JP2013061768A - Optimal model estimation device, method, and program - Google Patents
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Abstract
Description
本発明は、最適モデル推定装置、方法、及びプログラムに係り、特に、カルマンフィルタを用いた最適モデルを推定する最適モデル推定装置、方法、及びプログラムに関する。 The present invention relates to an optimum model estimation device, method, and program, and more particularly, to an optimum model estimation device, method, and program for estimating an optimum model using a Kalman filter.
時系列データを状態空間でモデリングする際、モデル誤差の分散値と観測誤差の分散値とが未知となっている場合がほとんどである。状態空間では、カルマンフィルタによる状態の逐次推定及び推定された状態に基づく予測が可能であるが、誤差の分散値に関しては推測による設定が多い。 When modeling time series data in the state space, the variance value of the model error and the variance value of the observation error are mostly unknown. In the state space, it is possible to successively estimate the state by the Kalman filter and to make a prediction based on the estimated state, but the error variance value is often set by estimation.
例えば、状態の推定誤差の状態空間モデルを考え、予測誤差の自己相関関数を基に誤差の分散値を推定する手法が知られている（非特許文献１）。 For example, a state space model of state estimation error is considered, and a method for estimating a variance value of an error based on an autocorrelation function of a prediction error is known (Non-Patent Document 1).
しかしながら、上記の特許文献１に記載の技術では、誤差の分散値を推定しているため、推定した誤差の分散値が間違っている場合、誤差の分散値の間違った設定によりモデリングの精度が下がり、予測精度も低下してしまう、という問題が生じる。 However, in the technique described in Patent Document 1, since the error variance value is estimated, if the estimated error variance value is incorrect, the modeling accuracy is reduced due to the incorrect setting of the error variance value. As a result, the prediction accuracy is also lowered.
本発明は、上記の事情を鑑みてなされたもので、誤差の分散値を推定せずに、高精度にモデリングを行うことができる最適モデル推定装置、方法、及びプログラムを提供することを目的とする。 The present invention has been made in view of the above circumstances, and an object thereof is to provide an optimum model estimation device, method, and program capable of performing modeling with high accuracy without estimating an error variance value. To do.
上記の目的を達成するために本発明に係る最適モデル推定装置は、観測値の時系列データに基づいて、モデル誤差を用いて状態ベクトルＸを時間更新するための状態更新式、及び観測誤差を用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いた状態空間モデルで表わされるカルマンフィルタのモデルパラメータを推定する状態空間モデリング手段と、前記状態空間モデリング手段によって推定された前記モデルパラメータに基づいて定められた、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、モデル誤差分散及び観測誤差分散の和である予測誤差分散で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記モデル誤差分散及び前記観測誤差分散の何れか一方を前記予測誤差分散で正規化した正規化誤差λとを用いた状態ベクトルＸの時間更新及び観測更新を行う正規化カルマンフィルタに従って、前記時系列データの各観測値を用いて予測値を時系列に算出すると共に、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出する状態推定手段と、予め用意された前記正規化誤差λの各値を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化誤差λを特定し、最適な正規化誤差λを用いた前記正規化カルマンフィルタを、最適モデルの推定結果とする最適モデル推定手段と、を含んで構成されている。 In order to achieve the above object, an optimum model estimation apparatus according to the present invention has a state update equation for time-update of a state vector X using a model error based on time-series data of observation values, and an observation error. A state space modeling means for estimating a model parameter of a Kalman filter represented by a state space model using an observation equation indicating a relationship between the state vector X and an observation value, and the model parameter estimated by the state space modeling means A normalized estimated error variance covariance matrix obtained by normalizing an estimated error variance covariance matrix of the state vector X based on a prediction error variance that is a sum of model error variance and observation error variance; A state vector using a normalized error λ obtained by normalizing either the error variance or the observation error variance with the prediction error variance. In accordance with the normalized Kalman filter that performs time update and observation update of Le X, a predicted value is calculated in time series using each observed value of the time series data, and an observed value corresponding to the predicted value calculated in time series And a state estimation means for calculating each of the prediction errors, and an optimum normalization based on the prediction errors calculated by the state estimation means when using each value of the normalization error λ prepared in advance. And an optimum model estimation unit that specifies the error λ and uses the normalized Kalman filter using the optimum normalization error λ as an estimation result of the optimum model.
本発明に係る最適モデル推定方法は、状態空間モデリング手段、状態推定手段、及び最適モデル推定手段を含む最適モデル推定装置における最適モデル推定方法であって、前記最適モデル推定装置は、前記状態空間モデリング手段によって、観測値の時系列データに基づいて、モデル誤差を用いて状態ベクトルＸを時間更新するための状態更新式、及び観測誤差を用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いた状態空間モデルで表わされるカルマンフィルタのモデルパラメータを推定するステップと、前記状態推定手段によって、前記状態空間モデリング手段によって推定された前記モデルパラメータに基づいて定められた、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、モデル誤差分散及び観測誤差分散の和である予測誤差分散で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記モデル誤差分散及び前記観測誤差分散の何れか一方を前記予測誤差分散で正規化した正規化誤差λとを用いた状態ベクトルＸの時間更新及び観測更新を行う正規化カルマンフィルタに従って、前記時系列データの各観測値を用いて予測値を時系列に算出すると共に、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出するステップと、前記最適モデル推定手段によって、予め用意された前記正規化誤差λの各値を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化誤差λを特定し、最適な正規化誤差λを用いた前記正規化カルマンフィルタを、最適モデルの推定結果とするステップと、を含んで実行することを特徴とする。 An optimum model estimation method according to the present invention is an optimum model estimation method in an optimum model estimation apparatus including a state space modeling means, a state estimation means, and an optimum model estimation means, wherein the optimum model estimation apparatus includes the state space modeling. A state update equation for updating the state vector X with time using a model error based on time series data of the observation value, and an observation equation indicating the relationship between the state vector X and the observation value using the observation error Estimating a model parameter of a Kalman filter represented by a state space model using, and estimating the state vector X determined by the state estimation unit based on the model parameter estimated by the state space modeling unit The covariance matrix of error variance is the sum of model error variance and observation error variance. State vector X using a normalized estimated error variance covariance matrix normalized by prediction error variance and a normalized error λ obtained by normalizing one of the model error variance and the observation error variance by the prediction error variance In accordance with a normalized Kalman filter that performs time update and observation update, a predicted value is calculated in time series using each observed value of the time series data, and the predicted value calculated in time series and the corresponding observed value A step of calculating each of the prediction errors; and an optimum based on the prediction errors calculated by the state estimating unit when using the respective values of the normalization error λ prepared in advance by the optimal model estimating unit. A normalization error λ is specified, and the normalized Kalman filter using the optimal normalization error λ is used as an estimation result of the optimal model. Features.
本発明に係るプログラムは、コンピュータを、観測値の時系列データに基づいて、モデル誤差を用いて状態ベクトルＸを時間更新するための状態更新式、及び観測誤差を用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いた状態空間モデルで表わされるカルマンフィルタのモデルパラメータを推定する状態空間モデリング手段、前記状態空間モデリング手段によって推定された前記モデルパラメータに基づいて定められた、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、モデル誤差分散及び観測誤差分散の和である予測誤差分散で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記モデル誤差分散及び前記観測誤差分散の何れか一方を前記予測誤差分散で正規化した正規化誤差λとを用いた状態ベクトルＸの時間更新及び観測更新を行う正規化カルマンフィルタに従って、前記時系列データの各観測値を用いて予測値を時系列に算出すると共に、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出する状態推定手段、及び予め用意された前記正規化誤差λの各値を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化誤差λを特定し、最適な正規化誤差λを用いた前記正規化カルマンフィルタを、最適モデルの推定結果とする最適モデル推定手段として機能させるためのプログラムである。 The program according to the present invention causes the computer to update the state vector X using the model error based on the time series data of the observation value, and the state vector X and the observed value using the observation error. A state space modeling means for estimating a model parameter of a Kalman filter represented by a state space model using an observation equation indicating a relationship between the state vector and the state vector defined based on the model parameter estimated by the state space modeling means A normalized estimated error variance covariance matrix obtained by normalizing a covariance matrix of the estimated error variance of X with a prediction error variance that is the sum of the model error variance and the observation error variance, and any of the model error variance and the observation error variance Time update of the state vector X using a normalization error λ obtained by normalizing either one of them with the prediction error variance, and According to the normalized Kalman filter that performs measurement update, the predicted values are calculated in time series using the observed values of the time series data, and the prediction errors between the predicted values calculated in the time series and the corresponding observed values are respectively calculated. Based on the prediction error calculated by the state estimation unit when using the state estimation unit to calculate and each value of the normalization error λ prepared in advance, the optimal normalization error λ is identified, This is a program for causing the normalized Kalman filter using the optimum normalization error λ to function as an optimum model estimation means that obtains an estimation result of the optimum model.
本発明によれば、状態空間モデリング手段によって、観測値の時系列データに基づいて、モデル誤差を用いて状態ベクトルＸを時間更新するための状態更新式、及び観測誤差を用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いた状態空間モデルで表わされるカルマンフィルタのモデルパラメータを推定する。状態空間モデリング手段によって推定された前記モデルパラメータに基づいて、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、モデル誤差分散及び観測誤差分散の和である予測誤差分散で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記モデル誤差分散及び前記観測誤差分散の何れか一方を前記予測誤差分散で正規化した正規化誤差λとを用いた状態ベクトルＸの時間更新及び観測更新を行う正規化カルマンフィルタが定められる。 According to the present invention, the state space modeling means uses the model error to update the state vector X with time based on the time series data of the observation values, and the state vector X using the observation error Estimate the model parameters of the Kalman filter represented by the state space model using the observation equation indicating the relationship with the observed value. Based on the model parameters estimated by the state space modeling means, the normalized estimation obtained by normalizing the estimated error variance covariance matrix of the state vector X with the prediction error variance which is the sum of the model error variance and the observation error variance Normalization that performs time update and observation update of the state vector X using an error variance covariance matrix and a normalized error λ obtained by normalizing one of the model error variance and the observation error variance with the prediction error variance A Kalman filter is defined.
そして、状態推定手段によって、定められた正規化カルマンフィルタに従って、前記時系列データの各観測値を用いて予測値を時系列に算出すると共に、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出する。最適モデル推定手段によって、予め用意された前記正規化誤差λの各値を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化誤差λを特定し、最適な正規化誤差λを用いた前記正規化カルマンフィルタを、最適モデルの推定結果とする。 Then, according to the normalized Kalman filter determined by the state estimation means, the predicted value is calculated in time series using each observed value of the time series data, and the observed value corresponding to the predicted value calculated in time series The prediction error is calculated respectively. The optimum model estimation means identifies the optimum normalization error λ based on the prediction error calculated by the state estimation means when each value of the normalization error λ prepared in advance is used. The normalized Kalman filter using a normalization error λ is used as the optimum model estimation result.
このように、モデル誤差分散及び観測誤差分散の何れか一方を予測誤差分散で正規化した正規化誤差λを用いた正規化カルマンフィルタに従って、観測値の時系列データに基づいて予測値を算出し、予測誤差に基づいて最適な正規化誤差λを特定することにより、誤差の分散値を推定せずに、高精度にモデリングを行うことができる。 Thus, according to the normalized Kalman filter using the normalized error λ obtained by normalizing either the model error variance or the observation error variance with the prediction error variance, the predicted value is calculated based on the time series data of the observed value, By specifying the optimum normalization error λ based on the prediction error, it is possible to perform modeling with high accuracy without estimating the error variance value.
以上説明したように、本発明の最適モデル推定装置、方法、及びプログラムによれば、モデル誤差分散及び観測誤差分散の何れか一方を予測誤差分散で正規化した正規化誤差λを用いた正規化カルマンフィルタに従って、観測値の時系列データに基づいて予測値を算出し、予測誤差に基づいて最適な正規化誤差λを特定することにより、誤差の分散値を推定せずに、高精度にモデリングを行うことができる、という効果が得られる。 As described above, according to the optimum model estimation apparatus, method, and program of the present invention, normalization using the normalization error λ obtained by normalizing either the model error variance or the observation error variance with the prediction error variance According to the Kalman filter, the predicted value is calculated based on the time-series data of the observed value, and the optimum normalization error λ is specified based on the predicted error, so that modeling can be performed with high accuracy without estimating the error variance value. The effect that it can be performed is acquired.
以下、図面を参照して本発明の実施の形態を詳細に説明する。 Hereinafter, embodiments of the present invention will be described in detail with reference to the drawings.
＜システム構成＞
本発明の実施の形態に係る最適モデル推定装置１００は、観測値の時系列データが入力され、状態空間の最適モデルを推定する。この最適モデル推定装置１００は、ＣＰＵと、ＲＡＭと、後述する最適モデル推定処理ルーチンを実行するためのプログラムを記憶したＲＯＭとを備えたコンピュータで構成され、機能的には次に示すように構成されている。図１に示すように、最適モデル推定装置１００は、入力部１０と、演算部２０と、出力部３０とを備えている。
<System configuration>
Optimal
入力部１０は、入力された観測値の時系列データを受け付ける。観測値は、スカラー値であり、すなわち、時系列データは、１次元時系列である。例えば、図２に示すように、エポックｔnと観測値（ｔn）との組（ｎ＝１、・・・、Ｎ）からなる時系列データである。 The input unit 10 receives time-series data of input observation values. The observed value is a scalar value, that is, the time series data is a one-dimensional time series. For example, as shown in FIG. 2, it is time series data composed of a set (n = 1,..., N) of an epoch tn and an observed value (tn).
演算部２０は、状態空間モデリング部２１、正規化カルマンフィルタデザイン部２２、状態推定部２３、最適モデル推定部２４、推定結果データ生成部２５、及び予測値算出部２６を備えている。
The
状態空間モデリング部２１は、入力部１０により受け付けた観測値の時系列データに基づいて、以下に説明するように、時系列データを状態空間で表現したガウス型モデルのモデルパラメータを推定する。 The state space modeling unit 21 estimates model parameters of a Gaussian model that represents time series data in the state space, as will be described below, based on the time series data of the observation values received by the input unit 10.
まず、一般に、カルマンフィルタを表わすガウス型モデルは以下の（１）式、（２）式で表現される。 First, in general, a Gaussian model representing a Kalman filter is expressed by the following equations (1) and (2).
ただし、Ｘｔは時刻ｔにおける状態ベクトルで、通常、非観測量（モデルの状態及び未知パラメータ）が取られる。ｗは正規白色ノイズのベクトルであり、モデル誤差が含まれる。上記（１）式に示されるように、状態ベクトルＸｔは線形（非線形）作用ｆとノイズベクトルｗにより時間更新される。 However, Xt is a state vector at time t, and normally, an unobserved quantity (model state and unknown parameter) is taken. w is a vector of normal white noise and includes a model error. As shown in the above equation (1), the state vector Xt is time-updated by a linear (nonlinear) action f and a noise vector w.
また、ｙｔは時刻ｔにおける観測値であり、状態Ｘｔの線形（非線形）作用ｇにより生成され、正規白色観測誤差μがのる。上記（２）式は、観測誤差を用いて状態ベクトルＸtと観測値ｙtとの関係を示している。 Y t is an observed value at time t, is generated by a linear (non-linear) action g of the state X t , and has a normal white observation error μ. Equation (2) shows the relationship between the state vector Xt and observed values y t by using the observed error.
上記（１）式、（２）式で示される状態空間表現は、ＡＲ（自己回帰モデル）に代表される様々な時系列モデルを含む、汎用性が高いモデルである。以降、時系列モデルとして、以下の（３）式、（４）式で表わされるＡＲ＋ドリフトモデルを用いた場合を例として説明する。 The state space expression represented by the above equations (1) and (2) is a highly versatile model including various time series models represented by AR (autoregressive model). Hereinafter, the case where the AR + drift model represented by the following equations (3) and (4) is used as a time series model will be described as an example.
ただし、ωがモデル誤差に相当し、μが観測誤差に相当する。ここで、Ｎ（ｍ、ｖ）は平均ｍ、分散ｖの正規分布を表す。したがって、ｑはモデル誤差分散に相当し、ｒは観測誤差分散に相当する。このモデルの状態空間表現は、以下の（５）式〜（８）式で示される。 However, ω corresponds to a model error and μ corresponds to an observation error. Here, N (m, v) represents a normal distribution with mean m and variance v. Therefore, q corresponds to the model error variance, and r corresponds to the observation error variance. The state space expression of this model is shown by the following equations (5) to (8).
Ｈは、状態を観測値に変換する入出力行列を表す。 H represents an input / output matrix for converting a state into an observation value.
状態空間モデリング部２１は、観測値の時系列データに基づいて、上記（５）式〜（８）式で表わされるガウス型モデルのモデルパラメータ（ｘt-1，・・・，ｘt-M、ａ1，・・・，ａM，ｄt，ｑ，ｒ）を推定する。 The state space modeling unit 21 uses model parameters (x t−1 ,..., X tM , a) of the Gaussian model expressed by the equations (5) to (8) based on the time series data of the observed values. 1 ,..., A M , d t , q, r) are estimated.
正規化カルマンフィルタデザイン部２２は、状態空間モデリング部２１によって推定されたガウス型モデルのモデルパラメータに基づいて、オペレータによる入力部１０からの入力を受け付けて、以下に説明するように、正規化拡張カルマンフィルタをデザインする。 The normalized Kalman filter design unit 22 receives an input from the input unit 10 by the operator based on the model parameters of the Gaussian model estimated by the state space modeling unit 21, and as described below, a normalized extended Kalman filter Design.
状態空間モデリング部２１により状態空間表現された時系列データは、以下のアルゴリズムで表現される。まず、状態ベクトルを時間更新するアルゴリズムが、以下の（９）式〜（１１）式で表現される。 The time series data expressed in the state space by the state space modeling unit 21 is expressed by the following algorithm. First, an algorithm for temporally updating the state vector is expressed by the following equations (9) to (11).
上記（１１）式で表わされる^Ｆは、ｆの微分をオペレータが計算して入力することにより、求められる。 ^ F represented by the above equation (11) is obtained by the operator calculating and inputting the derivative of f.
また、得られた観測値を用いる観測更新のアルゴリズムが、以下の（１２）式〜（１５）式で表される。 An observation update algorithm using the obtained observation values is expressed by the following equations (12) to (15).
Ｘｔ｜ｓはｓ期におけるｔ期の状態推定値を意味する。＾Ｘは状態Ｘの期待値である。Ｐ’は状態Ｘの正規化推定誤差分散の共分散行列であり、以下の（１６）式に示すように、推定誤差分散の共分散行列Ｐを予測誤差ｑ＋ｒで正規化したものである。 X t | s means a state estimated value in the t period in the s period. ^ X is the expected value of state X. P ′ is a covariance matrix of the normalized estimated error variance of state X, and is obtained by normalizing the estimated error variance covariance matrix P with the prediction error q + r as shown in the following equation (16).
この正規化プロセスにより、通常のカルマンフィルタのアルゴリズムからモデル誤差分散ｑと観測誤差分散ｒとが消え（Ｑ’＝ｄｉａｇ（λ、０、…、０））、代わりに以下の（１７）で定義するλが導入される。 By this normalization process, the model error variance q and the observation error variance r disappear from the normal Kalman filter algorithm (Q ′ = diag (λ, 0,..., 0)), and instead defined by (17) below. λ is introduced.
λは予測誤差分散ｑ＋ｒにおけるモデル誤差分散ｑの割合であり、０≦λ≦１の値をとるパラメータである。このλの値を設定することで、上記（９）式〜（１５）式で表現された正規化拡張カルマンフィルタのデザインが完了する。以下、λを、正規化誤差と称する。 λ is a ratio of the model error variance q to the prediction error variance q + r, and is a parameter that takes a value of 0 ≦ λ ≦ 1. By setting the value of λ, the design of the normalized extended Kalman filter expressed by the above equations (9) to (15) is completed. Hereinafter, λ is referred to as a normalization error.
このように、上記（１６）式に示す状態Ｘの正規化推定誤差分散の共分散行列と、上記（１７）式に示す正規化誤差とを用いた正規化拡張カルマンフィルタのアルゴリズムがデザインされる。 Thus, the algorithm of the normalized extended Kalman filter using the covariance matrix of the normalization estimation error variance of the state X shown in the above equation (16) and the normalization error shown in the above equation (17) is designed.
状態推定部２３は、予め用意されたλの各値（例えば、０から１まで０．１ずつ加算した各値）及び次数Ｍの各値（例えば、１から１０までの自然数）の組み合わせについて、正規化カルマンフィルタデザイン部２２によってデザインされ、かつ、当該λの値及び次数Ｍの値が設定された、上記（９）式〜（１５）式で表現された正規化拡張カルマンフィルタのアルゴリズムに従って、観測値の時系列データを用いて、時間更新及び観測更新を逐次行う。 The state estimation unit 23 provides a combination of each value of λ (for example, each value obtained by adding 0.1 from 0 to 1) and each value of the order M (for example, a natural number from 1 to 10). Observed values according to the algorithm of the normalized extended Kalman filter expressed by the above equations (9) to (15), which is designed by the normalized Kalman filter design unit 22 and in which the value of λ and the value of the order M are set. The time update and observation update are sequentially performed using the time series data.
最適モデル推定部２４は、λの値及び次数Ｍの値の各組み合わせについて、状態推定部２３によって逐次行われた時間更新及び観測更新の結果を利用して、以下の（１８）式に基づき、時系列データの最適モデルを推定する。 The optimal model estimation unit 24 uses the results of time update and observation update sequentially performed by the state estimation unit 23 for each combination of the value of λ and the value of the order M, based on the following equation (18): Estimate the optimal model of time series data.
ただし、ｖｔは上記（１５）式で示した予測誤差であり、Σｖｔは予測誤差ｖｔの分散である。ＡＩＣは赤池情報量であり、通常、ＡＲを想定した場合は次数Ｍ（何期前のデータまで使用するか）の関数である。しかしながら、本実施の形態で用いる正規化拡張カルマンフィルタのアルゴリズムに対しては、ＡＩＣは、Ｍとλの関数になる。ここで、上記（１８）で用いる予測誤差ｑ＋ｒには、以下の（１９）式に従って推定された値を適用すればよい。 However, v t is the prediction error shown in the above equation (15), and Σ vt is the variance of the prediction error v t . AIC is Akaike's information amount, and is usually a function of degree M (up to which period of data is used) when AR is assumed. However, for the normalized extended Kalman filter algorithm used in this embodiment, AIC is a function of M and λ. Here, a value estimated according to the following equation (19) may be applied to the prediction error q + r used in the above (18).
ただし、Ｐt’[1,1]は、行列Ｐt’の要素（１，１）である。 However, P t '[1,1] is an element (1, 1) of the matrix P t '.
上記のように、Ｍとλをパラメトライズし、最小のＡＩＣ（Ｍ、λ）を記録したときのＭとλの値の組み合わせが、観測値の時系列データに対して最適な組み合わせであると特定され、特定されたＭとλの値の組み合わせを適用した正規化拡張カルマンフィルタが、最適な推定モデルの推定結果とされる。 As described above, parametrizes M and λ, and specifies that the combination of the values of M and λ when the minimum AIC (M, λ) is recorded is the optimal combination for the time series data of the observed values Then, the normalized extended Kalman filter to which the specified combination of M and λ values is applied is the estimation result of the optimum estimation model.
推定結果データ生成部２５は、最適モデル推定部２４から最適モデルの推定結果を受け取ると、最適モデルについて時刻ｔ＝Ｎにおける観測更新後の状態ＸN、λ、Ｍを含む、パラメータ推定結果を示す推定結果データを生成する。図３（Ｂ）に示すように、パラメータ推定結果には、状態ｘ1，・・・，ｘM、パラメータａ1，・・・，ａM，ｄt，λ、モデル誤差分散ｑ、観測誤差分散ｒが含まれている。モデル誤差分散ｑｅｓｔｉｍａｔｅｄと観測誤差分散ｒｅｓｔｉｍａｔｅｄは、以下の（２０）式、（２１）式により推定される。 When the estimation result data generation unit 25 receives the estimation result of the optimum model from the optimum model estimation unit 24, the estimation result data including the states XN, λ, and M after the observation update for the optimum model at time t = N is shown. Generate result data. As shown in FIG. 3B, the parameter estimation results include states x 1 ,..., X M , parameters a 1 ,..., A M , d t , λ, model error variance q, observation error The variance r is included. The model error variance q estimated and the observation error variance r estimated are estimated by the following equations (20) and (21).
上記（２０）式、（２１）式で表される、モデル誤差の分散ｑｅｓｔｉｍａｔｅｄと観測誤差の分散ｒｅｓｔｉｍａｔｅｄは、時系列データのダイナミクスを数理的に表現している。 The variance q estimated of the model error and the variance r estimated of the observation error expressed by the above equations (20) and (21) mathematically express the dynamics of the time series data.
予測値算出部２６は、最適モデル推定部２４から最適モデルの推定結果（時刻ｔ＝Ｎにおける観測更新後の状態ＸN|N、λ、Ｍ）を受け取ると、上記（９）式に従って、＾ＸＮ＋１｜Ｎを算出し、時刻ｔ＝Ｎ＋１における予測値Ｈ＾ＸＮ＋１｜Ｎを算出する。また、入力部１０により当該時刻ｔ＝Ｎ＋１の観測値を受け取ると、上記（１２）式、（１３）式に従って観測更新を行うと共に、上記（９）式、（１０）式に従って時間更新を行って、次の時刻ｔ＝Ｎ＋２における予測値Ｈ＾ＸＮ＋２｜Ｎ＋１を算出する。このように、図３（Ｃ）に示すように、エポックｔnと予測値（ｔn）との組（ｎ＝Ｎ＋１、Ｎ＋２、・・・）が順次算出される。 Upon receiving the optimum model estimation result (state X N | N , λ, M after the observation update at time t = N) from the optimum model estimating unit 24, the predicted value calculating unit 26, according to the above equation (9), X N + 1 | N is calculated, and the predicted value H ^ X N + 1 | N at time t = N + 1 is calculated. When the observation value at time t = N + 1 is received by the input unit 10, the observation is updated according to the above equations (12) and (13), and the time is updated according to the above equations (9) and (10). The predicted value H ^ X N + 2 | N + 1 at the next time t = N + 2 is calculated. In this way, as shown in FIG. 3C, a set (n = N + 1, N + 2,...) Of the epoch t n and the predicted value (t n ) is sequentially calculated.
出力部３０により、推定結果データ生成部２５によって生成された推定結果を示すデータがユーザに出力される。また、出力部３０により、予測値算出部２６によって算出された予測値がユーザに出力される。 The output unit 30 outputs data indicating the estimation result generated by the estimation result data generation unit 25 to the user. Further, the output unit 30 outputs the predicted value calculated by the predicted value calculation unit 26 to the user.
＜最適モデル推定装置の作用＞
次に、本実施の形態に係る最適モデル推定装置１００の作用について説明する。まず、時刻ｔ1〜ｔNの観測値からなる時系列データが、最適モデル推定装置１００に入力されると、最適モデル推定装置１００によって、入力された時系列データが、メモリ（図示省略）へ格納される。そして、最適モデル推定装置１００によって、図４に示す最適モデル推定処理ルーチンが実行される。
<Operation of optimum model estimation device>
Next, the operation of the optimum
まず、ステップＳ１０１において、入力された観測値の時系列データを取得する。そして、ステップＳ１０２において、上記ステップＳ１０１で取得した観測値の時系列データの状態空間表現となるように、上記（５）式〜（８）式で示すガウス型モデルのモデルパラメータを推定する。 First, in step S101, time-series data of input observation values is acquired. Then, in step S102, model parameters of the Gaussian model expressed by the above equations (5) to (8) are estimated so as to represent the state space representation of the time series data of the observation values acquired in step S101.
ステップＳ１０３では、上記ステップＳ１０２で推定されたガウス型モデルのモデルパラメータを出力部３０によりオペレータに対して出力し、オペレータの手計算により求められた上記（１１）式の値の入力を入力部１０により受け付けることにより、上記（９）式〜（１３）式で表わされる正規化拡張カルマンフィルタをデザインする。 In step S103, the model parameter of the Gaussian model estimated in step S102 is output to the operator by the output unit 30, and the input of the value of the expression (11) obtained by the operator's manual calculation is input to the input unit 10. The normalized extended Kalman filter expressed by the above equations (9) to (13) is designed.
そして、ステップＳ１０４において、予め用意されたλの値及び次数Ｍの値の各組み合わせについて、当該値の組み合わせを設定した正規化拡張カルマンフィルタのアルゴリズムに従って、上記ステップＳ１０１で取得した観測値の時系列データを用いて、時間更新及び観測更新を逐次行う。観測値の時系列データを用いた、時間更新及び観測更新を、λの値及び次数Ｍの値の全ての組み合わせについて行う。 Then, in step S104, for each combination of the value of λ and the value of order M prepared in advance, the time series data of the observation values acquired in step S101 according to the algorithm of the normalized extended Kalman filter in which the combination of the values is set Is used to perform time update and observation update sequentially. The time update and the observation update using the time series data of the observed values are performed for all combinations of the value of λ and the value of the order M.
次のステップＳ１０５では、上記ステップＳ１０４でλの値及び次数Ｍの値の全ての組み合わせについて行われた正規化拡張カルマンフィルタのアルゴリズムに従った時間更新及び観測更新の結果に基づいて、上記（１８）式に従って、最小のＡＩＣ（Ｍ，λ）を記録したλの値と次数Ｍの値の組み合わせを特定し、特定されたλの値と次数Ｍの値の組み合わせが適用された、正規化拡張カルマンフィルタの状態空間モデルを、最適モデルの推定結果とする。 In the next step S105, based on the result of time update and observation update according to the normalized extended Kalman filter algorithm performed for all combinations of the value of λ and the value of order M in step S104, the above (18) A normalized extended Kalman filter in which a combination of a value of λ and a value of order M is specified according to an equation, and a combination of the specified value of λ and a value of order M is applied Is the estimation result of the optimal model.
そして、ステップＳ１０６において、最適モデルについて上記ステップＳ１０４で求められた時刻ｔ＝Ｎにおける観測更新後の状態ＸN|N、及び上記ステップＳ１０５で特定された最適なλの値と次数Ｍの値の組み合わせを示す推定結果データを生成し、出力部３０により出力する。ステップＳ１０７では、最適モデルについて上記ステップＳ１０４で求められた時刻ｔ＝Ｎにおける観測更新後の状態ＸN|N、及び上記ステップＳ１０５で特定された最適なλの値と次数Ｍの値の組み合わせに基づいて、次時刻ｔ＝Ｎ＋１の予測値を算出して、出力部３０により出力する。 In step S106, the state X N | N after the observation update at time t = N obtained in step S104 for the optimal model, and the optimal value of λ and the value of order M specified in step S105 are determined. The estimation result data indicating the combination is generated and output by the output unit 30. In step S107, the state X N | N after the observation update at time t = N obtained in step S104 for the optimum model, and the optimum value of λ and order M specified in step S105 are combined. Based on this, a predicted value at the next time t = N + 1 is calculated and output by the output unit 30.
次のステップＳ１０８では、入力部１０により入力された次時刻の観測値を取得する。そして、ステップＳ１０９において、上記（１２）式、（１３）式に従って、上記ステップＳ１０８で取得した観測値に基づいて観測更新を行って、上記（９）式、（１０）式に従って時間更新を行うことにより、当該時刻における予測値を算出して、出力部３０により出力する。 In the next step S108, the observation value at the next time input by the input unit 10 is acquired. In step S109, the observation is updated based on the observation value acquired in step S108 according to the above equations (12) and (13), and the time is updated according to the above equations (9) and (10). Thus, the predicted value at the time is calculated and output by the output unit 30.
ステップＳ１１０では、予測を終了するか否かを判定する。例えば、予め定めた予測終了時刻に到達していない場合には、予測を終了しないと判定して、上記ステップＳ１０８へ戻り、次時刻の観測値を取得する。一方、予め定めた予測終了時刻に到達した場合には、予測を終了すると判定し、最適モデル推定処理ルーチンを終了する。 In step S110, it is determined whether or not to end the prediction. For example, when the predetermined prediction end time has not been reached, it is determined that the prediction is not ended, the process returns to step S108, and the observation value at the next time is acquired. On the other hand, when the predetermined prediction end time is reached, it is determined that the prediction is finished, and the optimum model estimation processing routine is finished.
以上説明したように、本実施の形態に係る最適モデル推定装置によれば、モデル誤差分散を予測誤差分散で正規化した正規化誤差λを用いた正規化拡張カルマンフィルタのアルゴリズムに従って、観測値の時系列データに基づいて予測値を算出し、予測誤差に基づいて最適な正規化誤差λを特定することにより、誤差の分散値を推定せずに、高精度にモデリングを行うことができる。 As described above, according to the optimum model estimation device according to the present embodiment, the observed value is obtained according to the normalized extended Kalman filter algorithm using the normalized error λ obtained by normalizing the model error variance by the prediction error variance. By calculating the prediction value based on the series data and specifying the optimum normalization error λ based on the prediction error, it is possible to perform modeling with high accuracy without estimating the error variance value.
また、通常は未知であり、かつ推定が困難であるモデル誤差と観測誤差に対してロバストな時系列モデリングを行うことが可能となる。その結果、誤差分散の設定ミスによるモデリング及び予測精度の低下を回避することができ、精度の高い予測が実現される。 Also, it is possible to perform time series modeling that is robust against model errors and observation errors that are normally unknown and difficult to estimate. As a result, it is possible to avoid a decrease in modeling and prediction accuracy due to an error variance setting error, and a highly accurate prediction is realized.
また、求めた正規化誤差λからモデル誤差、観測誤差それぞれの分散値を推定することができるため、状態空間モデルの全未知パラメータが推定可能ということになり、対象時系列のダイナミクスを数理的に把握することができる。 In addition, since the variance of each model error and observation error can be estimated from the obtained normalization error λ, all unknown parameters of the state space model can be estimated, and the dynamics of the target time series can be mathematically calculated. I can grasp it.
カルマンフィルタのアルゴリズム全体を正規化することにより、未知量であったモデル誤差と観測誤差の分散を考慮する必要がなくなり、代わりに予測誤差分散に対するモデル誤差分散の割合を示す正規化誤差λがパラメータとしてアルゴリズムに導入される。赤池情報量に基づくモデル推定の段階で正規化誤差λをパラメイトライズすることで、正規化誤差λの最適値を推定することが可能となる。正規化誤差λの最適値を使用することで、モデル誤差と観測誤差の推定分散値も算出することができる。 By normalizing the entire Kalman filter algorithm, it is not necessary to consider the variance of the model error and the observation error, which were unknown quantities. Instead, the normalized error λ indicating the ratio of the model error variance to the prediction error variance is used as a parameter. Introduced into the algorithm. It is possible to estimate the optimum value of the normalization error λ by parametrizing the normalization error λ at the stage of model estimation based on the Akaike information amount. By using the optimum value of the normalization error λ, the estimated variance value of the model error and the observation error can also be calculated.
なお、本発明は、上述した実施形態に限定されるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲内で様々な変形や応用が可能である。 Note that the present invention is not limited to the above-described embodiment, and various modifications and applications are possible without departing from the gist of the present invention.
例えば、カルマンフィルタにより１時刻先を予測する場合を例に説明したが、２時刻先、３時刻先といった長期の予測を行うようにしてもよい。 For example, the case where one hour ahead is predicted by the Kalman filter has been described as an example, but long-term prediction such as two hours ahead and three hours ahead may be performed.
また、モデル誤差分散ｑを予測誤差分散ｑ＋ｒで正規化した値を、正規化誤差λとする場合を例に説明したが、これに限定されるものではなく、観測誤差分散ｒを予測誤差分散ｑ＋ｒで正規化した値を、正規化誤差λとして用いて、正規化拡張カルマンフィルタをデザインするようにしてもよい。 In addition, although the case where the value obtained by normalizing the model error variance q with the prediction error variance q + r is set as the normalization error λ has been described as an example, the present invention is not limited to this, and the observation error variance r is changed to the prediction error variance q + r. The normalized extended Kalman filter may be designed by using the value normalized in step 1 as the normalization error λ.
また、本願明細書中において、プログラムが予めインストールされている実施形態として説明したが、当該プログラムを、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に格納して提供することも可能である。 In the present specification, the embodiment has been described in which the program is installed in advance. However, the program can be provided by being stored in a computer-readable recording medium.
１０ 入力部
２０ 演算部
２１ 状態空間モデリング部
２２ 正規化カルマンフィルタデザイン部
２３ 状態推定部
２４ 最適モデル推定部
２５ 推定結果データ生成部
２６ 予測値算出部
３０ 出力部
１００ 最適モデル推定装置
DESCRIPTION OF SYMBOLS 10
Claims (3)
前記状態空間モデリング手段によって推定された前記モデルパラメータに基づいて定められた、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、モデル誤差分散及び観測誤差分散の和である予測誤差分散で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記モデル誤差分散及び前記観測誤差分散の何れか一方を前記予測誤差分散で正規化した正規化誤差λとを用いた状態ベクトルＸの時間更新及び観測更新を行う正規化カルマンフィルタに従って、前記時系列データの各観測値を用いて予測値を時系列に算出すると共に、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出する状態推定手段と、
予め用意された前記正規化誤差λの各値を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化誤差λを特定し、最適な正規化誤差λを用いた前記正規化カルマンフィルタを、最適モデルの推定結果とする最適モデル推定手段と、
を含む最適モデル推定装置。 Based on the time series data of the observation values, a state update formula for time updating the state vector X using the model error, and an observation equation indicating the relationship between the state vector X and the observation values using the observation error were used. A state space modeling means for estimating model parameters of a Kalman filter represented by a state space model;
The covariance matrix of the estimated error variance of the state vector X, determined based on the model parameters estimated by the state space modeling means, is normalized with a prediction error variance that is the sum of the model error variance and the observation error variance Time update and observation update of the state vector X using the normalized estimated error variance covariance matrix and the normalized error λ obtained by normalizing one of the model error variance and the observation error variance with the prediction error variance In accordance with the normalized Kalman filter that performs the calculation, a predicted value is calculated in time series using each observed value of the time series data, and a prediction error between the predicted value calculated in time series and the corresponding observed value is calculated. State estimation means;
Based on the prediction error calculated by the state estimation means when using each value of the normalization error λ prepared in advance, the optimal normalization error λ is specified, and the optimal normalization error λ is determined. An optimal model estimation means that uses the normalized Kalman filter used as an estimation result of an optimal model;
Optimal model estimation device including
前記最適モデル推定装置は、
前記状態空間モデリング手段によって、観測値の時系列データに基づいて、モデル誤差を用いて状態ベクトルＸを時間更新するための状態更新式、及び観測誤差を用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いた状態空間モデルで表わされるカルマンフィルタのモデルパラメータを推定するステップと、
前記状態推定手段によって、前記状態空間モデリング手段によって推定された前記モデルパラメータに基づいて定められた、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、モデル誤差分散及び観測誤差分散の和である予測誤差分散で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記モデル誤差分散及び前記観測誤差分散の何れか一方を前記予測誤差分散で正規化した正規化誤差λとを用いた状態ベクトルＸの時間更新及び観測更新を行う正規化カルマンフィルタに従って、前記時系列データの各観測値を用いて予測値を時系列に算出すると共に、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出するステップと、
前記最適モデル推定手段によって、予め用意された前記正規化誤差λの各値を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化誤差λを特定し、最適な正規化誤差λを用いた前記正規化カルマンフィルタを、最適モデルの推定結果とするステップと、
を含んで実行することを特徴とする最適モデル推定方法。 An optimum model estimation method in an optimum model estimation device including a state space modeling means, a state estimation means, and an optimum model estimation means,
The optimum model estimation device includes:
Based on the time series data of the observation values by the state space modeling means, a state update formula for time updating the state vector X using the model error, and the relationship between the state vector X and the observation value using the observation error Estimating a Kalman filter model parameter represented by a state space model using an observation equation indicating:
The covariance matrix of the estimated error variance of the state vector X determined by the state estimating means based on the model parameters estimated by the state space modeling means is the sum of model error variance and observation error variance. State vector X using a normalized estimated error variance covariance matrix normalized by prediction error variance and a normalized error λ obtained by normalizing one of the model error variance and the observation error variance by the prediction error variance In accordance with a normalized Kalman filter that performs time update and observation update, a predicted value is calculated in time series using each observed value of the time series data, and the predicted value calculated in time series and the corresponding observed value Calculating each prediction error;
Based on the prediction error calculated by the state estimation unit when each value of the normalization error λ prepared in advance is used by the optimal model estimation unit, the optimal normalization error λ is identified, Making the normalized Kalman filter using the optimal normalization error λ an estimation result of the optimal model;
An optimal model estimation method characterized by comprising the steps of:
観測値の時系列データに基づいて、モデル誤差を用いて状態ベクトルＸを時間更新するための状態更新式、及び観測誤差を用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いた状態空間モデルで表わされるカルマンフィルタのモデルパラメータを推定する状態空間モデリング手段、
前記状態空間モデリング手段によって推定された前記モデルパラメータに基づいて定められた、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、モデル誤差分散及び観測誤差分散の和である予測誤差分散で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記モデル誤差分散及び前記観測誤差分散の何れか一方を前記予測誤差分散で正規化した正規化誤差λとを用いた状態ベクトルＸの時間更新及び観測更新を行う正規化カルマンフィルタに従って、前記時系列データの各観測値を用いて予測値を時系列に算出すると共に、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出する状態推定手段、及び
予め用意された前記正規化誤差λの各値を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化誤差λを特定し、最適な正規化誤差λを用いた前記正規化カルマンフィルタを、最適モデルの推定結果とする最適モデル推定手段
として機能させるためのプログラム。 Computer
Based on the time series data of the observation values, a state update formula for time updating the state vector X using the model error, and an observation equation indicating the relationship between the state vector X and the observation values using the observation error were used. A state space modeling means for estimating model parameters of a Kalman filter represented by a state space model,
The covariance matrix of the estimated error variance of the state vector X, determined based on the model parameters estimated by the state space modeling means, is normalized with a prediction error variance that is the sum of the model error variance and the observation error variance Time update and observation update of the state vector X using the normalized estimated error variance covariance matrix and the normalized error λ obtained by normalizing one of the model error variance and the observation error variance with the prediction error variance In accordance with the normalized Kalman filter that performs the calculation, a predicted value is calculated in time series using each observed value of the time series data, and a prediction error between the predicted value calculated in time series and the corresponding observed value is calculated. Based on the prediction errors calculated by the state estimation means when using each value of the normalization error λ prepared in advance and the state estimation means Te optimum identify normalization error lambda, optimal the normalized Kalman filter using the normalized error lambda, program for functioning as the best model estimation means to estimate the results of the optimal model.
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