準ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した基準ＤＭを生成すること、
フィルタ処理した基準ＤＭをフィルタ処理した新規ＤＭから、またはその逆に、減算することによりＭ次元の物体指標（ＯＩ）を生成すること、および
スコアの各々が特定のＭ次元位置における物体の存在に対するプローブ（ｐｒｏｂｅ）である、Ｍ次元のデータスコア（ＤＳ）をＭ次元のＯＩから生成すること、を含む。

いくつかの実施形態では、ＤＳを生成することは、ＯＩ内の物理的特性の空間または時間周波数を正規化することをさらに含み、周波数の各々は、それ自身の雑音の標準偏差（ＳＴＤ）によって正規化され、それにより、正規化ＯＩの解成分は、等分散の物理的特性雑音を有し、さらに、物理的特性雑音は、解成分間で無相関である。

いくつかの実施形態では、ＤＳを生成することは、ＯＩまたは正規化ＯＩの各周波数を、周波数の雑音分散で割ったその共役周波数応答によって乗じることをさらに含み、それによりＤＳの各周波数は、その雑音分散に等しい周波数応答を有する。

いくつかの実施形態では、本方法は、物理的特性を正規化ＯＩおよび／またはＤＳにおいて測定することをさらに含む。

いくつかの実施形態では、本方法は、少なくとも１つの新規物体および／または少なくとも１つの既知の物体に対するトランジェントを、正規化ＯＩおよび／またはＤＳにおいて検出することをさらに含む。

いくつかの実施形態では、検出することは、物理的特性に対する正および／または負の所定の閾値に応答する。

いくつかの実施形態では、本方法は、複数の整合フィルタ処理した元の基準ＤＭを累積することにより基準ＤＭを生成すること、および／または複数の整合フィルタ処理した元の新規ＤＭを累積することにより新規ＤＭを生成することをさらに含み、フィルタ処理することは、それらのインパルス応答の各々に対応する。

いくつかの実施形態では、累積することは、結合すること、相互に加算すること（ｃｏａｄｄｉｎｇ）、および重ね合わせること：から成る群から選択された少なくとも１つをさらに含む。

いくつかの実施形態では、ＤＭの全部が同じ測定分野である。

いくつかの実施形態では、ＤＭの各々は、単一のタイムスタンプで取得される。

いくつかの実施形態では、Ｍは正の整数である。

いくつかの実施形態では、基準ＤＭおよび新規ＤＭは各々、異なる測定装置によって測定される。

いくつかの実施形態では、基準ＤＭおよび新規ＤＭは各々、異なる物理的特性を測定している。

いくつかの実施形態では、基準ＤＭおよび新規ＤＭは、同時に、または異なる時間ステップで測定される、同じ測定分野をカバーし、各々は、異なる波長で測定される。

いくつかの実施形態では、基準ＤＭおよび新規ＤＭは、同じ測定分野をカバーし、同じ測定装置によって測定され、かつそれらの測定値間での物体の変形に起因して−異なるＰＳＦを有している；すなわち、物体は、医用／科学画像においてしばしば行われるように移動するか、または衛星画像においてしばしば行われるように、大きく異なる角度から見られる。

いくつかの実施形態では、本方法は、正規化ＯＩを移動検出カーネルで畳み込みこむことをさらに含む；ＰＳＦを（Ｓｈ（ｄｘ，ｄｙ）−＼ｄｅｌｔａ（０，０））で畳み込み（式中、Ｓｈはシフト演算子）、画像を（ｄｘ，ｄｙ）だけシフトし（それは画素のほんの一部であり、＼ｄｅｌｔａ（０，０）は、原点に１を、それ以外はどこもゼロの画像）、それにより、動き指標を作成する。

いくつかの実施形態では、本方法は、任意の雑音モデルを使用してＤＳを正規化することをさらに含む。

いくつかの実施形態では、本方法は、レジストレーション雑音補正を使用してＤＳを正規化することをさらに含む。

いくつかの実施形態では、本方法は、光源雑音補正を使用してＤＳを正規化することをさらに含む。

いくつかの実施形態では、物理的特性はフラックスであり、ＤＭは画像であり、解成分は画素である。

いくつかの実施形態では、物理的特性は電圧であり、ＤＭは無線信号である。

いくつかの実施形態では、物理的特性は不透明度であり、ＤＭは断層撮影測定である。

いくつかの実施形態によれば、コンピューティング装置のメモリにロードされて、コンピューティング装置の少なくとも１つのプロセッサによって実行される場合に、１以上の新規物体および／または１以上の既知の物体のトランジェントを、複雑で不変の背景ＤＭ内で検出するための物理的特性の少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を処理するためのコンピュータ実装方法のステップを実行するように構成された、新規の一時的または非一時的な新規のコンピュータ可読媒体（ＣＲＭ）が提供され、本方法は、
基準ＤＭのインパルス応答に対して、新規ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した新規ＤＭを生成すること、
新規ＤＭのインパルス応答に対して、基準ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した基準ＤＭを生成すること、
フィルタ処理した基準ＤＭをフィルタ処理した新規ＤＭから、またはその逆に、減算することによりＭ次元の物体指標（ＯＩ）を生成すること、および
スコアの各々が特定のＭ次元位置における物体の存在に対するプローブである、Ｍ次元のデータスコア（ＤＳ）をＭ次元のＯＩから生成すること、を含む。

いくつかの実施形態によれば、少なくとも１つのプロセッサおよび少なくとも１つのメモリ要素を備えた新規のコンピュータシステムが提供され、本システムは、１以上の新規物体および／または１以上の既知の物体のトランジェントを、複雑で不変の背景ＤＭ内で検出するための物理的特性の少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を処理するように構成され、本システムは、
基準ＤＭのインパルス応答に対して、新規ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した新規ＤＭを生成し、
新規ＤＭのインパルス応答に対して、基準ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した基準ＤＭを生成する
ように構成された、メモリ内に格納された、フィルタ処理モジュール、および
フィルタ処理した基準ＤＭをフィルタ処理した新規ＤＭから、またはその逆に、減算することによりＭ次元の物体指標（ＯＩ）を生成し、
スコアの各々が特定のＭ次元位置における物体の存在に対するプローブである、Ｍ次元のデータスコア（ＤＳ）をＭ次元のＯＩから生成するように構成された、メモリ内に格納された、処理モジュールを備える。

いくつかの実施形態では、処理モジュールは、ＯＩ内の物理的特性の空間または時間周波数を正規化することにより、Ｍ次元の正規化ＯＩを生成するようにさらに構成され、周波数の各々は、それ自身の雑音の標準偏差（ＳＴＤ）によって正規化され、それにより、正規化ＯＩの解成分は、等分散の物理的特性雑音を有し、さらに、物理的特性雑音は、解成分間で無相関である。

いくつかの実施形態では、処理モジュールは、ＯＩまたは正規化ＯＩの各周波数を、周波数の雑音分散で割ったその共役周波数応答によって乗じるようにさらに構成され、それによりＤＳの各周波数は、その雑音分散に等しい周波数応答を有する。

いくつかの実施形態では、本システムは、物理的特性を正規化ＯＩおよび／またはＤＳにおいて測定するように構成された、メモリ内に格納された、測定モジュールをさらに備える。

いくつかの実施形態では、本システムは、少なくとも１つの新規物体および／または少なくとも１つの既知の物体に対するトランジェントを、正規化ＯＩおよび／またはＤＳにおいて検出するように構成された、メモリ内に格納された、検出モジュールをさらに備える。

いくつかの実施形態では、検出することは、物理的特性に対する正および／または負の所定の閾値に応答する。

いくつかの実施形態では、本システムは、複数の整合フィルタ処理した元の基準ＤＭを累積することにより基準ＤＭを生成し、かつ／または複数の整合フィルタ処理した元の新規ＤＭを累積することにより新規ＤＭを生成するように構成された、メモリ内に格納された、累積モジュールをさらに含み、整合フィルタ処理は、それらのインパルス応答の各々に対応する。

いくつかの実施形態では、累積することは、結合すること、相互に加算すること、および重ね合わせること：から成る群から選択された少なくとも１つをさらに含む。

いくつかの実施形態によれば、少なくとも１つのプロセッサおよび少なくとも１つのメモリ要素を使用して、少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を処理するための新規の方法が提供され、本方法は、
第２のＤＭのインパルス応答に対して、第１のＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した第１のＤＭを生成すること、
第１のＤＭのインパルス応答に対して、第２のＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した第２のＤＭを生成すること、
フィルタ処理した第２のＤＭをフィルタ処理した第１のＤＭから、またはその逆に、減算することによりＭ次元の第３のＤＭを生成すること、および
第３のＤＭ内の物理的特性の空間または時間周波数を正規化することにより、Ｍ次元の正規化ＤＭを生成することであって、周波数の各々は、それ自身の雑音の標準偏差（ＳＴＤ）によって正規化され
それにより、正規化ＤＭの解成分が、等分散の物理的特性雑音を有し、さらに、物理的特性雑音は、解成分間で無相関である、Ｍ次元の正規化ＤＭを生成すること、を含む。

いくつかの実施形態では、本システムは、Ｍ次元のデータスコア（ＤＳ）を生成することをさらに含み、スコアの各々は特定のＭ次元位置における物体の存在に対するプローブであり、ＤＳは、正規化ＤＭの各周波数を、周波数の雑音分散で割ったその共役周波数応答によって乗じることによって生成され、それによりＤＳの各周波数が、その雑音分散に等しい周波数応答を有する。

開示する主題は、添付の図面と併せて読む際に、以下の詳細な記述を参照することにより最も良く理解され得る。

本発明の実施形態に従った本方法を概念的に示す。 本発明の実施形態に従った本システムを概念的に示す。 新規画像Ｐｎおよび基準画像Ｐｒの点像分布関数（ＰＳＦ）、ならびに対称ガウス分布（図３Ａ〜図３Ｃ）、非対称ガウス分布（図３Ｄ〜図３Ｆ）、およびスペックル（図３Ｇ〜図３Ｉ）画像の３つの事例に対する対応する差分画像ＤのＰＳＦ Ｐ_Ｄを概念的に示す。 （図４Ａ〜図４Ｆ）それぞれ、基準および新規画像に対して、２および３画素のシグマ幅の対称ガウス分布ＰＳＦをもつシミュレートした画像の減算を概念的に示す。 （図５Ａ〜図５Ｆ）新規画像において２×４ｐｉｘおよび基準画像において４×２ｐｉｘのシグマ幅の非対称ガウス分布ＰＳＦをもつシミュレートした画像の減算に対して、図４Ａ〜図４Ｆにおけるのと同様の特徴を概念的に示す。 （図６Ａ〜図６Ｆ）０．３ｐｉｘ（ＲＭＳ）の天文測定雑音（ａｓｔｒｏｍｅｔｒｉｃ ｎｏｉｓｅ）ならびに、それぞれ、基準画像および新規画像に対して、２および３画素のシグマ幅の対称ガウス分布ＰＳＦをもつシミュレートした画像の減算を概念的に示す。 （図７Ａ〜図７Ｆ）検定１の画像（表２）に対する、画像減算結果を概念的に示す。 図７Ａにおけるように、適正減算画像Ｄ（黒い線）およびＡｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算（Ｎ−Ｒ；グレイの線）における、赤い線の位置でのプロファイルカット（ｐｒｏｆｉｌｅ ｃｕｔ）を概念的に示す。 （図９Ａ〜図９Ｆ）検定２の画像（表２）に対する、画像減算結果を概念的に示す。 スコアマップＳ（図１０Ａ）および図９Ａ〜図９Ｆに示す減算に対応する補正スコアマップＳ_ｃｏｒｒ（図１０Ｂ）を概念的に示す。 微分大気差（高さ方向における）を概念的に示す。 異なる帯域における、色屈折の相対振幅を高さの関数として、概念的に示す。

例示を単純かつ明瞭にするために、図示する要素は、必ずしも原寸に比例して描かれず、また、いくつかの要素の寸法は、他の要素に比例して誇張され得る。加えて、参照番号は、対応するか、または類似の要素を示すために繰り返され得る。

以下の記述は、当業者が本発明を使用できるようにして、本発明人によって検討された本発明を実行する最良の態様を明記するために、本発明の全ての章と一緒に提供する。しかし、本発明の包括的な原理は、特に、複雑なＭ次元のデータ測定値、具体的には、天体画像を処理するためのコンピュータ実装方法およびシステムを提供するために定義されているので、様々な修正が、当業者に明らかなままであるように適合される。

１．用語の紹介

用語「相互加算（ｃｏａｄｄｉｔｉｏｎ）」、「相互に加算すること（ｃｏａｄｄｉｎｇ）」またはその類似は、本明細書では、入力グリッドからの、画像、またはＭ次元の測定値がサンプリングされて、共通の出力グリッドに追加されるプロセスを指す。

用語「整合フィルタ（ｍａｔｃｈ ｆｉｌｔｅｒ）」または「整合フィルタ処理（ｍａｔｃｈ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ）」は、本明細書では、既知の信号、またはテンプレートを、未知の信号と相互に関連付けて、未知の信号内でテンプレートの存在を検出することを指す。これは、未知の信号をテンプレートの共役反転バージョンで畳み込み／コンボリュートすること（コンボリューション）に等しい。

用語「畳み込み（ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ）」、「畳み込む」、「畳み込むこと」またはその類似は、本明細書では、２つの関数ｆおよびｇに対する数学演算を指し、通常、元の関数の１つの修正バージョンとして見られる第３の関数を生じ、２つの関数の間で重なり合う領域を、元の関数の１つが変換される量の関数として与える。

用語「光源（ｓｏｕｒｃｅ）」は、本明細書では、観測されている任意の物体、および、天体撮像の用途では、発光しているか、または光を反射している物体を指す。

用語「フラックス（ｆｌｕｘ）」は、本明細書では、測定されている任意の物理的特性、および、天体撮像の用途では、空間内での物理的特性のフロー、例えば、光を指す。

用語「点像分布関数（ＰＳＦ）」は、本明細書では、撮像システムの点光源または点物体に対する応答を指す。ＰＳＦに対するもっと一般的な用語は、系のインパルス応答であり、ＰＳＦは、焦点を合わせた光学系のインパルス応答である。

用語「インパルス応答」は、本明細書では、短い入力信号で提示される場合、動的系（ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍ）の出力を指す。もっと一般的には、インパルス応答は、何らかの外的変化に応答した、任意の動的系の反応を指す。

用語「周波数応答」は、本明細書では、刺激に応答して、系または装置の出力スペクトルの定量的測定を指し、系の動態を特徴づけるために使用される。それは、入力と比較した、出力の振幅および位相の周波数の関数としての測定である。

用語「不良画素（複数可）」は、それらの値が、それらに作用している本当の光の兆候をほとんど、または全く示していない画素を指す。不良画素は、永久的な製造欠陥または、検出器における突然の／異常な電気的現象のいずれかによって引き起こされ得る。

用語「反射ゴースト」は、本明細書では、実際の場面には存在していない、カメラまたは他の光学機器の焦点面における特徴もしくは形状、または所望の画像上に重ね合わせられる焦点の合っていない重複画像を指す。ゴースト画像、またはゴースト反射は、レンズまたは窓の表面からの反射によって生じる。各ガラス表面は、入射光を２つの部分：表面を通過する透過部分、およびはね返る反射部分、に分ける。反射光が、別のガラス表面または鏡からの反射によって再度はね返される場合、それは、焦点面に進んでゴースト画像を形成し得る。ゴースト画像は、焦点の合っていないぼやけまたは汚れ、はっきりした円またはカメラの絞りもしくは他の開口の形状をした多角形、または場面内の物体の偽像として出現し得る。

２．好ましい実施形態

いくつかの実施形態によれば、本発明は、１以上の新規物体および／または１以上の既知の物体のトランジェントを、複雑で不変の背景ＤＭにおいて、検出するための物理的特性の少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を処理するための新規の方法およびシステムを提供する。

図１は、１以上の新規物体および／または１以上の既知の物体のトランジェントを、複雑で不変の背景ＤＭにおいて、検出するための物理的特性の少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を処理するための方法（１００）に対する本発明の実施形態を概念的に示し、本方法は：
物理的特性の少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を収集すること（１１０）、
新規ＤＭを基準ＤＭの逆インパルス応答によって畳み込むことにより畳み込まれた新規ＤＭを生成すること（１２０）、
基準ＤＭを新規ＤＭの逆インパルス応答によって畳み込むことにより畳み込まれた基準ＤＭを生成すること（１３０）、
畳み込まれた基準ＤＭを畳み込まれた新規ＤＭから、またはその逆に、減算することによってＭ次元の物体指標（ＯＩ）を生成すること（１４０）、および
スコアの各々が特定のＭ次元位置における物体の存在に対するプローブである、Ｍ次元のデータスコア（ＤＳ）をＭ次元のＯＩから生成すること（１５０）、を含む。

いくつかの実施形態では、ＤＳを生成する方法（１００）は、ＯＩ内の物理的特性の空間または時間周波数を正規化すること（１５１）をさらに含み、周波数の各々は、それ自身の雑音の標準偏差（ＳＴＤ）によって正規化され、それにより、正規化ＯＩの解成分は、等分散の物理的特性雑音を有しており、さらに、物理的特性雑音は、解成分間で無相関である。

いくつかの実施形態では、ＤＳを生成する方法（１００）は、ＯＩまたは正規化ＯＩの各周波数を、周波数の雑音分散で割ったその共役周波数応答によって乗じること（１５２）をさらに含み、それによりＤＳの各周波数は、その雑音分散に等しい周波数応答を有する。

いくつかの実施形態では、本方法（１００）は、物理的特性を正規化ＯＩおよび／またはＤＳにおいて測定すること（１６０）をさらに含む。

いくつかの実施形態では、本方法（１００）は、少なくとも１つの新規物体および／または少なくとも１つの既知の物体に対するトランジェントを、正規化ＯＩおよび／またはＤＳにおいて検出すること（１７０）をさらに含む。いくつかの実施形態によれば、検出することは、物理的特性に対する正および／または負の所定の閾値に応答する。

いくつかの実施形態では、本方法（１００）は、複数の整合フィルタ処理した元の基準ＤＭを累積することにより基準ＤＭを生成すること（１８０）、および／または複数の整合フィルタ処理した元の新規ＤＭを累積することにより新規ＤＭを生成することをさらに含み、フィルタ処理することは、それらのインパルス応答の各々に対応する。いくつかの実施形態によれば、累積することは、結合すること、相互に加算すること、および重ね合わせること：から成る群から選択された少なくとも１つをさらに含む。

図２は、１以上の新規物体および／または１以上の既知の物体のトランジェントを、複雑で不変の背景ＤＭ内で検出するために物理的特性の少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を処理するための、少なくとも１つのプロセッサ（２３０）および少なくとも１つのメモリ要素（２４０）を備えた、システム（２００）に対する本発明の実施形態を概念的に示しており、本システムは、
少なくとも２つのＭ次元ＤＭ（２１５）を収集するように構成された入力インタフェース（２１０）、
メモリ内に格納された、フィルタ処理モジュール（２３１）であって、
新規ＤＭ（２１５Ｎ）を基準ＤＭ（２１５Ｒ）の逆インパルス応答によって畳み込むことにより畳み込まれた新規ＤＭを生成し、
基準ＤＭ（２１５Ｒ）を新規ＤＭ（２１５Ｎ）の逆インパルス応答によって畳み込むことにより畳み込まれた基準ＤＭを生成するように構成された、フィルタ処理モジュール（２３１）、
畳み込まれた基準ＤＭを畳み込まれた新規ＤＭから、またはその逆に、減算することによってＭ次元の物体指標（ＯＩ）を生成するように構成された、メモリ内に格納された、減算モジュール（２３２）、および
ＯＩ内の物理的特性の空間または時間周波数を正規化することにより、Ｍ次元の正規化ＯＩを生成するように構成された、メモリ内に格納された、処理モジュール（２３３）であって、周波数の各々は、それ自身の雑音の標準偏差（ＳＴＤ）によって正規化される、処理モジュール（２３３）を備え、
それにより、正規化ＯＩの解成分は、等分散の物理的特性雑音を有し、さらに、物理的特性雑音は、解成分間で無相関である。

いくつかの実施形態では、処理モジュール（２３３）は、ＯＩ内の物理的特性の空間または時間周波数を正規化することにより、Ｍ次元の正規化ＯＩを生成するようにさらに構成され、周波数の各々は、それ自身の雑音の標準偏差（ＳＴＤ）によって正規化され、それにより、正規化ＯＩの解成分は、等分散の物理的特性雑音を有し、さらに、物理的特性雑音は、解成分間で無相関である。

いくつかの実施形態では、処理モジュール（２３３）は、ＯＩまたは正規化ＯＩの各周波数を、周波数の雑音分散で割ったその共役周波数応答によって乗じるようにさらに構成され、それによりＤＳの各周波数は、その雑音分散に等しい周波数応答を有する。

いくつかの実施形態では、本システム（２００）は、物理的特性を正規化ＯＩまたはＤＳにおいて測定するように構成された、メモリ内に格納された、測定モジュール（２３４）をさらに備える。

いくつかの実施形態では、本システム（２００）は、少なくとも１つの新規物体および／または少なくとも１つの既知の物体に対するトランジェントを、正規化ＯＩまたはＤＳにおいて検出するように構成された、メモリ内に格納された、検出モジュール（２３５）をさらに備える。いくつかの実施形態によれば、検出することは、物理的特性に対する正および／または負の所定の閾値に応答する。

いくつかの実施形態では、本システム（２００）は、複数の整合フィルタ処理した元の基準ＤＭを累積することにより基準ＤＭを生成し、かつ／または複数の整合フィルタ処理した元の新規ＤＭを累積することにより新規ＤＭを生成するように構成された、メモリ内に格納された、累積モジュール（２３６）をさらに備え、整合フィルタ処理は、それらのインパルス応答の各々に対応する。いくつかの実施形態によれば、累積することは、結合すること、相互に加算すること、および重ね合わせること：から成る群から選択された少なくとも１つをさらに含む。

いくつかの実施形態では、本システム（２００）は、ＤＭ（２１５、２１５Ｒ、２１５Ｎ）、それらのＯＩ、それらの正規化ＯＩおよび／またはそれらのＤＳの少なくともいずれかを表示するために構成された、ディスプレイ装置（２９０）をさらに備える。

いくつかの実施形態によれば、本発明は、少なくとも１つのプロセッサおよび少なくとも１つのメモリ要素を使用して、少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を処理するための新規の処理方法をさらに提供し、本方法は、
第２のＤＭのインパルス応答に対して、第１のＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した第１のＤＭを生成すること、
第１のＤＭのインパルス応答に対して、第２のＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した第２のＤＭを生成すること、
フィルタ処理した第２のＤＭをフィルタ処理した第１のＤＭから、またはその逆に、減算することによりＭ次元の第３のＤＭを生成すること、および
第３のＤＭ内の物理的特性の空間または時間周波数を正規化することにより、Ｍ次元の正規化ＤＭを生成することであって、周波数の各々は、それ自身の雑音の標準偏差（ＳＴＤ）によって正規化される、Ｍ次元の正規化ＤＭを生成すること、を含み、
それにより、正規化ＤＭの解成分が、等分散の物理的特性雑音を有し、さらに、物理的特性雑音は、解成分間で無相関である。

いくつかの実施形態では、処理方法は、Ｍ次元のデータスコア（ＤＳ）を生成することをさらに含み、スコアの各々は特定のＭ次元位置における物体の存在に対するプローブであり、ＤＳは、正規化ＤＭの各周波数を、周波数の雑音分散で割ったその共役周波数応答によって乗じることによって生成され、それによりＤＳの各周波数が、その雑音分散に等しい周波数応答を有する。

いくつかの実施形態では、ＤＭの全部が同じ測定分野である。いくつかの実施形態によれば、ＤＭの各々は、単一のタイムスタンプで取得される。

いくつかの実施形態では、Ｍは正の整数である。

いくつかの実施形態では、物理的特性はフラックスであり、ＤＭは画像であり、解成分は画素である。

いくつかの実施形態では、物理的特性は電圧であり、ＤＭは無線信号である。

いくつかの実施形態では、物理的特性は不透明度であり、ＤＭは断層撮影測定である。

以下の第３〜第１３節では、本発明の詳細な実施形態および例を開示し、それらは主に、画像処理、とりわけ、天体画像の処理に関連し、例えば、限定されない例として、天文学的な検出および／または宇宙ごみもしくは地球近傍小惑星の追跡などがある。しかし、本発明は、様々なデータ処理用途に適用され得、以下を含むがそれらに限定されない。

断層撮影撮像、任意の種類の透過波の使用を通じて、セクションまたはセクショニングによる撮像を指す。従って、提供する方法の応用は、放射線医学、考古学、生物学、大気科学、地球物理学、海洋学、プラズマ物理学、材質科学、天体物理学、量子情報、および他の科学で使用され得る。ほとんどの場合、断層撮影再構成と呼ばれる数学的手続きに基づく。

医学的応用には、限定されない例として、新しい腫瘍の発見、および／またはそれらの進行の追跡のような、医学的所見のための探索およびこれらの医学的所見の変化における経過観察を含み得る。

新規に提供する方法に対する他の応用には、ジオ撮像（Ｇｅｏ−Ｉｍａｇｉｎｇ）、地球撮像、およびリモートセンシングも含み、例えば、航空機もしくは衛星のいずれかからの地球表面撮像；様々な検出装置を使用した気候、海洋もしくは地上測定；または海洋を他の水域と区別する空間特性−その塩濃度もしくは塩分濃度、からの測定を含むがそれらに限定されない。

他の応用には、データが：マイクロホン、ジオホン（ｇｅｏｐｈｏｎｅ）、ハイドロホン（ｈｙｄｒｏｐｈｏｎｅ）など：から受信できる、非白色雑音を被る、時系列の分析を含み得る。

３．統計的導出

以前の画像減算法に関連する多数の問題を所与として、トランジェント検出問題を、ここで確固とした統計的な根拠に基づいて取り上げる。第３．１節で、画像減算統計量の導出を概説して、定式化する。完全導出は冗長であると仮定して、第９節とは別に詳述する（画像減算統計量の完全導出）。第３．２節では、画像減算を目的として、基準画像を構築するための最良の方法は、［Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ，２０１５ａ，ａｒＸｉｖ：１５１２．０６８７２およびＺａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ，２０１５ｂ，ａｒＸｉｖ：１５１２．０６８７９］の画像相互加算アルゴリズムを使用することであることを示す。第３．１節の導出では、画像は、背景雑音優位である（すなわち、物体は光源雑音を有し得、それは、背景雑音よりも低い）と仮定する。これは、強い光源の近くの雑音の過小評価を引き起こす。第３．３節では、光源雑音および、レジストレーション雑音（ｒｅｇｉｓｔｒａｔｉｏｎ ｎｏｉｓｅ）などの、他の誤差に対処する、画像減算式に対する単純な補正を提示する。第３．４節では、天体観測シフト、雑音および色屈折誤差の正確な取扱いを提示する。第３．５節では、新規および基準画像のフラックスゼロ点を等しくするための推奨方法を概説する。第３．６節では、減算画像における最適なＰＳＦ測光のためのアルゴリズムを提供し、第３．７節では、宇宙線、「不良」画素および反射ゴースト識別に対するこの方法の使用方法を記述する。

３．１．画像減算を使用したトランジェント源検出

画像は背景雑音優位であり、雑音はガウス分布で独立している（実際には、ＣＣＤにおける電荷斥力および電荷拡散に起因して画素はわずかに相互に関連し得る）と仮定して、第１の原理から、トランジェント源検出のための最適方法が導出される。

ＲおよびＮを、それぞれ、背景を減算した基準画像および背景を減算した新規画像とする。Ｔで示すのは、背景を減算した真の不変の空の画像である。Ｐ_ｒおよびＰ_ｎで示すのは、それぞれ、基準画像および新規画像の点像分布関数（ＰＳＦ）である。Ｐ_ｒおよびＰ_ｎは、単位合計（ｕｎｉｔ ｓｕｍ）を有するように正規化される。Ｐ_ｎ、Ｐ_ｒ、ならびに新規画像（Ｆ_ｎ）および基準画像（Ｆ_ｒ）のフラックスベースのゼロ点は既知であると仮定し：Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ（２０１５ａ、２０１５ｂ）に従い、この係数は、大気透明度、望遠鏡および検出器伝送ならびに積分時間の積を表す。Ｆ_ｎおよびＦ_ｒを見つけるための方法は、第３．５節で提示し、ＰＳＦ測定値は第７．２節で開示する。

基準画像に対する式は：

式中、ε_ｒは、画像Ｒの相加性雑音成分である。

新規画像内に新しい光源はないと明言する帰無仮説、Ｈ_０を考えると、それは：

と書くことができる。

新規画像において位置ｑにフラックスαの新規点光源があると明言する対立仮説、Ｈ_１（ｑ，α）を考えると、それは

と書くことができ、式中、δ（ｑ）は、位置ｑで１、およびそれ以外はゼロの２次元画像を示す。優位の雑音源は、背景雑音であり、ε_ｒおよびε_ｎの両方は、画素の全対は無相関であること−すなわち、ｘ_１≠ｘ_２である画素ｘ_１、ｘ_２の全対は：

ならびに、全画素は空間的に一様な分散を有することを満たすと仮定し；折り畳みは局所演算であるので、この仮定は、緩和できる（Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ ２０１５ａ）：

両方の仮説は単純である（単純仮説には未知のパラメータがない；仮説検定をαおよびｑの各値に別々に適用することにより；第９節で追加の説明）ので、２つの単純仮説のどちらかを選ぶための最も強力な統計量は尤度比検定（バイナリ仮説検定の力は、対立仮説が真である場合に、検定が帰無仮説を正しく拒絶する確率である）であると明言する、ネイマン・ピアソンの補助定理［Ｎｅｙｍａｎ ＆ Ｐｅａｒｓｏｎ １９３３ Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｉｃａｌ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｒｏｙａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ｌｏｎｄｏｎ Ａ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ，Ｐｈｙｓｉｃａｌ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ］が使用できる：

式中、Ｐは確率を示す。

重要な点は、Ｔに関して事前情報または仮定がない。従って、確率Ｐ（Ｎ，Ｒ｜Ｈ_０）およびＰ（Ｎ，Ｒ｜Ｈ_１（ｑ，α））は、直接計算できない。しかし、それらの比率は、条件付き確率の法則を使用して、式を導出することにより計算できる：

次に、Ｈ_０およびＨ_１は、基準に対して同じ尤度を予測するという事実が使用でき、分子および分母で最後の乗法項が相殺できる。第９節で詳述する、何らかの代数の後、光源検出のための最適な統計量を見つけることができる：

式中、「オーバーライン」記号は、複素共役演算を示す。「ハット」記号の上に「オーバーライン」記号を置くことによって、フーリエ変換演算の後の複素共役演算を指す。この統計量（またはスコア画像）は、単に２つの仮説間の対数尤度比検定である。このスコアは、αの全ての値に対して同時に計算されるが、スコア画像内の各画素は異なるｑ位置を指す。式１２は、整合フィルタ画像であり、さらなるフィルタ処理は必要としないことに留意することは重要である。トランジェントを見つけるために行うべきことは、Ｓにおいて極大（極小）を識別することだけである。シグマの単位での極大値の有意性は、画像Ｓの標準偏差で割ったその値によって与えられる。

式１２は、整合フィルタ画像であるので、その画素は相互に関連し、トランジェント検出および測光（第３．６節）以外の、任意の仮説検定または測定は、画素間の共分散の知識を必要とする。かかる仮説検定の例は、画像減算による宇宙線の識別、または変光星雲（ｖａｒｉａｂｌｅ ｎｅｂｕｌｏｓｉｔｙ）（例えば、光エコー）の探索である。全ての目的に対して画像減算法を最適で使い易くするために、その画素雑音が無相関の画像が識別されるはずであり、この画像とそれ自身のＰＳＦの相互相関は式１２を返す。第９節で、かかる画像は：

として識別される。

単位合計を持つように正規化された、この画像のＰＳＦは：

によって与えられ、式中、Ｆ_Ｄは、減算画像のフラックスベースのゼロ点であり、それは、

によって与えられる。

この差分画像ＤおよびそのＰＳＦを使用することにより、ＤのＰ_Ｄとの相互相関が：

を返すことが検証でき、式中、逆方向矢印記号は、反転座標、すなわち、

を示す。代替として、フーリエ空間では：

背景優位の騒音制限では、Ｄは適正画像であり、従って、本明細書では「適正減算画像」と呼ぶことに留意することは重要である。Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ（２０１５ｂ）では適正画像は、その雑音が独立していて、一様に分布している（ｉ．ｉ．ｄ）画像であると定義される（畳み込みは局所演算なので、実際には、雑音レベルは、ＰＳＦサイズの２倍のスケールで、局所的にのみ同一の必要があり；明るい星の近くではＤは適正でない）。これは、Ｄは、画素間の共分散を必要とすることなく、任意の仮説検定または測定に対して使用できることを意味する。さらに、第１３節では、ＤおよびＰ_Ｄは、実際には、任意の仮説検定または測定に対して十分統計量である（統計上、同じサンプルから計算できる他のどの統計量もパラメータの値に関して追加情報を提供しない場合、統計量は、統計モデルおよびその関連した未知のパラメータに関して十分である）。

式１３およびそのＰＳＦ（式１４）は、その元の形状が、望遠鏡および大気ＰＳＦで畳み込まれた物体の検出のために十分である。しかし、粒子ヒット事象は、このＰＳＦを共有しない。第１３節では、ＰＳＦは、ＮまたはＲにおいてδ関数の差分画像Ｄで導出される。Ｎにおけるδ関数の差分画像ＤでのＰＳＦは：

他方、Ｒにおけるδ関数の差分画像ＤでのＰＳＦは：

これらのＰＳＦも、第１３節で見ることができる、対応するゼロ点、

を伴う。デルタ関数（例えば、「不良」画素）と似ている事象を探したい場合、これらの式は有用である。

および

は、多くの場合、デルタ関数によって概算できることに留意すべきである。要約すると、基準または新規画像のいずれかでトランジェント源を見つけるために、Ｄ（式１３）が計算でき、そのＰＳＦ（式１４）と相互相関できる。代替として、統計量Ｓ（式１２）を直接計算できる。

３．２．基準画像の構築

典型的には、基準画像は複数の画像を相互に加算することによって構築される。以下で、減算のために基準画像を生成する最良の方法は、Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ（２０１５ｂ）に記載された方法を使用することを示す。

複数の基準画像の場合、式５は、ｊ番目の基準画像に対するモデルで置き換えるべきである：

ここで、Ｆ_ｊは、ｊ番目の基準画像のフラックスベースのゼロ点であり、Ｐ_ｊは、ｊ番目の基準画像のＰＳＦであり、ε_ｊは、ｊ番目の基準画像の雑音である。前述と同様、帰無仮説、Ｈ_０を仮定すると、Ｎに対するモデルは、式６によって与えられ、他方、第１の仮説、Ｈ_１が真である場合、Ｎは、式７によって与えられる。

前節におけるように、２つの単純仮説が検定される。従って、最適な検定統計量は、尤度比検定である［Ｎｅｙｍａｎ ＆ Ｐｅａｒｓｏｎ］

前述と同様、条件付き確率の法則、ならびにＨ_０およびＨ_１は、全ての基準に対して同じ尤度を予測するという事実を使用することができる。完全導出は第１０節で提示され、何らかの代数の後、最適な基準画像が：

によって与えられる。基準画像のＰＳＦ（単位合計を持つように正規化された）は：

によって与えられ、式中、Ｆ_ｒは、基準のフラックスベースのゼロ点である：

これは、Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ（２０１５ｂ）で導出された、最適な相互加算方法と似ている。

Ｒが、個々の基準からの全ての情報を取っておく理由は、Ｒにおける各周波数の計算で、ランダム変数が加算されて、それらの（共役）期待値によってスケーリングされ、分散で割られるからである。この演算は、ランダム変数の最大Ｓ／Ｎ加算として識別できる（Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ、２０１５ａのＡｐｐｅｎｄｉｘ Ａにおけるように；およびＺａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ ２０１５ｂは、このいわゆる「適正相互加算」法の十分性の分析および証拠を示す）。

３．３．光源雑音、天文測定雑音および色屈折雑音に対する単純な準最適補正

式１２は、光源雑音を無視し、従って、雑音レベルが明るい星の近くで過小評価される。この結果は、強い光源は可能性のあるトランジェントまたは変光星としてフラグを立てられ得ることであり得る。さらに、この式は、天文測定雑音、天文測定シンチレーション雑音、色屈折雑音、フラックスシンチレーション雑音のような、追加の重要な雑音源、および位置依存性フラットフィールド誤差を無視する。

この問題に対する単純な補正は、準最適ではあるが、Ｓを、追加雑音の局所的な推定分散を考慮に入れる補正係数で割ることである。この補正係数の導出は、第１１節で示す。この画像空間では、補正されたＳに対する式は

ここで、分母内の項には、

および

係数に含まれていない、分散に対する任意の位置依存性寄与を含み得る。

この例では、２つの特定の寄与が、光源雑音および天文測定雑音からリストされる。分母内の最初の２つの項は、それぞれ、新規および基準画像内の光源雑音からの分散であり、他方、次の２つの項は、天文測定雑音に起因した分散である。色屈折のような他の雑音源は、同様の方法で追加できる。

ここで、Ｖ（Ｓ_Ｎ）は、Ｎを含むＳの部分の分散で：

によって与えられ、Ｖ（Ｓ_Ｒ）は、Ｒを含むＳの部分の分散で：

によって与えられ、ｋ_ｒのフーリエ変換は：

によって与えられ、他方、ｋ_ｎのフーリエ変換は：

によって与えられる。

ε_ｎおよびε_ｒの分散は、単に分散画像である。単一の画像に対して、分散マップＶ（ε_ｎ）は、読み出し雑音の二乗を加算した、単に各画素（背景を含む）内の電子数である。しかし、複数画像の場合には、Ｖ（Ｓ_Ｒ）を構築するための正しい方法は、各基準画像に対して、ｋ_ｒ、Ｖ（ε_ｒ）、およびＶ（Ｓ_Ｒ）を計算し、個々のＶ（Ｓ_Ｒ）値全部を合計することである（第１０節におけるように）。しかし、多くの場合、妥当な近似は、適正に相互に加算された画像からｋ_ｒを計算して、基準がそれから構築された全ての画像（すなわち、背景を含む各画素内の電子数）の単純な加算（電子の単位）を、総読み出し雑音の２乗を加算して使用して、Ｖ（ε_ｒ）を計算することである。

次に、天文測定分散項が：

によって与えられ、式中、σ_ｘおよびσ_ｙは、それぞれ、ｘおよびｙ軸における天文測定レジストレーション雑音であり、他方、

および

は、それぞれ、ｘおよびｙ方向におけるＳ_Ｎの勾配である。ここでＳ_Ｎのフーリエ変換は：

によって与えられる。

同様の方法で：

ここで、Ｓ_Ｒのフーリエ変換は：

によって与えられる。これらの項の起源は、天文測定雑音が個々のＰＳＦにおいてシフトすることを引き起こす。これらのシフトによって誘発された雑音は、隣接した画素間の差（すなわち、勾配）に比例する。

実際には、天文測定レジストレーション雑音は、レジストレーション適合プロセスの二乗平均平方根（ＲＭＳ）である。この項は、レジストレーション誤差および天文測定シンチレーション雑音の両方を含む。いくつかの場合、レジストレーションの品質は、位置依存性である。この場合、スカラーσ_ｘおよびσ_ｙを位置依存性雑音の行列で置き換えることが可能である。第３．４節で、天文測定雑音成分のもっと正確な取扱いを提供する。

３．４．天文測定雑音およびフラックス変動の正確な取扱い

天文測定誤差およびシフトは、画像減算に関する主要な問題である。例えば、１０^４の電子および２画素の半値全幅（ＦＷＨＭ）をもつ強い光源に対して、ポアソン雑音によって誘発される天文測定誤差は、約数十ミリ画素（ｍｉｌｌｉ−ｐｉｘｅｌ）であり得る。これは、地球の擾乱大気によって誘発される典型的な天文測定シンチレーション雑音に相当する（第７．５節におけるような）。従って、高品質レジストレーションの場合でさえ、全ての明るい星は、天文測定シンチレーション雑音に起因した、減算残差を有し得ることが予期できる。

幸いにも、示した方法の閉形式および数値安定性に起因して、減算残差の形状は、星が基準画像に出現する時と新規画像に出現する時との間での天文測定シフトおよびフラックス差を所与として、完全に予測可能である。従って、それは、各星に対する天文測定シフトおよびフラックス変動を測定するために使用できる。

十分にサンプリングされた画像に対して（十分にサンプリングされた画像により、ＰＳＦ幅が少なくとも２つの画素によってサンプリングされ；これは、カメラによるＰＳＦのナイキストサンプリングと呼ぶことができる）、この提案されたメカニズムは正確であり、非常に密集した場において天文測定シフトおよび変動を測定できるようにする。ここで詳細を概略で提供する。動きおよび輝度変化検出カーネルは：

ここでα_ｎは、Ｎにおける光源のフラックスであり、α_ｒは、Ｒにおけるそのフラックスであり、

は、フーリエ空間におけるシフト演算子（部分画素シフトを含む）である。この演算子は、シフトΔｘおよびΔｙの関数である。式３４を使用すると、Ｓで検出された残差を、第３．３節におけるよりもさらに注意深く取り扱うことができる。具体的には、ここで仮説検定を実行して、例えば、Ｈ_０：変化は、安定していて変化しない光源と一致する；またはＨ_１：星が動いたか、またはそのフラックスが変化した、のどちらかに決めることができる。この方式は、Ｓにおいて著しいピークが識別される（例えば、上述の３σ）、Ｄの任意の部分に適用できる。誤検出を排除するためにこれを使用することは別として、ここでこれを使用して、新しい種類の信号を検出および測定することができる。例えば、背景において複雑で時間一定の構造の存在下でさえ、動いている物体を盲目的に探索するためにそれを使用できる。

３．５．局所的ゼロ点、背景フラックスおよび天文測定シフトの整合

本ソリューションでは、今までのところ、フラックスベースのゼロ点（Ｆ_ｎおよびＦ_ｒ）、背景レベル（Ｂ_ｎおよびＢ_ｒ）、および相対天文測定シフト（ΔｘおよびΔｙ）は既知であると仮定した。式１３の入念な分析で、実際には、それは、フラックスゼロ点比：

背景差、

および平行移動（Δｘ，Δｙ）だけに対処することが示される。

式３５および式３６をＤ（式１３）に代入して、シフト演算子を導入することにより、β、γ、Δｘ、およびΔｙを見つけるために最小限にする必要のある所望の式を得ることができる。これは、局所的に（画像の小さな部分で）、または大域的に、のいずれかで行うことができる。簡潔にするため、また第３．４節におけるように、ここでは平行移動を無視し、以下で、これをどのように組み込むことができるかを示す。

βおよびγを見つけるために、

の２つの部分を比較すべきである：

および

Ｆ_ｎおよびＦ_ｒは、βと置き換えられることに留意されたい。必要なのは、フーリエ変換

および

を逆にして、βおよびγ´（および任意選択でΔｘおよびΔｙ）について次の非線形方程式を解くことである：

式中

本ソリューションは、画像領域で実行すべきであることに留意されたい。小さい平行移動を解決するために、

およびγ´をシフト演算子で乗じる。画像が減算された背景であり、正しく位置合わせされたと確信する場合、γ＝０、Δｘ＝０、Δｙ＝０が設定でき、βの値だけを求めるために同じ式を使用できる。

式３９は、βにおいて非線形である。従って、繰返し解法が必要とされる。例えば、第１の繰返しでβ＝１を設定して、βの新しい値を求め、それを次の繰返しで使用して、収束まで、βの新しい値を探す（通常、βは２〜３の繰返しで収束することが分かった）。さらに、式３９を解くために、ロバスト適合法（ｒｏｂｕｓｔ ｆｉｔｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ）を使用する必要があることに注意することが重要である。理由は、画像内に不良画素、粒子ヒット、天文測定雑音、および飽和画素があり得るからである。βの適合前に、画像のエッジ画素を除去することも推奨される。

３．６．差分画像におけるＰＳＦ測光

この節では、差分画像において光源のＰＳＦ測光を測定するための統計量を示す（ＰＳＦ測光は光源をＰＳＦと効率的に適合することを指す）。この測定統計量は、バイアスがかけられておらず、全ての推定量の中で最大Ｓ／Ｎを有しており、それは、入力画像の線形結合である。加えて、この測定統計量は、点光源トランジェントのフラックスに対する最大尤度推定値でもある。しかし、この統計量は、背景優位の騒音制限に対してのみ最適である。この統計量の完全導出は、第１２節で示す。

位置ｑにおける光源のＰＳＦ測光に対する最良線形推定量は：

ここで、Ｆ_Ｓは、Ｓのフラックス正規化である：

式中、ｆは空間周波数を示す。

この推定量の標準偏差は：

式中、Ｖ（Ｓ_Ｎ）およびＶ（Ｓ_Ｒ）は、式２６〜式２７で定義される。式４１は、画像内の全てのトランジェントのＰＳＦフラックスを同時に測定するために使用できることに留意されたい。

３．７．宇宙線、「不良」画素およびゴースト指標

画像減算統計量Ｄは、宇宙線および「不良」画素を識別するために使用できる。適正画像減算を使用することの、他の画像差分技法に対する主要な優位性は、その画素雑音が無相関なことであり、通常、それは、光源の形状を大雑把に維持し、それは、δ関数に似ている。これは、ほとんどの場合、修正なしで、エッジ検出アルゴリズム（例えば、ｖａｎ−Ｄｏｋｋｕｍ ２００１，ＰＡＳＰ，１１３，１４２０）をＤに直接、適用することにより、粒子ヒットを識別できることを意味する。

代替アプローチは、粒子ヒットおよび「不良」画素の形状に対してラフモデル（ｒｏｕｇｈ ｍｏｄｅｌ）を使用すること、ならびに複合仮説検定を実行することである。位置ｑにおける物体がフラックスαをもつ点光源トランジェント（Ｈ_ＰＳ仮説）である場合、Ｄの観測する対数尤度は：

によって与えられるが、他方、位置ｑにおける物体が、フラックスαおよびＮにおける形状Ｐ_ｃｒをもつ宇宙線（Ｈ_ｃｒ仮説）である場合、Ｄの対数尤度は：

ここでｘは、対象の光源を含む画素の部分集合（例えば、光源の周囲のＰＳＦの２倍の幅をもつ領域）である。式４４と式４５との間の差（ある振幅でトランジェントを見る確率およびこのフラックスを持つ宇宙線を見る確率などの、適切な事前確率を使用）は、検出されたトランジェントが宇宙線か、または天体トランジェントかを決定するために（適切な閾値を設定した後に）示すことができる統計量である。この場合、光源のフラックス、および宇宙線の強度および形状はモデルの自由パラメータである。従って、これは、複合仮説検定の典型的な例である。

同じアプローチは、内部反射ゴーストを識別するために使用できる。この場合、形状Ｐ_ｃｒは、反射ゴーストの形状で置き換えられる。例えば、恒星のＰＳＦよりも広い、拡張カーネル（例えば、最上層フィルタ（ｔｏｐ ｈａｔ ｆｉｌｔｅｒ））。

４．新規画像減算法の特性

ここで、減算問題に対する最適なソリューションで、直観的理解を求めて、特性を分析して、他の方法と比較する。

４．１．最適性

画像減算およびトランジェント検出式が、Ｎｅｙｍａｎ ＆ Ｐｅａｒｓｏｎの補助定理を使用して導出された。これは、仮定が正しい場合はいつでも、方法が最適であることを確実にする。仮定：画像は登録されていて、相関関係のないガウス分布背景雑音が優位であり、ＰＳＦ、背景、分散およびフラックスベースのゼロ点は既知である。

４．２．時間一定画像Ｔのキャンセル

完全に登録された画像に対して、最適な適正差分画像（Ｄ）およびトランジェント検出画像（Ｓ）の両方では、時間一定画像からの減算残差が行われない。これは、時間一定画像Ｔが代数的にゼロになるためである。

これは、Ａｌａｒｄ ＆ ＬｕｐｔｏｎおよびＢｒａｍｉｃｈ ２００８によって提案された減算法における事例ではない。これらの方法では、画像雑音を拡大することと、Ｔの時間一定残差を最小限にすることとの間でのトレードオフのための最適条件が調査された。

４．３．数値安定性

式１２、式１３および式１４を検査することにより、分母がゼロに近づく場合、分子はさらに急速にゼロに近づくことは明らかである。従って、画像減算法は、新規および基準画像に関するＰＳＦの全ての組合せに対して数値的に安定している。

Ａｌａｒｄ ＆ ＬｕｐｔｏｎおよびＢｒａｍｉｃｈ ２００８の方法は、逆畳み込みを有効に実行するので、一般的な事例では、数値的に不安定であることに留意すべきである。確かに、基準画像のＰＳＦが、全ての軸において、新規画像のＰＳＦよりも狭い場合、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ方法群は安定している。

しかし、この場合でさえ、これらの方法で見つかったソリューションは準最適（すなわち、トランジェントのＳ／Ｎを最大限にしない）である。さらに、式１２、式１３および式１４は、たとえ使用したＰＳＦがそれらの真値に比較して大きな誤差（位数の単位でさえ）を有するとしても、数値的に安定している。従って、フーリエ面における分割のためにＰＳＦの測定において特別な精度は要求されない。第６節でさらに示す。

４．４．局所性

ＳおよびＤを計算する場合、実行される演算は、小さいカーネルでのＲおよびＮの畳み込みだけである。従って、ＳおよびＤは全ての小さい画像パッチに対して独立して（ＰＳＦサイズの数倍まで）計算できる。これは、減算に対して使用されるＰＳＦが、画像全体で滑らかに変化できるようにする。加えて、「不良」画素、粒子ヒットまたは飽和星などの局所アーチファクトは、それらの近接のみに影響し得る。

４．５．適正画像減算Ｄは白色雑音を有する

に対する式（式１３）では、背景雑音優位制限において、分子の分散は、分母の二乗に等しく、すなわち：

それは、

の空間周波数の全ては、同じ分散を有することを意味する。さらに、画像は白色雑音を有すると推測されるので、それらのフーリエ変換は白色雑音である。これは、

の空間周波数は、

の線形結合として、無相関の雑音を有することを意味する。合わせて、両方の特定は、

は白色雑音を有することを意味し、それは、Ｄも白色雑音を有することを意味する。言い換えれば、Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ ２０１５ｂにおけるように、差分画像は適正画像である。この特性は、画像減算のための他の全ての方法によって侵害される。

明るい星の近くでは、光源雑音分散が優位で、適正減算画像Ｄは、相関雑音を示すことに留意すべきである。シミュレーションでは、光源分散が、背景分散よりも少なくとも１桁高い場合、相関雑音は、かかる光源の近くで目で検出可能であることが示唆される。しかし、前述したとおり、この方法を使用すると、光源雑音は分散補正で制御可能である。

４．６．ＤおよびＰ_Ｄは画像間の差に関する任意の測定または決定のために十分である

第１３節では、ＤおよびＰ_Ｄは、画像間の差に関する任意の測定または仮説検定のために十分統計量を構成することを証明する。この証明に対する重要な要因は、画像間の差に対する任意の生成モデルのための任意の尤度計算は、これらの量だけを使用することにより計算できること、およびフィッシャー・ネイマンの分解定理［Ｆｉｓｈｅｒ １９２２"Ｏｎ ｔｈｅ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ Ｆｉｓｈｅｒ Ｐｈｉｌ．Ｔｒａｎｓ．Ｒ．Ｓｏｃ．Ｌｏｎｄ．Ａ １９２２，２２２，３０９−３６８，ＤＯＩ：１０．１０９８／ｒｓｔａ．１９２２．０００９．Ｐｕｂ．１ Ｊａｎ．；Ｎｅｙｍａｎ，Ｊ．（１９３５）"Ｓｕｒ ｕｎ ｔｅｏｒｅｍａ ｃｏｎｃｅｒｎｅｎｔｅ ｌｅ ｃｏｓｉｄｅｔｔｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｈｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｉ"．Ｇｉｏｒｎ．Ｉｓｔ．Ｉｔａｌ．Ａｔｔ．，６：３２０−３３４．］の使用である。画像減算問題に関して無数の十分統計量があることに留意されたい。ここで、適正減算画像Ｄは、その有用な特定に起因して、（例えば、Ｓよりも）望ましい。

十分性特性は、重要な実際の結果を有する。それは、背景雑音優位制限において、ＤおよびＰ_Ｄは、画像間の差に関連した任意のさらなる測定または仮説検定のために必要な全ての情報を含むことを意味する。他の応用のための他のタイプの差分画像は必要ない。実際の適用の例には、検出器上での粒子ヒットの識別および除去（第３．７節）；適正運動、天文測定シフト（第３．４節）および小惑星索（ａｓｔｅｒｏｉｄ ｓｔｒｅａｋ）の最適な探索を含む。

４．７．新規画像と基準画像との間の対称性

画像減算の問題は、基準画像と新規画像の交換に対して対称である（トランジェントのフラックスの否定まで）。従って、最適な画像減算統計量（ＤまたはＳ）は、ＲとＮの交換に対して対称である（マイナス記号まで）。この特性は、Ｐｈｉｌｌｉｐｓ ＆ Ｄａｖｉｓ、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ、およびＢｒａｍｉｃｈ ２００８によって提案されたソリューションによって侵害される。

４．８．無雑音基準画像の制限

σ_ｒ→０の制限において、式１２は：

となる。項

は、Ｐｈｉｌｌｉｐｓ ＆ Ｄａｖｉｓ、Ａｌａｒｄ ＆ ＬｕｐｔｏｎおよびＢｒａｍｉｃｈ ２００８の方法によって解かれる畳み込みカーネルとして識別できる。従って、この制限において、ＳはＡｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ方法群に収束し、その後に、画像の各々を新規画像のＰＳＦでフィルタ処理することが続く。

この単純な分析により、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ方法群は、その後に正しい整合フィルタ処理が続く場合、現在のソリューションＳの特例であることが示される。その上、式４８は、σ_ｒ→０の制限において、正しい整合フィルタ（だけ）に対する規定を提供する。

基準画像Ｒにおける雑音を正確に計算することの重要性を強調するために、いくつかの数字が式に代入される。非常の良好な基準画像に対して、σ_ｒ〜０．１σ_ｎ（約１００の画像の相互加算から成る基準画像を表す）。

比

は、

よりもはるかに大きくなり得るので（例えば、Ｐ_ｎがＰ_ｒよりも高空間周波数において狭い場合、この比は容易に１０^６に達し得る）、σ_ｒは、無視できるほど十分に小さいことは決してない。これは、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎソリューション群は、

の場合に限り、正しい統計量に定性的に近いことを意味する。それ以外の場合は、これらのソリューションは、逆畳み込みアーチファクトを生じ得るか、または時間一定画像Ｔをキャンセルすることができないかのいずれかである。

４．９．差分画像のＰＳＦ

適正減算画像のＰＳＦ、Ｐ_Ｄは、Ｐ_ｎとＰ_ｒの結合である。図３Ａ〜図３Ｉは、対称ガウス分布（図３Ａ〜図３Ｃ）、非対称ガウス分布（図３Ｄ〜図３Ｆ）、およびスペックル（図３Ｇ〜図３Ｉ）画像の３つの事例に対するＰ_ｎ、Ｐ_ｒおよび対応するＰ_Ｄを示す。３つの事例に対して、Ｐ_ｎ（左欄）、Ｐ_ｒ（中欄）、および対応するＰ_Ｄ（右欄）。第１行（図３Ａ〜図３Ｃ）は、それぞれ、新規および基準に対して、２および３ｐｉｘのシグマ幅をもつ対称ガウス分布ＰＳＦの事例に対するものである。第２行（図３Ｄ〜図３Ｆ）は、それぞれ、新規および基準に対して、２×４ｐｉｘおよび４×２ｐｉｘのシグマ幅をもつ非対称ガウス分布ＰＳＦの事例に対するものである。第３行（図３Ｇ〜図３Ｉ）では、Ｐ_ｎおよびＰ_ｒは、シミュレートしたスペックル画像である（［Ｏｆｅｋ ２０１４ Ａｓｔｒｏｐｈｙｓｉｃｓ Ｓｏｕｒｃｅ Ｃｏｄｅ Ｌｉｂｒａｒｙ、ａｓｃｌ：１４０７．００５］におけるようなツールを使用）。スペックルシミュレーションでは、Ｄ_ｔｅｌ／ｒ_０＝２０に設定され、Ｄ_ｔｅｌは望遠鏡の直径で、ｒ_０はフリード長である。

４．１０．ＰＳＦの知識

提供する方法のいくつかによれば、画像のＰＳＦは既知のはずであり、他方、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ方法群では、ＰＳＦを測定することなく畳み込みカーネル

の値を求める。

（わずかに変更された）Ｄに対する式を

を用いて書いて、ＰＳＦの相対知識を組み込むことができるようにする。

この場合、Ｄ_{ｒａｔｉｏ}は次のＰＳＦを有する：

ＤおよびＰ_Ｄのこれらのわずかに変更された定義を検査すると、依然として

が得られ、従って、元の定義（式１３）と等価である。トランジェント検出を実行するために、

の推定は依然として必要であり（従って、事実上Ｐ_ｎおよびＰ_ｒのそれ）、

を推定する際に必要な精度は、ＰＳＦ比の推定において必要な精度ほど厳しくないことに留意することは重要である。実際には、

の２次元ガウス分布としての一般形式のおおまかな推定でさえ、ごくわずかな感度損失となり得るにすぎない。従って、個々のＰＳＦは画像から推定できないが、それらの比が推定できる場合（例えば、拡張されただけか、または視野内に複雑な光源が存在する場合）、画像を最適に減算して、トランジェントを最大感度で検出することは依然として可能である。従って、ＰＳＦの知識に対する現在の要件は、回避できるので、欠点と見なされるべきでない。

を解くうえでの問題は、天文測定シンチレーション雑音が、新規および基準画像内で光源の相対位置をシャッフルして、

に対する解を広くするようにバイアスし、従って低精度になることである。この影響は、Ｔのキャンセル品質を低下させ得、従って、Ｔと検出可能なトランジェントとの間で達成可能な対比を低減し得る。天文測定雑音は局所的にコヒーレントであるので、この影響は、Ｐ_ｒおよびＰ_ｎを別々に推定する際に回避されて、第３．４節に示すアプローチを可能にする。

４．１１．レジストレーションおよび色屈折誤差

画像減算は、差分プロセスの前に行われる多くのステップを頼りにする。前処理ステップによって取り込まれた雑音は、最終的な減算画像に伝搬され得る。かかる問題の例には：レジストレーション誤差、色屈折定誤差、および小規模フラットフィールド誤差を含む。

ここで、かかる雑音に対する２つのタイプの取扱い／ソリューションを提供する：
（１）これらの追加の雑音源をＳの分散画像に導入し、それを使用してＳ_ｃｏｒｒを計算する（例えば、第６．１節）ことは簡単である。この補正は準最適であるが、誤差を前処理することは弾力的（ｒｅｓｉｌｉｅｎｔ）である。
（２）問題の正確な取扱いは、差分画像Ｄにおいて検出された各アーチファクトに対して、任意の天文測定シフトおよびフラックス変更を適合することである（第３．４節）。たとえこれが計算コストが高くても、この種のソリューションは天文学では良く見られる（例えば、ＤＡＯＰＨＯＴ，Ｓｔｅｔｓｏｎ １９８７ ＰＡＳＰ，９９，１９１；ＤＯＰＨＯＴ，Ｓｃｈｅｃｈｔｅｒ ｅｔ ａｌ．１９９３，ＰＡＳＰ，１０５，１３４２）。

４．１２．自由パラメータ

いくつかの実施形態では、本方法は、ユーザーが設定する必要がある自由パラメータを有していない。Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ、Ｂｒａｍｉｃｈ ２００８、およびＹｕａｎ ＆ Ａｋｅｒｌｏｆの方法は、ユーザーが定義する必要があって、最終結果に影響を与え得る内部自由度を有する。例えば、Ｂｒａｍｉｃｈ ２００８法は、カーネルサイズに影響を受け得、他方、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ法は、畳み込みカーネルを表すために選択する基底関数に依存する（例えば、Ｂｅｃｋｅｒ［Ｂｅｃｋｅｒ，Ｈｏｍｒｉｇｈａｕｓｅｎ，Ｃｏｎｎｏｌｌｙ，ｅｔ ａｌ．２０１２，，４２５，１３４１］およびＢｒａｍｉｃｈ ｅｔ ａｌ．２０１５［Ｂｒａｍｉｃｈ，Ｈｏｒｎｅ，Ａｌｓｕｂａｉ，ｅｔ ａｌ．２０１５，ａｒＸｉｖ：１５１２．０４６５５］）。

４．１３．計算の複雑性

計算の複雑性に関して、減算法のいくつかの実施形態は、画像減算法における大部分の時間を要する演算がＦＦＴ演算（または代替として小さいカーネルでの畳み込み）であるので、高速である。Ａｌａｒｄ ＆ ＬｕｐｔｏｎおよびＢｒａｍｉｃｈ ２００８による逆転アルゴリズムは、本質的に、多数の式および数十〜数百の未知数を使用して、線形最小二乗問題を解いているので、検定により、現在のアルゴリズムは、それらよりも少なくとも１桁速いことが示される。

５．アルゴリズムの要約

いくつかの実施形態では、残差天文測定シフト、不均質な透明度および背景を最小限にするために、小さい画像パッチについて減算を実行することが推奨される。加えて、それは、位置依存性ＰＳＦの使用を可能にする。画像パッチは、畳み込みプロセスのエッジ効果を回避するために、各次元において、少なくとも２つのＰＳＦ長によって、重なり合う。

ここで、提案するアルゴリズムの段階的な概略を示す：

入力引数：
Ｎ−背景を減算した新規画像（Ｒに登録される）。
Ｒ−背景を減算した基準画像。
Ｎ_ｂ−背景を電子単位で含む、新規画像。
Ｒ_ｂ−背景を電子単位で含む、基準画像。
Ｐ_ｎ−単位合計を持つように正規化された新規画像のＰＳＦ。
Ｐ_ｒ−単位合計を持つように正規化された基準画像のＰＳＦ。
σ_ｎ−新規画像の背景のＳＴＤ。
σ_ｒ−基準画像の背景のＳＴＤ。
ｒ_ｎ−新規画像の電子単位での読取り雑音。
ｒ_ｒ−基準画像の電子単位での読取り雑音。
σ_ｘ−Ｘ軸における天文測定レジストレーション解のＲＭＳ（画素単位）、スカラーまたは行列のいずれか。
σ_ｙ−Ｙ軸における天文測定レジストレーション解のＲＭＳ（画素単位）、スカラーまたは行列のいずれか。

出力：
Ｄ−適正差分画像。
Ｐ_Ｄ−適正差分画像のＰＳＦ。
Ｐ_ｃｏｒｒ−光源雑音および天文測定雑音に対して補正された整合フィルタ差分画像。

に出現する場合の、Ｎにおけるデルタ関数のＰＳＦ。

に出現する場合の、Ｒにおけるデルタ関数のＰＳＦ。

アルゴリズム：
１．任意選択として、Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ ２０１５ｂ適正相互加算法を使用して、基準画像（Ｒ；式２２）、そのＰＳＦ（Ｐ_ｒ；式２３）およびフラックス（Ｆ_ｒ；式２４）を構築する。
２．βの最良適合値を求めて、任意選択としてγ、Δｘ、およびΔｙ（式３７および式３８を使用する必要がある）を求めて、式３９を解く；この式はβにおいて非線形であるので、繰返しを使用する；；第１の繰返しでβ＝１を設定し、βの値を更新して、収束まで継続する；ロバスト適合を使用する（ロバスト適合は外れ値に対してあまり影響を受けず；ロバストフィッター（ｒｏｂｕｓｔ ｆｉｔｔｅｒ）の一例はＭＡＴＬＡＢ内のｒｏｂｕｓｔｆｉｔ．ｍ関数である）；代替として、他の方法（例えば、相対測光）を使用してβを見つける。
３．該当する場合、γを計算（式４０）してγをＮから引く。
４．該当する場合、Ｐ_ｎをΔｘおよびΔｙだけシフトする。
５．Ｆ_ｒ＝１およびＦ_ｎ＝βを設定する。
６．

を計算する（式１３）。
７．

を計算する（式１４）。
８．

を計算する。
９．

を計算する（式１８および式１３０）。
１０．

を計算する（式１９および式１３４）。
１１．ｋ_ｒを計算する（式２８）。
１２．ｋ_ｎを計算する（式２９）。
１３．

を設定して、Ｖ（Ｓ_Ｎ）を計算する（式２６）。
１４．

を設定して、Ｖ（Ｓ_Ｒ）を計算する（式２７）；Ｒが複数の画像から成る場合、個々の基準画像の

を合計する方が良い（第１１節および式１０１）。
１５．Ｖ_ａｓｔ（Ｓ_Ｎ）を計算する（式３０および式３１）。
１６．Ｖ_ａｓｔ（Ｓ_Ｒ）を計算する（式３２および式３３）。
１７．Ｓ_ｃｏｒｒを計算する（式２５）；サニティーチェックとして、Ｓ_ｃｏｒｒの（ロバスト）ＳＴＤは≒１のはずである。
１８． Ｓ_ｃｏｒｒにおける極大を探す−ピーク値は、シグマの単位でのトランジェントの有意性に対応する。
１９．ステップ１５および１６の代替として、移動点源に対して、Ｐ_Ｓ（式３４）を使用して、Ｓ_ｃｏｒｒにおいて（天文測定寄与なしで）実質的に有意な光源に対応するＤ内の全ての位置を探して、それらのフラックスおよび天文測定変動を測定し、それらを減算する。
２０．所望の誤警報確率から決定された、何らかの閾値よりも有意に大きい、残っている光源を選択する。
２１．式４１、式４２、および式４３を使用して、トランジェント候補のフラックスを計算する。

本明細書では、全てのフーリエ変換は循環性であり、任意の統計的計算は、画像の境界から十分に離れた（すなわち、典型的にはＰＳＦ幅の数倍）位置に関してのみ考慮されるべきであることに留意されたい。

６．検定１および２

任意の画像差分アルゴリズムの検定においていくつかの重要な課題がある。画像減算は一般に、多くの要因によって影響を受ける。従って、外部問題（例えば、不完全なレジストレーション）と減算自体に関連した問題（例えば、数値安定性）を区別することは望ましい。従って、シミュレーションおよび実データの両方が、画像差分アルゴリズムを検定するために使用される。

新規のアルゴリズムを既存の方法と比べることには価値がある。しかし、他の方法は光源検出に対して整合フィルタを指定しないので、かかる比較には問題がある。さらに、これらの方法のいくつかは基底関数およびカーネルのサイズに依存する。加えて、線形方程式の系（例えば、ＳＶＤ）を解くためのいくつかの方法があり、これらは最終結果に影響を与え得る。従って、ここで、他の方法との比較を制限する。

第６．１節は、シミュレートしたデータに基づいた検定を示し、第６．２節では実画像について説明する。

６．１．シミュレーション

本アルゴリズムの重要な特徴は、その数値安定性である。これを検定する最良の方法は、入力が完全に制御されるので、シミュレーションにおいてである。

３００の電子の背景レベルで、ポアソン雑音のある、５１２×５１２画素サイズの画像をシミュレートした。各画像では、０〜１０^５の電子間の均一な分布から取得したフラックスおよびポアソン雑音を統合した、１００個の星をシミュレートした。加えて、９個のトランジェント源を、表１にリストした位置およびフラックスの新規画像に追加した。シミュレートした画像の第１の組では、画像内の光源のＰＳＦは、それぞれ、基準画像および新規画像に対して、２および３画素のシグマ幅の対称ガウス分布である。

図４Ａ〜図４Ｆは、それぞれ、基準画像および新規画像に対して、２および３画素のシグマ幅の対称ガウス分布ＰＳＦをもつシミュレートした画像の減算を概念的に示す。上の行（左から右へ）：新規画像（図４Ａ）、基準画像（図４Ｂ）、適正減算画像Ｄ（図４Ｃ）；下の行（左から右へ）：５−σを上回る整合フィルタ処理画像（Ｓ）閾値（図４Ｄ）、新規−基準のＡｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算（図４Ｅ）、および基準―新規のＡｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算（図４Ｆ）。シミュレートしたトランジェント源の位置が、閾値整合フィルタ処理画像内で、赤い丸で印を付けられる。全ての画像は、反転したグレースケールマップで示される。Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算は、ＩＳＩＳソフトウェアＡｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎに基づく。この図面は、画像減算法は対称であるが、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎアルゴリズムは対称ではないことを示す。この場合、１つの方向ではうまく機能するが、減算アーチファクトが他の方向ではっきりと見える（逆畳み込みに起因したリンギング）。さらに、５−σを上回る整合フィルタ画像の閾値処理によって、シミュレートしたトランジェントだけが明らかになる。

図５Ａ〜図５Ｆでは、図４Ａ〜図４Ｆにおけるのと同じパラメータを用いて、新規画像では２×４ｐｉｘおよび基準画像では４×２ｐｉｘのシグマ幅の非対称ガウス分布ＰＳＦで、画像をシミュレートする。図５Ａ〜図５Ｆの特徴は、これらの画像を別にすれば、図４Ａ〜図４Ｆに似ている。再度、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ方法群の非対称が見られる。さらに、この事例では、逆畳み込みに起因したリンギングがＮ−ＲおよびＲ−Ｎ減算の両方で見られる。

本新規の方法の最も重要で実際に役立つ特徴は、他のタイプの雑音（例えば、光源雑音、天文測定雑音、色屈折雑音）を検出プロセスに組み込む能力である。これを示すために、第１のシミュレーション（図４Ａ〜図４Ｆ）を繰り返すが、今回は、０．３ｐｉｘの標準偏差で、正規分布した天文測定雑音がある。

図６Ａ〜図６Ｆは、０．３ｐｉｘ（ＲＭＳ）の天文測定雑音ならびに、それぞれ、基準画像および新規画像に対する、２および３画素のシグマ幅の対称ガウス分布ＰＳＦをもつシミュレートした画像の減算を概念的に示す。上の行（左から右へ）：新規画像（図６Ａ）、基準画像（図６Ｂ）、適正減算画像Ｄ（図６Ｃ）；下の行（左から右へ）：５−σを上回って閾値処理した、整合フィルタ処理画像（Ｓ）（図６Ｄ）、５−σを上回って閾値処理した、光源雑音補正および天文測定雑音補正した整合フィルタ処理画像（Ｓ_ｃｏｒｒ）（図６Ｅ）、および新規―基準のＡｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算（図６Ｆ）。シミュレートしたトランジェント源の位置が、閾値処理した整合フィルタ処理画像内で、赤い丸で印を付けられる。この場合、減算は、多数の正負の残差を含むが、Ｓ_ｃｏｒｒ画像は、この天文測定雑音にうまく対処して、シミュレートしたトランジェントだけが検出される。

６．２．実データでの検定

本新規の方法を、Ｐａｌｏｍａｒ Ｔｒａｎｓｉｅｎｔ Ｆｃｔｏｒｙ［ＰＴＦ１^１７；Ｌａｗ ｅｔ ａｌ．２００９；Ｒａｕ ｅｔ ａｌ．２００９］データリリース２から利用可能な撮像データについてさらに検定した。画像処理は［Ｌａｈｅｒ ｅｔ ａｌ．２０１４，ＰＡＳＰ，１２６，６７４］で記述され、測光較正は［Ｏｆｅｋ ｅｔ ａｌ．，２０１２，ＰＡＳＰ，１２４，６２］で説明される。

表１に、本アルゴリズムを検定した様々な画像をリストする。レジストレーション、背景減算およびＰＳＦ推定を実行した。

図７Ａ〜図７Ｆは、検定１（表２）に対する、画像減算結果を概念的に示す。上の行（左から右へ）：新規画像（図７Ａ）、基準画像（図７Ｂ）、適正減算画像Ｄ（図７Ｃ）；下の行（左から右へ）：５−σでフィルタ処理した、整合フィルタ補正済み差分画像（Ｓ_ｃｏｒｒ）（図７Ｄ）、新規―基準のＡｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ ＩＳＩＳ減算（図７Ｅ）、および基準―新規のＩＳＩＳ減算（Ｒ−Ｎ）（図７Ｆ）。
全ての画像は、反転したグレースケールマップで提示される。赤い線（新規パネル内）は図８に提示するプロファイルカットの位置を示す。Ｓ_ｃｏｒｒ＞５マップでは、ＣＲ１〜ＣＲ５は、現在のアルゴリズムで検知された宇宙線の位置を示し、他方、画像の右部分の２つの明るい残差は、飽和星に起因する。左上の残差は、５．７−σの有意性を有し、２つの明るい星の間の界面にある。この特定の残差を生じるメカニズムは、第７．７節で説明する。

図７Ａ〜図７Ｆは、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算はＲとＮの交換に対して対称ではなく、他方、本方法は対称であることをさらに示す。具体的には、Ａｌａｒｄ ＆ ＬｕｐｔｏｎのＲ−Ｎ画像は、強力で、高振幅の、相関雑音を有する。

一見したところ、Ａｌａｒｄ ＆ ＬｕｐｔｏｎのＲ−Ｎ画像は、外見上良好に見える。しかし、綿密に検査すると、この画像は大きな振幅で減算残差を有することに気付き得る。例えば、図８は、適正減算画像ＤおよびＡｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算（Ｎ−Ｒ）において、図７Ａにおけるような赤い線の位置での、プロファイルカットを示す。

画像は、画像の標準偏差が単一（１）になるように、正規化される。これは、明るい星の存在下で、現在示している減算画像における変動は少量であるが、他方、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算における残差は大きいことを示す。Ｄ画像はフィルタ処理されないが、他方、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算は一部フィルタ処理されることに留意されたい。従って、Ｄの雑音特性は、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算と比較して、このプロットから示されるよりも、もっと良い。それに応じて、図８は、現在提示するアルゴリズムは、星の存在下で、非常にうまく機能するが、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算は非常に大きな変動を有することをはっきりと示す。Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算画像は、一部フィルタ処理されるという事実が目で見られる（すなわち、より円滑な雑音）ことに留意されたい。

図９Ａ〜図９Ｆは、検定２の画像（表２）に対する、画像減算結果を概念的に示し；明るい銀河Ｍ５１およびＳＮ２０１１ｄｈを含む、検定２の画像（表２）を別にすれば、図７Ａ〜図７Ｆと同じである。Ｓ_ｃｏｒｒ＞５において検出された光源は、ＳＮ２０１１ｄｈ、粒子ヒットおよび「不良」画素である。

これらの画像は、明るい銀河Ｍ５１、およびＳＮ２０１１ｄｈ（Ａｒｃａｖｉ２０１１）を含む。Ｄでは、画像のずれに起因した、残差がはっきりと見られることに留意されたい。しかし、Ｓ_ｃｏｒｒが光源雑音および天文測定雑音（約０．２"ｒｍｓ）を考慮に入れるので、これらの残差は、Ｓ_ｃｏｒｒが提示されると消える。さらに、天文測定残差は、Ａｌａｒｄ ＆ Ｌｕｐｔｏｎ減算では、これらの画像は一部フィルタ処理され、従ってより円滑であるというだけの理由で、あまりはっきりしないことに留意されたい。５−σ閾値を上回るＳ_ｃｏｒｒ画像内で検出されたトランジェント候補は：ＳＮ２０１１ｄｈ、宇宙線および「不良」画素である。トランジェントを検出する前に、Ｓを補正する重要性に関する印象を与えるために、ＳおよびＳ_ｃｏｒｒを図１０Ａおよび図１０Ｂに示す。ＳおよびＳ_ｃｏｒｒは、相関雑音を含み、人間の目を欺き得ることに留意されたい。

図１０Ａおよび図１０Ｂは、スコアマップＳ（図１０Ａ）および図９Ａ〜に示す減算に対応する補正スコアマップＳ_ｃｏｒｒ（図１０Ｂ）を概念的に示す。（改善された可能性がある）実質的なレジストレーション誤差にもかかわらず、補正された画像は誤警報を含まないことに留意されたい。Ｓにおいて、画像アーチファクトと実光源を区別することは非常に困難であるが、他方、Ｄでは、ほとんど自明であることにも留意されたい。ＳおよびＳ_ｃｏｒｒは、相関雑音のある画像であることに留意されたい。ＳおよびＳ_ｃｏｒｒ内で光源を検出することは、極大を探して、それらの値を読み取ることによって行われるべきである。（局所的）標準偏差で割った極大値は、シグマ単位での検出有意性に（または、もっと形式的には、正規分布の生存時間関数による誤警報確率に）対応する。画像グレースケールは、画像の−７と＋７の標準偏差の間であり、ＳＮ２０１１ｄｈ（図９Ａ〜図９Ｆ）を除いて、全ての有意な残差は宇宙線および不良画素に起因する。

７．実施詳細

背景を減算した画像、それらの分散、ＰＳＦおよびフラックスベースのゼロ点比を所与として、開示する画像減算法を、閉形式の式を使用して示す。従って、本方法の実施態様は、単純で厳密であり、特別な注意を必要としない。しかし、画像減算の任意の他の方法と同様に、この技法は、画像減算の前に行われるステップ（例えば、レジストレーション、フラックス整合）に影響を受ける。

７．１．背景および分散推定

実際の広角天体画像における背景および分散は、視野全体わたって定数として扱うことができない。従って、それらを局所的に推定して補間することが提案される。背景および分散を推定するために、推定量が星または銀河によってバイアスされないことを確実にする必要がある。Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ（２０１５ａ、２０１５ｂ）に従い、ガウス分布を小さい領域内の画像画素のヒストグラムに合わせて（現在のところ、２５６×２５６ａｒｃｓｅｃ^２ブロックを使用）、適合プロセスから高い値（例えば、画素値の上位１０％）の画素を拒絶することが提案される。大きな銀河または複雑な背景を含む領域では、特別な取扱いを必要とし得る。

７．２．ＰＳＦ推定および空間変動

式１２および式１３は、実際のＰＳＦと比較して、ＰＳＦでの摂動に対しておおまかに線形であることに留意されたい。とりわけＰＳＦ測定に影響し得るやっかいな問題は、ピクセル化、補間およびグリッドの再サンプリングである。さらに、ＰＳＦは、おそらく空間的に一定でなく、電荷自己斥力（ｃｈａｒｇｅ ｓｅｌｆ ｒｅｐｕｌｓｉｏｎ）に起因した強度と共に変化もし得る。これは、具体的には、ｂｒｉｇｈｔｅｒ−ｆａｔｔｅｒ効果（例えば、Ｗａｌｔｅｒ［＼ｂｉｂｉｔｅｍ［Ｗａｌｔｅｒ（２０１５）］｛２０１５ＪＩｎｓｔ，．１０Ｃ５０１５Ｗ｝Ｗａｌｔｅｒ，Ｃ．〜Ｗ＼２０１５，．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔａｔｉｏｎ，１０，Ｃ０５０１５］）をもたらし得る。

いくつかの場合には、ＰＳＦは視野にわたって変化し得る。最も単純なアプローチは、画像を、ＰＳＦがおおよそ一定である、もっと小さい画像に分割することである。これらの部分画像は、ＰＳＦサイズの４倍くらいに小さくできる。畳み込み演算は局所的であるので、空間的に変動するＰＳＦを任意の減算法（例えば、Ａｌａｒｄ ２０００，Ａ＆ＡＳ，１４４，３６３）に組み込むことは簡単である。

７．３．補間

レジストレーションステップでは、画像の１つを新しい座標グリッドに補間することを必要とする。ＰＳＦがナイキストサンプリングされる（帯域制限された）場合、補間プロセスに起因して情報を失うことなく、Ｗｈｉｔｔａｋｅｒ−Ｓｈａｎｎｏｎ補間公式（「シンク（ｓｉｎｃ）」補間と呼ばれることもある）を使用できる。

しかし、ＰＳＦがアンダーサンプリングされる場合、補間は、画素内の光源の位置（画素位相）に依存するＰＳＦ形状における変動をもたらし得る。かかる影響は、任意の減算法に深刻な問題を引き起こし得る。この問題に対処する１つの単純な方法は、画素位相依存ＰＳＦ変動によって誘発される余分な雑音を考慮に入れる雑音項をＳ_ｃｏｒｒ（式２５）の分母に追加することである。

７．４．レジストレーション

レジストレーションは、任意の画像差分技法にとって重要なステップである。新規画像と基準画像との間に残ったレジストレーション不完全残差は、非適正な減算、減算アーチファクト、および最終的に誤検出となり得る。第３．３節および第３．４節で、レジストレーション誤差、色屈折および天文測定シンチレーションをどのように扱うことができるかを説明する。しかし、依然として、減算の前にレジストレーション誤差を最小限にすることが望ましい。

多くの場合、アフィン変換は、２つの画像間でマッピングするには十分でない。主な理由には：微分大気差、光の差分収差、および高次光学的歪みを含む。

通常、画像が同じ系および同じ空上のポインティングで撮られる場合、光学的歪みは、２つの画像への影響がほとんど同一であるので、重要な役割を果たすことはない。

微分大気差の振幅は、８″ｄｅｇ^−１まで達し得る。図１１は、微分大気差の振幅を、高度の関数として、ａｒｃｓｅｃ／ｄｅｇの単位で、Ｏｆｅｋ（２０１４）内のコードおよびＦｉｌｉｐｐｅｎｋｏ ｅｔ ａｌ．［＼ｂｉｂｉｔｅｍ［Ｆｉｌｉｐｐｅｎｋｏ（１９８２）］｛１９８２ＰＡＳＰ．．．９４．．７１５Ｆ｝Ｆｉｌｉｐｐｅｎｋｏ，Ａ．〜Ｖ．＼１９８２，＼ｐａｓｐ，９４，７１５］で提供される式を使用して、５０００Åの波長、１５□℃の温度、７６０ｍｍＨｇの圧力および８ｍｍＨｇの水蒸気分圧に対して、計算した。大気差の方向は良く知られているので、大気によって生じる歪みに対処するための最良の方法は、大気差の振幅をその既知の方向（すなわち、視差角）に合わせるアフィン変換項を追加することである。

残念ながら、ほとんどの天文測定およびレジストレーションパッケージは、この形式の歪みをサポートしておらず、代わりに、大気差補正を高次多項式に吸収する。さらに、現在のＷＣＳヘッダキーワードは、この種の変換をサポートしていない。

大気差歪みは、小さい角度スケールでさえ検出可能であることに留意されたい。例えば、この影響は、２０ｄｅｇの高度で０．１″ａｒｃｍｉｎ^−１に達し得る。任意の事例で、任意の高次歪みを最小限にするために、画像を小さい部分（約１０×１０ａｒｃｍｉｎ）に分割することが推奨される。

光の（地動に起因した）差分収差の典型的な振幅は、約０．２″ｄｅｇ^−１のオーダーである。これは、いくつかの場合には、無視できるほど十分に小さい。しかし、収差の影響は完全に予測可能であるので、それを変換に組み込むことは簡単である。知る限り、普及している画像レジストレーション（および天文測定）パッケージは光の収差を無視する。

７．５．天文測定シンチレーション

地上撮像の天文測定レジストレーションは、典型的には、地球大気によって誘発される天文測定シンチレーションによって制限される。天文測定シンチレーションの振幅に対して推定される規模のオーダーは：

式中、ＦＷＨＭはＰＳＦ ＦＷＨＭであり、ｔ_ｉｎｔは積分時間であり、ｔ_{ｓｃｉｎｔ}は、天文測定シンチレーションのチップ／チルト項の相関時間スケールである。例えば、ＦＷＨＭ＝２″、ｔ_ｉｎｔ＝６０ｓ、およびｔ_{ｓｃｉｎｔ}＝０．０３ｓと仮定すると、σ_{ｓｃｉｎｔ}〜４０ｍａｓを得る。これは、明るい星のポアソン雑音によって誘発される天文測定雑音よりも１桁大きい可能性がある。実際のところ、この雑音は、角度スケールによって決まる（例えば、Ｓｈａｏ ｅｔ ａｌ．１９９２，Ａ＆Ａ，２６２，３５３）。

この種の天文測定雑音は、取り除くのが困難であり、従って、明るい星は、減算プロセスにおいて幾分の残った残差を有し得る。しかし、第３．３節および第３．４節で、この問題を解決するための２つの方法を示す。

７．６．色屈折

大気差は、色依存性であり、従って、異なるスペクトルを持つ光源は、同じ気団で異なる大気差を被り得る。図１２は、異なる帯域において、Ｏ５Ｖ星とＭ５Ｖとの間、およびＡ０Ｖ星とＭ５Ｖ星との間での、色屈折の相対振幅を、高度の関数として示す。実線は、色屈折における差（高度方向）をａｒｃｓｅｃ単位で、Ｏ５Ｖ星とＭ５Ｖとの間での、高度の関数として表す。様々な色は、異なるフィルタに対応する（凡例）。破線は、Ａ０Ｖ星とＭ５Ｖ星との間の差を別にすれば、同じものを示す。計算は、大気減光（Ｋｉｔｔ Ｐｅａｋにおける）を含み、恒星スペクトルＰｉｃｋｌｅｓ［＼ｂｉｂｉｔｅｍ［Ｐｉｃｋｌｅｓ（１９９８）］｛１９９８ＰＡＳＰ．．１１０．．８６３Ｐ｝Ｐｉｃｋｌｅｓ，Ａ．〜Ｊ．＼１９９８，＼ｐａｓｐ，１１０，８６３］を使用する。大気条件は図１１と同じである。

３つのソリューションが提案される：
（１）いくつかの気団範囲に対して基準画像を構築する。色屈折は子午線の周辺で対称であり、かかる基準画像は、子午線の東と西で実施される観測に対して別々に構築する必要がある；
（２）この影響によって誘発される分散を計算し、それを追加の項としてＳ_ｃｏｒｒ（式２５）の分母に導入する；
（３）Ｄにおける各残差に対する天文測定シフトを、第３．４節に示す方式を使用して、適合させる。
最後の選択肢が好ましいアプローチである。

７．７．追加の雑音源

画像減算に影響を及ぼし得る追加の雑音源があり得る。稀な問題の例は、シミュレーションにおいて遭遇し、実際の画像は、連星が無相関の天文測定雑音を有する場合（実際には、これはレジストレーション誤差および天文測定シンチレーション雑音源の両方ほど稀で、ポアソン雑音ではなく、短い角度スケールで相関する）；これは、勾配画像の計算（例えば、式３０〜式３２；および図７Ａ〜図７Ｆ）に影響し得る。原理上は、かかる問題は、Ｓ_ｃｏｒｒにおいて占められ得るが、これらの問題を識別する必要がある。従って、この方法の成功実施では、実データに関する大規模な検定を必要とする。

８．結論

現在良く知られている画像減算法には、非最適性、いくつかの場合における数値的不安定性を含め、いくつかの重要な制限があり、方法のいくつかは、計算するのに時間がかかる、行列反転を使用する。最も重要なことに、これらの方法は、トランジェント候補の有意性の計算に対して閉形式の式を提供しない。その上、いくつかの場合には、いくつかの方法の数値的不安定性に起因して、トランジェント候補の有意性を、数値的にさえ、計算するのが不可能なことである。これは、いずれの自動トランジェント検出および分類の土台も壊して、将来の調査にとって相当な障害となり得る。

前述の問題の全てを潜在的に解決する、閉形式のトランジェント検出および画像減算統計量が提供され、以下の特徴を有する：
１．トランジェント検出統計量は、背景優位の雑音制限において数学的に最適であると証明される；
２．両方の統計量は、入力画像の任意の対に対して数値的に安定している；
３．正確に登録されて、十分にサンプリングされた画像に対して、これらの統計量は、減算残差または逆畳み込みアーチファクトを残さない；
４．トランジェント検出統計量をレジストレーション誤差、色屈折誤差、およびモデルが構築できる任意の雑音に対して、弾力的であるように補正することが可能である；
５．新しく見つかったトランジェントに対して信頼できる検出有意性を割り当てることができる；
６．適正減算画像は、背景優位雑音制限では白色雑音を有する。これは、さらに複雑な測定値および可視化に対してそれを魅力的にする；
７．適正減算統計量は、差分画像に関するさらなる統計的検定のために十分統計量である。特に、粒子ヒットおよび他の画像アーチファクトと実際のトランジェントを区別できる；
８．両方の統計量は、新規画像と基準画像の交換に対して対称である；
９．両方の統計は計算するのが速い−普及している方法よりも計算するのが少なくとも１桁速い；
１０．両方の統計は閉形式で与えられ、それらは実装が簡単である；
１１．適正減算統計量は、任意の密集した領域でさえ、新規画像と基準画像との間の小さい天文測定変化を探すことができる；
１２．同じ統計量は、背景雑音が優位な制限において、フラックス測定に対しても最適である；
１３．基準画像を準備するための最適な方法は、Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ ２０１５ｂで提示される適正画像相互加算統計であることが示される。

前述から、提示する／示す画像差分アルゴリズムは、天体画像減算の課題のほとんどを解決できることが結論付けられる。

９．画像減算統計の完全導出

ＲおよびＮを、それぞれ、背景を減算した基準画像および背景を減算した新規画像とする。背景を減算した真の一定な空画像をＴで示す。基準画像および新規画像の点像分布関数（ＰＳＦ）をそれぞれ、Ｐ_ｒＰ_ｒおよびＰ_ｎで示す。Ｐ_ｒおよびＰ_ｎは、単位合計を持つように正規化される。

基準画像に対する式を書くと：

式中、ε_ｒは、画像Ｒの付加的な雑音成分である。新規画像内に新しい光源はないと明言する帰無仮説、Ｈ_０を考えると、次のように書くことができる：

フラックスαをもつ位置ｑにおける新規点光源があると明言する対立仮説、Ｈ_１（ｑ，α）を考えると、次のように書くことができ：

式中、δ（ｑ）は、位置ｑで１、およびそれ以外はゼロにおける２次元画像を示す。画像は背景を減算して、優位の雑音源は背景雑音であると仮定すると、ε_ｒおよびε_ｎの両方は、画素の全対は無相関であること−すなわち、ｘ_１≠ｘ_２である画素ｘ_１、ｘ_２の全対は：

ならびに、全画素は空間的に一様な分散を有すること（実際には、この仮定は緩めることができる）：

を満たす。

両方の仮説は単純であるので、２つの単純仮説のどちらかを選ぶための最も強力な統計量は尤度比検定であると明言する、ネイマン・ピアソンの補助定理が使用でき：

式中、Ｐは確率を示す。重要な点は、Ｔに関して事前情報または仮定がないことである。従って、確率Ｐ（Ｎ，Ｒ｜Ｈ_０）およびＰ（Ｎ，Ｒ｜Ｈ_１（ｑ，α））は、直接計算できない。しかし、それらの比は、条件付き確率の法則を使用して、式を導出することにより計算できる：

Ｈ_０およびＨ_１（ｑ，α）の両方は、Ｒに対して同じ確率モデルを明言する（かつ、従って、Ｒを観測するために同じ尤度を割り当てることができる）という事実を使用して、さらに単純化できる：

Ｐ（Ｎ｜Ｒ，Ｈ_０）ＮおよびＲのフーリエ変換の統計的挙動を計算するために、両方の仮説が検定されると仮定すると、画像は背景雑音が優位であると推測される。白色雑音のフーリエ変換はそれ自体白色雑音であるという事実を使用すると、Ｒ、Ｎ両方のフーリエ変換の余分の雑音特性は、両方の仮説が既知であることを所与として：

式中、＾アクセント記号はフーリエ変換を表し、

および

の両方は、複雑な白色ガウス分布雑音である（白色雑音のある画像のフーリエ変換における雑音は、明らかな対称性

を除いて白色であり、式中、オーバーラインは複素共役を示す。この対称性は、入力画像は本物であるという事実に起因する）。

が測定されるという事実を使用して、Ｔに対するモデルを取得するためにその確率モデルを逆にできる：

に対するモデルは、計算されず、代入ステップとしてのみ使用できることに留意されたい。このステップは、

の場合、有効である。実際のところ、これは、

に対するモデルが絶対零度を含んでいないことを確実にするか、または小さい数（すなわち、コンピュータ精度）を式１３の分母に加算することによるかのいずれかで、検証できる。

に対してこの式を使用すると、ＲおよびＨ_０を所与として、Ｎに対する確率モデルを書くことができる：

Ｔに対するこのモデルを所与とし、雑音はガウス分布であると仮定すると、Ｎ（これは、２の倍数まで

である）を観測するための確率を計算できる：

分散の線形性およびスカラー乗算特性を使用して単純化すると、次の式が得られる：

同様に、Ｈ_１を所与とすると、

仮説Ｈ_１は自由パラメータαを有しているので、ネイマン・ピアソンの補助定理を直接使用できない。検定の最適性証明を維持するために、αに関して一様に最も強力な、検定が構築される。これを行うための手順は：あらゆるαに対するＨ_１（ｑ，α）に関して、データＳ（ｑ）のスカラー十分統計量を識別する。次いで、この統計量は、Ｋａｒｌｉｎ−Ｒｕｂｉｎの定理［Ｋａｒｌｉｎ ＆ Ｒｕｂｉｎ Ａｎｎ．Ｍａｔｈ．Ｓｔａｔｉｓｔ．２７（１９５６），ｎｏ．２，２７２−２９９］に対する要件を満たすこと、任意のα_１＞α_０に対して、かつＳ（ｑ）＝ｘの任意の値に対して、尤度比

はｘの非減少関数であることを示す。その結果、検定の誤検出率を決定する何らかの閾値ηに対する検定Ｓ（ｑ）＞ηは、任意のαに対してＨ_０とＨ_１（ｑ，α）との間の決定問題に対して一様に最も強力であることが保証される。統計量Ｓ（ｑ）を構築するために、

を使用し（式中、

は実数演算子）、｜ａ｜^２および｜ｂ｜^２項は、αおよびデータの両方に依存していないので、それらを除去して、式６８の括弧が消費される（これは、十分統計量を構築するためにフィッシャー・ネイマンの分解定理基準によって可能にされ、それを第１３節で完全な形式で示す）。

αは残りの式にスカラー乗数としてのみ入ることが分かると、十分統計量Ｓ（ｑ）を識別できる：

式７０に関する表現は、Ｋａｒｌｉｎ−Ｒｕｂｉｎの定理に対する単調性要件を満たし、従って、Ｓ（ｑ）は、任意のαに対するＨ_１（ｑ，α）の検定に関して一様に最も強力であり、従って、位置ｑにおいてトランジェントを検出するための最適トランジェント検出統計量である。

同じスコアを直観的な量の観点から表現するために、「適正減算」画像は次のように定義される：

トランジェント検出のためのＰＳＦ：

および正規化：

Ｆ_Ｄは、

に対する式で、１を

および

に代入することによって導出できることに留意されたい。

背景雑音優位制限では、Ｄは白色雑音を有する（第４．５節）。スコアＳ（ｑ）は、

によって表現できる。

これを実空間で畳み込み定理を使用して表現すると、次が得られる：

ＤおよびＰ_Ｄの両方が実数だけを含むことが分かると、実演算子を除去できる。デルタ関数での畳み込みは、シフト演算子だけであり、従って、Ｓ（ｑ）に対する表現は、さらに：

にまで単純化できる。

そのフーリエ変換に対する式は、その結果：

によって表現される。

これは、最適トランジェント検出統計量の最終形式である。この式に対する代替形式は、次のように書くことができる：

１０．基準画像の構築

統計的フレームワークを基準のセットが与えられる状況まで拡大すると、基準の全てを所与として、最適トランジェント検出統計量が探求される。合計Ｊ個の画像からの各基準画像は、次によって与えられる：

ある新規画像Ｎが測定されて、以下のどちらが真であるかを決定すべきである、Ｈ_０：

またはＨ_１（ｑ）：

前の第９節におけるように、２つの単純仮説が検定される。従って、最適な検定統計量は、尤度比検定である［Ｎｅｙｍａｎ ＆ Ｐｅａｒｓｏｎ］

前述と同様、条件付き確率の法則、ならびにＨ_０およびＨ_１は、全ての基準に対して同じ尤度を予測するという事実を使用することができる：

条件付き確率を計算するために、Ｔを含んでいないＮに対する確率モデルが必要である。これは、Ｔに対する最良の統計モデルを得るために全ての基準を使用することによって達成され得る。

前節におけるように、これは、フーリエ面内の画像に対して仮説を明言することにより、さらに容易に定式化できる：

第９節に続いて、これを、正しい差分画像および正しいトランジェント検出統計量まで長期間にわたって継続して進展させることができる。気付いた主要な観測は、基準画像内の全ての情報を

に対する統計モデルに流し込むことができるということである。Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ ２０１５ａの付録からの結果を使用すると、Ｓ／Ｎを最大限にする選択は、情報源の全ての

への重み付け加算である：

ここで、雑音寄与は、全ての基準画像から

によって示される。

その分散を計算すると：

が得られ、式中、次のように定義される：

これらの選択および式６３のテンプレートを所与として、基準画像の相互加算のための式は、次であることが分かる：

ここで、

である。Ｒ、Ｐ_ｒおよびＴは、式５２を満たすので、統計モデルの要件に適合する単一の基準画像を得る。興味深いことに、式９２は、Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ（２０１５ｂ：相互加算のシリーズ内のｐａｐｅｒＩＩ）に提示されている適正相互加算画像と全く同じである。

式９２を

に代入すると：

が得られる。

光源検出統計量を明示的な形式で書くと：

が得られる。

最適なソリューションは、基準のセットを所与として、最適トランジェント検出のための閉じた式となる。Ｒの代わりに使用できる他の選択があることに留意されたい。しかし、その無相関の雑音に起因して、適正相互加算画像が好まれる（Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ２０１５ｂ）。最後に、Ｎも複数の画像で構成できる。この場合、減算に対する最適なソリューションは、ＮおよびＲの両方を、それらの対応するセット内の全ての画像を適正相互加算して、最適トランジェント検出を実行することである。

１１．明るい物体の光源雑音に対する補正

雑音分布は位置、および真の画像自体とは無関係であるという仮定は、言うまでもなく、真ではない。具体的には、明るい星の近くの優位の雑音源は、明らかに位置依存性である、光源自体のポアソン変動である。従って、強い光源の近くで、分散は過小評価され、雑音内のランダムな変動は、これらの位置でのトランジェント誤検出を引き起こし得る。空の無視できるほどの部分だけがかかるように挙動するので、強い光源から離れた位置で統計量Ｓを変更することは望まれない。

従って、推奨されるのは、次である：式９４の２つの部分を別々に計算する：

および

次に、逆フーリエ変換を適用して、画像領域に達する：

次いで、トランジェント源の存在に対する補正スコアを計算する：

式中、Ｖ（Ｓ_Ｎ）および

は、Ｓ_Ｎおよび

の分散マップである。本質的に、これらは、Ｒ_ｊおよびＮに関して行われる全ての演算に従い、対応する補正を、それぞれ、

およびＶ（Ｓ_Ｎ）に適用することによって分析的に計算できる。

ゼロ期待雑音源εに対して、

という事実を使用すると、Ｖ（Ｓ_Ｎ）および

に対して、閉じた式のソリューションが導出され：

式中、ｋ_ｎおよびｋ_ｊは、それぞれ、式９５および式９６で定義される。畳み込みカーネルの二乗は、画像領域内で起こることに留意されたい。

明るい星の存在下で、雑音は相関し、個々の

を格納するか、または合計する必要がある。適正相互加算画像とその有効ｋ_ｒを使用すると、全ての情報は回復することができない。しかし、Ｒとｋ_ｒを使用すると、このプロセスに対する近似値として役立つ。

提案する補正（式９８）は、強い光源から離れたスコア画像を（検出統計量を標準偏差の単位に移動する以外）変更しない。この理由は、分散マップは強い光源から離れた場所では、空間的に均一なためである。この補正は強い光源の近くでは準最適であるが、少なくとも既知の統計的特性をもつスコアであり、誤検出を防ぐため、および何らかの感度を保持するために使用できることに留意されたい。

分散によってＳを補正するこの方法は、モデルを構築できる、任意の追加の雑音源まで拡張できる。例えば、第３．３節に、天文測定誤差に起因した分散を示す。

１２．トランジェント点光源の最適なＰＳＦ測光

一般に、統計学コミュニティでは、最良の測定をどのように導出するかについての合意はない。従って、この節では、バイアスされておらず、最大Ｓ／Ｎを有して、入力画像の線形関数である、測定統計量が探索される。結果として生じる統計量は、何らかの係数によって正規化された単にＳ（式１２）である。この分析は、トランジェント検出統計量が最適化される、別の形式も示し−それは、時間一定画像ＴをキャンセルするＲおよびＮから構成される最大Ｓ／Ｎ線形統計量である。付随するコメントとして、αに関して、式６８を最大化することにより最大尤度推定量を計算する場合、同じ解が生じることに留意されたい。

再度、統計モデル：

を明言することにより開始し、式中、αは、位置ｑにおける新規光源のフラックスであり、δ（ｑ）は、その値が１である位置ｑ以外のどこでも０をもつ画像である。背景雑音が最も重要な雑音源であると仮定して、作業を継続すると、これは：

を可能にして、探索された統計量が、その最も一般的な線形形式で書かれ：

式中、ｋ_ｎおよびｋ_ｒは、いくつかのカーネルであり、

を必要とする。

Ｃをフーリエ空間で書くと：

を得、式中ε_ｃは、両方の画像内の全ての雑音源を吸収する。

ここで、周知の結果（Ａｐｐｅｎｄｉｘ Ｂ Ｚａｃｋａｙ ＆ Ｏｆｅｋ ２０１５ａ）パラメータθの最大Ｓ／Ｎ測定を使用すると、統計量のセットＸ_ｊを所与とし、これにより：

（式中、μ_ｊはスケーリング係数であり、ε_ｊは分散Ｖ［ε_ｊ］＝σ_ｊを有する）は、

である。

この場合、

である。これを

に適用すると、αに対する最大Ｓ／Ｎ統計量：

を得、

および

を代入し、単純化すると（比率でのｋ_ｎのキャンセル、および

の使用に注意）：

を得る。

最後に、

に対する式の分子が、以前に定義したトランジェント検出画像Ｓ（式７９）内のｑ番目の位置であることに気付くことにより、全てのトランジェント源に対する全てのフラックスを同時に計算できる。つまり：

これは、検出および測定の両方に対して同じ統計量が計算できることを意味する。従って、Ｓからフラックス測定を得るために、必要なのは、それをＦ_ｓ−式１１４の分母で正規化することだけである：

検出に対するのと同じプロセスを用いて、位置ｑにおけるフラックス測定Ｓの標準偏差が、Ｓ_ＮおよびＳ_Ｒの検査によって推定できる。Ｆの標準偏差は次によって計算できることが分かる：

基準画像が

よりも多くの基準画像から構築される場合。

式１１６は、フェイント（ｆａｉｎｔ）（すなわち、背景優位雑音の領域内）および明るいトランジェント（光源優位雑音の領域）の両方に対して有効であることに留意されたい。さらに、各画素はＰＳＦの適切な値によって重み付けされるので、式１１４は、ＰＳＦ測光と同等であることに留意されたい。

１３．Ｄ、Ｐ_Ｄ、Ｆ_Ｄは、画像間の差に関する任意の統計的測定または決定に対して十分である

Ｄ、Ｐ_Ｄ、Ｆ_Ｄが十分な統計量であることを示すために、フィッシャー・ネイマンの分解定理を使用できる。この定理は：確率密度関数がＰ_θ（Ｘ）である場合、Ｔは、非負関数ｇおよびｈが

であることが分かる場合、およびその場合に限り、パラメータθに対して十分であることを明言する。

この場合、パラメータθをもつ、画像間の差に対する任意の生成モデルＡ_ｎ（θ）について、データ（ＲおよびＮ）を観測する確率は：

に因数分解する。これは、Ｄは十分な統計量であることを証明できる。

十分な統計量の意味は深い−Ｄに関して実行される任意の測定または決定は、あたかもそれが全てのデータを使用して実行されたかのような、同じ数値を返すことができることを意味することに留意されたい。かかる測定または決定の例は：任意の形状計測、または粒子ヒットの識別である。

Ｄは、Ｐ_Ｄ、

と共に、時間一定画像Ｔに関わらず、Ａ_ｎ（θ）に対する生成モデルの任意のインスタンスに対する任意の尤度キャンセルに対して（フィッシャー・ネイマン基準から許容されるように、何らかの乗法的、モデルに依存しない因子まで）、合わせて十分であることが示される。Ｄが：

に対して十分である、統計モデルＡ_ｎ（θ，ｑ）を明言し、式中、Ａ_ｎ（θ）は、位置ｑにある、新規画像内で行われた変化であり、Ｔは、時間一定（未知）画像である。これは、ＰＳＦによって畳み込まれなかった信号（例えば、「不良」画素、小さい天文測定シフト）を処理できるようにするので、Ａ_ｎ（θ）は、画像のＰＳＦで畳み込まれないことに留意されたい。しかし、かかるＰＳＦはＡ_ｎ（θ）に含めることができる。

条件付き確率の法則を使用すると、確率は：

Ｒの確率はモデルパラメータθと無関係である（Ｎに対するモデルにのみ影響を及ぼす）ので、

を計算するだけで十分である。前節におけるのと同様、Ｒの知識をＴに対する統計モデルに投影できる：

それを使用してＡ_ｎ（θ）を所与としてＮを観測する確率を計算する：

絶対値を開くと、３つの項の総和を得る。第１の項、

は、Ａ_ｎ（θ）に依存しておらず、従って、除去できる（フィッシャー・ネイマンｈ内に吸収できる）。第２の項は：

である。最後の式で、適正減算画像Ｄ

とＮにおけるデルタ関数に対するＰＳＦ（Ａ_ｎのＰＳＦ）：

との間で、ゼロ点で：

整合フィルタ演算を識別できる。

最後に、式１２５の第３の項は、ＤおよびそのＰＳＦのセットおよびゼロ点だけを使用して計算できることが示される。

対称的に、Ｒにおける全ての統計的変化は、Ｄおよび

を使用して同じ方法で計算できる。

ゼロ点で

真の画像（例えば、超新星、変光星または太陽系小天体）と同じＰＳＦ（および透明度）を経験する、ＮまたはＲのいずれかにおける変化は、有効なＰＳＦ Ｐ_Ｄ、およびゼロ点Ｆ_Ｄを持つことができる。

この分析は、減算結果Ｄは、データに関して実行する必要のある、任意の、まだ指定されていないものさえ、測定または仮説検定に対して最適な統計量であることを意味する。

他の様々な修正は、本発明の範囲および精神から逸脱することなく、当業者に容易に明らかであり得ることが理解される。その結果、本明細書に添付するクレームの範囲は、本明細書に記載する記述に限定されることを意図するのではなく、むしろ、クレームは、本発明が関連する当業者によるのと同等に扱われ得る全ての特徴を含め、本発明に存在する特許性のある新規性の全ての特徴を包含すると解釈されることを意図する。

Claims (32)

1. １以上の新規物体および／または１以上の既知の物体のトランジェントを検出するための物理的特性の少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を、複雑で不変の背景ＤＭにおいて、少なくとも１つのプロセッサおよび少なくとも１つメモリ要素を使用して、処理するための新規の方法であって、
   基準ＤＭのインパルス応答に対して、新規ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した新規ＤＭを生成することと、
   前記新規ＤＭのインパルス応答に対して、前記基準ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した基準ＤＭを生成することと、
   前記フィルタ処理した基準ＤＭを前記フィルタ処理した新規ＤＭから、またはその逆に、減算することによりＭ次元の物体指標（ＯＩ）を生成することと、
   スコアの各々が、特定のＭ次元位置における、物体の存在に対するプローブである、Ｍ次元のデータスコア（ＤＳ）を前記Ｍ次元のＯＩから生成することと、を含む方法。
2. 前記ＤＳを前記生成することは、前記ＯＩ内の前記物理的特性の空間または時間周波数を正規化することをさらに含み、
   前記周波数の各々は、それ自身の雑音の標準偏差（ＳＴＤ）によって正規化され、
   それにより、前記正規化ＯＩの解成分は、等分散の物理的特性雑音を有し、
   さらに、前記物理的特性雑音は、前記解成分間で無相関である、
   請求項１に記載の方法。
3. 前記ＤＳを前記生成することは、前記ＯＩまたは前記正規化ＯＩの各周波数を、前記周波数の雑音分散で割ったその共役周波数応答によって乗じることをさらに含み、
   それにより前記ＤＳの各周波数は、その雑音分散に等しい周波数応答を有する、
   請求項１または請求項２に記載の方法。
4. 前記物理的特性を前記正規化ＯＩおよび／または前記ＤＳにおいて測定することをさらに含む、請求項１〜請求項３のいずれかに記載の方法。
5. 少なくとも１つの新規物体および／または少なくとも１つの既知の物体に対するトランジェントを、前記正規化ＯＩおよび／または前記ＤＳにおいて検出することをさらに含む、請求項１〜請求項４のいずれかに記載の方法。
6. 前記検出することは、前記物理的特性に対する正および／または負の所定の閾値に応答する、請求項５に記載の方法。
7. 複数の整合フィルタ処理した元の基準ＤＭを累積することにより前記基準ＤＭを生成すること、および／または
   複数の整合フィルタ処理した元の新規ＤＭを累積することにより前記新規ＤＭを生成することをさらに含み、
   前記フィルタ処理することは、それらのインパルス応答の各々に対応する、
   請求項１〜請求項６のいずれかに記載の方法。
8. 前記累積することは、結合すること、相互に加算すること、および重ね合わせることから成る群から選択された少なくとも１つをさらに含む、請求項７に記載の方法。
9. 前記ＤＭの全部が同じ測定分野である、請求項１〜請求項８のいずれかに記載の方法。
10. 前記ＤＭの各々は、単一のタイムスタンプで取得される、請求項１〜請求項９のいずれかに記載の方法。
11. Ｍは正の整数である、請求項１〜請求項１０のいずれかに記載の方法。
12. 前記基準ＤＭおよび前記新規ＤＭは各々、異なる測定装置によって測定される、請求項１〜請求項１１のいずれかに記載の方法。
13. 前記基準ＤＭおよび前記新規ＤＭは各々、異なる物理的特性を測定している、請求項１〜請求項１２のいずれかに記載の方法。
14. 前記基準ＤＭおよび前記新規ＤＭは、同時に、または異なる時間ステップで測定される、同じ測定分野をカバーし、各々は、異なる波長で測定される、請求項１〜請求項１３のいずれかに記載の方法。
15. 前記基準ＤＭおよび前記新規ＤＭは、
    ａ．同じ測定分野をカバーし、
    ｂ．同じ測定装置によって測定され、かつ
    ｃ．それらの測定値間での前記物体の変形に起因して−異なるＰＳＦを有している、請求項１〜請求項１４のいずれかに記載の方法。
16. 前記正規化ＯＩを移動検出カーネルで畳み込むことをさらに含む、請求項１〜請求項１５のいずれかに記載の方法。
17. レジストレーション雑音補正を使用して前記ＤＳを正規化することをさらに含む、請求項１〜請求項１６のいずれかに記載の方法。
18. 光源雑音補正を使用して前記ＤＳを正規化することをさらに含む、請求項１〜請求項１６のいずれかに記載の方法。
19. 前記物理的特性はフラックスであり、前記ＤＭは画像であり、かつ前記解成分は画素である、請求項１〜請求項１８のいずれかに記載の方法。
20. 前記物理的特性は電圧であり、前記ＤＭは無線信号である、請求項１〜請求項１８のいずれかに記載の方法。
21. 前記物理的特性は不透明度であり、前記ＤＭは断層撮影測定である、請求項１〜請求項１８のいずれかに記載の方法。
22. コンピューティング装置のメモリにロードされて、前記コンピューティング装置の少なくとも１つのプロセッサによって実行される場合に、請求項１〜請求項２１のいずれかに従ったコンピュータ実装方法の前記ステップを実行するように構成された、コンピュータ可読媒体（ＣＲＭ）。
23. 少なくとも１つのプロセッサおよび少なくとも１つのメモリ要素を備えたコンピュータシステムであって、１以上の新規物体および／または１以上の既知の物体のトランジェントを、複雑で不変の背景ＤＭ内で検出するために、物理的特性の少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を処理するように構成された前記システムは、
    前記メモリ内に格納された、フィルタ処理モジュールであって、
    基準ＤＭのインパルス応答に対して、新規ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した新規ＤＭを生成することと、
    新規ＤＭのインパルス応答に対して、前記基準ＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した基準ＤＭを生成することと
    を行うように構成された、フィルタ処理モジュールと、
    前記メモリ内に格納された、処理モジュールであって、
    前記フィルタ処理した基準ＤＭを前記フィルタ処理した新規ＤＭから、またはその逆に、減算することによりＭ次元の物体指標（ＯＩ）を生成することと、
    スコアの各々が特定のＭ次元位置における物体の存在に対するプローブである、Ｍ次元の前記データスコア（ＤＳ）を前記Ｍ次元のＯＩから生成することとを行うように構成された、処理モジュールと
    を備える、コンピュータシステム。
24. 前記処理モジュールは、前記ＯＩ内の前記物理的特性の空間または時間周波数を正規化することにより、Ｍ次元の正規化ＯＩを生成するようにさらに構成され、前記周波数の各々は、それ自身の雑音の標準偏差（ＳＴＤ）によって正規化され、それにより、前記正規化ＯＩの解成分は、等分散の物理的特性雑音を有し、さらに、前記物理的特性雑音は、前記解成分間で無相関である、請求項１６に記載のシステム。
25. 前記処理モジュールは、前記ＯＩまたは前記正規化ＯＩの各周波数を、前記周波数の雑音分散で割ったその共役周波数応答によって乗じるようにさらに構成され、
    それにより前記ＤＳの各周波数は、その雑音分散に等しい周波数応答を有する、
    請求項１６または請求項１７に記載のシステム。
26. 前記物理的特性を前記正規化ＯＩおよび／または前記ＤＳにおいて測定するように構成された、前記メモリ内に格納された、測定モジュールをさらに備える、請求項１６〜請求項１８のいずれかに記載のシステム。
27. 少なくとも１つの新規物体および／または少なくとも１つの既知の物体に対するトランジェントを、前記正規化ＯＩおよび／または前記ＤＳにおいて検出するように構成された、前記メモリ内に格納された、検出モジュールをさらに備える、請求項１６〜請求項１９のいずれかに記載のシステム。
28. 前記検出することは、前記物理的特性に対する正および／または負の所定の閾値に応答する、請求項２７に記載のシステム。
29. 複数の整合フィルタ処理した元の基準ＤＭを累積することにより前記基準ＤＭを生成し、かつ／または複数の整合フィルタ処理した元の新規ＤＭを累積することにより前記新規ＤＭを生成するように構成された、前記メモリ内に格納された、累積モジュールをさらに備え、
    前記整合フィルタ処理は、それらのインパルス応答の各々に対応する、
    請求項１６〜請求項２１のいずれかに記載のシステム。
30. 前記累積することは、結合すること、相互に加算すること、および重ね合わせることから成る群から選択された少なくとも１つをさらに含む、請求項２９に記載のシステム。
31. 少なくとも１つのプロセッサおよび少なくとも１つのメモリ要素を使用して、少なくとも２つのＭ次元データ測定値（ＤＭ）を処理するための方法であって、
    第２のＤＭのインパルス応答に対して、第１のＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した第１のＤＭを生成することと、
    前記第１のＤＭのインパルス応答に対して、前記第２のＤＭを整合フィルタ処理することによりフィルタ処理した第２のＤＭを生成することと、
    前記フィルタ処理した第２のＤＭを前記フィルタ処理した第１のＤＭから、またはその逆に、減算することによりＭ次元の第３のＤＭを生成することと、
    前記第３のＤＭ内の前記物理的特性の空間または時間周波数を正規化することにより、Ｍ次元の正規化ＤＭを生成することであって、前記周波数の各々は、それ自身の雑音の標準偏差（ＳＴＤ）によって正規化される、Ｍ次元の正規化ＤＭを生成することと、を含み、
    それにより、前記正規化ＤＭの解成分が、等分散の物理的特性雑音を有し、
    さらに、前記物理的特性雑音は、前記解成分間で無相関である、方法。
32. Ｍ次元のデータスコア（ＤＳ）を生成することをさらに含み、
    前記スコアの各々は特定のＭ次元位置における物体の存在に対するプローブであり、
    前記ＤＳは、前記正規化ＤＭの各周波数を、前記周波数の雑音分散で割ったその共役周波数応答によって乗じることにより生成され、
    それにより前記ＤＳの各周波数は、その雑音分散に等しい周波数応答を有する、請求項３１に記載の方法。

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