FR2842625A1

FR2842625A1 - Procede et systeme d'optimisation d'au moins un parametre caracteristique d'un systeme physique destine a etre soumis a des conditions exterieures variables

Info

Publication number: FR2842625A1
Application number: FR0209044A
Authority: FR
Inventors: John Masse
Original assignee: APPEDGE
Current assignee: APPEDGE
Priority date: 2002-07-17
Filing date: 2002-07-17
Publication date: 2004-01-23
Anticipated expiration: 2022-07-17
Also published as: EP1543388A1; FR2842625B1; AU2003273454A1; WO2004010233A1

Abstract

La présente invention concerne un procédé d'optimisation d'au moins un paramètre caractéristique d'un système physique (30), dans lequel on crée le modèle (31) dudit système, que l'on simule sous forme de schéma blocs (33) grâce à un logiciel de simulation (32), puis on calcule les dérivées des variables dont on a besoin par rapport au paramètre. On obtient le schéma dérivé du système dans le même logiciel de simulation (32), et on exploite les résultats dans un logiciel d'optimisation (35).

Description

L'invention concerne tout d'abord un procédé d'optimisation d'au moins un

paramètre caractéristique d'un système physique destiné à être soumis à des conditions extérieures variables.

Lorsqu'on est en présence d'un système, on est en général amené à

faire de l'optimisation, de l'identification, de l'analyse de sensibilité des paramètres du système.

Par système, on désigne un ensemble d'éléments formant un tout 10 plus ou moins structuré et remplissant une fonction. Il existe des systèmes physiques de tous types, systèmes mécaniques, biologiques, électriques, chimiques... Un système englobe les éléments que l'on décide d'y incorporer. Par exemple, un système peut être constitué d'une voiture dans son intégralité, ou juste du châssis et des amortisseurs.

Une fois un système défini, on veut en général l'étudier. Il s'agit alors de le modéliser, c'est-à-dire de concevoir un modèle le représentant. Le modèle consiste alors en l'ensemble des équations et des relations servant à représenter et à étudier le système. Grâce au modèle, on peut 20 résoudre un problème dans une branche scientifique différente; par exemple, on peut résoudre un problème mécanique en définissant le modèle mathématique qui le représente et en résolvant ce dernier grâce à des méthodes mathématiques. Dans les équations et relations du modèle apparaissent des variables et des paramètres.

Les variables représentent les grandeurs physiques qui peuvent varier dans le temps et influer (ou non) sur le système. On peut considérer par exemple des variables d'entrée, c'est-à-dire des grandeurs dont on va observer l'effet sur le système. D'autres variables sont des variables de 30 sortie, c'est-à-dire des grandeurs résultant de la réaction du système aux entrées. Une autre variable est le temps. On peut donner l'exemple d'un système constitué uniquement d'un ressort caractérisé par sa constante de raideur k, au bout duquel est accroché un objet de masse m. On peut désirer étudier le résultat sur le système d'un déplacement initial de la 35 masse m. On regarde alors la variable de sortie (position de l'objet) en

fonction de la variable temps.

Les paramètres sont des grandeurs qui lors du fonctionnement du système restent a priori fixes dans le temps, dans une configuration du 40 système donnée. Par exemple, dans le cas du ressort exposé ci-dessus, la

masse m de l'objet et la constante de raideur k du ressort sont des grandeurs fixées avant l'étude du système, par le choix de l'objet et du ressort. Toutefois, la valeur de ces paramètres va avoir une influence sur le comportement du système.

Pour bien comprendre cette notion de variable et de paramètre, on peut décrire un système de tenue de route d'une voiture. On le définit par exemple avec, pour variables, la vitesse du véhicule et l'altitude du bas des roues; on voit bien que ces variables vont varier dans le temps quand la 10 voiture avance. Comme paramètres on peut choisir la distance entre les axes des roues avant et arrière, la longueur de ces axes, le gonflage des pneus; ces paramètres ne vont pas évoluer pendant le temps de l'étude du système (quelques minutes), mais être fixés à l'avance; en revanche ils vont avoir une influence sur le comportement de la voiture. On voit donc 15 bien ici qu'en fonction du choix des paramètres, les variables se comporteront différemment. Notamment si on fait deux études du système à la même vitesse, l'altitude des roues ne sera pas la même en fonction du choix des paramètres auquel il aura été procédé.

L'intérêt de la modélisation est alors de pouvoir "paramétrer" un

système, c'est-à-dire de définir ses paramètres, en fonction de certaines exigences, de certains critères. Par exemple, on peut vouloir paramétrer les amortisseurs d'une voiture de façon à ce que, dans une gamme de contraintes définie, le débattement des amortisseurs soit minimal. On peut 25 aussi, en référence à l'exemple ci-dessus, paramétrer la distance entre les axes des roues avant et arrière, la longueur de ces axes et le gonflage des pneus de façon à avoir une évolution minimale de l'altitude du bas des roues. On définit en général ce qu'on appelle une fonction cot, que l'on souhaite minimiser. Par exemple ici, la fonction cot serait le débattement 30 des amortisseurs dans le premier cas, l'évolution de l'altitude des roues dans le deuxième cas. Revenons à l'exemple simple du ressort. On peut disposer d'une masse fixée, et vouloir paramétrer le ressort, c'est-à-dire définir la valeur de k, de façon à ce que le ressort, après que l'objet a été déplacé et lâché, oscille le moins longtemps possible.

On parle alors d'optimisation. L'optimisation d'un système consiste à trouver le meilleur compromis, c'est-à-dire la meilleure combinaison entre les paramètres du système, permettant d'obtenir les meilleurs résultats par rapport à un objectif et à des contraintes. L'objectif peut être de réduire

au maximum une fonction cot, de maximiser une vitesse,...

On procède à l'optimisation du système en mettant en oeuvre des moyens logiciels. Ces derniers ont en général besoin des dérivées mathématiques des variables de sortie du système en fonction des paramètres, puisque ces dérivées permettent de connaître l'influence d'un paramètre sur le système. En particulier, on sait qu'une fonction est minimale ou maximale quand sa dérivée est nulle.

Il est fréquent, en automatique, qu'un système soit représenté par 10 un "schéma bloc". On dit alors qu'il est modélisé sous forme de schéma bloc. D'une façon générale, un schéma bloc est un schéma constitué de blocs (des rectangles, des triangles,...), reliés entre eux par des traits, les blocs et les traits ayant, selon ce que l'on représente par le schéma bloc, une signification et une fonction particulière. En automatique, chaque trait 15 transporte une variable (d'entrée, de sortie, ou intermédiaire) du système. Lorsque des variables passent dans un bloc, lequel contient une fonction, on obtient en sortie, donc sur le trait à la sortie du bloc, la fonction appliquée aux variables (s'il s'agit d'une fonction de transfert, on obtient en sortie cette fonction multipliée par les variables).

Il existe des logiciels de CAO (Conception Assistée par Ordinateur) en automatique, comme celui de la marque protégée Simulink, qui modélisent et simulent des systèmes grâce à des schémas blocs. On rentre les équations et relations du système et le logiciel fournit le schéma 25 bloc correspondant. Il est de surcroît capable de donner les courbes des

sorties en fonction du temps, en simulant le comportement du système.

Toutefois, lorsque l'on veut faire de l'optimisation, de l'identification, de l'analyse de sensibilité,... il est souvent nécessaire, 30 comme nous l'avons vu, de connaître la dérivée du modèle par rapport aux paramètres. En effet, la dérivée première, voire seconde, est souvent nécessaire aux algorithmes d'optimisation.

Deux solutions sont actuellement à la disposition de l'ingénieur 35 pour calculer cette dérivée. La première consiste à écrire littéralement le système d'équations, puis à l'intégrer formellement lorsqu'une solution analytique existe (ce qui n'est pas toujours le cas), et enfin à dériver la solution obtenue par rapport au paramètre que l'on a choisi. Une telle démarche est toutefois longue et difficile, et ne fournit pas forcément de 40 résultat. De surcroît il faut réduire le système car on ne sait dériver

formellement que les fonctions analytiques, et donc pas les fonctions logiques, hystérésis,... qui sont pourtant répandues dans les problèmes industriels.

Une deuxième méthode est de calculer la dérivée de façon numérique, par différences finies. C'est la méthode la plus utilisée. Si k est le paramètre choisi, on calcule, si l'on veut connaître ce qu'on appelle la dérivée à droite, c(fk+e)-f(k))/, qui est appelé le taux d'accroissement. Cette technique demande de nombreux essais afin de fixer la bonne valeur 10 de l'incrément e du paramètre k, et il n'y a pas de garantie d'obtenir une bonne approximation de la vraie dérivée. En particulier si s est trop grand ou trop petit, la dérivée est fausse. En outre, s'il y a plusieurs paramètres, il est nécessaire d'adapter e à chacun des paramètres. Enfin dans le cas de fonctions hybrides (c'est-à-dire des fonctions par exemple discontinues, 15 discrètes, échantillonnées, logiques,...), il peut y avoir des problèmes de transition (non continuité de la fonction), o la dérivée sera infinie; on a alors une mauvaise dérivée, avec la présence de bruit, et cela ne permet pas d'obtenir le meilleur résultat. Tout cela est vrai pour la dérivée première, mais l'est encore plus pour les dérivées d'ordre supérieur. Ces ordres 20 supérieurs sont d'ailleurs quasiment impossible à calculer de façon numérique.

La présente invention vise à pallier ces inconvénients.

A cet effet la présente invention concerne un procédé

d'optimisation d'au moins un paramètre caractéristique d'un système physique destiné à être soumis à des conditions extérieures variables, dans lequel on modélise le système sous forme de schéma bloc comportant au moins une variable d'entrée, au moins une variable de sortie et au moins un 30 bloc fonctionnel entre les variables d'entrée et de sortie, et dans lequel on construit un schéma bloc dérivé à partir dudit schéma bloc comprenant un bloc dérivé avec en entrée la variable d'entrée et sa dérivée par rapport au paramètre, en sortie la dérivée de la variable de sortie par rapport au paramètre.

Conformément à une autre caractéristique, on construit le schéma bloc dérivé comprenant, en sortie, la variable de sortie et sa dérivée par rapport au paramètre.

De préférence, si le bloc fonctionnel est lui-même constitué de plusieurs blocs fonctionnels, on dérive indépendamment chaque bloc selon le procédé de la présente invention en considérant pour chaque dérivation les variables d'entrée et de sortie du bloc que l'on dérive.

De préférence encore, la variable d'entrée et sa dérivée par rapport au paramètre sont disposées sous forme vectorielle, c'est-à-dire que ce sont des vecteurs de plusieurs variables.

Conformément à une autre caractéristique, dans le cas o la variable de sortie dépend de plusieurs paramètres, on construit un schéma bloc dérivé à partir du schéma bloc de telle façon qu'en mettant en entrée du nouveau schéma bloc la variable d'entrée et ses dérivées par rapport à chaque paramètre, on obtient en sortie les dérivées de la variable de sortie

par rapport à chaque paramètre.

Conformément à une autre caractéristique, dans le cas o ni la variable d'entrée ni le bloc ne dépendent du paramètre, on donne sans calcul la valeur zéro à la dérivée de la variable de sortie par rapport au

paramètre.

La présente invention permet une génération automatique des dérivées partielles par rapport aux paramètres d'un modèle, et cela avec le modèle initial et son modèle dérivé écrits dans le même environnement de 25 simulation de schéma blocs. Ainsi l'analyse du modèle dérivé se fait dans

le même environnement de simulation.

Le schéma bloc comprend les flux des variables ainsi que leurs flux dérivés. On procède à l'analyse du comportement du schéma bloc dérivé de 30 la même façon que pour le schéma bloc initial. On peut donc en particulier

faire l'analyse des modèles initiaux et dérivés en même temps.

Une fois le modèle dérivé généré, il est possible de faire des analyses de sensibilité de paramètres, c'est-à-dire de connaître l'influence 35 des paramètres sur le modèle, ou d'optimiser le système par rapport à un critère, c'est-à-dire, à partir d'une contrainte donnée, de trouver les meilleurs paramètres ou la meilleure combinaison de paramètres permettant de s'approcher au maximum et au plus vite de la contrainte susdite. Il est également possible de résoudre des problèmes de temps 40 minimal et d'énergie minimale, ou encore de tester la cohérence des

schémas blocs. Quoi qu'il en soit on met en oeuvre des logiciels et des algorithmes déjà existants éventuellement intégrés dans la présente invention, et qui utilisent la dérivée formelle obtenue grâce à la présente invention.

L'invention sera mieux comprise grâce à la description suivante

faite en référence aux dessins annexés, sur lesquels: - la figure 1 représente un schéma bloc conforme à l'invention; - la figure 2a représente un schéma bloc dérivé à partir du bloc de la figure 1, par rapport à un paramètre k; - la figure 2b représente un schéma bloc conforme à l'invention dérivé par rapport à deux paramètres k et k'; - la figure 3 représente le schéma bloc dérivé par rapport à un 15 paramètre k, conformément à l'invention, d'un bloc linéaire par rapport à la variable d'entrée u et indépendant du paramètre k; - la figure 4 représente le schéma bloc dérivé par rapport à un paramètre k, conformément à l'invention, d'un bloc linéaire par rapport à la variable d'entrée u; - la figure 5 représente le schéma bloc dérivé par rapport à un paramètre k, conformément à l'invention, d'un bloc contenant une fonction non linéaire par rapport à la variable d'entrée u et définie analytiquement; - la figure 6 représente le schéma bloc d'un commutateur; - la figure 7 représente le schéma bloc dérivé par rapport à un paramètre k, conformément à l'invention, d'un commutateur; - la figure 8 représente le schéma bloc d'une porte ET; - la figure 9 représente le schéma bloc dérivé par rapport à un paramètre k, conformément à l'invention, d'une porte ET; - la figure 10 représente le schéma bloc d'une fonction dont les équations ne sont pas accessibles analytiquement; - la figure 11 représente le schéma bloc dérivé par rapport à un paramètre k, conformément à l'invention, d'une fonction dont les équations ne sont pas accessibles; la figure 12 représente le schéma bloc d'un système d'asservissement en position d'un moteur; - la figure 13 représente le schéma bloc dérivé par rapport à un paramètre kl, conformément à l'invention, d'un système d'asservissement en position d'un moteur; - la figure 14 représente le schéma bloc dérivé par rapport à un paramètre kl, conformément à l'invention, du frottement d'un système d'asservissement en position d'un moteur; - la figure 15 représente le schéma bloc dérivé par rapport à un paramètre kl, conformément à l'invention du gain d'un système d'asservissement en position d'un moteur; - la figure 16 représente le schéma bloc détaillé, dérivé par rapport à un paramètre kl conformément à l'invention, d'un système d'asservissement en position d'un moteur, et la figure 17 représente un organigramme d'un procédé

d'optimisation conformément à la présente invention.

Afin de mettre en oeuvre la présente invention, on commence par construire, grâce à un logiciel de simulation approprié, le schéma bloc du 15 modèle étudié. En référence à la figure 1, on obtient d'une façon générale un bloc B1, dans lequel entre une variable d'entrée u et duquel sort une variable de sortie y.

Les blocs présentent des propriétés structurelles. Chaque bloc est 20 autonome, c'est-à-dire qu'il ne dépend pas de ceux qui sont autour de lui, et est également auto-porteur, c'est-à-dire qu'il ne dépend que de ses variables d'entrée. Cela garantie que l'on peut, afin de dériver l'ensemble du modèle, dériver les blocs du schéma bloc indépendamment les uns des autres.

Considérant que f est la fonction associée au bloc, sa dérivation, si k est un paramètre et u une variable, donne: df(,u(k))/dk = f 'k (k.u(k)) + f 'uk (k.u(k)) * du(k)/dk (1) Dans cette formule classique f 'k (ku(k) représente la dérivée partielle de f par rapport à k, au point de coordonnées (k,u(k)), cette dérivée étant calculée en considérant u(k) constant, c'est-à-dire en fixant u comme ne dépendant pas de k. f 'u(k) (k u(k@) représente la dérivée partielle 35 de f par rapport à u, au point de coordonnées (k,u(k)), k étant considéré

comme fixé.

En application de cette relation et du fait que l'on peut dériver les blocs du schéma bloc indépendamment les uns des autres, pour obtenir le 40 schéma dérivé du modèle par rapport à un paramètre, on ajoute au schéma bloc, en plus des flux des variables, qui sont transportés par les liens entre les blocs, les flux dérivés des variables, c'est-à-dire des liens supplémentaires entre les blocs transportant, en parallèle des flux des variables, les dérivées des variables par rapport à ce paramètre. Par exemple ici, en plus du flux de la variable u, on ajoute son flux dérivé par

rapport à k, du/dk.

De la règle générale, on déduit huit règles de différentiation spécifiques qui seront décrites plus bas pour automatiser le mécanisme de 10 différentiation. L'ensemble de ces règles permet de différentier tous les systèmes modélisés sous forme de schéma bloc. On distingue six règles sur les blocs eux-mêmes (règles qui porteront un code en M (MO, MI, M2,... )) et deux sur les liens entre lesdits blocs (règles qui porteront un code en J (J1 et J2)).

Les exemples supportant les règles donnés ci-après sont construits sur des blocs isolés. On généralise à un schéma bloc contenant une pluralité de blocs en appliquant la propriété citée plus haut, c'est-à-dire en dérivant les blocs indépendamment les uns des autres.

Dériver un bloc consiste, selon la présente invention, à transformer le bloc en un nouveau sous-système, en fonction des règles qui seront énoncées, et à y faire rentrer, systématiquement, le flux de la variable et son flux dérivé. On obtient systématiquement en sortie le flux des variables 25 de sortie, qui n'a pas changé par rapport à celui d'avant la dérivation, puisqu'on obtient les variables de sortie en faisant passer les variables d'entrée dans le bloc initial, qui est présent dans le nouveau sous-système, ce dernier contenant le bloc initial et sa structure dérivée. On obtient aussi le flux dérivé des variables de sortie. Ainsi, lorsque l'on généralise à un 30 schéma bloc comportant une pluralité de blocs, on a toujours en entrée et en sortie de tous les blocs les flux de variables et leur flux dérivé. Ces flux peuvent le cas échéant être nuls.

Dans la suite, nous nommerons schéma bloc dérivé le sous-système 35 obtenu à l'issu de la dérivation, et qui comprend le schéma bloc initial et sa

structure dérivée.

En référence à la figure 2a, on observe la forme générale d'un schéma bloc dérivé. Ainsi à partir d'un bloc BI tel que sur la figure 1, 40 comportant une variable d'entrée u et une variable de sortie y, on construit

le schéma bloc dérivé B2 par rapport au paramètre k en ajoutant en parallèle, comme décrit plus haut, les flux de variables dérivés d'entrée du/dk et de sortie dy/dk. B2 contient le bloc originel B1 (situé entre l'entrée u et la sortie y), ainsi que sa structure dérivée.

La variable u peut être unique. Elle peut être vectorielle. Chaque composante du vecteur est alors une variable. Le flux dérivé de la variable devient un flux dérivé vectoriel, dont chaque composante est le flux dérivé de la variable correspondante dans le vecteur des variables.

Si le système comporte plusieurs paramètres, on procède indépendamment et en parallèle pour chacun des paramètres. Sur le schéma sont mis en parallèles tous les sous-systèmes correspondant aux structures dérivées selon chacun des paramètres. Si l'on reprend l'exemple du bloc B 1 15 de la figure 1, et qu'on désire cette fois dériver le bloc B 1 par rapport à deux paramètres k et k', on obtient le schéma bloc de la figure 2b. Sur ce dernier on voit qu'on met en parallèle en entrée du schéma bloc dérivé B3 le flux de la variable u et ses flux dérivés par rapport aux paramètres k et k', respectivement du/dk et du/dk'. B3 contient le bloc originel B I ainsi que 20 les structures dérivées de BI en fonction de k et k'. On obtient en sortie le flux de la variable de sortie y ainsi que ses flux dérivés par rapport à k et k', respectivement dy/dk et dy/dk'.

Le schéma dérivé a la même structure globale que le schéma initial.

L'emplacement des blocs et les liens entre eux sont les mêmes. Les blocs ne seront plus les mêmes; ce sont en fait des sous-systèmes constitués euxmêmes d'une multiplicité de blocs. Les liens ne contiennent plus uniquement les variables, mais sont constitués de plusieurs liens en parallèle contenant non seulement les flux des variables mais aussi leurs

flux dérivés, un par paramètre choisi.

Les règles permettant de dériver les blocs sont décrites ci-après.

Dans tous les schémas illustrant ces règles, on convient des correspondances suivantes: - k est le paramètre par rapport auquel on veut dériver le modèle, - u correspond au flux de la variable d'entrée du bloc fonctionnel, - du/dk correspond au flux dérivé de la variable d'entrée u par rapport à k, - y correspond au flux de la variable de sortie du bloc fonctionnel, - dy/dk correspond au flux dérivé de la variable de sortie y par rapport àk, - H correspond à la fonction de transfert du bloc et

- f, F sont des fonctions de k et de u.

En outre, par abus de langage et par convention dans les ouvrages,

lorsque la fonction contenue dans un bloc est linéaire par rapport à la variable d'entrée u, c'est-à-dire qu'à u elle associe H*u, avec H ne dépendant pas de u, on dira que la fonction H, ou le bloc H, est linéaire par rapport à u.

Règle Ji: quel que soit le bloc traversé par le flux dérivé,

l'ensemble de ses sorties sera aussi affecté par le flux dérivé.

Autrement dit si le flux dérivé n'est pas nul en entrée, alors cela 20 aura une influence sur la sortie. On obtient en sortie le flux dérivé de la

variable de sortie du bloc par rapport au paramètre.

Quand on connecte les blocs entre eux, les sorties des uns qui sont les entrées des autres dépendent du paramètre, si à la base l'entrée en 25 dépendait, puisqu'on a dérivé successivement chaque bloc par rapport au paramètre. Règle J2: toute entrée d'un bloc non affectée par le flux dérivé

peut être considérée comme une source nulle.

Si un bloc est tel qu'il ne dépend pas du paramètre, et que son entrée ne dépend pas non plus du paramètre, c'est-à-dire que le flux dérivé en entrée est nul, alors le flux dérivé en sortie par rapport au paramètre est forcément nul.

C'est une règle de simplification des schémas, avant même de commencer les calculs. Ainsi de proche en proche, on peut directement mettre comme nuls les flux dérivés, jusqu'à ce qu'un bouclage, un bloc

dépendant du paramètre, un additionneur,... apporte une dépendance visàvis du paramètre. Il est ainsi possible de simplifier de grosses parties du schéma bloc.

En outre cette règle permet de traiter les sources (créneaux,

sinusodes,...). En effet si une source ne dépend pas d'un paramètre, alors pour construire son flux dérivé il suffit de mettre une source nulle, qui enverra un flux nul sur le lien auquel elle est raccordée.

Règle MO: pour calculer la dérivée d'un schéma bloc par rapport à

ses paramètres, l'ensemble des entrées de chacun des sous blocs du schéma originel doit être accessible à chaque instant de la simulation.

Cette règle signifie qu'il faut avoir accès à toutes les variables si 15 l'on veut pouvoir dériver le système avec les règles que nous sommes en

train d'expliciter.

Règle Ml - tout bloc ne dépendant pas du paramètre par rapport auquel on veut dériver et aucune de ses entrées ne transportant le flux 20 dérivé par rapport à ce paramètre, alors le bloc n'apparaît pas dans le

schéma bloc dérivé.

Ainsi on n'a dans le schéma bloc dérivé que le bloc de départ, les flux dérivés entrant et sortant étant nuls (on peut les visualiser par des

liens, ces derniers transportant un flux nul).

- en référence à la figure 3, dans le cas o le bloc ne dépend pas du paramètre mais o le flux dérivé est non nul, alors on recopie le bloc dans la transmittance dérivée s'il est linéaire par rapport à la

variable d'entrée.

On entend par transmittance dérivée la structure dérivée du schéma

bloc dérivé.

Autrement dit, si le bloc fonctionnel représente une fonction G linéaire par rapport à la variable d'entrée u et ne dépendant pas du paramètre k par rapport auquel on veut dériver, on construit le schéma bloc dérivé de la figure 3 de la façon suivante: en entrée la variable d'entrée u entre dans ledit bloc fonctionnel G duquel sort la variable de sortie y,

tandis que la dérivée du/dk de la variable d'entrée u entre également dans le bloc fonctionnel G, ou une copie de ce bloc, duquel sort la dérivée dy/dk de la variable de sortie y par rapport au paramètre k.

Règle M2: pour tout bloc linéaire par rapport à la variable d'entrée,

dépendant du paramètre et dont le flux dérivé est non nul, on construit le schéma indiqué sur la figure 4.

Autrement dit, si le bloc fonctionnel représente une fonction H 10 linéaire par rapport à la variable d'entrée u et dépendant du paramètre k, on construit un schéma bloc dérivé tel que celui de la figure 4 comprenant: un bloc dérivé représentant la dérivée dWdk de la fonction H par rapport au paramètre, ledit bloc comprenant en entrée la variable d'entrée u et dont la variable de sortie ui est additionnée à la variable u2 pour obtenir la dérivée 15 dy/dk de la variable de sortie y du schéma bloc par rapport au paramètre k, la variable u2 étant le résultat du passage de la dérivée du/dk de la variable d'entrée u par rapport au paramètre k dans le bloc fonctionnel H ou une copie de ce dernier.

On note que la construction de ce schéma se fait en application de

la formule (1) de dérivation énoncée plus haut.

En effet on a ici y = H * u La formule donne df(k, u(k))/dk =f 'k(k (k.) + f 'u(k) (k, u(k) * du(k)/dk Donc ici on a: dy/dk = u * dH/dk + H * du/dk

Et c'est bien ce qu'on lit sur le schéma.

On peut noter que la règle Ml est en fait une simplification de la

règle M2.

Règle M3: pour tout bloc non linéaire par rapport à la variable d'entrée et défini analytiquement, on construit le bloc dérivé tel que représenté sur la figure 5.

Une fonction F est définie analytiquement lorsqu'une une formule

la décrit. On peut connaître sa dérivée par exemple par un logiciel de calcul formel.

Ainsi dans la figure 5, on applique à l'entrée du multiplexeur 1 les flux de variable u et de variable dérivée du/dk qui les met sous forme de vecteur. A sa sortie, on a donc à disposition ces deux flux de données. On les applique aux fonctions qui ont été calculées dans le bloc en connectant ce dernier à un logiciel de calcul formel. Autrement dit on a, grâce à un logiciel de calcul formel, calculé les dérivées partielles de F par rapport à u et k, respectivement ÈF/ôu et ÈF/ôk. On applique ces dernières à la variable u, k étant fixé, et on multiplie 5F/ôu par du/dk, que l'on a à disposition. On obtient bien en sortie le flux dérivé

dy/dk=ôF/ak+aF/ou*du/dk.

Règle M4: pour un bloc conditionnel (commutateur, hystérésis,...) qui représente une fonction définie par morceaux, on conserve les mêmes tests sur l'état originel et on dérive les actions. Ainsi la condition reste telle qu'elle était dans le schéma bloc

originel, tandis que l'action faite sera dérivée par rapport au paramètre.

Autrement dit le bloc fonctionnel représentant une fonction 20 conditionnelle, c'est-à-dire comportant une variable de commande commandant au moins deux variables, on construit un schéma dérivé comportant la même fonction, comprenant en entrée la même commande et les dérivées des variables par rapport au paramètre, en sortie les variables de sortie dérivées par rapport au paramètre, la dérivée de la variable de

commande étant laissée inutilisée.

La figure 6 montre un bloc dit commutateur. Ce dernier est donc de type conditionnel. Il comporte trois entrées: ul, u2 et v. La condition porte sur la variable v, qui est un signal de déclenchement, ou commande; en 30 fonction des valeurs de v, le commutateur est en position haute ou basse, et

on a en sortie soit ul soit u2, qui sont les variables.

Le schéma bloc dérivé du commutateur de la figure 6 est donné sur la figure 7. Conformément à la règle M4, on voit que la structure dérivée 35 du bloc dérivé est le même commutateur que celui du bloc de la figure 6. La condition porte encore sur la variable v, mais cette fois ci on met en entrée, respectivement à la place de ul et u2, dul/dk et du2/dk. On obtient donc en sortie, selon les mêmes conditions, une position haute ou basse, c'est-à-dire respectivement dul/dk ou du2/dk. Le flux dérivé de v, dv/dk,

est mis dans une sorte de masse 10, comparable à la masse en électricité, c'est-à-dire qu'il n'est pas utilisé, puisque les conditions ne sont pas dérivées.

On peut également prendre l'exemple d'une porte "ET" (le "et"

logique). Ce bloc, tel qu'on le voit sur la figure 8, est une porte logique qui fonctionne avec deux conditions ui et u2, fonctionnant sur deux niveaux logiques, par exemple 0 et 1. Si ul et u2 sont à 1, alors la sortie y vaut 1. Sinon, elle est à 0. La structure dérivée d'une telle porte est, d'après la règle 10 M4, celle donnée dans la figure 9. Ainsi les flux dérivés dul/dk et du2/dk sont envoyés dans deux masses 11 et 12, tandis que la sortie dy/dk est toujours nulle, sortant d'une source nulle 20.

Règle M5: lorsque les équations du bloc ne sont pas accessibles, 15 on différentie le bloc localement par la méthode des différences finies sur le paramètre et son entrée. On l'applique de la même manière sur les blocs contenant des fonctions d'interpolation ID, 2D, nD.

S'il n'est pas possible de déterminer graphiquement la dérivée du 20 bloc en question, on fait appel à une méthode numérique, ici la différentiation par différence finie. L'intérêt est que l'on peut n'utiliser cette méthode que sur un bloc, puisque la dérivation se fait indépendamment sur chaque bloc du schéma bloc total. Ainsi on réduit l'utilisation d'une méthode numérique aux blocs pour lesquels on ne peut pas faire autrement.

En pratique, pour une fonction f(k,u) telle que sur la figure 10, la présente invention fournit la dérivé numérique en calculant les différences finies selon le schéma de la figure 1 1. L'utilisateur règle les incréments sU et le Fk en fonction de sa connaissance de la fonction. Ensuite, comme on le voit, la structure dérivée calcule la somme suivante: (f(k,u+pu) + f(k,u))/ su * du/dk + (f(k+sk)-f(k,u))/ 8k Pour un su et un 8k bien choisis, cette formule fournit une approximation numérique de:

f 'u (k, u(k)) * du(k)/dk + f 'k(k, u(k) = df(k, u(k))/dk.

On obtient donc bien en sortie une approximation numérique de dy/dk. Grâce aux règles il est donc possible de calculer la dérivée, formelle ou en partie formelle, de tout schéma bloc.

On peut en outre appliquer ces règles autant de fois qu'on le souhaite afin d'obtenir les dérivées secondes, troisièmes,... Il suffit par exemple, pour obtenir la dérivée seconde, de dériver, en appliquant les 10 règles susdites, le schéma bloc dérivé. On obtient alors un nouveau schéma bloc, qui est le schéma bloc dérivé second. De façon récurrente, pour obtenir une dérivée d'un ordre n, on dérive le schéma bloc dérivé à l'ordre n-i.

A titre d'illustration on décrit ci-après un exemple de dérivation

d'un modèle.

Il s'agit du modèle d'un moteur asservi en position grâce au couple.

Les asservissements en position sont très fréquents dans tous les domaines 20 de l'industrie o l'on doit piloter, gouverner des mécanismes mettant en jeu des moteurs. A titre d'exemple on peut citer les grues, les ergonomètres, les ascenseurs, les supports de roquettes dans les hélicoptères, les gouvernes d'engins volants,... qui utilisent tous de tels asservissements. Par exemple, dans le cas des gouvernes, on doit conserver la gouverne dans une certaine 25 position, c'est-à-dire faisant un certain angle avec le plan horizontal, alors même qu'elle est exposée à des forces de pression en raison des mouvements de l'engin volant; l'asservissement permet alors de corriger les éventuels déplacements de la gouverne.

Le principe, simplifié, est le suivant. On désire asservir la position angulaire d'un moteur qui développe un couple C proportionnel à l'écart entre l'angle de consigne O, et l'angle de sortie OS: 0= Oc Os La charge du moteur est constituée d'une inertie I et d'un couple C de frottement résistant constant et de signe opposé à la vitesse

C = -tanh(kl*0)*C0 avec CO l'amplitude du frottement, kl un 40 paramètre empirique et tanh, la représentation de la tangente hyperbolique.

L'équation de ce moteur est représentée par: I-CO *tanh(kl*O)+K* =O 0 Et à t=0

( ) = 00

0(0) = 0

O 0 est l'écart Oc- 0, Le schéma bloc de l'asservissement est illustré par l'interface graphique de la figure 12. Ce schéma bloc comprend, en série, une source 10 de l'angle de consigne 40, un premier additionneur 41, un premier gain 42, un second additionneur 43, un second gain 44, deux diviseurs 45, 46, un bloc contenant l'angle de sortie 48, ce dernier visualisé sur un graphique 49, une première boucle entre la sortie du second diviseur 46 et l'entrée du premier additionneur 41, et une seconde boucle entre la sortie du premier 15 diviseur 45 et l'entrée du second diviseur 43 comportant un bloc

fonctionnel 47 représentant le frottement.

Les paramètres sont les suivants: - K, gain réglant la dynamique du moteur (puissance du moteur), - 1, inertie du moteur, - CO, amplitude du couple exercé par le moteur et

- ki, valeur déterminée empiriquement.

On applique alors sur le schéma l'ensemble des règles suscitées, afin d'obtenir le schéma bloc dérivé, ici selon le paramètre kl, de la figure 13. Sur ce dernier, on retrouve bien la même structure globale pour le schéma dérivé et le schéma initial. L'emplacement des blocs et les liens entre eux sont les mêmes. Cependant les blocs ne sont plus les mêmes, ce 30 sont en fait les blocs dérivés, et les liens ne contiennent plus uniquement les variables 50, mais sont constitués de plusieurs liens en parallèle contenant non seulement les flux des variables 50 mais aussi leurs flux dérivés 51 par rapport au paramètre kl. On retrouve donc en série sur la figure 13 un bloc 40' source de l'angle de consigne et de son flux dérivé par rapport à kl, le bloc dérivé 41' du premier additionneur 41, le bloc dérivé 42' du premier gain 42, le bloc dérivé 43' du second additionneur 43, le bloc dérivé 44' du second gain 44, les blocs dérivés 45', 46' des deux diviseurs 45, 46, respectivement, un bloc 48' contenant l'angle de sortie et son flux dérivé par rapport au paramètre kl, ces derniers visualisés sur des graphiques 49, 49', respectivement, une première boucle entre la sortie du bloc dérivé 46' du second diviseur 46 et l'entrée du bloc dérivé 41' du premier additionneur 41, et une seconde boucle entre la sortie du bloc 10 dérivé 45' du premier diviseur 45 et l'entrée du bloc dérivé 43' du second diviseur 43 comportant le bloc dérivé 47' du bloc fonctionnel 47 représentant le frottement. On ne détaille pas les notations graphiques de ce schéma, qui ne 15 sont que l'aspect que le concepteur a voulu leur donner, mais n'apportent en rien à la compréhension de l'invention. Il convient juste ici de comparer le schéma de la figure 12 avec celui de la figure 13, et de voir qu'à chaque bloc de la figure 12 correspond un bloc (dont on ne voit pas la structure) sur la figure 13, et que tous les liens entre les blocs sont doublés sur la 20 figure 13 par rapport à la figure 12, puisque chaque flux de variable 50 est

augmenté de son flux dérivé 51.

A titre d'exemple on analyse deux des blocs dérivés, afin de

reconnaître dans leur conception deux des règles explicitées plus haut.

Sur la figure 14 on voit le schéma bloc dérivé 47' du bloc 47 intitulé "frottement" sur la figure 12. Ce bloc est orienté dans le sens opposé de son sens de la figure 13 pour des raisons de lisibilité, mais cela est équivalent dans la mesure o ce qui est important est le sens relatif des 30 flèches par rapport à la place des variables et des blocs. On retrouve bien la présence du flux de variable 50 et du flux de variable dérivée 51 par rapport au paramètre kl. Cette figure 14 illustre directement la règle M3, qui prône, lorsque l'on a une fonction analytique, de calculer dy/dk=DF/ak+bF/au*du/dk. Il y a d'ailleurs une parfaite analogie entre la 35 figure 5 et la figure 14, le bloc 61 représentant le multiplexeur 1 de la figure 5. Ici on a F(kl,u(1))=-Co*tanh(kl*u(1)), et du(1)/dkl=u(2), d'o la formule obtenue dans le bloc 60.

Sur la figure 15 on voit le schéma bloc dérivé 42' du bloc 42 40 représentant un gain sur la figure 12. Cela illustre la règle Ml et en particulier la figure 3, traitant de la dérivation d'un bloc linéaire par rapport à sa variable d'entrée, ne dépendant pas du paramètre mais o le flux dérivé est non nul. On retrouve bien le flux de variable 50 et le flux de variable dérivée 51 par rapport au paramètre kl, et la présence de deux blocs de gain 42, 62, qui correspondent au même gain.

Les exemples pourraient être multipliés, mais il sera seulement proposé en guise d'application des règles le schéma bloc dérivé selon kl complet tel qu'on le voit sur la figure 16. Chaque sous-système dérivé est 10 ici développé. On peut noter que de cette façon on a accès à tous les flux dérivés 51 du modèle. On retrouve bien les blocs initiaux 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, ainsi que le flux de variable 50 et son flux dérivé 51. On a ici le détail de la construction des blocs 40', 41', 42', 43', 44', 45', 46', 47', 48' et 49', que nous n'expliciterons pas par souci de concision de 15 l'exposé, la description faite avant étant largement suffisante à la compréhension de la figure 16. On notera juste la présence des blocs 70 et 71, représentant ici la fonction nulle, ce qui n'est pas vrai en général, qui relient le flux de variable 50 au flux dérivé 51, conformément aux besoins des règles de dérivation.

Il est possible de mener la même étude selon plusieurs paramètres, comme déclaré plus haut. Cela augmente le nombre de flux d'un à chaque fois, et la complexité des sous-systèmes.

Enfin en référence à la figure 17, on décrit un procédé simplifié

d'optimisation conformément à la présente invention. Le but est d'optimiser un système physique 30. Pour ce faire, on commence par créer le modèle 31 dudit système physique 30, que l'on simule alors sous forme de schéma blocs grâce à un logiciel de simulation 32. Le passage d'un 30 système physique 30 à sa modélisation sous forme de schéma bloc est bien connu de l'homme du métier. On calcule alors les dérivées dont on a besoin grâce à la présente invention 33. Cela se fait en référence à la description qui vient d'être faite. On obtient le schéma dérivé du système dans le même logiciel de simulation 32. On exploite les résultats dans un logiciel 35 d'optimisation 34. Ces logiciels sont bien connus de l'homme du métier. Ils permettent notamment de faire le choix des paramètres les plus influents sur le système grâce à une étude de sensibilité; ils permettent aussi de construire un critère, pour l'optimisation, grâce à une étude de sensibilité du critère; ils permettent enfin l'optimisation, c'est-à-dire le 40 choix, une fois le critère établi et les paramètres choisis, des valeurs

possibles des paramètres pour satisfaire au mieux au critère. Quoi qu'il en soit ces étapes sont déjà connues de l'homme du métier, qui les intègre au procédé d'optimisation de la présente invention.

Claims

REVENDICATIONS

1. Procédé d'optimisation d'au moins un paramètre (k) caractéristique d'un système physique destiné à être soumis à des conditions extérieures variables, dans lequel on modélise le système sous forme de schéma bloc comportant au moins une variable d'entrée (u), au moins une variable de sortie (y) et au moins un bloc fonctionnel (B 1) entre les variables d'entrée (u) et de sortie (y), et dans lequel on construit un schéma bloc dérivé à partir dudit schéma bloc (B1) comprenant un bloc 10 dérivé (B2) avec en entrée la variable d'entrée (u) et sa dérivée par rapport au paramètre (du/dk), en sortie la dérivée (dy/dk) de la variable de sortie

(y) par rapport au paramètre (k).

2. Procédé selon la revendication 1, dans lequel le schéma bloc 15 dérivé comprend, en sortie, la variable de sortie (y) et sa dérivée (dy/dk)

par rapport au paramètre (k).

3. Procédé selon l'une des revendications 1 ou 2, dans lequel le schéma bloc comprenant plusieurs blocs fonctionnels, on construit 20 indépendamment chaque bloc dérivé selon le procédé de la revendication 1 en considérant pour chaque dérivation les variables d'entrée et de sortie du bloc que l'on dérive.

4. Procédé selon l'une des revendications 1 à 3, dans lequel la 25 variable d'entrée (u) et sa dérivée par rapport au paramètre (k) se

présentent sous forme vectorielle.

5. Procédé selon l'une des revendications 1 à 4, dans lequel la variable de sortie (y) dépendant de plusieurs paramètres (k), (k') on 30 construit un schéma bloc dérivé à partir du schéma bloc de telle façon qu'en mettant en entrée du nouveau schéma bloc la variable d'entrée (u) et ses dérivées (du/dk, du/dk') par rapport à chaque paramètre (k), (k'), on obtient en sortie les dérivées (dy/dk, dy/dk') de la variable de sortie (y) par rapport à chaque paramètre (k), (k').

6. Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, dans lequel la variable d'entrée (u) et le bloc (B1) ne dépendant pas du paramètre (k), on donne sans calcul la valeur zéro à la dérivée (dy/dk) de la variable de sortie

(y) par rapport au paramètre (k).

7. Procédé selon les revendications 3 et 6, dans lequel on donne la valeur zéro à la dérivée (dy/dk) de la variable de sortie (y) de chaque bloc rencontré jusqu'à ce qu'on rencontre une dépendance vis-à-vis du

paramètre (k).

8. Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, dans lequel le bloc fonctionnel (B1) représentant une fonction (G) linéaire par rapport à la variable d'entrée (u) et ne dépendant pas du paramètre (k), on construit le 10 schéma bloc dérivé avec, en entrée, la variable d'entrée (u) dans ledit bloc fonctionnel (B 1) duquel sort la variable de sortie (y), et la dérivée (du/dk) de la variable d'entrée (u) dans le bloc fonctionnel (B 1) , ou une copie de ce bloc, duquel sort la dérivée (dy/dk) de la variable de sortie (y) par rapport au paramètre (k).

9. Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, dans lequel le bloc fonctionnel (B 1) représentant une fonction (H) linéaire par rapport à la variable d'entrée (u) et dépendant du paramètre (k), on construit un schéma bloc dérivé comprenant un bloc dérivé représentant la dérivée (dHldk) de 20 la fonction (H) par rapport au paramètre (k), ledit bloc comprenant en entrée la variable d'entrée (u) et dont la variable de sortie (ul) est additionnée à la variable (u2) pour obtenir la dérivée (dy/dk) de la variable de sortie (y) du schéma bloc par rapport au paramètre (k), la variable (u2) étant le résultat du passage de la dérivée (du/dk) de la variable d'entrée (u) 25 par rapport au paramètre (k) dans le bloc fonctionnel (B 1) ou une copie de

ce dernier.

10. Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, dans lequel le bloc fonctionnel représentant une fonction (F) non linéaire par rapport à la 30 variable d'entrée (u) et définie analytiquement, on construit un schéma dérivé comprenant un bloc représentant une fonction qui calcule la somme de la dérivée partielle (ôF/ôk) de la fonction (F) par rapport au paramètre

(k) et de la dérivée partielle (aF/ou) de la fonction (F) par rapport à la variable (u), cette dernière dérivée étant multipliée par la dérivée (du/dk) 35 de la variable (u) par rapport au paramètre (k), ledit bloc comprenant en entrée la variable d'entrée (u) et sa dérivée (du/dk) par rapport au paramètre (k), en sortie la dérivée (dy/dk) de la variable de sortie (y) par rapport au paramètre (k).

11. Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, dans lequel le bloc fonctionnel (B 1) représentant une fonction conditionnelle, c'est-à-dire comportant au moins une variable de commande commandant éventuellement des variables continues, on construit un schéma dérivé

comportant la même fonction, comprenant en entrée la même commande et éventuellement les dérivées des variables par rapport au paramètre, en sortie les variables de sortie dérivées par rapport au paramètre (k), la dérivée de la variable de commande étant laissée inutilisée.

12. Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, dans lequel si le

bloc fonctionnel (B1) est tel qu'on ne puisse pas calculer sa dérivée, alors on calcule la dérivée de la variable de sortie de façon numérique.

13. Procédé selon la revendication 12, dans lequel on calcule la

dérivée de la variable de sortie grâce à la méthode des différence finies.

14. Procédé d'optimisation dans lequel on calcule la dérivée seconde d'une variable de sortie par rapport à un paramètre en appliquant une première fois le procédé de la revendication 1 au schéma bloc, puis

une deuxième fois au schéma bloc dérivé obtenu.

15. Procédé d'optimisation selon la revendication 1, dans lequel, après avoir construit le schéma bloc dérivé (33), on lui applique un logiciel de simulation (32) puis dans un logiciel d'optimisation (34).

16. Procédé d'optimisation selon la revendication 15, dans lequel le même logiciel de simulation (32) est appliqué au schéma bloc dérivé (33) et au système pour le modéliser sous forme de schéma bloc.

17. Système permettant la mise en oeuvre du procédé, de la revendication 1, d'optimisation d'un paramètre (kl) d'un système d'asservissement d'un moteur selon la revendication 1, dans lequel on schéma bloc du système comportant un flux de variable (50) avec en série l'angle de consigne (40) , un premier additionneur (41), un premier gain 35 (42), un second additionneur (43), un second gain (44), deux diviseurs (45), (46), l'angle de sortie (48), ce dernier visualisé sur un graphique (49), une première boucle entre la sortie du second diviseur (46) et l'entrée du premier additionneur (41), et une seconde boucle entre la sortie du premier diviseur (45) et l'entrée du second diviseur (43) comportant un bloc 40 fonctionnel (47) représentant le frottement, on construit un schéma bloc dérivé comportant un flux de variable (50) et son flux dérivé (51) par rapport au paramètre (kl), avec en série un bloc (40') fournissant l'angle de consigne et son flux dérivé par rapport au paramètre (kl), le bloc dérivé (41') du premier additionneur (41), le bloc dérivé (42') du premier gain (42), le bloc dérivé (43') du second additionneur (43), le bloc dérivé (44') du second gain (44), les blocs dérivés (45'), (46') des deux diviseurs (45),

(46), respectivement, le bloc dérivé (48') de l'angle de sortie (48), contenant l'angle de sortie et son flux dérivé par rapport au paramètre (kl), ces derniers visualisés sur des graphiques (49), (49'), respectivement, une 10 première boucle entre la sortie du bloc dérivé (46') du second diviseur (46) et l'entrée du bloc dérivé (41') du premier additionneur (41), et une seconde boucle entre la sortie du bloc dérivé (45') du premier diviseur (45) et l'entrée du bloc dérivé (43') du second diviseur (43) comportant le bloc dérivé (47') du bloc fonctionnel (47) représentant le frottement.

18. Système permettant la mise en oeuvre du procédé de la revendication 1, dans lequel à partir d'un schéma bloc contenant un flux de variable (50) et des blocs (40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48), on construit un schéma bloc dérivé comportant le flux de variable 50 et son flux de 20 variable 51, les blocs susdits et des blocs (70, 71) reliant le flux de variable

(50) et son flux dérivé (51).