JP2004530980A - 多変数ファジー・システムのためのフーリエ級数ベースの自動生成システムおよび方法 - Google Patents
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Abstract
フーリエ級数展開を使用した多変数ファジー推論システムを自動的に生成する方法。サンプル集合は、与えられた入力変数に関連するサンプル集合のクラスタに分解される。ファジー規則とメンバーシップ関数は、集合クラスタから抽出された単一入力多数出力ファジー・システムを解くことによって各変数について独立して計算される。得られたファジー規則とメンバーシップ関数は、合成され、最小限の計算コストで元のサンプル集合に適したファジー・システムに統合される。さらに、システム・エラー全体は分解および合成の各段階での誤差に関係付けることができ、このため各段階の誤差限界または確度しきい値を指定することができ、元のサンプル集合に対する得られたファジー・システムの最終精度を保証することができる。
Description
【技術分野】
【０００１】
本発明は、ファジー論理の分野に関し、より詳細には、与えられたサンプル集合から多変数ファジー推論システムを自動的に生成するシステムおよび方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
ファジー・システムはコンパクト集合に対する任意の連続関数を近似するのに極めて有効であることがよく知られている。ファジー・システムは、特に従来のコントローラではシステムを容易に制御することができない複雑または不明確なシステムのための、従来の制御システムの強力な代替案となる場合が最も多い。これは、ファジー・システムが、制御システムにおいて必要とされる人間の知識と推理の近似的な質的態様を捕捉することができるためである。したがってファジー・システムは、最近では工業用途、家庭用具ならびに財務解析においてますます広範囲に応用されている。応用例をいくつか挙げると、様々な製造プロセス、ロボティックス、熱交換器などの消費者製品、温水圧力制御、航空機フライト制御、ロボット制御および操作、車速制御、パワー・システムおよび原子炉制御、セメント・キルンの制御、カムコーダの焦点合わせ、建築物の空調、列車スケジューリング、パターン認識およびシステム・モデリング、証券取引所の株取引および情報検索などがある。
【０００３】
ファジー・システムは通常、当該分野の熟練工が手作業で符号化し改良する。ファジー・システムの性能は当該分野の熟練工の専門知識の理解の深さに決定的に左右される。したがってファジー・システムの開発コストが暴騰し、そのため今や多数の複雑なファジー・システムを新しい応用分野に応用する際のネックとなっている。これが動機となってファジー・システムの自動生成に関する徹底的な研究がなされるようになり、その課題はデータ駆動型自己適応問題として研究されることが多くなっている。
【０００４】
ファジー・システムによって自己適応問題を実施する際、遭遇する最大の問題の１つは、変数の個数の増加に伴う所要計算時間の指数的激増に関連する次元による爆発問題と呼ばれるものである。これは、ファジー規則とメンバーシップ関数の多変数間の関係がしばしば非常に複雑になり、たいていの場合非線形になることによって生じる。このため入手できるほとんどすべての既存の商品は比較的少数の入力変数、通常は最大５つしか扱うことができない。
【０００５】
Ｃｈｅｎ他による「Ａ Ｎｅｗ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｔｈｅ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｒｕｌｅｓ ｏｆ Ｍｕｌｔｉ−Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍ」（Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ＩＥＥＥ １９９５ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ Ｏｎ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ、Ｐｅｒｔｈ、Ａｕｓｔｒａｌｉａ、ｐｐ．１３４２−１３４６）は多項式近似に基づく新しいアルゴリズムＰｏｌｙＮｅｕＦｕｚを提示している。「Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ、１２０（２００１）ｎｏ．２、ｐｐ．１４３−１４９」で発表される予定の、Ｃｈｅｎ他による「Ａ Ｎｅｗ Ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ａｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｍｕｌｔｉ−Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ」で論じられているようにＰｏｌｙＮｅｕＦｕｚは後にＰａｒＮｅｕＦｕｚに改良される。ＰａｒＮｅｕＦｕｚは原理的には入力変数の独立性を利用すれば並列処理で実行できる。
【０００６】
ＰｏｌｙＮｅｕＦｕｚとＰａｒＮｅｕＦｕｚはどちらも、多変数ファジー・システムを生成する問題を単一入力多数出力ファジー・システムの解に分解することによって、その問題を解く。ＰａｒＮｅｕＦｕｚアルゴリズムは、与えられたサンプル集合を近似する際に多項式展開を利用する。このアルゴリズムの時間的複雑さは使用する変数の個数にあまり左右されない。原理的には、これらのアルゴリズムの両方を適用すれば多数の変数をもつファジー・システムを生成することができる。ＰｏｌｙＮｅｕＦｕｚとＰａｒＮｅｕＦｕｚは、多変数システムの自己適応問題をいくつかのステップに（特にＰａｒＮｅｕＦｕｚの場合には並列ステップに）うまく分解し、それにより計算的複雑さをかなり低減する。しかし、分解ならびに合成における上記ステップの各々において正確な誤差推定が行える本フーリエ級数ベースの手法とは異なり、ＰｏｌｙＮｅｕＦｕｚとＰａｒＮｅｕＦｕｚ方法を使用しては誤差推定または誤差予測は容易に行えない。
【０００７】
したがって、誤差推定および誤差予測を可能としながら、従来技術で知られている次元による爆発問題に遭遇しない多変数ファジー推論システムを生成することのできる手法が求められている。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
上記事項を考慮すると、本発明の１つの目的は、次元による爆発問題を回避する多変数ファジー推論システムの新しいフーリエ級数ベースの自動生成方式を開発することである。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
本発明の別の目的は、ファジー規則とメンバーシップ関数を、他の変数と独立して変数ごとに生成し、計算することができる方法を提供することである。
【００１０】
本発明のさらに別の目的は、元のサンプル集合に対する得られたファジー・システムの最終精度を保証する分解および合成の各段階の誤差限界または精度しきい値を指定することができる誤差分析をサポートするフーリエ級数ベースの分解を提供することである。
【００１１】
この目的または他の目的により、本発明は、実用的な応用例のいくつに対しても多変数ファジー推論システムを自動的に生成する新規の方法を提供する。この方法は、他の変数から独立した単一の入力変数をもつファジー・システムを生成する簡略化されたタスクにサンプル集合を分解する際にフーリエ級数展開を利用する。この方法は、まずサンプル集合、例えばΛを、与えられた入力変数に関連するいくつかの集合クラスタの蓄積に分解し、集合クラスタから抽出される単一入力多数出力ファジー・システムを解くことによって、各変数のファジー規則とメンバーシップ関数を他の変数と独立して計算する。得られた分解済みファジー規則とメンバーシップ関数は、わずかの計算コストしか必要としない元のサンプル集合Λに適したファジー・システムに統合される。
【００１２】
本発明で記述された方法は、元のサンプル集合に対する得られた多変数関数の指定された精度を保持することによって安定したファジー・システムを得るために使用することができる。換言すれば、分解がフーリエ級数に基づいていることを利用すると、慎重な誤差解析はシステム・エラー全体と分解および合成の各段階における誤差の間の関係を示しており、したがって元のサンプル集合に対する得られたファジー・システムの最終精度を保証する上記ステップの各々の誤差限界または精度しきい値を指定することができる。
【００１３】
本発明のこれらおよび他の特徴並びに本発明が意図する利点の多くは、添付の図面に関してなされる以下の説明を参照することによってさらに容易に明らかになろう。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１４】
図示する本発明の好ましい実施形態を説明する際、明瞭化のために特定の用語法を採用する。しかし本発明は、このようにして選択された特定の用語に限定することは意図しておらず、各特定の用語は、類似の目的を達成するために類似の方法で動作するすべての技術的等価物を含むことが理解されよう。
【００１５】
まず本発明の主要な理論的サポートを要約し、次に２つの補助定理について議論する。本明細書を通して、サンプルの個数をＮ、入力変数の個数をｍ、Ｎとｍはどちらも有限であるとする。
【００１６】
本発明に対する主要な理論的サポートには以下の２つの定理が含まれる。
【００１７】
定理１
任意のサンプル集合について、
【００１８】
【数１】
、ただし
【００１９】
【数２】
、すべてのｉに対してＬｉ≦Ｘｉ≦Ｈｉが成り立ち、集合
【００２０】
【数３】
ｓ１，ｓ３，．．．，ｓ２ｍ−１は負でない整数｝、および
【００２１】
【数４】
ただし
【００２２】
【数５】
が成り立つようなサンプル集合クラスタ
【００２３】
【数６】
が存在する。
【００２４】
定理２
単一入力多数出力サンプル集合
【００２５】
【数７】
が、以下のファジー・システムＭＦＳｉによって記述できると仮定する。ただし、各出力の最大誤差および各出力の誤差の和は
【００２６】
【数８】
によって与えられる。
【００２７】
ファジー・システムＭＦＳｉは、メンバーシップ関数、ファジー規則および非ファジー化方法によって定義される。各ｔｉ，ｔｉ＝１，２，．．．，τｉに対するメンバーシップ関数によれば、ファジー間隔
【００２８】
【数９】
の変数ｘｉに対するメンバーシップ関数は
【００２９】
【数１０】
である。ファジー規則は各ｔｉ，ｔｉ＝１，２，．．．τｉに対してこれを提供し、Ｘｉが
【００３０】
【数１１】
であるならば、
【数１２】
である。非ファジー化方法によれば、
【００３１】
【数１３】
である。この場合、ファジー・サンプル集合
【００３２】
【数１４】
は以下のファジー・システムＭＦＳによって記述することができ、その最大誤差および合計誤差は、それぞれ、
【００３３】
【数１５】
および
【００３４】
【数１６】
によって与えられる。
【００３５】
ファジー・システムＭＦＳは、メンバーシップ関数、ファジー規則および非ファジー化方法によっても定義される。メンバーシップ関数によれば、各対（ｉ，ｔｉ），ｉｉ＝１，２，．．．，ｍ；ｔｉ＝１，２，．．．，τｉについて、ファジー間隔
【００３６】
【数１７】
の変数ｘｉに対するメンバーシップ関数は
【００３７】
【数１８】
である。ファジー規則は各ｍ個の要素からなる集合、（ｔ１，ｔ２，．．．，ｔｍ），ｔ１＝１，２，．．．，τｉ；ｔ２＝１，２，．．．，τ２；．．．；τｍ＝１，２，．．．，τｍについて、Ｘ１が
【００３８】
【数１９】
、Ｘ２が
【００３９】
【数２０】
、．．．、Ｘｍが
【００４０】
【数２１】
であるならば、
【００４１】
【数２２】
となる。
【００４２】
非ファジー化方法によれば、
【００４３】
【数２３】
である。定理１は、本発明の方法の分解プロセスの基礎をなすいくつかのサンプル集合クラスタへのサンプル集合の分解を保証する。すなわち定理１は、
【００４４】
【数２４】
が成り立つような集合クラスタ
【００４５】
【数２５】
の存在を保証する。
【００４６】
定理２は、元のサンプル集合Λに対するファジー・システムを回復するための分解された単一入力ファジー・システムの構成および合成を保証する。すなわち定理２は、ひとたび各変数Ｘｉのメンバーシップ関数とファジー規則を、サンプル集合
【００４７】
【数２６】
に対して計算すれば、定理２のステップに従うことによってΛに適したファジー・システムを構成することができることを示す。
【００４８】
本発明は、分解方法ならびにサンプル集合
【００４９】
【数２７】
に対するファジー・システムを得る方法の２つの補助定理も利用する。それらについて以下で説明する。
【００５０】
分解方法
サンプル集合ならびにオブジェクト表面の平滑度に関する知識は、本発明が使用する解析において重要な役割を果たす。オブジェクト・システムは、各変数Ｘｉについて２πτｉ／（Ｕｉ−Ｌｉ）より高い成分を含まないと仮定する。その場合Ｓ＝｛（ｓ１，ｓ２，．．．，ｓ２ｍ）｝、ただしｓ１≦τ１，ｓ３≦τ２，．．．，ｓ２ｍ−１≦τｍを選択することができる。サンプル集合への最適な近似は、以下の関数
【００５１】
【数２８】
を最小化することによって得られる。これは、等式
【００５２】
【数２９】
の根を見つけることと等価である。プロセス中、波数が等しいすべての項を１つの項に集め、係数のみが異なる２つの等しい項を保持しないよう、幾分注意する必要がある。例えば、２つの項
【００５３】
【数３０】
と
【００５４】
【数３１】
を結合して
【００５５】
【数３２】
とし、その後フーリエ級数の項の係数を決定すべきである。等しい項を結合した後、この時に
【００５６】
【数３３】
ここで
【００５７】
【数３４】
が成り立つと仮定すると、
標準のガウス消去法または以下の計算
【００５８】
【数３５】
ただし、
【００５９】
【数３６】
および
【００６０】
【数３７】
によって
【００６１】
【数３８】
を得ることができる。
【００６２】
サンプル・データが多次元グリッド上に正確に一致する場合、標準の高速フーリエ変換方法を使用して、このプロセスを高速化することができる。
【００６３】
単一入力多数出力ファジー・システムの生成
図１のニューラル・ネットワークを参照すると、第２レイヤ・ニューロンと第３レイヤ・ニューロンの間のリンク重みｂｉｔ，ｋの各々が、規則：「ＸｉがＳｉ，ｔであるならば、ｆｋの出力はｂｉｔ，ｋとなる」と解釈できる場合、ニューラル・ネットワークの入力と出力の間の関係
【００６４】
【数３９】
はファジー・システムＳによって記述することができる。このファジー・システムＳで、メンバーシップ関数は、各ｔ、ただしｔ＝１，２，．．．，τｉについてファジー間隔Ｓｉ，ｊのメンバーシップ関数はμｉ，ｔであり、ファジー規則は、各対（ｔ，ｋ）、ただしｔ＝１，２，．．．，τｉ；ｋ＝１，２，．．．，τについてＸｉがＳｉ，ｔであるならば、ｆｋの出力はｂｉｔ，ｋとなる。非ファジー化方法によれば、
【００６５】
【数４０】
となる。
【００６６】
したがって、各変数Ｘｉのメンバーシップ関数とファジー規則を得るタスクは、サンプル集合として集合
【００６７】
【数４１】
を使用して図１のニューラル・ネットワークを訓練することになる。各変数のメンバーシップ関数は「ストレート」タイプまたは連続タイプとすることができる。Ｃａｕｃｈｙによる「Ｍｅｔｈｏｄｅ Ｇｅｎｅｒａｌｅ ｐｏｕｒ ｌａ Ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｄｅｓ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｄ’Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｓ」Ｃｏｍｐ．Ｒｅｎｄ．Ａｃａｄ．Ｓｃｉ．Ｐａｒｉｓ、ｐｐ．５３６〜５３８、１８４７で教示されているような、とうげ点（ＳＤ）法（ｔｈｅ Ｓｔｅｅｐｅｓｔ Ｄｅｓｃｅｎｔ（ＳＤ）ｍｅｔｈｏｄ）を使用して、上記個々のネットワークを訓練することができる。
【００６８】
図２に、サンプル集合から多変数ファジー・システムを自動的に生成する本発明の方法を要約する。本明細書ではアルゴリズムＦｏｕＮｅｕＦｕｚと称する本発明のアルゴリズムを実証するために、本発明者らは、まず
【００６９】
【数４２】
および
【００７０】
【数４３】
が成り立つような、最大誤差および合計誤差がそれぞれε１およびε２であるサンプル集合Λに対するファジー・システムを開発する必要があると仮定する。
【００７１】
図２に示すように、本方法は、まずステップ１００で、ガウス消去法を使用して、あるいは等式（２）によって、等式（１）を最小化することによってサンプル集合Λをサンプル集合クラスタ
【００７２】
【数４４】
に分解する。ステップ１１０で、最大誤差および合計誤差は以下のように計算される。
【００７３】
【数４５】
【００７４】
次いでステップ１２０で、εｆ１≦ε１およびεｆ２≦ε２が成り立つことを確認することによって誤差要件が検証される。そうでない場合、より高い頻度をもつ項を追加し、ステップ１００および１１０の計算を満足されるまで繰り返す。
【００７５】
ステップ１３０で、各変数Ｘｉについて、とうげ点（ＳＤ）法によって図１に示されるニューラル・ネットワークを訓練することによって、サンプル集合
【００７６】
【数４６】
に対するファジー規則とメンバーシップ関数を得る。ただし、
【００７７】
【数４７】
が成り立つとし、各ネットワークの訓練終結条件を次のように設定する：
【００７８】
【数４８】
【数４８】
、および
ネットワークの各出力について
【００７９】
【数４９】
、ただし
【００８０】
【数５０】
。
【００８１】
次いでステップ１４０で、ファジー規則とメンバーシップ関数を、定理２に従ってサンプル集合Λに対する統合されたファジー・システムに蓄積する。
【００８２】
上記の本発明は、従来技術で実際に頻繁に行われているように手作業でファジー・システムを設計するのではなく、与えられたサンプル・データを使用して自動的にファジー・システムを得るために使用することができる。このようなファジー・システムには多くの実用的な応用例がある。例えば、工業モータ制御分野では磁化電流と滑り周波数との関係をモデリングする必要があるが、磁化電流は滑り周波数、ロータ時定数、ロータ漏れファクタ、および一定でないオフセット電流の非線形関数である。利用できるのはサンプル・データの集合だけであり、各サンプル・データは滑り周波数、ロータ時定数、ロータ漏れファクタ、およびオフセット電流が既知である特殊な状況における実際の磁化電流を示すにすぎない。従来技術ではその関係を手作業で記述するファジー・システムを得ようと試みることはできるが、極めて時間がかかり、非専門家には難しい。本発明において説明する新規の方法を使用すれば、サンプル集合からファジー・システムを自動的かつ直接的に得ることができるであろう。
【００８３】
別の例は洗濯機のファジー・コントローラである。ここでは洗濯量、水吸収速度、水吸収体積、および水温のデータに基づいて後続の洗濯ステップにおける水要件を制御する必要がある。利用できるのは洗濯量、水吸収速度、水吸収体積、および水温が既知であるいくつかの特殊な（個々の）状況に対する下位連続洗濯ステップにおける当該分野の熟練工の示唆した水要件を示すデータから構成されるサンプル集合だけである。本発明によれば、洗濯量、水吸収速度、水吸収体積、および水温（入力）に基づいて、下位連続洗濯ステップにおける水の要件（出力）を示唆することができるファジー・システムを得ることができる。上記の適用例において、本発明の方法を使用すれば、サンプル・データ集合から４入力−１出力のファジー・システムを得ることができる。
【００８４】
上記説明および図面は、本発明の原理のみの説明とみなされるべきである。本発明は、何通りにも構成することができ、好ましい実施形態の特定の構成に限定されるものではない。当業者には本発明の多数の応用例が容易に想起されよう。それら応用例をいくつか挙げると、様々な製造プロセス、ロボティックス、熱交換器などの消費者製品、温水圧力制御、航空機フライト制御、ロボット制御および操作、車速制御、パワー・システムおよび原子炉制御、セメント・キルンの制御、カムコーダの焦点合わせ、建築物の空調、列車スケジューリング、パターン認識およびシステム・モデリング、証券取引所の株取引、および情報検索などがある。したがって、開示した特定の実施例、または図示し記述した通りの動作に本発明を限定することを意図するものではない。むしろ、本発明の範囲に含まれるすべての適切な修正形態および等価形態を実施することができる。
【図面の簡単な説明】
【００８５】
【図１】本発明による単一入力多数出力のファジー・システムを生成するために使用されるニューラル・ネットワーク構成を示す図である。
【図２】本発明によるサンプル集合から多変数ファジー・システムを自動的に生成する方法を示す流れ図である。
【０００１】
本発明は、ファジー論理の分野に関し、より詳細には、与えられたサンプル集合から多変数ファジー推論システムを自動的に生成するシステムおよび方法に関する。
【背景技術】
【０００２】
ファジー・システムはコンパクト集合に対する任意の連続関数を近似するのに極めて有効であることがよく知られている。ファジー・システムは、特に従来のコントローラではシステムを容易に制御することができない複雑または不明確なシステムのための、従来の制御システムの強力な代替案となる場合が最も多い。これは、ファジー・システムが、制御システムにおいて必要とされる人間の知識と推理の近似的な質的態様を捕捉することができるためである。したがってファジー・システムは、最近では工業用途、家庭用具ならびに財務解析においてますます広範囲に応用されている。応用例をいくつか挙げると、様々な製造プロセス、ロボティックス、熱交換器などの消費者製品、温水圧力制御、航空機フライト制御、ロボット制御および操作、車速制御、パワー・システムおよび原子炉制御、セメント・キルンの制御、カムコーダの焦点合わせ、建築物の空調、列車スケジューリング、パターン認識およびシステム・モデリング、証券取引所の株取引および情報検索などがある。
【０００３】
ファジー・システムは通常、当該分野の熟練工が手作業で符号化し改良する。ファジー・システムの性能は当該分野の熟練工の専門知識の理解の深さに決定的に左右される。したがってファジー・システムの開発コストが暴騰し、そのため今や多数の複雑なファジー・システムを新しい応用分野に応用する際のネックとなっている。これが動機となってファジー・システムの自動生成に関する徹底的な研究がなされるようになり、その課題はデータ駆動型自己適応問題として研究されることが多くなっている。
【０００４】
ファジー・システムによって自己適応問題を実施する際、遭遇する最大の問題の１つは、変数の個数の増加に伴う所要計算時間の指数的激増に関連する次元による爆発問題と呼ばれるものである。これは、ファジー規則とメンバーシップ関数の多変数間の関係がしばしば非常に複雑になり、たいていの場合非線形になることによって生じる。このため入手できるほとんどすべての既存の商品は比較的少数の入力変数、通常は最大５つしか扱うことができない。
【０００５】
Ｃｈｅｎ他による「Ａ Ｎｅｗ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｔｈｅ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｒｕｌｅｓ ｏｆ Ｍｕｌｔｉ−Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍ」（Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ＩＥＥＥ １９９５ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ Ｏｎ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ、Ｐｅｒｔｈ、Ａｕｓｔｒａｌｉａ、ｐｐ．１３４２−１３４６）は多項式近似に基づく新しいアルゴリズムＰｏｌｙＮｅｕＦｕｚを提示している。「Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ、１２０（２００１）ｎｏ．２、ｐｐ．１４３−１４９」で発表される予定の、Ｃｈｅｎ他による「Ａ Ｎｅｗ Ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ａｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｍｕｌｔｉ−Ｖａｒｉａｂｌｅ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ」で論じられているようにＰｏｌｙＮｅｕＦｕｚは後にＰａｒＮｅｕＦｕｚに改良される。ＰａｒＮｅｕＦｕｚは原理的には入力変数の独立性を利用すれば並列処理で実行できる。
【０００６】
ＰｏｌｙＮｅｕＦｕｚとＰａｒＮｅｕＦｕｚはどちらも、多変数ファジー・システムを生成する問題を単一入力多数出力ファジー・システムの解に分解することによって、その問題を解く。ＰａｒＮｅｕＦｕｚアルゴリズムは、与えられたサンプル集合を近似する際に多項式展開を利用する。このアルゴリズムの時間的複雑さは使用する変数の個数にあまり左右されない。原理的には、これらのアルゴリズムの両方を適用すれば多数の変数をもつファジー・システムを生成することができる。ＰｏｌｙＮｅｕＦｕｚとＰａｒＮｅｕＦｕｚは、多変数システムの自己適応問題をいくつかのステップに（特にＰａｒＮｅｕＦｕｚの場合には並列ステップに）うまく分解し、それにより計算的複雑さをかなり低減する。しかし、分解ならびに合成における上記ステップの各々において正確な誤差推定が行える本フーリエ級数ベースの手法とは異なり、ＰｏｌｙＮｅｕＦｕｚとＰａｒＮｅｕＦｕｚ方法を使用しては誤差推定または誤差予測は容易に行えない。
【０００７】
したがって、誤差推定および誤差予測を可能としながら、従来技術で知られている次元による爆発問題に遭遇しない多変数ファジー推論システムを生成することのできる手法が求められている。
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【０００８】
上記事項を考慮すると、本発明の１つの目的は、次元による爆発問題を回避する多変数ファジー推論システムの新しいフーリエ級数ベースの自動生成方式を開発することである。
【課題を解決するための手段】
【０００９】
本発明の別の目的は、ファジー規則とメンバーシップ関数を、他の変数と独立して変数ごとに生成し、計算することができる方法を提供することである。
【００１０】
本発明のさらに別の目的は、元のサンプル集合に対する得られたファジー・システムの最終精度を保証する分解および合成の各段階の誤差限界または精度しきい値を指定することができる誤差分析をサポートするフーリエ級数ベースの分解を提供することである。
【００１１】
この目的または他の目的により、本発明は、実用的な応用例のいくつに対しても多変数ファジー推論システムを自動的に生成する新規の方法を提供する。この方法は、他の変数から独立した単一の入力変数をもつファジー・システムを生成する簡略化されたタスクにサンプル集合を分解する際にフーリエ級数展開を利用する。この方法は、まずサンプル集合、例えばΛを、与えられた入力変数に関連するいくつかの集合クラスタの蓄積に分解し、集合クラスタから抽出される単一入力多数出力ファジー・システムを解くことによって、各変数のファジー規則とメンバーシップ関数を他の変数と独立して計算する。得られた分解済みファジー規則とメンバーシップ関数は、わずかの計算コストしか必要としない元のサンプル集合Λに適したファジー・システムに統合される。
【００１２】
本発明で記述された方法は、元のサンプル集合に対する得られた多変数関数の指定された精度を保持することによって安定したファジー・システムを得るために使用することができる。換言すれば、分解がフーリエ級数に基づいていることを利用すると、慎重な誤差解析はシステム・エラー全体と分解および合成の各段階における誤差の間の関係を示しており、したがって元のサンプル集合に対する得られたファジー・システムの最終精度を保証する上記ステップの各々の誤差限界または精度しきい値を指定することができる。
【００１３】
本発明のこれらおよび他の特徴並びに本発明が意図する利点の多くは、添付の図面に関してなされる以下の説明を参照することによってさらに容易に明らかになろう。
【発明を実施するための最良の形態】
【００１４】
図示する本発明の好ましい実施形態を説明する際、明瞭化のために特定の用語法を採用する。しかし本発明は、このようにして選択された特定の用語に限定することは意図しておらず、各特定の用語は、類似の目的を達成するために類似の方法で動作するすべての技術的等価物を含むことが理解されよう。
【００１５】
まず本発明の主要な理論的サポートを要約し、次に２つの補助定理について議論する。本明細書を通して、サンプルの個数をＮ、入力変数の個数をｍ、Ｎとｍはどちらも有限であるとする。
【００１６】
本発明に対する主要な理論的サポートには以下の２つの定理が含まれる。
【００１７】
定理１
任意のサンプル集合について、
【００１８】
【数１】
【００１９】
【数２】
【００２０】
【数３】
【００２１】
【数４】
【００２２】
【数５】
【００２３】
【数６】
【００２４】
定理２
単一入力多数出力サンプル集合
【００２５】
【数７】
【００２６】
【数８】
【００２７】
ファジー・システムＭＦＳｉは、メンバーシップ関数、ファジー規則および非ファジー化方法によって定義される。各ｔｉ，ｔｉ＝１，２，．．．，τｉに対するメンバーシップ関数によれば、ファジー間隔
【００２８】
【数９】
【００２９】
【数１０】
【００３０】
【数１１】
【数１２】
【００３１】
【数１３】
【００３２】
【数１４】
【００３３】
【数１５】
【００３４】
【数１６】
【００３５】
ファジー・システムＭＦＳは、メンバーシップ関数、ファジー規則および非ファジー化方法によっても定義される。メンバーシップ関数によれば、各対（ｉ，ｔｉ），ｉｉ＝１，２，．．．，ｍ；ｔｉ＝１，２，．．．，τｉについて、ファジー間隔
【００３６】
【数１７】
【００３７】
【数１８】
【００３８】
【数１９】
【００３９】
【数２０】
【００４０】
【数２１】
【００４１】
【数２２】
【００４２】
非ファジー化方法によれば、
【００４３】
【数２３】
【００４４】
【数２４】
【００４５】
【数２５】
【００４６】
定理２は、元のサンプル集合Λに対するファジー・システムを回復するための分解された単一入力ファジー・システムの構成および合成を保証する。すなわち定理２は、ひとたび各変数Ｘｉのメンバーシップ関数とファジー規則を、サンプル集合
【００４７】
【数２６】
【００４８】
本発明は、分解方法ならびにサンプル集合
【００４９】
【数２７】
【００５０】
分解方法
サンプル集合ならびにオブジェクト表面の平滑度に関する知識は、本発明が使用する解析において重要な役割を果たす。オブジェクト・システムは、各変数Ｘｉについて２πτｉ／（Ｕｉ−Ｌｉ）より高い成分を含まないと仮定する。その場合Ｓ＝｛（ｓ１，ｓ２，．．．，ｓ２ｍ）｝、ただしｓ１≦τ１，ｓ３≦τ２，．．．，ｓ２ｍ−１≦τｍを選択することができる。サンプル集合への最適な近似は、以下の関数
【００５１】
【数２８】
【００５２】
【数２９】
【００５３】
【数３０】
【００５４】
【数３１】
【００５５】
【数３２】
【００５６】
【数３３】
【００５７】
【数３４】
標準のガウス消去法または以下の計算
【００５８】
【数３５】
【００５９】
【数３６】
【００６０】
【数３７】
【００６１】
【数３８】
【００６２】
サンプル・データが多次元グリッド上に正確に一致する場合、標準の高速フーリエ変換方法を使用して、このプロセスを高速化することができる。
【００６３】
単一入力多数出力ファジー・システムの生成
図１のニューラル・ネットワークを参照すると、第２レイヤ・ニューロンと第３レイヤ・ニューロンの間のリンク重みｂｉｔ，ｋの各々が、規則：「ＸｉがＳｉ，ｔであるならば、ｆｋの出力はｂｉｔ，ｋとなる」と解釈できる場合、ニューラル・ネットワークの入力と出力の間の関係
【００６４】
【数３９】
【００６５】
【数４０】
【００６６】
したがって、各変数Ｘｉのメンバーシップ関数とファジー規則を得るタスクは、サンプル集合として集合
【００６７】
【数４１】
【００６８】
図２に、サンプル集合から多変数ファジー・システムを自動的に生成する本発明の方法を要約する。本明細書ではアルゴリズムＦｏｕＮｅｕＦｕｚと称する本発明のアルゴリズムを実証するために、本発明者らは、まず
【００６９】
【数４２】
【００７０】
【数４３】
【００７１】
図２に示すように、本方法は、まずステップ１００で、ガウス消去法を使用して、あるいは等式（２）によって、等式（１）を最小化することによってサンプル集合Λをサンプル集合クラスタ
【００７２】
【数４４】
【００７３】
【数４５】
次いでステップ１２０で、εｆ１≦ε１およびεｆ２≦ε２が成り立つことを確認することによって誤差要件が検証される。そうでない場合、より高い頻度をもつ項を追加し、ステップ１００および１１０の計算を満足されるまで繰り返す。
【００７５】
ステップ１３０で、各変数Ｘｉについて、とうげ点（ＳＤ）法によって図１に示されるニューラル・ネットワークを訓練することによって、サンプル集合
【００７６】
【数４６】
【００７７】
【数４７】
【００７８】
【数４８】
【数４８】
ネットワークの各出力について
【００７９】
【数４９】
【００８０】
【数５０】
【００８１】
次いでステップ１４０で、ファジー規則とメンバーシップ関数を、定理２に従ってサンプル集合Λに対する統合されたファジー・システムに蓄積する。
【００８２】
上記の本発明は、従来技術で実際に頻繁に行われているように手作業でファジー・システムを設計するのではなく、与えられたサンプル・データを使用して自動的にファジー・システムを得るために使用することができる。このようなファジー・システムには多くの実用的な応用例がある。例えば、工業モータ制御分野では磁化電流と滑り周波数との関係をモデリングする必要があるが、磁化電流は滑り周波数、ロータ時定数、ロータ漏れファクタ、および一定でないオフセット電流の非線形関数である。利用できるのはサンプル・データの集合だけであり、各サンプル・データは滑り周波数、ロータ時定数、ロータ漏れファクタ、およびオフセット電流が既知である特殊な状況における実際の磁化電流を示すにすぎない。従来技術ではその関係を手作業で記述するファジー・システムを得ようと試みることはできるが、極めて時間がかかり、非専門家には難しい。本発明において説明する新規の方法を使用すれば、サンプル集合からファジー・システムを自動的かつ直接的に得ることができるであろう。
【００８３】
別の例は洗濯機のファジー・コントローラである。ここでは洗濯量、水吸収速度、水吸収体積、および水温のデータに基づいて後続の洗濯ステップにおける水要件を制御する必要がある。利用できるのは洗濯量、水吸収速度、水吸収体積、および水温が既知であるいくつかの特殊な（個々の）状況に対する下位連続洗濯ステップにおける当該分野の熟練工の示唆した水要件を示すデータから構成されるサンプル集合だけである。本発明によれば、洗濯量、水吸収速度、水吸収体積、および水温（入力）に基づいて、下位連続洗濯ステップにおける水の要件（出力）を示唆することができるファジー・システムを得ることができる。上記の適用例において、本発明の方法を使用すれば、サンプル・データ集合から４入力−１出力のファジー・システムを得ることができる。
【００８４】
上記説明および図面は、本発明の原理のみの説明とみなされるべきである。本発明は、何通りにも構成することができ、好ましい実施形態の特定の構成に限定されるものではない。当業者には本発明の多数の応用例が容易に想起されよう。それら応用例をいくつか挙げると、様々な製造プロセス、ロボティックス、熱交換器などの消費者製品、温水圧力制御、航空機フライト制御、ロボット制御および操作、車速制御、パワー・システムおよび原子炉制御、セメント・キルンの制御、カムコーダの焦点合わせ、建築物の空調、列車スケジューリング、パターン認識およびシステム・モデリング、証券取引所の株取引、および情報検索などがある。したがって、開示した特定の実施例、または図示し記述した通りの動作に本発明を限定することを意図するものではない。むしろ、本発明の範囲に含まれるすべての適切な修正形態および等価形態を実施することができる。
【図面の簡単な説明】
【００８５】
【図１】本発明による単一入力多数出力のファジー・システムを生成するために使用されるニューラル・ネットワーク構成を示す図である。
【図２】本発明によるサンプル集合から多変数ファジー・システムを自動的に生成する方法を示す流れ図である。
Claims (5)
- 制御システムで使用するための、サンプル集合から多変数ファジー・システムを自動生成する方法において、
サンプル集合Λをサンプル集合クラスタ
最大誤差および合計誤差を計算するステップと、
最大誤差および合計誤差がそれぞれのしきい値以下であることを検証するステップと、
変数の各々についてファジー・システムを得るステップと、
サンプル集合Λに対する最終ファジー・システムを蓄積するステップと、
最終ファジー・システムを制御システムに適用するステップと
を含む方法。 - 最大誤差および合計誤差を計算するステップが、それぞれの等式
- 検証するステップが、εｆ１≦ε１およびεｆ２≦ε２が成り立つことを確認するステップを含み、否定的な結果に対して、より高い周波数をもつ項を追加し、εｆ１≦ε１およびεｆ２≦ε２が成り立つまで分解するステップと計算するステップとを繰り返す請求項２に記載の方法。
- 変数の各々についてファジー・システムを得るステップが、各変数Ｘｉについて、ニューラル・ネットワークを訓練することによって、サンプル集合
- 制御システムで使用するための、サンプル集合から多変数ファジー・システムを自動的に生成する方法において、
サンプル集合Λをサンプル集合クラスタ
最大誤差および合計誤差を、それぞれ等式
εｆ１≦ε１およびεｆ２≦ε２が成り立つことを検証するステップであって、否定的な結果に対して、より高い周波数をもつ項を追加し、εｆ１≦ε１およびεｆ２≦ε２が成り立つまで分解するステップと計算するステップとを繰り返すステップと、
各変数Ｘｉによってファジー・システムを得るステップであって、ニューラル・ネットワークを訓練することによってサンプル集合
サンプル集合Λに対する最終ファジー・システムを蓄積するステップと、
最終ファジー・システムを制御システムに適用するステップと
を含む方法。
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