JP2002334207A - ポートフォリオ最適化システム - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】入力するパラメータを変更することなく、シミ
ュレーション型多期間確率計画モデルを用いたポートフ
ォリオの最適化を短時間で行うことができるシステムを
提供する。 【解決手段】入力部１から、ポートフォリオを求めるた
めのパラメータの初期値を入力され、シミュレーション
装置２で、モンテカルロ・シミュレーションにより、複
数のサンプル・パス（経路）について、各期間又は各時
点のパラメータの値が求められる。前処理装置３は、入
力装置１から入力されたパラメータの値及びシミュレー
ション装置で求めたパラメータの値を用いて新しいパラ
メータを生成し、生成したパラメータを用いた線形計画
問題の計算を指示する。この新しいパラメータの生成
は、ポートフォリオに含まれる危険資産および現金に関
するパラメータを用いて行い、前処理装置３からポート
フォリオに含まれる現金に関する決定変数を含まない線
形計画問題が、線形計画問題計算装置４に対して指示さ
れる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、多期間ポートフォ
リオ最適化システムに関し、シミュレーションによるパ
スを用いて不確実性を記述した確率計画モデルを用いた
多期間ポートフォリオ最適化システムに関する。

【０００２】

【従来の技術】複数の投資対象の中から投資家にとって
最も好ましいように、どの投資対象にどれだけ投資をし
たらよいかという問題をポートフォリオ最適化問題とい
う。ポートフォリオ最適化問題を解くためのモデルとし
ては、モデル構築や解法上の容易さから、運用期間にか
かわらず、平均・分散モデルを代表とする１期間モデル
が中心的に用いられている。しかし、年金基金などの長
期的な資金運用を行う投資家にとって、多期間にわたる
不確実性を考慮した動的投資政策の決定を「明示的に」
モデル化するためには、１期間モデルではなく、多期間
モデルを構築する必要がある。

【０００３】多期間ポートフォリオ最適化問題を実際に
解くためのモデルとしては、シナリオ・ツリーを用いた
多期間確率計画モデルが中心となって発展している。シ
ナリオ・ツリーを用いた多期間確率計画モデルは近年、
コンピュータの高速化と解法アルゴリズムの発展に伴
い、大規模な問題を解くことが可能になり、様々な研究
が行われている。しかし、シナリオ・ツリー型モデルは
不確実性の記述を詳細にしようとすると、問題の規模が
指数的に増加するという欠点がある。また、問題を大規
模にしないためには数少ないシナリオでうまく不確実性
を記述しなければいけない難しさもある。

【０００４】一方、発明者は、モンテカルロ・シミュレ
ーションによるパス（乱数を用いて離散的な価格変動を
数値的に記述した一連の経路。ここでは、シミュレーシ
ョン経路と呼ぶ。）を用いて不確実性を記述し、以下に
示す取引戦略による投資決定ルールを用いて線形計画問
題（目的関数が非線形凸関数の場合には、非線形凸計画
問題となるが、大域的最適解は保証される。）として記
述できるモデル化（定式化）を提案している（枇々木規
雄, 戦略的資産配分問題に対する多期間確率計画モデ
ル, 日本金融・証券計量・工学学会 1999年冬季大会予
稿集, pp. 36--55.）。

【０００５】取引戦略「どの状態が生じた場合でも、取
引後（リバランス後）の危険資産ｊへの投資量（もしく
は投資額）を同一にする。各経路での富は異なるが、そ
の富と危険資産への投資量（もしくは投資額）の違いは
すべて現金で保有する。したがって、シミュレーション
経路の各時点（状態）における現金の保有額は同一では
ない。」

【０００６】このタイプのモデルは「シミュレーション
型多期間確率計画モデル」と呼ばれる。以下、このモデ
ルの概要を説明する。

【０００７】シミュレーション型モデルでは、 図３の
ようなシミュレーション経路によって、将来の資産価格
の不確実な変動を記述する。資産価格変動（収益率）の
振る舞いが確率微分方程式（確率差分方程式）や時系列
モデル式などで記述されるとき、モンテカルロ・シミュ
レーションによって複数のサンプル・パスを生成するの
は比較的容易である。

【０００８】このようなタイプのモデルはシナリオ・ツ
リーに比べて不確実性をより詳細に記述することが可能
である。シミュレーションで生成された複数のサンプル
・パス（シミュレーション経路）を直接的に利用するこ
とができるので、どのような確率分布に従っている場合
でも（確率分布を複雑に合成した場合でも）、シミュレ
ーションでパスを生成することができれば、問題を解く
ことができるという極めて柔軟で強力なモデル化の方法
である。

【０００９】シミュレーション経路は１本の経路にだけ
注目すると、ｔ時点の状態の次に発生するｔ＋１時点の
状態は１つしか想定しない。したがって、各状態毎に投
資の意思決定を別々に行うと、それは確定条件下での意
思決定を行うことになる。そこで、シミュレーション型
モデルの場合には、すべての時点で状態に依存しない
（どの状態に到達するかにかかわらない） 取引戦略に
よる意思決定を行わなければならない。ただし、現金は
運用する各時点で収益が確定するので状態に依存しても
よい。ここで、「 状態に依存しない取引戦略 」とは、
１つの投資決定をすべてのシミュレーション経路に適用
することを意味する。ここで、投資の意思決定が経路に
かかわらずに各時点で１通りしか許されないのは、非予
想条件（non-anticipativity condition）を保つためで
ある。非予想条件とは、モデルの定式化において、将来
の不確実な状態の中からどの状態が生じるかを確定的に
知っていることを利用して意思決定ができる機会を許さ
ない条件のことであり、不確実性下の投資決定を行う確
率計画モデルには必要な条件である。

【００１０】次に、発明者が提案したシミュレーション
型モデルの定式化を示す。以降、投資量を決定変数とす
る２パラメータ・アプローチによる下方リスクモデルの
定式化を示す。これは投資量決定モデルと呼ばれる。こ
こでは、リターン尺度には計画最終時点における富（最
終富）の期待値（期待富）、リスク尺度には計画最終時
点における富がその目標水準（目標富Ｗ_G）を下回る大
きさ（不足分）を示す１次の下方部分積率ＬＰＭ₁を設
定する。１次の下方部分積率ＬＰＭ₁は、次の式で表さ
れる。

【００１１】

【数１】

【００１２】はじめに用いる記号を示す。添字ｉは、経
路（パス）を示す。パラメータは、次の記号で表す。な
お、表記の都合上、添字を右肩でなく、かっこ[]を付加
して前に記載する場合もある。例えば、「ｔ時点の経路
ｉの危険資産ｊの価格」を「[ｉ]ρ_jt」と表記する。

【００１３】

【数２】

【００１４】決定変数は、次の記号で表す。

【００１５】

【数３】

【００１６】モデルは（１）〜（９）式のように定式化
できる。

【００１７】

【数４】

【００１８】なお、（５）式左辺は最終富を示し、次式
のように記述する場合もある。

【００１９】

【数５】

【００２０】したがって、上記したパラメータを入力
し、モンテカルロ・シミュレーションにより、開始時点
（０時点）以外の危険資産の価格及び金利を、シミュレ
ーション経路毎に求め、上記（１）〜（９）式で示され
る線形計画問題を解くことによって、最適なポートフォ
リオを求めることができる。

【００２１】以上説明したモデルでは、危険資産に対す
る決定変数はシミュレーション経路に依存しないが、現
金に対する決定変数はシミュレーション経路数に依存す
るために、制約式の本数と決定変数の数は、ほぼ同じに
なる。不確実性の記述を詳細にするためには、シミュレ
ーション経路の本数を多くしなければならないため、問
題の規模は膨大になる。ただし、問題の係数行列は疎大
行列、すなわちほとんどの要素が零の行列である。

【００２２】一般に、疎大行列を持つ大規模線形計画問
題は内点法を用い、実装を工夫することによって高速解
法が可能であり、汎用数理計画ソフトウェアを用いるこ
とによって、計算機上の実装も容易である。しかし、シ
ミュレーション型モデルの場合、制約式の係数行列の構
造（非零パターン）が数本の密な（非零要素の多い）列
（dense column）を含む（危険資産への投資量を表す部
分に密な列が含まれている。）ために、内点法のナイー
ブな実装ではこの問題を高速に解くことができない。例
えば、汎用数理計画ソフトウェアである NUOPT（バージ
ョン３.１、（株）数理システム社の製品）を用いた数
値計算では、内点法に対して、一般的な回避策として知
られている工夫を行わなければ係数行列の疎行列性が破
壊され、計算量が急増してしまうため、大規模で係数行
列が疎であるにもかかわらず、単体法の方が内点法に比
べて高速に解くことができている。また、この問題に対
しては、他にも様々な内点法の実装上の技法、特に一次
方程式の解法に対する技法を工夫することによって計算
時間を向上させることができる。

【００２３】このようにシミュレーション型モデルは、
不確実性の記述を詳細にするため、シミュレーション経
路の本数が多くなり、問題の規模は膨大になるものの、
定式化の特別な構造を利用した計算アルゴリズムや実装
上の工夫により、汎用数理計画ソフトウェアを用いてポ
ートフォリオの最適化が可能となっている。しかし、問
題の規模がネックとなり、計算時間の向上には限度があ
った。

【００２４】

【発明が解決しようとする課題】本発明は、上記事情に
鑑み、利用者が認識する各種モデルにおいて、入力する
パラメータを変更することなく、シミュレーション型多
期間確率計画モデルを用いたポートフォリオの最適化を
短時間で行うことができるシステムを提供するものであ
る。

【００２５】

【課題を解決するための手段】本発明のポートフォリオ
最適化システムは、シミュレーション型多期間確率計画
モデルを用いたものであって、多期間モデルに基づくポ
ートフォリオを求めるためのパラメータの初期値を入力
する入力装置と、前記各期間又は前記各期間経過時点の
前記パラメータの値を複数のサンプル・パスについて求
めるシミュレーション装置と、前記入力装置から入力さ
れたパラメータの値及び前記シミュレーション装置で求
めたパラメータの値を用いて新しいパラメータを生成
し、生成したパラメータを用いた線形計画問題の計算を
指示する前処理装置と、前記前処理装置から指示された
線形計画問題を計算する線形計画問題計算装置とを有
し、前記ポートフォリオは、複数の危険資産と現金を含
むものであり、前記前処理装置が行う前記新しいパラメ
ータの生成は、前記ポートフォリオに含まれる危険資産
および現金に関するパラメータの値を用いて行うもので
あり、前記前処理装置から指示される線形計画問題は、
前記ポートフォリオに含まれる現金に関する決定変数を
含まないものである。

【００２６】本発明のポートフォリオ最適化システムに
おける前記多期間モデルは、複数であり、かつ選択可能
となっている。したがって、各種モデルについて、最適
化を実施することができる。

【００２７】また、本発明のポートフォリオ最適化シス
テムにおける前記前処理装置は、変換されたパラメータ
を用いた線形計画問題に代えて、その双対問題の計算
を、前記線形計画問題計算装置に指示可能となってい
る。線形計画法の解法アルゴリズムである単体法の計算
時間は決定変数の数よりも制約式の本数に大きく依存す
るため、双対問題に書き直すことにより計算時間をさら
に減少させることができる。

【００２８】

【発明の実施の形態】まず、問題の規模を縮小し、計算
時間を向上させるための定式化について説明する。この
定式化は、「危険資産に対する決定変数がシミュレーシ
ョン経路に依存しない」という取引戦略の特徴をうまく
反映させたものである。

【００２９】シミュレーション型モデルでは、危険資産
の決定変数を経路に依存せずに同一にすることによって
非予想条件を満足させた。しかし、そのために現金の決
定変数を経路毎に設定することになり、決定変数の数は
経路数と期間数に依存している。具体的には、（１）〜
（９）式で示したモデルの決定変数の数は、(ｎ＋Ｉ)Ｔ
＋１個である。

【００３０】しかし、現金は全資産への投資額の合計
（富の大きさ）から危険資産への投資額の合計を引いた
ものと考えると、特に決定変数として取り扱わなくても
問題を定式化できるはずである。現金を決定変数から取
り除くことができれば、決定変数の数は「危険資産×期
間数」となり、「危険資産に対する決定変数がシミュレ
ーション経路に依存しない」という取引戦略の特徴をう
まく反映させた定式化を行うことになる。

【００３１】具体的には、（２）〜（４）式の等式を、
現金を表す決定変数について解き、その非負条件
（（８）、（９）式） に代入することによって現金の
決定変数を除外した表現とするものである。この表現方
法を主コンパクト表現と呼ぶ。以降、書き換えの方法を
順次説明する。

【００３２】（１−１）０時点の現金υ₀の除去 （２）式をυ₀について解くと、（１０）式となり、
（８）式に代入すると、（１１）式を得る。

【００３３】

【数６】

【００３４】（１−２）ｔ時点の現金[ｉ]υ_tの除去 （３）式に（１０）式を代入し、[ｉ]υ₁について解く
と、（１２）式を得る。

【００３５】

【数７】

【００３６】[ｉ]υ₂についても同様の計算を行うと、
（１３）式を得る。

【００３７】

【数８】

【００３８】一般的に[ｉ]υ_tは、（１４）式で表すこ
とができる。

【００３９】

【数９】

【００４０】ただし、[ｉ]η_j、_k、_k+1、[ｉ]η_jkt、[ｉ]
Ｆ₁、[ｉ]Ｆ_tは、次式で定義される。なお、（ｊ＝１，
・・・，ｎ；ｉ＝１，・・・，Ｉ）は、記述を省略して
ある。また、η_jkt＝０，（ｋ≧ｔ）である。

【００４１】

【数１０】

【００４２】したがって、（９）式は（１５）式に書き
直すことができる。

【００４３】

【数１１】

【００４４】（１−３）ｔ時点の富[ｉ]Ｗ_tの計算 （４）式の値は、ｔ時点の富[ｉ]Ｗ_tを表す。（４）式
の右辺を用いて、ｔ時点の富[ｉ]Ｗ_tを計算すると、
（１６）式が得られる。なお、（４）式の左辺を用いて
も同様の結果が得られる。

【００４５】

【数１２】

【００４６】特に、ｔ＝Ｔのときは（１７）式になる。

【００４７】

【数１３】

【００４８】ここで、[ｉ]Ｗ_tを表す数式の意味を説明
する。[ｉ]μ_j,k+1をｋ時点で投資した危険資産ｊの１
期間の（ｋ＋１時点で実現する）収益率とすると、[ｉ]
η_j,k,k+1は、

【００４９】

【数１４】

【００５０】と書き直せる。このことを利用して、（１
６）式の意味を解釈する。

【００５１】ｚ_j0を ０時点から１期間運用すると、
（[ｉ]μ_j1−ｒ₀）ρ_j0ｚ_j0の超過収益を得る。１時点
以降は、危険資産ｊは、ｚ_j1，ｚ_j2，．．．，ｚ_j,T-1
で運用することになるので、ｚ_j0に関する部分はこの超
過収益分だけとなる。その超過収益をｔ時点まで現金で
運用すると、[ｉ]η_j0tｚ_j0となる。同様に、ｚ_j1を１
時点から１期間運用すると、（[ｉ]μ_j2−[ｉ]ｒ₁）
[ｉ]ρ_j1ｚ_j1の超過収益を得る。２時点以降、その超過
収益をｔ時点まで現金で運用すると、[ｉ]η_j1tｚ_j1と
なる。以降も同様に考えると、（１６）式右辺第１項は
これらの合計である。超過収益は収益から金利を引いた
値なので、仮想的に運用資金を借りてきて、運用したと
きの収益と考えることができる。ここで、「収益」と記
述したが、マイナスの値を取ることもあることは、言う
までもないことである。一方、[ｉ]Ｆ_tは初期富Ｗ０を
ｔ時点まで現金で運用する場合のｔ時点での富である。
[ｉ]Ｗ_tはこれらの２つの項の合計であると解釈するこ
とができる。なお、危険資産への投資の際に、説明のた
めに仮想的に運用資金を借りると考えたが、実際には初
期富の現金運用による各時点の富から資金を使うことに
なり、残った金額が現金での運用となる。（１５）式
が、各時点の富以上に、危険資産を運用しないことを表
す制約となる。また、現金[ｉ]υ_tはこの[ｉ]Ｗ_tからｔ
時点での危険資産への投資額 （（４）式右辺第１項）
を引いたものであり、（１４）式の意味も同様に解釈す
ることができる。

【００５２】（１−４）定式化のまとめ （５）式の左辺は最終富、（６）式の左辺第一項は[ｉ]
Ｗ_Tを表すので、これらを（１７）式に代入し、主コン
パクト表現による定式化をまとめると、以下のように記
述できる。

【００５３】

【数１５】

【００５４】このような主コンパクト表現を用いると、
決定変数の数がｎＴ＋Ｉ個となって大幅に減少し、線形
計画問題の計算処理時間が大幅に減少する。

【００５５】次に、主コンパクト表現によるモデルを用
いてポートフォリオ最適化を行うシステムについて、説
明する。図１は、本発明のポートフォリオ最適化システ
ムの一例の概略構成を示す図である。図１のシステム
は、入力部１、シミュレーション装置２、前処理装置
３、線形計画問題計算装置４を含み、前処理装置３は、
線形計画問題生成部３１、計算指示部３２を含む。

【００５６】入力部１は、ポートフォリオを求めるため
のパラメータの初期値を入力するものである。複数のモ
デルについての最適化が可能なシステムの場合は、最適
化を行うモデルの選択も、入力部１によって行う。
（１）〜（９）式で示したモデルの場合、経路の本数
Ｉ、０時点の危険資産ｊの価格ρ_j0、期間１の金利（０
時点のコール・レート）ｒ₀、０時点での富（初期富）
Ｗ₀、計画最終時点での投資家が要求する期待富Ｗ_E、計
画最終時点での目標富Ｗ_Gが入力される。

【００５７】シミュレーション装置２は、モンテカルロ
・シミュレーションにより、複数のサンプル・パス（経
路）について、各期間又は各時点のパラメータの値を求
めるものである。（１）〜（９）式で示したモデルの場
合、ｔ時点の経路ｉの危険資産ｊの価格[ｉ]ρ_jt、期間
ｔの経路ｉの金利（ｔ−１時点のコール・レート）[ｉ]
ｒ_t-1が求められる。

【００５８】前処理装置３は、入力装置１から入力され
たパラメータの値及びシミュレーション装置で求めたパ
ラメータの値を用いて新しいパラメータを生成し、生成
したパラメータを用いた線形計画問題の計算を指示する
ものである。この新しいパラメータの生成は、ポートフ
ォリオに含まれる危険資産および現金に関するパラメー
タを用いて行うものであり、前処理装置３から指示され
る線形計画問題は、ポートフォリオに含まれる現金に関
する決定変数を含まないものである。

【００５９】新しいパラメータの生成及び現金に関する
決定変数を含まない線形計画問題の生成は、線形計画問
題生成部３１で行う。（１）〜（９）式で示したモデル
の場合、新しいパラメータとして、現金運用による収益
に対する超過収益を意味する[ｉ]η_jkt、初期富Ｗ０を
現金で運用する場合の各時点での富を意味する[ｉ]Ｆ_t
を生成する。そして、これらのパラメータを使用し、現
金に関する決定変数を含まない（１８）〜（２４）式で
示される線形計画問題を生成するものである。計算指示
部３２は、線形計画問題生成部３１で生成した線形計画
問題の計算を線形計画問題計算装置４に指示するもので
ある。

【００６０】線形計画問題計算装置４は、汎用の数理計
画ソフトウエアを実装したコンピュータで実現されるも
ので、数理計画ソフトウエアとしては、例えば、NUOPT
（（株）数理システム社の製品）が利用できる。

【００６１】なお、入力部１、シミュレーション装置
２、前処理装置３も、所定のプログラムを実装したコン
ピュータによって、実現されるが、別々のコンピュータ
であっても、線形計画問題計算装置４を含めて一部共通
のコンピュータを利用して実現してもよい。

【００６２】（１８）〜（２４）で示した定式化は、決
定変数の数がｎＴ＋Ｉ個、制約式の数がＴＩ＋２本であ
る。従来の定式化の決定変数の数は(ｎ＋Ｉ)Ｔ＋１個で
あるので、(Ｔ−１)Ｉ＋１個減少している。一方、制約
式の数は不変である。従来の定式化は決定変数の数が制
約式の数を上回っているために、双対変数に書き換える
メリットはなかった。しかし、修正後の定式化は決定変
数の数が制約式の本数を大きく下回るので、双対問題へ
書き換えることにする。

【００６３】主コンパクト表現の双対問題を双対コンパ
クト表現と呼ぶ。双対問題に書き換えるために、前述
（１−４）の定式化の行列形式を表１に示す。

【００６４】

【表１】

【００６５】双対コンパクト表現は以下のように記述で
きる。

【００６６】

【数１６】

【００６７】それぞれの双対変数は以下のようになる。

【００６８】

【数１７】

【００６９】ところで、一般的な汎用数理計画ソフトウ
ェアでは、計算処理速度上有利であるため、 決定変数
に対する有界制約条件を明示的に記述する線形計画問題
の表記法に基づいて実装を行っている。すなわち、決定
変数の取りうる範囲を初めから計算アルゴリズムの中で
指定することによって、その有界制約式を陽に制約式と
して取り扱わない実装を行っている。

【００７０】１次の下方部分積率のような２本の区分直
線を組み合わせた区分線形リスク尺度を用いる場合、上
述した双対コンパクト表現にはＩ本の決定変数の有界制
約式が存在するため、実質的に計算時間に影響を与える
制約式の本数をさらに減らす（ｎＴ＋Ｉ本からｎＴ本
へ）ことができ、計算時間の短縮が期待できる。

【００７１】１次下方部分積率以外のこのタイプのリス
ク尺度としては、富がある確率水準（パーセント点）Ｖ
β（バリュー・アット・リスク）を下回るときの期待富
であるＣＶａＲ（Conditional Value at Risk : 条件付
バリュー・アット・リスク）、絶対偏差がある。

【００７２】次に、問題のサイズについて述べる。各定
式化に対する決定変数の数と非負制約を除く制約式の本
数を表２に示す。また、非零要素数及び非零要素比率の
近似式を表３に示す。

【００７３】

【表２】

【００７４】

【表３】

【００７５】コンパクト表現における非零要素数は、主
表現、双対表現ともに同じであるが、双対コンパクト表
現については上限制約式を除く場合についても記す。ま
た、各定式化の非零要素比率は、非零要素数を全要素数
（決定変数の数×非負制約を除く制約式の本数）で割る
ことによって求められる。これは、シミュレーション経
路数に依存するが、ｎ，Ｔ≪Ｉであることを利用して、
シミュレーション経路に依存しない近似式を示す。

【００７６】ｎ＝３，Ｔ＝４の場合のいくつかの経路数
（Ｉ）に対する具体的な数値を表４に示す。

【００７７】

【表４】

【００７８】双対コンパクト表現の非零要素比率の近似
式はＴの関数であり、厳密に求めても経路数にはほとん
ど依存しないことがわかる。

【００７９】主コンパクト表現は従来の定式化に比べ
て、決定変数は(Ｔ−１)Ｉ＋１個減少するが、非零要素
数は、（３７）式に示す分だけ増加する。

【００８０】

【数１８】

【００８１】非零要素数の増加倍率Ｚ_p／Ｚ₀，Ｚ_d／Ｚ₀
の近似式及び非零要素比率の増加倍率（近似式）Ｄ_p／
Ｄ₀をそれぞれ、（３８），（３９）式に示す。

【００８２】

【数１９】

【００８３】コンパクト表現の非零要素数と非零要素比
率は、主にｎとＴに依存して増加することがわかる。い
くつかのｎとＴの組み合わせに対する具体的な数値を表
５に示す。

【００８４】

【表５】

【００８５】以上説明したように、主コンパクト表現に
よる定式化を行った場合、決定変数の数が制約式の本数
を大きく下回るので、一般的に双対問題の計算を行った
方が計算時間を縮小できる。図２は、双対問題による計
算が可能なポートフォリオ最適化システムの一例の概略
構成を示す図である。図２のシステムは、入力部１、シ
ミュレーション装置２、前処理装置３０、線形計画問題
計算装置４を含み、前処理装置３は、線形計画問題生成
部３１、計算指示部３２、双対問題生成部３３を含む。
図１のシステムと異なる点は、前処理装置３０が双対問
題生成部３３を含み、計算指示部３２が、線形計画問題
生成部３１からの線形計画問題、又は双対問題生成部３
３からの線形計画問題の計算を線形計画問題計算装置４
に指示する点である。

【００８６】（１）〜（９）式で示したモデルの場合、
双対問題生成部３３は、（２５）〜（３１）式で示され
る線形計画問題を生成する。計算指示部３２は、入力部
１からの選択により、又は選択されたモデルに応じて自
動的に最適化線形計画問題生成部３１からの線形計画問
題、又は双対問題生成部３３からの線形計画問題の計算
を指示する。

【００８７】従来の定式化と主コンパクト表現及び双対
コンパクト表現の３種類の定式化に対する計算時間を比
較するための様々な数値実験を行った結果では、コンパ
クト表現は有利な定式化の方法であることがわかった。
特に単体法では、双対コンパクト表現の場合、最大で従
来の定式化の１００倍近く高速化されることが分かっ
た。主コンパクト表現も最大で２０倍近く高速化され
る。また、解法（内点法と単体法）の違いにかかわらず
に、シミュレーション経路数が多くなっても（大規模な
問題になっても）、問題の構造上、ほぼ同じような計算
時間で解くことができる。

【００８８】以上単純なモデルで説明したが、実際のポ
ートフォリオでは、さらに複雑なモデルで最適化を図る
必要がある。その内のいくつかの例について、定式化及
びそれらのコンパクト表現について述べる。

【００８９】（売買コストを考慮したモデル）実際の資
産の売買を行う場合、購入価格と売却価格は異なるし、
売買手数料もかかる。売買コストを考慮したモデルと
は、売買価格の違いや手数料を考慮したモデルのことで
ある。モデルを簡潔に、しかもわかりやすく記述するた
めに、資産の市場流動性のために生じるコストや有価証
券取引税などの取引コストなどを一括し、売買コスト率
として取り扱う。また、すべての資産及びすべての時点
で一定の値を取ることにする。 購入価格は市場価格に
売買コストを上乗せし、売却価格は市場価格から売買コ
ストを差し引く。売買コスト率をγとすると、購入価格
及び売却価格は以下のように示すことができる。

【００９０】

【数２０】

【００９１】通常は、時点や資産の種類、売買量に依存
して決まるが、記号が煩雑になるためにここでは添字を
取り除き、一定の値とする。 資産の種類（ｊ）、時点
（ｔ）、経路（ｉ）に依存させたいのであれば、γの代
わりに[ｉ]γ_jtを用いればよい。また、売買の違いによ
り、[Bｉ]γ_jt（購入コスト率）、[Sｉ]γ_jt（売却コス
ト率）のようにそれぞれ定義することもできる。これら
に依存させて定義しても問題の規模に影響はない。

【００９２】以下に追加的に用いる記号を示す。

【００９３】

【数２１】

【００９４】モデルは以下のように定式化できる。

【００９５】

【数２２】

【００９６】次に、主コンパクト表現への書き換えの方
法を順次説明する。

【００９７】（２−１）０時点の現金υ₀の除去 （４１）式をυ₀について解くと、（５３）式となり、
（５０）式に代入すると、（５４）式を得る。

【００９８】

【数２３】

【００９９】（２−２）ｔ時点の現金[ｉ]υ_tの除去 （４３）式に（５３）式を代入し、[ｉ]υ₁について解
くと、（５５）式を得る。

【０１００】

【数２４】

【０１０１】[ｉ]υ₂についても同様の計算を行うと、
（５６）式を得る。

【０１０２】

【数２５】

【０１０３】ここで、

【０１０４】

【数２６】

【０１０５】とし、一般的に[ｉ]υ_tを記述すると、
（５７）式で表すことができる。なお、（ｊ＝１，・・
・，ｎ；ｉ＝１，・・・，Ｉ）は、記述を省略してあ
る。また、θ_jkt＝０，（ｋ≧ｔ）である。

【０１０６】

【数２７】

【０１０７】したがって、（５１）式は（５８），（５
９）式に書き直すことができる。

【０１０８】

【数２８】

【０１０９】（２−３）ｔ時点の危険資産の投資量ｚ_jt
の計算 （４２）式を逐次的に代入すると、ｔ＝１，・・・，Ｔ
−１に対するｚ_jtを除去することができ、（６０）式で
表される。

【０１１０】

【数２９】

【０１１１】したがって、ｔ＝１，・・・，Ｔ−１に対
する （４７）式は（６１）式に書き直すことができ
る。

【０１１２】

【数３０】

【０１１３】（２−４）計画最終時点（Ｔ時点）の富
[ｉ]Ｗ_tの計算 （４６）式の左辺第一項は計画最終時点（Ｔ時点）の富
を売却価格で評価した値[ｉ]Ｗ_Tを表す。計画最終時点
（Ｔ時点）以外のｔ時点における富の大きさは取引前と
取引後では売買コスト差だけ異なる。また、ｔ時点にお
いて危険資産を売却し、すべての富を現金にする（富を
売却価格で評価する）場合の富の大きさもこれらの値と
は異なる。ここでは、はじめに、ｔ時点の富の売却価格
での評価額を求め、その計算式を用いて、[ｉ]Ｗ_Tを計
算する。

【０１１４】

【数３１】

【０１１５】ここで、[ｉ]Ｗ_tを表す数式の意味を説明
する。ｋ時点で投資した危険資産 ｊをｔ時点まで運用
したときの累積収益倍率を[ｉ]Ｍ_jkt、ｋ時点の現金を
ｔ時点までコール運用したときの累積収益倍率を[ｉ]Ｒ
_ktと定義すると、以下のように表すことができる。

【０１１６】

【数３２】

【０１１７】これらを用いて、[＋][ｉ]ξ_jkt、[−]
[ｉ]ξ_jktを記述すると、

【０１１８】

【数３３】

【０１１９】を得る。これらを利用して、（６２）式の
意味を解釈する。危険資産ｊを０時点からｔ時点運用す
るとき、ｚ_j0は１時点以降のリバランスのベースとな
る。（１６）式の意味を説明したときと同様に、仮想的
に資金を借りてきて、危険資産へ運用することを考え
る。(１＋γ)ρ_j0ｚ_j0の資金を借りて、ｚ_j0を０時点か
らｔ期間運用すると、危険資産ｊへの投資額は[ｉ]Ｍ
_j0tρ_j0ｚ_j0となるので、売却価格による評価額は（１
−γ）[ｉ]Ｍ_j0tρ_j0ｚ_j0である。ｔ時点では、（１＋
γ）[ｉ]Ｒ_0tρ_j0ｚ_j0を返済しなければならないので、
運用収益は[＋][ｉ]ξ_{j0 t}ｚ_j0となる。

【０１２０】[＋]ｙ_jk，[−]ｙ_jkはｋ時点におけるリバ
ランス量である。[＋]ｙ_jkを正の投資量、[−]ｙ_jkを負
の投資量と考え、ｋ時点において、仮想的に、(１＋γ)
[ｉ]ρ_jk[＋]ｙ_jkの資金を借りて、危険資産ｊで（ｔ−
ｋ）期間運用する、もしくは、危険資産ｊを（１−γ）
[ｉ]ρ_jk[−]ｙ_jkだけ売却（空売り）し、現金を（ｔ−
ｋ）期間運用するとしよう。ｋ時点に正の追加投資をし
た危険資産ｊのｔ時点における投資額は、[ｉ]Ｍ
_jkt[ｉ]ρ_jk[＋]ｙ_jkであるので、売却価格による評価
額は（１−γ）[ｉ]Ｍ_jkt[ｉ]ρ_jk[＋]ｙ_jkである。ｔ
時点では（１＋γ）[ｉ]Ｒ_kt[ｉ]ρ_jk[＋]ｙ_jkを返済し
なければならないので、運用収益は[＋][ｉ]ξ_{j 0t}[＋]
ｙ_jkとなる。また、ｋ時点に負の追加投資をした危険資
産ｊのｔ時点における売却価格での評価額は、（１−
γ) [ｉ]Ｍ_jkt[ｉ]ρ_jk[−]ｙ_jkである。ｔ時点では
（１−γ） [ｉ]Ｒ_jkt[ｉ]ρ_jk[−]ｙ_jkを返済しなけれ
ばならないので、運用収益は−[−][ｉ]ξ_j0t[−]ｙ_jk
となる。

【０１２１】[ｉ]Ｆ_tは初期富Ｗ₀をｔ時点まで現金で運
用する場合のｔ時点での富である。[ｉ]Ｗ_tはこれらの4
つの項の合計であると解釈することができる。

【０１２２】（２−５）定式化のまとめ （４５）式の左辺は最終富、（４６）式の左辺第一項は
[ｉ]Ｗ_Tを表すので、これらを（６２）式に代入し、主
コンパクト表現による定式化をまとめると、以下のよう
に記述できる。

【０１２３】

【数３４】

【０１２４】双対問題に書き換えるために、（２−５）
の定式化の行列形式を表６に示す。

【０１２５】

【表６】

【０１２６】双対コンパクト表現は以下のように記述で
きる。

【０１２７】

【数３５】

【０１２８】（追加的な制約条件を考慮したモデル）シ
ミュレーション型モデルにも、通常のポートフォリオ最
適化モデルや多期間モデルと同様に、資産の組み入れ比
率に対する上下限制約式や売買回転率に対する上限制約
式を追加することができる。ここでは、基本モデルの定
式化（（１）〜（９）式参照）を対象にして、これらの
追加的な制約条件をコンパクト表現によって記述する。
なお、他のモデルに対しても具体的な定式化は異なるか
もしれないが、同様の方法を用いて記述可能である。

【０１２９】（組み入れ比率の上下限制約の追加）現金
及び危険資産に対する組み入れ比率の上下限制約式は以
下のように記述できる。１時点以降の各資産に対する投
資比率はシミュレーション経路毎に異なるので、ここで
は平均投資比率に対して制約式を設定する。

【０１３０】（３−１）定式化

【０１３１】

【数３６】

【０１３２】ここで、[Ｉ]Ｕ_j[Ｉ]Ｌ_jは組み入れ比率の
上限値および下限値である。また、各平均値は以下のよ
うに計算される。

【０１３３】

【数３７】

【０１３４】（７６）〜（７９）は以下のように線形式
に書き直すことができる。

【０１３５】

【数３８】

【０１３６】厳密に言うと、平均投資比率は各シミュレ
ーション経路における投資比率の平均ではなく、平均投
資額を平均富で割った比率である。各シミュレーション
経路における投資比率の平均は、

【０１３７】

【数３９】

【０１３８】となり、分数式の和になるため、制約式を
線形式に書き直すことができない。そのため、（７
７），（７９）式のような平均投資額を平均富で割った
比率を用いる。ただし、数値実験によるとこれらの値は
ほとんど変わらない。

【０１３９】（３−２）定式化の変換 平均富（富の期待値）は（１６）式により、（８４）式
のように計算することができる。以降、これを中間変数
として用いて、定式化を記述する。決定変数およびそれ
に関する制約式を増やさないために、中間変数を使わな
い方法でも記述できる。しかし、追加的な制約条件では
平均富が使われることが多く、分かりやすく定式化で
きるので、用いることにする。

【０１４０】

【数４０】

【０１４１】（８０）、（８１）式に対する主コンパク
ト表現をそれぞれ記述する。

【０１４２】（８０）式：（１０）式を代入すると、
（８５）式となるので、（８６）式のように書き直すこ
とができる。

【０１４３】

【数４１】

【０１４４】（８１）式：（１４）式の平均を代入する
と、（８７）式となるので、（８８）、（８９）式のよ
うに書き直すことができる。

【０１４５】

【数４２】

【０１４６】（８２）、（８３）式は書き換える必要は
ない。

【０１４７】（３−３）主コンパクト表現による記述の
まとめ

【０１４８】

【数４３】

【０１４９】（３−４）双対コンパクト表現への書き換
え （９０）式の双対変数をｗ_t、（９１）〜（９４）式の
双対変数をそれぞれ、ｕ₀₀，ｕ_0t(ｔ＝１，・・・，Ｔ
−１)，ｕ_jo(ｊ＝１，・・・，ｎ)，ｕ_jt(ｊ＝１，・・
・，ｎ；ｔ＝１，・・・，Ｔ−１)、（９５）〜（９
８）式の双対変数をそれぞれ、ｌ₀₀，ｌ_0t（ｔ＝１，・
・・，Ｔ−１），ｌ_j0（ｊ＝１，・・・，ｎ），ｌ
_jt（ｊ＝１，・・・，ｎ；ｔ＝１，・・・，Ｔ−１）と
すると、双対コンパクト表現は、（２５）〜（３１）式
の記述の中の目的関数を（９９）式に、制約式の（２
６）、（２７）式をそれぞれ（１００）、（１０１）式
に書き換え、さらに、（１０２）式およびｗ｛ｔ｝を除
く双対変数の非負制約式を追加したものとなる。

【０１５０】

【数４４】

【０１５１】（危険資産の売買回転率の上限制約の追
加）売買回転率を投資量で定義すると、制約式は以下の
ように記述できる。

【０１５２】

【数４５】

【０１５３】ここで、[Ｔ]Ｕ_jは危険資産の売買回転率
の上限値である。（１０３）、（１０４）式は（１０
５）〜（１０８）式の線形式に書き直すことができる。

【０１５４】

【数４６】

【０１５５】また、（１０５）〜（１０８）式の双対変
数をそれぞれ、

【０１５６】

【数４７】

【０１５７】とすると、双対コンパクト表現は、上下限
制約式を考慮した制約式の（１００）〜（１０２）式を
それぞれ（１０９）〜（１１２）式に書き換え、双対変
数の非負制約式を追加したものとなる。上下限制約式を
考慮せずに、売買回転率の上限制約のみを設定したい場
合には、上下限制約式を考慮する際に追加した目的関数
部分および制約式部分を取り除けばよい。なお、目的関
数の追加は不要である。

【０１５８】

【数４８】

【０１５９】（ＣＶａＲを用いたモデル）ＣＶａＲ（Co
nditional Value at Risk : 条件付バリュー・アット・
リスク）は、富がある確率水準（パーセント点）Ｖβ
（バリュー・アット・リスク）を下回るときの期待富の
ことである。β−ＶａＲを富が確率β（ex．β＝０．９
５）でＶβを下回らないときの最大のＶβの値とする
と、β−ＣＶａＲは富がそのＶβを下回る場合の富の期
待値を表す

【０１６０】（４−１）モデルの定式化 リスク尺度として、ＣＶａＲを用いたモデルは以下のよ
うに定式化することができる。

【０１６１】

【数４９】

【０１６２】（４−２）主コンパクト表現への書き換え （１８）〜（２４）式を求めた変換を利用すると、以下
のように定式化を書き直すことができる。

【０１６３】

【数５０】

【０１６４】（４−３）双対コンパクト表現への書き換
え 双対問題に書き換えるために、（４−２）の定式化の一
部の行列形式を表７に示す。

【０１６５】

【表７】

【０１６６】双対コンパクト表現は以下のように記述で
きる。

【０１６７】

【数５１】

【０１６８】追加及び変更される双対変数は以下の通り
である。

【０１６９】

【数５２】

【０１７０】（その他のモデル）ＡＬＭに対する一般的
なモデルでは、コール・マネーによる資金調達が可能
で、コール・ローンとコールマネーの金利が異なる。こ
の一般的なタイプのモデルに対してはコンパクト表現が
できない。しかし、コール・ローンとコールマネーの金
利を同じに設定すれば（現金の運用金利と調達金利を同
じに設定すれば）、主コンパクト表現、双対コンパクト
表現がともに可能である。

【０１７１】発明者は、シナリオ・ツリー型モデルの
「投資の意思決定」の適切さとシミュレーション型モデ
ルの「不確実性の記述」の精細さを組み合わせたシミュ
レーション/ツリー混合型多期間確率計画モデルを開発
している（枇々木規雄, 資産配分問題に対するシミュレ
ーション/ツリー混合型多期間確率計画モデル, 日本金
融・証券計量・工学学会 2000年夏季大会予稿集, pp. 1
75--193.）。混合型モデルもシミュレーション型モデル
と同様に、現金の決定変数はシミュレーション経路に依
存する。したがって、同様の考え方を用いて、定式化を
コンパクト表現することができる。

【０１７２】以上説明した各種モデルは、図１及び図２
に示したシステムにおいて、適宜選択して実装してお
き、入力部１によって選択するのが好ましい。

【０１７３】

【発明の効果】以上の説明から明らかなように、本発明
によれば、利用者が認識する各種モデルにおいて、入力
するパラメータを変更することなく、シミュレーション
型多期間確率計画モデルを用いたポートフォリオの最適
化を短時間で行うことができるシステムを提供できる。
また、線形計画問題計算装置の実装上の変更も不要であ
る。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明のポートフォリオ最適化システムの一例
の概略構成を示す図

【図２】本発明のポートフォリオ最適化システムの他の
例の概略構成を示す図

【図３】シミュレーション経路と投資の意思決定を示す
図

【符号の説明】

１・・・入力部 ２・・・シミュレーション装置 ３、３０・・・前処理装置 ４・・・線形計画問題計算装置 ３１・・・線形計画問題生成装置 ３２・・・計算指示部 ３３・・・双対問題生成部

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (51)Int.Cl.⁷ 識別記号 ＦＩ テーマコート゛(参考） Ｇ０６Ｆ 19/00 １１０ Ｇ０６Ｆ 19/00 １１０

Claims (3)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 シミュレーション型多期間確率計画モデ
   ルを用いたポートフォリオ最適化システムであって、 多期間モデルに基づくポートフォリオを求めるためのパ
   ラメータの初期値を入力する入力装置と、 前記各期間又は前記各期間経過時点の前記パラメータの
   値を複数のサンプル・パスについて求めるシミュレーシ
   ョン装置と、 前記入力装置から入力されたパラメータの値及び前記シ
   ミュレーション装置で求めたパラメータの値を用いて新
   しいパラメータを生成し、生成したパラメータを用いた
   線形計画問題の計算を指示する前処理装置と、 前記前処理装置から指示された線形計画問題を計算する
   線形計画問題計算装置とを有し、 前記ポートフォリオは、複数の危険資産と現金を含むも
   のであり、 前記前処理装置が行う前記新しいパラメータの生成は、
   前記ポートフォリオに含まれる危険資産および現金に関
   するパラメータの値を用いて行うものであり、 前記前処理装置から指示される線形計画問題は、前記ポ
   ートフォリオに含まれる現金に関する決定変数を含まな
   いものであるポートフォリオ最適化システム。
2. 【請求項２】 請求項１記載のポートフォリオ最適化シ
   ステムであって、 前記多期間モデルは、複数であり、かつ選択可能である
   ポートフォリオ最適化システム。
3. 【請求項３】 請求項１又は２記載のポートフォリオ最
   適化システムであって、 前記前処理装置は、変換されたパラメータを用いた線形
   計画問題に代えて、その双対問題の計算を、前記線形計
   画問題計算装置に指示するものであるポートフォリオ最
   適化システム。