JP2004519753A - Generate and provide information about the expected future price of assets and visualize asset information - Google Patents

Abstract

No abstract.

Description

言い換えれば、ｐｄｆはコール価格関数またはプット価格関数の第２の導関数である。これらの関係の簡単な証明が付録に記載されている。付録には、本発明の特徴に関する他の詳細な情報も記載されている。
【００４４】
オプション価格データからインプライド確立分布を算出するためのこのいわゆる「第２導関数法」は、学界の文献では既知であるが、それほどよく知られていないらしい。たとえば、標準的な文献「オプション、先物取引、および他の導関数（Ｏｐｔｉｏｎｓ， Ｆｕｔｕｒｅｓ， ａｎｄ Ｏｔｈｅｒ Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ）」Ｊｏｈｎ Ｃ． Ｈｕｌｌ著（第４版、１９９９年、Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ）には、インプライド確率が記載されているが、第２導関数法は記載されていない。おそらく、見つけ得たうちで最も優れた文献は、それ以前の文献が６つしかないＣ． ＪａｃｋｗｅｒｔｈおよびＭ． Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉｎ著「オプション価格からの確率分布の回復（Ｒｅｃｏｖｅｒｉｎｇ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｏｐｔｉｏｎ ｐｒｉｃｅｓ）」、Ｊ． Ｆｉｎａｎｃｅ、第５１巻、１６１１ページ〜１６３１ページ（１９９６年）である。この論文では、Ｄ． Ｔ． Ｂｒｅｅｄｅｎ およびＲ． Ｈ． Ｌｉｔｚｅｎｂｅｒｇｅｒ「オプション価格において暗黙的な状態偶発クレームの価格（Ｐｒｉｃｅｓ ｏｆ ｓｔａｔｅ−ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｔ ｃｌａｉｍｓ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｉｎ ｏｐｔｉｏｎ ｐｒｉｃｅｓ）、Ｊ． Ｂｕｓｉｎｅｓｓ、第５１巻、６３１ページ〜６５０ページ（１９７８年）を第２導関数法の創始者として引用している。ただし、この論文のどこにも確率に関する記述はない。
【００４５】
有限の売り呼び値および買い呼び値からの近似ｆ（ｘ）
数式（１ａ）および（１ｂ）は、変数ｘが連続的であり、０から無限の範囲であると仮定することによって得られる。実際、オプションは通常、ある価格範囲内である価格間隔についてのみ（たとえば、５ドル間隔で１１０ドルから１８０ドルの範囲）取り引きされる。したがって、コール・オプション価格および／またはプット・オプション価格は、ストライク・プライスの有限の部分集合についてのみ判明する。このような状況では、数式（１ａ）および（１ｂ）の推定値は、以下のように導関数ではなく差をとることによって算出することができる。
【００４６】
オプション価格ｃ（ｘ）およびｐ（ｘ）が、均等な間隔を置いて設定されたストライク・プライスの有限の部分集合ｘ＝ｎΔについて決定されると仮定する。この場合、ｎは整数であり、Δは決定される価格間の間隔である。ｃ_ｎ＝ｃ（ｎΔ）、ｐ_ｎ＝ｐ（ｎΔ）を定義する。次いで、ｘ＝（ｎ＋１／２）Δにおける第１の導関数ｃ’（ｘ）およびｐ’（ｘ）を第１の差によって推定することができる。
【数１】

【数２】

【００４７】
累積分布関数の対応する推定値：
【数３】

は、
【数４】

【数５】

【００４８】
ｘ＝ｎΔにおける第２の導関数ｃ’’（ｘ）およびｐ’’（ｘ）は同様に、第２の差、すなわち、第１の導関数の推定値の差によって推定することができる。
【数６】

【数７】

【００４９】
第２の導関数のこれらの推定値のいずれも、ｘ＝ｎΔ、すなわち、ｆ（ｎΔ）における確率密度値の推定値として使用することができる。
【数８】

【００５０】
さらに、コール・オプションおよびプット・オプションの市場価格は通常、呼び値スプレッドで与えられ、したがって、買い呼び値または売り呼び値（またはある中間値）をコール・オプション価格またプット・オプション価格として使用することができる。コール・オプションとプット・オプションの両方に買い呼び値および売り呼び値を用いることによって、Ｆ（ｘ）およびｆ（ｘ）の４つの推定価格を得ることができる。これらの推定価格は、その信頼性に従って任意の所望の方法で組み合わせることができる。たとえば、売り呼び値曲線から導かれた推定価格を、原資産の現在の価格ｓよりも小さなｘの値に使用し、買い呼び値曲線から導かれた推定価格をｓよりも大きなｘの値に使用することができる。
【００５１】
表１（以下参照）のデータを用いたｃ_ｎ、ｐ_ｎ、

および

の例が図１、図２、および図３に示されている。
【００５２】
図表データ
表１は、５ドル間隔の１１０ドルから１８０ドルの範囲の資産のストライク・プライスについてのコール・オプションおよびプット・オプションの標本買い呼び値と、上記の数式（７）〜（１０）に従って算出された累積分布値

および確率密度値

とを示している。
【００５３】
この表では、

の値は、

を算出するのに用いられる２つのストライク・プライスの中間のストライク・プライスに対応する。したがって、ストライク・プライス１１０ドルの右側に示されている累積分布値は実際には、ストライク・プライス１１２．５ドルに対応し、ストライク・プライス１１５ドルの右側の値は実際には、ストライク・プライス１１７．５ドルに対応し、以下同様である。
【００５４】
【表１】

【００５５】
Ｆ（ｘ）およびｆ（ｘ）の動的推定値
数式（７）〜（１０）では、ストライク・プライスの有限部分集合ｘ＝ｎΔについての累積分布関数Ｆ（ｘ）および確率密度関数ｆ（ｘ）の計算においてコール・オプション価格およびプット・オプション価格を静的な価格と仮定した。実世界では、原資産の価格ｓは経時的に変化し、オプション価格もそれ対応して変化する。一次近似として、価格ｓが少ない額δだけ高くなった場合、オプション価格曲線は実際上、右側に額δだけシフトする。（ここで、δは正であっても負であってもよい。このシフトのより厳密な議論については、付録を参照されたい）。その結果、現在ストライク・プライスｘとして決定されている価格ｃ（ｘ）またはｐ（ｘ）を、ストライク・プライスｘ’＝ｘ−δにおける前の価格曲線上のオプション価格の推定値として使用することができる。その結果、ストライク・プライスの新しい離散部分集合ｘ＝ｎΔ−δにおける前の曲線上の価格が実際上見えるようになる。原価格の十分な動きが与えられた場合、実際上、任意のある時間に得られる部分集合よりもずっと密な間隔を置いて設定されたストライク・プライスの部分集合ｘについてｃ（ｘ）、ｐ（ｘ）、Ｆ（ｘ）、および／またはｆ（ｘ）を算出することができる。
【００５６】
確率分布の補外および平滑化
代表的なオプション市場では、オプション価格はある満期日についてのみ利用することができる。さらに、オプション価格は、通常、原価格に近いストライク・プライスにおけるより近い期間のオプションである、アクティブに取り引きされるオプションの方がより信頼できる。したがって、確率分布を実際の満期日以外の時間およびより広い範囲のストライク・プライスに補外および補間することが望ましい。
【００５７】
累積分布値

または確率密度値

に対して直接、任意の標準補外技術および平滑化技術を用いて、Ｆ（ｘ）またはｆ（ｘ）の平滑化され補外された推定値を与えることができる。同様に、将来の時間の離散部分集合Ｔについてのそのような推定曲線が与えられた場合、標準補間技術および補外技術を用いて、Ｔの指定された他の値またはＴ＞０の連続する範囲についてのそのような曲線を推定することができる。
【００５８】
これほど直接的ではないが有用な手法は、インプライド・ボラティリティ関数に補外および平滑化を行い、次いでこの関数を用いて、ｃ（ｘ）、ｐ（ｘ）、Ｆ（ｘ）、およびｆ（ｘ）のような他の関数を算出することができる。資産のボラティリティ・レート（単に資産のボラティリティと呼ばれることが多い）は、資産によってもたらさされる利益に関する不確かさの測度である。株式のボラティリティ・レートは通常、年当たり０．３から０．５の範囲であってよい。
【００５９】
インプライド・ボラティリティ曲線に対して補外および平滑化を行うことの利点は、様々な種類のボラティリティ曲線（いわゆる「ボラティリティ・スマイル」）が判明し、これらを補外・平滑化プロセスの手引きとして用いて、ある信頼できないデータ・ポイントの「オーバーフィット」を防止することができる。
【００６０】
インプライド・ボラティリティを算出する標準的な方法は、原価格ｓ（資産の現在の価格）、危険なき利子率ｒ、およびＴ（満期日）が与えられた場合に、所与のストライク・プライスｘにおける原資産の実際のコール価格ｃ（ｘ）またはプット価格ｐ（ｘ）についてブラック−ショウルズ価格決定公式（付録参照）を反転させることである。これをｘの値の範囲について行うと、インプライド・ボラティリティ曲線σ（ｘ）の推定値が得られる。この曲線を任意の標準的な方法によって平滑化し補外して、平滑化された曲線

を与えることができる。次いで、対応する平滑化されたプット価格曲線またはコール価格曲線を、ブラック−ショウルズ価格決定公式を用いて算出し、１度または２度微分して、平滑化されたｃｄｆまたはｐｄｆを与えることができる。最後に、将来の時間Ｔの離散部分集合についてのこのような推定曲線が与えられた場合、標準補間技術および補外技術を用いて、Ｔの指定された他の値またはＴ＞０の連続する範囲についてのそのような曲線を推定することができる。
【００６１】
インプライド・ボラティリティを算出する他の新しい方法では、まずｃｄｆ値

の有限部分集合を算出し、次いでこれらの値においてブラック−ショウルズ ｃｄｆ公式（付録参照）を反転させる。ｘの値のある範囲についてこれを行うと、ｃｄｆが暗示されたボラティリティ曲線と呼ばれる、全体的に異なるインプライド・ボラティリティ曲線σ_１（ｘ）の推定値が得られる。この場合も、この曲線を任意の標準的な方法によって平滑化し補外して、平滑化された曲線

を与えることができる。次いで、対応する平滑化されたｃｄｆを、ブラック−ショウルズ ｃｄｆ公式から算出し、１度微分して、平滑化されたｐｄｆを与えることができる。最後に、この場合も、将来の時間Ｔの離散部分集合についてのこのような推定曲線が与えられた場合、標準補間技術および補外技術を用いて、Ｔの指定された他の値またはＴ＞０の連続する範囲についてのそのような曲線を推定することができる。
【００６２】
従来のインプライド・ボラティリティ曲線ではなくｃｄｆインプライド・ボラティリティ曲線を使用することの利点として、少なくともＦ（ｘ）の推定値からの計算がより簡単になり、この曲線が後述の多変量技術によりうまくあてはまることが挙げられる。
【００６３】
平滑化され補外されたインプライド・ボラティリティ曲線

を、ストライク・プライスｘと満期日までの時間Ｔとの両方の関数として求める特定の方法は以下のとおりである。ボラティリティ曲線は二次公式によって近似されると仮定される。
【数９】

【００６４】
係数｛ａ_ｉ｝として、σ_１（ｘ，Ｔ）に関する入手可能なデータをできるだけ密接にあてはめる係数が回帰によって求められる。平滑化された曲線

が与えられた場合、様々なｘおよびＴについての対応する平滑化されたｃｄｆを、各時間Ｔについてブラック−ショウルズ ｃｄｆ公式から算出し、１度微分して、平滑化されたｐｄｆを与えることができる。数値上の利点を有する他の手順では、上記のような二次あてはめが関数

に使用され、次いでブラック−ショウルズ ｃｄｆが反転されて

が求められる。

のこのような近似の学界における経緯については付録を参照されたい。他の有用な変形例では、特定の満期日である時間Ｔにおいて

がｘの二次関数にあてはめられ、次いで他の時間Ｔに線形補間される。
【００６５】
複数の資産の処理
前述の技術は、単一の資産に関するオプション価格データに基づいてこの資産の将来の値についての確率分布を与える。しかし、多くの場合、投資家は、複数の資産に注意を払い、たとえば自分のポートフォリオ、またはミューチュアル・ファンド、またはある指数におけるすべての株式に注意を払うことがある。さらに、投資家は、ある資産群と他の資産群との関係に注意を払うことがある。
【００６６】
こような問題に対処する一般的な方法では、関心対象のすべての資産の多変量確率分布が生成される。多変量分布ｃｄｆはＦ（ｘ_１， ｘ_２， ．．． ， ｘ_ｎ）と書くことができ、この場合、変数（ｘ_１， ｘ_２， ．．． ， ｘ_ｎ）は関心対象のｎ個の資産の値である。
【００６７】
上述の技術または他の技術から、個々の各値についての周辺分布ｃｄｆ Ｆ_ｉ（ｘ_ｉ）を求めると仮定する。第１段階として、「ワーピング関数」と呼ばれる関数ｙ_ｉ（ｘ_ｉ）を、平均０および分散１を有する標準正規（ガウス）変数になるように、各ｘ_ｉについて定義することができる。これは単に、ｘのすべての値についてＦ_ｉ（ｘ_ｉ）＝Ｎ（ｙ_ｉ（ｘ_ｉ））になるようにｙ_ｉ（ｘ_ｉ）を定義することによって行われる。この場合、Ｎ（ｘ）は標準正規変数のｃｄｆを示す。関数ｙ_ｉ（ｘ_ｉ）は単に、σ_ｉ（ｘ_ｉ）で記述することができる。付録を参照されたい。単調に変動する周辺分布ｃｄｆを有するような適度な技術的条件の下では、このようなワーピング関数ｙ_ｉ（ｘ_ｉ）は、明確に定義された逆ワーピング関数ｘ_ｉ（ｙ_ｉ）を有する。
【００６８】
第２に、ワープされた標準正規変数ｙ_ｉ（ｘ_ｉ）間の、各対の歴史的相関を求めることができると仮定する。このような相関は、標準技術により、任意の利用可能な１組の歴史的資産価格データから算出することができる。エントリがこれらの歴史的相関であるｎ ｘ ｎ相関行列をＣによって示す。各変数ｙ_ｉ（ｘ_ｉ）が標準正規変数であるため、Ｃの対角項はすべて１に等しい。
【００６９】
次に、Ｆｃ（ｘ_１， ．．． ， ｘ_ｎ）により、零平均および共分散行列Ｃを有する多変量ガウス・ランダムｎ組のｃｄｆを示す。次式を定義する。

【００７０】
この場合、Ｆ（ｘ_１， ｘ_２， ．．．， ｘ_ｎ）は、（ａ）正しい（所与の）周辺分布ｃｄｆ Ｆ_ｉ（ｘ_ｉ）を有し、（ｂ）ワープされた標準正規変数ｙ_ｉ（ｘ_ｉ）間の正しい（歴史的）相関を有する多変量分布ｃｄｆである。このｃｄｆを用いて、変数（ｘ_１， ｘ_２， ．．．， ｘ_ｎ）を伴う問題を解く。
【００７１】
たとえば、投資家は、所与の数量のこのような各資産から成るポートフォリオを有することがある。このようなポートフォリオの値は、次式で表される和である。

式中、ｈ_ｉはポートフォリオ中のｉ番目の資産の数量を表す。投資家は、ポートフォリオ全体の値ｘの確率分布の推定値に注意を払うことがある。
【００７２】
このような推定値は、モンテ・カルロ・シミュレーションによって得ることができる。このようなシミュレーションの場合、多変量ガウス分布ｃｄｆ Ｆｃ（ｙ_１， ．．．， ｙ_ｎ）から得た多数Ｎの標本を生成することができる。各標本（ｙ_１， ．．．， ｙ_ｎ）は、逆ワーピング関数ｘ_ｉ（ｙ_ｉ）を用いることによって標本（ｘ_１， ｘ_２， ．．．， ｘ_ｎ）に変換することができる。次いで、各標本について総ポートフォリオの値ｘを算出することができる。ｘのこれらのＮ個の値から、ｘの確率分布（たとえば、ｘのｃｄｆ Ｆ（ｘ））を推定することができる。
【００７３】
実際、Ｎ個の多変量標本を大きなデータベースに保存すると有用である。次いで、値が変数（ｘ_１， ｘ_２， ．．．， ｘ_ｎ）の関数である任意の量のｃｄｆをこのデータベースから推定することができる。たとえば、投資家が、様々な数量の各資産を有する他のあるポートフォリオのｃｄｆを知りたい場合、記憶されているデータベースからこれを迅速に判定することができる。
【００７４】
投資家は、あるポートフォリオ（またはイベント、あるいは利子率、Ｐ／Ｅ比、市場のあるセクタへの大衆の関心などの変数）の、他のポートフォリオに対する効果を以下のように求めることもできる。第１のポートフォリオが以下のｘによって表されると仮定する。

この場合、各ｘ_ｉは、ポートフォリオ構成要素の価格とみなすことができ、第２のポートフォリオは以下のｙによって表される。

この場合、各ｙ_ｉは、ポートフォリオ構成要素の価格とみなすか、あるいは広義に任意のマクロ経済変数（関連するマクロ経済、ファンダメンタル、またはセクタ）とみなすことができる。
【００７５】
「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題を考える。ＡおよびＢを所与の正の定数とし、時間Ｔでｘ≧Ａである場合、時間Ｔにおいてｙ≧Ｂになる確率を求める。この問題は、時間Ｔに対応する多変量分布ｃｄｆ Ｆ（ｘ_１， ｘ_２， ．．．， ｘ_ｎ）について上記のようにモンテ・カルロ・データベースを作成し、ｘ≧Ａである標本を識別し、次いで、これらの標本を用いてｙ≧Ｂになる確率を推定することによって解くことができる。より一般的には、形式Ｆ（ｘ｜Ｅ）の任意の条件付きｃｄｆを同様に推定することができる。この場合、ｘは変数（ｘ_１， ｘ_２， ．．．， ｘ_ｎ）の任意の関数であり、Ｅは変数（ｘ_１， ｘ_２， ．．．， ｘ_ｎ）で定義された任意のイベントである。
【００７６】
同様に、投資家が、ある株式またはポートフォリオｘが時間Ｔに所与の定数Ａよりも大きな値を有すると考えることが合理的であるかどうかを知りたいと仮定する。この種の問題は、ｘ≧Ａである場合に、時間Ｔにおける他のある関連する、おそらくより良く理解される変数（または変数の組合せ）ｙの条件付きｃｄｆを推定することによって対処することができる。ｙについての結果として得られた分布が合理的な分布に見えない場合、投資家は、ｘ≧Ａであると予想するのは合理的でないと結論することができる。
【００７７】
確率分布情報を使用する用途
様々な技術を用いて、上述の計算に必要な情報を蓄積して処理し、ユーザに直接、またはサード・パーティを通じて間接的にこの情報を与えることができる。これらの技術のうちのいくつかについて以下に説明する。
【００７８】
図４に示されているように、確率分布情報は、通信ネットワーク１０４、たとえば、インターネットなどの公衆網、または法人イントラネットもしくはローカル・エリア・ネットワーク（ＬＡＮ）などの専用網に接続されたホスト・サーバ１０２からユーザに与えることができる。例示の都合上、以下の議論では、ネットワーク１０４はインターネットであると仮定する。
【００７９】
ホスト・サーバ１０２は、ソフトウェア・スイート１１６、金融データベース１２０、および通信モジュール１２２を含む。通信モジュール１２２は、ネットワーク１０４の通信プロトコルに従って、ホスト・サーバ１０２によって生成されたデータを送受信する。
【００８０】
ネットワークには、以下のもの、すなわち、個々のユーザまたは組織内のユーザ１０８、広告プロバイダ１１０、金融機関１１２、サード・パーティｗｅｂサーバ１１４、メディア・オペレータ１２２、および金融情報プロバイダ１０６のうちの１つまたは複数である（各ケースで１つのみ図示されている）。
【００８１】
ホスト・サーバのオペレータは、たとえば、金融情報供給源、民間企業、投資サービスのベンダ、または集中情報データベースを提供する会社のコンソーシアムであってよい。
【００８２】
ホスト・サーバ１０２は、ソフトウェア・スイート１１６の一部である代表的なオペレーティング・システムおよびｗｅｂサーバ・プログラムを実行する。ｗｅｂサーバ・プログラムによって、ホスト・サーバ１０２はｗｅｂサーバとして動作し、各ユーザ１０８がホスト・サーバによって生成された確率分布情報を受信しそれと対話するのを可能にするｗｅｂページまたはｗｅｂページの要素を、たとえばＨＴＭＬコードまたはＸＭＬコードで生成することができる。
【００８３】
ソフトウェア・スイート１１６は、金融データベース１２０に記憶されているデータを分析し、たとえば、資産およびポートフォリオの将来の価格のインプライド確立分布を生成するように構成された分析ソフトウェア１１８も含んでいる。
【００８４】
金融データベース１２０は、金融受信プロバイダ１０６から収集された金融情報、および分析ソフトウェア１１８によって生成された計算結果を記憶する。金融情報プロバイダ１０６は、通信リンク１２６を介してネットワーク１０４に接続されるか、あるいは情報をダイヤルアップ回線または専用回線（図示せず）を通じて直接ホスト・サーバに供給することができる。
【００８５】
図４は、本発明の実現態様の機能図である。構造的には、ホスト・サーバは、ネットワークに結合された１つまたは複数のｗｅｂサーバ、分析ソフトウェアおよびシステムに必要な他のアプリケーションを実行する１つまたは複数のアプリケーション・サーバ、ならびに金融データベースおよびシステムに必要な他の情報を記憶する１つまたは複数のデータベース・サーバとして実現することができる。
【００８６】
図１０は、通信リンク１２６を通じて金融情報プロバイダ１０６からホスト・サーバ１０２に送信されるデータ・フィード１５０の例を示している。情報は、メッセージ１５１、１５２の形でホスト・サーバに送信される。各メッセージは、各レコードが原資産のオプション価格に関する情報を保持する１つまたは複数のレコード１５３のストリームを含む。各メッセージは、送信側および受信側を識別するヘッド情報１５４と、現在の日付１５５と、メッセージの終わりインジケータ１５８を含み、その後に、メッセージに含まれるレコードが続く。
【００８７】
ストリーム内の各レコード１５３は、原資産の識別子１５６（たとえば、取引記号）と、レコードがプットに関するものか、それともコールに関するものかの表示１５８、プットまたはコールのストライク日付１６０、プットまたはコールのストライク・プライス１６２、原資産の現在の呼び値１６４、オプションの呼び値１６６、オプションに関連する取引高１６８を含む。金融情報プロバイダ１０６は、Ｒｅｕｔｅｒｓ、Ｂｒｉｄｇｅ、Ｂｌｏｏｍｂｅｒｇなどの情報ブローカ、またはメッセージに保持されている情報にアクセスできるか、あるいはこの情報を生成できる任意の他の当事者であってよい。ブローカは、たとえば、ニューヨーク株式取引所（Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ Ｓｔｏｃｋ Ｅｘｃｈａｎｇｅ）やシカゴ・オプション取引所（Ｃｈｉｃａｇｏ Ｂｏａｒｄ ｏｆ Ｏｐｔｉｏｎｓ Ｅｘｃｈａｎｇｅ）を含む情報供給源からの情報を提供することができる。
【００８８】
金融データベース１２０は、金融情報プロバイダからの情報フィードで受信された情報、および、たとえば利子率やボラティリティを含む他の情報を記憶する。金融データベースは、原資産およびオプションの対象ではない資産に関する確率分布関数を含む、分析ソフトウェアによって生成された結果も記憶する。
【００８９】
確率分布情報は、ユーザに提供され表示される情報が現在のデータになるように着信オプションデータから連続的に（かつ基本的にリアルタイムで）生成される。すなわち、この情報は、古い歴史的データではなく、オプション価格に関する現在の情報に基づく情報である。
【００９０】
さらに、価格、ボラティリティ値、β、資産が属する産業の識別、利回り、価格・帳簿比、およびレヴァレッジを含む、原資産の基本的な特性を含む、他のソフト情報を蓄積し、記憶し、ユーザに提供することができる。他の情報には、収益予測日のカレンダー、収益予測、法人活動項目、産業に関係するニュース項目、企業の持ち株の取引高を含めることができる。
【００９１】
ホスト・サーバ１０２による要求に応答して情報プロバイダ１０６からメッセージを送信することも、指定された時間間隔で自動的に情報をホスト・サーバ１０２に送信することも、情報プロバイダによってその情報供給源から受信された情報を送信することもできる。金融データベース１２０は、金融データの収集および構成専用の別個のサーバ・コンピュータ（図示せず）上に維持することができる。金融データベースは、記憶されているデータ間に論理関係を確立し、必要な情報の検索を高速にかつ効果的にするように構成される。
【００９２】
ユーザ１０８は、たとえばパーソナル・コンピュータ、ＴＶセット・トップ・ボックス、パーソナル・デジタル・アシスタント（ＰＤＡ）、または携帯電話を用いてネットワーク１０４と通信することができる。これらの装置はどれもインターネット・ブラウザを実行し、ホスト・サーバ１０２によって生成されたグラフィカル・ユーザ・インターフェース（ＧＵＩ）を表示することができる。
【００９３】
ホスト・サーバ１０２は、確率分布情報をネットワーク１０４上にｗｅｂページの形で与え、個々のユーザ１０８、金融機関１１２、サード・パーティｗｅｂサーバ１１４、およびメディア・オペレータ１２４が自由に情報を見るのを可能にする。ホスト・サーバ１０２を実行するホスト会社は、たとえば、そのｗｅｂページ上の広告スペースを広告プロバイダ１１０に売ることによって収益を得ることができる。
【００９４】
ホスト・サーバ１０２は、独自の情報および優れたサービスを個々のユーザ１０８、金融機関１１２、サード・パーティｗｅｂサーバ１１４、およびメディア・オペレータ１２２に加入料で提供することもできる。
【００９５】
ホスト・サーバ１０２は、金融機関１１２のデータベースに容易に組み込むことのできるフォーマットで、調整された情報を提供するために、金融機関１１２との直接リンクを有してよい。金融機関１１２には、たとえば、投資銀行、株式仲買業者、ミューチュアル・ファンド・プロバイダ、銀行信託部門、投資顧問業者、およびベンチャー・キャピタル投資会社を含めてよい。これらの機関は、分析ソフトウェア１１８によって生成された確率分布情報を、機関自体の加入者に提供する金融サービスに組み込むことができる。ホスト・サーバ１０２によって提供される確率分布情報によって、株式仲買業者はその顧客により良い忠告を与えることができる。
【００９６】
サード・パーティｗｅｂサーバ１１４は、そのｗｅｂサイトに確率分布情報を組み込むことができる。この情報は、インターネットを通じ、あるいは専用接続またはダイヤルアップ接続を通じて、情報フィードの形でｗｅｂサーバ１１４のサード・パーティ・ホストに供給することができる。
【００９７】
図１０は、通信リンク１２８を通じてホスト・サーバ１０２からサード・パーティｗｅｂサーバ１１４に送信されるデータ・フィード１８２の例を示している。データ・フィード１８２は、送信側および受信側を識別するヘッダ情報１８６と、特定の原資産に関するレコード１８８とを含むメッセージ１８４を保持する。
【００９８】
各レコード１８８は、将来の日付を識別する項目１９０と、資産を識別する記号１９２と、リスク・ニュートラル確率密度情報１９３と、累積分布情報１９４とを含んでいる。レコードは、識別された将来の日付に関する第２の資産１９５を識別する記号なども含んでよい。リスク・ニュートラル値に関する危険プレミアム値のような他の情報を提供することもできる。
【００９９】
サード・パーティｗｅｂサーバ１１４の例としては、Ｅ＊ＴＲＡＤＥ、ＣＢＳ Ｍａｒｋｅｔ Ｗａｔｃｈ、Ｆｉｄｅｌｉｔｙ Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔｓ、およびＴｈｅ Ｗａｌｌ Ｓｔｒｅｅｔ Ｊｏｕｒｎａｌのｗｅｂサーバが挙げられる。サード・パーティｗｅｂサーバ１１４は、それが確率分布情報を必要とする資産のリストを指定する。ホスト・サーバ１０２は、金融情報プロバイダ１０６およびそれ自体の金融データベース１２０から定期的に情報を収集し、指定された資産リストについての確率分布情報を生成し、この情報をサード・パーティｗｅｂサーバ１１４に送信し、サード・パーティｗｅｂサーバ１１４のｗｅｂページに組み込ませる。
【０１００】
メディア・オペレータ１２４の例としては、金融情報を提供するケーブルＴＶオペレータおよび新聞社が挙げられる。たとえば、株価の付け値を伝えるケーブルＴＶチャネルが、ホスト・サーバ１０２によって生成された確率分布情報を提供することもできる。ケーブルＴＶオペレータは、将来数か月にわたってＮＹＳＥ上にリストされるすべての株式の確率分布を記憶するデータベースを有してよい。ホスト・サーバ１０２は、更新された情報を定期的にケーブルＴＶオペレータのデータベースに送信することができる。ケーブルＴＶチャネルの加入者は、ＴＶで株価の付け値を見る場合に、モデムを介してケーブルＴＶオペレータのサーバ・コンピュータにコマンドを送信し、特定の株式および特定の将来の日付を指定することができる。ケーブルＴＶオペレータのサーバ・コンピュータは、これに応じて、そのデータベースから確率分布情報を検索し、たとえば、ＴＶ信号の垂直帰線消去間隔に確率分布情報を符号化することによって、この情報をケーブル・ネットワークを介して加入者に送信する。
【０１０１】
同様に、毎日の取引価格を伝える新聞社も、株価が所定の将来の日付、たとえば６か月後に現在の資産価格のある割合を超える確率を伝えることができる。新聞上の標本リストは

であってよく、これは、ＡＭＤ株の最安値が８３ドルであり、最高値が８８ドルであり、終り値が以前の終り値よりも高い８５ドルであり、６か月で１０％上がる確率が４０％であることを意味する。
【０１０２】
分析ソフトウェア１１８は、Ｊａｖａ、Ｃ、Ｃ＋＋、ＦＯＲＴＲＡＮのような任意のコンピュータ言語で書くことができる。このソフトウェアは、以下のモジュール、すなわち、（１）金融データ供給源から受信されたデータを再処理する入力モジュール、（２）数学的分析を実行する計算モジュール、（３）ユーザからの入力を受信し、計算結果のチャートおよびグラフを表示するグラフィカル・インターフェースを生成するユーザ・インターフェース・モジュール、ならびに（４）ネットワークにアクセスするのに必要な通信プロトコルに対処する通信インターフェース・モジュールを含んでよい。
【０１０３】
ｗｅｂページおよびユーザ・インターフェース
様々なｗｅｂページおよびユーザ・インターフェースを用いて、上述の技術によって生成された情報を伝えることができる。
【０１０４】
たとえば、図５を参照すると、ＧＵＩ７００によって、ユーザ１０８は、ホスト・サーバ１０２から提供されるある範囲の供給サービスを得ることができる。ユーザ１０８は、記号７０４を有する販売可能な資産７０６の将来の価格のインプライド確率および現在の価格７０８を見ることができる。表示される情報は、資産価格が、指定された期間７２０内に基準価格７１０のある指定された割合７１２を超える（またはある指定された割合７１６よりも少なくなる）確率７１４（または７１８）を含んでよい。
【０１０５】
ユーザ１０８の便宜のために、ＧＵＩ７００は、資産の取引を推進する機関とのリンク７３０を含んでいる。ホスト・サーバ１０２を実行するホスト会社は、ＧＵＩ７００上の広告スペース７２８を売って収益を得る。ＧＵＩ７００は、終身財務管理、販売可能な資産の取引に関する主題のオンライン講座、販売可能な資産に関する市場条件の研究、および資産のポートフォリオの管理を含む、ホスト・サーバ１０２から提供される他のサービスとのリンク７２６も有している。
【０１０６】
図６を参照すると、ＧＵＩ７００は、ユーザ１０８が資産のポートフォリオの将来の価値についての、市場の現在の予測を見ることができるようにする対話型ｗｅｂページを表示することができる。資産ポートフォリオ７３２の歴史的市場価格７３４および現在の市場価格７３６が表示される。価格差７３８も表示される。ＧＵＩ７００は、ポートフォリオ７３２が指定された期間７４２内にある割合７４０を得る（または失う）確率７４４（または７４６）を表示する。ポートフォリオの例には、株式ポートフォリオ、引退４０１Ｋプラン、および個々の引退会計が含まれる。リンク７４８は、ユーザ１０８が各ポートフォリオ内の個々の資産の将来の価格トレンドについての、市場の現在の予測を見ることができるようにするのに設けられている。
【０１０７】
図７を参照すると、他のユーザ・インターフェースにおいて、ＧＵＩ７００は、歴史的価格の経緯の詳細な分析と、指定された期間にわたる販売可能な資産の将来の価値の確率分布についての、市場の現在の予測とを含む対話型ｗｅｂページを表示する。ＧＵＩ７００は、ある期間にわたる資産の予測される将来の価格の累積分布値を表す価格−スプレッド・ディスプレイ７５０を含んでいる。価格−スプレッド・ディスプレイ７５０ａは、３か月前に生成された価格分布データを示している。実際の資産価格の３か月間の経緯は、ユーザ１０８が価格分布情報を評価できるように比較のために線グラフとして示されている。価格−スプレッド・ディスプレイ７５０ｂは、今後１か月の期間にわたる資産価格の予測される累積分布値を表す。ディスプレイ７５０ｂの左縁はもちろん、直前の３か月の期間の終了時点での資産の実際の価格、たとえば、現在のＤＥＬＬ株価の５０ドルから始まる。確率分布情報は、たとえば、株価が３５ドルよりも下がる確率が１％であり、株価が１か月で８０ドルよりも下がる確率が９９％であることを暗示している。ＧＵＩ７００は、資産情報のハイライトを示す表７５２と、資産のセクタ・リスクを示すグラフ７５４とを含んでいる。ボックス７５５によって、ユーザは目標価格を入力することができ、表７５７は、計算上のインプライド確立分布に基づく、４つの異なる将来の時間におけるこの価格の確率を示す。
【０１０８】
図８を参照すると、他の手法では、金融情報を示すウィンドウ４０２が、確率分布情報を示す他の２つのウィンドウ４０８および４１０と共に、ユーザの画面上に表示される。個々のユーザ１０８は、すでにホスト・サーバ１０２からクライアント・プログラムをダウンロードしているものとする。ユーザが任意のドキュメント、たとえば、任意のｗｅｂページ（ホスト・サーバ１０２のｗｅｂページまたは他のホストのサーバのｗｅｂページ）を見る際、ユーザは、ポインタ４０６を用いて株式記号４０４を強調表示し、所定のキーストローク（たとえば、「ＡＬＴ−ＳＨＩＦＴ−Ｑ」）を入力してクライアント・プログラムを呼び出す。クライアント・プログラムは次いで、ユーザによって強調表示された株式記号をホスト・サーバ１０２に送信する。ホスト・サーバ１０２は確率分布情報をクライアント・プログラムに送り返し、クライアント・プログラムは別々のウィンドウ４０８および４１０にこの情報を表示する。
【０１０９】
クライアント・プログラムが呼び出されると、表示できる様々な種類の価格情報を示すウィンドウ４２２を表示することができる。図示の例では、「確率分布曲線（Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｃｕｒｖｅ）」および「上／下限推定値曲線（Ｕｐｐｅｒ／ｌｏｗｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｃｕｒｖｅｓ）」が選択されている。ウィンドウ４０８は、７月から１２月までのストライク・プライス１４０ドルの上下のＡＭＤ株の価格範囲と、株価が上限推定値曲線と下限推定値曲線との間で下がる確率が９０％であることを示している。ウィンドウ４１０は、将来の日付２０００年８月１５日のＡＭＤ株の確率密度曲線ｆ（ｘ）を示している。ユーザは、資産名が強調表示されたときはいつでも、ユーザからの他の指示なしにデフォルトの関数曲線が表示されるように、デフォルトの関数曲線を指定することもできる。
【０１１０】
表１に示されているような図表データは、ホスト・サーバ１０２によって生成し、ネットワーク１０４上で、グラフィカル・データを表示する限られた機能を有する装置に送信することができる。一例として、個々のユーザ１０８は、携帯電話を用いて資産確率分布情報にアクセスしたくなることがある。ユーザは、電話のキーパッドを用いてコマンドを入力し、株式、価格、および将来の日付を入力する。これに応答して、ホスト・サーバ１０２は、この株式が指定された将来の日付に指定された価格に達する確率を、携帯電話の画面上に表示するのに適した図表フォーマットで返す。
【０１１１】
図９を参照すると、携帯電話５００は、表示画面５０２、数値キー５０６、およびスクロール・キー５０４を含んでいる。ユーザは、数値キー５０６を用いてコマンドを入力することができる。ホスト・サーバ１０２から受信された価格情報は表示画面５０２上に表示される。図表データは通常、数字の長いリストを含み、ユーザはスクロール・キー５０４を用いて図表データのそれぞれの異なる部分を見ることができる。
【０１１２】
表示画面５０２に示されている例では、ＡＭＤ株式の現在の価格は８２ドルである。２０００年８月１５日の様々な将来の価格についての累積分布値Ｆ（ｘ）がリストされる。この分布は、株価が８０ドルよりも下がる確率が４０％であることを示し、株価が８０ドルを超える確率が６０％であることを暗示している。同様に、この分布は、株価が少なくとも９０ドルになる確率が８０％であることを示し、株価が９０ドルを超える確率が２０％であることを暗示している。
【０１１３】
後述の視覚化技術は、ユーザが、資産に関する情報を視覚化し迅速に理解するのを可能にするうえで有用である。
【０１１４】
将来の価格のインプライド確立分布の視覚化
図１１に示されているように、視覚化装置１０は、現在の日付１２、２０００年７月１日に対するＤｅｌｌ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｃｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ株の予測される相対的な将来の価格の累積確率分布値を表示する。２０００年７月１日の価格１４は、表示の都合上それ自体が任意の開始値０ドルに設定された２０００年２月１日の価格１６よりも４１ドル低いように示されている。この表示は、実際の価格で与えることも、価格の変動として与えることも、利益率として与えることもできる。視覚化装置１０の基礎となる確率分布データは、たとえば、親特許出願で論じられている方法によって生成することができる。
【０１１５】
今後数か月の期間にわたるＤｅｌｌ株の価格の予測される累積分布値は、点１８から始まり右側に開く包絡線１６によって示されている。
【０１１６】
包絡線１６は、各々がやはり点１８から始まり右側に開くストライプ２２、２４、２６、２８、３０に分割されている。たとえば、ストライプ２２は、将来の各日付における価格（すべて現在の価格よりも低い）の範囲を示し、価格がこのストライプ内に入る予測される見込み（１０％）を示している。同様に、ストライプ２６は、将来の様々な日付に起こる予測される見込みが４０％である価格（現在の価格より高い価格および低い価格）の範囲を示している。包絡線１６よりも上または下に来る見込みは１％未満であることが分かる。各ストライプは異なる色で表示されており、各色としては、見る人がそれぞれの異なるストライプを容易に視覚化できるような色が選択される。
【０１１７】
同様な包絡線３２は、２０００年２月１日の公称価格０ドルから始まり、現在の日付で終わっている。包絡線３２は、２００１年２月１日の時点で予測されたＤｅｌｌ株価の累積分布値を表している。２０００年２月１日から現在の日付までの間のＤｅｌｌ株の実際の価格の遷移は線３４によって示されている。線３４の実際の価格の遷移が、予測された累積分布値に一致する程度は、この予測手法の妥当性をユーザに視覚的に示す。
【０１１８】
図１１に示されている色とテキストとデータの組合せによって、投資家は、資産の実績を、自分の価格予想に対して経時的に評価することができる。
【０１１９】
図１１の視覚化装置は、ミューチュアル・ファンドを含む、株式以外の資産、および資産のポートフォリオにも有用である。
【０１２０】
図１２は、図１１と同様な情報を示しているが、価格ではなく予測利益率に関して表されている。図１２に示されている例は、現在の日付６６、２０００年１０月２４日の時点のＣｈｅｃｋ Ｐｏｉｎｔ Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ Ｌｔｄ株に関する。ｘ軸は、開始日に対する利益率を表している。線６２は、点６７における２０００年１月１日の開始日の株価に対する歴史的利益を示している。現在の日付６６では、開始点６７からの株式の価格に対する累積利益は約２００％である。
【０１２１】
包絡線６８は点６６から始まり、右側に開いている。包絡線６８は、利益率が最初の開始点６６に対して今後数か月間の各日にある範囲内に収まる予測される見込みを示している。各範囲はストライプ５２、５４、５６、５８、および６０として表されている。包絡線およびストライプは、オプション市場のインプライド・ボラティリティに基づく数学的アルゴリズムによって生成された将来の価格レベルの確率を反映するわずかに正の勾配を持つトレンド線５０を中心として位置している。このアルゴリズムは、２０００年８月１８日に出願された関連する係属中の米国特許出願第０９／６４１，５８９号に記載されている。
【０１２２】
たとえば、（開始点６７に対する）利益が２０００年５月１日に５０％から１００％の間になる予測される見込みは１０％である。
【０１２３】
価格データを、ｘ軸に沿ってプロットされる価格変動データに変換するように、データが処理されることを除いて、図１１の表示を生成するのに用いられるのと同じ種類のデータを用いて図１２の装置が生成される。
【０１２４】
図１３は、（開始日８２から１年後である垂直線８０として識別される）長期資本キャピタル・ゲイン税率が移行した影響を除いて図１２と同様である。線８０で表された日付よりも後に、株式を売却すると、その日付よりも前の短期キャピタル・ゲイン税率を仮定する場合よりも、税金の影響が弱くなり、有効利益が増える。そのため、包絡線８４は、移行日の後の期間に上向きにずれ分裂している。
【０１２５】
資産形式の視覚化
図１４は、資産資金（たとえば、ミューチュアル・ファンド）の歴史的利益を１組の基本資産クラス（たとえば、現金、債権、大現在価値成長株、大現在価値株）によって得られる利益と比較することによって資産資金を評価する資産資金形式分析を反映する別の視覚化装置を示している。
【０１２６】
形式分析の第１段階では、関心対象のすべての資産タイプを表すために相互に排他的で網羅的である必要がある基本資産クラスが一度に選択される。（以下にリストする）クラスの一例には、７つが株式を表し、残りが債権を表す、１７個の市場指標がある。
【０１２７】
形式分析の第２段階では、これらの指標に対する所与のミューチュアル・ファンドのエクスポージャが求められる。これは、資金利益が基本資産クラスからの利益と残差の線形組合せとして表される、資産クラス因子モデルを解くことによって実現される。エクスポージャは、１年間の週間データを用いて残差の分散を最小限に抑えることによって求められる。１年間の週間データは資金形式をより正確に反映できると考えられる。さらに、基本資産クラスに対する資金エクスポージャは、非負になり、かつ合計が零になるように制限される。
【０１２８】
形式分析の第３段階では、結果が、意義のある投資情報を与える形式で与えられる。所与の資金についての形式分析結果は、各基本資金クラスにおける割合から成り、支配的な割合が資金の形式を決定する。所与の資金についての形式のドリフトは、過去５年間の形式の変化を求めることに基づいて判定される。
【０１２９】
図１４には、分析の結果が表示されている。それぞれのセル１０２の色は、そのセルが現れる列で表される期間中の、セルが現れる行に関連する形式への回帰が、資金の実績のどの程度を説明するかを示している。
【０１３０】
図１４に示されている例は、個々の投資家から成る大きな群の関心対象である１７個の指標（形式１００）のそれぞれを識別している。たとえば、形式ＬＧは大現在価値成長として特徴付けされた１組の株式を指す。この例の各群の全リストを以下に示す。
１．大現在価値成長（ＬＧ）
２．大現在価値（ＬＶ）
３．中現在価値（ＭＣ）
４．小現在価値（ＳＣ）
５．ヨーロッパ株（ＥＵ）
６．日本株（ＪＰ）
７．有望市場（ＥＭ）
８．現金（ＴＢ）
９．中間国債（ＧＩ）
１０．長期国債（ＧＬ）
１１．中間社債（ＣＩ）
１２．長期社債（ＣＬ）
１３．法人ジャンク・ボンド（ＨＹ）
１４．抵当証券（ＭＧ）
１５．不動産（ＲＥ）
１６．市債権（ＭＵ）
１７．世界債（ＧＧ）
【０１３１】
したがって、セル１０２の場合、回帰は、資金の実績の約４５％が２０００年のこの期間についてのＬＧ形式と相関していることを示している。
【０１３２】
回帰によって求められた値は、垂直軸が形式を示し水平軸が時間を示す格子に表示される。各セル１０２の色は、右側に示されている割合目盛りに従った割合を示している。
【０１３３】
結果として得られる視覚化装置によって、投資家は、資産の実績を、投資に関する自分の好みおよび戦略に対して経時的に評価することができる。
【０１３４】
最近の市場活動の視覚化
資産（株式やミューチュアル・ファンドなど）の市場の活動を、活動が展開するにつれて追跡する能力は、投資家にとって非常に重要である。多くの投資家は、取引高、価格の変化、資産の識別、実績などの情報を示す、毎日公表される図表データに依存している。
【０１３５】
図１５に示されている視覚化装置は、投資家が最近および現在の市場の活動を視覚的にかつ迅速に把握する能力を向上させるようにこのような情報を収集し、凝縮し、改善する。
【０１３６】
表示は、取引日全体にわたって連続的にかつ迅速に更新される。
【０１３７】
図１５に示されているように、視覚化装置１２０は、中心点１２４の周りに配置された扇形１２２として分割されたレーダ状ディスプレイを含んでいる。この装置は、点１２４を中心とし、様々なリングを視覚的に区別するようにそれぞれの異なる色で塗りつぶされたリング１２６に分割されている。
【０１３８】
各扇形１２２は、投資家の関心対象の産業またはセクタ、たとえば、技術セクタや金融セクタに関連付けされている。各扇形のサイズは、母集団全体に対して示されている資産項目の総数に対する、各扇形に対して表示された資産項目の割合に依存する。
【０１３９】
各リングは、最近の期間中（たとえば、１取引日中）の異なる価格変化率を表している。各リングは、最大の減少率がレーダの中央近くに位置し、最大の増加率が周辺の近くに位置するように配置されている。
【０１４０】
各点が、レーザの扇形によって表される産業セクタ内の選択された株式または資産を表す、小さな点１２８が、各扇形内に表示されている。各点の、中心点１２４からの距離は、取引日中の所与の時間における対応する株式の価格変動率を表す。灰色の点は小現在価値株を表し、黒い点は大現在価値株を表す。
【０１４１】
扇形内の複数の株式が（たとえば、位置１３０の）同じ変動率を有する場合、各点は、各扇形内の変動率の分布の印象を見る人に伝えるように中心点に対するそれぞれの異なる角度位置に表示される。
【０１４２】
実現態様の詳細
上述の視覚化要素は、デスクトップ・コンピュータおよびラップトップ・コンピュータ、パーソナル・デジタル・アシスタント、携帯電話、誰でも見られる大画面ディスプレイ、またはクローズド・サーキットまたはブロードキャスト／ケーブル・テレビジョン・モニタを含む、広範囲の装置上に表示することができる。
【０１４３】
視覚化要素は、単独で表示することも、あるいは他の金融情報、一般的なニュース情報、またはプログラム材料を含む、他の表示マテリアルに埋め込むこともできる。たとえば、要素は、金融情報専用のｗｅｂサイト・ページの一部として表示することも、一般的なｗｅｂポータル・ページの一部として表示することもできる。要素は、ブロードキャストＴＶプログラムまたはケーブルＴＶプログラムの一部として表示することができる。
【０１４４】
視覚化要素を作成するための生データを、動作中に電子的に得て、かつ／または必要に応じてローカルにまたは中央に格納することができる。生データを処理し、視覚化要素で表すべき導出された値を生成するソフトウェアを、ローカルに実行することも、リモートに実行する（次いでローカル・ディスプレイにダウンロードする）こともできる。導出された値を処理して視覚化要素を作成するソフトウェアを、同様に取り扱うことができる。
【０１４５】
生データ、導出された値、および視覚化要素は、多少とも頻繁に更新することができる。ただし、多くの場合、リアルタイムの更新が特に有用である。
【０１４６】
各視覚化要素は、ユーザが、要素を表示する方法をどのように変更したいか、または要素に含まれるデータの選択を示す入力、たとえばマウス・クリックを行うのを可能にすることによって、対話型の要素にすることができる。ユーザが、受信する情報の種類、情報の表示形式、ならびに情報を受信する頻度および間隔を構成するのを可能にするように構成機能を設けることができる。
【０１４７】
他の実現態様は特許請求の範囲の範囲内である。
【０１４８】
たとえば、図１５に示されている視覚化要素に関しては、要素の全体的な形状は丸以外であってよく、扇形は簡単なパイ形状以外であってよく、リングは簡単なリング以外であってよく、個々の点は、他のアイコンで置き換えることができ、点または他のアイコンは、中心から他の配置に並べることができ、色以外の可視要素を用いて表示のそれぞれの異なる部分を区別することができる。
【０１４９】
各図面に示されている視覚化要素に関しても広範囲の変形例が可能である。
【０１５０】
付録Ａ
本発明の３つの局面は以下のとおりである。
【０１５１】
１．選択された将来の時間において特定の資産（たとえば、株式）の価格を支配する確率分布を、たとえばＷｏｒｌｄ Ｗｉｄｅ Ｗｅｄサイト上で金融投資家の顧客にリアルタイムに表示することが望ましいことの認識。
【０１５２】
２．容易にリアルタイムに入手可能な、この資産または関連する資産のオプション価格からこのような確率分布を導くことができることの認識。
【０１５３】
３．いくつかの資産価格に同時に関与する確率分布が、いくつかの場合に投資家顧客に有用であり、特に仮説的なシナリオを調査する際に有用であり、上記のような単一資産分布（ただし、上記の分布に制限されない）を、管理可能に求められる多変量分布に有意義に組み込めることの認識。
【０１５４】
この付録では、まず、オプション価格から単一資産の確率分布を導く基本的な方法について説明する。次に、様々な実際的に問題に対処するための、この基本的な方法の改良について説明する。次いで、多変量事例を取り上げ、この種の単一資産確率分布または他の任意の確率分布を多変量事例に拡張するにはどうすべきかを示す。最後に、シナリオの調査に焦点を当てながら、いくつかの新規の多変量用途を検討する。
【０１５５】
１ 基本的な方法
コール・オプションとは、Ｔ日後の所与の満期日に資産（たとえば、株式）をある価格ｘ（ストライク・プライスと呼ばれる）で購入するオプションである。（満期日にのみ行使可能なオプションを「ヨーロッパ・スタイル」オプションと呼ぶ。説明を簡単にするために、この議論では、この種のオプションのみを検討する。^１）。同様に、プット・オプションとは、所与の満期日に資産をストライク・プライスｘで売却するオプションである。（この場合、満期日よりも前には行使できない「ヨーロッパ・スタイル」の仮定はより重要であるが、それほど深い「イン・ザ・マネー」にはないプット・オプションの場合にはやはり無視してよい。）
【０１５６】
^１ 満期日よりも前に行使できる場合でも、大きな配当のない流動的に取引されるコール・オプションは、満期日よりも前には行使できない場合と同様に扱うことができる。というのは、オプションの売却は通常、より優れた方法であり、したがって、このようなコール・オプションはヨーロッパ・スタイルオプションと同様に働くからである。
【０１５７】
ｃ（ｘ）がストライク・プライスｘの資産に対するコール・オプションの価格を示し、ｐ（ｘ）がプット・オプションの価格を示すものとする。このような価格は、オプション証券業者によって確立される。このような価格が、満期日におけるこの資産の価格の確率分布についての、「マーケット・ビュー」に関する情報を暗黙的に含むことが分かった。
【０１５８】
簡単であるが重要な形態では、このマーケット・ビューは以下のように説明することができる。コール価格曲線ｃ（ｘ）またはプット価格曲線ｐ（ｘ）が、すべてのｘ＞０であるストライク・プライスｘの連続関数として与えられたと仮定する。この場合、コール価格曲線またはプット価格曲線の第２の導関数は、満期日における資産価格のリスク・ニュートラル確率密度関数（ｐｄｆ）ｆ（ｘ）についての、マーケット・ビューである。言い換えれば、ｆ（ｘ）＝ｃ’’（ｘ）＝ｐ’’（ｘ）である。
【０１５９】
オプション価格がある種のインプライド確立分布を決定するという考えは、金融関係の文献でかなり良く知られている。連続的なオプション価格曲線の第２の導関数をとることによってｐｄｆを算出できるという考えは、学界の文献で知られているが、それほど良く知られてはいないらしい。たとえば、標準的な文献「オプション、先物取引、および他の導関数（Ｏｐｔｉｏｎｓ， Ｆｕｔｕｒｅｓ， ａｎｄ Ｏｔｈｅｒ Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ）」Ｊｏｈｎ Ｃ． Ｈｕｌｌ著（第４版、１９９９年、Ｐｒｅｎｔｉｃｅ−Ｈａｌｌ）には、インプライド確率が記載されているが、第２導関数方法は記載されていない。見つけ得たうちで最も優れた文献は、それ以前の文献が６つしかないＣ． ＪａｃｋｗｅｒｔｈおよびＭ． Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉｎ著「オプション価格からの確率分布の回復（Ｒｅｃｏｖｅｒｉｎｇ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｏｐｔｉｏｎ ｐｒｉｃｅｓ）、Ｊ． Ｆｉｎａｎｃｅ、第５１巻、１６１１ページ〜１６３１ページ（１９９６年）である。
【０１６０】
（一定の詳細の時間Ｔにおける一定の資産についての）リスク・ニュートラル分布は、市場参加者がリスクに対して中立的である（一般にそうではない）場合に成立する価格分布として定義されている。しかし、ブラック−ショウルズ・オプション理論および上記のＨｕｌｌの文献に記載されている変形例の大部分の基礎となる理論のような、多くの資産価格決定理論では、単にリスク・ニュートラル分布ｆ（ｘ）を適切な危険プレミアムだけ調整することによってリスク・ニュートラル分布ｆ（ｘ）から危険回避資産価格分布を得ることができる。配当がない場合、真の分布はｆ（ｘｅ^{（ μ −ｒ）Ｔ}））に過ぎない。この場合、μ−ｒは、危険なき利子率ｒを超えるこの株式の予想される年間利益率である。我々は、配当が得られるようにわずかに修正された（以下参照）、この簡単なフォーマットの変形例を使用する。ただし、本発明は、より複雑な調整も取り扱うことができる。このフォーマットでは、依然としてμ−ｒの値を供給しなければならない。本発明では、ＧｒｉｎｏｌｄおよびＫａｈｎの文献「アクティブなポートフォリオ管理（Ａｃｔｉｖｅ Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ）」（１９９５年）から得た「コンセンサス推定値」をデフォルトとして使用する。これらの著者は、危険プレミアムの長期平均値を年当たり６％とし、この数に株式のβを掛けてμ−ｒを得ることを提案している。パラメータβは、Ｓ＆Ｐ５００とされることが多い市場ポートフォリオに対する関心対象の株式の回帰を与える線の勾配である。これは、予想される余分な利益についての公知のＣＡＰＭ推定値である。良くも悪くも、この推定値は、コンセンサス推定値の特徴を有するため、マーケット・ビューを与えるという本発明の目的に適合する。ただし、これはデフォルトに過ぎない。本発明は、確率のリスク・ニュートラル構成要素を与える発明であり、危険回避調整パラメータμ−ｒについての他の推定値およびリスク・ニュートラル確率密度を危険回避確率密度に調整するための任意の明示的な方式を取り扱うことができる。比較的短い期間、場合によっては１か月または２か月の場合、必要なリスク調整が、小規模であり、一般に、リスク・ニュートラル分布自体の変動によって圧倒されることを指摘しておきたい。
【０１６１】
第２導関数手順が正しいリスク・ニュートラル確率分布を与えることを簡単に照明する。Ｈｕｌｌと同様に、ヨーロッパ・コール価格またはプット価格をリスク・ニュートラル分布における期待値として算出することができる。
【０１６２】
満期日の資産の実際の値がυである場合、ストライク・プライスｘでのコール・オプションの価値はｍａｘ｛υ−ｘ， ０｝であり、プット・オプションの価値はｍａｘ｛ｘ−υ， ０｝である。実際の値がｐｄｆ（υ）を有する確率変数である場合、満期日におけるｘでのコール・オプションの予想される価値は次式：
【数１０】

で表され、満期日におけるｘでのプット・オプションの予想される価値は次式：
【数１１】

で表される。
【０１６３】
現在の価値ｃ（ｘ）およびｐ（ｘ）は、ｃ_Ｔ（ｘ）およびｐ_Ｔ（ｘ）をｅ^−ｒＴだけ値引きすることによって得ることができる（ｒは危険なき利子率である）。しかし、本工程では、時間Ｔにおける確率分布を予測し、値引きは行わず、したがって、単にｃ（ｘ）＝ｃ_Ｔ（ｘ）、ｐ（ｘ）＝ｐ_Ｔ（ｘ）と書く。
【０１６４】
さらに、これらの式から、以下のことが分かる。
【数１２】

式中、ｓ＊ ＝ Ｅ_υ［υ］は、リスク・ニュートラル分布の下での満期日における資産の予想される価値である。（配当がない場合、ｓ＊ ＝ ｓｅ^ｒＴであり、配当がある場合、一般に、配当の時間Ｔにおける価値をｓｅ^ｒＴから引く必要がある。）この公知の関係は、プット−コール・パリティと呼ばれ、いずれの価格曲線も同じ情報を保持する理由を示す。
【０１６５】
ｃ（ｘ）についての上記の式から、第１の導関数は次式のように表される。
【数１３】

式中、

は、確率変数υの累積分布関数（ｃｄｆ）である。このことを証明するために、

であることに注目する。したがって、次式が成立する。
【数１４】

式中、変数υ、ｚを相互交換して二次元領域Ｒ＝｛（υ，ｚ）：ｘ≦ｚ≦υ｝について積分する。この式は、ｃ’（ｘ）＝−（１−Ｆ（ｘ））であることを暗示している。
【０１６６】
プット−コール・パリティから、同様に、次式が成立する。

【０１６７】
ｃｄｆとｐｄｆはＦ’（ｘ）＝ｆ（ｘ）によって関係付けられるので、これらの式は、ｃ（ｘ）またはｐ（ｘ）の第２の導関数がｐｄｆ ｆ（ｘ）であることを暗示する。

【０１６８】
したがって、オプション価格曲線ｃ（ｘ）およびｐ（ｘ）の一般的な特徴は以下のとおりである。
【０１６９】
・υの最小値よりも小さな（すなわち、Ｆ（ｘ）＝０であるような）すべてのｘについて、ｃ（ｘ）＝Ｅ_υ｛υ｝−ｘ＝ｓ＊−ｘおよびｐ（ｘ）＝０である。言い換えれば、ｃ（ｘ）は、ｃ（０）＝Ｅ_υ｛υ｝＝ｓ＊から始まる勾配−１の直線であり、一方、ｐ（ｘ）＝０である。
・υの最大値よりも大きな（すなわち、Ｆ（ｘ）＝１であるような）すべてのｘについて、ｃ（ｘ）＝０およびｐ（ｘ）＝ｘ−ｓ＊である。言い換えれば、ｐ（ｘ）は、勾配＋１およびｘ切片ｓ＊の直線であり、一方、ｃ（ｘ）＝０である。
・この２つの線分は、勾配が、ｃ（ｘ）については−１から０まで大きくなり、ｐ（ｘ）については０から＋１まで大きくなる連続する凸状Ｕ曲線によって結ばれる。
【０１７０】
ｐｄｆ ｆ（ｘ）の平均Ｅ_υ｛υ｝がｓ＊であり、原価格ｓの時間Ｔにおける将来のドル単位の価値（から配当の価値を引いた値）は、オプションにおける市場の活動がない場合にも、オプション価格を、基本価格ｓの変化を反映するように絶えず調整しなければならないことを暗示する。
【０１７１】
ｓ＊＝Ｅ_υ｛υ｝であることは、オプション価格曲線では原価格ｓの概略的な方向を予測できないことも暗示している。しかし、オプション価格曲線は、ｐｄｆ ｆ（ｘ）の形状および特にそのボラティリティを予測する。
【０１７２】
１．１ 呼び値の有限部分集合に基づく近似
実際には、オプション価格ｃ（ｘ）およびｐ（ｘ）は、等間隔に設定されたストライク・プライスｘの有限部分集合についてのみ決定され、すなわち、整数ｎおよび間隔Δについてｘ＝ｎΔである。ｃ（ｎΔ）およびｐ（ｎΔ）をそれぞれｃ_ｎおよびｐ_ｎによって示す。さらに、付け値は呼び値スプレッドのみを指定し、厳密な価格は指定しない。この節では、これらの問題に対処する方法を示す。（Ｊａｃｋｗｅｒｔｈ−Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉｎの論文（ｏｐ． ｃｉｔ．）の大部分はこれらの種類の曲線あてはめ問題に関する。）
【０１７３】
ｘ＝（ｎ＋１／２）Δにおける第１の導関数ｃ’（ｘ）およびｐ’（ｘ）は第１の差によって推定することができる。
【数１５】

【０１７４】

の対応する推定値は次式で表される。
【数１６】

【０１７５】
したがって、ヨーロッパ・スタイルのプットとコールの両方の買い呼び値および売り呼び値を用いて、ｃｄｆ

の４つの異なる推定値を算出し、次いでこれらを単一の推定値として組み合わせることができる。この組合せは好ましくは、ｘ＝（ｎ＋１／２）Δが原価格ｓよりもずっと少ない（「ディープ・アウト・オブ・ザ・マネー」）か、ｓに近い（「ニア・ザ・マネー）か、ｓよりもずっと多い（「ディープ・イン・ザ・マネー」）どうかを、これらの異なる範囲において呼び値を設定するそれぞれの異なるパターンに従って考慮する。さらに、ディープ・イン・ザ・マネー・プットのようにオプションが満期日よりも前に行使される可能性が高い場合に価格に近い付け根を回避することも考慮される。
【０１７６】
同様に、ｘ＝ｎΔにおける第２の導関数ｃ’’（ｘ）およびｐ’’（ｘ）は、第１の導関数の推定値の第１の差によって推定することができる。たとえば、次式が成立する。
【数１７】

ｐｄｆ ｆ（ｎΔ）の推定値

として

あるいは上記のようなある組合せをとることができる。
【０１７７】
ｆ（ｘ）≧０であるので、オプション価格がふくらみ条件を満たし、たとえば、すべてのコール・オプション価格についてｃ_{ｎ ＋ １}−２ｃ_ｎ＋ｃ_ｎ−１≧０であることに留意されたい。実際、この条件に違反すると、（ｎ＋１）Δにおいて１つのコール・オプションを購入し、（ｎ−１）Δにおいて別のコール・オプションを購入し、ｎΔで２つのコール・オプションを売却することを含む危険なき「バタフライ・サドル」を介して、利益を上げることができる。同様な結果がプット・オプションにも成り立つ。
【０１７８】
１．２ 動的推定値
前節で検討した方法では、特定の時間における静的な１組のオプション付け値に基づいて、ｘのΔ間隔の値の部分集合におけるｃｄｆおよびｐｄｆを推定することができる。
【０１７９】
しかし、前述のように、オプション価格は、原価格ｓの変化に応じて連続的に変化しなければならない。ｓ＊が満期日における対応する先物価格を示すものとする（利息を有すると評価されたｓ）。（満期日においてドル単位で測定された）この価格が少額、たとえば、その対数における増分εだけ増加（または減少）し、ボラティリティがほとんどまたはまったく変化しないと仮定する。この場合、εは、概ね、（先物）株価の移動δによって生じる移動率δ／ｓ＊とみなすことができる。この状況では、株価の「先物」確率分布が単に、対数ドメインにおいてεだけシフトすることが予想される。すなわち、分布は、平均がεだけシフトすることを除いてそこでは同一であるように見える。したがって、ｘ＝ｅ^ｌｎｘにおける新しいｃｄｆの値はＦ（ｅ（^{ｌｎｘ− ε}））＝Ｆ（ｘ／ａ）である。この場合、Ｆは、分布平均ｓ＊を有する最初のｃｄｆを示し、ａ＝ｅ^εである。微分に対して同じ効果をもたらす合理的なコール価格関数式は以下のとおりである。
ａｃ（ｓ＊， ｘ／ａ） ＝ ｃ（ａｓ＊， ｘ）
式中、ｃ（ｓ＊， ｘ）は、原資産の価格がｓである場合の、ストライク・プラスｘのコール・オプションの、満期日のドル単位の価格を示す。この数式では、ボラティリティのような他のすべての変数が同じであり、このことが、非常に小さな値のεについても近似的にのみ真であると仮定されることに留意されたい。
【０１８０】
しかし、この近似を仮定すると、ａが１に近い場合に（先物）価格がａｓ＊まで移動した場合に測定されたストライク・プライスｘのオプション価格を、その代わりにストライク・プライスｘ／ａのオプションの価格のａ倍になるが、現在の原価格ｓ＊に対応する価格とみなすことができる。オプションに頻繁に付けられるすべてのストライク・プライスを考慮し、加法的に考えると、概ね等間隔に設定されたストライク・プライスの異なる部分集合、すなわち、様々な値のδ＝εｓ＊に対する概ねｘ＝ｎΔ−δについてｃ（ｘ）（およびｐ（ｘ））を観測することができる。もちろん、オプション価格と原資産価格の同時性に留意しなければならない。このため、ｎΔの値（様々な標準ストライク・プライス値に対応する）を別個に考慮し、所与のストライク・プライスでのオプションの観測される売却時を原証券と同期させることが好ましい。εに対するインプライド・ボラティリティの変化が小さくなるようにインプライド・ボラティリティ（後述）を監視することができる。
【０１８１】
上記のパラグラフで説明したのと同様な技術を用いれば、短いストライク間隔を使用し、かつ短い時間間隔または時系列法（過去ではなく現在に重みを付ける時間平均）を使用して、所与のストライク・プライスについての意味のある平均オプション価格を算出することもできる。この節で説明した枠組みがないと、平均を求める期間内に株価が変動した場合に所与のストライク・プライスの「平均」オプション価格の計算に問題が生じることに留意されたい。
【０１８２】
要約：原価格が十分に移動すると仮定した場合、ずっと微細に量子化された部分集合について、効果的に価格を観測し、上記のように推定値を算出し、平均化法によって精度を改善するための枠組みを提供することができる。
【０１８３】
２ 補外および平滑化の方法
前節の基本的な方法には２つの重要な制限がある。１つは、オプション付け値がある満期日にしか利用できないことである。もう１つは、それほど自明のことではないが、オプション付け値が主として、実質的な市場活動があるオプションの場合に信頼できる付け値になることである。これは通常、ニア・ザ・マネー（原価格）にあるストライク・プライスの短期オプションである。
【０１８４】
本発明の予測方法を満期日以外の時間およびより広い範囲のストライク・プライスに拡張する（かつ本発明の表示における「ノイズ」を少なくする）ために、補外技術および平滑化技術を使用する。ボラティリティ・ドメインで補外および平滑化を行うと有利であることが判明している。
【０１８５】
この利点には多数の理由がある。たとえば、オプション行使者は、様々な市場における歴史的ボラティリティ曲線（「ボラティリティ・スマイル」と呼ぶこともある）の形状の種類と、このような曲線が経時的にどのように変動するかを十分に認識しており、これを、可能なアーチファクトのオーバーフィットを防止する構造を平滑化曲線に課すための手引きをすることができる。オプション価格によって暗示されるボラティリティについて多数の記録が維持されており、過去において価格の挙動と共にボラティリティがどのように変化したかを調べることは容易である。たとえば、シカゴ・オプション取引所では、１９８６年までのＳ＆Ｐ １００オプションについてのこの取引所の平均ニア・ザ・マネー・ボラティリティ指数（現在ではＶＩＸと呼ばれている）を公表している。最後に、すべてがかなり類似している近対数正規分布ｐｄｆの視覚的な差よりも、理論的にはｆ（ｘ）が対数正規分布である場合に平坦であるボラティリティ曲線を視覚的に処理した方が容易である。数学的には、単に低多項近似の係数を変えることにより、対応するｃｄｆまたはｐｄｆについてのべき級数におけるより高次の項が影響を受けるにもかかわらず、ボラティリティ・ドメインでモデルを改善することができる。
【０１８６】
以下の節で、ボラティリティ・ドメインでの処理について詳しく説明する。
【０１８７】
２．１ 対数正規ｐｄｆ
オプション価格決定の標準ブラック−ショウルズ理論（前述のＨｕｌｌを参照されたい）により、ｌｎυが、分散σ^２Ｔを有するガウス（正規）確率変数であるような、Ｅ_υ［υ］＝ｓ＊である対数正規分布ｐｄｆ ｆ（υ）が得られる。この場合、パラメータσは資産のボラティリティ・レートと呼ばれ、Ｔは満期までの時間である。対数正規分布の標準的な特性により、このことは、ｌｎυの平均値がＥ_υ［ｌｎυ］＝ｌｎ ｓ＊−σ^２Ｔ／２であることを暗示する。
【０１８８】
このｐｄｆから、以下の有名なブラック−ショウルズ・コール・オプション価格決定公式［Ｈｕｌｌ、付録１１Ａ］が得られる。
【数１８】

式中、Ｎ（ｄ_１（ｘ））およびＮ（ｄ_２（ｘ））は、以下の点で平均零および分散１のガウス確率変数の累積分布関数の値である。
【数１９】

（本発明によるコール価格が値引きされず、時間Ｔにドル単位で与えられ、ｓ＊が、時間Ｔにおけるドル単位の本日の株価からあらゆる配当の価値を引いた値であることを想起されたい。）

がｌｎυの標準偏差であり、したがって、−ｄ_２（ｘ）が、平均値Ｅυ［ｌｎυ］からの標準偏差で測定されたｌｎ ｘに過ぎないことに留意されたい。
【０１８９】
同様に、プット・コール・パリティにより、以下のブラック−ショウルズ・プット・オプション価格決定公式が得られる。
【数２０】

【０１９０】
ｘに関する導関数をとり、ｓ＊Ｎ’（ｄ_１（ｘ））＝ｘＮ’（ｄ_２（ｘ））およびｄ’_１（ｘ）＝ｄ’_２（ｘ）（この数式は、一定のボラティリティを仮定することによって成立する。以下ではこの仮定を使用しない）を使用すると、次式が得られる。
【数２１】

この場合、Ｆ（ｘ）は、ｌｎυ≦ｌｎ ｘである確率に等しいυ≦ｘである確率であり、ｌｎυ≦ｌｎυは、ｌｎυが平均値Ｅυ［ｌｎυ］および標準偏差

を有するガウス分布であるため、次式によって与えられる。
【数２２】

したがって、ブラック−ショウルズ価格決定公式が正しいｃｄｆ Ｆ（ｘ）を与えることが証明された。したがって、Ｆ（ｘ）の導関数によって正しい対数正規分布ｆ（ｘ）＝Ｆ’（ｘ）が得られる。
【０１９１】
２．２ 一般的なｃｄｆの特徴付け
次に、Ｆ（ｘ）をＲ＋に対する任意のｃｄｆ、すなわち、ｘが０から無限に大きくなるにつれて０から１まで単調増加する関数とする。説明を簡単にするために、Ｆ（ｘ）は厳密に単調に増加し、すなわち、あるゆる個所でｆ（ｘ）＝Ｆ’（ｘ）＞０であると仮定する。その場合、あらゆる個所でＦ（ｘ）＝Ｎ（ｙ（ｘ））になるような、連続的な１対１の「ワーピング関数」ｙ： Ｒ＋→Ｒが存在し、すなわち、ｃｄｆ Ｆ（ｘ）を有する確率変数υがυ≦ｘを満たす確率は、平均零および分散１を有する標準ガウス・確率変数がｎ≦ｙ（ｘ）を満たす確率に等しい。同様に、Ｆ（ｘ（ｙ））＝Ｎ（ｙ）になるような逆ワーピング関数ｘ（ｙ）が存在する。
【０１９２】
ワーピング関数ｙ（ｘ）が与えられた場合、ｃｄｆ Ｆ（ｘ）は関係式Ｆ（ｘ）＝Ｎ（ｙ（ｘ））から取り出すことができる。したがって、ｃｄｆ Ｆ（ｘ）はワーピング関数ｙ（ｘ）を完全に特定し、逆もまた同様であり、すなわち、両方の曲線は共に同じ情報を伝える。
【０１９３】
Ｆ（ｘ）が、前節のようにｌｎ υが平均Ｅ_υ［ｌｎυ］＝ｌｎ ｓ＊−σ^２Ｔ／２および分散σ^２ _υ＝σ^２Ｔを有するような対数正規変数υのｃｄｆである場合、ワーピング関数は次式によって与えられる。
【数２３】

このため、ｄ_２（ｘ）についての上記の右側の式が成立しないようにｃｄｆが対数正規分布でない場合でもｙ（ｘ）を−ｄ_２（ｘ）と書くことがある。
【０１９４】
２．３ インプライド・ボラティリティ
ｆ（ｘ）が対数正規分布でない場合、ブラック−ショウルズ価格決定公式は成立しない。それにもかかわらず、オプション価格ｃ（ｘ）またはｐ（ｘ）が与えられた場合、インプライド・ボラティリティσ（ｘ）を、所与のｘ、ｓ、およびＴについてブラック−ショウルズ価格決定公式が成立するようなσの値として定義するのが一般的である。
【０１９５】
このように定義されたインプライド・ボラティリティ曲線σ（ｘ）は、ｐｄｆ ｆ（ｘ）が実際に対数正規分布である場合にのみ一定であるストライク・プライスｘの関数である。実際、インプライド・ボラティリティ曲線は通常、「ボラティリティ・スマイル」と呼ばれる凸状Ｕ曲線である。たとえば、Ｈｕｌｌの第１７章を参照されたい。
【０１９６】
第２．１節から、以下のようにインプライド・ボラティリティを算出する第２の方法があることが分かる。ｃｄｆ Ｆ（ｘ）の推定値があると仮定する。ｃｄｆが暗示されたボラティリティσ_１（ｘ）を、所与のｘ、ｓ、およびＴについてブラック−ショウルズｃｄｆ公式Ｆ（ｘ）＝Ｎ（−ｄ_２（ｘ， σ， Ｔ））が成立するようなσの値として定義する。
【０１９７】
第１の方法は、生価格データから直接定義され、金融界で十分に理解されるという利点を有する。しかし、第２の方法は以下の利点を有する。
【０１９８】
１．少なくともＦ（ｘ）の推定値からの計算が容易である。
２．ボラティリティとｃｄｆ Ｆ（ｘ）との関係としてより簡単で明らかにより直感的な関係が与えられる。従来のインプライド・ボラティリティσ（ｘ）を使用した場合、この関係は次式のようになる。
【数２４】

３．以下に展開する多変量理論によりうまく適合する。
【０１９９】
２つの曲線σ（ｘ）とσ_１（ｘ）が、少なくともその勾配の方向に関してかなり類似しているようであり、全体的に値「ニア・ザ・マネー」においてそれほど離れていないことが分かった。また、σ（ｘ）が零勾配を有する場合はいつでもσ_１（ｘ）＝σ（ｘ）である。ただし、勾配σ’（ｘ）が負である（株式の場合に起こることが多い）場合にはσ_１（ｘ）はσ（ｘ）よりもわずかに小さい。上記の数式を参照されたい。最後に、一方の関数は他方の関数と同程度にアドホックである。したがって、上記の理由で、ｃｄｆが暗示されたボラティリティ曲線σ_１（ｘ）を用いることが一般に好ましい。
【０２００】
いずれの場合も、σ（ｘ）とσ_１（ｘ）のいずれかが曲線ｃ（ｘ）、ｐ（ｘ）、Ｆ（ｘ）、またはｆ（ｘ）のいずれかと同じ情報を含むことは明らかである。σ（ｘ）またはσ_１（ｘ）から、ブラック−ショウルズ・コール・オプション価格決定公式またはｃｄｆ公式を用いてｃ（ｘ）またはＦ（ｘ）を回復することができ、これから他のすべての曲線を得ることができる。
【０２０１】
２．４ ボラティリティ・ドメインにおける補外および平滑化
ボラティリティ曲線σ（ｘ）またはσ_１（ｘ）を、対応する曲線ｃ（ｘ）またはｐ（ｘ）から点ごとに算出し、ストライク・プライスｘの有限部分集合における１組の値を得ることができる。これらの値のそれぞれはある信頼度を有するとみたすことができる。
【０２０２】
この場合、標準的な問題では、平滑化され補外された曲線

または

がこれらの点に、それらの相対的な信頼性を考慮してあてはめられる。任意の標準的な平滑化・補外方法を使用することができる。一般に、オーバーフィットまたはオーバースムージングを回避する通常の問題に対処しなければならない。
【０２０３】
インプライド・ボラティリティも経時的に変動することが公知である。一般に、ブラック−ショウルズ公式、たとえば、ｃ（ｘ）＝ｃ（ｘ，σ，Ｔ）またはＦ（ｘ）＝Ｎ（−ｄ_２（ｘ，σ，Ｔ）における定数ボラティリティσの代わりとして曲線

または

を推定することが望ましい。
【０２０４】
特に意義のある例として、「インプライド・ボラティリティ関数：経験的試験（Ｉｎｐｌｉｅｄ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ： Ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ｔｅｓｔｓ）」Ｂ． Ｄｕｍａｓ、Ｊ． Ｆｌｅｍｉｎｇ、およびＲ． Ｅ． Ｗｈａｌｅｙ、Ｊ．Ｆｉｎａｎｃｅ、第５３巻、２０５９ページ〜２１０６ページ、１９９８年１２月で使用された種類の平滑化アルゴリズムによって実験を行った。これらの著者は、オプション価格決定におけるボラティリティの役割に関する理論を試験する（かつ覆す）「ストローマン」オプション価格モデルを確立するために、インプライド・ボラティリティ曲線σ（ｘ）をあてはめた。Ｄｕｍａｓらの「ストローマン」オプション価格決定モデルｃ（ｘ）は、結果として得られる平滑化された曲線をブラック−ショウルズ・コール公式に戻すことによって得られた。これは、「ストローマン」アドホック・モデルである。なぜなら、株式が「見る」ことのないストライク・プライスと共に変動する直感的な株式ボラティリティ概念は存在しないからである。それにもかかわらず、Ｄｕｍａｓらのモデルは見事に機能し、予測の点では、極めて重視されている「インプライド・ツリー」法を上回った。１つの可能な説明として、Ｄｕｍａｓらのモデルは、オプション市場の行使者によって実際に使用されるいる補間方法を平滑に模倣したモデルであるという説明がなされた。（上記で引用したＨｕｌｌの「ボラティリティ行列」についての議論を参照されたい。）このようなオプション価格決定手法は、精度が高く、かつその根本原理がマーケット・ビューを表すので本発明に理想的な手法のように思える。したがって、本発明では、Ｄｕｍａｓ−Ｆｌｅｍｉｎｇ−Ｗｈａｌｅｙモデルを、確率分布の予測という本発明自体のまったく異なる目的に使用する。必要なのは、本発明に好都合なことに、ストライク・プライスと、時間、現在の株価、関心対象の危険なき利子率などの他の標準変数との平滑関数である、Ｄｕｍａｓらのコール価格モデルを微分することだけである。ｃｄｆ Ｆ（ｘ）の公式は、前述のように、この導関数から１を引いた式か、または次式：
【数２５】

である。これを非常に明示的な式にすることができる。
【数２６】

式中、Ｎ’（ｚ）は標準正規密度を示し、一方、σ’（ｘ）は、Ｄｕｍａｓ−Ｆｌｅｍｉｎｇ−Ｗｈａｌｅｙがあてはめられたボラティリティ曲線を微分することによって算出することができる。このボラティリティ曲線は以下の形式を有する。

【０２０５】
係数｛ａ_ｉ｝は回帰によって求められる。この種の二次曲線あてはめは容易に実現される。Ｄｕｍａｓ−Ｆｌｅｍｉｎｇ−Ｗｈａｌｅｙは、Ｄｕｍａｓらのボラティリティが０よりも小さく（場合によっては０．０１よりも小さく）なるのを妨げるために制約を課しており、本発明ではさらに、最終的なｃｄｆが零より小さくなることも大きくなることもないように補外（補外を行うとＤｕｍａｓらの試験の範囲を超えることが多い）に対して制約を課した。たとえば、導関数を得る必要のない時間ドメインで線形補間を用いて、Ｄｕｍａｓらの基本的な手法に対して他の変形を試みた。本発明の方法はもちろん、場合によってはかなり異なる、ボラティリティ曲線あてはめに対するあらゆる手法を対象としている。ただし、一般的なＤｕｍａｓ−Ｆｌｅｍｉｎｇ−Ｗｈａｌｅｙ手法は、ボラティリティ曲線あてはめに有利な多くの特性、すなわち、精度、ブラック−ショウルズの市場での使用に対する適合性、平滑度（特に微分可能性）、ボラティリティ曲線のスマイル構造に関する歴史的経験に対する適合性（補外には特に重要）、単純さ（実現の容易さを超えた場合、オーバーフィットを回避する助けになる）などの特性を有している。これらの利点は、このようなボラティリティ曲線が導入された論文では考慮されなかった確率に関して実現される。
【０２０６】
３ 多変量事例
前節の方法は、任意のオプション付き資産についての生の確率分布または平滑化され補外された確率分布の表示を生成することができる。オプション価格は、多数の証券とＳ＆Ｐ ５００のようなある指数に対して設定される。
【０２０７】
しかし、投資家は、以下のことについての詳細な確率分布を知ることを望む。
・自分のポートフォリオ全体
・ミューチュアル・ファンド
・相場オプションのない証券
・仮説的なシナリオにおける証券
【０２０８】
これらの問題のすべてにおいて、いくつかの証券が同時に検討されると共に、それらの証券が価格を同時に構成する確率が検討される。これが、上記の２つの項目を検討することであることは明らかであるが、第３の項目にも関係しており、その場合、相場オプションのない証券に関するできるだけ多くの情報を、相場オプションを有する、この証券と相関を持つ証券から抽出する必要がある。最後に、シナリオ分析では、最も影響を受ける証券のポートフォリオの変化によってモデル化することのできる市場に影響を与える因子の変化を含む、いくつかの証券価格が一度に発生する確率を検討する多くの問題がある。これらの問題のすべてを本書の残りの部分で取り上げるが、まず基本事項について説明することにする。
【０２０９】
証券のポートフォリオまたはミューチュアル・ファンドの場合、本発明では以下の形式の複合資産に注目する。

式中、ｘ_ｉは、ｃｄｆ Ｆ（ｘ_ｉ）またはｐｄｆ ｆ（ｘ_ｉ）を個別に知っているすべての資産である。この知識を得るのに特定の手順に使用しなくても、本発明の方法の融通性を最大にすることができる。ただし、本発明では前の２節の手法を使用する。しかし、相場オプションを有する証券または指数でも、ボラティリティ曲線に完全にあてはまるのに十分なオプション活動があるように思えない場合があり、より粗な代替手法、場合によっては、利用可能なインプライド・ボラティリティの平均に基づく平坦な直線を使用することがある。さらに、監視中のいくつかの資産がまったく相場オプションを有さない確率を許容すると好都合である。これは、たとえば、歴史的ボラティリティ値を有する平坦なボラティリティ曲線を用いて容易に対処される。試験および比較のために、場合によっては、このように与えられたすべてのボラティリティ曲線を有する資産のリストを検討することができる。いずれの場合も、本発明の方法は非常に一般的なものであり、すべてのｉについてＦ（ｘ_ｉ）＝Ｎ（ｙ_ｉ（ｘ_ｉ））であるようなワーピング関数ｙ_ｉ（ｘ_ｉ）が分かるだけでよい。資産がアクティブなオプション市場を有する場合、まず第２．２節のようにオプション価格データ（の有限差額）から直接Ｆ（ｘｉ）を推定するか、あるいはボラティリティ・ドメインで補外および平滑化を行う、第２節の後半で論じる手法を用いることによって、ワーピング関数を求めることができる。後者の場合、
【数２７】

としての、あてはめられたボラティリティ曲線

で表したワーピング関数ｙ_ｉ（ｘ_ｉ）の明示的な形式があり、この数式は、取り引きされるオプションをほとんどまたはまったく有さない可能性のある上記の資産を有する任意のボラティリティ曲線と共に使用することもできる。以下の節では、場合によっては長い位置および短い位置を含む、対数ドメインにおけるポートフォリオについて論じる。これらの位置を標準正規位置に直接ワープし、平均値を引き、標準偏差で割ることが可能である。あるいは、本発明の表記を一様に維持するために、−ｄ_２（ｘ_ｉ）によって（観測された歴史的ボラティリティをσ_１（ｘ）に使用して）このワープされた値が得られるような価格ｘ_ｉを有する資産を考案することができる。しかし、本発明で説明する方法が、各変数ごとに異なるワーピング関数が用いられる場合でも、あらゆる単一変数ワーピング関数を取り扱うことに留意されたい。他の本質的な要素は、以下に論じる結合正規分布を使用することだけである。
【０２１０】
一般的な問題は、完全な１組の変数（ｘ_１， ．．． ｘ_ｎ）の多変量確率分布を求めるか、またはこれらの変数の対数の多変量確率分布を同様に求めることである。ブラック−ショウルズの枠組みを一般化した簡単な金融モデルでは、対数変数の多変量分布は多変量（すなわち、結合）正規分布である。ＭｕｓｉｅｌａおよびＲｕｔｋｏｗｓｋｉ著「金融市場におけるＭａｒｔｉｎｇａｌｅ法（Ｍａｒｔｉｎｇａｌｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｍａｒｋｅｔｓ）」（１９９９年）を参照されたい。このことは、これらの対数変数のすべてのポートフォリオが結合正規分布であり、これらのポートフォリオを他の対数変数およびそのポートフォリオと共に使用して結合正規分布を形成することもできることを示している。したがって、必要に応じて、ＢＡＲＲＡ（または機能的に等価の）係数を、本発明のモデルにおける単一（対数）変数として使用し、たとえば、歴史的ボラティリティに基づくこれらの変数の個々の正規分布を使用するのが合理的である。これらの係数は、会社の基礎的諸条件、場合によっては利子率などのマクロ経済変数を表すことができる。このような係数についてはこれ以上論じないが、やはりこのような係数を証券収益のポートフォリオとして密に近似するにはどうすべきかについて説明する、上記で引用したＧｒｉｎｏｌｄおよびＫａｈｎの著書を参照されたい。本発明では、ＢＡＲＲＡ係数を直接使用せず、オプション付き証券の世界にできるだけとどまり、主としてオプション付き証券から成るポートフォリオの近似に関してＢＡＲＲＡ係数を伴う問題に対処することが好ましい。（しかし、試験および比較のために、この場合も、これらの係数を直接含めると有用であり、本発明ではそれが可能である。）
【０２１１】
次に、本発明では、オプション市場に基づく本発明の単一変数分布からの非対数正規入力を直接可能にすることのない簡単な多次元ブラック−ショウルズ・モデルのみを使用することは望ましくない。同時に、個々の資産に対するオプション価格では、各資産がどのように相互作用するか、特に各資産の相関に関しては何も分からない。好都合なことに、相関は過去の（歴史的）データから推定することができ、標準化された（標準偏差１を有する）データの共分散とみなすことができる。各多変量正規分布は、その平均行列および共分散行列によって求められる。したがって、自然な手法では、個々の分布を用いて変数が標準正規分布に変換または「ワープ」され、次いで相関行列に基づく多変量正規構造が課される。この手順は、様々な個々の変数ごとに異なる個々のワーピング関数から独立した手順であり、特に、アクティブなオプション市場を有する証券を表す個々の変数についての本発明の市場ベースのオプション分布を組み込むことができる。わずかに異なる手法では、ワープされた変数同士の相関が使用される。この手順は精度が向上する可能性が高いが、計算時間が長くなる可能性がある。
【０２１２】
いくらか詳しく説明する。前述のように、υ_ｉをｘ_ｉの第２の表記として用いると、前者は一定の値に好ましく、後者は変数として好ましいので、表記的に好都合である。Ｃを、エントリが相互相関である対数変数の歴史的相関行列（ｌｎ υ_１， ．．．， ｌｎυ_ｎ）とする。
【数２８】

その場合、すべての対角項ρ_ｉｉが１に等しく、Ｃは、ここでは非特異（正値）であると仮定される正の準定符号共分散行列である。この代わりに、ワープされた変数の相関を使用する場合、単に次式のようになる。
ρ_ｉｊ＝Ｅ（ｙ_ｉｙ_ｊ）
【０２１３】
Ｆ_Ｃ（ｙ_１， ．．．， ｙ_ｎ）を、平均零および共分散行列Ｃを有する多変量ガウス・確率変数のｃｄｆとして定義する。したがって、Ｆ_Ｃ（ｂ_１， ．．．， ｂ_ｎ）は、各変数ｙ_ｉがある値ｂ_ｉ以下である確率である。各ｙ_ｉがａ_ｉ≦ｙ_ｉ≦ｂ_ｉ確率を与えるＦ_Ｃ（ａ_１， ．．．， ａ_ｎ； ｂ_１， ．．．， ｂ_ｎ）のようなより精巧な関数がある。単一変数の場合、このような関数は、２つの項を含む単一の引き算によって簡単なｃｄｆから得られるが、対応する２変量事例は４つの項を含み、ｎ次元には２^ｎ個の項がある。しかし、これらのより精巧なｃｄｆはそれぞれ、簡単なｃｄｆとまったく同じように、整数として直接算出することができる。これらのより精巧なｃｄｆは、場合によっては高次元でモンテ・カルロ計算に必要になるので、それらを直接算出されるものとみなすのが最もよい。
【０２１４】
次に、次式のように多変量分布ｃｄｆを定義する。

および

式中、ｙ_ｉ（ｘ_ｉ）は個々の変数についての既知のワーピング関数である。多少言葉の濫用になるが、上記の関数をすべて考慮するにもかかわらずＦ（ｘ_１， ．．．， ｘ_ｎ）を「ｃｄｆ」と呼び、Ｆ（ｘ_１， ．．．， ｘ_ｎ）を分布全体の代わりに使用すると好都合である。その場合、この多変量分布ｃｄｆは以下の特性を有する。
【０２１５】
・Ｆ_Ｃ（ｚ_１， ．．．， ｚ_ｎ）の周辺分布は平均０および分散１を有するガウス分布であるので、Ｆ（ｘ_１， ．．．， ｘ_ｎ）の周辺分布はＮ（ｙ_ｉ（ｘ_ｉ））＝Ｆ（ｘ_ｉ）に等しい。すなわち、各単一変数モデルに従って正しい。
・対数変数（ｌｎυ_１， ．．．， ｌｎυ_ｎ）が実際に結合ガウス分布である場合、多変量分布ｃｄｆ Ｆ（ｘ_１， ．．．， ｘ_ｎ）は正しい。
【０２１６】
要するに、真の結合分布は、各変数の周辺分布が、選択された単一変数モデルに従って（たとえば、オプション付き証券の本発明の単一変数モデルに従うか、歴史的ボラティリティを用いた対数正規モデルに従って）正しくなるように各変数に対するワーピング関数と組み合わされた、歴史的相関を用いた結合対数正規分布によって近似される。単一変数は実際にはポートフォリオであり、ポートフォリオ利益についてのデフォルト分布は、歴史的ボラティリティに基づく対数正規分布であってよい。この多変量分布理論は、単一変数理論と標準多変量（対数）ガウス・モデルの両方を一般化した理論である。この理論の場合も、構成要素がアクティブなオプション市場を有する範囲で、オプション価格による市場入力が可能になるが、非オプション証券が除外されず、単一変数としてのポートフォリオも許容される。このようなＢＡＲＲＡ（または機能的に等価の）係数も、長い位置および短い位置のポートフォリオとして解釈されるため許容される。
【０２１７】
４ ポートフォリオへの応用
多変量分布ｃｄｆ Ｆ（ｘ_１， ．．．， ｘ_ｎ）＝Ｆ_Ｃ（ｙ_１（ｘ_１）， ．．．， ｙ_ｎ（ｘ_ｎ））が与えられた場合、多くの代表的な問題の解を得ることができる。まず概略的に説明し、次いでいくつかの応用例を詳しく取り上げる。
【０２１８】
一例として、以下のポートフォリオ変数のｃｄｆを求めるものと仮定する。

式中、ｈ_ｉは任意の係数である。おそらく最速ではない簡単なモンテ・カルロ法
では、ｃｄｆ Ｆ_Ｃ（ｙ_１， ．．．， ｙ_ｎ）を有する結合ガウス分布から無作為標本が抜き取られ、逆マッピング関数ｘ_ｉ（ｙ_ｉ）を介して各ｙ_ｉが変換され、次いで、結果として得られる以下の出力標本を算出する。

【０２１９】
十分な標本が得られた後、ｘのｃｄｆの近似値が得られる。より厳密に言うと、ａ≦ｘ≦ｂである確率は概ね、ａ≦ｈ_１ｘ_１（ｙ_１）＋．．．＋ｈ_ｎｘ_ｎ（ｙ_ｎ）≦ｂを有する標本ｙ_１， ．．．， ｙ_ｎの平均数であり、この近似は、大きな標本サイズの限界において厳密になる。これは、実際のポートフォリオ、またはいくつかの資産および回帰によって生じる残差変数で構成されたポートフォリオに有効である。通常、回帰は、以下に論じる対数ドメインで行われる。上記のｘの式を、場合によってはかなり非線形の、ｘ_ｉの任意の関数ｆ（ｘ_１， ．．．， ｘ_ｎ）で置き換えた場合に上述のモンテ・カルロ法が完全にうまく働くことに留意されたい。
【０２２０】
４．１ 対数ドメイン・ポートフォリオ
この節では、本発明の方法が金融界で一般に使用されているパラダイムにどのように適合するかを指摘し、ある他の表記を確立する。利益ドメインで処理を行うか、それと等価的に対数を取り扱うのが一般的である。すなわち、次式が成立する。

【０２２１】
前節の変数によるこれらの変数の可能な識別を無視することによって、ｘを非線形ポートフォリオｘ＝ｆ（ｘ_１， ．．．， ｘ_ｎ）＝ｅｘｐ（β_１ｌｎ ｘ_１＋．．．β_ｎｌｎ ｘ_ｎ）とみなす場合、上記と同じ議論およびモンテ・カルロ法が当てはまる。β_ｉの和Ｂが１である場合、このようなｘは
【数２９】

と書くことができる。Ｂが１でない場合でも、この数式からｘについて算出される増分変化（「利益」）ｄｌｎ ｘは、ｌｎ ｘについて上記の数式に整合する。金融界では

を概ね定数ｈ_ｉとみなすのが一般的であり、したがって、ｘ’_ｉｓがそれほど変化しない短期間の場合、ｘについてのこの数式は前節のポートフォリオ数式に相当する。^２
【０２２２】
^２ したがって、

であり、そのため、小さな変化ｄｘ_ｉの場合、第１の数式からの変化ｄｘは第２の数式から得られる変化と概ね同じである。しかし、この関係では、長期にわたって良好な近似を維持するのに「再平衡」が必要である。
【０２２３】
ｘ_ｉに関しては明示的に表されていない資産ｘの場合、線形を回帰を介して以下の同様の数式を得る。

ｉ≠０のβｉは、（おそらくβ_ｉ≧０や

のような制約を受ける）歴史的データにおける残差の分散を最小限に抑える相関係数として選択されている。たとえば、ｘは相場オプションのない証券であってよく、ｉ≠０のｘ_ｉは、ｘの必要な相関係数だけでなく確率分布も個別に分かっている資産とみなすことができる。残差項はβ_０ｌｎ ｘ_０と書いた（通常、β_０＝１および残差は正規分布とみなす）。^３ この平均は、回帰の平均を正しくする定数項である回帰「α」を与える非零であってよい。あるいは、明示的なαを許容し残差平均を零に維持するするように数式を修することができる。他のわずかな変形例には、ｘの値を増減させるように一定の利益を有するダミー変数を加えることを含めてよい。特に、この場合、残差平均を零に調整する別の方法が与えられる。この数式により、β_０＝０が許容される場合、前の数式は特殊事例として与えられる。
【０２２４】
^３ 残差項ｉ＝０については、一定の分散を使用するか、観測される挙動に基づくある汎用非一定構造を課すことができる。
【０２２５】
４．１．１ ポートフォリオの高速あてはめ
計算が確実に比較的高速になる１つの手法は以下のとおりである。第２節においてｃｄｆが暗示されるボラティリティを求めた場合と同様に、上記の各対数変数ｌｎ ｘ_ｉが非一定分散σ_１（ｘ_ｉ）^２Ｔを有する「ガウス」変数であると仮定する。言い換えれば、ｃｄｆはＦ（ｘ_ｉ）＝Ｎ（−ｄ_２（ｘ_ｉ， σ_１（ｘ_ｉ）， Ｔ）によって与えられる。この場合の目的は、ある種のあてはめられた曲線σ_１（ｘ）を用いて、同様の数式によってＦ（ｘ）を与えることである。ある種のボラティリティ曲線を、求めなければならない少数のパラメータと共に考慮するものと仮定する。
【０２２６】
変数ｌｎ ｘ_０， ．．．， ｌｎ ｘ_ｎが真の結合ガウス変数である場合、ｌｎ ｘもガウス変数である。その分散は以下の公式によって与えられる。
【数３０】

式中、ρ_ｉｊはｌｎ ｘ_ｉとｌｎ ｘ_ｊの相関であり、

である。したがって、以下の条件付き期待値によってσ_１（ｘ）の推定値

を定義する。
【数３１】

【０２２７】
上記の条件付き期待値の計算は、モンテ・カルロ法を用いて行うことができる。上記の非線形ポートフォリオの用語では、関数ｆ（ｘ_１， ．．．， ｘ_ｎ）は

によって定義される超平面を囲む細い多次元実線の外側の０とみなされる。実線の内側において、ｆ（ｘ_１， ．．．， ｘ_ｎ）は、Ｖａｒ（ｌｎ ｘ）についての上記の数式を実線内に入る確率で割った値とみなされる（やはりモンテ・カルロ計算）。標本に関しては、細い実線の内側で終わるすべての標本全体にわたってＶａｒ（ｌｎ ｘ）の平均をとる。しかし、

のすべての値を算出する必要はなく、使用中のボラティリティ曲線にパラメータをあてはめれば十分である。
【０２２８】
ｌｎ ｘの推定平均は

であり、ｓ＊は、前述のように求められるか、あるいは危険回避分布または「真正」分布が得られるようにある危険回避推定値で置き換えられる。（なお、このような因子モデルを用いて

の危険回避値から

の危険回避値を推定するのが一般的である。）
【０２２９】
さらに、ここではある有用な分散について述べる。残差項β_０ｌｎ ｘ_０をモデルの一部とみなさず、ｌｎ ｘ_１， ．．．， ｌｎ ｘ_ｎのみについて結合関数ｐｄｆを書くことが好ましい。この場合、以下の２重期待値を使用することができる。
【数３２】

式中、内側期待値は変数ｘ_１， ｘ_２， ．．．， ｘ_ｎに関する値であり、外側期待値は残差に関する値である。残差（β_０＝１とする）の標準偏差σ（ｘ_０）を、歴史的に求められた定数として得るか、あるレバレッジ・モデルに基づく推定値を求めることができる。
【０２３０】
次に、単変量事例の場合と同様に次式によってｃｄｆ Ｆ（ｘ）を推定することができる。
【数３３】

要するに、多変量モデルを用いてポートフォリオの単変量モデルのパラメータを求める。この後で、多変量モデルに戻る必要なしにポートフォリオの確率を得、したがって、時間を節約することができる。これをさらに進めて、モンテ・カルロ理論とは独立にσ_１（ｘ，Ｔ）の値を無作為に生成し（しかし、おそらくこの場合も過度にアウト・オブ・ザ・マネーにあるｘの値を破棄し）、次いで、得られた値を用いてＤｕｍａｓ−Ｆｌｅｍｉｎｇ−Ｗｈａｌｅｙ手法で必要とされる回帰を行うことが考えられる。
【０２３１】
５ 「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題
多変量分布は、条件付き確率に関する多数の問題の研究に有用である。たとえば、市場のあるセグメントの増減またはあるマクロ経済因子の増減の、ポートフォリオに対する影響を知りたいと仮定する。Ｒｏｓｓの初期の概念に従うＢＡＲＲＡでは、このようなマクロ経済因子を長い位置と短い位置の両方を有するポートフォリオとみなしている。同様に、ＢＡＲＲＡでは、株価収益率およびその他の基本パラメータと、産業のグループ分けとに関連する市場セグメントをポートフォリオとみなしている。（上記で引用したＧｒｉｎｏｌｄ−Ｋａｈｎの著書を参照されたい。）したがって、単にあるポートフォリオの他のポートフォリオのに対する影響について考える。
【０２３２】
説明を明確にするために、第１のポートフォリオを、上述のように次式が成立するｘと仮定する。

第２のポートフォリオを、次式が成立するｙと仮定する。

β_０＝γ_０＝１とし、ｌｎ ｘ_０およびε＝ｌｎ ｙ_０を平均０を有する残差とみなす。この残差は、本発明の多変量モデルにおける因子とは仮定しない。以下の代表的な「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題、すなわち、ＡおよびＢを所与の正の定数とする問題を検討する。すなわち、時間Ｔにおいてｘ≧Ａが既知である場合、時間Ｔにｙ≧Ｂとなる確率を求める。本発明では、この問題に対して２つの手法を与える。第１の手法は、回帰を用いて少なくともいくつかのモンテ・カルロ計算を回避するため、おそらくより高速であるが、場合によってはそれほど正確ではない。
【０２３３】
５．１ 「ｗｈａｔ−ｉｆ」：部分回帰、部分モンテ・カルロを伴う手法
ｌｎ ｙ≧ｌｎ Ｂ ｉｆｆ ｌｎ ｙ−ε≧ｌｎ Ｂ−εとする。ｌｎ ｘ_ｉとｌｎ ｘ_ｊとのすべての相関ρ_ｉｊが既知であると仮定される。歴史的ボラティリティ値

があるものと仮定してもよい。（あるいはこのような値をインプライド・ボラティリティの期待値として推定することができるが、歴史的値のインベントリを維持することは困難ではなく、そうすることは計算のこの部分の趣旨に合っている。）したがって、ｌｎ ｘとｌｎ ｙ−εとの歴史的共分散

と

および相関

を推定することができる。
【０２３４】
これにより、平均からの標準偏差で表された変数ｌｎ ｙ−εの標準回帰が、ｌｎ ｘの同様に標準化された数式で与えられる。構造上、εの平均値が０であることに留意されたい。

とする。したがって、

は、歴史的ボラティリティを用いて、標準化されたｌｎ ｘを測定し、

は、前節で論じたように、ｃｄｆが暗示されたボラティリティ曲線

を用いて、「標準化された」（ワープされた）ｌｎ ｘを測定する。この場合、

は、時間Ｔにおけるｘの値の、本発明による最適な推定値を示す。
【０２３５】
σ_１（ｙ， ε）が、前節のように推定することのできる（または非制約形回帰のように残差をｌｎ ｙ−εと相関しないものとみなしたい場合には、σ_１（ｙ）の推定値および残差の標準偏差から算出することのできる）ｌｎ ｙ−εに関連するボラティリティ曲線を示すものとする。−ｄ_２（ｙ， ε）がｌｎ ｙ−εの「標準化された」測度になるように

とする。その場合、本発明のモデルに適切な標準回帰は次式のようになる。

【０２３６】
本発明で使用していない、この回帰に関連する残差がある。これはおそらく正規分布であり、その分散を算出することができる。表記上の理由で、この残差が最初のεに組み込まれていると仮定する。表示内の数式の形式か明らかなように、上記の回帰に代わる方法として、前節で提案したワープされた相関係数を用いて回帰が行われる。さらに、最初のポートフォリオを、ワープされた変数の線形組合せ（本発明の標準正規周辺分布）とみなすのが適切である場合、モンテ・カルロ計算によらずに上記の回帰を行うことができる。全体にわたって一定の歴史的ボラティリティ関数を使用する場合にも同様なことが当てはまる。ただし、おそらくこの手順では精度が失われる。
【０２３７】
いずれの場合も、本発明の「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題については、（調整された）残差εの単変量正規分布における簡単な期待値を解として得ることができる。

をｄ_２（Ａ）と略書きし、

をｄ_２（Ｂ， ε）と略書きする。ρ（ε）＞０と仮定する（正の相関の自然な事例）。その場合、次式が成立する。
【数３４】

【０２３８】
第１の数式が成立するのは、−ｄ_２（ｙ， ε）がｙの関数として単調増加し、すなわち、条件ｙ≧Ｂが条件−ｄ_２（ｙ， ε）≧−ｄ_２（Ｂ， ε）と完全に等価であるからである。同様なことが条件ｘ≧Ａにも当てはまり、一方、数式Ｐｒ｛ｙ≧Ｂ｜ｘ≧Ａ｝は、ｘ≧Ａが既知である場合に条件ｙ≧Ｂが成り立つ確率を意味するに過ぎない。この場合、−ｄ_２（ｙ， ε）についての上記の表示される数式を用いて第２の数式が導かれる。（ρ（ε）が負である場合、その逆数を伴う不等式が反転される。）この内部期待値は次いで、正規分布において算出される。−ｄ_２（Ａ））の値がρ（ε）^−１（−ｄ_２（Ｂ， ε））と同じであるεの値については、期待値は確実性であり、値１が生成される。−ｄ_２（Ａ））の値がρ（ε）^−１（−ｄ_２（Ｂ， ε））よりも小さい場合に、その累積正規分布値Ｎ（−ｄ_２（Ａ））はＮ（ρ（ε）^−１（−ｄ_２（Ｂ， ε））よりも小さく、標準正規変数ｚ＝−ｄ_２（ｘ）が少なくとも−ｄ_２（Ａ）である確率１−Ｎ（−ｄ_２（Ａ））＝Ｎ（ｄ_２（Ａ））は、ｚが少なくともρ（ε）^{− １}（−ｄ_２（Ｂ， ε）である対応する確率１−Ｎ（ρ（ε）^{− １}（−ｄ_２（Ｂ， ε））＝Ｎ（ρ（ε）^−１（ｄ_２（Ｂ， ε））よりも小さい。したがって、所望の内部期待値である比Ｎ（ρ（ε）^−１（ｄ_２（Ｂ， ε））／Ｎ（ｄ_２（Ａ））は１よりも小さく、条件付きであるかどうかにかかわらず確率に適切である。ρ（ε）が負である場合、同様な理論によって、所望の条件付き確率についての数式Ｅ（ｍａｘ｛０，（Ｎ（ｄ_２（Ａ））−Ｎ（ρ（ε）^−１（ｄ_２（Ｂ， ε）））／Ｎ（ｄ_２（Ａ））｝）が得られる。いずれの場合も最終的な解は（εを超える）期待値であるが、べき級数を用いて高速に算出できるのは基本的に整数である。（Ｎ（ｚ）の非常に簡単で正確なべき級数式が、上記で引用したＨｕｌｌの著書の２５２ページに記載されている）。このことを利用して、反復方法により、たとえば、比Ｎ（ρ（ε）^−１（ｄ_２（Ｂ， ε））／Ｎ（ｄ_２（Ａ））を１に等しくするεの値を求め、次いで、−∞から、ρ（ε）＞０の場合のεの求められた値までの標準正規分布ｐｄｆに対してこの比を積分することができる。同様なことがρ（ε）＜０にも当てはまる。（ρ（ε）＝０である場合、変数ｌｎ ｘと変数ｌｎ ｙが相関せず、条件付き確率Ｐｒ｛ｙ≧Ｂ｜ｘ≧Ａ｝が無条件確率Ｐｒ｛ｙ≧Ｂ｝と同じであることに留意されたい。）
【０２３９】
すべてのこれらの計算は非常に高速に行うことができる。もちろん、すでに、ボラティリティ関数が一定であるという簡略化された条件でないかぎり、いくつかのモンテ・カルロ計算を使用している。
【０２４０】
５．２ 「ｗｈａｔ−ｉｆ」：全モンテ
本発明の全結合確率分布を用いて同じ「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題の解を算出するにはどうしたらよいかを説明するのは容易である。単に次式を利用し、
【数３５】

−ｄ_２（ｘ）におけるｌｎ ｘおよび−ｄ_２（ｙ， ε）におけるｌｎ ｙ−εをｌｎ ｘ_０， ｌｎ ｘ_１， ．．．， ｌｎ ｘ_ｎに展開して解釈する。モンテ・カルロ計算によって、たとえば内部期待値を算出するために、共分散行列Ｃを有する多変量標準正規ベクトルｚの多数の無作為標本を生成する。次いで、−ｄ_２（ｙ， ε）≧−ｄ_２（Ｂ， ε）の場合に１であり他の場合に０である関数の、ｚ≧−ｄ_２（Ａ）を満たす標本ｚの平均を求める。発明者は、この方法が上記の回帰手順よりも優れた解を生成するかどうかを実験によって確認していない。それにもかかわらず、この方法は、回帰によって容易に処理できないより高度な「ｗｈａｔ−ｉｆ」問題にどのように対処したらよいかを示す。たとえば、因子ωが範囲Ｃ≦ω≦Ｄに維持されると考え、ｘと同じ条件に従うｙに関する同じ問題を解くと仮定する。これを回帰で公式化するのは困難であり、単一因子回帰では不可能である。しかし、この問題に対して、次式のように全分布によって解を得るのは容易である。
【数３６】

【０２４１】
最後に、一定のポートフォリオｘ＝ｈ_１ｘ_１＋ｈ_２ｘ_２＋．．．＋ｈ_ｎｘ_ｎで計算を始めた場合に、上記で指摘したように近似を行うことを余儀なくする対数ドメインで処理を行いたくないものとする。しかし、全分布を取り扱うことによって、条件ｘ≧Ａを、ｙ’のベクトルが本発明のベクトルｚの役割を果たす第１節の表現でｈ_１ｘ_１（ｙ_１）＋．．．＋ｈ_ｎｘ_ｎ（ｙ_ｎ）≧Ａとして表すことができる。次に、対数ドメイン表面を使用し、あるいは他の条件については使用せずに、モンテ・カルロ計算を前述のように行うことができる。
【０２４２】
６ 「ｙｏｕ ｇｏｔｔａ ｂｅｌｉｅｖｅ」問題
前節では、因子ｘの変化に応じて自分のポートフォリオｙの値を考慮する投資家に焦点を当てた。逆に、投資家は、時間Ｔに所与の株式または指数ｙがあるレベルＢに達した場合に投資界がどのような状況になるかを知りたくなる場合がある。すなわち、他のポートフォリオｘの時間Ｔにおける期待値Ａ、または単に１つの因子ｘ_ｉの期待値を求める必要が生じる。本発明の主要な計画では、ｙがレベルＢになるユーザによる入力時に、ｙとの相関が最も高いいくつかの資産ｘ_ｉまたは因子／指数ｘと、Ｂにおけるｙに対して予想されるｘ_ｉまたはｘの値がリストされる。
【０２４３】
さらに、選択された各資産または因子ごとに信頼区間を表示し、この資産または因子の予測確率分布に関する他の情報を容易に得られるようにすることも可能である。ｙに関する仮定が行われないｘの以前の予測確率分布と比較することもできる。最後に、（ｙの回帰に現れる）わずかなｘ_ｉを有するｙの分散の大部分を説明することが可能な場合には、これらのｘ_ｉのポートフォリオに対するｙの期待値の依存性にのみ基づく、この値をＢにするのに必要なｘ_ｉのポートフォリオの割合の増減をリストすることができる。（たとえば、ポートフォリオにおける係数を、すべてのｘ_ｉに対するｙの回帰から得たり、おそらく、ユーザによって定義された制約を許容する、ある種の新しい回帰を実行することができる。）この場合および上記の場合の期待値（平均値）に代わる値が中央値または最頻値であり、いずれの場合も、ユーザは、近対数正規分布において中央値および最頻値が平均値とは体系的に異なることを知る必要がある。
【０２４４】
主要な問題は、所与の時間にｙ≧Ｂであり、ｘおよびｙが前節と同様である場合の、ｘの確率分布を理解することとみなすことができる。これは、前節の方法により、変数の役割を反転させることによって対処することができる。
【０２４５】
しかし、特に高速に処理できるより簡単な問題がある。時間Ｔにおける等式ｙ＝Ｂを条件とするｘの平均値を求める問題を考える。この考えでは、簡単な再帰方法が使用されるが、解は、本発明の可変ボラティリティで測定された解として解釈される。本発明の前述の表記において以下のように表される回帰がある。
−ｄ_２（ｘ）＝ρ・（−ｄ_２（ｙ， ε））＋υ
式中、ρ（前節ではρ（ε）と呼んだ変数）は、ｌｎ ｘと確率変数ｌｎ ｙ−εとの歴史的に求められた相関である。従属変数と独立変数の役割が逆転することに留意されたい。ここでは平均値０を有し、何の役割も有さない（平均される）残差υもある。したがって、ｘの所望の条件付き期待値Ａは次式から得られる。
【数３７】

が、確率変数ｌｎ ｙ−εに関連するインプライド・ボラティリティσ_１の、モンテ・カルロ法によって得られる推定値であることを想起されたい。より高速であるが精度の劣る計算の場合、ここではσ、β、およびρが歴史的に与えられた

として歴史的に推定することができる。（表記については前節を参照されたい。）同様に、高速の計算の場合、−ｄ_２（ｘ）は歴史的ボラティリティを使用することができる。ただし、これは、インプライド・ボラティリティ関数推定値

を用いて、

としてより正確に与えられるか、またはマーケット・ビューに従ってより正確に与えられると予想される。ｘ＝ ｘ_ｉが本発明のモデルにおける単一の資産または指数である場合、

はモンテ・カルロ推定値を必要としないが、おそらくすでに利用可能である。
【０２４６】
要するに、「ｙｏｕ ｇｏｔｔａ ｂｅｌｉｅｖｅ」問題の解を求めるのに必要な条件付き期待値は回帰方法によって容易に得られる。このような問題の精度は、すべての対数変数が本発明の可変ボラティリティとして解釈される「標準偏差」で測定される場合、高められるか、または少なくとも、市場入力をよりうまく反映するように整合される。
【０２４７】
７ オプション証券を含むポートフォリオ
この文書の結論として、本発明の方法が、全モンテ・カルロ計算を用いることによって、オプション証券を含むポートフォリオに容易に適用されることを簡単に指摘しておく。公知の概念では、オプションがある種の非線形ポートフォリオ、より厳密に言えば二次ポートフォリオとみなされる。したがって、原価格ｘ_１を有する単一の原証券に対するオプションは、ｘ_１がｓ_１に近い場合に概ね

である価格を有し、この場合、オプションは既知の値ｃとして評価される。この場合、Δおよび

は、原証券価格ｘ_１に対するｓ_１のオプション価格の第１および第２の導関数を与える、オプション市場における公知のパラメータである。おそらく、オプションの最も顕著な特徴は、非零

を有することであり、原証券価格に対するオプションの増減率は、証券価格の変化と共に変化する。他の標準パラメータに関する明示的な公式は、たとえばΔと

の両方についてのブラック−ショウルズ理論で示されている（上記で引用したＨｕｌｌの著書を参照されたい）。このような公式は、他の理論において直接微分によって得ることも、あるいは経験的にあてはめられた曲線を使用する際に得ることもできる。いずれの場合も、ｘのこのような明示的な近似値が得られた後、その確率分布は、上記の第３．１節のモンテ・カルロ法によって容易に与えられる。同じ方法が、いくつかのオプションおよびその他の証券を含むポートフォリオにも適用される。
【図面の簡単な説明】
【図１、２、および３】グラフである。
【図４】ブロック図である。
【図５、６、および７】ｗｅｂページである。
【図８および９】ユーザ・インターフェースを例示する。
【図１０】データ構造を示す。
【図１１から１５】視覚化技術を示す。[0001]
background
The present invention relates to the generation and provision of information about the expected future price of an asset and the visualization of asset information.
[0002]
The types of information available on the web site on the Internet include the current and historical prices and volume of stock transactions, the price of put or call options at specific strike prices, and the expiration dates of various stocks. There is a theoretical price for a put or call option that is derived using a formula such as the Black-Scholes formula. Some web sites are sites where individual specializations predict the future price or price range of a particular stock.
[0003]
The call option gives the right to purchase the salable underlying by the specified strike price expiration date. The put option gives similar rights to sell assets. Options are called derivative security because their value is derived from the price of the underlying asset. Examples of underlying assets include corporate stocks, commodity stocks, and currencies. The price of an option is sometimes called a premium.
[0004]
Those who buy and sell options are naturally interested in the appropriate price of the option. A well-known formula for determining the price of call and put options under ideal conditions is a formula called the Black-Scholes formula. The Black-Scholes formula is based on the current price of the underlying asset, the interest rate and the volatility rate of the asset (sometimes simply referred to as volatility) given the call price and the put price with a defined maturity date. Gives an estimate of. The Black-Scholes formula assumes that interest rates and volatility are constant, no arbitration takes place, and transactions continue over the specified price range.
[0005]
Information about investment assets, such as corporate securities, is given as a table of values and value ratios for successive periods.
[0006]
More intuitive displays of information may be provided using graphs or visualization devices.
[0007]
Morningstar. The online service called com uses a scatter diagram in its Morningstar Investment Radar (URL (http://screen.morningstar.com/InvestmentRadar/InvestmentRadar.html)). Each point in the scatter plot represents the relationship between the risk of the assets in the portfolio and the present value.
[0008]
Another online facility called FalconEye (URL: http://www.falconyee.com/falconey/tracker/index.html) provides a periscope-like view of a simulated cloud structure representing the following: indicate.
[0009]
Multi-dimensional density map of all 6000+ NASDAQ stocks sorted in real time by FalconEye Viz-Alerts ™ (customizable indicator) created for vertical and horizontal axes. Each stock is represented as a pixel on the screen, and each color represents the density of the stock shown in the corresponding portion of the Tracker Live Map. The density distribution provides an instant view of real-time technical pressures on the market and provides the knowledge for more efficient and productive trading.
[0010]
ValueEngine (URL (http://valueengine.com/servlet/ValuationSummary#)) is the predicted price trend for the future period, including the historical price to date and the subsequent range above and below the predicted price trend Display a stock price graph, including
[0011]
Overview
In general, in one aspect, the invention features a method of receiving data representing a current price of an option for a given asset. The estimate is derived from data of the corresponding implied probability distribution of the price of the asset at a future time. Information about the probability distribution is made available in a time frame useful to investors, for example, immediately after current option price information becomes available.
[0012]
Implementations of the invention may include one or more of the following features. The data may represent a finite number of options prices at a set strike price of the asset. A set of first differences of a finite number of prices can be calculated to form an estimate of the cumulative probability distribution of the price of the asset at a future time. From the set of first differences, a set of second differences of a finite number of strike prices can be calculated to form an estimate of the cumulative probability distribution of the price of the asset at a future time.
[0013]
In general, in another aspect, the invention features a method of providing a real-time data feed that includes information based on a probability distribution.
[0014]
In general, in another aspect, the invention includes providing a graphical user interface for viewing a page containing financial information about an asset, and, if a user indicates an asset of interest, the asset at a future time. Displaying probability information about the price of the item.
[0015]
In general, in another aspect, the present invention receives data representing an optional, current price of an option for a given asset, related to a spaced strike price of the asset at a future time. Features a method that includes a step. This data includes the shifted current price of the option resulting from the shifted original price of the asset, and the amount by which the asset price was shifted differs from the amount corresponding to the interval between strike prices. The estimate is derived from the data of the quantized implied probability distribution of the price of the asset at a future time, and each element of the quantized probability distribution is the probability of being derived without the shifted current price data. It is set at a closer interval than the distribution.
[0016]
In general, in another aspect, the invention includes deriving from a data an estimate of an implied probability distribution of the price of an asset at a future time, wherein the mathematical derivation includes a smoothing operation.
[0017]
Implementations of the invention may include one or more of the following features. Smoothing operations can be performed in the volatility domain.
[0018]
In general, in another aspect, the invention provides a method for deriving volatility for each future date according to a predetermined option pricing formula that links option prices to strike prices of assets, and a method for smoothing and extrapolating volatility. Generating a function.
[0019]
Implementations of the invention may include one or more of the following features. The volatility function can be extrapolated to a wider range of dates and other strike prices than future dates. The smoothed volatility function can be applied to conditions where the data is reliable under a predetermined measure of confidence. The implied volatility function formula may have a quadratic form with two variables representing strike price and maturity date. The coefficient of the implied volatility function formula can be determined by approximately applying the implied volatility function formula to each implied volatility by applying regression analysis.
[0020]
In general, in another aspect, the invention comprises receiving data representing a current price of an option for an asset belonging to a portfolio, and applying an implied multivariate value of a quantity at a future time dependent on the asset belonging to the portfolio. The method features a step of deriving an estimate of the distribution from the data and a step of making information about the probability distribution available to investors in a useful time frame.
[0021]
In general, in another aspect, the invention comprises a step of receiving data representing values of a set of factors that affect a composite value, and an implied price of a quantity at a future time that depends on assets belonging to the portfolio. The method features a step of deriving an estimate of a multivariate distribution from the data and a step of making information about the probability distribution available in a time frame useful to investors.
[0022]
Implementations of the invention may include one or more of the following features. The mathematical derivation may include generating a multivariate probability distribution based on the correlation between each factor.
[0023]
In general, in other aspects, the invention relates to a user interface element adapted to allow a user to indicate a future time and a user interface element adapted to indicate a current price of an asset. And a user interface element adapted to indicate a probability distribution of the price of the asset at a future time.
[0024]
In general, in one aspect, the invention includes continuously generating current data, including a probability distribution of the price of an asset at a future time, and continuously providing the current data electronically to a recipient. And using the supplied data for a service provided to the user.
[0025]
In general, in another aspect, the invention includes receiving data representing a current price of an option for an asset belonging to a portfolio, and receiving data representing a current price of a market transaction associated with a second portfolio of the asset. And providing information about the probability that a second portfolio of assets will reach a first value given a condition at a future time that the first portfolio of assets will reach a specified price. Electronically providing.
[0026]
In general, in another aspect, the invention includes receiving data representing actual market transactions associated with a first portfolio of assets, and storing data representing actual market transactions associated with a second portfolio of assets. Receiving and expecting the price of the first portfolio of assets given the condition that the second portfolio of assets will reach the first specified price at a specified future time through the network. Providing information about the value.
[0027]
In general, in another aspect, the invention comprises evaluating an event defined by a first multivariate equation representing a combination of macroeconomic variables at time T, wherein the value of the first multivariate equation is greater than a constant A Is larger than the constant B, the probability that the second multivariate equation representing the combination of asset values of the portfolio is considered to have a value greater than the constant B at time T (for example, using Monte Carlo technology) E) estimating. The market variables represented by the first multivariate equation include macroeconomic factors (such as interest rates), market preferences with respect to the company's basic terms (such as large / small business, rapid / steady growth), Or it may include market preferences for the industrial sector.
[0028]
In general, in another aspect, the invention defines a regression equation relating a value of one variable representing a combination of macroeconomic variables at time T to a second variable at time T, representing a combination of portfolio assets. And if the value of the first variable is greater than the constant A at time T based on the ratio of the probability that x is greater than A and the probability that x is greater than A under the regression equation, Estimating the probability that the two variables have a value greater than the constant B at time T.
[0029]
In general, in another aspect, the invention comprises defining an option's current value as a quadratic that depends on the difference between the option's current price and the underlying security's current price; Estimating the probability distribution of the value of the portfolio including the options at a future time T using the option.
[0030]
The present invention makes use of realizing that the selection price of a given underlying asset represents a market forecast of the risk-neutral price of the underlying asset (eg, when the option expires). The option price data can be used to derive market forecasts in the form of an implied probability distribution of detailed risk-neutral prices. A detailed explanation of the meaning of the risk neutral phrase is provided in the Appendix.
[0031]
The implied probability distribution and other information about it are readily available to those who are interested in investing in the underlying asset and those who have such information, such as stockbrokers who advise such investors. can do.
[0032]
In general, in another aspect, the invention comprises: (a) displaying to a user a circular visualization element disposed about a center of the circular visualization element, the circular visualization element having sectors that each correspond to a different group of assets. And (b) displaying, in each sector, an array of visual elements arranged with respect to distance from the center according to the degree of performance of the asset during the most recent period, with the sectors representing respective assets belonging to a corresponding group. And a method comprising the steps of:
[0033]
Implementations of the invention may include one or more of the following features. The visual element includes one displayed dot for each asset. The visual element indicates a visual property corresponding to the category of the asset in the group. The categories of assets in the group correspond to their different present value. The dots are arranged along the radius of the sector to which they belong. In other cases, a dot on the radius at a given distance from the center is displayed at each different corner location near the radius. Each sector has an angular range that represents the portion of the asset item in the sector relative to the total number of asset items in the population being plotted. The circular visualization elements are subdivided as rings, each having a different distance from the center. Each ring is displayed in a different color. The extent of an asset's performance is measured by its rate of price change. Recent periods include trading days on asset markets. Assets include securities issued by companies.
[0034]
In general, in another aspect, the invention provides a user with a visualization element indicating that the likelihood of an asset's performance measure is within a specified range of the identified value of the performance measure at successive times in the future. Including the step of displaying.
[0035]
Implementations of the invention may include one or more of the following features. The performance measure includes the price or profit rate of the asset or the profit rate after tax. The visualization element includes stripes superimposed on a graph of performance measures over time, where each stripe represents one designated area. Each stripe starts at the current time and widens as it extends to a future time. The graphical device shows the actual historical performance measure, for example, in the form of a line graph where one end is joined to the visualization element at a point representing the current date. The visualization element includes two parts, one part representing the likelihood before a specified date based on one assumption and the other part representing the likelihood after a specified date based on another assumption. The specified date is the date on which the tax-effective assumption changes from one assumption to another.
[0036]
In general, in another aspect, the invention is directed to a visual system having a graphical indicator of the relative performance of a selected asset relative to the performance of a group of assets during each successive period, wherein each group includes assets representing a common format. Displaying the visualization element to the user. Relative performance is determined using an asset class coefficient model.
[0037]
Advantages of the invention include one or more of the following. Investors and prospective investors in underlying assets, such as publicly traded stocks, have access to important additional current information, i.e., calculated data representing market views on the future price of stocks. it can. Stockbrokers, investment advisors, and other companies involved in the securities market can provide this information and related services to clients and customers. The user can quickly visualize and grasp the meaning of data that is otherwise difficult to understand.
[0038]
Other features and advantages will be apparent from the description and from the claims.
[0039]
Description
Details of implementations of the invention are set forth in the drawings and the description below.
[0040]
Generally, the price of a call or put option is determined by the seller and buyer in the options market and holds information about market expectations about the expected value of the underlying asset at maturity. (This information does not include the premiums that investors must take to take risks, which must be estimated separately. The average long-term value of the risk premium is approximately 6% per year for all equities and Can be adjusted for the historical response of individual stocks to the relatively large movements of.)
[0041]
The information held in the price of options with various strike prices and maturity dates derives a probability distribution of the price of the asset at a future time and displays the corresponding information to the investor on, for example, the World Wide Web. Used.
[0042]
Basic method
First, define some related items. x is defined as strike price, c (x) is defined as the theoretical call price function (the price of the call as a function of strike price), and p (x) is defined as the theoretical put price function. , F (x) are defined as the cumulative distribution function (cdf) of the price of the underlying asset at the maturity date, and f (x) is defined as the probability density function (pdf) of the asset price at the maturity date. By definition, f (x) = F '(x) (i.e., the probability distribution function is the derivative of the cumulative distribution function).
[0043]
The relationship between c (x), p (x), f (x) and F (x) is briefly described below.

In other words, pdf is the second derivative of the call or put price function. A brief proof of these relationships is given in the Appendix. The appendix also provides other detailed information regarding features of the present invention.
[0044]
This so-called “second derivative method” for calculating the implied probability distribution from option price data is known in the academic literature, but seems less well known. See, for example, the standard literature "Options, Futures, and Other Derivatives", John C. A .; Hull (4th edition, 1999, Prentice-Hall) describes the implied probability, but does not describe the second derivative method. Perhaps the best literature we can find is C.I. Jackwerth and M.W. Rubinstein, "Recovering probability distributions from option prices," J. Amer. Finance, Vol. 51, pp. 1611-1631 (1996). In this paper, D.A. T. Breeden and R.A. H. Litzenberger, "Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices", J. Business, Vol. 51, pp. 631-650 (1978), second derivative method. I quote it as the founder, but there is no mention of probability anywhere in this article.
[0045]
Approximate f (x) from finite ask and ask prices
Equations (1a) and (1b) are obtained by assuming that the variable x is continuous and ranges from 0 to infinity. In fact, options are typically only traded for price intervals that are within a price range (eg, $ 110 to $ 180 in $ 5 intervals). Thus, call option prices and / or put option prices are only known for a finite subset of strike prices. In such a situation, the estimates of Equations (1a) and (1b) can be calculated by taking the difference instead of the derivative as follows:
[0046]
Suppose that the option prices c (x) and p (x) are determined for a finite subset of strike prices, x = nΔ, evenly spaced. In this case, n is an integer and Δ is the interval between the determined prices. c_n= C (nΔ), p_n= P (nΔ). Then, the first derivatives c ′ (x) and p ′ (x) at x = (n + ／) Δ can be estimated by the first difference.
(Equation 1)

(Equation 2)

[0047]
The corresponding estimate of the cumulative distribution function:
(Equation 3)

Is
(Equation 4)

(Equation 5)

[0048]
The second derivatives c "(x) and p" (x) at x = n [Delta] can likewise be estimated by the second difference, i.e. the difference between the estimates of the first derivative.
(Equation 6)

(Equation 7)

[0049]
Any of these estimates of the second derivative can be used as an estimate of the probability density value at x = nΔ, ie, f (nΔ).
(Equation 8)

[0050]
In addition, the market price of call and put options is usually given in the bid / spread, so the bid or ask price (or some intermediate price) can be used as the call or put option price. . By using bid and ask prices for both call and put options, four estimated prices of F (x) and f (x) can be obtained. These estimated prices can be combined in any desired way according to their reliability. For example, use the estimated price derived from the ask price curve for an x value less than the current price s of the underlying asset, and use the estimated price derived from the bid price curve for an x value greater than s. be able to.
[0051]
C using data from Table 1 (see below)_n, P_n,

and

Are shown in FIGS. 1, 2 and 3. FIG.
[0052]
Chart data
Table 1 shows sample bid prices for call and put options for strike prices for assets ranging from $ 110 to $ 180 at $ 5 intervals and calculated according to equations (7)-(10) above. Cumulative distribution value

And probability density values

Are shown.
[0053]
In this table,

The value of

Corresponds to the strike price in the middle of the two strike prices used to calculate the strike price. Thus, the cumulative distribution value shown to the right of strike price $ 110 actually corresponds to strike price $ 112.5, and the value to the right of strike price $ 115 is actually the strike price. It corresponds to $ 117.5, and so on.
[0054]
[Table 1]

[0055]
Dynamic estimates of F (x) and f (x)
In Equations (7) to (10), the call option price and the put option price are calculated in the calculation of the cumulative distribution function F (x) and the probability density function f (x) for the finite subset x = nΔ of the strike price. Assumed a static price. In the real world, the price s of the underlying asset changes over time, and the option price changes correspondingly. As a first approximation, if the price s increases by a small amount δ, the option price curve is effectively shifted to the right by the amount δ. (Where δ may be positive or negative; see the Appendix for a more precise discussion of this shift). As a result, using the price c (x) or p (x), currently determined as strike price x, as an estimate of the option price on the previous price curve at strike price x ′ = x−δ. Can be. As a result, the prices on the previous curve in the new discrete subset of strike prices x = nΔ−δ are effectively visible. Given sufficient movement of the original price, c (x), p for a strike price subset x set at a much closer interval than the subset obtained at any given time in practice (X), F (x), and / or f (x) can be calculated.
[0056]
Extrapolation and smoothing of probability distribution
In a typical options market, option prices are only available for certain maturity dates. In addition, option prices are usually more reliable for actively traded options, which are options of a closer duration at strike prices close to the original price. Therefore, it is desirable to extrapolate and interpolate the probability distribution to a time other than the actual expiration date and a wider range of strike prices.
[0057]
Cumulative distribution value

Or probability density value

Can use any standard extrapolation and smoothing techniques to provide a smoothed and extrapolated estimate of F (x) or f (x). Similarly, given such an estimation curve for a discrete subset T of future times, using standard interpolation and extrapolation techniques, specified other values of T or successive values of T> 0. Such a curve for a range can be estimated.
[0058]
A less straightforward but useful approach is to extrapolate and smooth the implied volatility function, which is then used to calculate c (x), p (x), F (x), and f (x). Other functions such as (x) can be calculated. An asset's volatility rate (often referred to simply as asset volatility) is a measure of the uncertainty about the benefits provided by an asset. Equity volatility rates can typically range from 0.3 to 0.5 per year.
[0059]
The advantage of extrapolating and smoothing the implied volatility curve is that various types of volatility curves (so-called "volatility smiles") have been identified and used as guidance in the extrapolation and smoothing process. Thus, "overfit" of certain unreliable data points can be prevented.
[0060]
The standard way of calculating implied volatility is to give a given strike price x given a source price s (current price of the asset), a risk-free interest rate r, and T (maturity date). Is to invert the Black-Scholes pricing formula (see Appendix) for the actual call price c (x) or put price p (x) of the underlying asset in. When this is done for a range of values of x, an estimate of the implied volatility curve σ (x) is obtained. This curve is smoothed and extrapolated by any standard method to obtain a smoothed curve

Can be given. The corresponding smoothed put or call price curve can then be calculated using the Black-Scholes pricing formula and differentiated once or twice to give a smoothed cdf or pdf. . Finally, given such an estimation curve for a discrete subset of the future time T, using standard interpolation and extrapolation techniques, the specified other value of T or a succession of T> 0 Such a curve for a range can be estimated.
[0061]
Another new way to calculate implied volatility is to first use the cdf value

, Then invert the Black-Scholes cdf formula (see Appendix) at these values. Doing this for a range of values of x yields a totally different implied volatility curve σ, called the volatility curve where cdf is implied.₁An estimate of (x) is obtained. Again, this curve is smoothed and extrapolated by any standard method to obtain a smoothed curve.

Can be given. The corresponding smoothed cdf can then be calculated from the Black-Scholes cdf formula and differentiated once to give a smoothed pdf. Finally, again, given such an estimation curve for a discrete subset of future times T, using standard interpolation and extrapolation techniques, the specified other value of T or T> Such a curve for a continuous range of zeros can be estimated.
[0062]
The advantage of using a cdf implied volatility curve instead of a traditional implied volatility curve is that it is easier to calculate, at least from an estimate of F (x), and that this curve is better served by the multivariate technique described below. That is true.
[0063]
Smoothed and extrapolated implied volatility curve

Is determined as a function of both the strike price x and the time to expiration T: It is assumed that the volatility curve is approximated by a quadratic formula.
(Equation 9)

[0064]
Coefficient ｛a_i｝, Σ₁The coefficients that fit the available data on (x, T) as closely as possible are determined by regression. Smoothed curve

Is given, the corresponding smoothed cdf for various x and T can be calculated from the Black-Scholes cdf formula for each time T and differentiated once to give a smoothed pdf. it can. In other procedures that have numerical advantages, the quadratic fit as described above is a function

And then the Black-Scholes cdf is inverted

Is required.

Please refer to the appendix for the history of such approximation in academia. In another useful variation, at a specific expiration date, time T,

Is fitted to a quadratic function of x and then linearly interpolated at other times T.
[0065]
Handling multiple assets
The techniques described above provide a probability distribution for the future value of a single asset based on option price data for that asset. However, in many cases, investors pay attention to multiple assets, for example, to their portfolios, or mutual funds, or to all stocks in an index. In addition, investors may pay attention to the relationship between one set of assets and another set of assets.
[0066]
A common approach to addressing this problem is to generate a multivariate probability distribution for all assets of interest. The multivariate distribution cdf is F (x₁, X₂,. . . , X_n), Where the variable (x₁, X₂,. . . , X_n) Are the values of the n assets of interest.
[0067]
From the techniques described above or other techniques, the marginal distribution cdf F for each individual value._i(X_i). As a first step, a function y called "warping function"_i(X_i) Into each standard normal (Gaussian) variable with mean 0 and variance 1_iCan be defined. This simply means that F for all values of x_i(X_i) = N (y_i(X_i))_i(X_iThis is done by defining In this case, N (x) indicates the standard normal variable cdf. Function y_i(X_i) Is simply σ_i(X_i). See appendix. Under moderate technical conditions having a monotonically varying marginal distribution cdf, such a warping function y_i(X_i) Is the well-defined inverse warping function x_i(Y_i).
[0068]
Second, the warped standard normal variable y_i(X_iSuppose that one can determine the historical correlation of each pair between Such correlations can be calculated from any available set of historical asset price data by standard techniques. Denote by C the n x n correlation matrix whose entries are these historical correlations. Each variable y_i(X_i) Is a standard normal variable, so the diagonals of C are all equal to one.
[0069]
Next, Fc (x₁,. . . , X_n) Denotes a multivariate Gaussian random n-set cdf with zero mean and covariance matrix C. Define the following equation.

[0070]
In this case, F (x₁, X₂,. . . , X_n) Indicates that (a) the correct (given) marginal distribution cdf F_i(X_i), And (b) the warped standard normal variable y_i(X_i) Is the multivariate distribution cdf with the correct (historical) correlation between Using this cdf, a variable (x₁, X₂,. . . , X_nSolving problems with
[0071]
For example, an investor may have a portfolio of a given quantity of each such asset. The value of such a portfolio is a sum represented by the following equation.

Where h_iRepresents the quantity of the i-th asset in the portfolio. Investors may pay attention to estimates of the probability distribution of the value x of the entire portfolio.
[0072]
Such an estimate can be obtained by Monte Carlo simulation. In the case of such a simulation, the multivariate Gaussian distribution cdf Fc (y₁,. . . , Y_n) Can be generated. Each sample (y₁,. . . , Y_n) Is the inverse warping function x_i(Y_i) By using the sample (x₁, X₂,. . . , X_n). The total portfolio value x can then be calculated for each sample. From these N values of x, the probability distribution of x (eg, cdf F (x) of x) can be estimated.
[0073]
In fact, it is useful to store N multivariate samples in a large database. Then the value is a variable (x₁, X₂,. . . , X_n) Can be estimated from this database as an arbitrary quantity of cdf. For example, if an investor wants to know the cdf of some other portfolio with various quantities of each asset, this can be quickly determined from a stored database.
[0074]
An investor may also determine the effect of one portfolio (or event or variable such as interest rate, P / E ratio, public interest in one sector of the market) on another portfolio as follows. Suppose the first portfolio is represented by x below.

In this case, each x_iCan be considered as the price of a portfolio component, and the second portfolio is represented by y below.

In this case, each y_iCan be considered as the price of a portfolio component or, broadly, as any macroeconomic variable (associated macroeconomic, fundamental, or sector).
[0075]
Consider the "what-if" problem. If A and B are given positive constants and x ≧ A at time T, the probability that y ≧ B at time T is determined. The problem is that the multivariate distribution cdf F (x₁, X₂,. . . , X_n) Can be solved by creating a Monte Carlo database as described above, identifying samples where x ≧ A, and then estimating the probability that y ≧ B using these samples. More generally, any conditional cdf of the form F (x | E) can be similarly estimated. In this case, x is a variable (x₁, X₂,. . . , X_n), Where E is a variable (x₁, X₂,. . . , X_n) Is any event defined in).
[0076]
Similarly, suppose that an investor wants to know whether it is reasonable to consider a certain stock or portfolio x to have a value greater than a given constant A at time T. This type of problem can be addressed by estimating the conditional cdf of some other relevant, perhaps better understood, variable (or combination of variables) y at time T, where x ≧ A. it can. If the resulting distribution for y does not look reasonable, the investor can conclude that it is not reasonable to expect x ≧ A.
[0077]
Uses of probability distribution information
Various techniques may be used to accumulate and process the information required for the above calculations and provide this information directly or indirectly to a user through a third party. Some of these techniques are described below.
[0078]
As shown in FIG. 4, the probability distribution information is stored in a communication network 104, for example, a public server such as the Internet, or a host server connected to a dedicated network such as a corporate intranet or a local area network (LAN). From 102 can be provided to the user. For illustrative purposes, the following discussion assumes that network 104 is the Internet.
[0079]
Host server 102 includes software suite 116, financial database 120, and communication module 122. The communication module 122 sends and receives data generated by the host server 102 according to the communication protocol of the network 104.
[0080]
The network includes one of the following: an individual user or a user 108 within the organization, an advertising provider 110, a financial institution 112, a third party web server 114, a media operator 122, and a financial information provider 106. Or a plurality (only one is shown in each case).
[0081]
The host server operator may be, for example, a financial information source, a private company, an investment services vendor, or a consortium of companies that provide a centralized information database.
[0082]
Host server 102 executes a typical operating system and web server programs that are part of software suite 116. The web server program causes the host server 102 to operate as a web server and to generate a web page or elements of a web page that enable each user 108 to receive and interact with the probability distribution information generated by the host server. , For example, in HTML or XML code.
[0083]
The software suite 116 also includes analysis software 118 configured to analyze data stored in the financial database 120 and generate, for example, an implied probability distribution of future prices of assets and portfolios.
[0084]
The financial database 120 stores financial information collected from the financial receiving provider 106 and calculation results generated by the analysis software 118. The financial information provider 106 may be connected to the network 104 via a communication link 126 or may supply information directly to a host server via a dial-up or leased line (not shown).
[0085]
FIG. 4 is a functional diagram of an embodiment of the present invention. Structurally, the host server is one or more web servers coupled to the network, one or more application servers running analysis software and other applications needed for the system, and financial databases and systems. Can be implemented as one or more database servers that store other information needed for
[0086]
FIG. 10 shows an example of a data feed 150 transmitted from the financial information provider 106 to the host server 102 over the communication link 126. The information is sent to the host server in the form of messages 151,152. Each message includes a stream of one or more records 153, where each record holds information about the option price of the underlying asset. Each message includes head information 154 identifying the sender and receiver, a current date 155, and an end-of-message indicator 158, followed by the records contained in the message.
[0087]
Each record 153 in the stream includes an identifier 156 of the underlying asset (eg, a trade symbol), an indication of whether the record is for a put or a call 158, a put or call strike date 160, a put or call strike. -Includes price 162, current quote 164 of the underlying asset, quote 166 of the option, and volume 168 associated with the option. The financial information provider 106 may be an information broker, such as Reuters, Bridge, Bloomberg, or any other party that can access or generate the information held in the message. Brokers can provide information from information sources, including, for example, the New York Stock Exchange and the Chicago Board of Options Exchange.
[0088]
Financial database 120 stores information received in information feeds from financial information providers and other information, including, for example, interest rates and volatility. The financial database also stores the results generated by the analysis software, including probability distribution functions for the underlying assets and the assets that are not subject to options.
[0089]
The probability distribution information is generated continuously (and basically in real time) from the incoming call option data so that the information provided and displayed to the user becomes the current data. That is, this information is not old historical data, but information based on current information about option prices.
[0090]
In addition, accumulate and store other software information, including basic properties of the underlying asset, including price, volatility value, beta, identification of the industry to which the asset belongs, yield, price / book ratio, and leverage, Can be provided. Other information can include a calendar of earnings forecast dates, earnings forecasts, corporate activity items, news items related to the industry, and turnover of company holdings.
[0091]
A message may be sent from the information provider 106 in response to a request by the host server 102, or information may be automatically sent to the host server 102 at specified time intervals. The received information can also be transmitted. The financial database 120 may be maintained on a separate server computer (not shown) dedicated to collecting and configuring financial data. The financial database is configured to establish logical relationships between the stored data and to make the retrieval of the required information fast and efficient.
[0092]
The user 108 can communicate with the network 104 using, for example, a personal computer, a TV set top box, a personal digital assistant (PDA), or a mobile phone. Each of these devices can run an Internet browser and display a graphical user interface (GUI) generated by the host server 102.
[0093]
The host server 102 provides the probability distribution information on the network 104 in the form of web pages, and allows individual users 108, financial institutions 112, third party web servers 114, and media operators 124 to freely view the information. enable. The host company running the host server 102 can earn revenue, for example, by selling advertising space on its web page to the advertising provider 110.
[0094]
The host server 102 may also provide unique information and superior services to individual users 108, financial institutions 112, third party web servers 114, and media operators 122 for a subscription fee.
[0095]
The host server 102 may have a direct link with the financial institution 112 to provide the adjusted information in a format that can be easily incorporated into the financial institution's 112 database. Financial institutions 112 may include, for example, investment banks, stockbrokers, mutual fund providers, bank trust departments, investment advisors, and venture capital investment companies. These institutions can incorporate the probability distribution information generated by the analysis software 118 into financial services provided to their own subscribers. The probability distribution information provided by the host server 102 allows the stockbroker to give better advice to its customers.
[0096]
Third party web server 114 can incorporate probability distribution information into its web site. This information can be provided to a third party host of the web server 114 in the form of an information feed through the Internet or through a dedicated or dial-up connection.
[0097]
FIG. 10 shows an example of a data feed 182 sent from the host server 102 to the third party web server 114 over the communication link 128. The data feed 182 maintains a message 184 that includes header information 186 identifying the sender and receiver, and a record 188 for the particular underlying asset.
[0098]
Each record 188 includes an item 190 for identifying a future date, a symbol 192 for identifying an asset, risk-neutral probability density information 193, and cumulative distribution information 194. The record may also include a symbol identifying the second asset 195 with respect to the identified future date. Other information may be provided, such as a risk premium value for the risk neutral value.
[0099]
Examples of third party web servers 114 include E * TRADE, CBS Market Watch, Fidelity Investments, and The Wall Street Journal web servers. Third party web server 114 specifies a list of assets for which it needs probability distribution information. The host server 102 periodically collects information from the financial information provider 106 and its own financial database 120, generates probability distribution information for the specified asset list, and sends this information to the third party web server 114. Send it and incorporate it into the web page of the third party web server 114.
[0100]
Examples of media operators 124 include cable TV operators and newspapers that provide financial information. For example, a cable TV channel that carries a stock bid may provide the probability distribution information generated by the host server 102. The cable TV operator may have a database that stores the probability distribution of all stocks listed on NYSE over the coming months. The host server 102 can periodically send updated information to the cable TV operator's database. When viewing a stock bid on a TV, a cable TV channel subscriber may send a command to the cable TV operator's server computer via a modem to specify a particular stock and a particular future date. it can. The server computer of the cable TV operator responds by retrieving the probability distribution information from its database and, for example, encoding this information by encoding the probability distribution information in the vertical blanking interval of the TV signal. Send to subscriber via network.
[0101]
Similarly, newspaper companies that report daily transaction prices can also report the probability that a stock price will exceed a certain percentage of the current asset price after a predetermined future date, for example, six months. The sample list on the newspaper

This is the odds that the AMD stocks have a low of $ 83, a high of $ 88, a closing price of $ 85 higher than the previous closing price, and a 10% rise in six months. Means 40%.
[0102]
The analysis software 118 can be written in any computer language, such as Java, C, C ++, FORTRAN. The software includes the following modules: (1) an input module for reprocessing data received from financial data sources, (2) a computation module for performing mathematical analysis, and (3) receiving input from a user. And a user interface module that generates a graphical interface that displays charts and graphs of the calculation results, and (4) a communication interface module that handles a communication protocol required to access a network.
[0103]
Web page and user interface
Various web pages and user interfaces can be used to convey information generated by the techniques described above.
[0104]
For example, referring to FIG. 5, a GUI 700 allows a user 108 to obtain a range of provisioning services provided by a host server 102. The user 108 can view the future price implied probability and the current price 708 of the salable asset 706 with the symbol 704. The displayed information includes the probability 714 (or 718) that the asset price will exceed (or be less than some specified percentage 716) the specified percentage 712 of the base price 710 within the specified time period 720. Is fine.
[0105]
For the convenience of the user 108, the GUI 700 includes a link 730 with an institution that facilitates trading of assets. The host company running host server 102 makes money by selling advertising space 728 on GUI 700. The GUI 700 includes other services provided by the host server 102, including lifetime financial management, online courses on the trading of salable assets, studying market conditions for salable assets, and managing a portfolio of assets. Link 726 is also provided.
[0106]
Referring to FIG. 6, the GUI 700 can display an interactive web page that allows the user 108 to view current forecasts of the market for the future value of the portfolio of assets. The historical market price 734 and the current market price 736 of the asset portfolio 732 are displayed. A price difference 738 is also displayed. The GUI 700 displays a probability 744 (or 746) of the probability that the portfolio 732 will gain (or lose) a percentage 740 within the specified time period 742. Examples of portfolios include stock portfolios, retired 401K plans, and individual retirement accounting. A link 748 is provided to allow the user 108 to view current forecasts of the market for future price trends of individual assets within each portfolio.
[0107]
Referring to FIG. 7, in another user interface, the GUI 700 provides a detailed analysis of historical price history and the current value of the market for the probability distribution of the future value of salable assets over a specified time period. Display an interactive web page containing predictions. The GUI 700 includes a price-spread display 750 that represents the cumulative distribution of the expected future price of the asset over a period of time. Price-spread display 750a shows price distribution data generated three months ago. The three month history of the actual asset price is shown as a line graph for comparison so that the user 108 can evaluate the price distribution information. Price-spread display 750b represents the expected cumulative distribution of asset prices over the next one month period. The left edge of display 750b, of course, begins with the actual price of the asset at the end of the last three month period, for example, $ 50 of the current DELL stock price. The probability distribution information implies, for example, that the probability that the stock price drops below $ 35 is 1% and the probability that the stock price drops below $ 80 in one month is 99%. The GUI 700 includes a table 752 showing the highlights of the asset information and a graph 754 showing the sector risk of the asset. Box 755 allows the user to enter a target price, and table 757 shows the probability of this price at four different future times based on the calculated implied probability distribution.
[0108]
Referring to FIG. 8, in another approach, a window 402 showing financial information is displayed on a user's screen along with two other windows 408 and 410 showing probability distribution information. It is assumed that each user 108 has already downloaded the client program from the host server 102. When the user views any document, for example, any web page (host server 102 web page or other host server web page), the user highlights stock symbol 404 using pointer 406, A predetermined keystroke (e.g., "ALT-SHIFT-Q") is entered to invoke the client program. The client program then sends the stock symbol highlighted by the user to the host server 102. The host server 102 sends the probability distribution information back to the client program, which displays the information in separate windows 408 and 410.
[0109]
When the client program is invoked, a window 422 can be displayed showing various types of price information that can be displayed. In the illustrated example, a “probability distribution curve” and an “upper / lower estimated value curve” are selected. Window 408 shows the price range of AMD shares above and below the strike price of $ 140 from July to December and the 90% probability that the stock price will fall between the upper and lower estimate curves. Is shown. Window 410 shows the probability density curve f (x) of the AMD stock on August 15, 2000 in the future. The user can also specify a default function curve so that whenever an asset name is highlighted, the default function curve is displayed without further instructions from the user.
[0110]
Chart data, such as that shown in Table 1, can be generated by the host server 102 and transmitted over the network 104 to devices with limited capabilities of displaying graphical data. As an example, individual users 108 may want to access asset probability distribution information using a mobile phone. The user enters commands using the telephone keypad to enter stocks, prices, and future dates. In response, the host server 102 returns the probability that the stock will reach the specified price at the specified future date in a chart format suitable for display on the mobile phone screen.
[0111]
Referring to FIG. 9, a mobile phone 500 includes a display screen 502, a numeric key 506, and a scroll key 504. The user can enter a command using the numeric keys 506. The price information received from the host server 102 is displayed on the display screen 502. The chart data typically includes a long list of numbers, and the user can use the scroll keys 504 to view each different portion of the chart data.
[0112]
In the example shown on display screen 502, the current price of the AMD stock is $ 82. The cumulative distribution values F (x) for various future prices on August 15, 2000 are listed. This distribution indicates that the probability that the stock price will drop below $ 80 is 40% and that the probability that the stock price will exceed $ 80 is 60%. Similarly, this distribution indicates that there is a 80% chance that the stock will be at least $ 90 and a 20% chance that the stock will exceed $ 90.
[0113]
The visualization techniques described below are useful in enabling users to visualize and quickly understand information about assets.
[0114]
Visualization of implied probability distribution of future prices
As shown in FIG. 11, the visualization device 10 displays the cumulative probability distribution value of the predicted relative future price of the Dell Computer Corporation stock for the current date 12, July 1, 2000. . The price 14 of July 1, 2000 is shown to be $ 41 less than the price 16 of February 1, 2000, which itself was set to an arbitrary starting value of $ 0 for display purposes. This indication can be given at the actual price, as a price change, or as a profit rate. The probability distribution data underlying the visualization device 10 can be generated, for example, by the methods discussed in the parent patent application.
[0115]
The predicted cumulative distribution of the price of the Dell stock over the next few months is indicated by the envelope 16 starting at point 18 and opening to the right.
[0116]
The envelope 16 is divided into stripes 22, 24, 26, 28, 30 each also starting from point 18 and opening to the right. For example, stripe 22 indicates a range of prices (all lower than the current price) at each date in the future, indicating the expected probability (10%) that prices will fall within this stripe. Similarly, stripe 26 indicates a range of prices (higher and lower than the current price) where the expected probability of occurring at various dates in the future is 40%. It can be seen that the likelihood of coming above or below envelope 16 is less than 1%. Each stripe is displayed in a different color, and each color is selected so that a viewer can easily visualize each different stripe.
[0117]
A similar envelope 32 starts at a nominal price of $ 0 on February 1, 2000 and ends at the current date. The envelope 32 indicates the cumulative distribution value of the Dell stock price predicted as of February 1, 2001. The actual price transition of the Dell stock between February 1, 2000 and the current date is indicated by line 34. The extent to which the actual price transition on line 34 matches the predicted cumulative distribution value visually indicates to a user the relevance of this prediction technique.
[0118]
The combination of colors, text, and data shown in FIG. 11 allows an investor to evaluate the performance of an asset over time with respect to his price expectations.
[0119]
The visualization device of FIG. 11 is also useful for non-stock assets, including mutual funds, and portfolios of assets.
[0120]
FIG. 12 shows the same information as FIG. 11, but expressed in terms of predicted margin instead of price. The example shown in FIG. 12 relates to the Check Point Software Technologies Ltd strain as of October 24, 2000, the current date 66. The x-axis represents the profit margin for the start date. Line 62 shows the historical profit for the stock price on the start date of January 1, 2000 at point 67. At the current date 66, the cumulative return on the price of the stock from the starting point 67 is about 200%.
[0121]
The envelope 68 starts at point 66 and is open to the right. The envelope 68 shows the expected likelihood that the profit margin will fall within a range each day for the coming months relative to the first starting point 66. Each range is represented as stripes 52, 54, 56, 58, and 60. The envelopes and stripes are centered around a slightly positive slope trend line 50 that reflects the probability of future price levels generated by a mathematical algorithm based on the implied volatility of the options market. This algorithm is described in related pending US patent application Ser. No. 09 / 641,589, filed Aug. 18, 2000.
[0122]
For example, the expected probability that the profit (relative to starting point 67) will be between 50% and 100% on May 1, 2000 is 10%.
[0123]
Using the same type of data used to generate the display of FIG. 11, except that the data is processed to convert the price data into price movement data plotted along the x-axis. Thus, the apparatus shown in FIG. 12 is generated.
[0124]
FIG. 13 is similar to FIG. 12 except for the effect of shifting the long-term capital capital gains tax rate (identified as vertical line 80 one year after start date 82). Selling shares after the date represented by line 80 will have less tax impact and increase effective profits than if short-term capital gains tax rates were assumed prior to that date. As a result, the envelope 84 is split upward and split during a period after the transition date.
[0125]
Visualization of asset format
FIG. 14 compares the historical profits of asset funds (eg, mutual funds) with the profits obtained by a set of base asset classes (eg, cash, receivables, large present value growth stocks, large present value stocks). Figure 3 shows another visualization device that reflects an asset fund type analysis that evaluates asset funds according to:
[0126]
In the first stage of formal analysis, basic asset classes that need to be mutually exclusive and exhaustive to represent all asset types of interest are selected at once. One example of a class (listed below) has seventeen market indicators, seven representing stocks and the remaining receivables.
[0127]
The second stage of the formal analysis requires the exposure of a given mutual fund to these indicators. This is achieved by solving an asset class factor model, where the funding profit is represented as a linear combination of the profit and residual from the base asset class. Exposure is determined by using weekly data for one year to minimize the variance of the residuals. One-week weekly data may reflect the funding format more accurately. Further, the fund exposure for the base asset class is non-negative and is limited to zero total.
[0128]
In the third stage of formal analysis, the results are given in a form that gives meaningful investment information. The result of the formal analysis for a given fund consists of the proportions in each basic funding class, with the dominant proportion determining the form of the fund. The type of drift for a given fund is determined based on determining the type of change over the past five years.
[0129]
FIG. 14 shows the result of the analysis. The color of each cell 102 indicates to what extent the return to the format associated with the row in which the cell appears during the period represented by the column in which that cell appears accounts for the performance of the fund.
[0130]
The example shown in FIG. 14 identifies each of the 17 indicators of interest (format 100) of a large group of individual investors. For example, type LG refers to a set of stocks characterized as great present value growth. A complete list of each group in this example is shown below.
1. Large present value growth (LG)
2. Large present value (LV)
3. Medium present value (MC)
4. Small present value (SC)
5. European Stocks (EU)
6. Japanese Equity (JP)
7. Promising Market (EM)
8. Cash (TB)
9. Intermediate government bonds (GI)
10. Long-term government bonds (GL)
11. Intermediate bonds (CI)
12. Long-term bonds (CL)
13. Corporation Junk Bond (HY)
14． Mortgage securities (MG)
15. Real Estate (RE)
16. Municipal receivables (MU)
17． World Bonds (GG)
[0131]
Thus, for cell 102, the regression indicates that about 45% of the funding performance is correlated with the LG format for this period of 2000.
[0132]
The values determined by the regression are displayed on a grid where the vertical axis indicates the format and the horizontal axis indicates the time. The color of each cell 102 indicates a ratio according to the ratio scale shown on the right side.
[0133]
The resulting visualization device allows an investor to evaluate the performance of an asset over time with respect to his preferences and strategies for investment.
[0134]
Visualization of recent market activity
The ability to track the activity in the market for assets (such as stocks and mutual funds) as the activity evolves is very important to investors. Many investors rely on daily published chart data to show information such as turnover, price changes, asset identification, and performance.
[0135]
The visualization device shown in FIG. 15 collects, condenses, and improves such information to enhance an investor's ability to visually and quickly understand recent and current market activity. .
[0136]
The display is updated continuously and quickly over the entire trading day.
[0137]
As shown in FIG. 15, the visualization device 120 includes a radar-like display that is segmented as a sector 122 disposed about a center point 124. The device is divided around a point 124 into rings 126, each of which is filled with a different color to visually distinguish the various rings.
[0138]
Each sector 122 is associated with an industry or sector of interest to the investor, for example, the technology sector or the financial sector. The size of each sector depends on the ratio of the asset item displayed for each sector to the total number of asset items shown for the entire population.
[0139]
Each ring represents a different rate of price change during a recent period (eg, during one trading day). Each ring is arranged such that the maximum rate of decrease is near the center of the radar and the maximum rate of increase is near the periphery.
[0140]
A small dot 128 is displayed within each sector, with each point representing a selected stock or asset in the industry sector represented by a laser sector. The distance of each point from center point 124 represents the rate of price change of the corresponding stock at a given time during the trading day. Gray dots represent small present value stocks and black dots represent large present value stocks.
[0141]
If multiple stocks within a sector have the same volatility (eg, at position 130), each point will have a different angular position relative to the center point to convey to the viewer an impression of the distribution of the volatility within each sector. Will be displayed.
[0142]
Implementation details
The visualization elements described above include a wide range of desktop and laptop computers, personal digital assistants, mobile phones, large-screen displays for everyone to view, or closed-circuit or broadcast / cable television monitors. On the device.
[0143]
The visualization element can be displayed alone or embedded in other display material, including other financial information, general news information, or program material. For example, the element may be displayed as part of a website page dedicated to financial information or as part of a general web portal page. The element can be displayed as part of a broadcast TV program or a cable TV program.
[0144]
Raw data for creating a visualization element can be obtained electronically during operation and / or stored locally or centrally as needed. Software that processes the raw data and generates the derived values to be represented by the visualization elements can be run locally or remotely (and then downloaded to a local display). Software that processes the derived values to create a visualization element can be similarly handled.
[0145]
Raw data, derived values, and visualization elements can be updated more or less frequently. However, in many cases, real-time updates are particularly useful.
[0146]
Each visualization element is interactive by allowing the user to change how the element is displayed or to make an input indicating the selection of data contained in the element, such as a mouse click. Element. Configuration features can be provided to allow a user to configure the type of information to be received, the display format of the information, and the frequency and interval at which the information is received.
[0147]
Other implementations are within the scope of the claims.
[0148]
For example, for the visualization element shown in FIG. 15, the overall shape of the element may be other than round, the sector may be other than a simple pie shape, and the ring may be other than a simple ring. Well, individual points can be replaced by other icons, points or other icons can be arranged from the center to other arrangements, and distinguish each different part of the display using visible elements other than color can do.
[0149]
A wide variety of variations is possible for the visualization elements shown in each drawing.
[0150]
Appendix A
The three aspects of the present invention are as follows.
[0151]
1. Recognizing that it is desirable to display the probability distribution governing the price of a particular asset (e.g., stock) at a selected future time to financial investor customers in real time, for example, on a World Wide Wed site.
[0152]
2. Recognition that such probability distributions can be derived from option prices of this asset or related assets, which are readily available in real time.
[0153]
3. Probability distributions that involve several asset prices simultaneously are useful to investor customers in some cases, especially when investigating hypothetical scenarios, and have a single asset distribution as described above (but , Not limited to the above distributions) can be meaningfully incorporated into a manageable multivariate distribution.
[0154]
This appendix first describes a basic method for deriving the probability distribution of a single asset from option prices. The following describes improvements to this basic method to address various practical issues. We then take a multivariate case and show how to extend this kind of single asset probability distribution or any other probability distribution to a multivariate case. Finally, consider some new multivariate applications, focusing on investigating scenarios.
[0155]
1 Basic method
A call option is an option to purchase an asset (eg, a stock) at a given maturity after T days at a certain price x (called the strike price). (Options that can only be exercised on maturity are referred to as “European-style” options. For simplicity, this discussion will consider only those options.¹). Similarly, a put option is an option to sell an asset at strike price x at a given maturity date. (In this case, the “European-style” assumption, which cannot be exercised before the maturity date, is more important, but is also ignored for put options that are not so deep “in the money” Good.)
[0156]
¹  Even if exercised before the maturity date, liquidally traded call options without a large dividend can be treated as if they could not be exercised before the maturity date. This is because selling options is usually a better way, and such call options work similarly to European style options.
[0157]
Let c (x) denote the price of the call option for the strike price x asset and let p (x) denote the price of the put option. Such prices are established by option brokers. It has been found that such prices implicitly contain information about the "market view" about the probability distribution of the price of this asset at maturity.
[0158]
In a simple but important form, this market view can be described as follows. Assume that a call price curve c (x) or a put price curve p (x) is given as a continuous function of strike price x where all x> 0. In this case, the second derivative of the call or put price curve is the market view of the risk neutral probability density function (pdf) f (x) of the asset price at maturity. In other words, f (x) = c ″ (x) = p ″ (x).
[0159]
The idea that option prices determine some kind of implied probability distribution is fairly well known in the financial literature. The idea that pdf can be calculated by taking the second derivative of a continuous option price curve is known in the academic literature, but does not seem to be very well known. See, for example, the standard literature "Options, Futures, and Other Derivatives", John C. A .; Hull (4th edition, 1999, Prentice-Hall) describes the implied probability, but does not describe the second derivative method. The best document I could find was C.I. Jackwerth and M.W. Rubinstein, Recovering probability distributions from option prices, J. Finance, Vol. 51, pp. 1611-1631 (1996).
[0160]
The risk-neutral distribution (for a certain asset at certain time T) is defined as the price distribution that holds when market participants are risk-neutral (generally not). However, many asset pricing theories, such as the Black-Scholes option theory and the theory upon which most of the variants described in the Hull reference above, are based, simply, on a risk neutral distribution f (x). Is adjusted by an appropriate risk premium, a risk-avoidance asset price distribution can be obtained from the risk-neutral distribution f (x). If there is no dividend, the true distribution is f (xe^{( μ -R) T})). In this case, μ-r is the expected annual rate of return of this stock above the risk-free interest rate r. We use a variation of this simple format, modified slightly to obtain a payout (see below). However, the invention can handle more complex adjustments. In this format, the value of μ-r must still be supplied. The present invention uses as default a "consensus estimate" obtained from Grinold and Kahn's document "Active Portfolio Management" (1995). The authors propose that the long-term average value of the risk premium be 6% per year and that this number be multiplied by the stock β to obtain μ-r. The parameter β is the slope of the line that gives the regression of the stocks of interest to the market portfolio, often referred to as S & P 500. This is a known CAPM estimate for the expected extra benefit. For better or worse, this estimate fits the purpose of the present invention to provide a market view because it has the characteristics of a consensus estimate. However, this is only the default. The present invention provides a risk-neutral component of probability, with other estimates for the risk-aversion adjustment parameter μ-r and any explicit values for adjusting the risk-neutral probability density to the risk-avoidance probability density. It can handle various methods. It should be pointed out that for a relatively short period of time, possibly one or two months, the required risk adjustment is small and is generally overwhelmed by fluctuations in the risk-neutral distribution itself.
[0161]
It simply illuminates that the second derivative procedure gives the correct risk-neutral probability distribution. Similar to Hull, the European call price or put price can be calculated as the expected value in the risk neutral distribution.
[0162]
If the actual value of the asset at maturity is $, then the value of the call option at strike price x is max {-x, 0} and the value of the put option is max {x-}, 0. ｝. If the actual value is a random variable with pdf (υ), the expected value of the call option at x at maturity is:
(Equation 10)

And the expected value of the put option at x at maturity is:
(Equation 11)

Is represented by
[0163]
The current values c (x) and p (x) are c_T(X) and p_T(X) to e^-RT(R is the risk-free rate of interest). However, in this step, the probability distribution at the time T is predicted and no discount is performed, and therefore, simply c (x) = c_T(X), p (x) = p_TWrite (x).
[0164]
Further, the following can be understood from these equations.
(Equation 12)

Where s * = E_υ[Υ] is the expected value of the asset at maturity under the risk neutral distribution. (If there is no dividend, s * = se^rTIn general, when there is a payout, the value of the payout at time T is represented by^rTMust be subtracted from. This known relationship is called put-call parity and shows why both price curves hold the same information.
[0165]
From the above equation for c (x), the first derivative can be expressed as:
(Equation 13)

Where:

Is the cumulative distribution function (cdf) of the random variable υ. To prove this,

Note that Therefore, the following equation is established.
[Equation 14]

In the expression, variables υ and z are interchanged, and integration is performed on a two-dimensional region R = ｛(υ, z): x ≦ z ≦ υ｝. This equation implies that c '(x) =-(1-F (x)).
[0166]
From put-call parity, the following equation is similarly established.

[0167]
Since cdf and pdf are related by F '(x) = f (x), these equations show that the second derivative of c (x) or p (x) is pdf f (x). Imply.

[0168]
Thus, the general features of the option price curves c (x) and p (x) are as follows:
[0169]
C (x) = E for all x less than the minimum of υ (ie, such that F (x) = 0)_υ｛Υ｝ −x = s * −x and p (x) = 0. In other words, c (x) is c (0) = E_υIt is a straight line with a slope of −1 starting from ｛υ｝ = s *, while p (x) = 0.
C (x) = 0 and p (x) = x-s * for all x greater than the maximum value of υ (ie, such that F (x) = 1). In other words, p (x) is a straight line with slope +1 and x-intercept s *, while c (x) = 0.
The two segments are connected by a continuous convex U-curve whose slope increases from -1 to 0 for c (x) and from 0 to +1 for p (x).
[0170]
average E of pdf f (x)_υ｛Υ｝ is s *, and the future dollar value of the original price s at time T (the value of the dividend minus the value of the dividend) is calculated based on the option price even if there is no market activity in the option. It implies that it must be constantly adjusted to reflect the change in price s.
[0171]
s * = E_υThe fact that ｛υ｝ implies that the general direction of the original price s cannot be predicted in the option price curve. However, the option price curve predicts the shape of pdf f (x) and especially its volatility.
[0172]
1.1 Approximation based on finite subset of quotes
In practice, the option prices c (x) and p (x) are determined only for a finite subset of equally spaced strike prices x, ie, x = nΔ for integer n and interval Δ. Let c (nΔ) and p (nΔ) be c_nAnd p_nIndicated by In addition, the bid only specifies the bid / ask spread, not the exact price. This section shows how to address these issues. (Most of the papers of Jackwerth-Rubinstein (op. Cit.) Relate to these types of curve fitting problems.)
[0173]
The first derivatives c ′ (x) and p ′ (x) at x = (n + ／) Δ can be estimated by the first difference.
(Equation 15)

[0174]

The corresponding estimate of is given by:
(Equation 16)

[0175]
Thus, using both European-style put and call bid and ask prices, cdf

Can be calculated and then combined as a single estimate. This combination preferably has x = (n + ／) Δ much less than the original price s (“deep out of the money”) or close to s (“near the money”); Consider much more than s ("deep-in-the-money") according to each different pattern of setting quotes in these different ranges. In addition, consideration is given to avoiding near-price roots when options are likely to be exercised before their maturity date, such as in deep-in-the-money puts.
[0176]
Similarly, the second derivatives c '' (x) and p '' (x) at x = nΔ can be estimated by a first difference between the estimates of the first derivative. For example, the following equation holds.
[Equation 17]

estimated value of pdf f (nΔ)

As

Alternatively, some combination as described above can be taken.
[0177]
Since f (x) ≧ 0, the option price satisfies the swelling condition, for example, c for all call option prices_{n + 1}-2c_n+ C_n-1Note that ≧ 0. In fact, if this condition is violated, purchasing one call option at (n + 1) Δ, purchasing another call option at (n-1) Δ, and selling two call options at nΔ. Profit can be gained through the Butterfly Saddle without dangers, including: A similar result holds for put options.
[0178]
1.2 Dynamic estimation
The methods discussed in the previous section allow estimating cdf and pdf in a subset of Δ interval values of x based on a static set of option bids at a particular time.
[0179]
However, as described above, the option price must continuously change according to the change in the original price s. Let s * denote the corresponding futures price at maturity (s evaluated as having interest). Suppose that this price (measured in dollars at maturity) increases (or decreases) by a small amount, eg, an increment ε in its logarithm, with little or no change in volatility. In this case, ε can be generally regarded as the transfer rate δ / s * caused by the shift δ of the (future) stock price. In this situation, the “future” probability distribution of the stock price is expected to simply shift by ε in the log domain. That is, the distribution looks the same there except that the mean shifts by ε. Therefore, x = e^lnxIs the new cdf value at F (e (^{lnx- ε})) = F (x / a). In this case, F denotes the first cdf with the distribution mean s *, where a = e^εIt is. A rational call price function equation that has the same effect on the derivative is:
ac (s *, x / a) = c (as *, x)
Where c (s *, x) indicates the dollar price of the maturity date of the strike plus x call option when the price of the underlying asset is s. Note that in this formula, all other variables, such as volatility, are the same, and this is assumed to be approximately only true for very small values of ε.
[0180]
However, assuming this approximation, the strike price x option price measured when the (future) price moves to as * when a is close to 1 is replaced by the strike price x / a option , But can be regarded as a price corresponding to the current original price s *. Considering all the strike prices frequently attached to the options, and considering additively, a different subset of approximately equally spaced strike prices, ie approximately x = for various values of δ = εs * c (x) (and p (x)) can be observed for nΔ-δ. Of course, we need to keep in mind that the option price and the underlying asset price are synchronized. For this reason, it is preferable to separately consider the value of nΔ (corresponding to various standard strike price values) and synchronize the observed sale time of the option at a given strike price with the underlying security. Implied volatility (described below) can be monitored so that the change in implied volatility with respect to ε is small.
[0181]
Using techniques similar to those described in the above paragraph, using a short strike interval and using a short time interval or time series method (a time average that weights the present instead of the past) gives a given Meaningful average option prices for strike prices can also be calculated. Note that without the framework described in this section, the calculation of the "average" option price for a given strike price would be problematic if the stock price fluctuated within the average period.
[0182]
Abstract: Assuming that the original price moves sufficiently, we can effectively observe the price for a much finer-quantized subset, calculate an estimate as described above, and improve the accuracy by averaging. Can provide a framework for
[0183]
2. Method of extrapolation and smoothing
The basic approach in the previous section has two important limitations. First, option bids are only available on certain maturity dates. The second, less obvious, is that option bidding is primarily a reliable bid for options with substantial market activity. This is usually a short-term option at strike price near the money (original price).
[0184]
Extrapolation and smoothing techniques are used to extend the prediction method of the present invention to times other than the expiration date and to a wider range of strike prices (and to reduce "noise" in the display of the present invention). Extrapolation and smoothing in the volatility domain has been found to be advantageous.
[0185]
There are a number of reasons for this advantage. For example, an option exerciser may be well aware of the types of historical volatility curves (sometimes referred to as "volatility smiles") in various markets and how such curves may change over time. Awareness can be given as a guide to imposing a structure on the smoothing curve that prevents possible artefact overfitting. Numerous records are maintained of the volatility implied by option prices, and it is easy to see how volatility has changed with price behavior in the past. For example, the Chicago Options Exchange publishes the Exchange's average near-the-money volatility index (now called VIX) for S & P 100 options through 1986. Finally, we visualized a volatility curve that was theoretically flatter when f (x) was lognormal, rather than the visual difference of the near lognormal distribution pdf, which is all quite similar. It is easier. Mathematically, improving the model in the volatility domain, simply by changing the coefficients of the low polynomial approximation, affects the higher order terms in the power series for the corresponding cdf or pdf. it can.
[0186]
The following sections detail the processing in the volatility domain.
[0187]
2.1 Lognormal pdf
According to the standard Black-Scholes theory of option pricing (see Hull, supra), In υ is the variance σ²E is a Gaussian (normal) random variable with T_υA lognormal distribution pdf f (υ) where [υ] = s * is obtained. In this case, the parameter σ is called the volatility rate of the asset, and T is the time to maturity. Due to the standard properties of the lognormal distribution, this means that the average value of_υ[Lnυ] = ln s * -σ²Implies T / 2.
[0188]
From this pdf, the following famous Black-Scholes Cole option pricing formula [Hull, Appendix 11A] is obtained.
(Equation 18)

Where N (d₁(X)) and N (d₂(X)) is the value of the cumulative distribution function of a Gaussian random variable with mean zero and variance 1 at the following points.
[Equation 19]

(Recall that the call price according to the present invention is not discounted, but is given in dollars at time T, and s * is today's stock price in dollars at time T minus the value of any dividends. )

Is the standard deviation of lnυ, thus -d₂Note that (x) is only Inx measured with a standard deviation from the mean E {[ln}].
[0189]
Similarly, put call parity yields the following Black-Scholes put option pricing formula:
(Equation 20)

[0190]
Taking the derivative with respect to x, s * N '(d₁(X)) = xN ′ (d₂(X)) and d '₁(X) = d '₂Using (x) (this formula holds by assuming constant volatility; we do not use this assumption below), we get:
(Equation 21)

In this case, F (x) is the probability that υ ≦ x, which is equal to the probability that lnυ ≦ Inx, and lnυ ≦ Inυ is the case where lnυ is the mean Eυ [Inυ]

Is given by the following equation:
(Equation 22)

Thus, the Black-Scholes pricing formula proved to give the correct cdf F (x). Therefore, a correct lognormal distribution f (x) = F '(x) is obtained by the derivative of F (x).
[0191]
2.2 General cdf characterization
Next, let F (x) be any cdf for R +, a function that monotonically increases from 0 to 1 as x increases from 0 to infinity. For simplicity, assume that F (x) increases strictly monotonically, i.e., f (x) = F '(x)> 0 at some point. Then there is a continuous one-to-one "warping function" y: R + → R such that F (x) = N (y (x)) everywhere, ie cdf F (x) Is the probability that a standard Gaussian random variable with mean zero and variance 1 satisfies n ≦ y (x). Similarly, there is an inverse warping function x (y) such that F (x (y)) = N (y).
[0192]
Given a warping function y (x), cdf F (x) can be extracted from the relation F (x) = N (y (x)). Thus, cdf F (x) completely specifies the warping function y (x), and vice versa, ie both curves carry the same information.
[0193]
F (x) is the average E as in the previous section._υ[Lnυ] = ln s * -σ²T / 2 and variance σ² _υ= Σ²For a cdf of a lognormal variable よ う な with T, the warping function is given by:
(Equation 23)

For this reason, d₂Even if cdf is not a lognormal distribution, y (x) is set to -d so that the above-mentioned right expression for (x) does not hold.₂(X).
[0194]
2.3 Implied volatility
If f (x) is not a lognormal distribution, the Black-Scholes pricing formula does not hold. Nevertheless, given an option price c (x) or p (x), the implied volatility σ (x) is reduced to the Black-Scholes pricing formula for a given x, s, and T. It is generally defined as a value of σ such that
[0195]
The implied volatility curve σ (x) thus defined is a function of the strike price x that is constant only if pdf f (x) is actually lognormal. In fact, the implied volatility curve is usually a convex U-curve called "volatility smile". See, for example, Chapter 17 of Hull.
[0196]
From section 2.1, it can be seen that there is a second method for calculating implied volatility as follows. Suppose there is an estimate of cdf F (x). Volatility σ implies cdf₁Let (x) be the Black-Scholes cdf formula F (x) = N (−d for a given x, s, and T₂(X, σ, T)) is defined as a value of σ that holds.
[0197]
The first method has the advantage that it is defined directly from raw price data and is well understood in the financial world. However, the second method has the following advantages.
[0198]
1. Calculation from at least the estimated value of F (x) is easy.
2. A simpler, clearly more intuitive relationship is given as the relationship between volatility and cdf F (x). When the conventional implied volatility σ (x) is used, this relationship is as follows.
[Equation 24]

3. It fits better with the multivariate theory developed below.
[0199]
Two curves σ (x) and σ₁(X) seemed to be fairly similar, at least in terms of the direction of the gradient, and was found to be not far off overall in the value "near the money". Also, whenever σ (x) has a zero gradient,₁(X) = σ (x). However, when the gradient σ ′ (x) is negative (which often occurs in the case of stocks),₁(X) is slightly smaller than σ (x). See the above formula. Finally, one function is as ad hoc as the other. Thus, for the above reasons, the cdf implied volatility curve σ₁It is generally preferred to use (x).
[0200]
In each case, σ (x) and σ₁Obviously, any of (x) contains the same information as any of the curves c (x), p (x), F (x), or f (x). σ (x) or σ₁From (x), c (x) or F (x) can be recovered using the Black-Scholes call option pricing formula or cdf formula, from which all other curves can be obtained.
[0201]
2.4 Extrapolation and smoothing in the volatility domain
Volatility curve σ (x) or σ₁(X) can be calculated point by point from the corresponding curve c (x) or p (x) to obtain a set of values in a finite subset of strike price x. Each of these values can be considered to have some degree of confidence.
[0202]
In this case, in a standard problem, the smoothed and extrapolated curve

Or

Are applied to these points taking into account their relative reliability. Any standard smoothing and extrapolation method can be used. In general, the usual problems of avoiding overfitting or oversmoothing must be addressed.
[0203]
It is known that implied volatility also varies over time. In general, the Black-Scholes formula, for example, c (x) = c (x, σ, T) or F (x) = N (−d₂Curve instead of constant volatility σ at (x, σ, T)

Or

It is desirable to estimate
[0204]
A particularly significant example is "Implied volatility functions: Empirical tests". Dumas, J.M. Fleming, and R.A. E. FIG. Whaley, J.M. Experiments were performed with a smoothing algorithm of the type used in Finance, 53, pp. 2059-2106, December 1998. These authors have applied the implied volatility curve σ (x) to establish a “Stromann” option pricing model that tests (and reverses) the theory of the role of volatility in option pricing. Dumas et al.'S "Strawman" option pricing model c (x) was obtained by reverting the resulting smoothed curve back to the Black-Scholes-Cole formula. This is a "Stromann" ad hoc model. This is because there is no intuitive concept of equity volatility in which stocks fluctuate with strike prices that never "see." Nevertheless, Dumas et al.'S model performed well and outperformed the highly implied "implied tree" method in terms of prediction. As one possible explanation, it has been described that the model of Dumas et al. Is a model that smoothly mimics the interpolation method actually used by option market exercisers. (See the discussion of Hull's "Volatility Matrix" cited above.) Such an option pricing technique is ideal for the present invention because it is accurate and its underlying principles represent a market view. Seems like a technique. Therefore, in the present invention, the Dumas-Fleming-Whaley model is used for a completely different purpose of the present invention itself, that is, prediction of a probability distribution. What is needed is a derivative of the call price model of Dumas et al., Which is advantageously a smooth function of the strike price and other standard variables such as time, current stock price, and the risk-free rate of interest, which is advantageous for the present invention. All you have to do is. The formula for cdf F (x) is the derivative of this derivative minus one, as described above, or:
(Equation 25)

It is. This can be a very explicit expression.
(Equation 26)

Where N ′ (z) indicates the standard normal density, while σ ′ (x) can be calculated by differentiating the Dumas-Fleming-Whaley fitted volatility curve. This volatility curve has the following form:

[0205]
Coefficient ｛a_i｝ Is determined by regression. This type of quadratic curve fitting is easily realized. Dumas-Fleming-Whaley imposes constraints to prevent the volatility of Dumas et al. From becoming less than zero (and sometimes less than 0.01), and the present invention further provides that the final cdf is Restrictions were imposed on the extrapolation (the extrapolation often goes beyond the scope of Dumas et al.'S test) so that it does not go below or grow below zero. For example, other variations were attempted on the basic approach of Dumas et al. Using linear interpolation in the time domain where it was not necessary to obtain the derivative. The method of the present invention is, of course, directed to any approach to volatility curve fitting, which can be quite different. However, the general Dumas-Fleming-Whaley method has many properties that are advantageous for fitting the volatility curve: accuracy, suitability for Black-Scholes market use, smoothness (particularly differentiability), and volatility curve. It has properties such as its suitability for the historical experience of the smile structure (particularly important for extrapolation) and its simplicity (beyond ease of implementation, it helps to avoid overfitting). These benefits are realized with respect to probabilities that such volatility curves were not taken into account in the papers introduced.
[0206]
3 multivariate examples
The method of the previous section can produce a representation of a raw probability distribution or a smoothed and extrapolated probability distribution for any asset with options. Option prices are set for a number of securities and certain indices such as the S & P 500.
[0207]
However, investors want to know a detailed probability distribution about:
・ Your entire portfolio
・ Mutual fund
・ Securities without market options
・ Securities in hypothetical scenarios
[0208]
In all of these issues, several securities are considered at the same time and the probabilities that they make up the price at the same time are considered. Obviously, this is a consideration of the above two items, but also relates to the third item, where as much information as possible about securities without quoted options has Must be extracted from securities that have a correlation with this security. Finally, the scenario analysis examines the probability that several securities prices will occur at once, including changes in market affecting factors that can be modeled by changes in the portfolio of securities most affected. There's a problem. All of these issues will be addressed in the rest of this book, but first the basics will be explained.
[0209]
For a portfolio of securities or a mutual fund, the present invention focuses on composite assets of the form:

Where x_iIs cdf F (x_i) Or pdf f (x_iA) are all assets that we know individually. The flexibility of the method of the present invention can be maximized without having to use a particular procedure to gain this knowledge. However, in the present invention, the method in the previous two sections is used. However, even securities or indices with market options may not seem to have enough option activity to fully fit the volatility curve, and a coarser alternative approach, in some cases available implied volatility May be used. In addition, it is advantageous to allow the probability that some assets being monitored have no quote options at all. This is easily addressed, for example, using a flat volatility curve with historical volatility values. For testing and comparison, in some cases, a list of assets with all the volatility curves thus given can be considered. In each case, the method of the present invention is very general and for all i, F (x_i) = N (y_i(X_i)) Warping function y_i(X_i). If the asset has an active option market, first estimate F (xi) directly from (the finite difference of) the option price data as in Section 2.2, or extrapolate and smooth in the volatility domain , The warping function can be determined by using the techniques discussed later in Section 2. In the latter case,
[Equation 27]

The fitted volatility curve as

Warping function y expressed by_i(X_i), And this formula can also be used with any volatility curve with the above assets that may have little or no options traded. The following sections discuss portfolios in the log domain, possibly including long and short positions. It is possible to warp these positions directly to the standard normal position, subtract the mean and divide by the standard deviation. Alternatively, to keep the notation of the present invention uniform, -d₂(X_i) Gives the observed historical volatility to σ₁The price x at which this warped value is obtained (using (x))_iCan be devised. However, it should be noted that the method described in the present invention handles any single variable warping function, even if a different warping function is used for each variable. The other essential element is only to use the joint normal distribution discussed below.
[0210]
A general problem is that a complete set of variables (x₁,. . . x_n) Or to find the logarithmic multivariate probability distribution of these variables as well. In a simple financial model generalizing the Black-Scholes framework, the multivariate distribution of logarithmic variables is a multivariate (ie, joint) normal distribution. See Musiela and Rutkowski, "Martingale methods in financial markets" (1999). This indicates that all portfolios of these log variables are joint normal, and that these portfolios can also be used with other log variables and their portfolios to form a joint normal distribution. Therefore, if necessary, the BARRA (or functionally equivalent) coefficients are used as single (logarithmic) variables in the model of the invention, for example, by using the individual normal distribution of these variables based on historical volatility. It is reasonable to use. These factors can represent the company's fundamental terms and, in some cases, macroeconomic variables such as interest rates. Such coefficients will not be discussed further, but see Grinold and Kahn, cited above, which also describes how to closely approximate such coefficients as a portfolio of securities returns. The present invention preferably does not use the BARRA coefficient directly, stays in the world of option securities as much as possible, and addresses the problem with the BARRA coefficient primarily in approximating a portfolio of option securities. (However, for testing and comparison purposes, it is again useful to include these coefficients directly, which is possible with the present invention.)
[0211]
Secondly, it is not desirable in the present invention to use only a simple multidimensional Black-Scholes model that does not directly enable non-lognormal inputs from our single variable distribution based on the options market. At the same time, option prices for individual assets do not know how each asset interacts, especially regarding the correlation of each asset. Advantageously, the correlation can be estimated from past (historical) data and can be viewed as a covariance of the standardized data (with a standard deviation of 1). Each multivariate normal distribution is determined by its mean matrix and covariance matrix. Thus, in a natural approach, the variables are transformed or "warped" to the standard normal distribution using the individual distributions and then imposed a multivariate normal structure based on a correlation matrix. This procedure is independent of different individual warping functions for each of the various individual variables, and in particular incorporates the market-based option distribution of the present invention for individual variables representing securities with active option markets. Can be. In a slightly different approach, the correlation between the warped variables is used. This procedure is likely to improve accuracy, but may increase calculation time.
[0212]
I will explain in some detail. As mentioned earlier,_iX_iWhen used as the second notation, the former is preferable to a constant value and the latter is preferable as a variable, so that it is notationally convenient. Let C be the historical correlation matrix of logarithmic variables whose entries are cross-correlated (ln υ₁,. . . , Ln}_n).
[Equation 28]

In that case, all diagonal terms ρ_iiIs equal to 1 and C is a positive quasi-definite covariance matrix, here assumed to be nonsingular (positive). Instead, if we use the correlation of warped variables, then simply:
ρ_ij= E (y_iy_j)
[0213]
F_C(Y₁,. . . , Y_n) Is defined as the cdf of a multivariate Gaussian random variable with mean zero and covariance matrix C. Therefore, F_C(B₁,. . . , B_n) Indicates each variable y_iThere is a value b_iIs the probability that Each y_iIs a_i≤y_i≦ b_iF that gives the probability_C(A₁,. . . , A_nB₁,. . . , B_nThere are more sophisticated functions like). For a single variable, such a function can be obtained from a simple cdf by a single subtraction involving two terms, but the corresponding bivariate case includes four terms and the n-dimension has 2ⁿThere are terms. However, each of these more sophisticated cdfs can be calculated directly as integers, just like simple cdfs. Since these more sophisticated cdfs are sometimes needed for Monte Carlo calculations in higher dimensions, it is best to consider them as directly calculated.
[0214]
Next, a multivariate distribution cdf is defined as in the following equation.

and

Where y_i(X_i) Is the known warping function for the individual variables. Although somewhat abuse of words, despite considering all of the above functions, F (x₁,. . . , X_n) Is called "cdf" and F (x₁,. . . , X_n) Is advantageously used instead of the entire distribution. In that case, the multivariate distribution cdf has the following characteristics.
[0215]
・ F_C(Z₁,. . . , Z_n) Is a Gaussian distribution with mean 0 and variance 1, so that F (x₁,. . . , X_n) Is N (y_i(X_i)) = F (x_i)be equivalent to. That is, it is correct according to each single variable model.
Logarithmic variables (lnυ₁,. . . , Ln}_n) Is actually a joint Gaussian distribution, the multivariate distribution cdf F (x₁,. . . , X_n) Is correct.
[0216]
In essence, the true joint distribution is that the marginal distribution of each variable is determined according to a selected single variable model (eg, according to the single variable model of the present invention for security with options, or according to a lognormal model using historical volatility). ) Approximated by a joint lognormal distribution with historical correlation, combined with a warping function for each variable to be correct. The single variable is actually a portfolio, and the default distribution for portfolio profits may be a lognormal distribution based on historical volatility. This multivariate distribution theory is a generalization of both single variable theory and standard multivariate (logarithmic) Gaussian models. This theory also allows market entry by option prices to the extent that the component has an active option market, but does not exclude non-option securities and allows portfolios as single variables. Such BARRA (or functionally equivalent) coefficients are also acceptable as they are interpreted as a portfolio of long and short positions.
[0217]
4. Application to Portfolio
Multivariate distribution cdf F (x₁,. . . , X_n) = F_C(Y₁(X₁),. . . , Y_n(X_nGiven)), solutions to many representative problems can be obtained. It is first described schematically and then some applications are discussed in detail.
[0218]
As an example, assume that the cdf of the following portfolio variables is determined.

Where h_iIs an arbitrary coefficient. A simple Monte Carlo method probably not the fastest
Then, cdf F_C(Y₁,. . . , Y_n), A random sample is drawn from the joint Gaussian distribution with_i(Y_i) Through each y_iIs then transformed, and the following output sample is calculated.

[0219]
After enough samples have been obtained, an approximation of the cdf of x is obtained. Strictly speaking, the probability that a ≦ x ≦ b is approximately a ≦ h₁x₁(Y₁) +. . . + H_nx_n(Y_n) Sample y with ≦ b₁,. . . , Y_nThis approximation becomes exact at the large sample size limit. This is valid for actual portfolios or portfolios composed of several assets and residual variables resulting from regression. Typically, the regression is performed in the log domain, discussed below. The above equation for x may be transformed to x_iFunction f (x₁,. . . , X_nNote that the Monte Carlo method described above works perfectly well when replaced by
[0220]
4.1 Logarithmic Domain Portfolio
This section points out how the method of the present invention fits into the paradigm commonly used in the financial world and establishes some other notations. It is common to perform processing in the profit domain or to treat the logarithm equivalently. That is, the following equation is established.

[0221]
By ignoring the possible discrimination of these variables by the variables in the previous section, x is transformed into a non-linear portfolio x = f (x₁,. . . , X_n) = Exp (β₁ln x₁+. . . β_nln x_n), The same arguments as above and the Monte Carlo method apply. β_iIf the sum B of is 1, such x is
(Equation 29)

Can be written. Even if B is not 1, the incremental change ("profit") dln x calculated for x from this formula is consistent with the above formula for In x. In the financial world

Is approximately constant h_i, And therefore x '_iIn the short term when s does not change much, this formula for x corresponds to the portfolio formula in the previous section.²
[0222]
²  Therefore,

And therefore a small change dx_iIn the case of, the change dx from the first equation is approximately the same as the change obtained from the second equation. However, this relationship requires a "rebalance" to maintain a good approximation over time.
[0223]
x_iFor an asset x that is not explicitly represented with respect to, we obtain the following similar formula via linear regression:

βi for i ≠ 0 is (probably β_i≧ 0 or

(Restricted as such), and is selected as a correlation coefficient that minimizes the variance of residuals in historical data. For example, x may be a security with no quoted options, x for i ≠ 0_iCan be considered as an asset whose probability distribution as well as the required correlation coefficient of x are individually known. The residual term is β₀ln x₀(Usually β₀= 1 and the residuals are considered normal distribution).³  This average may be non-zero, giving a regression "α", which is a constant term that corrects the regression average. Alternatively, the formula can be modified to allow an explicit α and keep the residual mean at zero. Other minor variations may include adding a dummy variable with certain benefits to increase or decrease the value of x. In particular, in this case, another method is provided for adjusting the residual mean to zero. From this equation, β₀If = 0 is allowed, the previous equation is given as a special case.
[0224]
³  For the residual term i = 0, a constant variance can be used or some general non-constant structure based on observed behavior can be imposed.
[0225]
4.1.1 Fast Portfolio Fit
One approach to ensuring that the calculations are relatively fast is as follows. As in the case of obtaining the volatility that implies cdf in Section 2, each logarithmic variable ln x_iIs non-constant variance σ₁(X_i)²Assume that it is a "Gaussian" variable with T. In other words, cdf is F (x_i) = N (−d₂(X_i, Σ₁(X_i), T). The goal in this case is to use some kind of fitted curve σ₁Using (x) to give F (x) by a similar formula. Assume that some sort of volatility curve is considered, along with a small number of parameters that must be determined.
[0226]
Variable ln x₀,. . . , Ln x_nIs a true connected Gaussian variable, then In x is also a Gaussian variable. The variance is given by the following formula:
[Equation 30]

Where ρ_ijIs ln x_iAnd In x_jIs the correlation of

It is. Therefore, σ is given by the following conditional expectation:₁Estimated value of (x)

Is defined.
[Equation 31]

[0227]
The calculation of the conditional expected value described above can be performed using the Monte Carlo method. In the non-linear portfolio term above, the function f (x₁,. . . , X_n) Is

Is assumed to be outside the thin multidimensional solid line surrounding the hyperplane defined by Inside the solid line, f (x₁,. . . , X_n) Is taken to be the value obtained by dividing the above equation for Var (ln x) by the probability of falling within the solid line (also Monte Carlo calculation). For samples, Var (ln x) is averaged over all samples ending inside the thin solid line. But,

It is not necessary to calculate all values of, it is sufficient to fit the parameters to the volatility curve in use.
[0228]
The estimated mean of ln x is

Where s * is determined as described above or replaced with a risk aversion estimate to obtain a risk aversion or "true" distribution. (Note that using such a factor model

From the danger avoidance value of

It is common to estimate the risk avoidance value of )
[0229]
In addition, some useful variances are described here. Residual term β₀ln x₀Is not considered part of the model, and ln x₁,. . . , Ln x_nIt is preferable to write the join function pdf for only In this case, the following double expected values can be used.
(Equation 32)

Where the inner expected value is the variable x₁, X₂,. . . , X_nAnd the outer expected value is a value related to the residual. Residual (β₀= 1) standard deviation σ (x₀) Can be obtained as a historically determined constant, or an estimate based on a leverage model can be determined.
[0230]
Next, similarly to the univariate case, cdf F (x) can be estimated by the following equation.
[Equation 33]

In short, the parameters of the univariate model of the portfolio are obtained using the multivariate model. After this, the probability of the portfolio can be obtained without having to return to the multivariate model, thus saving time. Going further, independent of Monte Carlo theory, σ₁The value of (x, T) is randomly generated (but possibly again discarding the value of x that is too out-of-the-money), and then the resulting value is used to make Dumas- It is conceivable to perform the regression required by the Fleming-Whaley method.
[0231]
5 “what-if” problems
Multivariate distributions are useful for studying many problems with conditional probability. For example, suppose you want to know the effect on the portfolio of a change in a segment of the market or a change in a macroeconomic factor. BARRA, according to Ross's early concept, views such macroeconomic factors as a portfolio with both long and short positions. Similarly, BARRA considers market segments related to price-earnings ratios and other basic parameters and industry groupings as portfolios. (See Grinold-Kahn's book, cited above.) Thus, only consider the effect of one portfolio on the other.
[0232]
For clarity, assume that the first portfolio is x where the following equation holds, as described above.

Suppose the second portfolio is y such that:

β₀= Γ₀= 1 and In x₀And ε = ln y₀As the residual with mean 0. This residual is not assumed to be a factor in the multivariate model of the present invention. Consider the following representative "what-if" problem, where A and B are given positive constants. That is, when x ≧ A is known at time T, the probability that y ≧ B is obtained at time T is determined. The present invention provides two approaches to this problem. The first approach is probably faster, but sometimes less accurate, because it avoids at least some Monte Carlo calculations using regression.
[0233]
5.1 "what-if": a technique involving partial regression and partial Monte Carlo
Iny ≧ InB Biff Iny−ε ≧ In B−ε. ln x_iAnd In x_jAll correlations with ρ_ijIs assumed to be known. Historical volatility values

It may be assumed that there is. (Although such values can be estimated as the expected value of implied volatility, maintaining an inventory of historical values is not difficult, and doing so is in line with the intent of this part of the calculation. .) Therefore, the historical covariance of Inx and Iny-ε

When

And correlation

Can be estimated.
[0234]
This gives the standard regression of the variable Iny-ε, expressed in standard deviations from the mean, in a similarly standardized formula of Inx. Note that, by construction, the average value of ε is zero.

And Therefore,

Measures the standardized In x using historical volatility,

Is the volatility curve for which cdf is implied, as discussed in the previous section.

Is used to measure the "normalized" (warped) Inx. in this case,

Denotes the optimal estimate according to the invention of the value of x at time T.
[0235]
σ₁If (y, ε) can be estimated as in the previous section (or if we want to consider the residual to be uncorrelated with Iny-ε, as in unconstrained regression,₁Let us denote the volatility curve associated with lny-ε (which can be calculated from the estimated value of (y) and the standard deviation of the residual). -D₂So that (y, ε) is a “standardized” measure of Iny-ε

And In that case, the standard regression appropriate for the model of the present invention is:

[0236]
There are residuals associated with this regression that are not used in the present invention. This is probably a normal distribution, and its variance can be calculated. For notational reasons, assume that this residual is built into the first ε. As can be seen from the form of the formula in the display, an alternative to the above regression is to perform the regression using the warped correlation coefficients proposed in the previous section. Furthermore, if it is appropriate to consider the initial portfolio as a linear combination of warped variables (standard normal marginal distribution of the present invention), the above regression can be performed without Monte Carlo calculations. The same is true when using a constant historical volatility function throughout. However, this procedure probably loses accuracy.
[0237]
In any case, for the “what-if” problem of the present invention, a simple expected value in the univariate normal distribution of the (adjusted) residual ε can be obtained as a solution.

To d₂Abbreviated as (A)

To d₂Abbreviated as (B, ε). Assume ρ (ε)> 0 (a natural case of positive correlation). In that case, the following equation is established.
[Equation 34]

[0238]
The first equation holds when -d₂(Y, ε) monotonically increases as a function of y, ie, condition y ≧ B satisfies condition −d₂(Y, ε) ≧ −d₂This is because it is completely equivalent to (B, ε). The same applies to the condition x ≧ A, while the expression Pr {y ≧ B | x ≧ A} only means the probability that the condition y ≧ B holds if x ≧ A is known. In this case, -d₂Using the above displayed formula for (y, ε), a second formula is derived. (If ρ (ε) is negative, the inequality with its reciprocal is inverted.) This internal expected value is then calculated in a normal distribution. -D₂(A)) is ρ (ε)^-1(-D₂For a value of ε that is the same as (B, ε)), the expected value is certainty and a value of 1 is generated. -D₂(A)) is ρ (ε)^-1(-D₂(B, ε)), the cumulative normal distribution value N (−d₂(A)) is N (ρ (ε)^-1(-D₂(B, ε)) and the standard normal variable z = −d₂(X) is at least -d₂(A) is the probability 1−N (−d₂(A)) = N (d₂(A)) is that z is at least ρ (ε)^{− 1}(-D₂(B, ε) and the corresponding probability 1−N (ρ (ε)^{− 1}(-D₂(B, ε)) = N (ρ (ε)^-1(D₂(B, ε)). Thus, the desired internal expected value, the ratio N (ρ (ε))^-1(D₂(B, ε)) / N (d₂(A)) is less than 1 and is appropriate for probabilities, whether or not conditional. If ρ (ε) is negative, by similar theory the equation E (maxｍ0, (N (d₂(A))-N (ρ (ε)^-1(D₂(B, ε))) / N (d₂(A))｝) is obtained. In any case, the final solution is an expected value (exceeding ε), but it is basically an integer that can be calculated at high speed using a power series. (A very simple and accurate power series formula of N (z) is described on page 252 of Hull's book cited above). Taking advantage of this, for example, the ratio N (ρ (ε)^-1(D₂(B, ε)) / N (d₂Determine the value of ε that makes (A)) equal to 1 and then integrate this ratio with the standard normal distribution pdf from −∞ to the determined value of ε when ρ (ε)> 0. be able to. The same applies to ρ (ε) <0. (If ρ (ε) = 0, the variable Inx and the variable Iny are not correlated, and the conditional probability Pr {y ≧ B | x ≧ A} is the same as the unconditional probability Pr {y ≧ B} Please note that.)
[0239]
All these calculations can be performed very fast. Of course, we already use some Monte Carlo calculations unless the simplified condition that the volatility function is constant.
[0240]
5.2 “What-if”: All Monte
It is easy to explain how to calculate the solution to the same "what-if" problem using the total joint probability distribution of the present invention. Simply use the following formula,
(Equation 35)

-D₂In x and -d in (x)₂Ln y−ε in (y, ε) is ln x₀, Ln x₁,. . . , Ln x_nExpand to and interpret. Monte Carlo calculations generate a large number of random samples of a multivariate standard normal vector z having a covariance matrix C, for example, to calculate an internal expected value. Then -d₂(Y, ε) ≧ −d₂Z ≧ −d of a function that is 1 in the case of (B, ε) and 0 in other cases₂The average of the sample z that satisfies (A) is obtained. The inventors have not confirmed experimentally whether this method produces a better solution than the above regression procedure. Nevertheless, this method shows how to address a more advanced "what-if" problem that cannot be easily handled by regression. For example, suppose the factor ω is kept in the range C ≦ ω ≦ D, and assume that solving the same problem for y follows the same conditions as x. It is difficult to formulate this with regression, and not with single-factor regression. However, it is easy to obtain a solution to this problem by using the following distribution:
[Equation 36]

[0241]
Finally, a fixed portfolio x = h₁x₁+ H₂x₂+. . . + H_nx_nWhen the calculation is started, it is assumed that the user does not want to perform the processing in the logarithmic domain, which necessitates the approximation as described above. However, by treating the entire distribution, the condition x ≧ A is satisfied by the expression in the first section where the vector of y ′ plays the role of the vector z of the present invention.₁x₁(Y₁) +. . . + H_nx_n(Y_n) ≧ A. A Monte Carlo calculation can then be performed as described above, using the log domain surface or no other conditions.
[0242]
6. The problem of “you gotta believe”
The previous section focused on investors who consider the value of their portfolio y according to changes in the factor x. Conversely, an investor may want to know what the investment community will be if a given stock or index y reaches a certain level B at time T. That is, the expected value A of the other portfolio x at time T, or simply one factor x_iNeeds to be obtained. In the main plan of the present invention, upon input by a user where y becomes level B, some assets x that have the highest correlation with y_iOr the factor / index x and the expected x for y in B_iOr the value of x is listed.
[0243]
In addition, a confidence interval may be displayed for each selected asset or factor so that other information regarding the predicted probability distribution of this asset or factor can be easily obtained. It can also be compared to a previous predicted probability distribution of x where no assumptions about y are made. Finally, a small x (appearing in the regression of y)_iIf it is possible to account for most of the variance of y with_iX needed to make this value B, based solely on the dependence of the expected value of y on the portfolio of_iThe change in the percentage of the portfolio can be listed. (For example, if the coefficients in the portfolio are all x_iCertain new regressions can be performed, derived from the regression of y on, or perhaps allowing user-defined constraints. In this case and in the above case, the value that substitutes for the expected value (mean value) is the median value or the mode value. Need to know that is systematically different.
[0244]
The main problem can be viewed as understanding the probability distribution of x where y ≧ B at a given time and x and y are similar to the previous section. This can be dealt with by reversing the role of the variables in the manner described in the previous section.
[0245]
However, there is a simpler problem that can be handled particularly quickly. Consider the problem of finding the average value of x conditioned on equation y = B at time T. In this idea, a simple recursive method is used, but the solution is interpreted as a solution measured with the variable volatility of the present invention. In the above notation of the present invention, there is a regression expressed as follows.
-D₂(X) = ρ · (−d₂(Y, ε)) + υ
Where ρ (variable referred to as ρ (ε) in the previous section) is the historically determined correlation between Inx and the random variable Iny-ε. Note that the roles of the dependent and independent variables are reversed. Here, there is a residual υ with an average value of 0 and no role (averaged). Therefore, the desired conditional expected value A of x is obtained from the following equation.
(37)

Is the implied volatility σ associated with the random variable Iny-ε₁Recall that this is an estimate obtained by the Monte Carlo method. For faster but less accurate calculations, here σ, β, and ρ are historically given

Can be estimated historically. (See the previous section for notation.) Similarly, for fast calculations, -d₂(X) may use historical volatility. Where the implied volatility function estimate

Using,

It is expected to be more accurately given as, or more accurately according to the market view. x = x_iIs a single asset or index in the model of the invention,

Does not require Monte Carlo estimates, but is probably already available.
[0246]
In short, the conditional expectation required to solve the "you gotta believe" problem is easily obtained by the regression method. The accuracy of such a problem may be enhanced, or at least matched to better reflect market inputs, when all logarithmic variables are measured in the "standard deviation" which is interpreted as the variable volatility of the present invention. You.
[0247]
7. Portfolio including option securities
In conclusion of this document, it is briefly pointed out that the method of the present invention is easily applied to portfolios containing option securities by using full Monte Carlo calculations. In known concepts, options are considered a kind of non-linear portfolio, or more precisely, a secondary portfolio. Therefore, the original price x₁The option for a single underlying security with₁Is s₁Generally when it is close to

Where the option is evaluated as a known value c. In this case, Δ and

Is the underlying security price x₁S for₁Is a known parameter in the options market that gives first and second derivatives of the option price of Perhaps the most prominent feature of the option is non-zero

And the rate of change of the option with respect to the underlying security price changes as the security price changes. Explicit formulas for other standard parameters are, for example, Δ and

(See Hull's book cited above). Such formulas can be obtained by direct differentiation in other theories or by using empirically fitted curves. In each case, after such an explicit approximation of x is obtained, the probability distribution is easily given by the Monte Carlo method of section 3.1 above. The same method applies to portfolios that include some options and other securities.
[Brief description of the drawings]
1, 2 and 3 are graphs.
FIG. 4 is a block diagram.
FIGS. 5, 6, and 7 are web pages.
8 and 9 illustrate a user interface.
FIG. 10 shows a data structure.
11 to 15 show visualization techniques.

Claims (53)

Receiving data representing the current price of the option for a given asset;
Deriving from the data an estimate of a corresponding implied probability distribution of the price of the asset at a future time;
Making information about the probability distribution available to investors in a useful time frame. The method of claim 1, wherein the data represents a finite number of options at a set strike price of the asset.
Calculating a set of first differences of the finite number of prices to form an estimate of a cumulative probability distribution of the price of the asset at a future time. Calculating a set of second differences of a finite number of strike prices from the set of first differences to form an estimate of a cumulative probability distribution function of the price of the asset at a future time. 3. The method of claim 2. Receiving data representing the current price of the option for a given asset;
Deriving from the data an estimate of a corresponding implied probability distribution of the price of the asset at a future time;
Providing a real-time data feed containing information based on the probability distribution. Providing a graphical user interface for viewing a page containing financial information about the asset;
If the user indicates an asset of interest, displaying probability information about the price of the asset at a future time. Allowing the user to identify the asset of interest for which data representing the current price of the option for the asset is available;
Deriving from the data an estimate of a corresponding implied probability distribution of the price of the asset at a future time;
Providing an indication of a probability distribution of the price of the asset at a future time. Enabling the user to indicate a future time and to identify the asset of interest for which data representing the current price of the option on the asset is available;
Displaying to a user a distribution of probabilities that the asset is likely to reach a price within a price range at a future time. Receiving data representing a current price of an option for a given asset associated with a spaced strike price of the asset at a future time,
The data includes a shifted current price of the option resulting from the shifted original price of the asset, wherein the amount by which the asset price is shifted is different from the amount corresponding to the interval between strike prices. When,
A quantized implied probability distribution of the price of the asset at a future time, where each element of the probability distribution is set at a more closely spaced probability distribution than would be derived without the shifted current price data Deriving an estimate of from the data. Receiving data representing the current price of an option for a given asset, related to the spaced strike price of the asset at a future time;
Deriving from the data an estimate of the implied probability distribution of the price of the asset at a future time, wherein the mathematical derivation includes a smoothing operation;
Making information about the probability distribution available to investors in a useful time frame. The method of claim 9, wherein the smoothing operation is performed in a volatility domain. The method of claim 9, wherein the smoothing operation is performed in an option price domain or a probability distribution information domain. Receiving data representing a current price of an option for a given asset having a strike price at a future date;
Deriving volatility for each future date according to a predetermined option pricing formula linking the option price to the strike price of the asset;
Generating a smoothed and extrapolated volatility function;
Generating information in a time frame useful to investors using a volatility function. 13. The method of claim 12, wherein the volatility function is extrapolated to a wider range of dates than future dates. 13. The method of claim 12, wherein the volatility function is extrapolated to a strike price other than the optional strike price. The method of claim 9, further comprising generating a smoothed volatility function using only reliable data under a predetermined measure of confidence. Generating an implied volatility function formula having a quadratic form having two variables representing strike price and maturity date;
10. The method of claim 9, wherein the coefficients of the implied volatility function formula are determined by applying a regression analysis to approximately applying the implied volatility function formula to each implied volatility. Receiving data representing the current price of the option for assets belonging to the portfolio;
Deriving from the data an estimate of an implied multivariate distribution of the price of a quantity at a future time dependent on the assets belonging to the portfolio;
Making information about the probability distribution available to investors in a useful time frame. Receiving data representing the value of a set of factors affecting the composite value;
Deriving from the data an estimate of an implied multivariate distribution of the price of a quantity at a future time depending on the assets belonging to the portfolio;
Making information about the probability distribution available to investors in a useful time frame. 19. The method of claim 18, wherein the mathematical derivation includes generating a multivariate probability distribution based on a correlation between each factor. A user interface element adapted to allow a user to indicate a future time;
A user interface element adapted to indicate a current price of the asset;
A user interface element adapted to show a probability distribution of the price of the asset at a future time. Continuously generating current data including a probability distribution of the price of the asset at a future time;
Continuously supplying the current data electronically to the receiver;
Using the provided data for a service provided to the user. Receiving data representing the current price of the option for assets belonging to the portfolio;
Receiving data representing a current price of a market transaction associated with the second portfolio of assets;
Provide information electronically about the probability that a second portfolio of assets will reach a first value given a condition that a first portfolio of assets will reach a specified price at a future time. And a step. Receiving data representing actual market transactions associated with a first portfolio of assets;
Receiving data representative of actual market transactions associated with a second portfolio of assets;
Providing information about the expected value of the price of the first portfolio of assets when a second portfolio of assets is provided over the network at a specified future time to reach a first specified price. And a step. Evaluating an event defined by a first multivariate equation representing a combination of macroeconomic variables at time T;
If the value of the first multivariate expression is greater than a constant A, estimate the probability that a second multivariate expression representing a combination of portfolio asset values is considered to have a value greater than a constant B at time T And a step. 25. The method of claim 24, wherein the probabilities are estimated using Monte Carlo techniques. Defining a regression equation relating the value of one variable representing the combination of macroeconomic variables at time T to a second variable at time T representing the combination of assets in the portfolio;
Based on the ratio of the probability that x is greater than A and the probability that x is greater than A under the regression equation, if the value of the first variable is greater than the constant A at time T, then the second variable Estimating the probability that time T has a value greater than constant B. Defining the current value of the option as a quadratic equation that depends on the difference between the current price of the option and the current price of the underlying security;
Estimating the probability distribution of the value of the portfolio containing the options at a future time T using Monte Carlo techniques. Displaying to the user a circular visualization element arranged around the center of the circular visualization element and having a sector corresponding to each different group of assets;
Displaying, in each sector, an array of visual elements arranged with respect to distance from the center according to the degree of performance of the asset during a recent period, wherein the sectors represent respective assets belonging to a corresponding group. . 29. The method of claim 28, wherein the visual element comprises one displayed dot for each asset. 29. The method of claim 28, wherein the visual element exhibits a visual property corresponding to a category of assets in the group. 31. The method of claim 30, wherein the categories of assets in the group correspond to each different present value. 30. The method of claim 29, wherein the dots are arranged along the radius of the sector to which they belong. 33. The method of claim 32, wherein in other cases, dots located at a given distance from the center on the radius are displayed at respective different corner locations near the radius. 29. The method of claim 28, wherein each sector has an angular range representing a percentage of the total number of asset items represented by the respective sector. 29. The method of claim 28, wherein the circular visualization elements are subdivided as rings each having a different distance from the center. The method of claim 35, wherein each ring is displayed in a different color. 29. The method of claim 28, wherein the degree of performance of the asset is measured by a rate of price change. 29. The method of claim 28, wherein the recent period includes a date of trading on the asset market. 29. The method of claim 28, wherein the asset comprises a security issued by the business. Is circular,
Located around the center of the element, with sectors corresponding to different groups of securities issued by the enterprise,
In each sector, the sector represents each asset belonging to the corresponding group, each located on or near the radius of the sector, each corresponding to the rate of change of the price of the represented security during the trading day. Having an array of dots having a distance from the center along the radius,
Each with a different colored ring at different distances from the center,
The visualization element to be displayed. A method comprising displaying to a user a visualization element indicating that the likelihood of the performance measure of the asset is within a specified range of the identified value of the performance measure at successive times in the future. 42. The method of claim 41, wherein the performance measure comprises a price of the asset. 42. The method of claim 41, wherein the performance measure comprises a rate of return. 42. The method of claim 41, wherein the performance measure comprises a post-tax margin. 42. The method of claim 41, wherein the visualization elements include stripes superimposed on a graph of performance measures over time, each stripe representing one designated range. 46. The method of claim 45, wherein each stripe starts at a current time and widens as it extends to a future time. 42. The method of claim 41, further comprising displaying a graphical device showing actual historical values of the performance measures. 48. The method of claim 47, wherein the graphical device showing actual historical values is a line graph that has one end joined to the visualization element at a point representing the current date. The visualization element includes two parts, one part representing the likelihood before the specified date based on one assumption and the other part representing the likelihood after the specified date based on another assumption; 42. The method of claim 41. 50. The method of claim 49, wherein the specified date is a date that changes from a tax effective assumption to another assumption. A method comprising displaying to a user a visualization element having a graphical indicator of the relative performance of a selected asset relative to the performance of the group of assets during each successive period, wherein each group includes assets representing a common format. . 52. The method of claim 51, wherein the format comprises a group of investments. 52. The method of claim 51, wherein the relative performance is determined using an asset class coefficient model.

Images