JP2004064681A - Adaptive filter - Google Patents

Abstract

<P>PROBLEM TO BE SOLVED: To provide a new adaptive filter capable of acquiring convergence faster than the adaptive filter using an LMS (least mean square) algorithm or an NLSM (normalized least mean square) algorithm. <P>SOLUTION: The transversal adaptive filter 100 is designed to multiply samples delayed from an input signal x(n) through a plurality of delay elements 110 with factors w(x) at a plurality of multipliers 120, and to output an output signal y(n) after acquiring those sums by an accumulator 130. The factors w(x) are calculated by an adaptive algorithm unit 150. In the adaptive algorithm used herein, the step size parameter is expressed by the equation. Herein, tr(R(n)) is the sum of diagonal elements of an autocorrelation matrix R(n) of the input signal x(n), e(n) is an error signal, and γ and δ are positive constants. <P>COPYRIGHT: (C)2004,JPO

Description

（ここで、ｔｒ［Ｒ（ｎ）］は入力信号ｘ（ｎ）の自己相関行列Ｒ（ｎ）の対角成分の和，ｅ（ｎ）は誤差信号，γ，δは正の定数）
とすることを特徴とする。
このとき、反復ｎから反復ｎ＋１に更新するとき、前記ｔｒ［Ｒ（ｎ）］を、
【数５】
ｔｒ［Ｒ（ｎ＋１）］＝ｔｒ［Ｒ（ｎ）］＋ｘ（ｎ＋１）^２−ｘ（ｎ−Ｍ＋１）^２
（ここで、Ｍはフィルタ長）
とすることで、計算量を大幅に減少することができる。
また、
【数６】

（ここで、λ_ｍａｘはＲ（ｎ）の固有値の対角行列Λの要素の最大値）
となるように制御することで、ＮＬＭＳより低い平均２乗誤差を与えることができる。
【０００６】
【発明の実施の形態】
本発明の実施形態を、図面を参照して詳細に説明する。
本発明における適用フィルタを説明する前に、従来のＬＭＳアルゴリズムについてまず説明する。
（基本的な適応アルゴリズム）
トランスバーサル適応フィルタは、一般に図２で示される構成である。図示したフィルタは、入力信号ｘ（ｎ）を複数の遅延素子１１０で遅延されたサンプルに、掛け算器１２０で係数ｗ（ｎ）を掛け合わせ、それらの和を累算器１３０により求めることで出力信号ｙ（ｎ）を与える。反復がｎ回の時、入力ベクトルＸ（ｎ）と係数ベクトルＷ（ｎ）が以下の式で定義されるとする。
【数７】
Ｘ（ｎ）＝［ｘ（ｎ），ｘ（ｎ−１），…，ｘ（ｎ−Ｍ＋１）］^Ｔ　　　　　　（１）
Ｗ（ｎ）＝［ｗ（１），ｗ（２），…，ｗ（Ｍ）］^Ｔ　　　　　　　　　　　　（２）
このとき、出力信号は
【数８】
ｙ（ｎ）＝Ｗ（ｎ）^ＴＸ（ｎ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）
となる。所望信号ｄ（ｎ）と出力信号ｙ（ｎ）との差は、誤差信号として次式で与えられる。
【数９】
ｅ（ｎ）＝ｄ（ｎ）−ｙ（ｎ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）
ＬＭＳアルゴリズムでは、新しいデータサンプルを受け取るたびに、係数ベクトルＷ（ｎ）を次式に従って更新する。そして、平均２乗誤差Ｅ［ｅ^２（ｎ）］を最小化する。
【数１０】
Ｗ（ｎ＋１）＝Ｗ（ｎ）＋μｅ（ｎ）Ｘ（ｎ）　　　　　　　　　　（５）
ここでμは、ステップサイズ・パラメータと呼ばれる、収束特性を制御する正の定数である。このＬＭＳの適応処理の安定性を保証するためには、μの値は以下の条件を満たす必要がある。
【数１１】

ここでｔｒ［Ｒ］は、入力信号ｘ（ｎ）の自己相関行列Ｒの対角成分の和である。
【０００７】
（正規化ＬＭＳアルゴリズム）
ＮＬＭＳアルゴリズムは、式（５）におけるステップサイズ・パラメータ
を以下の式で置き換えることにより実現される。
【数１２】

ここでＸ（ｎ）^ＴＸ（ｎ）は入力パワーに対応し、次式で与えられる。
【数１３】
Ｘ（ｎ）^ＴＸ（ｎ）＝ｘ（ｎ）^２＋ｘ（ｎ−１）^２＋…＋ｘ（ｎ−Ｍ＋１）^２　　　　　　　　　（８）
式７におけるβは、小さな正の定数である。これは分母の値が零となり、非現実的な割り算を行うことを避けるために設定される。このβは、しばしば安定化パラメータと呼ばれる。
ここで以下の式を仮定する。
【数１４】
ｘ（ｎ）^２＋ｘ（ｎ−１）^２＋…＋ｘ（ｎ−Ｍ＋１）^２＝ｔｒ［Ｒ（ｎ）］　　　　　　　　　（９）
Ｒ（ｎ）は入力ベクトルＸ（ｎ）の自己相関行列である。この場合、入力信号の自己相関行列Ｒのトレースがｔｒ［Ｒ］≒ｔｒ［Ｒ（ｎ）］と近似されることを考慮すると、安定した収束を得るためにはαは以下の条件を満たさなければならない。
【数１５】
０＜α＜２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１０）
この条件下であれば、ＮＬＭＳアルゴリズムは２乗平均の意味において収束する。
【０００８】
（改良正規化ＬＭＳアルゴリズム）
ＬＭＳアルゴリズムにおいて、仮にステップサイズ・パラメータを大きく設定したならば、収束速度は速いが収束後の平均２乗誤差は増加してしまう。このことはＮＬＭＳアルゴリズムにおいても同様である。すなわち、ＮＬＭＳアルゴリズムの収束特性はαの値に左右される。しかし、ＮＬＭＳアルゴリズムは、ＬＭＳアルゴリズムによって引き起こされる雑音の増幅の程度を本質的に減らす性質を有する。この性質は、トレーニングモードにおいて、可能な限り速くかつ低い平均２乗誤差を与えることが要求される通信路等化において、大変適していると言える。そこで、ＮＬＭＳアルゴリズムの収束特性を改良するために、本発明では以下のステップサイズ・パラメータ設定法を提案している。
【数１６】

ここでγとδは正の定数である。δは安定化パラメータである。γは調整可能なパラメータとして機能し、ＬＭＳアルゴリズムやＮＬＭＳアルゴリズムにおけるステップサイズ・パラメータのような役割を果たす。誤差ｅ（ｎ）の絶対値が大きいとき、式（１１）の設定は、ステップサイズ・パラメータを安定した収束を得るための上限に近い大きい値にする。一方、誤差ｅ（ｎ）の絶対値が小さいとき、式（１１）の設定はステップサイズ・パラメータの値を小さくする。
このようなステップサイズ・パラメータの設定は、速い収束と低い平均２乗誤差を実現するために望まれるものである。すなわち、式（１１）によって算出されるステップサイズ・パラメータを用いる適応アルゴリズムは、ＮＬＭＳアルゴリズムの長所を保持しつつ、より改善された収束特性を与えることになる。
【０００９】
＜計算量低減のためのアルゴリズム＞
本発明のアルゴリズムはＮＬＭＳアルゴリズムに基づいており、入力ベクトルの自己相関行列の対角成分の和Ｘ（ｎ）^ＴＸ（ｎ）を用いる。すなわち、フィルタ長Ｍに比例する計算量を反復ごとに必要とする。しかし、ここでは、以下の関係式を用い、Ｘ（ｎ）^ＴＸ（ｎ）を反復ｎからｎ＋１に更新することにする。
【数１７】

この場合、反復ごとに要されるｔｒ［Ｒ（ｎ）］の計算量は大幅に減少される。なぜならフィルタ長Ｍがいかに大きい場合においても、反復ごとに必要とされる計算量はＭに依存せず、一定であるからである。
これまでに述べたアルゴリズムを図３にまとめる。すなわち、提案する適応アルゴリズムは、図３のような６つの手順を踏むことになる。
（ｉ）式（３），（４）を用いて出力信号ｙ（ｎ）と誤差信号ｅ（ｎ）を算出する（Ｓ２０２）。
（ｉｉ）次に、自己相関行列の対角成分の和に対応する変数ｒにｘ（ｎ）^２を加算する（Ｓ２０４）。（ｒの初期値は０に設定する。）
（ｉｉｉ）式（１１）に従って、ステップサイズ・パラメータμを求める（Ｓ２０６）。
（ｉｖ）ｒからｘ（ｎ−Ｍ＋１）^２を引き算する（Ｓ２０８）。
（ｖ）式（５）に従って、フィルタの係数ベクトルＷを更新する（Ｓ２１０）。
（ｖｉ）反復ｎ回目における係数更新処理を終了し、ｎをｎ＋１に更新する（Ｓ２１２）。
これらの手順をトレーニング・モードのときに、予め定めた回数繰り返すことになる。
【００１０】
＜収束特性の解析＞
以下では、提案する適応アルゴリズムの収束特性の解析を行う。具体的には、ＮＬＭＳアルゴリズムと提案アルゴリズムの過剰平均２乗誤差の差を求め、その値が正になる条件を導出する。
（過剰平均２乗誤差の一般形）
最適ウィーナー解をＷ_ｏｐｔとすると、誤差係数ベクトルは
【数１８】
Ｃ（ｎ）＝Ｗ_ｏｐｔ−Ｗ（ｎ）　　　　　　　　　　　　　　　　（１３）
と定義することができる。この時、過剰平均２乗誤差の一般形は
【数１９】
ε_ｅｘ＝Ｅ［Ｃ（ｎ）^ＴＲ（ｎ）Ｃ（ｎ）］　　　　　　　　　　（１４）
と表すことができる。
（提案法とＮＬＭＳの過剰平均２乗誤差の差）
式１４は次式に書き換えることができる。
【数２０】

ΛはＲ（ｎ）の固有値の対角行列、λ_ｋはΛの要素である。
ＮＬＭＳと提案アルゴリズムを比較するために、以下の式で定義されるΘを考える。
【数２１】

μはＮＬＭＳのステップ・サイズ、μ’は提案アルゴリズムのステップ・サイズである。Θ＞０が成立する限り、提案アルゴリズムがＮＬＭＳより低い平均２乗誤差を与えている。
【００１１】
解析を進めるために、ＮＬＭＳアルゴリズムのステップ・サイズや提案アルゴリズムのステップ・サイズを
【数２２】

とそれぞれ近似することにする。式の簡略化のため、
【数２３】
Ａ＝ｔｒ［Ｒ］，　　Ｂ＝｜ｅ（ｎ）｜
とする。このとき、式（１７）より
【数２４】

が導ける。ここで、Θ＞０を満たすためには、以下の連立不等式が成立する必要がある。
【数２５】
２Ａ（Ａ＋Ｂ）−λ_ｋ（α（Ａ＋Ｂ）＋２Ａ）＞０　　　　　　　　（１９）
２Ａ−α（Ａ＋Ｂ）＞０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２０）
不等式（１９）を成立させるために、λ_ｍａｘは最も厳しい要素である。従って
【数２６】
２Ａ（Ａ＋Ｂ）−λ_ｍａｘ（α（Ａ＋Ｂ）＋２Ａ）＞０　　　　　　（２１）
を満たす時、全ての固有値要素において不等式（１９）が成立する。
次に不等式（２０）が成立すると仮定する。この時、不等式（２１）は
【数２７】
α（Ａ＋Ｂ）^２＞４λ_ｍａｘＡ　　　　　　　　　　　　　　　　　（２２）
を満たすことと同義である。Ａ＝ｔｒ［Ｒ］，Ｂ＝｜ｅ（ｎ）｜を代入し、この不等式を変形すると
【数２８】

が得られる。この条件を満たす限り、提案アルゴリズムはＮＬＭＳより低い平均２乗誤差を与えることになる。
【００１２】
（収束後の平均２乗誤差が同値になる条件）
前節で述べた条件は、２つの適応アルゴリズムの収束後の平均２乗誤差が同値になる条件を考慮していない。ここでは、収束後の平均２乗誤差が同値になる条件を導出する。
ＮＬＭＳと提案アルゴリズムが同じ平均２乗誤差で収束するには、Θ＞０を満たさなければならない。すなわち不等式（１９）（２０）の右辺のどちらか一方が零に等しくなることと同義である。ここでは、平均２乗誤差の同値の条件として不等式（２０）に注目する。Θ＝０となった時点で収束すると考えれば、同値の条件は
【数２９】
α（Ａ＋Ｂ）＝２Ａ　　　　　　　　　　　　　　　（２４）
で与えられる。Ａ＝ｔｒ［Ｒ］，Ｂ＝｜ｅ（ｎ）｜を代入すると
【数３０】

が得られる。収束後の平均２乗誤差の平方根
【数３１】

を上式の｜ｅ（ｎ）｜に代入すると
【数３２】

と書き換えられる。この方程式を満たすようなαとγを選んだ時、ＮＬＭＳと提案アルゴリズムは、収束後の平均２乗誤差が同値になる。
【００１３】
（提案法の優位性）
前に述べた条件を組み合わせることにより、提案アルゴリズムがＮＬＭＳより低い平均２乗誤差を与える最終的な条件が導出される。
式（２４）は次式に変形できる。
【数３３】

この方程式を不等式（２３）に代入すると、
【数３４】

が導出できる。一般的にε_ｎ＞ε_ｒｅであるので、θ＞１が成立しなければならない。ここでλ_ｍａｘ＝Ｃとおくと、θ＞１は次の不等式に変形できる。
【数３５】
１＞αＣ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（３０）
ＮＬＭＳのパラメータαは、低い平均２乗誤差を実現するためにしばしば０＜α＜１と設定される。また、上で定義したＣは
【数３６】

で与えられる。従って、αＣは１を超えることはないと考えられ、上記の不等式は成立する。したがって、提案アルゴリズムの優位性が確認できる。
【００１４】
＜計算機シミュレーション＞
提案したアルゴリズムの有効性を検証するために、計算機シミュレーションを行った。トレーニングモード時の通信路等化モデルを図４に示す。図４は、図２における適応フィルタ１００を用いて、係数ｗ（ｎ）を求めるために行うモードのときの構成を示している。なお、適応フィルタを実際に用いるときの構成であるトラッキング・モード構成を図５に示す。
図４において、この等化器への入力信号は次式で与えられる。
【数３７】

ｕ（ｎ）は±１の擬似ランダム信号であり、入力信号に対応する。ｖ（ｎ）は白色ガウス雑音である。また、ｈ（ｉ）は通信路インパルス応答を表している。
【００１５】
（通信路モデル）
本シミュレーションでは、文献（Ｓ．　Ｈａｙｋｉｎ，”Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｆｉｌｔｅｒ　Ｔｈｅｏｒｙ，”　Ｐｒｅｎｔｉｃｅ　Ｈａｌｌ，１９９１　等参照）で用いられているＲａｉｓｅｄ　Ｃｏｓｉｎｅ通信路、および文献（Ｂ．Ｍｕｌｇｒｅｗ　ａｎｄ　Ｃ．　Ｆ．　Ｎ．　Ｃｏｗａｎ，　”Ａｄａｐｔｉｖｅ　Ｆｉｌｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｅｑｕａｌｉｓｅｒｓ，”　Ｋｌｕｗｅｒ　Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｕｂ．，　１９８８　等参照）にある非最小位相（ＮＭＰ）通信路を用いた。Ｒａｉｓｅｄ　Ｃｏｓｉｎｅ通信路の伝達関数Ｈ_ｒｃ（ｚ）は次式で与えられる（図６参照）。
【数３８】

この通信路特性は、Ｗの値により符号間干渉の影響が変化し、Ｗの値が大きくなるほど通信路等化を困難にする。また、ＮＭＰ１通信路とＮＭＰ２通信路の伝達関数をＨ_１（ｚ），Ｈ_２（ｚ）とおくと、それぞれ次式で表せる。
【数３９】
Ｈ_１（ｚ）＝０．２６０２＋０．９２９８ｚ^−１＋０．２６０２ｚ^−２　　　　　　　　（３３）
Ｈ_２（ｚ）＝０．３４８２＋０．８７０４ｚ^−１＋０．３４８２ｚ^−２　　　　　　　　（３４）
適応フィルタの出力信号の所望信号は、送信信号を遅らせた信号ｕ（ｎ−Ｄ）である。本シミュレーションでのその他の条件は表１に記している。
【表１】シミュレーション実験における諸条件

トランスバーサル・フィルタの構成に基づき、提案するアルゴリズムとＬＭＳ、ＮＬＭＳ、そしてＣｏｍｂｉｎｅｄ　ＬＭＳ／Ｆアルゴリズムの収束特性を比較した。これらの適応アルゴリズムのパラメータは表２に記す。
【表２】シミュレーション実験における各適応アルゴリズムのパラメータ

【００１６】
（シミュレーション結果）
図７〜図１０はＲａｉｓｅｄ　Ｃｏｓｉｎｅ　通信路を用い、Ｒａｉｓｅｄ　Ｃｏｓｉｎｅ　通信路パラメータをＷ＝２．９，３．１，３．３，３．５に設定した場合において、各適応アルゴリズムの比較を行った結果を示している。また、図１１，図１２は、ＮＭＰ通信路を用いて、同様の比較を行った結果を示している。ここで比較している各適応アルゴリズムの平均２乗誤差の値は、各パラメータ値を調整し、等しくなっていることに注意されたい。この観点から、収束速度のみを容易に比較することが可能である。図７〜図１０のグラフより、ＮＬＭＳアルゴリズムはＬＭＳアルゴリズムに対して改善がなされていることが分かる。Ｃｏｍｂｉｎｅｄ　ＬＭＳ／ＦアルゴリズムはＬＭＳアルゴリズムに比べ優れているが、通信路が悪条件になるにつれて影響を受けてしまう。
しかし、提案アルゴリズムは通信路の悪条件度にかなり耐性があることがわかる。また提案アルゴリズムは全ての場合において、最も速い収束を与えている。
【００１７】
【発明の効果】
本発明では新しい適応アルゴリズムを提案した。本アルゴリズムのステップサイズ・パラメータはＮＬＭＳアルゴリズムの原理に基づき設計されるが、収束を加速するために誤差信号を用いる。計算機シミュレーションでは、提案アルゴリズムにより、通信路等化の性能を飛躍的に向上させることができた。本アルゴリズムを用いた適応フィルタは、通信路等化の他、通信路推定への応用も期待できる。
【図面の簡単な説明】
【図１】符号間干渉を説明するための図である。
【図２】適応フィルタの構成を示す図である。
【図３】提案の適応アルゴリズムを示すフローチャートである。
【図４】シミュレーションを行った構成（トレーニング・モード）を示す図である。
【図５】トラッキング・モードのときの適応等化器の構成を示す図である。
【図６】Ｒａｉｓｅｄ　Ｃｏｓｉｎｅ　通信路を説明するための図である。
【図７】Ｒａｉｓｅｄ　Ｃｏｓｉｎｅ　通信路（Ｗ＝２．９）における収束特性の比較を示すグラフである。
【図８】Ｒａｉｓｅｄ　Ｃｏｓｉｎｅ　通信路（Ｗ＝３．１）における収束特性の比較を示すグラフである。
【図９】Ｒａｉｓｅｄ　Ｃｏｓｉｎｅ　通信路（Ｗ＝３．３）における収束特性の比較を示すグラフである。
【図１０】Ｒａｉｓｅｄ　Ｃｏｓｉｎｅ　通信路（Ｗ＝３．５）における収束特性の比較を示すグラフである。
【図１１】ＮＭＰ１通信路における収束特性の比較を示すグラフである。
【図１２】ＮＭＰ２通信路における収束特性の比較を示すグラフである。
【符号の説明】
１００　　　　　　適応フィルタ
１１０　　　　　　遅延素子
１２０　　　　　　掛け算器
１３０，１４０　　　　累算器
１５０　　　　　　適応アルゴリズム処理部[0001]
TECHNICAL FIELD OF THE INVENTION
The present invention relates to an adaptive filter, and more particularly, to an adaptive filter that can achieve fast convergence.
[0002]
[Technical background]
In digital communication systems, intersymbol interference often occurs. As shown in FIG. 1, intersymbol interference is a phenomenon that occurs due to attenuation of a high-frequency component of a communication channel, and significantly impairs communication efficiency and reliability. To reduce the effect of this intersymbol interference, an adaptive filter is often inserted at the receiving end. Above all, an adaptive filter (LMS adaptive filter) using a least mean square (LMS) algorithm (see B. Widow and S. Stearns, "Adaptive Signal Processing,""Prentice Hall, 1985, etc.) has a simple algorithm and a large amount of calculation. Are often used in the construction of transversal filters (G, Ungerboeck, "Theory on the speed of convergence in adaptive equalizers, digital communications, eV. Nov. 1972).
This technique is called communication channel equalization and is important for ensuring communication efficiency and reliability. Recent developments in multipoint telephone network systems have enabled fast and reliable digital communications. Accordingly, there is a need for further improvement of the fast start-up of the adaptive filter. To this end, many improvements to the LMS algorithm have been made in the last 30 years. However, most of them have sacrificed the amount of computation required for adaptive processing.
[0003]
Recently, the LMF algorithm (see, for example, E. Walach and B. Widlow, "The least mean four (LMF) adaptive algorithm and it's family," IEEE Trans. Information Technology, Vol. 3, No. 28, IEEE Trans. ) And a combination algorithm of the LMF algorithm and the LMS algorithm (DI Pazatidis and AG Constantinides, "LMS + F algorithm," Electronics Letters, vol. 31, no. 17, pp. 1423-1424, 1995. Lim and JG Harris, "Combined LMS / F algori. thm, "Electronics Letters, vol. 33, no. 6, pp. 467-468, 1997). These are commonly adaptive algorithms that can achieve faster convergence than the LMS algorithm by adding some amount of calculation. However, in channel equalization, the LMS algorithm needs to set a small step size parameter, and cannot essentially reduce the value of the mean square error. The LMS + F algorithm requires setting of three tuning parameters, and involves practical difficulties. Also, although the Combined LMS / F algorithm appears to be suitable for channel equalization, it will potentially have an LMF algorithm.
[0004]
[Problems to be solved by the invention]
An object of the present invention is to provide a new adaptive filter that can achieve faster convergence than an adaptive filter using a least mean square (LMS) algorithm or a normalized LMS (NLMS) algorithm.
[0005]
[Means for Solving the Problems]
To achieve the above object, the present invention is an adaptive filter,
A plurality of delay means for delaying an input signal; a multiplying means for multiplying an output from each of the delay means by a coefficient; an accumulating means for obtaining a sum of outputs of the multiplying means to obtain an output signal; and obtaining the coefficient. An adaptive operation means,
The step size parameter in the adaptive operation means is given by

(Where tr [R (n)] is the sum of diagonal components of the autocorrelation matrix R (n) of the input signal x (n), e (n) is an error signal, and γ and δ are positive constants.
It is characterized by the following.
At this time, when updating from iteration n to iteration n + 1, the tr [R (n)] is
(Equation 5)
tr [R (n + 1)] = tr [R (n)] + x (n + 1) ² −x (n−M + 1) ²
(Where M is the filter length)
By doing so, the amount of calculation can be significantly reduced.
Also,
(Equation 6)

(Where λ _max is the maximum value of the elements of the diagonal matrix Λ of the eigenvalues of R (n))
By controlling so that と, the mean square error lower than that of NLMS can be given.
[0006]
BEST MODE FOR CARRYING OUT THE INVENTION
Embodiments of the present invention will be described in detail with reference to the drawings.
Before describing the applied filter in the present invention, a conventional LMS algorithm will be described first.
(Basic adaptive algorithm)
The transversal adaptive filter generally has a configuration shown in FIG. The filter shown outputs the input signal x (n) by multiplying the sample delayed by the plurality of delay elements 110 by the coefficient w (n) by the multiplier 120 and obtaining the sum thereof by the accumulator 130. Give the signal y (n). When the number of repetitions is n, the input vector X (n) and the coefficient vector W (n) are defined by the following equations.
(Equation 7)
X (n) = [x (n), x (n−1),..., X (n−M + 1)] ^T (1)
W (n) = [w (1), w (2),..., W (M)] ^T (2)
At this time, the output signal is
y (n) = W (n) ^TX (n) (3)
It becomes. The difference between the desired signal d (n) and the output signal y (n) is given by the following equation as an error signal.
(Equation 9)
e (n) = d (n) -y (n) (4)
In the LMS algorithm, each time a new data sample is received, the coefficient vector W (n) is updated according to the following equation. Then, the mean square error E [e ² (n)] is minimized.
(Equation 10)
W (n + 1) = W (n) + μe (n) X (n) (5)
Here, μ is a positive constant called a step size parameter for controlling convergence characteristics. In order to guarantee the stability of the LMS adaptive processing, the value of μ needs to satisfy the following conditions.
[Equation 11]

Here, tr [R] is the sum of the diagonal components of the autocorrelation matrix R of the input signal x (n).
[0007]
(Normalized LMS algorithm)
The NLMS algorithm is realized by replacing the step size parameter in equation (5) with the following equation.
(Equation 12)

Here, X (n) ^T X (n) corresponds to the input power and is given by the following equation.
(Equation 13)
X (n) ^T X (n) = x (n) ² + x (n−1) ² +... + X (n−M + 1) ² (8)
Β in Equation 7 is a small positive constant. This is set to prevent the value of the denominator from becoming zero and performing unrealistic division. This β is often called a stabilization parameter.
Here, the following equation is assumed.
[Equation 14]
x (n) ² + x (n−1) ² +... + x (n−M + 1) ² = tr [R (n)] (9)
R (n) is an autocorrelation matrix of the input vector X (n). In this case, considering that the trace of the autocorrelation matrix R of the input signal is approximated by tr [R] ≒ tr [R (n)], α must satisfy the following condition in order to obtain stable convergence. Must.
[Equation 15]
0 <α <2 (10)
Under this condition, the NLMS algorithm converges in a root-mean-square sense.
[0008]
(Improved normalized LMS algorithm)
If the step size parameter is set large in the LMS algorithm, the convergence speed is high, but the mean square error after convergence increases. This is the same in the NLMS algorithm. That is, the convergence characteristic of the NLMS algorithm depends on the value of α. However, the NLMS algorithm has the property of essentially reducing the degree of amplification of the noise caused by the LMS algorithm. This property can be said to be very suitable for communication channel equalization where it is required to provide as fast and low mean square error as possible in the training mode. Therefore, in order to improve the convergence characteristics of the NLMS algorithm, the present invention proposes the following step size / parameter setting method.
(Equation 16)

Here, γ and δ are positive constants. δ is a stabilization parameter. γ functions as an adjustable parameter and plays a role like the step size parameter in LMS and NLMS algorithms. When the absolute value of the error e (n) is large, the setting of Expression (11) sets the step size parameter to a large value close to the upper limit for obtaining stable convergence. On the other hand, when the absolute value of the error e (n) is small, the setting of Expression (11) reduces the value of the step size parameter.
Such setting of the step size parameter is desired to achieve fast convergence and low mean square error. That is, an adaptive algorithm that uses the step size parameter calculated by equation (11) will provide improved convergence characteristics while retaining the advantages of the NLMS algorithm.
[0009]
<Algorithm for reducing the amount of calculation>
The algorithm of the present invention is based on the NLMS algorithm and uses the sum X (n) ^TX (n) of the diagonal components of the autocorrelation matrix of the input vector. That is, a calculation amount proportional to the filter length M is required for each iteration. However, here, X (n) ^T X (n) is updated from iteration n to n + 1 using the following relational expression.
[Equation 17]

In this case, the amount of calculation of tr [R (n)] required for each iteration is greatly reduced. This is because no matter how large the filter length M is, the amount of calculation required for each iteration does not depend on M and is constant.
The algorithm described so far is summarized in FIG. That is, the proposed adaptive algorithm follows six procedures as shown in FIG.
(I) The output signal y (n) and the error signal e (n) are calculated using the equations (3) and (4) (S202).
(Ii) Next, x (n) ² is added to the variable r corresponding to the sum of the diagonal components of the autocorrelation matrix (S204). (The initial value of r is set to 0.)
(Iii) A step size parameter μ is obtained according to the equation (11) (S206).
(Iv) x (n−M + 1) ² is subtracted from r (S208).
(V) The coefficient vector W of the filter is updated according to the equation (5) (S210).
(Vi) The coefficient updating process at the n-th iteration is ended, and n is updated to n + 1 (S212).
These procedures are repeated a predetermined number of times in the training mode.
[0010]
<Analysis of convergence characteristics>
In the following, the convergence characteristics of the proposed adaptive algorithm will be analyzed. More specifically, the difference between the excess mean square error between the NLMS algorithm and the proposed algorithm is obtained, and a condition under which the value is positive is derived.
(General form of excess mean square error)
If the optimal Wiener solution is W _opt , the error coefficient vector is
C (n) = W _opt −W (n) (13)
Can be defined as At this time, the general form of the excess mean square error is
ε _ex = E [C (n) ^TR (n) C (n)] (14)
It can be expressed as.
(Difference between the excess mean square error between the proposed method and NLMS)
Equation 14 can be rewritten as:
(Equation 20)

Λ is a diagonal matrix of eigenvalues of R (n), and λ _k is an element of Λ.
To compare NLMS with the proposed algorithm, consider Θ defined by the following equation:
(Equation 21)

μ is the step size of the NLMS, and μ ′ is the step size of the proposed algorithm. As long as Θ> 0 holds, the proposed algorithm gives a lower mean square error than NLMS.
[0011]
In order to advance the analysis, the step size of the NLMS algorithm and the step size of the proposed algorithm are

Respectively. To simplify the formula,
(Equation 23)
A = tr [R], B = | e (n) |
And At this time, from equation (17),

Can lead. Here, in order to satisfy Θ> 0, the following simultaneous inequalities need to be satisfied.
(Equation 25)
2A (A + B) −λ _k (α (A + B) + 2A)> 0 (19)
2A-α (A + B)> 0 (20)
In order to satisfy the inequality (19), λ _max is the most severe factor. Therefore,
2A (A + B) −λ _max (α (A + B) + 2A)> 0 (21)
When satisfies, inequality (19) holds for all eigenvalue elements.
Next, assume that inequality (20) holds. At this time, the inequality (21) becomes
α (A + B) ² > 4λ _max A (22)
Is equivalent to satisfying By substituting A = tr [R] and B = | e (n) | and transforming this inequality,

Is obtained. As long as this condition is satisfied, the proposed algorithm will give a lower mean square error than NLMS.
[0012]
(Conditions under which the mean square error after convergence becomes the same value)
The conditions described in the previous section do not consider the conditions under which the mean square errors after convergence of the two adaptive algorithms are equivalent. Here, a condition is derived in which the mean square error after convergence becomes the same value.
In order for the NLMS and the proposed algorithm to converge with the same mean square error, Θ> 0 must be satisfied. That is, this is equivalent to one of the right sides of the inequalities (19) and (20) being equal to zero. Here, attention is paid to the inequality (20) as the condition for the equivalent value of the mean square error. Assuming that convergence occurs when Θ = 0, the equivalent condition is
α (A + B) = 2A (24)
Given by Substituting A = tr [R] and B = | e (n) |

Is obtained. Square root of mean square error after convergence

Is substituted into | e (n) | of the above equation,

Is rewritten as When α and γ satisfying this equation are selected, the NLMS and the proposed algorithm have the same mean square error after convergence.
[0013]
(Advantages of the proposed method)
By combining the conditions described above, the final condition under which the proposed algorithm gives a lower mean square error than NLMS is derived.
Equation (24) can be transformed into the following equation.
[Equation 33]

Substituting this equation into inequality (23) gives
[Equation 34]

Can be derived. Since ε _n > ε _re generally holds, θ> 1 must be satisfied. Here, assuming that λ _max = C, θ> 1 can be transformed into the following inequality.
(Equation 35)
1> αC (30)
The NLMS parameter α is often set to 0 <α <1 to achieve low mean square error. Also, C defined above is

Given by Therefore, it is considered that αC does not exceed 1, and the above inequality holds. Therefore, the superiority of the proposed algorithm can be confirmed.
[0014]
<Computer simulation>
Computer simulation was performed to verify the effectiveness of the proposed algorithm. FIG. 4 shows a communication channel equalization model in the training mode. FIG. 4 shows a configuration in a mode in which the coefficient w (n) is obtained by using the adaptive filter 100 shown in FIG. FIG. 5 shows a tracking mode configuration which is a configuration when the adaptive filter is actually used.
In FIG. 4, the input signal to this equalizer is given by the following equation.
(37)

u (n) is a pseudorandom signal of ± 1 and corresponds to the input signal. v (n) is white Gaussian noise. Further, h (i) represents a channel impulse response.
[0015]
(Communication channel model)
In this simulation, the Raised Cosine communication channel used in the literature (see S. Haykin, "Adaptive Filter Theory," Prentice Hall, 1991, etc.), and the literature (B. Mulgrew and CF N. Cowan, "adapita"). A non-minimum phase (NMP) channel in Filters and Equalizers, "Kluer Academic Pub., 1988, etc." was used. The transfer function H _rc (z) of the raised cosine communication channel is given by the following equation (see FIG. 6).
[Equation 38]

In this channel characteristic, the influence of intersymbol interference changes depending on the value of W, and the greater the value of W, the more difficult it is to equalize the channel. If the transfer functions of the NMP1 communication channel and the NMP2 communication channel are denoted by H ₁ (z) and H ₂ (z), they can be expressed by the following equations, respectively.
[Equation 39]
H ₁ (z) = 0.2602 + 0.9298z ⁻¹ + 0.2602z ⁻² (33)
^{_{H 2 (z) = 0.3482 +}} 0.8704z -1 + 0.3482z -2 (34)
The desired signal of the output signal of the adaptive filter is a signal u (n-D) obtained by delaying the transmission signal. Other conditions in this simulation are shown in Table 1.
[Table 1] Conditions for simulation experiments

Based on the configuration of the transversal filter, the convergence characteristics of the proposed algorithm and LMS, NLMS, and Combined LMS / F algorithms were compared. Table 2 shows the parameters of these adaptive algorithms.
[Table 2] Parameters of each adaptive algorithm in simulation experiments

[0016]
(simulation result)
FIGS. 7 to 10 show a comparison of each adaptive algorithm when using a raised cosine communication channel and setting the raised cosine communication channel parameters to W = 2.9, 3.1, 3.3, 3.5. The results are shown. FIGS. 11 and 12 show the results of similar comparisons made using an NMP communication channel. Note that the mean square error values of each of the adaptive algorithms being compared here are adjusted by adjusting each parameter value. From this viewpoint, it is possible to easily compare only the convergence speed. It can be seen from the graphs of FIGS. 7 to 10 that the NLMS algorithm is an improvement over the LMS algorithm. The Combined LMS / F algorithm is superior to the LMS algorithm, but is affected as the communication path becomes adverse.
However, it can be seen that the proposed algorithm is quite tolerant of the bad degree of the communication path. Also, the proposed algorithm gives the fastest convergence in all cases.
[0017]
【The invention's effect】
The present invention has proposed a new adaptive algorithm. The step size parameter of the present algorithm is designed based on the principle of the NLMS algorithm, but uses an error signal to accelerate convergence. In computer simulation, the proposed algorithm was able to dramatically improve the performance of channel equalization. An adaptive filter using this algorithm can be expected to be applied to channel estimation in addition to channel equalization.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a diagram for explaining intersymbol interference.
FIG. 2 is a diagram illustrating a configuration of an adaptive filter.
FIG. 3 is a flowchart showing a proposed adaptive algorithm.
FIG. 4 is a diagram illustrating a configuration (training mode) in which a simulation is performed.
FIG. 5 is a diagram illustrating a configuration of an adaptive equalizer in a tracking mode.
FIG. 6 is a diagram for explaining a raised cosine communication channel.
FIG. 7 is a graph showing a comparison of convergence characteristics in a raised cosine communication channel (W = 2.9).
FIG. 8 is a graph showing a comparison of convergence characteristics in a raised cosine communication channel (W = 3.1).
FIG. 9 is a graph showing a comparison of convergence characteristics in a raised cosine communication channel (W = 3.3).
FIG. 10 is a graph showing a comparison of convergence characteristics in a raised cosine communication channel (W = 3.5).
FIG. 11 is a graph showing a comparison of convergence characteristics in an NMP1 communication channel.
FIG. 12 is a graph showing a comparison of convergence characteristics in an NMP2 communication channel.
[Explanation of symbols]
Reference Signs List 100 adaptive filter 110 delay element 120 multipliers 130 and 140 accumulator 150 adaptive algorithm processing unit

Claims (3)

An adaptive filter,
A plurality of delay means for delaying the input signal;
Multiplying means for multiplying the output from each of the delay means by a coefficient,
Accumulating means for obtaining the sum of the outputs of the multiplying means and for obtaining an output signal;
An adaptive operation means for obtaining the coefficient,
A step size parameter for obtaining the coefficient in the adaptive operation means is

(Where tr [R (n)] is the sum of diagonal components of the autocorrelation matrix R (n) of the input signal x (n), e (n) is an error signal, and γ and δ are positive constants.
An adaptive filter characterized by the following. The adaptive filter according to claim 1,
When updating from iteration n to iteration n + 1 by the adaptive operation means, the sum of the diagonal components of the autocorrelation matrix of the input signal is

(Where M is the filter length)
An adaptive filter characterized by calculating by: The adaptive filter according to claim 1 or 2,

(Where λ _max is the maximum value of the elements of the diagonal matrix Λ of the eigenvalues of R (n))
An adaptive filter characterized by performing control such that:

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