JP2005535897A

JP2005535897A - 較正方法、較正デバイス及びコンピュータプログラム

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Publication number: JP2005535897A
Application number: JP2004528951A
Authority: JP
Inventors: アルベルト、ヤン、ボーンストラ; アレ、ヤン、ファン、デル、フェーン
Original assignee: Stichting ASTRON
Current assignee: Stichting ASTRON
Priority date: 2002-08-16
Filing date: 2002-08-16
Publication date: 2005-11-24
Also published as: WO2004017090A1; US20060114147A1; AU2002313608A1; EP1530730A1; US7173563B2

Abstract

センサアレイ内のセンサ要素のパラメータを較正するための方法である。この方法は、ある信号源からの入力信号に応答して少なくとも２つのセンサ要素の出力信号を受信するステップと、前記センサ要素の少なくとも２つの出力信号間の相互相関を推定するステップと、前記推定相互相関と相互相関モデルとの間の差を最適化し、この最適化された差から前記パラメータを推定するステップとを含む。Ｒ＝ＧＢＧ^Ｈ＋Ｄなる数式にて表現される相互相関モデルが使用される。

Description

本発明は、センサアレイ内のセンサ要素のパラメータを較正するための方法とデバイスに関する。本発明は、更に、プログラマブルデバイス上で実行されたときセンサアレイのセンサ要素のパラメータを較正するためのコンピュータプログラム製品と、較正方法によって較正されるセンサアレイにも関する。

センサアレイシステムにおいては、センサアレイ内のセンサ要素の複素受信機利得及びセンサ雑音電力は最初は知られておらず、較正することを要求される。（利得の）較正により、センサシステムの品質、とりわけ、感度が向上する上に、アレイ信号処理技術の効力が改善され、結果として干渉が軽減される。

センサアレイシステムに対する非偏光及び単一偏光較正技術は当分野において公知であり[文献1,2,3,5,13]、統計的性能の問題も良く研究されている[文献1,2,3,5,8,13,14]。最近、Hamaker, Bregman 及びSault[文献10,11,12]らは、電波天文学の目的で偏光に関する式を展開しているが、この式においては受信信号の偏光状態とこれら信号の大気を通じて及びセンサアレイを通じての伝播とが徹底的かつエレガントなやり方にて組み込まれている。この定式化は、光学[文献15,16]と電波偏光分析法[文献17,18]における（近似）解の拡張（extensions）に基づく。

この定式化においては、偏光信号は、２×２のサイズのストークス行列[文献17,18]によって記述され（ストークス行列は信号の偏光状態、つまり、強度、線形性、楕円率、偏光角、総偏光を記述する）、歪み及び伝播効果は、一般には二重偏光アレイセンサの各々に対して異なる２×２なるサイズのジョーンズ行列[文献10,11,12]によって記述される。ある二重偏光チャネルの出力は、ジョーンズ行列とストークス行列との積によって記述される。この偏光アレイの定式化は、更に、２×２なるサイズのジョーンズ行列とストークス行列を巻き込むペア毎の相関積にも焦点を置く。ただし、この定式化に基づいて解決システムでは、反復的アプローチが要求され、収束が常に保証されることはない。こうして、このシステムでは、安定性の問題も有る。

単一偏光及び非偏光センサアレイのパラメータ推定問題は文献[2,13]から周知である。ただし、これらの較正方法は、多量の処理を必要とするという短所を有する。これらの方法は、更に良好な初期点（利得及び雑音値）を必要とするが、これらは常に得られるわけではない。典型的には、必要とされる処理ステップの数はセンサ要素の数の三乗に比例する。

最近、文献[1]において高速な閉じた形式（closed form）の単一偏光較正技術が開示された。この文献によると、この較正技術は、ある推定信号（estimated signal）と、望遠鏡アレイ内の望遠鏡によって出力された信号との間の比較を伴う。推定信号と出力信号との間の差の最小二乗誤差を最小化し、これによって推定信号を最適化することで、望遠鏡の利得が導き出される。文献[1]においては、この最小二乗誤差の最小化のための幾つかのバリエーションが開示されている。これら最小化の一つのやり方は対数最小化であるが、この方法によると推定信号の共分散の対数と出力信号の共分散の対数との差が比較される。

文献[1]において開示されている対数最小化のための処理ステップの数は、要素の数の二乗に比例し、このため従来の方法よりも遥かに速くなる。ただし、この対数最小化の方法は、利得が等しくない場合は非効率となるという短所を有するが、このことは推定精度は理論限界より低くなることを意味する。

本発明の一つの目標は、より良い較正方法を提供することにあり、より詳細には、本発明の一つの目標は、非偏光、単一偏光、及び二重偏光センサに対して閉じた形式の解が存在する方法を提供することで数値的に安定な較正方法を提供することにある。

こうして、本発明は、請求項1に記載されるような較正方法を提供する。

本発明による方法に対しては、閉じた形式の推定解（closed form estimation solutions）が存在する。このため、パラメータを単一かつ安定な過程にて推定することが可能となる。

一つの実施例においては、本発明による方法は、二重偏光センサアレイ、つまり、二重偏光信号を受信するためのアレイの較正に適用される。より具体的には、偏光信号に対しては、本発明による方法は、利得推定問題における新たな洞察を与え、とりわけ、この推定問題に対する新たな（閉じた形式の）解を得ることが可能となる。更に、本発明による二重偏光較正方法も、閉じた形式の解が存在するという長所を有する。このようなシステムは、公知の較正システムよりも数値的により安定である。

もう一つの実施例においては、本発明の方法は、単一偏光或いは非偏光センサアレイに適用され、パラメータを推定するためには、加重対数最小化（weighted logarithmic minimalisation）が用いられる。この実施例は、SNRが低い場合は、漸近的に効率的となることを示すことができる。こうして、この推定器は、低いSNRに対して、データサンプルの数が大きなほど効率的となる。この改善は、利得差が大きなほど大きくなり、こうして、この実施例は、とりわけ、利得の大きさの差が大きなセンサアレイにとりわけ適する。

更に、本発明は、クレーム１７に記載されるような較正システムを提供する。本発明は、更に、クレーム２０に記載されるような較正されたセンサアレイを提供する。

本発明は、更に、クレーム２１に記載されるようなコンピュータプログラム製品を提供する。このコンピュータプログラムは、このプログラムがプログラマブルデバイス上で実行されたとき、そのプログラマブルデバイスがセンサアレイを安定に較正することを可能にする。

本発明の幾つかの特定の実施例が従属クレーム内に記載されている。以下では、本発明の更なる詳細、特徴、及び実施例について、添付の図面を参照しながら説明する。

本発明の実施例の以下の説明においては以下のような表記が用いられる。行列及びベクトルの成分は下字によって示される。下付きのｎはｎ番目に観測された時間サンプルを表す。上付きの＊は複素共役を表す。上付きのｔはベクトル或いは行列の転置を表すが、これは列或いはベクトルの列と行を交換する操作、つまり、（（Ｒ^ｔ）_ｉｊ＝Ｒ_ｊｉ）を表す。上付きのＨは、行列のエルミート（共役）転置、つまり、（（Ｒ^Ｈ）_ｉｊ＝（Ｒ^＊ｔ）_ｉｊ＝Ｒ^＊ _ｊｉ）を表す。Ｒｅ｛｝は実部を表し、Ｉｍ｛｝は虚部を表し、ｉは−１の平方根を表す。Ｅ｛｝は共分散行列の期待値を表す。ｘ_ｎは時間ｎにおける出力ベクトルを表す。単一或いは二重偏光アレイセンサの数はｐによって表される。

例Ａ偏光の較正
以下においていは、本発明による利得較正システム及び方法は例示として電波天文学における用途との関連で説明される。ただし、本発明は電波天文学における用途に制限されるものではなく、同様に、他の分野、例えば、任意の偏光状態を有する一つの優勢な点状の放射源が存在するアレイ信号処理システム、例えば、衛星追跡位相配列等に適用することもできる。この方法は、３つの別個の或いは一連の（偏光された或いは非偏光の）点状信号源の観測に基づく。

１つの信号源が用いられる場合は、Ｒは（２ｐ×１二重偏光アレイ出力ベクトルｘ（ｔ）＝（ｘ_１ ^ｘ（ｔ），ｘ_１ ^ｙ（ｔ），．．．，ｘ_ｐ ^ｘ（ｔ），ｘ_ｐ ^ｙ（ｔ））の”真”の或いは期待される２ｐ×２ｐ共分散行列を表し、こうしてＲは以下によって与えられる：
Ｒ＝Ｅ｛ｘ（ｔ）ｘ（ｔ）^Ｈ｝（Ａ１）

信号源の偏光特性[文献15,16,17,18参照]は２×２（ストークス）行列Ｂによって表され、２ｐ×２ｐ雑音行列ＤはＤ＝Ｅ｛ｄ（ｔ）ｄ（ｔ）^Ｈ｝によって定義され、ｄ（ｔ）は（ｄ_１ ^ｘ（ｔ），ｄ_１ ^ｙ（ｔ），．．．ｄ_ｐ ^ｘ（ｔ），ｄ_ｐ ^ｙ（ｔ））を表し、ここで、ｄ_ｉ ^ｘ（ｔ）及びｄ_ｉ ^ｙはセンサ雑音を表す。Ｄは（二重センサの２つの偏光間が完全に隔離されている場合のように）対角行列であるか、或いは（二重センサの２つの偏光間に漏洩がある場合のように）ブロック対角行列であるかのいずれかである。Ｇは次元２ｐ×２の偏光利得行列を表す。

図１は本発明による一例としてのシステム１の２ｐ個のセンサ要素を有する二重偏光センサアレイを示す。このシステム１は図２に示される本発明による方法の一つの実施例を遂行することができる。図１において、３つの点状の信号源２_１，２_２，２_３は，次々と各々の信号３_１，３_２，３_３をシステム１に放出する。図３のステップ１０１において、これら３つの一連の信号の各々が、例えば、（必ずしも必須ではないが）ある一様な線形センサアレイから成る、センサアレイ４の複数の二重偏光センサ要素４_１，４_２，．．．，４_ｐ（ここで、ｐは二重偏光センサ要素の総数を表す）によって個別に観測される。これらセンサ要素４_１，４_２，．．．，４_ｐの出力は利得較正デバイス５の入力５１に接続される。これらセンサアレイの出力は、更に、例えば、レーダ、音響アレイ、電波天文学の分野において公知のように、縞線（striped lines）にて示されるビーム形成デバイス（図示せず）に接続される。

出力信号ｘ（ｔ）は、単一信号源の入力信号ｓ（ｔ）に、各々のセンサ要素４_ｉに対する通過時間遅延を表す（複素）数α_τが乗じられたものを含む。この入力信号ｓ（ｔ）には、更に、各センサ要素４_ｉの利得係数Ｇ_ｉも乗じられる。出力信号ｘ_ｉ（ｔ）は、各センサ要素４_ｉ内で信号ｓ（ｔ）に加えられたシステム雑音ｄ_ｉ（ｔ）も含む。

各二重偏光センサ４_１，４_２，．．．，４_ｐは、各々が信号３_１−３_３内の各偏光成分に対して用いられる２つのセンサ要素を含む。こうして、システム１内のセンサ要素の総数は、２ｐとなる。ステップ１０２と１０３において、それぞれ、出力信号ｘ_ｉ ^ｘ（ｔ）とｘ_ｉ ^ｙ（ｔ）が二重偏光アレイセンサ要素４_１，４_２，．．．，４_ｐの出力の所に現れる。ここで、ｘ^ｘは入力信号の一方の偏光成分に対する出力信号を表し、ｘ^ｙは入力信号の他方の偏光成分に対する出力信号を表す。

説明の例においては、見る方向、つまり、信号源２のセンサアレイ４に対する方向は既知であるものと想定される。こうして、一般性を失うことなく、通過時間遅延ａ_τは１と設定することができる。例えば、この遅延は、全てのセンサ要素に対して同一であるとみなされる。ただし、本発明は、幾つかの或いは全てのセンサ要素について通過時間遅延が異なるような場合に対しても同様に適用される。入力５１は、ベクトル化デバイス５２に通信可能なやり方にて接続される。ステップ１０４において、これら出力信号ｘ_ｉ（ｔ）が、このベクトル形成器デバイス５２によって、出力ベクトルｘ（ｔ）＝（ｘ_１ ^ｘ（ｔ），ｘ_１ ^ｙ（ｔ），．．．，ｘ_ｐ ^ｘ（ｔ），ｘ_ｐ ^ｙ（ｔ））が形成されるように積み重ねられる。

このベクトル化デバイス５２には相関器デバイス５３が接続されるが、この相関器デバイス５３は、図３のステップ１０５において、出力ベクトルｘ（ｔ）内の成分の相互相関を得ることができる。示される相関器デバイス５３において、共分散行列がセンサ要素の出力ｘ_ｉ（ｔ）の共分散を決定することで形成される。ただし、他の相関方法を用いることもできる。ステップ１０１から１０５の後に、ステップ１０６において、（任意の位相オフセット項を除いて）２ｐ×２なるサイズの行列Ｇによって表される利得パラメータが、各々が入力信号３_１，３_２，３_２の異なる一つに対応するコスト関数を解くことで推定される。

較正デバイス５は、更に、相互相関デバイス５３に接続された推定器デバイス５４を備えるが、これは推定相互相関を推定する能力を有する。ステップ１０６において、推定器５４によって、相関器デバイス５３によって得られた共分散行列から推定相互相関行列Ｒ_ｅｓｔが推定される。ただし、この推定器デバイス５４は、異なるやり方にて相互相関を推定することもできる。

ステップ１０７において、推定器デバイス５４に通信可能に接続された最適化デバイス５５は、この推定共分散行列Ｒ_ｅｓｔとメモリ５６内に格納されている共分散行列Ｒのモデルとを比較する。

この例においては、ステップ１０７において、相互相関モデルと推定相互相関行列Ｒ_ｅｓｔとの間の差が、推定誤差とも呼ばれるこの差を最小化することで、最適化される。ステップ１０８において、ステップ１０７の結果から、利得パラメータが、推定され或いは導き出される。図３の例においては、ステップ１０６において、利得パラメータは、推定行列とモデルとの間の最適化された差から、利得推定器デバイス５７によって導き出される。この推定器デバイス５７は最適化デバイス５５に接続される。この推定器デバイス５７は、較正器出力５８にも接続され、これを介して、こうして推定されたパラメータは、更に、更なる処理において用いるために、例えば、センサ要素の所に受信される較正後の信号を処理するために送信される。

図１のデバイスの例及び図３の方法の例においては、相互相関モデルとして、共分散行列Ｒのモデルが用いられる。信号源が一つの場合に対する共分散行列Ｒ_１は以下のように表すことができ：
Ｒ_１＝ＧＢ_１Ｇ^Ｈ＋Ｄ（Ａ２）
信号源がＱ個の場合の共分散行列Ｒは以下のように表すことができる。
Ｒ＝｛Σ_{ｍ＝１，…Ｑ}ＧＢ_ｍＧ^Ｈ｝＋Ｄ（Ａ３）

式（Ａ２）及び／或いは（Ａ３）を用いると、１つ或いは複数の一連の信号源に対する推定共分散行列Ｒ_ｅｓｔが与えられ、利得行列Ｇ及び雑音行列Ｄを推定することが可能となる。この例においては、ステップ１０６において、共分散行列の推定値Ｒ_ｅｓｔは、推定器デバイス５４によって以下の積を形成することで得ることができる。
Ｒ_ｅｓｔ＝（１／Ｎ）Σ_ｎｘ（ｔ_ｎ）ｘ（ｔ_ｎ）^Ｈ（Ａ４）

こうして、この例Ａにおいては、この推定共分散行列Ｒ_ｅｓｔは、出力信号の時間平均共分散行列から成る。ただし、この共分散行列を異なるやり方にて推定することもできる。

文献[12]に示されるように、３つの異なる偏光の信号源を有するシステムの場合は、（全システムに対して有効なある任意の位相オフセットを除いて）曖昧でない或いは一意の利得解を得ることができる。この偏光利得は、ステップ１０７及び１０８において、以下の式を解くことで見つけられる。
｛Ｇ，Ｄ｝＝ａｒｇｍｉｎ_Ｇ，Ｄ｛（‖Ｒ_{ｅｓｔ，１}−｛ＧＢ_１Ｇ^Ｈ＋Ｄ｝‖_Ｆ）^２＋
（‖Ｒ_{ｅｓｔ，２}−｛ＧＢ_２Ｇ^Ｈ＋Ｄ｝‖_Ｆ）^２＋
（‖Ｒ_{ｅｓｔ，３}−｛ＧＢ_３Ｇ^Ｈ＋Ｄ｝‖_Ｆ）^２｝（Ａ５）

ここで、下字Ｆはフロベニウスノルムを意味し、これは全ての行列成分の二乗の和の平方根から成る。こうして、３つの信号源からの入力信号から得られる出力信号に対する推定共分散行列と対応する共分散モデルとの間の付加された最小二乗差が最適化される。ただし、この差を異なるやり方にて最適化することもできる。次に、センサ要素のこうして推定された利得及び雑音パラメータが、それに対して式（Ａ５）が解かれた利得及び雑音パラメータであるものと推定される。

式（Ａ５）を解くための一例においては、階数２の因子分析アプローチが用いられるが、以下ではこれについて簡単に説明する。ただし、式（Ａ５）に対する他の大なり小なり標準的な解法も存在し、本発明は以下に説明する例に制限されるものではない。式（Ａ５）に類似する式に対する解法も当業者において一般的に知られている。本発明による一例としての方法は、第一の信号の推定共分散行列Ｒ_{ｅｓｔ，１}に対して以下の式を解くことから開始される。
Ｒ_１＝ＧＢ_１Ｇ^Ｈ＋Ｄ（Ａ６）

これは、階数２の因子分析［文献６参照］をＲ_{ｅｓｔ，１}の部分行列Ｍに適用することで遂行することができる。Ｒ_{ｅｓｔ，１}とＭは両方とも階数２であり、この部分行列Ｍ内には、Ｒ_{ｅｓｔ，１}の主（ブロック）対角成分は、これはシステム雑音も含むために含まれない。得られたＭに基づいて、結果としての（階数２の）行列Ａが形成されるが、これは、オフ（ブロック）対角成分については、ＡＡ^ＨはＲに等しい。ＤはＲ_{ｅｓｔ，１}−ＡＡ^Ｈを計算することで得ることができる。

次のステップは、Ｂの行列根（matrix root）を計算することで、式（Ａ６）を以下のように表現することができる。
Ｒ＝（ＧＢ^１／２）（ＧＢ^１／２）^Ｈ＋Ｄ（Ａ７）

上述の因子分析アプローチを用いることで、ＧＢ^１／２因子が見けられる。ただし、ここで、式（Ａ７）内には（２つのＧＢ^１／２因子間に）任意のユニタリ行列をＲに影響を与えることなく挿入することができるため、解は一意には定まらないという問題が発生する。ただし、式（Ａ６）及び（Ａ７）等の式は、異なる偏光状態を有する３つの放出点源を次々と独立に観測（Ｒ_{ｅｓｔ，１}、Ｒ_{ｅｓｔ，２}、Ｒ_{ｅｓｔ，３}）し、一般化固有値解析及び擬似逆元（pseudo inverse）を用いることで、（高々単一の任意位相オフセットまで）完全に解くことができることを示すことができる。

例Ｂ：重み付き対数推定による利得の較正
図２には本発明によるシステム１のもう１つの例が示される。図２において、点状の信号源２は信号３をシステム１に放出する。システム１は、センサアレイ４、例えば、（必ずしも必須ではないが）一様な線形アレイの、センサ要素４_１，４_２，．．．，４_ｐ（ｐはセンサ要素の総数を表す）を備える。これらセンサ要素は、信号３に由来する入力信号ｓ（ｔ）を受信する。これらアレイのセンサ要素４_１，４_２，．．．，４_ｐの各々の出力で、出力信号ｘ_ｉ（ｔ）が現れる。これらセンサ要素４_１，４_２，．．．，４_ｐの出力は、利得較正デバイス５に接続される。

これら出力信号ｘ_ｉ（ｔ）は、入力信号ｓ_ｉ（ｔ）に、各センサ要素４_ｉに対する通過時間遅延を表す（複素）数ａ_τを乗じたものを含む。この入力信号ｓ_ｉ（ｔ）には、各センサ要素４_ｉの利得係数ｇ_ｉも乗じられる。出力信号ｘ_ｉ（ｔ）は、加えて、各センサ要素４_ｉ内で信号ｓ_ｉ（ｔ）に加えられたシステム雑音ｄ_ｉ（ｔ）も含む。

利得較正デバイス５は、本発明による方法の図４の実施例を遂行する能力を有する。較正デバイス５は、センサ要素４_１，４_２，．．．，４_ｐの出力に接続された複数の入力５１を有する。ステップ２０１において、出力信号ｘ_ｉ（ｔ）がセンサ要素から受信される。これら入力は通信可能なやり方にてベクトル化デバイス５２に接続され、このデバイス内で、ステップ２０２において、これら出力信号ｘ_ｉ（ｔ）は、小文字にてｘ（ｔ）＝［ｘ_１（ｔ），．．．ｘ_ｐ（ｔ）］^τとして表されるベクトルに束ねられる。

以下においては、見る方向、つまり、信号源２のセンサアレイ４に対する方向は知られているものと想定される。こうして、一般性を失うことなく、通過時間遅延ａ_τは１に設定することができる。例えば、遅延は全てのセンサ要素に対して同一とみなすことができる。ただし、本発明は、通過時間遅延が幾つかの或いは全てのセンサ要素に対して異なる場合にも同様に適用できる。このアレイ出力ベクトルｘ（ｔ）は、上述のような想定の下では、ｘ（ｔ）＝ｇｓ（ｔ）＋ｄ（ｔ）として記述することができる。ここで、ｄ（ｔ）はアレイ雑音信号ｄ_１，ｄ_２，．．．，ｄ_ｐを含むベクトルを表し、ｇはセンサ要素４_１，４_２，．．．，４_ｐの（複素）アレイ利得係数ｇ_１，ｇ_２，．．．ｇ_ｐを表す。

ベクトル化デバイス５２には相関器デバイス５３が接続されるが、この相関器デバイス５３は、図４のステップ２０３におけるように、出力ベクトルｘ（ｔ）内の成分の相互相関を決定する能力を有する。示される相関器デバイス５３においては、共分散行列がセンサ要素出力ｘ_ｉ（ｔ）の共分散を決定することで形成される。ただし、他の相互相関方法を用いることもできる。真の共分散行列Ｒはこの共分散行列の期待値から成り、こうして以下によって与えられる。
Ｒ＝Ｅ｛ｘ（ｔ）ｘ（ｔ）^Ｈ｝（Ｂ１）

較正デバイス５は、更に、推定器デバイス５４を備えるが、これは、図４のステップ２０４におけるように、相互相関を推定する能力を有する。示される例においては、推定共分散行列Ｒ_ｅｓｔが、相関器デバイス５３からの出力信号ｘ_ｉ（ｔ）の共分散行列の加重時間平均を取ることで推定される。ただし、共分散行列を、同様にして、異なるやり方にて推定することもできる。示される例においては、この推定共分散行列Ｒ_ｅｓｔは数学的に以下のように記述される。
Ｒ_ｅｓｔ＝（１／Ｎ）Σ_ｎｘ（ｔ_ｎ）ｘ（ｔ_ｎ）^Ｈ（Ｂ２）

この式（Ｂ２）において、Ｎは出力ベクトルｘ（ｔ）の総数を表す。雑音は信号源からの信号とは無相関であるため、この共分散行列Ｒは以下のようにモデル化することができる（文献[1]参照）。
Ｒ＝ｇｇ^Ｈ＋Ｄ（Ｂ３）

ここでは、雑音の寄与は、主対角上に雑音分散を有する対角行列Ｄ（Ｄ＝Ｅ｛ｄｄ^Ｈ｝）によって表される。こうして、推定共分散行列Ｒ_ｅｓｔから、Ｒ_ｅｓｔ＝ｇ_ｅｓｔｇ_ｅｓｔ ^Ｈ＋Ｄ_ｓｅｔなる関係を用いて、推定利得ｇ_ｅｓｔ及び推定雑音Ｄ_ｓｅｔを推論することが可能となる。このモデル[文献1参照]においては、ソース・パワーは単一であるものと想定される。

次にステップ２０５及び２０６において、推定器デバイス５４と、内部にモデルが格納されているメモリデバイス５６とに通信可能に接続された最適化デバイス５５によって、推定利得及び推定雑音が、推定共分散行列Ｒ_ｅｓｔと共分散行列Ｒのモデルとの間の、推定誤差とも呼ばれる差を、最小化することで得られる。このために一般的に用いられるアプローチは、以下のように、最小二乗コスト関数を最小化することから成る。
｛ｇ_ｅｓｔ，Ｄ_ｅｓｔ｝＝ａｒｇｍｉｎ_ｇ，Ｄ（‖Ｒ_ｅｓｔ−（ｇｇ^Ｈ＋Ｄ）‖Ｆ）^２
（Ｂ４）
ここで、下字Ｆはフロベニウス行列ノルムを表す。[文献１]において、この最小化は以下を解くことで行なわれる。
｛ｇ_ｅｓｔ｝＝ａｒｇｍｉｎ_ｇ，ｋ（‖Ｊｖｅｃ（ｌｎ（Ｒ_ｅｓｔ）−ｌｎ（ｇｇ^Ｈ）＋２πｋｉ）‖Ｆ）^２（Ａ）
ここで、Ｊは主対角成分上に零を挿入し、これによってシステム雑音の寄与を除去するある選択行列を表し、ｋは整数値を含む位相アンラッピングベクトル（phase unwrapping vector）を表し、ｖｅｃ（）は行列要素をベクトルに束ねる行列演算子を表す。いったん利得ｇ_ｅｓｔが見つけられると、雑音行列は以下のようにして見つけられる。
Ｄ_ｅｓｔ＝Ｒ_ｅｓｔ−ｇ_ｅｓｔｇ_ｅｓｔ ^Ｈ（Ｂ５）

図２及び４の例においては、加重対数最小二乗コスト関数（ＷＬＯＧＬＳ）が用いられるが、このＷＬＯＧＬＳは以下に等しい。
｛ｇ_ｅｓｔ｝＝ａｒｇｍｉｎ_ｇ，ｋ（‖ＷＪｖｅｃ（ｌｎ（Ｒ_ｅｓｔ）−ｌｎ（ｇｇ^Ｈ）＋２πｋｉ）‖Ｆ）^２（Ｂ６）

Ｗは（Ｄ^−１／２Γ）＠（Ｄ^−１／２Γ）に等しい重み行列を表すが、ここで、Γはｄｉａｇ（｜ｇ_１｜，．．．，｜ｇ_ｐ｜）として定義される；つまり、Γは推定利得係数ｇ_１，ｇ_２，．．．，ｇ_ｐの絶対値に設定された対角要素の値を有する対角行列から成る。ここで、＠はクロネッカーの行列積（Kronecker matrix product）を表す。信号対雑音比（ＳＮＲ）が低い場合は、ＳＮＲは実質的にｇｇ^Ｈ／トレース（Ｄ）と等しくなり、（ここでは示されないが）利得の推定は漸近的に効率的となることを証明することができ、このことは、推定精度は、観測サンプル数が大きな場合、理論的限界を満すことを意味する（つまり、このことは、理論的には、これ以上正確には推定できないことを意味する）。

高速かつ高信頼の推定を得るためには、この最小二乗最適化を何度も遂行することが考えられる。示される例においては、この最適化がステップ２０５と２０６において２度遂行される。ステップ２０５において、利得ｇ及び雑音Ｄの推定が、点状の信号源を観測し、重み行列として単位行列Ｉを用いることで得られる。ステップ２０６において、利得が、上述のようにして構成された重み行列と、ステップ２０５において推定された推定利得ｇ_ｅｓｔ及び推定雑音Ｄ_ｅｓｔとを用いて推定される。

この例Ｂの較正方法は、とりわけ、低いＳＮＲを有するアレイ、及びアンテナ利得が幅広い利得マグニチュードの変動を有するようなアレイに対して適する。この後者の方法は、アンテナの一部分が（例えば、機能障害のために）非常に低いＳＮＲを有するような場合における利得の推定に対しても有益である。

本発明による方法或いはデバイスは、任意のアレイ信号処理システム、例えば、一つの優勢な点状の放出源が存在するシステム内で用いることができる。例えば、本発明による方法或いはデバイスは、セルラ電話基地局、位相配列アンテナ、その他内において用いることができる。更に、本発明は、例えば、ある方向からの音響信号は受信し、他の方向からの信号は拒絶或いはフィルタ除去するように位相同調することができるアレイのマイクロホンを含む指向性ヒヤリングデバイス（directional hearing device）を較正するために適用することもできる。更に、このセンサアレイによって感知されるべき信号は、任意の適当なタイプ、例えば、無線信号、音響信号、光信号、その他であり得る。同様にして、信号源は、任意の適当なタイプ、例えば、天体の回りの軌道内の衛星或いはパルサーでもあり得る。一般に、パルサーは、極めて正確にパルスを放出する天体であり、このため、あるパルサーに向けられたセンサアレイを利用して正確な時間測定デバイスを得ることができる。

更に、本発明は、同様に、プログラマブルデバイス上で実行されたとき、本発明の方法のステップを遂行するためのプログラムコードを含むコンピュータプログラム製品を表すデータを含むデータキャリアとして適用することもできる。このようなデータキャリアは、例えば、読出し専用メモリコンパクトディスク或いは信号転送媒体、例えば、電話ケーブル或いは無線接続であり得る。プログラマブルデバイスは任意の適当なタイプであり得る。例えば、これは、センサアレイに通信可能に接続されたコンピュータであり得る。ただし、このコンピュータは、別のやり方として、センサアレイに直接には接続せず、センサアレイから信号を表すデータを、例えば、フロッピディスク或いはコンパクトディスクを介して受信するようにすることもできる。

上述の実施例は、本発明を、解説することを目的とし、制限することを目的とするものではなく、当業者においては様々な代替物を、添付のクレームの範囲から逸脱することなく、設計できるものである。クレーム内において、括弧に入れて示される参照符号は、そのクレームを制限するものと解されるべきではない。”含む／備える（comprising）”なる語句は、あるクレーム内に記載されているそれら以外の他の要素或いはステップが存在することを排除するものではない。互いに異なるクレーム内にある手段が記載されているという単なる事実は、これら手段を一定の効果を得るために組み合わせて用いることはできないことを示するものではない。更に、この明細書においてある資料が参照されている場合、そのことが、その資料が本発明と同一の技術分野に関わることを示すものではない。
参考文献
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本発明による二重偏光較正システムの第一の実施例を簡略的に示す図である。本発明による単一偏光或いは非偏光較正システムの第二の実施例を簡略的に示す図である。本発明による較正方法の一つの実施例の流れ図を簡略的に示す図である。本発明による較正方法のもう一つの実施例の流れ図を簡略的に示す図である。

Claims

センサアレイ内のセンサ要素のパラメータを較正するための方法であって、
信号源からの入力信号に応答して少なくとも２つのセンサ要素の出力信号を受信するステップと、
前記センサ要素の少なくとも２つの出力信号間の相互相関を推定するステップと、
前記推定相互相関と相互相関モデルとの間の差を最適化し、これによって前記最適化された差から前記パラメータを推定するステップと
を含み、
用いられる相互相関モデルは：
Ｒ＝ＧＢＧ^Ｈ＋Ｄ
なる数式にて表現され、
式中：
Ｒは相互相関行列を表し、
Ｇは利得パラメータを含む利得行列を表し、
Ｇ^Ｈは前記利得行列のエルミート共役を表し、
Ｄは雑音パラメータを含む（（ブロック）対角）雑音行列を表し、
Ｂは前記信号源に関する情報を含む行列を表す
ことを特徴とする方法。
前記差は、最小二乗差であることを特徴とする請求項１記載の方法。
前記相互相関は、前記出力信号から時間平均共分散行列を決定することによって得られることを特徴とする請求項１または２記載の方法。
前記センサアレイは、単一偏光或いは非偏光センサアレイであることを特徴とする請求項１乃至３のいずれかに記載の方法。
前記センサ要素は、二重偏光信号を受信するための二重偏光センサ要素であることを特徴とする請求項１乃至３のいずれかに記載の方法。
前記方法は、異なる偏光を有する少なくとも３つの信号源からの入力信号に応答して生成される前記センサ要素の出力に対して遂行されることを特徴とする請求項１乃至５のいずれかに記載の方法。
前記最適化は、前記推定相互相関の加重対数と前記相互相関の加重対数との間の差を最小化し、前記差から前記センサ要素の少なくとも一つの利得を推定することから成ることを特徴とする請求項４記載の方法。
前記対数は、前記利得パラメータに関する行列値を有する重み行列にて重み付けされることを特徴とする請求項７記載の方法。
前記最適化及び前記利得パラメータの推定は、少なくとも第一回と第二回遂行され、前記第１回目においては全ての出力信号に対して一様な重みが用いられ、前記第二回目においては前記第一回目において各々の出力信号に対して推定された利得に依存する重みが用いられることを特徴とする請求項７または８記載の方法。
前記最適化は、以下の数式によって表される演算を含み、
｛ｇ_ｅｓｔ｝＝ａｒｇｍｉｎ_ｇ，ｋ（‖ＷＪｖｅｃ（ｌｎ（Ｒ_ｅｓｔ）−ｌｎ（ｇｇ^Ｈ）＋２πｋｉ）‖Ｆ）^２
式中、
ｇ_ｅｓｔは推定されるべきパラメータを表し、
ｇはある変数を表し、
ｇ^Ｈは前記変数のエルミート共役を表し、
Ｊは主対角成分に零を挿入するある選択行列を表し、
ｋは整数値を含むある位相アンラッピングベクトルを表し、
Ｗはある重み行列を表し、
Ｒ_ｅｓｔは推定相互相関を表す、
ことを特徴とする請求項７乃至９のいずれかに記載の方法。
前記信号源は、天体の回りの軌道内の衛星であることを特徴とする請求項１乃至１０のいずれかに記載の方法。
前記信号源は、パルサーであることを特徴とする請求項１乃至１０のいずれかに記載の方法。
前記出力信号は、低い信号対雑音比を有することを特徴とする請求項１乃至１２のいずれかに記載の方法。
前記センサ要素は、位相配列アンテナ内のアンテナであることを特徴とする請求項１乃至１３のいずれかに記載の方法。
前記センサ要素は、電磁センサ要素であることを特徴とする請求項１乃至１３のいずれかに記載の方法。
前記センサ要素は、音響センサ要素であることを特徴とする請求項１乃至１３のいずれかに記載の方法。
センサアレイ内のセンサ要素のパラメータを較正するための較正システムであって、
各々があるセンサアレイ内のセンサ要素の出力に接続可能な少なくとも２つの入力と、
前記センサ要素の少なくとも２つの出力信号間の相互相関を推定するための相関推定器デバイスと、
前記推定相互相関とある相互相関モデルとの間の差を最適化し、これによって前記最適化された差から前記パラメータを推定するための最適化器デバイスと、
前記相互相関モデルを含むメモリデバイスとを備え、
前記モデルは以下の数式によって表され：
Ｒ＝ＧＢＧ^Ｈ＋Ｄ
式中：
Ｒはある相互相関行列を表し、
Ｇは利得パラメータを含むある利得行列を表し、
Ｇ^Ｈは前記利得行列のエルミート共役を表し、
Ｄは雑音パラメータを含むある雑音行列を表し、
Ｂは前記信号源に関する情報を含むある行列を表す
ことを特徴とする較正システム。
前記センサアレイは、二重偏光センサアレイであることを特徴とする請求項１７記載の較正システム。
前記センサアレイは、単一偏光或いは非偏光センサアレイであることを特徴とする請求項１７記載の較正システム。
請求項１乃至１６のいずれかに記載の方法にて較正されるアレイ信号処理システム。
プログラマブルデバイス上で実行されたとき請求項１乃至１６のいずれかに記載の方法のステップを遂行するためのプログラムコードを含むコンピュータプログラム製品。
請求項２１記載のコンピュータプログラム製品を表すデータを含むデータキャリア。