JP2007535046A - 工業的な生産プロセスのスケジューリング - Google Patents

Abstract

従来の生産スケジューリングのアルゴリズムの欠点は、時間に依存するパラメータが、予め知られていなければならず、且つ、固定値でなければならないことにある。実際には、そのようなことは有り得ないので、その結果、最適な生産スケジュールを計算するため、最適化問題を再び解かなければならない。本発明が示すところによれば、対応するリスケジューリング問題を、明示的に解くことが可能な多変量（ｍｐ−ＱＰ）最適化問題として、再定式化することが可能になる。この代数的な解を利用することにより、最適化問題を各リスケジュール毎に解かなければならない従来のアプローチと比べて、大幅に安価に計算を行うことが可能になる。

Description

本発明は、工業的な生産プロセス及びそれらの最適なスケジューリングの分野に関係する。この発明は、それぞれ、請求項１及び３のプリアンブル部分に記載された生産スケジューラ及び工業的な生産スケジュールを最適化する方法から出発する。

現代の工業的なプロセスのオペレータは、技術的、契約的及び環境的な拘束条件を同時に満足させると言う、増大する課題に直面している。例えば、オペレータおよびオーナーは、利益及び利ざやを増大させるという圧力を受け、それと同時に、天然資源の維持可能で且つ環境にフレンドリーな使用についての公共的な高い関心がある。上述の諸要求を取り扱うことが可能な、利益最大化のための生産スケジューリングの課題は、しばしば、パフォーマンス・インデックス、目的関数またはコスト関数の最小化問題として、定式化することができる。これは、次のように：

要約される。

ここで、上記マトリックスＱは、対称であると想定される。このことは、一般性を喪失することを含意しない、その理由は、いかなる二次式の形（quadratic form）であっても、拘束条件 Ｑ_ｊｉ＝Ｑ_ｉｊ；ｉ，ｊ＝１，...，ｎ の下で、次のように書き直すことができるからである：

更に、この最適化問題を凸（convex）にし、且つ、グローバルな（global）最適解を有するために、上記マトリックスＱは、正の半定符号（positive semi-definite）であることが想定される。

上記の最小化問題において：
ｕは、生産決定変数（例えば、生産される各製品の量を示す生産値のベクトル）であり；
ｐは、販売価格（例えば、各製品に対して得ることができる価格の列ベクトルであり；
Ｑ及びｃは、生産コストを規定する、適切なサイズのコスト・マトリックスであり；
Ａ（拘束条件マトリックス：constraint matrix）及びｂ（拘束条件ベクトル：constraint vector）は、生産についての拘束条件または境界（例えば、最小及び最大の生産限界）を規定する；
上記の問題の解ｕ^＊は、与えられたパラメータｐ，Ｑ，ｃ，Ａ及びｂの組み合わせに対して、様々な製品の好ましい生産値または生産量を与える。

しかしながら、生産コスト及び価格のベクトルは、一般的に、時間が異なれば異なる値を取る。このため、そのような定式化の欠点は、例えば、販売価格ｐや生産限界値Ａ及びｂなどの時間に依存するパラメータが、予め知られており、且つ、固定されていなければならないと言うことである。実際には、そのようなことは有り得ない。即ち、例えば、価格値は不確実であり、あるいは、生産コストが突然に変化することもある。このことは、最適な生産スケジュールを計算するために、最適化問題を再び解かなければならないことを意味しており、これは、リスケジューリング問題と呼ばれている。このリスケジューリング問題への一つのアプローチは、レデューシング・ホライゾン（receding horizon）、または、モデル予測制御（ＭＰＣ：Model Predictive Control）スキームを使用することである。

文献：“Using Model Predictive Control and Hybrid Systems for Optimal Scheduling of Industrial Processes”；E. Gallestey et al., AT Automatisierungstechnik, Vol.51, no.6, 2003, pp. 285-293、の中には、カスケード・アプローチが、アウター・ループ及びインナー・ループを有するモデル予測制御スキームに基づいて、提示されている。アウター・ループＭＰＣアルゴリズムは、プラントの経済的な目標（最小の電気消費及び燃料使用、エージングのコスト、例えば顧客注文または原材料の供給などのような契約上の拘束条件の遵守）に関係する目的関数を用いて、基準スケジュールを計算する。

実際のケース、即ちコンバインド・サイクル発電プラント（ＣＣＰＰ）に適用した場合、スケジューリング・プロセスは、当該ＣＣＰＰにより作り出される電気及び蒸気に対する予測価格及びエネルギー需要を、入力として使用し、いつガス及び蒸気タービンの起動／停止を行うべきか、及びどのような生産レベルを選択すべきかについて指示する運転スケジュールを返す。この基準スケジュールのアップデートまたは再計算は、二日毎にまたはそれ以上の周期で、行われる。

インナー・ループの目標は、条件の変化に起因する偏差に、上記の基準スケジュールからの偏差にペナルティを課すことによって反応することである。リアルタイムのプラント・データを使用して、必要な修正が、１または２時間毎に、オンラインで計算される。このカスケード型のアプローチは、短時間のリスケジューリング及び生産計画の修正が、全体のプラント・スケジュールの最小の変更で、且つ、現実の条件の下での実現に適したやり方で、処理されることを可能にする。

しかし、変化するパラメータの、二つのループの内の一つへの割り当て、及びそれぞれのレデューシング・ホライゾン（receding horizon）の選択が、いかに巧妙であったとしても、かなりの計算の負荷を伴う最適化問題を、短時間の修正のために、解かなければならない。

他方、コントローラの設計の分野において、特に、モデル予測制御（ＭＰＣ）の領域において、組み込まれた環境において使用するためのＭＰＣコントローラの明示的な計算（explicit computation）に、大量の研究努力が注ぎ込まれて来た。

文献：“An Algorithm for Multi-parametric Quadratic Programming and Explicit MPC Solutions”, P. Tondel et al., Automatica, Vol.39, no.3, March 2003, pp 489-497、において、拘束されたリニアなＭＰＣ最適化問題が調べられている。状態変数が、パラメータのベクトルに変換され、ＭＰＣ問題が、多変量二次式プログラミング（ｍｐ−ＱＰ：multi-parametric quadratic programming）問題として、代数的に再定式化される（reformulated）。

オンライン・コントローラにおけるに実現に適した、明示的な（Explicit）解、即ち入力変数に対する解析的な数式が存在することが示されていて（この論文の定理１を参照方）、ｍｐ−ＱＰ問題をオフラインで解くことにより得られている。この明細書において、多変量プログラミングとは、パラメータのベクトルのパラメータ値の範囲（例えば時系列）に対して、最適化問題を解くことを意味している。
"Using Model Predictive Control and Hybrid Systems for Optimal Scheduling of Industrial Processes"；E. Gallestey et al., AT Automatisierungstechnik, Vol.51, no.6, 2003, pp. 285-293 "An Algorithm for Multi-parametric Quadratic Programming and Explicit MPC Solutions", P. Tondel et al., Automatica, Vol.39, no.3, March 2003, pp 489-497

従って、本発明の目的は、工業的な生産スケジュールを、リアルタイムに変化する条件に、穏当な計算の負荷で、適合させることにある。

これらの目的、請求項１及び３に基づく、工業的な生産プロセスの最適なスケジューリングのための生産スケジューラ、及び工業的な生産スケジュールを最適化する方法によって実現される。更なる好ましい実施形態は、従属請求項から明らかである。

本発明によれば、工業的な生産プロセスのパラメータ変数に依存する代数的な数式または解析的な関数が、リスケジューリングのため、即ち、工業的な生産スケジュールを、前記パラメータ変数の値の変化に適合させるために、提供される。それ故、パラメータ値に変化したときに、時間がかかる最適化問題を、オンラインで解く必要がない。代数的な数式が、前記パラメータ変数をパラメータとして含むオリジナルの最適化問題の多変量二次式プログラミング（ｍｐ−ＱＰ）による再定式化（reformulation）から、得られる。

ＱＰ−変数は、オリジナルの生産決定変数の、増大（augmentation）または写像を介した変換として規定される。この提案された解は、しかしながら、オリジナルの最適化問題を凸（convex）の目的関数により表わすことが可能である場合、即ち、決定変数において二次式（quadratic）で、且つ決定及びパラメータ変数において双一次式（bilinear）である場合に限定される。論理的なプロセスに関係する拘束条件を、考慮に入れる必要はない。

本発明は、多変量プログラミングに基づくアプローチを、導入部分に記載されたリスケジューリング問題のために使用することができることを示している。既存の技術に対する第一の優位性は、遥かに速いリスケジューリング計算時間である。本発明の保護範囲は、ここに挙げられた実際のスケジューラ及び方法のみに限定されることを意図したものではなく、同様に、対応するコンピュータ・プログラムをカバーするものであることを、理解すべきである。

本発明の主題について、以下のテキストにおいて、好ましい実施形態の例を参照しながら、より詳細に説明する。これらの実施形態は、添付図面（図１）の中に示されており、これらの図面は、最適な生産スケジュールｕ^＊（ｂ，ｃ，ｐ）を導き出すための方法のフローチャートを示している。

多変量二次式問題（ｍｐ−ＱＰ）を解くための技術は、導入部に示した文献の中で、知られているので、本発明は、リスケジューリング問題を、いかにしてｍｐ−ＱＰとして再定式化することができるかを示す。以下の二つの実施形態においては、販売価格ｐ及び生産コストｃを、オリジナルのスケジューリング問題での時間に依存するパラメータとみなしているが、他のパラメータの不確定性を、同様なやり方で取り扱うことも可能である。例えば、生産限界のベクトルｂは、直接的ではない状態で、ｍｐ−ＱＰ定式化の中に含まれていても良い。

図１において、フローチャートは、本発明の実施形態に基づいて、最適な生産スケジュールｕ＊（ｂ，ｃ，ｐ）を得るために必要となる、主要なステップを表わしている。オリジナルの最適化問題の構成要素、即ち、オリジナルの生産決定変数ｕのための目的関数、及びオリジナルの生産決定変数ｕについての拘束条件は、再規定あるいは変換される。ｍｐ−ＱＰ問題を定式化するため、ＱＰ−変数ｚが導入され、このＱＰ−変数ｚについてのＱＰ−拘束条件が定められる。

以上において述べたように、ｍｐ−ＱＰ問題は、解析的に解くことが可能であり、最適なＱＰ−変数ｚ^＊のための代数的な数式を与え、次にこの代数的な数式から、最適な決定変数ｕ^＊を、逆に決定することができる。

先に示した変数の定義を用いて、潜在的に不確実なまたは時間に依存する生産パラメータｃとｐの間の問題となる相違は、以下に注目することより：

増大パラメータ変数Ｐの中に結合される。

それから、ＱＰ−変数ｚは、オリジナルの生産決定変数ｕを、増大パラメータ変数Ｐを用いて増大することによって規定され：

そして、最初のリスケジューリング最適化問題は、

の形のｍｐ−ＱＰ問題として書き直される。

生産パラメータｃ及びｐを、それらの現実の値に拘束するために、決定変数ｕについての拘束条件は、増大パラメータ変数Ｐについての拘束条件により、補足される。その結果得られる、ＱＰ−変数ｚについての拘束条件は、このようにして、

となる。

上記の文献（Tondel et al.,）によれば、拘束条件の代数的な数式または解析的な解は、区分的な−アフィン変換写像（piecewise-affine mapping）である。その結果、上記のｍｐ−ＱＰ問題の解ｚ^＊は、明示的な形態を備える：

ここで、ｉ＝１，...，ｒ， に対して、パラメータＦｉ，Ｇｉ，Ｈｉ，及びＫｉは、適切なサイズのマトリックスであり、インデックスｒは、パラメータＰの空間中の領域を指している。このことは、オリジナルの生産決定変数の最適な値 ｕ^＊（Ｐ）＝ ｕ^＊（ｃ，ｐ） を、最適化問題を解く必要無く、パラメータｃ，ｐから直接的に計算可能であることを意味している。従って、既知の未来のパラメータ値を仮定して、全体の生産スケジュールを定めることが可能であり、および／または、パラメータが変化したときに、穏当な計算の負荷で、オンラインで適合させることが可能である。

第二の実施形態において、コスト・マトリックスＱの性質に関する要求、僅かに厳しい：Ｑは、（厳密に）正の定符号（positive definite）であると想定される。このことは、Ｑが反転可能（invertible）であることを意味し、それは、二次式の形に中心化する（centralize）ことを可能にし、それ故に、多変量最適化問題の複雑さを大幅に減少させる。末尾に示した系を用いて、オリジナルのスケジューリング問題：

を、次のように中心化することができる：

もし、Ｑが正の定符号であって、且つそれのみである場合（このことは、対称性Ｑ＝Ｑ^Ｔ、Ｑが反転可能であることから、確保されている）。ここで、ＱＰ−変数ｚは、パラメータｃ，ｐを、以下のように、オリジナルの生産決定変数ｕの上に写像することにより規定される： ｚ＝ｕ＋（１／２）Ｑ^−１（ｃ−ｐ）^Ｔ 。再び、解 ｚ^＊（Ａ，Ｑ，ｃ，ｐ） から、最適な生産値 ｕ^＊＝ｚ^＊−（１／２）Ｑ^−１（ｃ−ｐ）^Ｔ が得られる。注意すべきことは、この結果得られる多変量問題は、第一の実施形態（ディメンジョン：ｚ＝ｎ＋ｎ）と比べて、僅かな決定変数（ディメンジョン：ｚ＝ｎ）しか有していないことである。

＜ 系 ＞
Ｑの対称性を利用して、

ここで、 ｄ＝−２Ｑｙ_０
従って、 ｙ_０＝−（１／２）Ｑ^−１ｄ
その結果、

は、下記に等しい：

これは、上記の項 ｙ_ｏ ^ＴＱｙ_０ が、最適化変数ｙの定数であるためである。

本発明の好ましい実施形態であって、最適な生産スケジュールｕ^＊（ｂ，ｃ，ｐ）を導き出すための方法のフローチャートを示す図。

Claims (6)

1. 工業的な生産プロセスの最適なスケジューリングのための生産スケジューラであって、
   − 決定変数（ｕ）、及びこの決定変数（ｕ）についての拘束条件（Ａ，ｂ）；
   − 一般化された限界、コスト及び収益を表わすパラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）；
   − 正の半定符号のコスト・マトリックス（Ｑ）；
   − 前記決定変数（ｕ）に前記コスト・マトリックス（Ｑ）を介して二次式で依存し、且つ、前記決定変数（ｕ）及び前記パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）に双一次式で依存する目的関数；
   により決定され、且つ、
   最適な生産スケジュールｕ^＊を計算するための計算手段を有する生産スケジューラにおいて、
   前記計算手段は、前記最適な生産スケジュールｕ^＊（ｂ，ｃ，ｐ）のための代数的な数式を、前記パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）の関数として評価することを特徴とする生産スケジューラ。
2. 下記特徴を有する請求項１に記載の生産スケジューラ：
   前記最適な生産スケジュールｕ^＊（ｂ，ｃ，ｐ）のための代数的な数式は、下記により得られる、
   （ａ） 多変量二次式プログラミング（ｍｐ−ＱＰ）問題を、以下を含む形で、定式化し、
   − ＱＰ−変数（ｚ）が、前記決定変数（ｕ）及び前記パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）に基づいて規定され、
   − 前記目的関数は、前記ＱＰ−変数（ｚ）の中で、一般的な二次式の形（式１．１，式２．１）に書き直され、
   − 前記ＱＰ−変数（ｚ）についてのリニアな拘束条件（式１．２，式２．２）が、前記決定変数（ｕ）についての拘束条件（Ａ，ｂ）及び前記パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）に基づいて規定され；
   （ｂ） 前記最適のＱＰ−変数ｚ^＊の代数的な数式のためのｍｐ−ＱＰ問題を、前記パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）の関数として解き；
   （ｃ） 前記最適な生産スケジュールｕ^＊（ｂ，ｃ，ｐ）のための代数的な数式を、前記最適のＱＰ−変数ｚ^＊の代数的な数式から、導き出す。
3. 工業的な生産プロセスのスケジュールを最適化する方法であって、
   − 決定変数（ｕ）、及びこの決定変数についての（ｕ）拘束条件（Ａ，ｂ）、
   − 一般化された限界、コスト及び収益を表わすパラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）、
   − 正の半定符号のコスト・マトリックス（Ｑ）、
   − 前記決定変数（ｕ）に前記コスト・マトリックス（Ｑ）を介して二次式で依存し、且つ、前記決定変数（ｕ）及び前記パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）に双一次式で依存する目的関数、
   によって決定される方法において、
   前記最適な生産スケジュールｕ^＊（ｂ，ｃ，ｐ）のための代数的な数式が、前記パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）の関数として、以下の手順により得られること；
   （ａ） 多変量二次式プログラミング（ｍｐ−ＱＰ）問題を、下記を含んで、定式化し、
   − ＱＰ−変数（ｚ）が、前記決定変数（ｕ）及び前記パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）に基づいて規定され、
   − 前記目的関数が、前記ＱＰ−変数（ｚ）の中で、一般的な二次式の形（式１．１，式２．１）に書き直され、
   − 前記ＱＰ−変数（ｚ）についてのリニアな拘束条件（式１．２，式２．２）が、前記決定変数（ｕ）についての拘束条件（Ａ，ｂ）及び前記パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）に基づいて規定され；
   （ｂ） 前記最適のＱＰ−変数ｚ^＊の代数的な数式のためのｍｐ−ＱＰ問題を、前記パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）の関数として解き；
   （ｃ） 前記最適な生産スケジュールｕ^＊（ｂ，ｃ，ｐ）のための代数的な数式を、前記最適のＱＰ−変数ｚ^＊の代数的な数式から導き出す；及び、
   得られた前記最適な生産スケジュールｕ^＊（ｂ，ｃ，ｐ）のための代数的な数式が、前記パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）の関数として評価されること；
   を特徴とする方法、
4. 下記特徴を有する請求項３に記載の方法：
   前記最適な生産スケジュールｕ^＊（ｂ，ｃ，ｐ）のための代数的な数式が、パラメータ変数（ｂ，ｃ，ｐ）の値が変化したときに、オンラインで評価される。
5. 下記特徴を有する請求項３に記載の方法：
   前記ＱＰ−変数（ｚ）は、前記決定変数（ｕ）の二倍のディメンジョンを有しており、前記パラメータ変数（ｃ−ｐ）の間の相違に等しい増大パラメータ変数（Ｐ）を用いて、前記決定変数（ｕ）を増大することにより得られ；且つ、
   前記ＱＰ−変数（ｚ）（式１．２）についての拘束条件が、前記増大パラメータ変数（Ｐ）を、その与えられた値に拘束する。
6. 下記特徴を有する請求項３に記載の方法：
   前記マトリックスＱは、正の定符号であって、
   前記ＱＰ−変数（ｚ）は、前記決定変数（ｕ）と同じディメンジョンを有しており、
   前記パラメータ変数（ｃ，ｐ）を前記決定変数（ｕ）の上に写像することにより得られる。

Images