JP2000132376A - 剰余演算方法，乗算剰余演算方法，剰余演算装置，乗算剰余演算装置及び記録媒体 - Google Patents

剰余演算方法，乗算剰余演算方法，剰余演算装置，乗算剰余演算装置及び記録媒体

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JP2000132376A
JP2000132376A JP10305911A JP30591198A JP2000132376A JP 2000132376 A JP2000132376 A JP 2000132376A JP 10305911 A JP10305911 A JP 10305911A JP 30591198 A JP30591198 A JP 30591198A JP 2000132376 A JP2000132376 A JP 2000132376A
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Masahiko Takenaka
正彦 武仲
Naoya Torii
直哉 鳥居
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Fujitsu Ltd
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    • G06F7/728—Methods or arrangements for performing computations using a digital non-denominational number representation, i.e. number representation without radix; Computing devices using combinations of denominational and non-denominational quantity representations, e.g. using difunction pulse trains, STEELE computers, phase computers using residue arithmetic using Montgomery reduction

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Abstract

(57)【要約】 【課題】 モンゴメリ法に基づく剰余演算，乗算剰余演
算を単純化し、計算量を従来に比べて低減できる剰余演
算方法，乗算剰余演算方法を提供する。 【解決手段】 モンゴメリ法に基づく剰余演算方法，乗
算剰余演算方法において、除数ＮとしてＮ＝ｃ２d ±１
で表される数を用いる。被剰余数Ｙの下位ｄビット目の
位置に被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を加算
するステップと、その加算結果の最下位桁を除く部分を
次の被剰余数とするステップとを繰り返す。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、例えば公開鍵暗号
系のＲＳＡ暗号処理，楕円曲線暗号処理での剰余演算，
乗算剰余演算等に好適であり、特に、モンゴメリのアル
ゴリズム（ModuloMultiplication Without Trial Divis
ion, Peter L. Montgomery, Mathematicsof Computatio
n, Volume 44, Number 170, April 1985 pp. 519〜528
参照）を用いて計算を高速に行う剰余演算方法及び装置
並びに乗算剰余演算方法及び装置並びに記録媒体に関す
る。
【０００２】
【従来の技術】近年におけるコンピュータネットワーク
の発達により、データベースを検索する機会、電子メー
ル，電子ニュース等の電子化された情報をネットワーク
を経由して送受する機会が急速に増加してきている。更
に、これらを利用して、オンラインショッピング等のサ
ービスも提供されつつある。しかし、それに伴って、ネ
ットワーク上の電子化されたデータを盗聴する、改竄す
る、他人になりすましてサービスを無償で受ける等の問
題も指摘されている。特に無線を利用したネットワーク
においては、傍受が容易なためにこれらの問題を防止す
る対策が望まれている。
【０００３】これらの問題に対して暗号技術を応用した
暗号化電子メール，利用者認証システムが提案され、種
々のネットワークにも導入されつつある。この意味でコ
ンピュータネットワークにおいては暗号化が必須の技術
であるといえる。このような暗号技術の中の一つにディ
ジタル署名即ち認証に適した公開鍵暗号方式があるが、
暗号化／復号に大量の処理が必要なために高速化が望ま
れており、様々な高速化アルゴリズムが発表されてい
る。
【０００４】暗号化方式は、大別すると秘密鍵暗号系と
公開鍵暗号系との二つに分類できる。秘密鍵暗号系は、
送信者と受信者とが同じ暗号鍵を持つことにより暗号通
信を行う方式である。即ち、秘密鍵暗号系では、あるメ
ッセージを秘密の暗号鍵に基づいて暗号化して相手に送
り、受け手はこの暗号鍵を用いて暗号文を復号して元の
メッセージに戻して情報を入手する。
【０００５】公開鍵暗号系は、送信者が公開されている
受信者の公開鍵でメッセージを暗号化して送信し、受信
者が自分の秘密鍵でその暗号化メッセージを復号するこ
とにより通信を行う方式である。即ち、公開鍵暗号系で
は、公開鍵は暗号化のための鍵、秘密鍵は公開鍵により
暗号化された暗号を復号するための鍵であり、公開鍵で
暗号化した暗号は秘密鍵でのみ復号することができる。
【０００６】秘密鍵暗号系では、個人が秘密に保管しな
ければならない鍵が通信相手の数だけ必要であり、必要
な総鍵数はｎ人のネットワークの場合ｎ（ｎ−１）／２
個である。また、初めて通信する相手に対しては、何ら
かの方法で秘密鍵の配送が必要であるという欠点があ
る。この欠点を解消するために、大規模なネットワーク
では鍵管理センタを設置し、センタとの間の秘密鍵のみ
を保管し、暗号通信を行う場合はセンタから送信相手と
の秘密鍵を得る方法が用いられる。この場合、秘密鍵の
総数はｎ個となる。
【０００７】一方、公開鍵暗号系では、個人が秘密に保
管する鍵は自分の秘密鍵のみであり、必要な総秘密鍵数
もｎ人のネットワークの場合ｎ個である。また、初めて
通信する相手に対しては、公開鍵の配送を行えば良く、
鍵管理センタを設置して、ユーザの公開鍵をｎ個公開簿
に登録し、センタから送信相手の公開鍵を得る方法が用
いられる。この場合、センタは公開鍵の改竄を防ぐだけ
で、秘密に保管する必要がない。但し、公開鍵方式は秘
密鍵方式に比べて鍵のビット数が大きいため保管に要す
るファイルサイズは大きくなる。
【０００８】また、認証の場合、秘密鍵暗号系では、例
えば送信するメッセージを秘密鍵で圧縮変換し、送信文
に付加して送り、受信側では同様に圧縮変換して比較す
る方式がとられている。しかし、送受信が同じ鍵である
ため、受信者は認証データを偽造することができる。こ
れに対して、公開鍵暗号系では、秘密鍵で暗号化するこ
とができるのは本人だけであるという特徴を利用する。
送信者はメッセージを圧縮変換して秘密鍵で暗号化し、
送信文に付加して送り、受信者は送信者の公開鍵で付加
されたデータを復号し、同様に圧縮変換したものと比較
する方式がとられている。この場合、受信者は不正がで
きない。
【０００９】このように認証系では公開鍵暗号系の技術
は必要不可欠であるといえる。しかし、公開鍵暗号系に
は、暗号化／復号に大量の処理が必要であるという大き
な欠点があるため、一般には処理が速い秘密鍵暗号系を
メッセージの暗号化に、公開鍵暗号系は認証用にという
ように組み合わせて用いられる場合が多い。
【００１０】公開鍵暗号系の中で有力なものとして、Ｒ
ＳＡ暗号と楕円曲線暗号とがある。特に、楕円曲線暗号
はＲＳＡ暗号と同程度の安全性を得るために、小さなビ
ット数で良いので、注目を集めている。楕円曲線暗号に
は、素体上で定義されるものと２の拡大体上で定義され
るものとがあり、何れも楕円曲線上の離散対数問題に基
づいている。楕円曲線暗号の基本演算は楕円曲線状の点
の加算である。以下に、素体上の楕円曲線における点の
加算のアルゴリズムを示す。
【００１１】（素体上の楕円曲線における点の加算のア
ルゴリズム） 楕円曲線：ｙ2 ＝ｘ3 ＋ａｘ＋ｂ（mod Ｎ），Ｎ：素数 加算する２点：（ｘ1 ，ｙ1 ），（ｘ2 ，ｙ2 ） 加算結果：（ｘ3 ，ｙ3 ） とすると、点の加算は以下のように表される。 ｘ3 ＝λ2 −ｘ1 −ｘ2 （mod Ｎ）； ｙ3 ＝λ（ｘ1 −ｘ3 ）−ｙ1 （mod Ｎ）； λ＝（ｙ2 −ｙ1 ）／（ｘ2 −ｘ1 ）（mod Ｎ）
【００１２】通常、Ｎ，ａ，ｂ，ｘ1 ，ｙ1 ，ｘ2 ，ｙ
2 などは160 ビット程度の大きさの整数が用いられる。
楕円曲線暗号では、この基本演算を多数繰り返して行う
ことで実現されるので、大量の多重精度乗算と剰余算と
が行われることになる。そのため、剰余演算として、近
似法，剰余テーブル方式，モンゴメリのアルゴリズム
等、種々の高速化手法が提案されている。また、楕円曲
線暗号では、ＲＳＡ暗号とは異なり、剰余の法Ｎとして
メルセンヌ素数（２n −１）のような特殊な値を用いて
も安全性に影響がないので、剰余の法Ｎに特殊な値を用
いることによる高速化手法も提案されている。
【００１３】この剰余演算の高速化を実現する一方法で
あるモンゴメリのアルゴリズムについて説明する。 （モンゴメリのアルゴリズム）モンゴメリのアルゴリズ
ムは、剰余の法Ｎ（Ｎ＞１）と、剰余の法Ｎと互いに素
である基数Ｒ（Ｒ＞Ｎ）とを用いると、被剰余数Ｔから
ＴＲ-1mod Ｎの計算が基数Ｒによる除算のみで行えるこ
とを利用して、Ｎによる除算を用いることなく剰余計算
を行うアルゴリズムである。ここで、Ｎ，Ｎ′，Ｒ，Ｒ
-1及びＴは整数であり、被剰余数Ｔは０≦Ｔ＜Ｒ・Ｎ、
Ｒ-1は剰余の法Ｎの上での基数Ｒの逆数であり、Ｒ・Ｒ
-1−Ｎ・Ｎ′＝１（０≦Ｒ-1＜Ｎ，０≦Ｎ′＜Ｒ）の関
係を満たす。
【００１４】更に、この基数Ｒに２のベキ乗数を使用し
た場合、基数Ｒによる除算をシフト操作に置き換えるこ
とができるため、Ｔ→ＴＲ-1mod Ｎの計算の高速処理が
可能となる。次に、（アルゴリズム１）として、Ｔ→Ｔ
Ｒ-1mod ＮのアルゴリズムＲＥＤＣ（Ｔ）を示す。但
し、（アルゴリズム１）において（Ｔ＋ｍ・Ｎ）／Ｒは
必ず割り切れることが証明されている。
【００１５】（アルゴリズム１）Ｔ→ＴＲ-1mod Ｎのア
ルゴリズムＹ＝ＲＥＤＣ（Ｔ）は次のように表される。 Ｍ＝（Ｔmod Ｒ）・Ｎ′mod Ｒ Ｙ＝（Ｔ＋Ｍ・Ｎ）／Ｒ if Ｙ≧Ｎ then Ｙ＝Ｙ−Ｎ Ｙ＜Ｎ then return Ｙ
【００１６】１回のＲＥＤＣでは、剰余Ｔmod Ｎではな
くＴＲ-1mod Ｎが求められるだけである。よって、剰余
Ｔmod Ｎを求めるためには、次に示すようにＲＥＤＣ
（Ｔ）と予め求めておいたＲ2 mod Ｎとの積で、再びＲ
ＥＤＣを行えば良い。 ＲＥＤＣ（ＲＥＤＣ（Ｔ）・（Ｒ2 mod Ｎ）） ＝（ＴＲ-1mod Ｎ）・（Ｒ2 mod Ｎ）・Ｒ-1mod Ｎ ＝ＴＲ-1・Ｒ2 ・Ｒ-1mod Ｎ ＝Ｔmod Ｎ このようにして、剰余Ｔmod Ｎを求めることができる。
【００１７】（ＲＥＤＣの多重精度計算への拡張）次
に、剰余の法Ｎまたは基数Ｒが多倍長即ち多重精度であ
る場合について、ＲＥＤＣのアルゴリズムを拡張する。
剰余の法Ｎ，基数Ｒが多重精度である場合、ＲＥＤＣの
（Ｔmod Ｒ）・Ｎ′及びＭ・Ｎの計算は、多重精度×多
重精度の処理となり、汎用の計算機では非常に大きな処
理量と処理時間とが必要となる。そこで、この部分を多
重精度×単精度の処理で行えるように拡張した（アルゴ
リズム２）を示す。
【００１８】（アルゴリズム２）ＲＥＤＣを多重精度へ
拡張したアルゴリズムは次に示すようになる。被剰余数
Ｔ，パラメータＮ′，出力用変数Ｙが何れもｒ進数で、 Ｔ＝（ｔ2g-1，ｔ2g-2，…，ｔ0 ）r ，Ｎ′＝（ｎ′
g-1 ，ｎ′g-2 ，…，ｎ′0 ）r ，Ｙ＝（ｙg ，
ｙg-1 ，…，ｙ0 ）r ，Ｒ＝ｒg ，ｒ＝２k と表される場合、次に示すｊ＝０〜ｇ−１の繰り返し処
理によりＴＲ-1mod Ｎを多重精度×単精度として求める
ことができる。ここで単精度とはｒ進数１桁のことと
し、同じ文字を使用した場合、基本的に大文字を多重精
度、小文字を単精度、小文字の添字を多重精度での桁の
位置とする。また図21は、この（アルゴリズム２）によ
る剰余演算処理の過程を示す図である。
【００１９】Ｙ＝Ｔ for ｊ＝０ to ｇ−１ ｍ＝ｙ0 ・ｎ′0 mod ｒ Ｙ＝Ｙ＋ｍ・Ｎ Ｙ＝Ｙ／ｒ next if Ｙ≧Ｎ then Ｙ＝Ｙ−Ｎ Ｙ＜Ｎ then return Ｙ このようにして得られるＴＲ-1mod Ｎと、上述したよう
に予め求めておいたＲ 2 mod Ｎとの積で再びＲＥＤＣを
行うことにより、剰余Ｔmod Ｎを求めることができる。
【００２０】（ＲＥＤＣの多重精度乗算剰余への拡張）
次に、ＲＥＤＣのアルゴリズムを乗算剰余演算に拡張す
る。上記のアルゴリズムにおいて、入力Ｔは０≦Ｔ＜Ｒ
・Ｎを満たす値であるが、入力Ｔは整数Ａ，Ｂ（０≦
Ａ，Ｂ＜Ｎ）の乗算結果であることが多い。その場合、
整数Ａ，Ｂの乗算も多重精度整数演算であるため、多重
精度拡張ＲＥＤＣと同様の繰り返し計算が行われる。こ
の場合、乗算とＲＥＤＣとを別々に繰り返し計算する
と、繰り返し計算制御によるロスが２倍になってしま
う。そこで、乗算とＲＥＤＣとを同一の繰り返しループ
で行えるように拡張した（アルゴリズム３）を示す。
【００２１】（アルゴリズム３）ＲＥＤＣを多重精度乗
算剰余へ拡張したアルゴリズムＲＥＤＣ（Ａ×Ｂ）は次
に示すようになる。乗算する２数Ａ，Ｂ，パラメータ
Ｎ′，出力用変数Ｙが何れもｒ進数で、 Ａ＝（ａg-1 ，ａg-2 ，…，ａ0 ）r ，Ｂ＝（ｂg-1 ，
ｂg-2 ，…，ｂ0 ）r ，Ｎ′＝（ｎ′g-1 ，ｎ′g-2 ，
…，ｎ′0 ）r ，Ｙ＝（ｙg ，ｙg-1 ，…，ｙ0 ）r ，
Ｒ＝ｒg ，ｒ＝２k と表される場合、次に示すｊ＝０〜ｇ−１の繰り返し処
理により、ＡＢＲ-1modＮを多重精度×単精度の計算と
して求めることができる。また図22は、この（アルゴリ
ズム３）による乗算剰余演算処理の過程を示す図であ
る。
【００２２】Ｙ＝０ for ｊ＝０ to ｇ−１ Ｙ＝Ｙ＋Ａ・ｂj ｍ＝ｙ0 ・ｎ′0 mod ｒ Ｙ＝Ｙ＋ｍ・Ｎ Ｙ＝Ｙ／ｒ next if Ｙ≧Ｎ then Ｙ＝Ｙ−Ｎ Ｙ＜Ｎ then return Ｙ このようにして得られるＡＢＲ-1mod Ｎと、上述したよ
うに予め求めておいたＲ 2 mod Ｎとの積で再びＲＥＤＣ
を行うことにより、剰余Ａ・Ｂmod Ｎを求めることがで
きる。
【００２３】
【発明が解決しようとする課題】前述したように、楕円
曲線暗号では剰余の法として特殊な形の素数（特殊パラ
メータ）を用いても安全性は損なわれないので、除数に
その特殊パラメータを用いて剰余演算の高速化を図る方
式が、従来、USP 5,271,061 ，USP 5,159,632 ，USP 5,
442,707 等に提案されている。しかし、これらは何れも
モンゴメリ法に基づく剰余演算に特殊パラメータを除数
として用いる方式ではない。
【００２４】特殊パラメータを用いたモンゴメリ法の１
方式が、1988年電子情報通信学会総合大会で提案されて
いる（A-7-11：モンゴメリ演算を利用した楕円曲線暗
号）。この方式は以下のようなものである。値Ｃのモン
ゴメリ剰余を行う場合、除数ＮにＮ＝ε２L-k −１
（Ｌ：Ｎのビット数，ｋ：処理単位のビット数，ε：ｋ
ビット）とすれば、値Ｃのモンゴメリ剰余は、((Ｃ／２
L-k ）＋ε（Ｃmod ２L-k ))のモンゴメリ剰余と等しく
なる。そのため、値Ｃのモンゴメリ剰余では、多重精度
×多重精度の乗算１回程度であった処理が、特殊パラメ
ータを用いることで多重精度×単精度の乗算２回程度の
処理で行える。
【００２５】しかしながら、この方式は、モンゴメリ除
算を行う数の大きさを減少させることによって計算量を
低減しているだけであり、モンゴメリ除算そのものにつ
いては、特殊パラメータを使用することによる計算量の
低減を行っていない。また、使用する特殊パラメータも
ε２L-k −１という制限が大きいものである。
【００２６】本発明は斯かる事情に鑑みてなされたもの
であり、ｃ２d −１またはｃ２d ＋１と制限が小さい特
殊パラメータを除数として使用することにより、モンゴ
メリ法に基づく剰余演算，乗算剰余演算を単純化し、計
算量を従来に比べて低減できる剰余演算方法及び装置，
乗算剰余演算方法及び装置並びに記録媒体を提供するこ
とを目的とする。
【００２７】
【課題を解決するための手段】請求項１に係る剰余演算
方法は、コンピュータを用いて、モンゴメリ法に基づい
て被剰余数Ｙを除数Ｎで割った場合の剰余を演算する方
法において、除数ＮはＮ＝ｃ２d −１で表される数を使
用し、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に被剰余数Ｙ
の最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を加算する第１ステップ
と、その加算結果の最下位桁を除く部分を次の被剰余数
とする第２ステップとを繰り返すことを特徴とする。
【００２８】請求項２に係る剰余演算方法は、請求項１
において、前記第１ステップは、被剰余数Ｙの最下位桁
の値ｙ0 とｃとの積を上位側にｄビットだけシフトさせ
て被剰余数Ｙに加算する処理を含むことを特徴とする。
【００２９】請求項３に係る剰余演算方法は、コンピュ
ータを用いて、モンゴメリ法に基づいて被剰余数Ｙを除
数Ｎで割った場合の剰余を演算する方法において、除数
ＮはＮ＝ｃ２d −１で表される数を使用し、ｄを１桁の
ビット数ｋのｅ倍（ｄ＝ｋｅ）に設定し、被剰余数Ｙの
下位（ｅ＋１）桁の位置に被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ
0 とｃとの積を加算する第１ステップと、その加算結果
の最下位桁を除く部分を次の被剰余数とする第２ステッ
プとを繰り返すことを特徴とする。
【００３０】請求項４に係る剰余演算方法は、コンピュ
ータを用いて、モンゴメリ法に基づいて被剰余数Ｙを除
数Ｎで割った場合の剰余を演算する方法において、除数
ＮはＮ＝ｃ２d ＋１で表される数を使用し、被剰余数Ｙ
の最下位桁の値ｙ0 の２の補数を乗数ｍとして被剰余数
Ｙの最下位桁に乗数ｍを加算すると共に、被剰余数Ｙの
下位ｄビット目の位置に乗数ｍとｃとの積を加算する第
１ステップと、その加算結果の最下位桁を除く部分を次
の被剰余数とする第２ステップとを繰り返すことを特徴
とする。
【００３１】請求項５に係る剰余演算方法は、請求項４
において、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に乗数ｍ
とｃとの積を加算する際に、乗数ｍとｃとの積を上位側
にｄビットだけシフトさせて被剰余数Ｙに加算すること
を特徴とする。
【００３２】請求項６に係る剰余演算方法は、コンピュ
ータを用いて、モンゴメリ法に基づいて被剰余数Ｙを除
数Ｎで割った場合の剰余を演算する方法において、除数
ＮはＮ＝ｃ２d ＋１で表される数を使用し、前記ｄを１
桁のビット数ｋのｅ倍（ｄ＝ｋｅ）に設定し、被剰余数
Ｙの最下位桁の値ｙ0 の２の補数を乗数ｍとして被剰余
数Ｙの最下位桁に乗数ｍを加算すると共に、被剰余数Ｙ
の下位（ｅ＋１）桁の位置に乗数ｍとｃとの積を加算す
る第１ステップと、その加算結果の最下位桁を除く部分
を次の被剰余数とする第２ステップとを繰り返すことを
特徴とする。
【００３３】請求項７に係る乗算剰余演算方法は、コン
ピュータを用いて、モンゴメリ法に基づいて、２数Ａ，
Ｂの積である被剰余数Ｙを除数Ｎで割った場合の剰余を
演算する方法において、除数ＮとしてＮ＝ｃ２d −１と
表される数を使用し、２数Ａ，Ｂの部分乗算結果と前回
までの部分乗算剰余結果とを加算してその加算結果を新
たに被剰余数Ｙとする第１ステップと、被剰余数Ｙの下
位ｄビット目の位置に被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 と
ｃとの積を加算する第２ステップと、その加算結果の最
下位桁を除く部分を次の乗算剰余結果とする第３ステッ
プとを繰り返すことを特徴とする。
【００３４】請求項８に係る乗算剰余演算方法は、請求
項７において、前記第２ステップは、被剰余数Ｙの最下
位桁の値ｙ0 とｃとの積を上位側にｄビットだけシフト
させて被剰余数Ｙに加算する処理を含むことを特徴とす
る。
【００３５】請求項９に係る乗算剰余演算方法は、コン
ピュータを用いて、モンゴメリ法に基づいて、２数Ａ，
Ｂの積である被剰余数Ｙを除数Ｎで割った場合の剰余を
演算する方法において、除数ＮとしてＮ＝ｃ２d −１と
表される数を使用し、ｄを１桁のビット数ｋのｅ倍（ｄ
＝ｋｅ）に設定し、２数Ａ，Ｂの部分乗算結果と前回ま
での部分乗算剰余結果とを加算してその加算結果を新た
に被剰余数Ｙとする第１ステップと、被剰余数Ｙの下位
（ｅ＋１）桁の位置に被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 と
ｃとの積を加算する第２ステップと、その加算結果の最
下位桁を除く部分を次の乗算剰余結果とする第３ステッ
プとを繰り返すことを特徴とする。
【００３６】請求項10に係る乗算剰余演算方法は、コン
ピュータを用いて、モンゴメリ法に基づいて、２数Ａ，
Ｂの積である被剰余数Ｙを除数Ｎで割った場合の剰余を
演算する方法において、除数ＮとしてＮ＝ｃ２d ＋１と
表される数を使用し、２数Ａ，Ｂの部分乗算結果と前回
までの部分乗算剰余結果とを加算してその加算結果を新
たに被剰余数Ｙとする第１ステップと、被剰余数Ｙの最
下位桁の値ｙ0 の２の補数を乗数ｍとして被剰余数Ｙの
最下位桁に乗数ｍを加算すると共に、被剰余数Ｙの下位
ｄビット目の位置に乗数ｍとｃとの積を加算する第２ス
テップと、その加算結果の最下位桁を除く部分を次の乗
算剰余結果とする第３ステップとを繰り返すことを特徴
とする。
【００３７】請求項11に係る乗算剰余演算方法は、請求
項10において、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に乗
数ｍとｃとの積を加算する際に、乗数ｍとｃとの積を上
位側にｄビットだけシフトさせて被剰余数Ｙに加算する
ことを特徴とする。
【００３８】請求項12に係る乗算剰余演算方法は、コン
ピュータを用いて、モンゴメリ法に基づいて、２数Ａ，
Ｂの積である被剰余数Ｙを除数Ｎで割った場合の剰余を
演算する方法において、除数ＮとしてＮ＝ｃ２d ＋１と
表される数を使用し、ｄを１桁のビット数ｋのｅ倍（ｄ
＝ｋｅ）に設定し、２数Ａ，Ｂの部分乗算結果と前回ま
での部分乗算剰余結果とを加算してそれを新たに被剰余
数Ｙとする第１ステップと、被剰余数Ｙの最下位桁の値
ｙ0 の２の補数を乗数ｍとして被剰余数Ｙの最下位桁に
乗数ｍを加算すると共に、被剰余数Ｙの下位（ｅ＋１）
桁の位置に乗数ｍとｃとの積を加算する第２ステップ
と、その加算結果の最下位桁を除く部分を次の乗算剰余
結果とする第３ステップとを繰り返すことを特徴とす
る。
【００３９】請求項13に係る剰余演算装置は、モンゴメ
リ法に基づいて被剰余数Ｙを除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d −１）
で割った場合の剰余を演算する装置であって、被剰余数
Ｙの最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を求める乗算器と、そ
の乗算結果を被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に加算
する加算器と、その加算結果の最下位桁を除く部分を次
の被剰余数として格納するレジスタとを備えることを特
徴とする。
【００４０】請求項14に係る剰余演算装置は、モンゴメ
リ法に基づいて被剰余数Ｙを除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d ＋１）
で割った場合の剰余を演算する装置であって、被剰余数
Ｙの最下位桁の値ｙ0 の２の補数を乗数ｍとして乗数ｍ
とｃとの積を求める乗算器と、その乗算結果を被剰余数
Ｙの下位ｄビット目の位置に加算すると共に、被剰余数
Ｙの最下位桁に乗数ｍを加算する加算器と、その加算結
果の最下位桁を除く部分を次の被剰余数として格納する
レジスタとを備えることを特徴とする。
【００４１】請求項15に係る乗算剰余演算装置は、モン
ゴメリ法に基づいて、２数Ａ，Ｂの積である被剰余数Ｙ
を除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d −１）で割った場合の剰余を演算
する装置であって、２数Ａ，Ｂの部分乗算結果と前回ま
での部分乗算剰余結果とを加算してそれを新たに被剰余
数Ｙとして格納するレジスタと、被剰余数Ｙの最下位桁
の値ｙ0 とｃとの積を求める乗算器と、その乗算結果を
被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に加算する加算器と
を備え、その加算結果の最下位桁を除く部分を次の乗算
剰余結果とするようにしたことを特徴とする。
【００４２】請求項16に係る乗算剰余演算装置は、モン
ゴメリ法に基づいて、２数Ａ，Ｂの積である被剰余数Ｙ
を除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d ＋１）で割った場合の剰余を演算
する装置であって、２数Ａ，Ｂの部分乗算結果と前回ま
での部分乗算剰余結果とを加算してそれを新たに被剰余
数Ｙとして格納するレジスタと、被剰余数Ｙの最下位桁
の値ｙ0 の２の補数を乗数ｍとして乗数ｍとｃとの積を
求める乗算器と、その乗算結果を被剰余数Ｙの下位ｄビ
ット目の位置に加算すると共に、被剰余数Ｙの最下位桁
に乗数ｍを加算する加算器とを備え、その加算結果の最
下位桁を除く部分を次の乗算剰余結果とするようにした
ことを特徴とする。
【００４３】請求項17に係る記録媒体は、モンゴメリ法
に基づいて被剰余数Ｙを除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d −１）で割
った場合の剰余を演算するためのコンピュータで読み取
り可能であるプログラムコード手段を有する記録媒体で
あって、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に被剰余数
Ｙの最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を加算することを前記
コンピュータにさせるプログラムコード手段と、その加
算結果の最下位桁を除く部分を次の被剰余数と設定する
ことを前記コンピュータにさせるプログラムコード手段
とを有することを特徴とする。
【００４４】請求項18に係る記録媒体は、モンゴメリ法
に基づいて被剰余数Ｙを除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d ＋１）で割
った場合の剰余を演算するためのコンピュータで読み取
り可能であるプログラムコード手段を有する記録媒体で
あって、被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 の２の補数を乗
数ｍとして被剰余数Ｙの最下位桁に乗数ｍを加算すると
共に、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に乗数ｍとｃ
との積を加算することを前記コンピュータにさせるプロ
グラムコード手段と、その加算結果の最下位桁を除く部
分を次の被剰余数と設定することを前記コンピュータに
させるプログラムコード手段とを有することを特徴とす
る。
【００４５】請求項19に係る記録媒体は、モンゴメリ法
に基づいて、２数Ａ，Ｂの積である被剰余数Ｙを除数Ｎ
（Ｎ＝ｃ２d −１）で割った場合の剰余を演算するため
のコンピュータで読み取り可能であるプログラムコード
手段を有する記録媒体であって、２数Ａ，Ｂの部分乗算
結果と前回までの部分乗算剰余結果とを加算してそれを
新たに被剰余数Ｙと設定することを前記コンピュータに
させるプログラムコード手段と、被剰余数Ｙの下位ｄビ
ット目の位置に被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0とｃとの
積を加算することを前記コンピュータにさせるプログラ
ムコード手段と、その加算結果の最下位桁を除く部分を
次の乗算剰余結果と設定することを前記コンピュータに
させるプログラムコード手段とを有することを特徴とす
る。
【００４６】請求項20に係る記録媒体は、モンゴメリ法
に基づいて、２数Ａ，Ｂの積である被剰余数Ｙを除数Ｎ
（Ｎ＝ｃ２d ＋１）で割った場合の剰余を演算するため
のコンピュータで読み取り可能であるプログラムコード
手段を有する記録媒体であって、２数Ａ，Ｂの部分乗算
結果と前回までの部分乗算剰余結果とを加算してそれを
新たに被剰余数Ｙと設定することを前記コンピュータに
させるプログラムコード手段と、被剰余数Ｙの最下位桁
の値ｙ0 の２の補数を乗数ｍとして被剰余数Ｙの最下位
桁に乗数ｍを加算すると共に、被剰余数Ｙの下位ｄビッ
ト目の位置に乗数ｍとｃとの積を加算することを前記コ
ンピュータにさせるプログラムコード手段と、その加算
結果の最下位桁を除く部分を次の乗算剰余結果と設定す
ることを前記コンピュータにさせるプログラムコード手
段とを有することを特徴とする。
【００４７】第１剰余演算（請求項１，２） 前述の（アルゴリズム２）の除数ＮをＮ＝ｃ２d −１
（ｄ≧ｋビット，ｋ：処理単位のビット数），ｃ＝（ｃ
q-1 ，ｃq-2 ，…，ｃ0 ）r ，ｄ≧ｋとおくと、 ｍ＝ｙ0 となり、ｍの計算及びｎ′0 の計算が不要
になる。 Ｙ＝Ｙ＋ｍ・Ｎの計算を、Ｙ＝Ｙ＋ｙ0 ・ｃ２d ，
ｙ0 ＝０で計算できる。 元の方式ではｇ×１回の乗算が必要であったが、この方
式ではｑ×１回（ｇ＞ｑ）の乗算とｄビットシフトとな
る。この方式を（アルゴリズム４）に示す。
【００４８】（アルゴリズム４）被剰余数Ｔ，パラメー
タＮ′，出力用変数Ｙが何れもｒ進数で、 Ｔ＝（ｔ2g-1，ｔ2g-2，…，ｔ0 ）r ，Ｎ′＝（ｎ′
g-1 ，ｎ′g-2 ，…，ｎ′0 ）r ，Ｙ＝（ｙg ，
ｙg-1 ，…，ｙ0 ）r ，Ｒ＝ｒg ，ｒ＝２k ，Ｎ＝ｃ２
d −１，ｃ＝（ｃq-1 ，ｃq-2 ，…，ｃ0 ）r ，ｄ≧ｋ と表される場合、次に示すｊ＝０〜ｇ−１の繰り返し処
理によりＴＲ-1mod Ｎを求めることができる。図１，図
２は、このアルゴリズム４による剰余演算処理の過程を
示す図であり、図２は、図１においてｙ0 ＝０の処理を
省略した場合の例である。
【００４９】Ｙ＝Ｔ for ｊ＝０ to ｇ−１ Ｙ＝Ｙ＋ｙ0 ｃ２d ｙ0 ＝０ Ｙ＝Ｙ／ｒ next if Ｙ≧Ｎ then Ｙ＝Ｙ−Ｎ Ｙ＜Ｎ then return Ｙ ここで、ｙ0 ＝０の処理は、実際にｙ0 ＝ｙ0 −ｙ0 の
処理を行っても良いし、Ｙ＝Ｙ／ｒが整数の商を求める
演算を行うことで省略しても良い。
【００５０】第２剰余演算（請求項３） 上述した（アルゴリズム４）におけるｄをｄ＝ｅｋと取
るようにすれば、Ｙ＝Ｙ＋ｙ0 ｃ２d の計算は、ｒ進数
で下位（ｅ＋１）桁目（最下位桁を下位１桁とする）か
らｙ0 ｃを加算する処理となり、ｄビットシフトが不要
となる。この場合の剰余演算処理の過程を図３に示す。
【００５１】第３剰余演算（請求項４，５） 前述の（アルゴリズム２）の除数ＮをＮ＝ｃ２d ＋１
（ｄ≧ｋビット，ｋ：処理単位のビット数），ｃ＝（ｃ
q-1 ，ｃq-2 ，…，ｃ0 ）r ，ｄ≧ｋとおくと、 ｍ＝（ｒ−ｙ0 ）mod ｒとなり、ｍは減算で計算で
き、ｎ′0 の計算が不要になる。 Ｙ＝Ｙ＋ｍ・Ｎの計算を、Ｙ＝Ｙ＋ｙ0 ・ｃ２d ＋
ｍで計算できる。 第１剰余演算と比較すると、ｍの計算分とｍの加算及び
それによるキャリア計算分とだけ計算量が増加する。し
かし、（アルゴリズム２）と比較すれば、この方式の方
が計算量は少ない。この方式を（アルゴリズム５）に示
す。
【００５２】（アルゴリズム５）被剰余数Ｔ，パラメー
タＮ′，出力用変数Ｙが何れもｒ進数で、 Ｔ＝（ｔ2g-1，ｔ2g-2，…，ｔ0 ）r ，Ｎ′＝（ｎ′
g-1 ，ｎ′g-2 ，…，ｎ′0 ）r ，Ｙ＝（ｙg ，
ｙg-1 ，…，ｙ0 ）r ，Ｒ＝ｒg ，ｒ＝２k ，Ｎ＝ｃ２
d ＋１，ｃ＝（ｃq-1 ，ｃq-2 ，…，ｃ0 ）r ，ｄ≧ｋ と表される場合、次に示すｊ＝０〜ｇ−１の繰り返し処
理によりＴＲ-1mod Ｎを求めることができる。図４は、
このアルゴリズム５による剰余演算処理の過程を示す図
である。
【００５３】Ｙ＝Ｔ for ｊ＝０ to ｇ−１ ｍ＝（ｒ−ｙ0 ）mod ｒ Ｙ＝Ｙ＋ｙ0 ｃ２d ＋ｍ Ｙ＝Ｙ／ｒ next if Ｙ≧Ｎ then Ｙ＝Ｙ−Ｎ Ｙ＜Ｎ then return Ｙ
【００５４】第４剰余演算（請求項６） 上述した（アルゴリズム５）におけるｄをｄ＝ｅｋと取
るようにすれば、ｍｃ２d の加算は、ｒ進数で下位（ｅ
＋１）桁目（最下位桁を下位１桁とする）からｍｃを加
算する処理となり、ｄビットシフトが不要となる。この
場合の剰余演算処理の過程を図５に示す。
【００５５】第１乗算剰余演算（請求項７，８） 第１剰余演算１同様に、前述の（アルゴリズム３）にお
いて除数ＮをＮ＝ｃ２ d −１（ｄ≧ｋビット，ｋ：処理
単位のビット数）とおけば、同様の効果が得られる。こ
の方式を（アルゴリズム６）に示す。
【００５６】（アルゴリズム６）乗算する２数Ａ，Ｂ，
パラメータＮ′，出力用変数Ｙが何れもｒ進数で、 Ａ＝（ａg-1 ，ａg-2 ，…，ａ0 ）r ，Ｂ＝（ｂg-1 ，
ｂg-2 ，…，ｂ0 ）r ，Ｎ′＝（ｎ′g-1 ，ｎ′g-2 ，
…，ｎ′0 ）r ，Ｙ＝（ｙg ，ｙg-1 ，…，ｙ0 ）r ，
Ｒ＝ｒg ，ｒ＝２k ，Ｎ＝ｃ２d −１，ｃ＝（ｃq-1 ，
ｃq-2 ，…，ｃ0 ）r ，ｄ≧ｋ と表される場合、次に示すｊ＝０〜ｇ−１の繰り返し処
理によりＡＢＲ-1mod Ｎを求めることができる。図６，
図７は、この（アルゴリズム６）による乗算剰余演算処
理の過程を示す図であり、図７は、図６においてｙ0 ＝
０の処理を省略した場合の例である。
【００５７】Ｙ＝０ for ｊ＝０ to ｇ−１ Ｙ＝Ｙ＋Ａ・ｂj Ｙ＝Ｙ＋ｙ0 ｃ２d ｙ0 ＝０ Ｙ＝Ｙ／ｒ next if Ｙ≧Ｎ then Ｙ＝Ｙ−Ｎ Ｙ＜Ｎ then return Ｙ ここで、ｙ0 ＝０の処理は、実際にｙ0 ＝ｙ0 −ｙ0 の
処理を行っても良いし、Ｙ＝Ｙ／ｒが整数の商を求める
演算を行うことで省略しても良い。
【００５８】第２乗算剰余演算（請求項９） 第２剰余演算と同様に、上述した（アルゴリズム６）に
おけるｄをｄ＝ｅｋと取るようにすれば、Ｙ＝Ｙ＋ｙ0
ｃ２d の計算は、ｒ進数で下位（ｅ＋１）桁目（最下位
桁を下位１桁とする）からｙ0 ｃを加算する処理とな
り、ｄビットシフトが不要となる。この場合の乗算剰余
演算処理の過程を図８に示す。
【００５９】第３乗算剰余演算（請求項10，11） 第３剰余演算と同様に、前述の（アルゴリズム３）にお
いて除数ＮをＮ＝ｃ２ d ＋１（ｄ≧ｋビット，ｋ：処理
単位のビット数）とおけば、同様の効果が得られる。こ
の方式を（アルゴリズム７）に示す。
【００６０】（アルゴリズム７）乗算する２数Ａ，Ｂ，
パラメータＮ′，出力用変数Ｙが何れもｒ進数で、 Ａ＝（ａg-1 ，ａg-2 ，…，ａ0 ）r ，Ｂ＝（ｂg-1 ，
ｂg-2 ，…，ｂ0 ）r ，Ｎ′＝（ｎ′g-1 ，ｎ′g-2 ，
…，ｎ′0 ）r ，Ｙ＝（ｙg ，ｙg-1 ，…，ｙ0 ）r ，
Ｒ＝ｒg ，ｒ＝２k ，Ｎ＝ｃ２d ＋１，ｃ＝（ｃq-1 ，
ｃq-2 ，…，ｃ0 ）r ，ｄ≧ｋ と表される場合、次に示すｊ＝０〜ｇ−１の繰り返し処
理によりＡＢＲ-1mod Ｎを求めることができる。図９
は、このアルゴリズム７による乗算剰余演算処理の過程
を示す図である。
【００６１】Ｙ＝０ for ｊ＝０ to ｇ−１ Ｙ＝Ｙ＋Ａ・ｂj ｍ＝（ｒ−ｙ0 ）mod ｒ Ｙ＝Ｙ＋ｍｃ２d ＋ｍ Ｙ＝Ｙ／ｒ next if Ｙ≧Ｎ then Ｙ＝Ｙ−Ｎ Ｙ＜Ｎ then return Ｙ
【００６２】第４乗算剰余演算（請求項12） 第４剰余演算と同様に、上述した（アルゴリズム７）に
おけるｄをｄ＝ｅｋと取るようにすれば、ｍｃ２d の加
算は、ｒ進数で下位（ｅ＋１）桁目（最下位桁を下位１
桁とする）からｍｃを加算する処理となり、ｄビットシ
フトが不要となる。この場合の乗算剰余演算処理の過程
を図10に示す。
【００６３】
【発明の実施の形態】以下、本発明をその実施の形態を
示す図面を参照して具体的に説明する。
【００６４】（実施の形態１：剰余演算）図11は、本発
明の剰余演算装置の構成図である。図11に示す剰余演算
装置は、被剰余数となる変数Ｙ＝（ｙg ，ｙg-1 ，…，
ｙ0 ）r の値を格納するＹレジスタ１と、ｃ＝
（ｃq-1 ，ｃq-2 ，…，ｃ0 ）r の値を格納するｃレジ
スタ２と、変数Ｙの最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を求め
る乗算器３と、乗算器３の出力（乗算結果）とＹレジス
タ１の出力（上位桁）とを加算する加算器４と、モンゴ
メリ補正を行う補正器５とを有する。
【００６５】図12は、この剰余演算装置による剰余演算
処理の過程を示す図、図13は、この剰余演算装置におけ
る動作手順を示すフローチャートである。なお、以下に
示す例は、前述したアルゴリズム４（除数ＮをＮ＝ｃ２
d −１，ｄ＝ｅｋ）を用いる第２剰余演算に即したもの
であり、具体例として、ｇ＝５，ｅ＝４とする。
【００６６】変数Ｙの初期値（剰余演算対象の被被剰余
数）を入力する（ステップＳ１）。そして、ｙ0 ｃを乗
算器３にて求め、その乗算値を（ｙ5 ，ｙ4 ）と加算器
４にて加算して、その加算結果をＹレジスタ１の
（ｙ6 ，ｙ5 ，ｙ4 ）に格納する処理（ステップＳ２）
と、Ｙレジスタ１内で（ｙ6 ，ｙ5 ，ｙ4 ，ｙ3 ，
ｙ2 ，ｙ 1 ）を（ｙ5 ，ｙ4 ，ｙ3 ，ｙ2 ，ｙ1 ，
ｙ0 ）に移す処理（ステップＳ３）とを、５回繰り返
す。最後にモンゴメリの補正処理を行う（ステップＳ
４）。以上のような処理により、ＴＲ-1mod Ｎを計算で
きる。そして、このようにして得られるＴＲ-1mod Ｎ
と、予め求めておいたＲ2 mod Ｎとの積で再びＲＥＤＣ
を行うことにより、剰余Ｔmod Ｎを求めることができ
る。
【００６７】（実施の形態２：乗算剰余演算）図14は、
本発明の乗算剰余演算装置の構成図である。図14に示す
乗算剰余演算装置は、被剰余数となる変数Ｙ＝（ｙg ，
ｙg-1 ，…，ｙ0 ）r の値を格納するＹレジスタ11と、
一方の乗数Ａ＝（ａg-1 ，ａg-2 ，…，ａ0 ）r の値を
格納するＡレジスタ12と、他方の乗数Ｂ＝（ｂg-1 ，ｂ
g-2 ，…，ｂ0 ）r の値を格納するＢレジスタ13と、ｃ
＝（ｃq-1 ，ｃq-2 ，…，ｃ0 ）r の値を格納するｃレ
ジスタ14と、Ｙレジスタ11またはＡレジスタ12の何れか
からの入力を選択して出力する選択回路15と、Ｂレジス
タ13またはｃレジスタ14の何れかからの入力を選択して
出力する選択回路16と、選択回路15の出力及び選択回路
16の出力を乗算する乗算器17と、乗算器17の出力（乗算
結果）とＹレジスタ11の出力（上位桁）とを加算する加
算器18と、モンゴメリ補正を行う補正器19とを有する。
【００６８】図15は、この乗算剰余演算装置による乗算
剰余演算処理の過程を示す図、図16は、この乗算剰余演
算装置における動作手順を示すフローチャートである。
なお、以下に示す例は、前述したアルゴリズム６（除数
ＮをＮ＝ｃ２d −１，ｄ＝ｅｋ）を用いる第２乗算剰余
演算に即したものであり、ｇ＝５，γ＝４とし、また、
他のパラーメータの数値例として、Ａ：160 ビット，
Ｂ：160 ビット，Ｎ：160 ビット，ｃ：32ビット，Ｎ＝
ｃ２128 −１，ｋ＝32，ｄ＝128 ，ｒ＝２32，Ｒ＝２
160 である。
【００６９】初期化として、変数Ｙ（Ｙ：192 ビット）
をゼロクリアする（ステップＳ11）。そして、部分積Ａ
×ｂi を乗算器17にて求め、その乗算結果を変数Ｙに加
算する処理（ステップＳ12）と、ｙ0 ｃを乗算器17にて
求め、その乗算結果を（ｙ5，ｙ4 ）と加算器18にて加
算して、その加算結果をＹレジスタ11の（ｙ6 ，ｙ5，
ｙ4 ）に格納する処理（ステップＳ13）と、Ｙレジスタ
11内で（ｙ6 ，ｙ5 ，ｙ4 ，ｙ3 ，ｙ2 ，ｙ1 ）を（ｙ
5 ，ｙ4 ，ｙ3 ，ｙ2 ，ｙ1 ，ｙ0 ）に移す処理（ステ
ップＳ14）とを、ｉ＝０〜４まで５回繰り返す。最後に
モンゴメリの補正処理を行う（ステップＳ15）。以上の
ような処理により、ＲＥＤＣ（Ａ，Ｂ，Ｎ，Ｒ）＝ＡＢ
Ｒ-1mod Ｎを計算できる。そして、このようにして得ら
れるＡＢＲ-1mod Ｎと、予め求めておいたＲ2 mod Ｎと
の積で再びＲＥＤＣを行うことにより、剰余Ａ・Ｂmod
Ｎを求めることができる。
【００７０】図17は、本発明の記録媒体の実施の形態
（第１剰余演算：第４アルゴリズム）の構成を示すブロ
ック図である。図17において、コンピュータ20とオンラ
イン接続する記録媒体21は、コンピュータ20の設置場所
から隔たって設置される例えばＷＷＷ（World Wide We
b）のサーバコンピュータを用いてなり、記録媒体21に
は後述するプログラム21a が記録されている。記録媒体
21から読み出されたプログラム21a がコンピュータ20を
制御することにより、所定の演算を実行する。
【００７１】コンピュータ20の内部に設けられた記録媒
体22は、内蔵設置される例えばハードディスクドライブ
またはＲＯＭ（Read Only Memory）などを用いてなり、
記録媒体22には後述するプログラム22a が記録されてい
る。記録媒体22から読み出されたプログラム22a がコン
ピュータ20を制御することにより、所定の演算を実行す
る。
【００７２】コンピュータ20に設けられたディスクドラ
イブ20a に装填して使用される記録媒体23は、運搬可能
な例えば光磁気ディスク，ＣＤ−ＲＯＭまたはフレキシ
ブルディスクなどを用いてなり、記録媒体23には後述す
るプログラム23a が記録されている。記録媒体23から読
み出されたプログラム23a がコンピュータ20を制御する
ことにより、所定の演算を実行する。
【００７３】図17に示す記録媒体21，22または23のプロ
グラム21a ，22a または23a は、被剰余数Ｙの下位ｄビ
ット目の位置に、被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 とｃと
の積を加算するステップと、加算結果の最下位桁を除く
部分を次の被剰余数とするステップとを含んでいる。
【００７４】図18は、本発明の記録媒体の実施の形態
（第３剰余演算：第５アルゴリズム）の構成を示すブロ
ック図である。図18に示す記録媒体21，22または23のプ
ログラム21a ，22a または23a は、被剰余数Ｙの最下位
桁の値ｙ0 の２の補数を乗数ｍとして被剰余数Ｙの最下
位桁にｍを加算すると共に、被剰余数Ｙの下位ｄビット
目の位置に、乗数ｍとｃとの積を加算するステップと、
加算結果の最下位桁を除く部分を次の被剰余数とするス
テップとを含んでいる。
【００７５】図19は、本発明の記録媒体の実施の形態
（第１乗算剰余演算：第６アルゴリズム）の構成を示す
ブロック図である。図19に示す記録媒体21，22または23
のプログラム21a ，22a または23a は、２数Ａ，Ｂの部
分乗算結果Ａ×Ｂi と、前回までの部分乗算剰余結果Ｙ
とを加算してそれを新たに被剰余数Ｙとするステップ
と、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に、被剰余数Ｙ
の最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を加算するステップと、
加算結果の最下位桁を除く部分を次の乗算剰余結果Ｙと
するステップとを含んでいる。
【００７６】図20は、本発明の記録媒体の実施の形態
（第３乗算剰余演算：第７アルゴリズム）の構成を示す
ブロック図である。図20に示す記録媒体21，22または23
のプログラム21a ，22a または23a は、２数Ａ，Ｂの部
分乗算結果Ａ×Ｂi と、前回までの部分乗算剰余結果Ｙ
とを加算してそれを新たに被剰余数Ｙとするステップ
と、被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 の２の補数を乗数ｍ
として被剰余数Ｙの最下位桁にｍを加算すると共に、被
剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に、乗数ｍとｃとの積
を加算するステップと、加算結果の最下位桁を除く部分
を次の乗算剰余結果Ｙとするステップとを含んでいる。
【００７７】ここで本発明と従来例との比較について以
下に述べる。除数Ｎとして前述したような特殊パラーメ
ータ（Ｎ＝ε２L-k −１）を用いる従来例では、多重精
度×単精度の乗算２回程度であったが、本発明では、多
重精度×単精度の乗算１回程度となり、計算量を低減で
きることは明らかである。また、Ｎを160 ビット，ｃを
32ビット，ｄ＝128 ，Ｎ＝ｃ２128 −１とし、ソフトウ
ェアにて本発明の剰余演算装置を実現し、32ビットプロ
セッサ上で実行した場合、任意の除数パラメータを使用
する従来例と剰余処理時間を比較して、約１／５程度の
時間（計算量）で処理が可能である。
【００７８】
【発明の効果】以上のように、本発明の剰余演算方法，
乗算剰余演算方法では、除数ＮとしてＮ＝ｃ２d ±１と
表される数を用いるようにしたので、モンゴメリ剰余
法，モンゴメリ乗算剰余法おける計算を単純化して計算
量を低減することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】第１剰余演算（アルゴリズム４：請求項１，
２）における剰余演算処理の過程を示す図である。
【図２】第１剰余演算（アルゴリズム４：請求項１，
２）における剰余演算処理の過程を示す図である。
【図３】第２剰余演算（アルゴリズム４：請求項３）に
おける剰余演算処理の過程を示す図である。
【図４】第３剰余演算（アルゴリズム５：請求項４，
５）における剰余演算処理の過程を示す図である。
【図５】第４剰余演算（アルゴリズム５：請求項６）に
おける剰余演算処理の過程を示す図である。
【図６】第１乗算剰余演算（アルゴリズム６：請求項
７，８）における乗算剰余演算処理の過程を示す図であ
る。
【図７】第１乗算剰余演算（アルゴリズム６：請求項
７，８）における乗算剰余演算処理の過程を示す図であ
る。
【図８】第２乗算剰余演算（アルゴリズム６：請求項
９）における乗算剰余演算処理の過程を示す図である。
【図９】第３乗算剰余演算（アルゴリズム７：請求項1
0，11）における乗算剰余演算処理の過程を示す図であ
る。
【図１０】第４乗算剰余演算（アルゴリズム７：請求項
12）における乗算剰余演算処理の過程を示す図である。
【図１１】本発明の剰余演算装置の構成図である。
【図１２】本発明の剰余演算装置による剰余演算処理の
過程を示す図である。
【図１３】本発明の剰余演算装置における動作手順を示
すフローチャートである。
【図１４】本発明の乗算剰余演算装置の構成図である。
【図１５】本発明の乗算剰余演算装置による乗算剰余演
算処理の過程を示す図である。
【図１６】本発明の乗算剰余演算装置における動作手順
を示すフローチャートである。
【図１７】本発明の記録媒体（第１剰余演算：第４アル
ゴリズム）の構成を示すブロック図である。
【図１８】本発明の記録媒体（第３剰余演算：第５アル
ゴリズム）の構成を示すブロック図である。
【図１９】本発明の記録媒体（第１乗算剰余演算：第６
アルゴリズム）の構成を示すブロック図である。
【図２０】本発明の記録媒体（第３乗算剰余演算：第７
アルゴリズム）の構成を示すブロック図である。
【図２１】従来例による剰余演算処理の過程を示す図で
ある。
【図２２】従来例による乗算剰余演算処理の過程を示す
図である。
【符号の説明】
１ Ｙレジスタ ２ ｃレジスタ ３ 乗算器 ４ 加算器 11 Ｙレジスタ 12 Ａレジスタ 13 Ｂレジスタ 14 ｃレジスタ 17 乗算器 18 加算器

Claims (20)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 コンピュータを用いて、モンゴメリ法に
    基づいて被剰余数Ｙを除数Ｎで割った場合の剰余を演算
    する方法において、除数ＮはＮ＝ｃ２d −１で表される
    数を使用し、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に被剰
    余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を加算する第１ス
    テップと、その加算結果の最下位桁を除く部分を次の被
    剰余数とする第２ステップとを繰り返すことを特徴とす
    る剰余演算方法。
  2. 【請求項２】 前記第１ステップは、被剰余数Ｙの最下
    位桁の値ｙ0 とｃとの積を上位側にｄビットだけシフト
    させて被剰余数Ｙに加算する処理を含む請求項１記載の
    剰余演算方法。
  3. 【請求項３】 コンピュータを用いて、モンゴメリ法に
    基づいて被剰余数Ｙを除数Ｎで割った場合の剰余を演算
    する方法において、除数ＮはＮ＝ｃ２d −１で表される
    数を使用し、ｄを１桁のビット数ｋのｅ倍（ｄ＝ｋｅ）
    に設定し、被剰余数Ｙの下位（ｅ＋１）桁の位置に被剰
    余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を加算する第１ス
    テップと、その加算結果の最下位桁を除く部分を次の被
    剰余数とする第２ステップとを繰り返すことを特徴とす
    る剰余演算方法。
  4. 【請求項４】 コンピュータを用いて、モンゴメリ法に
    基づいて被剰余数Ｙを除数Ｎで割った場合の剰余を演算
    する方法において、除数ＮはＮ＝ｃ２d ＋１で表される
    数を使用し、被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 の２の補数
    を乗数ｍとして被剰余数Ｙの最下位桁に乗数ｍを加算す
    ると共に、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に乗数ｍ
    とｃとの積を加算する第１ステップと、その加算結果の
    最下位桁を除く部分を次の被剰余数とする第２ステップ
    とを繰り返すことを特徴とする剰余演算方法。
  5. 【請求項５】 被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に乗
    数ｍとｃとの積を加算する際に、乗数ｍとｃとの積を上
    位側にｄビットだけシフトさせて被剰余数Ｙに加算する
    請求項４記載の剰余演算方法。
  6. 【請求項６】 コンピュータを用いて、モンゴメリ法に
    基づいて被剰余数Ｙを除数Ｎで割った場合の剰余を演算
    する方法において、除数ＮはＮ＝ｃ２d ＋１で表される
    数を使用し、前記ｄを１桁のビット数ｋのｅ倍（ｄ＝ｋ
    ｅ）に設定し、被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 の２の補
    数を乗数ｍとして被剰余数Ｙの最下位桁に乗数ｍを加算
    すると共に、被剰余数Ｙの下位（ｅ＋１）桁の位置に乗
    数ｍとｃとの積を加算する第１ステップと、その加算結
    果の最下位桁を除く部分を次の被剰余数とする第２ステ
    ップとを繰り返すことを特徴とする剰余演算方法。
  7. 【請求項７】 コンピュータを用いて、モンゴメリ法に
    基づいて、２数Ａ，Ｂの積である被剰余数Ｙを除数Ｎで
    割った場合の剰余を演算する方法において、除数Ｎとし
    てＮ＝ｃ２d −１と表される数を使用し、２数Ａ，Ｂの
    部分乗算結果と前回までの部分乗算剰余結果とを加算し
    てその加算結果を新たに被剰余数Ｙとする第１ステップ
    と、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に被剰余数Ｙの
    最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を加算する第２ステップ
    と、その加算結果の最下位桁を除く部分を次の乗算剰余
    結果とする第３ステップとを繰り返すことを特徴とする
    乗算剰余演算方法。
  8. 【請求項８】 前記第２ステップは、被剰余数Ｙの最下
    位桁の値ｙ0 とｃとの積を上位側にｄビットだけシフト
    させて被剰余数Ｙに加算する処理を含む請求項７記載の
    乗算剰余演算方法。
  9. 【請求項９】 コンピュータを用いて、モンゴメリ法に
    基づいて、２数Ａ，Ｂの積である被剰余数Ｙを除数Ｎで
    割った場合の剰余を演算する方法において、除数Ｎとし
    てＮ＝ｃ２d −１と表される数を使用し、ｄを１桁のビ
    ット数ｋのｅ倍（ｄ＝ｋｅ）に設定し、２数Ａ，Ｂの部
    分乗算結果と前回までの部分乗算剰余結果とを加算して
    その加算結果を新たに被剰余数Ｙとする第１ステップ
    と、被剰余数Ｙの下位（ｅ＋１）桁の位置に被剰余数Ｙ
    の最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を加算する第２ステップ
    と、その加算結果の最下位桁を除く部分を次の乗算剰余
    結果とする第３ステップとを繰り返すことを特徴とする
    乗算剰余演算方法。
  10. 【請求項１０】 コンピュータを用いて、モンゴメリ法
    に基づいて、２数Ａ，Ｂの積である被剰余数Ｙを除数Ｎ
    で割った場合の剰余を演算する方法において、除数Ｎと
    してＮ＝ｃ２d ＋１と表される数を使用し、２数Ａ，Ｂ
    の部分乗算結果と前回までの部分乗算剰余結果とを加算
    してその加算結果を新たに被剰余数Ｙとする第１ステッ
    プと、被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 の２の補数を乗数
    ｍとして被剰余数Ｙの最下位桁に乗数ｍを加算すると共
    に、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に乗数ｍとｃと
    の積を加算する第２ステップと、その加算結果の最下位
    桁を除く部分を次の乗算剰余結果とする第３ステップと
    を繰り返すことを特徴とする乗算剰余演算方法。
  11. 【請求項１１】 被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に
    乗数ｍとｃとの積を加算する際に、乗数ｍとｃとの積を
    上位側にｄビットだけシフトさせて被剰余数Ｙに加算す
    る請求項１０記載の乗算剰余演算方法。
  12. 【請求項１２】 コンピュータを用いて、モンゴメリ法
    に基づいて、２数Ａ，Ｂの積である被剰余数Ｙを除数Ｎ
    で割った場合の剰余を演算する方法において、除数Ｎと
    してＮ＝ｃ２d ＋１と表される数を使用し、ｄを１桁の
    ビット数ｋのｅ倍（ｄ＝ｋｅ）に設定し、２数Ａ，Ｂの
    部分乗算結果と前回までの部分乗算剰余結果とを加算し
    てそれを新たに被剰余数Ｙとする第１ステップと、被剰
    余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 の２の補数を乗数ｍとして被
    剰余数Ｙの最下位桁に乗数ｍを加算すると共に、被剰余
    数Ｙの下位（ｅ＋１）桁の位置に乗数ｍとｃとの積を加
    算する第２ステップと、その加算結果の最下位桁を除く
    部分を次の乗算剰余結果とする第３ステップとを繰り返
    すことを特徴とする乗算剰余演算方法。
  13. 【請求項１３】 モンゴメリ法に基づいて被剰余数Ｙを
    除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d−１）で割った場合の剰余を演算す
    る装置であって、被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 とｃと
    の積を求める乗算器と、その乗算結果を被剰余数Ｙの下
    位ｄビット目の位置に加算する加算器と、その加算結果
    の最下位桁を除く部分を次の被剰余数として格納するレ
    ジスタとを備えることを特徴とする剰余演算装置。
  14. 【請求項１４】 モンゴメリ法に基づいて被剰余数Ｙを
    除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d＋１）で割った場合の剰余を演算す
    る装置であって、被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 の２の
    補数を乗数ｍとして乗数ｍとｃとの積を求める乗算器
    と、その乗算結果を被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置
    に加算すると共に、被剰余数Ｙの最下位桁に乗数ｍを加
    算する加算器と、その加算結果の最下位桁を除く部分を
    次の被剰余数として格納するレジスタとを備えることを
    特徴とする剰余演算装置。
  15. 【請求項１５】 モンゴメリ法に基づいて、２数Ａ，Ｂ
    の積である被剰余数Ｙを除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d −１）で割
    った場合の剰余を演算する装置であって、２数Ａ，Ｂの
    部分乗算結果と前回までの部分乗算剰余結果とを加算し
    てそれを新たに被剰余数Ｙとして格納するレジスタと、
    被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を求める乗算
    器と、その乗算結果を被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位
    置に加算する加算器とを備え、その加算結果の最下位桁
    を除く部分を次の乗算剰余結果とするようにしたことを
    特徴とする乗算剰余演算装置。
  16. 【請求項１６】 モンゴメリ法に基づいて、２数Ａ，Ｂ
    の積である被剰余数Ｙを除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d ＋１）で割
    った場合の剰余を演算する装置であって、２数Ａ，Ｂの
    部分乗算結果と前回までの部分乗算剰余結果とを加算し
    てそれを新たに被剰余数Ｙとして格納するレジスタと、
    被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 の２の補数を乗数ｍとし
    て乗数ｍとｃとの積を求める乗算器と、その乗算結果を
    被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に加算すると共に、
    被剰余数Ｙの最下位桁に乗数ｍを加算する加算器とを備
    え、その加算結果の最下位桁を除く部分を次の乗算剰余
    結果とするようにしたことを特徴とする乗算剰余演算装
    置。
  17. 【請求項１７】 モンゴメリ法に基づいて被剰余数Ｙを
    除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d−１）で割った場合の剰余を演算す
    るためのコンピュータで読み取り可能であるプログラム
    コード手段を有する記録媒体であって、被剰余数Ｙの下
    位ｄビット目の位置に被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 と
    ｃとの積を加算することを前記コンピュータにさせるプ
    ログラムコード手段と、その加算結果の最下位桁を除く
    部分を次の被剰余数と設定することを前記コンピュータ
    にさせるプログラムコード手段とを有することを特徴と
    する記録媒体。
  18. 【請求項１８】 モンゴメリ法に基づいて被剰余数Ｙを
    除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d＋１）で割った場合の剰余を演算す
    るためのコンピュータで読み取り可能であるプログラム
    コード手段を有する記録媒体であって、被剰余数Ｙの最
    下位桁の値ｙ 0 の２の補数を乗数ｍとして被剰余数Ｙの
    最下位桁に乗数ｍを加算すると共に、被剰余数Ｙの下位
    ｄビット目の位置に乗数ｍとｃとの積を加算することを
    前記コンピュータにさせるプログラムコード手段と、そ
    の加算結果の最下位桁を除く部分を次の被剰余数と設定
    することを前記コンピュータにさせるプログラムコード
    手段とを有することを特徴とする記録媒体。
  19. 【請求項１９】 モンゴメリ法に基づいて、２数Ａ，Ｂ
    の積である被剰余数Ｙを除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d −１）で割
    った場合の剰余を演算するためのコンピュータで読み取
    り可能であるプログラムコード手段を有する記録媒体で
    あって、２数Ａ，Ｂの部分乗算結果と前回までの部分乗
    算剰余結果とを加算してそれを新たに被剰余数Ｙと設定
    することを前記コンピュータにさせるプログラムコード
    手段と、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に被剰余数
    Ｙの最下位桁の値ｙ0 とｃとの積を加算することを前記
    コンピュータにさせるプログラムコード手段と、その加
    算結果の最下位桁を除く部分を次の乗算剰余結果と設定
    することを前記コンピュータにさせるプログラムコード
    手段とを有することを特徴とする記録媒体。
  20. 【請求項２０】 モンゴメリ法に基づいて、２数Ａ，Ｂ
    の積である被剰余数Ｙを除数Ｎ（Ｎ＝ｃ２d ＋１）で割
    った場合の剰余を演算するためのコンピュータで読み取
    り可能であるプログラムコード手段を有する記録媒体で
    あって、２数Ａ，Ｂの部分乗算結果と前回までの部分乗
    算剰余結果とを加算してそれを新たに被剰余数Ｙと設定
    することを前記コンピュータにさせるプログラムコード
    手段と、被剰余数Ｙの最下位桁の値ｙ0 の２の補数を乗
    数ｍとして被剰余数Ｙの最下位桁に乗数ｍを加算すると
    共に、被剰余数Ｙの下位ｄビット目の位置に乗数ｍとｃ
    との積を加算することを前記コンピュータにさせるプロ
    グラムコード手段と、その加算結果の最下位桁を除く部
    分を次の乗算剰余結果と設定することを前記コンピュー
    タにさせるプログラムコード手段とを有することを特徴
    とする記録媒体。
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