JP2004102831A - Parameter estimation method, data prediction method, parameter estimation device, data prediction device, computer program, and recording medium - Google Patents

Abstract

<P>PROBLEM TO BE SOLVED: To more surely than ever provide a method of estimating parameters for time-series, method of predicting data from the estimated parameters, a parameter estimation device, a data prediction device, a computer program, and a recording medium. <P>SOLUTION: A time-series comprising a plurality of data is read (S1), white noise is generated (S2), a white noise variance σ<SB>e</SB><SP>2</SP>is calculated (S3), and information required for calculation is calculated where the self-correlation function of the white noise with a lag of 0 is σ<SB>e</SB><SP>2</SP>, the self-correlation function of the white noise with a log other than 0 is O, and the value of the correlation function of the time-series to the value of the white noise far ahead of the time-series is 0 (S4), and the parameters of an ARMA model to which the time-series is adopted are calculated (S5). Whether the calculated parameters are converged or not is determined (S6), and when the parameters are not converged, new white noise is generated from the calculated parameters by using the equation of the ARMA model (S4), and the calculation is repeated until the parameters are converged. <P>COPYRIGHT: (C)2004,JPO

Description

【０００４】
ここで、｛ｅ_ｎ　｝は、平均値０及び分散σ_ｅ ^２の正規性雑音であり、｛ａ_ｉ　：ｉ＝１，２，…，ｐ｝及び｛ｂ_ｊ　：ｊ＝１，２，…，ｑ｝は、
Ａ（Ｚ^−１）＝１＋ａ_１　Ｚ^−１＋…＋ａ_ｐ　Ｚ^−ｐ
Ｂ（Ｚ^−１）＝１＋ｂ_１　Ｚ^−１＋…＋ｂ_ｑ　Ｚ^−ｑ
とおいたときに、Ａ（Ｚ^−１）及びＢ（Ｚ^−１）が規約であり、更に定常条件、可逆条件および強正実条件を満たすものとする。
【０００５】
標本の時系列｛ｘ_ｎ　｝から（１）式のパラメータ｛ａ_ｉ　｝及び｛ｂ_ｊ　｝を推定するための方法として、非特許文献１に開示された疑似線形回帰法がある。簡単にするためにｐ＝ｑとし、ベクトルＺ_ｎ　及びベクトルθを次の様に定義する。
Ｚ_ｎ　＝［−ｘ_ｎ−１，…，−ｘ_ｎ−ｐ，ｅ_ｎ−１，…，ｅ_ｎ−ｐ］^Ｔ
θ＝［ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｐ，ｂ_１，ｂ_２，…，ｂ_ｐ］^Ｔ
但し、ｂ_ｐ　＝０
（１）式をｘ_ｎ　についての式に書き直したときには、（１）式は、
ｘ_ｎ　＝θ^Ｔ　Ｚ_ｎ　＋ｅ_ｎ　　　…（２）
と表すことができる。Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘ_ｎ　：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝が得られたとき、ベクトルθを時系列から最小二乗法により求めるためには、
【０００６】
【数６】

【０００７】
の右辺を最小にするθを求めればよい。従って、（３）式の右辺をθで偏微分して０に等しいとすることにより、時系列から推定したベクトルθは、次の式で与えられる。
【０００８】
【数７】

【０００９】
ラグがｋである｛ｘ_ｎ　｝の自己相関関数をＲ_ｋ　とすると、
Ｒ_ｋ　＝Ｅ［ｘ_ｎ　ｘ_ｎ＋ｋ　］
である。ここで、Ｅ［ｙ_ｎ　］は、データ列｛ｙ_ｎ　：ｎ＝１，２，…｝の期待値である。また、
Ｒ_−ｋ＝Ｒ_ｋ
である。ラグがｋである｛ｅ_ｎ　｝の自己相関関数をＳ_ｋとすると、同様に、
Ｓ_ｋ＝Ｅ［ｅ_ｎ　ｅ_ｎ＋ｋ　］，Ｓ_−ｋ＝Ｓ_ｋ
である。また、｛ｘ_ｎ　｝と｛ｅ_ｎ　｝との相互相関関数は、
Ｔ_ｋ　＝Ｅ［ｅ_ｎ　ｘ_ｎ＋ｋ　］
Ｔ_−ｋ＝Ｅ［ｅ_ｎ　ｘ_ｎ−ｋ　］
とおくと、
Ｅ［ｘ_ｎ　ｅ_ｎ＋ｋ　］＝Ｅ［ｅ_ｎ　ｘ_ｎ−ｋ　］＝Ｔ_−ｋ
Ｅ［ｘ_ｎ　ｅ_ｎ−ｋ　］＝Ｅ［ｅ_ｎ　ｘ_ｎ＋ｋ　］＝Ｔ_ｋ
となる。
【００１０】
（４）式の右辺は、｛ｘ_ｎ　｝の自己相関関数、｛ｅ_ｎ　｝の自己相関関数、及び｛ｘ_ｎ　｝と｛ｅ_ｎ　｝との相互相関関数で表すことができ、（４）式は、
【００１１】
【数８】

【００１２】
となる。ベクトルａ及びｂを、
ａ＝［ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｐ］^Ｔ
ｂ＝［ｂ_１，ｂ_２，…，ｂ_ｐ］^Ｔ
と定義し、（５）式に含まれる行列を、
【００１３】
【数９】

【００１４】
と定義したときには、（５）式は、
【００１５】
【数１０】

【００１６】
と表すことができる。ベクトルａ，ｂ，ｒ，ｔはｐ行１列の行列であり、行列Ｒ，Ｔ，Ｓはｐ行ｐ列の行列であるため、（７）式はベクトルａ及びｂについての連立方程式の形に書き直すことができ、
Ｒ・ａ−τ・ｂ＝−ｒ　　　　　　　　…（８）
−τ^Ｔ　・ａ＋Ｓ・ｂ＝ｔ　　　　　　…（９）
となる。（９）式より、
ｂ＝Ｓ^−１（ｔ＋τ^Ｔ　・ａ）　　　　…（１０）
であり、（１０）式を（８）式へ代入することにより、
ａ＝（Ｒ−τ・Ｓ^−１・τ^Ｔ　）^−１（τ・Ｓ^−１・ｔ−ｒ）　　　　…（１１）
が求められる。（１１）式よりベクトルａが得られ、得られたベクトルａを（１０）式に代入することにより、ベクトルｂを計算することができる。
【００１７】
疑似線形回帰法では、白色雑音｛ｅ_ｎ　｝を乱数などを用いて生成し、生成した｛ｅ_ｎ　｝と時系列｛ｘ_ｎ　｝とから、（１１）式および（１０）式を用いて、（１）式のパラメータ｛ａ_ｉ　｝及び｛ｂ_ｊ　｝を計算し、計算した｛ａ_ｉ　｝及び｛ｂ_ｊ　｝から、（１）式を用いて白色雑音｛ｅ_ｎ　｝を計算し、パラメータ｛ａ_ｉ　｝及び｛ｂ_ｊ　｝が収束するまで計算を繰り返し、パラメータ｛ａ_ｉ　｝及び｛ｂ_ｊ　｝を求める。
【００１８】
【非特許文献１】
片山徹「システム同定入門」朝倉書店　１９９４
【００１９】
【発明が解決しようとする課題】
疑似線形回帰法は、問題の性質によっては、パラメータ｛ａ_ｉ　｝及び｛ｂ_ｊ　｝が収束せず、パラメータの推定ができない場合があるという問題がある。また、ｐ行ｐ列の行列計算を行うため、計算時間が長いという問題があった。
【００２０】
本発明は、以上の問題を解決するためになされたものであって、その目的とするところは、計算に用いる数値のうち理論的に０となるはずの数値を０とおいて計算を行うことにより、パラメータの値の収束を容易にし、同時に計算時間の短縮を図ることができるパラメータ推定方法、パラメータ推定装置、コンピュータを該パラメータ推定装置として実現するためのコンピュータプログラム、及び記録媒体を提供することにある。
【００２１】
また、本発明の他の目的とするところは、前記パラメータ推定方法により推定したパラメータを用いてデータの推定を行うことにより、従来の手法ではデータの予測ができなかった時系列についてもデータの予測が可能となるデータ予測方法、データ予測装置、コンピュータを該データ予測装置として実現するためのコンピュータプログラム、及び記録媒体を提供することにある。
【００２２】
【課題を解決するための手段】
第１発明に係るパラメータ推定方法は、複数のデータから構成される時系列、及び平均値が０で分散がσ_ｅ ^２である白色雑音から、前記時系列の自己相関関数、前記白色雑音の自己相関関数、及び前記時系列と前記白色雑音との相互相関関数を用いて、前記時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定する方法において、ラグが０の前記白色雑音の自己相関関数の値をσ_ｅ ^２とし、ラグが０以外の前記白色雑音の自己相関関数の値を０とし、前記時系列と前記白色雑音との相互相関関数のうち、前記時系列に含まれるデータと該データよりも未来の時点の白色雑音の値との相互相関関数の値を０として、前記パラメータを計算することを特徴とする。
【００２３】
第２発明に係るパラメータ推定方法は、記憶部及び演算部を備えたコンピュータを用いて、Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定する方法において、Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘ_ｎ　：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を記憶部に記憶し、平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅ_ｎ　：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を演算部にて生成し、生成した白色雑音の分散σ_ｅ ^２を演算部にて計算し、前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｐ］^Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ_１，ｂ_２，…，ｂ_ｐ］^Ｔを、
【００２４】
【数１１】

【００２５】
と演算部にて計算し、計算した行列ａ及び行列ｂに含まれる前記ＡＲＭＡモデルのパラメータ、並びに前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、新たな白色雑音を演算部にて計算し、計算した新たな白色雑音を用いて新たな行列ａ及び行列ｂを演算部にて計算し、行列ａ及び行列ｂが収束するまで行列ａ及び行列ｂの計算を演算部にて繰り返すことを特徴とする。
【００２６】
第３発明に係るデータ予測方法は、記憶部及び演算部を備えたコンピュータを用いて、複数のデータから構成される時系列から該時系列に加わる新たなデータを予測する方法において、時系列を記憶部に記憶し、第２発明に係るパラメータ推定方法を用い、前記時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを演算部にて計算し、計算したパラメータ、及び記憶している前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、前記時系列に加わる新たなデータを演算部にて計算することを特徴とする。
【００２７】
第４発明に係るパラメータ推定装置は、Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定する装置において、Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘ_ｎ　：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を記憶する手段と、平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅ_ｎ　：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を生成する手段と、生成した白色雑音の分散σ_ｅ ^２を計算する手段と、前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｐ］^Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ_１，ｂ_２，…，ｂ_ｐ］^Ｔを、
【００２８】
【数１２】

【００２９】
と計算する手段と、計算した行列ａ及び行列ｂに含まれる前記ＡＲＭＡモデルのパラメータ、並びに前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、新たな白色雑音を計算する手段と、計算した新たな白色雑音を用いて新たな行列ａ及び行列ｂを計算する手段と、行列ａ及び行列ｂが収束するまで行列ａ及び行列ｂの計算を繰り返す手段とを備えることを特徴とする。
【００３０】
第５発明に係るデータ予測装置は、複数のデータから構成される時系列から該時系列に加わる新たなデータを予測する装置において、時系列を記憶する手段と、第４発明に係るパラメータ推定装置と、該パラメータ推定装置を用いて、前記時系列から、前記時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを計算する手段と、計算したパラメータ、及び記憶している前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、前記時系列に加わる新たなデータを計算する手段とを備えることを特徴とする。
【００３１】
第６発明に係るコンピュータプログラムは、コンピュータに、Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定させるコンピュータプログラムにおいて、コンピュータに、平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅ_ｎ　：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を生成させる手順と、コンピュータに、生成した白色雑音の分散σ_ｅ ^２を計算させる手順と、コンピュータに、記憶している、Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘ_ｎ　：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を用いて、前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｐ］^Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ_１，ｂ_２，…，ｂ_ｐ］^Ｔを、
【００３２】
【数１３】

【００３３】
と計算させる手順と、コンピュータに、計算した行列ａ及び行列ｂに含まれる前記ＡＲＭＡモデルのパラメータ、並びに前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、新たな白色雑音を計算させる手順と、コンピュータに、計算した新たな白色雑音を用いて新たな行列ａ及び行列ｂを計算させる手順と、コンピュータに、行列ａ及び行列ｂが収束するまで行列ａ及び行列ｂの計算を繰り返させる手順とを含むことを特徴とする。
【００３４】
第７発明に係るコンピュータプログラムは、コンピュータに、複数のデータから構成される時系列から該時系列に加わる新たなデータを予測させるコンピュータプログラムにおいて、コンピュータに、第６発明に係るコンピュータプログラムを用いて、記憶している時系列から、該時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを計算させる手順と、コンピュータに、計算したパラメータ、及び記憶している前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、前記時系列に加わる新たなデータを計算させる手順とを含むことを特徴とする。
【００３５】
第８発明に係るコンピュータでの読み取りが可能な記録媒体は、コンピュータに、Ｎ個のデータから構成される時系列を（ｐ，ｐ）次のＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを推定させるコンピュータプログラムを記録してあるコンピュータでの読み取りが可能な記録媒体において、コンピュータに、平均値が０であるＮ個の値が時系列で並んだ白色雑音｛ｅ_ｎ　：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を生成させる手順と、コンピュータに、生成した白色雑音の分散σ_ｅ ^２を計算させる手順と、コンピュータに、記憶している、Ｎ個のデータから構成される時系列｛ｘ_ｎ　：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を用いて、前記ＡＲＭＡモデルにおけるＡＲ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ａ＝［ａ_１，ａ_２，…，ａ_ｐ］^Ｔ、及び前記ＡＲＭＡモデルにおけるＭＡ過程のｐ個のパラメータを行列要素とする行列ｂ＝［ｂ_１，ｂ_２，…，ｂ_ｐ］^Ｔを、
【００３６】
【数１４】

【００３７】
と計算させる手順と、コンピュータに、計算した行列ａ及び行列ｂに含まれる前記ＡＲＭＡモデルのパラメータ、並びに前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、新たな白色雑音を計算させる手順と、コンピュータに、計算した新たな白色雑音を用いて新たな行列ａ及び行列ｂを計算させる手順と、コンピュータに、行列ａ及び行列ｂが収束するまで行列ａ及び行列ｂの計算を繰り返させる手順とを含むコンピュータプログラムを記録してあることを特徴とする。
【００３８】
第９発明に係るコンピュータでの読み取りが可能な記録媒体は、コンピュータに、複数のデータから構成される時系列から該時系列に加わる新たなデータを予測させるコンピュータプログラムを記録してあるコンピュータでの読み取りが可能な記録媒体において、コンピュータに、第６発明に係るコンピュータプログラムを用いて、記憶している時系列から、該時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときのパラメータを計算させる手順と、コンピュータに、計算したパラメータ、及び記憶している前記時系列の値を前記ＡＲＭＡモデルの式に代入して、前記時系列に加わる新たなデータを計算させる手順とを含むコンピュータプログラムを記録してあることを特徴とする。
【００３９】
本発明者は、ＡＲＭＡモデルの式の構成から導かれるａ　ｐｒｉｏｒｉ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅを導入することにより、従来の疑似線形回帰法の改良を試みた。（１）式より、ＡＲＭＡモデルでは、現在のデータの値は、過去のデータの値および過去の白色雑音の値に関連づけられている。しかし、現在のデータの値は、未来の白色雑音の値とは関連性がないため、データと該データよりも未来の白色雑音との相互相関関数は、理論的に、
Ｅ［ｘ_ｎ　ｅ_ｎ＋ｋ　］＝０
となる。同様に、
Ｅ［ｅ_ｎ　ｘ_ｎ−ｋ　］＝０
である。これにより、（５）式に含まれるＴ_−ｋは理論的に０とすることができる。また、白色雑音｛ｅ_ｎ　｝の自己相関関数は、理論的に、
【００４０】
【数１５】

【００４１】
となる。実際の場合は、Ｎの値が有限であるため、相互相関関数および自己相関関数を計算した値は、理論的な値とは違った値となる。理論的な値が得られる部分は、理論的な値と置き換えることにより、（５）式は、
【００４２】
【数１６】

【００４３】
と表すことができる。単位行列Ｉを用いて、（１２）式は、更に、
【００４４】
【数１７】

【００４５】
と表すことができる。（１３）式を、ベクトルａ及びｂについての連立方程式の形に書き直すと、
Ｒ・ａ−Ｔ・ｂ＝−ｒ　　　　　　　　…（１４）
−Ｔ^Ｔ　・ａ＋σ_ｅ ^２ｂ＝ｔ　　　　　　　　　　　　…（１５）
となる。（１５）式より、
ｂ＝（ｔ＋Ｔ^Ｔ　・ａ）／σ_ｅ ^２　　…（１６）
が得られ、（１６）式を（１４）式に代入することにより、
ａ＝｛Ｒ−（１／σ_ｅ ^２）Ｔ・Ｔ^Ｔ　｝^−１｛（１／σ_ｅ ^２）Ｔ・ｔ−ｒ｝…（１７）
が得られる。
【００４６】
第１発明においては、時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときの前記ＡＲＭＡモデルのパラメータを推定する際に、白色雑音の自己相関関数、及び時系列と白色雑音との相互相関関数に理論的な値を用いることにより、確実にパラメータの値を推定することができる。
【００４７】
第２、第４、第６及び第８発明においては、白色雑音｛ｅ_ｎ　｝を乱数などを用いて生成し、生成した白色雑音と時系列とから、（１７）式および（１６）式を用いてベクトルａ及びｂを計算し、計算したベクトルａ及びｂから、（１）式を用いて新たな白色雑音｛ｅ_ｎ　｝を計算し、推定すべきパラメータであるベクトルａ及びｂが収束するまで計算を繰り返すことにより、従来に比べて単純化された行列を含む式を用いるため、ベクトルａ及びｂがより収束しやすくなる。
【００４８】
第３、第５、第７及び第９発明においては、従来より確実にパラメータを推定できる方法により推定したパラメータを用いてデータを予測することにより、従来ではデータの予測ができなかった時系列についてもデータを予測することができる。
【００４９】
【発明の実施の形態】
以下本発明をその実施の形態を示す図面に基づき具体的に説明する。
図１は、本発明のデータ予測装置の構成を示すブロック図である。データ予測装置１は、本発明のパラメータ推定装置の機能を兼ね備えており、コンピュータを用いて構成されている。データ予測装置１は、演算を行うＣＰＵ（演算部）１１と、演算に伴って発生する一時的な情報を記憶するＲＡＭ（記憶部）１２と、ＣＤ−ＲＯＭドライブ等の外部記憶装置１３と、ハードディスク等の内部記憶装置１４とを備えており、ＣＤ−ＲＯＭ等の本発明に係る記録媒体２から本発明に係るコンピュータプログラム２０を外部記憶装置１３にて読み取り、読み取ったコンピュータプログラム２０を内部記憶装置１４に記憶し、ＲＡＭ１２にコンピュータプログラム２０をロードし、ＣＰＵ１１は、ロードしたコンピュータプログラム２０に基づいてデータ予測装置１に必要な処理を実行する。データ予測装置１は、キーボード又はマウス等の入力装置１５と、液晶ディスプレイ又はＣＲＴディスプレイ等の出力装置１６とを備えており、データの入力を初めとするオペレータからの操作を受け付ける構成となっている。
【００５０】
なお、データ予測装置１は、図示しない通信インタフェースを備え、通信インタフェースに接続されている図示しない外部のサーバ装置から本発明に係るコンピュータプログラム２０をダウンロードし、ＣＰＵ１１にて処理を実行する形態であってもよい。
【００５１】
図２は、本発明のデータ予測装置が行うパラメータ推定の処理およびデータ予測の処理を示すフローチャートである。データ予測装置１は、オペレータの操作により入力装置１５に入力されたデータを読み込む、又は内部記憶装置１４に記憶してあるデータを読み込む等して、Ｎ個のデータから構成されるデータの時系列｛ｘ_ｎ　：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝をＲＡＭ１２に読み込む（Ｓ１）。ＣＰＵ１１は、コンピュータプログラム２０をＲＡＭ１２へロードし、ロードしたコンピュータプログラム２０に従って、Ｎ個の値から構成される平均値０の白色雑音｛ｅ_ｎ　：ｎ＝１，２，…，Ｎ｝を生成する（Ｓ２）。このとき、ＣＰＵ１１は、乱数生成のルーチンを用い、時刻の値を初期値として乱数を発生させる等して、白色雑音を生成する。ＣＰＵ１１は、次に、ＲＡＭ１２にロードしたコンピュータプログラム２０に従って、生成した白色雑音｛ｅ_ｎ　｝の分散σ_ｅ ^２を計算し（Ｓ３）、データの時系列｛ｘ_ｎ　｝及び白色雑音｛ｅ_ｎ　｝から、（６）式で定義された行列ｒ，ｔ，Ｒと、（１３）式で定義された行列Ｔとを計算し（Ｓ４）、計算した行列ｒ，ｔ，Ｒ，Ｔ及び白色雑音の分散σ_ｅ ^２を、（１７）式および（１６）式に代入して、求めるべきパラメータであるベクトルａ及びｂを計算する（Ｓ５）。
【００５２】
ＣＰＵ１１は、次に、ＲＡＭ１２にロードしたコンピュータプログラム２０に従って、計算したベクトルａ及びｂが収束したか否かを判定し（Ｓ６）、計算したベクトルａ及びｂが収束していない場合は（Ｓ６：ＮＯ）、ベクトルａ及びｂとデータの時系列｛ｘ_ｎ　｝とを（１）式に代入して、新たな白色雑音｛ｅ_ｎ　｝を計算し（Ｓ７）、処理をステップＳ３へ戻し、ベクトルａ及びｂが収束するまでステップＳ３〜Ｓ７の処理を繰り返す。ステップＳ６では、ＣＰＵ１１は、例えば、最新のベクトルａ，ｂと前回に計算したベクトルａ，ｂであるベクトルａ’，ｂ’とから、
Δ＝｜ａ−ａ’｜＋｜ｂ−ｂ’｜
を計算し、Δの値が所定値よりも小さい場合に、ベクトルａ及びｂが収束したと判定する。ステップＳ６においてベクトルａ及びｂが収束している場合には（Ｓ６：ＹＥＳ）、ＣＰＵ１１は、ＲＡＭ１２にロードしたコンピュータプログラム２０に従って、計算したパラメータを用いて、ＡＲＭＡモデルにより時系列｛ｘ_ｎ　｝の予測データを計算し（Ｓ８）、処理を終了する。以上の処理により、ＡＲＭＡモデルのパラメータが推定され、時系列の新たなデータが予測できる。
【００５３】
次に、シミュレーションを行って本発明の有用性を検証した例を示す。ＡＲＡＭＡモデルのパラメータを定めて時系列を生成し、生成した時系列から本発明のパラメータ推定方法を用いてパラメータを推定するシミュレーションを行った。図３は、シミュレーションを行うためのパラメータを示した図表である。（２，２）次のＡＲＭＡモデルを用いることとし、図３に示した３種類のモデルについてシミュレーションを行った。
【００５４】
図４は、シミュレーションを行ったときの収束率を示す図表である。与えられたパラメータを用いてＮ個のデータから構成される時系列を生成し、生成した時系列を用いてパラメータの推定を行うシミュレーションを１００回行い、ベクトルａ及びｂが収束してパラメータの推定値が得られた成功率を図中に示している。従来方法を用いた場合は、モデル３の場合には確実に計算が収束するが、モデル２の場合では、Ｎが大きいときに収束せず、モデル１の場合では全く収束しない。本発明を用いた場合では、どのモデルの場合でも、３０％前後の確率で収束している。これにより、本発明は、どのような問題に対しても一定の確率でパラメータが推定できることがわかる。
【００５５】
図５は、パラメータの推定精度を示した図表である。図３に示したパラメータａ_１，ａ_２，ｂ_１，ｂ_２　と、夫々の推定値ａ_１’，ａ_２’，ｂ_１’，ｂ_２’とから、
Δａ＝｜ａ_１−ａ_１’｜＋｜ａ_２−ａ_２’｜
Δｂ＝｜ｂ_１−ｂ_１’｜＋｜ｂ_２−ｂ_２’｜
Δ＝Δａ＋Δｂ
を、収束した場合について夫々計算して平均した値を図中に示している。計算が収束してパラメータの推定値が得られた場合については、本発明と従来方法とでパラメータの推定精度は同程度となっている。
【００５６】
以上詳述した如く、本発明においては、複数のデータから構成される時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめて該ＡＲＭＡモデルのパラメータを推定する際に、従来ではパラメータの推定ができなかった時系列についても、パラメータの推定が可能となり、パラメータが収束する確率が向上した分だけ、パラメータ推定の計算時間を短縮する事ができる。これにより、従来ではデータの予測ができなかった時系列について、データの予測が可能となり、株価または売上高などの経済的な時系列について本発明を適用して、従来よりも確実に株価または売上高などのデータの予測が可能となる。
【００５７】
なお、本実施の形態においては、本発明のデータ予測装置１は、本発明のパラメータ推定装置の機能を兼ね備えている形態を示したが、これに限るものではなく、パラメータ推定装置と、ＡＲＭＡモデルによりデータを予測するデータ予測装置とを夫々別のコンピュータにて構成し、互いに情報を入出力してパラメータの推定とデータの予測とを行う形態としても良い。
【００５８】
【発明の効果】
第１発明においては、時系列をＡＲＭＡモデルに当てはめたときの前記ＡＲＭＡモデルのパラメータを推定する際に、白色雑音の自己相関関数、及び時系列と白色雑音との相互相関関数に理論的な値を用いることにより、確実にパラメータの値を推定することができる。
【００５９】
第２、第４、第６及び第８発明においては、従来に比べて単純化された行列を含む式を用いるため、求めるべきパラメータがより収束しやすくなり、従来ではパラメータの推定ができなかった時系列についても、パラメータの推定が可能となる。また、パラメータが収束する確率が向上した分だけ、パラメータ推定の計算時間を短縮する事ができる。
【００６０】
第３、第５、第７及び第９発明においては、従来より確実にパラメータを推定できる方法により推定したパラメータを用いてデータを予測することにより、従来ではデータの予測ができなかった時系列についてもデータを予測することができる。また、株価または売上高などの経済的な時系列について本発明を適用して、従来よりも確実に株価または売上高などのデータの予測が可能となる等、本発明は優れた効果を奏する。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明のデータ予測装置の構成を示すブロック図である。
【図２】本発明のデータ予測装置が行うパラメータ推定の処理およびデータ予測の処理を示すフローチャートである。
【図３】シミュレーションを行うためのパラメータを示した図表である。
【図４】シミュレーションを行ったときの収束率を示す図表である。
【図５】パラメータの推定精度を示した図表である。
【符号の説明】
１　データ予測装置（パラメータ推定装置）
１１　ＣＰＵ（演算部）
１２　ＲＡＭ（記憶部）
２　記録媒体
２０　コンピュータプログラム[0001]
TECHNICAL FIELD OF THE INVENTION
The present invention implements a method for estimating parameters from a time series of data, a method for estimating new data using the estimated parameters, a parameter estimating device, a data estimating method, and a computer as a parameter estimating device or a data estimating device. And a recording medium for the same.
[0002]
[Prior art]
Conventionally, various methods have been proposed as a method of analyzing a time series of accumulated data and predicting a value of new data. A typical economical time series composed of data such as stock prices or sales volumes can be viewed as the output of a system excited by white noise. When the time series of data {x _n : n = 1, 2,..., N,...} Is a sample time series of the stationary ergodic normal process x (t), the (p, q) -th ARMA model Then, the relationship between the elements of {x _n } is represented by the following equation.
[0003]
(Equation 5)

[0004]
Here, _{{e n}} is a normalized noise of zero mean and variance ^{_{σ e 2, {a i:}} i = 1,2, ..., p} and _{{b j: j = 1,2,} ... , Q} is
^{_{A (Z -1) = 1 +}} a 1 Z -1 + ... + a p Z -p
^{_{B (Z -1) = 1 +}} b 1 Z -1 + ... + b q Z -q
In this case, A (Z ^-1 ) and B (Z ^-1 ) are rules, and further satisfy a steady condition, a reversible condition and a strong real condition.
[0005]
As a method for estimating the parameters {a _i } and {b _j } of equation (1) from the sample time series {x _n }, there is a pseudo-linear regression method disclosed in Non-Patent Document 1. And p = q for simplicity, to define a vector Z _n and the vector θ as follows.
_{Z n = [- x n-} 1, ..., -x n-p, e n-1, ..., e n-p] T
_{θ = [a 1, a 2} , ..., a p, b 1, b 2, ..., b p] T
_{However, b} p = 0
When the equation (1) is rewritten into an equation for _xn , the equation (1) becomes
^{_{x n = θ T Z n +}} e n ... (2)
It can be expressed as. When a time series {x _n : n = 1, 2,..., N} composed of N pieces of data is obtained, to obtain the vector θ from the time series by the least square method,
[0006]
(Equation 6)

[0007]
May be determined so as to minimize the right side of. Therefore, the vector θ estimated from the time series is given by the following equation by partially differentiating the right side of the equation (3) with θ and making it equal to 0.
[0008]
(Equation 7)

[0009]
If the autocorrelation function of {x _n } with lag k is R _k ,
_{R k = E [x n x} n + k]
It is. Here, E [y _n ] is an expected value of the data sequence {y _n : n = 1, 2,...}. Also,
R- _k = _Rk
It is. The autocorrelation function of the lag is k _{{e n}} When _{S k,} similarly,
_{S k = E [e n e} n + k], S -k = S k
It is. Further, the cross-correlation function between _{{x n}} and _{{e n}} is
_{T k = E [e n x} n + k]
_{T -k = E [e n x} n-k]
After all,
_{E [x n e n + k} ] = E [e n x n-k] = T -k
_{E [x n e n-k} ] = E [e n x n + k] = T k
It becomes.
[0010]
(4) the right side of the equation can be represented by a cross-correlation function between the autocorrelation function of _{{x n},} the autocorrelation function of _{{e n},} and a _{{x n} {e n}} , (4) ceremony,
[0011]
(Equation 8)

[0012]
It becomes. Vectors a and b are
a = [a ₁ , a ₂ ,..., a _p ] ^T
_{b = [b 1, b 2} , ..., b p] T
And the matrix included in equation (5) is
[0013]
(Equation 9)

[0014]
Equation (5) gives:
[0015]
(Equation 10)

[0016]
It can be expressed as. Since vectors a, b, r, and t are matrices of p rows and 1 column, and matrices R, T, and S are matrices of p rows and p columns, equation (7) is a form of a simultaneous equation for vectors a and b. Can be rewritten to
R · a−τ · b = −r (8)
−τ ^T · a + S · b = t (9)
It becomes. From equation (9),
^{b = S -1 (t + τ} T · a) ... (10)
By substituting equation (10) into equation (8),
a = (R−τ · S ⁻¹ · τ ^T ) ⁻¹ (τ · S ⁻¹ · tr) (11)
Is required. The vector a is obtained from the equation (11), and the vector b can be calculated by substituting the obtained vector a into the equation (10).
[0017]
The pseudo-linear regression, the white noise _{{e n}} generated using a random number, from the generated and _{{e n}} time series _{{x n},} with (11) and (10), (1) formula to calculate the parameters _{{a i}} and _{{b j},} the calculated _{{a i}} and _{{b j},} calculate the white noise _{{e n}} using the equation (1), the parameters The calculation is repeated until {a _i } and {b _j } converge, and parameters {a _i } and {b _j } are obtained.
[0018]
[Non-patent document 1]
Toru Katayama "Introduction to System Identification" Asakura Shoten 1994
[0019]
[Problems to be solved by the invention]
The quasi-linear regression method has a problem that parameters {a _i } and {b _j } do not converge and parameters cannot be estimated depending on the nature of the problem. Further, there is a problem that the calculation time is long because the matrix calculation of p rows and p columns is performed.
[0020]
The present invention has been made in order to solve the above-described problems, and an object of the present invention is to perform a calculation by setting a numerical value that should theoretically be 0 to 0 among numerical values used for the calculation. To provide a parameter estimation method, a parameter estimation device, a computer program for realizing a computer as the parameter estimation device, which can facilitate convergence of parameter values and at the same time reduce calculation time, and a recording medium. is there.
[0021]
Another object of the present invention is to estimate data using parameters estimated by the parameter estimation method, and thereby to estimate data even for a time series for which data cannot be estimated by the conventional method. It is an object of the present invention to provide a data prediction method, a data prediction device, a computer program for realizing a computer as the data prediction device, and a recording medium.
[0022]
[Means for Solving the Problems]
Parameter estimation method according to the first invention, time series composed of a plurality of data, and from the white noise average value of ² variance sigma _e 0, the autocorrelation function of the time series, the self of the white noise A method of estimating parameters when the time series is applied to an ARMA model using a correlation function and a cross-correlation function between the time series and the white noise, comprising: The value of σ _e ² , the value of the autocorrelation function of the white noise having a lag other than 0 is set to 0, and the data included in the time series and the data included in the time series among the cross-correlation functions of the time series and the white noise The parameter is calculated by setting the value of the cross-correlation function with the value of the white noise at a point in time later than zero as 0.
[0023]
A parameter estimation method according to a second aspect of the present invention uses a computer including a storage unit and an operation unit to calculate a parameter when a time series composed of N data is applied to an (p, p) -th ARMA model. In the estimation method, a time series {x _n : n = 1, 2,..., N} composed of N data is stored in a storage unit, and N values having an average value of 0 are represented in a time series. lined white noise _{{e n: n = 1,2,} ..., n} was generated by calculating unit, the variance sigma _e ² of the generated white noise calculated by the computing unit, of the AR process in the ARMA model A matrix a = [a ₁ , a ₂ ,..., a _p ] ^T having p parameters as matrix elements and a matrix b = [b ₁ , p matrix elements having p parameters of the MA process in the ARMA model b ₂ ,..., b _p ] ^T
[0024]
[Equation 11]

[0025]
And the calculation unit, substitutes the parameters of the ARMA model included in the calculated matrices a and b and the value of the time series into the expression of the ARMA model, and adds new white noise to the calculation unit. Calculating, calculating new matrices a and b using the calculated new white noise in the calculation unit, and repeating calculation of the matrices a and b in the calculation unit until the matrices a and b converge. It is characterized by.
[0026]
A data prediction method according to a third invention is a method for predicting new data to be added to the time series from a time series composed of a plurality of data by using a computer having a storage unit and an arithmetic unit. A parameter when the time series is applied to an ARMA model is calculated by an arithmetic unit, stored in the storage unit and using the parameter estimation method according to the second invention, and the calculated parameter and the stored time series of the time series are calculated. The value is substituted into the expression of the ARMA model, and new data added to the time series is calculated by an arithmetic unit.
[0027]
A parameter estimating apparatus according to a fourth aspect of the present invention is an apparatus for estimating a parameter when a time series composed of N data is applied to an (p, p) -th ARMA model, and is composed of N data. time series _{{x n: n = 1,2,} ..., n} means for storing, white noise n values average is 0 is arranged at time series _{e n: n = 1,2, ..., means and, means for calculating a variance sigma _e ² of the generated white noise, the matrix a _{= [a} 1 a p number of parameters matrix elements of the AR process in the ARMA model to generate a N}, _{a 2} ,..., A _p ] ^T , and a matrix b = [b ₁ , b ₂ ,..., Bp] ^T having _p parameters of the MA process in the ARMA model as matrix elements,
[0028]
(Equation 12)

[0029]
Means for calculating a new white noise by substituting the ARMA model parameters and the time series values contained in the calculated matrices a and b into the ARMA model equation; Means for calculating new matrices a and b using the new white noise thus obtained, and means for repeating the calculations of the matrices a and b until the matrices a and b converge.
[0030]
A data prediction device according to a fifth aspect of the present invention is a device for predicting new data added to the time series from a time series composed of a plurality of data. Means for calculating a parameter when the time series is applied to the ARMA model from the time series by using the parameter estimating device; and calculating the calculated parameter and the stored value of the time series by the ARMA. Means for calculating new data to be added to the time series by substituting into a model equation.
[0031]
A computer program according to a sixth aspect of the present invention is a computer program for causing a computer to estimate a parameter when a time series composed of N data is applied to an (p, p) next ARMA model. There n values white noise arranged in time series is _{0 {e n: n = 1,2} , ..., n} calculations and procedures to generate a computer, the variance sigma _e ² of the generated white noise Using the time series {x _n : n = 1, 2,..., N} stored in the computer and composed of N data, the p processes of the AR process in the ARMA model. matrix for parameters and matrix element _{a = [a 1, a 2} , ..., a p] matrix b = _{[b 1} to ^T, and p number of parameters matrix elements of MA process in the ARMA model b _2, ..., a b ^{p] T,}
[0032]
(Equation 13)

[0033]
And a procedure for causing a computer to calculate a new white noise by substituting the parameters of the ARMA model included in the calculated matrices a and b, and the values of the time series into the equation of the ARMA model. And a procedure for causing the computer to calculate new matrices a and b using the calculated new white noise, and a procedure for causing the computer to repeatedly calculate the matrices a and b until the matrices a and b converge. And characterized in that:
[0034]
A computer program according to a seventh aspect of the present invention is a computer program for causing a computer to predict new data to be added to the time series from a time series composed of a plurality of data, the computer program using the computer program according to the sixth invention. From the stored time series, a procedure for calculating a parameter when the time series is applied to the ARMA model, and a computer calculates the calculated parameter and the stored value of the time series by the equation of the ARMA model. And calculating new data added to the time series.
[0035]
A computer-readable recording medium according to an eighth aspect of the present invention is a computer program for causing a computer to estimate parameters when a time series composed of N data is applied to a (p, p) next ARMA model. the a recording medium readable in are recorded computer, the computer, the average value of 0 n number of values is a time series with aligned white noise _{{e n: n = 1,2,} ..., n } and procedures to generate a computer, the procedure for calculating the variance sigma _e ² of the generated white noise, the computer stores, time series composed of n data {x _n: n = 1 , 2,..., N}, the matrix a = [a ₁ , a ₂ ,..., A _p ] ^T using p parameters of the AR process in the ARMA model as matrix elements, and the ARMA A matrix b = [b ₁ , b ₂ ,..., Bp] ^T having _p parameters of the MA process in the model as matrix elements is
[0036]
[Equation 14]

[0037]
And a procedure for causing a computer to calculate a new white noise by substituting the parameters of the ARMA model included in the calculated matrices a and b, and the values of the time series into the equation of the ARMA model. And a procedure for causing the computer to calculate new matrices a and b using the calculated new white noise, and a procedure for causing the computer to repeatedly calculate the matrices a and b until the matrices a and b converge. And a computer program including the following.
[0038]
The computer-readable recording medium according to the ninth invention is a computer-readable recording medium storing a computer program for causing a computer to predict a new data to be added to the time series from a time series composed of a plurality of data. Using a computer program according to the sixth aspect of the present invention to cause a computer to calculate, from the stored time series, a parameter when the time series is applied to the ARMA model in a readable recording medium; Substituting the calculated parameters and the stored values of the time series into the formula of the ARMA model to calculate new data added to the time series. Features.
[0039]
The present inventor tried to improve the conventional pseudo-linear regression method by introducing a priori knowledge derived from the configuration of the ARMA model equation. From equation (1), in the ARMA model, the value of the current data is associated with the value of the past data and the value of the past white noise. However, since the value of the current data is not related to the value of the future white noise, the cross-correlation function between the data and the white noise future than the data is theoretically:
_{E [x n e n + k} ] = 0
It becomes. Similarly,
_{E [e n x n-k} ] = 0
It is. Thereby, T− _k included in the equation (5) can be theoretically set to 0. Furthermore, the autocorrelation function of white noise {e _n} is theoretically
[0040]
[Equation 15]

[0041]
It becomes. In the actual case, since the value of N is finite, the calculated value of the cross-correlation function and the auto-correlation function is different from the theoretical value. By replacing the part where the theoretical value is obtained with the theoretical value, the equation (5) becomes
[0042]
(Equation 16)

[0043]
It can be expressed as. Using the unit matrix I, the expression (12) is further expressed as
[0044]
[Equation 17]

[0045]
It can be expressed as. Rewriting equation (13) into the form of a system of equations for vectors a and b,
R · a−T · b = −r (14)
−T ^T · a + σ _e ² b = t (15)
It becomes. From equation (15),
b = (t + T ^T · a) / σ _e ² (16)
Is obtained, and by substituting equation (16) into equation (14),
a = {R− (1 / σ _e ² ) T · T ^T } ⁻¹ {(1 / σ _e ² ) T · t−r} (17)
Is obtained.
[0046]
In the first invention, when estimating parameters of the ARMA model when the time series is applied to the ARMA model, theoretical values are used for an autocorrelation function of white noise and a cross-correlation function of the time series and white noise. Is used, the value of the parameter can be reliably estimated.
[0047]
Second, fourth, the sixth and the eighth invention, the white noise {e _n} generated using random numbers or the like, and a formed white noise and a time series, (17) and (16) using vectors a and b were calculated from the calculated vectors a and b, a new white noise {e _n} and calculations, vectors a and b converge a parameters to be estimated using the equation (1) By repeating the calculation up to this point, an expression including a simplified matrix is used as compared with the related art, so that the vectors a and b are more likely to converge.
[0048]
According to the third, fifth, seventh, and ninth aspects of the present invention, by predicting data using parameters estimated by a method capable of more reliably estimating parameters than in the past, it is possible to predict a time series in which data cannot be predicted conventionally. Can also predict the data.
[0049]
BEST MODE FOR CARRYING OUT THE INVENTION
Hereinafter, the present invention will be specifically described with reference to the drawings showing the embodiments.
FIG. 1 is a block diagram showing the configuration of the data prediction device of the present invention. The data prediction device 1 has the function of the parameter estimation device of the present invention, and is configured using a computer. The data prediction device 1 includes a CPU (arithmetic unit) 11 that performs an arithmetic operation, a RAM (a storage unit) 12 that stores temporary information generated by the arithmetic operation, an external storage device 13 such as a CD-ROM drive, An internal storage device 14 such as a hard disk; reads a computer program 20 according to the present invention from a recording medium 2 according to the present invention such as a CD-ROM in an external storage device 13; The computer program 20 is stored in the device 14 and loaded into the RAM 12, and the CPU 11 executes processing necessary for the data prediction device 1 based on the loaded computer program 20. The data prediction device 1 includes an input device 15 such as a keyboard or a mouse, and an output device 16 such as a liquid crystal display or a CRT display, and is configured to receive an operation from an operator including data input. .
[0050]
The data prediction device 1 includes a communication interface (not shown), downloads the computer program 20 according to the present invention from an external server device (not shown) connected to the communication interface, and executes the processing by the CPU 11. You may.
[0051]
FIG. 2 is a flowchart illustrating a parameter estimation process and a data prediction process performed by the data prediction device of the present invention. The data prediction device 1 reads the data input to the input device 15 by the operation of the operator, or reads the data stored in the internal storage device 14, and performs a time series of data composed of N data. {X _n : n = 1, 2,..., N} is read into the RAM 12 (S1). CPU11 loads the computer program 20 into RAM 12, in accordance with a computer program 20 loaded, the white noise of zero mean an N number of values _{{e n: n = 1,2,} ..., N} to produce a (S2). At this time, the CPU 11 generates a white noise by using a random number generation routine to generate a random number with the time value as an initial value. CPU11 then, in accordance with a computer program 20 loaded into the RAM 12, the variance sigma _e ² of the generated white noise _{{e n}} calculated (S3), when the data sequence _{{x n}} and the white noise _{e n} , The matrix r, t, R defined by the equation (6) and the matrix T defined by the equation (13) are calculated (S4), and the calculated matrices r, t, R, T and the white noise are calculated. The variance σ _e ² is substituted into the equations (17) and (16) to calculate the vectors a and b, which are parameters to be obtained (S5).
[0052]
Next, the CPU 11 determines whether or not the calculated vectors a and b have converged in accordance with the computer program 20 loaded in the RAM 12 (S6). If the calculated vectors a and b have not converged (S6: NO), by substituting a time series of vectors a and b and the data _{{x n}} (1) equation, to calculate a new white noise _{{e n}} (S7), the process returns to step S3, the vector Steps S3 to S7 are repeated until a and b converge. In step S6, the CPU 11 determines, for example, the latest vectors a and b and the vectors a 'and b' that are the previously calculated vectors a and b,
Δ = | aa ′ | + | bb ′ |
Is calculated, and when the value of Δ is smaller than a predetermined value, it is determined that the vectors a and b have converged. If the vectors a and b have converged in step S6 (S6: YES), the CPU 11 uses the parameters calculated in accordance with the computer program 20 loaded in the RAM 12 to calculate the time series {x _n } using the ARMA model. The prediction data is calculated (S8), and the process ends. Through the above processing, the parameters of the ARMA model are estimated, and new data in a time series can be predicted.
[0053]
Next, an example in which the effectiveness of the present invention is verified by performing a simulation will be described. A time series was generated by defining the parameters of the ARAMA model, and a simulation of estimating parameters from the generated time series using the parameter estimation method of the present invention was performed. FIG. 3 is a table showing parameters for performing a simulation. (2, 2) The following ARMA model was used, and simulations were performed on the three types of models shown in FIG.
[0054]
FIG. 4 is a chart showing the convergence rate when the simulation is performed. A time series composed of N data is generated using given parameters, and a simulation of estimating parameters using the generated time series is performed 100 times, and the vectors a and b converge and the parameters are estimated. The success rates at which the values were obtained are shown in the figure. In the case of using the conventional method, the calculation surely converges in the case of model 3, but in the case of model 2, it does not converge when N is large, and in the case of model 1, it does not converge at all. In the case where the present invention is used, convergence is achieved with a probability of about 30% in any of the models. This shows that the present invention can estimate parameters with a certain probability for any problem.
[0055]
FIG. 5 is a chart showing parameter estimation accuracy. From the parameters a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ shown in FIG. 3 and the respective estimated values a ₁ ′, a ₂ ′, b ₁ ′, b ₂ ′,
Δa = | a ₁ −a ₁ ′ | + | a ₂ −a ₂ ′ |
Δb = | b ₁ −b ₁ ′ | + | b ₂ −b ₂ ′ |
Δ = Δa + Δb
Are calculated in the case of convergence, and the average value is shown in the figure. When the calculation converges and an estimated value of the parameter is obtained, the estimation accuracy of the parameter is substantially the same between the present invention and the conventional method.
[0056]
As described above in detail, in the present invention, when estimating the parameters of the ARMA model by applying the time series composed of a plurality of data to the ARMA model, the time series that cannot be conventionally estimated for the parameters is also used. , Parameters can be estimated, and the calculation time for parameter estimation can be shortened by the amount by which the probability of parameter convergence is improved. As a result, it is possible to predict data for a time series in which data could not be predicted in the past, and to apply the present invention to economical time series such as stock prices or sales, so that stock prices or sales can be more reliably calculated than before. Data such as high can be predicted.
[0057]
In the present embodiment, the data prediction device 1 according to the present invention has been described as having the function of the parameter estimating device according to the present invention. However, the present invention is not limited to this. And a data prediction device that predicts data by using different computers, and inputs and outputs information to each other to estimate parameters and predict data.
[0058]
【The invention's effect】
In the first invention, when estimating parameters of the ARMA model when the time series is applied to the ARMA model, theoretical values are used for an autocorrelation function of white noise and a cross-correlation function of the time series and white noise. Is used, the value of the parameter can be reliably estimated.
[0059]
In the second, fourth, sixth, and eighth inventions, since an expression including a simplified matrix is used as compared with the related art, the parameters to be obtained are more likely to converge, and the parameter cannot be estimated conventionally. As for the time series, the parameter can be estimated. In addition, the calculation time for parameter estimation can be reduced by the amount by which the probability of parameter convergence is improved.
[0060]
According to the third, fifth, seventh, and ninth aspects of the present invention, by predicting data using parameters estimated by a method capable of more reliably estimating parameters than in the past, it is possible to predict a time series in which data cannot be predicted conventionally. Can also predict the data. In addition, the present invention has an excellent effect, for example, by applying the present invention to economical time series such as stock prices or sales, thereby enabling more reliable prediction of data such as stock prices or sales than before.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a block diagram illustrating a configuration of a data prediction device according to the present invention.
FIG. 2 is a flowchart showing a parameter estimation process and a data prediction process performed by the data prediction device of the present invention.
FIG. 3 is a table showing parameters for performing a simulation.
FIG. 4 is a table showing a convergence rate when a simulation is performed.
FIG. 5 is a table showing parameter estimation accuracy.
[Explanation of symbols]
1 Data prediction device (parameter estimation device)
11 CPU (arithmetic unit)
12 RAM (storage unit)
2 Recording medium 20 Computer program

Claims (9)

From a time series composed of a plurality of data, and a white noise having an average value of 0 and a variance of σ _e ² , an autocorrelation function of the time series, an autocorrelation function of the white noise, and the time series and the white A method for estimating parameters when the time series is applied to an ARMA model using a cross-correlation function with noise,
Let σ _e ^{2 be} the value of the autocorrelation function of the white noise having a lag of 0,
The value of the autocorrelation function of the white noise having a lag other than 0 is set to 0,
Of the cross-correlation function between the time series and the white noise, the value of the cross-correlation function between the data included in the time series and the value of the white noise at a point in time future than the data is set to 0,
A parameter estimating method comprising calculating the parameter. In a method for estimating parameters when a time series composed of N data is applied to a (p, p) next ARMA model using a computer including a storage unit and an arithmetic unit,
A time series {x _n : n = 1, 2,..., N} composed of N data is stored in the storage unit,
_{Generates: {n = 1,2, ...,} N e n} a in calculation unit, an average value of 0 in a N values are arranged in time series white noise
The variance σ _e ² of the generated white noise is calculated by the calculation unit,
Matrix a = [a ₁ , a ₂ ,..., A _p ] ^T using _p parameters of the AR process in the ARMA model as matrix elements, and p parameters of the MA process in the ARMA model as matrix elements The matrix b = [b ₁ , b ₂ ,..., B _p ] ^T

And the calculation unit calculates
The parameters of the ARMA model included in the calculated matrices a and b, and the values of the time series are substituted into the equations of the ARMA model, and a new white noise is calculated by the calculation unit.
Using the calculated new white noise, a new matrix a and a new matrix b are calculated by the calculation unit,
A parameter estimating method, wherein the calculation of the matrices a and b is repeated by an arithmetic unit until the matrices a and b converge. Using a computer having a storage unit and a calculation unit, in a method of predicting new data to be added to the time series from a time series composed of a plurality of data,
Store the time series in the storage unit,
Using the parameter estimation method according to claim 2, a parameter when the time series is applied to an ARMA model is calculated by an arithmetic unit,
A data prediction method, wherein the calculated parameters and the stored values of the time series are substituted into the ARMA model formula, and new data added to the time series is calculated by an arithmetic unit. In a device for estimating parameters when a time series composed of N data is applied to an (p, p) -order ARMA model,
Means for storing a time series {x _n : n = 1, 2,..., N} composed of N data;
White noise N values average is 0 is arranged at time series _{{e n: n = 1,2,} ..., N} means for generating,
Means for calculating the variance σ _e ² of the generated white noise;
Matrix a = [a ₁ , a ₂ ,..., A _p ] ^T using _p parameters of the AR process in the ARMA model as matrix elements, and p parameters of the MA process in the ARMA model as matrix elements The matrix b = [b ₁ , b ₂ ,..., B _p ] ^T

Means for calculating
Means for calculating a new white noise by substituting the parameters of the ARMA model included in the calculated matrices a and b, and the values of the time series into the expression of the ARMA model,
Means for calculating new matrices a and b using the calculated new white noise;
Means for repeating the calculation of the matrices a and b until the matrices a and b converge. In a device for predicting new data to be added to the time series from a time series composed of a plurality of data,
Means for storing a time series;
A parameter estimating device according to claim 4,
Means for calculating a parameter when the time series is applied to an ARMA model from the time series using the parameter estimation device;
Means for substituting the calculated parameters and the stored values of the time series into the ARMA model equation to calculate new data added to the time series. In a computer program for causing a computer to estimate parameters when a time series composed of N data is applied to an (p, p) -th ARMA model,
The computer, white noise N values average is 0 is arranged at time series _{{e n: n = 1,2,} ..., N} and procedures to generate,
Causing the computer to calculate the variance σ _e ² of the generated white noise;
Using a time series {x _n : n = 1, 2,..., N} stored in a computer and composed of N data, p parameters of the AR process in the ARMA model are matrix elements. Matrix a = [a ₁ , a ₂ ,..., A _p ] ^T , and a matrix b = [b ₁ , b ₂ ,..., Bp using _p parameters of the MA process in the ARMA model as matrix elements ] ^T ,

And the procedure to calculate
A step of causing a computer to calculate a new white noise by substituting the parameters of the ARMA model included in the calculated matrices a and b, and the value of the time series into the equation of the ARMA model,
Causing the computer to calculate new matrices a and b using the calculated new white noise;
Causing the computer to repeat the calculation of the matrices a and b until the matrices a and b converge. A computer program for causing a computer to predict new data to be added to the time series from a time series composed of a plurality of data,
A procedure for causing a computer to calculate parameters when the time series is applied to the ARMA model from the stored time series using the computer program according to claim 6;
Causing the computer to substitute the calculated parameters and the stored values of the time series into the formula of the ARMA model to calculate new data added to the time series. . In a computer-readable recording medium that stores a computer program for causing a computer to estimate parameters when a time series composed of N data is applied to a (p, p) -order ARMA model,
The computer, white noise N values average is 0 is arranged at time series _{{e n: n = 1,2,} ..., N} and procedures to generate,
Causing the computer to calculate the variance σ _e ² of the generated white noise;
Using a time series {x _n : n = 1, 2,..., N} stored in a computer and composed of N data, p parameters of the AR process in the ARMA model are matrix elements. Matrix a = [a ₁ , a ₂ ,..., A _p ] ^T , and a matrix b = [b ₁ , b ₂ ,..., Bp using _p parameters of the MA process in the ARMA model as matrix elements ] ^T ,

And the procedure to calculate
A step of causing a computer to calculate a new white noise by substituting the parameters of the ARMA model included in the calculated matrices a and b, and the value of the time series into the equation of the ARMA model,
Causing the computer to calculate new matrices a and b using the calculated new white noise;
A computer readable recording medium characterized by recording a computer program including a step of causing a computer to repeat the calculation of the matrices a and b until the matrices a and b converge. In a computer-readable recording medium that has recorded thereon a computer program for predicting new data added to the time series from a time series composed of a plurality of data,
A procedure for causing a computer to calculate parameters when the time series is applied to the ARMA model from the stored time series using the computer program according to claim 6;
Substituting the calculated parameters and the stored values of the time series into the ARMA model formula to cause the computer to calculate new data added to the time series. A computer-readable recording medium characterized by the above-mentioned.

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