JP2002007379A

JP2002007379A - セミ・マルコフ系列を用いた１／ｆゆらぎ信号発生方法

Info

Publication number: JP2002007379A
Application number: JP2000193074A
Authority: JP
Inventors: Mutsuhiko Nakao; 睦彦中尾
Original assignee: New Industry Research Organization NIRO
Current assignee: New Industry Research Organization NIRO
Priority date: 2000-06-27
Filing date: 2000-06-27
Publication date: 2002-01-11

Abstract

(57)【要約】（修正有）【課題】正確な１／ｆ特性を持つ無限長で多様な系列発
生が可能なゆらぎ信号発生方法。【解決手段】ｍ個の異なる状態があり、状態ｉに留まる
持続時間の確率分布関数Ｆ（Ｋλ）とし、状態ｉから状
態ｊへ推移する推移確率行列をＰとし、確率行列Ｐの成
分を状態ｉから状態ｊへ推移する推移確率と状態ｍ＋１
−ｉから状態ｍ＋１−ｊへの推移確率とを等しくし、推
移確率の２行目からｍ−１行目の成分は対角項に両側対
称分布関数Ｗ（ｘ）の中心を合致させて配分し、１行目
とｍ行目のｍ個の列成分は両側対称分布関数を異なる順
序に振り分けた６つのタイプのいずれかによって決定
し、任意の初期状態から状態推移が起こるたびに乱数ｒ
を発生させて状態ｉに滞在する持続時間Ｋを決め、別の
乱数ｖの指示によって次の状態ｊへ推移するようにセミ
・マルコフ課程を発生し、状態番号ｉに対しＸ＝ｂｉ＋
ｃによって与えられる出力振幅を取り出すセミ・マルコ
フ系列を発生させる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は、生物の感覚感性
循環特性に適合した１／ｆゆらぎを持つ信号の発生方法
に関する。生物の感性やリズム変動に適合した１／ｆゆ
らぎを含む信号出力を発生し、民生機械、産業機械に与
え１／ｆゆらぎを持った出力を得るようにする。１／ｆ
ゆらぎによって生理的な効果向上、加工効果の向上をは
かることができる。この発明はセミ・マルコフ系列を利
用して、確実に１／ｆゆらぎを含む信号を生成すること
のできる方法を提供する。

【０００２】

【従来の技術】近年、１／ｆゆらぎに対する関心が高ま
り、１／ｆゆらぎ発生方法や、１／ｆゆらぎ信号を応用
した電器機器が提案されている。ここで１／ｆゆらぎと
いうのは、その電力密度スペクトルＷ（ｆ）が多様な周
波数成分を含み、平均的にみるとそれが周波数に対して
１／ｆ特性を持っているということを意味する。電力ス
ペクトルＷ（ｆ）があるということは電力が様々の周波
数ｆ成分を含んでいるという事である。これは特殊な電
力スペクトルである。

【０００３】特殊であることを明らかにするため１／ｆ
ゆらぎを持たない駆動電源を初めに述べる。電力機器は
単一周波数で駆動されるということが多い。例えば６０
Ｈｚ、５０Ｈｚの単一の商用電源周波数によって駆動さ
れる民生用電器機器、工業用装置は数多い。殆どの電器
機器装置は単一周波数の交流で駆動されていると言え
る。単一周波数を持つので電力スペクトルはδ関数型で
ある。

【０００４】その反対の極限は、多数の周波数成分を等
分に含んでいるということである。それは白色（Ｗ
（ｆ）＝一定）ということである。白色ノイズという概
念は昔から存在し、それは周波数スペクトルがフラット
になるノイズである。しかし交流電源として白色のスペ
クトルを持つようなものは現在存在しない。そのような
信号を生成する技術はないし優れた効果もないからであ
る。白色スペクトルの電源というものは存在しないが概
念形として想定することはできる。

【０００５】δ型スペクトルと白色スペクトルの両方を
極限として多様な電力スペクトルが仮定できる。ここで
は電力スペクトルが周波数の１乗に反比例するようなも
のを想定する。簡単に書けば、ある範囲で、Ｗ（ｆ）＝
ｋ／ｆという（ｋは定数）簡明な反比例の関係が成り立
つような信号である。さらにゆらぎという言葉が付いて
いる。それはどうしてか？

【０００６】ゆらぎというのは信号波形が時間に対し
て、ランダムな形で発生しているのである。１／ｆゆら
ぎは、信号波形の平均電力をスペクトルに分解したと
き、そのスペクトル密度が周波数（ｆ）に対して１／ｆ
特性をもっているものである。このために、信号に対し
て予測性が生じることになる。１／ｆゆらぎはこのラン
ダム性と予測性がバランスよく含まれているのである。

【０００７】ランダム信号を発生するのであるから発生
機構そのものが確率的になる。予め順序を指定するよう
なものであってはいけない。そのようなものはではゆら
ぎにならないからである。

【０００８】本発明でいうのは信号波形の変化が予め分
からず確率的であって、それでいて電力密度スペクトル
が周波数に反比例するようなランダム信号のことであ
る。単なる乱数でなくて、スペクトルに１／ｆ特性をも
つという限定がある。確率変数を何らかの手段で制御す
る必要があり、その信号を生成するのは容易でない。

【０００９】１／ｆゆらぎをもった電器機器が提案され
るのは、そのようなゆらぎを持たない電器機器に比較し
て快適、安楽、爽快感が高揚するからであると言われ
る。それは生命体の主要な機構が１／ｆゆらぎを持つか
らであると言われる。

【００１０】例えば心拍数、神経パルスの間隔、手拍子
の間隔は１／ｆゆらぎをもっており、それに適合するか
らだと説明される（「ゆらぎの科学３」武者利光氏（発
行所：森北出版株式会社、発行日：1993年6月29日、149
頁〜200頁）。しかも１／ｆゆらぎというものは、信号
に急激な変化がなく、それが穏やかに変化し、しかも意
外性をもっているから生命体の循環系などのリズムに適
合するのである。例えば扇風機のモータ駆動に１／ｆゆ
らぎ信号を用いると快適感が増進するというようなこと
が報告されている。

【００１１】そのような主観的な利点だけでなくて、生
物を離れた利点もあると言われている。例えば石油ファ
ンヒータのファンの駆動に、一次元カオス写像を用いて
生成した１／ｆゆらぎを利用し、部屋の温度に１／ｆゆ
らぎをもたせることによって燃料節減もなされると言わ
れる（１９９２年６月に発売、三洋電機、片山立氏）。
これは生物反応とは切り放された１／ｆゆらぎの効能で
ある。

【００１２】その他に服地のプリント柄のデザイン、木
材乾燥ヒ−タ、鳥小屋のＢＧＭなどに応用できるという
ような提案がなされている。

【００１３】１／ｆゆらぎに関して、すでに多数の提案
が成されている。本発明者が調べたところでは、１／ｆ
ゆらぎ関係の技術に関する公開特許公報は平成５年以降
現在までのところ９１件発行されている。上位５分野は
次のようである。

【００１４】１．空調関係…２２件、より爽快な感覚、
優れた冷却効果。２．製糸織物関係…１５件、人手によって紡いだような
快適感を与える糸を作る。編み地を作る。編み物を作
る。織物の模様に１／ｆゆらぎの相関をもたせる。３．健康機器関係…９件、低周波治療器、変調式マイク
ロ波治療器、睡眠誘導ベッド、睡眠誘導装置、温熱具、
マッサージ器、疲労回復装置、疲労度検出装置および疲
労回復装置、視覚聴覚などの刺激装置４．音響関係…８件５．車両関係…４件

【００１５】上記は用途によって分類したものである。
いずれにしても１／ｆゆらぎを発生させる必要がある。
確率変数の発生であるから、その発生は容易でないと先
に述べた。１／ｆゆらぎ発生は難しくて多様な方法が提
案されているが、これといった最良の方法が未だにな
い。多様なものが提案されているという事自体が１／ｆ
ゆらぎ信号発生の困難さを裏付ける。前記の従来技術は
１／ｆゆらぎの発生に関して、次のようなものを提案し
ている。

【００１６】（１）自然現象から求めるもの。

【００１７】（２）ランダムな位相をもつ正弦波を合成
するもの。

【００１８】（３）パルス間隔の発生頻度を調整して発
生させるもの。

【００１９】（４）いくつかの高さと幅の異なるパルス
を、異なる周期で発生させ、それらを合成するもの。

【００２０】（５）コンピュータによって１／ｆゆらぎ
信号を設計しＲＯＭに書き込むもの。

【００２１】（６）白色雑音をアナログフィルタ、ある
いはデジタルフィルタに通し１／ｆ性を与えるもの。

【００２２】（７）カオスを用いて発生させるもの。

【００２３】（８）カーボンや抵抗体を用いるもの。こ
のように様々のものがある。これら従来技術について概
観しておく。

【００２４】特開平７−１７６９５６号「ゆらぎ信
号発生装置」は、Ｎ個の正弦波発振器を用い、乱数によ
って初期位相θ_ｋを決めた基本波ｆと高調波ｆ_ｋを発生
させ、これらを重ね合わせてゆらぎ信号を生成してい
る。ｋ番目の正弦波発振器は振幅Ａ_ｋ、位相θ_ｋ、周波
数ｋｆの高調波を発生する。これらの信号を単純に相加
えてゆらぎ信号ｆ（ｔ）を得る。

【００２５】

【数１２】

【００２６】という信号を生成する。乱数発生器によっ
てθ_ｋを与えるので多くの異なるゆらぎ信号が生成され
る。高調波の組み合わせだから基本波ｆの周期性をも
つ。さらに振幅をＡ_ｋ＝Ａ_１／ｋ、高調波周波数ｆ_ｋ＝
ｋｆというように選ぶと１／ｆゆらぎ特性が得られると
言っている。

【００２７】これは電力スペクトルにｆ，２ｆ，３ｆ，
４ｆ，…、Ｎｆの点に孤立したδ型ピークを生成し、そ
のピークエネルギーが１、０．５、０．３３、０．２
５、…というように低下するのでエネルギーピークが１
／ｆになるというにすぎない。１／ｆゆらぎという目的
からみると、これは二つも明瞭な誤りがある。一つは信
号がゆらぎを含まず１／ｆゆらぎとは言えないというこ
とである。

【００２８】いくら高調波をたくさん含んでいても、そ
れは基本波と同じ周波数の繰り返しをもつので基本波と
同じ周期の周期関数である。基本波の周期をＴとすると
高調波の周期はＴ／ｋ（ｋは整数）であるが、それらの
最小公倍数はＴである。高調波を有限個含んでも基本的
な周期性を失わない。ゆらぎというものはそんなもので
はない。基本波の短い周期１／ｆで電圧が規則正しく変
化するのはゆらぎではない。たとえ波形が歪んでいて
も、それはゆらぎではない。

【００２９】ゆらぎと歪は別異のものである。混同して
はいけない。もう一つは孤立ピークが１／ｆのパワーで
現れても、それは１／ｆゆらぎでないということであ
る。連続スペクトルをもって初めて１／ｆゆらぎと言え
るのである。従来例は１／ｆゆらぎという概念を誤解
したものと言わざるをえない。明細書、図面に誤りも多
くて資料価値は乏しい。が、１／ｆゆらぎという概念が
当業者であっても理解しやすいものでないということが
わかろう。

【００３０】特開平４−２４６７０５号「物理量制
御装置」は基本波と高調波を組み合わせるのであるが、
発振器を多数用いるかわりにコンピュータによって波形
を計算して１／ｆゆらぎを発生させるとしている。基本
波周波数をｆ_０として、ｋ次高調波は周波数ｆ_０ｋをも
つ。位相は乱数によって与える。

【００３１】

【数１３】

【００３２】ｋ番目の高調波の振幅の２乗が１／ｋに比
例し、これがパワーを与えるから１／ｆゆらぎ特性を与
えるというのである。従来例と同じく、これも間違い
である。二つの誤りを犯している。これをフーリエ変換
しパワースペクトルＰ（ｆ）を求めると

【００３３】

【数１４】

【００３４】というようになる。パワースペクトルは連
続でなくて、ｆ、２ｆ、３ｆ…に鋭いピークをもつδ型
のスペクトルになる。位相を与える乱数を１周期毎に入
れないとこれはゆらぎを持たない。１／ｆを周期とする
綺麗な周期関数が得られるにすぎない。たとえ位相を１
周期毎に入れてゆらぎを出しても、それは１／ｆゆらぎ
特性とは言えない。これも１／ｆゆらぎというものを誤
解しているのである。基本波と高調波を組み合わせるだ
けでは、位相にランダム性を取り入れても１／ｆゆらぎ
とはならない。従来例と同じ誤りである。

【００３５】特開平９−２１２０４４号「画像形成
装置」は、複写機の放熱ファンの音がうるさいので、こ
れを快適なノイズにするためにファン駆動モータの運動
を一定回転でなく１／ｆゆらぎを持たせた回転にすると
いうことを提案している。１／ｆゆらぎの用途の提示で
あり、１／ｆゆらぎ信号をどのように作製するかという
ことについては詳しくない。一つのファンのモータには
ある周波数のｓｉｎ波電圧を他のファンには異なる周波
数のｃｏｓ波電圧を与える。周波数の差を適当に決める
と合成の風量は１／ｆゆらぎをもたらすと述べている。
Ｆａｎ_１とＦａｎ _２の風量は

【００３６】Ｆａｎ_１＝Ｂｓｉｎ２πｆ_ａｔ、Ｆａｎ_２
＝Ｂｃｏｓ２πｆ_ｂｔ

【００３７】のように書くことができる。これを足し合
わせると、

【００３８】２Ｂｓｉｎ｛π（ｆ_ａ−ｆ_ｂ）ｔ＋π／
４）｝ｃｏｓ｛π（ｆ_ａ＋ｆ_ｂ）ｔ−π／４｝

【００３９】となるだけであり、（ｆ_ａ＋ｆ_ｂ）の周波
数の正弦波が、（ｆ_ａ−ｆ_ｂ）の速さで変調されるが、
これはゆらぎ信号ではない。規則正しい信号である。波
形歪とゆらぎは別ものである。本来ゆらぎというのは確
率変数だから発生するものなのである。ゆらぎと歪を混
同してはいけない。周波数の決まった信号をいくら重ね
合わせてもゆらぎになるはずはない。

【００４０】それに周波数が異なる信号であればｃｏｓ
もｓｉｎも同じことであり、区別されないし区別できな
い。ｃｏｓとｓｉｎは位相が９０゜違うだけのことであ
る。周波数が異なれば位相差は変わってくるのでｃｏｓ
とｓｉｎの別はない。周波数が同一であって初めてｃｏ
ｓ波とｓｉｎ波が区別できるのである。「ｓｉｎ波と周
波数の異なるｃｏｓ波を組み合わせる」という発想は三
角関数に対する初歩的な無理解からくると言わざるを得
ない。それに周波数差をどのようにしても１／ｆゆらぎ
は発生しない。

【００４１】特開平２−４１５７４号「人工木目の
作成方法」は同心円でなくて歪んだ人工木目を発生させ
る方法である。初め同心円の仮の木目を描き半径ｒ
（θ）を少しずつ変えて行くことによって、うねりのあ
る木目を作ろうとする。そのためにコンピュータでＭ個
以上の乱数系列Ｐ_１、Ｐ_２、…を発生させ、これに予め
定めた係数ａ_ｊをかけて半径の変化分ｑ_ｎを求めるとい
うものである。

【００４２】

【数１５】

【００４３】係数｛ａ_ｊ｝と掛ける乱数を一つずつ変え
てゆくのでθ＝２πｎ／Ｎでの半径をｒ（θ）＝ｒ＋ｑ
_ｎとして変化させると半径が変化する同心状の木目を設
計できる。これはｑ_ｎが１／ｆゆらぎを持つと言ってい
るが、乱数Ｐ_ｎ−ｊについてはなんら限定が付されてい
ない。０〜１の間の乱数を発生させるとしてもそれの一
次結合が１／ｆゆらぎ特性をもつとは言えない。乱数が
無限定であるから係数｛ａ_ｊ｝をどのように工夫しても
１／ｆゆらぎ特性を持つはずはない。

【００４４】それに、これは木目の連続性に対して工夫
がない。ｎ−１番目の半径とｎ番目の半径（中心角は微
小な角２π／Ｎ）の差は

【００４５】ｑ_ｎ−ｑ_ｎ−１＝Σａ_ｊ（Ｐ_ｎ−ｊ−Ｐ_{ｎ−ｊ−１}）

【００４６】であるが、Ｐ_ｎ−ｊとＰ_{ｎ−ｊ−１}は共に
乱数であって収束する数でないから、この差は大きい。
つまり半径に連続性がない。実際に作ろうとすると乱数
に限定を付する必要がある。未完成発明と言わねばなら
ない。

【００４７】特開平７−３１６９３７号「エア交絡
方法及びエア交絡機」は、複数の糸を巻き取り交絡させ
る場合にフィードローラの速度に１／ｆゆらぎを与える
ことによって人手によって紡いだような糸を製造すると
いうものである。糸の巻き取りのためのローラー速度を
可変にするのであるが、その信号に１／ｆゆらぎをもつ
信号を用いるとしている。信号発生の手段として、いく
つかのものを挙げている。一つは従来例と同じように
乱数ｘ_１、ｘ_２、…のｎ個の一次結合、

【００４８】

【数１６】

【００４９】を用いるというものである。もう一つは、
川のせせらぎの音、Ｊ．Ｓ．バッハの曲、Ｗ．Ａ．モー
ツアルトの音楽を録音し、２５ｍｓ間隔でサンプリング
して、その平均の周波数ｆを求め、その周波数系列が１
／ｆゆらぎ信号であるとするものである。

【００５０】乱数の一次結合が１／ｆゆらぎ特性をもた
ないことは従来例において述べた。川のせせらぎの音
はいくつかの周波数の音の複合であろうが、１／ｆゆら
ぎ特性をもつと初めから思い込んではいけない。大きい
川もあれば、狭い川もある、浅瀬もあり淀みもある。墨
田川がよいのか？悪いのか？墨田川がよいとしてもその
どこでのせせらぎがよいのか？朝がいいのか夜が適して
いるのか？疑問は尽きない。川のせせらぎ音が１／ｆゆ
らぎ特性を持つかどうかは実験を繰り返して初めてわか
ることである。初めから川のせせらぎが１／ｆゆらぎ特
性をもつものと信じる根拠はない。

【００５１】Ｊ．Ｓ．バッハの曲、Ｗ．Ａ．モーツアル
トの音楽が１／ｆゆらぎ特性をもつといっても彼らの作
った曲の全てがそうなのか？特定の曲がそうなのか？特
定の曲の特定の部位がそうなのか？どうして滝連太郎で
はいけないのか？これも疑問が湧いてくる。Ｊ．Ｓ．バ
ッハの曲、Ｗ．Ａ．モーツアルトの音楽が１／ｆゆらぎ
特性をもつかどうか？ということは実際に測定をしてみ
ないとわからないことである。

【００５２】特開平５−２９７８８４号「音声合成
装置」は、文字テキストを音声合成機によって音声に変
換し、１／ｆゆらぎを合成音声に付加してから、スピー
カーから出力する装置を提案している。これは目的が音
声合成なので１／ｆゆらぎ生成については詳しくない。
白色雑音を発生させて、これを１／ｆ特性をもつフィル
タを通して１／ｆゆらぎ信号を生成するとしている。白
色雑音というのは平坦な周波数スペクトルを有する雑音
である。これを１／ｆ特性フィルタに通すと１／ｆゆら
ぎ信号を生成できる、というわけである。

【００５３】これまでの従来例〜と違ってこれは１
／ｆゆらぎという概念を正しく理解していると言えよ
う。信号発生はランダムでありスペクトルは連続であっ
て、しかも１／ｆの減衰を示すものが１／ｆゆらぎなの
である。白色雑音は雑音だから偶然的であり確率的であ
る。しかも平坦で連続的なスペクトルをもつ。しかし理
想的な白色雑音を出すようなものはなかなかない。白色
雑音（Ｐ（ｆ）＝一定）というのは雑音の一つの理想形
にすぎず簡単には生成できない。これが難点である。そ
れに１／ｆフィルタが必要である。単なるローパスフィ
ルタではない。精度のよい１／ｆフィルタは製造しにく
い。

【００５４】特開平７−２６０２４０号「１／ｆゆ
らぎ制御器及び１／ｆゆらぎ空調システム」はカオス信
号を連続的に発生させ連続するカオス信号を０．５回積
分して１／ｆゆらぎをもつ系列を得る、としている。数
学的には面白いが様々の疑問がある。どうしてカオス系
列の１／２回積分が１／ｆゆらぎを与えるのか不明であ
り説明されていない。０．５回積分という概念自体新規
である。が、そこで定義された式は積分式としては適当
とは言えない。明細書には根拠が説明されていない。

【００５５】本発明者が推測するところ、次のようなこ
とであろう、と思われる。定常信号を扱う電磁気学では
微分というとｊωを掛けることである。積分というと１
／ｊωを掛けることである。ωは角周波数といい、ω＝
２πｆである。電力パワーが１／ｆの周波数依存性を持
たねばならないとすると、電圧はその平方根だから１／
ｆ^１／２の周波数依存性をもつことが要求される、と
の発明者は考えたのであろう。カオスが白色スペクトル
（ｆ_０依存性）をもつ、と発明者は考えた。するとカオ
ス系列を１／２回積分すれば白色スペクトルから、１／
ｆ^１／２スペクトルをもつ電圧系列が得られるはずであ
る、との発明者は思ったのであろう。

【００５６】０．５回積分という数学的にありえない演
算をの発明者は新たに編み出している。１階微分は、
ｆ（ｘ）’＝lim｛ｆ（ｘ）−ｆ（ｘ−ｈ）｝／ｈ、２
階微分は、ｆ（ｘ）’’＝lim｛ｆ（ｘ）−２ｆ（ｘ−
ｈ）＋ｆ（ｘ−２ｈ）｝／ｈ ^２である。一般にｍ階微分
はｆ（ｘ）^（ｍ）＝lim｛Σ（−）^ｒ _ｍＣ_ｒｆ（ｘ−ｒ
ｈ）｝／ｈ^ｍである。積分というのは微分の逆である。
ｍを負にすれば積分である、との発明者は考えた。ｍ
が−１なら１回積分であり、ｍが−０．５なら０．５回
積分である。これは次のように定義される。

【００５７】

【数１７】

【００５８】微分から積分への移り変わりにおいて極限
記号ｌｉｍ（ｈ→０）が消えている。また積算の上限数
Ｎがｍでなくなっている、ということに注意すべきであ
る。１回積分（ｍ＝−１）の場合との整合性を顧慮する
と、Ｎ＝ｘ／ｈであるべきである。ところがはメモリ
の関係でカオス系列を４つだけ逐次加算し５番目になっ
た古いデータは捨てると言っている。つまりｘにかかわ
らずＮ＝３とするということである。

【００５９】局所的な微分と違い積分は広がりをもつべ
きものである。ｒ＝０〜４では狭い間の４つのデータの
加算にすぎない。これでは積分とは言えない。０．５回
積分として定義されたものも、Ｎ＝３なのであるから１
／ｆ^１／２特性を与えることはできない。数学的に誤り
である。たとえ将来０．５回積分を正しく定義できたと
しても、それによって１／ｆ^１／２特性を与えるという
ことができるのかどうか？証明できていない。斬新であ
るが、実現不可能な発明である。

【００６０】特開昭６４−５９５０８号「物理量の
ゆらぎ発生装置」は自然のそよ風の風速を測定し一定時
間間隔でサンプリングして得た系列を使って、空調機器
やあんま器のモータ速度にゆらぎを与えるようにしてい
る。つまり、そよ風と同じような感じで風量を制御す
る。自然のそよ風の風速のスペクトルが１／ｆ特性を持
っているので、そよ風風速ゆらぎを与えるということは
１／ｆゆらぎ特性を与えていることだと述べている。

【００６１】自然のそよ風を模範として、それと同様の
風量制御を行う。自然から信号をとるのであるが、測
定、記録、分析など多数の手間と時間がかかる。そよ風
といっても季節変動がある。地方によっても異なるし、
方位も相違する。同じ季節同じ地方といっても時刻によ
って変化する。風量変化スペクトルがあるとしても天候
にも依存する。どのそよ風の風量も１／ｆゆらぎをもつ
ということなのか？そうでないのか？実際にどこのそよ
風がよいのかということは予めわからない。気まぐれな
自然を相手にして多大な試行錯誤が必要である。必要な
時間・コストともに多大である。

【００６２】特開平３−２０４７０２号「１／ｆゆ
らぎ信号発生方法」は、同一高さ、同一幅のパルス列を
時間間隔Ｔを変えて発生させる。時間間隔Ｔの発生頻度
をＴ^１ ^／２に比例するように決めることによってパルス
系列の周波数特性が１／ｆ特性をもつ、とするものであ
る。これは同一幅、同一波高のパルス列の時間間隔に１
／ｆ特性を与えたものであるから、そのままでは使えな
い。電圧波高あるいは電力強度が変数で、これに１／ｆ
ゆらぎ特性を与えたというのであれば、そのまま機器の
制御電圧、電力として使える。しかしパルス列の時間間
隔が１／ｆ特性をもっていても、それをもう一度電圧、
電力の高さに変化させなければならない。

【００６３】（10）特開平８−１９５６２８号「１／
ｆゆらぎ波形発生回路」はＯＰアンプを用いて簡便に１
／ｆゆらぎ信号を発生させる回路を提案している。ＯＰ
アンプの±入力間に１００Ωのカーボン抵抗をつなぎ、
−入力と出力間に３３ｋΩの抵抗と高い容量（１μＦ）
のコンデンサを並列につなぐ。±入力にはそれ以外に何
もつながない。無入力状態とする。カーボン抵抗は熱雑
音を発生する。これは白色雑音でパワースペクトルは４
ｋＴＲである。ｋはボルツマン定数Ｔは絶対温度、Ｒは
抵抗値である。

【００６４】ところが抵抗Ｒは低周波（５Ｈｚ以下）で
１／ｆのゆらぎ特性を持っている。だから５Ｈｚ以上を
減衰させるように１μＦものコンデンサをつないでい
る。しかし、これだと直流成分がのってくるから、０．
１Ｈｚ以下を遮断できる別異のＯＰアンプ（コンデンサ
は１０μＦ）を使って反転増幅して元の信号に加え０．
１Ｈｚ以下を打ち消している。これは熱雑音が白色であ
り抵抗Ｒが１／ｆゆらぎをもつことを利用して１／ｆゆ
らぎをもつアナログ信号を生成する。しかし、これは
０．１Ｈｚ〜５Ｈｚのきわめて遅い周波数範囲での１／
ｆゆらぎ信号を得るだけであるから信号の採集に時間が
掛かる。

【００６５】それにカーボン抵抗体が抵抗自体のゆらぎ
を持っているというのは首肯しがたい。品質ばらつきで
抵抗値が１００Ωからずれるというのはわかるが５Ｈｚ
以下の周波数で抵抗自体が変動するというのはおかし
い。変動するにしても極極わずかな割合ではないかと思
われる。

【００６６】

【発明が解決しようとする課題】以上に述べたものは１
／ｆゆらぎに関する従来技術の一部である。これら以外
にもたくさんの提案がなされている。個々のものについ
て問題点を述べた。まとめて見ると、以上に挙げた１／
ｆゆらぎ信号の発生方法には次のような問題がある。

【００６７】（１）自然現象から１／ｆゆらぎ信号を発
生させるものは、録音、録画、分析など多大の労力が必
要である。１／ｆゆらぎ特性をもつかどうか予めわから
ずしかも性能が不安定である。

【００６８】（２）正弦波を合成するもの、およびパル
ス列を用いるものは、スペクトルの代表成分を与えてい
るだけである。スペクトルの連続性について問題があ
る。

【００６９】（３）コンピュータで設計しＲＯＭにデー
タを書き込むものは有限長である。計算を無限に続ける
ことはできないからである。どうしても有限長の信号の
繰り返しになる。有限長信号列が１／ｆゆらぎを持って
いるから繰り返し信号も同じゆらぎをもつ。しかしデー
タ長が有限であるから１／ｆゆらぎをもたらす全ての変
化を含むことはできない。

【００７０】（４）白色雑音を発生させフィルタに通し
て１／ｆ特性をもたせるものは、フィルタの設計製造が
難しい。特に低周波でのフィルタの製造は難しい。

【００７１】（５）カオスを用いるものは、間欠性現象
があるために、時間的一様性に難点がある。また、スペ
クトルに１／ｆ特性をもたせるのが難しい。

【００７２】（６）ＯＰ−ＡＭＰを用いるものは、出力
がアナログの連続信号であり、発生速度が遅くしかも一
定である。このために、デジタル信号として用いるため
には、Ａ／Ｄコンバータが必要である。また変換時に情
報の欠落が起こる。さらに正確な１／ｆ特性を持たない
という欠点がある。

【００７３】（７）カーボン、抵抗体を用いるものは、
ＯＰ−ＡＭＰを用いるものと同様に、出力がアナログで
発生速度が遅い。ＩＣ化ができないという欠点がある。

【００７４】このように多様な１／ｆゆらぎ信号発生方
法が提案されているがいまだに満足できるものがない。
前節で随時述べたように、１／ｆゆらぎといっても正し
く理解されていない場合がある。ゆらぎと歪を混同した
ものもあった。ゆらぎという概念自体が理解しにくいと
いうことが一つの原因であろう。実に多種多様の１／ｆ
ゆらぎ発生方法が提案されているが、これといった決め
手がないというのが現状である。しかし、それらに加え
て１／ｆゆらぎ発生方法の最大の難点は１／ｆゆらぎな
のかどうなのか評価することが難しいという点にある。

【００７５】どうして評価が難しいのか？ある確率変数
の集合がある場合その時間平均と集合平均が等しいとい
う仮定（エルゴード仮説）をおくが、それは理念として
の一致であって、有限数の集合平均と有限時間の時間平
均は一致しない。有限数のランダムな信号をフーリエ変
換してスペクトルを求めてもギザギザのスペクトルが得
られるのであって、きれいな１／ｆ特性は得られない。
無限時間かけた無限大の信号をフーリエ変換したときに
初めてきれいな１／ｆ特性になるのである。ギザギザの
ノイズが大体のところ１／ｆの傾向を示したといって
も、それは偶然かもしれない。

【００７６】相手は一様収束する数列でなくランダムな
確率変数であるから、その方法に再現性があるとは言え
ない。評価の困難というのはここである。様々の方法で
生成したノイズが平均したとき偶然に１／ｆのカーブに
似ているといっても、その方法が１／ｆゆらぎを生成で
きるとは限らない。偶然そうなるということもある。確
かにその方法で１／ｆゆらぎが生成するということを実
際の系列のスペクトル解析で示そうとすると無限大の時
間がかかってしまう。実際には寿命は有限であり、無限
大の時間がないからそのような検証方法では役に立たな
い。有限と無限の間には越えることのできない深淵があ
る。

【００７７】本発明はセミ・マルコフ系列を用いてこの
深淵を飛び越える。セミ・マルコフ系列では理念形の電
力スペクトルというものがあり、これは計算できる。そ
のスペクトルを与える確率システムが具体的に定まり、
これから確率変数としての具体的な数の系列を発生させ
ることができる。確率システムを媒介として現象形（系
列）と理念形（スペクトル）を結合することができる。
無限大時間の１／ｆゆらぎスペクトルを与える確率シス
テムによって具体的な系列を発生させるようにする。理
念形の保証があるから具体的な系列が必ず１／ｆゆらぎ
特性を与えるということが明確になる。つまり評価の困
難を克服することができる。

【００７８】本発明は正確な１／ｆゆらぎ特性をもつ無
限長の信号を高速で発生させる柔軟性に富んだ方法を提
供することを目的とする。

【００７９】つまり本発明の１／ｆゆらぎ発生装置、方
法の課題は次のようなものである。（イ）電力密度スペクトルにおいて、１／ｆ特性が正確
に得られていること。（ロ）１／ｆゆらぎ信号が容易に発生できるものである
こと。ＩＣ、コンピュータを用いて発生する事ができる
事。（ハ）系列長が無限大であること。（ニ）制御対象に適合した効果を上げるために、系列発
生方法に多様性があること。（ホ）系列発生速度が可変であること。（ヘ）系列がデジタル信号であること。つまりパルス発
生が時間軸上である正数λの整数倍の時点でおこり、パ
ルス振幅が離散的な値をとること。

【００８０】

【課題を解決するための手段】［本発明の１／ｆゆらぎ
信号発生方法］本発明のセミ・マルコフ系列を用いた１
／ｆゆらぎ信号発生方法は、

【００８１】ｍ個の異なる状態（１、２、…、ｍ）があ
って、確率的かつ離散的な状態持続時間の後、状態間を
系が確率的に推移するものとし、状態ｉから次に状態ｊ
へ推移する頻度を、状態ｉから全部の状態へ推移する頻
度で割った値の平均値の確率をＰ_ｉｊとして定義し、確
率Ｐ_ｉｊを成分にもつ推移確率行列をＰとし、確率行列
Ｐの成分は、状態ｉから状態ｊへの推移確率が、状態ｍ
＋１−ｉから状態ｍ＋１−ｊへの推移確率と等しい

【００８２】Ｐ_ｉｊ＝Ｐ_{ｍ＋１−ｉｍ＋１−ｊ} （１）

【００８３】という対称性を持ち、各行の列成分の総和
は１である、

【００８４】

【数１８】

【００８５】という正規化条件を満たし、対称性と正規
化性、

【００８６】

【数１９】

【００８７】という条件をみたし０〜１の間の値をとる
ａをパラメータとして含む両側対称分布関数Ｗ（ｘ）を
想定し、Ｗ（ｘ）をｘ軸を単位長さｄによって離散化し
て、ｎを整数としてｎｄ−ｄ／２からｎｄ＋ｄ／２の区
間１のＷ（ｘ）の積分をＷ_ｎ、ｎｄ−ｄ／２から∞まで
の積分をＵ_ｎ、−∞からｎｄ＋ｄ／２までの積分をＶ_ｎ
として、

【００８８】２行目からｍ−１行目（２≦ｉ≦ｍ−１）
までの行のｍ個の列成分は、両端にＶ_ｓ、Ｕ_{ｓ＋ｍ−１}
を有し、その中間はＷ_ｓ＋１〜Ｗ_{ｓ＋ｍ−２}が順に並ぶ
ものとして決め、ｋ行を中央行（（ｋ＝ｍ＋１）／２）
として、１行目とｍ行目のｍ個の列成分は、

【００８９】（タイプ１）片側指数型（Ｗ_０２Ｗ_１
２Ｗ_２…… ２Ｕ_ｍ）（タイプ２）中央行同一型（Ｕ_ｋ−１Ｗ_ｋ−２…Ｗ_１
Ｗ_０Ｗ_１…Ｗ_ｋ−２Ｕ_ｋ−１）（タイプ３）中央類似型（Ｕ_ｋ−１’Ｗ_ｋ−２’…Ｗ
_１’Ｗ_０’Ｗ_１’…Ｗ_ｋ _−２’Ｕ_ｋ−１’）（タイプ４）半減衰型（Ｗ_０２Ｗ_１…２Ｕ_ｋ−１
００…０）（タイプ５）逆半減衰型（２Ｕ_ｋ−１…２Ｗ_１Ｗ_０
００…０）（タイプ６）一様分布型（１／ｍ１／ｍ１／ｍ…
１／ｍ１／ｍ）のいずれかによって決めるものとし、

【００９０】時間の単位をλとし、状態ｉから状態ｊへ
の推移はλの正整数倍の時刻Ｋλに確率的に起こるもの
とし、状態ｉから状態ｊに推移するまでの確率的な時間
Ｋλを状態持続時間と呼び、状態持続時間Ｋλの分布関
数Ｆ（Ｋλ）を、

【００９１】

【数２０】

【００９２】によって与え、ある範囲に定められたパラ
メータａとｕの組を指定して、推移確率行列Ｐと持続時
間分布関数Ｆ（Ｋλ）を決定し、任意の初期状態から始
めて、推移が起こるたびに乱数ｒを発生させて、その状
態ｉに滞在する持続時間Ｋλを決め、また別の乱数ｖに
よって状態ｉから乱数が指示する次の状態ｊに推移する
ようにセミ・マルコフ過程を発生し、その状態番号ｉ
（１≦ｉ≦ｍ）に対して

【００９３】Ｘ＝ｂｉ＋ｃ（ｂ、ｃは任意の実数）（４）

【００９４】によって与えられる出力振幅Ｘをもつ出力
を取り出すことにより、１／ｆゆらぎ特性をもつ出力系
列を生成することを特徴とする。これによって１／ｆゆ
らぎ特性をもつパルス列信号が得られる。

【００９５】［両側対称分布関数Ｗ（ｘ）］さらに、両
側対称分布関数Ｗ（ｘ）として

【００９６】Ｗ（ｘ）＝（μ／２）ｅｘｐ（−μ｜ｘ｜）（μは任意の正定数）（５）

【００９７】を選択することができる。

【００９８】［具体的な系列の発生］図２５によって具
体的な系列の発生方法を述べる。１．状態推移を決める乱数ｖと、持続時間を決める乱数
ｒを発生させることによって系列を発生させる。ｖ、ｒ
ともに区間［０，１］で一様な分布をもつが、その発生
は確率的であって予見できないものである。これはコン
ピュータによって簡単に発生できる。

【００９９】２．最初の状態をｉとする。ｉに関する
［０，１］の区間を、０からＰ_ｉ１，Ｐ _ｉ２、…、Ｐ
_ｉｍの長さのｍ個の領域に分割する。Σ_ｋＰ_ｉｋ＝１だ
から、きっちりと分割できる。０〜１に一様分布する乱
数ｖを発生させる。これが属する領域を調べる。これが
Ｐ_ｉｊだったとする。すると次に推移する状態はｊだと
決める。

【０１００】３．持続時間に関する［０，１］の区間
を、０からｆ_１＝ｕ、ｆ_２＝ｕ（１−ｕ）、ｆ_３＝ｕ
（１−ｕ）^２、…、ｆ_ｋ＝ｕ（１−ｕ）^ｋ−１，…に分
ける。Ｆ_Ｋ＝Σ_ｋｆ_ｋである。Ｋは有限にとどめる。最
後のＫをｎとすると、ｎ＋１以後の分は全てｆ_ｎに含め
る。つまりｆ_ｎの上限値は１である。０〜１に一様分布
する乱数ｒを発生させる。これが属する領域を調べる。
これがｆ_ｋ＝ｕ（１−ｕ）^ｋ ^−１だったとする。持続時
間はｋである。ｋλ時間後に状態ｊに移る。

【０１０１】４．状態ｊについて、同様のことを繰り返
して次に移る状態と持続時間を決める。以下同様の手続
きを無限回繰り返してランダムな状態の系列を発生させ
ることができる。状態ｉに振幅Ｘ_ｉを対応させると振幅
変化系列が得られる。

【０１０２】［一般的なセミ・マルコフ系列の説明］一
般的なセミ・マルコフ系列の発生については以下に示す
通りである。図１にセミ・マルコフ過程が辿るマルコフ
連鎖（これを埋蔵マルコフ連鎖という）のシャノン線図
が表されている。全部でｍ個の状態１があるとする。こ
こでは３つの状態ｉ、ｊ、ｋが例示される（１≦ｉ、
ｊ、ｋ≦ｍ）が、実際にはｍ個の状態がある。これらの
状態間を推移する物（系という）を考える。推移矢印２
のように任意の状態ｉから任意の状態ｊ（ｉを含む）に
時間単位λごとに推移する。状態ｊに電圧Ｘ_ｊを対応さ
せ全ての状態からの電圧の和をＯＲ回路３で足し合わ
せ、出力端子４に出力する。これが振幅過程である。

【０１０３】ある瞬間には系はどれか一つの状態ｊにい
るのでＸ_ｊの値が出力される。この出力が系列である。
図２は出力波形例を示している。横軸は時間である。単
位時間λの整数倍で変化がおこるとしているから変化は
段々（ステップ型）になる。系列自体はランダムな確率
変数である。系列が含む周波数成分が１／ｆゆらぎ特性
をもつようにする、というのがこの明細書の目的であ
る。

【０１０４】ある定まった一定時間ごとに系がある状態
ｉから他の状態ｊに変化する場合、それをマルコフ連鎖
という。推移の確率Ｐ_ｉｊは予め与えられる。本発明は
マルコフ連鎖でなくて、セミ・マルコフ過程を用いる。
セミ・マルコフ過程というのは、一定時間ごとではなく
てその状態自身が確率的な持続時間τ _ｉｊを持ってお
り、その持続時間が終了した後他の状態へ推移するもの
である。

【０１０５】ｉ状態からｊ状態へ推移するまでの持続時
間τ_ｉｊは状態ｉだけでなく推移先の状態ｊにもよる。
推移先が決まってからτ_ｉｊの分布がわかる。だから持
続時間の分布関数はＦ_ｉｊ（ｔ）（ｉ，ｊ＝１、２、
…、ｍ）と書ける。セミ・マルコフ過程は持続時間をも
つからマルコフ連鎖よりも複雑であって柔軟性のある過
程になっている。状態持続時間τ_ｉｊ（ｔ）は有限であ
り、ある定数λの整数倍の値をとるものとする。λは時
間単位である。

【０１０６】このような過程を実現するためには次の３
段階の手順が必要となる。（１）例えば、状態ｉに推移したと仮定し、まず推移確
率Ｐ_ｉｊに従って次の推移先の状態ｊを決定する。（２）次に、この推移の道に固有の持続時間の分布関数
Ｆ_ｉｊ（ｔ）に従って、状態ｉの持続時間を決める。（３）決められた持続時間の後、状態ｉから状態ｊヘの
推移を行わせる。上記の（１）〜（３）の手続きは無限
に繰り返すことができる。状態ｉからｊへの推移は乱数
ｖによって決めるし、持続時間は他の乱数ｒによって決
める。これが系列の発生である。系列発生については先
に述べた。

【０１０７】このような規則に従ってセミ・マルコフ過
程を発生することができる。図１に示したように各状態
の出力に振幅Ｘ_ｊ（ｉ＝１、２、…、ｍ）を対応させ
て、これを周期λごとに読み出せばセミ・マルコフ系列
を発生させることができる。

【０１０８】［セミ・マルコフ系列の電力スペクトル］
一般的な、セミ・マルコフ系列の電力スペクトルは次の
ようにして決められる。セミ・マルコフ過程は３つの値
の組み合わせ（ｍ、ａ、Ｑ）によって表現することがで
きる。

【０１０９】ｍは状態の数である。ｍは２、３、４、
５、…のように任意の自然数である。ａは初期において
それぞれの状態ｉ（ｉ＝１、２、…、ｍ）に存在する初
期分布確率を示すｍ元のベクトルである。

【０１１０】ａ＝（ａ_１，ａ_２，ａ_３，…，ａ_ｍ）（６）

【０１１１】初期分布は任意に与えることができる。Ｑ
はｍ×ｍの正方行列であり、成分Ｑ _ｉｊ（ｔ）はｉ状態
からｊ状態への条件付き確率分布関数である。

【０１１２】Ｑ＝｛Ｑ_ｉｊ（ｔ）｝（１≦ｉ、ｊ≦ｍ）（７）

【０１１３】条件付き確率分布関数Ｑ_ｉｊ（ｔ）という
のは、状態ｉに推移したときを時間の原点として（ｔ＝
０）、状態ｉから状態ｊへ時間ｔ以内に推移している確
率である。状態ｉから状態ｊへの推移確率をＰ_ｉｊとす
る。これは推移確率の比率であった全てのｊによって積
算したＰ_ｉｊが１であるという条件（Σ_ｊＰ_ｉｊ＝１）
によって正規化した確率である。推移確率は予め与える
ことができる。この明細書におけるΣの計算においてど
のパラメータについて積算するのかを文章中において明
示するためΣのすぐ後ろに積算パラメータを下付き文字
で示すことにする。上記の条件は、Σ_ｊＰ_ｉｊ＝１と書
くことになる。これはｊについて加えるということであ
る。_ｊＰ_ｉｊという記号があるのではない。混同しては
いけない。

【０１１４】この推移における状態ｉの持続時間τ_ｉｊ
というものを考える。状態ｉになってから、ｉ→ｊとい
う推移がおこるまでの時間である。その時間は予めわか
らず確率分布関数がわかっているだけの確率変数であ
る。ｉ状態の持続時間であるがｉ状態だけによるのでな
い、持続時間は推移後の状態ｊにもよるのでτ_ｉｊと言
っている。τ_ｉｊというのはその意味で分かりにくい変
数である。セミ・マルコフ過程の特徴は推移が起こるま
でに確率変数としての持続時間τ_ｉｊがあるということ
である。

【０１１５】持続時間τ_ｉｊの分布関数をＦ_ｉｊ（ｔ）
とする。名前から誤解してはいけないが、持続時間分布
関数というのはｉ→ｊへの推移が起こるものとしてそれ
が時刻ｔ以内に既に起こっている確率である。「持続」
というから未だそこにいるようだが、そうでなく、そこ
にいない確率を持続時間分布関数という。これは分布関
数であって確率変数でない。これも予め与えることがで
きる。時刻ｔにまだ状態ｉに残存している確率は１−Ｆ
_ｉｊ（ｔ）である。ｉ→ｊへの推移がｔ＝０からｔ＝ｔ
までに起こる確率Ｑ_ｉｊ（ｔ）は、推移確率Ｐ_ｉｊと持
続時間τ_ｉｊの分布関数の積で与えられるので、

【０１１６】Ｑ_ｉｊ（ｔ）＝Ｐ_ｉｊＦ_ｉｊ（ｔ）ｔ≧０＝０ｔ＜０（８）

【０１１７】で定義される。ｔが負の時これが０なのは
因果律から明らかである。それはＦ_ｉｊ（ｔ）に含ませ
ることもできる。

【０１１８】ここで扱うセミ・マルコフ過程は、状態数
（ｍ）が有限で、再帰的正状態だけからなり既約である
とする。これはややわかりにくい条件であるが、どの状
態から出発しても全ての状態に到達でき、かつ有限の時
間以内に戻るということである。状態ｉからｍ個のどれ
かの状態ｊにτ_ｉｊ時間後に推移するのだから、状態ｉ
の持続時間τ_ｉは、ｉ→ｊの持続時間τ_ｉｊのＰ_ｉｊを
重みにした平均値になる。

【０１１９】

【数２１】

【０１２０】τ_ｉｊは確率変数なので、τ_ｉ自体も確率
変数である。状態ｉの持続時間τ_ｉの分布関数をＨ
_ｉ（ｔ）とする。τ_ｉｊをｊについて重み付き平均した
ものがτ _ｉであり、τ_ｉｊの分布関数がＦ_ｉｊ（ｔ）な
のであるから、τ_ｉの分布関数Ｈ _ｉ（ｔ）はＦ
_ｉｊ（ｔ）の平均である。

【０１２１】

【数２２】

【０１２２】Ｈ_ｉ（ｔ）は状態ｉの持続時間分布関数で
あるが、これも時刻ｔ以内に状態ｉからの推移が起こる
確率である。状態ｉにいる確率は（１−Ｈ_ｉ（ｔ））で
ある。状態ｉの平均持続時間をη_ｉとする。これは平均
値であって確率変数でない。先に述べた状態持続時間τ
_ｉの平均値がη_ｉである。η_ｉは、

【０１２３】

【数２３】

【０１２４】と書くことができる。ｔを関数Ｈ_ｉ（ｔ）
で積分するのである。このような表記をするのはＨ_ｉが
ｔに関して不連続な関数だからである。時刻ｔにおいて
状態ｉからの推移が起こる確率がｄＨ_ｉ（ｔ）であるか
ら、状態ｉの持続時間の平均がこの式で与えられるとい
うのは理解しやすい。

【０１２５】時刻ｔでの状態を表す確率変数をｚ_ｔとす
る。ｚ_ｔは状態を表すｊ＝１…ｍの何れかである。セミ
・マルコフ過程の推移確率Ｐ_ｉｊ（ｔ）というのは、初
め状態ｉにあったものが時間ｔの後に状態ｊにある確率
である。これは次の式

【０１２６】Ｐ_ｉｊ（ｔ）＝Ｐ｛ｚ_ｔ＝ｊ｜ｚ_０＝ｉ｝ｔ≧０＝０ｔ＜０（１２）

【０１２７】によって与えられる。｛…｝の中の条件は
ｔ＝０で状態ｉに、ｔ＝ｔで状態ｊにあるという二重の
条件の積を与える。ｔ＝０というのは過程が始まった時
点か、或いは状態ｉへの推移が起こった時点を示す。こ
れは時刻ｔまでに推移が行われた回数を示すＮ（ｔ）を
含む推移確率、

【０１２８】Ｐ_ｉｊ（ｔ；ｎ）＝Ｐ｛ｚ_ｔ＝ｊ、Ｎ
（ｔ）＝ｎ｜ｚ_０＝ｉ｝ｔ≧０、ｎ≧０

【０１２９】を用いると、これのｎが０から無限大まで
の総和になる。

【０１３０】

【数２４】

【０１３１】となるのであるが、ｎ＝０のときは推移が
起こらないから、

【０１３２】Ｐ_ｉｊ（ｔ；０）＝δ_ｉｊ［１−Ｈ_ｉ（ｔ）］

【０１３３】である。Ｈ_ｉ（ｔ）というのは状態ｉにな
ってから時間ｔ以内に状態ｉでなくなっている確率であ
るから、ｔにおいて状態ｉに残存している確率は［１−
Ｈ_ｉ（ｔ）］である。ｎ回の推移によって状態ｊに移る
確率は、時刻ｔに状態ｋに推移し残りの時間で状態ｋか
らｎ−１回推移したのち状態ｊに推移する確率に等しい
から、たたみこみ演算を用いて以下のようになる。

【０１３４】

【数２５】

【０１３５】であるから、ｎ＝１の場合

【０１３６】Ｐ_ｉｊ（ｔ；１）＝Ｑ_ｉｊ（ｔ）＊［１−
Ｈ_ｊ（ｔ）］

【０１３７】となる。ｎ＝２の場合

【０１３８】

【数２６】

【０１３９】となる。一般にｎの場合は

【０１４０】Ｐ_ｉｊ（ｔ；ｎ）＝ΣΣ…ΣＱ_ｉｄ（ｔ）
＊Ｑ_ｄｖ（ｔ）＊…＊Ｑ_ｋｊ（ｔ）＊［１−Ｈ
_ｊ（ｔ）］

【０１４１】となる。つまり、行列で書くと

【０１４２】Ｐ（ｔ；ｎ）＝Ｑ^ｎ＊＊［１−Ｈ（ｔ）］Ｐ（ｔ）＝Σ_ｎＱ^ｎ＊＊［１−Ｈ（ｔ）］

【０１４３】となる。だから、推移確率Ｐ_ｉｊ（ｔ）を
（ｉ，ｊ）成分とする行列Ｐは行列Ｑを用いて次のよう
に表す事ができる。

【０１４４】

【数２７】

【０１４５】ここではＨは状態ｉの持続時間分布関数Ｈ
_ｉ（ｔ）を対角成分とし非対角成分は０である行列であ
る。

【０１４６】Ｈ＝｛δ_ｉｊＨ_ｉ（ｔ）｝（１４）

【０１４７】と書く事ができる。Ｉは単位ステップ関数
Ｕ_０（ｔ）を対角成分とし非対角成分は０とする行列で
ある。

【０１４８】Ｉ＝｛δ_ｉｊＵ_０（ｔ）｝（１５）

【０１４９】ステップ関数というのは、ｔ＜０でＵ
_０（ｔ）＝０、ｔ≧０でＵ_０＝１となる関数である。添
え字の０は時刻ｔ＝０に階段があるということである。
＊はたたみ込み演算を意味する。これは次にような積分
によって定義される演算である。Ｆ（ｔ）、Ｇ（ｔ）を
分布関数として、これら関数のたたみ込み演算は、Ｆ＊
Ｇ（ｔ）と書き、

【０１５０】

【数２８】

【０１５１】によって定義される。ただし、Ｑ^０＝Ｉ（１７）と決める。

【０１５２】電力密度スペクトルを求めるために必要な
自己相関関数を求めるためには、ランダムな観測時点に
おいて、状態ｉ（１≦ｉ≦ｍ）を見い出す確率ａ~
_ｉと、その時点から最初の推移がおこるまでの条件付き
確率分布Ｑ~_ｉｊ（ｔ）（１≦ｉ，ｊ≦ｍ）を求める必
要がある。〜記号は本来なら文字の上に付くが、付けら
れないので文字の右上に表記する。

【０１５３】ここで対象にするセミ・マルコフ過程にお
いては、ａ~_ｉ、Ｑ~_ｉｊ（ｔ）はそれぞれ初期状態とラ
ンダムな観測時点に無関係な一定の値、一定の関数とな
る。

【０１５４】従って、過程が初期確率分布ベクトルとし
てａ~、初期条件付き確率分布関数行列としてＱ~をも
ち、それ以降は、先に述べた条件付き確率分布関数行列
Ｑに従ってその推移と状態持続時間が規定されるとき、
この過程は広い意味で定常的となる。ベクトルａ~の第
ｉ成分ａ~_ｉは式（１３）でｔ→∞としたときの極限値
から

【０１５５】

【数２９】

【０１５６】によって求められる。ｊの積算は１からｍ
である。ｇ＝（ｇ_１，ｇ_２，…，ｇ_ｍ）は埋蔵マルコフ
連鎖の定常確率ベクトルである。これはマルコフ連鎖の
推移確率行列、

【０１５７】Ｐ_ｃ＝｛Ｐ_ｉｊ｝（１≦ｉ，ｊ≦ｍ）（１９）

【０１５８】を用いて次の関係から計算することができ
る。

【０１５９】

【数３０】

【０１６０】式（２０）は、確率分布ベクトルがｇであ
るときはＰ_ｃによって推移させても元の分布ｇに戻ると
いう条件であり定常を表す条件である。これが成り立て
ばＰ _ｃを何度作用させても常にｇとなる。式（２０）の
下の式は確率の総和が１であるという正規化条件であ
る。マルコフ連鎖はある一定時間ごとに推移がおこり、
セミ・マルコフ過程は確率変数としての持続時間の後で
推移がおこる。ために定常セミ・マルコフ過程の定常確
率ベクトルａ~は、マルコフ連鎖での定常確率分布ベク
トルｇの要素に持続時間η_ｊをかけたものに比例する。
それが式（１８）である。セミ・マルコフ過程で持続時
間の分布関数を状態によらず一定の関数とした場合η_ｊ
が一定値になるから、式（１８）から、セミ・マルコフ
過程の定常確率分布ベクトルａ~はマルコフ連鎖の定常
確率分布ベクトルに等しくなる。ａ~＝ｇである。

【０１６１】状態持続時間τ_ｉｊが正の定数λ（時間単
位）の整数倍の値だけをとるとき、状態持続時間の分布
関数Ｆ_ｉｊ（ｔ）は算術的という。λ、２λ…の各時点
での値を積算すればよいのでこの名前がある。

【０１６２】行列Ｑ~の（ｉ，ｊ）成分Ｑ~_ｉｊ（ｔ）
は、状態持続時間の分布関数が算術的であるときは、

【０１６３】

【数３１】

【０１６４】但しＫ＝［ｔ／λ］−１である。［…］
は…を越えない最大の整数を示す記号である。状態持続
時間の分布関数が算術的でないとき、行列Ｑ~の（ｉ，
ｊ）成分Ｑ~_ｉ _ｊ（ｔ）は、

【０１６５】

【数３２】

【０１６６】によって与えられる。

【０１６７】次にセミ・マルコフ振幅過程の自己相関関
数を導出する。セミ・マルコフ振幅過程というのは、セ
ミ・マルコフ過程の各状態が、過程がその状態にある
間、一定の振幅値を出力するときに得られる過程であ
る。つまり状態ｉと振幅値Ｘ_ｉを対応させて過程の変化
を振幅の変化としてとらえるものである。過程の変化そ
のものは数量化しにくいが振幅変化とすると計算の対象
として扱いやすいものになる。セミ・マルコフ振幅過程
の一波形例を図２に示す。図２に示すように、状態ｉ
（ｉ＝１〜ｍ）の出力振幅値をＸ_ｉとする。この過程の
自己相関関数Ｒ_Ａ（τ）は次のように定義される。

【０１６８】

【数３３】

【０１６９】ここでｐ（ｉ，ｊ；τ）は、時刻ｔにセミ
・マルコフ過程が状態ｉを、時刻ｔ＋τに状態ｊを占め
ている結合確率である。同じセミ・マルコフ過程がτ時
間をへて状態ｉから状態ｊに推移するから、振幅値の積
に結合確率を掛けて全ての始状態と終状態について足し
合わせるから自己相関というのである。振幅値Ｘ_ｉはわ
かっているからｐ（ｉ，ｊ；τ）がわかればこれを計算
することができる。

【０１７０】今、時刻ｔで、セミ・マルコフ過程が状態
ｉを占める確率をｐ（ｉ）とし、時刻ｔで状態ｉにあっ
て時刻ｔ＋τで状態ｊを占める条件付き確率をｐ（ｊ；
ｔ＝ｔ＋τ｜ｉ；ｔ＝ｔ）によって表現する。Ｒ
_Ａ（τ）は

【０１７１】

【数３４】

【０１７２】というように表現することができる。ｐ
（ｉ）は条件が付いていない状態ｉの確率であるからセ
ミ・マルコフ過程の定常確率に等しい。

【０１７３】

【数３５】

【０１７４】ｐ（ｊ；ｔ＝ｔ＋τ｜ｉ；ｔ＝ｔ）は式
（１２）と違って、ランダムな観測時点ｔに状態ｉにあ
り、τ時間後に状態ｊに推移している確率である。これ
はｉ→ｒ→ｊという推移を考えｒについて和を取ったも
のである。つまり状態ｉが時刻ｔからｓ時間持続して、
他の状態ｒに移り、それからさらにτ−ｓ時間後に状態
ｊになっている確率を時間ｓについて積分し、中間状態
ｒについて積算することによって得られる。

【０１７５】

【数３６】

【０１７６】ここでδ_ｉｊはクロネッカのδでｉ＝ｊの
時に１、それ以外で０である。Ｑ~ _ｉｒ（ｓ）は状態ｉ
が時刻ｔからｓ時間以内持続して、次に状態ｒに移る確
率である。これは先に述べた定常セミ・マルコフ過程の
初期条件付き確率分布関数に等しく、式（２１）、（２
２）によって与えられる。＊はコンボリューションを意
味する。Ｐ_ｒｊ（τ）＊Ｑ_ｉｒ（τ）＝∫Ｐ_ｒｊ（τ−
ｓ）ｄＱ_ｉｒ（ｓ）である。左辺は１度状態ｒへ移って
いるものによる確率を表す。

【０１７７】しかし、状態が変わらない場合がある。始
状態ｉと終状態ｊが同じ場合（δ_ｉ _ｊ＝１）は、一度も
変化しないで時間τの経過とともに状態ｉが持続する確
率が減少してゆくだけである。Ｈ~_ｉ（ｔ）は状態ｉの
持続時間の分布関数というがｔで状態ｉにいない確率で
ある。ｔ＝０で０であって以後単調に増加し、ｔ→∞で
１に収束するような関数である。始状態と終状態が等し
くて一度も中間推移しない場合、τ時間後において始状
態が持続する確率は１−Ｈ~_ｉ（τ）である。そのため
に式（２６）の第２項にδ_ｉｊ［１−Ｈ~_ｉ（τ）］が
付く。

【０１７８】持続時間分布関数Ｈ~ｉ（τ）はτ時間以
内にｉから他の状態に移ってしまった確率であり、Ｑ~
_ｉｒ（τ）はτ時間以内に状態ｒに推移している確率で
あるから、全ての状態ｒについて相加えるとＨ~
_ｉ（τ）になる。

【０１７９】

【数３７】

【０１８０】これらの結果から、セミ・マルコフ振幅過
程の自己相関関数Ｒ_Ａ（τ）は、

【０１８１】

【数３８】

【０１８２】というように表現される。これは成分につ
いて書かれているが、行列によって包括的に表現するこ
とができる。そのために次の行列とベクトルを定義す
る。

【０１８３】Ｘ＝（ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，…，ｘ_ｍ）ｍ次の出力振幅ベクトルＳ~＝｛ａ~_ｉδ_ｉｊ｝定常確率行列Ｈ~＝｛δ_ｉｊＨ~_ｉ（ｔ）｝持続時間分布関数行列Ｉ＝｛δ_ｉｊＵ_０（τ）｝ステップ関数を対角項とする行列

【０１８４】とする、Ｐ（τ）は既に定義されている推
移確率行列、Ｑ（τ）は条件付き確率分布関数行列であ
る。これらは非対角項が０でない行列である。しかし定
常確率行列Ｓ~，持続時間分布関数行列Ｈ~（ｔ）、ステ
ップ単位行列Ｉ（ｔ）は非対角項が０である。

【０１８５】

【数３９】

【０１８６】ここで^ｔＸはＸの転値行列を表すがＸは横
ベクトルであるから、これは縦ベクトルを意味する。Ｐ
をＱのたたみこみ積の和によって表現するのは式（１
３）による。こうして自己相関関数の表現を得た。Ｅは
単位行列である。この表現は後に現れる。

【０１８７】ここで対象にするセミ・マルコフ系列と
は、持続時間の分布関数が算術的（λ）であるセミ・マ
ルコフ振幅過程を周期λでサンプリングした標本値ｒ_ｎ
（ｎ；整数）の系列である。系列値は確率変数ｘ_ｉの列
である。ランダムな数値の列にすぎない。しかし全く無
規則なのではなくてスペクトルには特徴的なものが現れ
る。本発明は１／ｆゆらぎを持つ信号を発生させること
が目的であるから、スペクトルが１／ｆ特性をもつよう
なセミ・マルコフ系列を発生させることが課題になる。

【０１８８】セミ・マルコフ系列を発生させることは簡
単であるが、それが１／ｆゆらぎ特性をもつものでなけ
ればならない。それは推移確率行列｛Ｐ_ｉｊ｝と、持続
時間分布関数Ｆ_ｉｊ（ｔ）を適当なものに決定するとい
うことである。

【０１８９】振幅過程のスペクトルを求めるために、自
己相関関数を用いる。そのために、これまで自己相関関
数について述べてきた。

【０１９０】この標本値系列の自己相関関数Ｒ_ｓ（ｎ）
は、固定したｋに対して

【０１９１】Ｒ_ｓ（ｎ）＝Ａ_ｖ（ｒ_ｋ・ｒ_ｋ＋ｎ）（３０）

【０１９２】によって定義される。ここでｎは整数であ
り、ｋ回目のサンプリング値がｒ_ｋ、ｋ＋ｎ回目のサン
プリング値がｒ_ｋ＋ｎである。Ａ_ｖは集合平均をとると
いうことを意味する。これは実際に系列をいくつも発生
させて系列の集合について平均を取るということであ
る。ｋを変えて一つの系列につい時間平均を取るという
のとは違う。ｋは固定してあるといっても系列発生を何
度も繰り返すことによって、集合平均を求めることがで
きる。有限の集合を発生させて、その集合平均を取る場
合、上記の集合平均は一定値にはならない。これ自身が
確率的に変動する。無限数の集合について平均を取るこ
とができれば上の値は一定値に収束するであろう。その
ような理想的な極限においては、先に述べた式（２９）
のセミ・マルコフ振幅過程の自己相関関数Ｒ_Ａ（ｎλ）
と

【０１９３】Ｒ_ｓ（ｎ）＝Ｒ_Ａ（ｎλ）（３１）

【０１９４】いう関係にある。サンプリングの周期がλ
であり、ｎ周期相違する時刻間での系列値の積の集合平
均を取るというのがＲ_ｓ（ｎ）であり、τ＝ｎλだけ相
違する時刻間での自己相関関数がＲ_Ａ（ｎλ）であるか
ら、これらは等しい筈である。しかし等しいといって
も、左辺は実際の系列の集合平均であり確率的なもので
あり、右辺は推移確率行列Ｐから求めたものであるから
理想的な極限である。だから左辺の無限集合での平均の
極限が右辺に等しいと言うべきである。等しいといって
もレベルが違う。Ｒ_Ａ（τ）からＲ_ｓ（ｎ）を求めるに
はτの全てについて計算する必要はなくて、τ＝ｎλの
値についてだけ計算すればよい。

【０１９５】次に、式（３０）によって定義されるセミ
・マルコフ系列の自己相関関数Ｒ_ｓ（ｎ）と、式（２
９）で与えられるセミ・マルコフ振幅過程の自己相関関
数Ｒ_Ａ（τ）のフーリエ・スチェルチェス変換ＦＳ［Ｒ
_Ａ（τ）］との関係を求めよう。

【０１９６】その次に、この関係とＢｅｎｎｅｔｔの導
いた確率信号系列の電力スペクトルを与える一般式を用
いてセミ・マルコフ系列の電力スペクトルを与える一般
式を導出しよう。

【０１９７】セミ・マルコフ系列｛ｒ_ｎ｝（ｎ；整数）
の自己相関関数は式（３０）によって定義される。状態
持続時間の分布関数が算術的（λ）であるセミ・マルコ
フ振幅過程の自己相関関数Ｒ_Ａ（τ）のフーリエ・スチ
ェルチェス変換ＦＳ［Ｒ_Ａ（τ）］は、このＲ_ｓ（ｎ）
を用いて次のように表現する事ができる。

【０１９８】

【数４０】

【０１９９】但しｚ＝ｅｘｐ（−ｊωλ）である。これ
は定義式であって計算を一歩も進めたものではない。τ
が負でＲ_Ａ（τ）＝０としているから、ｎの積算は１か
ら＋∞までとなる。関数Ｒ_Ａ（τ）は時点ｎλでｄＲ_Ａ
（ｎλ）＝Ｒ_Ａ（ｎλ）−Ｒ _Ａ（（ｎ−１）λ）＝Ｒ_ｓ
（ｎ）−Ｒ_ｓ（ｎ−１）だけ変化するので、この関数の
フーリエ・スチェルチェス変換は上式のようになる。Ｆ
Ｓ［Ｒ_Ａ（τ）］の変数はτでなくて、ωである。

【０２００】上の式をより単純に表記するためにＺ［Ｒ
_ｓ］という関数を定義する。

【０２０１】

【数４１】

【０２０２】式（３２）はこの式によって前２項を表現
できる。３項目はこれにｚを掛けたものである。

【０２０３】ＦＳ［Ｒ_Ａ（τ）］＝Ｚ［Ｒ_ｓ］−ｚＺ［Ｒ_ｓ］（３４）

【０２０４】となり、これから

【０２０５】

【数４２】

【０２０６】ということになる。この関数の変数はτで
なくてωである。

【０２０７】Ｂｅｎｎｅｔｔは信号系列の変動成分に対
する電力密度スペクトルを与える式を次のように与え
た。

【０２０８】

【数４３】

【０２０９】Ｒ（ｋ）のｋはλを単位とする離散時間
（ｔ＝ｋλ）である。Ｒ（∞）の無限大というのは時間
が無限大という意味である。Ｒ（０）というのは時間が
０での相関関数ということである。これまでは系列をδ
関数の系列として扱ってきたが、実際のパルス列には有
限の幅がある。幅を考慮したパルス形状をスペクトルに
含めるためにＧ（ｆ）という項が含まれる。これは単一
のパルスのフーリエ変換である。

【０２１０】しかし本発明の場合はパルス幅を考える必
要はなくて、ランダムの振幅系列を取り扱うからδ関数
型のパルスを想定すればよい。δ型であればそのフーリ
エ変換は１であるからＧ（ｆ）は１であって考慮する必
要がない。問題はそれより後ろの項である。後ろの項に
はｋに関して１〜無限大までの離散時間（周期λ）に関
する積算があるが、これは式（３３）の積算の実数部で
ある。ｅｘｐ（−ｊｋωλ）の実数はｃｏｓ２πｆｋλ
だからである。積算部分をＺ［Ｒ_Ｓ］によって置き換え
ることができて、

【０２１１】

【数４４】

【０２１２】ここでＲｅというのは実数部をとるという
演算子である。Ｒ_Ａ（０）はｔ＝０での、Ｒ_Ａ（∞）は
ｔ＝∞での自己相関関数Ｒ_Ａ（τ）の値を意味する。Ｆ
Ｓ［Ｒ_Ａ（τ）−Ｒ_Ａ（∞）］というのは、Ｒ_Ａ（τ）
−Ｒ_Ａ（∞）の全体のフーリエ・スチェルチェス変換を
とるということである。それはωの関数であって最早τ
の関数ではない。電力密度スペクトルｐ_ｓ（ｆ）は、Ｆ
Ｓ［Ｒ_Ａ（τ）−Ｒ_Ａ（∞）］を計算することによって
求められるということになる。

【０２１３】Ｒ_Ａ（τ）は、式（２９）によって与えら
れている。式（２９）の行列やベクトルにおいて時間を
含むものはＩ、Ｈ~、Ｈ、Ｑ、Ｑ~である。Ｓ~，Ｘは時
間を含まない。Ｒ_Ａ（τ）のフーリエ・スチェルチェス
変換はこれらの行列成分をフーリエ・スチェルチェス変
換することによって得られる。Ｒ_Ａ（τ）からＲ
_Ａ（∞）だけ差し引いてからフーリエ・スチェルチェス
変換をとるので、式（２９）の項の中に、定常確率分布
を引くという項が新たに現れる。Ｈ、Ｑのフーリエ・ス
チェルチェス変換した行列をｈ、ｑとする。ステップＩ
のフーリエ・スチェルチェス変換は単位行列Ｅである。
これらから

【０２１４】ＦＳ［Ｒ_Ａ（τ）−Ｒ_Ａ（∞）］＝ＸＳ~｛ｑ~（Ｅ−ｑ）^−１（Ｅ−ｈ）＋Ｅ−ｈ~−Ａ~｝^ｔＸ（３８）

【０２１５】によって計算することができる。Ｘ＝（ｘ
_１，ｘ_２，…，ｘ_ｍ）は出力振幅ベクトル、Ｓ~＝｛ａ
_ｉ~δ_ｉｊ｝は定常確率行列、ｈ＝｛δ_ｉｊＨ_ｉ｝は持
続時間分布関数行列、Ａ~は各行が定常確率分布ベクト
ルａ~に等しい行列であり、−Ｒ_Ａ（∞）を反映したも
のである。

【０２１６】

【発明の実施の形態】条件付き確率
分布関数行列Ｑと出力振幅ベクトルＸの求め方は以下に
述べる通りである。状態の数をｍとする。状態ｉから状
態ｊへの推移の確率を示す条件付き確率分布関数Ｐ_ｉｊ
Ｆ_ｉｊ（ｔ）を（ｉ，ｊ）成分とする行列をＱと書く。

【０２１７】Ｑ＝（Ｐ_ｉｊＦ_ｉｊ（ｔ））（３９）

【０２１８】状態ｉの出力振幅値をｘ_ｉとする。これを
ｉ成分とするベクトルを出力振幅ベクトルＸという。

【０２１９】Ｘ＝（ｘ_１，ｘ_２，…，ｘ_ｍ）（４０）

【０２２０】ベクトルＸは線形性を持つものとする。つ
まり状態ｉの出力振幅値Ｘ_ｉは

【０２２１】Ｘ_ｉ＝ｂｉ＋ｃ（ｉ＝１，２，…，ｍ）（４１）

【０２２２】ここでｂ、ｃは任意の実数定数である。

【０２２３】出力振幅値の定義と、ゆらぎ動作の対称性
により推移確率Ｐ_ｉｊに次の条件を課する。

【０２２４】Ｐ_ｉｊ＝Ｐ_{ｍ＋１−ｉｍ＋１−ｊ} （ｉ、ｊ＝１，２，…，ｍ）（４２）

【０２２５】これは、中心の状態（ｋ＝（ｍ＋１）／２
番目）から見て対称の位置にある状態間の推移確率は同
一であるとするものであり、推移の対称性を表現するも
のである。これは行列Ｐ自体が対称行列だということで
はない。

【０２２６】両端の状態は１番とｍ番であるが、これは
それ以下の状態、あるいはそれ以上の状態がないので少
し特別である。それ以外の中間の状態（ｉ＝２、３、
…、ｍ−１）は次のようにして求めることができる。

【０２２７】基本となる確率密度関数Ｗ（ｘ）を次のよ
うに決める。これはｘの正負に関し対称性（Ｗ（ｘ）＝
Ｗ（−ｘ））があって計算が容易であるという条件と正
規化条件（∫Ｗ（ｘ）ｄｘ＝１）から決めたものであり
唯一のものでない。この他の形に決める事はもちろんで
きる。

【０２２８】Ｗ（ｘ）＝（μ／２）ｅｘｐ（−μ｜ｘ｜）（４３）

【０２２９】これを両側対称指数分布とよぶ。μは適当
な正定数である。ｘは正負実数値をとる確率変数であ
る。μの逆数の１／μが分布の広がりを表す。だからμ
は分布の鋭さを表現するパラメータと考えて良い。ｘの
絶対値をとるから正負対称分布である。

【０２３０】図３は両側対称指数分布関数を示すグラフ
である。ｄを基本の単位としてｘ軸上にｄの整数倍の点
をとる。これは離散化するためである。点は０、±ｄ、
±２ｄ、…というように正負の無限大まで存在する。ｎ
番目の点はｘ＝ｎｄであるが、その点を中心とする長さ
ｄの範囲（ｎｄ−０．５ｄ≦ｘ≦ｎｄ＋０．５ｄ）にあ
る事象が生起する確率をＷ_ｎとする。正規化条件から当
然にΣ_ｎＷ_ｎ＝１（Ｗ _ｎのｎについて積算）である。

【０２３１】

【数４５】

【０２３２】

【数４６】

【０２３３】

【数４７】

【０２３４】であるが、正の整数ｎに対してはＷ_ｎは、

【０２３５】Ｗ_ｎ＝（１／２）ｅｘｐ｛−μｄ（ｎ−（１／２））｝｛１−ｅｘｐ（−μｄ）｝＝ｅｘｐ（−ｎμｄ）ｓｉｎｈ（μｄ／２）（４７）

【０２３６】である。対称性から、

【０２３７】Ｗ_−ｎ＝Ｗ_ｎ（４８）

【０２３８】である。これによって負整数ｎに対しても
一般式Ｗ_ｎを得ることができる。

【０２３９】

【数４８】

【０２４０】であることは直接の計算によって確かめら
れる。推移確率行列は有限の状態ｍ間の推移確率を有す
るだけで無限大の数の成分を持つことができない。そこ
で両端についてはそれを越える確率全部を足したものを
確率とする必要がある。そこでｎ以上の総和を与える関
数を与えておこう。確率変数ｘがｎｄ−ｄ／２より大き
い領域で生起する確率をＵ_ｎとする。

【０２４１】

【数４９】

【０２４２】これはＷ（ｘ）について、ｎｄ−ｄ／２か
ら無限大まで積分することによって得られる。

【０２４３】

【数５０】

【０２４４】である。Ｕ_ｎはｎが正負にわたって定義で
きるが実際に使うのはｎが正の場合だけである。ｎが−
１以下の負整数場合（ｎ≦−１）は、ｎｄ＋ｄ／２以下
の領域でその事象が生起する確率をＶ_ｎとする。

【０２４５】

【数５１】

【０２４６】Ｗ（ｘ）の対称性からＶ_ｎ＝Ｕ_−ｎ（ｎは
負整数）である。

【０２４７】

【数５２】

【０２４８】である。Ｖ_ｎはｎが正整数の場合でも定義
できるが実際に使うのはｎが負の場合だけである。確率
の総和Σ_ｎＷ_ｎは１であるが、これだと無限個の足し算
をしなければならない。Ｕ_ｎやＶ_ｎを用いると、任意の
整数ｓ、ｔに対して、

【０２４９】Ｖ_ｓ＋Ｗ_ｓ＋１＋…＋Ｗ_−１＋Ｗ_０＋Ｗ_１＋…＋Ｗ_ｔ−１＋Ｕ_ｔ＝１（５４）

【０２５０】というように有限数（ｔ−ｓ＋１）の項の
和で１になる。サフィックスで見ると、両端をＶとＵと
して連続する整数のサフィックスについてその和が必ず
１になる。これをサムルールというが、それはどのよう
に確率密度を選ぶときにも用いる重要な性質である。Ｗ
_−ｓ＝Ｗ_ｓ、Ｖ_−ｓ＝Ｕ_ｓであるから、ｍ個の連続する
サフィックスに対して必ず、

【０２５１】Ｕ_ｓ＋Ｗ_ｓ−１＋…＋Ｗ_１＋Ｗ_０＋Ｗ_１＋…＋Ｗ_{ｍ−ｓ−２}＋Ｕ_{ｍ−ｓ−１} ＝１（５５）

【０２５２】という関係がある。Ｗ_０が端にくるとき
（ｓ＝０、ｍ）は中間の項で等しい物はないが、Ｗ_０が
中間にあるときは同じものが２度加えられることがあ
る。ｍが奇数であって、Ｗ_０が丁度半分の位置にあると
きは、

【０２５３】Ｗ_０＋２Ｗ_１＋…＋２Ｗ_ｍ−２＋２Ｕ_ｍ−１＝１（５６）

【０２５４】となる。

【０２５５】表記を簡単化するために、ａというパラメ
ータを導入する。

【０２５６】ａ＝ｅｘｐ（−μｄ／２）（５７）

【０２５７】とおく。ｓｉｎｈ（μｄ／２）＝（ａ^−１
−ａ）／２である。先に求めたＷ_ｋは、

【０２５８】Ｗ_０＝１−ａ（５８）Ｗ_１＝ａ（１−ａ^２）／２（５９）Ｗ_２＝ａ^３（１−ａ^２）／２（６０）

【０２５９】というように表現できる。ｎ≧１の一般項
は、

【０２６０】Ｗ_ｎ＝ａ^２ｎ−１（１−ａ^２）／２（６１）

【０２６１】というように書ける。Ｗ_ｎ＝Ｗ_−ｎである
から、ｎ≦−１の負整数のｎに対しては

【０２６２】Ｗ_ｎ＝ａ^{−２ｎ−１}（１−ａ^２）／２（６２）

【０２６３】正整数ｎに対して、ｎｄ−ｄ／２以上で事
象が生起する確率Ｕ_ｎは

【０２６４】Ｕ_ｎ＝ａ^２ｎ−１／２（ｎ≧１）（６３）

【０２６５】負整数ｎに対して、ｎｄ＋ｄ／２以下で事
象が生起する確率Ｖ_ｎは

【０２６６】Ｖ_ｎ＝ａ^{−２ｎ−１}／２（ｎ≦−１）（６４）

【０２６７】以上は推移確率行列の行列成分に関する準
備である。推移確率行列、

【０２６８】Ｐ＝｛Ｐ_ｉｊ｝（１≦ｉ，ｊ≦ｍ）（６５）

【０２６９】の１行目、ｍ行目以外のｎ行目成分

【０２７０】（Ｐ_ｎ１，Ｐ_ｎ２，…，Ｐ_ｎｍ）（２≦ｎ≦ｍ−１）（６６）

【０２７１】を次のように決める。対角成分Ｐ_ｎｎは

【０２７２】Ｐ_ｎｎ＝Ｗ_０＝１−ａ（６７）

【０２７３】というように決める。対角成分から一つ離
れた成分（ｎ，ｎ−１）成分と（ｎ，ｎ＋１）成分は

【０２７４】Ｐ_ｎｎ−１＝Ｐ_ｎｎ＋１＝Ｗ_１＝ａ（１−ａ^２）／２（６８）

【０２７５】と決める。対角成分から二つ離れた成分は

【０２７６】Ｐ_ｎｎ−２＝Ｐ_ｎｎ＋２＝Ｗ_２＝ａ^３（１−ａ^２）／２（６９）

【０２７７】とする。一般に対角成分からｓだけ離れた
成分は

【０２７８】Ｐ_ｎｎ−ｓ＝Ｐ_ｎｎ＋ｓ＝Ｗ_ｓ＝ａ^２ｓ−１（１−ａ^２）／２（７０）

【０２７９】とする。このように行列Ｐの成分を決める
のは、先ほどの両側対称指数分布関数を推移確率として
採用するということである。両端の成分Ｐ_ｎ１とＰ_ｎｍ
についてはそのような決め方はできない。なぜならｎ行
の成分自体にサムルール

【０２８０】Σ_ｊＰ_ｎｊ＝１（７１）

【０２８１】があり、分布関数Ｗ_ｎ自体にもサムルール

【０２８２】Σ_ｎＷ_ｎ＝１（７２）

【０２８３】があり、ｎについてマイナス無限大からプ
ラス無限大までを相加えて初めて１になる。ｎ行目の行
列成分はｍ個しかないのにΣ_ｊＰ_ｎｊ＝１（ｊについて
Ｐ_ｎｊを積算）という和を与える必要がある。

【０２８４】そこで始端のＰ_ｎ１は、上の決め方の場合
のマイナス無限大から１までの項の全部の和ΣＰ
_ｎｎ−ｓ（ｓはｎ−１、ｎ、…、プラス無限大）に等し
くする。ということは始端のＰ_ｎ１はＶ_１−ｎとすると
いうことである。

【０２８５】Ｐ_ｎ１＝Ｖ_１−ｎ＝ａ^２ｎ−３／２（７３）

【０２８６】同様に終端のＰ_ｎｍは、上の決め方の場合
のｍからプラス無限大の項の全部の和Σ_ｓＰ
_ｎｎ−ｓ（ｓはｎ−ｍ、ｎ−ｍ−１、…、マイナス無限
大）に等しくする。そうして初めてΣＰ_ｎｊ＝１となる
のである。ということは終端のＰ_ｎｍはＵ_ｍ−ｎとする
ということである。

【０２８７】Ｐ_ｎｍ＝Ｕ_ｍ−ｎ＝ａ^{２ｍ−２ｎ−1}／２（７４）

【０２８８】ｎ行目のｍ個の成分の和は直接の計算によ
って、

【０２８９】Ｐ_ｎ１＋Ｐ_ｎ２＋Ｐ_ｎ３＋…＋Ｐ_ｎｎ＋…＋Ｐ_ｎｍ−１＋Ｐ_ｎｍ＝ａ^２ｎ− ^３／２＋ａ^２ｎ−５（１−ａ^２）／２＋ａ^２ｎ−７（１−ａ^２）／２＋…１−ａ＋…＋ａ^{２ｍ−２ｎ−３}（１−ａ^２）／２＋ａ^{２ｍ−２ｎ−1}／２＝１（７５）

【０２９０】つまり正規化条件（サムルール）が成り立
っていることが確かめられる。このようにして中間のｎ
行（２≦ｎ≦ｍ−１）の成分が決められた。ところで、

【０２９１】ａ＝ｅｘｐ（−μｄ／２）（７６）

【０２９２】であり、μはピークの鋭さを示す正定数、
ｄは間隔を与える正の定数である。だからａは

【０２９３】０＜ａ＜１（７７）

【０２９４】の定数である。パラメータａは状態推移動
作を決定する重要なパラメータである。

【０２９５】１行目とｍ行目の推移確率はいまだ決まら
ない。１行目は状態１から他の状態への推移を与える成
分である。ｍ行目は状態ｍから他の状態への推移を与え
る成分である。これらは端の状態であるから片側にしか
状態がない。両側の状態へ推移することはできない。一
方の状態にしか推移できず反射動作ということができよ
う。ｎ＝１とｎ＝ｍの状態は、推移後の状態によってそ
の後の過程が異なる。１行目、ｍ行目の推移確率の与え
方には任意性があり、その与え方によって系列に多様性
を与えることになる。ここでは６つの異なるタイプの推
移確率成分を提案する。何れもサムルールΣ_ｎＰ_１ｎ＝
１、Σ_ｎＰ_ｍｎ＝１が成り立たなければならない。１行
目もｍ行目にも同様に適用できる６つのタイプを提案す
る。括弧の中にあるのはｍ個の成分（Ｐ_１１，Ｐ_１２，
…，Ｐ_１ｍ）或いは（Ｐ_ｍ１，Ｐ _ｍ２，…，Ｐ_ｍｍ）を
逆に並べたものを示す。

【０２９６】［タイプ１；（片側指数分布型）］両側指
数分布を端で折り返し重ねる。折り重ねるので２倍にな
り、係数２がかかったものになる。

【０２９７】（Ｗ_０，２Ｗ_１，２Ｗ_２，…，２Ｗ_ｍ−２，２Ｕ_ｍ−１）（７８）

【０２９８】これは指数分布を端で折り返して重ねたも
のであり、中間行の決め方の自然な延長である。これは
１行目について書いたものである。ｍ行目成分としては
前後を反対にしたものになる。中間行は既に述べたよう
に両側分布関数のピークを対角項にして左右に延ばし端
列成分でそれを越える分を纏めたものとなる。Ｐ_ｃの一
般形は

【０２９９】

【数５３】である。

【０３００】［タイプ２；（中央同一型）］状態数ｍが
奇数のときのみ可能である。中央状態（ｋ＝（ｍ＋１）
／２）と同一の推移動作をするものである。中央状態が
存在しなければならないから、ｍが奇数であるときのみ
可能である。

【０３０１】（Ｖ_−ｋ＋１，Ｗ_−ｋ＋２，…，Ｗ_−１，Ｗ_０，Ｗ_１，…，Ｗ_ｋ−２，Ｕ_ｋ−１）（８０）＝（Ｕ_ｋ−１，Ｗ_ｋ−２，…，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，…，Ｗ_ｋ−２，Ｕ_ｋ−１）（８１）

【０３０２】これは端状態から中央部に向けて最も多く
推移するというものである。直観的にその動作を反射だ
と考えると、反射行程が中央状態ｋにピークをもつとい
った反射動作である。Ｐ_ｃの一般形は

【０３０３】

【数５４】

【０３０４】である。

【０３０５】［タイプ３；（中央類似型）］状態数ｍが
奇数のときのみ可能である。中央状態（ｋ行目）と同様
の決め方をするが、ａを異ならせたもの。ｄは一定であ
るから分布の急峻度μを変えるということである。

【０３０６】（Ｕ_ｋ−１，Ｗ_ｋ−２，…，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，…，Ｗ_ｋ−２，Ｕ_ｋ−１）（８３）

【０３０７】ａが異なるから、中央状態の成分とは異な
る。これも反射行程が中央状態にピークを持つものであ
るが、中央状態にどれほど集中するかということであ
る。ピーク高さが大きいもの、つまり集中度が大きいも
のを得ようとするとａを小さくすれば良いのである。ａ
は２行目〜ｍ−１行目において共通である。１、ｍ行目
で相違する。Ｐ_ｃの一般形は

【０３０８】

【数５５】

【０３０９】である。１行目、ｍ行目はａが違うので
Ｗ，Ｕ共に違う。ダッシュをつけて違うことを表現して
いる。

【０３１０】［タイプ４；（半減衰型）］その端から中
央（ｋ＝（ｍ＋１）／２）までは片側指数分布である
が、中央より向こうは０だとするものである。

【０３１１】（Ｗ_０，２Ｗ_１，２Ｗ_２，…，２Ｗ_ｋ−２，２Ｕ_ｋ−１，０，０，…，０）（８５）

【０３１２】これも１行目について書いたものである。
ｍ行目なら、前後を反対にしたものとなる。ちょうど中
央ｋで切るならｍは奇数でなければならない。中央が存
在しなくても良い場合はｍが偶数であってもよい。その
場合上の表記のｋは、ｋ＝ｍ／２である。Ｐ_ｃの一般形
は

【０３１３】

【数５６】

【０３１４】である。この表現はｍが偶数、奇数の両方
を表現している。

【０３１５】[タイプ５；（逆半減衰型）]中央（ｋ＝
（ｍ＋１）／２）からその端まで指数分布するものであ
る。（２Ｕ_ｋ−１，２Ｗ_ｋ−２，…，２Ｗ_１，Ｗ_０，０，０，…，０）（８７）これも中央状態が存在しなければならないからｍは奇数
である。しかし中央の近くからその端まで指数分布する
ということであれば、ｍが偶数であってもよい。その場
合上の表記でｋ＝ｍ／２と読み代えるべきである。Ｐ_ｃ
の一般形は

【０３１６】

【数５７】

【０３１７】である。この表現はｍが偶数、奇数の両方
を表現している。

【０３１８】［タイプ６；（一様分布型）］これはこれ
までに述べたものとかなり違う。１行目、ｍ行目の各成
分は等確率をもつ。状態１、状態ｍからは、どの状態へ
も等確率で推移するというものである。（１／ｍ，１／ｍ，１／ｍ，…，１／ｍ，１／ｍ）（８９）Ｐ_ｃの一般形は

【０３１９】

【数５８】

【０３２０】である。ここでは６つのタイプを例示し
た。しかし、その他にも１行目、ｍ行目の成分の与え方
は様々のものがある。ｍ行目、１行目のタイプは原理的
には無限に存在する。たとえ同じタイプであったとして
もａの値が異なると推移状態が変わってくる。これら６
つのタイプについて、パラメータをある条件によって定
めることによって、目的の１／ｆゆらぎ信号を得る事が
できる。

【０３２１】次に状態持続時間の分布を与える必要があ
る。持続時間というのはある状態から次の状態へ推移す
るまでの時間である。各状態について分布関数自体を異
ならせるということはもちろん可能である。しかし、こ
こでは各状態について状態持続時間の分布関数は同一と
する。持続時間自体は確率変数であり各状態で持続時間
は同一でないし、同じ状態でも発生時が異なると持続時
間も相違する。持続時間分布関数が同一だとしているの
である。共通の持続時間分布関数を

【０３２２】

【数５９】

【０３２３】によって与える。ここでλは時間単位であ
る。λは任意に設定することができる。時間はλを単位
としてその整数倍λ、２λ、３λ…をとる。Ｋはλを基
準としてその倍数として時間を表すもので正の整数であ
る。持続時間分布関数というのはＫλまでにある始状態
から他の状態に移り変わっている確率を示すのであるか
らＫとともに単調に増える筈である。しかもＫが＋∞で
Ｆ（Ｋλ）は１に収束すべきである。Ｋλで推移する確
率そのものが等比数列をなすというのが最も自然であ
る。そこで一時間単位ごとに推移確率（１−ｕ）の比率
で減衰するとした。つまり、ｃを定数として、時刻１で
の推移確率はｃ、時刻２での推移確率はｃ（１−
ｕ）^１、時刻３での推移確率はｃ（１−ｕ）^２とし、ｋ
時刻での推移確率はｃ（１−ｕ）^ｋ−１に比例すると仮
定する。

【０３２４】時刻Ｋでの推移確率は、１≦ｋ≦Ｋの全て
のｋでの推移確率の和ｃ｛１＋（１−ｕ）＋（１−ｕ）
^２＋…＋（１−ｕ）^ｋ−１｝である。Σ_ｋｃ（１−ｕ）
^ｋ− ^１と書ける。定数ｃはＫ→∞で、Ｆ（Ｋλ）→１と
いう条件からｃ＝ｕである。だから式（９１）のような
形（Σ_ｋｕ（１−ｕ）^ｋ−１）になるのである。状態持
続時間はｕをパラメータとしておりｕを決めるだけで関
数形を一義的に決定することができる。以上述べた方法
によって、条件付き確率分布関数行列Ｑと出力振幅ベク
トルＸが決定できる。

【０３２５】条件付き確率分布関数はＱ_ｉｊ＝Ｐ_ｉｊＦ
_ｉｊ（ｔ）である。Ｐ_ｉｊ（ｉ＝２〜ｍ−１，ｊ＝１〜
ｍ）を決めるためにはパラメータａの決定が必要であ
る。状態持続時間の分布関数Ｆ_ｉｊ（ｔ）を決めるため
には、パラメータｕを決定しなければならない。ａとｕ
が基本的なパラメータだということである。

【０３２６】本発明の目的は１／ｆゆらぎを持つランダ
ムな信号を生成することである。ａとｕを適当に選ぶこ
とによって１／ｆゆらぎ信号を持つ信号を発生させるこ
とができる。それ以外のａ，ｕの組み合わせでは１／ｆ
ゆらぎ特性は実現できない。

【０３２７】それでは、どのようなａとｕの組み合わせ
が１／ｆゆらぎをもたらすのか？どのようなａとｕの組
み合わせが１／ｆゆらぎを与えないのか？これが問題に
なる。

【０３２８】ａとｕを０≦ａ，ｕ≦１の範囲で変化さ
せ、電力密度スペクトルが１／ｆゆらぎ特性をもつ値を
求めた。ａ−ｕの二次元平面での軌跡は、状態数ｍと推
移確率行列の１行目によって決まる固有の二次曲線とな
る事が分かった。だから、その二次曲線に含まれる任意
の点（ａ，ｕ）をパラメータとして採用してセミ・マル
コフ過程を生成すると１／ｆゆらぎ信号を得ることがで
きる。

【０３２９】つまり１／ｆゆらぎ特性をもつ信号を得る
には、推移確率行列の１行目のタイプ（６つ例示した）
を選択し、そのタイプに固有のａ−ｕ平面上の二次曲線
の一点を選択し、その値（ａ，ｕ）を用いて条件付き確
率分布関数行列を構成すれば良いことになる。

【０３３０】なお以上の説明では、セミ・マルコフ系列
をインパルス系列としているが、一般的なパルス波形を
用いることもできる。またアナログの出力波形が必要で
あれば、遮断周波数ｆ_ｃが、

【０３３１】ｆ_ｃ＝１／２λ （９２）

【０３３２】であるローパスフィルタにインパルス系列
を入力し、その出力を用いるようにすれば良い。

【０３３３】一方、持続時間は形の上では無限大の持続
時間をもつ確率も存在するが、その確率の値が充分に小
さくなる時間については計算を打ち切っても電力密度ス
ペクトルに与える影響は殆どない。

【０３３４】セミ・マルコフ系列は、ハードウエアを用
いて発生させることができる。ハードウエアを用いる場
合、セミ・マルコフ系列発生装置として開発されてい
る。またセミ・マルコフ系列は、ソフトウエアを用いて
コンピュータによって発生させることも可能である。

【０３３５】

【実施例】［実施例１（２状態の場合、ｍ＝２、タイプ
１）］状態数ｍが２の場合が最も簡単である。中間行と
いう物が存在しない。１行目も２行目の両端の行であ
る。上記６つのタイプのうちタイプ１とタイプ６しかあ
りえない。しかもタイプ６はタイプ１に含まれてしま
う。タイプ１であるが、

【０３３６】１行目（Ｗ_０，２Ｕ_１）２行目（２Ｕ_１、Ｗ_０）

【０３３７】という至極単純な構成になる。推移確率行
列Ｐ_ｃは、上の表記から一般に

【０３３８】

【数６０】

【０３３９】というように書く事ができる。ａ、ｕを様
々に変えて、電力スペクトルを計算した。そして電力ス
ペクトルが１／ｆゆらぎをもつものを調べた。そして目
的の特性を得るようなａ，ｕの組を探した。

【０３４０】図４にｍ＝２において、電力スペクトルが
１／ｆゆらぎ特性をもつ、ａ，ｕの範囲を図示する。こ
れは円の一部であり、その円は

【０３４１】（ａ−１．３５）^２＋（ｕ−１．３５）^２＝１．１２^２（９４）

【０３４２】である。ａ、ｕともに０〜１の値であるか
ら上の式の一部だけを取る。本発明の意味は、ｍ＝２の
時に１／ｆゆらぎを与えるａ，ｕが存在すること、それ
の軌跡が図４のように与えられることを明確にしたとこ
ろにある。どうして求めたのかといえば試行錯誤によっ
て求めたと言わざるをえない。その軌跡の上の任意の
（ａ，ｕ）の組を選べば、１／ｆゆらぎをもつ電力スペ
クトルを発生させることができる。

【０３４３】図４を求める方法を詳述できないが、図４
の点が所望の１／ｆゆらぎをもたらすということを実際
に述べよう。全部の点について証明できないから、上式
によって与えられる一つの点ａ＝０．３３、ｕ＝０．８
９について説明する。推移確率行列は

【０３４４】

【数６１】

【０３４５】となる。状態持続時間の分布関数Ｆ（Ｋ
λ）は

【０３４６】

【数６２】

【０３４７】となる。出力振幅ベクトルＸは線形性を導
入して、

【０３４８】Ｘ＝（４，２）（９７）

【０３４９】とする。以上の決定によって、実際に１／
ｆゆらぎをもつ系列を無限に発生させることができる。
また電力密度スペクトルを計算することができる。系列
の生成と電力スペクトルの計算について述べる。これら
はどの場合も共通だから実施例２以後は繰り返し述べな
い。

【０３５０】［実際の系列の発生］実際の確率変数の系
列を発生させる手法を説明する。必要な式は（９５）と
（９６）だけである。図２６に状態１、２の［０，１］
区間の分割、持続時間の［０，１］区間の分割について
図示する。

【０３５１】まず推移確率行列Ｐ_ｃの各行の値に従っ
て、０から１までの範囲を次の二つの領域（ａ_１，
ａ_２）、（ｂ_１，ｂ_２）に分割する（ｍ＝２だから二分
割。状態数がｍのときはｍ個の領域に分割）。

【０３５２】推移確率行列の１行目は、０．６７と０．
３３であるから、状態１の［０，１］の範囲をａ_１領域
（０≦ａ_１≦０．６７）、ａ_２領域（０．６７＜ａ_２≦
１）に分割する。

【０３５３】推移確率行列の２行目は、０．３３と０．
６７であるから、状態２の［０，１］の範囲をｂ_１領域
（０≦ｂ_１≦０．３３）、ｂ_２領域（０．３３＜ｂ_２≦
１）に分割する。

【０３５４】持続時間分布関数の確率分布関数Ｆ（ｋ
λ）が式（９６）によって与えられる。持続時間がλ
（Ｋ＝１）である確率は０．８９、持続時間が２λ（Ｋ
＝２）である確率は０．０９７９、持続時間が３λであ
る（Ｋ＝３）確率は０．０１０７６９、持続時間が４λ
（Ｋ＝４）である確率は０．００１１８４６となる。４
λ以下は小さいので打ち切る事にする。これらの値をも
とに持続時間に関する［０，１］領域を次の３つの領域
ｃ_１，ｃ_２，ｃ_３に分割する。ｃ_１領域（０≦ｃ_１≦
０．８９）、ｃ_２領域（０．８９＜ｃ_２≦０．９８７
９）、ｃ_３領域（０．９８７９＜ｃ_３≦１）

【０３５５】以上のような準備をしておき、これらから
系列を発生させるのであるが、２種類の０〜１で一様分
布する乱数ｒ（持続時間），ｖ（状態推移）を発生させ
て、これによって持続時間、状態推移をさせる。

【０３５６】初期状態を例えば状態１とする。１．０〜１で一様分布する乱数ｖを発生させる。乱数ｖ
が０〜０．６７ならａ_１領域にある。状態１へ推移す
る、ということが決まる。この場合同じ状態であるが推
移とみなすのである。乱数ｖが０．６７〜１ならａ_２領
域にある。次に状態２に推移するということが決まる。
今ｖはａ_２領域にあって状態２に移るものとする。

【０３５７】２．０〜１で一様分布する別の乱数ｒを発
生させる。ｒが０〜０．８９ならｃ_１領域で持続時間は
１λである。時間１λを経たとき１→２へ推移させる。
ｒが０．８９〜０．９８７９ならｃ_２領域であり持続時
間は２λである。時間２λを経たとき１→２へ推移させ
る。ｒが０．９８７９〜１ならｃ_３領域であり持続時間
は３λである。時間３λを経たとき１→２へ推移させ
る。

【０３５８】３．状態２に移ったあとも同様の繰り返し
をする。乱数ｖを発生させて、０〜０．３３なら状態１
へ移る。０．３３〜１なら状態２へ移る（同じ状態であ
るが推移すると考える）。どちらでもよいが、ここでは
ｖが０〜０．３３であって状態１に移るものとしょう。

【０３５９】４．次の状態が１だと決まっている。乱数
ｒを発生させる。ｒが０〜０．８９ならｃ_１領域で持続
時間は１λである。時間１λを経たとき２→１へ推移さ
せる。ｒが０．８９〜０．９８７９ならｃ_２領域であり
持続時間は２λである。時間２λを経たとき２→１へ推
移させる。ｒが０．９８７９〜１ならｃ_３領域であり持
続時間は３λである。時間３λを経たとき２→１へ推移
させる。

【０３６０】以下同様に乱数ｒ，ｖを発生させて推移を
繰り返す。セミ・マルコフ過程だから次に推移する状態
が決まってから持続時間をその状態に依存して決めるの
であるが、ここではどの状態に対しても持続時間分布関
数を共通にしているからおおいに単純化される。

【０３６１】このようにして時間経過とともに状態が変
化する。変化状態列ができるが、状態を数値Ｘ_ｊに対応
させると振幅出力を得ることができる。たとえば状態１
にＸ _１＝４，状態２にＸ_２＝２を対応させることによっ
て振幅出力系列を得ることができる。これは単純な２状
態であるが、より複雑な５状態、７状態、９状態のもの
をとれば、もっと複雑で１／ｆゆらぎ特性をもつ系列を
得ることができる。

【０３６２】［実施例１での電力密度スペクトルの計
算］以下に電力密度スペクトルの計算を説明する。この
計算は以下に述べる実施例に共通のものである。最初の
実施例であるから、ここ２行×２列（ｍ＝２）の単純な
例について説明する。同一であるからそれ以外の実施例
では繰り返し述べない。

【０３６３】電力密度スペクトルは式（３７）によって
計算できるが、この式を計算するには、予め行列Ｓ~，
ｑ，ｑ~，ｈ，ｈ~を求める必要がある。行列Ｓ~は

【０３６４】Ｓ~＝｛ａ~_ｉδ_ｉｊ｝（９８）

【０３６５】によって定義される。対角成分はａ_ｉ~で
あり非対角成分は０である。対角成分ａ_ｉ~は

【０３６６】

【数６３】

【０３６７】となる。この例において状態持続時間の分
布関数は全ての状態に対して同一であるから、式（１
１）によって求められる状態持続時間の平均値は全状態
に対して同じ値を持つ。これをηとする。また幾何分布
の平均値は１／ｕであるから共通の持続時間平均値ηは

【０３６８】 η＝λ／ｕ＝λ／０．８９＝１．１２３６λ （１００）である。式（９９）においてη_ｊが全てηであるし、Σ
_ｊｇ_ｊ＝１であるから、

【０３６９】ａ_ｉ~＝ｇ_ｉ（１０１）

【０３７０】である。ｇ_ｉは式（２０）によって求める
事ができる。この実施例では、ｇ＝（１／２，１／２）（１０２）である。式（９８）の定義から

【０３７１】

【数６４】

【０３７２】となるのである。行列ｑは、行列Ｑの各成
分関数をフーリエ・スチェルチェス変換することによっ
て求められる。

【０３７３】行列Ｑは埋蔵マルコフ連鎖の推移確率行列
をＰ_ｃとして、

【０３７４】Ｑ＝｛Ｐ_ｉｊＦ（ｔ）｝＝Ｐ_ｃＦ（ｔ）（１０４）

【０３７５】によって与えられる。Ｆ（ｔ）のフーリエ
・スチェルチェス変換をｆ（ω）とする。つまり

【０３７６】

【数６５】

【０３７７】関数Ｆ（Ｋλ）は式（９１）によって与え
られる。Ｋλはλを単位とする離散的な時間である。こ
れをｔに置き換える。Ｆ（ｔ）はｔ＝Ｋλの点で式（９
１）から（１−ｕ）^Ｋ−１ｕだけステップ状に上昇する
から、ｄＦ（ｎλ）＝（１−ｕ）^Ｋ−１ｕである。また
ｊωｔのｔはＫλで置き換えることができる。積分はΣ
に置換され、積算するパラメータＫは正であるから積算
の範囲は１から無限大である。

【０３７８】

【数６６】

【０３７９】となる。これはＫによって容易に積算でき
る。

【０３８０】

【数６７】というようになる。従って行列ｑは、

【０３８１】

【数６８】

【０３８２】によって与えられる。行列ｈは、行列Ｈの
成分関数をフーリエ・スチェルチェス変換した行列であ
る。行列Ｈは式（１４）によって定義される。その対角
成分は、

【０３８３】

【数６９】

【０３８４】となるので、Ｆ（ｔ）のフーリエ・スチェ
ルチェス変換は先に求めた式（１０７）式と同じであ
る。行列ｈはこの場合、式（１０７）を対角成分とし、
その他の成分は０である２行２列の行列である。

【０３８５】

【数７０】

【０３８６】行列ｑ~は行列Ｑ~の各成分の関数をフーリ
エ・スチェルチェス変換したものである。

【０３８７】

【数７１】

【０３８８】である。状態ｉの平均持続時間η_ｉはη_ｉ
＝λ／ｕである。Ｆ_ｉｊ（ｎλ）＝Ｆ（ｎλ）である。
関数Ｆ（ｎλ）は

【０３８９】

【数７２】

【０３９０】であるから、

【０３９１】

【数７３】

【０３９２】また、

【０３９３】１−Ｆ（０）＝１（１１４）

【０３９４】である。これらのことを考慮して、Ｑ~
_ｉｊ（ｔ）のフーリエ・スチェルチェス変換ｑ~
_ｉｊ（ω）は

【０３９５】

【数７４】

【０３９６】結局、行列ｑ~とｑは

【０３９７】ｑ~（ω）＝ｑ（ω）（１１６）

【０３９８】である。行列ｈ~は行列Ｈ~＝｛δ_ｉｊＨ~
_ｉ（ｔ）｝の成分関数をフーリエ・スチェルチェス変換
したものである。成分関数は

【０３９９】

【数７５】であり、これをフーリエ・スチェルチェス変換したのだ
から

【０４００】

【数７６】

【０４０１】となる。つまり、

【０４０２】ｈ~（ω）＝ｈ（ω）（１１９）

【０４０３】である。行列Ｉは、式（１５）より、対角
成分が単位ステップ関数で非対角成分が０である。単位
ステップ関数のフーリエ・スチェルチェス変換は１であ
り、０のフーリエ・スチェルチェス変換は０であるか
ら、行列Ｉ（ｔ）のフーリエ・スチェルチェス変換Ｅは

【０４０４】

【数７７】

【０４０５】行列Ａ~はこの場合、埋蔵マルコフ連鎖の
定常確率ベクトルｇを行成分とする行列であるから、

【０４０６】

【数７８】

【０４０７】である。電力密度スペクトルを与える式
（３７）におけるＲ_Ａ（０）及びＲ_Ａ（∞）は式（３
１）により自己相関関数Ｒ_ｓ（ｎ）のｎ＝０の値と、ｎ
＝∞の値であるから、

【０４０８】Ｒ_Ａ（０）＝ＸＳ~^ｔＸ（１２２）Ｒ_Ａ（∞）＝ＸＳ~Ａ~^ｔＸ（１２３）

【０４０９】によって与えられる。既に述べたように、
Ｘは出力振幅ベクトル（横にｍ成分をもつ）、Ｓ~は定
常確率行列である。^ｔＸはＸの転置ベクトルであり縦に
ｍ成分をもつ。これらの値を式（３７）に代入して、電
力密度スペクトルＰ_ｓ（ｆ）を求めることができる。こ
れが１／ｆゆらぎ特性を示す。ｆとＰ_ｓ（ｆ）の対数を
とってグラフを描くとパワーが１／ｆ変化をすることに
よって確かめられる。ここでは横軸を周波数ｆそのもの
とせず、サンプリング周波数ｆ_０（＝１／λ）で割った
値、

【０４１０】ｆ／ｆ_０＝ｆλ （１２４）

【０４１１】の対数ｌｏｇｆλを表す。縦軸はＰ
_ｓ（ｆ）そのものでなく、これを正規化した、

【数７９】

【０４１２】の対数ｌｏｇｐ_ｓｄを縦軸としている。こ
れらの対数を縦軸、横軸にとれば４５度右下がり直線関
係の存在が１／ｆ特性を示すことになる。この結果は図
１３に示す。なお、出力系列はインパルス系列であるか
ら、その電力密度スペクトルはｆ／ｆ_０＝０．５までを
表示している。

【０４１３】これら正規化の手続きは以下に述べる実施
例の全てに共通している。だから全ての実施例におい
て、周波数、電力スペクトルは、横軸をｌｏｇｆλ、縦
軸をｌｏｇｐ_ｓｄとしている。その図では１／ｆの特性
は一定傾き（−４５度）の斜め右下がりの直線によって
表現される。電力スペクトルがこの直線と合致している
ということが１／ｆゆらぎ特性をもつということであ
る。より長くこの直線と合致しているということがより
優れた１／ｆゆらぎ特性をもつということである。

【０４１４】［実施例２（ｍ＝３、タイプ１）］状態数
ｍが３の場合の実施例を説明する。推移確率行列は３行
３列の行列になる。推移確率行列の１行目、３行目とい
うものがあるから、１行目、３行目に関する６つのタイ
プの幾つかを選択することが可能になる。ここでは１行
目、３行目に関し片側指数分布型（タイプ１）のものを
採用する。２行目については一通りに決まる。１行目〜
３行の成分を示すと、

【０４１５】１行（Ｗ_０，２Ｗ_１，２Ｕ_２）２行（Ｕ_１，Ｗ_０，Ｕ_１）３行（２Ｕ_２，２Ｗ_１，Ｗ_０）のようになる。行列表現は、

【０４１６】

【数８０】

【０４１７】というように一般的に書く事ができる。状
態持続時間の分布関数は式（３）の通りである。この場
合もａ，ｕを様々に変化させて、電力スペクトルのｆ依
存性を調べて、１／ｆゆらぎをもたらすａとｕの組を調
べた。その結果を図５に示す。前例と同様に正規化した
ａとｕを示す。図５の図形は楕円をなしており、その式
は

【０４１８】

【数８１】

【０４１９】によって与えられる。これは楕円の式であ
るが、ａ、ｕともに０〜１の定数であるから楕円の一部
を成すということになる。これも経験的に得られたもの
であって理論的にこうなるというものではない。どうし
てａとｕの組が連続して現れ、しかも二次曲線で表現さ
れるのかということはいまだ分からない。図５の上のど
の点であっても電力スペクトルは１／ｆゆらぎをもつ。
ここではある一点を例にして説明する。ａ＝０．５６、
ｕ＝０．８とする。式（１２６）にａの値０．５６を代
入して、

【０４２０】

【数８２】

【０４２１】という推移確率行列を得る。状態持続時間
の分布関数はＦ（Ｋλ）は、ｕ＝０．８を代入して、

【０４２２】

【数８３】

【０４２３】となる。出力振幅ベクトルＸは、各成分に
線形性をもたせて、Ｘ＝（６，４，２）（１３０）とする。

【０４２４】この場合の電力スペクトル密度の理論値を
求めたものが図１４である。横軸は周波数の対数ｌｏｇ
ｆλ、縦軸は電力の対数ｌｏｇｐ_ｓｄである。右下がり
の直線が１／ｆの線（４５度の傾斜をもつ）である。ｌ
ｏｇｆλが−０．９〜−０．５の広い間でスペクトルが
１／ｆゆらぎ特性をもつことが良く分かる。

【０４２５】[実施例３（ｍ＝４，タイプ１）]状態数ｍ
が４の場合の実施例を説明する。推移確率行列は４行４
列の行列になる。状態数が偶数であるから、タイプ２、
３を選択することができない。１行目、４行目には片側
指数分布型（タイプ１）を選択した。２行目、３行目に
ついては一通りに決まる。１行目〜４行の成分を示す
と、

【０４２６】１行（Ｗ_０，２Ｗ_１，２Ｗ_２，２Ｕ_３）２行（Ｕ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｕ_２）３行（Ｕ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｕ_１）４行（２Ｕ_３、２Ｗ_２，２Ｗ_１，Ｗ_０）のようになる。Ｐ_ｃの行列表現は、

【０４２７】

【数８４】

【０４２８】というのが一般形である。状態持続時間の
分布関数は式（３）の通りである。ｍ＝４であってタイ
プ１の場合で試行錯誤によって、電力スペクトルが１／
ｆ特性をもつのは図６に示すようなａ、ｕの組であると
いうことが分かった。これは楕円の上にのっており、そ
の楕円の式は、

【０４２９】

【数８５】

【０４３０】である。実際には、ａ、ｕともに０〜１の
値であるから、楕円の一部である。これも試行錯誤で得
られたものである。１／ｆゆらぎ特性を与えるａ，ｕが
どうして二次曲線で表現されるのかということはいまだ
分からない。図６の上のどの点であっても電力スペクト
ルは１／ｆ特性をもつ。ここでは楕円上のある一点を例
にして説明する。ａ＝０．８４、ｕ＝０．５とする。式
（１３１）にａの値０．８４を代入して、

【０４３１】

【数８６】

【０４３２】という４行４列の推移確率行列を得る。状
態持続時間の分布関数はＦ（Ｋλ）は、ｕ＝０．５を代
入して、

【数８７】となる。

【０４３３】出力振幅ベクトルＸは、各成分に線形性を
もたせて、Ｘ＝（８，６，４，２）（１３５）とする。

【０４３４】この場合の電力スペクトル密度の理論値を
求めたものが図１５である。横軸は周波数の対数、縦軸
は電力スペクトル密度の対数である。右下がりの直線が
１／ｆの線（４５度の傾斜をもつ）である。ｆλが−
０．９〜−０．５の広い間でスペクトルが１／ｆゆらぎ
特性をもつことが良く分かる。

【０４３５】［実施例４（ｍ＝５、タイプ１）］状態数
ｍが５の場合でタイプ１の実施例を説明する。推移確率
行列は５行５列の行列になる。推移確率行列の１行目、
５行目に関する先述の６つのタイプの全てのものを選択
することが可能になる。ここでは１行目、５行目に関し
片側指数分布型（タイプ１）のものを採用する。２行
目、３行目、４行目については一通りに決まる。

【０４３６】１行（Ｗ_０，２Ｗ_１，２Ｗ_２、２Ｗ_３，２Ｕ_４）２行（Ｕ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｗ_２，Ｕ_３）３行（Ｕ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｕ_２）４行（Ｕ_３，Ｗ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｕ_１）５行（２Ｕ_４，２Ｗ_３，２Ｗ_２，２Ｗ_１，Ｗ_０）

【０４３７】パラメータａを含むタイプ１の一般形は

【数８８】

【０４３８】というように書く事ができる。状態持続時
間の分布関数は式（３）の通りである。この場合もａ，
ｕを様々に変化させて、電力スペクトルのｆ依存性を調
べて、１／ｆゆらぎをもたらすａとｕの組を調べた。そ
の結果を図７に示す。前例と同様に正規化したａとｕを
示す。図７の図形は楕円をなしており、その式は

【０４３９】

【数８９】

【０４４０】によって与えられる。もちろんａ，ｕは０
〜１の定数であるから上記の楕円の一部である。この楕
円の一部を成すａ，ｕの組はいずれも所望の１／ｆゆら
ぎ特性の出力をもたらす。例としてａ＝０．６９、ｕ＝
１の組を取って推移確率行列と持続時間分布関数を示
す。式（１３６）にａ＝０．６９を代入して、

【０４４１】

【数９０】

【０４４２】ｕ＝１であるから状態持続時間の分布関数
Ｆ（Ｋλ）は、極めて単純な形になる。

【数９１】

【０４４３】これは単位となる時間λで必ず推移がおこ
るということである。単位時間λごとに推移が起こる。
２λ、３λなどでの推移は起こらない。１とあるがＫは
正の整数で負整数を含まない（因果率）ので厳密にはス
テップ関数Ｕ_０（ｔ−λ）である。これはセミ・マルコ
フ過程でなくマルコフ連鎖である。マルコフ連鎖はもち
ろんセミ・マルコフ過程の一部として含まれる。ｕ＝１
の時はマルコフ連鎖に還元されるというわけである。マ
ルコフ連鎖の場合でも１／ｆゆらぎ特性を与えるものが
ありうる。それを示すためにｕ＝１という極限のものを
ここでは例示している。５値系列（ｍ＝５）でタイプ１
の場合必ずマルコフ連鎖になるというのでない。図７の
楕円の上であってｕ≠１ならマルコフ連鎖にならないが
１／ｆゆらぎ特性を与えている。

【０４４４】出力振幅ベクトルＸは、各成分に線形性を
持たせてＸ＝（５，４，３，２，１）（１４０）とする。この場合の電力スペクトル密度の周波数依存性
を図示したものが図１６である。横軸はｌｏｇｆλであ
り、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄである。ｌｏｇｆλが−１から
−０．５の広い範囲でスペクトルは１／ｆ特性を持って
いることがわかる。

【０４４５】［実施例５（ｍ＝５、タイプ２）］状態数
ｍが５の場合でタイプ２の実施例を説明する。推移確率
行列は５行５列の行列になる。５は奇数であって中心行
（３行目）が存在する。だから推移確率行列の１行目、
５行目に関する先述の６つのタイプの全てのものを選択
することが可能になる。ここでは１行目、５行目に関し
中央行同一型（タイプ２）のものを採用する。実施例４
と同様に２行目、３行目、４行目については一通りに決
まる。実施例４と違うのは１行目、５行目である。これ
が違うと、１／ｆゆらぎ特性を与えるａ、ｕの組はもち
ろん異なってくる。だから新たに求める必要がある。

【０４４６】１行（Ｕ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｕ_２）２行（Ｕ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｗ_２，Ｕ_３）３行（Ｕ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｕ_２）４行（Ｕ_３，Ｗ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｕ_１）５行（Ｕ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｕ_２）

【０４４７】パラメータａを含むタイプ２の一般形は

【数９２】

【０４４８】というように書く事ができる。状態持続時
間の分布関数は式（３）の通りである。この場合もａ，
ｕを様々に変化させて、電力スペクトルのｆ依存性を調
べて、１／ｆゆらぎをもたらすａとｕの組を調べた。そ
の結果を図８に示す。前例と同様に正規化したａとｕを
示している。図８の図形は楕円をなしており、その式は

【０４４９】

【数９３】

【０４５０】によって与えられる。ａ，ｕは０〜１の定
数であるから上記の楕円の一部である。この楕円の一部
を成すａ，ｕの組はいずれも所望の１／ｆゆらぎ特性の
出力をもたらす。例としてａ＝０．４、ｕ＝１の組を取
って推移確率行列と持続時間分布関数を示す。式（１４
１）にａ＝０．４を代入して、

【０４５１】

【数９４】

【０４５２】ｕ＝１であるから状態持続時間の分布関数
Ｆ（Ｋλ）は、極めて単純な形になる。

【数９５】これは単位となる時間λ（Ｋ＝１）で必ず推移がおこる
ということである。単位時間λごとに推移が起こる。２
λ、３λなどでの推移は起こらない。Ｆ＝１とあるがＫ
は正の整数で負整数を含まない（因果率）ので厳密には
ステップ関数Ｕ _０（ｔ−λ）である。これはセミ・マル
コフ過程でなくマルコフ連鎖である。マルコフ連鎖はも
ちろんセミ・マルコフ過程の一部として含まれる。ｕ＝
１の時はマルコフ連鎖に還元されるというわけである。

【０４５３】マルコフ過程の場合でも１／ｆゆらぎ特性
を与えるものがありうる。それを示すためにｕ＝１とい
う極限のものをここでは例示している。５値系列（ｍ＝
５）でタイプ２の場合必ずマルコフ連鎖になるというの
でない。図８の楕円の上であってｕ≠１ならマルコフ連
鎖にならないが１／ｆゆらぎ特性を与えている。

【０４５４】出力振幅ベクトルＸは各成分に線形性を持
たせてＸ＝（５，４，３，２，１）（１４５）とする。この場合の電力スペクトル密度の周波数依存性
を図示したものが図１７である。横軸はｌｏｇｆλであ
り、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄである。ｌｏｇｆλが−１．１
〜−０．５の広い範囲でスペクトルは１／ｆ特性を持っ
ていることがわかる。

【０４５５】［実施例６（ｍ＝５、タイプ３）］状態数
ｍが５の場合でタイプ３の実施例を説明する。推移確率
行列は５行５列の行列になる。５は奇数であって中心行
（３行目）が存在する。だから推移確率行列の１行目、
５行目に関する先述の６つのタイプの全てのものを選択
することが可能になる。ここでは１行目、５行目に関し
中央行類似型（タイプ３）のものを採用する。実施例４
と同様に２行目、３行目、４行目については一通りに決
まる。実施例４、５と違うのは１行目、５行目である。
これが違うと、１／ｆゆらぎ特性を与えるａ、ｕの組は
もちろん異なってくる。だから新たに求める必要があ
る。タイプ３だから、実施例５の場合に比べて、１、５
行目の表現は似ているがａの値が異なる。ａと書くと混
同する恐れがあるから、１、５行目についてはａの代わ
りにｂと書く。各行の成分は次のようである。

【０４５６】１行（Ｕ_２’，Ｗ_１’，Ｗ_０’，Ｗ_１’，Ｕ_２’）２行（Ｕ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｗ_２，Ｕ_３）３行（Ｕ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｕ_２）４行（Ｕ_３，Ｗ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｕ_１）５行（Ｕ_２’，Ｗ_１’，Ｗ_０’，Ｗ_１’，Ｕ_２’）

【０４５７】ダッシュを付けたものはａの値がｂになっ
ているということを示す。

【０４５８】パラメータａ、ｂを含むタイプ３の一般形
は

【数９６】

【０４５９】というように書く事ができる。状態持続時
間の分布関数は式（３）の通りである。この場合パラメ
ータはａ、ｕ、ｂである。自由度はいっそう拡大する。
ｂをふって様々のｂに対して、ａとｕを変化させ、３パ
ラメータに対する条件を見出すということは勿論可能で
ある。全てのｂ（０≦ｂ≦１）に対して、１／ｆゆらぎ
特性を与える（ａ、ｕ）の組は存在する。計算の時間は
かかるが、全てのｂに対して、そのような（ａ、ｕ）を
見出すことは可能である。

【０４６０】ここでは一例を示すに止めよう。ｂ＝０．
６に固定する。ｂ＝０．６に対して、ａ，ｕを様々に変
化させて、電力スペクトルのｆ依存性を調べて、１／ｆ
ゆらぎをもたらすａとｕの組を調べた。その結果を図９
に示す。前例と同様に正規化したａとｕを示している。
図９の図形は楕円をなしており、その式は

【数９７】によって与えられる。ａ，ｕは０〜１の定数であるから
上記の楕円の一部である。この楕円の一部を成すａ，ｕ
の組はいずれも所望の１／ｆゆらぎ特性の出力をもたら
す。例としてａ＝０．３８、ｕ＝０．９２の組を取って
推移確率行列と持続時間分布関数を示す。式（１４６）
にａ＝０．３８とｂ＝０．６を代入して、

【０４６１】

【数９８】

【０４６２】ｕ＝０．９２であるから状態持続時間の分
布関数Ｆ（Ｋλ）は、

【数９９】となる。

【０４６３】出力振幅ベクトルＸは各成分に線形性を持
たせてＸ＝（５，４，３，２，１）（１５０）とする。この場合の電力スペクトル密度の周波数依存性
を図示したものが図１８である。横軸はｌｏｇｆλであ
り、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄである。ｌｏｇｆλが−１．１
〜−０．５の広い範囲でスペクトルは１／ｆ特性を持っ
ていることがわかる。

【０４６４】［実施例７（ｍ＝５、タイプ４）］状態数
ｍが５の場合でタイプ４の実施例を説明する。推移確率
行列は５行５列の行列になる。タイプ４というのは１行
目と５行目について、端から中央項までＷ _０，２Ｗ_１，
２Ｕ_２というような値があって、それより遠くの項は０
とするものである。さらに２行目についても５項目を０
とする。タイプ４といっても先述の純粋形でなくて、２
行目４行目も少し工夫している。３行目は先に述べたも
のである。

【０４６５】１行（Ｗ_０，２Ｗ_１，２Ｕ_２，０，０）２行（Ｕ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｕ_２，０）３行（Ｕ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｕ_２）４行（０，Ｕ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｕ_１）５行（０，０，２Ｕ_２，２Ｗ_１，Ｗ_０）

【０４６６】パラメータａを含む変形タイプ４の一般形
は

【数１００】

【０４６７】というように書く事ができる。状態持続時
間の分布関数は式（３）の通りである。ａ，ｕを様々
に変化させて、電力スペクトルのｆ依存性を調べて、１
／ｆゆらぎをもたらすａとｕの組を調べた。その結果を
図１０に示す。前例と同様に正規化したａとｕを示して
いる。図１０の図形は楕円をなしており、その式は

【０４６８】

【数１０１】によって与えられる。ａ，ｕは０〜１の定数であるから
上記の楕円の一部である。この楕円の一部を成すａ，ｕ
の組はいずれも所望の１／ｆゆらぎ特性の出力をもたら
す。例としてａ＝０．８６、ｕ＝０．９の組を取って推
移確率行列と持続時間分布関数を示す。式（１５１）に
ａ＝０．８６を代入して、

【０４６９】

【数１０２】

【０４７０】ｕ＝０．９であるから状態持続時間の分布
関数Ｆ（Ｋλ）は、

【数１０３】となる。

【０４７１】出力振幅ベクトルＸは各成分に線形性を持
たせてＸ＝（５，４，３，２，１）（１５５）とする。この場合の電力スペクトル密度の周波数依存性
を図示したものが図１９である。横軸はｌｏｇｆλであ
り、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄである。ｌｏｇｆλが−０．８
〜−０．５の範囲でスペクトルは１／ｆ特性を持ってい
ることがわかる。

【０４７２】［実施例８（ｍ＝５、タイプ５）］状態数
ｍが５の場合でタイプ５の実施例を説明する。推移確率
行列は５行５列の行列になる。タイプ５というのは１行
目と５行目について、端から中央項まで２Ｕ_２、２
Ｗ_１、Ｗ_０という値があって、それより遠くの項は０と
するものである。但し１行目、５行目のａとは別のａを
用いる。そこで１行目５行目のａはｂと書くことにす
る。実施例７と似ているが１行、５行で成分の取る値の
順序が反対になっている。２行目〜４行目については先
に述べたものである。

【０４７３】１行（２Ｕ_２’，２Ｗ_１’，Ｗ_０’，０，０）（１５６）２行（Ｕ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｗ_２，Ｕ_３）（１５７）３行（Ｕ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｕ_２）（１５８）４行（Ｕ_３，Ｗ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｕ_１）（１５９）５行（０，０，Ｗ_０’，２Ｗ_１’，２Ｕ_２’）（１６０）

【０４７４】パラメータｂ、ａを含むタイプ５の一般形
は

【数１０４】

【０４７５】というように書く事ができる。状態持続時
間の分布関数は式（３）の通りである。ｂ＝０．５に固
定して、ａ，ｕを様々に変化させて、電力スペクトルの
ｆ依存性を調べて、１／ｆゆらぎをもたらすａとｕの組
を調べた。その結果を図１１に示す。前例と同様に正規
化したａとｕを示している。図１１の図形は楕円をなし
ており、その式は

【０４７６】

【数１０５】によって与えられる。ａ，ｕは０〜１の定数であるから
上記の楕円の一部である。この楕円の一部を成すａ，ｕ
の組はいずれも所望の１／ｆゆらぎ特性の出力をもたら
す。例としてａ＝０．６６、ｕ＝１の組を取って推移確
率行列と持続時間分布関数を示す。式（１６１）にａ＝
０．６６とｂ＝０．５を代入して、

【０４７７】

【数１０６】

【０４７８】ｕ＝１であるから状態持続時間の分布関数
Ｆ（Ｋλ）は、Ｆ（Ｋλ）＝１＝Ｕ_０（ｔ−λ）（Ｋ＝１、２、…）（１６４）となる。これは周期λごとに状態推移がおこるマルコフ
連鎖になる。

【０４７９】出力振幅ベクトルＸは各成分に線形性を持
たせてＸ＝（５，４，３，２，１）（１６５）とする。

【０４８０】この場合の電力スペクトル密度の周波数依
存性を図示したものが図２０である。横軸はｌｏｇｆλ
であり、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄである。ｌｏｇｆλが−
１．０〜−０．５の範囲でスペクトルは１／ｆ特性を持
っていることがわかる。これまでの実施例では電力スペ
クトルを計算し、電力スペクトルが１／ｆゆらぎ特性を
もっているという事を述べた。実際にランダムの系列を
発生させるとどのようになるのかということをこの実施
例について２５６個分系列数を発生させた。最初の６０
個分の系列を図２３に示した。状態は１、２、３、４、
５であって、それぞれに式（１６５）のように状態番に
等しい値を対応させたので、縦軸は５状態間の推移に対
応している。０〜１の乱数を発生させて、状態の推移を
決めている。

【０４８１】この例では３から始めている。横軸は時間
（λを単位として）である。滞留せずに次の状態へ移っ
ているのはＫ＝１で移っているということである。状態
３で３回分滞留することがあるが、それはＫ＝３で次に
移り変わっているということではない。

【０４８２】ｕ＝１、Ｆ（Ｋλ）＝１だから必ず単位時
間λで１回状態変化がおこる。つまりＫ＝１以外はな
い。状態３で３回滞留し、２回滞留することが多いのは
Ｐ_３３＝０．３４というようにこの成分が大きいからで
ある。そのため、３→３という変化がしきりに起こるわ
けである。状態４（２）や状態２（４）でも２回滞留す
ることがあるが、それもＰ_２２＝０．３４、Ｐ_４４＝
０．３４というように成分が大きいから、２→２、４→
４の変化がおこっているのである。５と４の推移、２と
１の推移が多いのはＰ_５４＝Ｐ_１２＝０．３７５，Ｐ
_２１＝Ｐ_４５＝０．３３というようにこれらの推移確率
が高いからである。

【０４８３】図２３は初めの６０個の系列を示すが、そ
の後もランダムの変化をしており、同じパターンの繰り
返しということはない。２５６個の系列を発生させた
が、それ以後の系列もランダムであり繰り返しにはなら
ない。だから無限に異なるパターンが次々と発生する。
ランダムに系列が発生するが、そのスペクトルは１／ｆ
のカーブにのっている。本発明においてはそれが重要な
のである。

【０４８４】図２４は同じ２５６個の系列信号をフーリ
エ変換して周波数成分を取り出し、周波数に対する強度
を縦軸に書いている。つまり電力スペクトルを具体的に
求めている。右下がりに引いた直線が１／ｆの直線であ
る。実際に、その１／ｆ直線からジグザグにずれてい
る。これは、系列長が有限であるためである。

【０４８５】これまで計算してきた図１３〜図２１の電
力密度スペクトルというのは無限大回繰り返した極限で
のスペクトルである。実施例８の場合、電力密度スペク
トルは図２０のようにきれいな１／ｆ特性がある。図２
４が具体的な系列の電力スペクトルの一例である。有限
回の系列だとこれまで示したような滑らかなスペクトル
にはならない。横軸は２５６ｆλでｆλ＝０．５までを
示している。

【０４８６】系列の個数を２５６でなくて、もっともっ
と増やすとスペクトルのジグザグは減ってくる。系列個
数無限大の極限が図２０の電力密度スペクトルである。
しかし２５６個のように少ない数の系列でも１／ｆの直
線にそっていることがうかがい知れるので図２３を載せ
ているのである。

【０４８７】［実施例９（ｍ＝５、タイプ６）］状態数
ｍが５の場合でタイプ６の実施例を説明する。推移確率
行列は５行５列の行列になる。タイプ６というのは１行
目と５行目について、ｍ個の成分の全部に１／ｍの等確
率を仮定するものである。２行目〜４行目については先
に述べたものである。

【０４８８】１行（１／ｍ，１／ｍ，１／ｍ，１／ｍ，１／ｍ）（１６６）２行（Ｕ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｗ_２，Ｕ_３）（１６７）３行（Ｕ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｕ_２）（１６８）４行（Ｕ_３，Ｗ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｕ_１）（１６９）５行（１／ｍ，１／ｍ，１／ｍ，１／ｍ，１／ｍ）（１７０）

【０４８９】パラメータａを含むタイプ６の一般形は

【数１０７】

【０４９０】というように書く事ができる。状態持続時
間の分布関数は式（３）の通りである。ａ，ｕを様々
に変化させて、電力スペクトルのｆ依存性を調べて、１
／ｆゆらぎをもたらすａとｕの組を調べた。その結果を
図１２に示す。前例と同様に正規化したａとｕを示して
いる。図１２の図形は楕円をなしており、その式は

【０４９１】

【数１０８】

【０４９２】によって与えられる。ａ，ｕは０〜１の定
数であるから上記の楕円の一部である。この楕円の一部
を成すａ，ｕの組はいずれも所望の１／ｆゆらぎ特性の
出力をもたらす。

【０４９３】例としてａ＝０．３３、ｕ＝０．８２の組
を取って推移確率行列と持続時間分布関数を示す。式
（１７１）にａ＝０．３３を代入して、

【数１０９】

【０４９４】ｕ＝０．８２であるから状態持続時間の分
布関数Ｆ（Ｋλ）は、

【数１１０】となる。

【０４９５】出力振幅ベクトルＸは各成分に線形性を持
たせてＸ＝（５，４，３，２，１）（１７５）とする。この場合の電力スペクトル密度の周波数依存性
を図示したものが図２１である。横軸はｌｏｇｆλであ
り、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄである。ｌｏｇｆλが−１．２
〜−０．５の範囲でスペクトルは１／ｆ特性を持ってい
ることがわかる。

【０４９６】［実施例１０（ｍ＝５、タイプ３）］状態
数ｍが５の場合でタイプ３の実施例を説明する。推移確
率行列は５行５列の行列になる。１、５行目の表現は３
行目似ているがａの値が異なる。ａと書くと混同する恐
れがあるから、１、５行目についてはａの代わりにｂと
書く。各行の成分は次のようである。

【０４９７】１行（Ｕ_２’，Ｗ_１’，Ｗ_０’，Ｗ_１’，Ｕ_２’）２行（Ｕ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｗ_２，Ｕ_３）３行（Ｕ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｗ_１，Ｕ_２）４行（Ｕ_３，Ｗ_２，Ｗ_１，Ｗ_０，Ｕ_１）５行（Ｕ_２’，Ｗ_１’，Ｗ_０’，Ｗ_１’，Ｕ_２’）ダッシュを付けたものはａの値がｂになっているという
ことを示す。

【０４９８】パラメータａ、ｂを含むタイプ３の一般形
は

【数１１１】

【０４９９】というように書く事ができる。状態持続時
間の分布関数は式（３）の通りである。１行目、５行
目のａに当たるｂはｂ＝０．８５とする。ｂ＝０．８５
に対して、ａ，ｕを様々に変化させて、電力スペクトル
のｆ依存性を調べて、１／ｆゆらぎをもたらすａとｕの
組を調べた。その結果これまでの実施例とは異なって連
続的な曲線を得ることができなかった。１／ｆゆらぎ特
性を得ることができたのは、０≦ａ，ｕ≦１の範囲のａ
ｕ平面において、ａ＝０．１８、ｕ＝０．６５の１点だ
けであった。この点で楕円や円を軌跡として見出したこ
れまでの実施例とおおいに相違する。

【０５００】式（１７６）にｂ＝０．８５、ａ＝０．１
８とｕ＝０．６５を代入して、

【数１１２】

【０５０１】ｕ＝０．６５であるから状態持続時間の分
布関数Ｆ（Ｋλ）は、

【数１１３】となる。

【０５０２】出力振幅ベクトルＸは各成分に線形性を持
たせてＸ＝（５，４，３，２，１）（１７９）とする。

【０５０３】この場合の電力スペクトル密度の周波数依
存性を図示したものが図２２である。横軸はｌｏｇｆλ
であり、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄである。ｌｏｇｆλが−
１．５〜−０．５の広い範囲でスペクトルは１／ｆ特性
を持っていることがわかる。

【０５０４】

【発明の効果】（１）正確な１／ｆゆらぎ特性をもつ電
力密度スペクトルをもつ系列を発生することができる。
１／ｆゆらぎ特性はセミ・マルコフ系列の理論式に基づ
いて確かめているので正確である。

【０５０５】（２）系列長は無限大である。系列をいく
ら発生させ続けても同じパターンの系列が何度も繰り返
して現れるということはない。

【０５０６】（３）状態の推移と持続は乱数源があれば
容易に制御でき系列の発生も容易である。乱数はコンピ
ュータで簡単に発生させることができるから系列の発生
は簡単である。系列長は無限大であるが、有限の系列長
で切ってＲＯＭに収容して利用するということができ
る。

【０５０７】（４）出力レベルの数は状態数ｍを変える
ことによって自在に変化させることができる。実施例で
はｍ＝５までを説明したがｍ＝６、７、８、９、１０、
…の場合もタイプと（ａ，ｕ）を適当に選んで、同様に
実施することができる。

【０５０８】（５）推移確率行列の１行目とｍ行目のタ
イプ、ａ、ｕを変えることによって系列の発生パターン
を変えることができる。つまり多種多様な系列を発生さ
せることができる。多様性に富む。

【０５０９】（６）状態持続時間の単位λは任意である
から、λを変化させることによって、広い周波数範囲に
わたって高精度の１／ｆゆらぎ特性を実現できる。系列
発生速度が任意であるということである。

【０５１０】（７）系列がデジタルである。これは２様
の意味がある。時間が離散的だということ（λの整数
倍）、出力レベルの数は状態数ｍに等しいからデジタル
信号である。初めからデジタルであるからＡ／Ｄ変換す
る必要がなく、様々の用途へ直接に応用できるというこ
とである。

【図面の簡単な説明】

【図１】セミ・マルコフ過程のシャノン線図とセミ・マ
ルコフ系列の出力端子を示す図。

【図２】セミ・マルコフ振幅過程の１例を示す波形図。

【図３】両側対称指数分布関数の図。

【図４】状態数ｍが２でタイプ１の推移確率行列をもつ
実施例１において、１／ｆゆらぎ特性をもたらすａとｕ
の組を与えるａｕ座標系での二次曲線のグラフ。

【図５】状態数ｍが３でタイプ１の推移確率行列をもつ
実施例２において、１／ｆゆらぎ特性をもたらすａとｕ
の組を与えるａｕ座標系での二次曲線のグラフ。

【図６】状態数ｍが４でタイプ１の推移確率行列をもつ
実施例３において、１／ｆゆらぎ特性をもたらすａとｕ
の組を与えるａｕ座標系での二次曲線のグラフ。

【図７】状態数ｍが５でタイプ１の推移確率行列をもつ
実施例４において、１／ｆゆらぎ特性をもたらすａとｕ
の組を与えるａｕ座標系での二次曲線のグラフ。

【図８】状態数ｍが５でタイプ２の推移確率行列をもつ
実施例５において、１／ｆゆらぎ特性をもたらすａとｕ
の組を与えるａｕ座標系での二次曲線のグラフ。

【図９】状態数ｍが５でタイプ３の推移確率行列をもつ
実施例６において、１／ｆゆらぎ特性をもたらすａとｕ
の組を与えるａｕ座標系での二次曲線のグラフ。

【図１０】状態数ｍが５でタイプ４の推移確率行列をも
つ実施例７において、１／ｆゆらぎ特性をもたらすａと
ｕの組を与えるａｕ座標系での二次曲線のグラフ。

【図１１】状態数ｍが５でタイプ５の推移確率行列をも
つ実施例８において、１／ｆゆらぎ特性をもたらすａと
ｕの組を与えるａｕ座標系での二次曲線のグラフ。

【図１２】状態数ｍが５でタイプ６の推移確率行列をも
つ実施例９において、１／ｆゆらぎ特性をもたらすａと
ｕの組を与えるａｕ座標系での二次曲線のグラフ。

【図１３】状態数ｍが２でタイプ１の推移確率行列をも
つ実施例１において、ａ＝０．３３、ｕ＝０．８９とし
た場合の１／ｆゆらぎ特性を示す電力スペクトル密度グ
ラフ。横軸はｌｏｇｆλ、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄ。

【図１４】状態数ｍが３でタイプ１の推移確率行列をも
つ実施例２において、ａ＝０．５６、ｕ＝０．８０とし
た場合の１／ｆゆらぎ特性を示す電力スペクトル密度グ
ラフ。横軸はｌｏｇｆλ、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄ。

【図１５】状態数ｍが４でタイプ１の推移確率行列をも
つ実施例３において、ａ＝０．８４、ｕ＝０．５０とし
た場合の１／ｆゆらぎ特性を示す電力スペクトル密度グ
ラフ。横軸はｌｏｇｆλ、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄ。

【図１６】状態数ｍが５でタイプ１の推移確率行列をも
つ実施例４において、ａ＝０．６９、ｕ＝１．００とし
た場合の１／ｆゆらぎ特性を示す電力スペクトル密度グ
ラフ。横軸はｌｏｇｆλ、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄ。

【図１７】状態数ｍが５でタイプ２の推移確率行列をも
つ実施例５において、ａ＝０．４０、ｕ＝１．００とし
た場合の１／ｆゆらぎ特性を示す電力スペクトル密度グ
ラフ。横軸はｌｏｇｆλ、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄ。

【図１８】状態数ｍが５でタイプ３の推移確率行列をも
つ実施例６において、ｂ＝０．６、ａ＝０．３８、ｕ＝
０．９２とした場合の１／ｆゆらぎ特性を示す電力スペ
クトル密度グラフ。横軸はｌｏｇｆλ、縦軸はｌｏｇｐ
_ｓｄ。

【図１９】状態数ｍが５でタイプ４の推移確率行列をも
つ実施例７において、ａ＝０．８６、ｕ＝０．９０とし
た場合の１／ｆゆらぎ特性を示す電力スペクトル密度グ
ラフ。横軸はｌｏｇｆλ、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄ。

【図２０】状態数ｍが５でタイプ５の推移確率行列をも
つ実施例８において、ｂ＝０．５、ａ＝０．６６、ｕ＝
１．００とした場合の１／ｆゆらぎ特性を示す電力スペ
クトル密度グラフ。横軸はｌｏｇｆλ、縦軸はｌｏｇｐ
_ｓｄ。

【図２１】状態数ｍが５でタイプ６の推移確率行列をも
つ実施例９において、ａ＝０．３３、ｕ＝０．８２とし
た場合の１／ｆゆらぎ特性を示す電力スペクトル密度グ
ラフ。横軸はｌｏｇｆλ、縦軸はｌｏｇｐ_ｓｄ。

【図２２】状態数ｍが５でタイプ３の推移確率行列をも
つ実施例１０において、ｂ＝０．８５、ａ＝０．１８、
ｕ＝０．６５とした場合の１／ｆゆらぎ特性を示す電力
スペクトル密度グラフ。横軸はｌｏｇｆλ、縦軸はｌｏ
ｇｐ_ｓｄ。

【図２３】状態数ｍが５でタイプ５の推移確率行列をも
つ実施例８において、ｂ＝０．５、ａ＝０．６６、ｕ＝
１．００とした場合に初期状態を３として実際に２５６
個の系列を発生させ、その最初の６０個の系列データを
時間的に示したグラフ。縦軸は出力振幅値。横軸は時間
で単位λで割った整数ｎによって表示している。

【図２４】状態数ｍが５でタイプ５の推移確率行列をも
つ実施例８において、ｂ＝０．５、ａ＝０．６６、ｕ＝
１．００とした場合に初期状態を３として実際に２５６
個の系列を発生させ、それを周波数分析して求めた電力
スペクトル図。縦軸は対数表示した電力密度。横軸は周
波数である。

【図２５】実際の系列を発生させるために状態ｉから次
の状態への推移のために区間［０，１］をＰ_ｉ１，Ｐ
_ｉ２，…，Ｐ_ｉｍ−１，Ｐ_ｉｍに分割して［０，１］に
一様分布する乱数ｖによって次の状態を決定し、持続時
間Ｋの決定のために区間［０，１］をｆ_１，ｆ_２，…，
ｆ_ｎに分割し［０，１］に一様分布する乱数ｒによって
持続時間を決定することを説明するための［０，１］区
間図。

【図２６】ｍ＝２の実施例１において、実際の系列を発
生させるために状態ｉ（ｉ＝１、２）から次の状態への
推移のために区間［０，１］をＰ_ｉ１，Ｐ_ｉ２に分割し
て［０，１］に一様分布する乱数ｖによって次の状態を
決定し、持続時間Ｋの決定のために区間［０，１］をｆ
_１，ｆ_２，ｆ_３に分割し［０，１］に一様分布する乱数
ｒによって持続時間を決定することを説明するための
［０，１］区間図。

【符号の説明】

１状態２状態間推移を示す矢印３ＯＲ端子４出力端子

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】ｍ個の異なる状態（１、２、…、ｍ）が
あって、その状態間を系が確率的に推移するものとし、
状態ｉから次に状態ｊへ推移する頻度を、状態ｉから全
部の状態へ推移する頻度で割った値の平均値の確率をＰ
_ｉｊとして定義し、確率Ｐ_ｉｊを成分にもつ推移確率行
列をＰとし、推移確率行列Ｐの成分は、状態ｉから状態
ｊへの推移確率が、状態ｍ＋１−ｉから状態ｍ＋１−ｊ
への推移確率と等しいＰ_ｉｊ＝Ｐ_{ｍ＋１−ｉｍ＋１−ｊ} という対称性を持ち、各行の列成分の総和は１である、【数１】という正規化条件を満たし、【数２】という条件をみたし０〜１の間の値をとるａをパラメー
タとして含む両側対称分布関数Ｗ（ｘ）を想定し、Ｗ
（ｘ）をｘ軸を単位長さｄによって離散化して、ｎを整
数としてｎｄ−ｄ／２からｎｄ＋ｄ／２の区間１のＷ
（ｘ）の積分をＷ_ｎ、ｎｄ−ｄ／２から∞までの積分を
Ｕ_ｎ、−∞からｎｄ＋ｄ／２までの積分をＶ_ｎとして、
２行目からｍ−１行目（２≦ｉ≦ｍ−１）までの行のｍ
個の列成分は、両端にＶ_ｓ、Ｕ_{ｓ＋ｍ−１}を有し、その
中間はＷ_ｓ＋１〜Ｗ_{ｓ＋ｍ−２}が順に並ぶものとして決
め、ｋ行を中央行（（ｋ＝ｍ＋１）／２）として、１行
目とｍ行目のｍ個の列成分は、（タイプ１）片側指数型（Ｗ_０２Ｗ_１２Ｗ_２……
２Ｕ_ｍ）（タイプ２）中央行同一型（Ｕ_ｋ−１Ｗ_ｋ−２…Ｗ_１
Ｗ_０Ｗ_１…Ｗ_ｋ−２Ｕ_ｋ−１）（タイプ３）中央類似型（Ｕ_ｋ−１’Ｗ_ｋ−２’…Ｗ
_１’Ｗ_０’Ｗ_１’…Ｗ_ｋ _−２’Ｕ_ｋ−１’）（タイプ４）半減衰型（Ｗ_０２Ｗ_１…２Ｕ_ｋ−１
００…０）（タイプ５）逆半減衰型（２Ｕ_ｋ−１…２Ｗ_１Ｗ_０
００…０）（タイプ６）一様分布型（１／ｍ１／ｍ１／ｍ…
１／ｍ１／ｍ）のいずれかによって決めるものとし、時間の単位をλと
し、状態ｉから状態ｊへの推移はλの正整数倍の時刻Ｋ
λに確率的に起こるものとし、状態ｉから状態ｊに推移
するまでの確率的な時間Ｋλを状態持続時間と呼び、状
態持続時間Ｋλの分布関数Ｆ（Ｋλ）を【数３】によって与え、ある範囲に定められたパラメータａとｕ
の組を指定して、推移確率行列Ｐと持続時間分布関数Ｆ
（Ｋλ）を決定し、任意の初期状態から始めて、推移が
行われるたびに乱数ｖで次の推移先の状態ｊを決定し、
乱数ｒでその状態ｉの持続時間Ｋλを決め、Ｋλ時間の
後に状態ｉから状態ｊに推移するようにセミ・マルコフ
過程を発生し、その状態番号ｉ（１≦ｉ≦ｍ）に対してＸ＝ｂｉ＋ｃ（ｂ、ｃは任意の実数）によって与えられる出力振幅Ｘをもつ出力を取り出すこ
とにより、１／ｆゆらぎ特性をもつ出力系列を生成する
ことを特徴とするセミ・マルコフ系列を用いた１／ｆゆ
らぎ信号発生方法。
【請求項２】両側対称分布関数Ｗ（ｘ）が、μを正定
数として、Ｗ（ｘ）＝（μ／２）ｅｘｐ（−μ｜ｘ｜）によって表され、分布関数を規定するパラメータａがａ＝ｅｘｐ（−μｄ／２）であって、Ｗ_０＝１−ａ、Ｗ_１＝ａ（１−ａ^２）／２、Ｗ_ｎ＝ａ^２ｎ−１（１−ａ^２）／２（ｎは正整数）、Ｕ_ｎ＝ａ^２ｎ−１／２（ｎは正整数）、Ｖ_ｎ＝ａ^{−２ｎ−１}／２（ｎは負整数）であり、ａ、ｕがａ−ｕ座標上で０≦ａ、ｕ≦１の範囲
において、１／ｆゆらぎ特性を与える（ａ，ｕ）が二次
曲線あるいは点に規定されており、その二次曲線あるい
は点の（ａ，ｕ）を選んで推移確率行列を決めることを
特徴とする請求項１に記載のセミ・マルコフ系列を用い
た１／ｆゆらぎ信号発生方法。
【請求項３】状態数ｍが２であって（ｍ＝２）、タイ
プ１に従って推移確率行列の１行目、２行目を決めるこ
ととし、ａ，ｕは次の円（ａ−１．３５）^２＋（ｕ−１．３５）^２＝１．
１２^２の上にあることを特徴とする請求項２に記載のセミ・マ
ルコフ系列を用いた１／ｆゆらぎ信号発生方法。
【請求項４】状態数ｍが３であって（ｍ＝３）、タイ
プ１に従って推移確率行列の１行目、３行目を決めるこ
ととし、ａ，ｕは次の楕円、【数４】の上にあることを特徴とする請求項２に記載のセミ・マ
ルコフ系列を用いた１／ｆゆらぎ信号発生方法。
【請求項５】状態数ｍが４であって（ｍ＝４）、タイ
プ１に従って推移確率行列の１行目、４行目を決めるこ
ととし、ａ，ｕは次の楕円、【数５】の上にあることを特徴とする請求項２に記載のセミ・マ
ルコフ系列を用いた１／ｆゆらぎ信号発生方法。
【請求項６】状態数ｍが５であって（ｍ＝５）、タイ
プ１に従って推移確率行列の１行目、５行目を決めるこ
ととし、ａ，ｕは次の楕円、【数６】の上にあることを特徴とする請求項２に記載のセミ・マ
ルコフ系列を用いた１／ｆゆらぎ信号発生方法。
【請求項７】状態数ｍが５であって（ｍ＝５）、タイ
プ２に従って推移確率行列の１行目、５行目を決めるこ
ととし、ａ，ｕは次の楕円、【数７】の上にあることを特徴とする請求項２に記載のセミ・マ
ルコフ系列を用いた１／ｆゆらぎ信号発生方法。
【請求項８】状態数ｍが５であって（ｍ＝５）、タイ
プ３に従って推移確率行列の１行目、５行目を決めるこ
ととし、ａ，ｕは次の楕円、【数８】の上にあることを特徴とする請求項２に記載のセミ・マ
ルコフ系列を用いた１／ｆゆらぎ信号発生方法。
【請求項９】状態数ｍが５であって（ｍ＝５）、タイ
プ４に従って推移確率行列の１行目、５行目を決めるこ
ととし、ａ，ｕは次の楕円、【数９】の上にあることを特徴とする請求項２に記載のセミ・マ
ルコフ系列を用いた１／ｆゆらぎ信号発生方法。
【請求項１０】状態数ｍが５であって（ｍ＝５）、タ
イプ５に従って推移確率行列の１行目、５行目を決める
こととし、ａ，ｕは次の楕円、【数１０】の上にあることを特徴とする請求項２に記載のセミ・マ
ルコフ系列を用いた１／ｆゆらぎ信号発生方法。
【請求項１１】状態数ｍが５であって（ｍ＝５）、タ
イプ６に従って推移確率行列の１行目、５行目を決める
こととし、ａ，ｕは次の楕円、【数１１】の上にあることを特徴とする請求項２に記載のセミ・マ
ルコフ系列を用いた１／ｆゆらぎ信号発生方法。
【請求項１２】状態数ｍが５であって（ｍ＝５）、タ
イプ３に従って推移確率行列の１行目、５行目を決める
こととし、ａ＝０．１８，ｕ＝０．６５であることを特徴とする請求項２に記載のセミ・マルコ
フ系列を用いた１／ｆゆらぎ信号発生方法。