ES2970107T3

ES2970107T3 - Método de producción de una superficie reflectante o refractiva

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Publication number: ES2970107T3
Application number: ES13181193T
Authority: ES
Inventors: Mark Pauly; Thomas Kiser
Original assignee: Ecole Polytechnique Federale de Lausanne EPFL
Current assignee: Ecole Polytechnique Federale de Lausanne EPFL
Priority date: 2012-09-13
Filing date: 2013-08-21
Publication date: 2024-05-27
Anticipated expiration: 2033-08-21
Also published as: US20140071155A1; DK2711745T3; PT2711745T; RS65105B1; PL2711745T3; HUE064993T2; US9576553B2; EP2711745B1; EP2711745A2; EP2711745A3

Abstract

Un método para formar una superficie reflectante o refractiva, que comprende discretizar una imagen bidimensional en una primera malla de primeros nodos en una primera superficie, en donde los nodos en la primera superficie (2) definen una primera área de celda Ad,1 de la primera malla sobre la que incide un primer haz de luz con un primer flujo radiante ¦ 1, en la que la primera área de celda Ad,1 de la primera malla corresponde a un área de la imagen bidimensional que tiene un brillo al que llega el primer flujo radiante ¦ 1 corresponde; discretizar una segunda superficie reflectante o refractiva en una segunda malla de segundos nodos, en donde los nodos en la segunda superficie definen una primera área de celda A s,1 de la segunda malla sobre la cual incide el primer haz de luz con el primer flujo radiante ¦ i y se desvía hacia la primera zona de celda Ad,1 de la primera malla; y ajustar las posiciones de los nodos del primer área de celda A s,1 de la segunda malla en la segunda superficie de modo que el primer área de celda A s,1 de la segunda malla corresponda a una salida radiante predefinida M 1 del primer haz de luz incidente sobre la segunda superficie. (Traducción automática con Google Translate, sin valor legal)

Description

DESCRIPCIÓN

Método de producción de una superficie reflectante o refractiva

La invención se refiere a un método y a un aparato para la producción de una superficie que presenta una estructura que refleja o refracta la luz que incide sobre la misma, que reproduce sobre una pantalla una imagen de intensidad en escala de grises deseada basándose en qué superficie reflectante o refractiva se produjo. Dicha imagen se conoce habitualmente como «cáustica».

Generalmente, las cáusticas ópticas son patrones de luz creados por la reflexión o refracción sobre superficies curvas. El cálculo de las cáusticas en una escena tridimensional dada ha sido el objeto de amplias investigaciones en gráficos de ordenador, ya que constituye una de las dificultades principales de los algoritmos de renderización fotorrealista.

La tarea de reproducir una distribución lumínica preespecificada por una superficie especular también aparece en el campo del diseño de reflectantes inversos, que se concentra en los reflectores para lámparas. Se proporciona un estudio sobre el diseño de reflectores inversos en Patow y Pueyo [2005]. En general, dichas distribuciones lumínicas pueden clasificarse en distribuciones de campo cercano o de campo lejano.

Mientras que las distribuciones de campo cercano especifican una distribución de la irradiancia sobre una superficie dada (normalmente un plano) que debe reproducirse, las distribuciones de campo lejano pueden considerarse casos límite en los que la superficie que debe iluminarse está infinitamente alejada del reflector, de manera que solo importa la distribución de las direcciones de los rayos. Los métodos de diseño de reflectores inversos normalmente utilizan un enfoque de análisis por síntesis. Se selecciona una determinada representación superficial para parametrizar el reflector, tal como NURBS [Anson et al. 2008]. A continuación, la distribución lumínica causada por una superficie se evalúa y se clasifica en comparación con la deseada. Se utiliza iterativamente este método para optimizar los parámetros de la superficie. Se han aplicado diversas estrategias de optimización, incluyendo marcos que permiten la diferenciación analítica, que permiten de esta manera el uso del método del gradiente conjugado [Neubauer 1997] y métodos que calculan derivadas por aproximación [Finckh et al. 2010] o métodos que no utilizan ninguna derivada en absoluto [Anson et al. 2008].

Los ejemplos que utilizan una optimización evolutiva [Doyle et al. 1999] también pertenecen a esta última categoría. Son simplificaciones habituales en los enfoques la premisa de especularidad perfecta de la superficie y la premisa de un único rebote de la luz sin interreflexiones u oclusiones, aunque existen excepciones a ambas premisas [Patow et al. 2007; Mas et al. 2009]. También se utiliza habitualmente la restricción de los reflectores rotacionalmente simétricos, particularmente en trabajos teóricos [Westcott y Norris 1975].

Estos trabajos se centran principalmente en las superficies reflectantes, aunque muchos enfoques pueden ampliarse fácilmente a la refracción también. Un ejemplo reseñable que investiga el problema de la refracción es el trabajo de Frinckh et al. [2010]. Utilizan cálculos de la unidad de procesamiento de gráficos (GPU, por sus siglas en inglés) para acelerar la evaluación de cáusticas, y un algoritmo de aproximación estocástica para la optimización, que es capaz de encontrar un óptimo global.

Respecto a los objetos refractivos, también cabe destacar el campo del diseño de lentes, aunque las metas de estos problemas son diferentes, p. ej., la corrección de aberraciones. Dichos problemas con frecuencia se restringen a un número pequeño de parámetros, tales como los radios de las formas primitivas subyacentes [Patow y Pueyo 2005]. Nuevamente, hay excepciones, p. ej., el trabajo de Loos et al. [1998], quienes utilizan una representación basada en splines B racionales y no uniformes (NURBS, por sus siglas en inglés) para optimizar las lentes progresivas.

Weyrich et al. [2009] han seleccionado un enfoque diferente para reproducir una distribución de campo lejano preespecificada. En primer lugar, generaron un conjunto de microfacetas planas e inclinadas para generar la distribución deseada de direcciones de rayo. A continuación, organizaron las microfacetas en una matriz regular utilizando recocido simulado para minimizar las discontinuidades resultantes. Un trabajo estrechamente relacionado de Weyrich et al. es el sistema de campos cercanos propuesto por Papas et al. [2011]. Dichos autores extendieron la noción de microfacetas a microparches curvados, los cuales se utilizan para producir manchas de luz con una distribución gaussiana anisotrópica. Para calcular la forma de los microparches que producen una distribución gaussiana de irradiancias, Papas et al. definieron un mapeado biyectivo entre puntos en el dominio de microparche y puntos en el plano de la proyección; calcularon analíticamente las normales en la superficie que refractaban/reflejaban la luz de esta manera y finalmente integraron este campo de normales para llegar a la superficie de microparche requerida.

El artículo titulado "Goal-based Caustics", de M. Papas et al., Euro Graphics 2011, vol. 30 (2011, n.° 2) da a conocer un sistema para el diseño y fabricación de superficies que producen imágenes de cáusticas al iluminarlas con una fuente de luz. El sistema se basa en una descomposición no negativa de la imagen utilizando un conjunto de núcleos gaussianos anisotrópicos y posiblemente superpuestos. La descomposición se utiliza para construir un conjunto de parches de superficie continua, cada uno de los cuales enfoca luz en uno de los núcleos gaussianos, ya sea mediante reflexión o mediante refracción. Se muestra cómo obtener la forma de cada parche continuo y cómo organizarlos mediante la realización de una asignación discreta de parches a núcleos en la cáustica deseada.

El artículo titulado "Geometry Construction from Caustic Images" de M. Finckh et al., 5 de septiembre de 2010, Computer Vision - ECCV 2010, páginas 464 a 477 da a conocer un enfoque de análisis por síntesis, que aprovecha la GPU para acelerar la renderización de cáusticas basada en la estimación geométrica actual, en donde la optimización se genera mediante aproximación estocástica de perturbación simultánea (SPSA, por sus siglas en inglés).

El artículo titulado "Fabricating microgeometry for custom surface reflectance" by T. Weyrich et al., ACM Transactions on Graphics, ACM, vol. 28, n.° 3, 27 de julio de 2009, páginas 1 a 6 da a conocer un sistema para manufacturar superficies físicas que, de modo agregado, muestran una apariencia deseada de la superficie. El sistema parte de una especificación de usuario de una función de distribución bidireccional de reflectancia (BRDF, por sus siglas en inglés), o simplemente una forma destacada, e infiere la distribución requerida de pendientes de superficie. Se muestrea la distribución, se optimiza para un campo de alturas de máxima continuidad y valles mínimos, y finalmente la superficie se pule utilizando una herramienta mecánica controlada por ordenador.

Es un objetivo de la presente invención proporcionar un método para producir una superficie reflectante o refractiva que refleje o refracte luz proyectada en la misma y que reproduzca en una pantalla una imagen de intensidad de escala de grises deseada en la que se basa la superficie reflectante o refractiva, y un aparato correspondiente, en donde el método permite la reproducción de una imagen en escala de grises de referencia con precisión ajustable.

El objetivo se lleva a cabo mediante un método que comprende las características según la reivindicación 1 o 2, y mediante un sistema que comprende las características según la reivindicación 9.

El método según la invención comprende las operaciones de discretizar una imagen bidimensional en una primera retícula de primeros nodos en una primera superficie, en donde los nodos en la primera superficie definen una primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula en la que incide un primer haz de luz con un primer flujo radiante Ói, en el que la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula corresponde a una zona de la imagen bidimensional que presenta un brillo al que corresponde el primer flujo radiante Ó1; discretizar una segunda superficie reflectante o refractiva en una segunda retícula de segundos nodos, en donde la segunda superficie define una primera zona de celdas Asi de la segunda retícula en la que incide el primer haz de luz con el primer flujo radiante Ói y que resulta desviada hacia la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula, y ajustar las posiciones de los nodos de la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula en la segunda superficie de manera que la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula corresponda con una primera exitancia radiante predefinida M1 del primer haz de luz incidente en la segunda superficie.

Según el método de la invención, se infiere un campo de alturas a partir de una imagen bidimensional en escala de grises dada o retícula de cáusticas mediante un cálculo «inverso». La imagen en escala de grises se describe mediante una primera retícula fija de primeros nodos que define zonas de celdas de la primera retícula entre los nodos, mientras que se mueven los nodos de la segunda retícula que definen zonas de celdas de la segunda retícula entre los nodos de la segunda superficie especular o refractiva de la que emanan rayos hacia la superficie en la que se produce la imagen en escala de grises. Mediante la deformación de la segunda retícula o sus zonas de celdas, pueden asignarse las cantidades deseadas de luz a las celdas correspondientes de la primera retícula fija, en donde cuanto mayor sea la superficie de una celda en la segunda retícula «distorsionada» en el plano especular, más luz se proyectará sobre la zona de celdas no modificada en la retícula de cáusticas, incrementando el brillo.

Según una realización, el método incluye, además, determinar perpendiculares a la superficie en cada uno de los nodos de la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula con posiciones ajustadas en la segunda superficie, en donde las perpendiculares a la superficie corresponden a rayos del primer haz de luz que son incidentes en la segunda superficie y se extienden entre los nodos de la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula con posiciones ajustadas en la segunda superficie y los nodos de la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula en la primera superficie, y calcular un campo de alturas correspondiente a las perpendiculares a la superficie.

Según otra realización, el método comprende el ajuste de las posiciones de los nodos de todas las zonas de celdas As,i de la segunda retícula. Una vez se ha encontrado la deformación deseada de la segunda retícula mediante aplicación del método a todas las zonas de celdas de la segunda retícula, puede obtenerse el campo de normales. Una retícula puede incluir cualquier número adecuado de celdas, tal como 10000, 1 millón, 10 millones, 100 millones o cualquier número entre ellos. Ambas retículas pueden incluir el mismo número de celdas.

La cantidad de luz transportada a través de un tronco de cono definido por los rayos que forman la zona de celdas de la primera o segunda retícula se mantiene constante. Ello permite asignar un valor de brillo a cada celda de la primera retícula, es decir, la retícula de fotones. Se proporciona información adicional sobre una realización para determinar las superficies deseadas de las celdas en la retícula distorsionada en la segunda superficie en el capítulo 3.1. Brillo de cuadriláteros y en el capítulo 3.2. Integrabilidad, del anexo.

La geometría real de la segunda superficie puede ignorarse inicialmente y se reduce al campo correspondiente de normales de superficie. Con el fin de reflejar o refractar rayos en el nodo de la segunda retícula deformada sobre la segunda superficie especular de manera que intersecten con la primera retícula receptora en los puntos designados, el campo de normales necesita ajustarse correspondientemente. De acuerdo con lo anterior, se calculan las n normales a partir de las direcciones de rayo incidente y saliente, a y b, en donde se supone que dichos vectores están normalizados y apuntan hacia afuera de la superficie especular. En el caso de reflexión, la normal puede inferirse a partir de las direcciones incidente y saliente según la bien conocida ley de Snell. Para el caso de refracción, se supone que las direcciones de rayo son físicamente significativas y que describen una refracción real y no una reflexión interna total. Las normales de superficie deseadas pueden calcularse de una manera simple a partir de una combinación lineal de las direcciones de rayo normalizadas.

Según una realización, lo anterior puede llevarse a cabo mediante interpolación de las direcciones de rayo salientes en los nodos de la retícula utilizando coordenadas baricéntricas. Se describe información adicional sobre una realización para determinar las n normales respecto a las direcciones de rayo incidentes y salientes, a y b, en el capítulo 2.2. Cáusticas inversas y en el capítulo 2.2.1. Direcciones de rayo a normales, del anexo.

A continuación, el campo de normales puede integrarse en un campo de alturas que forma la superficie que puede transferirse a un material transparente o reflectante. Según una realización, lo anterior puede llevarse a cabo con un algoritmo de optimización que combina el requisito de un campo de normales integrable con el objetivo de reproducir una imagen objetivo de intensidad arbitraria mediante la cáustica creada mediante reflexión o refracción del objeto calculado. El algoritmo de optimización permite a un usuario especificar imágenes de intensidad objetivo y obtener una superficie reflectante o refractiva que, bajo la configuración geométrica proporcionada con respecto al receptor de cáusticas y dada la dirección de iluminación incidente, produce un patrón de cáusticas. Se proporciona información adicional con respecto a una realización para convertir un campo de normales a un campo de alturas en el capítulo 2.3. Campos de normales a campos de alturas, y en 2.3.1. Matriz de ecuaciones normales del anexo.

Según una realización, el campo de normales de superficie es continuo y el campo de alturas es continuamente diferenciable. Lo anterior simplifica los cálculos suponiendo que la cáustica forma un patrón continuo. Además, pueden ignorarse los efectos de sombreado, interreflexión y dispersión.

Según una realización, la segunda superficie a la que corresponde la segunda retícula es perfectamente especular y la superficie del receptor de cáusticas, es decir, la primera superficie en la que es visible la imagen de cáusticas, se supone que es plana.

Según otra realización, la primera retícula de primeros nodos y la segunda retícula de segundos nodos forman una retícula triangular o cuadrangular que comprende zonas de celdas triangulares o cuadrangulares. En principio, puede utilizarse una retícula que presente cualquier estructura arbitraria.

Según una realización, la primera zona de celdas Ad,¡ de la primera retícula y la primera zona de celdas As,¡ de la segunda retícula están formadas de por lo menos tres nodos. Sin embargo, también pueden formarse con cualquier otro número adecuado de nodos, incluyendo 4, 5, 6, 8, 10 o más nodos.

Según una realización adicional, la primera retícula de primeros nodos es una retícula fija regular. Se proporciona información adicional sobre una realización para discretizar un campo de alturas en forma de una retícula regular en el capítulo 2.1. Cáusticas directas del anexo.

Según otra realización, el método comprende, además, ajustar las posiciones de los nodos de una segunda zona de celdas As ,2 de la segunda retícula contigua a la primera zona de celdas A s ,1 de la segunda retícula de manera que la segunda zona de celdas As ,2 de la segunda retícula corresponde a una segunda exitancia radiante predefinida M1 de un segundo haz de luz incidente en la segunda superficie, en el que el segundo haz de luz es contiguo al primer haz y presenta un flujo radiante respectivo O2 incidente en una primera zona de celdas Ad,2 de la primera retícula y en la segunda zona de celdas As ,2 de la segunda retícula que corresponde a un brillo en la segunda zona de celdas respectiva Ad,2 de la primera retícula de la imagen bidimensional, y en donde la primera zona de celdas A s ,1 de la segunda retícula y la segunda zona de celdas As ,2 de la segunda retícula presentan por lo menos un nodo en común. Nuevamente, la cantidad de luz transportada a través de cada tronco de cono definido por los rayos que delimitan la zona de celdas A<s>,¡ de la primera o segunda retícula se mantiene constante. Lo anterior permite asignar un valor de brillo a cada campo o zona de celdas de la retícula que puede incluir millones de celdas. Se proporciona información adicional sobre una realización para reproducir un campo de normales mediante un campo de alturas en el capítulo 2.1. Integrabilidad, del anexo.

Según una realización, la zona total de la segunda retícula en la segunda superficie que incluye la suma de todas las segundas zonas de celdas As,¡ se mantiene sin cambios después del ajuste de la posición de los nodos en comparación con la superficie total de la segunda retícula antes del ajuste.

Según otra realización, los haces contiguos de luz incidente en la segunda superficie comprenden la misma exitancia radiante M; Lo anterior representa una situación en la que la segunda superficie es irradiada con un haz colimado de luz que presenta una distribución homogénea de la intensidad.

Según la invención, se proporciona otro método para formar una superficie reflectante o refractiva que comprende las operaciones de discretizar una imagen bidimensional en una primera retícula de primeros nodos en una primera superficie, en donde los nodos en la primera superficie define una primera zona de celdas Ad,i de la primera retícula en la que incide un haz de luz con un primer flujo radiante O<í>; discretizar una segunda superficie reflectante o refractiva en una segunda retícula de segundos nodos, en donde los nodos en la segunda superficie definen una primera zona de celdas As,¡ de la segunda retícula en la que incide el haz de luz con el primer flujo radiante O<í>, y ajustar las posiciones de los nodos de la primera zona de celdas Ad,¡ de la primera retícula en la primera superficie para que corresponda con una exitancia radiante predefinida Mi , en donde la exitancia radiante predefinida Mi corresponde a un brillo deseado de la imagen bidimensional en la primera zona de celdas Ad,¡ de la primera retícula.

Según dicho método de la invención, se infiere un campo de alturas de una imagen bidimensional en escala de grises dada o retícula de cáusticas mediante un cálculo «inverso» para determinar una superficie en la que la reflexión o refracción a partir de ella genere la imagen de cáusticas deseada. La imagen en escala de grises se describe mediante una primera retícula de primeros nodos y la superficie reflectante o refractiva se describe mediante una segunda retícula de segundos nodos. En contraste con el primer método descrito anteriormente, los nodos de la segunda retícula en la segunda superficie especular o refractiva de la que emanan los rayos que forman la cáustica están fijos, mientras que los nodos de la primera retícula, es decir, en la cáustica, se mueven. Por lo tanto, la primera retícula o retícula de fotones se deforma para reproducir una imagen dada. Mediante la deformación de la primera retícula, las cantidades deseadas de luz (exitancia radiante M¡) puede asignarse a las caras correspondientes de la cáustica, en donde a menos superficie de una cara en la primera retícula en la primera superficie en donde se produce la imagen en escala de grises o cáustica, resulta mayor cantidad de luz por superficie de la cara en la primera retícula de la cáustica, incrementando su brillo. En contraste, una mayor superficie de una cara de la primera retícula en la primera superficie resulta en un menor brillo. Una vez se ha encontrado la deformación de dicha primera retícula, se obtiene el campo de normales de manera similar al método descrito anteriormente. Una retícula puede incluir cualquier número adecuado de celdas, tal como 10000, 1 millón, 10 millones, 100 millones o cualquier número entre ellos.

Según una realización, el método comprende, además, determinar normales de superficie de la segunda superficie en cada uno de los nodos de la primera zona de celdas Ad,¡ de la segunda retícula; las normales de superficie corresponden a rayos del haz de luz que son incidentes en la segunda superficie y se extienden entre los nodos de la primera zona de celdas Ad,1 de la segunda retícula en la segunda superficie y los nodos con posiciones ajustadas de la primera zona de celdas Ad,¡ de la primera retícula en la primera superficie, y calcular un campo de alturas correspondiente a las normales de superficie.

Con el fin de reflejar o refractar rayos en la segunda superficie especular de manera que intersecten con la superficie receptora con la primera retícula en los puntos designados, el campo de normales necesita ajustarse correspondientemente. De acuerdo con lo anterior, se calculan las n normales a partir de las direcciones de rayo incidente y saliente, a y b, en donde se supone que dichos vectores están normalizados y apuntan hacia afuera de la superficie especular. En el caso de la reflexión, la normal puede inferirse a partir de las direcciones incidente y saliente según la bien conocida ley de Snell. Para el caso de refracción, se supone que las direcciones de rayo son físicamente significativas y que describen una refracción real y no una reflexión interna total. Las normales de superficie deseadas pueden determinarse a partir de una combinación lineal de las direcciones normalizadas de rayo. Según una realización, lo anterior puede llevarse a cabo mediante interpolación de las direcciones de rayo salientes en los nodos de la retícula utilizando coordenadas baricéntricas. Se describe información adicional sobre una realización para determinar las n normales respecto a las direcciones de rayo incidentes y salientes, a y b, en el capítulo 2.2. Cáusticas inversas y en el capítulo 2.2.1. Direcciones de rayo a normales del anexo.

A continuación, el campo de normales puede integrarse en un campo de alturas que forma la superficie que puede transferirse a un material transparente o reflectante. Lo anterior puede llevarse a cabo mediante resolución para la superficie continua que mejor se ajuste al campo de normales. Se proporciona información adicional sobre una realización para integrar un campo de normales en un campo de alturas en el capítulo 4.1.7. Integrabilidad, del anexo.

Según otra realización, el campo de normales de superficie es continuo y el campo de alturas es continuamente diferenciable. Dicha característica puede garantizar que la deformación de la retícula de fotones lleve a un campo de normales significativo. Según una realización, una solución a dicho problema es un algoritmo de optimización que combina el requisito de un campo de normales integrable con el objetivo de reproducir una imagen objetivo de intensidad arbitraria mediante la cáustica creada mediante reflexión o refracción del objeto calculado. Se proporciona información adicional sobre una realización para integrar un campo de normales en un campo de alturas en el capítulo 4.1.7. Integrabilidad, del anexo.

Según otra realización, la primera retícula de primeros nodos y la segunda retícula de segundos nodos son una retícula triangular o cuadrangular que comprende zonas de celdas triangulares o cuadrangulares. En principio, puede utilizarse una retícula que presente cualquier estructura arbitraria.

Según una realización, la primera zona Ad,i de la primera retícula y la primera zona As,i de la segunda retícula están formadas de por lo menos tres nodos. Sin embargo, también pueden formarse con cualquier otro número adecuado de nodos, incluyendo 4, 5, 6, 8, 10 o más nodos.

Según una realización adicional, la segunda retícula de segundos nodos es una retícula fija regular.

Según todavía otra realización, el método comprende, además, el ajuste de las posiciones de los nodos de una segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula contigua a la primera zona de celdas A d,1 de la primera retícula, en donde la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula corresponde a un segundo haz de luz que es contiguo al primer haz de luz, en donde el segundo haz de luz presenta una segunda exitancia radiante M2 en la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula que corresponde a un brillo en la segunda zona de celdas respectiva Ad,2 de la primera retícula de la imagen bidimensional.

Según una realización, la segunda zona de celdas Ad,i de la primera retícula y la primera zona de celdas As,¡ de la primera retícula presentan por lo menos un nodo o dos o más nodos en común.

Según una realización, el método comprende el ajuste de las posiciones de los nodos en todas las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula.

Según una realización adicional, los haces contiguos de luz comprenden el mismo flujo radiante O i y la misma exitancia radiante M; en la primera y segunda zonas de celdas As,¡ de la segunda retícula (9), respectivamente, y comprenden el mismo flujo radiante Oi y diferentes exitancias radiantes, Mi y M2, en la primera y segunda zonas de celdas Ad,i de la primera retícula (1) que presenta posiciones de nodo ajustadas, respectivamente.

Según una realización adicional, el método comprende, además, ajustar las posiciones de los nodos de una segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula, en donde la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula corresponde a un segundo haz de luz que presenta una segunda exitancia radiante M2 en la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula y se solapa por lo menos parcialmente con la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula de manera que la superposición del primer haz de luz y el segundo haz de luz corresponde a una intensidad lumínica superpuesta en la primera zona de celdas superpuesta Ad,1 de la primera retícula y la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula en la primera superficie.

La superposición del primer haz de luz y el segundo haz de luz y de las regiones correspondientes de la primera retícula que se solapan creando manchas, zonas o líneas muy brillantes en la imagen de cáusticas llamadas pliegues. Se proporciona información adicional sobre una realización para generar pliegues y las características y elementos de un generador de pliegues correspondiente en el capítulo Generador de pliegues, en el capítulo 4.1. Realización, en el capítulo 4.1.1. Posiciones de pliegue, en el capítulo 4.12. Orientación de bordes, en el capítulo 4.1.3. Orientación de pliegues, en el capítulo 4.1.4. Orientación de pliegues libre de derivadas, y en el capítulo 4.1.5. Forzamiento de pliegues, del anexo.

Según una realización adicional, la primera zona superpuesta de celdas Ad,1 de la primera retícula y la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula corresponden a una transición de por lo menos un paso de la intensidad de la luz o una singularidad de la intensidad lumínica en la imagen bidimensional. Una transición escalonada puede incluir un incremento de la intensidad de la luz en la imagen bidimensional superior a 10 %, 20 %, 30 %, 40 %, 50 % o 100 % o más entre dos puntos de la imagen que se encuentran a una distancia inferior a 1/1*103 1/1x104 o 1/1*106 o inferior al diámetro de la imagen. Además, la transición escalonada de la intensidad lumínica puede describirse mediante una función escalonada o una función de singularidad de la intensidad lumínica en una línea o punto de la imagen.

Según una realización adicional, el método comprende ajustar las posiciones de los nodos de múltiples o todas las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula, en donde las múltiples zonas de celdas Ad,i de la primera retícula corresponden a múltiples haces de luz contiguos que presentan exitancias radiantes respectivas M; en las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula y en las zonas de celdas As,i de la segunda retícula, las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula se solapan por lo menos parcialmente entre sí, correspondientes a múltiples haces lumínicos superpuesta, en donde las regiones en la primera superficie donde los múltiples haces lumínicos se superponen entre sí incluyen las regiones de las transiciones escalonadas de intensidad lumínica de la imagen bidimensional.

Según otra realización adicional, el método comprende ajustar las posiciones de los nodos de múltiples o todas las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula, en donde las múltiples zonas de celdas Ad,i de la primera retícula corresponden a múltiples haces de luz contiguos que presentan exitancias radiantes respectivas M; en las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula y en las zonas de celdas As,¡ de la segunda retícula, en donde algunas de las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula se solapan por lo menos parcialmente entre sí, correspondientes a múltiples haces lumínicos superpuestas, en donde las regiones en la primera superficie donde los múltiples haces lumínicos se superponen entre sí incluyen las regiones de las transiciones escalonadas de intensidad lumínica de la imagen bidimensional y algunas de las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula no se solapan entre sí correspondientes a haces contiguos de luz incidente en zonas de celdas contiguas Ad,i de la primera retícula.

Según una realización adicional, la operación de ajustar las posiciones de los nodos de las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula y de determinar las normales de superficie de la segunda superficie en los nodos de las primeras zonas de celdas Ad,1 de la segunda retícula en las que se ha llevado a cabo un ajuste de las posiciones con un algoritmo de optimización. El ajuste de las posiciones de los nodos de las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula puede llevarse a cabo de acuerdo con los datos en el capítulo 3.1. Brillo de cuadriláteros, del anexo. Sin embargo, otros métodos también pueden resultar adecuados.

Según otra realización, el método comprende, además, la operación de determinar por lo menos una zona de celdas Ad,i de la primera retícula que comprende por lo menos un borde de una transición escalonada de intensidad lumínica correspondiente a una singularidad de la función de intensidad lumínica en la imagen bidimensional y determinar la posición del borde de la transición de intensidad lumínica en la zona o zonas de celdas Ad,i de la primera retícula.

Según otra realización, la operación de determinar por lo menos una zona de celdas Ad,i de la primera retícula, que comprende por lo menos un borde de una transición de intensidad lumínica incluye utilizar el algoritmo de detección de bordes de Canny.

Según todavía otra realización, el método comprende, además, la operación de determinar un vector dC,i que define la orientación del borde de la transición de intensidad lumínica y la dirección de la intensidad alta o baja en la imagen bidimensional con respecto al borde. El vector dC,i puede definirse que presenta una posición perpendicular al borde de la transición de intensidad lumínica.

Según una realización todavía adicional, el ajuste de las posiciones de los nodos de la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula en la primera superficie y de la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula en la primera superficie se encuentra por lo menos parcialmente en correspondencia con la posición del borde de transición de intensidad lumínica, de manera que la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula correspondiente al segundo haz lumínico se solapa con la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula en una región que incluye el borde de transición de intensidad lumínica y el primer haz lumínico se solapa correspondientemente con el segundo haz lumínico.

Según otra realización, el método incluye llevar a cabo una optimización utilizando un algoritmo de optimización a fin de obtener las normales de superficie de la segunda superficie. Las normales de superficie de la segunda superficie pueden obtenerse una vez se han determinado las posiciones de los nodos de la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula en la primera superficie y de la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula en la primera superficie.

Según todavía otra realización, el método incluye la manufacturación física de una superficie de material según el campo de alturas. El material puede presentar una superficie especular para reflejar la luz o puede ser transparente para refractar la luz. El material puede consistir en vidrio acrílico refractivo o comprender dicho material, o puede consistir en aluminio reflectante o cualquier otro metal, o comprender dicho material.

Según todavía otra realización, el método incluye la manufacturación de una superficie con múltiples zonas de celdas planas según el campo de alturas calculadas.

Según una realización adicional, las zonas de celdas presentan una forma cóncava o convexa. La forma puede conseguirse mediante un procedimiento correspondiente de pulido.

Según todavía otra realización, el método incluye pulir la superficie manufacturada para eliminar o reducir los bordes.

Según todavía otra realización, el método incluye proporcionar una fuente lumínica que está configurada para emitir luz colimada, luz paralela o luz de una fuente lumínica puntual sobre la superficie que comprende un campo de alturas.

Según la invención se proporciona un aparato que está configurado para llevar a cabo el método tal como se ha descrito anteriormente. Según una realización, el sistema está configurado para procesar la superficie de un material para que comprenda la forma según un campo de alturas según se ha determinado mediante el método previamente descrito.

Según una realización, el sistema comprende un módulo que está configurado para determinar, basándose en una imagen de plantilla, la deformación de una retícula que comprende varias celdas que corresponden a haces lumínicos parciales imaginarios, cada uno de los cuales presenta un flujo radiante respectivo, Oi, de manera que en la retícula deformada, cada zona de una celda corresponde a una intensidad lumínica predeterminada o exitancia M i del haz parcial imaginario respectivo, en donde la suma de las intensidades lumínicas predeterminadas forma la imagen de plantilla.

Según otra realización, el sistema comprende un módulo que está configurado para obtener un campo de normales de superficie en una superficie en la que inciden los haces lumínicos parciales imaginarios basándose en la deformación determinada de la retícula. La superficie puede corresponder a una superficie refractiva o reflectante o a una superficie correspondiente a una imagen formada por los haces lumínicos parciales imaginarios.

Según una realización, el sistema comprende un módulo que está configurado para determinar un campo de alturas basado en el campo de normales de superficie, en donde el campo de alturas representa una superficie de una plancha de material refractiva o reflectante que produce la imagen de plantilla al proyectar luz sobre ella.

Según otra realización, el sistema comprende un algoritmo de optimización que calcula por lo menos uno de entre la retícula deformada, el campo de normales de superficie y el campo de alturas.

Según una realización, el sistema comprende un generador de pliegues capaz de detectar y determinar la posición y/o orientación de una transición de intensidad lumínica en la imagen de plantilla.

Según otra realización, el generador de pliegues incluye un módulo para determinar la deformación de una retícula que corresponde a intensidades lumínicas de haces parciales imaginarios definidos por la imagen de plantilla, en donde el módulo considera por lo menos un borde de una transición lumínica en la imagen de plantilla como una singularidad de la función de distribución de intensidades lumínicas y/o como una celda en la que las celdas de la retícula deformada se solapan entre sí, correspondiendo a un solapamiento de haces que emanan de diferentes zonas de celdas de una retícula fija en la superficie refractiva o reflectante. Debido al solapamiento, se generan pliegues de celdas o intensidades lumínicas superpuestas en la imagen que se genera al proyectar luz sobre la superficie correspondiente al campo de alturas.

Además, según una realización, uno o más medios de almacenamiento informático en los que se han almacenado múltiples instrucciones que, al ser ejecutadas por uno o más procesadores de un dispositivo, causan que uno o más procesadores lleven a cabo un método según una o más realizaciones descritas anteriormente.

Resultarán características, ventajas y elementos adicionales de la invención a partir de la descripción siguiente de realizaciones ejemplares de la invención en referencia a los dibujos adjuntos y el anexo. En los dibujos:

La fig. 1 muestra la reflexión de un haz de luz sobre una superficie especular y su desvío hacia una retícula de fotones como principio básico de la realización.

La fig. 2 muestra esquemáticamente la deformación (vértices u j de una retícula en el plano especular, mientras que la retícula en la superficie receptora (vértices x j está fija.

La fig. 3 muestra un esbozo esquemático del método de optimización para generar una superficie reflectante (izquierda) o refractiva (derecha), en donde los vectores normales de superficie requeridos (fila intermedia) se calculan de manera que la reflexión o reflexión de la luz entrante uniforme genere la imagen de cáusticas deseada y se obtiene la superficie 3D misma mediante integración (fila inferior).

La fig. 4 muestra esquemáticamente la deformación (vértices u j de una retícula en el plano receptor, mientras que la retícula en la superficie especular (vértices x j está fija.

La fig. 5 muestra el resultado de una optimización de cáusticas, en donde se muestra la imagen de intensidades de entrada en (a); se muestra una cáustica producida real que se ha calculado con una herramienta de simulación de luz de iluminación global en (b); en (c) se ilustra una imagen de la diferencia, en donde las diferencias son menores y la cáustica en (b) se produce mediante una superficie de campo de alturas cuyas isolíneas de contorno se muestran en (d).

La fig. 6 muestra en la fila superior las cáusticas de una tira reflectante que empiezan a solaparse al doblar la tira, creando un pliegue, y en la fila inferior, una cáustica con pliegues obtenidos con una superficie reflectante o reflectante que se corresponde con la forma de las imágenes objetivo de entrada (a, c), y que crea un vivo patrón de cáusticas con pliegues tales como los mostrados en las simulaciones lumínicas (b, d).

Se describen realizaciones de la invención en referencia a las figuras 1 a 6. Según una primera realización, se ha producido una superficie reflectante basándose en una imagen en escala de grises dada (fig. 5A), en donde la reflexión o refracción en esa superficie generada reproduce la imagen en escala de grises original (fig. 5b).

En el método se ha partido de la premisa de que no ocurren interreflexiones ni efectos de sombreado, y se ha supuesto que las superficies especulares son lisas, de manera que las cáusticas generadas serán contiguas. Lo anterior ha permitido la utilización de una retícula bidimensional que define básicamente la sección transversal del haz lumínico.

La imagen en escala de grises original en una superficie plana 2 se discretizó en una retícula regular 1 y la superficie especular 5 también se discretizó en una retícula regular 9. Según la discretización de la imagen y la superficie, se discretizó un haz lumínico hipotético en varios haces parciales, en donde cada haz parcial corresponde a una celda 3 de la retícula 1 en la imagen en escala de grises discretizada y una celda 11 en la superficie especular 5.

Aunque se utilizó una retícula fija 1 para describir la imagen en escala de grises, los nodos de la retícula 9 de la superficie especular 5 que confinan el haz parcial resultan desplazados. Mediante la deformación de esa retícula 9, pueden asignarse las cantidades deseadas de luz a las caras correspondientes de la cáustica que debe reproducirse. La asignación de las cantidades deseadas de luz se basa en la distribución de intensidades en la imagen en escala de grises discretizada: cuanto mayor sea la superficie de una celda en la retícula distorsionada 9 en la superficie especular 5, más luz se proyecta sobre la superficie de celda no modificada en la retícula 1 de cáusticas, incrementando su brillo. Los vértices de límite de la retícula distorsionada 9 se confinaron para mantenerse en el margen.

Suponiendo especularidad perfecta de la superficie especular 5, el flujo radiante 0 ¡ (la potencia emitida o incidente total) se mantiene constante en todo el haz que puede definirse mediante una zona de celdas triangular, cuadrilateral o multilateral de la retícula 1 o 9 (ver la figura 1). El flujo es igual a la exitancia radiante Mi (la potencia emitida por unidad de superficie) multiplicada por la superficie de la retícula original Ao,i,

es igual a la irradiancia Is,i (la potencia incidente por unidad de superficie) multiplicado por la superficie As,i de la superficie especular,

y es igual a la irradiancia Id,i multiplicada por la superficie Ad,i del receptor.

Partiendo de la premisa de una fuente de luz paralela y triángulos de igual tamaño, Mi e Is,i son iguales para cada triángulo. En consecuencia, la irradiancia resultante Id,i en la superficie del receptor 2, la contribución de este triángulo o multilateral es proporcional a la superficie original dividida por la superficie resultante en la retícula de fotones 1. Básicamente, este es el brillo de cáusticas resultante suponiendo un modelo de reflectancia lambertiana (es decir, perfectamente difuso) para el receptor.

Una vez se ha encontrado la deformación de esta retícula 9, se obtiene el campo de normales mediante interpolación de las direcciones de rayo salientes en los nodos de la rejilla utilizando coordenadas baricéntricas. La determinación de la deformación de la retícula 9 se describe en el capítulo 3.1. Brillo de cuadriláteros, del anexo, mientras que la determinación del campo de normales según una realización se describe en el capítulo 3.2, del anexo.

Seguidamente el campo de normales se integra a una superficie de campo de alturas. Dicha superficie de campo de alturas reproduce las imágenes de cáustica deseadas con una precisión muy elevada. Seguidamente la superficie del campo de alturas se transfirió a una superficie reflectante de una placa de material.

En la fig. 5b se muestra una cáustica que se genera mediante proyección de luz sobre la superficie reflectante manufacturada. La figura 5a muestra la imagen de intensidades en la que se basa la superficie reflectante manufacturada. La imagen de las diferencias mostrada en la fig. 5c ilustra que las diferencias entre la imagen de intensidades originales y la cáustica producida con la superficie reflectante manufacturada son menores. En la fig. 5d se muestra una superficie de campo de alturas calculadas que comprende isolíneas de contorno.

Según una realización adicional, se generó una superficie especular refractiva o reflectante que produce una cáustica con pliegues. Los pliegues son efectos que se producen por una superposición de haces que emanan de diferentes zonas de celdas de la superficie especular. Los pliegues son los típicos contornos brillantes que ocurren cuando una cáustica contigua se solapa sobre sí misma (ver la fig. 6, en la fila superior). La introducción de pliegues no permite la reproducción precisa de una imagen original, pero enfatiza las características más destacadas en la imagen original. También introducen una ambigüedad en el sentido de que un punto del patrón de la cáustica no puede relacionarse de vuelta con exactamente un punto en la superficie reflectante o refractiva. Por lo tanto, una cáustica que incluye pliegues puede comprender efectos ópticos adicionales que no están necesariamente incluidos en la imagen original. Para este enfoque, se consideró una retícula regular fija en la superficie reflectante o refractiva (vértices x j y se deformó una retícula de la misma conectividad en la superficie receptora (vértices u j (ver la figura 4). Los vectores que apuntan de x ij a uij son las direcciones deseadas de los rayos reflejados o refractados en la superficie especular. Mientras que se utilizó una retícula fija 9 de la superficie especular 5, los nodos de la retícula 1 que describen la imagen en escala de grises se desplazaron. Mediante la deformación de esa retícula 1, pueden asignarse las cantidades deseadas de luz a las caras correspondientes de la cáustica que debe reproducirse. La asignación de las cantidades deseadas de luz se basa en la distribución de intensidades en la imagen en escala de grises discretizada: cuanto mayor sea la superficie de una celda en la retícula distorsionada 1 que corresponde a la imagen en escala de grises en la superficie receptora 1, menos luz se proyecta sobre la zona de celdas en la retícula 1 de cáusticas, reduciendo su brillo. Se muestra este principio en la fig. 3 para las cáusticas reflectantes en la fila izquierda y para las cáusticas refractivas en la fila derecha.

Sin embargo, el procedimiento descrito hasta ahora no incluye pliegues. Como entrada para la generación de pliegues, se utilizó el algoritmo de detección de bordes de Canny, para detectar bordes y transiciones de intensidad de luz en una imagen de entrada. En particular, con el algoritmo de detección, se determinaron las celdas de la retícula que incluían transiciones de intensidad de luz. A continuación, se determinó la posición y orientación de los bordes y transiciones de la intensidad lumínica. Utilizando un algoritmo de optimización, se determinó la deformación de la retícula 1 en la superficie de cáustica, en donde los bordes de transición se tratan como singularidades de la función de distribución de intensidades de luz y como zonas en donde las celdas de la retícula original 1 se solapan entre sí y correspondientemente los haces que emanan de diferentes zonas de celdas de la malla fija 9 sobre la superficie especular 5.

Utilizando las direcciones de rayo entrante y saliente de la superficie especular 5 a la superficie 1 de la cáustica, se calculó el campo de normales y después se encontró un campo de alturas que se correspondiese óptimamente con dichas normales, utilizando el enfoque descrito en el capítulo 2.3. Campos de normales a campos de alturas, del anexo (ver la fig. 3).

Las variables que se han utilizado para caracterizar los pliegues deseados en las celdas de la retícula se describen en los capítulos 4.1 y 4.1.1 a 4.1.9 del anexo.

Posteriormente, se generó el campo de normales, que después se integró en un campo de alturas. Nuevamente se garantizó que el campo de normales generado pudiese integrarse para formar un campo de alturas. En este aspecto, el método que se ha utilizado es aproximadamente el mismo que para la realización anterior y tal como se describe en el capítulo 3.2 del anexo.

Se muestran en la figura 6, en la fila inferior, ejemplos de cáusticas con pliegues que se han obtenido con materiales reflectantes o refractivos a los que se han transferido los campos de alturas calculadas. Las figuras 6a y 6c describen la imagen objetivo basándose en la cual se determinaron y calcularon los campos de alturas, y las figuras 6b y 6d muestran las imágenes de cáusticas que comprenden pliegues que se han obtenido proyectando luz sobre planchas de un material transparente o reflectante que comprende una estructura superficial que corresponde al campo de alturas calculadas.

Resulta claramente visible que los pliegues, además de enfatizar las estructuras destacadas de las imágenes objetivo, tales como bordes de transiciones de luz, aparecen en otras posiciones no relacionadas con la imagen original y comprenden una forma que no es totalmente predecible. Sin embargo, este aspecto artificial en las imágenes de cáusticas resulta deseable. Sin embargo, tal como es visible en las figuras 6b y 6d, la posición y generación de los pliegues en las cáusticas está controlado, ya que los pliegues se han generado para que aparezcan dentro de las zonas blancas brillantes de la imagen objetivo original exclusivamente.

Pueden aplicarse modificaciones en las realizaciones específicas descritas anteriormente sin apartarse del alcance de la invención.

Números de referencia:

1 primera retícula

2 primera superficie

3 zona de celdas de la primera retícula

5 segunda superficie

9 segunda retícula

11 zona de celdas de la segunda retícula

Anexo

Resumen

La generación de cáusticas a partir de una geometría dada es un problema popular en los gráficos de ordenador. Esta tesis contempla el problema inverso: Dada una imagen en escala de grises, encontrar la forma de una superficie que proyecte una cáustica que se corresponda con ella. Se han propuesto dos nuevos enfoques. El primer enfoque es adecuado para imágenes naturales y es capaz de reproducirlas con precisión con una superficie reflectante o refractiva lisa. Funciona mediante optimización de una retícula bidimensional sobre la superficie especular, en la que cada cara es responsable de una zona de la cáustica, y su superficie determina el brillo resultante de esa zona. Se obtiene un campo de normales a partir de dicha retícula deformada y posteriormente se integra para generar un campo de alturas. El segundo enfoque, adecuado principalmente para imágenes monocromáticas, reproduce bordes utilizando las características nítidas típicas de las cáusticas, denominadas «pliegues» en la presente memoria. Las propiedades de tales patrones se han estudiado y convertido en un marco de optimización, que nuevamente produce un campo de normales. A continuación, esta idea se amplía a un sistema que permite correcciones de los resultados guiadas por el usuario. Ambos enfoques han sido demostrados en diversas imágenes y se han verificado utilizando el software de renderización de código abierto LuxRender.

Índice

Lista de figuras ix Lista de tablas xi 1 Introducción 1 1.1 Trabajos relacionados 3 1.2 Descripción general 4 2 Marco 5 2.1 Cáusticas directas 6 2.2 Cáusticas inversas 8 2.2.1 Direcciones de rayo a normales 8 2.3 Campos de normales a campos de alturas 9 2.3.1 Matriz de ecuaciones normales 10 3 Distorsión del brillo 13 3.1 Brillo de cuadriláteros 15 3.2 Integrabilidad 16 3.3 Corrección de consistencia 18 3.4 Multirrejilla 18 3.5 Resultados 19 4 Generador de pliegues 25 4.1 Realización. 25 4.1.1 Posiciones de pliegues 27 4.1.2 Orientación de bordes 28 4.1.3 Orientación de pliegues 29 4.1.4 Orientación de pliegues libre de derivadas 30 4.1.5 Forzamiento de pliegues 30 4.1.6 Restricción de intervalo 31 4.1.7 Integrabilidad 32 4.1.8 Lisura 33 4.1.9 Consideraciones adicionales 34 4.2 Eficiencia de la orientación de pliegues 35 4.3 Resultados 36 5 Edición de pliegues 41 5.1 Detección Puntos críticos. 41 5.2 Trazado de contornos 43 5.3 Resultados 44 6 Comentario 47 6.1 Eliminación de simplificaciones 47 6.1.1 Fuentes de luz puntuales 47 6.1.2 Especularidad imperfecta 49 6.2 Revisión 52 6.2.1 Quasi-planaridad 52 6.2.2 Idoneidad de los enfoques 53 7 Perspectivas 55 7.1 Campos de alturas reales 55 7.2 Campos de normales discontinuos 56 7.3 Generador de pliegues 56 7.4 Extensiones adicionales 57 8 Conclusión 59 A Campos de normales a campos de alturas 61 A.1 Método de Gauss-Seidel 61 A.2 Método de gradiente conjugado 62 Créditos de imagen 65 Bibliografía 67 Cáusticas de reflexión y refracción causadas por una botella de plástico 1 Pliegue: cáustica de una tira reflectante que se dobla 2 Generación de una cáustica 6 Normal de una curva 6 Reflexión de un haz de luz 7 Refracción 9 Configuración de los elementos del campo de alturas/campo de normales 10 Resultado del trabajo preliminar 13 Distorsión del brillo: Se deforma una retícula en el plano especular (u/j), mientras 14 que la retícula en el receptor es fija(x/j)

Resultado de distorsión del brillo para la plantilla de Mona Lisa, relativamente pocas 19 etapas.

Resultado de distorsión del brillo para la plantilla de Mona Lisa, multirrejilla 20 Efecto de la constante añadida al brillo 21 Resultado de distorsión del brillo para imagen de plantilla minimalista 21 Resultado de distorsión del brillo para una plantilla de panda 22 Campo de alturas y resultado de LuxRender para la plantilla de panda 22 Resultado de distorsión del brillo para una plantilla de Cherokee Pass 23 Resultado de distorsión del brillo para imagen de prueba de Lena 24 Generador de pliegues: Se deforma una retícula en el receptor (u/j), mientras que 26 la retícula en el plano especular es fija(x/j)

Configuración de uc,/, de,/ y l(cr) 26 Posiciones de pliegues 27 Orientación de bordes 28 Orientación de pliegues 29 Orientación de pliegues libre de derivadas 30 Forzamiento de pliegues 31 Gráfico del núcleoM635 Efecto de la etapa de preparación 35 Resultado de la optimización para dos círculos concéntricos 36 Resultado de la optimización para el símbolo de radioactividad 37 Resultado de la optimización para dos plantillas de emoticono de cara sonriente 37 Resultado de la optimización para un Estrella de cinco puntas 38 Resultado de la optimización para el Estrella de cinco puntas, con penalizaciones 38 adicionales para zonas oscuras

Resultado de la optimización para una silueta de gato 38 Fotones correspondientes a candidatos de punto crítico 42 Histograma de la función objetivo 43 Trazado de contornos 43 Etapas de edición interactiva 44 Resultado interactivo para el símbolo de radioactividad 45 Resultado interactivo para el Estrella de cinco puntas 45 Resultado interactivo para la silueta de gato 46 Aplicación repetida para la distorsión de brillo en la plantilla de Mona Lisa 49 Resultados de deconvolución para Lena 50 Resultados de LuxRender para Lena, con y sin deconvolución 51 Resultados de LuxRender para «Mohnblumen», con y sin deconvolución 51 Renderización que muestra un resultado de distorsión del brillo 60 Lista de tablas

4.1 Tiempos para los diversos ejemplos de generación de pliegues 39 6.1 Intervalos de profundidad de algunas superficies generadas utilizando la distorsión 52 de brillo

6.2 Intervalos de profundidad de las superficies producidas por el generador de pliegues 531. Introducción.

Las cáusticas son patrones de luz que aparecen cuando la luz resulta reflejada o refractada por superficies curvas. Según los objetos implicados, las cáusticas pueden ser muy complejas, lo que incrementa mucho el atractivo visual de una escena. Las cáusticas de ordenador en una escena tridimensional dada son una de las dificultades de la renderización fotorrealista y ha sido el objeto de mucha investigación.

Figura 1.1.: cáusticas reflexivas y refractivas causadas por una botella de plástico llena de agua, claramente distinguibles por su color. Se ocluyó la luz de manera que solo resultaban iluminados directamente la botella y una zona limitada de la mesa.

La presente tesis contempla el problema inverso: dada una imagen, calcular la forma de un objeto reflectante o refractivo que, al ser iluminado por una fuente de luz dada, proyecta la imagen sobre una superficie difusa conocida. En contraste con la transparencia, lo anterior no funciona mediante absorción, sino por redireccionamiento de la luz, por lo que esencialmente se proyecta toda la potencia radiante sobre la superficie difusa. En consecuencia, algunas zonas de una cáustica pueden ser más brillantes de lo que serían si se iluminasen solo con luz directa.

Este problema inverso de encontrar un reflector o refractor para una cáustica dada es un problema difícil por varios motivos. La forma de una superficie ofrece un espacio de optimización grande, que además contiene muchos mínimos locales. El tiempo que requiere la mayor parte del software de renderización para calcular una cáustica además hace que no resulte práctico aplicar algoritmos de optimización, los cuales necesitan evaluar sus funciones objetivas miles o incluso millones de veces. No obstante, se han utilizado GPU con éxito para mitigar dicho problema [FDL10].

Otro motivo de la dificultad son los “pliegues” (figura 1.2). Los pliegues son los típicos contornos brillantes que ocurren cuando una cáustica contigua se solapa sobre sí misma. El problema con los pliegues es que destacan mucho, pero resultan difíciles de controlar. También introducen una ambigüedad en el sentido de que un punto del patrón de la cáustica no puede relacionarse de vuelta con exactamente un punto en la superficie reflectante o refractiva.

Figura 1.2.: cáustica (parte superior) de una tira reflectante (parte inferior): la cáustica empieza a solaparse sobre sí misma a medida que se dobla la tira, creando un pliegue.

En la presente tesis, se proponen dos enfoques. En el primer enfoque, denominado «distorsión del brillo», se considera una cáustica contigua fija como retícula cuadrática. Esta representación se calcula a partir de una superficie especular conocida, en su expresión más simple, un rectángulo. A continuación, la superficie reflectante o refractiva se divide en parches cuadrangulares que corresponden a las caras de la cáustica. Mediante la optimización de la superficie de dichos parches, puede ajustarse el brillo de los cuadrángulos correspondientes de la cáustica a una distribución dada. En una segunda etapa, se calcula un campo de normales a partir de dicho mapeo y posteriormente se convierte en un campo de alturas. Lo anterior no resulta posible para campos de normales arbitrarios; por lo tanto, la etapa de optimización de superficies también debe verificar que el resultado efectivamente puede integrarse para generar un campo de alturas.

Este procedimiento implica considerables restricciones para el algoritmo: está limitado a una cáustica contigua fija representada por una retícula y requiere una distribución de brillos dada para sus caras. Además, ignora la forma real del reflector o refractor y funciona solo en normales de superficie. Dichas simplificaciones resultan en una función objetiva diferenciable, que permite el uso de métodos de optimización basados en gradientes. Además, ambos remedian el problema de mínimos locales subóptimos y evitan las costosas evaluaciones de las cáusticas. A pesar de las simplificaciones, el enfoque es suficientemente potente para reproducir imágenes fielmente.

El segundo enfoque propuesto en la presente tesis adopta otra perspectiva del problema. Aunque el primero modifica la distribución de brillos de una cáustica de una forma fija, este modifica la forma de la cáustica. Los métodos son similares en el aspecto de que ambos funcionan sobre un mapeo de las caras de reflector/refractor respecto a las caras de la cáustica. Este método se basa en diversas ecuaciones que describen pliegues en posiciones preespecificadas, que se utilizan como objetivos para optimizar la cáustica, introduciendo pliegues en donde se desean. Nuevamente, se obtiene un campo de normales a partir del resultado de la optimización y posteriormente se integra generando un campo de alturas. El enfoque se amplía posteriormente para permitir la edición manual de cáusticas.

Aunque el primer enfoque resulta adecuado para generar imágenes naturales preespecificadas como cáusticas sin pliegues, el segundo enfoque genera las características de pliegue típicas, pero no tiene ningún control sobre la distribución global de brillos. Por lo tanto, resulta más adecuado para patrones monocromáticos simples, tales como logos, que se forman principalmente mediante la reproducción de sus contornos.

Las aplicaciones de este trabajo son principalmente de una naturaleza artística. Las cáusticas son interesantes desde un punto de vista artístico ya que la forma del objeto especular correspondiente no revela directamente la cáustica que producirá. Las superficies generadas con uno de los enfoques propuestos en la presente tesis podrían utilizarse en arquitectura o diseño de interiores, por ejemplo, como ventanas especiales que crean cáusticas interesantes al ser iluminadas por la luz solar. El primer enfoque también podría utilizarse para el diseño de luminarias. Dichas aplicaciones con frecuencia implican reflectores fuertemente curvados y distancias pequeñas a la fuente de luz, por lo que el método no resulta adecuado directamente debido a las simplificaciones que se realizan. Sin embargo, podría proporcionar la base para nuevos métodos que levanten estas restricciones.

1.1. Trabajos relacionados.

La tarea de reproducir una distribución lumínica preespecificada por una superficie especular también aparece en el campo del diseño de reflectantes inversos, que se concentra en reflectores para lámparas. Se proporciona un estudio sobre el diseño de reflectores inversos en Patow y Pueyo [PP05]. Existen dos tipos de tales distribuciones de luz: distribuciones de campo cercano y de campo lejano. Las distribuciones de campo cercano especifican una distribución de irradiancias en una superficie dada (normalmente plana) que debe reproducirse, que también es la meta de la presente tesis. Las distribuciones de campo lejana pueden considerarse casos límite en los que la superficie que debe iluminarse está a una distancia infinita del reflector, de manera que solo importa la distribución de las direcciones de rayo.

Los métodos para el diseño de reflectores inversos utilizan habitualmente un enfoque de análisis por síntesis: se selecciona una determinada representación superficial para parametrizar el reflector, tal como NURBS [ASG08]. A continuación, la distribución lumínica causada por una superficie se evalúa y se clasifica en comparación con la deseada, que se utiliza para optimizar iterativamente los parámetros de la superficie. Se han aplicado diversas estrategias de optimización, que van desde marcos que permiten la diferenciación analítica, permitiendo de esta manera el uso del método de gradiente conjugado [Neu97], y métodos que calculan derivadas por aproximación [FDL10] hasta los que no utilizan derivadas en absoluto [ASG08]. Los ejemplos que utilizan la optimización evolutiva [DCC99] también pertenecen a esta última categoría. Según los conocimientos del autor, ninguno de dichos métodos utiliza un enfoque en dos etapas similar que en primer lugar optimiza un campo de normales y solo después calcula un campo de alturas a partir del mismo. Esto podría deberse al hecho de que las aplicaciones habituales utilizan una fuente de luz próxima al reflector, que está fuertemente curvado para que la luz esté enfocada, provocando que este enfoque en dos etapas resulte más bien inadecuado.

Las simplificaciones impuestas en la escena varían; las premisas de especularidad perfecta y solo un rebote de la luz sin interreflexiones ni oclusiones (tal como se hace en la presente tesis) son comunes, aunque existen excepciones a ambas [PPV07, MMP09]. La restricción a reflectores rotacionalmente simétricos también se utiliza normalmente, en particular en trabajos teóricos [WN75].

Estos trabajos se centran principalmente en superficies reflectantes, aunque muchos se extienden fácilmente a la refracción. Un ejemplo destacable que investiga el problema refractivo es el trabajo de Finckh et al. [FDL10]. Utilizan cálculos de la unidad de procesamiento de gráficos (GPU, por sus siglas en inglés) para acelerar la evaluación de cáusticas, y un algoritmo de aproximación estocástica para la optimización, que es capaz de encontrar un óptimo global.

Respecto a los objetos refractivos, también cabe destacar el campo del diseño de lentes, aunque las metas de estos problemas son diferentes, p. ej., la corrección de aberraciones. Estos problemas con frecuencia se restringen a un número pequeño de parámetros, tales como los radios de las formas primitivas subyacentes [PP005]. Nuevamente, hay excepciones, p. ej., el trabajo de Loos et al. [LSS98], quienes utilizan una representación basada en NURBS para optimizar lentes progresivas.

Weyrich et al. [WPMR09] seleccionaron un enfoque diferente para reproducir una distribución de campo lejano preespecificada: En primer lugar, generaron un conjunto de microfacetas planas e inclinadas para generar la distribución deseada de direcciones de rayo. A continuación, las organizaron en una matriz regular utilizando recocido simulado para minimizar las discontinuidades resultantes.

Un trabajo estrechamente relacionado con el de Weyrich et al. es el sistema de campos cercanos propuesto por Papas et al. [PJJ+11]. Papas et al. ampliaron la noción de microfacetas a microparches curvados, los cuales se utilizan para producir puntos de luz con una distribución gaussiana anisotrópica. Estos autores explícitamente «se centran en el efecto más complejo de la refracción, mientras que el caso de la reflexión sigue por analogía». Para demostrar sus resultados, también manufacturan físicamente superficies refractivas a partir de vidrio acrílico (PMMA, marca comercial Plexiglass).

Se produce un solapamiento entre el método de distorsión del brillo propuesto en el presente documento y su trabajo; de hecho, el nombre se ha tomado prestado de un apartado titulado «Distorsión de la irradiancia» [PJJ+11, sección 5.1]. Para calcular la forma de los microparches que producen una distribución gaussiana de la irradiación, Papas et al. "definen un mapeo biyectivo entre puntos en el dominio de microparches y puntos en el plano de proyección», «calculan analíticamente las normales de superficie que refractan/reflejan la luz de esta manera», y finalmente «integran dicho campo de normales para llegar a la superficie de microparches requerida». El enfoque propuesto en el presente documento funciona de la misma manera, con dos diferencias principales. En primer lugar, el mapeo biyectivo se ha invertido, es decir, los puntos en el plano de proyección son fijos en el presente documento, mientras que los puntos en la superficie especular se desplazan. En segundo lugar, debido a la forma simple de las cáusticas deseadas, Papas et al. no necesitan considerar explícitamente la integrabilidad de sus campos de normales, lo que es un ingrediente clave para reproducir imágenes arbitrarias. Debe señalarse que el método propuesto en el presente documento se desarrolló sin conocimiento del trabajo de Papas et al., que solo llego a conocimiento del autor posteriormente, y se modificó el nombre del método posteriormente por uno más adecuado.

1.2. Descripción general.

El resto de esta tesis se estructura del modo siguiente. El capítulo 2 enumera las premisas planteadas para desarrollar los enfoques. Además, describe varios bloques constructivos que se utilizarán posteriormente. El enfoque de distorsión del brillo se concibe en el capítulo 3 y el método de generación de pliegues, en el capítulo 4. Los resultados de los dos enfoques también se analizan en sus capítulos respectivos. A continuación, el capítulo 5 considera las funcionalidades que proporcionan la base para la edición guiada por el usuario de los pliegues.

El capítulo 6 analiza los problemas referidos a ambos enfoques y describe como algunas restricciones que se realizaron en el capítulo se eliminan en la implementación. En el capítulo 7 se proporcionan ideas adicionales sobre cómo podrían eliminarse algunas restricciones adicionales, e ideas generales para posibles investigaciones en el futuro.

2. Marco.

Este capítulo en primer lugar describe las premisas y simplificaciones en las que se basan los próximos tres capítulos. Los apartados 2.1 a 2.3 seguidamente delinean las funcionalidades básicas de la implementación, que se concibieron en un trabajo preliminar.

A lo largo de toda la presente tesis se utiliza un campo de alturas plano para generar las cáusticas. Se discretiza por medio de una retícula regular. Para simplificar adicionalmente los cálculos, se ignora el desplazamiento real del campo de alturas, y se utiliza un plano simple para el trazado de los rayos. Solo se calculan las direcciones de rayo reflejadas/refractadas a partir de las normales del campo de alturas. Por lo tanto, esencialmente las operaciones se basan en un plano de mapeo con normales, aunque la reproducibilidad física del campo de normales todavía debe verificarse (ver el apartado 2.3). Puede encontrarse un análisis de dicha simplificación en los apartados 6.2.1 y 7.1.

La superficie difusa en la que se proyecta la cáustica (en lo sucesivo denominada «receptor») también se supone que es un plano. Se supone que la luz es emitida por una fuente de luz distante, por lo que los rayos se tratan como paralelos. Las fuentes de luz puntuales se analizan en el apartado 6.1.1.

Las reflexiones y refracciones se considera que son perfectamente especulares; se explica una alternativa en el apartado 6.1.2. Los presentes inventores parten de las premisas de que no ocurre sombreado, ni interreflexión y, para la refracción, que no ocurre reflexión interna total. También se consideran despreciables efectos espectrales como la dispersión.

Además, se supone que la cáustica es un patrón contiguo, lo que significa que el campo de normales será continuo y que el campo de alturas correspondientes será continuamente diferenciable. Lo anterior evidentemente limita las cáusticas que posiblemente pueden generarse, aunque hace que el diseño de los enfoques resulte considerablemente más simple.

Los enfoques concebidos en la presente tesis funcionan para configuraciones tanto reflexivas como refractivas. En el caso reflexivo, solo hay un campo de alturas. En el caso refractivo, participan dos superficies: una en la que la luz entra en el medio y una en la que sale del mismo. La primera de las dos se supone simplemente que es plana (manteniendo la luz incidente paralela) y los algoritmos operan únicamente sobre la segunda superficie.

2.1. Cáusticas directas.

En primer lugar, se describe el modo en que se generan las cáusticas a partir de un campo de alturas en la implementación. El enfoque utilizado por los presentes inventores se relaciona con el mapeo de fotones o trazado de haces que se inicia en la fuente lumínica.

Tal como se ha mencionado anteriormente, se supone que las superficies especulares son lisas y que no ocurre interreflexión ni sombreado, por lo que la cáustica será contigua. Lo anterior permite que utilicen una retícula de triángulos bidimensional que define básicamente la sección transversal del haz de luz. A continuación, pueden trazar un rayo para cada vértice individualmente. Análogamente al método de mapeo de fotones, la proyección de dichos vértices en el receptor se denominará en lo sucesivo «posiciones fotónicas» y en la retícula forman una «retícula de fotones».

Figura 2.1.: generación de una cáustica. A la izquierda, se discretiza un haz de luz utilizando una retícula que se corresponde con el campo de normales, en la parte intermedia. El campo deforma la retícula al reflejarse y proyectarse en el receptor, a la derecha.

Con el fin de reflejar o refractar un rayo, los presentes inventores evidentemente necesitaban obtener las normales a partir del campo de alturas. La figura 2.2 muestra que la normal de un campo de alturas z(x,y) es colineal con el vector.

Figura 2.2.: normal de una curva.

Debido a que el campo de alturas de los presentes inventores se ha discretizado como una retícula regular, se puede calcular simplemente la normal en cada nodo del campo de alturas mediante la utilización de diferencias finitas, y después utilizar la interpolación bilineal (junto con una renormalización) para obtener normales en posiciones arbitrarias en la superficie. Utilizando las operaciones estándares de trazado de rayos seguidamente se puede calcular la retícula de fotones proyectada en el receptor. La forma de la retícula de fotones define la distribución de brillos resultantes en el patrón de la cáustica; por lo tanto, a continuación, se considera la luz transportada a través de la escena.

Suponiendo especularidad perfecta, el flujo radiante O/ (la potencia emitida o incidente total) se mantiene constante en la totalidad de cada haz definido por un triángulo i; ver la figura 2.3. Es igual a la exitancia radianteM/(la potencia emitida por unidad de superficie) multiplicada por la superficie de la retícula original Ao,/,

es igual a la irradianciaIs,/(la potencia incidente por unidad de superficie) multiplicada por la superficie As,/ de la superficie especular,

e igual a la irradianciaId/multiplicada por la superficieAdjdel receptor,

Partiendo de la premisa de una fuente de luz paralela y triángulos de igual tamaño,M/eIs,/son iguales para cada triángulo. Esencialmente, la irradiancia resultanteId,/en el receptor contribuida por este triángulo es proporcionan a la superficie original dividido por la superficie resultante de la retícula de fotones. En términos coloquiales, lo anterior es el brillo resultante de la cáustica suponiendo para el receptor un modelo de reflectancia lambertiana (es decir, perfectamente difusa). En una implementación, la magnitud real de dichas cantidades no es importante: puede escalarse arbitrariamente el brillo resultante de la cáustica para garantizar una visualización significativa.

2.2. Cáustcas nversas.

Considerando que la cáustica puede tratarse como una retícula bidimensional de triángulos (que posiblemente pueden solaparse entre sí), aparentemente se sigue que, mediante la edición de la retícula de fotones, uno podría modificar la cáustica directamente. En contraste con el apartado anterior, en el que se calculó la cáustica a partir de un campo de alturas, este es el problema inverso, es decir, debe inferirse un campo de alturas a partir de una retícula de cáusticas dada, por lo que puede verse como un cálculo «inverso» de la cáustica.

Con el fin de reflejar o refractar rayos sobre la superficie especular de manera que intersecten el receptor en los puntos designados, el campo de normales debe ajustarse correspondientemente.

En primer lugar, resulta necesario un modo para calcular una normal n a partir de las direcciones de rayo incidente y saliente, a y b, lo que se describe en el apartado 2.2.1. A continuación, en el apartado 2.3 se explica cómo el campo de normales se convierte en un campo de alturas de manera que se torna físicamente significativo. Desafortunadamente esta etapa normalmente no puede reproducir el campo de normales con precisión, haciendo que la edición directa de una cáustica de esta manera resulte extremadamente laboriosa debido a las distorsiones que aparecen.

2.2.1. Direcciones de rayo a normales.

Tal como se ha mencionado, en primer lugar, se necesita un modo para calcular una normal n a partir de las direcciones de rayo incidente y saliente, a y b. Estos vectores se suponen normalizados y que apuntan hacia el exterior de la superficie especular.

En el caso de la reflexión, es trivial inferir la normal a partir de las direcciones incidente y saliente; es colineal con su media.

Para la refracción, se parte de la premisa adicional de que las direcciones de rayo son físicamente significativas1 y que describen una refracción real y no una reflexión interna total. Considerando la ley de Snell

Los vectores a-(a n)n y b-(bn)n (ver la figura 2.4) son colineales de sentidos opuestos y presentan longitudes sinay sinf3,respectivamente. De esta manera:

que puede reexpresarse como:

Se sigue que la proyección de a nb en n es igual al vector original. Paran1, este vector siempre presenta una longitud no nula, por lo que n y a nb deben ser colineales.

Por lo tanto, podemos calcular la normal a la superficie deseada a partir de una combinación lineal de las direcciones de rayo normalizadas; un método mucho más simple que el descrito por Papas et al. 1 Si no ocurre reflexión interna total, el ángulo entre las direcciones de rayo refractivo siempre es de por lo menos noventa grados más el ángulo críticoQcdel límite del material correspondiente;Qc= arcoseno n, dondenesno n '1, el que sea inferior a 1.

Figura 2.4.: refracción

[PJJ+11]. Ni siquiera hay una necesidad de distinguir entre reflexión y refracción, ya que el parámetron=1rendirá el resultado deseado en el caso de reflexión.

2.3. Campos de normales a campos de alturas.

A partir de una retícula de fotones dada, ahora puede obtenerse el campo de normales utilizando lo explicado anteriormente, en el apartado anterior. Con el fin de manufacturar físicamente un objeto reflectivo o refractivo que produce la cáustica deseada, el campo de normales debe convertirse en un campo de alturas. El presente apartado describe cómo.

Tal como se describe en el apartado 2.1, puede calcularse un campo de normales n(x, y) a partir de un campo de alturasz(x, y)mediante normalización del vector.

A la inversa, los presentes inventores pueden obtener fácilmente derivadas para el campo deseado a partir de las normales:

Sin embargo, el campo de vectores resultante puede no ser un campo de gradiente y, de esta manera, puede no ser exactamente reproducible. Por lo tanto, los algoritmos que generan un campo de normales deben considerar su integrabilidad con el fin de ser practicables.

Lo anterior es la base para la conversión de campo de normales en campo de alturas; la parte restante del presente capítulo detalla los aspectos matemáticos de la optimización.

A partir de la ecuación (2.9) aparentemente es natural formular el problema como un sistema de ecuaciones lineales, que aproximan las derivadas de los valores del campo de alturas utilizando diferencias finitas. En la literatura se utiliza un enfoque analítico ligeramente diferente a la integración de campos de gradiente, p. ej., Fattal et al. [FLW02].

La manera más simple de calcular las derivadas en los puntos medios de los bordes de rejilla; ver la figura 2.5. Para obtener los valores en dichas posiciones, se calcula el promedio de las normales a partir de los dos nodos de rejilla contiguos. Debe indicarse que esto llevará a cierta borrosidad entre el campo de normales original y el campo reconstruido a partir del campo de alturas resultante.

Figura 2.5.: organización de los elementos de campo de alturas/campo de normales. Los puntos pequeños representan las ubicaciones de las derivadas. Las incógnitas se ordenan de abajo a arriba y de izquierda a derecha, es decir, (z^m zom ■ ■■, z[ij[0j, ...}. Ello determina la ordenación de las filas y columnas de la matriz en el apartado 2.3.1.

En notación de matrices, los presentes inventores obtuvieron un sistema lineal Ax = b. A y b consisten en dos partes;

dz_ dz

(Nx-1 )A/y filas para d x , yNx(Ny -1) filas p a ra ^ . El vector x contieneNxNyincógnitas. Tal como se esperaba, la posibilidad de campos inconsistentes conduce a un sistema que presenta más ecuaciones que incógnitas para Nx,Ny> 2, que se resolvió mediante cuadrados mínimos. Las ecuaciones normales correspondientes son:

2.3.1. Matriz de ecuaciones normales.

En una vista más detallada de A, y la derivada ATA de la ecuación (2.10) para el uso en una implementación eficiente y libre de matrices. Tal como se acaba de mencionar, A consta de dos partes:

Ax consiste en(Nx -1) *Nxbloques, en donde cada uno es una submatrizNyxNy.Cada fila de bloques correspondedzJj_

a una columna dedxderivadas. Por conveniencia, el factorha partir de las diferencias finitas se desplaza al lado derecho, en dondehes el espaciado de la rejilla. De esta manera, b contiene las derivadas deseadas multiplicadas por h, y las únicas entradas no nulas de Ax son ±1.

Ayconsiste enNx * Nxbloques, en donde cada uno es una submatriz (Ny -1) *Ny.Cada fila de bloques representa dz

una columna dedyderivadas.

Definir la matrizN- 1 *N

Permite escribir Ax y Ay utilizando el producto de Kronecker.

Utilizar (A ® B)T = AT ® BT y la propiedad de producto mixto del producto de Kronecker (A ® B) (C ® D) = AC ® BD, se obtiene

con la matrizN*N

Conjuntamente puede observarse que el formato de ATA, que consiste enNx*Nxbloques deNy*Nysubmatrices. Lo anterior permite una implementación eficiente del producto ATAx.

Se observa una similitud destacable respecto a la matriz correspondiente a una ecuación de Poisson bidimensional en una rejilla regular. En efecto, el enfoque utilizado por Fattal et al. [FLW02] conduce a una ecuación de Poisson; una ligera diferencia es que la derivada mostrada en el presente documento implica automáticamente la condición de límite.

Singularidad de matriz.

Debe señalarse que si z(x, y) es una solución al problema de optimización, entonces también lo es z'(x, y) = z(x, y) d. En otras palabras, al añadir una constante a todas las incógnitas, el resultado se mantendrá sin cambios; en la notación de matrices (utilizando el vector de unos 1), esto implica

Lo anterior también resulta evidente a partir del hecho de que las sumas en las filas A son 0. En consecuencia, la matriz ATA de las ecuaciones normales es singular y meramente semidefinida positiva. Este problema puede evitarse mediante la fijación de una de las incógnitas en 0 mediante la eliminación de la fila y columna correspondientes de ATA y ATb, lo que provoca que la matriz sea estrictamente positiva definida y la solución, única.

De hecho, el esfuerzo para esa manipulación adicional no resulta necesario para tanto el método de Gauss-Seidel como el de gradiente conjugado, que indican que la simetría y la definición positiva estricta son condiciones suficientes (aunque no necesarias) para la convergencia [GVL96, She94]. El primero también converge para matrices dominantes estrictamente diagonales, aunque es fácil observar que ATA es solo débilmente dominante en diagonal. A pesar de ello, el método de Gauss-Seidel, así como el método de gradiente conjugado funcionarán con la matriz anterior. El apéndice A contiene una delimitación aproximada del por qué.

3. Distorsión del brillo.

Tal como se ha explicado en el capítulo 2, puede generarse una cáustica mediante discretización del haz lumínico utilizando una retícula, trazando un rayo para cada vértice. La proyección resultante en el receptor forma la retícula de fotones, y mediante la deformación de la misma, puede editarse la cáustica. Lo anterior se consigue más fácilmente si hay un rayo saliente para cada nodo de la rejilla del campo de alturas, de manera que las normales por cada nodo puedan obtenerse directamente a partir de las direcciones de rayo sin la necesidad de interpolación.

Esta observación fue la base para un enfoque desarrollado en un proyecto preliminar. Intentaba deformar («distorsionar») una retícula de fotones inicialmente regular para corresponderse con una imagen de cáustica predefinida utilizando heurísticas aproximadas. Se muestra un resultado en la figura 3.1. El enfoque se diseñó para retener la biyectividad de la cáustica inicial, es decir, se suponía que no producía pliegues. De esta manera, el brillo deseado de cada cara está determinado por el trozo correspondiente de la imagen, sin considerar posibles solapamientos en la cáustica.

Figura 3.1.: resultado del trabajo preliminar, que distorsiona una retícula de cáustica utilizando heurísticas aproximadas.

f Los orígenes de todas las imágenes marcadas con un símbolo de daga se enumeran en los créditos de imagen en la página 65.

Un problema de este enfoque es que las modificaciones para mejorar la correspondencia con los brillos deseados desplazan las caras, lo que a su vez cambiaba su brillo deseado. Para superar dicho problema, la configuración puede invertirse (figura 3.2): Se utiliza una retícula fija para describir la cáustica, y los puntos en la superficie especular que proyectan los rayos correspondientes se desplazan. Alternativamente, mediante la deformación de la retícula, pueden asignarse las cantidades deseadas de luz a las caras correspondientes de la cáustica; cuanto mayor sea la superficie de una cara en estaretícula distorsionadaen el plano especular, más luz se proyecta en la zona no modificada en la retícula de la cáustica, incrementando el brillo. Los vértices de límite de la retícula distorsionada se confinaron para mantenerse en el margen.

Figura 3.2.: distorsión del brillo: se deforma una retícula en el plano especular (vértices u¡j), mientras que la retícula en el receptor (vértices x j se mantiene fija.

Una vez se ha encontrado la deformación de esta retícula, se obtiene el campo de normales mediante interpolación de las direcciones de rayo salientes en los nodos de la rejilla utilizando coordenadas baricéntricas. A continuación, el campo de normales puede integrarse para generar un campo de alturas.

Debe señalarse que este enfoque no puede introducir pliegues o de otro modo modificar la forma global de una cáustica, por diseño. Sin embargo, no se plantea una premisa que evite que la retícula de fotones especificada presente pliegues: si hay pliegues, se conservarán. De hecho, esta es otra ventaja respecto a deformar directamente la retícula de la cáustica, ya que en ese caso resultaría necesario considerar las caras superpuestas que constituyen el brillo resultante total. Como desventaja, la etapa en que la retícula distorsionada se hace corresponder de vuelta a una rejilla regular puede causar cierta degradación de la forma de la cáustica.

A continuación, los presentes inventores configuran un sistema de ecuaciones que describe las restricciones de brillo (se observará que son cuadráticas). Además, los presentes inventores desean garantizar que el campo de normales resultante pueda integrarse para generar un campo de alturas. Las ecuaciones correspondientes también serán no lineales.

El sistema de ecuaciones se plantea como un problema de cuadrados mínimos, utilizando una combinación lineal de las funciones objetivas correspondientes. Este problema de optimización a continuación puede resolverse mediante, por ejemplo, descenso de máxima pendiente o el método de gradiente conjugado no lineal.

En primer lugar, los presentes inventores derivan dos funciones objetivas para la optimización; a continuación, señalan un problema sobre cómo combinarlas y cómo mejorar la convergencia, y finalmente, muestran los resultados producidos por este enfoque.

3.1. Brillo de cuadriláteros.

En primer lugar, los presentes inventores determinaron la superficie deseada de cada cuadrilátero en la retícula distorsionada. Tal como se observa en las ecuaciones (2.3) y (2.4), para una cara i se tiene que:

dondeIs,ies la irradiancia en el reflector/refractor correspondiente a la superficie deseadaAs,i,yId,ies la irradiancia en el receptor correspondiente a la superficieAd,¡. Is,ies la misma para todas las caras, ya que se supone una fuente de luz paralela; se determinan las superficiesAd,¡mediante la retícula de cáustica dada.Id,ies no conocido, pero proporcional al brillo deseadosbide la cara de la cáustica, que se obtiene a partir de la imagen deseada, por lo tanto

El lado derecho es conocido y mediante la suma de todas las caras, puede eliminarse la constante de proporcionalidad, ya que la superficie total de la superficie especular también es fija.

En el apartado 2.1, lo anterior se describió utilizando triángulos. La implementación utiliza una retícula de cuadriláteros, que no debería ser un problema, ya que el algoritmo aparentemente no causa que se intersecten entre sí en la práctica. Para evitar singularidades, se añade un valor constante a la imagen, haciendo que todos los valores debisean estrictamente positivos, de manera que las caras correspondientes no se vuelvan arbitrariamente pequeñas. La selección de dicha constante es un equilibrio entre estabilidad y contraste; por lo tanto, la implementación permite al usuario cambiarla.

La superficie de un cuadrilátero no autointersectante con marcajeABCDlevógiro es

Los presentes inventores convierten lo anterior en la condición de brillo correspondiente, en dondeAs,abcdes la superficie deseada de lo anteriormente expuesto. Resulta razonable utilizar desviaciones de superficie relativa para la optimización mediante cuadrados mínimos, de esta manera

Se puede reescribir lo anterior en notación de matriz, en donde u es un vector que contiene todos up, yMabcdes simétrico:

Mediante la elevación al cuadrado y la suma de dicha cantidad para todos los cuadriláteros, los presentes inventores obtienen la función objetiva para la parte de brillo.

El gradiente de la expresión al cuadrado,

ahora permite a los presentes inventores utilizar dicho objetivo de brillo en una optimización basada en un gradiente.

3.2. Integrabilidad.

Tal como se ha mencionado anteriormente, los presentes inventores también desean asegurarse de que el campo de normales resultante pueda reproducirse fielmente mediante un campo de alturas.

Para empezar, para recapitular brevemente cómo la normal np en un vértice P en la superficie reflexiva o refractiva se une al campo de alturas y la retícula distorsionada. La normal se define a partir de las direcciones de la luz entrante y saliente correspondientes i y op y el cociente de índices refractivosn(ver el apartado 2.2.1,n= 1 para la reflexión). La dirección incidente i es constante y se supone que está normalizada; op es simplemente el vector distancia entre los nodos correspondientes en la superficie especular y difusa, y no normalizado en el presente documento.

Sin pérdida de generalidad, los presentes inventores consideran que la superficie especular de normales mapeadas se localiza en el plano xy. Por lo tanto, un pequeño abuso de notación permite que los presentes inventores escriban op = xp - up, donde la posición del vértice se trata como vector tridimensional con un componentezde 0. La normal np a continuación se relaciona con las derivadas del campo de alturas desconocido z(u) tal como se observa en el apartado 2.3:

Pz Op\ z 1Opz Debido a que las derivadas corresponden a la normal dividida por su componente z, la normal np no necesita normalizarse. Por lo tanto, la definición modificada np = ||op||i+r¡oper\lugar de se utiliza en el presente documento por conveniencia.

Para garantizar la existencia de un campo de alturas con las mismas normales, el campo de vectores definido por las normales debe ser conservador, es decir, la integral de línea en torno a cualquier bucle cerrado debe ser cero.

Lo anterior es una consecuencia del teorema del gradiente.

Una condición alternativa, que requiere derivadas parciales del campo vectorial definido por la ecuación (3.8), es indicada por Fattal et al. [FLW02]. El enfoque descrito en el presente documento funciona en una retícula cuadrática, donde los vértices definen los valores del campo vectorial, de manera que el cálculo de las derivadas parciales del campo no es trivial. Además, los presentes inventores también están interesados en las derivadas de las ecuaciones correspondientes, lo que complicaría las cosas todavía más. Por lo tanto, resulta preferente restringirse a la integral del bucle anteriormente indicada con el fin de determinar la integrabilidad del campo de normales.

En el caso de que dicha condición se satisfaga para los bordes de todos los cuadriláterosABCDde la presente retícula, se mantendrá para todo bucle cerrado a lo largo de los bordes de la retícula, y se espera que se satisfaga aproximadamente para cualquier bucle en general. Para formular la integral del bucle, los presentes inventores interpolaron linealmente el campo vectorial a lo largo de los bordes cuadráticos, lo que es equivalente a calcular el promedio de los valores de los puntos terminales del borde.

Nuevamente, los up se tratan como vectores tridimensionales con un componente z de 0.

Mediante la elevación al cuadrado y la suma de dicha cantidad para todos los cuadriláteros, los presentes inventores obtienen la función objetiva para la parte de integrabilidad.

Se derivó dicho térmico para uax, para el uso para el método de descenso de máxima pendiente o de gradiente conjugado.

Recordando las definiciones, oa = IIoaIIínoAyoa= xa - ua, se obtiene:

Finalmente:

Reuniéndolo todo:

ahora se puede utilizar dicha condición de integrabilidad en una optimización.

3.3. Corrección de consistencia.

Mediante la combinación de las funciones de integrabilidad y brillo utilizando algún coeficiente de ponderación A, se obtiene el objetivo simplista

El problema con lo anterior es que, al cambiar la resolución del cambio, las funciones actuarán de manera diferente:gABCDes una integral de bucle a lo largo de los bordes cuadrilaterales, de manera que su valor se reducirá a la mitad al duplicar la resolución del campo. Debido a que el número de caras se cuadruplica, la suma en9a b c dno depende de la resolución. Por otra parte,íabcdes la superficie cuadrática actual dividida por la superficie deseada y, por lo tanto, es independiente de la resolución. Por lo tanto, la suma para todos los cuadrados se cuadruplicará al duplicarse la resolución. Para obtener una medida consistente e independiente de la resolución, se multiplicagpor la superficie cuadrática media, de manera que resulta la optimización:

3.4. Multirrejilla.

La implementación de este enfoque pronto mostró que capturaba detalles finos muy bien; sin embargo, aparentemente era lento en términos de propagar los cambios de brillo a grandes distancias, ver la figura 3.3. Lo anterior no resulta inesperado, considerando que los cuadriláteros de igual tamaño en una zona de brillo constante en la práctica se impiden entre ellos que crezcan o se contraigan. Dicho problema puede superarse mediante un enfoque multirrejilla [Hac85], que reduce considerablemente el número de iteraciones necesario para la optimización.

Los métodos de multirrejilla se aplican habitualmente a problemas lineales, p. ej., ecuaciones de Poisson, que se resuelven utilizando un método iterativo, tal como Gauss-Seidel. Tras ejecutar unas cuantas iteraciones para reducir los componentes de alta frecuencia de los errores residuales, estas se muestrearon a la baja hasta formar una rejilla más gruesa, en donde se resolvió recursivamente el problema equivalente. A continuación, la solución se interpoló nuevamente a la rejilla más fina y se añadió a la solución anterior como una corrección. Finalmente, se aplicó nuevamente el método iterativo para obtener la solución final.

El problema en cuestión es no lineal, por lo que la restricción a solo un residuo y la utilización de la solución de rejilla gruesa resultante como una corrección no es aplicable en este caso. Sin embargo, debido a que todos los términos se definen con respecto a las caras que constituyen la retícula distorsionada, es sencillo resolver la optimización de distorsión de brillo total a una resolución más baja. Más exactamente, el problema anterior puede resolverse mediante la unión de cuatro cuadriláteros de la retícula distorsionada de alta resolución a un cuadrilátero de baja resolución1. Las superficies de las caras deseadas para la retícula gruesa en este caso simplemente son las sumas de las cuatro caras correspondientes de la retícula fina. Los términos de integrabilidad no requieren ninguna acción para la etapa de formación de retícula más gruesa. Tras resolver el problema a la resolución más baja, la retícula distorsiona simplemente se subdivide y el método de gradiente conjugado no lineal se aplica a la resolución más alta, reproduciendo detalles más finos de la imagen deseada.

1 Este esquema de restricción evidentemente afecta a cómo deberían seleccionarse las resoluciones de campo. El número de cuadrángulos en una dimensión se selecciona como un múltiplo de potencia dos. Las resoluciones especificadas en todo este trabajo se entienden que son el número de vértices, por lo que son el número de cuadrángulos más uno.

Figura 3.3.: resultado de distorsión del brillo para la plantilla de Mona Lisa en un campo de 321x321, tras 100 iteraciones de gradiente conjugado no lineales sin multirrejilla. Observar los detalles finos, tales como el pelo rizado a la derecha o el puente en el fondo, a pesar de los evidentes artefactos. Además, no hay zonas totalmente negras, ya que se añadió un valor constante a la imagen de plantilla por motivos de estabilidad, tal como se menciona en el apartado 3.1 (en este caso, los valores de brillo inicial comprendidos entre 0 y 1 se incrementaron en 0,25, lo que afecta apreciablemente al contraste).

3.5. Resultados.

Las figuras 3.4 a 3.10 muestran algunos ejemplos que se generaron utilizando un resolvedor multirrejilla. Las imágenes de salida fueron renderizadas por el software tal como se describe en el apartado 2.1, en las figuras 3.4 a 3.7. Para verificar los resultados, se utilizó el software LuxRender basado físicamente para generar las imágenes de salida en las figuras 3.8 a 3.10; en estos casos, se utilizó el campo de alturas reales para renderizar las cáusticas y no solo un campo de normales.

Para cada imagen excepto la figura 3.9, la optimización para un campo de 641x641 (limitada a 200 iteraciones por nivel multirrejilla, y excluyendo la conversión de campo de normales a campo de alturas) requirió entre tres y cuatro minutos. La conversión de campo de normales a campo de alturas requirió un poco menos de veinte segundos a dicha resolución. Para el campo de 1793x1281 en la figura 3.9, la optimización requirió dieciocho minutos, más dos minutos para el cálculo del campo de alturas. Las pruebas se ejecutaron en un procesador Intel Core 2 Quad Q6600 a 2,4 Ghz que ejecutaba RedHat Enterprise Linux; la implementación era de un solo hilo y apenas estaba optimizada.

El brillo de las imágenes resultantes se ajustó para que las zonas más brillantes se volviesen aproximadamente blancas. En las imágenes en las figuras 3.4, se llevó a cabo el mismo ajuste que en la figura 3.3(b).

Puede observarse que el enfoque propuesto es capaz de reproducir con precisión las imágenes. Debido a que produce una superficie lisa, los resultados no sufren por los artefactos de cuantización

Figura 3.4.: resultado de distorsión de brillo para la plantilla de Mona Lisa en un campo de 641x641, utilizando un enfoque de multirrejilla con como máximo 200 iteraciones de gradiente conjugado no lineal por nivel. Aparte de cierta ligera borrosidad (tal como se prevía en el apartado 2.3), la diferencia introducida por la conversión de campo de normales a un campo de alturas es prácticamente inapreciable.

Inherentes a sistemas como el propuesto por Papas et al. [PJJ+11]. Además, no hay pequeñas discontinuidades que puedan introducir artefactos, y hay menos riesgo de dañar los elementos superficiales durante el pulido de un prototipo mecanizado. Tal como se observa en la figura 3.9, pueden conseguirse resoluciones altas en una cantidad de tiempo practicable, generando resultados de precisión virtualmente arbitraria. De esta manera, la precisión alcanzable de las cáusticas utilizando este método está principalmente limitada por el procedimiento de fabricación, es decir, la precisión a la que puede producirse un campo de alturas, y el nivel al que puede pulirse la superficie hasta una especularidad prácticamente perfecta.

La popular imagen de prueba de Lena (figura 3.10) también fue utilizada por Papas et al. Como uno de sus ejemplos, y, además, pidieron a Finckh et al. que ejecutase su algoritmo [FDL10] en ella. Puede observarse una simulación de la cáustica resultante en [PJJ*11, figura 11] para el enfoque de Finckh et al. (Que aparentemente generó una cáustica libre de pliegues), y en [PJJ+11, figura 12] para la que propusieron Papas et al. También se utilizó su configuración, un campo de 10 cm a una distancia de 25 cm del receptor, en los ejemplos mostrados en el presente documento.

Considerando la precisión alcanzable, no resulta inesperado que tanto el método de Papas et al. como el de Finckh resultan superados por el enfoque propuesto en la presente tesis. Para una comparación más significativa y equilibrada, sin embargo, sería interesante manufacturar físicamente el campo tal como hicieron Papas et al. Desafortunadamente ello no resultó posible por las limitaciones de tiempo.

Figura 3.5.: efecto de la constante añadida al brillo. Los resultados tras 200 iteraciones de la distorsión del brillo y la posterior conversión de campo de normales a campo de alturas se muestran en (b), (c) y (d), con recortes de detalle en la parte inferior. La conversión introduce considerables artefactos para el valor más bajo, aunque la ejecución de la optimización durante más tiempo ayuda a mejorar la integrabilidad, ver (e). Mediante la utilización de un valor de 0,025 para esta imagen no genera resultados utilizables, ya que conduce a inestabilidades irrecuperables en el cálculo de la distorsión del brillo, mostradas en (f), que incluye la visualización de la retícula de fotones.

Figura 3.6.: resultado de distorsión del brillo, misma configuración que en la figura 3.4. La distorsión de la retícula de la cáustica que resulta en este patrón minimalista se muestra en (c).

Figura 3.7. : resultado de distorsión del brillo para la plantilla del oso panda (original de Friedrich W. Kuhnert, 1865

1926) utilizando un campo de 10x10 cm de 641x641 nodos, con una distancia de 25 cm al receptor y un índice de refracción de 1,5. Se aumentó el valor del brillo en 0,05 para la optimización, reduciendo considerablemente la pérdida de contraste observada en la figura 3.4.

Figura 3.8.: isolíneas de contorno de alturas y resultado de simulación de LuxRender para la imagen del oso panda.

Las mediciones en (a) se expresan en milímetros.

Figura 3.10.: resultado de distorsión del brillo para la imagen de prueba de Lena. No resultó necesario incrementar los valores de brillo en este ejemplo; por lo demás la configuración es la misma que en la figura 3.7. Nuevamente, se obtuvo (d) mediante multiplicación de la diferencia entre (a) y (b) por 4 y la inversión del resultado.

4. Generador de pliegues.

El enfoque anterior no resulta adecuado para generar una cáustica con pliegues, aunque estas son una característica clave de los patrones de cáusticas visualmente atractivos. Una de las dificultades principales de los pliegues es que no pueden generarse simplemente en ubicaciones aleatorias, ya que implican contornos marcados y brillantes, que podrían ahogar la imagen deseada, y no es trivial conseguir un control explícito de la forma y posiciones de estos contornos. Además, los pliegues pueden abarcar toda la cáustica, por lo que un enfoque que intentase introducirlos localmente probablemente resultaría excesivamente restrictivo.

En el presente enfoque, los presentes inventores fijaron varias condiciones que se espera ayudasen a generar una cáustica que mostrase pliegues en ubicaciones designadas.

4.1. Realización.

La configuración utilizada para este método es la misma que para el trabajo preliminar mencionado brevemente en el capítulo 3, es decir, los presentes inventores consideraron una retícula regular fija en la superficie reflexiva o refractiva (posicionesxj),y deformaron una retícula de la misma conectividad en la superficie receptora (posicionesuj); ver la figura 4.1.

Los vectores que apuntan dexja uj son las direcciones deseadas de los rayos reflejados o refractados. Utilizando estas y las direcciones de rayo entrante, los presentes inventores pudieron calcular el campo de normales y después encontrar un campo de alturas que se correspondiese óptimamente con dichas normales, utilizando el enfoque descrito en el apartado 2.3.

En los apartados 4.1.1 a 4.1.6, así como en el apartado 4.1.8, se entiende que los vectores x y u son vectores bidimensionales con respecto a los planos correspondientes, es decir,

A continuación, se definen algunas variables que se utilizaron para caracterizar los pliegues deseados.

4. Generador de pliegues.

Figura 4.1.: los x , forman una rejilla regular en el plano especular, los u¡j son coordenadas de nodo de la retícula deformada en el receptor. Observar que los x , son fijos y los u¡j no lo son, al igual que para el enfoque de distorsión del brillo, aunque la asignación a la dos superficies está intercambiada, es decir, los x , se ubican en el especular y los u¡j, en la superficie difusa, a diferencia de la figura 3.2.

En primer lugar, uc,/ denota el i-ésimo punto de pliegue designado. Debido a que un pliegue forma un borde con una reducción aguda de brillo, también se necesitaba un vector que definiese la orientación, que se denotará por dc,i. Este vector normalizado debe ser ortogonal al borde del pliegue, y apunta al lado que se supone que está iluminado (figura 4.2).

Figura 4.2.: configuración de uc,i, dc,i e I(a) (ver los apartados 4.1.2 y 4.1.3).

Asimismo, se necesitará conocer un punto x en la superficie especular en donde un rayo incidente se refleja o refracta para que intersecte el receptor en uc,i. Especifica en donde el campo debe modificarse con el fin de controlar la cáustica en la zona en torno a uc,i. Ese punto no está fijado, por lo que se introduce un vector desconocido xc,i para cada uc,i. Además, u; tendrá que utilizarse como una función u(x), utilizando un núcleo de interpolación apropiado k:

A continuación, se definen las derivadas utilizando la derivada del núcleo,

y análogamente para derivadas superiores.

Con estas definiciones, puede plantearse la formación de las diversas ecuaciones que se espera produzcan los pliegues deseados.

4.1.1. Posiciones de pliegues.

Figura 4.3.: apartado 4.1.1: se desea ajustar los xc,i para que el punto correspondiente de la cáustica se localice en Uc,i.

Los presentes inventores introdujeron las incógnitas xc,/, en donde se desea que un rayo incidente se refleje o refracte sobre uc,/, por lo que se debe forzar la condición siguiente:

Tal como en el apartado 3.3, es importante ser cuidadoso en el uso de las cantidades que no cambian al modificarse la resolución de la rejilla. Sin embargo, hasta el apartado 4.1.6, los presentes inventores se basaron en u(x) para producir pliegues según se deseaba y que no requerían factores de corrección.

La optimización se plantea como un problema de cuadrados mínimos, por lo que se eleva la ecuación (4.3) al cuadrado y se suma en todos los puntos especificados i. Para poder resolver el problema de optimización, también se muestran las derivadas, aquí y en los apartados siguientes. Derivación de ||fi||2 para u, proporciona:

las derivadas para las xc,ison los productos escalares:

1 Observar que f1 se define para un punto i, por lo que en términos estrictos, la notación f1,/ sería más exacta. Lo mismo es aplicable a los apartados siguientes.

Figura 4.4.: apartado 4.1.2: se desea garantizar que u(Xc,¡) se encuentra en un borde de pliegue ortogonal a dc,¡.

4.1.2. Orientación de bordes.

A continuación, se analizan las características de los pliegues que se desean reproducir. Considerando la curva en el patrón de cáusticas que se define siguiendo una línea recta en la superficie especular, l(a) := u(xc,i at), tal como se muestra en la figura 4.2.

Si u(xc,i) forma un pliegue, se obtiene un punto crítico en a=0 al proyectar l(a) sobre dc,i. En otras palabras, la curva resultante l(a) es ortogonal a la dirección dc,i en a=0. Por lo tanto, se impone dicha condición, garantizando que la cáustica muestra un pliegue o por lo menos una zona brillante (en el caso de que el punto crítico sea un punto de silla) que es ortogonal respecto a dc,i.

Debido a que se desea que dicha condición se mantenga para todo t, se puede eliminar ese parámetro para obtener una condición que pueda utilizarse para la optimización.

Se elevan al cuadrado dichos términos y se incluyen en la optimización. Las diversas derivadas de ( / 2,x)2 son:

El gradiente de( f 2.y)2puede derivarse análogamente.

Figura 4.5.: apartado 4.1.3: se desea garantizar que la cáustica se localiza en el lado deseado del borde, es decir, el lado al que señala dc,¡.

4.1.3. Orientación de pliegues.

Aunque la condición anterior garantiza que el borde es ortogonal respecto a dC,/, no distingue si el pliegue está orientado como se pretende, es decir, qué lado del borde se iluminará. Para considerar este aspecto, se desea que el punto crítico en la proyección de l(a) sobre dc,i sea un mínimo local. Por lo tanto, se desea que su segunda derivada sea positiva. Debido a que solo se puede forzar la no negatividad, lo anterior no evita eficazmente que el punto se convierta en un punto de silla.

Desafortunadamente, no resulta fácil eliminar t en esta ocasión, aunque mediante la introducción en ejes coordinados, se obtienen dos condiciones necesarias similares al resultado anterior.

Para penalizar solo valores negativos, garantizando simultáneamente unas derivadas continuas, se utilizó min(0,f3,x)2 y min(0,f3,y)2 en la optimización. Las derivadas de (/3,x)2 son:

El gradiente de (f3,y)2 puede derivarse nuevamente de manera análoga.

Figura 4.6: el apartado 4.1.4 describe un modo alternativo de garantizar que el pliegue se localiza en el lado deseado del borde; utiliza un desplazamiento respecto a xc,¡ en lugar de segundas derivadas. 4.1.4. Orientación de pliegues libre de derivadas.

Desafortunadamente, la idea del apartado 4.1.3 no funcionó excesivamente bien, tal como se observará en el apartado 4.2. Ello podría deberse a las terceras derivadas en la ecuación 4.10. De esta manera, se concibió un enfoque libre de derivadas como alternativa. El objetivo era evaluar u a a una distancia pequeña dexc,¡y verificar que el punto resultante se encontrase en el lado correcto del borde deseado.

Para a, se utilizaron los vectores ( ^ y (± c ) . Tal como anteriormente, s i / 4,a es negativa, se utiliza su cuadrado como penalización: min(0, / 4,a)2. Las derivadas de ( /4,a)2 son:

Observar que la expresión «libre de derivadas» se refiere al objetivo descrito en la ecuación (4.11) y no al método de optimización, que evidentemente puede estar basado en gradientes.

4.1.5. Forzamiento de pliegues.

Como extensión del apartado anterior, se desea empujar algunos de los u(xc,/ a) alejándolos del borde, no solo situarlos en el lado correcto. Sin embargo, no podemos simplemente forzar / 4,a de la ecuación (4.11) a que sea positiva, ya que no todas las a deben resultar en u que están a una distancia del borde. Por lo tanto, se agruparon las cuatro a en dos pares de vectores ortogonales.

Figura 4.7.: apartado 4.1.5: mediante la combinación de dos desplazamientos respecto a xc,i, puede definirse una cantidad que es estrictamente positiva para un pliegue correctamente orientado.

Se supone que las direcciones correspondientes u(xc,/ a)-u(xC,/) también son ortogonales y que presentan la misma longitud. Lo anterior normalmente no es cierto, pero proporciona una intuición básica para este objetivo. Si ambos productos escalares con dC,/ son no negativos (lo que se afirma en los términos del apartado anterior), el valor resultante f5 es la longitud al cuadrado de dichas direcciones, independientemente de su orientación exacta. Si uno de los productos escalares se vuelve negativo,phará que fe decrezca y se vuelva la longitud al cuadrado negativa si ambas son negativas.

Forzando que fe sea más grande que un umbral positivo c, se puede asegurar que el pliegue realmente se extienda hasta el lado deseado. Tal como anteriormente, se penaliza una fe -cnegativa mediante la utilización de su cuadrado en la optimización, lo que garantiza derivadas continuas: min(0, fe - c)2. Las derivadas de (fe - c)2 son:

4.1.6. Restricción de intervalo.

Asimismo, se desea asegurarse de que lasxc,/se encuentran dentro del intervalo que define la rejilla especular, incluso con un cierto margen.

4.1.7. Integrabilidad.

Aparte de dichas consideraciones de generación de pliegues, nuevamente se deseará asegurarse que el campo de normales que se genere pueda integrarse para generar un campo de alturas. La derivación es aproximadamente la misma que para la optimización de distorsión del brillo, en el apartado 3.2.

En la ecuación (3.10), los presentes inventores han definido la integral del campo vectorial a lo largo de los bordes de un cuadriláteroABCD,y se utilizará la misma fórmula aquí. Observar que:

• el significado de u y x se ha intercambiado respecto a su uso en el capítulo 3: x ahora son las posiciones de los nodos de la retícula en el plano especular y las u son las posiciones en el receptor, lo que causa la ligera diferencia entre las ecuaciones (4.17) y (3.10); sin embargo, las incógnitas todavía son las u;

• en contraste con el apartado anterior, se supone que las u son vectores tridimensionales con respecto al sistema de coordenadas global y no vectores bidimensionales con respecto a la parametrización del receptor (esto evidentemente requerirá las correspondientes transformaciones de coordenadas);

• tal como se ha hecho con las u en el apartado 3.2, las x se consideran vectores tridimensionales con un componentezde 0 en este caso, es decir, se supone que la superficie especular descansa en el planoxy(sin pérdida de generalidad).

Por lo tanto, la ecuación (3.10) se convierte en:

Mediante la elevación al cuadrado y la suma de dicha cantidad para todos los cuadriláteros, los presentes inventores obtienen la función objetiva para la parte de integrabilidad. Tal como se ha comentado en el apartado 3.3, lo anterior es independiente de la resolución de la retícula, por lo que no se requiere ningún factor de corrección. Nuevamente, se deriva ejemplarmente dicho término parauax,por lo que el problema de cuadrados mínimos puede resolverse utilizando el método de descenso de máxima pendiente o el método de gradiente conjugado.

Recordando las definicionesnA= II<qa>N<í>+hoayoa=ua-<xa>, se obtiene:

con

La derivada deUAyfunciona análogamente, aunque debe procurarse queuaz.El términor¡(xBx -xdx)observado en

(4.19) desaparece, ya que el componente z de los vectores x es 0; por otra parte, recibe un+r¡adicional para el segundo sumando en la definición nA=l|oA||i+noA.

4.1.8. Lisura.

Finalmente, la mayoría de incógnitas u probablemente no participarán en un pliegue deseado y, por lo tanto, no presentarán ninguna restricción excepto para la integrabilidad. Para mantener cierto control sobre ellas, se incluyó un término de lisura en la optimización de los presentes inventores,

en la quehes el espaciado de la rejilla. Se eleva al cuadrado esta expresión y se realizan sus sumas para todos los nodos internos de la rejilla, uy. Nuevamente, es importante ser cuidadoso en el uso de las cantidades que no cambian al modificarse la resolución de la rejilla. La ecuación (4.22) es laplaciana discreta y, por lo tanto, independiente de la resolución para cada nodo. En consecuencia, se requiere un factor h2 para conseguir alternativamente que la suma de cuadrados sea independiente de la resolución, lo que se traduce en un factorhpara la expresión en la ecuación (4.22).

Las derivadas de (fs)2 son:

Para garantizar la lisura de uy que se encuentran en el límite, pueden formularse condiciones similares utilizando diferencias finitas unidimensionales para las segundas derivadas.

4.1.9. Consideraciones adicionales.

En resumen, los objetivos definidos en los apartados 4.1.1 a 4.1.8 describen un sistema de ecuaciones no lineales que se espera produzcan una cáustica que

• muestre patrones en la ubicación deseada

• s (apartado 4.1.1) que:

— sean brillantes a lo largo de la dirección deseada (apartado 4.1.2),

— se extiendan hasta el lado deseado (apartados 4.1.3 a 4.1.5),

• resulten en un campo de normales que pueda reproducirse fielmente utilizando un campo de alturas (apartado 4.1.7), y

• sea liso (apartado 4.1.8).

Debe señalarse que no hay penalizaciones para pliegues que ocurren en otros sitios, excepto por el hecho de que estas regiones es probable que presenten un laplaciano más alto que otras, que se penaliza mediante el objetivo de lisura. Además, no existen condiciones con respecto al brillo local que definiría una imagen de plantilla. Esta conclusión no debería ser un problema, ya que puede utilizarse el distorsionado de brillo para ajustar la distribución del brillo: puede funcionar con una retícula de cáustica deformada; solo necesita considerar las superficies cuadrilaterales variables al calcular los brillos deseados. La falta de control de las posiciones de pliegue no deseadas, sin embargo, podría resultar más problemática.

Núcleo de interpolación.

El núcleo de interpolación utilizado en la ecuación (4.1) todavía no se ha especificado. Debido a que el resolvedor de gradiente conjugado requiere derivadas continuas, la ecuación (4.10b) del apartado 4.1.3 exige un núcleo que sea continuamente diferenciablemente tres veces. Uno de dichos núcleos esM’e[CP04], mostrado en la figura 4.8.M’epresenta un soporte compacto y precisión de cuarto orden, es decir, interpolará correctamente polinomios cúbicos.

Inicialización.

Para inicializar el algoritmo, se utiliza un patrón de ruido suave como cáustica de partida. Lo anterior introduce complejidad en los resultados y proporciona un modo de generar diferentes patrones para la misma entrada mediante la variación de una semilla aleatoria.

En la implementación, se genera un campo de alturas utilizando ruido Perlin suave y lasujse obtienen a partir de la cáustica resultante. Lo anterior presenta la ventaja de que el campo de normales correspondiente es inicialmente integrable, lo que no sucede cuando la deformación de la retícula de fotones se genera directamente a partir de ruido Perlin.

Figura 4.8.: gráfico del núcleo M’e.

Lasxc,ise ubican inicialmente de manera aleatoria en su intervalo permitido. Sin embargo, ello afectar a los resultados, ya quexc,iparauc,ivecinos pueden iniciarse en ubicaciones muy diferentes, por lo que cada uno creará su propio pequeño pliegue. La figura 4.9 ilustra este efecto. Para crear pliegues más grandes, conectados, es recomendable ejecutar una etapa de preparación que optimice solo lasxc,iutilizando el objetivo del apartado 4.1.1 y mantenga las uc,/ constantes. En términos intuitivos, sería ideal si, durante dicha preparación, lasxc,iparauc,ivecinas se enganchasen entre sí en un pliegue que existe en la cáustica inicial. A continuación, tirarían del pliegue hasta obtener la forma deseada durante la optimización principal.

Figura 4.9.: efecto de la etapa de preparación. Todos los experimentos partieron de un campo de alturas plano; (a) y (b) sin la preparación; (c) y (d), con ella. La optimización principal se limitó a solo dos iteraciones de gradiente conjugado no lineal por nivel de multirrejilla, generando (a) y (c).

4.2. Eficiencia de la orientación de pliegues.

Los experimentos mostraron que el objetivo del apartado 4.1.3 (orientación de pliegues) no afecta a los resultados deseados. Por ello se concibió la alternativa libre de derivadas que se describe en el apartado 4.1.4, en el que se basa, a su vez, el apartado 4.1.5.

La figura 4.10 sirve para comparar los efectos de las dos ideas. Muestra los resultados al llevar a cabo la optimización en una entrada que describe dos círculos concéntricos, cada uno de los cuales consiste en 50 puntos. Las direcciones de,i apuntan hacia adentro en el círculo más grande, y hacia afuera en el más pequeño, es decir, la cáustica deseada se supone que llena la zona entre los dos.

Las figuras 4.10(a) y 4.10(c) muestran los resultados utilizando solo el enfoque del apartado 4.1.3, mientras que las figuras 4.10(b) y 4.10(d) se generaron utilizando solo la alternativa libre de derivadas del apartado 4.1.4. El término del apartado 4.1.5 se excluyó de la totalidad de dichos ejemplos, ya que también afecta significativamente a la orientación de los pliegues (ver también la figura 4.9(d), que se generó utilizando los términos de las secciones 4.1.4 y 4.1.5).

Figura 4.10.: resultado de optimización para una entrada que especifica dos círculos concéntricos, inicializada utilizando un campo de alturas plano ((a), (b)) y un campo de alturas de ruido Perlin ((c), (d)). Ver el apartado 4.3 para la explicación.

Puede observarse que, aunque ambos enfoques reproducen los círculos, el primero prácticamente no consigue afectar a los nodos en el límite de la cáustica, por lo menos dentro del número asignado de 50000 iteraciones de gradiente conjugado. El enfoque libre de derivadas no solo presenta un mejor rendimiento; el método del gradiente conjugado también termina después de unos cuantos miles de iteraciones debido a una norma pequeña del gradiente.

4.3. Resultados.

Las figuras 4.11 a 4.15 muestran los resultados del algoritmo aplicado a una diversidad de imágenes de plantilla. Se generó la entrada para el algoritmo utilizando el algoritmo de detección de bordes de Canny [Can86]. Todos los cálculos se llevaron a cabo en un campo de 81x81, que es significativamente inferior a las resoluciones soportadas por el método de distorsión de brillo. Lo anterior se debe al número más alto de iteraciones requerido para obtener buenos resultados; ver también la tabla 4.1. Sin embargo, la menor resolución resulta suficiente, ya que no hay detalles tan finos como en el capítulo 3.

Puede observarse que el enfoque en gran medida tiene un buen resultado en la reproducción de los contornos, y que en efecto se observan pliegues en la mayoría de casos. También se consigue la complejidad visual deseada de las cáusticas típicas, en particular en las imágenes en las que se inicializó el campo de alturas utilizando ruido Perlin.

Sin embargo, tal como se esperaba, el método no evita que aparezcan pliegues en otros sitios. Este efecto es considerablemente más perturbador en zonas en donde el nivel de luz debería ser nulo o bajo, y

Figura 4.11.: resultado de optimización para el símbolo de radioactividad, inicializado utilizando un campo de alturas de 81x81 con ruido Perlin. Tal como en el capítulo 3, la distorsión introducida por la optimización de campo de normales a campo de alturas y mediante la utilización de un campo de alturas real para la renderización es prácticamente invisible al ojo desnudo.

Figura 4.12.: resultado de optimización para dos imágenes diferentes de emoticono de cara sonriente, inicializadas utilizando un campo plano. Ambas imágenes de salida se generaron con LuxRender. Las líneas más brillantes estrechas en los bordes de la retícula de la cáustica son un artefacto de la conversión de campo de normales a campo de alturas. También ocurrió en cierto grado en el capítulo anterior, aunque es más destacable en este caso debido a la resolución de campo considerablemente inferior.

afecta principalmente a las siluetas cóncavas. Debido a ello, también se llevaron a cabo experimentos con una penalización adicional para los fotones ubicados en zonas circulas especificadas manualmente. Se creó la figura 4.14 mediante este método. Aparentemente funciona razonablemente bien, aunque se requerirían métodos más complicados (por ejemplo, con una función de distancia con signo) para que este enfoque resultase viable y automatizable para entradas arbitrarias. Alternativamente se implementó un mecanismo de entrada guiado por el usuario, tal como se describe en el capítulo 5. Otra limitación es la incapacidad para producir zonas separadas, que resultaría particularmente útil en la figura 4.12(d).

Figura 4.13.: resultado de optimización para una estrella de cinco puntas, inicializada utilizando un campo plano para (b) y un campo de alturas con ruido Perlin para (c).

Figura 4.14.: resultado de optimización para la estrella de cinco puntas, inicializada utilizando un campo de alturas con ruido Perlin. Se utilizó un término adicional en la optimización, que penaliza los fotones en zonas circulares ubicadas en las regiones cóncavas de la estrella de cinco puntas.

Figura 4.15.: resultado de optimización para una silueta de un gato (imagen de plantilla de Christopher Martin), inicializada utilizando un campo plano para (b) y un campo de alturas con ruido Perlin para (c).

Tabla4.1.: tiempos para los diversos ejemplos de generación de pliegues, en segundos. En todos los ejemplos, se utilizó una resolución de campo de 81x81.

5. Edición de pliegues.

El enfoque de generación de pliegues descrito en el capítulo anterior funciona satisfactoriamente en la reproducción de los bordes deseados. Sin embargo, como efecto secundario tiende a generar diversos pliegues que se desvían perturbadoramente del patrón deseado. Con el fin de corregirlos, se detectan los contornos de los pliegues y son visualizados por el usuario, quien puede ajustar sus posiciones. Las posiciones modificadas seguidamente se convierten en puntos de control para el generador de pliegues, que se ejecuta nuevamente para ajustar las cáusticas correspondientemente.

El método para detectar los pliegues consiste esencialmente en dos etapas: Los presentes inventores en primer lugar deben encontrar puntos que se ubican en contornos de pliegue. En una segunda etapa, los puntos determinados deben agregarse para formar los pliegues correspondientes. Estas dos etapas se describen en los apartados 5.1 y 5.2, respectivamente. En estos apartados se utiliza la misma terminología que en el capítulo 4. Finalmente, el apartado 5.3 muestra algunos ejemplos de cáusticas que se generaron con este enfoque.

5.1. Detección de puntos críticos.

En el apartado 4.1.2 se recuerda que las condiciones que debe satisfacer un punto de pliegue son:

donde u(xc) describen las coordenadas del fotón (en el sistema de coordenadas bidimensional del receptor) que se refleja o refracta en el punto xc en la superficie especular, y dc es la orientación del pliegue (es decir, ortogonal respecto al contorno). La posición xc se denominapunto críticosi u(xc) se ubica en un contorno de pliegue.

Evidentemente, lo anterior no puede utilizarse para determinar si una x dada es un punto crítico, ya que no se conoce la dirección dc. Sin embargo, se puede observar que , asi como son cero u ortogonales al vector dc, por lo que los dos son linealmente dependientes. Lo anterior proporciona una condición necesaria para los puntos críticos,

Observar que el valor absoluto de dicho determinante describe esencialmente la zona de la cáustica correspondiente a un parche infinitesimal en la superficie especular localizada en x. Con el fin de encontrar los puntos críticos, ahora se pueden buscar los puntos que minimizan f(x)2, por ejemplo, la utilización del método de descenso de pendiente máxima o de gradiente conjugado.

Para la utilización en un método de optimización, el gradiente de f(x)2 es simplemente

Mediante el muestreo del campo de alturas con una rejilla de puntos y la minimización de f(x)2 para cada uno de ellos, los presentes inventores encontraron un conjunto de candidatos a puntos críticos. Los fotones u(x) correspondientes se muestran en la figura 5.1. Muestra, además, que hay puntos en posiciones en las que el brillo de la cáustica presenta un máximo local, correspondiente a un mínimo local de la zona de cáustica anteriormente indicada. Existen todavía más puntos en los que el gradiente de f(x)2 aparentemente es bajo, por lo que la optimización aborta sin modificar su posición inicial, tal como puede observarse a partir de los patrones regulares de los fotones resultantes. Afortunadamente, el límite entre dichos falsos positivos y los puntos críticos reales es extremadamente claro; ver la figura 5.2, por lo que resulta fácil rechazar los falsos positivos.

Figura 5.1.: fotones correspondientes a candidatos a punto crítico, antes y después de aplicar el umbral obtenido a partir de la figura 5.2.

Con estas herramientas, ahora es posible encontrar los puntos críticos xc, y las posiciones de sus fotones uc=u(xc).

Figura 5.2.: histograma del logaritmo del valor de la función objetivo, evaluada en los candidatos a punto crítico. El hueco de gran tamaño distingue los puntos de pliegue reales de los falsos positivos.

5.2. Trazado de contornos.

Lo que todavía falta son las dC que deben pasarse al generador de pliegues. Con el fin de encontrarlas, y para proporcionar un mecanismo de edición utilizable por el usuario, se necesita conectar los puntos críticos individuales con líneas.

El algoritmo para conectar un conjunto dado de puntos críticos, que se determinaron tal como se acaba de indicar, actúa sobre las<xc>(es decir, sobre la superficie especular) y no sobre las<uc>, ya que resulta más fácil y más fiable. Empieza en un punto arbitrario que todavía no ha sido asignado a una línea. A continuación, encontramos su vecino más próximo y creamos una nueva línea, si el vecino está más próximo a un determinado umbral. Debido a que las líneas pueden intersectarse (ver la figura 5.3) y se necesita evitar la adopción de una dirección incorrecta en tales casos, no se pasa a simplemente el salto a los vecinos más próximos. Por el contrario, se toma el vector distancia entre los últimos dos puntos y adicionalmente se penalizan las desviaciones de esta dirección.

Figura 5.3.: en (a), se muestra un recorte de las xc detectadas. La etapa de trazado se ilustra en (b): utilizando una función con una forma elíptica en lugar de la distancia euclídea permite manipular las intersecciones de forma más fiable.

Si no se encuentra un vecino suficientemente próximo, se crea una nueva muestra a lo largo de la dirección y se pasa por la optimización del apartado 5.1, lo que permite cerrar huecos entre puntos críticos. Si un vecino ya ha sido asignado a una línea o se alcanza el borde del campo de alturas, el proceso se detiene, vuelve al punto de partida y traza en la otra dirección.

Ahora se puede calcular la orientación de los pliegues correspondientes, es decir, qué lado del contorno está iluminado. Lo anterior define los vectores desconocidos dc,i que posteriormente utilizaremos para el generador de pliegues. La determinación de la dirección ±dc,ipara un punto dado en una línea puede llevarse a cabo simplemente conectado la posición del fotón previo a la posición del siguiente y encontrando el vector ortogonal:

Para determinar el signo correcto, puede utilizarse la condición del apartado 4.1.4: evaluar u(x) en varias posiciones (ocho aparentemente es una opción razonable) que circundanxc,¡,es decir, se calcula u(xc,iaj),y se mira si la mayoría se encuentra a la izquierda o a la derecha del contorno. La orientación definitiva de una línea entera seguidamente queda determinada por la mayoría de la totalidad de sus puntos.

Esencialmente ahora se dispone de líneas que consisten enxc,i,las posiciones correspondientes de los fotones,uc,i,y la orientación correspondiente de pliegue (izquierda/derecha). Con lo anterior, puede construirse una interfaz de usuario para ajustar las posiciones deseadas de los fotones que forman un pliegue; ver la figura 5.4. Los segmentos editados seguidamente pueden pasarse al generador de pliegues, que consiste en lasxc,ino modificadas que ha encontrado la búsqueda de puntos críticos, las posiciones de fotón modificadas,uc,i,obtenidas de las ediciones del usuario, y las dc,i obtenidas de las uc,i utilizando la orientación determinada anteriormente.

Figura 5.4.: etapas interactivas de edición. Se muestra el resultado del generador de pliegues con los pliegues detectados en (a). Los puntos que se utilizaron como entrada para el generador de pliegues se muestran en azul oscuro. Para desplazar los pliegues de las zonas no deseadas, pueden moverse los fotones correspondientes. Se muestran sus nuevas posiciones en rojo en (b). El generador de pliegues seguidamente se ejecutó nuevamente con estos puntos ya añadidos a sus restricciones, dando (c) como resultado.

5.3. Resultados.

Las figuras 5.5, 5.6 y 5.7 ilustran algunos resultados que se produjeron interactivamente. Todas se basan en resultados del generador de pliegues y se editaron para desplazar los pliegues de perturbación y alejarlos de las regiones oscuras.

Puede observarse que el enfoque efectivamente permite editar las cáusticas de manera que puedan controlarse los pliegues. Sin embargo, resulta que algunos pliegues pueden persistir, por lo que normalmente debe repetirse la edición y nueva ejecución del generador de pliegues en varias ocasiones. Esto resulta particularmente laborioso, ya que las nuevas ejecuciones entre etapas manuales de edición requieren cierto tiempo. Para 1000 iteraciones en un campo de 81x81, el tiempo de ejecución es de aproximadamente un minuto (según el número de puntos de pliegue designado) y se incrementa linealmente con el número de incógnitas cuando se utiliza una resolución de campo más alta. Sin embargo, es posible partir de una resolución más baja e incrementarla posteriormente para modificaciones más detalladas. La figura 5.7 se generó utilizando una resolución de 321x321 en las últimas etapas.

En el apartado 7.3 se proporcionan consideraciones adicionales sobre el enfoque de generación de pliegues y las extensiones descritas en el presente capítulo.

Figura 5.5.: resultado interactivo para el símbolo de radioactividad; ver también la figura 4.11.

Figura 5.6.: resultado interactivo para la estrella de cinco puntas; ver también la figura 4.13.

Figura 5.7.: resultado interactivo para la silueta de gato; ver también la figura 4.15.

6. Análisis.

El capítulo 2 indica que se utilizaron simplificaciones para las derivaciones del enfoque de distorsión del brillo en el capítulo 3 y el generador de pliegues y su extensión en los capítulos 4 y 5. La premisa de luz paralela y la de superficies perfectamente especulares se eliminan en la implementación, que se describirá en el apartado 6.1. A continuación, el apartado 6.2 describe los problemas generales que aparecen con los métodos propuestos.

6.1. Eliminación de simplificaciones.

Tal como se describe en el capítulo 2, los enfoques vistos hasta ahora se diseñaron bajo varias premisas más o menos restrictivas. El presente apartado explica los métodos que se implementaron para eliminar algunas de dichas restricciones. En el capítulo 7 pueden encontrarse ideas adicionales no implementadas sobre cómo podrían eliminarse algunas restricciones.

6.1.1. Fuentes de luz puntuales.

Como alternativa a la premisa de luz paralela, también se implementaron luces puntuales.

Uno de los problemas que aparece es la condición de integrabilidad del método de distorsión del brillo en el apartado 3.2, que necesita extenderse para soportar direcciones de incidencia variables. Es conveniente extender la definición de la normal en el nodo A observada en ese sitio a nA = II<oa>II<ía>+ ^I<üa>II<oa>. Las direcciones de rayo incidentes y salientes<ía>y<oa>evidentemente no necesitan normalizarse para ello.

También se requiere la derivada de nA:

donde oa = xa - ua, ua es la posición en la superficie especular y xa es la coordenada del vértice correspondiente en la retícula de la cáustica, pueden reescribirse los términos individuales:

Lo anterior ahora puede introducirse en la ecuación (3.11):

Para las consideraciones de integrabilidad para el generador de pliegues (capítulo 4), se requieren pocas modificaciones para soportar direcciones de incidencia variables. Las posiciones en la superficie especular son fijas en ese enfoque; por lo tanto, la dirección constanteien el apartado 4.1.7 simplemente necesita sustituirse por el vector i A

nuil

Aquí todavía faltan la dirección de incidencia de la luz y sus derivadas. Para una configuración de reflexión con una fuente puntual de luz en la posición L, son simples:

Para configuraciones de refracción, deben considerarse dos superficies, en donde los enfoques de los capítulos anteriores operan en el que la luz sale del medio. El problema de encontrar la dirección de incidencia de la luz en esa posición se traduce en encontrar el punto de refracción de la superficie en donde la luz entra en el medio. No existe ninguna solución de forma cerrada, aunque, debido a que la primera superficie se supone que es un plano n, es única y puede encontrarse fácilmente utilizando el principio de Fermat [WZHB09]. Lo anterior implica que el tiempo que requiere la luz para llegar auanecesita minimizarse:

donde pa es la posición donde la luz entra en el medio y L es la posición de la fuente de luz. La optimización puede llevarse a cabo utilizando el método de Newton.

Las direcciones de incidencia de rayo ahora pueden calcularse como<pa>-<ua>. En los cálculos de integrabilidad del apartado 3.2, necesitan evaluarse y diferenciarse con frecuencia en posiciones arbitrarias en la superficie especular. De esta manera, el precálculo de ellas en una rejilla regular y la utilización de un núcleo, tal comoM4[CP04] para interpolar las direcciones y sus derivadas ahorra tiempo. Lo anterior puede ampliarse fácilmente a la manipulación de otras variantes de la luz incidente, con la condición de que ningún punto en la superficie especular se ilumine desde múltiples ángulos y las direcciones de rayo formen una función suave.

Una implicación adicional del uso de una fuente puntual de luz es la irradiancia (la potencia incidente por unidad de superficie) variable. La irradiancia de una esfera en torno a una fuente puntual de luz es inversamente proporcional al radio al cuadrado, ya que la superficie iluminada cambia. Para una superficie arbitraria, además, la irradiancia necesita multiplicarse por el coseno del ángulo de incidencia, según la ley del coseno de Lambert. Utilizando la conservación del flujo radiante, tal como se ha comentado en el apartado 2.1, ahora resulta posible calcular el brillo de las cáusticas correspondientemente.

Ello afecta a las consideraciones realizadas en el apartado 3.1, en el que se determina la superficie deseada de una cara en la superficie especular. Desafortunadamente, ahora la irradiancia no solo varía entre las caras (lo que resulta fácil de controlar), sino que también depende de su ubicación. Esto complica las derivaciones observadas en ese apartado.

En lugar de controlar dicho problema de la irradiancia de una manera analíticamente correcta, la implementación simplemente se ajustó para utilizar irradiancias por cara, que se supone que se mantienen constantes a medida que se mueve la cara. Con fines prácticos, con suficiente distancia entre el reflector o refractor y la fuente de luz, lo anterior funciona bien ya que las variaciones de irradiancia de todos modos son prácticamente inapreciables. En casos más extremos, el algoritmo puede ejecutarse nuevamente para considerar los cambios de brillo; ver la figura 6.1.

Figura 6.1.: distribución de brillo inicial y resultados después de aplicar y aplicar nuevamente la distorsión de brillo a la plantilla de Mona Lisa. En este ejemplo, la fuente de luz se localiza a 4 cm del primer plano refractivo. Se utilizó un campo de 10x10 cm situado a 1 cm de distancia del primer plano para generar la cáustica.

6.1.2. Especularidad imperfecta.

La manufacturación física de las superficies calculadas normalmente incluirá alguna etapa de pulido para mejorar la especularidad. Sin embargo, conseguir la especularidad perfecta, que es la premisa de los enfoques concebidos anteriormente, no es realista. Las superficies obtenidas no serán perfectamente lisas, resultando en cierta dispersión, que sería deseable considerar. En lugar de trabajar con una función completa de distribución bidireccional de la dispersión (BSDF, por sus siglas en inglés), los presentes inventores recurrieron a todavía otra simplificación: partieron de la premisa de que se tenía la función de extensión puntual (PSF, por sus siglas en inglés) que resultaba en el receptor. Lo anterior puede imaginarse como apuntar un láser a la superficie y mirar al punto de luz que produce.

Además, los presentes inventores partieron de la premisa de que su forma no dependía de la posición en donde impactaba el láser en la superficie. En términos de una BSDF, lo anterior implicará una distribución isotrópica espacialmente homogénea. Los efectos de Fresnel, es decir, la reflectividad variable dependiente del ángulo de incidencia en una superficie, se ignoran. Las distorsiones de la PSF debidas a los ángulos variables de incidencia en el receptor y debidas a las distancias variables entre las posiciones en el reflector/refractor y el receptor también se ignoran.

Bajo dichas premisas, la cáustica que resulta de una superficie es simplemente la convolución de la función de extensión puntual con la cáustica correspondiente según su apariencia suponiendo especularidad perfecta. Para el enfoque de distorsión del brillo, por lo tanto, el problema de control de las superficies imperfecta se convierte en un problema de deconvolución, que puede resolverse utilizando el algoritmo de Richardson-Lucy [Ric72]. El algoritmo no puede producir valores negativos, pero puede introducir artefactos de anillo. La implementación utilizada por los presentes inventores extiende la imagen original en los límites, de manera que la deconvolución será tan grande como la entrada especificada por el usuario y no se produce recorte. Además, los valores en el límite se biselan para evitar artefactos, tal como sugiere Richardson1.

Debido a que no se llevaron a cabo experimentos con objetos físicos para evaluar este método, se llevó a cabo una simulación utilizando la opción de material de vidrio rugoso de LuxRender; ver las figuras 6.2 y 6.3. Para determinar la función de extensión puntual de dicha superficie, se utilizó una pantalla con un pequeño orificio en ella para reducir la luz a un haz estrecho antes de que pasase a través del vidrio. La imagen resultante de la PSF seguidamente se recortó, es escaló2 y se utilizó para la deconvolución de la imagen objetivo.

Figura 6.2.: resultados de deconvolucion de la imagen de Lena. La imagen en (b) muestra la función de dispersión de puntos.

De manera similar a una especularidad imperfecta, una fuente de luz de una zona también resulta en un cono de luz que emana de un solo punto sobre la superficie en lugar de un solo rayo. En consecuencia, la borrosidad resultante

1 Más exactamente, la convolución de una imagen con una PSF que no es una función delta Dirac mostrará cierta pendiente en el límite, tal como puede observarse en, por ejemplo, la figura 6.2(c). La deconvolución de Richardson-Lucy causará, a su vez, artefactos si la entrada presenta límites no negros que no se biselan correspondientemente. Para aliviar lo anterior, los presentes inventores utilizaron una imagen blanca, aplicaron la convolución con la PSF, multiplicaron el resultado por la imagen de entrada que se extendió en los límites, y finalmente pasaron la imagen obtenida de esta manera al algoritmo de Richardson-Lucy.

2 El tamaño de un píxel de la PSF debe presentar el tamaño correspondiente de un píxel de la imagen original al proyectarlo sobre el receptor. Por ejemplo, la configuración utilizada para las figuras 6.3(b) y 6.3(c), en donde la configuración utiliza una superficie plana, resulta en una cáustica de 911 píxels de anchura. Se utilizó la misma configuración para renderizar la PSF. Debido a que la imagen de Lena presentaba 512 píxels de anchura, se escaló

512

la imagen de la PSF producida por LuxRender en un factor de 811.

Figura 6.3.: resultados para la imagen de Lena utilizando el material vidrio rugoso de LuxRender, sin y con deconvolución. Para visualizar el material, (a) muestra una renderización de dos bloques de vidrio: uno perfectamente especular y uno cuya cara superior utiliza el material de vidrio rugoso, mientras que las otras caras también son perfectamente especulares; el resultado borroso visible en su cara frontal surge por las múltiples reflexiones internas en la base y techo del cuboide. La distancia al suelo de cuadrícula es la mitad de la distancia entre la superficie especular y el receptor utilizado para (b) y (c).

de una cáustica, de manera similar, puede tratarse como una convolución, y puede utilizarse el mismo enfoque para considerarla. En esta ocasión, la<p>S<f>evidentemente no puede determinarse utilizando un láser; alternativamente puede utilizarse una pantalla con un pequeño orificio directamente en la superficie especular. La figura 6.4 muestra el resultado de una simulación llevada a cabo de esta manera. Debido a que la PSF es un disco, la imagen original se difuminó para evitar artefactos graves de formación de anillos en la imagen deconvolucionada. La versión difuminada también se utilizó para el ejemplo de referencia sin deconvolución. En la práctica, lo anterior evidentemente contradice el propósito de la deconvolución, por lo que, dependiendo de la imagen de entrada, es solo de uso limitado para este tipo de PSF. La alternativa es simplemente aceptar la formación de anillos que resulta en la imagen deconvolucionada, aunque podría conducir a problemas considerables debidos a imprecisiones al manufacturar la superficie.

Figura 6.4.: resultados de LuxRender para la obra “Mohnblumen" de Claude Monet. Se utilizó la deconvolución para anular la borrosidad introducida mediante la utilización de una fuente de luz de área; la función de dispersión de puntos correspondiente se muestra en la imagen en (c). Solo se utilizó el canal de color ojo del original para que el contraste entre las amapolas y la hierba fuese más notable que en la versión estándar, en escala de grises.

6.2. Revisión.

El análisis de los diferentes enfoques puede encontrarse en los apartados de resultados de los capítulos correspondientes. El presente apartado contiene consideraciones más generales sobre los métodos.

6.2.1. Quasiplanaridad.

Se observará que los campos de alturas calculados tienden a ser muy planos, en particular los generados utilizando la distorsión de brillo. En relación directa con la amplitud del campo está la cantidad de distorsión al comparar las cáusticas calculadas a partir de un plano de normales mapeadas (en las que se basa la presente tesis) y las superficies realmente desplazadas (como las utilizadas por las simulaciones de LuxRender mostradas en diversas figuras). Al poner el intervalo de profundidades bajas en relación con la distancia al receptor para configuraciones razonables, se justifica la simplificación de utilizar un plano de normales mapeadas. Una alternativa posible a utilizar los campos de alturas reales sin provocar que los métodos descritos resulten inaplicables se describe en el apartado 7.1.

Tabla6.1: Intervalos de profundidad de algunas superficies generadas utilizando la distorsión de brillo. El parámetro n es el índice de refracción, donde 'R' significa que el ejemplo correspondiente se generó utilizando alternativamente una superficie reflectante. La superficie del campo se denota por A, d es la distancia al receptor en centímetros yAbes el valor que se utilizó para incrementar el brillo tal como se describe en el apartado 3.1. El intervalo de profundidades y la desviación estándar del campo de alturas se muestran en las columnas Az y Oz, respectivamente, y se expresan en milímetros.

Tal como puede observarse en la Tabla 6.1, varios parámetros afectan al intervalo de profundidades de la superficie. El intervalo disminuye a medida que se incrementa el índice de refracción o la distancia al receptor. La distribución de brillos de la imagen deseada también afecta al intervalo de profundidades, en donde las distribuciones más irregulares causan mayores amplitudes. Además, puede observarse que en general las superficies producidas por el generador de pliegues presentan un intervalo de profundidades más alto (Tabla 6.2). Lo anterior no resulta inesperado, ya que los pliegues en las cáusticas requieren variaciones más altas de las normales.

Tabla6.2: Intervalos de profundidad de las superficies producidas por el generador de pliegues. Todas las imágenes se generaron utilizando un campo de 10x10 cm con un índice de refracción de 1,5 a una distancia de 25 cm del receptor. El intervalo de profundidades y la desviación estándar del campo de alturas se muestran en las columnas Az y Oz, respectivamente, y se expresan en milímetros.

Como una consideración adicional, el intervalo de profundidades también puede controlarse mediante escalado de una cáustica. Lo anterior resultará evidentemente en una superficie cóncava o convexa, aunque la cáustica presente un brillo constante. Sin embargo, una cáustica más grande también implica variaciones más grandes de las normales para la misma cantidad relativa de distorsión. En efecto, puede verificarse que la diferencia entre un campo productor de una imagen y un campo productor de un parche de luz constante del mismo tamaño se incrementa a medida que se agranda la cáustica. Por otra parte, el incremento del tamaño de la cáustica también conduce a una reducción de su brillo, lo que limita la utilidad de esta idea.

Con respecto a la manufacturación física, el intervalo de profundidades también afecta a la viabilidad de una superficie para el pulido. Tal como ya se ha mencionado en el apartado 3.5, Papas et al. [PJJ+11] compararon su enfoque con el sistema descrito por Finckh et al. [FDL10] en la imagen de prueba de Lena, con la intención de pulir las superficies físicas respectivas. Sin embargo, la superficie proporcionada por Finckh et al. presentaba un intervalo de profundidades de solo 0,07 mm para una superficie de 10x10 cm; por lo tanto, Papas et al. anularon el experimento. Al mismo tamaño, el campo de alturas producido por el enfoque de distorsión del brillo (figura 3.10) presentaba un intervalo de profundidades de 3,18 mm (incidentemente, el valor mínimo en la Tabla 6.1 utilizando esta configuración). Por lo tanto, debería resultar viable para la manufacturación.

6.2.2. Idoneidad de los enfoques.

Los dos enfoques principales descritos en la presente tesis se basan en ideas diferentes: El método de distorsión del brillo se concibió para cáusticas libres de pliegues a fin de reproducir imágenes naturales del modo más exacto posible. En contraste con el generador de pliegues, también resulta aplicable a imágenes de baja frecuencia. Además, la deconvolución, que solo puede aplicarse a la distorsión del brillo, funciona mejor con frecuencias en la imagen deseada limitadas.

Aunque la distorsión del brillo produce resultados exactos, las cáusticas correspondientes podrían no reconocerse inmediatamente como tales, ya que están ausentes las características típicas de brillo del pliegue de las cáusticas. Lo anterior también expone el método a comparaciones con el método mucho más simple de proyectar una imagen utilizando una transparencia. La diferencia principal en este caso es que el redireccionamiento de la luz utilizando una superficie reflexiva o refractiva utiliza la potencia radiante completa, lo que permite crear regiones que son más brillantes de lo que serían si solo se iluminasen con luz directa.

Por otra parte, el enfoque de generación de pliegues está destinado a reproducir contornos mediante la introducción de pliegues en las ubicaciones correctas. No considera el brillo y, por lo tanto, es adecuado principalmente para imágenes monocromáticas simples. Sin embargo, para formas complejas, puede ser necesaria una interacción considerable del usuario para despejar los pliegues perturbadores. Pueden mantenerse los pliegues en el interior de zonas brillantes, ya que pueden considerarse elementos estéticos en lugar de un perjuicio.

En última instancia, puede afirmarse que el enfoque de distorsión del brillo es un método científicamente más exacto, mientras que la generación de pliegues y la edición son de naturaleza más artística.

7. Perspectivas.

Las alternativas a las fuentes de luz paralela y las superficies perfectamente especulares proporcionadas en el apartado 6.1 abordan simplificaciones que resulta bastante sencillo eliminar. Los apartados siguientes consideran otras limitaciones que podrían investigarse en futuros trabajos, así como otras posibilidades que podría resultar interesante explorar.

7.1. Campos de alturas reales.

Quizá la simplificación más acusada es que la forma real del campo de alturas se está ignorando y solo se utilizan sus normales para los cálculos.

En la práctica, los algoritmos producen campos más bien planos (ver el apartado 6.2.1) y la distorsión que aparece en las simulaciones de LuxRender no es apreciable a ojo desnudo en las imágenes a lo largo de toda la presente tesis. Sin embargo, tal como ya se ha comentado, el grado del campo de alturas resultante depende de la distancia al receptor y de la forma de la cáustica. Para algunos casos, por lo tanto, dicha simplificación puede volverse problemática, por ejemplo, si debe utilizarse el enfoque de distorsión del brillo para diseñar reflectores con una forma aproximadamente parabólica.

La ampliación de los enfoques existentes para considerar directamente la superficie no es trivial debido al desacoplamiento del cálculo del campo de normales y la conversión a un campo de alturas. De modo alternativo, aparentemente podría resultar plausible la utilización de un enfoque iterativo para resolver el problema. Requiere que los algoritmos se amplíen a una forma básica no plana, parametrizada mediante un campo de alturas. Esta forma debe utilizarse siempre que se calculen las posiciones en la superficie especular, especialmente para las direcciones de rayo, pero se mantiene fija a lo largo de toda la optimización. El procedimiento de optimización subyacente, es decir, la deformación de una retícula en la superficie especular o difusa (distorsión del brillo y generador de pliegues, respectivamente), de esta manera se mantiene sin cambios.

Con ello, se ejecuta el algoritmo suponiendo un campo plano en un primer pase y se deriva un campo de alturas a partir del mismo. A continuación, se vuelve a ejecutar el algoritmo utilizando la superficie recién obtenida y se recalcula el campo de alturas. Lo anterior se repite hasta que converja la forma. Esta idea no ha sido implementada, por lo que evidentemente no fue posible ningún experimento para evaluar si efectivamente conducía a convergencia.

7.2. Campos de normales discontinuos.

La premisa de patrones de cáusticas conectados también es una restricción considerable; ver la figura 4.12(d), por ejemplo. Aunque la distorsión de brillo no modifica la retícula de la cáustica (que debe ser contigua) durante toda la optimización, existe una relación reseñable con cáusticas desconectadas. Tal como se ha explicado anteriormente, el algoritmo no puede producir zonas perfectamente negras; ello requeriría que la cáustica estuviese desconectada. Sin embargo, las partes muy oscuras de la imagen de entrada resultarán en cuadriláteros pequeños en la retícula distorsionada. La ubicación de dichos cuadriláteros, por lo tanto, determina donde sería apropiada una discontinuidad del campo de normales, que podría utilizarse para un enfoque que tratase las regiones resultantes de manera independiente. Ventajosamente, dicha segmentación también explica la integrabilidad, así como la potencia total que debe distribuirse a fragmentos separados de una cáustica.

Evidentemente, la representación del campo de alturas de la superficie utilizando una rejilla regular no resulta adecuada para cáusticas desconectadas, ya que la discontinuidad con frecuencia no se encontrará en una línea de la rejilla.

7.3. Generador de pliegues.

Existen varias limitaciones al generador de pliegues y su ampliación a la edición guiada por el usuario. Una es su lenta convergencia; para conseguir que los ajustes interactivos sean más practicables, se requieren considerables optimizaciones. También resultaría adecuado explorar métodos para que la interacción con el usuario sea más directa, en lugar del mecanismo por etapas de editar repetidamente las posiciones de los puntos críticos y ejecutar nuevamente la optimización.

Alternativamente, un método que detecta automáticamente incidir en pliegues no deseados y que corrige sus posiciones a bordes deseados o a regiones donde no destacan tan fuertemente incrementaría mucho la potencia de este enfoque. Una idea ya fue mencionada en el capítulo 4: utilizar funciones de distancia con signo para penalizar los fotones ubicados en zonas que no deberían estar iluminadas.

También puede advertirse que el enfoque introduce y ajuste pliegues, aunque todavía no existe ningún modo directo de eliminarlos. Si hay puntos de control correspondientes en la optimización, evidentemente pueden ser eliminados. Sin embargo, no es seguro que el término de lisura (apartado 4.1.8) eliminará el pliegue al aplicar nuevamente la optimización. Aunque esto es generalmente un problema difícil y podría no existir ningún modo razonable de eliminar un pliegue, la figura 4.12(d) es un ejemplo en el que aparentemente resulta plausible que los no deseados puedan alisarse, quizá simplemente mediante variación local de la ponderación del término de lisura.

Finalmente, resultaría interesante combinar el generador de pliegues y la distorsión de brillo de manera que pueda reproducirse con exactitud una imagen, pero con pliegues en contornos claros. El problema de los pliegues no deseados es nuevamente de gran importancia en este caso. Además, surge una ambigüedad respecto a la irradiancia deseada de las caras en la retícula de la cáustica. La distorsión del brillo prevé irradiancias por cada cara como entrada, pero cuando hay pliegues, múltiples caras pueden cubrir el mismo fragmento del receptor, en donde la irradiancia por cara se sumará. Para conseguir el brillo deseado, lo anterior pueden volverse un problema de optimización y complementarse con objetivos adicionales para forzar la lisura y/o otras propiedades.

7.4. Extensiones adicionales.

Una limitación adicional de los métodos propuestos en la presente tesis es la configuración fija: Las cáusticas solo se proyectarán según se desee en una configuración específica de la luz incidente, el objeto reflexivo o refractivo, y el receptor. Debido a que solo se utiliza una de las dos superficies de un bloque de vidrio para las cáusticas refractivas, es imaginable que mediante la utilización de ambas superficies resultaría posible crear un refractor donde los rayos de luz salientes sean paralelos, de manera que no tenga importancia la distancia al receptor. De manera similar, es concebible que un objeto pueda proyectar dos imágenes diferentes en dos ubicaciones de receptor diferentes (tal como también señalan Papas et al. [PJJ+11 ]) o cuando se iluminan desde dos ángulos diferentes.

Considerando la luz incidente, la idea de manufacturar ventanas especiales para proyectar patrones específicos en la luz solar está algo limitada debido al movimiento del sol. Pueden imaginarse fácilmente múltiples versiones del mismo patrón, ajustadas a diferentes horas del día, de manera que algunas cáusticas estén distorsionadas, mientras que otras sean más precisas a una hora dada. No obstante, los métodos para refractar la luz solar para que la cáustica correcta se proyecte a múltiples horas del día, o incluso constantemente, definitivamente resultarían muy útiles.

A pesar de todas estas interesantes posibilidades, se mantienen dos de las restricciones principales de los enfoques propuestos: El hecho de que no puedan soportar objetos completos con autosombreamiento e interreflexiones, y la premisa de que cualquier punto dado de la superficie recibe el impacto de solo rayos con la misma dirección. Aunque resultarían mucho más potentes, los métodos que superan dichas limitaciones, conservando simultáneamente las ventajas de los enfoques propuestos podrían resultar difíciles de encontrar.

8. Conclusión.

En la presente tesis, se han propuesto dos métodos para el diseño de cáusticas. El primero, denominado distorsión del brillo, calcula la forma de una superficie reflexiva o refractiva que proyecta una imagen dada al ser iluminada por una fuente de luz. El método actúa sobre un conjunto de normales e ignora el desplazamiento real de la superficie durante todo el cálculo; se obtiene un campo de alturas reales en una segunda etapa. Este enfoque permite un método de optimización basado en un gradiente que escala a resoluciones altas. Por lo tanto, pueden reproducirse imágenes naturales con gran exactitud, tal como se ha mostrado utilizando simulaciones de trazado de rayos. Los resultados superan los de métodos del estado de la técnica, aunque se requerirían prototipos físicos para una comparación concluyente. En contraste con el trabajo similar de Papas et al. [PJJ+11], se generaron superficies lisas, lo que podría resultar beneficioso para la producción física.

El segundo enfoque investiga las características típicas de los pliegues de las cáusticas. Debido a que estas no son interesantes o incluso son no deseadas para el diseño clásico de luminarias, este aparentemente es un campo de investigación bastante nuevo. El único otro trabajo (a conocimiento del autor) que considera la reproducción de tales características [FDL10] requiere una imagen completa de una cáustica como entrada. El sistema propuesto se basa en un marco que describe dichas características del pliegue, que a continuación se convierten en un método de optimización utilizado para introducirlos en ubicaciones especificadas. Para conseguir un poco más de control sobre la cáustica resultante, el enfoque se ha ampliado a la interacción con el usuario. En consecuencia, resulta posible crear cáusticas que «llenen» una forma deseada con patrones complejos.

Figura 8.1.: renderización que muestra un resultado de distorsión del brillo junto con el objeto de vidrio que proyecta la cáustica. La imagen de plantilla se muestra en la imagen insertada; fue creada originalmente por Joakim Backf .

A. Campos de normales a campos de alturas.

En el apartado 2.3.1, se describe el sistema de cuadrados mínimos lineales para convertir un campo de normales en un campo de alturas, con una matriz singular Á = ATA en las ecuaciones normales. La matriz no cumple las condiciones suficientes (aunque no necesarias) de convergencia de los métodos de Gauss-Seidel y de gradiente conjugado conocidas de la literatura [She94, GVL96]: ambos convergen para matrices definidas estrictamente positivas y simétricas; Gauss-Seidel también converge para matrices estrictamente dominantes en diagonal. Ninguna de dichas condiciones es cumplida por ATA. Sin embargo, ambos métodos funcionarán con la matriz descrita. Este capítulo es una descripción general aproximada del por qué.

A.1. Método de Gauss-Seidel.

El método de Gauss-Seidel [GVL96] se utiliza para resolver sistemas lineales Áx = b (para una matriz cuadrada Á, es decir, Á = ATA para el problema de cuadrados mínimos anteriormente indicado). Se basa en la división de matrices,

en la que M es el componente triangular inferior de Á, que incluye la diagonal. A continuación, el método realiza una iteración.

Puede mostrarse que la distancia a la solución después de k iteraciones es:

con la matriz de iteración

Los valores propios A, de G determinan la convergencia del método; converge si todos |A/| < 1.

Para el presente caso, en primer lugar, señalan que la matriz triangular M es invertible (su determinante es el producto de elementos diagonales, los cuales son todos positivos). En caso contrario, el método de Gauss-Seidel ni siquiera sería aplicable a la matriz.

En segundo lugar, la prueba en [GVL96, página 512] que indica que |A,| < 1 para matrices definidas positivas y simétricas se traduce directamente en una versión débil: |A,| < 1 para matrices semidefinidas positivas y simétricas. En tercer lugar, un vector es un valor propio de G con valor propio 1 si y solo si es un vector propio de Á con valor propio 0. En el presente caso, el vector 1 y sus múltiplos son los únicos vectores propios de este tipo.

A continuación, se muestra qué ocurre con ek. Debe señalarse que no hay una única solución, por lo que sea ek la distancia a la solución con media 0. La iteración de Gauss-Seidel dejará ek componentes que son colineales con el vector propio 1 por sí solo, es decir, no modificará la media de x (excluyendo la deriva numérica). Todos los demás componentes se reducirán debido a que |A,| < 1, por lo que el método de Gauss-Seidel en efecto convergirá en una solución.

A.2. Método de gradiente conjugado.

Para una vista general del método de gradiente conjugado, se remite al lector a [She94] o [NW06]. La terminología del último se utilizará en el presente documento. La convergencia del método para una matriz simétrica definida estrictamente positiva Á sigue de varios factores [NW06]:

i. Las direcciones de búsqueda pison conjugados dos a dos (o son cero),

ii. si el algoritmo no ha encontrado una solución traskiteraciones, es decir, el residuork= Axk - b no es cero, la dirección de búsqueda resultante pk utilizada por la siguiente iteración también es no nula1;

iii. un conjunto de vectores conjugados dos a dos no nulos es linealmente independiente si Á es definida positiva; iv. Para una matriz definida positiva A, la solución xk hallada traskiteraciones minimiza el objetivo convexo xTÁx - xTb con respecto al espacio abarcado por las direcciones de búsqueda previas, es decir, es el minimizador en el conjunto.

Los primeros tres elementos implican que el espacio de búsqueda finalmente abarcará la totalidad (a menos que el óptimo se encuentre antes y las direcciones se vuelvan cero), por lo que el algoritmo terminará con la solución correcta después de, como máximo,niteraciones.

Este punto no se indica explícitamente en la prueba en [NW06], A partir de la definición p/( =-rk+ y8/(P*-i y laoptimalidad se infiere que

En el presente caso, el vector de unos 1 es ortogonal a los residuosr¡,ya que

De esta manera,

por lo que mediante inducción también es ortogonal a las direcciones de búsquedap¡:

Nuevamente, lo anterior significa que el algoritmo no modificará la media de la solución de los presentes inventores. La semidefinición y singularidad de la matriz de los presentes inventores no afecta a la conjugación de las direcciones (i) y al hecho de que el algoritmo produce direcciones no nulas si no ha encontrado la solución todavía (ii). La independencia lineal de los vectores conjugados dos a dos no nulos (iii) también se garantizar si no son colineales con 1; la premisa de una dependencia lineal

implica que los coeficientesc¡son todos 0:

p TÁ p

donde es no negativo debido a la semidefinición y no nulo ya que losp¡no son colineales con 1.

La propiedad de optimalidad (iv) supone una solución única en su prueba, y debido a que la solución es única con respecto al espacio de búsqueda, la propiedad todavía se mantiene.

En conjunto, lo anterior significa que el espacio de búsqueda no abarcará K 71 (si el algoritmo no termina antes); por el contrario, abarcará un subespacion-1dimensional que es ortogonal a 1, donde la solución es única, y el algoritmo encontrará una solución correcta. De esta manera se concluye el argumento de por qué el método de gradiente conjugado todavía puede aplicarse al problema de optimización singular de los presentes inventores.

Créditos de imagen

3.1 "Mona Lisa", Leonardo da Vinci, dominio público: http://en.wikipedia.org/ wiki/File:Mona_Lisa.jpeg, obtenida el 13 de octubre de 2010.

3.7 "Prankenbar", Friedrich W. Kuhnert (1865-1926), dominio público: http: //en.wikipedia.org/wiki/File:Prankenbaer-drawing.jpg, obtenida el 13 de octubre de 2010.

3.9 "Cherokee Pass, Rocky Mountains" (1859), Daniel A. Jenks, dominio público: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Cherokee_Pass2.jpg, obtenida el 14 de abril de 2011.

3.10 "Lena", copyright propiedad de Playboy Enterprises, Inc.; http://en.wikipedia. org/wiki/File:Lenna.png, obtenida el 23 de marzo de 2011.

4.11 Símbolo de advertencia de radiación, domino público: http://en.wikipedia.org/wiki/ File:Radiation_warning_symbol.svg, obtenido el 24 de marzo de 2011.

4.15 Silueta de gato, Christopher Martin, dominio público: http://en.wikipedia. org/wiki/File:Cat_silhouette.svg, obtenida el 28 de abril de 2011.

6.4 "Mohnblumen" (1873), Claude Monet, dominio público: http://en.wikipedia. org/wiki/File:Claude_Monet_037.jpg, obtenido el 22 de abril de 2011.

8.1 "Dereliction", Joakim Back, Creative Commons Attribution-Noncommercial; http://vuni.net/, obtenida el 30 de abril de 2011.

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Claims

REIVINDICACIONES

Método para formar una superficie reflexiva o refractiva que se lleva a cabo mediante instrucciones de un programa informático, con el fin de manufacturar dicha superficie, que comprende:

discretizar una imagen bidimensional formada sobre una primera superficie (2) dando lugar a una primera retícula (1) de una pluralidad de primeros nodos en la primera superficie (2), en donde una primera parte de los primeros nodos de la pluralidad de los primeros nodos en la primera superficie (2) define una primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1) sobre la que incide un primer haz de luz con un primer flujo radiante 01, y en donde una segunda parte de los primeros nodos de la pluralidad de primeros nodos en la primera superficie (2) define una segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1) sobre la que incide un segundo haz de luz con un segundo flujo radiante 02, y

en donde la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1) es contigua a la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1), y la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1) y la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1) presentan por lo menos un primer nodo de la pluralidad de primeros nodos en común;

discretizar una segunda superficie reflexiva o refractiva (5) dando lugar a una segunda retícula (9) de una pluralidad de segundos nodos en la segunda superficie (5), en donde una primera parte de los segundos nodos de la pluralidad de los segundos nodos en la segunda superficie (5) define una primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) sobre la que incide el primer haz de luz con el primer flujo radiante 01 y es desviado hacia la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1), y una segunda parte de los segundos nodos de la pluralidad de los segundos nodos en la segunda superficie (5) define una segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) sobre la que incide el segundo haz de luz con el segundo flujo radiante 02 y es desviado hacia la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1), y en donde la primera zona de celdas A m de la segunda retícula (9) es contigua a la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) y en donde la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) y la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) presentan por lo menos un segundo nodo de la pluralidad de segundos nodos en común,

en un procedimiento iterativo de optimización, ajustar las posiciones de uno o más segundos nodos de la primera parte de la pluralidad de segundos nodos de la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) en la segunda superficie (5), de manera que la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) corresponda a una primera exitancia radiante M1 del primer haz de luz sobre la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) en la segunda superficie (5), en donde la primera exitancia radiante M1 corresponde a un brillo de la imagen bidimensional en la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1),

ajustar las posiciones de uno o más segundos nodos de la pluralidad de segundos nodos de la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) en la segunda superficie (5), de manera que la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) corresponda a una segunda exitancia radiante M2 del segundo haz de luz en la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) en la segunda superficie (5), en donde la segunda exitancia radiante M2 corresponde a un brillo de la imagen bidimensional en la segunda zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1),

determinar normales de superficie de la segunda superficie (5) en cada uno de los nodos de la primera zona de celdas Ad,1 de la segunda retícula (9), correspondiendo las normales de superficie a rayos del primer haz de luz que son incidentes en la segunda superficie (5) y se extienden entre los nodos con posiciones ajustadas de la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) en la segunda superficie (5) y los nodos de la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (i) en la primera superficie (2), y calcular un campo de alturas correspondiente a las normales de superficie.

Método para formar una superficie reflexiva o refractiva que se lleva a cabo mediante instrucciones de un programa informático, con el fin de manufacturar dicha superficie, que comprende:

discretizar una imagen bidimensional formada en una primera superficie (2) en una primera retícula (1) de una pluralidad de primeros nodos en la primera superficie (2), en donde una primera parte de la pluralidad de primeros nodos en la primera superficie (2) define una primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (i) en la que incide un primer haz de luz con un primer flujo radiante 01 y una segunda parte de la pluralidad de primeros nodos en la primera superficie (2) define una segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1) en la que incide un segundo haz de luz con un segundo flujo radiante 02,

En donde la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1) es contigua a la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1) y la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1) y la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1) presentan por lo menos un primer nodo de la pluralidad de primeros nodos en común,

discretizar una segunda superficie reflexiva o refractiva (5) en una segunda retícula (9) de una pluralidad de segundos nodos en la segunda superficie (5) define una primera zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) en la que incide el primer haz de luz con el primer flujo radiante 01, y una segunda parte de la pluralidad de segundos nodos en la segunda superficie (5) define una segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) en la que incide el segundo haz de luz con el segundo flujo radiante 02, en donde la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) es contigua a la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) y la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) y la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) presentan por lo menos un segundo nodo de la pluralidad de segundos nodos en común,

en un procedimiento iterativo de optimización, ajustar posiciones de uno o más primeros nodos de la primera parte de la pluralidad de los primeros nodos que definen la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1) en la primera superficie (2) en la que se forma la imagen bidimensional, de manera que corresponda con una primera exitancia radiante M1 del primer haz de luz en la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (i), en donde la primera exitancia radiante M1 corresponde al brillo de la imagen bidimensional en la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1),

ajustar las posiciones de uno o más primeros nodos de la segunda parte de la pluralidad de primeros nodos que definen la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (i) en la primera superficie (2) en la que se forma la imagen bidimensional, de manera que corresponde con una segunda exitancia radiante M2 del segundo haz de luz en la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (i), en donde la segunda exitancia radiante M2 corresponde a un brillo de la imagen bidimensional en la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1),

determinar normales de superficie de la segunda superficie (5) en cada uno de los nodos de la primera zona de celdas Ad,1 de la segunda retícula (9), correspondiendo las normales de superficie a rayos del primer haz de luz que son incidentes en la segunda superficie (5) y se extienden entre los nodos de la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) en la segunda superficie (5) y los nodos con posiciones ajustadas de la primera zona de celdas Ad1 de la primera retícula (i) en la primera superficie (2), y

calcular un campo de alturas correspondiente a las normales de superficie.

3. Método según la reivindicación 2, que comprende, además, ajustar posiciones de uno o más primeros nodos de la segunda parte de la pluralidad de los primeros nodos que definen la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (i) en la primera superficie (2) en la que se forma la imagen bidimensional, de manera que se corresponda con una segunda exitancia radiante M2 del segundo haz de luz en la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (i) y se solape por lo menos parcialmente con la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (i) en la primera superficie (2) en la que se forma la imagen bidimensional, de manera que la superposición del primer haz de luz y el segundo haz de luz corresponde a una intensidad de luz superpuesta en la primera zona superpuesta de celdas Ad,1 de la primera retícula (1) y la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (i) en la primera superficie (2) en la que se forma la imagen bidimensional.

4. Método según la reivindicación 3, en donde la primera zona superpuesta de celdas Ad,1 de la primera retícula (1) y la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1) corresponden a por lo menos una transición escalonada de la intensidad lumínica o una singularidad de la intensidad lumínica en la imagen bidimensional.

5. Método según cualquiera de las reivindicaciones 2 a 4, que comprende ajustar las posiciones de los nodos de múltiples zonas de celdas Ad,i de la primera retícula (i), en donde las múltiples zonas de celdas Ad,i de la primera retícula (1) corresponden a múltiples haces contiguos de luz que presentan exitancias radiantes respectivas Mi en las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula (1) y en las zonas de celdas As,i de la segunda retícula (9) en la primera superficie (2) en la que se forma la imagen bidimensional, solapándose entre sí por lo menos parcialmente las zonas de celdas Ad,i de la primera retícula (1) y correspondiendo a múltiples haces superpuestas de luz, en donde las regiones en la primera superficie (2) en la que se forma la imagen bidimensional donde se superponen los múltiples haces de luz entre sí incluyen por lo menos una región de una transición escalonada de intensidad lumínica de la imagen bidimensional.

6. Método según cualquiera de la reivindicaciones 2 a 5, que comprende, además, el acto de determinar por lo menos una zona de celdas Ad,i de la primera retícula (1) que comprende por lo menos un borde de una transición escalonada de la intensidad lumínica correspondiente a una singularidad de la función de intensidad lumínica en la imagen bidimensional y determinar la posición del borde de la transición de intensidad lumínica en la zona o zonas de celdas Ad,i de la primera retícula (i), en donde el acto de determinar por lo menos una zona de celdas Ad,i de la primera retícula (1) que comprende por lo menos un borde de una transición de intensidad lumínica incluye utilizar el algoritmo de detección de bordes de Canny.

7. Método según la reivindicación 6, que comprende, además, el acto de determinar un vector dC,i que define la orientación del borde de la transición de intensidad lumínica y la dirección de la intensidad alta o baja de la luz en la imagen bidimensional con respecto al borde.

8. Método según cualquiera de las reivindicaciones 2 a 7, en donde el ajuste de las posiciones de los nodos de la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (i) en la primera superficie (2) y de la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (i) en la primera superficie (2) está por lo menos parcialmente en correspondencia con la posición de un borde de transición de la intensidad lumínica de manera que la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1) que corresponde al segundo haz de luz se solapa con la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1) en una región que incluye el borde de la transición de intensidad lumínica y el primer haz de luz correspondientemente se solapa con el segundo haz de luz.

Sistema para formar una superficie reflexiva o refractiva con el fin de manufacturar dicha superficie, en donde el sistema está configurado para determinar, basándose en una imagen de plantilla, la deformación de una retícula (1, 9) que comprende varias celdas que corresponden a haces de luz parciales imaginarios cada uno de los cuales presenta un flujo radiante respectivo Oi de manera que en la retícula deformada, cada superficie de una celda corresponde a una intensidad de luz o exitancia Mi predeterminada del haz parcial imaginario respectivo, formando la suma de las intensidades lumínicas predeterminadas la imagen de plantilla, y comprendiendo el sistema un ordenador configurado para llevar a cabo las etapas siguientes: discretizar la imagen de plantilla bidimensional formada en una primera superficie (2) en una primera retícula (1) de una pluralidad de primeros nodos en la primera superficie (2), en donde una primera parte de la pluralidad de los primeros nodos en la primera superficie (2) define una primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1) en la que incide un primer haz de luz con un primer flujo radiante O1, y una segunda parte de la pluralidad de los primeros nodos en la primera superficie (2) define una segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1) en la que incide un segundo haz de luz con un segundo flujo radiante O2 y en donde la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (1) es contigua a la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1) y la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1) y la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (i) presentan por lo menos un primer nodo de la pluralidad de primeros nodos en común,

discretizar una segunda superficie reflexiva o refractiva (5) en una segunda retícula (9) de una pluralidad de segundos nodos en la segunda superficie (5), en donde una primera parte de la pluralidad de los segundos nodos en la segunda superficie (5) define una primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) en la que incide el primer haz de luz con el primer flujo radiante O1 y resulta desviada hacia la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (i), y una segunda parte de la pluralidad de los segundos nodos en la segunda superficie (5) define una segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) en la que incide el segundo haz de luz con el segundo flujo radiante O2 y resulta desviada hacia la segunda zona de celdas Ad,2 de la primera retícula (i), y en donde la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) es contigua a la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) y la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) y la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) presentan por lo menos un segundo nodo de la pluralidad de segundos nodos en común,

en un procedimiento iterativo de optimización, ajustar las posiciones de uno o más segundos nodos de la primera parte de la pluralidad de segundos nodos de la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) en la segunda superficie (5), de manera que la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) corresponda a una primera exitancia radiante M1 del primer haz de luz sobre la primera zona de celdas As,1 de la segunda retícula (9) en la segunda superficie (5), en donde la primera exitancia radiante M1 corresponde a un brillo de la imagen bidimensional en la primera zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1),

ajustar las posiciones de uno o más segundos nodos de la segunda parte de la pluralidad de segundos nodos de la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) en la segunda superficie (5), de manera que la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) corresponde a una segunda exitancia radiante M2 del segundo haz de luz en la segunda zona de celdas As,2 de la segunda retícula (9) en la segunda superficie (5), en donde la segunda exitancia radiante M2 corresponde a un brillo de la imagen bidimensional en la segunda zona de celdas Ad,1 de la primera retícula (1),

que comprende, además, un módulo que está configurado para obtener un campo de normales de superficie en una superficie (2, 5) en la que inciden los haces de luz parciales imaginarios basándose en la deformación determinada de la retícula (1, 9), correspondiendo la superficie (2, 5) a la superficie refractiva o reflexiva o a una superficie que corresponde a la imagen de plantilla formada por los haces de luz parciales imaginarios, y

que comprende, además, un módulo que está configurado para determinar un campo de alturas basándose en el campo de normales de superficie, representando el campo de alturas la superficie refractiva o reflexiva de una plancha de material que produce la imagen de plantilla al iluminar la luz sobre ella.

Sistema según la reivindicación 9, que comprende un algoritmo de optimización configurado para calcular por lo menos uno de entre la retícula deformada (1, 9), el campo de normales de superficie y el campo de alturas.

Sistema según cualquiera de las reivindicaciones 9 a 10, que comprende un generador de pliegues capaz de detectar y determinar la posición y/u orientación de una transición de la intensidad lumínica en la imagen de plantilla, en donde el módulo generador de pliegues es capaz de determinar la deformación de una retícula (1, 9) que corresponde a las intensidades lumínicas de haces parciales definidos por la imagen de plantilla, en donde el módulo considera por lo menos un borde de una transición lumínica en la imagen de plantilla como una singularidad de la función de distribución de intensidades lumínicas y como una zona donde las celdas de la retícula deformada (1, 9) se solapan entre sí correspondiendo a un solapamiento de haces parciales que emanan de diferentes zonas de celdas de la retícula en la superficie refractiva o reflexiva.