JP2000276331A - Device and method for outputting random vector string, and information recording medium - Google Patents
Device and method for outputting random vector string, and information recording mediumInfo
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Abstract
Description
【０００１】[0001]
【発明の属する技術分野】本発明は、ランダムなベクト
ル列の出力装置、出力方法、および、情報記録媒体に関
する。BACKGROUND OF THE INVENTION 1. Field of the Invention The present invention relates to a random vector sequence output device, an output method, and an information recording medium.
【０００２】特に、出力されるランダムなベクトル列の
分布の密度関数が既知の解析的な関数であるようなベク
トル列の生成手法が２つあるときに、これらを結び付け
て、より高次元のランダムなベクトル列であって、その
分布の密度関数が解析的な関数として得られるものを出
力するランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、お
よび、これらを実現するプログラムを記録した情報記録
媒体に関する。In particular, when there are two methods of generating a vector sequence in which the density function of the distribution of the output random vector sequence is a known analytic function, these are linked to form a higher-dimensional random number. The present invention relates to an output device and an output method of a random vector sequence for outputting a simple vector sequence whose density function is obtained as an analytical function, and an information recording medium on which a program for realizing these is recorded.
【０００３】[0003]
【従来の技術】従来から、漸化式を用いた乱数の生成手
法が多数知られている。物理学や工学などの模擬実験を
行うモンテカルロ法では、このようにして生成された乱
数を用いる。2. Description of the Related Art Conventionally, many methods for generating random numbers using a recurrence formula have been known. In the Monte Carlo method for performing simulation experiments such as physics and engineering, the random numbers generated in this manner are used.
【０００４】また、移動体電話で用いられるＣＤＭＡ
（Code Division Multiple Access ）法では、限られた
電波帯域を多数のユーザが有効に利用できるようにする
ため、乱数から得られるＰＮ（Pseudo Noise）コードを
各ユーザに割り当てている。Further, CDMA used in mobile telephones
In the (Code Division Multiple Access) method, a PN (Pseudo Noise) code obtained from a random number is assigned to each user so that a large number of users can effectively use a limited radio band.
【０００５】このほか、インターネットなどの通信技術
の発達により、通信の秘密保持の必要性がますます大き
くなってきており、公開鍵暗号という手法を用いて秘密
保持を行うことが一般的になりつつある。この手法にお
いても、公開鍵を生成するために乱数が用いられてい
る。[0005] In addition, with the development of communication technologies such as the Internet, the necessity of maintaining confidentiality of communications has become more and more important, and it has become common to perform confidentiality using a technique called public key cryptography. is there. Also in this method, a random number is used to generate a public key.
【０００６】このような乱数を得るために、従来から、
漸化式を用いた手法が広く利用されている。古くから知
られる乗算による漸化式では乱数の周期が問題となって
いた。しかし、近年、カオス理論の発展により、楕円関
数（三角関数を含む）の加法定理から導かれる有理写像
を漸化式に用いて得られる乱数には、以下のような有利
な性質があることが判明しており、その重要性はますま
す高まってきている。In order to obtain such random numbers, conventionally,
Techniques using recurrence formulas are widely used. In the long-known recurrence formula by multiplication, the period of random numbers has been a problem. However, in recent years, with the development of chaos theory, random numbers obtained by using a rational map derived from the addition theorem of elliptic functions (including trigonometric functions) in a recurrence formula have the following advantageous properties. It is known and its importance is increasing.
【０００７】（１）出力される乱数列には周期がないた
め、繰り返し同じ列が出力されることがない。 （２）乱数の種（漸化式に与える初期値）として有理数
を与えると、得られる乱数列に含まれる数がいずれも有
理数になる。 （３）乱数の分布を表す密度関数が既知の解析的関数で
ある。(1) Since the output random number sequence has no cycle, the same sequence is not repeatedly output. (2) If a rational number is given as a random number seed (initial value given to the recurrence formula), all the numbers included in the obtained random number sequence become rational numbers. (3) The density function representing the distribution of random numbers is a known analytical function.
【０００８】このような有理写像には、ウラム＝フォン
・ノイマン写像［数１］、キュービック写像［数２］、
クインティック写像［数３］などが知られている。[0008] Such a rational mapping includes a Ulam-von Neumann mapping [Equation 1], a cubic mapping [Equation 2],
A quintic map [Equation 3] is known.
【０００９】[0009]
【数１】 (Equation 1)
【００１０】[0010]
【数２】 (Equation 2)
【００１１】[0011]
【数３】 (Equation 3)
【００１２】これらの有理写像のいずれを選んだ場合で
あっても、適当な初期値ξ (0<ξ<1)を与え、以下の漸
化式により乱数列x[i]を得た場合、この乱数列x[i]の分
布を表す密度関数は、［数４］で表現される。 x[0] = ξ x[i+1] = f(x[i]) (i≧0)Regardless of which of these rational mappings is selected, if an appropriate initial value ξ (0 <ξ <1) is given and a random number sequence x [i] is obtained by the following recurrence formula, The density function representing the distribution of the random number sequence x [i] is represented by [Equation 4]. x [0] = ξ x [i + 1] = f (x [i]) (i ≧ 0)
【００１３】[0013]
【数４】 (Equation 4)
【００１４】また、パラメータを有する有理写像も漸化
式として用いることができ、このような有理写像として
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像［数５］、一般化キュービック写像、一般化チェビ
シェフ写像などがある。A rational mapping having parameters can also be used as a recurrence formula. As such a rational mapping, a Katsura-Fukuda mapping, a generalized Ulam-von Neumann mapping [Equation 5], a generalized cubic mapping, Chebyshev mapping.
【００１５】[0015]
【数５】 (Equation 5)
【００１６】たとえば、一般化ウラム＝フォン・ノイマ
ン写像［数５］を用いて上記の漸化式により乱数列を得
た場合、その分布も同じパラメータを有する密度関数
［数６］で表現される。For example, when a random number sequence is obtained by the above recurrence formula using the generalized Ulam = von Neumann mapping [Equation 5], its distribution is also represented by a density function [Equation 6] having the same parameters. .
【００１７】[0017]
【数６】 (Equation 6)
【００１８】なお、カツラ＝フクダ写像は、一般化ウラ
ム＝フォン・ノイマン写像［数５］において、m=0 とお
いたものである。The Katsura-Fukuda mapping is a generalized Ulam-von Neumann mapping [Equation 5] with m = 0.
【００１９】これらの有理写像を用いた乱数を生成する
手法については、本願の発明者らによる出願に係る特開
平１０−２８３３４４号公報に開示されている。また、
その理論的背景については以下の文献に開示されてい
る。 S. M. Ulam and J. von Neumann, Bull. Math. Soc. 53
(1947) 1120. R. L. Adler and T. J. Rivlin, Proc. Am. Math. Soc.
15 (1964) 794. K. Umeno, Method of constructing exactly solvable
chaos, Phys. Rev. E(1997) Vol.55： 5280-5284.A method for generating random numbers using these rational mappings is disclosed in Japanese Patent Application Laid-Open No. Hei 10-283344 filed by the present inventors. Also,
The theoretical background is disclosed in the following literature. SM Ulam and J. von Neumann, Bull. Math. Soc. 53
(1947) 1120.RL Adler and TJ Rivlin, Proc. Am. Math. Soc.
15 (1964) 794.K. Umeno, Method of constructing exactly solvable
chaos, Phys. Rev. E (1997) Vol. 55: 5280-5284.
【００２０】従来、このような乱数生成手法では、乱数
の種としてスカラー値（１次元のベクトル）を与えるこ
とにより、乱数列（ランダムな１次元のベクトル列）を
得ることができた。Conventionally, with such a random number generation method, a random number sequence (random one-dimensional vector sequence) could be obtained by giving a scalar value (one-dimensional vector) as a random number seed.
【００２１】[0021]
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、従来の
乱数発生の手法においては、以下のような問題があっ
た。However, the conventional random number generation method has the following problems.
【００２２】すなわち、２次元以上の空間におけるモン
テカルロ法では、２次元以上のベクトルのランダムな列
が必要である。しかし、従来の乱数発生の手法において
は、得られる乱数列はスカラー値の列（１次元のベクト
ル列）であり、たとえば、３次元空間の模擬実験を行う
際に、この列の先頭から順に３個ずつ値を必要な数だけ
選択するのでは、乱数分布に偏りが発生し、収束性が悪
化してしまうという問題が生じていた。That is, the Monte Carlo method in a space of two or more dimensions requires a random sequence of vectors of two or more dimensions. However, in the conventional random number generation method, the obtained random number sequence is a sequence of scalar values (one-dimensional vector sequence). For example, when a three-dimensional space simulation experiment is performed, 3 If a required number of values are selected one by one, there arises a problem that the random number distribution is biased and the convergence is deteriorated.
【００２３】また、公開鍵暗号を生成する場合には、２
つの整数の対からなる乱数を得る必要があるが、従来の
乱数発生の手法においては、この対を同時に生成するこ
とができないため、悪意のある暗号解読者に対する防御
が十分でなくなってしまうという問題が生じていた。When generating public key cryptography, 2
Although it is necessary to obtain a random number consisting of two pairs of integers, the conventional method of generating random numbers cannot simultaneously generate this pair, and thus the protection against a malicious cryptanalyst becomes insufficient. Had occurred.
【００２４】このように、複数個の乱数の組が同時に１
つのベクトルとして生成され、これを列として、ランダ
ムなベクトル列を出力でき、なおかつ、これらのベクト
ル列の分布の密度関数が解析的に得られるような出力装
置や出力方法に対する要望は、極めて大きい。As described above, a plurality of sets of random numbers are simultaneously set to 1
There is a great demand for an output device and an output method that can be generated as two vectors and output as a column to output a random vector column, and that can obtain the density function of the distribution of these vector columns analytically.
【００２５】本発明は、以上のような問題を解決するた
めになされたもので、出力されるランダムなベクトル列
の分布の密度関数が既知の解析的な関数であるようなベ
クトル列の生成手法が２つあるときに、これらを結び付
けて、より高次元のランダムなベクトル列であって、そ
の分布の密度関数が解析的な関数として得られるものを
出力するランダムなベクトル列の出力装置、出力方法、
および、これらを実現するプログラムを記録した情報記
録媒体を提供することを目的とする。The present invention has been made in order to solve the above problems, and a method of generating a vector sequence in which the density function of the distribution of the output random vector sequence is a known analytical function. When there are two, an output device of a random vector sequence that outputs these as a higher-dimensional random vector sequence and a density function of the distribution obtained as an analytic function, Method,
It is another object of the present invention to provide an information recording medium on which a program for realizing the above is recorded.
【００２６】[0026]
【課題を解決するための手段】以上の目的を達成するた
め、本発明の原理にしたがって、下記の発明を開示す
る。In order to achieve the above object, the following invention is disclosed in accordance with the principle of the present invention.
【００２７】図１に示すように、本発明のランダムなベ
クトル列の出力装置１００は、第１の記憶手段１０１
と、第１の計算手段１０２と、第２の記憶手段１０３
と、第２の計算手段１０４と、出力手段１０５と、第１
の更新手段１０６と、第２の更新手段１０７とを備え、
（ａ）第１の記憶手段１０１は、１次元以上のベクトル
x を記憶し、（ｂ）第１の計算手段１０２は、第１の記
憶手段１０１に記憶されたベクトルx に第１の有理ベク
トル写像f を適用した結果のベクトルx'=f(x) を計算
し、As shown in FIG. 1, a random vector sequence output device 100 according to the present invention comprises a first storage means 101.
, A first calculation unit 102, and a second storage unit 103
, Second calculating means 104, output means 105, and first
Updating means 106 and a second updating means 107,
(A) The first storage means 101 is a vector of one or more dimensions
x, and (b) the first calculation means 102 calculates a vector x ′ = f (x) as a result of applying the first rational vector mapping f 2 to the vector x stored in the first storage means 101. Calculate,
【００２８】（ｃ）第２の記憶手段１０３は、１次元以
上のベクトルy を記憶し、（ｄ）第２の計算手段１０４
は、第１の計算手段１０１により計算された結果のベク
トルx'と、第２の記憶手段１０３に記憶された１次元以
上のベクトルy とに、第２の有理ベクトル写像g を適用
した結果のベクトルy'=g(x',y)を計算し、(C) The second storage means 103 stores a vector y of one or more dimensions, and (d) the second calculation means 104
Is the result of applying the second rational vector mapping g to the vector x ′ calculated as a result of the first calculation means 101 and the one-dimensional or higher-dimensional vector y stored in the second storage means 103. Calculate the vector y '= g (x', y),
【００２９】（ｅ）出力手段１０５は、第１の計算手段
１０２により計算された結果のベクトルx'と第２の計算
手段１０４により計算された結果のベクトルy'とを結合
したベクトルz'を出力し、（ｆ）第１の更新手段１０６
は、第１の計算手段１０２により計算された結果のベク
トルx'を第１の記憶手段１０１に記憶させて更新し、
（ｇ）第２の更新手段１０７は、第２の計算手段１０４
により計算された結果のベクトルy'を第２の記憶手段１
０３に記憶させて更新する。(E) The output means 105 generates a vector z 'obtained by combining the vector x' calculated as a result of the first calculation means 102 and the vector y 'calculated as a result of the second calculation means 104. (F) first updating means 106
Is stored in the first storage means 101 to update the vector x ′ calculated by the first calculation means 102,
(G) The second updating means 107 is a second calculating means 104
The vector y ′ resulting from the calculation is stored in the second storage unit 1
03 and updated.
【００３０】ここで、有理ベクトル写像f およびg とし
ては、後述するカオス理論に基づく写像のほか、乱数を
生成する漸化式に用いられる任意の写像を用いることが
できる。たとえば、巨大な素数を乗算して剰余を求める
写像などを利用することが可能である。Here, as the rational vector mappings f and g, other than the mapping based on the chaos theory described later, any mapping used in a recurrence formula for generating random numbers can be used. For example, it is possible to use a mapping that multiplies a huge prime number to obtain a remainder.
【００３１】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置において、第１の有理ベクトル写像f を１次元以
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、Further, in the random vector sequence output device of the present invention, the vector sequence x, f (x), f obtained by applying the first rational vector mapping f to the one-dimensional or more vector x zero or more times. The density function of the limit distribution of (f (x)), f (f (f (x))),… is an analytical function,
【００３２】第２の有理ベクトル写像g にパラメータと
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルy に０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。A mapping g (λ, ·) obtained by giving a one-dimensional vector λ as a parameter to the second rational vector mapping g is 1
A vector sequence y, g (λ, y), g (λ, g (λ, y)), g (λ, g (λ, g (λ, y The density function of the limit distribution of))),... Can be configured to be an analytical function having the parameter λ.
【００３３】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置の第１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法
定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノ
イマン写像、キュービック写像、クインティック写像、
または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・
ノイマン写像、一般化キュービック写像、もしくは一般
化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えたものの
いずれかとすることができる。The first rational vector mapping f of the random vector sequence output device of the present invention is a rational mapping derived from the addition theorem of the elliptic function, in particular, Ulam-von Neumann mapping, cubic mapping, quintic Mapping,
Or the wig-fukuda map, the generalized Ulam-von
It can be any of the Neumann mapping, the generalized cubic mapping, or the generalized Chebyshev mapping with predetermined parameters.
【００３４】また、本発明の第２の有理ベクトル写像g
は、楕円関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、
カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン
写像、一般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写
像のいずれかとすることができる。Also, the second rational vector mapping g of the present invention
Is a rational map derived from the addition theorem of the elliptic function, in particular,
It can be any of a Katsura-Fukuda mapping, a generalized Ulam-von Neumann mapping, a generalized cubic mapping, and a generalized Chebyshev mapping.
【００３５】第１の有理ベクトル写像f と、第２の有理
ベクトル写像g として上記のような楕円関数の加法定理
より導かれる有理写像を選択すると、出力手段１０５が
順次出力するベクトルの列の分布の密度関数をこれらの
写像から得られる乱数列の密度関数から得ることができ
る。When a rational map derived from the above-described addition theorem of the elliptic function is selected as the first rational vector map f and the second rational vector map g, the distribution of the sequence of vectors sequentially output by the output means 105 Can be obtained from the density function of the random number sequence obtained from these mappings.
【００３６】図２に示すように、本発明のランダムなベ
クトル列の出力装置２００は、生成手段２０１と、第１
の出力手段２０２と、第２の出力手段２０３と、第３の
出力手段２０４とを備え、 （ａ）生成手段２０１は、２次元以上のベクトルζを受
け付けて、これから１次元以上のベクトルξと１次元以
上のベクトルηとを生成し、As shown in FIG. 2, a random vector sequence output device 200 according to the present invention comprises
(A) The generating means 201 receives a vector の of two or more dimensions, and outputs a vector の of one or more dimensions. Generate a vector η of one or more dimensions,
【００３７】（ｂ）第１の出力手段２０２は、生成手段
２０１により生成されたベクトルξを受け付けて、第１
の有理ベクトル写像f を用いた漸化式 x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列x[i]を出力し、(B) The first output means 202 receives the vector ξ generated by the generation means 201, and
Output a vector sequence x [i] obtained by the recurrence formula x [0] = ζ x [i + 1] = f (x [i]) (where i ≧ 0) using the rational vector mapping f of
【００３８】（ｃ）第２の出力手段２０３は、生成手段
２０１により生成されたベクトルηと、第１の出力手段
２０２により出力されるベクトル列x[i]とを受け付け
て、第２の有理ベクトル写像g を用いた漸化式 y[0] = η y[i+1] = g(x[i+1],y[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列y[i]を出力し、(C) The second output means 203 receives the vector η generated by the generation means 201 and the vector sequence x [i] output by the first output means 202, and receives a second rational A recurrence formula y [0] = η y [i + 1] = g (x [i + 1], y [i]) using the vector mapping g (where i ≧ 0), and a vector sequence y [i ]
【００３９】（ｄ）第３の出力手段２０４は、第１の出
力手段２０２により出力されるベクトル列x[i]と、第２
の出力手段２０３により出力されるベクトル列y[i]とを
結合して得られるベクトル列z[i]を結果として出力す
る。(D) The third output means 204 outputs the vector sequence x [i] output from the first output means 202 and the second
And a vector sequence z [i] obtained by combining the vector sequence y [i] output from the output means 203 with the result.
【００４０】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置において、第１の有理ベクトル写像f を１次元以
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、Further, in the random vector sequence output device of the present invention, the vector sequence x, f (x), f obtained by applying the first rational vector mapping f to the one-dimensional or more vector x zero or more times. The density function of the limit distribution of (f (x)), f (f (f (x))),… is an analytical function,
【００４１】第２の有理ベクトル写像g にパラメータと
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルy に０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。A mapping g (λ, ·) obtained by giving a vector λ of one or more dimensions as a parameter to the second rational vector mapping g is 1
A vector sequence y, g (λ, y), g (λ, g (λ, y)), g (λ, g (λ, g (λ, y The density function of the limit distribution of))),... Can be configured to be an analytical function having the parameter λ.
【００４２】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置の第１の有理ベクトル写像fは、楕円関数の加法
定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フォン・ノ
イマン写像、キュービック写像、クインティック写像、
または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・
ノイマン写像、一般化キュービック写像もしくは一般化
チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えたもののい
ずれかとすることができる。The first rational vector mapping f of the random vector sequence output device of the present invention is a rational mapping derived from the addition theorem of an elliptic function, in particular, a Ulam-von Neumann mapping, a cubic mapping, a quintic Mapping,
Or the wig-fukuda map, the generalized Ulam-von
It can be any one of a Neumann mapping, a generalized cubic mapping, or a generalized Chebyshev mapping with given parameters.
【００４３】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置の第２の有理ベクトル写像gは、楕円関数の加法
定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝フクダ写
像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一般化キュ
ービック写像、一般化チェビシェフ写像のいずれかとす
ることができる。Further, the second rational vector mapping g of the random vector sequence output device of the present invention is a rational mapping derived from the addition theorem of an elliptic function, in particular, a Katsura-Fukuda mapping, a generalized Ulam = von Neumann. It can be any of a mapping, a generalized cubic mapping, and a generalized Chebyshev mapping.
【００４４】この場合も、有理ベクトル写像f とg とか
ら、出力されるベクトル列の分布の密度関数を解析的に
得ることができる。Also in this case, the density function of the distribution of the output vector sequence can be analytically obtained from the rational vector mappings f and g.
【００４５】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力装置の第１の出力手段もまた、本発明のランダムなベ
クトル列の出力装置とすることができる。すなわち、 （１）まず、ある有理ベクトル写像f とパラメータを有
する有理ベクトル写像g とからランダムなベクトル列の
出力装置Ｘを構成する。Further, the first output means of the random vector sequence output device of the present invention can also be the random vector sequence output device of the present invention. That is, (1) First, an output device X of a random vector sequence is configured from a certain rational vector mapping f and a rational vector mapping g having parameters.
【００４６】（２）次に、当該出力装置をある有理ベク
トル写像f'に対応させ、これとパラメータを有する有理
ベクトル写像g'とから、同じように新たなランダムなベ
クトル列の出力装置Ｙを構成する。Ｙが出力するベクト
ル列のベクトルの次元は、Ｘが出力するベクトル列のベ
クトルの次元よりも大きい。(2) Next, the output device is made to correspond to a certain rational vector mapping f ′, and from this and a rational vector mapping g ′ having parameters, an output device Y for a new random vector sequence is similarly generated. Constitute. The dimension of the vector of the vector sequence output by Y is larger than the dimension of the vector of the vector sequence output by X.
【００４７】（３）これを繰り返すことにより、ランダ
ムな任意の次元のベクトル列の出力装置を構成すること
ができる。(3) By repeating this, it is possible to configure an output device for a random vector sequence having an arbitrary dimension.
【００４８】本発明のランダムなベクトル列の出力方法
は、以下のステップを備える。 （ａ）第１の記憶手段に記憶された１次元以上のベクト
ルx を取得する第１の取得ステップと、（ｂ）第１の取
得ステップにおいて取得されたベクトルx に第１の有理
ベクトル写像f を適用した結果のベクトルx'=f(x) を計
算する第１の計算ステップと、The method for outputting a random vector sequence according to the present invention includes the following steps. (A) a first obtaining step of obtaining a vector x of one or more dimensions stored in the first storage means; and (b) a first rational vector mapping f to the vector x obtained in the first obtaining step. A first calculation step of calculating a vector x ′ = f (x) resulting from applying
【００４９】（ｃ）第２の記憶手段に記憶された１次元
以上のベクトルy を取得する第２の取得ステップと、
（ｄ）第１の計算ステップにおいて計算されたベクトル
x'と、第２の取得ステップにおいて取得されたベクトル
y とに第２の有理ベクトル写像g を適用した結果のベク
トルy'=g(x',y)を計算する第２の計算ステップと、(C) a second acquisition step of acquiring a one-dimensional or more vector y stored in the second storage means;
(D) the vector calculated in the first calculation step
x 'and the vector obtained in the second obtaining step
a second calculation step of calculating a vector y ′ = g (x ′, y) as a result of applying the second rational vector mapping g to y and
【００５０】（ｅ）第１の計算ステップにおいて計算さ
れた結果のベクトルx'と、第２の計算ステップにおいて
計算された結果のベクトルy'とを結合したベクトルz'を
出力する出力ステップと、(E) an output step of outputting a vector z ′ obtained by combining a vector x ′ obtained as a result of the first calculation step and a vector y ′ calculated as a result of the second calculation step;
【００５１】（ｆ）第１の計算ステップにおいて計算さ
れた結果のベクトルx'を第１の記憶手段に記憶させて更
新する第１の更新ステップと、（ｇ）第２の計算ステッ
プにおいて計算された結果のベクトルy'を第２の記憶手
段に記憶させて更新する第２の更新ステップ。(F) a first update step of storing and updating the vector x 'resulting from the calculation in the first calculation step in the first storage means; and (g) a calculation in the second calculation step. A second updating step of storing and updating the resulting vector y 'in the second storage means.
【００５２】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力方法において、第１の有理ベクトル写像f を１次元以
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、In the method for outputting a random vector sequence according to the present invention, a vector sequence x, f (x), f obtained by applying the first rational vector mapping f to the one-dimensional vector x zero or more times. The density function of the limit distribution of (f (x)), f (f (f (x))),… is an analytical function,
【００５３】第２の有理ベクトル写像g にパラメータと
して１次元以上のベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１
次元以上のベクトルy に０回以上適用して得られるベク
トル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であるように構成することができる。A mapping g (λ, ·) obtained by giving a vector λ of one or more dimensions as a parameter to the second rational vector mapping g is 1
A vector sequence y, g (λ, y), g (λ, g (λ, y)), g (λ, g (λ, g (λ, y The density function of the limit distribution of))),... Can be configured to be an analytical function having the parameter λ.
【００５４】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力方法において、第１の有理ベクトル写像f は、楕円関
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティッ
ク写像、またはカツラ＝フクダ写像一般化ウラム＝フォ
ン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もしくは一
般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えたもの
のいずれかとすることができる。In the method for outputting a random vector sequence according to the present invention, the first rational vector map f is a rational map derived from the addition theorem of an elliptic function, in particular, Ulam-von Neumann map, cubic map, It can be either a tick map, or a wig-Fukuda map, a generalized Ulam-von Neumann map, a generalized cubic map, or a generalized Chebyshev map with given parameters.
【００５５】また、本発明のランダムなベクトル列の出
力方法において、第２の有理ベクトル写像g は、カツラ
＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、
一般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のい
ずれかとすることができる。In the method for outputting a random vector sequence according to the present invention, the second rational vector map g is a wiggler-Fukuda map, a generalized Ulam-von Neumann map,
It can be either a generalized cubic map or a generalized Chebyshev map.
【００５６】この場合も、有理ベクトル写像f とg とか
ら、出力されるベクトル列の分布の密度関数を解析的に
得ることができる。Also in this case, the density function of the distribution of the output vector sequence can be analytically obtained from the rational vector mappings f and g.
【００５７】本発明のランダムなベクトル列を出力する
出力装置と、出力方法とを実現するプログラムをコンパ
クトディスク、フロッピーディスク、ハードディスク、
光磁気ディスク、ディジタルビデオディスク、磁気テー
プ、半導体メモリなどの情報記録媒体に記録することが
できる。An output device for outputting a random vector sequence according to the present invention, and a program for realizing the output method are provided by using a compact disk, a floppy disk, a hard disk,
It can be recorded on an information recording medium such as a magneto-optical disk, a digital video disk, a magnetic tape, and a semiconductor memory.
【００５８】本発明の情報記録媒体に記録されたプログ
ラムを、記憶装置、計算装置、出力装置などを情報処理
装置、たとえば汎用コンピュータ、ゲーム装置、携帯情
報端末、移動体電話で実行することにより、上記のラン
ダムなベクトル列を出力する出力装置と、出力方法とを
実現することができる。The program recorded on the information recording medium of the present invention is executed by an information processing device such as a general-purpose computer, a game device, a portable information terminal, or a mobile phone by executing a storage device, a computing device, and an output device. An output device and an output method for outputting the above-described random vector sequence can be realized.
【００５９】また、情報処理装置とは独立して、本発明
のプログラムを記録した情報記録媒体を配布、販売する
ことができる。Further, an information recording medium on which the program of the present invention is recorded can be distributed and sold independently of the information processing apparatus.
【００６０】[0060]
【発明の実施の形態】以下に本発明の一実施形態を説明
する。なお、以下に説明する実施形態は説明のためのも
のであり、本願発明の範囲を制限するものではない。し
たがって、当業者であればこれらの各要素もしくは全要
素をこれと均等なものに置換した実施形態を採用するこ
とが可能であるが、これらの実施形態も本願発明の範囲
に含まれる。DESCRIPTION OF THE PREFERRED EMBODIMENTS One embodiment of the present invention will be described below. The embodiments described below are for explanation, and do not limit the scope of the present invention. Therefore, those skilled in the art can adopt embodiments in which each of these elements or all elements are replaced with equivalents, but these embodiments are also included in the scope of the present invention.
【００６１】（第１実施例）図３は、本発明のランダム
なベクトル列の出力装置を汎用コンピュータなどの情報
処理装置において実現する実施例の、当該情報処理装置
のブロック構成図である。(First Embodiment) FIG. 3 is a block diagram of an information processing apparatus according to an embodiment of the present invention in which a random vector string output apparatus according to the present invention is implemented in an information processing apparatus such as a general-purpose computer.
【００６２】情報処理装置３０１は、ＣＰＵ（Central
Processing Unit ）３０２により制御され、ＲＡＭ（Ra
ndom Access Memory）などの主記憶装置３０３には一時
的なデータなどを記憶し、ハードディスク、フロッピー
ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disk Read Only Mem
ory ）、磁気テープ、光磁気ディスクなどの外部記憶装
置３０４にはＣＰＵ ３０２が実行するプログラムが記
憶される。The information processing apparatus 301 has a CPU (Central
Processing Unit) 302 controls the RAM (Ra
A main memory 303 such as an ndom access memory stores temporary data and the like, and is stored in a hard disk, a floppy disk, or a compact disk read only memory (CD-ROM).
ory), a magnetic tape, a magneto-optical disk, or other external storage device 304 stores a program to be executed by the CPU 302.
【００６３】情報処理装置３０１に電源が投入される
と、ＣＰＵ ３０２は、まず、ＲＯＭ（Read Only Memo
ry）３０８に記憶されている初期プログラムローダと呼
ばれるプログラムを実行し、しかる後に外部記憶装置３
０４などからオペレーティングシステムのプログラムや
アプリケーションのプログラムなどを主記憶装置３０３
にロードして実行する。When the information processing apparatus 301 is turned on, the CPU 302 first reads the ROM (Read Only Memory).
ry) Executes a program called an initial program loader stored in 308, and thereafter, executes the external storage device 3
04 to the main storage device 303.
And run it.
【００６４】実行した結果は、外部記憶装置３０４にフ
ァイルとして記憶したり、ＣＲＴ（Cathode Ray Tube）
や液晶ディスプレイなどの表示装置３０５に表示するこ
とができる。情報処理装置のユーザは、マウスやキーボ
ードなどの入力装置３０６を用いて情報処理装置に対す
る指示を与える。The result of the execution is stored as a file in the external storage device 304 or a CRT (Cathode Ray Tube)
And a display device 305 such as a liquid crystal display. The user of the information processing device gives an instruction to the information processing device using the input device 306 such as a mouse or a keyboard.
【００６５】ここで、情報処理装置３０１が図１に示す
ランダムなベクトル列の出力装置１００として機能する
場合、主記憶装置３０３は、第１の記憶手段１０１、第
２の記憶手段１０３として機能し、ＣＰＵ ３０２は、
第１の計算手段１０２、第２の計算手段１０４、第１の
更新手段１０６、第２の更新手段１０７として機能し、
外部記憶装置３０４は、結果をファイルとして出力する
場合は出力手段１０５として機能し、表示装置３０５
は、結果を表示して出力する場合は出力手段１０５とし
て機能し、主記憶装置３０３は、結果をほかのプログラ
ムで利用する場合は出力手段１０５として機能する。Here, when the information processing device 301 functions as the random vector sequence output device 100 shown in FIG. 1, the main storage device 303 functions as the first storage means 101 and the second storage means 103. , CPU 302,
Function as first calculating means 102, second calculating means 104, first updating means 106, and second updating means 107;
The external storage device 304 functions as the output unit 105 when outputting the result as a file, and the display device 305
Functions as the output unit 105 when displaying and outputting the result, and the main storage device 303 functions as the output unit 105 when using the result in another program.
【００６６】また、情報処理装置３０１が、図２に示す
ランダムなベクトル列の出力装置２００として機能する
場合は、ＣＰＵ ３０２は、主記憶装置３０３や、必要
に応じて外部記憶装置３０４、表示装置３０５と共働し
て、生成手段２０１、第１の出力手段２０２、第２の出
力手段２０３、第３の出力手段２０４として機能する。When the information processing device 301 functions as the random vector string output device 200 shown in FIG. 2, the CPU 302 includes a main storage device 303, an external storage device 304 as necessary, and a display device. In cooperation with 305, it functions as a generating unit 201, a first output unit 202, a second output unit 203, and a third output unit 204.
【００６７】また、主記憶装置３０３、外部記憶装置３
０４は、本発明の情報記録媒体として機能する。また、
ＲＯＭ ３０８を本発明の情報記録媒体として機能させ
ることもできる。The main storage device 303 and the external storage device 3
04 functions as the information recording medium of the present invention. Also,
The ROM 308 can also function as the information recording medium of the present invention.
【００６８】以下、図４を参照して、本発明のランダム
なベクトル列の出力装置の処理を説明する。図４は、本
発明の処理の流れを示すフローチャートである。The processing of the random vector sequence output device of the present invention will be described below with reference to FIG. FIG. 4 is a flowchart showing the flow of the processing of the present invention.
【００６９】なお、以下では説明の都合上、有理写像f
としてウラム＝フォン・ノイマン写像［数１］を、有理
写像g としてカツラ＝フクダ写像を、それぞれ採用する
が、これ以外の写像を利用することも当業者には容易で
あり、これらの実施形態も本発明の範囲に含まれる。In the following, for convenience of explanation, the rational mapping f
The Ulam-von Neumann mapping [Equation 1] is used, and the Katsura-Fukuda mapping is used as the rational mapping g. However, it is easy for those skilled in the art to use other mappings, and these embodiments are also applicable. It is included in the scope of the present invention.
【００７０】まず、ＣＰＵ ３０２は、現在の時刻など
から乱数の種を取得する（ステップＳ４０１）。この場
合、有理写像f はスカラー値（１次元のベクトル）に対
して適用され、有理写像g は、スカラー値（１次元のベ
クトル）のパラメータとともにスカラー値（１次元のベ
クトル）に対して適用されるので、スカラー値の種が２
つ必要である。見方を変えれば、２次元のベクトルを乱
数の種として取得することになる。First, the CPU 302 obtains a seed of a random number from the current time or the like (step S401). In this case, the rational mapping f is applied to the scalar value (one-dimensional vector), and the rational mapping g is applied to the scalar value (one-dimensional vector) together with the parameter of the scalar value (one-dimensional vector). So the scalar value seed is 2
Is necessary. In other words, a two-dimensional vector is obtained as a random seed.
【００７１】なお、乱数の種は、ユーザが入力装置３０
６から入力することも可能であり、これと時刻などの数
値を組み合わせてもよい。これらは、公開鍵を生成する
場合に有用である。The seed of the random number is determined by the user using the input device 30.
It is also possible to input from 6, and a numerical value such as time may be combined. These are useful when generating public keys.
【００７２】次に、ＣＰＵ ３０２は、取得した種をそ
れぞれ主記憶装置３０３内の第１の記憶手段１０１と、
第２の記憶手段１０３とに記憶する（ステップＳ４０
２）。これにより、乱数を生成するための初期値が設定
される。Next, the CPU 302 stores the acquired seeds in the first storage unit 101 in the main storage device 303,
It is stored in the second storage unit 103 (step S40).
2). Thereby, an initial value for generating a random number is set.
【００７３】なお、ステップＳ４０１からステップＳ４
０２の処理は、図２に示すランダムなベクトル列を出力
する装置２００の生成手段２０１が実行する処理に相当
する。Note that steps S401 to S4
The process 02 corresponds to the process executed by the generation unit 201 of the device 200 that outputs the random vector sequence shown in FIG.
【００７４】さらに、ＣＰＵ ３０２は、第１の記憶手
段１０１に記憶された値x を取得し（ステップＳ４０
３）、これを用いて値x'=f(x) を計算し（ステップＳ４
０４）、計算された値x'を第１の記憶手段１０１に記憶
させて更新する（ステップＳ４０５）。Further, the CPU 302 acquires the value x stored in the first storage means 101 (step S40).
3), and using this, a value x '= f (x) is calculated (step S4).
04), the calculated value x 'is stored and updated in the first storage means 101 (step S405).
【００７５】すなわち、ステップＳ４０４において、Ｃ
ＰＵ ３０２は、第１の計算手段として機能することに
なる。That is, in step S404, C
The PU 302 will function as a first calculation means.
【００７６】ついで、ＣＰＵ ３０２は、第１の記憶手
段１０１に記憶された更新後の値x'と、第２の記憶手段
１０３に記憶された値y とを取得し（ステップＳ４０
６）、これらを用いて値y'=g(x',y)を計算し（ステップ
Ｓ４０７）、計算された値y'を第２の記憶手段１０３に
記憶させて更新する（ステップＳ４０８）。Next, the CPU 302 obtains the updated value x 'stored in the first storage means 101 and the value y stored in the second storage means 103 (step S40).
6), a value y ′ = g (x ′, y) is calculated using these (step S407), and the calculated value y ′ is stored in the second storage unit 103 and updated (step S408).
【００７７】すなわち、ステップＳ４０７において、Ｃ
ＰＵ ３０２は、第２の計算手段として機能することに
なる。That is, in step S407, C
PU 302 will function as the second calculation means.
【００７８】最後に、ＣＰＵ ３０２は、第１の記憶手
段１０１に記憶された更新後の値x'と、第２の記憶手段
１０３に記憶された更新後の値y'とを結合して、外部記
憶装置３０４などに出力し（ステップＳ４０９）、ステ
ップＳ４０３に戻る。Finally, the CPU 302 combines the updated value x ′ stored in the first storage means 101 with the updated value y ′ stored in the second storage means 103, The data is output to the external storage device 304 or the like (step S409), and the process returns to step S403.
【００７９】なお、あるｎ次元のベクトルと別のｍ次元
のベクトルとを結合した結果は（ｎ＋ｍ）次元のベクト
ルであり、その要素は、まずｎ次元のベクトルの要素を
並べ、ついでｍ次元のベクトルの要素を並べたものであ
る。図２に示すランダムなベクトル列の出力装置２００
の生成手段２０１の処理は、ベクトルの結合の逆演算を
行うことにより実現することができる。Note that the result of combining a certain n-dimensional vector and another m-dimensional vector is a (n + m) -dimensional vector, and its elements are first arranged with n-dimensional vector elements. An array of vector elements. Output device 200 for random vector sequence shown in FIG.
Can be realized by performing an inverse operation of vector combination.
【００８０】この繰り返しを行うことにより、ランダム
な２次元ベクトルの列が外部記憶装置３０４に出力され
ることになる。By performing this repetition, a sequence of random two-dimensional vectors is output to the external storage device 304.
【００８１】なお、図２に示すランダムなベクトル列の
出力装置２００の第１の出力手段２０２が実行する処理
はステップＳ４０３〜ステップＳ４０５に、第２の出力
手段２０３が実行する処理はステップＳ４０６〜ステッ
プＳ４０８に、第３の出力手段２０４が実行する処理は
ステップＳ４０６により、それぞれ実現されている。The processing performed by the first output means 202 of the random vector string output device 200 shown in FIG. 2 is performed in steps S403 to S405, and the processing performed by the second output means 203 is performed in steps S406 to S406. The processing executed by the third output unit 204 in step S408 is realized in step S406.
【００８２】なお、本実施例では、上述の通り、有理写
像f として一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像［数
１］を採用するが、これを漸化式に使用した場合に得ら
れる乱数の分布の密度関数を図５に示す。図５に示す通
り、これは0≦x≦1 の範囲で定義される非一様な密度関
数であり、x=0 およびx=1 で無限大となり、0<x<1 の範
囲で下に凸な関数である。In this embodiment, as described above, the generalized Ulam = von Neumann mapping [Equation 1] is adopted as the rational mapping f, but the distribution of random numbers obtained when this is used in the recurrence formula is used. Is shown in FIG. As shown in FIG. 5, this is a non-uniform density function defined in the range of 0 ≦ x ≦ 1, becomes infinite at x = 0 and x = 1, and becomes lower in the range of 0 <x <1. It is a convex function.
【００８３】また、本実施例では、上述の通り、有理写
像g としてカツラ＝フクダ関数［数７］を採用するが、
パラメータx'を固定して漸化式に使用した場合に得られ
る乱数の分布もまた、［数８］のように解析的に得るこ
とができる。In the present embodiment, as described above, the wig-Fukuda function [Equation 7] is adopted as the rational mapping g.
The distribution of random numbers obtained when the parameter x 'is fixed and used in the recurrence formula can also be analytically obtained as shown in [Equation 8].
【００８４】[0084]
【数７】 (Equation 7)
【００８５】[0085]
【数８】 (Equation 8)
【００８６】図６には、ステップＳ４０９において出力
される２次元ベクトルを座標値として、順次プロットし
たものを示し、図７には、ステップＳ４０９において出
力される２次元ベクトルを座標値として、これをヒスト
グラムとしたものを示す。また、図８には、図７に示す
ヒストグラムをある断面で切った場合の様子を示す。FIG. 6 shows a plot obtained by sequentially plotting the two-dimensional vector output in step S409 as coordinate values. FIG. 7 shows the two-dimensional vector output in step S409 as coordinate values. A histogram is shown. FIG. 8 shows a state where the histogram shown in FIG. 7 is cut at a certain cross section.
【００８７】発明者は、「一般に密度関数ρ(x) を有す
る有理写像f と、x というパラメータを持ち密度関数ν
(x,y) を有する有理写像g(x,・) とを本発明の漸化式を
用いる手法により結合した場合、出力されるベクトル列
の分布の密度関数はν(x,y)ρ(x)となる」ことを数学的
に証明している。したがって、分布の密度関数が既知の
解析的な関数である場合には、これらを組み合わせた場
合、分布の密度関数は、もとの分布の密度関数の積とし
て、解析的に得ることができる。The inventor has stated that “generally, a rational map f having a density function ρ (x) and a density function ν having a parameter x
When the rational mapping g (x, ・) having (x, y) is combined by the method using the recurrence formula of the present invention, the density function of the distribution of the output vector sequence is ν (x, y) ρ ( x) is mathematically proved. Therefore, when the density function of the distribution is a known analytical function, when these are combined, the density function of the distribution can be obtained analytically as a product of the density function of the original distribution.
【００８８】図８に示すグラフの形状が図５に示すグラ
フの形状とほぼ同じ形状をしていることからも、この結
論が正しいことがわかる。また、従来の手法で問題とな
っていた乱数の偏りも少ないことがわかっている。This conclusion is also correct from the fact that the shape of the graph shown in FIG. 8 is almost the same as the shape of the graph shown in FIG. It is also known that random number bias, which has been a problem in the conventional method, is small.
【００８９】なお、適宜各ステップの順序を変更した
り、同じ処理を行うステップを別途実行することによ
り、上記実施例における制御の流れと同等の処理を実現
することができるが、そのような実施形態も本発明の範
囲に含まれる。It is to be noted that, by appropriately changing the order of each step or separately executing steps for performing the same processing, processing equivalent to the control flow in the above embodiment can be realized. Embodiments are also included in the scope of the present invention.
【００９０】（第２実施例）本発明の第２実施例は、汎
用コンピュータなどの情報処理装置によりランダムなベ
クトル列の出力装置を構成するものではなく、電子回路
により構成するものである。(Second Embodiment) In a second embodiment of the present invention, an information processing device such as a general-purpose computer does not constitute an output device of a random vector sequence, but an electronic circuit.
【００９１】すなわち、図１に示すランダムなベクトル
列の出力装置１００の第１の記憶手段１０１と第２の記
憶手段１０３とは、いずれも、フリップフロップなどを
基本とする記憶回路で構成することができる。That is, the first storage means 101 and the second storage means 103 of the random vector sequence output device 100 shown in FIG. 1 are both constituted by storage circuits based on flip-flops or the like. Can be.
【００９２】第１の計算手段１０２と第２の計算手段１
０４とは、いずれも、加算回路と乗算回路の組み合わせ
で構成することができる。First calculating means 102 and second calculating means 1
Each of 04 can be configured by a combination of an addition circuit and a multiplication circuit.
【００９３】出力手段１０５は、第２の計算手段１０４
を構成する回路の出力線により構成することができる。The output means 105 is the second calculation means 104
Can be constituted by the output lines of the circuit constituting.
【００９４】第１の更新手段１０６と第２の更新手段１
０７とは、第１の計算手段１０２と第２の計算手段１０
４とを構成する回路の出力線を、一定のクロック遅延を
もってそれぞれ第１の記憶手段１０１と第２の記憶手段
１０３とに帰還させて記憶させることにより構成するこ
とができる。First updating means 106 and second updating means 1
07 means the first calculating means 102 and the second calculating means 10
4 is fed back to the first storage means 101 and the second storage means 103 with a fixed clock delay and stored.
【００９５】このように、専用の電子回路により本発明
のランダムなベクトル列の出力装置を構成することによ
り、たとえば携帯情報端末や移動体電話など、少ない電
力消費と簡単で省スペースな構成が必要とされる機器に
本発明を適用することができる。As described above, by configuring the output device of the random vector sequence of the present invention by the dedicated electronic circuit, it is necessary to reduce the power consumption and to achieve a simple and space-saving configuration such as a portable information terminal or a mobile phone. The present invention can be applied to a device described as follows.
【００９６】（第３実施例）上記実施例では、有理写像
として楕円関数の加法定理より導かれる有理写像を用い
ているが、楕円積分、超楕円積分、あるいは、これらを
変形したものから導かれる写像にも、類似した性質を有
するものがあり、そのような写像を利用してもよい。ま
た、従来から用いられている乱数の発生手法の漸化式を
表す写像を利用することもできる。(Third Embodiment) In the above embodiment, the rational map derived from the addition theorem of the elliptic function is used as the rational map. However, the rational map is derived from the elliptic integral, the hyperelliptic integral, or a modified version thereof. Some mappings have similar properties, and such a mapping may be used. Further, a mapping representing a recurrence formula of a conventionally used random number generation method can be used.
【００９７】（第４実施例）本発明で得られるランダム
なベクトル列の密度関数は解析的に得られるので、フォ
ン・ノイマンの逆関数法により、本発明で得られた任意
次元のランダムなベクトル列から、一様分布を持つラン
ダムなベクトル列を発生させることができる。(Fourth Embodiment) Since the density function of a random vector sequence obtained by the present invention can be obtained analytically, the random vector of an arbitrary dimension obtained by the present invention can be obtained by the inverse function method of von Neumann. From the columns, a random vector sequence having a uniform distribution can be generated.
【００９８】（第５実施例）本発明は、ＵＮＩＸなどの
オペレーティング・システムやｐｒｏｌｏｇ、ＧＨＣな
どの論理型言語やＬｉｓｐ、Ｈａｓｋｅｌｌなどの関数
型言語などで多用されるストリーム処理により実現する
ことができる。すなわち、上述のような有理ベクトル写
像f とg について、以下のベクトル列x[i]のデータスト
リームを生成するプロセス（プログラミング言語上は、
述語、関数、手続などで表現される）Ａと、 x[0], x[1], x[2], x[3], … x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) このプロセスＡが出力するデータストリームx[i]を順に
受け付けて、以下のベクトル列y[i]のデータストリーム
を生成するプロセスＢとを用意することにより、 y[0], y[1], y[2], y[3], … y[0] = η y[i+1] = g(x[i+1],y[i]) (ただしi≧0) 本発明を実現することができる。(Fifth Embodiment) The present invention can be realized by stream processing that is frequently used in an operating system such as UNIX, a logic language such as prolog or GHC, or a functional language such as Lisp or Haskell. . That is, for the rational vector mappings f and g as described above, a process of generating a data stream of the following vector sequence x [i] (in a programming language,
X [0], x [1], x [2], x [3], ... x [0] = ζ x [i + 1] = f ( x [i]) (where i ≧ 0) By receiving a data stream x [i] output from the process A in order and preparing a process B for generating a data stream of the following vector sequence y [i] , Y [0], y [1], y [2], y [3],… y [0] = η y [i + 1] = g (x [i + 1], y [i]) ( However, i ≧ 0) The present invention can be realized.
【００９９】プロセスＡとプロセスＢとの通信は、いわ
ゆる製造者＝消費者モデルにより記述でき、要求駆動に
よる生成、データストリームのバッファリングなどの公
知の技法を利用することができる。Communication between the process A and the process B can be described by a so-called manufacturer = consumer model, and a known technique such as generation by request driving, buffering of a data stream, or the like can be used.
【０１００】[0100]
【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
以下の効果を奏する。As described above, according to the present invention,
The following effects are obtained.
【０１０１】出力されるランダムなベクトル列の分布の
密度関数が既知の解析的な関数であるようなベクトル列
の生成手法が２つあるときに、これらを結び付けて、よ
り高次元のランダムなベクトル列であって、その分布の
密度関数が解析的な関数として得られるものを出力する
ランダムなベクトル列の出力装置、出力方法を提供する
ことができる。When there are two methods for generating a vector sequence in which the density function of the distribution of the output random vector sequence is a known analytic function, these are linked to form a higher-dimensional random vector. It is possible to provide an output device and an output method of a random vector sequence that output a sequence whose density function is obtained as an analytical function.
【０１０２】本発明では、既知のベクトル列の生成手法
の分布の密度関数の積がより高次元のランダムなベクト
ル列の分布の密度関数となるため、容易に分布の特徴を
得ることができ、さまざまな応用に資することができ
る。特に、生成手法として有理写像を採用した場合に
は、得られるベクトル列の各要素もすべて有理数となる
という特徴を有し、計算機上の計算精度を厳密に保存し
うるという利点を有する。In the present invention, since the product of the distribution density functions of the known vector sequence generation method is the density function of the higher-dimensional random vector sequence distribution, the characteristics of the distribution can be easily obtained. It can contribute to various applications. In particular, when a rational mapping is adopted as a generation method, each element of the obtained vector sequence has a feature that all elements are rational numbers, and there is an advantage that calculation accuracy on a computer can be strictly preserved.
【０１０３】このようなランダムなベクトル列は、モン
テカルロ法、移動体通信や光通信におけるＣＤＭＡ、イ
ンターネットなどの通信における公開鍵暗号などで利用
することができる。Such a random vector sequence can be used in the Monte Carlo method, CDMA in mobile communication and optical communication, and public key encryption in communication such as the Internet.
【０１０４】さらに、プログラムを記録した情報記録媒
体をソフトウェア商品として、情報処理装置のハードウ
ェアと独立して容易に配布したり販売したりすることが
できるようになる。本発明の情報記録媒体に記録された
プログラムを汎用コンピュータなどの情報処理装置で実
行すれば、上記の発明に係るランダムなベクトル列の出
力装置、出力方法が実現できる。Further, the information recording medium on which the program is recorded can be easily distributed or sold as a software product independently of the hardware of the information processing apparatus. If the program recorded on the information recording medium of the present invention is executed by an information processing device such as a general-purpose computer, the output device and the output method of the random vector sequence according to the above invention can be realized.
【図１】本発明のランダムなベクトル列の出力装置の構
成を示すブロック構成図である。FIG. 1 is a block diagram showing a configuration of an output device of a random vector sequence according to the present invention.
【図２】本発明のランダムなベクトル列の出力装置の構
成を示すブロック構成図である。FIG. 2 is a block diagram showing a configuration of an output device of a random vector sequence according to the present invention.
【図３】本発明のランダムなベクトル列の出力装置を汎
用コンピュータなどの情報処理装置において実現する実
施例の、当該情報処理装置のブロック構成図である。FIG. 3 is a block diagram of an information processing apparatus according to an embodiment in which the random vector sequence output apparatus of the present invention is implemented in an information processing apparatus such as a general-purpose computer.
【図４】本発明の処理の流れを示すフローチャートであ
る。FIG. 4 is a flowchart showing a flow of processing of the present invention.
【図５】一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像を漸化式
に使用した場合に得られる乱数の分布の密度関数を示す
グラフである。FIG. 5 is a graph showing a density function of a distribution of random numbers obtained when a generalized Ulam = von Neumann mapping is used in a recurrence formula.
【図６】図４に示すフローチャートのステップＳ４０９
において出力される２次元ベクトルを座標値として、順
次プロットした説明図である。FIG. 6 is a step S409 of the flowchart shown in FIG. 4;
FIG. 5 is an explanatory diagram in which two-dimensional vectors output in are plotted sequentially as coordinate values.
【図７】図４に示すフローチャートのステップＳ４０９
において出力される２次元ベクトルを座標値としたヒス
トグラムである。FIG. 7 is a step S409 in the flowchart shown in FIG. 4;
3 is a histogram in which the two-dimensional vector output in is used as coordinate values.
【図８】図７に示すヒストグラムをある断面で切断した
場合のグラフである。8 is a graph when the histogram shown in FIG. 7 is cut at a certain cross section.
１００ ランダムなベクトル列の出力装置 １０１ 第１の記憶手段 １０２ 第１の計算手段 １０３ 第２の記憶手段 １０４ 第２の計算手段 １０５ 出力手段 １０６ 第１の更新手段 １０７ 第２の更新手段 ２００ ランダムなベクトル列の出力装置 ２０１ 生成手段 ２０２ 第１の出力手段 ２０３ 第２の出力手段 ２０４ 第３の出力手段 ３０１ 情報処理装置 ３０２ ＣＰＵ ３０３ 主記憶装置 ３０４ 外部記憶装置 ３０５ 表示装置 ３０６ 入力装置 ３０８ ＲＯＭ REFERENCE SIGNS LIST 100 output device of random vector sequence 101 first storage means 102 first calculation means 103 second storage means 104 second calculation means 105 output means 106 first update means 107 second update means 200 random Vector string output device 201 generation means 202 first output means 203 second output means 204 third output means 301 information processing device 302 CPU 303 main storage device 304 external storage device 305 display device 306 input device 308 ROM
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き Ｆターム(参考） 5J104 AA18 FA00 FA08 NA19 NA27 NA37 NA39 9A001 EZ03 GG22 ──────────────────────────────────────────────────続 き Continued on the front page F term (reference) 5J104 AA18 FA00 FA08 NA19 NA27 NA37 NA39 9A001 EZ03 GG22
Claims (18)
ダムなベクトル列の出力装置。 （ａ）１次元以上のベクトルx を記憶する第１の記憶手
段と、 （ｂ）前記第１の記憶手段に記憶されたベクトルx に第
１の有理ベクトル写像f を適用した結果のベクトルx'=f
(x) を計算する第１の計算手段と、 （ｄ）１次元以上のベクトルy を記憶する第２の記憶手
段と、 （ｅ）前記第１の計算手段により計算された結果のベク
トルx'と、前記第２の記憶手段に記憶された１次元以上
のベクトルy とに、第２の有理ベクトル写像gを適用し
た結果のベクトルy'=g(x',y)を計算する第２の計算手段
と、 （ｆ）前記第１の計算手段により計算された結果のベク
トルx'と前記第２の計算手段により計算された結果のベ
クトルy'とを結合したベクトルz'を出力する出力手段
と、 （ｇ）前記第１の計算手段により計算された結果のベク
トルx'を前記第１の記憶手段に記憶させて更新する第１
の更新手段と、 （ｈ）前記第２の計算手段により計算された結果のベク
トルy'を前記第２の記憶手段に記憶させて更新する第２
の更新手段。 ただし、有理ベクトル写像とは、有理数の成分からなる
１次元以上のベクトルを有理数の成分からなる１次元以
上のベクトルへと変換する写像をいう。1. An output device for a random vector sequence, comprising: (A) first storage means for storing a vector x of one or more dimensions; and (b) vector x 'resulting from applying a first rational vector mapping f to the vector x stored in the first storage means. = f
(d) first calculating means for calculating (x), (d) second storing means for storing a vector y of one or more dimensions, and (e) vector x 'as a result calculated by the first calculating means. And a vector y ′ = g (x ′, y) that is a result of applying the second rational vector mapping g to the one-dimensional or more vector y stored in the second storage unit. Calculating means; and (f) output means for outputting a vector z 'obtained by combining a vector x' resulting from the first calculating means and a vector y 'resulting from the second calculating means. (G) storing the vector x ′ resulting from the calculation by the first calculation means in the first storage means and updating the first vector x ′;
And (h) storing the vector y ′ of the result calculated by the second calculating means in the second storing means and updating the vector y ′.
Update means. However, the rational vector mapping refers to a mapping that converts a one-dimensional or more vector composed of rational components into a one-dimensional or more vector composed of rational components.
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、前記第２
の有理ベクトル写像g にパラメータとして１次元以上の
ベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上のベクト
ルy に０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項１記載の出力装
置。2. A vector sequence x, f (x), f (f (x)), f (f (f (b) obtained by applying the first rational vector mapping f to a one-dimensional or more vector x zero or more times. f (x))), ... The density function of the limit distribution of
A vector sequence y, g (λ, y) obtained by applying a mapping g (λ, ·), which is obtained by giving a one-dimensional or more vector λ as a parameter to a one-dimensional or more vector y, zero or more times to a rational vector mapping g of , g (λ, g (λ, y)), g (λ, g (λ, g (λ, y))), ... the density function of the limit distribution is an analytical function having the parameter λ The output device according to claim 1, wherein:
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティッ
ク写像、または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝
フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像、もし
くは一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与え
たもののいずれかであることを特徴とする請求項２記載
の出力装置。3. The first rational vector map f is a rational map derived from an addition theorem of an elliptic function, in particular, a Ulam-von Neumann map, a cubic map, a quintic map, or a Katsura-Fukuda map. Ulam =
3. The output device according to claim 2, wherein the output device is one of a von Neumann mapping, a generalized cubic mapping, and a generalized Chebyshev mapping with predetermined parameters.
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝フ
クダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一般
化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のいずれ
かであることを特徴とする請求項２記載の出力装置。4. The second rational vector mapping g is a rational mapping derived from the addition theorem of an elliptic function, in particular, a Katsura-Fukuda mapping, a generalized Ulam-von Neumann mapping, a generalized cubic mapping, a generalized Chebyshev 3. The output device according to claim 2, wherein the output device is any one of a mapping.
ダムなベクトル列の出力装置。 （ａ）２次元以上のベクトルζを受け付けて、これから
１次元以上のベクトルξと１次元以上のベクトルηとを
生成する生成手段と、 （ｂ）前記生成手段により生成されたベクトルξを受け
付けて、第１の有理ベクトル写像f を用いた漸化式 x[0] = ζ x[i+1] = f(x[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列x[i]を出力する第１の出力手
段と、 （ｃ）前記生成手段により生成されたベクトルηと、前
記第１の出力手段により出力されるベクトル列x[i]とを
受け付けて、第２の有理ベクトル写像g を用いた漸化式 y[0] = η y[i+1] = g(x[i+1],y[i]) (ただしi≧0) により得られるベクトル列y[i]を出力する第２の出力手
段と、 （ｄ）前記第１の出力手段により出力されるベクトル列
x[i]と、前記第２の出力手段により出力されるベクトル
列y[i]とを結合して得られるベクトル列z[i]を結果とし
て出力する第３の出力手段。5. An output device for a random vector sequence, comprising: (A) generating means for receiving a vector の of two or more dimensions and generating a vector の of one or more dimensions and a vector η of one or more dimensions therefrom; and (b) receiving a vector た generated by the generating means. , A vector sequence x [i] obtained by a recurrence formula x [0] = ζx [i + 1] = f (x [i]) (where i ≧ 0) using the first rational vector mapping f (C) receiving a vector η generated by the generating means and a vector sequence x [i] output by the first output means, and outputting a second rational vector mapping The recurrence equation using g y [0] = η y [i + 1] = g (x [i + 1], y [i]) (where i ≧ 0) Second output means for outputting; and (d) a vector sequence output by the first output means.
Third output means for outputting a vector sequence z [i] obtained by combining x [i] and a vector sequence y [i] output from the second output means as a result.
上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、前記第２
の有理ベクトル写像g にパラメータとして１次元以上の
ベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上のベクト
ルy に０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項５記載の出力装
置。6. A vector sequence x, f (x), f (f (x)), f (f (f (f) obtained by applying the first rational vector mapping f to a one-dimensional or more vector x zero or more times. f (x))), ... The density function of the limit distribution of
A vector sequence y, g (λ, y) obtained by applying a mapping g (λ, ·), which is obtained by giving a one-dimensional or more vector λ as a parameter to a one-dimensional or more vector y, zero or more times to a rational vector mapping g of , g (λ, g (λ, y)), g (λ, g (λ, g (λ, y))), ... the density function of the limit distribution is an analytical function having the parameter λ The output device according to claim 5, wherein:
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝フ
ォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティッ
ク写像、または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝
フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もしく
は一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えた
もののいずれかであることを特徴とする請求項６記載の
出力装置。7. The first rational vector map f is a rational map derived from the addition theorem of an elliptic function, in particular, a Ulam-von Neumann map, a cubic map, a quintic map, or a Katsura-Fukuda map. Ulam =
7. The output device according to claim 6, wherein the output device is one of a von Neumann mapping, a generalized cubic mapping, or a generalized Chebyshev mapping with predetermined parameters.
数の加法定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝フ
クダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一般
化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のいずれ
かであることを特徴とする請求項６記載の出力装置。8. The second rational vector mapping g is a rational mapping derived from an addition theorem of an elliptic function, in particular, a wiggler-Fukuda mapping, a generalized Ulam-von Neumann mapping, a generalized cubic mapping, a generalized Chebyshev 7. The output device according to claim 6, wherein the output device is one of a mapping.
出力装置であることを特徴とする請求項５記載の出力装
置。9. An output device according to claim 5, wherein said first output means is also the output device according to claim 5.
るランダムなベクトル列の出力方法。 （ａ）第１の記憶手段に記憶された１次元以上のベクト
ルx を取得する第１の取得ステップと、 （ｂ）前記第１の取得ステップにおいて取得されたベク
トルx に第１の有理ベクトル写像f を適用した結果のベ
クトルx'=f(x) を計算する第１の計算ステップと、 （ｃ）第２の記憶手段に記憶された１次元以上のベクト
ルy を取得する第２の取得ステップと、 （ｄ）前記第１の計算ステップにおいて計算されたベク
トルx'と、前記第２の取得ステップにおいて取得された
ベクトルy とに第２の有理ベクトル写像g を適用した結
果のベクトルy'=g(x',y)を計算する第２の計算ステップ
と、 （ｅ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'と、前記第２の計算ステップにおいて計算
された結果のベクトルy'とを結合したベクトルz'を出力
する出力ステップと、 （ｆ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'を前記第１の記憶手段に記憶させて更新す
る第１の更新ステップと、 （ｇ）前記第２の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルy'を前記第２の記憶手段に記憶させて更新す
る第２の更新ステップ。10. A method for outputting a random vector sequence, comprising the following steps. (A) a first acquisition step of acquiring a vector x of one or more dimensions stored in the first storage means; and (b) a first rational vector mapping on the vector x acquired in the first acquisition step. a first calculation step of calculating a vector x ′ = f (x) as a result of applying f; and (c) a second obtaining step of obtaining a one-dimensional or more-dimensional vector y stored in the second storage means. And (d) a vector y ′ = a result of applying the second rational vector mapping g to the vector x ′ calculated in the first calculation step and the vector y obtained in the second obtaining step. a second calculation step of calculating g (x ′, y); (e) a vector x ′ of the result calculated in the first calculation step, and a vector of the result calculated in the second calculation step output the vector z 'combined with y' (F) a first update step of storing and updating the vector x ′ of the result calculated in the first calculation step in the first storage means, and (g) the second calculation. A second updating step of storing and updating the vector y ′ of the result calculated in the step in the second storage means;
以上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル
列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、前記第２
の有理ベクトル写像g にパラメータとして１次元以上の
ベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上のベクト
ルy に０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項１０記載の出力
方法。11. A vector sequence x, f (x), f (f (x)), f (f (f ()) obtained by applying the first rational vector mapping f to a one-dimensional or more vector x zero or more times. f (x))), ... The density function of the limit distribution of
A vector sequence y, g (λ, y) obtained by applying a mapping g (λ, ·), which is obtained by giving a one-dimensional or more vector λ as a parameter to a one-dimensional or more vector y, zero or more times to a rational vector mapping g of , g (λ, g (λ, y)), g (λ, g (λ, g (λ, y))), ... the density function of the limit distribution is an analytical function having the parameter λ The output method according to claim 10, wherein:
関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝
フォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティ
ック写像、またはカツラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝
フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もしく
は一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与えた
もののいずれかであることを特徴とする請求項１１記載
の出力方法。12. The first rational vector map f is a rational map derived from the addition theorem of an elliptic function, in particular, Ulam =
Von Neumann, cubic, quintic, or wig-Fukuda, generalized Ulam =
12. The output method according to claim 11, wherein the output method is one of a von Neumann mapping, a generalized cubic mapping, and a generalized Chebyshev mapping with predetermined parameters.
ラ＝フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写
像、一般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像
のいずれかであることを特徴とする請求項１１記載の出
力方法。13. The second rational vector mapping g is one of a Katsura-Fukuda mapping, a generalized Ulam-von Neumann mapping, a generalized cubic mapping, and a generalized Chebyshev mapping. 11. The output method according to 11.
るプログラムを記録した情報記録媒体。 （ａ）第１の記憶手段に記憶された１次元以上のベクト
ルx を取得する第１の取得ステップと、 （ｂ）前記第１の取得ステップにおいて取得されたベク
トルx に第１の有理ベクトル写像f を適用した結果のベ
クトルx'=f(x) を計算する第１の計算ステップと、 （ｃ）第２の記憶手段に記憶された１次元以上のベクト
ルy を取得する第２の取得ステップと、 （ｄ）前記第１の計算ステップにおいて計算されたベク
トルx'と、前記第２の取得ステップにおいて取得された
ベクトルy とに第２の有理ベクトル写像g を適用した結
果のベクトルy'=g(x',y)を計算する第２の計算ステップ
と、 （ｅ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'と、前記第２の計算ステップにおいて計算
された結果のベクトルy'とを結合したベクトルz'を出力
する出力ステップと、 （ｆ）前記第１の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルx'を前記第１の記憶手段に記憶させて更新す
る第１の更新ステップと、 （ｇ）前記第２の計算ステップにおいて計算された結果
のベクトルy'を前記第２の記憶手段に記憶させて更新す
る第２の更新ステップ。14. An information recording medium on which a program is recorded, comprising the following steps: (A) a first acquisition step of acquiring a vector x of one or more dimensions stored in the first storage means; and (b) a first rational vector mapping on the vector x acquired in the first acquisition step. a first calculation step of calculating a vector x ′ = f (x) as a result of applying f; and (c) a second obtaining step of obtaining a one-dimensional or more-dimensional vector y stored in the second storage means. And (d) a vector y ′ = a result of applying the second rational vector mapping g to the vector x ′ calculated in the first calculation step and the vector y obtained in the second obtaining step. a second calculation step of calculating g (x ′, y); (e) a vector x ′ of the result calculated in the first calculation step, and a vector of the result calculated in the second calculation step output the vector z 'combined with y' (F) a first update step of storing and updating the vector x ′ of the result calculated in the first calculation step in the first storage means, and (g) the second calculation. A second updating step of storing and updating the vector y ′ of the result calculated in the step in the second storage means;
以上のベクトルx に０回以上適用して得られるベクトル
列 x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … の極限分布の密度関数は解析的な関数であり、前記第２
の有理ベクトル写像g にパラメータとして１次元以上の
ベクトルλを与えた写像g(λ,・)を１次元以上のベクト
ルy に０回以上適用して得られるベクトル列 y, g(λ,y), g(λ,g(λ,y)), g(λ,g(λ,g(λ,y))), … の極限分布の密度関数は当該パラメータλを有する解析
的な関数であることを特徴とする請求項１４記載の情報
記録媒体。15. A vector sequence x, f (x), f (f (x)), f (f (f (b) obtained by applying the first rational vector mapping f to a one-dimensional or more vector x zero or more times. f (x))), ... The density function of the limit distribution of
A vector sequence y, g (λ, y) obtained by applying a mapping g (λ, ·), which is obtained by giving a one-dimensional vector λ as a parameter to a rational vector mapping g , g (λ, g (λ, y)), g (λ, g (λ, g (λ, y))), ... the density function of the limit distribution is an analytical function having the parameter λ The information recording medium according to claim 14, wherein:
関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、ウラム＝
フォン・ノイマン写像、キュービック写像、クインティ
ック写像、または、カツラ＝フクダ写像、一般化ウラム
＝フォン・ノイマン写像、一般化キュービック写像もし
くは一般化チェビシェフ写像に所定のパラメータを与え
たもののいずれかであることを特徴とする請求項１５記
載の情報記録媒体。16. The first rational vector map f is a rational map derived from the addition theorem of an elliptic function, in particular, Ulam =
One of von Neumann mapping, cubic mapping, quintic mapping, or wiggler-Fukuda mapping, generalized Ulam-von Neumann mapping, generalized cubic mapping, or generalized Chebyshev mapping with given parameters The information recording medium according to claim 15, wherein:
関数の加法定理より導かれる有理写像、特に、カツラ＝
フクダ写像、一般化ウラム＝フォン・ノイマン写像、一
般化キュービック写像、一般化チェビシェフ写像のいず
れかであることを特徴とする請求項１５記載の情報記録
媒体。17. The second rational vector map g is a rational map derived from the addition theorem of an elliptic function, in particular,
16. The information recording medium according to claim 15, wherein the information recording medium is one of a Fukuda mapping, a generalized Ulam-von Neumann mapping, a generalized cubic mapping, and a generalized Chebyshev mapping.
ク、フロッピーディスク、ハードディスク、光磁気ディ
スク、ディジタルビデオディスク、磁気テープ、また
は、半導体メモリであることを特徴とする請求項１４か
ら１７記載の情報記録媒体。18. The information recording apparatus according to claim 14, wherein said information recording medium is a compact disk, a floppy disk, a hard disk, a magneto-optical disk, a digital video disk, a magnetic tape, or a semiconductor memory. Medium.
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