JP2001117492A - 公開鍵暗号システム、暗号化装置、復号化装置、暗号化方法、復号化方法、および、情報記録媒体 - Google Patents

公開鍵暗号システム、暗号化装置、復号化装置、暗号化方法、復号化方法、および、情報記録媒体

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JP2001117492A
JP2001117492A JP29644799A JP29644799A JP2001117492A JP 2001117492 A JP2001117492 A JP 2001117492A JP 29644799 A JP29644799 A JP 29644799A JP 29644799 A JP29644799 A JP 29644799A JP 2001117492 A JP2001117492 A JP 2001117492A
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Abstract

(57)【要約】 【課題】 カオス写像を用いた解読困難な公開鍵暗号シ
ステム、暗号化装置、復号化装置、暗号化方法、復号化
方法、および、情報記録媒体を提供する。 【解決手段】 復号化装置１０２と、暗号化装置１０３
と、は、楕円関数のi (i≧2)倍角の公式により得られる
有理写像F(・,・)と、有理数X (0＜X＜1)と、を共有す
る。復号化装置１０２は、秘密鍵となる整数pを用いて
公開鍵となる有理数Yを計算し、Yを暗号化装置１０３に
送信する。暗号化装置１０３は、公開鍵Yを用いて伝送
すべきメッセージを暗号化し、暗号化されたメッセージ
となる２つの有理数C1、C2を復号化装置１０２に送信す
る。復号化装置１０２は、暗号化されたメッセージC1、
C2と、秘密鍵pと、を用いて伝送されたメッセージを復
号する。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、公開鍵暗号システ
ム、暗号化装置、復号化装置、暗号化方法、復号化方
法、および、情報記録媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】従来から、メッセージを他者に解読され
ないように伝送する手法として公開鍵暗号システムが提
案されている。公開鍵暗号システムでは、以下のような
手順で、メッセージが伝送される。
【０００３】まず、メッセージを受け取る側（復号化
側）からメッセージを送り出す側（暗号化側）へ、他者
が見るおそれがある伝送路を介して、他者に見られても
よい公開鍵を送信する。この公開鍵は、復号化側で選択
した秘密鍵に対応するものである。
【０００４】次に、暗号化側は、この公開鍵により伝送
すべきメッセージを暗号化する。さらに、暗号化された
メッセージを、他者が見るおそれがある伝送路を介し
て、暗号化側から復号化側へ送信する。
【０００５】最後に、復号化側は、暗号化されたメッセ
ージを、公開鍵に対応する秘密鍵を用いて復号し、伝送
されたメッセージを得る。
【０００６】このように、公開鍵暗号システムでは、秘
密鍵は復号化側以外の誰にも見られないため、メッセー
ジの解読が困難になる。
【０００７】
【発明が解決しようとする課題】このような公開鍵暗号
システムでは、秘密鍵から公開鍵を生成するが、生成さ
れた公開鍵や、これと公開鍵により暗号化されたメッセ
ージから秘密鍵を推測することが困難な生成方法が望ま
れている。一方で、暗号化と復号化ができるだけ簡単な
計算でできることが望ましい。
【０００８】本発明は、以上のような課題を解決するた
めになされたもので、カオス写像を用いた解読困難な公
開鍵暗号システム、暗号化装置、復号化装置、暗号化方
法、復号化方法、これらを実現するためのプログラムを
記録したコンピュータ読取可能な情報記録媒体を提供す
ることを目的とする。
【０００９】
【課題を解決するための手段】以上の目的を達成するた
め、本発明の原理にしたがって、下記の発明を開示す
る。
【００１０】本発明の公開鍵暗号システムは、楕円曲線
y(x)2=x(a0+a1x+a2x2+a3x3) （ただし a0＞0； a0+a
1+a2+a3=0； 0＜x＜1 に対して a0+a1x1+a2x2+a3x3＞
0； a 0, a1, a2, a3は有理数）に対応し、s-1(u)=∫0 u
dx/(2y(x))で定義される楕円関数s(・)のi倍角（iは2以
上の整数）の公式により F(i,s(θ)2)=s(iθ)2 と定義
される有理写像F(・,・)と、有理数X (0＜X＜1)と、を
用いる暗号化装置および復号化装置を備えるように構成
する。
【００１１】ここで、復号化装置は、整数p (p≧2)を取
得し、公開鍵Y=F(p,X)を計算し、当該公開鍵Yを暗号化
装置に送信する。
【００１２】暗号化装置は、復号化装置から送信された
公開鍵Yを受信し、伝送すべきメッセージを受け付け、
当該メッセージを有理数m (0≦m≦1)に変換し、整数r
(r≧2)を取得し、第１の暗号C1=F(r,X)を計算し、第２
の暗号C2=mF(r,Y)を計算し、当該第１の暗号C1と、当該
第２の暗号C2と、を復号化装置に送信する。
【００１３】復号化装置は、暗号化装置から送信された
第１の暗号C1と、第２の暗号C2と、を受信し、有理数n=
C2/F(p,C1)を計算し、当該有理数nをメッセージに変換
し、変換されたメッセージを暗号化装置から伝送された
メッセージとして出力する。
【００１４】また、本発明の公開鍵暗号システムにおい
て、当該有理数Xと、当該有理数mと、当該公開鍵Yと、
当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、当該有理数
nと、は、所定の精度を保証した実数により表現される
ように構成することができる。
【００１５】また、本発明の公開鍵暗号システムにおい
て、当該有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理数Xと、当
該有理数mと、当該公開鍵Yと、当該第１の暗号C1と、当
該第２の暗号C2と、当該有理数nと、は、それぞれ、q個
（ただしqは素数kの所定の整数w乗）個の要素からなる
有限体Fq=Z/qZ上の要素として表現されるように構成す
ることができる。
【００１６】これにより、ディジタル演算を容易にし、
高速な公開鍵暗号システムを提供することができる。
【００１７】本発明の暗号化装置は、上記有理写像F
(・,・)と、有理数X (0＜X＜1)と、を用いる暗号化装置
であって、公開鍵受信部と、有理数受付部と、整数取得
部と、第１の暗号計算部と、第２の暗号計算部と、暗号
送信部と、を備えるように構成する。
【００１８】公開鍵受信部は、公開鍵Y (0＜Y＜1)を受
信する。
【００１９】有理数受付部は、伝送すべき有理数m (0≦
m≦1)を受け付ける。
【００２０】整数取得部は、整数r (r≧2)を取得する。
【００２１】第１の暗号計算部は、第１の暗号C1=F(r,
X)を計算する。
【００２２】第２の暗号計算部は、第２の暗号C2=mF(r,
Y)を計算する。
【００２３】暗号送信部は、当該第１の暗号C1と、当該
第２の暗号C2と、を送信する。
【００２４】また、本発明の暗号化装置は、公開鍵受信
部にかえて、公開鍵記憶部を備えるように構成すること
ができる。
【００２５】ここで、公開鍵記憶部は、公開鍵Y (0＜Y
＜1)を記憶する。
【００２６】また、本発明の暗号化装置は、有理数受付
部にかえて、メッセージ受付部と、有理数変換部と、を
備えるように構成することができる。
【００２７】ここで、メッセージ受付部は、伝送すべき
メッセージを受け付ける。
【００２８】有理数変換部は、当該メッセージを有理数
m (0≦m≦1)に変換する。
【００２９】また、本発明の暗号化装置において、当該
有理数Xと、当該公開鍵Yと、当該有理数mと、当該第１
の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、は、所定の精度を保
証した実数により表現されるように構成することができ
る。
【００３０】また、本発明の暗号化装置において、当該
有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理数Xと、当該有理数m
と、当該公開鍵Yと、当該第１の暗号C1と、当該第２の
暗号C 2と、は、それぞれ、q個（ただしqは素数kの所定
の整数w乗）個の要素からなる有限体Fq=Z/qZ上の要素と
して表現されるように構成することができる。
【００３１】本発明の復号化装置は、上記有理写像F
(・,・)と、有理数X (0＜X＜1)と、を用いる復号化装置
であって、整数取得部と、公開鍵計算部と、公開鍵送信
部と、暗号受信部と、有理数計算部と、有理数出力部
と、を備えるように構成する。
【００３２】ここで、整数取得部は、整数p (p≧2)を取
得する。
【００３３】公開鍵計算部は、公開鍵Y=F(p,X)を計算す
る。
【００３４】公開鍵送信部は、当該公開鍵Yを送信す
る。
【００３５】暗号受信部は、第１の暗号C1 (0＜C1＜1)
と、第２の暗号C2 (0＜C2＜1)と、を受信する。
【００３６】有理数計算部は、有理数n=C2/F(p,C1)を計
算する。
【００３７】有理数出力部は、当該有理数nを伝送され
た有理数として出力する。
【００３８】また、本発明の復号化装置は、有理数出力
部にかえて、メッセージ変換部と、メッセージ出力部
と、を備えるように構成することができる。
【００３９】ここで、メッセージ変換部は、当該有理数
nをメッセージに変換する。
【００４０】メッセージ出力部は、変換されたメッセー
ジを伝送されたメッセージとして出力する。
【００４１】また、本発明の復号化装置において、当該
有理数Xと、当該公開鍵Yと、当該第１の暗号C1と、当該
第２の暗号C2と、当該有理数nと、は、所定の精度を保
証した実数により表現されるように構成することができ
る。
【００４２】また、本発明の復号化装置において、当該
有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理数Xと、当該公開鍵Y
と、当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、当該有
理数nと、は、それぞれ、q個（ただしqは素数kの所定の
整数w乗）個の要素からなる有限体Fq=Z/qZ上の要素とし
て表現されるように構成することができる。
【００４３】本発明の暗号化方法は、上記有理写像F
(・,・)と、有理数X (0＜X＜1)と、を用いる暗号化方法
であって、公開鍵受信工程と、有理数受付工程と、整数
取得工程と、第１の暗号計算工程と、第２の暗号計算工
程と、暗号送信工程と、を備えるように構成する。
【００４４】ここで、公開鍵受信工程では、公開鍵Y (0
＜Y＜1)を受信する。
【００４５】有理数受付工程では、伝送すべき有理数m
(0≦m≦1)を受け付ける。
【００４６】整数取得工程では、整数r (r≧2)を取得す
る。
【００４７】第１の暗号計算工程では、第１の暗号C1=F
(r,X)を計算する。
【００４８】第２の暗号計算工程では、第２の暗号C2=m
F(r,Y)を計算する。
【００４９】暗号送信工程では、当該第１の暗号C1と、
当該第２の暗号C2と、を送信する。
【００５０】また、本発明の暗号化方法は、公開鍵受信
工程にかえて、公開鍵記憶工程を備えるように構成する
ことができる。
【００５１】ここで、公開鍵記憶工程では、公開鍵Y (0
＜Y＜1)を記憶する。
【００５２】また、本発明の暗号化方法は、有理数受付
工程にかえて、メッセージ受付工程と、有理数変換工程
と、を備えるように構成することができる。
【００５３】ここで、メッセージ受付工程では、伝送す
べきメッセージを受け付ける。
【００５４】有理数変換工程では、当該メッセージを有
理数m (0≦m≦1)に変換する。
【００５５】また、本発明の暗号化方法において、当該
有理数Xと、当該公開鍵Yと、当該有理数mと、当該第１
の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、は、所定の精度を保
証した実数により表現されるように構成することができ
る。
【００５６】また、本発明の暗号化方法において、当該
有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理数Xと、当該有理数m
と、当該公開鍵Yと、当該第１の暗号C1と、当該第２の
暗号C 2と、は、それぞれ、q個（ただしqは素数kの所定
の整数w乗）個の要素からなる有限体Fq=Z/qZ上の要素と
して表現されるように構成することができる。
【００５７】本発明の復号化方法は、上記有理写像F
(・,・)と、有理数X (0＜X＜1)と、を用いる復号化方法
であって、整数取得工程と、公開鍵計算工程と、公開鍵
送信工程と、暗号受信工程と、有理数計算工程と、有理
数出力工程と、を備えるように構成する。
【００５８】ここで、整数取得工程では、整数p (p≧2)
を取得する。
【００５９】公開鍵計算工程では、公開鍵Y=F(p,X)を計
算する。
【００６０】公開鍵送信工程では、当該公開鍵Yを送信
する。
【００６１】暗号受信工程では、第１の暗号C1 (0＜C1
＜1)と、第２の暗号C2 (0＜C2＜1)と、を受信する。
【００６２】有理数計算工程では、有理数n=C2/F(p,C1)
を計算する。
【００６３】有理数出力工程では、当該有理数nを伝送
された有理数として出力する。
【００６４】また、本発明の復号化方法は、有理数出力
工程にかえて、メッセージ変換工程と、メッセージ出力
工程と、を備えるように構成することができる。
【００６５】ここで、メッセージ変換工程では、当該有
理数nをメッセージに変換する。
【００６６】メッセージ出力工程では、変換されたメッ
セージを伝送されたメッセージとして出力する。
【００６７】また、本発明の復号化方法において、当該
有理数Xと、当該公開鍵Yと、当該第１の暗号C1と、当該
第２の暗号C2と、当該有理数nと、は、所定の精度を保
証した実数により表現されるように構成することができ
る。
【００６８】また、本発明の復号化方法において、当該
有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理数Xと、当該公開鍵Y
と、当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、当該有
理数nと、は、それぞれ、q個（ただしqは素数kの所定の
整数w乗）個の要素からなる有限体Fq=Z/qZ上の要素とし
て表現されるように構成することができる。
【００６９】本発明の暗号化装置、および、復号化装置
は、上述の機能を有する電子回路を組み合わせることに
よって実現することができる。本発明では、有理写像の
計算のみが用いられるため、加減乗除なのの演算ができ
る電子回路を用いるだけでよい。また、所定の精度を有
する浮動小数点数表現を用いて本発明における各種の計
算を行うことができる。
【００７０】また、本発明の公開鍵暗号システム、暗号
化装置、復号化装置、暗号化方法、および、復号化方法
を実現するプログラムをコンパクトディスク、フロッピ
ーディスク、ハードディスク、光磁気ディスク、ディジ
タルビデオディスク、磁気テープ、半導体メモリなどの
コンピュータ読取可能な情報記録媒体に記録することが
できる。
【００７１】本発明の情報記録媒体に記録されたプログ
ラムを、入力装置、記憶装置、制御装置、出力装置、通
信装置などを備える汎用コンピュータ、携帯電話機、Ｐ
ＨＳ（Personal Handyphone System）、ゲーム装置など
の情報処理装置に実行させてこれらを暗号化装置、およ
び、復号化装置、として機能させるにより、上記の公開
鍵暗号システム、暗号化装置、復号化装置、暗号化方
法、および、復号化方法を実現することができる。
【００７２】また、携帯端末や情報処理装置とは独立し
て、本発明のプログラムを記録した情報記録媒体を配
布、販売することができる。
【００７３】
【発明の実施の形態】以下に本発明の一実施形態を説明
する。なお、以下に説明する実施形態は説明のためのも
のであり、本発明の範囲を制限するものではない。した
がって、当業者であればこれらの各要素もしくは全要素
をこれと均等なものに置換した実施形態を採用すること
が可能であるが、これらの実施形態も本発明の範囲に含
まれる。
【００７４】（第１の実施形態）本発明では、前述のよ
うに、楕円曲線 y(x)2=x(a0+a1x+a2x2+a3x3) ただし a0＞0； a0+a1+a2+a3=0； 0＜x＜1 に対して a0+a1x1+a2x2+a3x3＞0； a0, a1, a2, a3は有理数に対応する楕円関数s(・)のi倍
角（iは2以上の整数）の公式により F(i,s(θ)2)=s(iθ)2 と定義される有理写像F(・,・)を用いる。
【００７５】この有理写像F(・,・)は、カオス写像と呼
ばれるもので、任意の実数X (0≦X≦1)と2以上の整数
p、rに対して、 F(p,F(r,X))=F(r,F(p,X)) なる性質を有する。特に、任意の有理数X (0＜X＜1)に
対して、 0＜F(p,X)＜1 が成立する。
【００７６】また、楕円関数s(・)は、 s-1(u) = ∫0 u dv/2(v(a0+a1v+a2v2+a3v3))1/2 = ∫0 u dx/(2y(x)) のように、逆関数で定義することができる。また、 K=∫0 1 du/2(u(a0+a1u+a2u2+a3u3))1/2 とおくと、s(・)2の周期は、2Kとなり、任意の実数X (0
＜X＜1)に対して 0＜s(X)2＜1 が成立する。
【００７７】さらに、カオス写像F(p,・)は、絶対連続
な不変測度 ρ(x)dx= dx/(2K(x(a0+a1x+a2x2+a3x3))1/2) を持つ。したがって、Xが上記不変測度に従う場合、F
(p,X)も上記不変測度に従う。
【００７８】たとえば、 a0=1； a1=-(s+t+1)； a2=st+s+t； a3=-st のように定義した場合、F(・,・)は、一般化チェビシェ
フ写像というカオス有理写像になる。
【００７９】三角関数も楕円関数の一種であり、たとえ
ば、s(θ)=sinθと置くと、 F(1,X) = X； F(2,X) = 4X(1-X)； F(3,X) = X(4X-3)2 のように有理写像F(・,・)が定義される。
【００８０】本発明の公開鍵暗号システムでは、このよ
うな有理写像F(・,・)と、有理数X(0＜X＜1)と、を復号
化側と暗号化側とで共有することにより、メッセージを
暗号化して伝送する。
【００８１】本発明で使用される有理写像F(・,・)の定
義には、有理数による加減乗除のみが使用されるため、
計算が容易にできる。
【００８２】（第１の実施形態の公開鍵暗号システム）
図１は、本発明の公開鍵暗号システムの第１の実施形態
の概要構成を示す説明図である。以下、本図を参照して
説明する。
【００８３】公開鍵暗号システム１０１は、復号化装置
１０２と、暗号化装置１０３と、を備える。これらは、
有理写像F(・,・)と、有理数X (0＜X＜1)と、を共有す
る。
【００８４】復号化装置１０２は、秘密鍵となる整数p
を用いて公開鍵となる有理数Yを計算し、Yを暗号化装置
１０３に送信する。
【００８５】暗号化装置１０３は、公開鍵Yを用いて伝
送すべきメッセージを暗号化し、暗号化されたメッセー
ジとなる２つの有理数C1、C2を復号化装置１０２に送信
する。
【００８６】復号化装置１０２は、暗号化されたメッセ
ージC1、C2と、秘密鍵pと、を用いて伝送されたメッセ
ージを復号する。
【００８７】本発明においては、後述するように、有理
写像F(・,・)と、有理数Xと、公開鍵Yと、暗号化された
メッセージC1、C2と、が他者に知られても、解読は困難
である。解読の難易度は、楕円ＥｌＧａｍａｌ暗号と同
様であり、楕円離散対数問題に帰着される。この問題
は、効率的な解法が存在しない大変困難な問題と考えら
れている。したがって、セキュリティの強い公開鍵暗号
システムを提供することができる。
【００８８】（第１の実施形態の暗号化装置）図２は、
暗号化装置１０３の概要構成を示す模式図である。以
下、本図を参照して説明する。
【００８９】暗号化装置１０３は、公開鍵受信部２０１
と、有理数受付部２０２と、整数取得部２０３と、第１
の暗号計算部２０４と、第２の暗号計算部２０５と、暗
号送信部２０６と、を備える。
【００９０】公開鍵受信部２０１は、復号化装置１０２
から送信された公開鍵Y (0＜Y＜1)を受信する。
【００９１】有理数受付部２０２は、伝送すべき有理数
m (0≦m≦1)を受け付ける。なお、任意の有限長のビッ
ト列やバイト列は、有理数との間で一意に変換すること
ができるため、通常の情報交換で用いられるビット列や
バイト列を本発明の暗号化装置１０３にて処理すること
もできる。これについては後述する。
【００９２】整数取得部２０３は、整数r (r≧2)を取得
する。公知の乱数生成手法、たとえば、線形シフトレジ
スタを用いたものやカオス系列を用いたものなど、種々
の手法により生成した乱数をこの整数rとして取得する
ことができる。
【００９３】第１の暗号計算部２０４は、第１の暗号C1
=F(r,X)を計算する。第２の暗号計算部２０５は、第２
の暗号C2=mF(r,Y)を計算する。一般に、有理写像F(・,
・)は、有理数の加減乗除演算によって定義できるた
め、これらの計算は、汎用コンピュータなどの情報処理
装置のＣＰＵ（Central Processing Unit；中央処理ユ
ニット）が備えるＡＬＵ（Arithmetic Logic Unit；演
算論理ユニット）により容易に計算することができる。
また、所定の精度の浮動小数点数や固定小数点数の表現
にてこれらの有理数を表現してもよい。これらの表現で
は、計算過程で所定の精度が保証される。さらに、専用
の演算電子回路を構成してこれらの暗号計算部を構成す
ることもできる。
【００９４】暗号送信部２０６は、計算結果の当該第１
の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、を復号化装置１０２
に送信する。
【００９５】図３は、暗号化装置１０３にて使用される
暗号化処理の流れを示すフローチャートである。以下、
本図を参照して説明する。なお、本フローチャート中図
３（ａ）では、並列に処理が実行できる部分について
は、矢印を分岐させることにより、表現している。これ
らは、逐次的に処理することもできるし、並列に処理す
ることもできる。
【００９６】一方、フローチャート中の各ステップをあ
らわす箱に矢印が複数入っている場合は、そのステップ
が実行できるのは、その上流のステップをすべて実行し
た後であることを意味する。
【００９７】このように、各ステップの順序を依存関係
が維持される範囲で、任意に変更することができる。こ
れらの実施例を図３（ｂ）、図３（ｃ）に示す。
【００９８】まず、暗号化装置１０３は、復号化装置１
０２から送信された公開鍵Yを受信する（ステップＳ３
０１）。
【００９９】一方、暗号化装置１０３は、伝送すべき有
理数mを受け付ける（ステップＳ３０２）。
【０１００】また、暗号化装置１０３は、整数rを取得
する（ステップＳ３０３）。
【０１０１】暗号化装置１０３は、ステップＳ３０３終
了後に、第１の暗号C1=F(r,X)を計算する（ステップＳ
３０４）。
【０１０２】暗号化装置１０３は、ステップＳ３０１、
ステップＳ３０２、および、ステップＳ３０３終了後
に、第２の暗号C2=mF(r,Y)を計算する（ステップＳ３０
５）。
【０１０３】暗号化装置１０３は、ステップＳ３０４、
および、ステップＳ３０５終了後に、当該第１の暗号C1
と、当該第２の暗号C2と、を復号化装置１０２に送信す
る（ステップＳ３０６）。
【０１０４】（第１の実施形態の復号化装置）図４は、
復号化装置１０２の概要構成を示す模式図である。以
下、本図を参照して説明する。
【０１０５】本発明の復号化装置１０２は、整数取得部
４０１と、公開鍵計算部４０２と、公開鍵送信部４０３
と、暗号受信部４０４と、有理数計算部４０５と、有理
数出力部４０６と、を備える。
【０１０６】これらのうち、整数取得部４０１と、公開
鍵計算部４０２と、公開鍵送信部４０３と、は、公開鍵
を生成して暗号化装置１０３に送信する機能を果たす。
一方、暗号受信部４０４と、有理数計算部４０５と、有
理数出力部４０６と、は、受信した暗号化済みメッセー
ジを復号する機能を果たす。
【０１０７】整数取得部４０１は、整数p (p≧2)を取得
する。公知の乱数生成手法、たとえば、線形シフトレジ
スタを用いたものやカオス系列を用いたものなど、種々
の手法により生成した乱数をこの整数pとして取得する
ことができる。
【０１０８】公開鍵計算部４０２は、公開鍵Y=F(p,X)を
計算し、公開鍵送信部４０３は、当該公開鍵Yを暗号化
装置１０３に送信する。
【０１０９】暗号受信部４０４は、暗号化装置１０３か
ら送信された第１の暗号C1 (0＜C1＜1)と、第２の暗号C
2 (0＜C2＜1)と、を受信する。
【０１１０】有理数計算部４０５は、有理数n=C2/F(p,C
1)を計算する。
【０１１１】有理数出力部４０６は、当該有理数nを伝
送された有理数として出力する。
【０１１２】公開鍵計算部４０２と、有理数計算部４０
５と、は、暗号化装置１０３の第１の暗号計算部２０４
および第２の暗号計算部２０５同様、ＣＰＵのＡＬＵや
専用の演算電子回路により構成することができる。ま
た、暗号化装置１０３同様、有理数を浮動小数点数表現
や固定小数点数表現により表現してもよい。
【０１１３】図５は、復号化装置１０２にて使用される
復号化処理の流れを示すフローチャートである。以下、
本図を参照して説明する。
【０１１４】復号化装置１０２は、整数p (p≧2)を取得
し（ステップＳ５０１）、復号化装置１０２の公開鍵計
算部４０２は、公開鍵Y=F(p,X)を計算し（ステップＳ５
０２）、当該公開鍵Yを暗号化装置１０３に送信する
（ステップＳ５０３）。
【０１１５】その後、復号化装置１０２は、暗号化装置
１０３から送信された第１の暗号C1(0＜C1＜1)と、第２
の暗号C2 (0＜C2＜1)と、を受信し（ステップＳ５０
４）、有理数n=C2/F(p,C1)を計算する（ステップＳ５０
５）。
【０１１６】最後に、復号化装置１０２は、当該有理数
nを伝送された有理数として出力する（ステップＳ５０
６）。
【０１１７】以下、本発明の公開鍵暗号システム１０１
において、復号が除算により容易にできる点について詳
細に説明する。上述のように、暗号化装置１０３が暗号
化に使用する公開鍵Yは、 Y=F(p,X) のように定義される。したがって、第２の暗号は、 C2=mF(r,Y)=mF(r,F(p,X)) のように展開することができる。一方、本発明の有理写
像F(・,・)の交換則により、 F(r,F(p,X))=F(p,F(r,X)) であるから、 C2=mF(p,F(r,X)) となる。
【０１１８】一方、第１の暗号は、 C1=F(r,X) と定義されるから、 F(p,C1)=F(p,F(r,X)) が成立する。
【０１１９】したがって、復号化装置１０２の有理数計
算部４０５にて得られる有理数nについて n = C2/F(p,C1) = mF(p,F(r,X))/F(p,F(r,X)) = m が成立する。
【０１２０】以上のように、本発明により、暗号化装置
１０３が受け付けた有理数mと、復号化装置１０２が出
力する有理数nと、は互いに等しいことが証明された。
【０１２１】暗号化装置１０３と、復号化装置１０２
と、で共有される有理数Xの分布を上記の不変測度にし
たがうようにすれば、公開鍵Y、第１の暗号C1、第２の
暗号C2の分布も、上述の不変測度にしたがう。このよう
にするためには、たとえば、カオス写像F(q,・)を所定
の初期値に繰り返し関数適用して得られる有理数列（カ
オス乱数列）の中から有理数Xを選択すればよい。
【０１２２】図６は、この不変測度をグラフにより図示
したものである。この分布は、暗号化プロセスおよび復
号化プロセスによって不変であるため、本発明により、
解読されにくい公開鍵暗号システムを提供することがで
きる。
【０１２３】（第２の実施形態）上記実施形態では、暗
号化装置１０３から復号化装置１０２へ送信されるメッ
セージは有理数であった。本実施形態は、一般的な情報
伝送で用いられるように、ビット列やバイト列を伝送す
る。
【０１２４】図７は、本実施形態の暗号化装置１０３の
概要構成を、図８は、本実施形態の復号化装置１０２の
概要構成を、それぞれ示す模式図である。なお、上述の
図と同じ機能を果たす要素には、同じ符号を付してあ
る。
【０１２５】上記実施形態と異なり、本実施形態の暗号
化装置１０３は、有理数受付部２０２にかえて、メッセ
ージ受付部６０１と、有理数変換部６０２と、を備え
る。一方、本実施形態の復号化装置１０２は、有理数出
力部４０６にかえて、メッセージ変換部７０１と、メッ
セージ出力部７０２と、を備える。
【０１２６】以下、有理数変換部６０２と、メッセージ
変換部７０１と、で実行される処理について説明する。
以下では、２バイト（オクテット）のＡＳＣＩＩ文字列
からなるバイト列「AB」をメッセージとして伝送する場
合を例として説明する。
【０１２７】まず、伝送するメッセージのバイト列をビ
ット列の表現にする。たとえば、「A」のＡＳＣＩＩコ
ードは６５であるから、ビット列で表現すると「010000
01」となる。「B」も同様に、ビット列で表現すると「0
1000010」となる。
【０１２８】これらを順に並べたもの「01000001010000
10」を小数部として持つ２進数表現の有理数「0.010000
0101000010」が、バイト列を０以上１以下の有理数に変
換したものである。
【０１２９】このほか、有理数とビット列やバイト列の
相互変換については、既存の公開鍵暗号システムなどで
用いられている公知の技法、たとえば、比較的小さな素
数kと大きな自然数wに対して、有限なq=kw個の元を持つ
有限体Fq上の演算に換言するなどの手法を用いることが
でき、これらの実施形態も本発明の範囲に含まれる。
【０１３０】（第３の実施形態）本実施形態の基本構成
は、上記の実施形態と同様であるが、以下の点が異な
る。すなわち、本実施形態では、あらかじめ有理写像F
(・,・)と、有理数Xと、公開鍵Yと、を暗号化装置１０
３に知らせておき、暗号化装置１０３では、これらを記
憶して、以降のメッセージ伝送ではこれらを用いて暗号
化を行う。
【０１３１】すでに、電子メールシステムなどで公開鍵
暗号システムが用いられているが、本実施形態を採用す
ることにより、このような既存の公開鍵暗号システムの
かわりに、本発明の公開鍵暗号システムを利用すること
ができる。
【０１３２】暗号化装置１０３では、公開鍵受信部２０
１にかえて、公開鍵記憶部を備えるように構成する。公
開鍵記憶部は、たとえば、フロッピーディスクやハード
ディスクなどの情報記録媒体により構成され、復号化装
置１０２にて生成された公開鍵Yを記憶する。さらに、
有理写像F(・,・)や有理数Xをあらかじめ記憶してもよ
い。
【０１３３】これらの情報は、あらかじめ復号化装置１
０２からコンピュータネットワークを介した通信や、フ
ロッピーディスクなどの情報記録媒体を物理的に移動さ
せることにより、暗号化装置１０３に伝達される。前者
の場合、復号化装置１０２の公開鍵送信部４０３は、公
開鍵を暗号化装置１０３へ送信する。一方、後者の場合
は、公開鍵を情報記録媒体に記憶し、これを物理的に暗
号化装置１０３に移動させ、読み込ませることによっ
て、公開鍵を暗号化装置１０３へ送信する。
【０１３４】暗号化装置１０３では、あらかじめ情報記
録媒体等に記憶された有理写像F(・,・)と、有理数X
と、公開鍵Yと、を用いて、伝送すべきメッセージの内
容を暗号化してから送信する。
【０１３５】本実施形態を電子メールシステムで用いる
場合、暗号化装置１０３は、伝送すべきメッセージを含
む電子メールの送信側に、復号化装置１０２は、受信側
に、それぞれ相当する。
【０１３６】インターネットでは、第三者が容易に送信
された電子メールの内容を見ることができる。本発明の
公開鍵暗号システムを利用すれば、第三者から見えるの
は、暗号化した内容だけであり、解読も困難であるた
め、セキュリティが高い電子メールシステムを提供する
ことができる。
【０１３７】（第４の実施形態）上記実施形態において
は、当該有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理数Xと、当
該有理数mと、当該公開鍵Yと、当該第１の暗号C1と、当
該第２の暗号C2と、当該有理数nと、は、その値の範囲
を満たす限り、任意のものとしていた。
【０１３８】本実施形態では、当該有理数a0、a1、a2、
a3と、当該有理数Xと、当該有理数mと、当該公開鍵Y
と、当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、当該有
理数nと、が、それぞれ、q個（ただしq=kw； kは素
数； wは所定の整数）個の要素からなる有限体Fq=Z/qZ
上の要素として表現されるように限定する。
【０１３９】この場合、四則演算（加減乗除）は、有限
体Fq=Z/qZ=Z/kwZ上の演算となり、ある有理数h (0≦h≦
1)との対応は、以下に関係によりとることができる。 h = b0/k + b1/k2 + b2/k3 + … + bw-1/kw； ただしj (0≦j≦w-1)に対してbjは整数で0≦bj≦k-1
【０１４０】このように、有理数hを整数列bjに対応さ
せ、有限体Fqの上で演算を行うことにより、ディジタル
演算を容易にし、解読されにくい高速な公開鍵暗号シス
テムを提供することができる。
【０１４１】
【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
カオス写像を用いた解読困難な公開鍵暗号システム、暗
号化装置、復号化装置、暗号化方法、復号化方法、およ
び、これらを実現するためのプログラムを記録したコン
ピュータ読取可能な情報記録媒体を提供することができ
る。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の公開鍵暗号システムの第１の実施形態
の概要構成を示す模式図である。
【図２】本発明の暗号化装置の第１の実施形態の概要構
成を示す模式図である。
【図３】本発明の暗号化処理の処理の流れを示すフロー
チャートである。
【図４】本発明の復号化装置の第１の実施形態の概要構
成を示す模式図である。
【図５】本発明の復号化処理の処理の流れを示すフロー
チャートである。
【図６】本発明で用いられる有理写像の不変測度の様子
を示すグラフである。
【図７】本発明の暗号化装置の第２の実施形態の概要構
成を示す模式図である。
【図８】本発明の復号化装置の第２の実施形態の概要構
成を示す模式図である。
【符号の説明】
１０１ 公開鍵暗号システム １０２ 復号化装置 １０３ 暗号化装置 ２０１ 公開鍵受信部 ２０２ 有理数受付部 ２０３ 整数取得部 ２０４ 第１の暗号計算部 ２０５ 第２の暗号計算部 ２０６ 暗号送信部 ４０１ 整数取得部 ４０２ 公開鍵計算部 ４０３ 公開鍵送信部 ４０４ 暗号受信部 ４０５ 有理数計算部 ４０６ 有理数出力部 ６０１ メッセージ受付部 ６０２ 有理数変換部 ７０１ メッセージ変換部 ７０２ メッセージ出力部
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き Ｆターム(参考） 5J104 AA16 EA16 FA01 FA08 JA25 NA02 NA19 NA23 NA27 PA07 PA08

Claims (31)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】楕円曲線 y(x)2=x(a0+a1x+a2x2+a3x3)
    （ただし a0＞0； a0+a1+a2+a3=0；0＜x＜1 に対して a
    0+a1x+a2x2+a3x3＞0； a0, a1, a2, a3は有理数）に対
    応し、s-1(u)=∫0 u dx/(2y(x))で定義される楕円関数s
    (・)のi倍角（iは2以上の整数）の公式により F(i,s
    (θ)2)=s(iθ)2 と定義される有理写像F(・,・)と、有
    理数X (0＜X＜1)と、を用いる暗号化装置および復号化
    装置を備える公開鍵暗号システムであって、 （ａ）前記復号化装置は、 整数p (p≧2)を取得し、 公開鍵Y=F(p,X)を計算し、 当該公開鍵Yを前記暗号化装置に送信し、 （ｂ）前記暗号化装置は、 前記復号化装置から送信された公開鍵Yを受信し、 伝送すべきメッセージを受け付け、 当該メッセージを有理数m (0≦m≦1)に変換し、 整数r (r≧2)を取得し、 第１の暗号C1=F(r,X)を計算し、 第２の暗号C2=mF(r,Y)を計算し、 当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、を前記復号
    化装置に送信し、 （ｃ）前記復号化装置は、 前記暗号化装置から送信された第１の暗号C1と、第２の
    暗号C2と、を受信し、 有理数n=C2/F(p,C1)を計算し、 当該有理数nをメッセージに変換し、 前記変換されたメッセージを前記暗号化装置から伝送さ
    れたメッセージとして出力することを特徴とする公開鍵
    暗号システム。
  2. 【請求項２】当該有理数Xと、当該有理数mと、当該公開
    鍵Yと、当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、当
    該有理数nと、は、所定の精度を保証した実数により表
    現されることを特徴とする請求項１に記載の公開鍵暗号
    システム。
  3. 【請求項３】当該有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理数
    Xと、当該有理数mと、当該公開鍵Yと、当該第１の暗号C
    1と、当該第２の暗号C2と、当該有理数nと、は、それぞ
    れ、q個（ただしqは素数kの所定の整数w乗）個の要素か
    らなる有限体Fq=Z/qZ上の要素として表現されることを
    特徴とする請求項１に記載の公開鍵暗号システム。
  4. 【請求項４】楕円曲線 y(x)2=x(a0+a1x+a2x2+a3x3)
    （ただし a0＞0； a0+a1+a2+a3=0；0＜x＜1 に対して a
    0+a1x1+a2x2+a3x3＞0； a0, a1, a2, a3は有理数）に対
    応し、s-1(u)=∫0 u dx/(2y(x))で定義される楕円関数s
    (・)のi倍角（iは2以上の整数）の公式により F(i,s
    (θ)2)=s(iθ)2 と定義される有理写像F(・,・)と、有
    理数X (0＜X＜1)と、を用いる暗号化装置であって、 公開鍵Y (0＜Y＜1)を受信する公開鍵受信部と、 伝送すべき有理数m (0≦m≦1)を受け付ける有理数受付
    部と、 整数r (r≧2)を取得する整数取得部と、 第１の暗号C1=F(r,X)を計算する第１の暗号計算部と、 第２の暗号C2=mF(r,Y)を計算する第２の暗号計算部と、 当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、を送信する
    暗号送信部と、 を備えることを特徴とする暗号化装置。
  5. 【請求項５】前記公開鍵受信部にかえて、公開鍵Y (0＜
    Y＜1)をあらかじめ記憶する公開鍵記憶部を備えること
    を特徴とする請求項４に記載の暗号化装置。
  6. 【請求項６】前記有理数受付部にかえて、 伝送すべきメッセージを受け付けるメッセージ受付部
    と、 当該メッセージを有理数m (0≦m≦1)に変換する有理数
    変換部と、 を備えることを特徴とする請求項４または５に記載の暗
    号化装置。
  7. 【請求項７】当該有理数Xと、当該公開鍵Yと、当該有理
    数mと、当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、
    は、所定の精度を保証した実数により表現されることを
    特徴とする請求項４から６のいずれか１項に記載の暗号
    化装置。
  8. 【請求項８】当該有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理数
    Xと、当該有理数mと、当該公開鍵Yと、当該第１の暗号C
    1と、当該第２の暗号C2と、は、それぞれ、q個（ただし
    qは素数kの所定の整数w乗）個の要素からなる有限体Fq=
    Z/qZ上の要素として表現されることを特徴とする請求項
    ４から６のいずれか１項に記載の暗号化装置。
  9. 【請求項９】楕円曲線 y(x)2=x(a0+a1x+a2x2+a3x3)
    （ただし a0＞0； a0+a1+a2+a3=0；0＜x＜1 に対して a
    0+a1x+a2x2+a3x3＞0； a0, a1, a2, a3は有理数）に対
    応し、s-1(u)=∫0 u dx/(2y(x))で定義される楕円関数s
    (・)のi倍角（iは2以上の整数）の公式により F(i,s
    (θ)2)=s(iθ)2 と定義される有理写像F(・,・)と、有
    理数X (0＜X＜1)と、を用いる復号化装置であって、 整数p (p≧2)を取得する整数取得部と、 公開鍵Y=F(p,X)を計算する公開鍵計算部と、 当該公開鍵Yを送信する公開鍵送信部と、 第１の暗号C1 (0＜C1＜1)と、第２の暗号C2 (0＜C2＜1)
    と、を受信する暗号受信部と、 有理数n=C2/F(p,C1)を計算する有理数計算部と、 当該有理数nを伝送された有理数として出力する有理数
    出力部と、 を備えることを特徴とする復号化装置。
  10. 【請求項１０】前記有理数出力部にかえて、 当該有理数nをメッセージに変換するメッセージ変換部
    と、 前記変換されたメッセージを伝送されたメッセージとし
    て出力するメッセージ出力部と、 を備えることを特徴とする請求項９に記載の復号化装
    置。
  11. 【請求項１１】当該有理数Xと、当該公開鍵Yと、当該第
    １の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、当該有理数nと、
    は、所定の精度を保証した実数により表現されることを
    特徴とする請求項９または１０に記載の復号化装置。
  12. 【請求項１２】当該有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理
    数Xと、当該公開鍵Yと、当該第１の暗号C1と、当該第２
    の暗号C2と、当該有理数nと、は、それぞれ、q個（ただ
    しqは素数kの所定の整数w乗）個の要素からなる有限体F
    q=Z/qZ上の要素として表現されることを特徴とする請求
    項９または１０に記載の復号化装置。
  13. 【請求項１３】楕円曲線 y(x)2=x(a0+a1x+a2x2+a3x3)
    （ただし a0＞0； a0+a1+a2+a3=0；0＜x＜1 に対して
    a0+a1x+a2x2+a3x3＞0； a0, a1, a2, a3は有理数）に対
    応し、s-1(u)=∫0 u dx/(2y(x))で定義される楕円関数s
    (・)のi倍角（iは2以上の整数）の公式により F(i,s
    (θ)2)=s(iθ)2 と定義される有理写像F(・,・)と、有
    理数X (0＜X＜1)と、を用いる暗号化方法であって、 公開鍵Y (0＜Y＜1)を受信する公開鍵受信工程と、 伝送すべき有理数m (0≦m≦1)を受け付ける有理数受付
    工程と、 整数r (r≧2)を取得する整数取得工程と、 第１の暗号C1=F(r,X)を計算する第１の暗号計算工程
    と、 第２の暗号C2=mF(r,Y)を計算する第２の暗号計算工程
    と、 当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、を送信する
    暗号送信工程と、 を備えることを特徴とする暗号化方法。
  14. 【請求項１４】前記公開鍵受信工程にかえて、公開鍵Y
    (0＜Y＜1)を記憶する公開鍵受信工程を備えることを特
    徴とする請求項１３に記載の暗号化方法。
  15. 【請求項１５】前記有理数受付工程にかえて、 伝送すべきメッセージを受け付けるメッセージ受付工程
    と、 当該メッセージを有理数m (0≦m≦1)に変換する有理数
    変換工程と、 を備えることを特徴とする請求項１３または１４に記載
    の暗号化方法。
  16. 【請求項１６】当該有理数Xと、当該公開鍵Yと、当該有
    理数mと、当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、
    は、所定の精度を保証した実数により表現されることを
    特徴とする請求項１３から１５のいずれか１項に記載の
    暗号化方法。
  17. 【請求項１７】当該有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理
    数Xと、当該有理数mと、当該公開鍵Yと、当該第１の暗
    号C1と、当該第２の暗号C2と、は、それぞれ、q個（た
    だしqは素数kの所定の整数w乗）個の要素からなる有限
    体Fq=Z/qZ上の要素として表現されることを特徴とする
    請求項１３から１５のいずれか１項に記載の暗号化方
    法。
  18. 【請求項１８】楕円曲線 y(x)2=x(a0+a1x+a2x2+a3x3)
    （ただし a0＞0； a0+a1+a2+a3=0；0＜x＜1 に対して
    a0+a1x+a2x2+a3x3＞0； a0, a1, a2, a3は有理数）に対
    応し、s-1(u)=∫0 u dx/(2y(x))で定義される楕円関数s
    (・)のi倍角（iは2以上の整数）の公式により F(i,s
    (θ)2)=s(iθ)2 と定義される有理写像F(・,・)と、有
    理数X (0＜X＜1)と、を用いる復号化方法であって、 整数p (p≧2)を取得する整数取得工程と、 公開鍵Y=F(p,X)を計算する公開鍵計算工程と、 当該公開鍵Yを送信する公開鍵送信工程と、 第１の暗号C1 (0＜C1＜1)と、第２の暗号C2 (0＜C2＜1)
    と、を受信する暗号受信工程と、 有理数n=C2/F(p,C1)を計算する有理数計算工程と、 当該有理数nを伝送された有理数として出力する有理数
    出力工程と、 を備えることを特徴とする復号化方法。
  19. 【請求項１９】前記有理数出力工程にかえて、 当該有理数nをメッセージに変換するメッセージ変換工
    程と、 前記変換されたメッセージを伝送されたメッセージとし
    て出力するメッセージ出力工程と、 を備えることを特徴とする請求項１８に記載の復号化方
    法。
  20. 【請求項２０】当該有理数Xと、当該公開鍵Yと、当該第
    １の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、当該有理数nと、
    は、所定の精度を保証した実数により表現されることを
    特徴とする請求項１８または１９に記載の復号化方法。
  21. 【請求項２１】当該有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理
    数Xと、当該公開鍵Yと、当該第１の暗号C1と、当該第２
    の暗号C2と、当該有理数nと、は、それぞれ、q個（ただ
    しqは素数kの所定の整数w乗）個の要素からなる有限体F
    q=Z/qZ上の要素として表現されることを特徴とする請求
    項１８または１９に記載の復号化方法。
  22. 【請求項２２】楕円曲線 y(x)2=x(a0+a1x+a2x2+a3x3)
    （ただし a0＞0； a0+a1+a2+a3=0；0＜x＜1 に対して
    a0+a1x+a2x2+a3x3＞0； a0, a1, a2, a3は有理数）に対
    応し、s-1(u)=∫0 u dx/(2y(x))で定義される楕円関数s
    (・)のi倍角（iは2以上の整数）の公式により F(i,s
    (θ)2)=s(iθ)2 と定義される有理写像F(・,・)と、有
    理数X (0＜X＜1)と、を用いる暗号化処理を実現するプ
    ログラムであって、 公開鍵Y (0＜Y＜1)を受信する公開鍵受信手順と、 伝送すべき有理数m (0≦m≦1)を受け付ける有理数受付
    手順と、 整数r (r≧2)を取得する整数取得手順と、 第１の暗号C1=F(r,X)を計算する第１の暗号計算手順
    と、 第２の暗号C2=mF(r,Y)を計算する第２の暗号計算手順
    と、 当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、を送信する
    暗号送信手順と、 を備える暗号化処理を実現することを特徴とするプログ
    ラムを記録したコンピュータ読取可能な情報記録媒体。
  23. 【請求項２３】前記公開鍵受信手順にかえて、 公開鍵Y (0＜Y＜1)を記憶する公開鍵記憶手順を備える
    暗号化処理を実現することを特徴とするプログラムを記
    録した請求項２２に記載の情報記録媒体。
  24. 【請求項２４】前記有理数受付手順にかえて、 伝送すべきメッセージを受け付けるメッセージ受付手順
    と、 当該メッセージを有理数m (0≦m≦1)に変換する有理数
    変換手順と、 を備える暗号化処理を実現することを特徴とするプログ
    ラムを記録した請求項２２または２３に記載の情報記録
    媒体。
  25. 【請求項２５】当該有理数Xと、当該公開鍵Yと、当該有
    理数mと、当該第１の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、
    は、所定の精度を保証した実数により表現されることを
    特徴とする請求項２２から２４のいずれか１項に記載の
    情報記録媒体。
  26. 【請求項２６】当該有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理
    数Xと、当該有理数mと、当該公開鍵Yと、当該第１の暗
    号C1と、当該第２の暗号C2と、は、それぞれ、q個（た
    だしqは素数kの所定の整数w乗）個の要素からなる有限
    体Fq=Z/qZ上の要素として表現されることを特徴とする
    請求項２２から２４のいずれか１項に記載の情報記録媒
    体。
  27. 【請求項２７】楕円曲線 y(x)2=x(a0+a1x+a2x2+a3x3)
    （ただし a0＞0； a0+a1+a2+a3=0；0＜x＜1 に対して
    a0+a1x+a2x2+a3x3＞0； a0, a1, a2, a3は有理数）に対
    応し、s-1(u)=∫0 u dx/(2y(x))で定義される楕円関数s
    (・)のi倍角（iは2以上の整数）の公式により F(i,s
    (θ)2)=s(iθ)2 と定義される有理写像F(・,・)と、有
    理数X (0＜X＜1)と、を用いる復号化処理を実現するプ
    ログラムであって、 整数p (p≧2)を取得する整数取得手順と、 公開鍵Y=F(p,X)を計算する公開鍵計算手順と、 当該公開鍵Yを送信する公開鍵送信手順と、 第１の暗号C1 (0＜C1＜1)と、第２の暗号C2 (0＜C2＜1)
    と、を受信する暗号受信手順と、 有理数n=C2/F(p,C1)を計算する有理数計算手順と、 当該有理数nを伝送された有理数として出力する有理数
    出力手順と、 を備える復号化処理を実現することを特徴とするプログ
    ラムを記録したコンピュータ読取可能な情報記録媒体。
  28. 【請求項２８】前記有理数出力手順にかえて、 当該有理数nをメッセージに変換するメッセージ変換手
    順と、 前記変換されたメッセージを伝送されたメッセージとし
    て出力するメッセージ出力手順と、 を備える復号化処理を実現することを特徴とするプログ
    ラムを記録した請求項２７に記載の情報記録媒体。
  29. 【請求項２９】当該有理数Xと、当該公開鍵Yと、当該第
    １の暗号C1と、当該第２の暗号C2と、当該有理数nと、
    は、所定の精度を保証した実数により表現されることを
    特徴とする請求項２７または２８に記載の情報記録媒
    体。
  30. 【請求項３０】当該有理数a0、a1、a2、a3と、当該有理
    数Xと、当該公開鍵Yと、当該第１の暗号C1と、当該第２
    の暗号C2と、当該有理数nと、は、それぞれ、q個（ただ
    しqは素数kの所定の整数w乗）個の要素からなる有限体F
    q=Z/qZ上の要素として表現されることを特徴とする請求
    項２７または２８に記載の情報記録媒体。
  31. 【請求項３１】前記プログラムを記録した情報記録媒体
    は、コンパクトディスク、フロッピーディスク、ハード
    ディスク、光磁気ディスク、ディジタルビデオディス
    ク、磁気テープ、半導体メモリであることを特徴とする
    請求項２２から３０のいずれか１項に記載の情報記録媒
    体。
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