JP2000137007A

JP2000137007A - 状態構成方法及びその装置、並びにこれを用いた通信方法及びその装置

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Publication number: JP2000137007A
Application number: JP10303939A
Authority: JP
Inventors: Hiroo Azuma; 広夫吾妻
Original assignee: Canon Inc
Current assignee: Canon Inc
Priority date: 1998-08-26
Filing date: 1998-10-26
Publication date: 2000-05-16
Also published as: US20020048059A1; US6301029B1; US6760136B2

Abstract

(57)【要約】【課題】所望の量子力学的な状態を構成する。【解決手段】複数個の二準位系（Ｘ₁ ，Ｘ₂ ，…Ｘ
_2p+1）から成る量子力学状態で、各二準位系が基底状態
または励起状態となる正規直交基底の重ね合わせで表現
した場合、各基底の係数が全て実数となる部分的にもつ
れ合った所望の量子力学的な状態を、選択的位相回転操
作（ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏｎ）と、逆平
均操作Ｄとを組み合わせた量子ゲートのネットワークに
よる操作を行うことで構成する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、量子情報処理、量
子通信、量子精密測定の際に必要な量子力学的な状態の
構成方法及びその装置、並びにこれを用いた通信方法及
びその装置に関するものである。

【０００２】

【従来の技術】近年、量子計算（文献、Ｒ．Ｐ．Ｆｅｙ
ｎｍａｎ，’ＦｅｙｎｍａｎＬｅｃｔｕｒｅｓｏ
ｎＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ’，Ａｄｄｉｓｏｎ−Ｗｅ
ｓｌｅｙ（１９９６）、を参照）、および、量子情報理
論の分野で、急激な進展が起こっている。これらの分野
では、量子力学の基本的な性質である、重ね合わせの性
質、干渉の性質、および、もつれ合った状態（ｅｎｔａ
ｎｇｌｅｄｓｔａｔｅ）の性質が巧みに利用されてい
る。

【０００３】量子計算の分野では、因数分解に関するＳ
ｈｏｒのアルゴリズム（Ｐ．Ｗ．Ｓｈｏｒ，’Ｐｏｌｙ
ｎｏｍｉａｌ−ＴｉｍｅＡｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏ
ｒＰｒｉｍｅＦａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎａｎｄ
ＤｉｓｃｒｅｔｅＬｏｇａｒｉｔｈｍｓｏｎａ
ＱｕａｎｔｕｍＣｏｍｐｕｔｅｒ′，ＬＡＮＬｑｕａ
ｎｔｕｍｐｈｙｓｉｃｓａｒｃｈｉｖｅｑｕａｎ
ｔ−ｐｈ／９５０８０２７．参照、同様の内容が、ＳＩ
ＡＭＪ．Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ２６（１９９７）１４
８４にある。また、最初の文献は、Ｐ．Ｗ．Ｓｈｏ
ｒ，’Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｑｕａｎｔｕｍ
ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ：Ｄｉｓｃｒｅｔｅｌｏｇ
ａｒｉｔｈｍｓａｎｄｆａｃｔｏｒｉｎｇ’，ｉｎ
Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅ３５ｔｈ
ＡｎｎｕａｌＳｙｍｐｏｓｉｕｍｏｎＦｏｕｎｄ
ａｔｉｏｎｓｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃ
ｅ（ｅｄ．Ｓ．Ｇｏｌｄｗａｓｓｅｒ）１２４−１３４
（ＩＥＥＥＣｏｍｐｕｔｅｒＳｏｃｉｅｔｙ，Ｌｏ
ｓＡｌａｍｉｔｏｓ，ＣＡ，１９９４）である。詳細
な解説として、ＡｒｔｕｒＥｋｅｒｔａｎｄＲｉ
ｃｈａｒｄＪｏｚｓａ，’Ｑｕａｎｔｕｍｃｏｍｐ
ｕｔａｔｉｏｎａｎｄＳｈｏｒ′ｓｆａｃｔｏｒ
ｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍ’，Ｒｅｖ．Ｍｏｄ．Ｐｈ
ｙｓ．６８．７３３（１９９６）がある）、検索問題に
関するＧｒｏｖｅｒのアルゴリズム（Ｌ．Ｋ．Ｇｒｏｖ
ｅｒ，’Ａｆａｓｔｑｕａｎｔｕｍｍｅｃｈａｎ
ｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｄａｔａｂａ
ｓｅｓｅａｒｃｈ’，ＬＡＮＬｑｕａｎｔｕｍｐ
ｈｙｓｉｃｓａｒｃｈｉｖｅｑｕａｎｔ−ｐｈ／９
６０５０４３．参照。これと、ほぼ同じ内容が、次の文
献にある，Ｌ．Ｋ．Ｇｒｏｖｅｒ，’Ｑｕａｎｔｕｍ
ＭｅｃｈａｎｉｃｓＨｅｌｐｓｉｎＳｅａｒｃｈ
ｉｎｇｆｏｒａＮｅｅｄｌｅｉｎａＨａｙ
ｓｔａｃｋ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．７９，３
２５（１９９７）．）が発表されて以来、多くの研究者
が、量子計算の実現方法の提案や、新しい量子アルゴリ
ズムの開発を続けている。

【０００４】一方、量子情報理論の分野では、デコヒー
レンス（ｄｅｃｏｈｅｒｅｎｃｅ）の影響を受けにくい
という点で、もつれ合った状態が重要な役割を果たすこ
とが認識されている（文献、Ｃ．Ｈ．Ｂｅｎｎｅｔｔ，
Ｃ．Ａ．ＦｕｃｈｓａｎｄＪ．Ａ．Ｓｍｏｌｉｎ，’
Ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ−ＥｎｈａｎｃｅｄＣｌａ
ｓｓｉｃａｌＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｏｎａ
ＮｏｉｓｙＱｕａｎｔｕｍＣｈａｎｎｅｌ’，Ｑ
ｕａｎｔｕｍＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ，Ｃｏｍｐ
ｕｔｉｎｇ，ａｎｄＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，ｅｄｉ
ｔｅｄｂｙＨｉｒｏｔａｅｔａｌ．Ｐｌｅｎｕｍ
Ｐｒｅｓｓ，ＮｅｗＹｏｒｋ，ｐ．７９（１９９
７）を参照）。

【０００５】更に、これらの結果の応用として、ラムゼ
ー（Ｒａｍｓｅｙ）分光法の実験で、ｎ個の二準位系の
もつれ合った状態を利用することによって、量子標準測
定限界（ｑｕａｎｔｕｍｓｈｏｔｎｏｉｓｅｌｉ
ｍｉｔ）を克服する方法が考えられている（文献、Ｄ．
Ｊ．Ｗｉｎｅｌａｎｄ，Ｊ．Ｊ．Ｂｏｌｌｉｎｇｅｒ，
Ｗ．Ｍ．Ｉｔａｎｏ，Ｆ．Ｌ．Ｍｏｏｒｅａｎｄ
Ｄ．Ｊ．Ｈｅｉｎｚｅｎ，’Ｓｐｉｎｓｑｕｅｅｚｉ
ｎｇａｎｄｒｅｄｕｃｅｄｑｕａｎｔｕｍｎｏｉ
ｓｅｉｎｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ’，Ｐｈｙｓ．
Ｒｅｖ．Ａ４６｝，Ｒ６７９７（１９９２）や、Ｄ．
Ｊ．Ｗｉｎｅｌａｎｄ，Ｊ．Ｊ．Ｂｏｌｌｉｎｇｅｒ，
Ｗ．Ｍ．ＩｔａｎｏａｎｄＤ．Ｊ．Ｈｅｉｎｚｅ
ｎ，’Ｓｑｕｅｅｚｅｄａｔｏｍｉｃｓｔａｔｅｓ
ａｎｄｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｎｏｉｓｅｉｎ
ｓｐｅｃｔｒｏｓｃｏｐｙ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ａ５
０，６７（１９９４）を参照）、また、論議されている
系が二準位系のラムゼー（Ｒａｍｓｅｙ）分光法ではな
いが、同様の考え方が文献、Ｍ．Ｋｉｔａｇａｗａａ
ｎｄＭ．Ｕｅｄａ，’Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ−Ｉｎｔｅ
ｒｆｅｒｏｍｅｔｒｉｃＧｅｎｅｒａｔｉｏｎｏｆ
Ｎｕｍｂｅｒ−Ｐｈａｓｅ−ＣｏｒｒｅｌａｔｅｄＦ
ｅｒｍｉｏｎＳｔａｔｅｓ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌ
ｅｔｔ．６７，１８５２（１９９１）にも見られる）。

【０００６】環境からの影響による、系のデコヒーレン
スが無視できる場合、最大限にもつれ合った状態（ｍａ
ｘｉｍａｌｌｙｅｎｔａｎｇｌｅｄｓｔａｔｅ）
は、エネルギースペクトルの周波数測定の精度を改善し
てくれる。

【０００７】この場合、周波数の揺らぎは

【０００８】

【外１】だけ減少する。しかし、系のデコヒーレンスを考慮した
場合、最大限にもつれ合った状態は、相関のない系（ｕ
ｎｃｏｒｒｅｌａｔｅｄｓｙｓｔｅｍ）と同程度の分
解能しか与えてくれない。

【０００９】また、文献（Ｓ．Ｆ．Ｈｕｅｌｇａ，Ｃ．
Ｍａｃｃｈｉａｖｅｌｌｏ，Ｔ．Ｐｅｌｌｉｚｚａｒ
ｉ，Ａ．Ｋ．Ｅｋｅｒｔ，Ｍ．Ｂ．Ｐｌｅｎｉｏ，Ｊ．
Ｉ．Ｃｉｒａｃ，’ＩｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｏｆＦ
ｒｅｑｕｅｎｃｙＳｔａｎｄａｒｄｓｗｉｔｈＱ
ｕａｎｔｕｍＥｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ’，Ｐｈｙ
ｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．７９，３８６５（１９９
７）．）では、高度な対称性を持った部分的にもつれ合
った状態を利用する方法が提案されている。

【００１０】この方法によれば、あらかじめ、最適なパ
ラメータ（基底ベクトルの係数）を選ぶことができれ
ば、最大限にもつれ合った状態や、相関のない状態に比
べて、高い分解能を得ることができる。

【００１１】上述の高度な対称性を持つ部分的にもつれ
合った状態は次の形で与えられる。

【００１２】

【外２】ただし、ｎは、状態を構成する二準位系の粒子であるｑ
ｕｂｉｔの個数を表しており、

【００１３】

【外３】は、ｎ／２を超えない最大の整数を表すものとする。
｛ａ_k ｝は実数で、例えば、ラムゼー分光法において高
分解能が得られるように、最適な値の組み合わせが、あ
らかじめ与えられているとする。今の場合、定数と考え
てよい。

【００１４】｜ｋ〉_s は、ｋ個、または、（ｎ−ｋ）個
のｑｕｂｉｔが励起した状態を、等しい重みで重ね合わ
せたものとする。例えば｜ψ ₄〉は次のように与えられ
る。｜ψ ₄〉＝ａ₀ ｜０〉＋ａ₁ ｜１〉＋ａ₂ ｜２〉＝ａ₀ （｜００００〉＋｜１１１１〉）＋ａ₁ （｜０００１〉＋｜００１０〉＋｜０１００〉＋｜１０００〉＋｜１１１０〉＋｜１１０１〉＋｜１０１１〉＋｜０１１１〉）＋ａ₂ （｜００１１〉＋｜０１０１〉＋｜０１１０〉＋｜１００１〉＋｜１０１０〉＋｜１１００〉）これらの状態は、以下のような対称性を持つ。・任意の二つのｑｕｂｉｔの置換に対して不変・各ｑｕｂｉｔに対して、同時に｛｜０〉、｜１〉｝を
反転させても不変

【００１５】

【発明が解決しようとする課題】高度な対称性を持つ部
分的にもつれ合った状態を使ってラムゼー分光法の実験
を行う場合、デコヒーレンスが起こる前に、系の初期状
態として、目的のもつれ合った状態をできるだけ早く用
意しなくてはならない。このように、現実の物理系では
必ずデコヒーレンス時間というものが存在し、この時間
内に量子力学的な操作を行わなくてはならない。これ
は、量子精密測定だけでなく、量子通信や、一般の量子
計算でも共通の問題である。

【００１６】また、ある定まった状態から、目的のもつ
れ合った状態を構成するには、基本的な量子ゲートによ
る操作を何回も連続して行わなくてはならず、この回数
をなるべく低く抑えることが、目的のもつれ合った状態
を準備するのに必要な時間を短縮することにつながると
考えられる。

【００１７】また、目的のもつれ合った状態を得るため
の量子ゲートネットワークを構成するためには、基本的
な量子ゲートをどのｑｕｂｉｔに対して、どのような順
序で作用させるか、更に、ユニタリー回転の回転パラメ
ータなどを、あらかじめ古典計算機等によって決定して
おかなくてはならない。そして、これらの計算量も、現
実的に実行可能な程度に低く抑えられることが望まし
い。

【００１８】そこで、本発明は、現実の物理系のデコヒ
ーレンス時間内に目的のもつれ合った状態を構成するた
め、基本的な量子ゲートの総数で計算時間を評価した場
合に、できるだけ少ないステップ数で所望の状態を構成
する方法を提供することを目的とする。

【００１９】また、本発明は、基本的な量子ゲートから
成るネットワークを構成する際、基本的な量子ゲート
を、どのｑｕｂｉｔに対して、どのような順序で作用さ
せるか、更に、ユニタリー回転パラメータ等をあらかじ
め古典計算機によって決定するための効果的な手続きを
提供することを目的とする。

【００２０】また、本発明は、高度な対称性を持った部
分的にもつれ合った状態だけでなく、偶数の衝突（ｃｏ
ｌｌｉｓｉｏｎ）を持つ関数によって定義される部分的
にもつれ合った状態を、基本的な量子ゲートの総数で計
算時間を評価した場合に、できるだけ少ないステップ数
で構成する方法及びその装置を提供することを目的とす
る。

【００２１】

【課題を解決するための手段】上述した目的を達成する
ために、本発明の状態構成方法によれば、複数個の二準
位系から成る量子力学的状態で、各二準位系が基底状態
または励起状態となる正規直交基底の重ね合わせで表現
した場合、各基底の係数が全て実数となる部分的にもつ
れ合った所望の量子力学的な状態を、選択的位相回転操
作と、逆平均操作とを組み合わせた操作を行うことで構
成する。

【００２２】また、本発明の他の態様によれば、状態構
成装置に、複数個の二準位系に対する選択的位相回転操
作手段と、前記複数個の二準位系に対する逆平均操作手
順とを備え、前記複数個の二準位系から成る量子力学的
状態で、各二準位系が基底状態または励起状態となる正
規直交基底の重ね合わせで表現した場合、各基底の係数
が全て実数となる部分的にもつれ合った所望の量子力学
的な状態を、前記選択的位相回転操作手段による操作
と、逆平均操作手段による操作とを組み合わせた操作を
行うことで構成する。

【００２３】

【発明の実施の形態】以下、図面を用いて本発明の実施
形態を詳細に説明する。（各実施形態に共通する基本的な考え方）本実施形態で
は、次の順で、説明がなされる。１．単純な方法（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）２．（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）の具体例３．第二レジスターを使用しない場合の（ｆｉｒｓｔ
ｔｒｉａｌ法）のゲートネットワーク構成方法４．（Ｒ′｛η｝ＤＲ｛η｝縮約法が成功するための条
件５．（Ｒ（π）Ｄ）繰り返し法６．（Ｒ（π）Ｄ）繰り返し法の簡単な例７．偶数の衝突（ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ）を持つ関数で与
えられる部分的にもつれ合った状態を構成する場合８．具体的な量子ゲートネットワークの構成例と計算時
間の評価（第一の実施形態）偶数の衝突（ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ）
を持つ関数の量子ゲートネットワーク（第二の実施形態）選択的位相回転の量子ゲートネット
ワーク（第三の実施形態）逆平均操作の量子ゲートネットワー
ク（第四の実施形態）全過程の計算量の評価（第五の実施形態）∧_n （Ｒ_z （α））ゲートの構成方
法（第六の実施形態）ＣｏｌｄＴｒａｐｐｅｄＩｏｎ
法によって実現する方法（第七の実施形態）量子通信に応用する例以下、順次説明を行う。

【００２４】〔単純な方法（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ
法）〕高度な対称性を持つ部分的にもつれ合った状態を
構成する方法として、最初に、以下のものを考えること
にする。この方法を、本実施形態では、便宜上、（ｆｉ
ｒｓｔｔｒｉａｌ法）と呼ぶことにする。なお、後で
示されるが、この方法は、ｎ＝２，３の場合、任意の実
係数の組｛ａ_k ｝で指定される｜ψ _n〉を構成すること
が出来るが、ｎ≧４の場合については、特別な場合しか
構成できない。

【００２５】しかし、この（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ
法）は、全ての実施形態を通して、基本的な考え方とな
っており、他の実施形態は、（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ
法）を改良した方法として提案される。

【００２６】（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）１．ｎ−ｑｕｂｉｔのレジスターに以下のような、初期
状態を準備する。｜ｓ ₁〉＝｜０・・・０〉．２．レジスターの各ｑｕｂｉｔに、Ｈａｄａｍａｒｄ変
換を作用させる。ただし、Ｈａｄａｍａｒｄ変換は、次
のように与えられるとする。

【００２７】

【外４】（２）式の表現では、｜０〉＝（１，０）、｜１〉＝
（０，１）としている。この操作により、レジスター
に、均一な重ね合わせ状態（ａｆｌａｔｓｕｐｅｒ
ｐｏｓｉｔｉｏｎ）

【００２８】

【外５】が得られる。

【００２９】３．ｓ（ｋ）を、｜ｋ〉での、励起状態に
あるｑｕｂｉｔの総数とする。

【００３０】

【外６】として、｛０，１，…，ｐ｝から、ｐ個の要素を選び、
適当に並べ変えることによって、順列｛η₀ ，η₁ ，
…，η_p-1 ｝が得られたとする（従って、η_i は、０≦
ｉ≦ｐで、０≦η_i ≦ｐをみたす整数で、また、ｉ≠ｊ
のとき、η_i ≠η_jとなる）。以下の三つの操作
（ａ）、（ｂ）、（ｃ）を、ｉ＝０，１，…，ｐ−１に
ついて順に行う。

【００３１】（ａ）適当な０≦φ_i ＜２πを選ぶ。ｓ
（ｋ）がη_i に等しい場合、｜ｋ〉の位相をφ_i だけ回
転させる選択的位相回転（ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒｏｔ
ａｔｉｏｎ）を行う。ｓ（ｋ）が（ｎ−η_i ）に等しい
場合、｜ｋ〉の位相を（−φ_i）だけ回転させる。

【００３２】（ｂ）Ｇｒｏｖｅｒの逆平均操作（ｉｎｖ
ｅｒｓｉｏｎａｂｏｕｔａｖｅｒａｇｅｏｐｅｒ
ａｔｉｏｎ）Ｄをレジスタ一に対して行う（文献、Ｌ．
Ｋ．Ｇｒｏｖｅｒ，’Ａｆａｓｔｑｕａｎｔｕｍ
ｍｅｃｈａｎｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒ
ｄａｔａｂａｓｅｓｅａｒｃｈ’，ＬＡＮＬｑｕａ
ｎｔｕｍｐｈｙｓｉｃｓａｒｃｈｉｖｅｑｕａｎ
ｔ−ｐｈ／９６０５０４３、および、Ｌ．Ｋ．Ｇｒｏｖ
ｅｒ，’ＱｕａｎｔｕｍＭｅｃｈａｎｉｃｓＨｅｌｐ
ｓｉｎＳｅａｒｃｈｉｎｇｆｏｒａＮｅｅｄ
ｌｅｉｎａＨａｙｓｔａｃｋ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅ
ｖ．Ｌｅｔｔ．７９，３２５（１９９７）．参照）。

【００３３】（ｃ）ｓ（ｋ）がηｉに等しい場合、｜
ｋ〉の位相をθ_i だけ回転させる。ｓ（ｋ）が（ｎ−η
_i ）に等しい場合、｜ｋ〉の位相を（−θ_i ）だけ回転
させる選択的位相回転を行う。位相回転パラメータθ_i
は、基底ベクトルの位相を相殺して係数を実数とするよ
うに選ぶ。

【００３４】上記において、順列｛η₀ ，η₁ ，…，η
_p-1 ｝、および位相回転パラメータ｛θ₀ ，θ₁ ，…，
θ_p-1 ｝は、式（１）における係数の組｛ａ_k ｝に依存
する。

【００３５】ｎが偶数で、η＝ｎ−η＝ｎ／２の場合、
ｓ（ｋ）＝ηが成立する基底のベクトルの個数は偶数で
ある。従って、上記ステップ３（ａ）では、ｓ（ｋ）＝
ηが成立する基底ベクトルの全体の半分に対して位相を
θだけ回転させ、残りの基底ベクトルの半分に対して位
相を（−θ）だけ回転させる。ステップ３（ｃ）につい
ても、同様の操作を行う。

【００３６】選択的位相回転を効率良く行うために、二
つのレジスターを用意する。第一レジスターはｎ個のｑ
ｕｂｉｔから成り、第二レジスターは、

【００３７】

【外７】このｑｕｂｉｔから成るとする。但し、

【００３８】

【外８】は、ｌｏｇ₂ （ｎ＋１）以上の最小の整数を表わす。第
一レジスターの各ｑｕｂｉｔに対してＨａｄａｍａｒｄ
変換を作用させ、均一な重ね合わせ状態を得た後、ｓ
（ｋ）の値を第二レジスターに書き込むことにする。

【００３９】

【外９】

【００４０】選択的位相回転を行う際、量子ゲートのコ
ントロール部を第二レジスターに設定することにより、
量子ゲートの使用数を節約することができる。例えば、
ｎ＝４、ｓ（ｋ）＝１の場合を考えてみる。第二レジス
ターが｜１〉の状態の位相を回転させることは、第一レ
ジスターの８個の基底ベクトルの位相を回転させること
に等しい。なお、逆平均操作Ｄを行う直前、および、終
状態を得る直前には、第二レジスターは｜０…０〉に初
期化されていなくてはならない。

【００４１】これまで説明してきた方法の動作を確認す
るために、ステップ３（ａ）（ｉ＝０）後の状態｜ｓ
₃ 〉を以下のように表すことにする。

【００４２】

【外１０】但し、ｓ（ｋ）がηに等しい基底ベクトルの個数をｈと
している。

【００４３】Ｒ｛η｝は、ステップ３（ａ）で作用させ
る選択的位相回転を表わしている。ここでは、添え字で
あるｉ＝０は、省略されている。式（５）では、｛｜
ｋ〉｜ｋ∈｛０，１｝ⁿ ｝が正規直交基底として取られ
ている。式（５）の表現のように、本願実施形態では、
しばしば、縦ベクトルを横ベクトルとして記述する。ま
た、ここでは、ｓ（ｋ）がηに等しい基底ベクトルの個
数をｈとしている。従って、｜ｓ₃ 〉には、成分ｅｘｐ
（ｉφ）、および、ｅｘｐ（−ｉφ）が、それぞれｈ個
ずつ存在することになる。

【００４４】なお、（５）の表現では、基底ベクトルの
順番｛｜０…００〉，｜０…０１〉，…，｜１…１
１〉｝が変更されていて、成分ｅｘｐ（ｉφ）、および
ｅｘｐ（−ｉφ）が、｜ｓ₃ 〉の左端に集まるようにし
ている。このように、基底ベクトルの順番を変更して
も、逆平均操作Ｄの行列表現は変化しない。Ｄの２ⁿ ×
２ⁿ行列表現は次のように与えられる。

【００４５】

【外１１】

【００４６】Ｄを｜ｓ₃ 〉に作用させると次の状態が得
られる。｜ｓ₄ 〉＝Ｄ｜ｓ₃ 〉＝〔α，…α^* ，…β…〕，（７）但し、α，βは以下を満たすものとする。

【００４７】

【外１２】位相を相殺するために、θを次のように定義する。

【００４８】

【外１３】

【００４９】次に、選択的位相回転Ｒ′｛η｝を｜ｓ
₄ 〉に作用させる。

【００５０】

【外１４】但し、成分｜α｜の個数は２ｈとする。２ｈ個の基底ベ
クトルの係数を負にしたい場合は、これら、２ｈ個の基
底ベクトルに対して、選択的に位相をπだけ回転させれ
ばよい。

【００５１】例えば、ｎ＝２の場合、｜ψ₂ 〉は次のよ
うに与えられる。

【００５２】｜ψ₂ 〉＝ａ₀ （｜００〉＋｜１１〉）＋ａ₁ （｜０１〉＋｜１０〉），（１１）但し、

【００５３】

【外１５】

【００５４】２−ｑｕｂｉｔの均一な重ね合わせ状態の
｜００〉、および、｜１１〉に対して、（±φ）だけ位
相を回転させる操作を使って、これまで説明してきた方
法を実行すると、｜ψ₂ 〉が次の形で得られる。

【００５５】

【外１６】これは、（１２）（ｉ）の範囲に含まれている。φは、
量子的な操作を実行する前に、あらかじめ、（１３）か
ら古典的計算によって決定されていなくてはならない。

【００５６】（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）を使えば、
任意の実係数によって与えられる｜ψ₂ 〉、および、｜
ψ₃ 〉は、構成可能である。しかし、ｎ≧４の場合、係
数の組｛ａ_k ｝によっては、この方法では構成できない
｜ψ_n 〉が存在する。例えば、以下のような状態は、こ
の方法では構成できない。

【００５７】

【外１７】

【００５８】実は、（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）は、
後述する（Ｒ′｛η｝ＤＲ｛η｝）縮約法を連続的に行
うことに対応する。この（Ｒ′｛η｝ＤＲ｛η｝）縮約
法は、常に成功するとは限らないが、成功するための十
分条件があり、それについても後述する。

【００５９】また、式（１３）につき説明したように、
（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）では、ユニタリーゲート
を作用させる前に、位相回転パラメータ

【００６０】

【外１８】を古典計算によって決定しておかなくてはならない。こ
のように、量子ゲートネットワークを組む前に、古典計
算が必要なのは、全ての実施形態に共通している。

【００６１】この（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）で、選
択的位相回転を行うことのできる基底ベクトルは、

【００６２】

【外１９】として、（ｐ＋１）個存在する。従って、（Ｒ′｛η｝
ＤＲ｛η｝）を作用させる順列は、全部で（ｐ＋１）！
通り存在する。しかし、与えられた｜ψ_n ｝が構成でき
る場合は、全体の一部でしかない。更に、ある｜ψ_n ｝
については、すでに説明したように、そもそも、この方
法では構成できない。

【００６３】また、上記の位相回転パラメータを決定す
るには、古典計算による試行錯誤を（ｐ＋１）！回行う
必要がある。よって、ｎが増加するにつれて、計算量の
負担が大きくなることがある。

【００６４】そこで、本願実施形態では、このような場
合に対処する方法として、（Ｒ′｛η｝ＤＲ｛η｝）縮
約法が成功するための十分条件と、（Ｒ（π）Ｄ）繰り
返し法を使う方法を、後の項目で説明する。

【００６５】〔（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）の具体
例〕（Ｒ′｛η｝ＤＲ｛η｝）縮約法が成功するための
十分条件、および、（Ｒ（π）Ｄ）繰り返し法の説明に
入る前に、ここで、ｎ＝２，３，４の場合の（ｆｉｒｓ
ｔｔｒｉａｌ法）のｑｕｂｉｔの変化の様子と、特
に、第二レジスターを使用しない場合の量子ゲートのネ
ットワーク構成を説明する。

【００６６】あらかじめ、ｎ、｛ａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ
_p ｝が与えられているとする。ここで、

【００６７】

【外２０】である。これらの定数で指定され、式（１）で表わされ
る、高度な対象性を持つ部分的にもつれ合った状態｜ψ
_n 〉を構成するための量子ゲートのネットワークについ
て考える。

【００６８】ｑｕｂｉｔの状態の変化を具体的に見るた
めに、最初の簡単な例として、ｎ＝２の場合について考
えてみる。ここで、しばらくの間、式（１１）におい
て、

【００６９】

【外２１】とする。

【００７０】まず、初期状態として、第一、第二ｑｕｂ
ｉｔに｜００〉を用意し、各ｑｕｂｉｔに、それぞれ独
立にＨ（Ｈａｄａｍａｒｄ変換）を作用させる。これに
より、ｑｕｂｉｔは以下の状態に変換される。

【００７１】

【外２２】｜００〉、｜１１〉に、それぞれ選択的に位相因子ｅｘ
ｐ（ｉφ）、ｅｘｐ（−ｉφ）を掛け合わせる選択的位
相回転（ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏｎ）を行
う。このようにして得られた、第一、第二ｑｕｂｉｔの
状態を｜ψ〉とする。

【００７２】

【外２３】

【００７３】次に、逆平均操作（ｉｎｖｅｒｓｉｏｎ
ａｂｏｕｔａｖｅｒａｇｅｏｐｅｒａｔｉｏｎ）を
施す。今、ｎ＝２なので、式（６）から、Ｄは４×４の
行列表示で、次のように与えられる。

【００７４】

【外２４】｜ψ〉にＤを作用させると、以下のように変換される。

【００７５】

【外２５】

【００７６】次に、再度、｜００〉、｜１１〉に位相因
子ｅｘｐ（ｉθ）、ｅｘｐ（−ｉθ）を掛け合わせる。
但し、θは、次の関係をみたすとする。

【００７７】

【外２６】このような、選択的位相回転の結果、二つのｑｕｂｉｔ
は、次のような状態になる。

【００７８】

【外２７】そこで、あらかじめ、

【００７９】

【外２８】をみたすφを選んでおけば、目的の部分的にもつれ合っ
た状態｜ψ₂ 〉が得られる。

【００８０】ここで、次の点に注意する。｜ψ₂ 〉全体
の位相を回転させても物理量は変化しないことから、ａ
₀ 、ａ₁ のとる値の範囲は、次の二通りに分けられる。

【００８１】

【外２９】先の具体例は、（ｉ）の条件をみたす｜ψ₂ 〉を構成す
る方法になっている。（ｉｉ）の条件を満たす｜ψ₂ 〉
を構成するには、選択的位相回転を｜００〉、｜１１〉
ではなく、｜０１〉、｜１０〉について行えばよい。よ
って、ｎ＝２の場合、（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）
で、任意の｜ψ₂ 〉を構成することができる。

【００８２】次に、ｎ＝３の場合について考える。｜ψ₃ 〉＝ａ₀ （｜０００〉＋｜１１１〉）＋ａ₁ （｜００１〉＋｜０１０〉＋｜１００〉＋｜１１０〉＋｜１０１〉＋｜０１１〉）（１４）但し、ａ₀ ² ＋３ａ₁ ² ＝１／２とする。ここで、しば
らくの間、

【００８３】

【外３０】とする。

【００８４】まず、初期状態とて、第一、第二、第三ｑ
ｕｂｉｔに｜０００〉を用意し、各ｑｕｂｉｔに、それ
ぞれ独立にＨ（Ｈａｄａｍａｒｄ変換）を作用させる。

【００８５】

【外３１】｜０００〉、｜１１１〉に、それぞれ選択的に位相因子
ｅｘｐ（ｉφ）、ｅｘｐ（−ｉφ）を掛け合わせる選択
的位相回転（ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏｎ）
を行えば、次の状態｜ψ〉が得られる。

【００８６】

【外３２】

【００８７】次に、逆平均操作Ｄを作用させる。Ｄは、
式（６）でｎ＝３とすることで、行列表現が次のように
与えられる。

【００８８】

【外３３】｜ψ〉にＤを作用させると、以下のように変換される。

【００８９】

【外３４】

【００９０】次に、再度、｜０００〉、｜１１１〉に位
相因子ｅｘｐ（ｉθ）、ｅｘｐ（−ｉθ）を掛け合わせ
る。但し、θは、

【００９１】

【外３５】を満たすとする。このような、選択的位相回転の結果、
二つのｑｕｂｉｔは、次のような状態になる。

【００９２】

【外３６】そこで、あらかじめ、

【００９３】

【外３７】を満たすφを選んでおけば、目的とする部分的にもつれ
合った状態｜ψ₃ 〉が得られる。

【００９４】ここで、次の点に注意する。式（１５）か
ら、式（１４）においてａ₀ 、ａ₁のとる値は、

【００９５】

【外３８】の４通りとなる。先の具体例は、（ｉ）の条件をみたす
｜ψ₃ 〉を構成する方法となっている。（ｉｉ）の条件
をみたす｜ψ₃ 〉を構成するには、二回目のｓｅｌｅｃ
ｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏｎで、｜０００〉、｜１１
１〉に、それぞれ−ｅｘｐ（ｉθ）、−ｅｘｐ（−ｉ
θ）を掛け合わせればよい。

【００９６】また、｜００１〉、｜０１０〉、｜１０
０〉、および、｜１１０〉、｜１０１〉、｜０１１〉
に、選択的に位相回転を行って、

【００９７】

【外３９】逆平均操作Ｄを行って、

【００９８】

【外４０】再度、選択的に位相回転を行えば、

【００９９】

【外４１】を得る。この場合、初等的な計算により、ｃｏｓζ＝１
／３として、０≦φ≦ζの範囲で、（ｉｉｉ）の条件を
みたす｜ψ₃ 〉を構成したことが分かる。（ｉｖ）の条
件をみたす｜ψ₃ 〉も、同様にして構成できる。よっ
て、（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）で任意の｜ψ₃ 〉を構
成することができる。

【０１００】次に、ｎ＝４の場合について考える。｜ψ₄ 〉＝ａ₀ （｜００００〉＋｜１１１１〉）＋ａ₁
（｜０００１〉＋｜００１０〉＋｜０１００〉＋｜１０
００〉＋｜１１１０〉＋｜１１０１〉＋｜１０１１〉＋
｜０１１１〉）＋ａ₂ （｜００１１〉＋｜０１０１〉＋
｜０１１０〉＋｜１００１〉＋｜１０１０〉＋｜１１０
０〉）但し、ａ₀ ² ＋４ａ₁ ²＋３ａ₂ ²＝１／２とする。

【０１０１】まず、初期状態として、第一、第二、第
三、第四ｑｕｂｉｔに｜００００〉を用意し、各ｑｕｂ
ｉｔに、それぞれ独立にＨ（Ｈａｄａｍａｒｄ変換）を
作用させる。

【０１０２】

【外４２】ここで、ｉはｉの２進表現とする。｜００００〉、｜１
１１１〉に、それぞれ選択的に位相因子ｅｘｐ（ｉ
φ）、ｅｘｐ（−ｉφ）を掛け合わせれば、次の状態｜
ψ〉が得られる。

【０１０３】

【外４３】

【０１０４】次に、逆平均操作Ｄを作用させる。Ｄは、
式（６）でｎ＝４とすることで、行列表現で次のように
書ける。

【０１０５】

【外４４】Ｄを作用させると、ｑｕｂｉｔの状態は、以下のように
なる。

【０１０６】

【外４５】

【０１０７】次に、再度、｜００００〉、｜１１１１〉
に位相因子ｅｘｐ（ｉθ）、ｅｘｐ（−ｉθ）を掛け合
わせる。但し、θは、

【０１０８】

【外４６】を満たすとする。このような、選択的位相回転の結果、
二つのｑｕｂｉｔは、次のような状態になる。

【０１０９】

【外４７】である。

【０１１０】更に、｜００１１〉、｜０１０１〉、｜０
１１０〉にｅｘｐ（ｉδ）を、｜１００１〉、｜１０１
０〉、｜１１００〉にｅｘｐ（−ｉδ）を、それぞれ選
択的に位相因子として掛け合わせる。この後、再度、Ｄ
を作用させると、ｑｕｂｉｔの状態は、以下のようにな
る。

【０１１１】

【外４８】｜００１１〉、｜０１０１〉、｜０１１０〉にｅｘｐ
（ｉκ）を、｜１００１〉、｜１０１０〉、｜１１０
０〉にｅｘｐ（−ｉκ）を、それぞれ選択的に位相因子
として掛け合わせる。但し、κは、

【０１１２】

【外４９】を満たすとする。

【０１１３】このような、選択的位相回転の結果、ｑｕ
ｂｉｔは次のような状態になる。

【０１１４】

【外５０】但し、Ｓ₁ （φ，δ）＝−６ｒ₁ （φ）＋２ｒ₂ （φ）（４＋
３ｃｏｓδ）Ｓ₂ （φ，δ）＝２ｒ₁ （φ）＋６ｒ₂ （φ）ｃｏｓδ Ｓ₃ （φ，δ）＝｜２ｒ₁ （φ）＋ｒ₂ （φ）（８−５
ｅｘｐ（ｉδ）＋３ｅｘｐ（−ｉδ））｜としている。

【０１１５】あらかじめ、φ、δとして、適切なパラメ
ータを選んでおけば、特定の部分的にもつれ合った状態
｜ψ₄ 〉が得られる。また、位相回転を行う項をどのよ
うに選ぶかを工夫すれば、係数｛ａ₀ ，ａ₁ ，ａ₂ ｝の
取り得る値の様々な組み合わせに対応できる。しかし、
すでに説明したように、（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）
では、ｎ≧４の場合の、任意の｜ψ_n 〉を構成できると
は限らない。

【０１１６】〔第二レジスターを使用しない場合の（ｆ
ｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）のゲートネットワーク構成方
法〕次に、（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）で、第二レジ
スターを使用しない量子ゲートのネットワーク構成を、
ｎ＝２，３，４の場合について、それぞれ図１、２、３
〜５に示す。

【０１１７】ここで、ｎが増大するにつれて、（ｆｉｒ
ｓｔｔｒｉａｌ法）で第二レジスターを使用しない場
合の、量子ゲートのネットワークに必要な基本量子ゲー
トの総数がどう変化するかを調べる。問題を簡単化する
ために、ｎが奇数で、ｎ＝２ｐ＋１と表せる場合につい
て考えてみる。この時、式（１）は次のように表わされ
る。

【０１１８】

【外５１】但し、｜ｋ〉は、（２ｐ＋１）個のｑｕｂｉｔのうち、
｜１〉がｋ個含まれる項と、（２ｐ＋１−ｋ）含まれる
項の、合計２_2p+1Ｃ_k 個の状態を等しい重みで、重ね合
わせたものである。また、選択的位相回転も、｜ｋ〉、
但し、ｋ＝１，…，ｐという特定の順序で行われるとす
る。

【０１１９】処理全体の流れを図６に示す。Ｘ₁ ，…，
Ｘ_2p+1は第一レジスターの（２ｐ＋１）個のｑｕｂｉｔ
を表している。ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏ
ｎ、逆平均操作、ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏ
ｎの三つで一組の操作がｐ回連続して行われる。φ_k の
ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏｎの際、_2p+1Ｃ_k
個の｜１〉がｋ個含まれる項に対して、位相因子ｅｘｐ
（ｉφ_k ）が掛け合わされ、残りの、_2p+1Ｃ_k 個の｜
１〉が（２ｐ＋１−ｋ）個含まれる項に対して、位相因
子ｅｘｐ（−ｉφ_k ）が掛け合わされている。

【０１２０】特定のある一つの状態に対して、ｓｅｌｅ
ｃｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏｎを行う量子ゲートは、図
７で与えられる。但し、Ｘ₁ ，…，Ｘ_n は第一レジスタ
ーのｎ個のｑｕｂｉｔを表している。また、図中、斜線
で塗られた四角形には、ＮＯＴ−ゲートσ_x 、または、
恒等変換Ｉが入る。ＮＯＴ−ゲートと恒等変換の入れ方
は、ｋによって異なる。これを見ると明らかなように、
ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏｎは、最小でも一個
のΛ_n （Ｒ_z （２φ_k ））を必要とする。

【０１２１】Λ_n （Ｒ_z （２φ_k ））の定義は、この後
の、〔具体的な量子ゲートネットワークの構成例と計算
時間の評価〕の（第二の実施形態）で行う。また、この
後の、〔具体的な量子ゲートネットワークの構成例と計
算時間の評価〕の（第五の実施例）で示されることだ
が、ｎ≧７のとき、Λ_n （Ｒ_z （２φ_k ））を構成する
のに必要な基本ゲートは、８（２ｎ−７）個であること
が確かめられている。よって、ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒ
ｏｔａｔｉｏｎ全体で必要な基本ゲートは、最低でも８
（２ｎ−７）個と分かる。

【０１２２】位相因子ｅｘｐ（ｉφ_k ）、ｅｘｐ（−ｉ
φ_k ）のために選択される状態の種類は、２_2p+1Ｃ_k 個
ある。位相因子ｅｘｐ（ｉθ_k ）、ｅｘｐ（−ｉθ_k ）
についても、同様の操作を行う。ｓｅｌｅｃｔｉｖｅ
ｒｏｔａｔｉｏｎは、ｋ＝１から、ｋ＝ｐまで行われる
ので、全体として、少なくとも、

【０１２３】

【外５２】程度の計算量が必要と分かる。

【０１２４】このように、（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ
法）で第二レジスターを使用しない場合、計算量がｎの
増大と共に、Ｏ（２ⁿ ）のオーダーで増大してしまう。
実は、後述するように、第二レジスターを用意すること
で、基本ゲートの総数をＯ（２^n/2 ）のオーダーで抑え
られることが示される。

【０１２５】〔Ｒ′｛η｝ＤＲ｛η｝）縮約法が成功す
るための条件〕位相回転パラメータは、古典的な計算に
よって、以下のように決定するとよい。（ｆｉｒｓｔ
ｔｒｉａｌ法）は、選択的位相回転と、逆平均操作の組
合わせで行われる。これらは、ユニタリー変換なので、
｜ψ_n 〉を均一な重ね合せ状態である

【０１２６】

【外５３】へ変換する操作の逆の操作として考えることができる。
幸い、選択的位相回転の逆変換は選択的位相回転であ
り、また、逆平均操作Ｄの逆変換も逆平均操作Ｄであ
る。

【０１２７】これにより、係数がａ_i 、ａ_j である基底
ベクトルについて、（Ｒ′ＤＲ）という変換を作用させ
ることによって、変換後の新たな係数を同じにする操作
を、（Ｒ′ＤＲ）縮約操作と呼ぶことにする。次に説明
する補題が、（Ｒ′ＤＲ）縮約操作のための十分条件を
与えるくれる。ここで、

【０１２８】

【外５４】とし、しばらくの間、ｋ＝０，１，…，ｐについてａ_k
≧０を仮定する。

【０１２９】補題０．１〔縮約操作のための十分条件〕
｜Ψ〉が次のように与えられているとする。

【０１３０】

【外５５】但し、Ｎ＝２ⁿ −１、０≦ａ₀ ＜ａ₁ とする。成分ａ₀
が２ｈ個、成分ａ₁ が２ｍ個と仮定する。ｈ≧１、ｍ≧
１、更に、ｈ＋ｍ≦２^n-1 とする。｜Ψ〉の全ての係数
を和をＳと表すことにする。

【０１３１】

【外５６】もし、次の条件、Ｓ−Ｓ^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）≧０が成立すれば、係数がａ₀ 、または、ａ₁ だった、２
（ｈ＋ｍ）個の基底ベクトルの係数を、２ｍ個の基底ベ
クトルの選択的位相回転を含む（Ｒ′ＤＲ）縮約法によ
って、同じ係数にすることが、常に可能である。

【０１３２】（証明）回転角θ（０≦θ＜２π）の選択
的位相回転を、係数がａ₁ である２ｍ個の基底ベクトル
に作用させると、次の状態が得られる。

【０１３３】

【外５７】ただし、Ｎ＝２^n-1 、従って、Ｒ′（θ）ＤＲ（θ）｜
Ψ＞は次のように書ける。

【０１３４】

【外５８】ただし、

【０１３５】

【外５９】とし、また、

【０１３６】

【外６０】とする。Ａ₀ ²をＡ₁ ²に等しくするために、次の関数ｆ
（θ）を定義する。ｆ（θ）＝２^n-2 （Ａ₀ ²−Ａ₁ ²）＝（２ｈａ₀ ＋２ｍａ₁ ｃｏｓθ＋Ｃ）（ａ₁ ｃｏｓθ−ａ₀ ）−２^n-2 （ａ₁ ² −ａ₀ ²）．（１７）もし、ｆ（θ）＝０がみたされれば、Ａ₀ ²はＡ₁ ²に等し
くなる。ここで、ｆ（θ）、および、ｆ（π／２）を、
次のように評価しておく。

【０１３７】

【外６１】よって、Ｓ−２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）≧０ばみたされれ
ば、Ａ₀ ²＝Ａ₁ ²をみたす０≦θ＜（π／２）が存在す
る。Ａ₀ ，Ａ₁ の符号が異なる場合は、選択的π回転を
行えばよい。

【０１３８】位相回転パラメータを決めるために、次の
ような手続きをとることにする。与えられた状態｜Ψ_n
＞を、（１）で表わすことにする。ただし、０≦ｋ≦ｐ
について、ａ_k ≧０とする。

【０１３９】ａ_min を、｛ａ_k ｝の中で最小の係数と
し、ａ_min+1 を二番目に小さい係数とする。従って、０
≦ａ_min ＜ａ_min+1 ＜ａ_j 、ただし、ａ_j は、｜Ψ_n ＞
の係数で、ａ_min およびａ_min+1 以外の任意の係数とす
る。

【０１４０】｛ａ_k ｝のうち異なる係数の個数は、（ｐ
＋１）なので、ａ_min 、ａ_min+1 を見付けだすのに必要
な時間は、Ｏ（ｎ）ステップ程度である。Ｓは、｜Ψ_n
＞の全ての係数の和としている。

【０１４１】１．もし、Ｓ＜２^n-2 （ａ_min ＋ａ
_min+1 ）が成立するなら、全てのｉ，ｊについて、Ｓ＜
２^n-2 （ａ_i ＋ａ_j ）が成立する。このような場合、
（Ｒ′ＤＲ）縮約法を実行するのは、不可能である。よ
って、後述する（Ｒ（π）Ｄ）繰り返し法を行わなくて
はならない。

【０１４２】２．もし、Ｓ＞２^n-2 （ａ_min ＋ａ
_min+1 ）が成立するなら、（Ｒ′ＤＲ）縮約法を実行し
て、Ａ_min ²＝Ａ_min+1 ²という関係を得ることができる。
式（１７）は、ｃｏｓθの二次方程式なので、θを効率
良く得ることができる。

【０１４３】この場合、縮約可能な係数の対が他にも存
在する可能性はあるが、これらは無視する。（Ｒ′Ｄ
Ｒ）縮約法を実行後、負の係数を持つ基底ベクトルに対
して、選択的にπだけ位相回転することによって、全て
の係数が、正、または、０の状態を得ることができ、補
題０．１の条件が満たされているかどうか、再び調べる
ことができる。

【０１４４】もし、（Ｒ′ＤＲ）縮約法が、｜Ψ_n ＞に
対して、ｐ回だけ実行できれば、均一な重ね合わせ状態
（ａｆｌａｔｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ）を得る
ことができる。逆に考えると、量子ゲートネットワーク
は可逆な過程なので、均一な重ね合わせ状態から、量子
ゲートネットワークによって、｜Ψ_n ＞を構成すること
ができる。式（１６）を使えば、｛Ａ_i ｝を古典計算機
によってＯ（ｎ）ステップ程度で計算できる。これは、
｛Ａ_i ｝のうち異なる係数の個数が（ｐ＋１）個だから
である。

【０１４５】〔（Ｒ（π）Ｄ）繰り返し法〕補題０．１
の条件、Ｓ≧２^n-2 （ａ_min ＋ａ_min+1 ）が満たされな
い場合、どのようにして係数を縮約するかについて考え
る。例えば、以下のような状態を考える。

【０１４６】

【外６２】

【０１４７】ただし、０≦ａ₀ ＜ａ₁ とする。成分ａ₀
の個数を（２ⁿ −ｔ）、成分ａ₁ の個数をｔと仮定す
る。ただし、２≦ｔ≦２ⁿ −２、かつ、ｔは偶数とす
る。次のような条件、０＜ｔ＜２^n-2 、かつ、〔（３・
２^n-2 −ｔ）／（２^n-2 −ｔ）〕ａ₀ ＜ａ₁ が成立する
場合、｜Ψ＞はＳ＜２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）を満たす。

【０１４８】この場合、逆平均操作Ｄ、次に、負の係数
を持つ基底ベクトルに対して選択的に位相をπ回転させ
る操作を行い、係数Ａ₀ とＡ₁ の差を小さくすることが
できる。図８に、この様子を分かりやすく示す。図８で
は、（ｉ）｜Ψ＞、（ｉｉ）Ｄ｜Ψ＞、（ｉｉｉ）Ｒ
（π）Ｄ｜Ψ＞の基底ベクトルの係数が示されている。
｜Ψ＞に（Ｒ（π）Ｄ）が作用された後、係数の差が小
さくなっていることが分かる。従って、（Ｒ（π）Ｄ）
を連続して作用させることによって、〔Ｓ−２^n- ² （ａ
_min ＋ａ_min+1 ）〕を大きくできることが期待される。
次の補題により、そのことを明らかにする。

【０１４９】（補題０．２）次のように与えられる状態
｜Ψ＞を考える。

【０１５０】

【外６３】

【０１５１】ただし、Ｎ＝２ⁿ −１であり、ｊ＝２（ｈ
＋ｍ），…，Ｎについて、０≦ａ₀＜ａ₁ ＜ａ_j とす
る。また、成分ａ₀ の個数を２ｈ、成分ａ₁ の個数を２
ｍとし、ｈ≧１、ｍ≧１、かつ、ｈ＋ｍ≦２^n-1 と仮定
する。｜Ψ＞の全ての係数の和であるＳは、以下の条件
をみたしているとする。

【０１５２】Ｓ−２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）＜０．（２０）｜Ψ＞に対して、逆平均操作Ｄを作用させ、次に、負の
係数を持つ基底ベクトルに対して選択的π位相回転を作
用させ、次の状態が得られたとする。

【０１５３】Ｒ（π）Ｄ｜Ψ＞＝〔Ｂ₀ ，…，Ｂ₁ ，
…，Ｂ_2(h+m)，…，Ｂ_N 〕、Ｓ′をＲ（π）Ｄ｜Ψ＞の
全ての係数の和として定義する。

【０１５４】１．次の関係が成立する。ｊ＝２（ｈ＋
ｍ），…，Ｎ（＝２ⁿ −１）について０＜Ｂ₀ ＜Ｂ₁ ＜Ｂ_j 、かつ、〔Ｓ′−２^n-2 （Ｂ₀ ＋Ｂ₁ ）〕−〔Ｓ−２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）〕＞（２ｈ−２^n-1 ）ａ₀ ＋（２ⁿ −２ｈ）ａ_１＞０．（２１）２．以下の量を定義すると、

【０１５５】

【外６４】次の関係が成立する。 ε^（１）＞ε⁽⁰⁾ ＞０．（証明）Ｄ｜Ψ＞は次のように求められる。Ｄ｜Ψ＞＝〔ａ′₀，…，ａ′₁，…，ａ′_2(h+m) ，
…，ａ′_N〕，ただし、Ｎ＝２ⁿ −１、

【０１５６】

【外６５】Ｓ−２^n-1 ａ₀ ＞０となるには明らかである。Ｓ−２
^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）＜０という条件を使えば、

【０１５７】

【外６６】について、Ｓ−２^n-1 ａ_k ＜０という関係が得られる。
したがって、Ｒ（π）Ｄ｜Ψ＞は次のように得られる。

【０１５８】

【外６７】

【０１５９】Ｂ₁ とＢ₀ の差は以下のように求められ
る。

【０１６０】２^n-1 （Ｂ₁ −Ｂ₀ ）＝−２〔Ｓ−２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）〕＞０．（２５）ここで、式（２０）の仮定を使った。また、ｊ＝２（ｈ
＋ｍ），…，２ⁿ −１についてＢ₁ ＜Ｂ_j は明らかであ
る。これより、ｊ＝２（ｈ＋ｍ），…，２ⁿ −１につい
て０＜Ｂ₀ ＜Ｂ₁ ＜Ｂ_j が得られる。

【０１６１】次の関係

【０１６２】

【外６８】より、（Ｒ（π）Ｄ）操作によって引き起こされる〔Ｓ
−２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）〕の変化であるΔが、以下のよ
うに書き表せられる。

【０１６３】

【外６９】

【０１６４】Δを精密に評価するために、いくつかの便
利な不等式を用意する。Ｓの定義より、次の関係が得ら
れる。

【０１６５】

【外７０】仮定（２０）、および、（２７）を使えば、次の関係が
導かれる。０＞Ｓ−２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ） ≧２ｈａ₀ ＋（２ⁿ −２ｈ）ａ₁ −２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）＝（２ｈ−２^n-2 ）ａ₀ ＋（３・２^n-2 −２ｈ）ａ₁ ．（２８）ここで、（２８）を変形して、もっと粗い不等式を得る
ことができる。

【０１６６】０＞２ｈａ₀ −２^n-2 ａ₁ ＋（３・２^n-2 −２ｈ）ａ₁ ＝２ｈａ₀ ＋（２^n-1 −２ｈ）ａ₁ ．（２９）０≦ａ₀ ＜ａ₁ であることから、次が得られる。

【０１６７】２ｈ−２^n-1 ＞０．（３０）この関係式（３０）と（２８）を再度よく見ると、次が
得られる。

【０１６８】２ｈ＞３・２^n-2 ．（３１）これで、Δを厳密に評価する用意が整えられた。関係式
（３１）より、（２７）を式（２６）に代入することが
できる。

【０１６９】

【外７１】式（３１）を見ると、３・２^n-2 ＜２ｈ＜２ⁿ であるこ
とが分かる。従って、０＜（４ｈ−３・２^n-1 ）＜２
^n-1 という関係が導ける。

【０１７０】式（２８）より、Δを次のように評価する
ことができる。

【０１７１】 Δ＞〔（２ｈ−２^n-2 ）ａ₀ ＋（３・２^n-2 −２ｈ）ａ₁ 〕＋２^n-2 （ａ₁ − ａ₀ ）＝（２ｈ−２^n-1 ）ａ₀ ＋（２ⁿ −２ｈ）ａ₁ ＞０．（３３）よって、最初の結果が導かれた。

【０１７２】定義（２２）、および、（２４）、（２
７）、（２８）より、ε⁽⁰⁾ とε⁽¹⁾の差を見積もるこ
とができる。

【０１７３】

【外７２】

【０１７４】以上により、二番目の結果が導かれた。

【０１７５】補題０．２により、（Ｒ（π）Ｄ）変換を
連続して作用させることで、〔Ｓ−２^n-2 （ａ₀ ＋ａ
₁ ）〕を必ず正または０にすることができる。係数

【０１７６】

【外７３】で指定される状態｜Ψ⁽⁰⁾ ＞を考え、｜Ψ⁽⁰⁾ ＞がＳ−
２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）＜０をみたすとする。｜Ψ⁽⁰⁾ ＞
に（Ｒ（π）Ｄ）を作用させ、係数

【０１７７】

【外７４】で指定される状態｜Ψ⁽¹⁾ ＞が得られたとする。補題
０．２．１より、以下の関係が得られる。〔Ｓ′−２^n-2 （Ｂ₀ ＋Ｂ₁ ）〕−〔Ｓ−２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）〕＞ε⁽⁰⁾ ＞０，（３５）ただし、ε⁽⁰⁾ は（２２）で定義された量である。

【０１７８】次に、｜Ψ⁽¹⁾ ＞は、Ｓ′−２^n-2 （Ｂ₀
＋Ｂ₁ ）＜０を満たすとする。｜Ψ⁽¹⁾ ＞に（Ｒ（π）
Ｄ）を作用させた後、｛Ｂ₀ ⁽²⁾，Ｂ₁ ⁽²⁾，Ｂ
_2(h+m) ⁽²⁾ ，Ｂ_2(h+m)+1 ⁽²⁾ ，…，Ｂ_N ⁽²⁾｝で指定され
る｜Ψ⁽²⁾ ＞が得られたとする。補題０．２．２より次
の関係を得る。〔Ｓ′⁽²⁾ −２^n-2 （Ｂ₀ ⁽²⁾＋Ｂ₁ ⁽²⁾）〕−〔Ｓ′−２^n-2 （Ｂ₀ ＋Ｂ₁ ）〕＞ ε⁽¹⁾ ε⁽⁰⁾ ＞０．（３６）

【０１７９】従って、もし〔Ｓ′^(j) −２^n-2 （Ｂ₀ ^(j)
＋Ｂ₁ ^(j)）〕＜０がみたされれば、〔Ｓ′^(j+1) −２
^n-2 （Ｂ₀ ^(j+1)＋Ｂ₁ ^(j+1)）〕は少なくともε⁽⁰⁾ （＞
０）だけ増加する。ｊは（Ｒ（π）Ｄ）を作用させた回
数を表わしている。ε⁽⁰⁾ は｛ａ₀ ，ａ₁ ｝、および、
ｈで定義されている。

【０１８０】従って、ε⁽⁰⁾ は確定した有限な正の値で
ある。（Ｒ（π）Ｄ）を繰り返し作用させると、〔Ｓ′
−２^n-2 （Ｂ₀ ＋Ｂ₁ ）〕を確実に正または０にでき
る。

【０１８１】もし〔Ｓ′^(j) −２^n-2 （Ｂ₀ ^(j)＋
Ｂ₁ ^(j)）〕が正または０になったら、（Ｒ′ＤＲ）縮約
法を再び開始する。（Ｒ′ＤＲ）縮約法と（Ｒ（π）
Ｄ）繰り返し操作を用いれば、｜Ψ_n ＞を、常に、均一
な重ね合わせ状態（ａｆｌａｔｓｕｐｅｒｐｏｓｉ
ｔｉｏｎ）に変換できる。

【０１８２】そこで、Ｓ′^(j) −２^n-2 （Ｂ₀ ^(j)＋Ｂ₁
^(j) ）≧０にするのに、｜Ψ＞に対して、何回程度（Ｒ
（π）Ｄ）を作用させる必要があるかについて考える。
これを評価するために次の状態を考える。

【０１８３】

【外７５】ただし、

【０１８４】

【外７６】

【０１８５】また、ｋ＝２，…，Ｍについて０≦ａ₀ ＜
ａ₁ ＜ａ_k 、更に、Ｓ−２^n-2 （ａ₀＋ａ₁ ）＜０とす
る。ここで、次のようにａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ_Mを表す。

【０１８６】

【外７７】 ε⁽⁰⁾ 、および、〔Ｓ−２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）〕のオー
ダーを次のように評価できる。 ε⁽⁰⁾ ＝（２^n-1 −ｔ）ａ₀ ＋ａ₁ ＞２^n-1 ａ₀ ＞Ｏ（２^(n/2)-1 ），（３７）Ｓ−２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）＞２ⁿ ａ₀ −２^n-2 （ａ₀ ＋ａ₁ ）＝３・２^n-2 ａ₀ −２^n-2 ａ₁ ＞Ｏ（２^n-2 ）．（３８）

【０１８７】従って、（Ｒ（π）Ｄ）を作用させる回数
Ｔは、次のように与えられる。

【０１８８】

【外７８】

【０１８９】式（２４）を使えば、｛Ｂ_i ｝を古典計算
機によってＯ（ｎ）ステップ程度で計算できる。これ
は、｛Ｂ_i ｝のうち異なる係数の個数が

【０１９０】

【外７９】個だからである。次に、式（１９）で表わされる。（Ｒ
（π）Ｄ）繰り返し操作の最も簡単な例を、正確に調べ
ることにする。

【０１９１】〔Ｒ（π）Ｄ）繰り返し法の簡単な例〕こ
こでは、式（１９）で表わされる（Ｒ（π）Ｄ）繰り返
し操作の簡単な例について考え、〔Ｓ′−２^n-2 （Ａ₀
＋Ａ₁ ）〕を正または０にするには、（Ｒ（π）Ｄ）を
何回作用させなくてはならないかを評価する。

【０１９２】式（１９）によって与えられる｜Ψ＞に対
して、（Ｒ（π）Ｄ）を作用させ、（Ｒ（π）Ｄ｜Ψ＞
＝〔Ｂ₀ ，…，Ｂ₁ ，…〕を得る。ただし、

【０１９３】

【外８０】とする。ｔを次のように表わすことにする。

【０１９４】

【外８１】ただし、０＜θ＜（π／２）とする。また、｛ａ₀ ，ａ
₁ ｝を、

【０１９５】

【外８２】ただし、０≦α＜（π／２）と表すことにする（このモ
デルを扱う際、次の文献を参考にしている。Ｍ．Ｂｏｙ
ｅｒ，Ｇ．Ｂｒａｓｓａｒｄ，Ｐ．Ｈｏｙｅｒａｎｄ
Ａ．Ｔａｐｐ，‘Ｔｉｇｈｔｂｏｕｎｄｓｏｎｑ
ｕａｎｔｕｍｓｅａｒｃｈｉｎｇ’，ＬＡＮＬｑｕａ
ｎｔｕｍｐｈｙｓｉｃｓａｒｃｈｉｖｅｑｕａｎ
ｔ−ｐｈ／９６０５０３４）。

【０１９６】式（３９）、（４０）、（４１）を使うこ
とによって、｛Ｂ₀ ，Ｂ₁ ｝を次のように表わすことが
できる。

【０１９７】

【外８３】（Ｒ（π）Ｄ）をｊ回作用された状態の係数を、Ｂ₀
^(j) 、Ｂ₁ ^(j)で表わすことにする。これらは、以下のよ
うに書き表せられる。

【０１９８】

【外８４】ただし、Ｂ₀ ⁽⁰⁾ ＝ａ₀ ，Ｂ₁ ⁽⁰⁾＝ａ₁ とする。Ｓ^(j)
＝（２ⁿ −ｔ）Ｂ₀ ^(j) ＋ｔＢ₁ ^(j)を定義すると、次の
ことが導き出される。Ｓ^(j) −２^n-2 （Ｂ₀ ^(j) ＋Ｂ₁ ^(j)）＝（３・２^n-2 −ｔ）Ｂ₀ ^(j) ＋（ｔ−２^n-2 ）Ｂ₁ ^(j)

【０１９９】

【外８５】ただし、Ｆ^(j) ＝ｃｏｓ〔α＋（２ｊ＋３）θ〕とする。０＜θ＜（π／２）、ｓｉｎ２θ＞０であるこ
とから、〔Ｓ^(j) −２^n-2 （Ｂ₀ ^(j) ＋Ｂ₁ ^(j)）〕が
正、０、負のどれであるかは、Ｆ^(j) の符号に依存する
と分かる。

【０２００】０≦α＜（π／２）より、もし（２ｊ＋
３）θ＝（π／２）であるなら、常に、Ｆ^(j) ≦０、つ
まり、Ｓ^(j) −２^n-2 （Ｂ₀ ^(j) ＋Ｂ₁ ^(j)）≧０である
ことが分かる。以下のようにｊ_MAX を定めると、（Ｒ
（π）Ｄ）の繰り返し回数は、ｊ_MAX を超えることはな
い。

【０２０１】

【外８６】一方、式（４０）より、θを

【０２０２】

【外８７】と書くことができる。ｔの最小値は２である。もし、ｔ
〜Ｏ（１）、かつ、ｎが十分に大きいなら、次の関係が
得られる。

【０２０３】

【外８８】このような極限をとると、次が得られる。

【０２０４】

【外８９】（Ｒ（π）Ｄ）操作を、多くてもＯ（２^n/2 ）回程度繰
り返せば、〔Ｓ^(j) −２^n-2 （Ｂ₀ ^(j) ＋Ｂ₁ ^(j)）〕
を、正または０にできることが分かる。

【０２０５】〔偶数の衝突（ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ）を持
つ関数で与えられる、部分的にもつれ合った状態を構成
する場合〕これまでは、高度な対称性を持った部分的に
もつれ合った状態について考えてきた。しかし、本明細
書で説明されている方法は、もっと一般化された部分的
にもつれ合った状態に対しても適用できる。

【０２０６】しばらくの間、次のような関数を考える。ｆ：Ａ＝｛０，１｝ⁿ →Ｂ＝｛０，１｝^m ，ただし、０≦ｍ≦ｎ−１とする。

【０２０７】

【外９０】について、ｆ（ｘ）＝ｙをみたすｘ∈｛０，１｝ⁿ の個
数は、０を含む偶数個とする。図９は、ｆによって引き
起こされる写像の様子を表わしている。ｆの全ての衝突
は、偶であると言える。

【０２０８】ｆによって｛０，１｝ⁿ から引き起こされ
る像の要素を、｛β₀ ，β₁ ，β₂，…，β_M ｝と書く
ことにする。ただし、０≦Ｍ≦２^m −１とする。これよ
り、

【０２０９】

【外９１】を仮定する。これは、第二レジスターのｑｕｂｉｔ数を
節約するためである。

【０２１０】また、ｆによって、β_k 、ただし、（０≦
ｋ≦Ｍ）に写像されるＡ＝｛０，１｝ⁿ の要素を｛α
（ｋ，１），α（ｋ，２），…，α（ｋ，ｈ_k ）｝と書
くことにする。ｈ_k は偶数である。ｈ_k は、β_k ∈Ｂで
衝突を起こすＡの要素の個数である。そこで、次のよう
な状態を考えることにする。

【０２１１】

【外９２】ここで、｛ａ_k ｝は実数とする。ｆ（ｘ）を計算する量
子ゲートＵ_f を用意して、これまで説明してきた方法を
使えば、このような｜Ψ_n ＞を構成することができる。
特に、高度な対称性を持った部分的にもつれ合った状態
の場合、関数ｆは次のように書かれる。

【０２１２】ｆ（ｉ）＝（ｉの二進表現での‘１’ｂｉ
ｔの個数）、ただし、（ｎ−ｆ（ｉ））は、ｆ（ｉ）と
同一と見なされ、かつ、

【０２１３】

【外９３】として、Ａ＝｛０，１｝ⁿ ，Ｂ＝｛０，１｝^m ．とする。

【０２１４】ここで、以上で論議してきた方法をまとめ
ることにする。｜Ψ_n ＞から均一な重ね合わせ状態（ａ
ｆｌａｔｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ）に変換する
方法を考える方が、均一な重ね合わせ状態から｜Ψ_n ＞
へ変換する方法を考えるよりも、より容易と考えられる
ので、前者の方法をまとめることにする。実際に量子ゲ
ートを作用させる場合は、以下の方法の逆変換を作用さ
せれば良く、これは、ネットワークのファインマン・ダ
イアグラムの時間の向きを逆に取ることに対応する。

【０２１５】１．負の係数を持つ基底ベクトル全てに対
して、選択的π位相回転を行う。もし、レジスターの状
態が均一な重ね合わせ状態（ａｆｌａｔｓｕｐｅｒ
ｐｏｓｉｔｉｏｎ）に等しければ、操作を終了する。も
し、状態が均一な重ね合わせ状態に等しくなければ、ス
テップ２に進む。

【０２１６】２．ａ_min を基底ベクトルの係数の最小
値、ａ_min+1 を二番目に小さな係数とする。ａ_min とａ
_min+1 が、（Ｒ′ＤＲ）縮約法の十分状態をみたすかど
うか確認する。もし十分条件がみたされれば、（Ｒ′Ｄ
Ｒ）縮約法を実行して、ステップ１へ進む。もし十分条
件がみたされなければ、ステップ３へ進む。

【０２１７】３．（Ｒ（π）Ｄ）変換を施して、ステッ
プ１へ進む。

【０２１８】〔具体的な量子ゲートネットワークの構成
例と計算時間の評価〕式（４７）で定義される｜Ψ_n ＞
を構成するための量子ゲートのネトワークを考える。二
つのレジスターと、式（４６）で与えられる関数ｆを用
意する。

【０２１９】

【外９４】ただし、第一レジスターはｎ個のｑｕｂｉｔから構成さ
れ、第二レジスターはｍ個のｑｕｂｉｔから構成されて
いるとする。第二レジスターは、選択的位相回転のコン
トロール部に使用される。

【０２２０】均一な重ね合わせ状態（ａｆｌａｔｓ
ｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ）から｜Ψ_n ＞を構成するた
めに、（Ｒ′ＤＲ）縮約操作はＭ回行われなくてはなら
ない。従って、（ＤＲ（π））変換は、多い場合、Ｍ×
Ｏ（２^n/2 ）回行われる。もし、Ｍがｎの多項式オーダ
ーでなければ、本明細書で説明される方法が有効である
と言えない。これより、関数ｆ、選択的位相回転、Ｄの
ネットワークについて、具体的に考えることにする。

【０２２１】（第一の実施形態）関数ｆの量子ゲートネ
ットワークについて考える。図１０は、関数ｆのＦｅｙ
ｎｍａｎダイアグラムを示している。ｆは、第一レジス
ターの値によって第二レジスターにユニタリー変換を引
き起こす、量子コントロール・ゲートとして表現されて
いる。

【０２２２】ｆのコントロール・ゲートがｐｏｌｙ
（ｎ）オーダー（ｎの多項式オーダー）の基本量子ゲー
トで構成可能ならば、本実施形態で説明される方法は効
率良く動作することができる。特に、ｆ（ｉ）＝ｓ
（ｉ）で与えられる関数の場合、ｆのコントロール・ゲ
ートはｐｏｌｙ（ｎ）ステップで構成可能である。

【０２２３】以下に、ｆ（ｉ）＝ｓ（ｉ）のコントロー
ルゲートの、具体的な量子ネットワークのデザインを示
す。第一、第二レジスターを以下のように書く。

【０２２４】

【外９５】

【０２２５】量子ゲートのネットワークは、以下のプロ
グラムとして表現できる（このようなプログラムの書き
方については、文献（Ｒ．ＣｌｅｖｅａｎｄＤ．
Ｐ．ＤｉＶｉｎｃｅｎｚｏ，‘ＳｃｈｕｍａｃｈｅＲ′
ｓｑｕａｎｔｕｍｄａｔａｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ
ａｓａｑｕａｎｔｕｍｃｏｍｐｕｔａｔｉｏ
ｎ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ａ５４，２６３６（１９９
６）を参考にしている。ＰｒｏｇｒａｍＱＵＢＩＴ−ＡＤＤＥＲ１ｆｏｒｋ＝１ｔｏｎｄｏＳ←（Ｓ＋Ｘ_k ）ｍｏｄ２^m ．

【０２２６】上記において、Ｘ_i は第一レジスターのｉ
番目のｑｕｂｉｔを意味している。また、Ｓは第二レジ
スターの値を表す。ｍは第二レジスターのｑｕｂｉｔの
個数を表しており、

【０２２７】

【外９６】である。

【０２２８】ここで、補助ｑｕｂｉｔ｛Ｃ₁ ，…，Ｃ
_m-1 ｝を導入する。図１１に示されるように、Ｃ_j は
（ｊ−１）番目のビットの加算によるくり上がりを表し
ているとする。第二レジスターのｑｕｂｉｔを｛Ｓ₀ ，
Ｓ₁ ，…，Ｓ_m-1 ｝と表す。これにより、プログラムＱ
ＵＢＩＴ−ＡＤＤＥＲ１のＸ_k の加算についてのプログ
ラムは、次のように書くことができる。

【０２２９】

【外９７】

【０２３０】図１２は、このプログラムのｍ＝６の場合
についてのＦｅｙｎｍａｎダイアグラムを示している。
図１２に示されるネットワークを、各Ｘ_i 、ただし、
（ｉ＝１，…，ｎ）について、図１３のように繰り返せ
ば、プログラムＱＵＢＩＴ−ＡＤＤＥＲ１を構成するこ
とができる。

【０２３１】次に、ＱＵＢＩＴ−ＡＤＤＥＲ１を構成す
るのに、どれくらいの基本量子ゲートが必要かを評価す
る。図１２において、ＱＵＢＩＴ−ＡＤＤＥＲ２を構成
するために、２（ｍ−１）個のＴｏｆｆｏｌｉゲート、
ｍ個のｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ−ＮＯＴゲートを使用して
いる。

【０２３２】ＱＵＢＩＴ−ＡＤＤＥＲ１に必要な全ステ
ップ数は、ＱＵＢＩＴ−ＡＤＤＥＲ２をｎ回繰り返すの
で、ｎ（３ｍ−２）となる。なお、本願実施形態では、
Ｔｏｆｆｏｌｉゲート、ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ−ＮＯＴ
ゲート、１−ｑｕｂｉｔに対する任意のユニタリー変換

【０２３３】

【外９８】を全て一単位として見なしている。

【０２３４】（第二の実施形態）本願実施形態で説明さ
れる方法において使用される、もう一つの重要な量子ネ
ットワークは、選択的位相回転である。例えば、（Ｒ′
ＤＲ）縮約法を行う際、第二レジスターの二つの状態に
ついて、位相を（±θ）だけ回転させる。

【０２３５】図１４は、第二レジスターでの選択的位相
回転の量子ゲートネットワークを示している。ここで
は、二つのｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ^m −Ｒ_z （α）ゲート
を使用している。ｍ−ｑｕｂｉｔのコントロール部と、
ｏｎｅ−ｑｕｂｉｔのターゲット部を持つｃｏｎｔｒｏ
ｌｌｅｄ^m −Ｕゲートを、Λ_m （Ｕ）と書くことにす
る。ただし、

【０２３６】

【外９９】とする。

【０２３７】Λ_m （Ｕ）は、以下のように動作する。も
し、コントロール部のｍ個全てのｑｕｂｉｔが｜１＞に
等しいなら、Λ_m （Ｕ）は、Ｕ変換をターゲットｑｕｂ
ｉｔに作用させる。もし、ｍ−ｑｕｂｉｔコントロール
部が｜１…１＞状態になければ、Λ_m （Ｕ）はターゲッ
トｑｕｂｉｔに対して何もしない。例えば、Ｔｏｆｆｏ
ｌｉゲートはΛ₂ （σ_x ）で、ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ−
ＮＯＴゲートはΛ₁ （σ_x ）で表される。Λ₀ は任意の
Ｕ（２）ゲートを表すとする。Ｒ_Z （α）は、Ｕ（２）
変換の一つで、次の形で与えられる。

【０２３８】

【外１００】

【０２３９】もし、補助ｑｕｂｉｔを｜０＞に設定すれ
ば、Λ_m （Ｒ_z （α））は、第二レジスターが｜１…１
＞状態にあるときだけ、固有値ｅｘｐ（ｉα／２）を吐
き出す。このような手法は、“ｋｉｃｋｅｄｂａｃ
ｋ”（蹴り返し）と呼ばれている（Ｒ．Ｃｌｅｖｅ，
Ａ．Ｅｋｅｒｔ，Ｃ．Ｍａｃｃｈｉａｖｅｌｌｏａｎ
ｄＭ．Ｍｏｓｃａ，‘ＱｕａｎｔｕｍＡｌｇｏｒｉｔ
ｈｍｓＲｅｖｉｓｉｔｅｄ’，ＬＡＮＬｑｕａｎｔ
ｕｍｐｈｙｓｉｃｓａｒｃｈｉｖｅｑｕａｎｔ−
ｐｈ／９７０８０１６参照）。

【０２４０】図１４において、斜線の箱は、ＮＯＴ−ゲ
ート、または、恒等変換を表している。ＮＯＴ−ゲート
はσ_x で与えられる。斜線の箱が、ＮＯＴ−ゲート、ま
たは、恒等変換のどちらであるかを決めることによっ
て、位相回転させる基底ベクトルを決定することができ
る。

【０２４１】（ｍ≧６）の場合、Λ_m （Ｒ_z （α））
は、１６（ｍ−４）個のΛ₂ （σ_x ）ゲートと、４個の
Λ_l （σ_x ）ゲートと、４個のΛ₀ ゲートとから構成可
能である。このことについては、後で示す（参考文献．
Ｂａｒｅｎｃｏ，Ｃ．Ｈ．Ｂｅｎｎｅｔｔ，Ｒ．Ｃｌ
ｅｖｅ，Ｄ．Ｐ．ＤｉＶｉｎｃｅｎｚｏ，Ｎ．Ｍａｒｇ
ｏｌｕｓ，Ｐ．Ｓｈｏｒ，Ｔ．Ｓｌｅａｔｏｒ，Ｊ．Ｓ
ｍｏｌｉｎａｎｄＨ．Ｗｅｉｎｆｕｒｔｅｒ，‘Ｅ
ｌｅｍｅｎｔａｒｙｇａｔｅｓｆｏｒｑｕａｎｔ
ｕｍｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ａ
５２，３４５７（１９９５））。

【０２４２】よって、（ｍ≧６）の場合、Λ_m （Ｒ_z
（α））は、多くても８（２ｍ−７）個の量子基本ゲー
トで構成される。図１４を見ると、第二レジスターの選
択的位相回転は、多くても次のステップ数で構成される
ことが分かる。

【０２４３】３ｍ＋２・８（２ｍ−７）＝７（５ｍ−１
６）〜Ｏ（ｍ）．

【０２４４】更に、ｎが偶数で、かつ、η＝ｎ−η＝ｎ
／２の場合、第一レジスターの第一ｑｕｂｉｔであるＸ
₁ を使うと、ｓ（ｋ）＝ηである基底ベクトルの半分に
対して位相をθだけ回転させ、残りの半分の基底ベクト
ルに対して位相を（−θ）回転させることが可能であ
る。図１５は、この操作のネットワークを示している。
｜ψ_n ＞を構成する際、第二レジスターの選択的位相回
転はＯ（ｌｏｇ₂ ｎ）ステップ程度で実行できる。

【０２４５】（第三の実施形態）最後に、Ｄのネットワ
ークについて考える。Ｄを第一レジスターに作用させる
前に、第二レジスターを｜０…０＞に初期化しておかな
くてはならない。したがって、（Ｒ′ＤＲ）縮約法を実
行する際は、式（４８）で定義された関数ｆのユニタリ
ー変換をＵ_f とすると、常に、（Ｒ′Ｕ_f ＤＵ_f ^-1Ｒ）
をレジスターに作用させなくてはならない。同様に、
（Ｒ（π）Ｄ）を実行するときは、（Ｒ（π）Ｕ_f ＤＵ
_f ^-1）を作用させる。

【０２４６】Ｄは、次のように分解可能なことが知られ
ている（文献、Ｌ．Ｋ．Ｇｒｏｖｅｒ，‘Ａｆａｓｔ
ｑｕａｎｔｕｍｍｅｃｈａｎｉｃａｌａｌｇｏｒ
ｉｔｈｍｆｏｒｄａｔａｂａｓｅｓｅａｒｃ
ｈ’，ＬＡＮＬｑｕａｎｔｕｍｐｈｙｓｉｃｓａｒ
ｃｈｉｖｅｑｕａｎｔ−ｐｈ／９６０５０４３．およ
び、Ｌ．Ｋ．Ｇｒｏｖｅｒ，‘ＱｕａｎｔｕｍＭｅｃ
ｈａｎｉｃｓＨｅｌｐｓｉｎＳｅａｒｃｈｉｎｇ
ｆｏｒａＮｅｅｄｌｅｉｎａＨａｙｓｔａ
ｃｋ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．７９，３２５
（１９９７）．参照）。

【０２４７】Ｄ＝Ｈ⁽ⁿ⁾ ＲＨ⁽ⁿ⁾ ただし、

【０２４８】

【外１０１】は、ｎ−ｑｕｂｉｔに対するＨａｄａｍａｒｄ変換を意
味し、Ｒは、第一レジスターの｜０…０＞に対する選択
的π位相回転を表している。

【０２４９】図１６はＤのネットワークを表している。
ネットワークは、４ｎ個のΛ₀ ゲートと、一個のΛ_m
（Ｒ_z （２π））ゲートから成っているので、４（５ｎ
−１４）個の基本操作が必要である。ＤはＯ（ｎ）ステ
ップで構成される。

【０２５０】（第四の実施形態）ここでは、均一な重ね
合わせ状態（ａｆｌａｔｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏ
ｎ）から｜ψ_n ＞を構成するのに必要な基本操作の回
数を評価することにする。もし、Ｍ（式（４６）で定義
される写像ｆの像の成分の個数）がｐｏｌｙ（ｎ）程度
であって、かつ、式（４８）で定義される関数Ｕ_f が、
ｐｏｌｙ（ｎ）個程度の基本ゲートで構成可能ならば、
（Ｒ（π）Ｄ）の繰り返し操作が全ステップ数の主要な
部分を占めることは明らかである。

【０２５１】サブルーチン（Ｒ（π）Ｄ）のネットワー
クは、図１７で与えられる。関数Ｕ_f を構成するのに必
要なステップ数はｆに依るのだが、例えば｜ψ_n ＞を構
成する際は、Ｏ（ｎｌｏｇ₂ ｎ）程度であることが、
（第一の実施形態）ですでに示されている。また、Ｄが
４（５ｎ−１４）ステップ必要であることは、（第三の
実施形態）で、すでに示されている。

【０２５２】図１８は、（Ｒ（π）Ｄ）操作における、
選択的π位相回転のファインマン・ダイアグラムを表し
ている。この場合、Ｒ（π）は、基底ベクトルの係数が
負のものについて符号を反転させる操作なので、多くて
も

【０２５３】

【外１０２】個の第二レジスターの基底ベクトルの位相が回転され
る。従って、選択的位相回転は、

【０２５４】

【外１０３】とすると、（Ｐ＋１）・Ｑ個のΛ₀ ゲートと、Ｐ個のΛ
_Q （Ｒ_z （２π））ゲートによって構成される。Ｒ
（π）はＯ（Ｍｌｏｇ₂ Ｍ）ステップで実行可能であ
る。

【０２５５】｜ψ_n ＞を構成する際、（Ｒ（π）Ｄ）変
換はＯ（ｎｌｏｇ₂ ｎ）ステップ必要と評価できる。
（Ｒ′｛η｝ＤＲ｛η｝）縮約操作の合間に、（Ｒ
（π）Ｄ））を繰り返す回数は、多くてＯ（２^n/2）回
程度である。もし、（Ｒ′｛η｝ＤＲ｛η｝）縮約操作
の後で、毎回（Ｒ（π）Ｄ）繰り返し操作を行うとする
と、（Ｒ（π）Ｄ）繰り返し操作は

【０２５６】

【外１０４】回行われることになる。よって、全部でＯ（ｎ^2hｌｏｇ
₂ ｎ）×２^n/2 ）ステップが必要となる。

【０２５７】一般に、任意のユニタリー変換Ｕ（∈Ｕ
（２ⁿ ））は、多くてもＯ（ｎ³ ２²ⁿ）程度の基本ゲー
トで構成可能なことが知られている（文献、Ａ．Ｂａｒ
ｅｎｃｏ，Ｃ．Ｈ．Ｂｅｎｎｅｔｔ，Ｒ．Ｃｌｅｖｅ，
Ｄ．Ｐ．ＤｉＶｉｎｃｅｎｚｏ，Ｎ．Ｍａｒｇｏｌｕ
ｓ，Ｐ．Ｓｈｏｒ，Ｔ．Ｓｌｅａｔｏｒ，Ｊ．Ｓｍｏｌ
ｉｎａｎｄＨ．Ｗｅｉｎｆｕｒｔｅｒ，‘Ｅｌｅｍ
ｅｎｔａｒｙｇａｔｅｓｆｏｒｑｕａｎｔｕｍｃ
ｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ａ５２，
３４５７（１９９５）参照）。従って、本実施形態で説
明した方法は、一般的な場合に比べて、基本量子ゲート
の個数が軽減されていると考えられる。

【０２５８】また、｜ψ_n ＞を構成する際、｛ａ_n ｝の
値によっては、一度も（Ｒ（π）Ｄ）繰り返し操作を行
わずに、（Ｒ′｛η｝ＤＲ｛η｝）の縮約法のみで量子
ゲートネットワークを構成できる場合がある。このよう
な場合のネットワークは、図１９で与えられる。

【０２５９】まず初めに、Ｈａｄａｍａｒｄ変換Ｈを、
第一レジスターのｎ個のｑｕｂｉｔに、独立に作用させ
る。次に、第一レジスターの‘１’の立ったビットの総
数を計算するブロック、Ｕ_add を作用させる。この後、
ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏｎ、逆平均操作Ｕ
_add ＤＵ_add ^-1 、ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏ
ｎと、三つで一組の操作をｐ回繰り返す。

【０２６０】最後に、第二レジスターのｑｕｂｉｔを、
全て初期状態｜０＞に戻すために、Ｕ_add ^-1を作用させ
る。ただし、Ｕ_add ^-1 は、Ｕ_add の逆変換を実現するネ
ットワークのブロックで、図１２、図１３のＦｅｙｎｍ
ａｎダイアグラムを、右から左へ、時間の逆方向に作用
させたものである。よって、全計算量は、

【０２６１】

【外１０５】となる。

【０２６２】更に、本明細書で説明される方法では、量
子ゲートのネットワークを組む前に、あらかじめ、位相
回転パラメータ、選択的に位相回転させる基底ベクトル
の順序などを、古典計算機によって決定しておかなくて
はならない。この際の、古典計算に必要なステップ数も
Ｏ（ｎ²ｌｏｇ₂ ｎ）×２^n/2 ）程度で抑えられる。

【０２６３】（第五の実施形態）ここでは、Λ_n （Ｒ_z
（α））ゲートをどのようにして、基本量子ゲートから
構成するかについて考える。文献（Ａ．Ｂａｒｅｎｃ
ｏ，Ｃ．Ｈ．Ｂｅｎｎｅｔｔ，Ｒ．Ｃｌｅｖｅ，Ｄ．
Ｐ．ＤｉＶｉｎｃｅｎｚｏ，Ｎ．Ｍａｒｇｏｌｕｓ，
Ｐ．Ｓｈｏｒ，Ｔ．Ｓｌｅａｔｏｒ，Ｊ．Ｓｍｏｌｉ
ｎ，Ｈ．Ｗｅｉｎｆｕｒｔｅｒ，‘Ｅｌｅｍｅｎｔａｒ
ｙｇａｔｅｓｆｏｒｑｕａｎｔｕｍｃｏｍｐｕ
ｔａｔｉｏｎ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ａ５２｝，３４
５７（１９９５））には、

【０２６４】

【外１０６】について、Λ_n （Ｕ）を基本的な量子ゲートから構成す
る、様々な手法が示されている。

【０２６５】最初に、次の関係に着目する。Ｒ_z （α／２）σ_x Ｒ_z （−α／２）σ_x ＝Ｒ_z （α）Ｒ_z （α／２）Ｒ_z （−α／２）＝Ｉこれにより、図２０に示されるように、Λ_n （Ｒ_z
（α））を、Λ₁ （Ｒ_z （α／２）とΛ₁ （Ｒ_z （−α
／２））、および、二つのΛ_n-1 （σ_x ）に分解でき
る。更に、図２１を見ると分かるように、Λ₁ （Ｒ_z
（β））は、Ｒ_z （β／２）、Ｒ_z （−β／２）、およ
び、二つのｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ−ＮＯＴゲートに分解
できる。

【０２６６】そこで、しばらくの間、（ｎ＋１）−ｑｕ
ｂｉｔネットワーク上で、どのようにしてΛ_n-1 （σ
_x ）ゲートを構成するかについて考えることにする。こ
こで、特に、ネットワーク上で、Λ_n-1 （σ_x ）に使用
されていないｑｕｂｉｔが一つ残っていることに注意す
る。

【０２６７】ｎ＝４の場合、Λ₃ （σ_x ）は、四つのＴ
ｏｆｆｏｌｉゲートに分解可能である。ｎ＝５の場合、
Λ₄ （σ_x ）は、二つのＴｏｆｆｏｌｉゲートと、二つ
のΛ₃ （σ_x ）ゲートに分解可能であり、よって、Λ₄
（σ_x ）は、１０個のＴｏｆｆｏｌｉゲートに分解可能
となる。ｎ＝６の場合、図２２を見ると明らかなよう
に、Λ₅ （σ_x ）は四つのΛ₃ （σ_x ）ゲートに分解可
能である。これは、Λ₅（σ_x ）を１６個のＴｏｆｆｏ
ｌｉゲートに分解可能であることを意味する。

【０２６８】ｎ≧７の場合、次のように考えることにす
る。Λ_n-1 （σ_x ）ゲートは、二つのΛｍ₁ （σ_x ）ゲ
ートと、二つのΛｍ₂ （σ_x ）ゲートに分解可能であ
る。ただし、

【０２６９】

【外１０７】ｍ₂ ＝ｎ−ｍ₁ とする。図２３に、ｎ＝８、ｍ₁ −５、
ｍ₂ ＝３の場合を示す。

【０２７０】このような分解を行えば、Λｍ₁ （σ_x ）
にとってｍ₂ 個の使用されていないｑｕｂｉｔが、Λｍ
₁ （σ_x ）にとってｍ₁ 個の使用されていないｑｕｂｉ
ｔが存在することになる。Λｍ₁ （σ_x ）、および、Λ
ｍ₂ （σ_x ）のどちらについても、次の関係が得られ
る。

【０２７１】（コントロール部のｑｕｂｉｔ数）−（使用されていないｑｕｂｉｔ数）≦２．（４９）

【０２７２】ここで、文献（Ａ．Ｂａｒｅｎｃｏ，Ｃ．
Ｈ．Ｂｅｎｎｅｔｔ，Ｒ．Ｃｌｅｖｅ，Ｄ．Ｐ．ＤｉＶ
ｉｎｃｅｎｚｏ，Ｎ．Ｍａｒｇｏｌｕｓ，Ｐ，Ｓｈｏ
ｒ，Ｔ．Ｓｌｅａｔｏｒ，Ｊ．Ｓｍｏｌｉｎ，Ｈ．Ｗｅ
ｉｎｆｕｒｔｅｒ，‘Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｇａｔｅ
ｓｆｏｒｑｕａｎｔｕｍｃｏｍｐｕｔａｔｉｏ
ｎ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ａ５２，３４５７（１９９
５）によれば、次の事実が知られている。

【０２７３】ｎ≧４の場合、（ｎ＋１）−ｑｕｂｉｔネ
ットワーク上において、

【０２７４】

【外１０８】とすると（つまり、式（４９）の関係が成立するという
こと）、Λ_m （σ_x ）ゲートは４（ｍ−２）個のＴｏｆ
ｆｏｌｉゲートに分解可能である。図２４に、ｎ＝８、
ｍ＝５の場合を示す。

【０２７５】従って、ｎ≧７の場合、（ｎ＋１）−ｑｕ
ｂｉｔネットワーク上で、Λ_n-1 （σ_x ）は、２・４（ｍ₁ −２）＋２・４（ｍ₂ −２）＝８（ｎ−
４）．より、８（ｎ−４）個のＴｏｆｆｏｌｉゲートに分解可
能である。図２５、図２６に、Λ_n-1 （σ_x ）、Λ_n
（Ｒ_z （α））を構成する際に、必要な基本量ゲートの
個数を示す。

【０２７６】（第六の実施形態）これまでに説明してき
た、もつれ合った状態の構成方法、および、構成装置
は、１−ｑｕｂｉｔの任意のユニタリー変換と、２−ｑ
ｕｂｉｔｓ間のｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ−ＮＯＴゲートを
用意できれば、実現可能である。

【０２７７】文献（Ｊ．Ｉ．ＣｉｒａｃａｎｄＰ．
Ｚｏｌｌｅｒ，‘ＱｕａｎｔｕｍＣｏｍｐｕｔａｔｉｏ
ｎｓｗｉｔｈＣｏｌｄＴｒａｐｐｅｄＩｏｎ
ｓ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．７４，４０９１
（１９９５））には、ＣｏｌｄＴｒａｐｐｅｄＩｏｎ
ｓと呼ばれる方法で、ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ−ＮＯＴゲ
ートを実行する方法が議論されている。この場合、ｎ個
のイオンを直線状に捕獲し、各イオンの基底状態と第一
励起状態をｑｕｂｉｔの｛｜０＞，｜１＞｝と見なす。
また、量子ゲートの操作は、外部から各イオンへレーザ
ー照射することによって実現される。

【０２７８】直線状に捕獲されたイオンは、クーロン相
互作用し、各イオンは平衡点を中心に振動する。この振
動モードが量子化されると、ｐｈｏｎｏｎとなって、補
助ｑｕｂｉｔとして利用できる。上記文献では、このｐ
ｈｏｎｏｎモードを巧みに利用して、ｃｏｎｔｒｏｌｌ
ｅｄ−ＮＯＴゲートを実行する方法が提案されている。
このような系を利用すれば、これまでの実施形態で説明
されている、もつれ合った状態の構成方法、および、構
成装置は実現可能である。

【０２７９】ｎ個の捕獲されたイオンで｜ψ_n ＞を構成
し、文献（Ｓ．Ｆ．Ｈｕｅｌｇａ，Ｃ．Ｍａｃｃｈｉａ
ｖｅｌｌｏ，Ｔ．Ｐｅｌｌｉｚｚａｒｉ，Ａ．Ｋ．Ｅｋ
ｅｒｔ，Ｍ．Ｂ．ＰｌｅｎｉｏａｎｄＪ．Ｉ．Ｃｉ
ｒａｃ，‘ＩｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｏｆＦｒｅｑｕ
ｅｎｃｙＳｔａｎｄａｒｄｓｗｉｔｈＱｕａｎｔ
ｕｍＥｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ’，Ｐｈｙｓ．Ｒｅ
ｖ．Ｌｅｔｔ．７９，３８６５（１９９７）．）に示さ
れている要領で、ラムゼー分光法を行えば、イオンの基
底状態と第一励起状態のエネルギー準位の差について、
ｓｈｏｔｎｏｉｓｅ１ｉｍｉｔを越える精密測定を
行うことが可能となる。

【０２８０】これまでの実施形態で説明されている、も
つれ合った状態の構成方法、および、構成装置では、必
要な基本量子ゲートの総数、すなわち、操作に必要な時
間が、一般のユニタリー変換を構成する場合よりも、比
較的、軽減されており、直線状に捕獲されたイオンがデ
コヒーレンスする時間スケールより短時間で、求める状
態｜ψ_n ＞を構成することが可能となる。

【０２８１】（第七の実施形態）文献（Ｃ．Ｈ．Ｂｅｎ
ｎｅｔｔ，Ｃ．Ａ．ＦｕｃｈｓａｎｄＪ．Ａ．Ｓｍ
ｏｌｉｎ，‘Ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ−Ｅｎｈａｎｃ
ｅｄＣｌａｓｓｉｃａｌＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏ
ｎｏｎａＮｏｉｓｙＱｕａｎｔｕｍＣｈａｎ
ｎｅｌ’，ＱｕａｎｔｕｍＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏ
ｎ，Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，ａｎｄＭｅａｓｕｒｅｍｅ
ｎｔ，ｅｄｉｔｅｄｂｙＨｉｒｏｔａｅｔａ
ｌ．，ＰｌｅｎｕｍＰｒｅｓｓ，ＮｅｗＹｏｒｋ，
ｐ．７９（１９９７））では、‘０’，‘１’の二値の
古典情報を、量子雑音チャンネルで移送する方法が論議
されている。

【０２８２】この文献では、ｔｗｏ−Ｐａｕｌｉｃｈ
ａｎｎｅｌと呼ばれる量子雑音のある二本の回線を使う
場合、古典情報を送るのに最適な状態は、ｔｗｏ−ｑｕ
ｂｉｔの部分的にもつれ合った状態であることが示され
ている。

【０２８３】従って、上述した実施形態で示されている
部分的にもつれ合った状態を構成する方法、および、構
成装置は、このような量子通信の分野に応用可能であ
る。

【０２８４】例えば、図２７のように、送信者Ａが、本
願実施形態で説明された方法に基づく量子ゲートネット
ワークによって、目的のもつれ合った状態を構成し、こ
れを二本の雑音のある回線で送る。受信者Ｂは、これを
検出することに依り、二値の古典情報を受け取ることが
できる。

【０２８５】

【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
複数個の二準位系から成る量子力学的状態で、各二準位
系が基底状態または励起状態となる正規直交基底の重ね
合せで表現した場合、各基底の係数が全て実数となる部
分的にもつれ合った所望の量子力学的な状態を、簡単な
操作で構成することができるという効果がある。

【０２８６】その際に、所望の量子力学的な状態を少な
いステップ数で構成することができるという効果があ
る。

【０２８７】また、上記操作のための順序やパラメータ
を決定するための計算量も少なくて済むという効果があ
る。

【０２８８】また、ＣｏｌｄＴｒａｐｐｅｄＩｏｎ
ｓ法を用いて、前記二準位系としてイオンを用意するこ
とで、ラムゼー分光法によるイオンの基底状態と第一励
起状態のエネルギー差の精密測定の実現に効果がある。

【０２８９】また、上記により構成される量子力学的な
状態として、送信すべき情報を符号化し、当該量子力学
的な状態を量子通信回線の信号として通信を行うことが
できるという効果がある。その際、雑音に対して耐性を
持つ状態に符号化できる。

【図面の簡単な説明】

【図１】ｎ＝２のときの、（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ
法）で第二レジスターを使用しない場合の、量子ゲート
ネットワークのＦｅｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図２】ｎ＝３のときの（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ法）
で第二レジスターを使用しない場合の、量子ゲートネッ
トワークのＦｅｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図３】ｎ＝４のときの、（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ
法）で第二レジスターを使用しない場合の、量子ゲート
ネットワークのＦｅｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図４】ｎ＝４のときの、（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ
法）で第二レジスターを使用しない場合の、量子ゲート
ネットワークのＦｅｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図５】ｎ＝４のときの、（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ
法）で第二レジスターを使用しない場合の、量子ゲート
ネットワークのＦｅｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図６】一般のｎに対する（ｆｉｒｓｔｔｒｉａｌ
法）の処理の全体的な流れを示した図である。

【図７】第一レジスターの特定のある一つの状態に対し
て、ｓｅｌｅｃｔｉｖｅｒｏｔａｔｉｏｎを行う量子
ゲートのＦｅｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図８】逆平均操作Ｄ、選択的に位相をπ回転させる操
作を量子力学的な状態に対して行った際の、基底ベクト
ルの係数の変化を示した図である。

【図９】偶数の衝突（ｃｏｌｌｉｓｉｏｎ）を持つ関数
ｆによって引き起こされる写像の様子を表わした図であ
る。

【図１０】関数ｆの量子ゲートネットワークのＦｅｙｎ
ｍａｎダイアグラムである。

【図１１】補助ｑｕｂｉｔの働きを説明する図である。

【図１２】プログラムＱＵＢＩＴ−ＡＤＤＥＲ２のＦｅ
ｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図１３】ＱＵＢＩＴ−ＡＤＤＥＲ２を繰り返し作用さ
せて、ＱＵＢＩＴ−ＡＤＤＥＲ１を構成した様子を示す
Ｆｅｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図１４】第二レジスターでの選択的位相回転の量子ゲ
ートネットワークを表すＦｅｙｎｍａｎダイアグラムで
ある。

【図１５】η＝ｎ−η＝ｎ／２の場合、第二レジスター
での選択的位相回転を行う量子ゲートのネットワークを
表すＦｅｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図１６】Ｄのネットワークを表すＦｅｙｎｍａｎダイ
アグラムである。

【図１７】サブルーチン（Ｒ（π）Ｄ）のネットワーク
を表すＦｅｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図１８】第二レジスターの選択的π位相回転を表すＦ
ｅｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図１９】｜ψ_n ＞を構成する際に、（Ｒ（π）Ｄ）繰
り返し操作を行わずに、（Ｒ′｛η｝ＤＲ｛η｝）縮約
法のみで構成できる場合の量子ゲートのＦｅｙｎｍａｎ
ダイアグラムである。

【図２０】Λ_n （Ｒ_z （α））を、より簡単な量子ゲー
トに分解する方法を示したＦｅｙｎｍａｎダイアグラム
である。

【図２１】ｎ＝２の場合における従来の処理を表すＦｅ
ｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図２２】７−ｑｕｂｉｔネットワーク上で、Λ₅ （σ
_x ）を、より簡単な量子ゲートに分解する方法を示した
Ｆｅｙｎｍａｎダイアグラムである。

【図２３】ｎ≧７のとき、（ｎ＋１）−ｑｕｂｉｔネッ
トワーク上で、Λ_n-1 （σ_x ）を、より簡単な量子ゲー
トに分解する方法を示したＦｅｙｎｍａｎダイアグラム
である。

【図２４】ｎ≧７のとき、（ｎ＋１）−ｑｕｂｉｔネッ
トワーク上で、Λ_m （σ_x ）を、より簡単な量子ゲート
に分解する方法を示したＦｅｙｎｍａｎダイアグラムで
ある。

【図２５】（ｎ＋１）−ｑｕｂｉｔネットワーク上で、
Λ_n-1 （σ_x ）が、いくつの基本ゲートに分解可能かを
示した表である。

【図２６】（ｎ＋１）−ｑｕｂｉｔネットワーク上で、
Λ_n （Ｒ_Z （α））が、いくつの基本ゲートに分解可能
かを示した表である。

【図２７】本発明のもつれ合った状態の構成方法、およ
び、構成装置を利用した量子通信装置の一例を示した図
である。

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】複数個の二準位系から成る量子力学的状
態で、各二準位系が基底状態または励起状態となる正規
直交基底の重ね合せで表現した場合、各基底の係数が全
て実数となる部分的にもつれ合った所望の量子力学的な
状態を、選択的位相回転操作と、逆平均操作とを組み合
わせた操作を行うことで構成することを特徴とする状態
構成方法。
【請求項２】前記所望の量子力学的な状態が、０を含
む偶数個の衝突を起こす関数によって定義されることを
特徴とする請求項１に記載の状態構成方法。
【請求項３】量子力学的な状態を構成するための第１
のレジスターと、第２レジスターとを用意し、位相回転のパラメータを設定し、前記第１レジスターの値を入力した場合の前記所定の関
数の出力値を前記第２レジスターに書き込み、該第２レ
ジスターの値に応じて、前記第１レジスターにおける前
記重ね合わせのうちの特定の状態に対する前記パラメー
タに基づいて選択的に位相を回転させ、その後、前記第
２レジスターの値を初期値に戻す選択的位相回転操作
と、第１レジスターの値に応じた逆平均操作と、前記特
定の状態に対して再度選択的に位相を回転する選択的位
相回転操作との連続する三つの操作を一つの単位とし
て、前記単位の操作を所定回数繰り返すことによって、所望
の量子力学的な状態を構成することを特徴とする請求項
２に記載の状態構成方法。
【請求項４】前記選択的位相回転操作と、逆平均操作
とを組み合わせた操作を、均一な重ね合わせ状態に対し
て行うことで、前記所望の量子力学的な状態を構成する
ことを特徴とする請求項１に記載の状態構成方法。
【請求項５】初期状態に対してＨａｄａｍａｒｄ変換
を施すことで、前記均一な重ね合わせ状態を得ることを
特徴とする請求項４に記載の状態構成方法。
【請求項６】前記選択的位相回転操作と、逆平均操作
とを組み合わせた操作は、選択的位相回転、逆平均操
作、選択的位相回転とを順次行う一連の操作、および選
択的π位相回転と、逆平均操作とを繰り返す操作を組み
合わせた操作であることを特徴とする請求項１に記載の
状態構成方法。
【請求項７】前記均一な重ね合わせ状態から前記所望
の量子力学的な状態への変換のための前記選択的位相回
転操作において、位相回転パラメータと位相回転させる
基底の順序とを、当該変換の逆変換の手順から決定する
ことを特徴とする請求項４に記載の状態構成方法。
【請求項８】選択的位相回転操作と、逆平均操作と、
選択的位相回転操作とにより二つの異なる係数を同一に
する操作を順次行うことで、前記逆変換の手順を決定す
ることを特徴とする請求項７に記載の状態構成方法。
【請求項９】選択的に負の係数の基底の位相をπ回転
することにより符号を反転させ、全ての基底の係数を正
または０とし、最小の係数を持つ基底と、二番目に小さ
い係数を持つ基底とに対して、前記二つの異なる係数を
同一にする操作を順次行うことを特徴とする請求項８に
記載の状態構成方法。
【請求項１０】前記最小の係数を持つ基底と、二番目
に小さい係数を持つ基底とに対して、前記二つの異なる
係数を同一にする一組の操作が成功するための十分条件
が満たされるか否かを判別し、十分条件が満たされない場合は、逆平均操作、選択的π
位相回転を繰り返すことによって、十分条件が満たされ
る状態に変換し、十分条件が満たされた状態において、前記一組の操作を
順次行うことを特徴とする請求項９に記載の状態構成方
法。
【請求項１１】前記所望の量子力学的な状態が、任意
の２組の二準位系の置換に対して不変であり、かつ全て
の二準位系の基底状態と励起状態との反転に対して不変
な対称性を持つことを特徴とする請求項１に記載の状態
構成方法。
【請求項１２】前記所望の量子力学的な状態が、前記
基底の励起状態にある二準位系の個数を出力する関数に
よって定義されることを特徴とする請求項１１に記載の
状態構成方法。
【請求項１３】位相回転のパラメータを設定し、前記重ね合わせのうちの特定の状態に対して前記パラメ
ータに基づいて選択的に位相を回転する選択的位相回転
操作と、逆平均操作と、前記特定の状態に対して再度選
択的に位相を回転する選択的位相回転操作との連続する
三つの操作を一つの単位として、前記単位の操作を所定回数繰り返すことによって、前記
所望の量子力学的な状態を構成することを特徴とする請
求項１１に記載の状態構成方法。
【請求項１４】ＣｏｌｄＴｒａｐｐｅｄＩｏｎｓ
法を用いて前記二準位系としてイオンを用意し、各イオ
ンのクーロン相互作用から生じる量子化されたフォノン
・モードを利用して、外部からのレーザー照射によって
量子ゲートにより前記操作をそれぞれ実行して前記所望
の量子力学的状態を構成することを特徴とする請求項１
に記載の状態構成方法。
【請求項１５】前記所望の量子力学的状態として、不
変な対称性を持つ部分的にもつれ合った状態を構成し、
ラムゼー分光法によってイオンの基底状態と第一励起状
態のエネルギー差の精密測定を行うことを特徴とする請
求項１４に記載の状態構成方法。
【請求項１６】請求項１に記載の状態構成方法により
構成される量子力学的な状態として、送信すべき情報を
符号化し、当該量子力学的な状態を量子通信回線の信号
として通信を行う通信方法。
【請求項１７】前記状態構成方法により、前記量子通
信回線における雑音に対して耐性を持つ特定の部分的に
もつれ合った状態として、送信すべき情報を符号化する
ことを特徴とする請求項１６に記載の通信方法。
【請求項１８】複数個の二準位系に対する選択的位相
回転操作手段と、前記複数個の二準位系に対する逆平均操作手段とを備
え、前記複数個の二準位系から成る量子力学的状態で、各二
準位系が基底状態または励起状態となる正規直交基底の
重ね合わせで表現した場合、各基底の係数が全て実数と
なる部分的にもつれ合った所望の量子力学的な状態を、
前記選択的位相回転操作手段による操作と、逆平均操作
手段による操作とを組み合わせた操作を行うことで構成
することを特徴とする状態構成装置。
【請求項１９】前記所望の量子力学的な状態が、０を
含む偶数個の衝突を起こす関数によって定義されること
を特徴とする請求項１８に記載の状態構成装置。
【請求項２０】量子力学的な状態を構成するための第
１のレジスターと、第２レジスターとを備え、前記第１レジスターの値を入力した場合の前記所定の関
数の出力値を前記第２レジスターに書き込み、該第２レ
ジスターの値に応じて、前記第１レジスターにおける前
記重ね合わせのうちの特定の状態に対して設定された位
相回転のパラメータに基づいて選択的に位相を回転さ
せ、その後、前記第２レジスターの値を初期値に戻す選
択的位相回転操作と、第１レジスターの値に応じた逆平
均操作と、前記特定の状態に対して再度選択的に位相を
回転する選択的位相回転操作との連続する三つの操作を
一つの単位として、前記選択的位相回転操作手段と前記逆平均操作手段とに
より、前記単位の操作を所定回数繰り返すことによっ
て、所望の量子力学的な状態を構成することを特徴とす
る請求項１９に記載の状態構成装置。
【請求項２１】前記選択的位相回転操作と、逆平均操
作とを組み合わせた操作を、均一な重ね合わせ状態に対
して行うことで、前記所望の量子力学的な状態を構成す
ることを特徴とする請求項１８に記載の状態構成装置。
【請求項２２】初期状態に対してＨａｄａｍａｒｄ変
換を施すことで、前記均一な重ね合わせ状態を得る変換
手段を備えることを特徴とする請求項２１に記載の状態
構成装置。
【請求項２３】前記選択的位相回転操作と、逆平均操
作とを組み合わせた操作は、選択的位相回転、逆平均操
作、選択的位相回転とを順次行う一連の操作、および選
択的π位相回転と、逆平均操作とを繰り返す操作を組み
合わせた操作であることを特徴とする請求項１８に記載
の状態構成装置。
【請求項２４】前記均一な重ね合わせ状態から前記所
望の量子力学的な状態への変換のための前記選択的位相
回転操作において、位相回転パラメータと位相回転させ
る基底の順序とを、当該変換の逆変換の手順から決定す
ることを特徴とする請求項２１に記載の状態構成装置。
【請求項２５】選択的位相回転操作と、逆平均操作
と、選択的位相回転操作とにより二つの異なる係数を同
一にする操作を順次行うことで、前記逆変換の手順を決
定することを特徴とする請求項２４に記載の状態構成装
置。
【請求項２６】選択的に負の係数の基底の位相をπ回
転することにより符号を反転させ、全ての基底の係数を
正または０とし、最小の係数を持つ基底と、二番目に小さい係数を持つ基
底とに対して、前記二つの異なる係数を同一にする操作
を順次行うことを特徴とする請求項２５に記載の状態構
成装置。
【請求項２７】前記最小の係数を持つ基底と、二番目
に小さい係数を持つ基底とに対して、前記二つの異なる
係数を同一にする一組の操作が成功するための十分条件
が満たされるか否かを判別し、十分条件が満たされない場合は、逆平均操作、選択的π
位相回転を繰り返すことによって、十分条件が満たされ
る状態に変換し、十分条件が満たされた状態において、前記一組の操作を
順次行うことを特徴とする請求項２６に記載の状態構成
装置。
【請求項２８】前記所望の量子力学的な状態が、任意
の２組の二準位系の置換に対して不変であり、かつ全て
の二準位系の基底状態と励起状態との反転に対して不変
な対称性を持つことを特徴とする請求項１８に記載の状
態構成装置。
【請求項２９】前記所望の量子力学的な状態が、前記
基底の励起状態にある二準位系の個数を出力する関数に
よって定義されることを特徴とする請求項２８に記載の
状態構成方法。
【請求項３０】前記重ね合わせのうちの特定の状態に
対して設定された位相回転のパラメータに基づいて選択
的に位相を回転する選択的位相回転操作と、逆平均操作
と、前記特定の状態に対して再度選択的に位相を回転す
る選択的位相回転操作との連続する三つの操作を一つの
単位として、前記選択的位相回転手段と前記逆平均操作手段とによ
り、前記単位の操作を所定回数繰り返すことによって、
前記所望の量子力学的な状態を構成することを特徴とす
る請求項２８に記載の状態構成装置。
【請求項３１】ＣｏｌｄＴｒａｐｐｅｄＩｏｎｓ
法を用いて前記二準位系としてイオンを用意し、各イオ
ンのクーロン相互作用から生じる量子化されたフォノン
・モードを利用して、外部からのレーザー照射によって
量子ゲートにより前記操作をそれぞれ実行して前記所望
の量子力学的状態を構成することを特徴とする請求項１
８に記載の状態構成装置。
【請求項３２】前記所望の量子力学的状態として、不
変な対称性を持つ部分的にもつれ合った状態を構成し、
ラムゼー分光法によってイオンの基底状態と第一励起状
態のエネルギー差の精密測定を行うことを特徴とする請
求項３１に記載の状態構成装置。
【請求項３３】請求項１８に記載の状態構成装置によ
り構成される量子力学的な状態として、送信すべき情報
を符号化する符号化手段と、当該量子力学的な状態を量
子通信回線の信号として通信を行う通信手段とを備えた
ことを特徴とする通信装置。
【請求項３４】前記符号化手段が、前記量子通信回線
における雑音に対して耐性を持つ特定の部分的にもつれ
合った状態として、送信すべき情報を符号化することを
特徴とする請求項３３に記載の通信装置。