JP2003016461A - 楕円モデル化方法 - Google Patents
楕円モデル化方法Info
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Abstract
(57)【要約】
【課題】 対象とするものの略楕円状の輪郭上から拾っ
た点列に、正置き楕円をあてはめることができる方法を
提供する。 【解決手段】 前記略楕円である形状の輪郭線上のいく
つかの点を座標として拾い、平面ｘ−ｙ座標表示の点列
｛ｘｉ、ｙｉ｝（ｉ＝１、２、・・・ｎで、ｎは正の整
数））を得た後、得られた点列に対し、点列から近似的
に楕円を抽出する点列近似方法を用いてあてはめる楕円
を得るものであり、前記点列近似方法は、平面上の座標
（ｘ、ｙ）を５次元空間上の座標（ｘ2 、ｙ2 、ｘ、
ｙ、１）に移すことにより、平面上の点列を５次元空間
上の点列に移し、得られた点列の座標値からなる行列Ｄ
と定数からなる拘束行列Ｃとから生成される行列Ｍの固
有ベクトルを求め、得られた固有ベクトルから適当なも
のを選択して、これを（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）とする下
記（１）式で表される楕円を得る。 ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０
（１） 但し、ａｂ＞０
た点列に、正置き楕円をあてはめることができる方法を
提供する。 【解決手段】 前記略楕円である形状の輪郭線上のいく
つかの点を座標として拾い、平面ｘ−ｙ座標表示の点列
｛ｘｉ、ｙｉ｝（ｉ＝１、２、・・・ｎで、ｎは正の整
数））を得た後、得られた点列に対し、点列から近似的
に楕円を抽出する点列近似方法を用いてあてはめる楕円
を得るものであり、前記点列近似方法は、平面上の座標
（ｘ、ｙ）を５次元空間上の座標（ｘ2 、ｙ2 、ｘ、
ｙ、１）に移すことにより、平面上の点列を５次元空間
上の点列に移し、得られた点列の座標値からなる行列Ｄ
と定数からなる拘束行列Ｃとから生成される行列Ｍの固
有ベクトルを求め、得られた固有ベクトルから適当なも
のを選択して、これを（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）とする下
記（１）式で表される楕円を得る。 ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０
（１） 但し、ａｂ＞０
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、点列への楕円のあ
てはめ方法に関し、特に、工業製品や自然界に存在する
もので、その形状、あるいは断面や投影面での形状が略
楕円になっているものが数多く存在するが、サンプル写
真等により、これらの略楕円形状の輪郭線上のいくつか
の点を座標として拾い、得られた点列に楕円をあてはめ
る楕円モデル化方法に関する。
てはめ方法に関し、特に、工業製品や自然界に存在する
もので、その形状、あるいは断面や投影面での形状が略
楕円になっているものが数多く存在するが、サンプル写
真等により、これらの略楕円形状の輪郭線上のいくつか
の点を座標として拾い、得られた点列に楕円をあてはめ
る楕円モデル化方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】工業製品や自然界に存在するもので、そ
の形状、あるいは断面や投影面での形状が略楕円になっ
ているものが数多く存在し、前記略楕円の形状を楕円で
モデル化したい場合がある。例えば、フォトリソ法によ
り、基材表面にレジストが丸形状に開口され、該開口か
ら露出した基材がエッチング加工されて、形成される孔
形状等を楕円でモデル化したい場合がある。このような
場合、通常、実際にサンプルの断面写真を撮り、輪郭線
上のいくつかの点を座標として拾い、得られた点列に楕
円をあてはめ、点列から楕円を計算により導き出す方法
が採られている。点列から楕円を計算により導き出す方
法としては、Ｍａｕｒｉｚｉｏ Ｐｉｌｕ等による論
文、ＥＬＬＩＰＳＥ−ＳＰＥＣＩＦＩＣ ＤＩＲＥＣＴ
ＬＥＡＳＴ−ＳＱＵＡＲＥ ＦＩＴＴＩＮＧ（ＩＥＥ
Ｅ ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ
ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ、Ｌａｕｓ
ａｎｎｅ、Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ １９９６）に記載され
た方法が知られている。この方法は、ある評価基準に基
づいた最小２乗近似により、（４）式で表される楕円を
得る。 ａｘ2 ＋ｂｘｙ＋ｃｙ2 ＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝０ （４） 但し、ｂ2 ー４ａｃ＜０ 楕円の中心位置と２軸の長さだけでなく、軸の傾きも最
適に決まる。
の形状、あるいは断面や投影面での形状が略楕円になっ
ているものが数多く存在し、前記略楕円の形状を楕円で
モデル化したい場合がある。例えば、フォトリソ法によ
り、基材表面にレジストが丸形状に開口され、該開口か
ら露出した基材がエッチング加工されて、形成される孔
形状等を楕円でモデル化したい場合がある。このような
場合、通常、実際にサンプルの断面写真を撮り、輪郭線
上のいくつかの点を座標として拾い、得られた点列に楕
円をあてはめ、点列から楕円を計算により導き出す方法
が採られている。点列から楕円を計算により導き出す方
法としては、Ｍａｕｒｉｚｉｏ Ｐｉｌｕ等による論
文、ＥＬＬＩＰＳＥ−ＳＰＥＣＩＦＩＣ ＤＩＲＥＣＴ
ＬＥＡＳＴ−ＳＱＵＡＲＥ ＦＩＴＴＩＮＧ（ＩＥＥ
Ｅ ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ
ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ、Ｌａｕｓ
ａｎｎｅ、Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ １９９６）に記載され
た方法が知られている。この方法は、ある評価基準に基
づいた最小２乗近似により、（４）式で表される楕円を
得る。 ａｘ2 ＋ｂｘｙ＋ｃｙ2 ＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝０ （４） 但し、ｂ2 ー４ａｃ＜０ 楕円の中心位置と２軸の長さだけでなく、軸の傾きも最
適に決まる。
【０００３】しかしながら、時として、モデル化の都合
上、あてはめたい楕円の向きが決まっているときがあ
る。いま、座標軸が楕円の向きに合せてあるものとする
場合、つまり、あてはめたい楕円の２軸が、それぞれｘ
軸、ｙ軸に平行である場合、このような楕円を、「正置
き楕円」と呼ぶことにするが、与えられたサンプルの略
楕円状の輪郭上から拾った点列に、正置き楕円をあては
めようとする場合、上記のＭａｕｒｉｚｉｏＰｉｌｕ等
による方法は、そのままでは使用できないという問題が
あった。
上、あてはめたい楕円の向きが決まっているときがあ
る。いま、座標軸が楕円の向きに合せてあるものとする
場合、つまり、あてはめたい楕円の２軸が、それぞれｘ
軸、ｙ軸に平行である場合、このような楕円を、「正置
き楕円」と呼ぶことにするが、与えられたサンプルの略
楕円状の輪郭上から拾った点列に、正置き楕円をあては
めようとする場合、上記のＭａｕｒｉｚｉｏＰｉｌｕ等
による方法は、そのままでは使用できないという問題が
あった。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】上記のように、与えら
れたサンプル等、対象とするものの略楕円状の輪郭上か
ら拾った点列に、正置き楕円をあてはめようとする場
合、上記のＭａｕｒｉｚｉｏ Ｐｉｌｕ等による方法
は、そのままでは使用できないという問題があり、この
対応が求められていた。本発明は、これに対応するもの
で、対象とするものの略楕円状の輪郭上から拾った点列
に、正置き楕円をあてはめることができる方法を提供し
ようとするものである。
れたサンプル等、対象とするものの略楕円状の輪郭上か
ら拾った点列に、正置き楕円をあてはめようとする場
合、上記のＭａｕｒｉｚｉｏ Ｐｉｌｕ等による方法
は、そのままでは使用できないという問題があり、この
対応が求められていた。本発明は、これに対応するもの
で、対象とするものの略楕円状の輪郭上から拾った点列
に、正置き楕円をあてはめることができる方法を提供し
ようとするものである。
【０００５】
【課題を解決するための手段】本発明の楕円モデル化方
法は、工業製品や自然界に存在するもので、その形状、
あるいは断面や投影面での形状が略楕円になっているも
のに対し、前記略楕円である形状に楕円をあてはめる楕
円モデル化方法であって、前記略楕円である形状の輪郭
線上のいくつかの点を座標として拾い、平面ｘ−ｙ座標
表示の点列｛ｘｉ、ｙｉ｝（ｉ＝１、２、・・・ｎで、
ｎは正の整数）を得た後、得られた点列に対し、点列か
ら近似的に楕円を抽出する点列近似方法を用いてあては
める楕円を得るものであり、前記点列近似方法は、平面
上の座標（ｘ、ｙ）を５次元空間上の座標（ｘ2 、
ｙ2 、ｘ、ｙ、１）に移すことにより、平面上の点列を
５次元空間上の点列に移し、得られた点列の座標値から
なる行列Ｄと定数からなる拘束行列Ｃとから生成される
行列Ｍの固有ベクトルを求め、得られた固有ベクトルか
ら適当なものを選択して、これを（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、
ｅ）とする（１）式で表される楕円 ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０ （１） 但し、ａｂ＞０ を得ることを特徴とするものである。そして、上記にお
いて、拘束行列Ｃは単位行列であることを特徴とするも
のである。あるいは、上記において、拘束行列Ｃは第１
行第２列および第２行第１列の成分を１／２とし、残り
の成分を０とする行列または、それを定数倍して得られ
る行列であることを特徴とするものである。あるいはま
た、上記において、行列Ｍは拘束行列Ｃの逆行列Ｃ-1と
行列Ｄの転置行列Ｄt と行列Ｄとの積、即ち、 Ｍ＝Ｃ-1Ｄt Ｄ （２） であることを特徴とするものである。あるいはまた、上
記において、行列Ｍは行列Ｄの転置行列Ｄt と行列Ｄと
の積の逆行列と、拘束行列Ｃとの積、即ち、 Ｍ＝（Ｄt Ｄ）-1Ｃ （３） であることを特徴とするものである。あるいはまた、上
記において、行列Ｍの最小固有値に対応する固有ベクト
ルを（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）として選択することを特徴
とするものである。あるいはまた、上記において、行列
Ｍの最大固有値に対応する固有ベクトルを（ａ、ｂ、
ｃ、ｄ、ｅ）として選択することを特徴とするものであ
る。
法は、工業製品や自然界に存在するもので、その形状、
あるいは断面や投影面での形状が略楕円になっているも
のに対し、前記略楕円である形状に楕円をあてはめる楕
円モデル化方法であって、前記略楕円である形状の輪郭
線上のいくつかの点を座標として拾い、平面ｘ−ｙ座標
表示の点列｛ｘｉ、ｙｉ｝（ｉ＝１、２、・・・ｎで、
ｎは正の整数）を得た後、得られた点列に対し、点列か
ら近似的に楕円を抽出する点列近似方法を用いてあては
める楕円を得るものであり、前記点列近似方法は、平面
上の座標（ｘ、ｙ）を５次元空間上の座標（ｘ2 、
ｙ2 、ｘ、ｙ、１）に移すことにより、平面上の点列を
５次元空間上の点列に移し、得られた点列の座標値から
なる行列Ｄと定数からなる拘束行列Ｃとから生成される
行列Ｍの固有ベクトルを求め、得られた固有ベクトルか
ら適当なものを選択して、これを（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、
ｅ）とする（１）式で表される楕円 ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０ （１） 但し、ａｂ＞０ を得ることを特徴とするものである。そして、上記にお
いて、拘束行列Ｃは単位行列であることを特徴とするも
のである。あるいは、上記において、拘束行列Ｃは第１
行第２列および第２行第１列の成分を１／２とし、残り
の成分を０とする行列または、それを定数倍して得られ
る行列であることを特徴とするものである。あるいはま
た、上記において、行列Ｍは拘束行列Ｃの逆行列Ｃ-1と
行列Ｄの転置行列Ｄt と行列Ｄとの積、即ち、 Ｍ＝Ｃ-1Ｄt Ｄ （２） であることを特徴とするものである。あるいはまた、上
記において、行列Ｍは行列Ｄの転置行列Ｄt と行列Ｄと
の積の逆行列と、拘束行列Ｃとの積、即ち、 Ｍ＝（Ｄt Ｄ）-1Ｃ （３） であることを特徴とするものである。あるいはまた、上
記において、行列Ｍの最小固有値に対応する固有ベクト
ルを（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）として選択することを特徴
とするものである。あるいはまた、上記において、行列
Ｍの最大固有値に対応する固有ベクトルを（ａ、ｂ、
ｃ、ｄ、ｅ）として選択することを特徴とするものであ
る。
【０００６】
【作用】本発明の楕円モデル化方法は、上記のような構
成にすることによって、サンプルの対称となる形の輪郭
上から拾った座標表示の点列に、正置き楕円をあてはめ
ることができる楕円モデル化方法の提供を可能としてい
る。即ち、あてはめられる楕円の式の形を ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０ 但し、ａｂ＞０ と定めることによって、正置き楕円に限定し、与えられ
た点列を５次元空間に投影して得られる行列の固有ベク
トルから楕円のパラメータ（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）を得
ることにより、これを達成している。
成にすることによって、サンプルの対称となる形の輪郭
上から拾った座標表示の点列に、正置き楕円をあてはめ
ることができる楕円モデル化方法の提供を可能としてい
る。即ち、あてはめられる楕円の式の形を ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０ 但し、ａｂ＞０ と定めることによって、正置き楕円に限定し、与えられ
た点列を５次元空間に投影して得られる行列の固有ベク
トルから楕円のパラメータ（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）を得
ることにより、これを達成している。
【０００７】拘束行列Ｃが単位行列であることは、正置
楕円 ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０ 但し、ａｂ＞０ のパラメータ（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）を、 ［ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ］Ｃ［ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ］t ＝
１ に制限することを意味し、結局、 ａ2 ＋ｂ2 ＋ｃ2 ＋ｄ2 ＋ｅ2 ＝１ に制限されることとなる。このとき、（ａ、ｂ、ｃ、
ｄ、ｅ）を求める計算が簡単になるという利点がある。
実際、行列ＭをＤt Ｄとし、Ｍの最小固有値に対応する
固有ベクトルのうち長さが１のものを（ａ、ｂ、ｃ、
ｄ、ｅ）とすれば良い。
楕円 ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０ 但し、ａｂ＞０ のパラメータ（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）を、 ［ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ］Ｃ［ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ］t ＝
１ に制限することを意味し、結局、 ａ2 ＋ｂ2 ＋ｃ2 ＋ｄ2 ＋ｅ2 ＝１ に制限されることとなる。このとき、（ａ、ｂ、ｃ、
ｄ、ｅ）を求める計算が簡単になるという利点がある。
実際、行列ＭをＤt Ｄとし、Ｍの最小固有値に対応する
固有ベクトルのうち長さが１のものを（ａ、ｂ、ｃ、
ｄ、ｅ）とすれば良い。
【０００８】拘束行列Ｃは第１行第２列および第２行第
１列の成分を１／２とし、残りの成分を０とする行列ま
たは、それを定数倍して得られる行列であることによ
り、与えられた点列が楕円のごくわずかな一部分上でし
かとられていない場合、結果としてａｂ＜０となり、楕
円でなく双曲線があてはまってしまうことを防ぐもの
で、かならず楕円が得られるよう限定するものである。
このときＣは逆行列が存在しないので、行列Ｍは、下記
のように、行列Ｄの転置行列Ｄｔと行列Ｄとの積の逆行
列と、拘束行列Ｃとの積で表し、 Ｍ＝（Ｄt Ｄ）-1Ｃ （３） とすることにより解が得られる。行列Ｍを、式（３）の
ように決めたとき、行列Ｍの最大固有値に対応する固有
ベクトルを（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）として解を選択す
る。但し、これに限らない。例えば、Ｃの決め方によ
り、５つの固有値のうち正のものが１つしかないと分か
るときには、それを選べば良い。
１列の成分を１／２とし、残りの成分を０とする行列ま
たは、それを定数倍して得られる行列であることによ
り、与えられた点列が楕円のごくわずかな一部分上でし
かとられていない場合、結果としてａｂ＜０となり、楕
円でなく双曲線があてはまってしまうことを防ぐもの
で、かならず楕円が得られるよう限定するものである。
このときＣは逆行列が存在しないので、行列Ｍは、下記
のように、行列Ｄの転置行列Ｄｔと行列Ｄとの積の逆行
列と、拘束行列Ｃとの積で表し、 Ｍ＝（Ｄt Ｄ）-1Ｃ （３） とすることにより解が得られる。行列Ｍを、式（３）の
ように決めたとき、行列Ｍの最大固有値に対応する固有
ベクトルを（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）として解を選択す
る。但し、これに限らない。例えば、Ｃの決め方によ
り、５つの固有値のうち正のものが１つしかないと分か
るときには、それを選べば良い。
【０００９】また、拘束行列Ｃが逆行列を持つとき、行
列Ｍは、下記のように、拘束行列Ｃの逆行列Ｃ-1と行列
Ｄの転置行列Ｄt と行列Ｄとの積、 Ｍ＝Ｃ-1Ｄt Ｄ （２） とすることにより、簡便となり、数値計算的にも安定し
ている。行列Ｍを、式（２）のように決めたとき、行列
Ｍの最小固有値に対応する固有ベクトルを（ａ、ｂ、
ｃ、ｄ、ｅ）として解を選択する。
列Ｍは、下記のように、拘束行列Ｃの逆行列Ｃ-1と行列
Ｄの転置行列Ｄt と行列Ｄとの積、 Ｍ＝Ｃ-1Ｄt Ｄ （２） とすることにより、簡便となり、数値計算的にも安定し
ている。行列Ｍを、式（２）のように決めたとき、行列
Ｍの最小固有値に対応する固有ベクトルを（ａ、ｂ、
ｃ、ｄ、ｅ）として解を選択する。
【００１０】
【発明の実施の形態】本発明の点列近似方法の実施の形
態の１例を説明する。図１は、略楕円である形状の輪郭
線上のいくつかの点を座標として拾い、平面ｘ−ｙ座標
表示の点列｛ｘｉ、ｙｉ｝（ｉ＝１、２、・・・ｎで、
ｎは正の整数）と、あてはめる楕円を示した概略図であ
る。本例は、工業製品や自然界に存在するもので、その
形状、あるいは断面や投影面での形状が略楕円になって
いるものに対し、前述の略楕円である形状を楕円にあて
はめる楕円モデル化方法で、略楕円である形状の輪郭線
上のいくつかの点を座標として拾い、平面ｘ−ｙ座標表
示の点列｛ｘｉ、ｙｉ｝（ｉ＝１、２、・・・ｎで、ｎ
は正の整数）を得た後、得られた点列に対し、点列から
近似的に楕円を抽出する点列近似方法を用いてあてはめ
る楕円を得るものである。以下、本例を説明する。あて
はめたい楕円の式の形を、 ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０ （５） 但し、ａｂ＞０ と決める。楕円の式（５）の係数の並びを５次元の縦ベ
クトルとして、 Ａ＝［ａ ｂ ｃ ｄ ｅ］t （６） と表す。ここで、肩のｔは転置を示す。また、１つの点
（ｘｉ、ｙｉ）に対して５次元の縦ベクトルを、 Ｘｉ＝［ｘi 2 、ｙi 2 、ｘi 、ｙi 、１］t （７） と定義する。楕円あてはめの誤差Ｅを、下記（８）式の
ように決める。
態の１例を説明する。図１は、略楕円である形状の輪郭
線上のいくつかの点を座標として拾い、平面ｘ−ｙ座標
表示の点列｛ｘｉ、ｙｉ｝（ｉ＝１、２、・・・ｎで、
ｎは正の整数）と、あてはめる楕円を示した概略図であ
る。本例は、工業製品や自然界に存在するもので、その
形状、あるいは断面や投影面での形状が略楕円になって
いるものに対し、前述の略楕円である形状を楕円にあて
はめる楕円モデル化方法で、略楕円である形状の輪郭線
上のいくつかの点を座標として拾い、平面ｘ−ｙ座標表
示の点列｛ｘｉ、ｙｉ｝（ｉ＝１、２、・・・ｎで、ｎ
は正の整数）を得た後、得られた点列に対し、点列から
近似的に楕円を抽出する点列近似方法を用いてあてはめ
る楕円を得るものである。以下、本例を説明する。あて
はめたい楕円の式の形を、 ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０ （５） 但し、ａｂ＞０ と決める。楕円の式（５）の係数の並びを５次元の縦ベ
クトルとして、 Ａ＝［ａ ｂ ｃ ｄ ｅ］t （６） と表す。ここで、肩のｔは転置を示す。また、１つの点
（ｘｉ、ｙｉ）に対して５次元の縦ベクトルを、 Ｘｉ＝［ｘi 2 、ｙi 2 、ｘi 、ｙi 、１］t （７） と定義する。楕円あてはめの誤差Ｅを、下記（８）式の
ように決める。
【数１】
但し、（Ｘ、Ｙ）は内積を表す。Ｅを最小にするような
Ａを求めたいのであるが、Ａに何の制約もなければ、Ａ
＝｜０ ０ ０ ０ ０｜のときにＥ＝０という自明解
で終わってしまう。
Ａを求めたいのであるが、Ａに何の制約もなければ、Ａ
＝｜０ ０ ０ ０ ０｜のときにＥ＝０という自明解
で終わってしまう。
【００１１】ここで、Ａに関する拘束条件として、
ａｂ＝１ （９）
とする。行列Ｃを、
【数２】
とすると、これを拘束条件（９）は、
Ａt ＣＡ＝１ （１１）
となる。
【００１２】次いで、拘束条件（１１）の下で、Ｅを最
小にするようなＡを求め、結果としてあてはめたい楕円
を求める。即ち、ベクトルの内積の２乗和を最小にする
ベクトルを求める。ここでは、手順のみを挙げる。先
ず、ｎ×５行列Ｄを、 Ｄ＝［Ｘ1 、Ｘ2 、Ｘ3 、・・・Ｘ5 ］t （１２） とする。次いで、Ｃが正則行列であるとき、行列（Ｃ-1
Ｄt Ｄ）の最小固有値に対する固有ベクトルの長さを調
整し、拘束条件（１１）を満たすようにしたものが求め
るＡである。Ｃが正則行列でないとき、行列（Ｄt Ｄ）
-1Ｃの最大固有値に対する固有ベクトルの長さを調整
し、拘束条件（１１）を満たすようにしたものが求める
Ａである。
小にするようなＡを求め、結果としてあてはめたい楕円
を求める。即ち、ベクトルの内積の２乗和を最小にする
ベクトルを求める。ここでは、手順のみを挙げる。先
ず、ｎ×５行列Ｄを、 Ｄ＝［Ｘ1 、Ｘ2 、Ｘ3 、・・・Ｘ5 ］t （１２） とする。次いで、Ｃが正則行列であるとき、行列（Ｃ-1
Ｄt Ｄ）の最小固有値に対する固有ベクトルの長さを調
整し、拘束条件（１１）を満たすようにしたものが求め
るＡである。Ｃが正則行列でないとき、行列（Ｄt Ｄ）
-1Ｃの最大固有値に対する固有ベクトルの長さを調整
し、拘束条件（１１）を満たすようにしたものが求める
Ａである。
【００１３】以下、ベクトルの内積の２乗和を最小にす
るベクトルを求める方法を更に詳しく説明しておく。ｋ
次元ベクトル空間Ｖ内にｎ個のベクトルＸ1 、Ｘ2 、Ｘ
3 、・・・Ｘn が与えれている。本例の場合はｋ＝５で
あるが、以下の解法は一般のｋについて成り立つものな
ので、ｋと表記する。Ｖ内の任意ベクトルをＸとし、評
価関数Ｅ（Ｘ）を、下記（１３）のように決める。
るベクトルを求める方法を更に詳しく説明しておく。ｋ
次元ベクトル空間Ｖ内にｎ個のベクトルＸ1 、Ｘ2 、Ｘ
3 、・・・Ｘn が与えれている。本例の場合はｋ＝５で
あるが、以下の解法は一般のｋについて成り立つものな
ので、ｋと表記する。Ｖ内の任意ベクトルをＸとし、評
価関数Ｅ（Ｘ）を、下記（１３）のように決める。
【数３】
但し、（Ｘ、Ｙ）は内積を表す。Ｅ（Ｘ）を最小にする
ようなＸを求めたいのであるが、Ｘに何の制約もなけれ
ば、Ｘ＝０のときＥ（Ｘ）＝０という自明解で終わって
しまう。
ようなＸを求めたいのであるが、Ｘに何の制約もなけれ
ば、Ｘ＝０のときＥ（Ｘ）＝０という自明解で終わって
しまう。
【００１４】ここで、Ｘに関する拘束条件としては、ｋ
×ｋ対称行列Ｃ（拘束行列と言う）を用いて、下記（１
４）式のようにあらわされているものとする。 Ｘt ＣＸ＝１ （１４） ここで、肩のｔは転置を示す。よくあるのは、Ｃが単位
行列の場合であり、 ｜｜Ｘ｜｜＝１ （１５） に制約されることを意味するが、以下では、その場合に
限らず一般的なＣについて扱う。Ｃは必ずしも正則行列
でなくても良い。
×ｋ対称行列Ｃ（拘束行列と言う）を用いて、下記（１
４）式のようにあらわされているものとする。 Ｘt ＣＸ＝１ （１４） ここで、肩のｔは転置を示す。よくあるのは、Ｃが単位
行列の場合であり、 ｜｜Ｘ｜｜＝１ （１５） に制約されることを意味するが、以下では、その場合に
限らず一般的なＣについて扱う。Ｃは必ずしも正則行列
でなくても良い。
【００１５】以下、拘束条件（１４）の下で、Ｅ（Ｘ）
を最小にするＸを求める。ラグランジュ（Ｌａｇｒａｎ
ｇｅ）乗数法を用いて解く。空間Ｖ内の任意のベクトル
Ｘを縦ベクトルとして、 Ｘ＝［ｘ1 、ｘ2 、ｘ3 、・・・ｘk ］t （１６） とし、点列の各点ｘｉを縦ベクトルとして、 Ｘｉ＝［ｘi1、ｘi2、ｘi3、・・・ｘik］t （１７） とし、拘束行列Ｃを、
を最小にするＸを求める。ラグランジュ（Ｌａｇｒａｎ
ｇｅ）乗数法を用いて解く。空間Ｖ内の任意のベクトル
Ｘを縦ベクトルとして、 Ｘ＝［ｘ1 、ｘ2 、ｘ3 、・・・ｘk ］t （１６） とし、点列の各点ｘｉを縦ベクトルとして、 Ｘｉ＝［ｘi1、ｘi2、ｘi3、・・・ｘik］t （１７） とし、拘束行列Ｃを、
【数４】
とする。ここで、肩のｔは転置を示す。ｎ×ｋ行列Ｄ
を、与えられた点列の各点を横ベクトルとして縦に積み
重ねた行列として、
を、与えられた点列の各点を横ベクトルとして縦に積み
重ねた行列として、
【数５】
のように定義する。すると、（１３）式は、
Ｅ（Ｘ）＝Ｘt Ｄt ＤＸ （２０）
のように表される。ラグランジュの乗数をλと書き、評
価関数Ｅ（ｘ）を新たに、 Ｅ（Ｘ）＝Ｘt Ｄt ＤＸ−λ（Ｘt ＣＸ-1） （２１） と定義しなおすと、拘束条件（１４）の下で、Ｅ（Ｘ）
を最小にするＸを求めることは、結局、（ｋ＋１）個の
未知数λ、ｘ1 、ｘ2 、・・・ｘk に対して、方程式、 ∂Ｅ（Ｘ）／∂ｘ1 ＝０ （２２） ∂Ｅ（Ｘ）／∂ｘ2 ＝０ （２３） ・ ・ ∂Ｅ（Ｘ）／∂ｘk ＝０ （２４） Ｘt ＣＸ＝１ （２５） を解く問題に帰着される。｛∂Ｅ（Ｘ）／∂Ｘi ｝は次
のように書き下せる。 ｛∂Ｅ（Ｘ）／∂Ｘi ｝＝（∂Ｘt ／∂Ｘi ）Ｄt ＤＸ＋Ｘt Ｄt Ｄ（∂Ｘ／ ∂Ｘi ）−λ｛（∂Ｘt ／∂Ｘi ）ＣＸ＋Ｘt Ｃ（∂Ｘ／∂Ｘi ）｝ ＝Ｕi t Ｄt Ｄｘ＋ｘt Ｄt ＤＵi −λ｛Ｕi t ＣＸ＋Ｘt ＣＵi ｝ ただし、Ｕi は第ｉ成分が１でその他の成分がすべて０
であるような縦ベクトルである。更に、第２項と第４項
を転置して、Ｃt ＝Ｃであることを用いると、 ｛∂Ｅ（Ｘ）／∂Ｘi ｝＝２Ｕi t Ｄt ＤＸ−２λＵi
t ＣＸ となる。これを縦に積み重ねてベクトルの形で表現する
と、方程式（２２）〜（２５）は、
価関数Ｅ（ｘ）を新たに、 Ｅ（Ｘ）＝Ｘt Ｄt ＤＸ−λ（Ｘt ＣＸ-1） （２１） と定義しなおすと、拘束条件（１４）の下で、Ｅ（Ｘ）
を最小にするＸを求めることは、結局、（ｋ＋１）個の
未知数λ、ｘ1 、ｘ2 、・・・ｘk に対して、方程式、 ∂Ｅ（Ｘ）／∂ｘ1 ＝０ （２２） ∂Ｅ（Ｘ）／∂ｘ2 ＝０ （２３） ・ ・ ∂Ｅ（Ｘ）／∂ｘk ＝０ （２４） Ｘt ＣＸ＝１ （２５） を解く問題に帰着される。｛∂Ｅ（Ｘ）／∂Ｘi ｝は次
のように書き下せる。 ｛∂Ｅ（Ｘ）／∂Ｘi ｝＝（∂Ｘt ／∂Ｘi ）Ｄt ＤＸ＋Ｘt Ｄt Ｄ（∂Ｘ／ ∂Ｘi ）−λ｛（∂Ｘt ／∂Ｘi ）ＣＸ＋Ｘt Ｃ（∂Ｘ／∂Ｘi ）｝ ＝Ｕi t Ｄt Ｄｘ＋ｘt Ｄt ＤＵi −λ｛Ｕi t ＣＸ＋Ｘt ＣＵi ｝ ただし、Ｕi は第ｉ成分が１でその他の成分がすべて０
であるような縦ベクトルである。更に、第２項と第４項
を転置して、Ｃt ＝Ｃであることを用いると、 ｛∂Ｅ（Ｘ）／∂Ｘi ｝＝２Ｕi t Ｄt ＤＸ−２λＵi
t ＣＸ となる。これを縦に積み重ねてベクトルの形で表現する
と、方程式（２２）〜（２５）は、
【数６】
となる。ところで、Ｕ１t 、Ｕ２t 、・・・Ｕｋt を縦
に積み重ねた行列は単位行列だから、結局、方程式は、 Ｄt ＤＸ＝λＣＸ （２７） となる。Ｃが正則行列のときは、Ｃの逆行列Ｃ-1を左か
ら掛けて、 Ｃ-1Ｄt ＤＸ＝λＸ （２８） なので、行列（Ｃ-1Ｄt Ｄ）の固有値がλの候補にな
り、固有ベクトルがＸの候補になる。λとＸが方程式
（２７）と拘束条件（１４）を満たすとき、評価関数Ｅ
（Ｘ）は、Ｅ（Ｘ）＝Ｘt Ｄt ＤＸ＝Ｘt λＣＸ＝λと
なる。
に積み重ねた行列は単位行列だから、結局、方程式は、 Ｄt ＤＸ＝λＣＸ （２７） となる。Ｃが正則行列のときは、Ｃの逆行列Ｃ-1を左か
ら掛けて、 Ｃ-1Ｄt ＤＸ＝λＸ （２８） なので、行列（Ｃ-1Ｄt Ｄ）の固有値がλの候補にな
り、固有ベクトルがＸの候補になる。λとＸが方程式
（２７）と拘束条件（１４）を満たすとき、評価関数Ｅ
（Ｘ）は、Ｅ（Ｘ）＝Ｘt Ｄt ＤＸ＝Ｘt λＣＸ＝λと
なる。
【００１６】いま、Ｅ（Ｘ）を最小にしたいのだから、
λとして最小固有値を選択すれば良い。最小固有値に対
応する固有ベクトルを求め、拘束条件（１４）を満たす
ように固有ベクトルの長さを調整してＸとする。Ｃが正
則行列でないときは、もし（Ｄt Ｄ）が正則ならばその
逆行列を左から掛けて、 （Ｄt Ｄ）-1ＣＸ＝（１／λ）Ｘ （２９） を得る。したがって、行列｛（Ｄ-tＤ）-1Ｃ｝の最大固
有値から、上と同様にλとＸが決まる。もし、Ｃも（Ｄ
t Ｄ）も正則でないときは、与えられた点列によって張
られる空間の次元がｋよりも小さくなっているはずなの
で、点列のすべての点の直交するベクトルが存在するは
ずである。そのようなベクトルをＸとすればＥ（Ｘ）＝
０にすることができる。このようにして、ベクトルの内
積の２乗和を最小にするベクトルを求める。
λとして最小固有値を選択すれば良い。最小固有値に対
応する固有ベクトルを求め、拘束条件（１４）を満たす
ように固有ベクトルの長さを調整してＸとする。Ｃが正
則行列でないときは、もし（Ｄt Ｄ）が正則ならばその
逆行列を左から掛けて、 （Ｄt Ｄ）-1ＣＸ＝（１／λ）Ｘ （２９） を得る。したがって、行列｛（Ｄ-tＤ）-1Ｃ｝の最大固
有値から、上と同様にλとＸが決まる。もし、Ｃも（Ｄ
t Ｄ）も正則でないときは、与えられた点列によって張
られる空間の次元がｋよりも小さくなっているはずなの
で、点列のすべての点の直交するベクトルが存在するは
ずである。そのようなベクトルをＸとすればＥ（Ｘ）＝
０にすることができる。このようにして、ベクトルの内
積の２乗和を最小にするベクトルを求める。
【００１７】
【発明の効果】本発明は、上記のように、与えられたサ
ンプル等、対象とするものの略楕円状の輪郭上から拾っ
た点列に、正置き楕円をあてはめることができる方法の
提供を可能とした。
ンプル等、対象とするものの略楕円状の輪郭上から拾っ
た点列に、正置き楕円をあてはめることができる方法の
提供を可能とした。
【図１】略楕円である形状の輪郭線上のいくつかの点を
座標として拾い、平面ｘ−ｙ座標表示の点列｛ｘｉ、ｙ
ｉ｝（ｉ＝１、２、・・・ｎで、ｎは正の整数）と、あ
てはめる楕円を示した概略図である。
座標として拾い、平面ｘ−ｙ座標表示の点列｛ｘｉ、ｙ
ｉ｝（ｉ＝１、２、・・・ｎで、ｎは正の整数）と、あ
てはめる楕円を示した概略図である。
１１０ あてはめる楕円
１２０ 座標表示点
Claims (7)
- 【請求項１】 工業製品や自然界に存在するもので、そ
の形状、あるいは断面や投影面での形状が略楕円になっ
ているものに対し、前記略楕円である形状に楕円をあて
はめる楕円モデル化方法であって、前記略楕円である形
状の輪郭線上のいくつかの点を座標として拾い、平面ｘ
−ｙ座標表示の点列｛ｘｉ、ｙｉ｝（ｉ＝１、２、・・
・ｎで、ｎは正の整数）を得た後、得られた点列に対
し、点列から近似的に楕円を抽出する点列近似方法を用
いてあてはめる楕円を得るものであり、前記点列近似方
法は、平面上の座標（ｘ、ｙ）を５次元空間上の座標
（ｘ 2 、ｙ2 、ｘ、ｙ、１）に移すことにより、平面上
の点列を５次元空間上の点列に移し、得られた点列の座
標値からなる行列Ｄと定数からなる拘束行列Ｃとから生
成される行列Ｍの固有ベクトルを求め、得られた固有ベ
クトルから適当なものを選択して、これを（ａ、ｂ、
ｃ、ｄ、ｅ）とする（１）式で表される楕円、 ａｘ2 ＋ｂｙ2 ＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０ （１） 但し、ａｂ＞０を得ることを特徴とする楕円モデル化方
法。 - 【請求項２】 請求項１において、拘束行列Ｃは単位行
列であることを特徴とする楕円モデル化方法。 - 【請求項３】 請求項１において、拘束行列Ｃは第１行
第２列および第２行第１列の成分を１／２とし、残りの
成分を０とする行列または、それを定数倍して得られる
行列であることを特徴とする楕円モデル化方法。 - 【請求項４】 請求項１において、行列Ｍは拘束行列Ｃ
の逆行列Ｃ-1と行列Ｄの転置行列Ｄt と行列Ｄとの積、
即ち、 Ｍ＝Ｃ-1Ｄt Ｄ （２） であることを特徴とする楕円モデル化方法。 - 【請求項５】 請求項１において、行列Ｍは行列Ｄの転
置行列Ｄt と行列Ｄとの積の逆行列と、拘束行列Ｃとの
積、即ち、 Ｍ＝（Ｄt Ｄ）-1Ｃ （３） であることを特徴とする楕円モデル化方法。 - 【請求項６】 請求項１において、行列Ｍの最小固有値
に対応する固有ベクトルを（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）とし
て選択することを特徴とする楕円モデル化方法。 - 【請求項７】 請求項１において、行列Ｍの最大固有値
に対応する固有ベクトルを（ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ）とし
て選択することを特徴とする楕円モデル化方法。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2001202105A JP2003016461A (ja) | 2001-07-03 | 2001-07-03 | 楕円モデル化方法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2001202105A JP2003016461A (ja) | 2001-07-03 | 2001-07-03 | 楕円モデル化方法 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JP2003016461A true JP2003016461A (ja) | 2003-01-17 |
Family
ID=19038968
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP2001202105A Withdrawn JP2003016461A (ja) | 2001-07-03 | 2001-07-03 | 楕円モデル化方法 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP2003016461A (ja) |
Cited By (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| KR100784734B1 (ko) | 2007-06-28 | 2007-12-13 | (주)다사로봇 | 산업용 로봇 시스템의 타원 보간방법 |
| US9235912B2 (en) | 2011-08-24 | 2016-01-12 | Casio Computer Co., Ltd. | Image display device, image display method and recording medium recording image display control program |
| CN112464780A (zh) * | 2020-11-24 | 2021-03-09 | 宁波大学 | 基于最大熵准则的椭圆物体特征提取方法 |
-
2001
- 2001-07-03 JP JP2001202105A patent/JP2003016461A/ja not_active Withdrawn
Cited By (4)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| KR100784734B1 (ko) | 2007-06-28 | 2007-12-13 | (주)다사로봇 | 산업용 로봇 시스템의 타원 보간방법 |
| US9235912B2 (en) | 2011-08-24 | 2016-01-12 | Casio Computer Co., Ltd. | Image display device, image display method and recording medium recording image display control program |
| CN112464780A (zh) * | 2020-11-24 | 2021-03-09 | 宁波大学 | 基于最大熵准则的椭圆物体特征提取方法 |
| CN112464780B (zh) * | 2020-11-24 | 2024-01-09 | 扬州汇隆科技有限公司 | 基于最大熵准则的椭圆物体特征提取方法 |
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| A300 | Withdrawal of application because of no request for examination |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: A300 Effective date: 20081007 |