FR2691598A1 - Procédé de démodulation de signal à modulation numérique, à recherche de maximum de vraisemblance de perturbations. - Google Patents

Abstract

Pour moduler un signal à modulation numérique d'une porteuse, transmis sur un canal introduisant une perturbation représentable par un modèle mathématique, on recherche la phase d'horloge d'échantillonnage optimal des bits de symbole. On estime ensuite plusieurs séquences de bits plausibles de même longueur déterminée (L) par une première estimation, lesdites séquences constituant une arborescence à partir d'une même racine; on reconstitue les perturbations qui donneraient naissance à chaque séquence estimée et on les compare au modèle; et on retient celle des séquences qui ressemble le plus audit modèle.

Description

PROCEDE DE DEMODULATION DE SIGNAL A MODULATION NUMERIQUE,
A RECHERCHE DE MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE DE PERTURBATIONS
La présente invention concerne les procédés de démodulation d'un signal à modulation numérique d'une porteuse, linéaire ou linéarisable par filtrage, transmis sur un canal qui n'introduit que des perturbations représentables par un modèle, telles qu'un évanouissement non sélectif et/ou un bruit additif, procédés du type suivant lequel on recherche la phase d'horloge d'échantillonnage optimal des bits de symbole et la séquence de symbole la plus vraisemblable.

L'invention est notamment utilisable dans le cas d'un canal présentant un évanouissement non sélectif représentable par une loi de Rayleigh ou de Rice et/ou un bruit blanc additif, gaussien en général.

On connaît déjà des procédés de démodulation quasicohérente du type ci-dessus définis, qui impliquent d'une part l'estimation de la phase de la porteuse et de l'optimum de l'instant d'échantillonnage ou de décision (représenté par la phase de l'horloge de rythme d'échantillonnage) et d'autre part la sélection de celle des séquences de bits émis qui, une fois transformée en fonction des caractéristiques estimées du canal, ressemble le plus à la séquence effectivement reçue.

Deux modes de mise en oeuvre de cette solution classique ont déjà été proposés.

Dans l'un, on estime séparément les paramètres de phase de porteuse et les instants de décision pour la séquence de symboles émis. Pour cela on constitue des estimateurs de la phase de la porteuse et de l'instant optimum de décision, puis on choisit la séquence de symboles émis en applicant le critère de maximum de vraisemblance, c'est-à-dire la séquence qui rend maximale la densité de probabilité p (x/Ca,)) (1) où x représente le signal reçu x(t), et {ak} est la séquence de bits émis estimée.

Ce mode de mise en oeuvre est simple, mais sousoptimal. Ses performances dépendent beaucoup de la qualité et de la fiabilité des estimateurs de phase. Or, dans un canal affecté d'évanouissement ou "fading" non sélectif, il est difficile de trouver un compromis satisfaisant en ce qui concerne le filtrage de l'estimateur de la phase de la porteuse. En effet ce filtrage
- doit être à bande suffisamment large pour suivre les variations de phase dues à l'évanouissement,
- doit être à bande suffisamment étroite pour éliminer les effets du bruit blanc additif, généralement gaussien.

Dans un autre mode de réalisation, on estime conjointement tous les paramètres de façon à rendre maximum la densité de probabilité

où g est la phase de la porteuse, a est la phase de l'instant de décision, c'est-à-dire de l'horloge de rythme à la réception.

Cette solution conduit en pratique à des solutions qui deviennent rapidement trop complexes pour être réalisables.

La présente invention vise à fournir un procédé de démodulation du type ci-dessus défini, répondant mieux que ceux antérieurement connus aux exigences de la pratique, notamment en ce qu'il écarte les inconvénients respectifs des diverses solutions ci-dessus basées sur la recherche directe du signal optimum (complexité excessive dans le cas d'une estimation conjointe de tous les paramètres, performances insuffisantes dans le cas de la mise en oeuvre en deux étapes).

Dans ce but l'invention propose notamment un procédé caractérisé en ce que : on constitue plusieurs séquences de bits plausibles, de même longueur déterminée, par une première estimation, lesdites séquences constituant une arborescence à partir d'une même racine ; on reconstitue les perturbations qui donneraient naissance à chaque séquence estimée et on les compare au modèle ; et on retient celle des séquences pour laquelle les perturbations effectives ressemblent le plus audit modèle.

La mise en oeuvre du procédé ci-dessus nécessite une mémoire de démodulateur qui, en l'absence de mesures de réduction, croîtrait de façon exponentielle en fonction du nombre de bits de la séquence à démoduler, c'est-à-dire de la longueur de l'arborescence. Or cette séquence doit être choisie de façon à correspondre à une durée compatible avec la fonction d'autocorrélation du modèle. Dans beaucoup de cas, on arriverait à un nombre de bits tellement élevé que le démodulateur serait dans la pratique irréalisable. Mais on peut écarter ce défaut en limitant la largeur de l'arborescence par suppression de branches ayant une vraisemblance minimale, par exemple par suppression de la moitié des branches sur une longueur déterminée qui peut être la longueur de l'arborescence.

L'invention sera mieux comprise à la lecture de la description qui suit de modes particuliers de réalisation, donnés à titre d'exemples non limitatifs. La description se réfère aux dessins qui l'accompagnent, dans lesquels
- la figure 1 est un schéma de principe montrant la génération de l'arborescence de décodage, dans un cas particulier correspondant à une largeur L = 8
- la figure 2 est un synoptique de démodulation séquentielle arborescente montrant les opérations effectuées sur le signal reçu
- la figure 3 est un synoptique de principe montrant une constitution matérielle possible d'un démodulateur.

Avant de définir en détail des modes de mise en oeuvre correspondant à des modèles particuliers, on décrira les caractéristiques de principe du procédé suivant l'invention. Pour cela on utilisera la notation suivante 5k : séquence de bits du signal en bande de base émis,
échantillonnée à la période de bit Tb ; AkJ : séquence représentant l'évanouissement ou "fading",
supposé échantillonné à la période Tb ;
Rk : échantillon de signal reçu à un instant donné k, en
représentation complexe en bande de base
Bk : échantillon de bruit purement additif, à l'instant
k.

Le signal reçu Rk peut alors être représenté par
Rk = Sk Ak Ak + Bk (3)
La démodulation impliquera de faire plusieurs suppositions concernant la séquence de bits émise et de choisir parmi elles. Pour chacune de ces séquences supposées {Ck}, on désignera par H({Ck}) le signal de réception reconstitué correspondant et par Hk la version échantillonnée de H.On peut alors écrire la formule (3) sous la forme Rk Sk Ak Ak Bk
= + + (4)
Hk Hk Hk
Pour celle des séquences supposées Ck1 qui est identique à la séquence {Sk} effectivement émise, la formule (4) devient Rk ~ = Ak + B'k (5) Hk
On voit que la quantité R'k fournie par la formule (5) constitue une reconstitution de l'évanouissement Ak affecté d'un bruit B k = Bk/Hk.

On sait que pour beaucoup de canaux de transmission, il existe des modèles mathématiques fiables de l'évanouissement permettant de définir la vraisemblance de l'évanouissement par une densité de probabilité p( Ak/Hk).

Dans le cas par exemple d'un canal de Rayleigh, le modèle de l'évanouissement est constitué par une fonction gaussienne complexe, ayant des variables réelles et imaginaires gaussiennes indépendantes, centrées et de même variance unitaire, la fonction a une matrice de covariance r connue. La vraisemblance p de l'affaiblissement est alors

où R' est le vecteur des échantillons de signal R/H, R' est la conjuguée de R' et Rit la transposée de R'.

On choisit alors, comme séquence effectivement émise, celle qui maximise p dans la formule (6), c'est-àdire celle qui minimise Rit . r-l . R'*
La séquence CA,) dépend du modèle d'évanouissement choisi. Dans le cas d'une transmission sur réseau terrestre, un modèle de Rayleigh donne généralement un résultat satisfaisant. En revanche, dans le cas d'un canal satellite, il sera souvent nécessaire d'utiliser un modèle de Rice, qui constitue une généralisation du modèle de
Rayleigh.

Dans le cas d'un canal de Rayleigh, la loi de probabilité sur l'amplitude peut s'écrire sous la forme
r p(r) = 2 exp (-r / 22) (7) #
Cette loi d'affaiblissement peut être représentée en utilisant deux variables complexes gaussiennes et indépendantes, avec une même variance unitaire 2.

L'évanouissement peut alors être représenté par une variable complexe gaussienne, centrée sur les deux axes, autorisant l'emploi de la formule (6) ci-dessus.

Dans le cas d'un canal de Rice, il est nécessaire de faire intervenir deux variables aléatoires X et Y gaussiennes, indépendantes et de même variance a2, la variable Y étant centrée tandis que la variable X a une valeur moyenne a positive.

La loi de probabilité conjointe p(r,0) des variables(module R et phase6)s'écrit alors, en coordonnées polaires p(r,0) = (r/2no2). exp(-(r2-2ar cos e + a2) / 2a2] (8)
La formule (7) devient alors, en ce qui concerne la probabilité : p(r) = (r/a2). exp(-(r2+a2) / 2a2i . I,(ar/a2) (9) où 1o est la fonction de Bessel d'ordre zéro.

La probabilité sur la phase 0 , obtenue par intégration de la formule (8), est de son côté

(a2cos2e/2a2)+El+erf(a.cose/a #2)]]
Le signal complexe bidimensionnel représentant l'évanouissement reste gaussien, de sorte que le calcul de la vraisemblance n'est pas fondamentalement modifié. La valeur de la vraisemblance devient, en tenant compte de ce que la moyenne du signal complexe n'est plus nulle

où mA est la moyenne du signal complexe représentant l'évanouissement, que l'on peut se fixer a priori à partir de la connaissance des caractéristiques du canal.

Comme on l'a indiqué plus haut, la mise en oeuvre du procédé suivant l'invention nécessiterait, en l'absence de troncature et de simplification, une mémoire dont la capacité augmente en progression géométrique avec le nombre de bits de la séquence à démoduler.

On peut cependant obtenir des performances satisfaisantes avec un volume de mémoire acceptable en limitant la profondeur P de calcul de la vraisemblance p et également la largeur L de l'arborescence (L étant indépendant de P mais borné à 2P ). Pour cela, on peut éliminer à chaque étape de démodulation, c'est-à-dire à chaque arrivée d'un bit supplémentaire, les séquences Hk constituant les hypothèses les moins vraisemblables.

La figure 1 montre, à titre d'exemple, une arborescence limitée à P=4 bits de longueur. Ainsi, à partir d'une racine donnée (égale à un 1 dans le cas représenté) on crée huit séquences de bits hypothèses, chaque séquence ayant quatre bits.

Lors de l'échantillonnage suivant, on génère 2L hypothèses, Hi' et Hui", avec iE(O,7). Hi' et Hi" peuvent s'écrire:

Un premier mode possible d'élagage consiste à imposer la contrainte que toutes les hypothèses convergent en une seule racine. On calcule alors les vraisemblances de chaque hypothèse, c'est-à-dire de chacune des séquences, dont le nombre maximum est 2L pour L chemins. On retient la meilleure hypothèse, correspondant à la vraisemblance la plus élevée, et on remonte dans l'arborescence jusqu'à la racine qui donne le bit démodulé. Puis, s'il existe une autre branche partant de cette racine, on l'élimine ainsi que toutes celles qui lui sont raccordées.

On ne conserve ainsi que L plus grandes vraisemblances au maximum.

Un autre mode d'élagage part de l'hypothèse que tous les chemins sont indépendants : on calcule alors les 2L vraisemblances et on ne conserve que les L chemins dont la vraisemblance est supérieure à celle des L autres chemins.

De plus, dans les deux cas, on extrait la racine, qui devient le bit démodulé et qui peut ensuite être effacé de la mémoire.

Le schéma de la figure 1 serait à adapter dans le cas d'une information non plus binaire, mais m-aire, car chaque élément numérique engendrerait à son tour m branches, ce qui augmenterait le nombre de chemins possibles.

Le procédé de démodulation peut être schématisé par la figure 2, dans laquelle on a supposé que les symboles reçus proviennent d'une démodulation les amenant en fréquence intermédiaire.

Les étapes successives sont alors les suivantes
- introduction de l'information correspondant au bit à démoduler, qui vient d'être échantillonné, dans la suite CR,) des échantillons de signal reçu,
- division de l'échantillon par les échantillons de signal reconstitué, dans les différentes hypothèses, pour obtenir les séquences CA,),
- calcul des vraisemblances pour les différentes séquences AkY,
- élimination des séquences les moins vraisemblables, pour réduire le volume de mémorisation nécessaire,
- détermination du bit racine, c'est-à-dire du bit le plus ancien dans l'arborescence, par remontée de l'arborescence à partir de la vraisemblance maximale, pour retenir le bit à démoduler,
- mémorisation du bit démodulé et effacement des informations correspondant à ce bit.

Dans le cas montré en figure 2, les échantillons R' reçus en fréquence intermédiaire sont soumis à un filtrage 10 adapté au symbole. Ce filtrage adapté, fonction de la nature du signal reçu, a une fonction de réjection et de récupération du signal sous forme complexe. Le signal obtenu est soumis à une rotation en 12 pour donner naissance à un signal en bande de base Rn . Ce signal est appliqué à des diviseurs 141 ,... 14l dont le nombre est égal à la largeur retenue dans l'arborescence. Chaque diviseur en bande de base reçoit également un signal représentant un même échantillon du signal, mais reconstitué à partir d'une hypothèse particulière Ck sur la séquence de bits émise. Avant application au diviseur respectif, chacun des échantillons H1 , H2 , ...., Hl est soumis à une remodulation et un filtrage adapté en bande de base en 161 , 162 ,..., 161 . Cette association de la modulation et du filtrage adapté est équivalente à un filtrage transverse non récursif, transformant la suite de bits reçus en un signal complexe en bande de base Sn pour le bit d'ordre n. La sortie de chaque diviseur fournit An/H dans une hypothèse déterminée sur H (formule 5).En d'autres termes, les sorties des diviseurs constituent des estimations de l'évanouissement An pour le bit d'ordre n dans les hypothèses H1 , H2 , ..., H1 , où Hi désigne le vecteur de bits supposés dans la séquence du signal reconstitué à partir de l'hypothèse Ci , avec iE(1,l)
Les résultats fournis par les diviseurs 14 sont soumis en 18 à un calcul destiné à déterminer la valeur la plus vraisemblable du bit n-p (p étant la profondeur de l'arbre) en appliquant un critère de maximum de vraisemblance de l'affaiblissement. Pour cela on détermine la probabilité p(An) des séquences An correspondant chacune à une séquence Hi et on retient la séquence la plus vraisemblable, qui permet de déterminer le bit n-p.

L'arborescence est ensuite élaguée, par exemple par l'une des deux méthodes exposées plus haut.

L'organigramme de la figure 2 peut être réalisé à l'aide d'un démodulateur ayant la constitution de principe montrée en figure 3, où les composants destinés à remplir les diverses fonctions de la figure 2 sont désignés par les mêmes numéros de référence.

Le démodulateur de la figure 3 comprend un filtre transverse complexe d'entrée 10, en fréquence intermédiaire, fournissant deux composantes complexes au multiplieur 12 permettant de repasser en bande de base et qui reçoit la fréquence intermédiaire Fi . Le démodulateur comprend 1 filtres transverses complexes non récursifs de remodulation 161, ..., 16l qui reçoivent les échantillons du signal reconstitué dans les différentes hypothèses Cl,), .--, (Cl}. Ces filtres ont une constitution comparable à celle du filtre 10, mais fonctionnent en bande de base. Ils fournissent les deux composantes du signal complexe de sortie à des diviseurs complexes respectifs 141 , ..., 14l qui reçoivent également la sortie du multiplieur 12.Enfin les diviseurs attaquent un processeur de signal 18, pouvant être constitué par un circuit intégré d'application spécifique ou asic.

Le fonctionnement du dispositif de la figure 3 découle de la description qui précède. Si l'on suppose qu'il y a une racine unique et que l'affaiblissement a déjà été estimé, le processeur 18 a en mémoire le vecteur d 'évanouissement estimé sur une branche de l'arbre. I1 effectue alors la séquence de calcul suivante
1 / Calcul de la vraisemblance d'une branche de l'arborescence avec l'estimation de l'évanouissement et répétition du calcul 2L fois si L branches (chacune constituée de p bits, dont certains peuvent être communs entre différentes branches) sont conservées, dans le cas où chaque noeud d'embranchement pair a deux fils, ce qui se traduit par 2L noeuds.

Pour chaque noeud, le processeur 18 mémorise le bit hypothèse, l'évanouissement estimé et l'adresse du noeud pair dans l'arbre, afin de pouvoir remonter dans l'arborescence jusqu 1au bit à démoduler.

2 / Une fois les 2L vraisemblances des perturbations calculées, classement de ces vraisemblances par valeurs croissantes. La valeur minimale constitue un point de départ permettant la remontée dans l'arborescence vers le noeud constituant racine.

3 / Remontée dans l'arborescence, à partir du noeud de vraisemblance minimale, jusqu'à la racine commune.

40/ Elagage de tous les chemins partant de la racine ainsi déterminée et ayant comme seconde racine commune le noeud fils qui n'appartient pas au chemin dont la vraisemblance est minimale.

5 / Sélection de la racine actuelle comme bit démodulé et élimination de cette racine, le noeud fils de la racine dont la vraisemblance est maximale devenant la nouvelle racine de l'arbre.

6 / Eventuellement, s'il reste un nombre L+k de branches supérieur à L, élagage des k chemins dont la vraisemblance est minimale.

Le calcul est ensuite repris pour déterminer le bit suivant.

A titre d'exemple, on exposera maintenant un mode de calcul de la vraisemblance dans le cas particulier d'un signal perturbateur estimé a(t) comprenant un affaiblissement de Rayleigh complexe A(t) et un bruit additif n(t) non corrélés a(t) = A(T) + n(t)
Pour que la condition de non-corrélation soit remplie, il suffit que A(t) et n(t) soient indépendants et gaussiens, avec un signal centré.

La matrice d'auto-corrélation r(t) peut alors s'écrire ra(t) = FA(t) + rn(t) c'est-à-dire que ra(t) est la somme de la matrice d'autocorrélation de l'affaiblissement de Rayleigh rA(t) et de la matrice d'auto-corrélation rn(t).

Si on admet que le bruit est blanc, la matrice rn(t) est diagonale, de valeur a
Pour un affaiblissement de Rayleigh, la fonction d'auto-corrélation est la fonction de Bessel d'ordre zéro r(t) = J0(Wa,t)
Où Wd est la pulsation Doppler maximale.

La fréquence Doppler maximale est
V fx = fc.
C où fc est la fréquence porteuse, V est la vitesse du mobile,
C est la célérité de la lumière.

On peut générer la matrice d'auto-corrélation de l'affaiblissement de Rayleigh par la relation suivante, F1(i-j) = dans le cas d'un échantillonnage à la période de bit Fb.

La matrice obtenue est de Toeplitz, donc symétrique.

I1 s'en déduit que la matrice d'auto-corrélation du signal est elle-même symétrique et de Toeplitz, ce qui se traduit par une simplification des calculs matriciels à effectuer.

La formule (6) ci-dessus montre que le terme à calculer chaque fois pour déterminer la vraisemblance p de l'affaiblissement est Rt.ul.R* (en omettant les indices prime).

La matrice r-l peut être précalculée une fois pour toutes pour une architecture donnée d'un système. Seul reste donc à calculer en temps réel le produit matriciel, qui fait intervenir uniquement une matrice symétrique et des matrices vecteurs.

Cette constitution des matrices permet de simplifier le calcul. La matrice r étant symétrique définie positive, on peut utiliser la décomposition de Choleski.

Puisque la matrice r est de Toeplitz symétrique, la matrice inverse est de Toeplitz et symétrique. Sous réserve que la matrice inverse soit définie positive, on peut décomposer r'l en un produit de deux matrices triangulaires supérieure et inférieure (transposées l'une de l'autre) ce qui s'écrit F1 = Lt . L
La vraisemblance peut alors être calculée en utilisant la représentation
Rt . r-l . R* = Rt . (Lt . L) . R = (L . R)t . (L . R)* avec L Etc et L on voit que le traitement se réduit à
calculer U = L .R, puis

En d'autres termes, il suffit de faire le produit d'une matrice triangulaire inférieure par un vecteur complexe, puis de prendre le module du vecteur ainsi
A titre d'exemple d'application, on peut citer les systèmes de télécommunication avec des mobiles fonctionnant à 450 MHz en multiplexage fréquentiel, avec détection cohérente. La profondeur d'arborescence peut être de 15 et la largeur limitée à 4. La matrice d'auto-corrélation des perturbations dans l'hypothèse d'un affaiblissement de
Rayleigh correspondent à une vitesse de mobile de 90 km/h, avec un rapport signal à bruit égal à 10 Db.

Le procédé selon l'invention se prête bien à la démodulation de signaux reçus en diversité spatiale. On sait que la diversité en réception consiste à utiliser deux signaux provenant d'un même émetteur, reçus sur deux antennes décorrélées du point de vue de l'évanouissement.

Cette décorrélation est couramment obtenue, en espace libre, en écartant les deux antennes d'au moins dix fois la longueur d'onde du signal radio.

Pour constituer un démodulateur séquentiel arborescent fonctionnant en diversité, il suffit de dupliquer la chaîne de démodulation jusqu'au calcul des vraisemblances. Ainsi on obtient, sur les deux chaînes, deux estimations d'évanouissement indépendantes l'une de l'autre. En revanche, les arborescences sont identiques quant à leur structure. Cela permet de simplifier le système en gênérant une seule arborescence, dans laquelle on conserve, en chaque noeud, les estimations des deux évanouissements, correspondant chacun à une antenne, ainsi que le bit hypothèse.

La modification essentielle du procédé par rapport à celui qui a été décrit plus haut intervient dans le calcul des vraisemblances et le critère de choix du chemin à conserver. Dans le cas envisagé plus haut, on calcul 2L vraisemblances si on ne conserve que L chemins. Dans le cas de diversités en réception utilisant deux antennes, on doit calculer 4L vraisemblances, soit 2L pour chaque chaîne.

Divers critères permettent de tirer partie des deux informations que contient l'arborescence.

On peut notamment définir la vraisemblance comme la probabilité donnée par la formule (12) ci-après. Dans la mesure où les séquences CA,) et (A'k, représentant l'évanouissement auquel sont soumis les deux antennes, sont indépendants, la probabilité peut s'écrire sous forme d'un produit

Il suffit donc de calculer les vraisemblances des deux chaînes indépendantes et d'en faire le produit.

Lorsque les vraisemblances obéissent à la formule (6) cidessus, dans le cas d'un modèle de Rayleigh, la vraisemblance conjointe est de la forme

La vraisemblance est maximale lorsque la somme en exposant est minimale. Dans le cas général de g antennes, la vraisemblance est la meilleure pour la valeur minimale de la quantité svi = Rit.L-.Ri* (14)
On voit que le démodulateur peut avoir une constitution qui se déduit directement de celle montrée en figure 3. Le processeur calcule la vraisemblance sur deux chaînes (ou davantage) pour chacun des L chemins de l'arbre. Pour chaque chemin il calcule la quantité z de v puis il applique l'algorithme d'élagage choisi parmi ceux exposés plus haut. I1 y a simplement doublement du nombre des chaînes de réception, 2L branches d'estimation d'évanouissement et un doublement d'une fraction du volume de calcul.

Claims (5)

REVENDICATIONS

1. Procédé de démodulation d'un signal à modulation numérique d'une porteuse, linéaire ou linéarisable, transmis sur un canal introduisant une perturbation représentable par un modèle mathématique, suivant lequel on recherche la phase d'horloge d'échantillonnage optimal des bits de symbole, caractérisé en ce qu'on estime plusieurs séquences de bits plausibles de même longueur déterminée (L) par une première estimation, lesdites séquences constituant une arborescence à partir d'une même racine on reconstitue les perturbations qui donneraient naissance à chaque séquence estimée et on les compare au modèle ; et on retient celle des séquences qui ressemble le plus audit modèle.

2. Procédé selon la revendication l, caractérisé en ce qu'on limite la largeur de l'arborescence par suppression de branches ayant une vraisemblance minimale.

3. Procédé suivant la revendication 2, caractérisé en ce que la suppression de branches est effectuée en imposant la contrainte que toutes les hypothèses convergent en une seule racine, par calcul des vraisemblances de chaque séquence, retenue de la vraisemblance la plus élevée, détermination de la racine constituant le bit démodulé et élimination de toute branche partant de la racine.

4. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce qu'on calcule la vraisemblance pour tous les chemins possibles, on ne conserve qu'un nombre prédéterminé de chemins, et on extrait la racine qui constitue le bit démodulé.

5. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que

- on introduit l'information correspondant à chaque bit à démoduler à son tour, qui vient d'être échantillonné, dans une suite ÇRk d'échantillons de signal reçu, reçu,

- on divise l'échantillon par les échantillons de signal reconstitué, dans différentes hypothèses, pour obtenir des séquences fAk},

- on calcule les vraisemblances des perturbations pour les différentes séquences (Ak},

- on élimine les séquences les moins vraisemblables, pour réduire le volume de mémorisation nécessaire,

- on détermine le bit racine (bit le plus ancien dans l'arborescence) par remontée de l'arborescence à partir de la vraisemblance maximale et on le retient comme bit démodulé,

- on mémorise le bit démodulé et on efface les informations correspondant à ce bit.