JP2018180943A

JP2018180943A - Plan creation apparatus, plan creation method, and program

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Publication number: JP2018180943A
Application number: JP2017079743A
Authority: JP
Inventors: 敬和小林; Takakazu Kobayashi; 圭一中里; Keiichi Nakazato; 淑子大屋; Yoshiko Oya; 一隆笠間; Kazutaka Kasama
Original assignee: Nippon Steel and Sumitomo Metal Corp
Current assignee: Nippon Steel Corp
Priority date: 2017-04-13
Filing date: 2017-04-13
Publication date: 2018-11-15
Anticipated expiration: 2037-04-13
Also published as: JP6801562B2

Abstract

PROBLEM TO BE SOLVED: To make it possible to set a weighting coefficient of an evaluation index to be used for solving a multiobjective optimization problem as a linear programming problem by linear programming without relying on human feeling.SOLUTION: A plan creation apparatus 100 normalizes coefficients of a constraint equation including non-base slack variable s, derives a range that can be taken by a weighting coefficient cfor an objective function f(x) on the basis of the normalized coefficients of the constraint equation, and determines a weighting coefficient wof an evaluation formula which is a linear expression expressed by the sum of products of the objective function f(x) and the weighting coefficient w, from this range.SELECTED DRAWING: Figure 1

Description

本発明は、計画作成装置、計画作成方法、およびプログラムに関し、特に、線形計画法により定式化される目的関数の重み係数を設定するために用いて好適なものである。 The present invention relates to a plan creation device, a plan creation method, and a program, and in particular, is suitably used for setting a weighting factor of an objective function formulated by linear programming.

商業、工業等の産業が発展する中で、その規模はますます大きく、且つ複雑なものとなっている。このような状況の中で、例えば、効率的な調達、運搬、生産、出荷等を行うために、高効率、高生産性を実現できる生産計画、物流計画を作成することが求められる。
そこで、人手で計画を作成すること、或いは、人の考えを模擬したルールに従って計画を作成することに変わり、生産計画、物流計画等、各種の計画の作成を、「与えられた制約条件の下で目的を最適に達成するための数理モデル」、即ち数理計画問題として捉え、数理計画問題を解くことにより実現する技術がある。この数理計画問題の中でも、立案される計画の評価指標となる目的が複数ある問題は、多目的最適化問題と呼ばれる。 With the development of industries such as commerce and industry, the scale is becoming larger and more complicated. Under such circumstances, for example, in order to perform efficient procurement, transportation, production, shipping, etc., it is required to create a production plan and a distribution plan that can realize high efficiency and high productivity.
Therefore, instead of manually creating a plan or creating a plan according to a rule that simulates the idea of people, creating various plans such as a production plan, a distribution plan, etc. Mathematical model for achieving the purpose optimally, that is, it is regarded as a mathematical programming problem and is realized by solving the mathematical programming problem. Among these mathematical programming problems, problems that have multiple purposes that serve as evaluation indicators for the plan being formulated are called multi-objective optimization problems.

計画の作成を多目的最適化問題として捉え、その問題を解くことにより得られた解を計画とする場合、立案される計画の評価指標から構成される「評価式」を適切に設定する必要がある。この評価指標としては、例えば、調達に掛る費用をできるだけ安くする、輸送に掛る合計時間をできるだけ短くする、工期をできるだけ短くする、納期をできるだけ守るなどが挙げられる。
ここで、一般的な計画では、ある対象について、一つの期間の計画を作成する場合でも、計画の目的が１つであることは少なく、それぞれの目的に対応する２つ以上の評価指標を同時に最小化、或いは最大化することが求められる場合が多い。
そこで上記評価式は、各評価指標に重み係数を掛けて、それらの和を取った重み付き和として構成され、上記評価式を最大化または最小化することが一般的に行われ、この手法は重み係数法と呼ばれる。 If you consider the creation of a plan as a multi-objective optimization problem and use the solution obtained by solving the problem as a plan, it is necessary to properly set up an "evaluation formula" consisting of the evaluation indicators of the plan to be designed . For example, the evaluation index may be as low as possible in the cost for procurement, as short as possible in the total time taken for transportation, as short as possible in construction time, as much as possible in terms of delivery time.
Here, in general planning, even when creating a plan for one period for a certain target, the purpose of the plan is seldom to be one, and two or more evaluation indicators corresponding to each purpose are simultaneously It is often required to minimize or maximize.
Therefore, the above evaluation formula is constructed as a weighted sum obtained by multiplying each evaluation index by a weighting factor and taking their sum, and it is generally performed to maximize or minimize the above evaluation formula. It is called the weighting factor method.

しかしながら、これらの目的は相反するものであることが多い。例えば、出来るだけタイミング良く調達するためには輸送をスピーディーに行うことが必要になるのに対し、輸送をスイーディーに行うためには費用が掛ることになる。従って、先に挙げた調達に掛かる費用と輸送に掛かる費用は、輸送の合計時間の削減と相反することとなる。加えて、これら目的として得られる値は、例えば費用であったり、納期からのずれであったりと単位が一致しない場合が多い。
これら相反し、且つ単位の異なる複数の目的の調和を取りながら、計画を導出することが、立案された計画の納得性に重要となる。このため、複数ある目的関数のそれぞれの重要度をどの様に考慮するのかが重要となる。 However, these goals are often contradictory. For example, while it is necessary to carry out transportation quickly to procure as timely as possible, it is expensive to carry out transportation promptly. Therefore, the costs of procurement and transportation mentioned above conflict with the reduction of total transportation time. In addition, the values obtained for these purposes often do not match the units, for example, cost or deviation from delivery date.
Deriving a plan while harmonizing multiple contradictory goals with different units is important for the persuasiveness of the designed plan. Therefore, it is important how to consider the importance of each of a plurality of objective functions.

このような重要度を算出する技術として特許文献１に記載の技術がある。特許文献１には、複数の評価指標から得られる２つの評価指標の全ての組み合わせのそれぞれを人が相対的に比較して、それら２つの評価指標における相対的な重要度を指定し、指定した重要度に基づいて、ＡＨＰ（Analytic Hierarchy Process）手法を用いて、予め立案した複数の生産計画案に対して総合的な重要度を求め、ユーザに提示する技術が開示されている。 There is a technique described in Patent Document 1 as a technique for calculating such an importance. In Patent Document 1, a person relatively compares each of all combinations of two evaluation indexes obtained from a plurality of evaluation indexes, and specifies and designates relative importance in the two evaluation indexes. A technology is disclosed that uses an analytic hierarchy process (AHP) method to find overall importance for a plurality of pre-planned production plans based on the importance, and presents the proposal to the user.

特開２００９−２４４９５１号公報JP, 2009-244951, A

ところで、多目的最適化問題を線形計画問題として重み係数法を用いて線形計画法により解く手法では、複数の評価指標の相対的なバランスを表す重み係数を複数の評価指標のそれぞれに掛けて、それら評価指標と重み係数とを掛けた値の和、つまり評価式を最小化または最大化する。従って、この場合、重み係数が前述した重要度となる。特許文献１に記載の技術は、この手法にも適用することができる。 By the way, in the method of solving a multi-objective optimization problem as a linear programming problem by a linear programming method using a weighting coefficient method, each of a plurality of evaluation indicators is multiplied by a weighting coefficient representing relative balance of a plurality of evaluation indicators. The sum of the product of the evaluation index and the weighting factor, that is, the evaluation expression is minimized or maximized. Therefore, in this case, the weighting factor has the above-described importance. The technique described in Patent Document 1 can also be applied to this method.

しかしながら、この手法に特許文献１に記載の技術を適用した場合、２つの重み係数の相対的な重要度を人が指定することになる。特許文献１に開示されている技術では、重み係数の相対的な重要度を設定するための基準はなく、人が感覚で指定する。前述したように、複数の評価指標の中には、一方の評価指標の値をその目的に近づけようとすると他方の評価指標の値がその目的から遠ざかるというように相反する評価指標があり、また、単位の異なる評価指標がある。このような評価指標の重要度（即ち重み係数）を人が評価することは容易ではない。このため、各評価指標に対して正しい重み係数が設定されなくなる虞がある。 However, when the technique described in Patent Document 1 is applied to this method, a person specifies the relative importance of the two weighting factors. In the technique disclosed in Patent Document 1, there is no standard for setting the relative importance of the weighting factor, and a person specifies it by feeling. As described above, among a plurality of evaluation indices, there is a contradiction evaluation index such that when one evaluation index value is made closer to the purpose, the other evaluation index value gets away from the purpose. , There are different indicators of credit. It is not easy for a person to evaluate the importance (that is, weighting factor) of such an evaluation index. For this reason, there is a possibility that the correct weighting factor can not be set for each evaluation index.

本発明は、以上のような問題点に鑑みてなされたものであり、多目的最適化問題を、重み係数法を用いて線形計画法により解く際に用いる評価指標の重み係数を人の感覚に頼らずに設定することができるようにすることを目的とする。 The present invention has been made in view of the above problems, and relies on human sense for the weighting factor of the evaluation index used when solving the multi-objective optimization problem by linear programming using the weighting factor method. The purpose is to be able to set without.

本発明の計画作成装置は、線形不等式で表される制約式を少なくとも１つ含む制約式を満足する範囲で、複数の決定変数と重み係数とを用いて表される線形式である評価式の値が最大または最小になるときの前記決定変数の値を線形計画法による最適化計算により求め、当該決定変数の値に基づく計画を作成する計画作成装置であって、前記計画に対する過去の立案実績として、前記制約式に含まれる係数、定数および決定変数の値と、前記評価式に含まれる前記決定変数の値とを少なくとも取得する実績取得手段と、前記線形不等式で表される制約式を、スラック変数を用いて標準形に変換する標準形変換手段と、前記実績取得手段により取得された前記立案実績と、前記標準形変換手段により標準形に変換された前記制約式とに基づいて、前記スラック変数が基底変数および非基底変数の何れであるかを判定する第１の基底・非基底判定手段と、前記標準形変換手段により標準形に変換された前記制約式のうち、前記第１の基底・非基底判定手段により非基底変数であると判定された前記スラック変数を含む前記制約式に基づいて、前記重み係数の上限値および下限値を導出する重み係数上下限導出手段と、を有することを特徴とする。 The plan creation device of the present invention is an evaluation formula that is a linear form represented using a plurality of decision variables and weighting factors within a range satisfying a constraint formula including at least one constraint formula represented by a linear inequality. A plan creation device for determining a value of the decision variable when the value is maximum or minimum by optimization calculation by linear programming, and creating a plan based on the value of the decision variable, wherein past planning results for the plan As a result, a performance acquisition unit for acquiring at least the values of the coefficients, constants and decision variables included in the constraint equation and the values of the decision variables included in the evaluation equation, and the constraint equation represented by the linear inequality Based on standard form conversion means for converting into standard form using slack variables, the above-mentioned plan record obtained by the above-mentioned results acquisition means, and the above-mentioned constraint equation converted to the standard form by the above-mentioned standard form conversion means The first basis / non-basis determination means for determining whether the slack variable is a basis variable or a non-basis variable, and the first one of the constraint equations converted into the standard form by the standard form conversion means Weighting factor upper and lower limit deriving means for deriving the upper limit value and the lower limit value of the weighting factor based on the constraint equation including the slack variable determined to be a non-basis variable by the basis / non-base determination means of It is characterized by having.

本発明の計画作成方法は、線形不等式で表される制約式を少なくとも１つ含む制約式を満足する範囲で、複数の決定変数と重み係数とを用いて表される線形式である評価式の値が最大または最小になるときの前記決定変数の値を線形計画法による最適化計算により求め、当該決定変数の値に基づく計画を作成する計画作成方法であって、前記計画に対する過去の立案実績として、前記制約式に含まれる係数、定数および決定変数の値と、前記評価式に含まれる前記決定変数の値とを少なくとも取得する実績取得工程と、前記線形不等式で表される制約式を、スラック変数を用いて標準形に変換する標準形変換工程と、前記実績取得工程により取得された前記立案実績と、前記標準形変換工程により標準形に変換された前記制約式とに基づいて、前記スラック変数が基底変数および非基底変数の何れであるかを判定する第１の基底・非基底判定工程と、前記標準形変換工程により標準形に変換された前記制約式のうち、前記第１の基底・非基底判定工程により非基底変数であると判定された前記スラック変数を含む前記制約式に基づいて、前記重み係数の上限値および下限値を導出する重み係数上下限導出工程と、を有することを特徴とする。 The planning method of the present invention is an evaluation formula that is a linear form represented using a plurality of decision variables and weighting factors within a range satisfying a constraint formula including at least one constraint formula represented by a linear inequality. A planning method for obtaining a value of the decision variable when the value becomes maximum or minimum by optimization calculation by linear programming, and creating a plan based on the value of the decision variable, wherein past planning results for the plan As a result, an achievement acquiring step of acquiring at least a coefficient, a constant, a value of a decision variable included in the constraint equation, and a value of the decision variable included in the evaluation equation, and a constraint equation represented by the linear inequality Based on a standard form conversion process of converting into a standard form using slack variables, the planning results obtained by the actual result acquisition process, and the constraint equation converted into a standard form by the standard form conversion process A first basis / non-basis determination step of determining whether the slack variable is a basis variable or a non-basis variable, and the first one of the constraint equations converted into a standard form by the standard form conversion step. Weighting coefficient upper and lower limit deriving step for deriving upper limit value and lower limit value of the weighting factor based on the constraint equation including the slack variable determined to be a non-basis variable by the base / non-base determination step of It is characterized by having.

本発明のプログラムは、前記計画作成装置の各手段としてコンピュータを機能させることを特徴とする。 A program according to the present invention causes a computer to function as each means of the plan creation device.

本発明によれば、多目的最適化問題を線形計画問題として線形計画法により解く際に用いる評価指標の重み係数を人の感覚に頼らずに設定することができる。 According to the present invention, the weighting factor of the evaluation index used when solving the multi-objective optimization problem as a linear programming problem by linear programming can be set without relying on human senses.

計画作成装置の機能的な構成の一例を示す図である。It is a figure which shows an example of a functional structure of a plan production apparatus. 計画作成方法の一例を説明するフローチャートである。It is a flowchart explaining an example of a plan creation method. 制約式および評価式の一例を、決定変数を各軸とする直交座標に示す図である。It is a figure which shows an example of a constraint type | formula and an evaluation formula in the rectangular coordinate which makes a decision variable the each axis | shaft. 重み係数のとり得る範囲と、その範囲内から決定された重み係数の値の一例を示す図である。It is a figure which shows an example of the possible range of a weighting factor, and the value of the weighting factor determined from the range.

以下、図面を参照しながら、本発明の実施形態を説明する。
（第１の実施形態）
まず、第１の実施形態を説明する。
図１は、計画作成装置１００の機能的な構成の一例を示す図である。図２は、計画作成装置１００による計画作成方法の一例を説明するフローチャートである。計画作成装置１００のハードウェアは、例えば、ＣＰＵ、ＲＯＭ、ＲＡＭ、ＨＤＤ、および各種のインターフェースを備える情報処理装置、または、専用のハードウェアを用いることにより実現される。 Hereinafter, embodiments of the present invention will be described with reference to the drawings.
First Embodiment
First, the first embodiment will be described.
FIG. 1 is a diagram showing an example of a functional configuration of the plan creation device 100. As shown in FIG. FIG. 2 is a flowchart illustrating an example of a plan creation method by the plan creation device 100. The hardware of the plan creation device 100 is realized by using, for example, an information processing device provided with a CPU, a ROM, a RAM, an HDD, and various interfaces, or dedicated hardware.

＜概要＞
本実施形態の計画作成装置１００は、多目的最適化問題を線形計画問題として重み係数法を用いて線形計画法により解く際に用いる目的関数の重み係数の上下限値を、過去の実績を用いて導出して表示する。そして、計画作成装置１００は、重み係数の上下限値の範囲の中から決められた重み係数を用いて、線形計画問題の最適解を線形計画法により求め、計画を立案する。本実施形態では、説明を簡単にするため、決定変数の数が２、制約式の数が３、評価指標の数が２である場合を例に挙げて説明する。従って、本実施形態で取り扱う多目的最適化問題Ｐは、以下の（１）式〜（４）式で記述される。 <Overview>
The plan creation device 100 of the present embodiment uses upper and lower limit values of the weighting factor of the objective function used when solving the multi-objective optimization problem as the linear programming problem by the linear programming method using the weighting coefficient method, using the past results. Derivate and display. Then, using the weighting factor determined from the range of the upper and lower limit values of the weighting factor, the plan creation device 100 determines the optimal solution of the linear programming problem by the linear programming, and formulates a plan. In the present embodiment, in order to simplify the description, the case where the number of decision variables is 2, the number of constraint expressions is 3, and the number of evaluation indexes is 2 will be described as an example. Therefore, the multi-objective optimization problem P handled in the present embodiment is described by the following equations (1) to (4).

（１）式〜（４）式において、ｆ_i（ｘ）は、評価指標、ｗ_iは、評価指標ｆ_i（ｘ）に対する重み係数、ｚは評価式、ｘ_nは、決定変数、ｈ_inは、評価指標ｆ_i（ｘ）における決定変数ｘ_nに対する係数、ａ_mnは、制約式における決定変数ｘ_nに対する係数、ｂ_mは、定数である。尚、評価指標ｆ_i（ｘ）は、決定変数ｘ_nの重み付け和の形の関数である。従って、本実施形態においては、評価式ｚは、複数の評価指標ｆ_i（ｘ）の重み付け和で表されるものとする。 In the equations (1) to (4), f _i (x) is an evaluation index, w _i is a weighting factor for the evaluation index f _i (x), z is an evaluation formula, x _n is a decision variable, h _in the coefficients for the decision variable x _n in the evaluation index f _i (x), a _mn is the coefficient for the decision variable x _n in the constraint equation, b _m are constants. The evaluation index f _i (x) is a function in the form of a weighted sum of the decision variables x _n . Therefore, in the present embodiment, the evaluation formula z is represented by a weighted sum of a plurality of evaluation indexes f _i (x).

（１）式に示すように、評価式ｚは、複数の評価指標ｆ_i（ｘ）の重み付き線形和で表される。また、それぞれの評価指標ｆ_i（ｘ）は、（２）式で表される。また、制約式は、（３）式で表される。本実施形態では、重み係数ｗ_i、係数ｈ_in、ａ_mn、および定数ｂ_mは、０（ゼロ）以上の値（ｗ_i≧０、ｈ_in≧０、ａ_mn≧０、ｂ_m≧０）であるものとする。本実施形態の多目的最適化問題Ｐは、（３）式の制約式を満足する範囲で、（１）式の評価式ｚが最小になるときの決定変数ｘ₁、ｘ₂を最適解として求める問題である。 As shown in equation (1), the evaluation equation z is represented by a weighted linear sum of a plurality of evaluation indexes f _i (x). Also, each evaluation index f _i (x) is expressed by equation (2). Also, the constraint equation is expressed by equation (3). In the present embodiment, the weighting coefficient w _i , the coefficients h _in , a _m _n , and the constant b _m have values of 0 (zero) or more (w _i 00, h _in 00, a _mn 00, b _m 00) Shall be The multi-objective optimization problem P of the present embodiment finds the decision variables x ₁ and x ₂ when the evaluation equation z of the equation (1) is minimized within the range satisfying the constraint equation of the equation (3) as the optimal solution It is a problem.

本実施形態では、重み係数ｗ_i以外の、係数ｈ_in、ａ_mn、定数ｂ_m、決定変数ｘ₁、ｘ₂は、計画に対する過去の実績として予め与えられる。本実施形態では、過去の実績に含まれるｈ_in、係数ａ_mnおよび定数ｂ_mを与えて、（３）式の制約式を満足する範囲で、評価式ｚが最小になるときの決定変数ｘ₁、ｘ₂を最適解として求めた場合に、その最適解（即ち、決定変数ｘ₁、ｘ₂）は、過去の実績に含まれる決定変数ｘ₁、ｘ₂に一致するものと仮定する。本実施形態の計画作成装置１００は、このような仮定の下、係数ｈ_in、ａ_mn、定数ｂ_m、決定変数ｘ₁、ｘ₂が与えられた状態で、重み係数ｗ_iの上下限値を導出する。 In the present embodiment, the coefficients h _in and a _mn , the constant b _m and the decision variables x ₁ and x ₂ other than the weighting coefficient w _i are given in advance as the past results for the plan. In this embodiment, given h _in , the coefficient a _mn and the constant b _m included in the past results, the decision variable x when the evaluation formula z becomes the minimum within the range satisfying the constraint formula of the formula (3) _{When 1} and x ₂ are obtained as optimum solutions, it is assumed that the optimum solution (ie, decision variables x ₁ and x ₂ ) matches the decision variables x ₁ and x ₂ included in the past results. Under such assumption, the plan creating device 100 according to the present embodiment gives the upper and lower limit values of the weighting factor w _i in a state where the coefficients h _in and a _mn , the constant b _m and the decision variables x ₁ and x ₂ are given. Derive

ここで、（１）式〜（２）式より（１）式を以下の（５）式のように書き下すことができる。（１）式に代えて（５）式を用いても、多目的最適化問題Ｐは一般性を失われない。 Here, the equation (1) can be written as the following equation (5) from the equations (1) to (2). Even if the equation (1) is replaced by the equation (5), the multi-objective optimization problem P is not lost in generality.

ここで、新たに定義された重み係数ｃ_nは決定変数ｘ_n間のバランスを示すものである。例えば、決定変数ｘ₁と決定変数ｘ₂のバランスを同じにする場合、決定変数ｘ_nに対する重み係数c₁、ｃ₂は、同じ値であれば、幾つであってもよい。決定変数ｘ₁と決定変数ｘ₂のバランスを１：２にする場合、この重み係数ｃ₁、ｃ₂は、重み係数ｃ₁が重み係数ｃ₂の２倍の値を有していれば、幾つであってもよい。従って、（５）式において新たに定義した重み係数ｃ_nを、以下の（６）式を満たすようにしても一般性を失わない。
ｃ₁＋ｃ₂＝１・・・（６） Here, the newly defined weighting factor c _n indicates the balance between the decision variables x _n . For example, when the balance of the decision variables x ₁ and decision variables x ₂ in the same, the decision variable x weighting factor for _n c _1, c _2, if the same value, or may be a number. When the balance between the decision variable x ₁ and the decision variable x ₂ is set to 1: 2, the weighting factors c ₁ and c ₂ are as long as the weighting factor c ₁ has a value twice that of the weighting factor c ₂ : It may be any number. Therefore, generality is not lost even if the weighting coefficient c _n newly defined in the equation (5) satisfies the following equation (6).
c ₁ + c ₂ = 1 (6)

そこで、本実施形態の計画作成装置１００は、重み係数ｃ_n以外の値が予め与えられた状態で、重み係数ｃ_nの上下限値を導出し、当該上下限値の範囲の中から決められた重み係数ｃ_nと、係数ｈ_inとを用いて、（５）式により、重み係数ｗ_iを導出する。以下、本実施形態の計画作成装置１００が有する機能の一例を説明する。 Therefore, the plan creation device 100 of the present embodiment derives upper and lower limit values of the weighting factor c _n in a state where values other than the weighting factor c _n are given in advance, and is determined from among the upper and lower limit values. Using the weighting factor c _n and the factor h _in , the weighting factor w _i is derived by equation (5). Hereinafter, an example of the function which the plan creation apparatus 100 of this embodiment has is demonstrated.

＜実績取得部１０１、ステップＳ２０１＞
実績取得部１０１は、線形計画問題において定式化される評価指標ｆ_i（ｘ）（（２）式）に含まれる係数ｈ_inおよび決定変数ｘ₁、ｘ₂の値と、制約式（（３）式）に含まれる係数ａ_mn、定数ｂ_m、および決定変数ｘ₁、ｘ₂の値とを、計画に対する過去の立案実績として取得する。これらの情報の取得形態として、例えば、オペレータによる計画作成装置１００のユーザインターフェースの入力操作、外部装置からの送信、および可搬型記憶媒体からの読み出しの少なくとも何れか１つを採用することができる。 <Result Acquisition Unit 101, Step S201>
The result acquisition unit 101 calculates the coefficients h _in and the determination variables x ₁ and x ₂ included in the evaluation index f _i (x) (formula (2)) formulated in the linear programming problem, and the constraint equation ((3 ) The coefficient a _mn , the constant b _m , and the values of the decision variables x ₁ and x ₂ included in the equation) are acquired as past planning results for the plan. For example, at least one of an input operation of a user interface of the plan creation device 100 by an operator, a transmission from an external device, and a read from a portable storage medium can be adopted as an acquisition mode of these pieces of information.

本実施形態では、係数ａ_mnおよび定数ｂ_mとして、以下の（７）式に示す値が取得された場合を具体的問題ＰＲとして例示する。 In the present embodiment, a case where the value shown in the following equation (7) is acquired as the coefficient a _mn and the constant b _m is illustrated as a specific problem PR.

前述したように、係数ａ_mnおよび定数ｂ_mは、（３）式の制約式に与えられる。この場合、多目的最適化問題Ｐは、例えば、以下のような具体的問題ＰＲに対応する。即ち、多目的最適化問題Ｐは、材料１と材料２とを配合して混合物を生成する場合に、品質１に関しては２０以上（ｂ₁≧２０）、品質２に関しては２５以上（ｂ₂≧２５）、品質３に関しては３０以上（ｂ₃≧３０）を満たし、且つ、品質１への材料１の寄与が４（ａ₁₁＝４）、材料２の寄与が３（ａ₁₂＝３）、品質２への材料１の寄与が２（ａ₂₁＝２）、材料２の寄与が６（ａ₂₂＝６）、品質３の材料１の寄与が１０（ａ₃₁＝１０）、材料２の寄与が３（ａ₃₂＝３）であるという制約条件の下で、材料１、２の購買費用ｆ₁（ｘ）と材料１、２の容積ｆ₂（ｘ）とを最小化するように、材料１、２の購買量ｘ₁、ｘ₂を決定する具体的問題ＰＲに対応する。 As described above, the coefficient a _mn and the constant b _m are given by the constraint equation of equation (3). In this case, the multi-objective optimization problem P corresponds to, for example, the following specific problem PR. That is, when the multi-objective optimization problem P combines the material 1 and the material 2 to form a mixture, 20 or more (b ₁ 20 20) for quality _{1 and} 25 or more (b ₂ 25 25 for quality 2) ), The quality 3 satisfies 30 or more (b ₃品質 30), and the contribution of the material 1 to the quality 1 is 4 (a ₁₁ = 4), the contribution of the material 2 is 3 (a ₁₂ = 3), the quality The contribution of material 1 to 2 is 2 (a ₂₁ = 2), the contribution of material 2 is 6 (a ₂₂ = 6), the contribution of material 1 of quality 3 is 10 (a ₃₁ = 10), the contribution of material 2 is Under the constraint of 3 (a ₃₂ = 3), the material 1 is such that the purchasing costs f ₁ (x) of the material 1, 2 and the volume f ₂ (x) of the material 1, ₂ are minimized , 2 corresponds to the specific problem PR for determining the purchase amount x ₁ , x ₂ .

また、具体的問題ＰＲにおいて、材料１、２の購買量ｘ₁、ｘ₂、即ち決定変数ｘ₁、ｘ₂として、５／２、１０／３（ｘ₁＝５／２、ｘ₂＝１０／３）が取得される場合（ケース１）と、０（ゼロ）、１０（ｘ₁＝０、ｘ₂＝１０）が取得される場合(ケース２)と、２５／２、０（ゼロ）（ｘ₁＝２５／２、ｘ₂＝０）が取得される場合（ケース３）との３つのケースを例に挙げて説明する。 Further, in the concrete problem PR, the purchase quantities x ₁ and x ₂ of the materials ₁ and ₂ , that is, the decision variables x ₁ and x ₂ , 5/2, 10/3 (x ₁ = 5/2, x ₂ = 10) When / 3) is acquired (case 1), 0 (zero), 10 (x ₁ = 0, x ₂ = 10) acquired (case 2), 25/2, 0 (zero) _{(x 1 = 25/2,} x 2 = 0) will be described by way of three cases of the case (case 3) that is acquired as an example.

＜標準形変換部１０２、ステップＳ２０２＞
標準形変換部１０２は、スラック変数ｓ_mを用いて、（３）式（および（７）式）と（５）式とにより表される具体的問題ＰＲを、以下の（８）式〜（１１）式に示すように、標準形の問題ＰＳに書き換える。ここで、標準形とは、線形計画法の分野で問題を同一形式で取り扱うため、記述形式を統一するための一般的な記述形式であり、具体的問題ＰＲと標準形の問題ＰＳは記述形式は異なるが、同じ問題を表す。尚、スラック変数ｓ_mは、（３）式に示すように制約式に不等式が含まれる場合、当該不等式を等式に変換するために導入される変数である。また、（８）式、（１０）式は、それぞれ前述した（５）式、（６）式と同じであるが、表記の都合上、再掲する。 <Standard Form Converter 102, Step S202>
The standard form conversion unit 102 uses the slack variable s _m to set the specific problem PR represented by the equations (3) (and (7)) and (5) to the following equation (8) 11) Rewrite the problem PS in the standard form as shown in equation (11). Here, the standard form is a general description form for unifying the description form in order to treat problems in the same form in the field of linear programming, and the concrete problem PR and the standard form problem PS are the description form Are different, but represent the same problem. The slack variable s _m is a variable that is introduced to convert the inequality into an equation when the constraint equation includes an inequality as shown in equation (3). Moreover, although Formula (8), (10) Formula is the same as Formula (5), (6) Formula mentioned above, respectively, it is shown again on account of description.

＜基底・非基底判定部１０３、ステップＳ２０３＞
基底・非基底判定部１０３は、前記３つのケースそれぞれについて、決定変数ｘ_nおよびスラック変数ｓ_mが、基底変数および非基底変数の何れであるかを判定する。基底変数とは、値が０（ゼロ）以外の値の変数であり、非基底変数とは、値が０（ゼロ）の変数である。
基底・非基底判定部１０３は、実績取得部１０１により取得された、係数ａ_mn、定数ｂ_m、および決定変数ｘ_nを（９）式に与えることにより、スラック変数ｓ_mを導出する。標準形の問題ＰＳでは、基底・非基底判定部１０３は、（１１）式を（９）式に与えると共に、「ｘ₁＝５／２、ｘ₂＝１０／３」（ケース１）、「ｘ₁＝０、ｘ₂＝１０」(ケース２)、「ｘ₁＝２５／２、ｘ₂＝０」（ケース３）を（９）式にそれぞれ与えることによりスラック変数ｓ₁、ｓ2、ｓ₃を計算する。 <Base / Non-base Determination Unit 103, Step S203>
The basis / non-basis determination unit 103 determines, for each of the three cases, which of the basis variable and the non-basis variable the decision variable x _n and the slack variable s _m are. A basis variable is a variable whose value is other than 0 (zero), and a non-basis variable is a variable whose value is 0 (zero).
Basal and non-basal determination unit 103, acquired by the record acquisition unit 101, the coefficient a _mn, by providing constant b _m, and the decision variable x _n in (9), to derive the slack variable s _m. In the standard form problem PS, the basis / non-basis determination unit 103 gives the equation (11) to the equation (9), and “x ₁ = 5/2, x ₂ = 10/3” (case 1), “ Slack variables s ₁ , s ₂ , s by giving x ₁ = 0, x ₂ = 10 "(case 2) and" x ₁ = 25/2, x ₂ = 0 "(case 3) to equation (9). Calculate ₃

（１１）式および「ｘ₁＝５／２、ｘ₂＝１０／３」（ケース１）を（９）式に与えることにより計算される決定変数ｘ₁、ｘ₂およびスラック変数ｓ₁、ｓ₂、ｓ₃を以下の（１２）式に示す。（１１）式および「ｘ₁＝０、ｘ₂＝１０」(ケース２)を（９）式に与えることにより計算される決定変数ｘ₁、ｘ₂およびスラック変数ｓ₁、ｓ₂、ｓ₃を以下の（１３）式に示す。（１１）式および「ｘ₁＝２５／２、ｘ₂＝０」（ケース３）を（９）式に与えることにより計算される決定変数ｘ₁、ｘ₂およびスラック変数ｓ₁、ｓ₂、ｓ₃を以下の（１４）式に示す。 Decision variables x ₁ and x ₂ and slack variables s ₁ and s calculated by giving equation (11) and “x ₁ = 5/2, x ₂ = 10/3” (case 1) to equation (9) ₂ and s ₃ are shown in the following equation (12). Decision variables x ₁ , x ₂ and slack variables s ₁ , s ₂ , s ₃ calculated by giving equation (11) and “x ₁ = 0, x ₂ = 10” (case 2) to equation (9) Is expressed by the following equation (13). Decision variables x ₁ , x ₂ and slack variables s ₁ , s ₂ , calculated by giving equation (11) and “x ₁ = 25/2, x ₂ = 0” (case 3) to equation (9) s ₃ is expressed by the following equation (14).

（１２）式に示す例では、スラック変数ｓ₁、ｓ₂が非基底変数であり、その他の変数は基底変数である。（１３）式に示す例では、決定変数ｘ₁およびスラック変数ｓ₃が非基底変数であり、その他の変数は基底変数である。（１４）に示す例では、決定変数ｘ₂およびスラック変数ｓ₂が非基底変数であり、その他の変数は基底変数である。
ここで、問題ＰＳにおける最適解の値は、非基底変数となる（即ち、値が０（ゼロ）となる）スラック変数ｓ_mを含む制約式上に存在する。このことを、標準形の問題ＰＳを例に挙げて説明する。図３は、制約式および評価式の一例を、決定変数ｘ₁、ｘ₂を各軸とする直交座標上に示す図である。 In the example shown in equation (12), the slack variables s ₁ and s ₂ are non-base variables, and the other variables are base variables. In the example shown in equation (13), the decision variable x ₁ and the slack variable s ₃ are non-base variables, and the other variables are base variables. In the example shown in (14), the decision variable x ₂ and the slack variable s ₂ are non-base variables, and the other variables are base variables.
Here, the value of the optimal solution in the problem PS exists on a constraint expression including a slack variable s _m which is a non-basis variable (that is, the value is 0 (zero)). This will be described by taking the problem PS of the standard form as an example. FIG. 3 is a view showing an example of the constraint equation and the evaluation equation on orthogonal coordinates with the decision variables x ₁ and x ₂ as axes.

（９）式および（１１）式より、３つの制約式は、以下の（１５）式〜（１７）式で表される。
４ｘ₁＋３ｘ₂−ｓ₁＝２０・・・（１５）
２ｘ₁＋６ｘ₂−ｓ₂＝２５・・・（１６）
１０ｘ₁＋３ｘ₂−ｓ₃＝３０・・・（１７） From the equations (9) and (11), the three constraint equations are represented by the following equations (15) to (17).
4 x ₁ + 3 x _2- s ₁ = 20 (15)
2 x ₁ + 6 x _2- s ₂ = 25 (16)
10 x ₁ + 3 x _2- s ₃ = 30 (17)

図３において、直線３０１、３０２、３０３は、それぞれ、以下の（１８）式、（１９）式、（２０）式である（図３において、ｘ₂／ｘ₁の値は、それぞれの直線３０１〜３０３の傾きを示す）。尚、（１８）式、（１９）式、（２０）式は、それぞれ（１５）式、（１６）式、（１７）式においてスラック変数ｓ₁〜ｓ₃を０（ゼロ）とした式である。
４ｘ₁＋３ｘ₂＝２０・・・（１８）
２ｘ₁＋６ｘ₂＝２５・・・（１９）
１０ｘ₁＋３ｘ₂＝３０・・・（２０） In FIG. 3, the straight lines 301, 302 and 303 are the following equations (18), (19) and (20), respectively (in FIG. 3, the value of x ₂ / x ₁ is the respective straight line 301 Show a slope of ~ 303). Equations (18), (19), and (20) are equations in which the slack variables s _{1 to} s ₃ are 0 (zero) in equations (15), (16), and (17), respectively. is there.
4 x ₁ + 3 x ₂ = 20 (18)
2 x ₁ + 6 x ₂ = 25 (19)
10 x ₁ + 3 x ₂ = 30 (20)

（１５）式〜（１７）式の制約式を満たす範囲は、図３に斜線で示す範囲である。従って、標準形の問題ＰＳの最適解は、点３１１、３１２、３１３、３１４の何れかになる（図３において、符号３１１〜３１４の後にかっこ書きで示しているのは、点３１１〜３１４の座標である）。これらの点３１１、３１２、３１３、３１４は、（１８）式〜（２０）式上に存在する。このように問題ＰＳにおける最適解の値は、非基底変数となる（即ち、値が０（ゼロ）となる）スラック変数ｓ_mを含む制約式上に存在する。 The range that satisfies the constraint equations (15) to (17) is the range indicated by oblique lines in FIG. Therefore, the optimum solution of the problem PS in the standard form is any one of the points 311, 312, 313, and 314 (in FIG. Coordinates). These points 311, 312, 313, 314 exist on Formula (18)-Formula (20). Thus, the value of the optimal solution in the problem PS exists on the constraint equation including the slack variable s _m which is a non-basis variable (ie, the value is 0).

そして、決定変数ｘ_mに非基底変数（値が０（ゼロ））がない場合（非基底変数となるスラック変数ｓ_mを含む制約式の数が、導出すべき重み係数ｃ_nの数と同じ数の場合）、これらの制約式の交点が、問題ＰＳにおける最適解になる。標準形の問題ＰＳでは、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、５／２、１０／３（ｘ₁＝５／２、ｘ₂＝１０／３）である場合（ケース１）、非基底変数となるスラック変数ｓ_mは、スラック変数ｓ₁、ｓ₂である。従って、（１８）式を表す直線３０１と（１９）式を表す直線３０２との交点（点３１３）が標準形の問題ＰＳの最適解になる。ここで、勿論この問題ＰＳの最適解は問題ＰＲの最適解となっている。 Then, when there is no non-basis variable (value is 0 (zero)) in the decision variable x _m (the number of constraint expressions including the slack variable s _m as the non-basis variable) is the same as the number of weighting factors c _n to be derived In the case of numbers), the intersections of these constraints become the optimal solution in the problem PS. In the standard form problem PS, if the decision variables x ₁ and x ₂ are 5/2, 10/3 (x ₁ = 5/2, x ₂ = 10/3) (case 1), The slack variable s _{m to be obtained} is the slack variable s ₁ , s ₂ . Therefore, the intersection point (point 313) of the straight line 301 representing the equation (18) and the straight line 302 representing the equation (19) is the optimal solution of the problem PS of the standard form. Here, of course, the optimal solution of this problem PS is the optimal solution of the problem PR.

一方、決定変数ｘ_mの何れかが非基底変数（値が０（ゼロ））である場合、非基底変数である決定変数ｘ_mから選択した１つの決定変数ｘ_mに対する係数を１、その他の非基底変数である決定変数ｘ_mおよび基底変数である決定変数に対する係数を０（ゼロ）、定数を０（ゼロ）とする超平面上に問題ＰＳにおける最適解が存在する。この場合、問題ＰＳでは、非基底変数となるスラック変数ｓ_mを含む制約式の数が、導出すべき重み係数ｃ_nの数よりも、非基底変数である決定変数ｘ_mの数だけ少なくなる。
標準形の問題ＰＳでは、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、０（ゼロ）、１０（ｘ₁＝０、ｘ₂＝１０）である場合(ケース２)、以下の（２１）式上に最適解が存在する。
１×ｘ₁＋０×ｘ₂＝０・・・（２１）
この場合、図３に示すように、（２１）式（ｘ₂軸）と、非基底変数であるスラック変数ｓ₃を含む制約式である（１７）式（（２０）式）を表す直線３０３との交点（点３１１）が標準形の問題ＰＳの最適解になる。上述した通りこの最適解は問題ＰＲの最適解となっている。 On the other hand, any of the decision variable x _m may nonbasic variables (value 0 (zero)) are the coefficients for one decision variable x _m selected from decision variable x _m is a non-basic variables 1, other An optimal solution in the problem PS exists on a hyperplane with a non-base variable decision variable x _m and a basis variable having a coefficient of 0 (zero) and a constant constant of 0 (zero). In this case, in the problem PS, the number of constraint expressions including the slack variable s _m as non-base variables is smaller than the number of weight coefficients c _n to be derived by the number of non-base variable decision variables x _m .
In the standard form problem PS, when the decision variables x ₁ and x ₂ are 0 (zero) and 10 (x ₁ = 0, x ₂ = 10) (case 2), it is optimal on the following equation (21) There is a solution.
1 × x ₁ + 0 × x ₂ = 0 (21)
In this case, as shown in FIG. 3, a straight line 303 representing Eq. (17) (Eq. (20)), which is a constraint equation including Eq. (21) (x ₂ axis) and slack variable s ₃ which is a non-base variable. The point of intersection with the point (point 311) is the optimal solution of the problem PS in the standard form. As described above, this optimal solution is the optimal solution of the problem PR.

同様に、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、２５／２、０（ゼロ）（ｘ₁＝２５／２、ｘ₂＝０）である場合（ケース３）、以下の（２２）式上に最適解が存在する。
０×ｘ₁＋１×ｘ₂＝０・・・（２２）
この場合、図３に示すように、（２２）式（ｘ₁軸）と、非基底変数であるスラック変数ｓ₂を含む制約式である（１６）式（（１９）式）を表す直線３０２との交点（点３１４）が標準形の問題ＰＳの最適解になる。上述した通りこの最適解は問題ＰＲの最適解となっている。 Similarly, when the decision variables x ₁ and x ₂ are 25/2, 0 (zero) (x ₁ = 25/2, x ₂ = 0) (case 3), it is optimal on the following equation (22) There is a solution.
0 × x ₁ + 1 × x ₂ = 0 (22)
In this case, as shown in FIG. 3, a straight line 302 representing equation (22) (equation (19)) which is a constraint equation including equation (22) (x ₁ axis) and slack variable s ₂ which is a non-basis variable. The point of intersection with the point (point 314) is the optimal solution of the problem PS in the standard form. As described above, this optimal solution is the optimal solution of the problem PR.

基底・非基底判定部１０３は、以上のように問題ＰＳの最適解を探索するために、決定変数ｘ_nおよびスラック変数ｓ_mが、基底変数および非基底変数の何れであるかを判定する。 The basis / non-basis determination unit 103 determines whether the decision variable x _n and the slack variable s _m are a basis variable or a non-basis variable in order to search for the optimal solution of the problem PS as described above.

＜係数規格化部１０４、ステップＳ２０４＞
係数規格化部１０４は、問題ＰＳにおける非基底なスラック変数を含む制約式の係数を、制約式毎に規格化する。ここで規格化とは、制約式の係数の和で両辺を割ることで、制約式の係数の和が１となる様に、形式を整えることである。
具体的問題ＰＲにおいて、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、５／２、１０／３（ｘ₁＝５／２、ｘ₂＝１０／３）である場合（ケース１）、（１８）式および（１９）式が、規格化の対象の制約式である。（１８）式の係数の和は７であり、（１９）式の係数の和は８である。従って、係数規格化部１０４は、（１８）式の両辺を７、（１９）式の両辺を８でそれぞれ割って以下の（２３）式、（２４）式のように、係数を規格化した制約式を導出する。
４／７ｘ₁＋３／７ｘ₂＝２０／７・・・（２３）
１／４ｘ₁＋３／４ｘ₂＝２５／８・・・（２４） <Coefficient Normalization Unit 104, Step S204>
The coefficient normalization unit 104 normalizes, for each constraint equation, the coefficients of the constraint equation including the non-base slack variable in the problem PS. Here, normalization means arranging the format such that the sum of the coefficients of the constraint equation becomes 1 by dividing both sides by the sum of the coefficients of the constraint equation.
In the concrete problem PR, when the decision variables x ₁ and x ₂ are 5/2, 10/3 (x ₁ = 5/2, x ₂ = 10/3) (case 1), the equation (18) and The equation (19) is a constraint equation to be standardized. The sum of the coefficients in equation (18) is 7, and the sum of the coefficients in equation (19) is 8. Therefore, the coefficient normalization unit 104 normalizes the coefficients as in the following equations (23) and (24) by dividing both sides of equation (18) by 7, and both sides of equation (19) by 8. Derive a constraint expression.
4/7 x ₁ + 3/7 x ₂ = 20/7 (23)
1/4 x ₁ + 3/4 x ₂ = 25/8 (24)

また、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、０（ゼロ）、１０（ｘ₁＝０、ｘ₂＝１０）である場合（ケース２）、（２０）式が、規格化の対象の制約式である。（２０）式の係数の和は１３である。従って、係数規格化部１０４は、（２０）式の両辺を１３で割って以下の（２５）式のように、係数を規格化した制約式を導出する。
１０／１３ｘ₁＋３／１３ｘ₂＝３０／１３・・・（２５） Moreover, when the decision variables x ₁ and x ₂ are 0 (zero) and 10 (x ₁ = 0, x ₂ = 10) (case 2), the equation (20) is a constraint equation to be normalized. is there. The sum of the coefficients of equation (20) is 13. Accordingly, the coefficient normalization unit 104 divides both sides of the equation (20) by 13 and derives a constraint equation in which the coefficients are normalized as in the following equation (25).
10 / 13x ₁ + 3 / 13x ₂ = 30/13 (25)

同様に、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、２５／２、０（ゼロ）（ｘ₁＝２５／２、ｘ₂＝０）である場合（ケース３）、（１９）式が、規格化の対象の制約式である。従って、係数規格化部１０４は、（２４）式を導出する。
以上のように本実施形態では、制約式における決定変数ｘ₁、ｘ₂に対する係数を無次元数とする。 Similarly, when the decision variables x ₁ and x ₂ are 25/2, 0 (zero) (x ₁ = 25/2, x ₂ = 0) (case 3), the equation (19) is It is a target constraint expression. Therefore, the coefficient normalization unit 104 derives equation (24).
As described above, in the present embodiment, the coefficients for the decision variables x ₁ and x ₂ in the constraint equation are assumed to be dimensionless numbers.

＜超平面式導出部１０５、ステップＳ２０５、Ｓ２０６＞
超平面式導出部１０５は、基底・非基底判定部１０３の判定結果に基づいて、決定変数ｘ_nの中に非基底変数（非基底な決定変数ｘ_n）があるか否かを判定する。この判定の結果、決定変数ｘ_nの中に非基底変数がない場合、超平面式導出部１０５は、以下に説明する処理を行わない。この場合、決定変数ｘ_nの中に非基底変数がないと判定された時点で後述する重み係数上下限計算部１０６の処理の実行が開始される。 <Super-plane equation derivation unit 105, steps S205, S206>
Hyperplane equation deriving section 105 determines, based on the determination result of the basal and non-basal determination unit 103, whether there is a non-basic variables (nonbasic decision variable x _n) in the decision variable x _n. If there is no non-basis variable in the decision variable x _n as a result of this determination, the hyperplane equation derivation unit 105 does not perform the process described below. In this case, when it is determined that there is no non-basis variable in the decision variable x _n , execution of processing of the weighting factor upper and lower limit calculation unit 106 described later is started.

一方、決定変数ｘ_nの中に非基底変数がある場合、超平面式導出部１０５は、以下の処理を行う。
まず、超平面式導出部１０５は、非基底変数である決定変数ｘ_mの中から、１つの決定変数ｘ_mを選択する。次に、超平面式導出部１０５は、選択した決定変数ｘ_mに対する係数を１、その他の非基底変数である決定変数ｘ_mおよび基底変数である決定変数ｘ_mに対する係数を０（ゼロ）、定数を０（ゼロ）とする超平面の式を導出する。超平面式導出部１０５は、このような超平面の式の導出を、非基底変数である決定変数ｘ_mのそれぞれについて個別に行う。 On the other hand, when there is a non-basis variable in the decision variable x _n , the hyperplane formula derivation unit 105 performs the following processing.
First, hyperplane equation deriving section 105, from the decision variable x _m is a non-basic variables, selects one decision variable x _m. Next, the hyperplane equation derivation unit 105 sets the coefficient for the selected decision variable x _m to 1, the other non-base variable decision variable x _m and the coefficient for the base variable decision variable x _m 0 (zero), We derive a hyperplane equation with a constant of 0 (zero). The hyperplane equation deriving unit 105 separately derives such an equation of the hyperplane for each of the non-base variable decision variables x _m .

＜基底・非基底判定部１０３、ステップＳ２０３＞の項で説明したように、具体的問題ＰＲでは、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、０（ゼロ）、１０（ｘ₁＝０、ｘ₂＝１０）である場合(ケース２)、（２１）式が超平面の式になる。また、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、２５／２、０（ゼロ）（ｘ₁＝２５／２、ｘ₂＝０）である場合(ケース３)、（２２）式が超平面の式になる。 As described in the <base / non-base determination unit 103, step S203>, in the concrete problem PR, the decision variables x ₁ and x ₂ are 0 (zero) and 10 (x ₁ = 0, x ₂ = In the case of 10) (case 2), the equation (21) becomes a hyperplane equation. Further, when the decision variables x ₁ and x ₂ are 25/2, 0 (zero) (x ₁ = 25/2, x ₂ = 0) (case 3), the equation (22) is a hyperplane equation Become.

尚、＜基底・非基底判定部１０３、ステップＳ２０３＞の項で説明したように、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、０（ゼロ）、１０（ｘ₁＝０、ｘ₂＝１０）である場合(ケース２)と、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、２５／２、０（ゼロ）（ｘ₁＝２５／２、ｘ₂＝０）である場合(ケース３)、それぞれ（２１）式、（２２）式が、非基底なスラック変数を含む制約式の替わりに用いられるが、（２１）式、（２２）式はもともと規格化されている（係数の合計は１である）ので、規格化の必要はない。 As described in the <base / non-base determination unit 103, step S203>, the decision variables x ₁ and x ₂ are 0 (zero) and 10 (x ₁ = 0, x ₂ = 10). In the case (case 2) and the case where the decision variables x ₁ and x ₂ are 25/2, 0 (zero) (x ₁ = 25/2, x ₂ = 0) (case 3), Equation (21) respectively The equations (22) and (22) are used instead of the constraint equation including non-basic slack variables, but the equations (21) and (22) are originally normalized (the sum of the coefficients is 1). There is no need to standardize.

＜重み係数上下限導出部１０６、ステップＳ２０７＞
決定変数ｘ_nの中に非基底変数がない場合、重み係数上下限導出部１０６は、規格化１０４により導出された、係数を規格化した制約式に基づいて、重み係数ｃ₁、ｃ₂のとり得る範囲（上限値および下限値）を導出する。一方、決定変数ｘ_nの中に非基底変数がある場合、重み係数上下限導出部１０６は、規格化１０４により導出された、係数を規格化した制約式と、超平面式導出部１０５により導出された超平面の式（（２１）式〜（２２）式）とに基づいて、重み係数ｃ₁、ｃ₂のとり得る範囲（上限値および下限値）を導出する。 <Weight coefficient upper and lower limit derivation unit 106, step S207>
If there is no non-basis variable in the decision variable x _n , the weighting factor upper and lower limit deriving unit 106 determines the weighting factors c ₁ and c ₂ based on the constraint equation obtained by the normalization 104 that normalizes the factor. Deriving possible ranges (upper limit value and lower limit value). On the other hand, when there is a non-basis variable in the decision variable x _n , the weighting factor upper and lower limit deriving unit 106 derives by the constraint equation which is derived by the normalization 104 and the hyperplane equation deriving unit 105 which standardized the coefficient. The possible ranges (upper limit value and lower limit value) of the weighting factors c ₁ and c ₂ are derived based on the hyperplane equations (formulas (21) to (22)).

ここで、図３を参照しながら、具体的問題ＰＲにおいて重み係数ｃ₁、ｃ₂のとり得る範囲（上限値および下限値）の一例について説明する。 Here, an example of the possible range (upper limit value and lower limit value) of the weight coefficients c ₁ and c _{2 in} the specific problem PR will be described with reference to FIG.

＜基底・非基底判定部１０３、ステップＳ２０３＞の項で説明したように、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、５／２、１０／３（ｘ₁＝５／２、ｘ₂＝１０／３）である場合(ケース１)、（１８）式を表す直線３０１と（１９）式を表す直線３０２との交点（点３１３）が具体的問題ＰＲの最適解になる。
図３において、破線３２１は、（８）式を示す。破線３２１の傾きが、重み係数ｃ₁、ｃ₂に対応する。具体的問題ＰＲは、（８）式の評価式ｚを最小化する問題である。従って、点３１１、３１２、３１３、３１４のうち、破線３２１をその傾きを保ったまま図３に示す白抜きの矢印線の方向に移動させた場合に、最後に通過する点が、具体的問題ＰＲの最適解になる。従って、点３１３が具体的問題ＰＲの最適解になるためには、破線３２１の傾きが、（１８）式を表す直線３０１の傾きと（１９）式を表す直線３０２の傾きとの範囲内にある必要がある（図３において、点３１３を通る破線３２１を参照）。 As described in the <base / non-base determination unit 103, step S203>, the determination variables x ₁ and x ₂ are 5/2 and 10/3 (x ₁ = 5/2, x ₂ = 10/3). (Case 1), the intersection point (point 313) of the straight line 301 representing the equation (18) and the straight line 302 representing the equation (19) is the optimum solution of the specific problem PR.
In FIG. 3, a broken line 321 indicates the equation (8). The slope of the dashed line 321 corresponds to the weighting factors c ₁ and c ₂ . The specific problem PR is a problem of minimizing the evaluation equation z of the equation (8). Therefore, among the points 311, 312, 313, 314, when the broken line 321 is moved in the direction of the white arrow line shown in FIG. 3 while maintaining its inclination, the last passing point is a specific problem. It becomes the optimal solution of PR. Therefore, for the point 313 to be the optimum solution of the specific problem PR, the slope of the broken line 321 is within the range of the slope of the straight line 301 representing the equation (18) and the slope of the straight line 302 representing the equation (19). (See FIG. 3, dashed line 321 through point 313).

（８）式に示すように、重み係数ｃ₁、ｃ₂は、（８）式の法線ベクトル（ｃ₁、ｃ₂）であり、（１０）式に示すようにそれらの和は１である。従って、（１８）式を規格化した（２３）式の法線ベクトル（４／７，３／７）と、（１９）式を規格化した（２４）式の法線ベクトル（１／４，３／４）との範囲内に、重み係数ｃ₁、ｃ₂があれば、破線３２１の傾きが、（１８）式を表す直線３０１の傾きと（１９）式を表す直線３０２の傾きとの範囲内にとなり、具体的問題ＰＲの最適解が点３１３になる。
この場合、重み係数上下限導出部１０６は、（２３）式および（２４）式に基づいて、以下の（２６）式および（２７）式のように、重み係数ｃ₁、ｃ₂のとり得る範囲を導出する。
１／４＜ｃ₁＜４／７・・・（２６）
３／７＜ｃ₂＜３／４・・・（２７） As shown in the equation (8), the weighting coefficients c ₁ and c ₂ are normal vectors (c ₁ , c ₂ ) in the equation (8), and their sum is 1 as shown in the equation (10) is there. Therefore, the normal vector (4/7, 3/7) of the equation (23) which is the equation (18) is standardized, and the normal vector (1/4, 4) of the equation (24) which is the equation (19). If weighting coefficients c ₁ and c ₂ exist within the range of 3/4), the inclination of the broken line 321 corresponds to the inclination of the straight line 301 representing the equation (18) and the inclination of the line 302 representing the equation (19) Within the range, the optimum solution of the specific problem PR is the point 313.
In this case, the weighting factor upper and lower limit deriving unit 106 can take the weighting factors c ₁ and c ₂ based on the equations (23) and (24) as in the following equations (26) and (27). Derive the range.
1/4 <c ₁ <4/7 (26)
3/7 <c ₂ <3/4 (27)

また、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、０（ゼロ）、１０（ｘ₁＝０、ｘ₂＝１０）である場合(ケース２)、（２０）式を表す直線３０３と、（２１）式で表されるｘ₂軸との交点（点３１１）が具体的問題ＰＲの最適解になる。従って、（２０）式を規格化した（２５）式の法線ベクトル（１０／１３，３／１３）と、（２１）式の法線ベクトル（１，０）との範囲内に、重み係数ｃ₁、ｃ₂があれば、破線３２１の傾きが、（２０）式を表す直線３０３の傾きと（２１）式で表されるｘ₂軸との範囲内にとなり、具体的問題ＰＲの最適解が点３１１になる。
この場合、重み係数上下限導出部１０６は、（２１）式および（２５）式に基づいて、以下の（２８）式および（２９）式のように、重み係数ｃ₁、ｃ₂のとり得る範囲を導出する。
１０／１３＜ｃ₁＜１・・・（２８）
０＜ｃ₂＜３／１３・・・（２９） When the decision variables x ₁ and x ₂ are 0 (zero) and 10 (x ₁ = 0, x ₂ = 10) (case 2), the straight line 303 representing the equation (20) and the equation (21) The point of intersection with the x ₂ axis (point 311) represented by is the optimum solution of the specific problem PR. Therefore, within the range between the normal vector (10/13, 3/13) of the equation (25) obtained by normalizing the equation (20) and the normal vector (1, 0) of the equation (21) If c ₁ and c ₂ are present, the slope of the broken line 321 falls within the range of the slope of the straight line 303 representing the equation (20) and the x ₂ axis represented by the equation (21). The solution is at point 311.
In this case, the weighting factor upper and lower limit deriving unit 106 can take the weighting factors c ₁ and c ₂ based on the equations (21) and (25) as in the following equations (28) and (29): Derive the range.
10/13 <c ₁ <1 (28)
0 <c ₂ <3/13 (29)

また、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、２５／２、０（ゼロ）（ｘ₁＝２５／２、ｘ₂＝０）である場合(ケース３)、（１９）式を表す直線３０２の傾きと、（２２）式で表されるｘ₁軸との交点（点３１４）が具体的問題ＰＲの最適解になる。従って、（１９）式を規格化した（２４）式の法線ベクトル（１／４，３／４）と、（２２）式の法線ベクトル（０，１）との範囲内に、重み係数ｃ₁、ｃ₂があれば、破線３２１の傾きが、（１９）式を表す直線３０２の傾きと（２２）式で表されるｘ₁軸との範囲内にとなり、具体的問題ＰＲの最適解が点３１４になる。
この場合、重み係数上下限導出部１０６は、（２２）式および（２４）式に基づいて、以下の（３０）式および（３１）式のように、重み係数ｃ₁、ｃ₂のとり得る範囲を導出する。
０＜ｃ₁＜１／４・・・（３０）
３／４＜ｃ₂＜１・・・（３１） When the decision variables x ₁ and x ₂ are 25/2, 0 (zero) (x ₁ = 25/2, x ₂ = 0) (case 3), the slope of the straight line 302 representing the equation (19) The point of intersection (point 314) with the x ₁ axis expressed by equation (22) is the optimal solution of the specific problem PR. Therefore, within the range of the normal vector (1/4, 3/4) of the equation (24) which normalized the equation (19) and the normal vector (0, 1) of the equation (22), the weighting coefficients If c ₁ and c ₂ are present, the slope of the broken line 321 falls within the range of the slope of the straight line 302 representing the equation (19) and the x ₁ axis represented by the equation (22). The solution is at point 314.
In this case, the weighting factor upper and lower limit deriving unit 106 can take the weighting factors c ₁ and c ₂ based on the equations (22) and (24) as in the following equations (30) and (31): Derive the range.
0 <c ₁ <1/4 (30)
3/4 <c ₂ <1 (31)

尚、（２１）式〜（２２）式の超平面の式と、（２３）式〜（２５）式の制約式は何れも規格化されているので、決定変数ｘ₁に対する係数同士、および、決定変数ｘ₂に対する係数同士をそのまま比較することができ、各式の係数の値をそのまま重み係数ｃ₁、ｃ₂の上限値または下限値として採用することができる。 It is to be noted that since the equations of the hyperplanes of the equations (21) to (22) and the constraints of the equations (23) to (25) are both standardized, the coefficients for the decision variable x ₁ decision variables can be directly compared coefficients together for x _2, can be employed values of the coefficients of the equation as it is the upper limit or the lower limit value of the weighting coefficients c _1, c _2.

＜表示部１０７、重み係数決定部１０８、ステップＳ２０８、Ｓ２０９＞
表示部１０７は、重み係数上下限導出部１０６で導出された、重み係数ｃ_nのとり得る範囲（上限値および下限値）をコンピュータディスプレイに表示する。重み係数決定部１０８は、表示部１０７により表示された重み係数ｃ_nのとり得る範囲に応じてオペレータの操作に基づいて、採用する重み係数ｃ_nを決定し、決定した重み係数ｃ_nと、実績取得部１０１により取得された係数ｈ_inとを、以下の（３２）式に代入して連立方程式を解くことにより、重み係数ｗ_iを求める。 <Display Unit 107, Weight Coefficient Determination Unit 108, Steps S208, S209>
The display unit 107 displays the possible range (upper limit value and lower limit value) of the weighting coefficient c _n derived by the weighting coefficient upper and lower limit deriving unit 106 on the computer display. Weighting coefficient determining section 108, based on the operator's operation in accordance with the possible range of weight coefficients c _n, which is displayed by the display unit 107, a weighting coefficient c _n for determining the weighting coefficients c _n, was determined to adopt, has been a coefficient h _in obtaining the record acquisition unit 101, by by substituting the following equation (32) solving the simultaneous equations, we obtain a weight coefficient w _i.

表示部１０７は、例えば、重み係数ｃ_nのとり得る範囲を表示する部分と、重み係数ｃ_nの値の入力を受け付ける部分とを含むグラフィックユーザインターフェースを表示する。重み係数ｃ_nの値の入力を受け付ける部分で、全ての重み係数ｃ_nの入力を受け付けるようにしてもよいが、一部の重み係数ｃ_nの入力を受け付け、重み係数決定部１０８が残りの重み係数ｃ_nを計算で求めるようにしてもよい。 Display unit 107 displays, for example, a section for displaying the possible range of the weight coefficients c _n, a graphical user interface including a portion for accepting input values of the weighting coefficients c _n. In the portion for accepting an input value of the weighting factor c _n, may be accepted input of all the weighting factors c _n, receives an input of a part of the weighting factor c _n, the weighting coefficient determining section 108 remaining The weighting factor c _n may be obtained by calculation.

具体的問題ＰＲでは、表示部１０７は、２つの重み係数ｃ₁、ｃ₂のとり得る範囲を表示する部分と、少なくとも１つの重み係数ｃ₁、ｃ₂の値の入力を受け付ける部分とを含むグラフィカルユーザインターフェースを表示する。例えば、決定変数ｘ₁、ｘ₂が、５／２、１０／３（ｘ₁＝５／２、ｘ₂＝１０／３）である場合(ケース１)、重み係数ｃ₁、ｃ₂のとり得る範囲は、それぞれ（２６）式、（２７）式で表される。従って、表示部１０７は、２つの重み係数ｃ₁、ｃ₂のとり得る範囲を表示する部分に、図４（ａ）に示すような情報を表示する。 In the specific problem PR, the display unit 107 includes a portion for displaying the possible range of the _two weighting factors c ₁ and c ₂ and a part for receiving the input of the value of at least one weighting factor c ₁ and c _2. Display a graphical user interface. For example, when the decision variables x ₁ and x ₂ are 5/2 and 10/3 (x ₁ = 5/2, x ₂ = 10/3) (case 1), the weighting coefficients c ₁ and c ₂ are taken. The range to be obtained is represented by the equations (26) and (27), respectively. Therefore, the display unit 107 displays information as shown in FIG. 4A in a portion that displays possible ranges of the _two weighting factors c ₁ and c ₂ .

また、表示部１０７は、少なくとも１つの重み係数ｃ₁、ｃ₂の値の入力を受け付ける部分に、例えば、重み係数ｃ₁、ｃ₂のうち、重み係数ｃ₁のみの値の入力を受け付けるテキストボックスを表示する。重み係数決定部１０８は、受け付けた重み係数ｃ₁の値を（１０）式に代入することにより、重み係数ｃ₂を求める。重み係数ｃ₁の値として１１／２８が入力された場合、図４（ｂ）に示すように、重み係数決定部１０８は、（１０）式から、重み係数ｃ₂の値として１７／２８（＝１−１１／２８）を導出する。尚、前述したように、表示部１０７は、例えば、重み係数ｃ₁、ｃ₂の双方の値の入力を受け付けるテキストボックスを表示してもよい。 The display unit 107 receives the portion for accepting input of at least one value of the weighting coefficients c _1, c _2, for example, among the weighting coefficients c _1, c _2, an input value of only the weighting coefficients c ₁ text Display a box. Weighting coefficient determining section 108, by substituting the value of the weighting factor c ₁ accepted in (10), determining the weighting factor c _2. When 11/28 is input as the value of the weighting coefficient c ₁ , as shown in FIG. 4B, the weighting coefficient determination unit 108 calculates 17/28 (the value of the weighting coefficient c ₂ ) from equation (10). = 1-1 1/28) is derived. Note that, as described above, the display unit 107 may display, for example, a text box that receives input of both values of the weighting factors c ₁ and c ₂ .

＜最適化部１０９＞
最適化部１０９は、作成対象の計画に対応する係数ａ_mn、ｈ_inおよび定数ｂ_mと、重み係数決定部１０８で決定された重み係数ｗ_iとを（１）式〜（３）式に与え、（３）式を満足する範囲で、評価式ｚが最小になるときの決定変数ｘ_n（即ち、最適解）を、線形計画法による最適化計算を行うことにより導出する。尚、線形計画法による最適化計算は市販の数理計画法のソルバー（例えばCPLEX（登録商標）のようなソフトウェア）等を適宜用いればよい。表示部１０７は、最適化部１０９により導出された最適解の情報を表示する。 <Optimization unit 109>
The optimization unit 109 _converts the coefficients a _mn and h _in and the constants b _m corresponding to the plan to be created and the weighting coefficients w _i determined by the weighting coefficient determination unit 108 into the equations (1) to (3). Given a range satisfying the equation (3), the decision variable x _n (that is, the optimal solution) at which the evaluation equation z becomes minimum is derived by performing optimization calculation by linear programming. For optimization calculation by linear programming, a commercially available solver of mathematical programming (for example, software such as CPLEX (registered trademark)) may be used as appropriate. The display unit 107 displays the information of the optimal solution derived by the optimization unit 109.

＜まとめ＞
以上のように本実施形態では、計画作成装置１００は、非基底なスラック変数ｓ_mを含む制約式の係数を規格化し、規格化した制約式の係数に基づいて、評価指標ｆ_i（ｘ）に対する重み係数ｃ_nのとり得る範囲を導出し、この範囲の中から、評価指標ｆ_i（ｘ）と重み係数ｗ_iとの積の和で表現される線形式である評価式の重み係数ｗ_iを決定する。従って、過去に立案された計画から、評価指標の重み係数を人の感覚に頼らずに設定することができる。 <Summary>
As described above, in the present embodiment, the plan creation device 100 normalizes the coefficient of the constraint equation including the non-basic slack variable s _m and, based on the normalized coefficient of the constraint equation, the evaluation index f _i (x) The possible range of the weighting factor c _{n for} the above is derived, and from this range, the weighting factor w of the evaluation formula that is a linear form expressed by the sum of the products of the evaluation index f _i (x) and the weighting factor w _i Determine _i . Therefore, the weighting factor of the evaluation index can be set without relying on human sense from the plan formulated in the past.

通常、生産計画・物流計画では、これから先の１週間分の計画、１か月分の計画、或いは１年分の計画と言うように将来の一定期間分の計画が立案される。この際に１度立案された計画は、ある一定の日時が経過した後（例えば、１週間分の計画では、翌日或いは数日後）に、日数が経過したことにより生じる、前回立案した計画と実績とのずれを修正したり、前回立案した計画を見直したりしながら、経過した日数分の計画を継ぎ足して再度必要日数分の計画を立案することとなる。この作業をローリングと言う。この場合、生産計画・物流計画を多目的最適化問題として捉え、この多目的最適化問題を解く場合には、定式化の構造（（１）式〜（３）式の構造）自体は変わらない。例えば、前述した、材料１、２を配合して混合物を生成する例では、求められる品質１、２、３の値が変更すること等により、係数ａ_mnおよび定数ｂ_mが変わり得るが、品質１、２、３を満たすといった要求自体（即ち、制約式の式自体）は変わらない場合が一般的である。更に、各評価指標ｆ_i（ｘ）の重要度（即ち、重み係数ｗ_i）は大きく状況が変わらない限り変わらない。このため、本実施形態のようにして決定した重み係数ｗ_iを、新たな期間の計画の立案の際に用いて、計画を作成することを行えば、過去の計画で重要視していた指標に従い、納得感のある計画を新たな期間の計画として立案することが可能となる。 Usually, in production planning and distribution planning, a plan for a certain period in the future is formulated, such as a plan for one week, a plan for one month, or a plan for one year. In this case, the plan created once is the plan and results created last time that occur after the passage of days after a certain date and time has passed (for example, in the case of one week's plan, the next day or several days later) While correcting the gap between them and reviewing the previously created plan, the plan for the required number of days will be drawn up again by adding up the plan for the elapsed days. This work is called rolling. In this case, the production planning / distribution planning is regarded as a multi-objective optimization problem, and when solving this multi-objective optimization problem, the structure of the formulation (structures of the equations (1) to (3)) itself does not change. For example, in the above-described example of mixing the materials 1 and 2 to form a mixture, the coefficients a _mn and the constant b _m can be changed by changing the values of the qualities 1, 2 and 3 required, etc. In general, the requirements for satisfying 1, 2, 3 (ie, the constraint equation itself) do not change. Furthermore, the importance of each evaluation index f _i (x) (i.e., the weighting factor w _i ) does not change unless the situation greatly changes. For this reason, if a weighting factor w _i determined as in this embodiment is used in the planning of a plan for a new period to create a plan, an index that is regarded as important in the past plans Therefore, it is possible to create a convincing plan as a plan for a new period.

＜変形例＞
本実施形態では、最小化問題（（３）式の制約式を満足する範囲で、評価式ｚが最小になるときの決定変数ｘ₁、ｘ₂を最適解として求める問題）を例に挙げて説明した。しかしながら、最大化問題としてもよい。最大化問題とする場合、例えば、（１）式の右辺に（−１）を乗算した式を評価式ｚとし、評価式ｚが最大になるときの決定変数ｘ₁、ｘ₂を最適解として求めるようにすることができる。 <Modification>
In the present embodiment, the minimization problem (a problem in which the determination variable x ₁ and x ₂ are determined as the optimum solution when the evaluation equation z becomes the minimum in a range satisfying the constraint equation of equation (3)) is taken as an example. explained. However, it may be a maximization problem. In the case of the maximization problem, for example, an expression obtained by multiplying the right side of the expression (1) by (-1) is an evaluation expression z, and the decision variables x ₁ and x ₂ when the evaluation expression z is maximum are the optimum solutions. You can ask for it.

また、本実施形態では、制約式（および超平面の式）の法線ベクトルを用いて、重み係数ｃ_nのとり得る範囲を導出する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、最適解（例えば点３１３）を通る、（８）式に対応する直線（破線３２１）の傾きの範囲が、当該最適解を通る制約式（および超平面の式）の傾きの範囲内となるように、（８）式に対応する直線の傾きの上下限値を求める。そして、求めた傾きの上限値を傾きとする直線であって、最適解（例えば点３１３）を通る直線を表す関数を導出し、導出した関数において、（１０）式を満たすように、決定変数ｘ₁、ｘ₂に対する係数を変更する。同様に、求めた傾きの下限値を傾きとする直線であって最適解（例えば点３１３）を通る直線を表す関数を導出し、導出した関数において、（１０）式を満たすように、決定変数ｘ₁、ｘ₂に対する係数を変更する。これら求めた決定変数ｘ₁、ｘ₂に対する係数が、重み係数ｃ₁、ｃ₂の上限値または下限値になる。尚、このようにする場合、制約式の係数は規格化されていてもいなくてもよい。 Further, in the present embodiment, the normal vector of the constraint equation (and the hyperplane equation) is used to derive the possible range of the weight coefficient c _n as an example. However, this is not necessary. For example, the range of inclination of the straight line (dotted line 321) corresponding to equation (8), which passes through the optimal solution (for example, point 313), falls within the range of inclination of the constraint equation (and hyperplane equation) passing through the optimal solution. The upper and lower limit values of the slope of the straight line corresponding to equation (8) are determined so that Then, a straight line with the upper limit value of the calculated slope as the slope, and a function representing a straight line passing through the optimum solution (for example, point 313) is derived, and the derived function satisfies the equation (10). Change the coefficients for x ₁ and x ₂ . Similarly, a function is drawn that is a straight line that uses the lower limit of the found slope as the slope and that represents a straight line passing through the optimum solution (for example, point 313), and the derived function satisfies the equation (10) Change the coefficients for x ₁ and x ₂ . The coefficients for the determined variables x ₁ and x ₂ thus obtained become the upper limit value or the lower limit value of the weighting coefficients c ₁ and c ₂ . In this case, coefficients of the constraint equation may or may not be standardized.

また、本実施形態では、重み係数ｃ_nの範囲を表示する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、重み係数ｃ_nの範囲と、実績取得部１０１により取得された係数ｈ_inと、（３２）式とを用いて、重み係数ｗ_iの範囲を計算して表示してもよい。このようにする場合、例えば、表示部１０７は、重み係数ｗ_iのとり得る範囲を表示する部分と、重み係数ｗ_iの値の入力を受け付ける部分とを含むグラフィックユーザインターフェースを表示する。また、このグラフィックユーザインターフェースにおいて、一部の重み係数ｗ_iの入力を受け付け、重み係数決定部１０８が残りの重み係数ｗ_iを計算で求めるようにしてもよい。 Further, in the present embodiment, the case of displaying the range of the weighting factor c _n has been described as an example. However, this is not necessary. For example, the range of the weighting factor w _i may be calculated and displayed using the range of the weighting factor c _n , the coefficient h _in acquired by the actual result acquiring unit 101, and the equation (32). When doing so, for example, the display unit 107 displays a graphical user interface that includes a portion for displaying the possible range of the weight coefficient w _i, and a portion for accepting input values of the weighting factor w _i. In addition, in the graphic user interface, an input of a part of the weight coefficients w _i may be received, and the weight coefficient determination unit 108 may calculate the remaining weight coefficients w _i .

また、本実施形態では、決定変数の数が２、制約式の数が３、評価指標の数が２である場合を例に挙げて説明した。決定変数、制約式、および評価指標の数は、これらに限定されず、本実施形態で説明した手法の一般性は、これらの数が変わっても失われず、本実施形態で説明したのと同様の手法により重み係数ｗ_iを決定することができる。
また、本実施形態の具体的問題ＰＲでは、制約式が全て線形不等式である場合を例に挙げて示したが、制約式に少なくとも１つの線形不等式が含まれていれば、制約式に線形等式が含まれていてもよい。 Further, in the present embodiment, the case where the number of decision variables is 2, the number of constraint equations is 3, and the number of evaluation indices is 2 has been described as an example. The numbers of decision variables, constraints, and evaluation indices are not limited to these, and the generality of the method described in the present embodiment is not lost even if these numbers change, and is the same as that described in the present embodiment. The weighting factor w _i can be determined by the method of
Further, in the specific problem PR of the present embodiment, the case where all the constraint expressions are linear inequalities is shown as an example, but if at least one linear inequality is included in the constraint expressions, the linear etc. A formula may be included.

また、本実施形態では、（１）式、（２）式で表される様に、最適化問題の最適化の対象である評価式ｚが、複数の評価指標の重み付け和で表される場合を例にあげて説明した。しかしながら必ずしもこのようにする必要はない。例えば、評価式ｚが単一の評価指標（決定変数の重み付け和）で表されるものであってもよい。言い換えると、元々の最適化問題の評価式ｚが（５）式の最右辺の形で表されるものであってもよい。 Further, in the present embodiment, as represented by the equations (1) and (2), the evaluation formula z which is the target of optimization of the optimization problem is represented by a weighted sum of a plurality of evaluation indexes. I described it as an example. However, this is not necessary. For example, the evaluation formula z may be represented by a single evaluation index (weighted sum of decision variables). In other words, the evaluation equation z of the original optimization problem may be expressed in the form of the rightmost side of the equation (5).

（第２の実施形態）
次に、第２の実施形態を説明する。第１の実施形態では、重み係数ｃ_nのとり得る範囲を表示し、その範囲の中から、重み係数ｃ_nの少なくとも１つの値をオペレータが決める場合を例に挙げて説明した。例えば、決定変数ｘ_nの数（即ち重み係数ｃ_nの数）が膨大になる場合には、重み係数ｃ_nのとり得る範囲を表示したとしても、重み係数ｃ_nの値をオペレータが決めることが容易でない場合が生じ得る。そこで、本実施形態では、計画作成装置が、重み係数ｃ_nのとり得る範囲の中から、重み係数ｃ_nの値を自動的に導出する。このように本実施形態と第１の実施形態は、重み係数ｃ_nの値を決定する方法が主として異なる。従って、本実施形態の説明において、第１の実施形態と同一の部分については、図１〜図４に付した符号と同一の符号を付す等して詳細な説明を省略する。 Second Embodiment
Next, a second embodiment will be described. In the first embodiment, the possible range of the weighting factor c _n is displayed, and the case where the operator determines at least one value of the weighting factor c _n from the range is described as an example. For example, when the number of decision variables x _n (that is, the number of weighting factors c _n ) becomes enormous, the operator determines the value of weighting factors c _n even if the possible range of weighting factors c _n is displayed. May not be easy. Therefore, in this embodiment, planning apparatus, from among the possible range of the weight coefficients c _n, automatically derive a value of the weighting factor c _n. Thus, the present embodiment and the first embodiment mainly differ in the method of determining the value of the weighting coefficient c _n . Therefore, in the description of the present embodiment, the same parts as those in the first embodiment are denoted by the same reference numerals as those in FIGS. 1 to 4 and the detailed description will be omitted.

本実施形態では、表示部１０７は、重み係数上下限導出部１０６で導出された、重み係数ｃ_nのとり得る範囲（上限値および下限値）を表示せずに、重み係数決定部１０８で決定された重み係数ｃ_n或いは重み係数ｗ_iを表示する。ここで、勿論、重み係数ｃ_nのとり得る範囲（上限値および下限値）、重み係数Ｗ_iのとり得る範囲（上限値および下限値）も併せて表示してもよい。
重み係数決定部１０８は、重み係数ｃ_nのとり得る範囲の制約と、重み係数ｃ_nの合計値の制約とを満たすように一意に重み係数ｃ_nを決定する。例えば、重み係数決定部１０８は、以下の（３４）式および（３５）式を満足する範囲で、（３３）式の値ｃ_jが最小になるときの重み係数ｃ_nを、線形計画法による最適化計算を行うことにより導出する。 In the present embodiment, the display unit 107 is determined by the weighting factor determination unit 108 without displaying the possible range (upper limit value and lower limit value) of the weighting factor c _n derived by the weighting factor upper and lower limit deriving unit 106. The displayed weighting factor c _n or weighting factor w _i is displayed. Here, as a matter of course, possible ranges (upper limit value and lower limit value) of the weighting factor c _n and possible ranges (upper limit value and lower limit value) of the weighting factor W _i may be displayed together.
Weighting coefficient determining section 108 determines constraints and possible range of weight coefficients c _n, uniquely weighting coefficients c _n so as to satisfy the constraints of the total value of the weighting factor c _n. For example, the weighting factor determination unit 108 uses the linear programming method to determine the weighting factor c _{n at} which the value c _{j of the} equation (33) is minimized in a range satisfying the following equations (34) and (35). It derives by performing optimization calculation.

（３３）式において、ｃ_jは、重み係数ｃ_nの中から選択された１つの重み係数である。ｃ_jとして選択する重み係数は任意である。また、（３４）式において、ＬＢ_nは、重み係数ｃ_nの下限値であり、ＵＢ_nは、重み係数ｃ_nの上限値である。
ここでは、実行可能な解（実現可能な重み係数ｃ_n）を導出することが目的であるため、（３３）式の評価指標に関しては意味を持たない。このため、（３３）式の評価指標はなくてもよい。 In equation (33), c _j is one weighting factor selected from among the weighting factors c _n . The weighting factor selected as c _j is arbitrary. Further, in the equation (34), LB _n is the lower limit value of the weight coefficient c _n , and U B _n is the upper limit value of the weight coefficient c _n .
Here, since the purpose is to derive a feasible solution (realizable weighting factor c _n ), the evaluation index of equation (33) has no meaning. Therefore, the evaluation index of the equation (33) may not be present.

重み係数決定部１０８は、以上のようにして一意に定められる重み係数ｃ_nと、実績取得部１０１により取得された係数ｈ_inとを、（３２）式に代入して連立方程式を解くことにより、重み係数ｗ_iを求める。 The weighting coefficient determination unit 108 substitutes the weighting coefficient c _n uniquely determined as described above and the coefficient h _in acquired by the result acquisition unit 101 into the equation (32) to solve the simultaneous equations. , Weight coefficients w _i are determined.

（その他の実施形態）
尚、以上説明した本発明の実施形態は、コンピュータがプログラムを実行することによって実現することができる。また、前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体及び前記プログラム等のコンピュータプログラムプロダクトも本発明の実施形態として適用することができる。記録媒体としては、例えば、フレキシブルディスク、ハードディスク、光ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、磁気テープ、不揮発性のメモリカード、ＲＯＭ等を用いることができる。
また、以上説明した本発明の実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の例を示したものに過ぎず、これらによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその技術思想、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。 (Other embodiments)
The embodiment of the present invention described above can be realized by a computer executing a program. In addition, a computer readable recording medium recording the program and a computer program product such as the program can be applied as an embodiment of the present invention. As the recording medium, for example, a flexible disk, a hard disk, an optical disk, a magneto-optical disk, a CD-ROM, a magnetic tape, a non-volatile memory card, a ROM or the like can be used.
In addition, any of the embodiments of the present invention described above is merely an example of implementation for carrying out the present invention, and the technical scope of the present invention should not be interpreted limitedly by these. It is a thing. That is, the present invention can be implemented in various forms without departing from the technical idea or the main features thereof.

（請求項との関係）
以下に、請求項の記載と実施形態との記載との関係の一例を示す。尚、請求項の記載が実施形態の記載に限定されないことは、変形例等に示した通りである。
実績取得手段は、例えば、実績取得部１０１を用いることにより実現される。
前記制約式に含まれる係数、定数、決定変数は、例えば、それぞれ、係数ａ_mn、定数ｂ_m、決定変数ｘ₁、ｘ₂を用いることにより実現される。
前記評価式に含まれる前記決定変数は、例えば、決定変数ｘ₁、ｘ₂を用いることにより実現される。
標準形変換手段は、例えば、標準形変換部１０２を用いることにより実現される。
前記標準形変換手段により標準形に変換された前記制約式は、例えば、（９）式を用いることにより実現される。
第１の基底・非基底判定手段は、例えば、基底・非基底判定部１０３を用いることにより実現される。
重み係数上下限導出手段は、例えば、重み係数上下限導出部１０６を用いることにより実現される。
規格化手段は、例えば、係数規格化部１０４を用いることにより実現される。
第２の基底・非基底判定手段は、例えば、基底・非基底判定部１０３を用いることにより実現される。
超平面式導出手段は、例えば、超平面式導出部１０５を用いることにより実現される。
超平面の式は、例えば、（２１）式、（２２）式を用いることにより実現される。
出力手段は、例えば、表示部１０７を用いることにより実現される。
請求項４の重み係数決定手段は、例えば、（第１の実施形態における）重み係数決定部１０８を用いることにより実現される。
請求項５における前記重み係数の合計値の制約を示す制約式は、例えば、（１０）式を用いることにより実現される（（３５）式も参照）。
請求項６の重み係数決定手段は、例えば、（第２の実施形態における）重み係数決定部１０８を用いることにより実現される。
請求項６における前記重み係数の上限値および下限値を示す制約式は、例えば、（３４）式を用いることにより実現される。また、前記重み係数の合計値の制約を示す制約式は、例えば、（３５）式を用いることにより実現される。 (Relationship with claim)
Below, an example of the relationship between the statement of a claim and the statement of an embodiment is shown. Note that the description of the claims is not limited to the description of the embodiment, as shown in the modification and the like.
The track record acquisition unit is realized by using the track record acquisition unit 101, for example.
The coefficients, constants, and decision variables included in the constraint equation are realized by using, for example, the coefficient a _mn , the constant b _m , and the decision variables x ₁ and x ₂ , respectively.
The decision variables included in the evaluation formula are realized, for example, by using decision variables x ₁ and x ₂ .
The standard form conversion means is realized, for example, by using the standard form conversion unit 102.
The constraint equation converted into the standard form by the standard form conversion means is realized by using, for example, the equation (9).
The first basis / non-basis determination unit is realized by using, for example, the basis / non-basis determination unit 103.
The weighting factor upper and lower limit deriving means is realized, for example, by using the weighting factor upper and lower limit deriving unit 106.
The normalization means is realized by using, for example, the coefficient normalization unit 104.
The second basis / non-basis determination unit is realized by using, for example, the basis / non-basis determination unit 103.
The hyperplane type derivation means is realized by using the hyperplane type derivation unit 105, for example.
The hyperplane equation is realized, for example, by using equations (21) and (22).
The output unit is realized by using the display unit 107, for example.
The weighting factor determination means of claim 4 is realized by using, for example, the weighting factor determination unit 108 (in the first embodiment).
The constraint equation indicating the constraint of the total value of the weighting factors in claim 5 is realized, for example, by using equation (10) (see also equation (35)).
The weighting factor determination means of claim 6 is realized by using, for example, the weighting factor determination unit 108 (in the second embodiment).
The constraint equation indicating the upper limit value and the lower limit value of the weight coefficient in claim 6 is realized by using, for example, equation (34). The constraint equation indicating the constraint of the total value of the weighting factors is realized, for example, by using equation (35).

１００：計画作成装置、１０１：実績取得部、１０２：標準形変換部、１０３：基底・非基底判定部、１０４：係数規格化部、１０５：超平面式導出部、１０６：重み係数上下限導出部、１０７：表示部、１０８：重み係数決定部、１０９：最適化部 100: plan creation device, 101: performance acquisition unit, 102: standard form conversion unit, 103: basis / non-basis determination unit, 104: coefficient normalization unit, 105: hyperplane formula derivation unit, 106: weight coefficient upper and lower limit derivation Unit 107: Display unit 108: Weight coefficient determination unit 109: Optimization unit

Claims

When the value of the evaluation equation that is a linear expression expressed using multiple decision variables and weighting factors is maximized or minimized, as long as the constraint expression including at least one constraint expression represented by a linear inequality is satisfied A plan creation device for obtaining a value of the decision variable of the above by optimization calculation by linear programming, and creating a plan based on the value of the decision variable,
Performance acquisition means for acquiring at least the values of coefficients, constants, and decision variables included in the constraint equation and the values of the decision variables included in the evaluation equation as past planning results for the plan;
Standard form conversion means for converting the constraint expression represented by the linear inequality into a standard form using slack variables;
It is determined whether the slack variable is a basis variable or a non-basis variable based on the planned results acquired by the actual acquisition unit and the constraint expression converted to a standard form by the standard form conversion unit. A first basis / non-basis decision means for
Among the constraint equations converted to the standard form by the standard form conversion unit, the constraint expression includes the slack variable determined to be a non-basis variable by the first basis / non-basis determination unit, And a weighting factor upper and lower limit deriving means for deriving the upper limit value and the lower limit value of the weighting factor.

Among the constraint expressions converted to the standard form by the standard form conversion unit, the coefficients of the constraint expression including the slack variable determined to be a non-basis variable by the basis / non-basis determination unit are the constraint equation It further has a standardization means to standardize each
The weighting factor upper and lower limit deriving means derives the upper limit value and the lower limit value of the weighting factor based on the coefficient of the constraint equation normalized by the normalization means. Planning device.

A second basis / non-basis determination means for determining whether the decision variable is a basis variable or a non-basis variable;
It is a linear form in which one of the decision variables determined as a non-basis variable by the second basis / non-basis decision means is selected, and the decision variable is a variable, the coefficient of the selected decision variable , And the coefficients of the decision variables other than the selected decision variable are 0 (zero), and the linear form with a constant of 0 (zero) is derived as a hyperplane equation, the second basis. Hyperplane equation deriving means for performing each of the decision variables determined as nonbasic variables by the nonbasis determination means;
The weighting factor upper and lower limit deriving means is converted into a standard form by the standard form conversion means when the decision variable which is a non-basis variable is included in the planned results acquired by the result acquisition means. Among the constraint expressions, the constraint expression including the slack variable determined to be a non-basis variable by the first basis / non-basis determination unit, and the hyperplane derived by the hyperplane equation derivation unit The plan creation device according to claim 1 or 2, wherein the upper limit value and the lower limit value of the weighting factor are derived based on an equation.

Output means for outputting the upper limit value and the lower limit value of the weighting factor derived by the weighting factor upper and lower limit deriving means;
For at least one of the weighting factors, a value is acquired that is within the range of the upper limit value and the lower limit value of the weighting factor output by the output means, and the weighting factor value is determined based on the acquired value. The plan creation device according to any one of claims 1 to 3, further comprising: coefficient determination means.

Among the weighting factors, the weighting factor determination means does not acquire a value of the weighting factor, a value of the weighting factor whose value is acquired, and a constraint equation indicating a constraint of a total value of the weighting factors. The plan creation device according to claim 4, wherein the plan creation device is derived based on

A value of the weighting factor which uniquely satisfies the constraint formula indicating the upper limit value and the lower limit value of the weighting factor derived by the weighting factor upper and lower limit derivation means, and the constraint formula indicating the constraint of the total value of the weighting factor The plan creation device according to any one of claims 1 to 3, further comprising weighting factor determination means for determining.

7. The plan creation device according to claim 6, wherein the weighting factor determination unit derives the value of the weighting factor using linear programming.

The evaluation equation is represented by a weighted sum obtained by multiplying each of a plurality of evaluation indices each including the decision variable by the weighting factor for the evaluation index, and taking their sum. The plan creation apparatus in any one of 1-7.

When the value of the evaluation equation that is a linear expression expressed using multiple decision variables and weighting factors is maximized or minimized, as long as the constraint expression including at least one constraint expression represented by a linear inequality is satisfied A planning method for obtaining a value of the decision variable by optimization calculation by linear programming, and creating a plan based on the value of the decision variable,
A process of acquiring at least a coefficient, a constant, and a value of a decision variable included in the constraint equation and a value of the decision variable included in the evaluation equation as past planning results for the plan;
A standard form conversion step of converting the constraint expression represented by the linear inequality into a standard form using slack variables;
It is determined whether the slack variable is a basis variable or a non-basis variable based on the planned results acquired in the process of acquiring the results and the constraint expression converted into the standard form in the process of converting the standard form. A first basis / non-basis determination step;
Among the constraints converted into the standard form by the standard form conversion process, the constraint formula including the slack variable determined as the non-basis variable by the first basis / non-basis determination process, And a weighting factor upper and lower limit deriving step of deriving the upper limit value and the lower limit value of the weighting factor.

A program causing a computer to function as each means of the plan creation device according to any one of claims 1 to 8.