JP2006522962A - 量子コンピューティングのための方法およびプログラム可能装置 - Google Patents

Abstract

【課題】速度および計算処理量に関して増大する要求を満たし、かつ室温で動作することが可能な量子コンピューティングのための方法および装置を提供する。
【解決手段】コンピュータ・プログラムのソース・コード、データおよび未具現化出力変数がプログラム・コンパイラによって計算処理可能関数クラスに変換される。計算処理可能関数は符号化され、該符号化された関数に連続化手法を適用して、１次時間従属微分方程式が決定される。変分原理を用いて、上記微分方程式の解であるラグランジアンを構築する。ラグランジアンは、励起発生器を介して励起フィールドとして実現される規準的量子ハミルトニアン演算子に変換される。励起フィールドを量子プロセッサに繰り返し適用することによって、格子ノードの強度対変動周波数スペクトルが生成される。プログラム出力を決定するため、強度対変動周波数スペクトルの平均値が符号化関数の近似多項式の係数として使用される。

Description

本発明は、量子計算に関する方法およびプログラム可能装置に関し、特に、量子コンピューティングのため量子状態伝播を使用する一般的方法およびプログラム可能装置に関する。

（関連出願への相互参照）
この出願は、２００３年２月１４日に出願された米国特許仮出願第６０／４４７，５６６号の利益を主張する。

（背景技術）
コンピュータ技術はこれまでの数十年で驚くべき速度で発展してきた。しかしながら、紫外線およびソフトＸ線の波長より小さい次元の機能部分をパターニンングすることが実際には困難であるので、半導体集積回路密度のこれ以上の高度化はまもなく終焉するであろう。究極的に、そのような機能部分が単一の原子および分子の長さより小さくなることはおそらくあり得ない。

分子のレベルにおいては、量子効果が大きな利点をもたらすと共に、それより大きい寸法において問題に遭遇することはない。量子コンピューティングは、原子レベルで稼働する一層小さいコンピューティング装置を開発するための可能な手法として最近発展している。一般に、伝統的コンピュータは、２進法数学に基づくブール論理によって取り扱われるコンピュータ処理用の一連のビット情報を符号化する。例えば、３２ビットのデジタル・コンピュータは、単一命令の実行の間に１つまたはいくつかの３２ビット・オペランドを一般に処理する。単一命令は、一般に、各々が２³²の異なる可能な結果値を表す１つまたはいくつかの３２ビットの結果値を生成する。従って、単一命令は、1つまたはいくつかのオペランドを、各々が２³²の値の範囲にある１つまたはいくつかの値に対応づける。一方、典型的量子コンピュータは、¹³Cおよび¹⁹Fのようなアイソトープに関する+1/2および-1/2核スピンを利用してブール論理の１およびゼロを表す。更に、核スピンは、+1/2および-1/2核スピン状態という重ね合わせ位置に存在することができる量子の機械的オブジェクトでもある。理論上は、典型的３２量子ビットの量子コンピュータは、１つの命令の実行結果として２³²という値のいかなる組み合わせ(すなわち、２³²!の組み合わせ)を作成することができる。しかしながら、¹³Cおよび¹⁹Fのようなアイソトープの固有の1/2スピン状態の利点を生かすためには、プロセッサは絶対零度に近い温度で操作されなくてはならない。

コンピュータ製造業者、エンジニアおよび物理学者は、速度および計算処理量に関して増大する要求を満たし、かつ、室温で動作することが可能な量子コンピュータに対する必要性を認識している。

本発明の一実施形態は、量子コンピューティングのための方法および装置を提供する。本発明の１つの側面によれば、データ、プログラムおよび未初期化変数すなわちプログラム出力が与えられる。コンパイラ・プログラムがソース・コードを計算処理可能関数のアセンブラ・コードに変換する。計算処理可能関数は符号化関数によって符号化される。符号化関数から１次、時間従属微分方程式を決定するため、連続化手法が使用される。その最小測地線が上記１次、時間従属微分方程式の解であるラグランジアンを構築するため、変分原理が用いられる。ラグランジアンは、励起発生器によって生成される励起フィールドとして実現される規準的量子ハミルトニアン演算子に変換される。励起発生器によって生成される励起フィールドの離散的適用の間の時間間隔を短縮するため、制御／スケジューリング・システムが使用される。励起フィールドは、重合体ノードの格子から構成される量子プロセッサに繰り返し適用される。重合体ノードの量子プロセッサ格子によって放射された光線は、変換器によって、強度対変動周波数スペクトルに変換される。強度対変動周波数スペクトルの移動平均がコヒーレント・メモリに記憶される。平均スペクトル強度値は、符号化関数を近似する多項式係数として使用される。出力は、オリジナルのデータおよびプログラム、および、具現化された変数すなわちプログラム出力を含む。

本発明は、コンピュータ処理のため量子状態伝播を使用する量子関数評価器と呼ばれる方法およびプログラム可能装置に関するものである。図１は、本発明の多くの可能な実施形態のうちの１つの方法の概要を示す制御流れ図である。ステップ１０２において、データ１０４、プログラム１０６および未初期化変数すなわちプログラム出力１０８が与えられる。データ１０４は、独立したファイルの形式のもの、コンピュータのキーボードから操作者によって入力されるもの、または、プログラム１０６のテキストに実際に組み込まれたものでもよい。プログラム１０６は、例えば、C、C++、FORTRANなどのような高水準プログラム言語あるいはアセンブラのような低水準言語、または、スクリプト言語、シェル・スクリプトのような高水準言語あるいは一層高水準な数理プログラミング言語で書かれたソース・コードである。未初期化変数１０８は、プログラム出力を表し、表示端末、電子通信メディア、大容量記憶装置上のファイルあるいはデータベース管理システムデータを含む多くの種々の出力装置および形式および多くのその他の種類の出力に変換されるデータ値を含む。エッジ１１０は、単一の反復でステップ１０２の入力をステップ１１２の出力に変換する本発明の1つの実施形態を実施するプロセスを表す。ステップ１１２において、出力は、同じデータ１０４およびプログラム１０６を含む。しかしながら、ここでの未初期化変数１０８は、本発明の方法および装置の実施によって決定されるインスタンス化された変数である。ステップ１０２のデータが変更される場合、インスタンス化変数１１４を決定するためステップ１０２およびステップ１１２は別々に実行されなければならない点注意する必要がある。

図２は、本発明の多くの可能な実施形態のうちの１つの方法および装置を若干詳細に示す制御流れ図である。ステップ２０２は、図１のステップ１０２において記述されたデータ１０４、プログラム１０６および未初期化変数１０８である。ステップ２０４からステップ２１６は、図１のエッジ１１０によって表される方法の一層詳細な記述を示す。ステップ２０４において、コンパイラ・プログラムがステップ２０２におけるソース・コードおよびデータを離散値計算処理可能関数集合を表すアセンブリ・コード集合に変換する。ステップ２０６において、アセンブリ・コードは、部分的再帰関数の離散符号に変換される。ステップ２０８において、ステップ２０６において決定された符号化された関数から、連続的で、一次の、時間従属的微分方程式を生成するため、連続化手法が使用される。ステップ２１０において、ラグランジアンを作成するため変分原理が使用される。ラグランジアンの測地線が、ステップ２０８において決定された連続的一次時間従属微分方程式の解である。ステップ２１２において、ラグランジアンは、規準的量子ハミルトン演算子に変換される。ステップ２１４において、規準的量子ハミルトン演算子は、規準的量子ハミルトン演算子によって記述される励起フィールドを作成することによって物理的にインスタンス化される。ステップ２１６において、本発明の多くの可能な実施形態の１つを表す"関数型アーキテクチャ"ルーチンを使用して、ステップ２０６に符号化関数に対する多項式近似値の係数が決定される。ステップ２１６において多項式近似値が決定された後、ステップ２０６からステップ２０２が逆順に実行される。ステップ２０６において、符号化関数の多項式近似値を使用して、ステップ２０４における計算処理可能関数が決定され、この結果、ステップ２０２において、図１のインスタンス化変数１１４が与えられる。

図３は、本発明の多くの可能な実施形態のうちの１つを表す図２のステップ２１６における"関数型アーキテクチャ"を備えた装置のブロック図である。図３の中央には制御／スケジューリング・システム３０１が示されている。システム３０１は、エッジ３０７−３１１によって示されているように、関数入力３０２、励起生成器３０３、量子プロセッサ３０４、変換器３０５およびコヒーレント・メモリ３０６の実行を制御／統制する。エッジ３１２−３１７は、関数型アーキテクチャの要素の間で情報が流れる方向を示す。関数入力３０２を用いて図２のステップ２０２からステップ２１４を実行して、励振フィールドが決定され、励起フィールドを特性化するハミルトン式が励起生成器３０３に渡される。励振生成器３０３は、量子プロセッサ３０４の重合体分子ノードから光線の発射を誘発するために使われる励起フィールドを発生させる。励振生成器３０３によって生成される励起フィールドは、重合体分子の振動励起を発生することができる電界、光、電波またはその他どのような手段でもよい。変換器３０５は量子プロセッサ３０４からの放射光線をコヒーレント強度スペクトルおよび対応する周波数に変換して、その結果を保存するためコヒーレント・メモリ３０６に送る。変換器３０５は、また、エッジ３１８によって示されているように、量子プロセッサ３０４からの放射光散の読み取りの後、放射光線検出器をクリアする責任を持つ。コヒーレント・メモリ３０６は、変換器３０５によって受け取られた強度および周波数の移動平均を保持する。制御／スケジューリング・システム３１０は、平均スペクトル強度が収束するまで、励振発生器３０３、量子プロセッサ３０４および変換器３０５の実行を反復させる。スペクトルが収束すると、平均スペクトル強度が読取器３１９に渡され、引き続いて、図２のステップ２０６における符号化関数を近似する多項式の係数として使用される。

図４は、"関数型アーキテクチャ"ルーチンの制御の流れ図である。ステップ４０２において、関数入力が、図２に関連して上述されたステップ２０２からステップ２１４までのステップに従って励振フィールド・ハミルトニアンを決定する。ステップ４０４において、図３に関連して上述された制御／スケジューリング・システム３１０を表す"DO"ループが、ステップ４０６乃至ステップ４１２を実行する。ステップ４０６において、励起発生器が実際の励起フィールドを物理的存在にさせることによって励振フィールド・ハミルトニアンを生成する。ステップ４０８において、重合体ノードが放射光線を放出するようにさせるため、量子プロセッサが励振フィールドによって励起される。ステップ４１０において、放射光線が強度対光波周波数スペクトルに変換され、スペクトルの移動平均が保持される。ステップ４１２において移動平均が収束すると、ステップ４１４において、強度スペクトルが図２のステップ２０６における符号化関数を近似する多項式の係数として使用される。ステップ４１２において移動平均が収束してない場合、ステップ４０６、ステップ４０８、ステップ４１０およびステップ４１２が繰り返される。

Ｉ. 量子コンピューティング
Ａ．入力関数および符号化
上記のステップ１０４で生成された計算処理可能な関数が、"入力関数"と呼ばれる離散的値を持つ関数である。入力関数は、次式(１)のような形式で表すことができる。

f:S₁×…×S_N→D (1)
式(１)において、NはドメインS₁×…×S_Nの次元を表し、集合S_iおよびDは、
S_i={0,…,N_i}
D={0,…,N_d}
によって与えられる自然数の有限下位集合である。また、N_iおよびN_dはそれぞれ集合S_iおよびDの最大自然数である。式(１)の関数fは、ドメインS₁×…×S_Nにおける(x₀,...,x_N-1)と表記されるN-タプルを領域Dの単一自然数に対応付ける(ただしx_i-1は集合S_iにおける１つの要素)。N-タプル(x₀,...,x_N-1)は、ドメインS₁×…×S_Nにおける"ポイント"と呼ばれる。

図５Ａ−Ｂは、
f:S₁×S₂→D
によって与えられる式(１)の形式を持つ入力関数の単純な例を示す。この場合、ドメインS₁×S₂は、x₀およびx₁がそれぞれ
S₁={0,1,2}
および
S₂={0,1,2}
という集合の要素であるようなポイント(x₀,x₁)のすべての可能な組み合わせの集合である。

本例の関数fの範囲は、
D={0,1,2}
という集合によって与えられる。

図５Ａは、本例の関数fのドメインおよび領域値を含む表である。この表は３つの欄からなる。x₀欄５０１およびx₁欄５０２は、s₁×s₂というドメイン要素を含み、限界値はf欄５０３に含まれる。図５Ｂは、図５Ａの表において与えられているポイント(x₀,x₁,f)の３次元デカルト軸表示である。ポイント(x₀,x₁,f)の集合がx₀軸、x₁軸およびf軸に対して描写されている。例えば、図５Ｂにおけるポイント５０８は、図５Ａの行５０４のポイントのグラフ表示である。注意すべき点であるが、図５のＡおよびＢのような２次元および３次元図が以下の記述において提示されるが、それらは単に例示の目的に過ぎない。実際の適用においては、数千、数百万あるいは数十億の変数が存在するので、非常に高い次元の課題ドメインとなる。一般的に、これらの課題ドメインは、超次元体、多様体あるいはキャリヤ多様体であると見なされる。そのような課題ドメインを例示することは不可能であるが、超次元ドメインに対処するために使用する技法を３次元図で類型化することは可能である。

入力関数は、
y_n+1,i=f_i(y_n,1,...,y_n,k) (2)
という形式の反復プロセスの解でもある。ただし、i=1,...,kおよび各々
fⁱ:S^k→S(ただしS={0,1,...,N_s})
である。

図２のステップ２０６で記述された計算処理可能関数の符号化は、次の関数(３)を使用して達成することができる。

F:[0,1,…,p^N-1]→[0,1,…,p] (3)
ただし、

であり、また、pは、

によって定義される自然数であり、

である。

符号化関数(３)−(６)は、Fの値がfの範囲においてfの値と一致するように実数のポイントの下位集合にS₁×,...×S_Nにおけるドメイン値を対応づける。更に、符号化関数(３)−(６)は、fというドメインにないN-タプルに対応する任意のxについて、xを0に対応づける。

図６のＡ−Ｂは、式(３)−(６)における符号化の単純な関数への適用例を示す。式(５)によって与えられる自然数pの値は、

によって与えられる。
式(４)の符号化関数は、次式(７)に従って、ドメインS₁×S₂のポイント(x₀,x₁)を実数下位集合に対応づける。

図６Ａにおいて、x欄６０１は、式(７)に従って計算されるx値であり、F欄６０２は、対応する符号化された関数値Fである。図６Ｂにおいて、図６Ａに示されたポイント(x,F)の集合がx軸６０３およびf軸６０４に対して描写されている。例えば、図５Ｂのポイント(1,2,2)５０８は、図６Ｂのポイント(5,2)６０５に対応している。

式(１)および(２)で与えられている入力関数の例は、図２のステップ２０４においてコンパイラ・プログラムによって生成される離散値関数の一層大きいクラスの関数である。ステップ２０４で生成される関数のクラスは"クラスＩ"と呼ばれ、以下のように与えられる。

(i)クラスＩは、式(３)−(６)におけるように、有限関数fから符号化することができるすべての関数Fを含む。

(ii){f₁,..,f_K|f_i:S₁×…×S_N→S_N+1,K finite,S_i={1,..,N_i|N_ifinite}}
がクラスＩの下位集合である場合、次のような直接の総和となる。

(iii)クラスＩは、次のような投影関数を含む。
P_i:S₁×…×S_N→S_i
ただし、p_i(n₁,…,n_i,…,n_N)=n_i

(iv){f₁,..,f_K|f_i:S₁×…×S_N→S_N+1,K finite,S_i={1,..,N_i|N_ifinite}}
がクラスＩの下位集合であり、

がクラスＩに含まれる場合、次のような合成となる。
g(f₁,..,f_x):S₁×…×S_N→S_N+1

(v) n∈Nの各々について、
g:N×S₁×…×S_k→N
がクラスＩである場合、次のようになる。
min{n,g(n,n₁,…,n_k)=0}

(vi)g:N×S_k→S_k
がクラスＩである場合、
{f:N×S_i×...×S_K→S_K+1|f(n+1,n_i,..,n_K)=g(n,f(n,n_i,..,n_K))}
によって与えられる関数のファミリはクラスＩに所属する。

(vii)上記(i)−(vi)の有限適用によって構築されるいかなる関数もクラスＩに属する。

クラスＩの要素は、符号化関数であるか、さもなければ、上記(ii)−(vii)という有限数のステップによって符号化関数に変換することができる。項目(ii)−(iv)が含まれるのは、多くの高水準プログラミング言語のコンパイラ・プログラムによってこれらの項目が構築されるからである。計算処理可能関数のクラスＩは完全に指定された関数だけを含むが、代替実施形態において、離散的部分指定関数および標識子関数という一層大きいクラスを処理するように本発明の方法を修正することもできる。

本発明の方法および装置の背後にある中心的目的は、符号化関数への量子近似を介して離散的クラスＩ関数を計算処理する効率的かつ迅速な手段を見出すことである。

Ｂ．連続化
連続化の手法は、米国特許出願第10/693,729号に詳細に記述されている。図５および図６に例示されている関数は、次式(８)によって定義されたステップ関数Φを使用して連続化することができる。

図７Ａは、式(８)のステップ関数によって図６のＡ-Ｂに示された符号化関数Fを連続化するプロセスを示す。連続化は、離散ドメイン値xの間の実数を含めることによってドメインのサイズを増加させ、各yに関数値Φ(y)を割り当てる。図７Ａは、x軸７０１およびΦ軸７０２に対するステップ関数Φ(y)を示すグラフである。関数値F(x)はΦ(y)に等しく、離散x値は離散ドメインｙ値に等しい。例えば、図７Ａのポイント(5,2)７０３は図６Ｂのポイント(5,2)６０５である。

連続化プロセスは式(４)によって与えられるステップ関数に限らない。代替実施形態において、線形補間法、アダムス−ボッシュワース補間法、スプライン法、ペード補間法などのような他の補間手法を使用して、値がF(x)と一致するような関数Φ(y)を構築することができる。図４Ｂは、仮説的補間関数Φ(y)を示す。ここでは、離散ドメイン値xに等しいyの値についてΦ(y)は符号化関数F(x)と等しい。

補間関数Φ(y)は、高次元多様体に関して次式(９)によって与えられる再帰関係によって定義される実数ベクトル{x₀,x₁,…}のシーケンスとして表現することができる。

x_n+1=x_n+α_nh(x_n) (9)
各ベクトルx_nは、
x_k=(x_1,k,x_2,k,…,x_N,k)
によって与えられる実数R^kのk次元集合におけるk-タップルであり、
シーケンス{α_n}は次のような特性を持つ実数のシーケンスである。

更に、hはR^kからR^kへの関数マッピングである。換言すれば、新しい状態ベクトルx_n+1が、反復計算の各々において、現在の状態ベクトルx_nおよびx_nに依存する離散的ベクトル値関数hから計算される。図８のＡ−Ｆは、３次元における仮説的シーケンスに関する連続化プロセスを示す。図８Ａは、x₁軸８０２、x₂軸８０４およびx₃軸８０６に対してR³で描写されたベクトルx_n-2、x_n-1、x_nおよびx_n+1を示す。

次に、シーケンス(x_n)_n≧0が、次式(１０)によって与えられる再帰関係を満たす項を持つシーケンス(X_n)_n≧0によって近似される。

X_n+1=X_n+α_nh(X_n)+α_nb_n (10)
式(１０)において、b_nはベクトル・パラメータである。図８Ｂは、式(１０)における近似再帰関係によって与えられたシーケンスを示す。図８Ａに示されたベクトル(x_n)_n≧0のシーケンスは、図８Ｂのベクトル(X_n)_n≧0のシーケンスによって置き換えられている。

時間シーケンス{t_n}は次のように定義される。

ただし、α_i=t_i+1-t_iである。

図８Ｃは、式(９)および(１０)によって与えられた時間シーケンス{t_n}と実数シーケンス{α_n}との間の関係を示す。nが無限大に近づくにつれて各要素α_nはゼロに近づくので、実数シーケンス{α_n}の長さは、時間軸８０８上の減少時間間隔(t_n+1-t_n)に等しいことに注意する必要がある。例えば、実数α₁８１０はα_n８１２より長い間隔である。

次に、２つの時間従属ベクトル関数X⁰(t)およびg⁰(t,a,b)が以下の式(１２)乃至(１５)のように定義される。

および

式(１３)および式(１５)は時間tに関する線形関数である。図８Ｄは式(１３)によって定義される関数を示し、セグメントX⁰(t)８１４がR³におけるベクトルX_nとX_n+1との間のベクトルであることを示している。

関数

は、次式(１６)のように定義される。

図８Ｅは、時間tの関数として描写された式(１６)を示す。関数値はステップ関数として図示されていて、

は時間間隔(t_n,t_n+1)において一定である。ゼロからn-1まで式(１０)の項を総和すると、次式(１７)が得られる。

いくつかの代数計算および積分学の積分定義の適用の後、式(１７)は、次式(１８)のように、時間tの連続的、ベクトル値化された関数として与えられる。

次のように与えられる関数を使用して、

式(１８)を式(１９)のように書き替えることができる。

式(１９)は次のように表現することができる。

この場合、nが有限時間間隔(t_n+1-t_n)に無限に均一的に近づくにつれて関数eⁿ(t)およびgⁿ(t,a,b)はゼロに近づく。時間従属シーケンス{Xⁿ(t)}は、間隔(-∞,∞)に連続的に展開している。従って、Arezla-Ascoli補助定理によって、その限界が次式を満たすベクトル関数X(t)である関数{Xⁿ(t)}のシーケンスの収束サブシーケンスが得られる。

ただし、

はXという時間導関数に関する簡略表記である。

関数{gⁿ(t,a,b)}シーケンスもまた、間隔(-∞,∞)に連続的に展開している。再度、Arezla-Ascoli補助定理を適用することによって、その限界がベクトル関数g(t,a,b)である関数{gⁿ(t,a,b)}の収束サブシーケンスが得られる。このようにして、式(９)によって与えられたオリジナルの離散シーケンスは、次式(２０)によって与えられる１次、時間従属、微分方程式によってモデル化することができる。

図８Ｆは、ベクトル解関数x(t)８２０に対する正接ベクトル８１８として微分方程式(２０)を表している。

Ｃ. 変分モデル
変分モデルを使用して、１次、時間従属、微分方程式(２０)に関する図２のステップにおけるラグランジアンを定式化することができる。手順は、

によって与えられるラグランジアンに関して定式化される変量問題から開始される。

最初に、ラグランジアンは以下の特性を持つと仮定される。

(１) ラグランジアンは、

における次数１と同義である。換言すれば、実数値λ≧に関して、

である。

(２) ラグランジアンは

における正の定値である。換言すれば、

である。

特性(１)および(２)は、キャリヤ多様体に関するメトリック基礎様式dsの次式(２１)のような定義を可能にする。

測地線は、経路が特定の表面に限定される場合に任意の２ポイント間の最短を表す経路である。式(２１)のメトリック基礎に従った測地線は、次式(２２)の積分を最小にする多様体上の曲線を見いだすための変分問題の対応する媒介変数計算の極値である。

式(２２)は符号化条件を満たす。測地線は次式(２３)によって与えられるオイラ−ラグランジェ方程式に対する解である。

図９は、３次元表面キャリヤ多様体９０２上の式(２３)の仮説的測地線解x(t)９０４を示す図である。測地線解x(t)９０４が辿る経路は、図１のステップ１０２におけるデータ１０４，プログラム１０６および未初期化変数１０８を表す出発点x(t₀)９０６と図１のステップ１１２におけるデータ１０４，プログラム１０６および未初期化変数１１４を表す終端点x(t₁)９０８との間の最短経路である。

第２に、ベクトル関数x(t)が、その最小のεの範囲内の整数を持ち、ε最適制御と呼ばれる軌跡を定義する。

第３に、ラグランジアンL(x,u,t)がuに関してラグランジアンLの凸状化であるラグランジアンL^*(x,u,t)によって置き換えられる。次に、緩和制御に関する存在定理がL^*(x,u,t)を適用して、最適制御問題が緩和された解を有することを確認する。緩和解はオリジナルの課題に関するε最適制御を得るように近似することができる。

第４に、任意のあらかじめ指定されたεについて、オリジナルの問題に対するε最適制御を計算して、有限状態の、物理的に実現可能な制御オートマトンとしてε最適制御が実施される。状態xにおける有限制御オートマトンによって発せられる実際の制御法則は、チャタリング制御である。チャタリングは、L(x,u)のいくつかの局所的極大値に対する近似の間に行われる。

１次、時間依存、微分方程式(２０)に対する解の望ましい進化が、キャリヤ多様体の測地線に沿った経路を定義することによって推定される。換言すれば、式(２０)を満たす関数x(t)の進化によって式(２１)に記述されるようなキャリヤ多様体上のメトリックを引き出す望ましいラグランジアン

が存在する。キャリヤ多様体上の共変部分導関数は次のように定義される。

時間tに関する共変部分導関数は存在するが、時間は不変量であるので、時間tに関する共変部分派生式はまさに次の通りとなる。

従って、局所座標からキャリヤ多様体上の座標への変換は、次式によって与えられる。

ただし、

は、式(２１)に関連するLevi-Civita結合から発生するクリストフェル(Christoffel)係数である。クリストフェル係数は次式に従って明示的に計算するこができる。

ただし、(g^i,j)は、次式によって与えられるメトリック基礎形式行列の逆数である。

便宜的に、共変部分導関数は、次式(２４)を与えるため、式(２０)の両辺の時間ｔに関する導関数を取得することから始まる。

ここで、

および

は列ベクトルであり、

は、k × kの行列である。ラグランジアンLは次のように定義される関数マッピングである。
L:TM×R→R
ただし、TMは正接束であり、ラグランジアン

は、次式によって与えられるオイラ−ラグランジュ方程式を満たす。

ただし、

および

は列ベクトルである。

式(２５)の時間導関数の拡張によって次式(２６)が与えられる。

ラグランジアン

は、３回の微分が可能であると仮定され、

の混合部分導関数は、微分の順序が次数２または３の

の混合部分導関数に関していかなる相違も生まないように連続的であると仮定される。かくして、i番目のコンポーネントの

について式(２６)の部分導関数をとることによって、次式(２７)が得られる。

式(２７)は次式(２８)のように書き換えることができる。

式(２８)は更に次式(２９)のように書き換えることができる。

式(２９)の両辺を移項し、

によって与えられる偏微分特性を使用することによって、次式(３０)が得られる。

ただし、

式(３０)は、次式によって与えられる特徴的２次偏微分方程式の経路に沿って積分することによって明示的に解くことができる。

Ｄ．量子化
この節では、図２のステップ２１２において上述された"規準的量子ハミルトニアン演算子"として知られている構造および定式化について記述する。ハミルトニアンの有用性は、物理学の多くの分野における理論的展開のフレームワークを提供し、現在の量子構造の構築に使用される言語の大半を提供している点にある。

上述のラグランジアン定式化において、システムは、独立自由度kの、時間従属的、ベクトル値化された関数x(t)によって特徴づけられていて、k個の独立変数x_kおよびk個の時間導関数

に関する問題である。ハミルトニアンは、位置座標x_kおよび関連運動量P_kという観点から定式化されているので、基本的にラグランジアンと異なっている(参照："Classical Mechanics 2nd Edition, Herbert Goldstein, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1980")。最初にラグランジアン

の合計時間導関数をとって次式(３１)を得ることによって、ラグランジアン式はハミルトニアン式に変換される。

次に、 オイラ−ラグランジアン式(２５)が式(３１)に代入され、次式(３２)が得られる。

カッコ内の量は、"エネルギー関数"と呼ばれ、次式(３３)によって示される。

エネルギー関数(３３)は、座標x_kに関連し、次式(３４)によって決定される線形共役運動量P_kという観点から再定式化される。

ラグランジアン式からハミルトニアン式への変換は、式(３４)を式(３２)へ代入することによって厳密に数学的な問題として取り扱われる。かくして、式(３３)によって与えられたエネルギー関数は、今や、次式(３５)によって与えられる座標x_kおよび共役運動量P_kのハミルトン関数として表される。

式(３５)においては、ハミルトニアンは常に座標(x,p,t)の関数と見なされ、ラグランジアンは座標

の関数であるという点が特に強調される。

によって与えられるラグランジアンに関する伝統的機械的表現を用いることによって(ただし、Vはxまたはxおよびtの両方の電位エネルギー関数である)、式(３５)は、規準的変数(x,p)の関数として書き換えられ、次式(３６)の伝統的機械的ハミルトニアンが得られる。

電位エネルギーが時間tに依存しないとすれば、式(３６)のハミルトニアンによって記述されるシステムは保守的であると言われる。これは、エネルギーが当該システムに追加されることはなく、あるいは、当該システムから移動されることもないということを意味する。

式(３６)で表現されたハミルトニアンは、連続的に振る舞う動的システムをうまく特徴づけるものであるが、式(３６)のハミルトニアンは本発明の量子的機械的方法および装置を特徴づけるのに適していない。なぜなら、本発明は、特定数の静止あるいは量子状態において存在する原子および分子の振る舞いに依存しているからである。

式(３６)のハミルトニアンは、

および

という微分演算子を、式(３６)に代入することによって原子および分子に現れる量子的振る舞いを特徴づけるように修正される(参照："Quantum Mechanics, Albert Messiah, Elsevier Science Publishers, The Netherlands, 1961")。この結果、原子および分子のような量子的機械的システムの振る舞いを特徴づける次式(３７)によって与えられる基準的量子ハミルトニアン演算子式が得られる。

運動エネルギーおよび全体エネルギーが、

によって与えられる微分演算子によってそれぞれ置き換えられているので、式(３７)は"演算子"と呼ばれる。

式(３７)のハミルトニアンは２次微分波動方程式である。一般に、式(３７)で与えられるハミルトニアンに対する解は、空間座標、時間および整数パラメータに依存した複素数値波動関数である。ハミルトニアンの波動関数解は、次式(３８)によって与えられる。

Ψ_ｎ(x, t) = |Ψ_ｎ(t)〉 （３８）
ここで、整数パラメータnは"量子数"と呼ばれる。一般的に、"固有関数"、"固有状態"または"状態"と呼ばれる無限数の解｜Ψ_ｎ(t)〉が存在する。それらは、位置、運動量およびエネルギーのようなシステムの状態について決定されることができるすべての情報を含む。式(３８)によって与えられる解｛|Ψ_ｎ(t)〉｝の集合は、ヒルベルト空間に関する基礎を構成する。従って、ヒルベルト空間｛|Ψ_ｎ(t)〉｝における任意の２つの固有関数|Ψ_ｎ(t)〉を所与とすれば、次式(３９)が成立する。

ただし、Ψ_i ^*はΨ_iの複素数共役である。

式(３８)によって与えられたハミルトニアンは、次式(４０)の形式の固有値問題として書き直すこともできる。

ただし、λ_nは、状態|Ψ_ｎ(t)〉におけるシステムのエネルギーで、"固有値"と呼ばれる。ハミルトニアンによって特徴づけられる量子機械システムの測定の前に、システムは、次式(４１)のように状態関数｛|Ψ_ｎ(t)〉の線形結合によって表されると仮定される。

ただし、|Ω(t)〉は、システム全体に関する状態関数であり、c_iは複素数値係数である。システムの測定が行われると、システムは、式(４１)の固有状態|Ψ_i(t)〉のうちのただ１つの状態において観察される。この場合、状態|Ψ_i(t)〉においてシステムを観察することの確率は、係数の自乗、すなわち|c_i|²である。

式(４０)の電位エネルギー関数Ｖは、原子あるいは分子の回転運動や振動あるいは原子または分子の電子的状態のような観察下システムの特定の物理的特性を特徴づける。例えば、２原子性分子の振動V_vibを特徴づける電位Vをハミルトニアンに代入することによって、振動固有状態|Ψ_ｎ(t)〉および付随する振動エネルギー固有値λ_nが得られる。

図１０は、仮説的２原子性分子に関するモールス(Morse)の電位およびスペクトルを示す。２原子性分子の振動電位エネルギーは、
V_vib=D_e(1-exp(-kr))²
によって与えられるモールス電位によって近似することができる。D_eは２原子性分子を完全に切り離すために必要とされるエネルギーであり、kは最小電位における曲率であり、rは図１０（ａ）に示された原子１００４および１００６の間の結合距離１００２である。モールス電位は原子１００４および１００６の間の相互作用を特徴づける。

図１０Ｂは、モールス電位および量子化された振動エネルギー準位を示す。仮説的２原子性分子の振動振る舞いを表すハミルトニアンは、次式によって与えられる。

ただし、｛|Ｘ_ｎ〉｝は２原子性分子の振動状態集合であり、{λ_n}は、対応する固有値集合である。電位エネルギーV_vibは、図１０（ａ）において原子１００４および１００６の原子間結合距離r１００２の関数として描写されている。この場合、エネルギーは垂直軸１００８によって表され、原子間結合距離rは図１０（ｂ）のr軸によって表されている。最低振動状態は、随伴するエネルギー固有値λ_０１０１０を持つ|Ｘ₀〉であり、"基底状態"と呼ばれる。

図１０（ｂ）において、光源１０１２および１０１４が、
hv_i,j=λ_i,j
によって与えられるエネルギーで光子(フォトン)を発散する。v_i,jは光周波数であり、
λ_i,j=λ_j-λ_i
である。仮説的２原子性分子は、周波数v_0,1を持つ光源１０１２からの光子を吸収し、 ２原子性分子は、エッジ１０１６によって示されるように、振動エネルギーにおける量λ_1,2の増加を経験する。基底状態から一層高いエネルギー状態への遷移は"励起"と呼ばれ、分子は"励起状態"にあると言われる。今や、仮説的２原始性分子は、エネルギー固有値λ₁を持ち、分子状態は、基底状態|X₀〉から励起状態
|X₁〉へ遷移した。エッジ１０１８は、状態|X₁〉から、光源１０１４から発せられた周波数v_1,2を持つ光子の吸収によって得られる励起状態|X₂〉への第２の遷移を示す。この仮説的例においては、励起状態は特定の周波数の光を使用して生成される。注意すべき点であるが、原子および分子は、電界の適用によって一層高い量子状態への励起を経験することもできる。

また、原子および分子は、励起状態から一層低いエネルギー状態へ遷移する際に周囲に光子を放出する。一層低いエネルギー状態への遷移のプロセスは、"緩和"あるいは"熱緩和"と呼ばれる。エッジ１０２０は、エネルギー固有値λ₂を持つ励起状態|X₂ 〉からエネルギー固有値λ₁を持つ状態|X₁〉への仮説的２原始性分子の緩和を示す。状態|X₂〉から状態|X₁〉への遷移は、周波数v_1,2を持つ光子の放出をもたらす。エッジ１０２２は、状態|X₁〉から基底状態|X₀〉への遷移およびそれに伴う周波数v_0,1を持つ光子の放出を示す。

放射される光子の検出器による観察によって、２原子性分子の集団に関して種々に観察された光周波数のスペクトルを生成することができる。図１０（ｃ）は、図１０（ａ）（ｂ）に関連して上述された仮説的気相２原始性分子のスペクトルの集合平均を示す。水平軸１０２４は、集合に関して観察された量子化振動周波数であり、垂直軸１０２６は振動周波数の各々に関連した強度である。仮説的分子のスペクトルは、一層高い振動周波数において強度が減衰することを示している。強度は、特定の振動状態における２原始性分子の断片の測定値である。放射の線１０２８は最大強度δ₀を持ち、状態|X₀〉における２原始性分子の断片を近似するために使用することができる。従って、式(４１)に従って、２原始性分子の集団を記述する状態関数は、次のように与えられる。

Ｅ．実現化
実現化は、関数Φ(x)を解くため、式(４０)における規準的量子ハミルトニアン演算子をハードウェアの物理的動作へ変換するプロセスである。関数Φ(x)は、次式によって与えられるヒルベルト空間γ_pにわたる値pのクレステントン(Chrestenton)関数の直交型集合の観点から拡張することができる。

Ｂ_p＝{φ_k(x)|φ_k(x)：[0, p^N-1]→[0, p^N-1], k=0,…, p^N-1 }
ここで、クレステントン型関数の一般型は、次式によって与えられる。

ただし、

および

である。

従って、直交型集合B_pという観点から記述される補間関数Φ(x)は、次式(４２)によって与えられる。

ただし、

である。

係数集合{β_k}は式(４２)の関数のスペクトルと呼ばれる。ただし、スペクトル{β_k}の項目の数は約10⁵から10¹²の範囲にわたる。スペクトル{β_k}が既知であれば、図２のステップ２１６およびステップ２０６に関連して上述された符号化関数F(x)を決定するためΦ(x)を使用することができる。次に、符号化関数F(x)を使用して、図２のステップ２０４およびステップ２０２に関連して上述されたオリジナル関数f(x)を決定することができる。本発明の目的は、スペクトル{β_k}を近似するスペクトルを決定することである。

システムのハードウェアは、"H₀"と呼ばれるハードウェア・ハミルトニアン演算子によって特徴づけられる。実現化プロセスは、"H_f"と呼ばれる励起フィールド・ハミルトニアンH_fを構築するステップを含む。このステップにより、励起フィールド１４と相互作用する時、ハードウェアは次式(４４)の条件を満たす。

ただし、
|・|は演算子ノルムを意味し、εは、計算処理に関する精度要件を満たすように選択されるパラメータである。

一般に、複合ハミルトニアンH₀+H_fの固有値は、式(４２)によって与えられる関数のスペクトル{β_k}を近似する。{λ_k｜k=1, …,N}が対応する固有状態{|Ψ_k(t)〉| k=1, …,N}を持つH₀+H_fという固有値のサブセットであるとすれば、
(H₀+H_f)|Ψ_k(t)〉＝λ_k|Ψ_k(t)〉 （４５）
であれば、

および

である。

ただし、φ_kはクレステントン型関数である。従って、式(４２)によって与えられる補間関数Φ(x)は次式(４８)のように近似することができる。

かくして、式(４８)に関する係数集合を得るように励起フィールド・ハミルトニアンH_fに従ってハードウェア・システムH₀を励起させることによって、離散関数を近似することができる。符号化関数は式(４８)から構築することができ、次に、これを使用して、図２の逆順ステップ２０６−２０２に関連して上述したクラスＩが決定される。

II. 量子コンピューティングのための関数型アーキテクチャ
Ａ．関数入力
図３の関数入力３０２は、図２に関連して上述されたステップ２０２−２１４を介して、励起フィールド・ハミルトニアンH_fを記号的に決定する。励起フィールド・ハミルトニアンH_fを記号的に決定するプロセスは"コンパイル・プロセス"と呼ばれる。

Ｂ. 励起発生器
図３の励起発生器３０３は、関数入力３０２から記号的励起フィールド・ハミルトニアンH_fを受け取って、H_fの記号記述を量子プロセッサによって実行されるべき物理的実施形態に変換する。励起発生器は、次式(４９)によって与えられる所望の状態に従って量子プロセッサのそれぞれのノードをアドレスする。

ただし、|Ψ_ｊ(t)〉は量子プロセッサのj番目のノードの状態関数である。

Ｃ. 量子プロセッサ
図１１は、本発明の多くの可能な実施形態の１つを表す２次元ノード・アレイを持つ図３の量子プロセッサ３０４を示すブロック図である。ノード１１０２は、量子横方向接合部９０４および量子前方向接合部１１０６によって格子内の隣接ノードと接合された化学重合体である。境界１１０６および１１０８によって、システムの周囲コンポーネントに電界が漏れ出すのを防ぐ絶縁隔壁が形成される。量子プロセッサは、また、励起フィールドH_fを実施する励起フィールド１１１２を内包する。量子プロセッサの対向する両端部には、ノード１１０２の格子に励起フィールドを戻すように反射する反射板１１１４および１１１６が配置されている。

ノード格子は図１１に示されているような直線的ノード配置に限定されることはない。代替実施形態において、ノードを一層高い密度に配置することもできる。例えば、隣接した列のノードをオフセットさせることによって、ノードを一層近接して詰め込む配置に構成することができる。更なる代替形態において、ノードは、任意の数の異なった３次元の格子構造に構成することもできる。例えば、単純な立方体、体心立方体、面心立方体、基本的面心立方体、単純な六面体、あるいは、亀甲近接配置菱面体等々である。図１２は、本発明の多数の可能な実施形態の１つであって、等間隔に配列されたノード１２０２，反射板１２０４および１２０６および絶縁隔壁１２０８および１２１０を含む単純立方体格子である。

励振発生器から励起フィールドH_fを受け取る前に量子プロセッサを実現するハミルトニアンは
Ｈ＝Ｈ_０
によって与えられる。H₀は、ハードウェア・ハミルトニアンである。励起フィールドを適用する前は、格子ノードは基底振動状態にある。励振発生器から励起フィールドH_fを受け取った後、量子プロセッサは、
H=H₀+H_f
によって与えられるハミルトニアンによって特徴づけられる。

図１３は、図１１に示された仮説的量子プロセッサに適用される仮説的励起フィールドH_fを示す。励起フィールドH_fは、励起フィールド１３０２から始まり、１３０４方向に量子プロセッサを進む。励起フィールドの波頭１３０６が、基底状態のノードを越えて行き、各ノードを一層高い振動／電子状態へ励起させる。基底状態にあるノードは、空の円１３０８で標示され、励起状態にあるノードは中黒円１３１０で標示されている。各ノードが格子に固定されていて自由に回転することができないので、ノードの回転量子状態は捕捉されない。

図１４は、単一ノード１４０２に関する２レベル・オートマトンを示すブロック図である。下位オートマトン１４０４は、遷移セレクタ１４０６、状態遷移１４０８および現在状態１４１０を含む量子プロセッサをノードの観点から見た機構である。上位オートマトンは、図３の関数入力３０２によって上述された量子計算パラダイムを表し、確率状態１４１４および確率遷移１４１６から構成される。入力セレクタ関数１４１８は、図３の励起発生器３０３によって実行される入力関数であり、励起フィールド１４１９、格子内の他のノードの隣接状態１４２０、確率状態１４１４および現在状態１４１０とのノード１４０２の相互作用をモデル化する。

１. 下位オートマトン
下位オートマトン１４０４において、状態遷移１４０８は、ノードのプログラム可能離散スペクトルを特徴づけ、上位オートマトン１４１２によって計算される混合状態確率密度遷移によって制御される。下位オートマトン１４０４の遷移セレクタ１４０６は上位オートマトン１４１２によって発せられるコマンドを実行する。各ノード１４０２は、次式(５０)によって与えられる純粋状態集合を持つ。

式(５０)において、|Ψ_ｊk(t)〉はノードの純粋状態であり、jは量子プロセッサにおけるj番目のノードのインデックスであり、ｋは量子番号であり、N_pは利用可能量子状態の数である。各ノードは基底状態|Ψ_ｊi(t)〉で始まり、図１１に関連して上述したように、励起フィールドH_fによって一層高い状態|Ψ_ｊk(t)〉に励起される。励起フィールドH_fによって一層高い状態に励起された後、ノードは、瞬間的に緩和化を受けて、Sにおける一層低いエネルギー状態へ遷移する。図３の制御／スケジューリング・システム３０１によって決定される時間間隔の後、ノード格子は、励起発生器３０３によって生成される別の励起フィールドH_fによって再度励起される。１つの励起と次の励起の間の時間間隔は"更新時間"と呼ばれ、記号Δによって表される。ノードの更新時間Δは、下位オートマトンにおけるいかなる状態遷移の最大緩和時間の１０倍よりも長いように決定される。格子のノードの各々は、更新時間Δの間に１つまたはそれ以上の状態の間を遷移することもある。そのような遷移は"チャタリング"と呼ばれる。チャタリング効果はSにおける純粋状態の組み合わせとして記述され、次式のように与えられる。

ただし、

は、更新時間間隔[t,t+Δ]の準オープン間隔で、ノードjが純粋状態|Ψ_ｊk(τ)〉で費やす時間を与える。時間間隔Δ_jk(t)は、状態に関連する特有の励起あるいは緩和の時間の関数である(参照："Fields and Nodes: Field Theory and Dispersion Relations, by K. Nishijima, Benjamin, Inc., NY, 1969")。

図１５は、式(５２)のチャタリング組み合わせと式(５１)の準オープン時間間隔との間の関係を示す。チャタリング組み合わせ(５１)の純粋状態|Ψ_ｊk(t)〉
はエネルギーの昇順に垂直に配置されている。チャタリング組み合わせ(５１)に出現し、式(５２)で定義される準オープン間隔I_jk(t)は純粋状態|Ψ_ｊk(t)〉の下に図示されている。準オープン間隔I_jk(t)の各々は長さΔ_jkを持ち、j番目のノードが更新時間[t,t+Δ]の間に純粋状態|Ψ_ｊk(t)〉にとどまる時間量を表す。例えば、j番目のノードは、時間間隔I_j2(t)１５０６において長さΔ_j2１５０４の間、純粋状態|Ψ_ｊ2(t)〉１５０２にとどまる。時間間隔Δ_jkの総和は次式のように表される。

従って、チャタリング係数は次のように定義することができる。

これによって、式(５３)は次式(５４)のように書き換えることができる。

チャタリング・ノードは、Sにおける一層低い状態に瞬間的に遷移して、周囲に光線を放出するか、または、システム内の他のノードによって発せられる放射光線を吸収して、Sにおける一層高いエネルギー状態へ遷移するかもしれない。図１６は、エネルギー軸１６０２に沿って昇順に配置されたチャタリング組み合わせ(５１)における３つの純粋状態を使用して、単一の仮説的ノードに関するチャタリングを図示している。第１に、ノードはエネルギーλ_jk１６０６を持つ状態|Ψ_ｊk(τ)〉１６０４で始まると仮定する。状態|Ψ_ｊk(τ)〉１６０４のノードは瞬間的にエネルギーλ_jk-1１６１０を持つ一層低い状態|Ψ_ｊk-1(τ)〉１６０８に遷移して、エッジ１６１２によって示されるように、周囲にエネルギーhv_jk-1,jkを放出する。第２に、ノードは、エッジ１６１４によって示されるように、周囲からエネルギーhv_jk-1,jkを吸収して、エネルギーλ_jk１６１４を持つ状態|Ψ_ｊk(τ)〉１６０２へ戻る。第３に、格子の周囲から周波数hv_jk,jk+1を持つエネルギーを吸収して、エッジ１６２０によって示されるように、エネルギーλ_jk+1１６１８を持つ状態|Ψ_ｊk+1(τ)〉１６１６へ遷移する。

時間間隔[t,t+Δ]の各々ごとに、遷移セレクタ１４０６は、図１４の上位オートマトン１４１２からコマンドを受け取る。コマンドは、順に並べられたチャタリング係数

のタプルから構成される。遷移セレクタ１４０６は、式(５１)に従って混合状態|Ψ_ｊk(t)〉のチャタリング組み合わせを計算する。

２．上位オートマトン
一般に、格子または格子ノードのいずれかを特徴づける特定の状態関数を決定するのに十分な情報は存在しない。従って、計算についての最良の記述は確率的記述である。量子の公式においては、記述は"確率密度記述"と呼ばれている(参照："Probabilistic Model of Quantum Relation, V. F. Weisskopfand E. Wigner, Physik 63, pp.54-62, 1930")。

式(５４)によって与えられる下位オートマトンにおける純粋状態集合について再度考察する。P_jをj番目のノードが純粋状態|Ψ_ｊ(t)〉にある確率であるとすれば、確率密度演算子は次式(５６)によって定義される。

この確率密度演算子を用いて特定の量子状態の確率を決定することができる。微分方程式(５６)および差分方程式(４０)によって次式(５７)の微分演算子が得られる。

式(５７)の右辺の演算子は、"交換子"と呼ばれ、[H,ρ]と表現される。従って、式(５７)は次式(５８)となる。

式(５８)は、図１４の上位オートマトン１４１２によって実行される計算を特徴づける。上位オートマトン１４１２によって得られる結果は、ノードが状態|Ψ_ｊ(τ)〉にある確率である。

式(５６)の密度演算子を所与とすれば、格子に関する集団平均は、行列ρ・Cの跡(trace)によって決定することが可能で、次式(５９)によって与えられる。
＜C＞＝trace（ρ・C） （５９）

Cは任意の量子的機械的演算子である。例えば、ノードの振動を特徴づける振動ハミルトニアンを演算子Cに代入して、振動状態の集団平均を得ることができる。演算子Ｃに関して計算される集団平均は、図３で変換器３０５によって実行される。

注意すべき点であるが、状態関数|Ψ_ｊ(t)〉は、式(５１)のチャタリング組み合わせとして与えられ、次式(６０)のようにＳにおける状態の線形組み合わせとして同等に記述することができる。

係数α_jk(t)は、式(５４)によって与えられるチャタリング係数である。式(６０)の線形組み合わせと式(５１)のチャタリング組み合わせとの間の同等性は、次のようなチャタリング補助定理の改訂によって確立される。すなわち、

とし、

をSのチャタリング組み合わせ集合であるとする。実整数εは所与とする。すべての{α₁,...α_Np}について次式(６２)が成立するように、次式(６１)によって与えられる各タプルごとに定義される状態関数

が存在する。

チャタリング補助定理によれば、集合Sにおける式(５１)形式のあらゆるチャタリング組み合わせは、恣意的に小さい誤差を含むSの要素の線形組み合わせとして実現することができる。状態関数の強い連続性仮定の下では、補助定理の逆もまた真である。格子における境界条件を適切に選択することによって、連続性仮定に制約はない。

式(６０)で与えられる線形組み合わせを用いて、j番目のノードの状態関数|Ψ_ｊ(t)〉を表すことができるが、式(５１)のチャタリング組み合わせ形式の状態関数の定式化によって、一連の励起ステップの定式化が可能とされる。

３．入力セレクタ関数
図１４の入力セレクタ関数１４１８は、ノードの現在状態１４１０および確率状態１４１４から受け取る状態を利用して、格子のノードの励振フィールド１４１８および隣接するノード１４２０によって生成された電界との相互作用をモデル化してH_fを生成する。図１７は、格子ノード相互作用のいくつかの種類の例を示す。単純化のため最隣接のノードとの相互作用のみが図１７に示されているが、本発明はその他のノードとの相互作用にも適応することができる。楕円１７０２は、最隣接ノード１７０６と相互作用するノード１７０４から生じる双極子積率相互作用を標示する。楕円１７０８は、２つの隣接ノード１７１２および１７１４と相互作用するノード１７１０によって生成された３極子積率相互作用を標示する。楕円１７１６は、隣接するノード１７２０、１７２２、１７２４および１７２６と相互作用するノード１７１８の４極子積率相互作用を標示する。

格子における他のノードによって生成される電界から励起フィールドを区別するため、励起フィールド・ハミルトニアンH_fは、次のように２つの項の和として表すことができる。

Ｈ_f＝Ｈ_e＋Ｈ_l (63)
H_eは、ノードの励起フィールドとの相互作用であり、H_lは、格子における他のノードとの相互作用である。所与のノードに関する相互作用ハミルトニアンH_lは次式(６４)のように表すことができる。

上式において、j番目のノードについて、Ｈ_l ^ijは、ノードjの"隣接"ノードi_jとの相互作用ハミルトニアンであり、g_Ψはノードの現在状態|Ψ_ｊk(t)〉における"隣接関数"と呼ばれるものである。図１８は、

によって与えられる仮説的相互作用ハミルトニアンH_lを説明する図である。エッジ１８０１−１８０３は、ノードjと隣接ノード1_j１８０４、2_j１８０５および3_j１８０６との間のそれぞれの相互作用ハミルトニアンＨ_l ^1j、Ｈ_l ^2j、およびＨ_l ^3jを標示する。隣接関数g_Ψは、現在状態|Ψ_ｊ(t)〉における格子のノードjの相互作用の軌跡構造を表す。

相互作用ハミルトニアンの構造は、格子に関連するラグランジアンの構築および上記ＩのＤにおいて記述された規準的量子化手順の適用によって決定することができる。このタスクを実行する諸要素はよく知られているが、詳細は格子の物理的特性に依存する。その手法は、電位を定義して格子ノード相互作用を特徴づけるプロセスを含む。例えば、図１７において楕円１７０２によって示される双極子相互作用は、次式(６５)のような形式の電位によって特徴づけることができる。

d_x-y(t)は緩和関数で、r_ijはノードiとjの間の距離である。

ここで、分析の目的および上記ＩのＦにおいて記述された実現化ステップの詳細な定式化を決定するため、基本励起ハミルトニアンの有限集合が次式(６６)によって与えられると仮定する。

N_eはノードjにとって利用可能な励起状態の数である。式(６６)において与えられる基本励起ハミルトニアンは、更新時間Δにわたって集合Tの要素の間でチャタリングすることによって実現および実施されることができる。Tの要素の間のチャタリングは次のチャタリング方程式(６７)によって与えられる。

式(６７)において、集合I_jk(t)は前述の式(５２)によって定義され、|Ψ(τ)〉は状態関数である。確率的共振チャタリング式(６７)は量子プロセッサの実施にとって中心的位置をしめる。実現の基準が満たされるように、格子のノードの状態に関する確率分布ρを導出することが本発明の着想である。

図１９および図２０は、仮説的量子プロセッサを使用して関数Φに対する近似を得る方法を示す。図１９Ａ−Ｃは、量子プロセッサから仮説的スペクトルを得るために使われる励起フィールド・ハミルトニアンH_fの１つの仮説的実行を例示する。図１９Ａにおいて、量子プロセッサ１９０２のノードのすべてが基底状態で始まり、ハードウェア・ハミルトニアンH₀によって特徴づけられることができる。検出器１９０４は、入射光線を光子の数を計算するために使われる電流に変換する。図１９Ｂにおいて、励起フィールドH_fが励起発生器３０３を介して量子プロセッサ１８０２に作用している。励起されたノードは、放射光線１９０６、１９０８および１９１０で示されているように、線検出器１９０４に当たる光子形態で光を放つ。図１９Ｃは、励起フィールド・ハミルトニアンH_jｆの単一適用に関する水平軸１０１４に沿った周波数および垂直軸１９１６に沿った対応する強度の点描を示す。放射光線１９０６、１９０８および１９１０は、同じ周波数v_kの光を放射するノードに関連していて、 強度値λ_kの決定の際に使用されている。図１９Ｃに示されている結果としてのスペクトル強度{λ_1,λ₂,…}は図３のコヒーレント・メモリ３０６に保存される。

図２０は、励起フィールドH_fのn回の仮説的実行の後の仮説的スペクトルおよびそれらの平均スペクトルを示す。スペクトル２００２、２００４、２００６によって示されるn個のスペクトルが平均スペクトル２００８を計算するために使用される。約10¹²回の実行によって平均スペクトル２００８は決定される。この場合、各実行は完了まで約0.2ナノ秒を要する。各実行ごとのスペクトルを保存するのではなく、強度の移動平均

が図３のコヒーレント・メモリ３０６に保存される。平均スペクトルを使用して、次式(６８)に従って関数Φ(x)を近似することができる。

Ｄ. 読み出し周期
読み出し周期”ζ”は、図４のステップ４１０において変換器が量子プロセッサから放射される光を読み取るために要する時間量である。変換器が量子プロセッサから個々を集めるのにあまりにも長い時間をかけると、相互作用ハミルトニアンH_iによって特徴づけられるノードの相互作用によって引き起こされるデコヒーレンス(非干渉性)の危険が存在する。例えば、量子プロセッサの格子で実行される計算は、図１３に関連して上述されたような伝播する確率的波列から始まる。図２１は、前方伝播波列２１０２および後方伝播波列２１０４を示す。最初の励起フィールドH_fが格子に作用した後、前方伝播波列２１０２がノード格子を押し進み、励起フィールドに保持されたエネルギーの一部がノード励起エネルギーに変換される。ノードは、励起の後、光線hv２１０８を放出することによって一層低いエネルギー状態へ遷移する。励起フィールドH_fの全体が消費されノード励起を介して光エネルギーに変換されるまで、励起フィールドは前方および後方伝播波列２１０２および２１０４の形態でそれぞれ前後に揺れ動く。この間に、異なるエネルギーhv'２１１０の相互作用ハミルトンH₁によって特徴づけられるノード相互作用の結果として光線放射が継続する。これによって、強度対周波数スペクトルはゆがめられる。従って、ノード相互作用の結果として放射される光線量を制約して強度対周波数スペクトルに対して顕著に影響しないようにするため、変換器に関する読み出し周期は、励起フィールドが拡散するのに要する時間量よりかなり短くされる。

図２２は、本発明の多くの可能な実施形態の１つを表す変換器読み出し周期ζの決定を示す制御流れ図である。ステップ２２０２において、量子プロセッサ格子はハードウェア・ハミルトニアンH₀によって特徴づけられる初期確率状態にある。ステップ２２０４において、関数入力３０２によって決定され、図３の励起発生器３０３によって実現されたプログラム励起フィールドH_fが、複数ノードからなる量子プロセッサ格子に作用する。ステップ２２０６において、読み出し周期ζが経過した後、図３の変換器３０５は、スペクトル強度および対応する周波数を図３のコヒーレント・メモリ３０６に送る。ステップ２２０８において、結果としての式(６８)が操作者によって設定された諸パラメータの範囲で符号化関数を近似していない場合、ステップ２２１０において、読み出し周期ζは、一層長い周期ζ₁に拡張され、計算は初期確率状態から再度開始される。ステップ２２０８において、結果としての平均スペクトル強度

が条件を満たしていれば、計算は完了し、符号化関数への近似が決定されたことになる。

機械的量子システムに固有の熱緩和メカニズムが最終的に非干渉性を誘発するので、読み取り期間を恣意的に拡張することはできない。この点を例示するため、次の固有値方程式(６９)によって与えられたハードウェア・ハミルトニアンH₀の離散スペクトル{E_i}を考察する。

Ｈ₀|Ψ_i(t)〉＝Ｅ_i|Ψ_i(t)〉 （６９）
式(６９)において、|Ψ_i(t)〉は対応する固有関数である。式(５８)を使用すれば、遷移確率行列要素ρ_ijは次式(７０)を満たす。

ただし、行列要素は、

によって与えられ、Ψ_i ^*(x,t)は、関数Ψ_i(x,t)の複素数共役である。システムが０に等しい時間tにおいて状態|Ψ_ｊ(t)〉にあれば、式(５４)によって与えられる緩和ハミルトニアンH₁の存在によって、対応する確率密度行列要素ρ_jjが時間と共に幾何級数的に減少する結果がもたらされる(参照："See Fields and Nodes: Field Theory and Dispersion Relations, K. Nishijima, Benjamin, Inc., N.Y., 1969")。tの値が小さい場合、対角行列要素ρ_jjは、確率密度演算子の行列表現において最大項である。励起がないと仮定し、式(５７)を使用すれば、項ρ_jjは次式(７２)を満たす。

ただし、jに等しくないiに関して、

である。式(７２)および式(７３)の解は次式(７４)によって与えられる。

ただし、ξは、量子プロセッサ格子の物理的特性に依存する緩和時間である。緩和時間は、波列が非干渉性を達成するために必要とされる時間である。従って、ノード間励起ハミルトニアンH₁の効果は、上述された計算に悪影響を及ぼす各ノードの状態遷移をランダム化することにある。従って、読み出し周期ζは、この効果が認められるように選択されなければならない。換言すれば、読み出し周期ζは、次式(７５)となるように、選択される。

ζ<<ξ (75)
上限ξは、量子プロセッサの設計仕様および計算処理可能性分析において使用される。

本発明は特定の実施形態の観点から上述されたが、本発明はそのような実施形態に限定されるように意図されていない。本発明の理念の範囲内での修正は当業者に明らかであろう。

上記の記述は、説明の目的のためのものであり、発明の完全な理解を提供するため特定の用語を使用している。しかしながら、当業者に明らかなように、特定の詳細は発明を実施する上で必要とされない。本発明の特定の実施例の上記記述は、例示および記述の目的のために提示されている。すなわち、それらは、すべてを網羅するように意図されてなく、あるいは、開示された厳密な形態に本発明を限定するように意図されてない。従って、明らかに、上述の技術の観点において種々の修正および変形が可能である。実施形態は、本発明の原理を最もよく説明し、それによって当業者が本発明および種々の修正を含む種々の実施形態を熟慮した特定使用の適用に活用することができるように選択および記述されている。

本発明の多くの可能な実施形態の１つの方法の概要を示す制御流れ図である。 本発明の多くの可能な実施形態の１つを表す方法および装置の若干詳細な制御流れ図である。 本発明の多くの可能な実施形態の１つを表す図２の"関数型アーキテクチャ"を含む装置のブロック図である。 "関数型アーキテクチャ"ルーチンの制御流れ図である。 入力関数の１つの簡単な例を示すブロック図である。 入力関数の１つの簡単な例を示すブロック図である。 式(３)−(６)における符号化の入力関数の１例への適用を示すブロック図である。 式(３)−(６)における符号化の入力関数の１例への適用を示すブロック図である。 は、式(８)のステップ関数を介して図３Ａ−Ｂにおける符号化関数Fの 連続化を示す図である。 仮説的補間関数Φ(y)を示す図である。 ３次元の仮説的シーケンスに関する連続化手法を示す図である。 ３次元の仮説的シーケンスに関する連続化手法を示す図である。 ３次元の仮説的シーケンスに関する連続化手法を示す図である。 ３次元の仮説的シーケンスに関する連続化手法を示す図である。 ３次元の仮説的シーケンスに関する連続化手法を示す図である。 ３次元の仮説的シーケンスに関する連続化手法を示す図である。 ３次元キャリヤ多様体に関する式(２３)の仮説的測地線解x(t)を示す図である。 仮説的２原子性分子に関するモールス電位およびスペクトルを示す図である。 本発明の多くの可能な実施形態の１つを表す２次元ノード・アレイを有する量子プロセッサのブロック図である。 本発明の多くの可能な実施形態の１つを表す、等間隔に配置されたノード、反射板および絶縁隔離部からなる単純な立方格子を示すブロック図である。 励起発生器によって生成される励起フィールドH_fの実現プロセスを示すブロック図である。 単一ノードに関する２レベルのオートマトンのブロック図である。 式(５１)のチャタリング組み合わせと式(５２)の準オープン時間間隔との間の関係を示す図である。 チャタリング組み合わせ(５１)における３つの純粋状態を使用して単一の仮説的ノードに関するチャタリングを例示する図である。 格子ノード相互作用の例を示す図である。 相互作用ハミルトニアンH₁によって特徴づけられる相互作用を例示する図である。 前方および後方伝播波列を例示する図である。 前方および後方伝播波列を例示する図である。 前方および後方伝播波列を例示する図である。 量子プロセッサから仮説的スペクトルを取得するために使用される励起フィールド・ハミルトニアンH_fの単一の仮説的実行を例示する図である。 励起フィールドH_fのｎ回の仮説的実行の後の仮説的スペクトルおよび平均スペクトルを例示する図である。 本発明の多くの可能な実施形態の１つを表す変換器読み出し周期の決定を示す制御流れ図である。

Claims (17)

1. 値を計算する方法であって、
   計算処理されるべき値の計算処理を記述するため、計算処理可能な関数のプログラムを符号化するステップと、
   符号化されたプログラムを連続化するステップと、
   連続化および符号化されたプログラムを微分演算子として表現するステップと、
   微分演算子を物理媒体にインスタンス化するステップと、
   連続化および符号化されたプログラムに関する解を物理媒体から抽出するステップと、
   を含む方法。
2. 計算処理可能関数のプログラムを符号化する前記ステップが、更に、
   計算処理可能関数のドメインS₁×S₂×…×S_Nにおける各ポイント(x₀,x₁,…,x_N-1)に関して、
   F:[0,1,…,p^N-1]→[0,1,…,p]
   によって与えられるマッピングを含み、
   ここで、
   

   

   
   であり、pは
   

   

   
   によって定義される自然数であり、
   

   

   
   である、請求項１に記載の方法。
3. 符号化されたプログラムを連続化する前記ステップが、更に、符号化されたプログラムF(x)の補間関数Φ(x)を決定するステップを含む、請求項２に記載の方法。
4. 符号化されたプログラムを連続化する前記ステップが、更に、
   再帰関係x_n+1=x_n+α_nh(x_n)によって補間関数Φ(x)をパラメータ化するステップを含み、
   ここで、{x₀,x₁,,,}は実数ベクトルのシーケンスである、請求項３に記載の方法。
5. 反復プロセスx_n+1=x_n+α_nh(x_n)が、１次時間従属微分方程式
   

   

   
   に変換され、
   ここで、解ベクトルX(t)はキャリヤ多様体上の経路を定義する、請求項４に記載の方法。
6. １次時間従属微分方程式
   

   

   
   が、ラグランジアン
   

   

   
   を定式化するために使用される、請求項５に記載の方法。
7. ラグランジアン
   

   

   
   が、
   

   

   によって古典的ハミルトニアンに変換され、
   ここで、Vはxまたはxおよびt両方の電位エネルギー関数であり、Eはシステムのエネルギーである、請求項６に記載の方法。
8. 連続化および符号化されたプログラムを微分演算子として表現する前記ステップが、更に、
   古典的ハミルトニアンH(x,p,t)を、
   

   

   
   によって与えられる規準的量子ハミルトニアン演算子に変換するステップを含み、
   ここで、
   

   

   
   は座標および時間微分演算子である、請求項７に記載の方法。
9. 微分演算子を物理媒体にインスタンス化する前記ステップが、更に、規準的量子ハミルトニアン演算子を実現するステップを含む、請求項８に記載の方法。
10. 微分演算子を物理媒体にインスタンス化する前記ステップが、更に、量子プロセッサに作用するステップを含む、請求項９に記載の方法。
11. 微分演算子を物理媒体にインスタンス化する前記ステップが、更に、量子プロセッサから出される放射光線を集めるステップを含む、請求項１０に記載の方法。
12. 量子プロセッサから出される放射光線を集める前記ステップが、更に、放射光線を強度対振動周波数のコヒーレント・スペクトルに変換するステップを含む、請求項１１に記載の方法。
13. 微分演算子を物理媒体にインスタンス化する前記ステップが、更に、
    

    

    
    によって与えられる振動強度のスペクトルの移動平均を保存するステップを含む、請求項１２に記載の方法。
14. 連続化および符号化されたプログラムに関する解を物理媒体から抽出する前記ステップが、更に、
    

    

    
    によって与えられる関数Φ(ｘ)の多項式近似を構築するステップを含む、請求項１３に記載の方法。
15. 連続化および符号化されたプログラムに関する解を物理媒体から抽出する前記ステップが、更に、関数Φ(ｘ)の多項式近似から符号化プログラムF(x)を決定するステップを含む、請求項１４に記載の方法。
16. 連続化および符号化されたプログラムに関する解を物理媒体から抽出する前記ステップが、更に、符号化プログラムF(x)から計算処理可能関数を決定するステップを含む、請求項１５に記載の方法。
17. １つまたは２つ以上のノードと、
    格子を形成するようにノードを連結する１つまたは２つ以上の接合部と、
    １つまたは２つ以上の反射板と、
    １つまたは２つ以上の絶縁隔離部と、
    を備える量子プロセッサ。
    

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