FR2596182A1 - Maillage de la sphere et carte geographique associee - Google Patents

Abstract

SELON L'INVENTION, ON REALISE UN MAILLAGE DE LA SPHERE PAR RAPPEL GNOMONIQUE INVERSE D'UN POLYEDRE DE ROME DE L'ISLE P CIRCONSCRIT A UNE SPHERE S SUIVANT DES RAPPELS LOCAUX CENTRES AU POINT E DE TANGENCE DE CHAQUE FACE EN FORME DE LOSANGE L DU POLYEDRE P AVEC LA SPHERE S. SELON UNE REALISATION PREFEREE, ON SUBDIVISE CHAQUE LOSANGE EN QUADRILATERE ELEMENTAIRE PAR DES DROITES SENSIBLEMENT PARALLELES AUX COTES DU LOSANGE. L'INVENTION CONCERNE EGALEMENT L'APPLICATION A LA REALISATION D'UNE CARTE PAR PROJECTION D'UNE PARTIE DU MAILLAGE REALISE SUR LA SPHERE.

Description

La présente invention concerne un maillage de la sphère en vue d'une

application cartographique,sur

support plan ou courbe, et la carte géographique associée.

On sait que la Terre, assimilée en première approximation à une sphère de rayon R, est normalement représentée en images planes selon de très nombreuses méthodes découlant de formulations du type général: XP = f(l,L) YP = g(1,L) o XP et YP sont les coordonnées planes, 1 la longitude

et L la latitude.

Afin d'assurer un repérage aisé sur la carte, on reporte également sur celle-ci un maillage de la sphère. Le maillage le plus couramment utilisé est celui 15 qui correspond à.des lignes de longitude constante et de latitude constante (méridiens, parallèles) permettant d'obtenir ce que l'on appelle habituellement les coordonnées géographiques. Selon la nature des fonctions (f, g), on peut avoir des représentations (communément appelées projections par abus de langage) qui soient conformes (conservation des angles infinitésimaux), équivalentes (conservation des surfaces) ou aphylactiques (ne conservant ni les

angles ni les surfaces).

Pour la couverture cartographique d'une région peu étendue, on définit en général une projection unique, dont on réalise parfois plusieurs coupures raccordables, dont l'ensemble constitue une représentation continue, (sans duplication ni déchirure) de la zone à représenter. 30 On peut réaliser une projection unique pour l'ensemble du globe, mais certaines parties sont alors mal représentées: en particulier une seule projection conforme ne peut pas représenter sans singularité la

totalité du globe.

Pour des régions étendues, a fortiori pour l'ensemble du globe, on réalise de façon courante un système prajectif, c'est-à-dire une famille de projections (dont les fonctions (f, g) ne diffèrent que par des coefficients numériques), qui recouvrent la région à représenter, mais avec des lignes o

les coupures de deux projections adjacentes ne raccordent pas.

Les centres des projections sont réglés par des considérations très diverses mais sont souvent déterminés en fonction des

coordonnées géographiques.

Parmi les représentations, les projections conformes sont très utilisées car elles représentent le terrain selon une similitude de rapport K (échelle), qui en général est stationnaire sur un élément central (ligne ou point) et croit paraboliquement

quand on s'éloigne de cet élément central.

Le repérage en coordonnées géographiques (méridiens,

parallèles) est assez satisfaisant localement (notamment à l'équateur), 15 mais devient singulier dans les régions polaires. En effet, dans.

les régions polaires, les méridiens convergent les uns vers les autres et la longitude devient indéterminée. De plus, les surfaces délimitées par des méridiens et des parallèles sont relativement rectangulaires au voisinage de l'équateur et deviennent triangulaires 20 au voisinage des pôles, de sorte que les subdivisions correspondent à des éléments de surfacestrès variables, ou alors, si l'on opère

des regroupements, des éléments de formes très différentes.

On a déjà recherché des maillages de la sphère réalisant des surfaces sensiblement égales pouvant être subdivisées en mailles 25 de surface elles-mêmes sensiblement égales quelle que soit la partie

du globe considérée.

La méthode la plus fine proposée à ce jour semble avoir été donnée par POPKO (1968) ( Réf: G.H. DUTTON: Geodesic Modelling of planetary relief CARTOGRAPHICA - AUTO CARTOSix - Selected papers-Volume 30 21/Numbers 2 et 3; Sixth International Symposium on Autamated Cartography OITAWA-HULL OCTOBRE 16-21 1983. University of Toronto PRESS - 1984; pages 192-193) qui a proposé, entre autres, la subdivision d'un maillage de 60 triangles sphériques isocèles égaux, obtenus par exemple par rappel gnomonique sur la sphère des arêtes du polyèdre semi-régulier de 2ème

genre, circonscrit à la sphère, et comportant 60 faces triangulaires égales.

A partir du maillage initial, on propose de subdiviser chaque triangle en 4 triangles sphériques, en joignant les milieux des côtés par trois arcs de grands cercles, chacun des triangles pouvant ensuite itérativement être subdivisé selon la même méthode. Toutefois, dans chaque subdivision, le triangle central a une surface supérieure aux triangles extrêmes. De

plus, la méthode n'est pas très simple sur le plan numérique.

Un but de la présente invention est de réaliser 10 un maillage de la sphère en vue d'une application cartographique dans lequel les mailles aient une surface aussi proche que possible les unes des autres quel que soit le degré de subdivision tout en ayant des formes

très proches les unes des autres.

En vue de la réalisation de ce but, on prévoit selon l'invention un maillage de la sphère caractérisé en ce qu'il est obtenu par rappel gnomonique inverse d'un polyèdre de Romé de l'Isle circonscrit à la sphère, suivant des rappels locaux centrés aux points de tangence 20 de chaque face en forme de losange du polyèdre avec

1 a sphère.

On rappelle à ce propos que le polyèdre de Romé de l'Isle est un polyèdre semi-régulier à 30 faces égales en forme de losange dont les sommets aux extrémités 25 des grandes diagonales des losanges correspondent aux sommets de l'icosaèdre et dont les sommets aux extrémités des petites diagonales des losanges se projettent aux centres des faces de l'icosaèdre. Ainsi, le rappel local de chaque losange centré au point de tangence avec la sphère permet d'obtenir sur la sphère un maillage initial

de losanges sphériques rigoureusement identiques.

Selon une version avantageuse de l'invention, chaque losange est subdivisé en quadrilatères élémentaires par dichotomie itérative de chaque côté par des droites 35 parallèles aux côtés adjacents. Ainsi, sur le polyèdre, les quadrilatères élémentaires sont des losanges identiques et leur rappel sur la sphère selon une projection gnomonique inverse permet d'obtenir des quadrilatères sphériques de formes voisines par une méthode numérique

extrêmement simple.

Selon un aspect préféré de l'invention, les losanges du polyèdre de Romé de l'Isle sont subdivisés en quadrilatères élémentaires dont les sommets sont définis par des droites dont les intersections avec les côtés du losange sont déterminées par des formules 10 du type polynomial. Ainsi, on obtient sur la sphère des quadrilatères sphériques de surfaces extrêmement voisines. Selon un mode préféré de réalisation de l'invention, chaque quadrilatère élémentaire est recoupé en 15 pseudo-triangles par des arcs sensiblement parallèles à la petite diagonale du losange et passant par les sommets des quadrilatères élémentaires. Ainsi, on obtient

une partition encore plus fine tout en conservant des mailles de formes et de surfaces extrêmement voisines.

Selon un autre aspect de l'invention, on réalise une carte géographique comportant un maillage dérivé du maillage de la sphère tel que défini précédemment, caractérisée en ce que le maillage de la carte est obtenu à partir de ce maillage de la sphère par une projection 25 d'une partie de ce maillage. Ainsi, on obtient sur la carte un maillage de forme régulière quel que soit le

point du globe servant de centre de la carte.

Selon une version avantageuse de cet aspect de l'invention, en liaison avec un maillage de la sphère selon des 30 pseudo-triangles, on peut réaliser un système projectif de conception simple, mais redondant, en associant à chaque noeud du maillage la carte centrée en ce noeud et couvrant au moins le polygone (hexagone ou pentagone) formé par les pseudotriangles dont ce noeud constitue l'un des sommets: tel est le principe de la cartographie ternaire. En pratique il sera possible de réduire sensiblement le nombre des cartes à établir, en faisant un choix parmi ces cartes, qui se décomposent en trois catégories: l'une correspond à une couverture totale de la sphère, sans aucun chevauchement des polygones, et inclut les douze pentagones réguliers centrés aux sommets de la grande diagonale des losanges sphériques: c'est la couverture principalequi sera réalisée de façon préférentielle; les deux autres catégories (dites couvertures secondaires) correspondent chacune à une couverture totale de la sphère, mais avec quelques lignes de chevauchement des polygones qui les constituent. Elles sont formées uniquement d'hexagones et incluent les hexagones centrés aux sommets de la petite diagonale des losanges sphériques fondamentaux. D'autres caractéristiques et avantages de

l'invention résulteront encore de la description ci-après

d'exemples non limitatifs en référence aux dessins annexés parmi lesquels: - la figure i est une vue de face d'un polyèdre 20 de Romé de l'Isle circonscrit à une sphère; - la figure 2 est une vue en plan d'une face du polyèdre de Romé de l'Isle avec une subdivision polynomiale selon l'invention; - la figure 3 est une vue en perspective schéma25 tique d'une partie de sphère revêtue du maillage selon l'invention; - la figure 4 est un exemple de réalisation d'une carte selon l'invention; - la figure 5 est une carte à échelle double, faisant partie 30 de la couverture principale, et centrée sur l'Equateur; - la figure 6 est un exemple de réalisation d'une carte qui se trouve incluse dans la carte de la figure 4, à une échelle quadruple; En référence à la figure 1, lorsque l'on considère un polyèdre de Romé de l'Isle P. c'est-à-dire un polyèdre semi-régulier du deuxième genre comportant 30 faces identiques en forme de losange, circonscrit à la sphère S' à laquelle peut être assimilé le globe terrestre, chaque face du polyèdre est tangente à la sphère au centre E du losange délimitant chaque face, ou encore au point d'intersection des diagonales du losange formé par chaque face. Selon l'invention, on effectue un rappel local centré au point E de chaque face du polyèdre de Romé de l'Isle, c'est-à-dire que l'on effectue un report de chaque point du contour d'une face sur la sphère par une droite radiale s'étendant depuis le point considér.é 15 jusqu'au centre de la sphère, le point de rappel sur la sphère étant l'intersection de cette droite radiale

avec la surface de la sphère.

En désignant par a1, a2, a3... a12 les sommets aux extrémités des grandes diagonales des faces du polyèdre 20 de Romé de l'Isle (qui correspondent aux 12 sommets de l'icosaèdre associé à ce polyèdre, l'icosaèdre associé au polyèdre étant représenté en trait fin sur la figure 1) et par b1, b2, b3... b20 les sommets aux extrémités des petites diagonales des faces du polyèdre de Romé 25 de l'Isle (qui se projettent auxcentrEsdes faces de l'icosaèdre associé), on obtient sur la sphère des losanges sphériques ayant respectivement pour sommets les points

A1, A2... A12 et B1, B2... B20 (voir figure 3).

On constate que les 30 losanges sphériques 30 obtenus sur la sphère sont rigoureusement identiques tant au point de vue de leur forme que de leur dimension,

seule leur orientation étant variable.

Le maillage initial qui vient d'être décrit va servir de base pour des subdivisions en mailles élémentaires plus ou moins nombreuses, en fonction de l'échelle des documents cartographiques à réaliser, ou d'une densité souhaitée de repérage sur la sphère. Selon l'invention, on prévoit un premier mode de partition consistant à subdiviser chaque losange en quadrilatères élémentaires par dichotomie itérative de chaque côté par des droites parallèles aux côtés adjacents. Ainsi, lors de chaque dichotomie des côtés, le losange de départ est divisé en 4 losanges rigoureusement identiques qui, lors d'un rappel par projection gnomonique inverse de centre E donnent sur la sphère des quadrilatères sphériques de formes voisines.'On 15 désignera par la suite par M1 le maillage initial en losanges, M2 le maillage obtenu en recoupant chaque côté du losange en deux, c'est-à-dire donnant 4 quadrilatères élémentaires, M3 le maillage obtenu en subdivisant à nouveau le maillage précédent par dichotomie des côtés, 20 c'est-à-dire comportant 16 quadrilatères élémentaires dans le losange initial... Mnle maillage correspondant à une partition de chaque côté du losange initial en 2n-1 c'est-à-dire comportant 22n-2 quadrilatères élémentaires dans un losange initial. La figure 1 illustre 25 plusieurs losanges selon le maillage M1 et un losange divisé partiellement suivant les maillages M2, M3 et M4. On remarque que le maillage initial et le maillage subdivisé qui viennent d'être décrits se rappellent 30 sur la sphère selon des arcs orthodromiques et le tracé d'un arc à partir de deux points est donc particulièrement aisé. La décomposition qui vient d'être décrite constitue une approche primaire du problème, utilisable dans certains cas, à cause de sa très grande simplicité numérique, mais on comprend que, lors d'un rappel par une projection gnomonique de centre E, les quadrilatères élémentaires sont plus ou moins déformés en fonction de leur distance au point de -tangence E de la face du polyèdre. On a recherché donc un procédé de subdivision qui permette d'obtenir sur la sphère des surfaces beaucoup plus rigou5 reusement voisines et l'on propose selon l'invention de subdiviser chaque losange en quadrilatères élémentaires dont les sommets sont définis par des droites dont les intersections avec les côtés du losange sont déterminées par des formules polynomiales. En particulier, suivant 10 un premier mode de réalisation, illustré par la figure 2, les intersections (lk, qj) avec les côtés du losange sont déterminées par les formules suivantes: a21k = 1-g(-T) (1) b21k = g(T) (2) a2qj = 1-g(-t) (3) blqj = g(t) (4) o: a2 est un sommet à une extrémité de la grande diagonale du losange; b1 et b2 sont les sommets aux extrémités de la petite diagonale du losange; 25 2 2 g(T) = 0, 5+T+(T2-O,25)(vo+VlT+v2T +v3T) (5) g(t) = 0,5+t+(t2-O,25)(vo+v1t+v2t2+ v3t3) (6) vO = 0,07215444 v1 = 0,229157 v2 = 0,026875 v3 = 0,080845 k 05 T étant de la forme T: NL 0,5 t étant de la forme t = J - 0,5 NL o NL est le nombre entier de subdivisions recherchées pour un côté, et j et k sont des entiers variant de

1 à NL;

a2 1k, b2 1k, a2 qj, b1 qj étant les fractions de la longueur du côté du losange reportées sur les côtés

du losange respectivement à partir des sommets a2, b2, 10 a2, bl.

Le maillage obtenu dans une subdivision binaire définie par NL = 2n-1 sera, comme précédemment, désigné par MnOn a expérimenté qu'avec ce type de subdivision des faces de polyèdre de Rome de l'Isle préalablement à leur rappel sur la sphère, les lignes de partition sur la sphère continuent à être des arcs orthodromiques et le rapport entre la surface du plus grand quadrilatère sphérique élémentaire et celle du plus petit reste inférieur à 1,01. Selon un autre mode de subdivision encore plus précis, mais dont les lignes séparatrices sur la sphère ne sont plus des arcs orthodromiques, on ajoute aux polynomes g(T) et g(t) des fonctions de T et t, introduisant une faible corrélation entre ces deux paramètres: 25 il est ainsi possible de réaliser des surfaces égales à n'importe quel niveau de subdivision. Néanmoins, une formulation qui reste simple est préférée dans les applications pratiques. Par exemple g(T) etg(t) deviennent respectivement h(T, t) = g(T)+uT(T2-0,25)(t2-0,25) (7) h(t, T) = g(t)+ut(T2-0,25)(t2-0,25) (8) avec: vo = 0,07215444 v1 = 0,222360 v2 = 0,026089 v3 = 0,085626 u = -0,049765 T et t gardent la même signification que précédemment. Le rapport de l'aire du quadrilatère sphérique le plus grand et de l'aire du plus petit, pour une partition

quelconque donnée par NL, reste inférieur à 1,001.

Pour le repérage d'un point sur la grille ainsi formée, on porte sur les côtés du losange, aux points d'intersection (lkqj) des lignes de subdivision avec les côtés du losange, des graduations de valeurs T et t, échelonnées de -0,5, à partir des points b1 ou b2, jusqu'à +0,5, aux points a1 ou a2. Cette graduation se répète identiquement sur les 60 arêtes du polyèdre de Romé de l'Isle et peut se retrouver sur n'importe

quelle image sphérique ou cartographique de ces arêtes.

Mais on doit noter que, pour réaliser une ligne séparatrice 15 déterminée (T = 0,375 par exemple) dans un losange, il faut relier deux points de graduations opposés (T = 0,375 sur b2a1 et T = -0,375 sur b1a2): pour des raisons d'ordre pratique, on sera amené, à l'intérieur de chaque losange, à substituer à la graduation en (T,t) 20 une graduation plus adaptée à ce losange: pratiquement, une division en (NLxNL) quadrilatères entrainera une numérotation liée à k (de 0 à NL) sur les côtés respectifs a2b1, b2a1 et une numérotation liée à j de 0 à NL sur

les côtés respectifs b1al, a2b2.

Enfin, il sera possible de remplacer 1 'une de ces graduations par un codage alphabétique: ainsi une subdivision en 64 quadrilatères (correspondant à 3 dichotomies des côtés) pourra être repérée par le produit cartésien (A,B,C,D,E,F,G,H,I) x (0,1,2,3,4,5,6,7,8)

affecté à ses 81 sommets.

Toute subdivision en quadrilatères pseudo-losanges (en nombre NL x NL) entraine la possibilité d'une subdivision associée en triangles (en nombre double) et ce résultat 35 est obtenu en recoupant chaque quadrilatère en deux triangles de surfaces très voisines par un arc sensiblement parallèle à la petite diagonale du losange initial

et joignant deux sommets voisins de quadrilatères.

Le maillage obtenu est illustré parla moitié inférieure de la figure 2. Numériquement, l'équation de chaque ligne continue d'arcs de séparation est très simple T+t = constante L'arc séparateur est légèrement convexe vers

la diagonale du losange qui est elle-même un arc d'orthodromique.

On voit sur la moitié inférieure de la figure 2 que la même partition en triangles est obtenue en subdivisant chacun des deux triangles initiaux du type blb2a2 en quatre triangles définis par trois lignes T = constante, t = constante et T+t = constante, passant approximativement par le milieu des côtés du triangle

de départ, chaque triangle obtenu étant resubdivisé 20 selon le même procédé.

On obtient ainsi une décomposition hiérarchisée en triangles de la sphère, à partir de 60 triangles fondamentaux égaux, chacun d'eux étant subdivisable

indéfiniment dans un système à base 4.

Cette possibilité peut être extrêmement précieuse dans de nombreuses applications (notamment dans les

évaluations statistiques à la surface du globe).

Pour rappeler le caractère non sphérique des triangles que l'on vient de définir, on les désignera 30 sous l'appellation de pseudo-triangles dans la suite

de l'exposé.

Selon le deuxième aspect de l'invention, on réalise une carte géographique comportant un maillage dérivé du maillage de la sphère qui vient d'être décrit en effectuant une projection d'une partie de ce maillage de la sphère correspondant à la carte désirée, de préfé- rence une projection radiale centrée en un point du

maillage, en particulier une projection stéréographique.

A titre d'exemple, on propose de positionner le maillage de la sphère qui a été décrit ci-dessus 10 par rapport au globe terrestre en faisant coïncider le rappel d'un sommet du polyèdre de Romé de l'Isle disposé à l'extrémité d'une grande diagonale d'un losange avec le pâle Nord. Le point de rappel du sommet opposé coïncide alors avec le pâle Sud et les différents points 15 de rappel des sommets du polyèdre de Romé de l'Isle qui correspondent-aux sommets de l'icosaèdre associé sont disposés selon le tableau suivant: longitude latitude Pâle Sud -90 Pâle Nord +90 Pacifique Sud -144 -26 ,5651 Amérique du Nord -108 +26 ,5661 Amérique du Sud - 72 -26 ,5651 Atlantique Nord - 36 +26 ,5651 Atlantique Sud 0 26 ,5651 Moyen Orient + 36 +26 ,5651 Océan Indien + 72 -26 ,5651 Extrême Orient +108 +26 ,5651 Australie +144 -26 ,5651 Pacifique Nord + 180 +26 ,5651 Dans cette hypothèse de travail, on note les positions des autres points remarquables du système: 35 Points images des sommets b des losanges: 5 points en chacune des latitudes +52 ,6226; +10 ,8123 Points E centres des losanges: 10 points équatoriaux, points en chacune des latitudes +58 ,2825; +31 ,7175. Avec ce positionnement du maillage par rapport au globe terrestre, on a illustré par la figure 4 la carte obtenue par une projection stéréographique centrée au point C1, la carte comportant un maillage de type M1. La

figure 5 est une carte à échelle double centrée cette fois en C2 et oE,, or10 tant un maillage de type M2 recoupé partiellement selon des pseudotriangles.

La figure 6 est à une échelle double de celle de la figure 5, centrée en C3

et comportant un maillage du type M3 recoupé aussi en pseudo-triangles.

(C1 et C3 sont à la latitude 52 ,6226; C2 est un centre de losange, situé

sur l'équateur, sa longitude étant égale à 126 ).

Lorsque l'on réalise une carte gnomonique centrée en un point E qui est le centre d'un losange, (fig. 5) les coordonnées (x, y) d'un point quelconque de la carte suivant des axes obliques Ex, Ey ayant leur origine au point E et s'étendant parallèlement aux côtés du losange (voir figure 2) peuvent être aisément obtenues à partir des coordonnées (T, t) de ce même point par la résolution des équations suivantes (valables sur la sphère de rayon 0,5): y-2x P(T) = I(T) (9) -2y P(t)+x = I(t) (10) avec P(T) = (vo+v2T2)(T2-0,25) (11) P(t) = (Vo+v2t2)(t2-0,25) (12) I(T) = 0, 36327126[T+(v1T+v3T3)(T2-0,25)] (13) I(t) = 0,36327126[t+(v1t+v3t3)(t2._0, 25)] (14)

o vo, v1, v2, v3 sont les mêmes coefficients que pour 35 les formules (5) et (6).

On constate que ces équations sont très simples et ne contiennent en particulier aucune formule trigonométrique, de sorte qu'elles peuvent être résolues très rapidement, ce qui est essentiel dans les applications informatiques. De même les coordonnées gnomoniques (XG, YG) dans un repère ayant son origine au point E et dont les axes sont respectivement orientés suivant la petite diagonale et la grande diagonale du losange (figure 2) 10 sont données par les équations suivantes: -XG Cos.c [1+2P(T) ]+ YG sin c [1-2P(T)] = I(T) sinc (15) XG Cos c [1+2P(t)]+ YG sin c [1- 2P(t)] = I(t) sinc (16) o c est l'angle au centre correspondant à un côté de

l'isocaèdre et vaut par conséquent c = 63 4349488.

Ces équations sont les équations de deux droites et on passe donc des coordonnées (T, t) aux coordonnées gnomoniques (XG, YG) par l'intersection de deux droites. 20 De même, on passe des coordonnées (T, t) aux coordonnées stéréographiques (XS, YS) dans un repère centré en E et dirigé selon les diagonales du losange au moyen des formules suivantes: A(T)(XS2+YS2)-XSCos c- [1+2P(T)]+YS sin c [1-2P(T)]= F(T) (17) A(t)(XS2+YS2)+XS Cos2 [1+2P(t)]+YS sin.[î1-2P(t)]= F(t) (18)

2 2

A(T) = F(T) = I(T) sinc; A(t) = F(t) = I(t) sinc Les équations (17) et (18) sont les équations de deux cercles et l'on passe donc des coordonnées (T, t) aux

coordonnées (XS, YS) par l'intersection de deux cercles.

L'adoption des formules les plus précises se manifesterait par l'addition aux deuxièmes membres des équations (9), (10) et (15) à (18) de termes correctifs

polynomiaux à 2 variables (T, t). Elle conduirait à 5 des calculs un peu plus longs, mais de même nature.

On signale aussi qu'une formulation sans corrélation entre les variables (T, t) peut être obtenue à partir des formules (17) et (18): si l'on prend A(T) e F(T), A(t) 0 F(t), on obtient les équations, en projection 10 stéréographique, de cercles qui ne sont plus des images d'orthodromiques de la sphère, mais de petits cercles de cette surface: l'intersection de ces cercles, modulée par les paramètres (T, t), permet, par un choix convenable des coefficients des formules, de réaliser un maillage, 15 à base de cercles sur la sphère et en projection stéréographique, qui se révèle en fait comme très voisin de celui défini à partir de la projection gnomonique, dans

l'hypothèse dite la plus précise.

Dans tous les cas, le rapport r entre la surface d'une figure 20 élémentaire de la sphère et celle de son image dans le plan (T,t) corresdant est une fonction facile à calculer, continue sur l'ensemble de la sphère, et de plus dérivable à l'intérieur de chacun des 30 losanges fondamentaux. A un facteur constant près, ce rapport a été pris égal à 1, 003000 au point E; 1,005000 aux saommets du losange; 0,995161 aux milieux des côtés (formules (5) et (6)). Dans les modes plus précis (o les lignes séparatrices ne sont plus des orthodromiques), on a pu prendre r = 1,000000 en chacun des points que l'on

vient d'énoncer.

Les propriétés établies dans les repères centrés 30 en E se généralisent pour d'autres origines: les formules de passage entre repères gnomoniques sont des formules homographiques de variables réelles qui conservent les droites; celles de passage entre repères stéréographiques

sont des formules homographiques de variables complexes, 35 qui conservent les cercles.

Le passage des coordonnées du type (XG, YG) aux coordonnées géographiques [1, L lest assuré par l'intermédiaire des cartésiennes terrestres [U, V, W]: on passe de [XG; YG; 0,5] à [U, V, W]par une rotation tridimensionnelle, suivie d'une homothètie sur le vecteur résultat pour le ramener à la longueur R. On trouve ensuite (1, L) par inversion des formules: U = R cos L cos 1; V = R cos L sin 1; W = R sin L Dans les développements qui précèdent, on a envisagé des axes dirigés suivant les diagonales du losange. Or on sait que dans un polyèdre de Romé de l'Isle, les losanges sont orientés selon différentes directions. Afin de faciliter la lecture des cartes 15 et d'assurer une orientation homogène de celles-ci, on propose selon l'invention d'effectuer un regroupement des pseudo-ti angles, obtenus par subdivision des quadrilatères élémentaires, selon des polygones centrés en

un sommet commun à plusieurs pseudo-triangles.

La figure 3 illustre une façon dont les pseudot r i a n g 1 e s peuvent être regroupés dans un maillage de type M3.

Les centres de regroupement initiaux sont constitués par les sommets de type A (par exemple A1) disposes aux extrémités d'une grande diagonale d'un losange et 25 qui correspondent également aux sommets de l'icosaèdre associé au polyèdre de Romé de l'Isle. On constate que cinq pseudotriangles entourent un sommet de type A

et le polygone obtenu par regroupement est donc un pentagone.

On considère alors le pseudo-losange obtenu 30 en réunissant un pseudotriangle adjacent à un sommet de type A avec un pseudo-triangle immédiatement adjacent qui lui

est accolé par le côté opposé au centre de regroupement de départ.

L'extrémité de la grande diagonale du pseudo-losange ainsi obtenu correspond à un nouveau centre de regroupement (par exemple R sur la figure 3). Ce centre de regroupement est lui-même entouré de six pseudotriangles qui forment donc un hexagone. A partir du centre de regroupement ainsi déterminé, on procède de façon itérative en prenant à nouveau l'extrémité de la grande diagonale d'un pseudo-losange obtenu par réunion d'un pseudo-triangle adjacent au centre de regroupement de départ et du pseudo-triangle immédiatement adjacent qui lui est accolé par le côté opposé au centre de regroupement de départ. Par exemple, en liaison avec la figure 3, on obtient les centres de regroupement R2 et R3 à partir du centre

de regroupement R1. On a illustré sur la figure 3 les pseudo-triangles par un trait pointillé,

les polygones par un trait épais et le

contour des losanges initiaux par un trait continu fin.

Sur la figure 2, les centres de regroupement sont indiqués par un petit cercle (o), en maillage M4.

On remarque que quel que soit le degré de subdivision, le centre E du losange initial est un centre de regroupement (par

exemple R3 sur la figure 3).

En partant d'une extrémité de la grande diagonale d'un losange, on constate que l'on couvre ainsi l'ensenmble de la sphère par une série de polygones accolés sans aucun recouvrement. Lorsqu'on effectue une série de cartes qui reprennent chacune la projection d'un polygone, cette série de cartes peut être de format constant,

ce qui permet un repérage aisé lors du passage d'une carte à une autre. Cette propriété est particulièrement intéressante dans le 30 cas d'une visualisation des cartes sur écran cathodique.

Le regroupement qui vient d'être décrit constitue ce qu'on appellera la couverture principale et permet de recouvrir

l'ensemble du globe par une série de polygones sans chevauchement.

Il est également possible de partir d'un centre de regroupement constitué par un sommet du type B situé à l'extrémité d'une petite 35 diagonale d'un losange initial. Dans ce cas, le polygone de départ est un hexagone mais la détermination successive des centres de regroupement selon le procédé qui a été décrit plus haut aboutit à un chevauchement des polygones quand on tourne autour d'un sommet du type A. Il est possible de réaliser ainsi deux couvertures secon5 daires qui permettent de couvrir chacune l'ensemble du globe mais cette fois avec un chevauchement de certaines parties entre elles. L'utilisation d'une couverture secondaire sera donc de préférence réservée aux cas o le centre de la carte donné par la couverture

principale ne serait pas satisfaisant pour obtenir une bonne représen10 tation de la zone du globe considérée.

Les cartes stéréographiques classiques aux p8les Nord et Sud font partie, pour tous les maillages, de la couverture principale. La figure 5 est un exemple de carte de la couverture principale, centrée

en (1 = 126 , L = 0) pour le maillage M2. Ce centre se retrouve dans 15 toutes les cartes à plus grande échelle de la couverture principale.

Les figures 4 et 6 donnent des exemples de cartes d'une couverture secondaire, pour les maillages M1 et M3 respectivement.

L'objectif cartographique le plus complet, pour un maillage donné, est de réaliser toutes les cartes centrées aux noeuds de 20 ce maillage, chacune couvrant au moins le polygone dont son origine est un centre de regroupement (en couverture principale ou secondaire): le système projectif ainsi obtenu constitue ce qu'on peut appeler une cartographie ternaire, dans laquelle chaque triangle est représenté trois fois c'est une solution redondante du problème cartographique mais qu'il est 25 utile d'envisager, d'abord parce qu'elle constitue, pour un problème donné, un choix déjà très sélectif de cartes réalisables, ensuite parce que cette solution complète cessera progressivement d'être trop onéreuse (la redondance au niveau des documents visualisés n'a pas lieu d'exister aussi dans les banques de données cartographiques), enfin parce qu'elle 30 constitue un concept et des réalisations possibles intéressants dans les

technologies de visualisation continue.

En pratique, la projection stéréographique est privilégiée comme type de représentation associée au maillage décrit pour la sphère, si on considère qu'elle est la meilleure représentation conforme dans un champ circulaire et que la modération de la variation de son facteur d'échelle lui permet de représenter, dans le même format, les 32 cartes liées à Ml (12 principales, 20 secondaires), à une échelle El, les 122 cartes liées à M2 (42 principales, parmi lesquelles 2 polaires et'10 équatoriales, et 80 secondaires), à l'échelle 2E1; les 482 cartes liées à M3, à l'échelle 4E1 etc. La série de systèmesprojectifs ainsi mentionnée, en principe indéfinie vers les grandes échelles,est 5 complétée vers les petites échelles (à l'échelle El) par 12 cartes centrées aux sommets de l'icosaèdre et couvrant chacune (dans le même format) le pentagone

sphérique dont l'origine est au centre de la carte et les 5 sommets sont les sommets voisins de l'icosaèdre, 10 le maillage correspondant pouvant' être appelé Mo.

En faveur de cette projection, on peut indiquer des qualités encore mal reconnues, qui permettent des calculs précis et rapides de divers éléments: distance et azimuts entre points à partir de coordonnées en pro15 jection, segmentation d'une orthodromique en parties proportionnelles, enfin le fait que cette projection est la composante dans le plan horizontal d'une transformation simple tridimensionnelle (inversion) et que cette propriété lui donne des possibilités intéressantes en

Géodésie, notamment dans la représentation tridimensionnelle du champ de pesanteur local.

A côté du système polystéreographique, le champ circulaire de chaque carte conduit aussi à rechercher des représentations polycentriques du type radial, en 25 particulier les projections gnomonique, azimutale, cylindrique, radiale équivalente, perspective à partir d'un satellite. Ces représentations peuvent en particulier jouer un rôle intéressant en visualisation sur écran

cathodique, et sont calculables à la demande à partir 30 de la stéreographique de même centre.

La projection gnomonique, dont la propriété bien connue est de représenter les arcs d'orthodromie selon des segments de droites, est souvent favorable, mais présente des distorsions d'échelle inadmissibles 35 dans les maillages d'indice faible (Mo, M1, M2), là o la représentation stéreographique reste toujours utilisable. Bien entendu, l'invention n'est pas limitée aux modes de réalisation décrits ci-dessus et on peut y apporter des variantes d'exécution. En particulier, il semble bon de préciser le triple rôle que le maillage peut constituer pour une carte: un maillage nl permet la définition même de la carte, centrée en un point de ce maillage et réalisée 10 dans un format pratique (circulaire, carré ou rectangle) englobant au moins le polygone associé à ce point; un indice n2> nl correspond à une subdivision plus fine, effectivement matérialiséeet destinée à faciliter les repérages, au même titre que des coordonnées géographiques; 15 enfin on peut envisager un indice n3>n2 du maillage, qui ne sera pas apparent, mais servira de trame à une partition beaucoup plus fine, créant ainsi une carte maillee, à base triangle ou quadrangle, tout à fait analogue aux cartes maillées classiques (à base carre, 20 rectangle ou triangle), ce qui permet de réaliser des documents cartographiques originaux, à structure unifiée

sur l'ensemble du globe.

De plus, bien que l'on ait envisagé plus particulièrement la réalisation de cartes par une projection stéreographique ou radiale en raison des avantages qu'elles procurent, une carte peut être réalisée avec une projection différente et porter un maillage de la sphère conforme à l'invention. Le maillage conforme à l'invention peut également être superposé avec un autre maillage, par 30 exemple le maillage en méridiens et parallèles comme

illustré en trait fin sur les figures 4, 5 et 6.

Par ailleurs, bien que le nombre NL de subdivisions des côtés du losange fondamental soit en principe une puissance de 2, l.e procéde peut parfaitement 35 être étendu à une valeur de NL différente, par exemple à une puissance de 10: cette décision peut être prise en particulier pour harmoniser le maillage avec les échelles des cartes qui en principe s'échelonnent selon la règle 10, 5, 2.5, 1, 0.5... L'une des qualités du 5 système est précisément dans sa facilité d'adaptation à des décompositions autres que celles en puissances

binaires bien que cette dernière reste préférable.

On peut enfin accepter la diversité d'orientation du document cartographique et, dans ce cas, le regroupement des triangles, qui n'a plus lieu d'intervenir, sera remplacé par une unité cartographique du type quadrangle (ou pseudo-losange), aussi bien dans la représentation totale du losange de base (NL = 1) à une échelle El que dans les représentations dessous 15 multiples binaires de ce losange, aux échelles 2E1, 4E1... 2n1E1 (définis par NL = 2,4... 2n-1); l'ensemble aboutissant à une série cartographique dont le format utile, voisin d'un losange, pourra s'inscrire dans un

format rectangulaire constant.

Dans ce contexte, il est possible de définir une projection d'un type nouveau, la même (à l'échelle près) pour tout losange fondamental et ses quadrangles dérivés, pour laquelle l'image plane du quadrangle utile serd un losange de dimensions normalisées. Dans ce but, 25 on remarque que si on lie les coordonnées (X, Y) de la projection aux variables (T, t) par une relation linéaire, on se définit ainsi une carte équivalente du domaine cartographié (à mieux que-0,005 près) tant qu'on reste à l'intérieur d'un même losange de base. 30 La solution simple suivante: X = dt; Y = dT (d entier> 0) transforme les quadrangles en carrés, mais au prix d'une forte déformation angulaire. La solution préférée est la suivante: X = 0,18448 d1 (t-T) Y = 0,28408 d2 (t+T)

avec d1 = d2 = constante (déterminée par le format de la carte).

Le losange sphérique devient un vrai losange plan pour lequel l'échelle des surfaces est constante (à mieux que 0,005 près), l'échelle linéaire variant selon le rapport extrême 1,12. 15 Les quadrangles dérivés (compte tenu des coefficients

En d'échelle à appliquer) ont pour image le même losange plan.

La projection envisagée permet de réaliser des assemblages partiels des 30 losanges fondamentaux: un losange peut s'associer avec les huit voisins, en laissant un hiatus angulaire de 18 autour 20 d'un point du type B, et de 30 autour d'un point du type A. Un choix convenable du facteur dl/d2 permet des assemblages plus étendus, en faisant disparaître l'un ou l'autre

des hiatus ci-dessus.

Les cartes losanges équivalentes peuvent en outre être 25 utilisées dans les travaux d'évaluation des surfaces, ou dans les transferts d'information cartographique d'une base de données à une autre, opérations dans lesquelles la normalisation complète

du format utile peut apporter des avantages appréciables.

Bien que l'invention ait été décrite particulièrement 30 en liaison avec une cartographie plane de la Terre, supposée sphérique, on comprendra qu'elle est susceptible d'extensions variées, à divers

points de vue.

Le maillage peut être reporté sur des réalisations cartographiques non planes, notamment les globesqui en fait réalisent 35 (à un facteur constant d'échelle près) la reproduction exacte de

la surface à représenter, ainsi que de l'espace (extérieur ou intérieur).

Pour la subdivision de cet espace, le maillage de la sphère constitue une base de travail: en appuyant sur ce maillage des droites radiales issues du centre de la sphère, on peut réaliser une partition de l'angle 5 solide 4t dont le sommet est au centre de cette sphère: cette méthode qui peut être concurrentielle d'un usage analogue des méridiens et parallèles, peut avoir des

implications juridiques évidentes.

Le passage de la sphère à l'éllipsoYde terrestre 10 peut se résoudre simplement de la façon suivante: une opération préalable consiste à faire une projection gnomonique, ou centrale, de l'éllipsoTde sur une sphère concentrique de rayon R (qui sera de préférence le rayon équatorial R = 6378.137m), une représentation qui est en fait indiscernable graphiquement d'une représentation conforme (l'écart maximal entre les deux types de projection représente 16m, à la latitude de 60 ), et c'est sur cette sphère image que l'on appliquera le maillage

sphérique et les cartographies polycentriques qui ont 20 été décrites pour la sphère en général.

Pour inclure la cartographie de l'éllipsoYde dans l'exposé principal,, il faut apporter deux corrections d'abord les latitudes L doivent être considérées comme géocentriques, ensuite les surfaces mesurées sur la sphère image doivent être multipliées par un facteur F (les longueurs par le facteur m: F = 1 - 0,006717 sin2L + 0,000022 sin4L Le choix de la latitude géocentrique semble optimal, car elle intervient dans la plupart des formula30 tions de positions dans l'espace et d'expressions du champ gravifique. On peut toutefois envisager d'autres projections permettant de passer de l'éllipsoYde sur la sphère: par exemple une représentation rigoureusement conforme (ce qui modifierait légèrement l'expression 35 de F) ou une projection équivalente (dans ce cas F = 0,997766). Dans certains cas la représentation par normales conservées (L = latitude géographique au sens courant

du terme) peut aussi être utile.

Pour des représentations régionales, au voisinage d'un point donné (Lo, o1), on peut aussi envisager des représentations conformes de l'éllipsoYde sur la sphère le long du parallèle Lo, puis une représentation plane polycentrique de cette sphère: ce genre de représentation est précieux, mais, au moins en ce qui concerne le système polystéréographique, n'a pas lieu de provoquer 10 la création de cartes nouvelles, car une carte quelconque de la sphère de rayon R (dans l'hypothèse d'une représentation préalable gnomonique ou conforme de l'éllipsoYde sur cette sphère) peut aussi (à une translation Nord Sud et une homothétie près) être considérée comme une 15 carte régionale et peut donc être utilisée sous les

deux aspects.

Les considérations développées à propos de

l'éllipso de terrestre sont généralisables à la description cartographique d'un objet voisin d'une sphère.

Le domaine d'application de l'invention s'étend donc à la cartographie de tels objets. Il inclut notamment la réalisation d'une carte astrale ou la cartographie

d'une planète quelconque.

Claims (4)

REVENDICATIONS

1 Carte Iéographique comportant un maillage de la sphère, caractérisé en cas que ce maillage est obtenu par rappel gnomonique inverse d'un polyèdre de Romé de l'Isle (P) circonscrit à une sphère (S) suivant des rappels locaux centrés au point (E) de tangence de chaque face en forme de losange (L) du polyèdre (P) avec la

sphère (S).

2. Carte géographique conforme à la revendi10 cation 1, caractérisé en ce que chaque losange (M1) est subdivisé en quadrilatères élémentaires (M2, M3,...

par dichotomie itérative de chaque côté par des droites

(lklk, qjqj) parallèles aux côtés adjacents.

3. Carte géographique conforme à la reven15 dication 1, caractérisé en ce que chaque losange'est subdivisé en quadrilatères élémentaires dont les sommets sont définis par des droites dont les intersections (lk, qj) avec les côtés du losange sont déterminées par les formules suivantes: a2lk = 1-g(-T) (1) b2lk = g(T) (2) a2qj = 1-g(-t) (3) blqj = g(t) (4) o: a2 est un sommet à une extrémité de la grande diagonale du losange (M1); b1 et b2 sont les sommets aux extrémités de la petite diagonale du losange; g(T) = 0,5+T+(T2-0,25)(vo+v T+v2T2+v3T3) (5) g(t) = 0,5+t+(t2-0,25)(vo+v1t+ v2t2+v3t3) (6) vo = 0,07215444 v1 = 0,229157 v2 = 0,026875

V3 = 0,080845

k T étant de la forme T = - - 0,5 NL J t étant de la forme t = - 0,5 NL o NL est le nombre entier de subdivisions recherchées pour un côté, et j et k sont des entiers variant de

1 à NL;

a2 1k' b2 Iks a2 qj, b1 qj étant les fractions de la longueur du côté du losange reportées sur les côtés du losange respectivement à partir des sommets a2, b2,

a2, b1.

4. Carte géographique conforme à la revendication 1, caractérisé en ce que chaque losange est subdivisé en quadrilatères élémentaires dont les sommets sont définis par des droites dont les intersections (1k, qj) avec les côtés du losange sont déterminees 15 par les formules suivantes: a21k = 1-h (-T,t) b21k = h (T,t) a2qj = 1-h (-t, T) 20 blqj = h (t,T) o: a2 est un sommet à une extrémité de la grande diagonale du losange; b1 et b2 sont les sommets aux extrémités de la petite 25 diagonale du losange; h(T, t)=0,5+T+(T2-_0,25)(vo+vlT+v2T2+v3T3)+uT(T2-0,25)(t2-0,25) (7) h(t,T) = 0, 5+t+(t2-0,25)(vo+v1t+v2t2+v3t3)+ut(T2-0,25)(t2-0,25) (8) 3v0 v= 0, 07215444 v1 = 0,222360 v2 = 0,026089 v3 = 0,085626 u = -0,049765 T étant de la forme T k 0,5 NL t étant de la forme t = - 0,5 NL o NL est le nombre entier de subdivisions recherchées pour un côté, et j et k sont des entiers variant de

1 à NL;

a2 1k, b2 1k, a2 qj, b1 qj étant les fractions de la longueur du côté du losange reportées sur les côtés du losange respectivement à partir des sommets a2, b2, a2, b1 5. Carte géographique conforme à la revendication 3 ou 4, caractérisé en ce qu'on porte sur les côtés du losange aux points d'intersection (lk, qj) des lignes de subdivision avec les côtés des graduations de valeur T et t, échelonnées de -0,5 à partir des sommets de la petite diagonale du losange jusqu'à +0,5 aux sommets de la grande diagonale du losange, ou des codes de repérage équivalents.

6. Carte géographique conforme à l'une des revendications 1 à 5, caractérisé en ce que chaque quadrilatère

élémentaire est recoupé en pseudo-triangles par des arcs sensiblement parallèles à la petite diagonale du

losange et passant par les sommets des quadrilatères 25 élémentaires.

7. Carte géographique conforme à l'une des

revendications 1 à 6, caractérisé en ce que le maillage

de la carte est obtenu à partir de ce maillage de la sphère par une projection d'une partie de ce maillage. 30 8. Carte géographique conforme à la revendication 7 prise dans son rattachement à la revendication 6, caractérisée en ce qu'elle est centrée en l'un des points du maillage et couvre au moins le polygone formé par

les pseudo-triangles dont ce point est l'un des sommets.

9. Carte géographique conforme à la revendication 8, caractérisée en ce qu'elle est centrée en un centre de regroupement principal du maillage de la sphère, un tel centre de regroupement étant l'un des sommets de la grande diagonale d'un losange sphérique rappelé sur la sphère à partir du polyèdre de Romé de l'Isle ou l'un des sommets d'un pseudo-losange déterminé en se déplaçant de façon itérative sur la sphère à partir d'un centre de regroupement de départ selon une grande 10 diagonale d'un pseudo-losange obtenu par réunion d'un pseudo-triangle adjacent au centre de regroupement de départ et du pseudo-triangle immédiatement adjacent

qui lui est accolé par le côté opposé au centre de regroupement de départ.

10. Carte géographique conforme à l'une des

revendications 7 à 9, caractérisée en ce que la projection est une projection radiale centréeen un point

du maillage.

11. Carte géographique conforme à la revendi20 cation 10, caractérisée en ce que la projection est

une projection stéréographique.

12. Carte géographique comportant un maillage dérivé du maillage conforme à la revendication 3 ou la revendication 4, caractérisée en ce qu'elle comporte 25 des coordonnées rectangulaires liées de façon linéaire

aux paramètres T, t.

13. Carte géographique conforme aux revendications

7 à 12, s'appliquant à une surface voisine d'une sphère, caractérisée en ce qu'elle décrit l'image sphérique obtenue par une représentation préalable de cette surface sur la sphère, notamment par projection centrale, équivalente

ou conforme.