FR3045253A1 - Procede et dispositif de traitement cryptographique - Google Patents

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Abstract

L'invention concerne un procédé de traitement cryptographique produisant, à partir d'une clé secrète (d), une paire d'éléments (r, s) comprenant un premier élément (r) d'un corps fini et un second élément (s) du corps fini, comprenant les étapes suivantes : - obtention (E12) d'un nombre aléatoire (k) ; - détermination d'une première valeur (1+d) en combinant, au moyen de la première loi de composition (+) du corps fini, la clé secrète (d) et une valeur prédéterminée ; - inversion de la première valeur (1 +d) dans le corps fini ; - détermination d'une seconde valeur au moyen de l'application de la première loi de composition (+) au nombre aléatoire (k) ; - combinaison de la première valeur inversée ((1+d)-1) et de la seconde valeur (k+r) au moyen de la seconde loi de composition (*) du corps fini. La seconde valeur (k+r) est déterminée en combinant le nombre aléatoire (k) et le premier élément (r) au moyen de la première loi de combinaison (+) ; le second élément (s) est déterminé en combinant le résultat de ladite combinaison ((1+d)-1*(k+r)) et le premier élément (r) par une opération (-) utilisant la première loi de combinaison (+). Un dispositif de traitement cryptographique est également proposé.

Description

Domaine technique auquel se rapporte l'invention
La présente invention concerne le domaine de la cryptographique.
Elle concerne plus particulièrement un procédé et un dispositif de traitement cryptographique. L’invention s’applique particulièrement avantageusement dans le cas où l’on souhaite mettre en œuvre un algorithme de signature numérique sur courbe elliptique.
Arriere-plan technologique
On utilise, par exemple dans le cadre d’un algorithme de signature numérique sur courbe elliptique de type SM2, un procédé de traitement cryptographique produisant, à partir d’une clé secrète d (clé privée dans l’algorithme SM2), une paire d’éléments comprenant un premier élément r d’un corps fini (Fq, +, *) et un second élément s du corps fini, comprenant les étapes suivantes : - obtention d’un nombre aléatoire k ; - détermination d’une première valeur en combinant, au moyen de la première loi de composition du corps fini (également dénommée addition dans la suite), la clé secrète et une valeur prédéterminée ; - inversion de la première valeur dans le corps fini ; - détermination d’une seconde valeur au moyen de l’application de la première loi de composition (addition) au nombre aléatoire k ; - combinaison de la première valeur inversée et de la seconde valeur au moyen de la seconde loi de composition du corps fini (également dénommée multiplication dans la suite).
En effet, selon la spécification de l’algorithme de signature numérique SM2, le second élément s de la signature vaut s = (1+d)'1*(k-r*d) et on utilise donc alors un procédé tel défini ci-dessus dans lequel la première valeur vaut 1+d et la seconde valeur vaut k-r*d.
Il est toutefois nécessaire dans ce cas de protéger la détermination du produit r*d contre d’éventuelles attaques par canal auxiliaire, comme expliqué par exemple dans l’introduction du document EP 2 378 707. En effet, la multiplication concernée implique la clé secrète d et le premier élément r de la signature, communiqué à l’extérieur, de sorte qu’une observation de la mise en oeuvre de cette multiplication lors d’exécutions successives de l’algorithme pourrait permettre à un attaquant d’avoir accès à la clé secrète d, en l’absence de contremesures spécifiques.
Objet de l’invention
Dans ce contexte, la présente invention propose un procédé de traitement cryptographique du type décrit ci-dessus, caractérisé en ce que la seconde valeur est déterminée en combinant le nombre aléatoire k et le premier élément r au moyen de la première loi de combinaison, et en ce que le second élément s est déterminé en combinant le résultat de la combinaison susmentionnée (multiplication) et le premier élément par une opération utilisant la première loi de combinaison.
On profite ici du fait que la clé secrète apparaisse dans l’expression de la première valeur (à inverser et à multiplier par la seconde valeur) pour faire disparaître (en utilisant les règles de calcul dans le corps fini) le produit r*d dans le calcul de la seconde valeur.
Grâce aux règles de calcul précitées, le terme correspondant au produit r*d est remplacé : - par l’ajout du seul premier élément r au nombre aléatoire k pour le calcul de la seconde valeur (qui vaut donc k+r) ; par une opération supplémentaire utilisant la première loi de combinaison, dans laquelle le résultat de ladite combinaison (ou multiplication) est combiné au premier élément r.
Dans l’exemple décrit plus loin, cette opération supplémentaire est la soustraction du premier élément au résultat de la combinaison.
Selon d’autres caractéristiques envisageables de manière optionnelle : - la paire d’éléments est une signature numérique (par exemple de type SM2) ; - le procédé comprend une étape d’émission de la paire d’éléments (par exemple à destination d’un dispositif électronique extérieur) ; - la clé secrète est une clé privée (correspondant à une clé publique dans une infrastructure à clé publique) ; - le procédé comprend une étape de détermination du premier élément qui inclut la détermination d’un point d’une courbe elliptique (sur le corps fini) égal au produit d’un point prédéterminé de la courbe elliptique par un scalaire égal au nombre aléatoire ; - le procédé comprend une étape de réception d’un message ; - le premier élément est déterminé en fonction du message ; - l’étape de détermination du premier élément comprend une addition (dans le corps fini) de l’abscisse du point déterminé et d’un nombre obtenu à partir du message (par exemple par application d’une fonction de hachage) ; - le nombre aléatoire est obtenu par tirage aléatoire ; - la valeur prédéterminée est l’élément neutre pour la seconde loi de composition (multiplication dans le corps fini) ; - la première valeur vaut d+1 et la seconde valeur vaut k+r, où comme déjà indiqué d est la clé secrète, k le nombre aléatoire, r le premier élément et + représente la première loi de combinaison. L’invention propose également un dispositif de traitement cryptographique conçu pour produire, à partir d’une clé secrète, une paire d’éléments comprenant un premier élément d’un corps fini et un second élément du corps fini, et comprenant : - un module d’obtention d’un nombre aléatoire ; - un module de détermination d’une première valeur en combinant, au moyen de la première loi de composition du corps fini, la clé secrète et une valeur prédéterminée ; - un module d’inversion de la première valeur dans le corps fini ; - un module de détermination d’une seconde valeur au moyen de l’application de la première loi de composition au nombre aléatoire ; - un module de combinaison de la première valeur inversée et de la seconde valeur au moyen de la seconde loi de composition du corps fini ; caractérisé en ce que le module de détermination de la seconde valeur est conçu pour déterminer la seconde valeur en combinant le nombre aléatoire et le premier élément au moyen de la première loi de combinaison, et en ce qu’un module de détermination du second élément est conçu pour déterminer le second élément en combinant le résultat généré par le module de combinaison et le premier élément par une opération utilisant la première loi de combinaison.
Un tel dispositif de traitement cryptographique est par exemple un dispositif électronique comprenant un processeur (par exemple de microprocesseur) et au moins une mémoire.
Dans ce cas, chacun des modules mentionnés ci-dessus est par exemple mis en œuvre par des instructions de programme d’ordinateur mémorisées dans cette mémoire et conçues pour réaliser la fonction du module concerné lorsque ces instructions sont exécutées par le processeur.
Description detaillee d’un exemple de réalisation
La description qui va suivre en regard des dessins annexés, donnés à titre d’exemples non limitatifs, fera bien comprendre en quoi consiste l’invention et comment elle peut être réalisée.
Sur les dessins annexés : - la figure 1 représente schématiquement les éléments principaux d’une entité électronique 1 au sein de laquelle est mise en œuvre l’invention ; et - la figure 2 représente sous forme de logigramme, un exemple de procédé conforme aux enseignements de l’invention.
La figure 1 représente schématiquement les éléments principaux d’une entité électronique 1 au sein de laquelle est mise en œuvre l’invention. Cette entité électronique est par exemple une carte à microcircuit. En variante, il pourrait s’agir d’un élément sécurisé (ou SE pour "Secure Elément') - par exemple un microcontrôleur sécurisé, d’un dispositif électronique portatif (ou "hand-held electronic device" selon l’appellation anglo-saxonne) - par exemple un terminal de communication ou un passeport électronique, ou d’un ordinateur. L’entité électronique 1 comprend un microprocesseur 2, une mémoire vive 4 et une mémoire non-volatile réinscriptible 6 (par exemple de type EEPROM pour "Electrically Erasable and Programmable Read-Only Memory"). L’entité électronique 1 pourrait éventuellement comprendre en outre une mémoire morte. La mémoire vive 4 et la mémoire non-volatile réinscriptible 6 (ainsi que le cas échéant la mémoire morte) sont chacune liées au microprocesseur 2 de sorte que le microprocesseur 2 peut lire ou écrire des données dans chacune de ces mémoires.
Une de ces mémoires, par exemple la mémoire non-volatile réinscriptible 6, mémorise des instructions de programme d’ordinateur qui permettent la mise en œuvre du procédé décrit ci-dessous en référence à la figure 2 lorsque ces instructions sont exécutées par le microprocesseur 2.
Les mémoires 4, 6 stockent également des données représentatives de valeurs utilisées lors de la mise en œuvre du procédé décrit ci-dessous. Par exemple, la mémoire non-volatile réinscriptible 6 mémorise une clé secrète (ici une clé privée) d et des données représentatives de paramètres d’une courbe elliptique, notamment un générateur G d’ordre q ; la mémoire vive 4 mémorise, par exemple au sein de variables, des données traitées au cours des procédés décrits ci-dessous, notamment, comme expliqué plus bas, un message M et une variable k mémorisant un nombre aléatoire. L’entité électronique 1 comprend en outre une interface de communication 8 avec des dispositifs électroniques externes. Dans le cas décrit ici où l’entité électronique 1 est une carte à microcircuit, l’interface de communication 8 comprend par exemple des contacts affleurant sur une face de la carte à microcircuit. En variante, l’interface de communication 8 pourrait être réalisée par un module de communication sans contact. De manière générale, l’interface de communication 8 peut être un module de communication (filaire ou sans fil) avec une autre entité électronique.
Le microprocesseur 2 peut ainsi recevoir des données (par exemple un message M) de l’autre entité électronique via l’interface de communication 8 et émettre des données, par exemple une signature (r,s), à l’autre entité électronique via l’interface de communication 8.
La figure 2 représente, sous forme de logigramme, un exemple de procédé conforme aux enseignements de l’invention, dans lequel l’entité électronique 1 génère une signature électronique (r,s) d’un message reçu M selon un algorithme de signature, par exemple un algorithme de signature basé sur le problème du logarithme discret, ici un algorithme de signature numérique sur courbe elliptique de type SM2.
On utilise pour ce faire un groupe (E,+) formé de points d’une courbe elliptique sur un corps fini Fp à p éléments et ayant un générateur G d’ordre q (avec p différent de q), c’est-à-dire tel que [q].G=0E (le symbole désignant le produit par un scalaire et 0E étant l’élément neutre du groupe E). L’ordre q s’écrit sur n bits, c’est-à-dire que les valeurs q et n vérifient : 2n'1 < q < 2n. On utilise par exemple ici des mots de 160 bits, soit n = 160. On pourrait toutefois utiliser un nombre de bits différent, par exemple supérieur à 160, tel que n compris dans la liste : 192, 224, 256, 384, 512, 521.
On rappelle que la sécurité de ce type d’algorithme est basée sur le fait qu’en choisissant correctement le groupe (E,+) et le générateur G d’ordre q, il est impossible en pratique de retrouver une clé privée d en connaissant la clé publique correspondante [d].G.
Le procédé débute à l’étape E10 par la réception, par le microprocesseur 2 et via l’interface de communication 8, du message M à signer. Le message M est alors par exemple mémorisé en mémoire vive 4.
Le microprocesseur 2 procède alors au tirage d’un nombre aléatoire k de longueur n bits à l’étape E12. On utilise pour ce faire un algorithme de génération de nombres aléatoires ou pseudo-aléatoires. Le nombre aléatoire k est mémorisé, par exemple en mémoire vive 4.
Le microprocesseur 2 vérifie alors à l’étape E14 si ce nombre aléatoire k convient en tant que scalaire à appliquer au générateur G (voir ci-dessous étape E16), c’est-à-dire si ce nombre k est bien inférieure à l’ordre q : en pratique, on détermine si 0 < k < q.
En cas de réponse négative (N), le procédé boucle à l’étape E12 afin de tenter d’obtenir, par un nouveau tirage aléatoire, une valeur aléatoire adaptée.
En cas de réponse positive (P), le microprocesseur 2 procède à l’étape E16 au calcul du premier élément r de la signature (r, s), en utilisant notamment la variable k mémorisée en tant que nombre aléatoire, conformément à une formule qui peut être généralisée comme suit : r = H( [k].G, m) mod q.
On utilise ici, dans le cadre de l’algorithme SM2, la formule suivante : r = x([k].G) + m mod q, où "mod q" désigne la réduction modulo q et où x(P) est l’abscisse d’un point P de la courbe elliptique E. (Cette abscisse est donc un élément du corps fini Fp)
La valeur m utilisée ci-dessus est par exemple obtenue à partir du message M reçu par application d’une fonction de hachage. On peut prévoir en outre que la valeur m soit obtenue non seulement en fonction du message M reçu, mais également en fonction de la clé publique susmentionnée (égale à [d].G).
Grâce à la réduction modulo q, r peut être considéré dans la suite comme un élément du corps fini Fqà q éléments.
Le microprocesseur 2 détermine alors à l’étape E18 si le premier élément r est l’élément nul de Fq (auquel cas le nombre aléatoire k ne convient pas).
En cas de réponse positive (P), le procédé boucle à l’étape E12 afin de tenter d’obtenir, par un nouveau tirage aléatoire, une valeur aléatoire adaptée.
En cas de réponse négative (N), le microprocesseur 2 détermine alors à l’étape E20 si la valeur k+r (utilisée dans la suite) est l’élément nul de Fq (auquel cas, ici encore, le nombre aléatoire k ne convient pas).
En cas de réponse positive (P), le procédé boucle à l’étape E12 afin de tenter d’obtenir, par un nouveau tirage aléatoire, une valeur aléatoire adaptée.
En cas de réponse négative (N), le microprocesseur 2 peut alors déterminer à l’étape E22 le second élément s de la signature (r, s), en fonction de la variable k (valeur aléatoire), du premier élément r et de la clé privée d (mémorisée comme déjà indiqué en mémoire non-volatile 6), en effectuant le calcul suivant :
où le symbole représente la seconde loi de composition, ou multiplication, dans le corps fini Fq et a'1 est l’inverse de l’élément a dans le corps fini Fq.
Comme indiqué pour le premier élément r, les opérations mentionnées ci-dessus pour le calcul du second élément s s’entendent d’ailleurs dans le corps fini Fq.
Autrement dit, la détermination du second élément s de la signature (r, s) comprend les étapes suivantes : - détermination d’une première valeur égale à 1+d (i.e. égale à la somme de la clé privée et d’une valeur prédéterminée, ici l’élément neutre pour la multiplication dans le corps fini Fq) ; - inversion de la première valeur ; - détermination d’une seconde valeur égale à k+r {i.e. égale à la somme du nombre aléatoire et du premier élément) ; - multiplication de la première valeur inversée par la seconde valeur ; - soustraction, au résultat de la multiplication, du premier élément r {i.e. addition du résultat de la multiplication et de l’opposé du premier élément), ce qui correspond à une combinaison du résultat de la multiplication et du premier élément par une opération (ici la soustraction) utilisant la première loi de combinaison.
On remarque que, dans la spécification de l’algorithme SM2 (voir par exemple "Public Key Cryptographie Algorithm SM2 based on Elliptic Curves"), le second élément s est exprimé comme suit :
Toutefois, en utilisant la distributivité de la multiplication (seconde loi de combinaison) par rapport à l’addition (première loi de combinaison) dans le corps fini Fq, on peut écrire :
Autrement dit, on a pu utiliser la présence de la clé privée d dans l’expression (1+d) à inverser pour faire disparaître la clé privée d dans l’expression r*d.
On arrive ainsi à une expression du second élément s dans laquelle on procède à la multiplication d’un opérande (1+d)'1 dépendant de la clé privée par un opérande (k+r) qui n’est pas directement lié au premier élément r (puisque le nombre k est une valeur aléatoire inaccessible de l’extérieur). Il ne sera donc pas possible pour un attaquant de déduire la clé privée d de l’examen successif des mises en œuvres de cette multiplication, comme expliqué dans l’introduction du document EP 2 378 707.
Le microprocesseur 2 détermine alors à l’étape E24 si le second élément s est l’élément nul de Fq (auquel cas le nombre aléatoire k ne convient pas).
En cas de réponse positive (P), le procédé boucle à l’étape E12 afin de tenter d’obtenir, par un nouveau tirage aléatoire, une valeur aléatoire adaptée.
En cas de réponse négative (N), le microprocesseur 2 peut transmettre à l’étape E26, via l’interface de communication 8, la signature (r, s) obtenue aux étapes E16 et E22.
On remarque que l’invention ne s’applique pas seulement à la formule susmentionnée utilisée dans le cadre de l’algorithme SM2, mais pourrait s’appliquer au contraire à d’autres formules dans lesquelles une première valeur déterminée à partir de la clé privée d est inversée.
Ainsi, par exemple, quel que soit l’élément v (de préférence non-nul) de Fq, on peut déterminer (v+d)"1*(k - r*d) par le calcul de (v+d)'1*(k+v*r) - r.
De même, quel que soit l’élément v (de préférence non-nul) de Fq, on peut déterminer (v+d)'1*(k + r*d) par le calcul de (v+d)'1*(k-v*r) + r.

Claims (11)

  1. REVENDICATIONS
    1. Procédé de traitement cryptographique produisant, à partir d’une clé secrète (d), une paire d’éléments (r, s) comprenant un premier élément (r) d’un corps fini et un second élément (s) du corps fini, comprenant les étapes suivantes : - obtention (E12) d’un nombre aléatoire (k) ; - détermination d’une première valeur (1+d) en combinant, au moyen de la première loi de composition (+) du corps fini, la clé secrète (d) et une valeur prédéterminée ; - inversion de la première valeur (1 +d) dans le corps fini ; - détermination d’une seconde valeur au moyen de l’application de la première loi de composition (+) au nombre aléatoire (k) ; - combinaison de la première valeur inversée ((1+d)'1) et de la seconde valeur (k+r) au moyen de la seconde loi de composition (*) du corps fini ; caractérisé en ce que la seconde valeur (k+r) est déterminée en combinant le nombre aléatoire (k) et le premier élément (r) au moyen de la première loi de combinaison (+), et en ce que le second élément (s) est déterminé en combinant le résultat de ladite combinaison ((1+d)'1*(k+r)) et le premier élément (r) par une opération (-) utilisant la première loi de combinaison (+).
  2. 2. Procédé de traitement cryptographique selon la revendication 1, dans lequel la paire d’éléments (r, s) est une signature numérique.
  3. 3. Procédé de traitement cryptographique selon la revendication 1 ou 2, comprenant une étape d’émission (E26) de la paire d’éléments (r, s).
  4. 4. Procédé de traitement cryptographique selon l’une des revendications 1 à 3, dans lequel la clé secrète (d) est une clé privée.
  5. 5. Procédé de traitement cryptographique selon l’une des revendications 1 à 4, comprenant une étape de détermination du premier élément (r) qui inclut la détermination d’un point ([k].G) d’une courbe elliptique égal au produit d’un point prédéterminé (G) de la courbe elliptique par un scalaire égal au nombre aléatoire (k).
  6. 6. Procédé de traitement cryptographique selon l’une des revendications 1 à 5, comprenant une étape de réception (E10) d’un message (M), dans lequel le premier élément (r) est déterminé en fonction du message (M).
  7. 7. Procédé de traitement cryptographique selon la revendication 6 prise dans la dépendance de la revendication 5, dans lequel l’étape de détermination du premier élément comprend une addition (+) de l’abscisse (x([k].G)) du point ([k].G) déterminé et d’un nombre obtenu en fonction du message (m).
  8. 8. Procédé de traitement cryptographique selon l’une des revendications 1 à 7, dans lequel le nombre aléatoire (k) est obtenu par tirage aléatoire.
  9. 9. Procédé de traitement cryptographique selon l’une des revendications 1 à 8, dans lequel la valeur prédéterminée est l’élément neutre pour la seconde loi de composition (*).
  10. 10. Procédé de traitement cryptographique selon l’une des revendications 1 à 9, dans lequel la première valeur vaut d+1 et la seconde valeur vaut k+r, où d est la clé secrète, k le nombre aléatoire, r le premier élément et + représente la première loi de combinaison.
  11. 11. Dispositif de traitement cryptographique (1) conçu pour produire, à partir d’une clé secrète (d), une paire d’éléments (r, s) comprenant un premier élément (r) d’un corps fini et un second élément (s) du corps fini, et comprenant : - un module d’obtention d’un nombre aléatoire (k) ; - un module de détermination d’une première valeur (1+d) en combinant, au moyen de la première loi de composition (+) du corps fini, la clé secrète (d) et une valeur prédéterminée ; - un module d’inversion de la première valeur (1+d) dans le corps fini ; - un module de détermination d’une seconde valeur (k+r) au moyen de l’application de la première loi de composition (+) au nombre aléatoire (k) ; - un module de combinaison de la première valeur inversée ((1+d)"1) et de la seconde valeur (k+r) au moyen de la seconde loi de composition (*) du corps fini ; caractérisé en ce que le module de détermination de la seconde valeur (k+r) est conçu pour déterminer la seconde valeur (k+r) en combinant le nombre aléatoire (k) et le premier élément (r) au moyen de la première loi de combinaison (+), et en ce qu’un module de détermination du second élément (s) est conçu pour déterminer la second élément (s) en combinant le résultat ((1+d)"1*(k+r)) généré par le module de combinaison et le premier élément (r) par une opération (-) utilisant la première loi de combinaison (+).
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