ES2894876B2

ES2894876B2 - Metodo y sistema de doble reticula de detectores para generar imagenes radiologicas de baja dosis

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Publication number: ES2894876B2
Application number: ES202030836A
Authority: ES
Inventors: Gonzalez Javier Gonzalez
Original assignee: Servicio Andaluz de Salud
Current assignee: Servicio Andaluz de Salud
Priority date: 2020-08-11
Filing date: 2020-08-11
Publication date: 2022-12-05
Anticipated expiration: 2040-08-11
Also published as: ES2894876A1

Description

DESCRIPCIÓN

MÉTODO Y SISTEMA DE DOBLE RETÍCULA DE DETECTORES PARA GENERAR

IMÁGENES RADIOLÓGICAS DE BAJA DOSIS

OBJETO DE LA INVENCIÓN

La presente invención se refiere al campo técnico de las imágenes radiológicas y más concretamente a los métodos y sistemas de procesado de imágenes radiológicas de baja dosis, con ventajosa aplicación por ejemplo en la sustitución de sistemas de rejilla Potter Bucky.

ANTECEDENTES DE LA INVENCIÓN

Actualmente, la señal recibida por los dispositivos electrónicos de formación de imagen planar en radiodiagnóstico, es el resultado de la interacción con la materia del objeto de estudio con la radiación de alta frecuencia procedente de un tubo de rayos X. En el ámbito de la presente invención los dos fenómenos físicos predominantes en este proceso son el efecto fotoeléctrico y la dispersión Compton. El primero de ellos consiste en la absorción, y por tanto eliminación, de fotones del haz primario y es el responsable del contraste entre los diferentes detalles de la imagen. Por el contrario, en el efecto Compton, los fotones incidentes al interactuar con la materia se dispersan siguiendo un patrón probabilístico. La distribución de energía de estos fotones dispersados se correlaciona con el ángulo de dispersión según la ecuación de Compton. La probabilidad de que un determinado fotón sea desviado a un ángulo y una energía concreta viene dado por la ecuación de Klein-Nishina.

Así, la calidad de una imagen de radio diagnóstico se verá incrementada si se consigue maximizar la relación fotoeléctrico/Compton. En la actualidad para conseguir esto se recurre a un dispositivo denominado rejilla anti difusora o diafragma de Potter-Bucky. Esta rejilla anti difusora permite el paso de los rayos que provienen en línea recta del foco de rayos X y filtra aquellos que proceden de cualquier otra dirección. El inconveniente de este sistema es que al estar situado entre el paciente y el receptor de la imagen y estar construidos con materiales muy radio-opacos, como son el plomo y el aluminio, también se absorben muchos fotones transmitidos. Para suplir esto es necesario incrementar la radiación incidente, y por tanto la dosis al paciente.

De hecho, su utilización presenta incrementos de dosis al paciente del orden de 2,5 a 5 veces la dosis que recibiría si no estuviese. Además, la rejilla debe estar cuidadosamente ajustada para evitar aumentar la dosis al paciente y no mejorar su calidad diagnóstica. Al tratarse de un dispositivo mecánico y móvil pueden presentar una serie de inconvenientes como estar desalineada o mal nivelada, estar torcida o perder la distancia focal, entre otros.

La aparición de la espectrometría de estado sólido a temperatura ambiente, gracias a nuevos materiales como el telururo de zinc y cadmio (CdZnTe o CZT), permite la conversión, en un solo paso, de un fotón individual en una señal digital “proporcional” a su energía.

Por tanto, se echa en falta en el estado del arte avances significativos en los métodos y sistema de generación de imágenes radiológicas que reduzcan las dosis de radiación necesarias para conseguir imágenes precisas y nítidas.

DESCRIPCIÓN DE LA INVENCIÓN

Con el fin de alcanzar los objetivos y evitar los inconvenientes mencionados anteriormente, la presente invención describe, en un primer aspecto un método para generar una imagen radiológica de baja dosis de un objeto que comprende:

a) colocar el objeto entre las dos retículas a una distancia d de la fuente, donde di < d < d¿,

b) generar, por una fuente emisora, un haz de rayos X;

c) colimar, por un colimador, la radiación de rayos X centrada hacia una primera retícula matricial espectrométrica dispuesta a una distancia di de la fuente;

d) obtener una primera lectura de fluencia energética, detectada en la primera retícula matricial espectrométrica, como respuesta a la radiación del haz dispersada por el objeto, donde esta primera lectura se correlaciona con la componente de retrodispersión Compton causada por el objeto;

e) obtener una segunda lectura de fluencia energética, detectada en la segunda retícula matricial espectrométrica, como respuesta a la radiación del haz, donde esta segunda lectura comprende una componente transmitida y una componente de dispersión Compton causada por el objeto, donde la segunda retícula está dispuesta en paralelo a la primera y a una distancia d 2 de la fuente;

f) cortar la radiación, por un módulo de Control Automático de Exposición (CAE), cuando se determina que hay suficiente información para obtener la imagen;

g) extraer el objeto de entre las dos retículas y repetir el disparo con exactamente las mismas condiciones y parámetros de tensión, corriente y tiempo del disparo anterior; h) obtener una tercera lectura de fluencia energética detectada en la primera retícula sin el objeto, donde la tercera lectura está libre de dispersión;

i) obtener una cuarta lectura de energía detectada en la segunda retícula, donde la cuarta lectura está libre de componente de dispersión Compton causada por el objeto; j) calcular la componente de dispersión Compton causada por el objeto, basado en las lecturas anteriores;

k) generar una imagen radiológica digital del objeto basada en la cuarta lectura de energía, donde la componente de dispersión Compton ha sido sustraída.

Las lecturas de energía comprenden una matriz I x J x K elementos, correspondientes al número de fotones registrados en la posición (i, j) con una energía dada k, en cada una de las celdillas detectoras de la retícula matricial espectrométrica. De acuerdo a una realización específica de la invención, generar la imagen radiológica digital comprende generar una matriz de pixeles grises en dos dimensiones como resultado de restar a la matriz de la segunda lectura la matriz de la cuarta lectura y una matriz correspondiente a la dispersión Compton calculada.

Para calcular la componente de dispersión Compton C 2 presente en la segunda lectura, se contempla establecer una relación con la componente de retrodispersión Compton C presente en la primera lectura mediante la ecuación de Compton:

donde E es la energía de un fotón dispersado, E„ es la energía de un fotón incidente, dK es el ángulo que forma el fotón dispersado con la dirección de incidencia y mec2 la energía en reposo del electrón. Específicamente, en una de las realizaciones de la invención, establecer la relación entre componentes Compton comprende determinar la distribución de densidad electrónica presente en el objeto.

Teniendo en cuenta que, para un diferencial de volumen situado en un punto entre las dos retículas, los fotones se dispersan en un ángulo d determinado por su energía, determinar la distribución de densidad electrónica de acuerdo a una de las realizaciones de la invención comprende:

- definir geométricamente una superficie toroidal ahusada que comprende todos los elementos dispersores de volumen que contribuyen con fotones de la misma energía Ek sobre una celdilla detectora de la retícula;

- calcular las ecuaciones paramétricas de las superficies capaces que representan una familia de toroides ahusados cuyos polos son la fuente emisora de radiación y el centro de la celdilla detectora y cuyo tamaño y forma vienen dados por el ángulo dk determinado por la ecuación de Compton;

- discretizar el espacio entre la primera y segunda retículas en un entramado donde el número de voxels resultante es igual o menor al número de celdilla detectoras individuales de la primera retícula por el número de canales de energía con que cuentan cada uno de ellos (Tx Jx K); y

- calcular la densidad electrónica dentro de cada voxel entre la primera y segunda retícula.

Adicionalmente, una de las realizaciones, además, comprende aplicar la distribución de energía del espectro de fotones incidente como condición a cumplir en las lecturas de energía de la segunda retícula y obtener la matriz correspondiente a la dispersión Compton.

En una realización particular de la invención, establecer la relación entre componentes de retrodispersión Compton C 1 (i,j,k ) y dispersión Compton C 2 (l,m,q) comprende definir geométricamente la intersección r ((E ^ ,) de dos superficies capaces de dos celdillas detectoras de ambas retículas, donde la relación entre componentes queda expresada por un sistema de ecuaciones integrales de Fredholm de tercera clase:

donde G (r ) es un término geométrico adimensional.

Adicionalmente, en una de las realizaciones de la invención, definir geométricamente la intersección de las superficies capaces depende exclusivamente del número de celdillas detectoras de las retículas, número de canales de energía y distancia de las retículas, que además comprende tabular los resultados obtenidos para una aplicación inmediata en la generación de imágenes radiológicas de otros objetos.

Un segundo aspecto de la invención se refiere a un sistema para generar una imagen radiológica de baja dosis de un objeto, que comprende:

- una fuente emisora de rayos X;

- un colimador dispuesto a continuación de la fuente configurado para colimar los rayos X emitidos;

- una primera retícula matricial espectrométrica dispuesta perpendicularmente a la fuente y en posición centrada a una distancia di, configurada para obtener lecturas de energía detectada como respuesta a la radiación del haz recibido;

- una segunda retícula matricial espectrométrica dispuesta a una distancia d 2 de la fuente y en paralelo con la primera retícula, configurada para obtener lecturas de energía detectada como respuesta a la radiación del haz recibido;

- un espacio definido entre la primera y la segunda retículas para recibir objetos, donde la presencia de objetos entre retículas causa que las lecturas de energía de la primera retícula comprendan una componente de retrodispersión Compton y las lecturas de energía de la segunda retícula comprendan una componente de dispersión Compton; y

- un procesador configurado para recibir las lecturas de energía de las retículas, calcular la componente de dispersión Compton basándose en dichas lecturas de energía y generar una imagen radiológica digital del objeto restando dicha componente de dispersión.

En una de las realizaciones de la invención, las retículas matriciales espectrométricas comprenden una pluralidad de celdillas detectoras espectrométricas de estado sólido simple.

En una de las realizaciones de la invención, la primera retícula y la segunda retícula tienen un número diferente de celdillas detectoras espectrométricas y están colocadas en cualquier distribución geométrica plana (ortogonal, polar, etc...).

Adicionalmente, una de las realizaciones de la invención, comprende un dispositivo de visualización conectado con el procesador, configurado para mostrar las imágenes radiológicas digitales de los objetos a estudio.

El sistema de realce de la imagen planar de rayos X de la presente invención resulta ventajoso en su aplicación para la obtención de imagen diagnóstica a pacientes en vivo, ya que minimiza en lo posible la dosis de radiación enviada al paciente, por lo que resulta especialmente ventajoso frente a la utilización generalizada de la rejilla Potter-Bucky, más aún en radiología pediátrica, cribado mamográfico, etc...

La presente invención representa por tanto una ruptura con el estado del arte y abre un nuevo camino a la radiología clínica permitiendo realizar las mismas exploraciones pero con una dosis de radiación mucho menor para los pacientes.

Ventajosamente, la rejilla electrónica de la presente invención es capaz de determinar qué componente de la radiación primaria del tubo ha atravesado al paciente y transmite información, y cuál ha sido dispersada por sus tejidos y sólo representa ruido en la imagen. Pero también, de forma indirecta, utilizando esa misma radiación dispersa, puede determinar la distribución de densidad electrónica y obtener imagen diagnóstica 3D. Todo ello con niveles de dosis a pacientes del orden de tres a cinco veces menores en imagen planar, pero que combinado con su posible uso como tomógrafo, utilizando sólo unas pocas proyecciones, permite aventurar disminuciones de dosis aún mayores en imagen 3D, que las que se están impartiendo a pacientes hoy en día.

BREVE DESCRIPCIÓN DE LAS FIGURAS

Para completar la descripción de la invención y con objeto de ayudar a una mejor comprensión de sus características, de acuerdo con un ejemplo preferente de realización de la misma, se acompaña un conjunto de dibujos en donde, con carácter ilustrativo y no limitativo, se han representado las siguientes figuras:

La figura 1 representa un esquema de una de las realizaciones de la invención.

La figura 2 representa como un haz pincel monoenergético de energía Ek, que parte del punto focal F situado en el origen, interacciona con un dV situado en el punto entre los planos z = di y z = d2en los que se colocarían las retículas.

La figura 3 representa a modo de ejemplo particular, las funciones de Dispersión Puntual (PSF) de un elemento de volumen situado en el punto (-7.5, 5, 25) para una fuente puntual monoenergética de 100 kV.

La figura 4 representa geométricamente los arcos capaces en un caso particular en el que los detectores de las retículas, D I y D2, están en el mismo plano que el eje Z.

La figura 5 representa un ejemplo de dos toroides ahusados que tienen un polo en el origen de coordenadas y representan la superficie capaz completa.

Las figura 6A, 6B y 6C representan un caso particular de la curva r asociada a la intersección de las dos superficies representadas en la Figura 5

Se acompaña a continuación un listado de las referencias numéricas utilizadas en la figura 1 :

1. Puesto de operación

2. Control sobre el tamaño de campo.

3. Marcas luminosas móviles del límite de campo en el eje Y

4. Marcas luminosas móviles del límite de campo en el eje X

5. Colimadores móviles.

6. Control sobre el régimen del disparo

7. Tubo de rayos X

8. Haz primario

9. Primera retícula espectrométrica o anterior

10. Haz útil

11. Segunda retícula espectrométrica o posterior

12. Blindaje posterior

13. Procesador

14. Control Automático de exposición (C.A.E.)

15. Biblioteca de haces

16. Visualización y archivo de imágenes

DESCRIPCIÓN DE UNA REALIZACIÓN PREFERENTE DE LA INVENCIÓN La presente invención divulga un método y un sistema de realce de la imagen planar de rayos X con baja dosis de radiación, donde en una realización preferente, el sistema cuenta con dos retículas de espectrómetros de radiación (para simplificar la explicación de su funcionamiento se supone que las dos constan de I x J celdillas espectrométricas de estado sólido simples, (no tienen por qué tener el mismo número las dos). Cada celdilla detectora, cuenta con la capacidad de realizar un análisis energético del campo de radiación con un número de canales de detección suficiente (K). Para simplificar la explicación, en esta realización se escoge una disposición ortogonal de las celdillas en las retículas, aunque pueden estar distribuidas de cualquier forma, pero en todo caso, estas deben cubrir un área algo mayor que el tamaño máximo de imagen que se quiera conseguir.

En la Figura 1 puede verse un esquema donde la primera retícula 9 o anterior, se dispone a la salida de un tubo 7 convencional de rayos-X a una distancia d del foco. Esta, se sitúa después de cualquier sistema modificador del haz, como pueden ser la filtración añadida y los colimadores 5. Está centrada en el eje del haz de rayos X y su zona central interactuará directamente con él. El conjunto de celdillas espectrométricas sobre la que incide el haz primario, permite caracterizar la fluencia energética de fotones del haz de salida del tubo de rayos X y su dispersión por los colimadores. Estos datos aportan la información correspondiente al haz primario y son función del régimen de funcionamiento del tubo y sus características: tensión (kV), corriente (mA), materiales que forman el sistema; posición de los colimadores; inclinación y desgaste del ánodo, etc.

La primera retícula proporciona como lectura de la medición una matriz de I x J x K elementos, correspondientes al número de fotones registrados en la posición (i,j) con una energía dada k en cada uno de los detectores. Esta retícula anterior atenúa, filtra y dispersa de manera significativa el haz, pero permite que un alto porcentaje de los fotones continúen su trayectoria. El haz, una vez atravesada la primera retícula, al que de ahora en adelante se va denominar haz útil, se endurece debido a la mayor absorción de la componente de baja energía.

La segunda retícula 11 o posterior, se sitúa a distancia d 2 del foco del tubo. Esta distancia permite la cabida entre las dos retículas del objeto o paciente a explorar. Como ya se ha dicho, estará compuesta por una retícula matricial de L x M cada uno de ellos capaz de realizar un análisis espectral con Q canales de discriminación energética. Proporciona como lectura otra matriz de dimensiones (¿ x M x Q) correspondientes al número de fotones registrados en la posición (l,m) con una energía dada q, en cada uno de los detectores. La parte posterior de la retícula posterior estará blindada para absorber cualquier resto de radiación que pueda atravesarla.

El objetivo del método y sistema de la presente invención es obtener una imagen planar de calidad suficiente y libre de borrosidad Compton con baja dosis de radiación. Esta imagen se define como una matriz de pixeles (grises) en dos dimensiones, esto es 1(1, m). Para obtenerla se suman los fotones de diferentes energías que proceden directamente del tubo de rayos X descartando todos aquellos que inciden en el detector pero que tienen otra procedencia.

En ausencia de un medio dispersor entre las dos retículas, al efectuar un disparo del tubo, se obtienen las lecturas en "vacío” de las dos matrices de detectores a las que se denomina L°(i,j,k) y L°2(l,m,q ) . En ellas está contenida toda la información referente al haz, geometría del dispositivo y materiales de empleados para construirlo. Esta información será la que se utilice en los cálculos de transmisión y dispersión necesarios para descartar la contribución Compton.

Para poder llevar a cabo una exploración radiológica de un objeto, éste tiene que situarse entre estas dos retículas de detectores. Al exponerlo a los rayos X del tubo, se obtienen las nuevas respuestas procedentes de cada retícula. Ahora la retícula anterior tendrá dos contribuciones: el haz primario (idéntico al caso en que no estuviese el objeto) más la contribución de los fotones retrodispersados por el objeto, debidos al efecto Compton. Denominamos a su lectura L i , por tanto:

L1(i,j,k ) = L01(i,j,k ) C1(i,j,k ) (1)

Por tanto, la componente retrodispersada consiste en calcular la diferencia entre las señales de la primera retícula: con objeto Li(i, i k y s i n él L°(i,j,k). Para hacer esta aproximación se desprecian la absorción por parte del objeto de los fotones dispersados por el sistema.

En el caso de la retícula posterior la lectura correspondería al componente del haz primario que consigue atravesar el objeto interpuesto (haz transmitido) y los fotones dispersados por efecto Compton. De forma análoga:

L 2 (l, m, q) = T 2 (X m, q) + C2 (X m, q) (2)

Si ahora se resta la contribución sin dispersor, se obtiene:

L2 ( l, m, q)- L°2 (l, m, q) = T2 (l, m, q) + C2 (l, m, q)- L°2 (l, m, q) (3)

Así, la diferencia entre el haz transmitido con objeto y sin él corresponde a la imagen que se quiere conseguir. Esto es:

I (l,m,q) = T2(l,m,q) -L 02(l,m,q) (4)

Por lo que, sustituyendo en la ecuación anterior:

I (l,m,q) = L2(l,m,q) -L°2(l,m,q) -C2(l,m,q) (5)

Y así, la imagen resultante (en escala de grises), libre de radiación dispersa, es:

Q

1 ( 1, m) = 2 (X m, q) - L02 (X m, q) - C2 (l, m, q) ) (6) q = l

admitiendo también la aproximación de despreciar la absorción por parte del objeto de los fotones dispersados por el sistema.

Es decir, la presente invención resuelve este problema estableciendo una relación entre las componentes de dispersión, de manera que se pueda conocer la componente C 2 ( 1, m, q) dentro de la región de interés a partir de la componente retrodispersada Ci(i, j,k).

En este desarrollo, por simplicidad de los cálculos matemáticos, se toma como aproximación que no existe atenuación. Así mismo tampoco se tiene en cuenta la multidispersión, pero la ampliación a estas condiciones es totalmente posible sin salirse de la presente invención. También se considera que la fuente de radiación es puntual y monocromática en primera aproximación, aunque también se realizan aquí los desarrollos matemáticos correspondientes a una fuente polienergética, más realistas.

Conocer cuál es la relación entre la señal retrodispersada y la dispersada por un determinado medio es posible mediante la ecuación de Compton que proporciona la energía del fotón dispersado en función de su ángulo de salida para una energía inicial dada:

y análogamente:

donde E es la energía del fotón dispersado, E„ es la energía del fotón incidente (que es la componente n del espectro del haz), d es el ángulo que forma el fotón dispersado con la dirección de incidencia y mec 2 la energía en reposo del electrón.

La característica más importante de esta ecuación a la hora de trabajar con ella es que para cada fotón incidente de energía E„ le corresponde otro dispersado de energía E k , que viajará por la generatriz de un cono circular con eje la dirección del fotón incidente y angulo ek.

La figura 2 muestra como un haz pincel monoenergético de energía Ek que parte del punto focal F situado en el origen, interacciona con un diferencial de volumen dV situado en el punto r ' entre los planos z = chy z = d2.

Los fotones dispersados con energías Ek y Eq forman dos conos de ángulos dk y 0q, con eje los vectores unitarios ±r'y vértice el punto r', donde:

Al cortarse estos conos sobre los planos z = d¡ (para i = l,2 ) se forman dos cónicas cuya ecuación general es:

donde el signo negativo corresponde a la primera retícula y el positivo a la segunda.

Desarrollando esta expresión y agrupando términos se obtienen los diferentes coeficientes de la ecuación general de esta familia de cónicas. Se obtienen las siguientes características:

- sus ejes son siempre perpendiculares al eje Z;

- el ángulo q >0 que forma el eje de la cónica con el eje X es el mismo que el que forma el punto f '.

- uno de los focos de cada cónica está situado donde la recta que une en origen con el punto donde el punto r ' corta a los planos z = d¡, con i = l ,2 ;y

- su excentricidad (e) es la misma y sólo depende de los ángulos d y a, esto es:

¡senai

£ =

'cosd ' ^{(11 )}, siendo a el ángulo acimutal que subtiende el elemento de volumen con el eje Z :

^ x'2 y'2

a = arcsen (12 )

^ x'2 y '2 z'2

Dependiendo de los valores de d y a, se obtienen diferentes tipos de cónicas, así, si e = 0 (a = 0) se tendrán círculos, para 0 < e < 1 elipses, con e = 1 parábolas y con e > 1 hipérbolas, que en el caso de d = n/2 degenerarán en rectas.

En el dispositivo de la presente invención, la relación entre el tamaño de las retículas y la distancia entre ellas ( d - di) es tal que, los fotones dispersados que inciden en retícula anterior tienen un ángulo de dispersión dk > n/2 y los que inciden en la retícula posterior lo hacen con un ángulo dq < n/2. Además, el ángulo máximo de apertura de los colimadores amáx , que definen la zona útil, es tal que:

amáx << n/2,

que por otro lado es la configuración típica de un sistema de imagen diagnóstica planar.

Dadas estas consideraciones, las cónicas que mayormente se presentan son elipses, cuya caracterización en coordenadas polares absolutas viene dada por el tamaño de su semieje mayor (a):

a,- = ^sen2d

_cos2a+cos2d |d¿- z | para i = 1, 2. (13) y por su excentricidad (s) definida en (11 )

Así, la ecuación de la elipse en coordenadas polares:

donde la componente radial inicial viene determinada por la distancia al eje Z de los focos, y esta depende de la posición del elemento de volumen al eje Z:

Po = ^ V *'2 y '2 para i = 1, 2. (15) y la componente angular inicial es el ángulo formado por el elemento de volumen con el eje X.

De esta forma, los fotones dispersados con la misma energía se proyectarían sobre los planos de las retículas conformando las elipses descritas en (14).

A continuación se detallará que la fluencia de la radiación Compton (número de fotones por unidad de superficie) que incide sobre la superficie de las retículas viene dada por la siguiente expresión:

con i = 1,2 ₍₁₇₎

Con estas características se puede representar la Función de Dispersión Puntual (PSF) del sistema. Así para un diferencial de volumen situado en un punto entre las dos retículas, los fotones se dispersan en un determinado ángulo determinado por su energía, formando conos con vértice en este punto y que al interaccionar con las retículas serán detectados en cada canal correspondiente de energía. Se podrá representar así, la PSF teórica en cada una de las retículas en cualquier canal de energía.

En la Figura 3, a modo de ejemplo particular, se representan las funciones de Dispersión Puntual (PSF) idealizadas de un elemento de volumen situado en el punto r '= (-7.5, 5, 25) para una fuente puntual monoenergética de 100 kV. En la parte izquierda se muestra la señal recibida en la retícula anterior (d¡ = 20) en el canal correspondiente a la energía de 75 kV (ángulo de dispersión de 3^/4) y en la parte derecha la señal recibida en la retícula posterior (d 2 = 30) con un ángulo de dispersión de rc/4 correspondiente al canal de energía de 94.6 kV.

Por tanto, una vez que se consigue relacionar las señales de la primera retícula con las de la segunda el problema queda resuelto. La resolución del problema que supone establecer una relación entre las señales de ambas retículas, de manera que permita conocer la dispersión de Compton, se afronta en la presente invención desde los dos métodos diferentes que detallan a continuación: un método indirecto y un método directo.

Método indirecto

El método indirecto de resolución parte del problema inverso. Es decir, anteriormente se ha explicado como es la señal que se detecta, función de su energía, en las dos retículas producida por la dispersión Compton de un diferencial de volumen irradiado por una fuente puntual monocromática. Pero para conseguir el objetivo bajo esta aproximación, es mejor considerar el problema inverso: cómo es el volumen y qué distribución de densidad electrónica presenta una determinada señal recogida en la retícula anterior y su relación con la señal mezclada que se detecta en la retícula posterior.

Para ello se consideran las mismas simplificaciones que se hicieron anteriormente:

- ausencia de atenuación en la radiación incidente y dispersada;

- foco primario de radiación puntual y monocromática;

- ángulo de apertura de los colimadores amáx << n/ 2; y

- los fotones dispersados que se detectan en la primera y segunda retícula tienen ángulos de deflexión d> n/ 2 y d < n/2.

Los rayos X que proceden del foco del tubo F, llegan hasta el diferencial de volumen dV situado en la posición r, se dispersan en un ángulo dk y alcanzan el detector D l¡j de la primera retícula centrado en el punto

Si se denomina In a la intensidad de fotones producidos en el ánodo de una energía E n, se obtiene que la densidad de flujo fotónico, es decir, el número de fotones producidos por unidad de tiempo y superficie, que incide sobre el elemento de volumen dV, es:

La probabilidad de interacción por efecto Compton para que los fotones del haz incidente salgan dispersados con un determinado ángulo d, viene dada por la sección eficaz Klein-Nishina:

donde:

• re es el radio clásico del electrón;

• P(Q, En) es la probabilidad de que un fotón incidente con energía En salga con un ángulo d; y

• la energía de los fotones dispersados con un ángulo Q viene dada por la ecuación de Compton (7), (8):

Así, el flujo de fotones dispersado por este elemento de volumen dV, con densidad electrónica ne(r ) y por unidad de ángulo sólido es:

d&dísp 00

—^ n e(r)oKleindV (20) d&dís

Sustituyendo (19):

con lo que el flujo de fotones proveniente de un elemento de volumen que incide sobre un elemento de detección Dhj , centrado en las coordenadas X y j, di) de superficie detectora dSp:

siendo:

El vector unitario del ángulo sólido de la radiación dispersa:

Y el de la superficie de detección:

é?iu ± &7 (25) negativo para la primera retícula y positivo para la segunda.

Con lo que se tiene que el flujo fotónico por unidad de superficie detectora se expresa como:

d&dísp = 7 ¡n r ne(rW P(6,E i-. n \ ) 2 ®"N * \ dV

dSfi 8n \r\¿\rD — r \¿ ⁽²⁶⁾

Así, la lectura en el espectrómetro Dl¡ situado en la superficie de la retícula anterior, es la integral para todo el volumen irradiado, estando este definido por la apertura de los colimadores a < amáx y la posición de las dos retículas: d i< z < d 2.

En la Figura 4 se muestra una representación en dos dimensiones del caso particular en el que los detectores de sendas retículas, D I y D2, están en el mismo plano que el eje Z. Se muestran los arcos capaces asociados a la retícula anterior (los de menor radio) y los correspondientes a la retícula posterior (los de mayor radio). En ambos casos, la parte de los arcos que está dentro de la zona útil (a < amáx y di < z < d 2) esta dibujada en trazo continuo y la parte que queda fuera se representa con línea discontinua.

Si se consideran sólo los fotones dispersados que alcanzan la primera retícula con una energía determinada E , resultará que todos ellos han tenido que ser dispersados con un determinado ángulo dk , por lo que, un determinado canal (k del espectrómetro Dl¡ j solamente podrá detectar aquellos fotones que "ven” al foco F y al detector Dl¡ j subtendiendo un ángulo dk .

El lugar geométrico en el cual todos sus puntos subtienden un ángulo determinado a dos puntos llamados polos, se denomina superficie capaz (isooptical surface ). En el caso de la presente invención esta superficie se genera por la revolución del arco capaz que "ve" el segmento FD con un ángulo dk. La resultante es una superficie toroidal ahusada (spindled torus). Así, todos los elementos dispersores de volumen que contribuyen con fotones de la misma energía Ek sobre el detector D, están localizados sobre dicha superficie toroidal. Por tanto, en la integral deben tenerse en cuenta todos los elementos de volumen que reúnen las siguientes condiciones:

- están situados en la superficie de un toroide ahusado (spindle torus) que tiene por eje el segmento FD;

- están entre las dos retículas d i< z < d 2; y

- están dentro del haz directo (simplificando, se supone cónico), es decir : a < amáx

La ecuación cartesiana de dichas superficies es:

donde a representa la semilongitud del segmento FD .

En la Figura 5 se muestran dos ejemplos de estas superficies. Los dos toroides ahusados tienen un polo en el origen de coordenadas y representan la superficie capaz completa. El de la izquierda muestra el toroide asociado al canal de un detector de la retícula anterior sito en D1 = (4 , -4 , 20 ) para un ángulo Q = n/4 y el de la derecha el asociado al canal de un detector de la retícula posterior sito en D2 = ( -6 , 2, 30) y para un ángulo Q = 3n/4 .

Existe, además, un sistema de coordenadas ortogonal tridimensional (^ct,^t,^ ) denominado coordenadas curvilíneas biesféricas (bispherical coordinates), en el que las superficies toroidales ahusadas centradas en el origen y con eje de simetría el eje Z, son isosuperficies que representan una de las coordenadas (a ) constante.

Las relaciones que tienen estas coordenadas biesféricas con las cartesianas son:

rD sino

Xrot - ₂ --- _c -- _o - _s -- _h -- _r -- _— -- _c -- _o - _s -- _oeosti (28)

En la última expresión (30), para que un polo se sitúe en el foco, se ha hecho una traslación sobre el eje Z rot. De modo que el origen de las coordenadas rotada es el punto medio del segmento FD

Así, o se corresponde con el ángulo de deflexión, definido en este documento como d y la coordenada ^t es el logaritmo neperiano de la razón de las distancias de un punto a cada uno de los polos. En este documento su descripción sería:

Y ^ es el ángulo acimutal medido desde el eje Xrot.

Para escribir las ecuaciones anteriores ligadas a la posición de una celdilla detectora D (xD, yD, d) en el sistema de coordenadas cartesianas intrínseco ligado al dispositivo (x, y, z) debe realizarse una rotación. Para ello, primero se gira el eje X ^rot un ángulo ^de modo que se alineen los ejes Z y Z ^rot

y luego se rota el eje Zrot un ángulo ^ para hacer coincidir los ejes X y Xrot.

Haciendo uso de la fórmula de Rodrigues:

donde el vector de giro es:

/rD = (—sin$D,cos$D, 0) (35) Al realizar este cambio, obtenemos las ecuaciones paramétricas de las superficies capaces referidas al sistema de coordenadas absoluto del dispositivo, así se obtiene:

Estas funciones representan una familia de toroides T(D) cuyos polos serían: el foco de radiación primaria F y el centro del detector D, y cuyo tamaño viene dado por el ángulo d k , determinado por la ecuación de Compton (6) y (7), donde Ek es la energía de los fotones dispersados en el diferencial de volumen dVque provienen del foco con energía E„.

El siguiente paso es discretizar esta familia de funciones, ya que las celdillas espectrométricas son elementos de unas matrices que para simplificar se suponen ortogonales de tamaño I x J y con un número de canales K de resolución energética AE en la retícula anterior y L x M y con un número de canales Q de resolución energética AE en la retícula posterior.

Así, la fluencia de fotones por dispersados por unidad de área infinitesimal con energía Ek en el detector de la primera retícula D l j sería:

Como se ha dicho antes, esta integral es cero en todos los puntos del volumen irradiado por el haz primario excepto en aquellos que pertenecen a la superficie capaz, a la que vamos a denominar T o ro l, o bien T o i , así.

Cambiando al sistema de coordenadas biesféricas rotadas definidas anteriormente.

di>í {xi,y¡,Ek) v^Te z(Torol) — d1

r)P(8,En)S(a jCart

^fc) \Torol\2\rD1 — Torol\3 _Biesf.Rot. dS1 (xi,yj ) _8nIH ne( . dadTdyi (39) V B ie s f .R o t .

Donde ahora, tanto los vectores de posición como la coordenada z, se definen en función de las coordenadas biesféricas rotadas y

I jCart I

^{\ J B i e s f .Rot.\} t ^-,J ^■

es el jacobiano del cambio de coordenadas. Se pasa entonces de una integral volumétrica a una de superficie.

En realidad, la superficie toroidal tiene cierta anchura. Esta anchura no es constante, depende de la variación de la coordenada Aa, y está a su vez está relacionada con el tamaño de la superficie sensible (A2) y la resolución energética (AE) de los espectrómetros utilizados. Esta función del grosor del toroide está implícita en el jacobiano que, para ser estrictos, hay que desarrollar dentro de la integral anterior. De momento, esta función de la anchura de la superficie toroidal no se va a poner explícitamente porque no afecta al razonamiento matemático que vamos a seguir y simplifica las expresiones, aunque siempre se debe tener en cuenta.

Suponiendo que en la retícula anterior, los detectores son cuadrados de lado A la lectura de la componente Compton en el detector (i,j) en el canal de energía E es.

Esta integral corresponde a un tipo de Transformada Radon de la función ne(f). Si se desarrollaran todos los términos que aparecen en ella se tendría una expresión muy complicada y posiblemente irresoluble de forma analítica, por lo que se propone un método de resolución alternativo. Para ello, se supone que ne(r) es constante en toda la superficie toroidal Toro1iJ¡k, e igual a un valor promedio, esto es:

Tendríamos que la densidad promedio en cada superficie toroidal es:

La integral del denominador depende exclusivamente de la geometría del sistema por lo que pueden calcularse de forma numérica para cada uno de los detectores y canales. Si se discretiza el espacio entre las retículas, que es irradiado por el haz primario, en un entramado tal que, el número de voxels resultante sea igual o menor al número de detectores individuales de la retícula anterior por el número de canales de energía con que cuentan cada uno de ellos (IxJx K) tendremos un sistema con el mismo o mayor número de ecuaciones que de incógnitas y cuya resolución numérica permitiría calcular la densidad electrónica dentro de cada voxel, es decir, la resolución del problema inverso. Existen multitud de métodos numéricos que permiten realizar este cálculo por lo que no se considera necesario extenderse más en este sentido, lo importante es que a partir de la obtención de la matriz tridimensional de densidades electrónicas puede conocerse la componente dispersa de la radiación que se detecta en la retícula posterior:

ne(í,j,k ) ^ ne(f) (44) Para la segunda retícula se obtiene un desarrollo idéntico al de (42): para cualquier detector l m) en la posición de coordenadas X ym, d 2) y en el canal de energía Eq , por lo que la lectura de la componente Compton es:

Donde ahora si se conoce la distribución de densidad electrónica espacial dentro de la zona útil, con lo cual estas integrales sí tienen solución y se habría resuelto el problema.

Además, como la zona irradiada en la retícula posterior es menor que esta, hay un determinado número de celdillas espectrométricas, situadas fuera del haz directo, que sólo recibirán componente Compton. Por lo que sus lecturas, pueden emplearse en la determinación de la matriz de densidades como condición necesaria que debe cumplir la solución. La matriz ne(f) así reevaluada, se volvería a comparar con las lecturas de la retícula anterior. De esta forma se puede establecer un proceso iterativo que mediante aproximaciones sucesivas lleva a la convergencia.

Un hecho remarcable, es que, mientras las superficies capaces para los detectores de la primera retícula en la zona útil (d i < z < 2 ), son la parte externa de los toroides ahusados (lo que en la literatura se denominan como "apple"), para los detectores de la segunda retícula, las superficies capaces son la parte interna del toroide ahusado (denominados "lemon"). Esto es simplemente debido a la elección del valor del ángulo de dispersión 0, ya que 0< n/2 define la parte externa del toroide ahusado, la manzana, mientras que 0> n/2 define la parte interna del toroide ahusado, el limón. Para 0 =n/2 el lugar geométrico es una esfera.

Es interesante notar que al tener que calcularse como paso intermedio la matriz de densidad electrónica en el espacio real, este método indirecto permite obtener imagen tridimensional.

Método directo

Para establecer una solución que relacione las lecturas de las componentes Compton en las dos retículas se va a considerar el caso ideal. Así, se supone que las retículas son infinitas y continuas, con una resolución espacial y energética infinita también, esto es, sus lecturas serán funciones escalares reales, positivas, continuas, finitas y derivables en todo su dominio.

Estas funciones están definidas para la retícula anterior como:

C 1 (x 1,y1,E1) =-^8 L m 7ie (f)P(Q{) |^|^-> _Z^ p dxdydz (46) V uti l

y análogamente para la retícula posterior. La función C 2 es desconocida y es lo que se pretende calcular a partir de la información que se tiene de Ci y de la configuración energética y geométrica del sistema.

Si se considera un punto (xhyh Ei) en la función Ci definida en la primera retícula, se puede estimar que fracción del valor de la función en ese punto esta correlacionado con la lectura de otro punto de la segunda retícula (x 2,y2, E2), esto es, tienen un origen común.

Así, el lugar geométrico desde el que se ven ambos detectores, uno subtendiendo un ángulo di con el Foco y el otro un ángulo 62 , respectivamente, es la intersección de las dos superficies capaces. Se define esta línea de intersección entre los dos toroides como:

Las curvas r (x 2y2E2), en general no son planas, son continuas, cerradas y diferenciables en todos sus puntos excepto si pasan por los polos de los toroides. Esto no resulta problemático, pues dichos puntos no están incluidos en la zona útil. Dependen de seis coeficientes: cuatro que representan la posición en sus respectivas retículas de los detectores relacionados y dos que corresponden a las bandas de energía. En general son curvas cerradas, pero en el caso de que se extiendan fuera de la zona útil quedaran abiertas, o dicho de otro modo, su valor será nulo fuera de la zona útil. Su ecuación implícita es trivial:

r (xi,yi,Ei) f Toro1 (xlt y 1,E1) = 0)

(x 2,y2,E2) (Toro2 (x 2, y 2, E2) = 0) ( ) Aunque la manera más sencilla de trabajar con esta familia de curvas es en forma paramétrica:

r (xl,yl,El) r (xl,yl,£l)r )

1 ( x2,y2,E2) 1 (x2,y2,E2) (t) ⁽⁴⁹⁾

En adelante, se denominará a la familia de curvas r ( x2 y2 E2), simplemente r para no abusar de la notación. En las Figuras 6A, 6B y 6C se muestra un caso particular de representación de la curva r (en trazo grueso negro) asociada a la intersección de las dos superficies representadas en la Figura 5. Ahora, sólo se muestra la parte de los dos toroides que está dentro de la zona útil. En la figura 6A se muestra una vista con perspectiva, la figura 6B representa la vista desde la retícula posterior y la figura 6C muestra una vista lateral.

Si se expresa esto en cartesianas, se tiene que la componente de lectura en un punto de la retícula posterior respecto a una determinada intersección r es la integral:

Operando la delta, se tiene:

I-nTe d 2 _ z (T)

^2(x2,y2,^2) \r = _8n P(Q2) ne( r ) d r

r M ^ - r p (51) r

y derivando con respecto a r , se tiene:

Análogamente, la derivada con respecto a r , de la componente de la lectura de un detector de la retícula anterior debida a un diferencial de curva r , es:

Despejando ne(T) en (52) y sustituyendo en (53):

dC1(x1,y1,E1) P(01) z ( r ) - d 1 ^ - H 3 dC2(x2,y2,E 2)

dT _rP(02) d 2 - z ( r ) |r\ - r |3 d r (54) _r

para abreviar la notación, se denomina G(T) al término geométrico de esta ecuación, esto es:

Esto da una relación entre las componentes de las lecturas de distintos detectores y canales de energía de las dos retículas. Aplicando las reglas de la integración por partes, se tiene:

Se consigue así una expresión de las componentes de la lectura en la retícula posterior que no depende del medio dispersor, ya que no aparece en ella la densidad electrónica, sino la función de la lectura en la retícula anterior y un término geométrico que sólo depende de la configuración del sistema y de la relación de energías entre las dos componentes.

La relación anterior también se puede escribir como:

Integrando respecto a r y siguiendo la regla de la cadena:

En esta ecuación se relacionan las componentes de las dos funciones C2 y C2 para una determinada curva r a través de una integral del parámetro t, en el cual está ahora contenida toda la información geométrica referente al volumen útil.

Para obtener la relación con la función completa y no sólo de sus componentes debe tenerse en cuenta todas las posibles curvas que se puedan formar en el volumen útil. Si se fija un punto en el espacio (xhyh Ei) donde está definida la función Ci y se varía para todos los puntos de C 2 se tendrá la familia de curvas comunes para el punto (xi,yi, Ei). Ahora, las curvas r representan elementos infinitesimales de volumen que al integrarlos recubren todo el volumen útil.

Por lo tanto, se debe entender que la "línea" que representa el corte entre las dos superficies toroidales tiene una sección finita. El valor de esta sección no será constante, dependerá de la resolución energética de los dos detectores asociados, del tamaño finito de ambos y de su posición relativa. Por lo que, para ser exactos, habría que desarrollar el jacobiano de la transformación de para recoger esta información. Al igual que se hizo antes, esta función de sección de la línea de corte se va a omitir en este razonamiento.

La existencia de puntos de intersección entre las diferentes curvas es importante e implica que los elementos de volumen sitos en esas intersecciones contribuyen con radiación dispersa a la lectura de diferentes puntos de las retículas, como se demostró antes geométricamente.

Integrando para todas las curvas-volumétricas r se tiene:

donde \Jx2y2E 21 representa el jacobiano de la transformación de coordenadas del diferencial de volumen r al diferencial de volumen dx 2 dy2 dE2.

En esta ecuación integral las incógnitas son las componentes de la función C 2 , esto es: C2|r . Los demás términos sólo dependen de la geometría del sistema y el primer miembro es la función conocida.

Para obtener la función C 2 se integra de la misma manera, así:

En el caso discreto, en el que las retículas están formadas por una matriz plana y finita de espectrómetros discretos y tamaño también finito, el desarrollo es muy parecido:

Así, siguiendo la notación introducida anteriormente para el método indirecto, las superficies asociadas a un canal de energía de un detector de la primera retícula (i, j,k) y a otro canal de otro detector de la segunda (I,m,q),uno subtendiendo un ángulo Qk con el Foco y el otro un ángulo q , respectivamente, es la intersección de las dos superficies capaces. Se define la línea de intersección entre los dos toroides como:

r ( ¿ ^ = Toro1(i, j, k) n Toro2(l,m,q) (61)

Las curvas discretas

tienen las mismas propiedades que las definidas en el caso continuo. Su ecuación implícita es trivial:

r (ü,fc) = í Toro^i.j, k) = 0 )

(i,m,q) (Toro2(l,m,q) = 0) ( )

Aunque la manera más sencilla de trabajar con esta familia de curvas es en forma paramétrica:

r (í,j,k) _ r (l,m,q)(-.^

1 (l,m,q) 1 (í,j,k) (L) (63)

La componente de lectura en un detector de la retícula anterior respecto a una determinada intersección con un toroide asociado a un detector de la retícula posterior c1( ₍l_l,_,m_J,K;ct₎\ es la integral:

Denominando a la familia de curvas r(¡,j ^c) , simplemente r para no abusar de la notación:

Análogamente, la componente de la lectura de un detector de la segunda retícula debida a la intersección con un toroide asociado a un detector de la primera retícula, es:

Esto es lo mismo que poner:

Despejando y sustituyendo en (65):

tm á x

(l,m,q) P(efc) f Ll(i,j,k)

^PM J

tm ín

de forma análoga al caso continuo expuesto anteriormente se va a llamar G(T) al término geométrico adimensional de esta ecuación, esto es:

Con la condición de que la suma de todas las componentes debidas a la totalidad de las curvas r que recubren a la superficie capaz asociada a un determinado detector y canal en la retícula anterior, sea igual a su lectura:

Con lo que queda:

c1(¿’^ ' fc)

En un sistema real, al tener un tamaño físico finito, no toda la radiación dispersa acaba interaccionando con los detectores. Parte de los fotones se perderán y con ellos su información, por lo que la descripción idealizada hecha aquí no es completa. Estos efectos de frontera se podrían estimar mediante detectores auxiliares situados entre los bordes de las retículas y así realizar una estimación de la magnitud de la radiación dispersa no cuantificada a la que llamaremos ESC (de escape). La ecuación si se tienen en cuenta esta radiación no cuantificada ESC quedaría entonces como:

Esto es un sistema de Ecuaciones Integral de Fredholm de tercera clase (Fredholm Integral Equation of the Third Kind). En este sistema, las incógnitas son las componentes de la radiación dispersa que llegan a cada detector de la segunda retícula: c2(SS), que son, a su vez, funciones de un único parámetro t (que se puede expresar en términos de la longitud de arco de cada curva de ). En el primer miembro aparecen las lecturas de la retícula anterior, y en el segundo miembro, todas las expresiones que acompañan a las incógnitas son conocidas: la posición de los detectores y las curvas

pueden tabularse a partir de consideraciones puramente geométricas.

Al igual que en la resolución del método indirecto, las señales de los detectores de la retícula posterior que quedan fuera del haz primario de radiación, son muy importantes en la resolución de este sistema de ecuaciones integrales. Pues estas, representan las condiciones de contorno a las que la solución obtenida se debe ajustar.

La resolución de este sistema de ecuaciones integrales con sus condiciones de contorno es un problema complejo que requiere avanzado cálculo numérico y sobre lo que no se profundizará en este documento. Baste saber que la solución esperada es un conjunto de matrices hexadimensionales

que representarán la componente Compton en cada detector y cada canal de la retícula posterior en función de la lectura obtenida en un detector y canal concreto de la primera.

La suma de todas estas matrices de componentes es la matriz total Compton, definida en (5), y que restada de la lectura total (fotoeléctrico más Compton) de la retícula posterior elimina la borrosidad asociada. También ahora sería posible hacer uso de la estimación de la radiación dispersa que se pierde debido al tamaño finito del sistema real.

La ventaja del método directo, es que los cálculos asociados a la parte geométrica (la función

y su derivada) son siempre iguales. Sólo dependen de la configuración del sistema (número total de detectores (I, J, L, M ), número de canales de energía ( K, Q y posición de las retículas (di, d 2 ). Son independientes de la distribución de densidades electrónicas situadas entre ellas, por lo tanto una vez obtenidas sus expresiones, se pueden tabular para luego aplicarlos en la resolución del sistema de ecuaciones integrales para cualquier exploración radiológica que se presente.

Se detalla a continuación la parte dedicada al tratamiento de radiación polienergética (que es un modelo más realista). Todos los desarrollos anteriores han sido para el caso particular de una fuente de rayos X puntual y monocromática que, como es conocido, sólo es plausible utilizando fuentes radiactivas de determinados isótopos. La forma habitual de producir rayos X es mediante el frenado de electrones acelerados en un tubo de vacío, en cuyo caso se producirá un haz de rayos X con una distribución continua de energía desde un valor máximo, que coincide con la máxima energía de los electrones acelerados, hasta un valor mínimo, determinado por la filtración total del haz.

En el dispositivo de la presente invención, el haz de radiación se produce mediante un tubo convencional. La mínima energía del espectro vendrá determinada por la filtración producida por la atenuación del haz en la primera retícula más la filtración intrínseca del tubo y la filtración añadida. La máxima energía coincide con diferencia de potencial a la que sometamos al tubo multiplicada por la carga del electrón.

Se va a definir la función: In = ln(E n) e M ^ M como el espectro de rayos X útil, esto es, el producido por el tubo con toda la filtración intrínseca y extrínseca. Es el espectro del haz que se halla en la zona útil.

En la ecuación de Compton, ahora E„ es una variable real positiva e independiente que toma valores desde Em¡„ hasta Emax.

Si se quiere saber cual será la señal recibida en el detector canal de energía E k , fijo, del detector sito en Di entonces se tendrá una distribución de valores de que cumplan la condición de que la energía de los fotones deflectados tome ese valor.

En términos de la longitud de onda tenemos, que la ecuación de Compton queda:

Siendo Ac la longitud de onda de Compton del electrón, igual a 2.426 10-12 metros.

También se tendría:

Los valores máximos y mínimos que puede tomar la longitud de onda en la retícula anterior serán:

(

cos Qk 0 ^ An ^k - ¿c

1 - 1 (78) ^ An Ak - 2^c

y para la retícula posterior:

cos ^{9 n}

Se va a empezar resolviendo el problema para la primera retícula.

La ecuación de Klein-Nishina también se puede expresar como función de las longitudes de onda de los fotones incidente y dispersado, y respecticamente.

1 2 (^n\ í -^n

OKleín 2 r

= ñ ₂re h _v“ _f^c/1 1 ^ 1 _Á - _n ---- Sen¿ Q (80)

Sustituyendo sen2 9 de (77), queda:

Así mismo, en el caso monoenergético, la tasa de fluencia se expresaba como (37):

En cambio, en el caso polienergético se debe tener en cuenta que los fotones provenientes de la fuente van a ser dispersados en distintos ángulos hasta llegar a ser detectados en una celdilla espectrométrica por un canal de energía k Esto implica que habrá que integrar para todas las posibles energías del espectro incidente que cumplan esa condición.

Así, se define la tasa de fluencia energética como:

La ecuación de la tasa de fluencia energética medida por el canal k , del espectrómetro situado en DI en función de la energía del haz incidente E n, queda:

Como la tasa de fluencia energética es proporcional a la lectura del espectrómetro situado en Di, podemos escribir de siguiendo la notación de las ecuaciones (1 ) a (6):

dW1(D1,Ek)

_dSt « C1(x1,y1,Ek) C^í (Pi, E k) (85)

Donde la constante de proporcionalidad que representa la eficiencia de detección energética de ese detector, para simplificar, se supondrá constante en todo el rango de energías e igual a la unidad.

El espectro incidente, se define en función de la longitud de onda:

In n^(^n( -^n)) siendo En(An) h ^CAn (86)

Y las lecturas se puede expresar también en función de la longitud de onda:

Cx = C1{D1 Ek(Ak)) siendo Ek(Ak) = h cAk x

Ci = C1 (D1,Afc) (87)

Por lo que (84) se expresaría en términos de la longitud de onda de la radiación incidente:

En el caso monoenergético, cada canal /rdel espectrómetro sito en la posición Di, ( x i , y ) esta univocamente asociado a una sola superficie toroidal. En un haz polienérgético, cada uno de los canales detectará los fotones reflejados en todos los toroides que cumplan la condición de la ecuación de Compton (75). Es decir, ahora, cada canal atendrá asociado una familia de superficies toroidales denominadas TDÍ( k - n ) .

Haciendo el cambio de coordenadas cartesianas a biesféricas y teniendo en cuenta la condición anterior, la integral volumétrica se puede expresar como:

Donde para simplificar la notación, se han denominado las variables Ak y An , por sus subíndices k y n L a longitud de onda Compton se seguirá denominando como Ac .

El término de probabilidad asociado a la ecuación de Klein-Nishina, se puede sacar de la integral de volumen, ya que sólo depende de las longitudes de onda inicial y final, para un ángulo determinado

Las expresiones matemáticas de las funciones Tm (k - n) representan las superficies isoopticas del detector posicionado en Di para un canal £que detecta los fotones desviados que provienen del haz con una longitud de onda A n. Se obtienen sustituyendo en las ecuaciones (36) los valores de eos 9 y sin 9 de las ecuaciones (75) y (77) respectivamente:

El jacobiano también se transformaría haciendo las mismas sustituciones anteriores.

Aquí también se tiene que hacer la aproximación de considerar que las superficies TDÍ( k -n) son de densidad electrónica constante e igual al promedio de densidad electrónica en esa superficie.

Así quedaría:

La integral en las superficies capaces en coordenadas biesféricas, se pueden calcular y resultan funciones de la diferencia de longitudes de onda a la cual vamos a denominar GD1(k — n). Si ahora se sustituye P(k,n), de (81), tenemos:

Desarrollando esto, se tiene:

La expresión anterior se presenta como una combinación lineal de tres productos de convolución, cada una de las tres presenta la siguiente representación general:

Donde f(n) representa la señal de entrada y g(k — n), es el kernel. En nuestro problema particular se tienen tres funciones de entrada. Expresadas en función de una variable arbitraria x se tiene:

/ l(x ) = x ln(x)

/s(x) = ¡n(x)

Y los tres kernel son:

9i(x ) = 9 i(x ) = íie(x)Gfll(x)

(97) ^ 3(x) = x(2Ac -x ) ne(x) GDi (x) = x(2Xc - x)g1(x)

Con lo que, quedaría:

^ ^ k 2C1(D1,k) = 1 (A *g1)(k) k(f 2 *g1) ( k ) - ± ( f 3 *g3)(k) (98)

Si multiplicamos todo por k y ordenamos:

8 n k

-p^.k3 C1(D1,k) = k2(f 2 * g 1)(k) ^ 2(f 3 * g 3)(k) (f 1 * g 1)(k) (99)

Si se multiplicaran ambos miembros de la expresión anterior por e_í" fc (donde la dimensión de ( ^ú es [L]-1), y se integra todo esto, sería aplicar la transformada de Fourier, esto es:

Aplicando la propiedad de la transformada de Fourier del producto por la variable:

Así tendríamos:

d2

1) 2^ 2 * 9i) = T(fi * 9i) Para la parte real

(102)

Para la parte imaginaria

Aplicando ahora la propiedad de la transformada de Fourier del producto de convolución.

d2

Para la parte real

du>2 (T(f2)T(g1)) = T(f1)T(g1)

(103)

Para la parte imaginaria

Empezando con la solución imaginaria:

1 8 nAc

T(g3) ;T(C1(D1,k)) - A ( D ltk) (106) T(f3) rehc du>'

Siendo M(Dltk) una función sólo de la longitud de onda detectada.

Con lo que se tendría como resultado:

Y sustituyendo f 2(x) y g3(x) por su valor expresado en (96) y (97), queda el kernel gt (x) como:

Y la densidad electrónica media:

_ne(k) ffi(fe)

_GD1(k) (109) Todos los términos de la expresión anterior son conocidos excepto la función Dltk ). Así, la lectura del espectrómetro situado en D1 y el espectro del haz en la zona útil, In(k) , también se puede medir haciendo el disparo sin objeto, esto es a partir de L01(i,j,k).

Para determinar M(Dí,k) se hace uso de la parte real de la ecuación (99). Así, partiendo de (101) y desarrollando la segunda derivada del producto:

Ordenando esta expresión como una ecuación diferencial de g1 :

Sustituyendo en (111) las funciones E , f2 y gt por sus expresiones definidas en (96) y (108), operando y despejando se obtendría el valor de M(D1,k ) .

Con esto ya se podrían conocer las densidades electrónicas promedio en cada una de las superficies toroidales, ñ¡ . Haciendo lo mismo con cada uno de los / x/espectrómetros de la primera retícula, se tendrían un conjunto de /x /x Avalores de ñj .

Para determinar la matriz de densidades electrónicas (en cartesianas) se resolvería un sistema de /x Jx K ecuaciones con el mismo número de incógnitas. De esta forma y al igual que en (44):

ñ j (i,j,k.) ^ ne(r ) = ne(x,y,z) (112 )

Una vez obtenida la matriz de densidad de la zona útil y queda saber cuál es la componente de radiación dispersa en la en la retícula posterior. Se tendrá entonces que resolver una integral similar a (90), teniendo en cuenta los límites de (79). Así, para cualquier detector D2 en la posición de coordenadas (x¿ ym, d2) y en el canal de energía E q , la lectura de la componente Compton será:

Donde ahora sí, la distribución de densidad electrónica espacial es conocida, así como el resto de los términos de la integral.

Sustituyendo el valor de C2(D2,q) en (6) ya se puede eliminar la componente Compton de la imagen planar radiográfica.

La presente invención no debe verse limitada a la forma de realización aquí descrita. Otras configuraciones pueden ser realizadas por los expertos en la materia a la vista de la presente descripción. En consecuencia, el ámbito de la invención queda definido por las siguientes reivindicaciones.

Claims

REIVINDICACIONES

1. Método para generar una imagen radiológica de baja dosis de un objeto caracterizado por que comprende:

a) colocar el objeto, entre una primera retícula matricial espectrométrica y una segunda retícula matricial espectrométrica, a una distancia de una fuente emisora, donde di<d<d¿,

b) generar, por la fuente emisora, un haz de rayos X;

c) colimar, por un colimador, el haz de rayos X centrando su radiación hacia la primera retícula matricial espectrométrica dispuesta a la distancia di de la fuente;

d) obtener una primera lectura de energía detectada en la primera retícula, como respuesta a la radiación del haz dispersada por el objeto, donde la primera lectura comprende una componente de retrodispersión Compton causada por el objeto; e) obtener una segunda lectura de energía detectada en la segunda retícula matricial espectrométrica, como respuesta a la radiación del haz, donde la segunda lectura comprende una componente transmitida y una componente de dispersión Compton causada por el objeto, donde la segunda retícula está dispuesta en paralelo a la primera y a la distancia d2 de la fuente;

g) extraer el objeto de entre las dos retículas y repetir el disparo con exactamente las mismas condiciones y parámetros de tensión, corriente y tiempo del disparo anterior; h) obtener una tercera lectura de energía detectada en la primera retícula sin el objeto, donde la tercera lectura está libre de dispersión;

i) obtener una cuarta lectura de energía detectada en la segunda retícula, donde la cuarta lectura está libre de componente de dispersión Compton causada por el objeto; j) calcular la componente de dispersión Compton causada por el objeto, basado en las lecturas anteriores; y

k) generar una imagen radiológica digital del objeto basada en la cuarta lectura de energía, donde la componente de dispersión Compton ha sido sustraída.2

2. Método de acuerdo a la reivindicación 1 donde las lecturas de energía comprenden una matriz I x J x ^elementos, correspondientes al número de fotones registrados en la posición (i, j) con una energía dada k, en cada una de las celdillas detectoras de la retícula matricial espectrométrica.

3. Método de acuerdo a la reivindicación 2, donde generar la imagen radiológica digital comprende generar una matriz de pixeles grises en dos dimensiones como resultado de restar a la matriz de la segunda lectura la matriz de la cuarta lectura y una matriz correspondiente a la dispersión Compton calculada.

4. Método de acuerdo a la reivindicación 3 donde calcular la componente de dispersión Compton C2 presente en la segunda lectura comprende establecer una relación con la componente de retrodispersión Compton Ci presente en la primera lectura mediante la ecuación de Compton:

donde E es la energía de un fotón dispersado, E„ es la energía de un fotón incidente, dK es el ángulo que forma el fotón dispersado con la dirección de incidencia y mec2 la energía en reposo del electrón.

5. Método de acuerdo a la reivindicación 4 donde establecer la relación entre componentes Compton comprende determinar la distribución de densidad electrónica presente en el objeto.

6. Método de acuerdo a la reivindicación 5 donde, teniendo en cuenta que para un elemento de volumen situado en un punto entre las dos retículas, los fotones se dispersan en un ángulo d determinado por su energía, el paso de determinar la distribución de densidad electrónica comprende a su vez:

- definir geométricamente todas las superficies toroidales ahusadas que comprenden los elementos dispersores de volumen que contribuyen con fotones de la misma energía Ek sobre una celdilla detectora de la retícula;

- calcular las ecuaciones paramétricas de las superficies capaces que representan una familia de toroides ahusados, cuyos polos son la fuente emisora de radiación y el centro de la celdilla detectora, y cuyo tamaño y forma vienen dados por el ángulo dk determinado por la ecuación de Compton;

- discretizar el espacio entre la primera y segunda retículas en un entramado donde el número de elementos de volumen resultante es igual o menor al número de celdillas detectoras individuales de la primera retícula por el número de canales de energía con que cuentan cada uno de ellos ( /x J x K);y

- calcular la densidad electrónica dentro de cada elemento de volumen entre la primera y segunda retícula.

7. Método de acuerdo a la reivindicación 6 que además comprende aplicar la distribución de energía electrónica calculada como condición a cumplir en las lecturas de energía de la segunda retícula y obtener la matriz correspondiente a la dispersión Compton.

8. Método de acuerdo a la reivindicación 4 donde establecer la relación entre componentes de retrodispersión Compton C1(i, j,k ) y dispersión Compton C2(l,m,q ) comprende definir geométricamente la intersección r ((E ^ ,) de dos superficies capaces de dos celdillas detectoras de ambas retículas, donde la relación entre componentes queda expresada por un sistema de ecuaciones integral de Fredholm de tercera clase:

donde G ( r ) es un término geométrico adimensional.

9. Método de acuerdo a la reivindicación 8, donde definir geométricamente la intersección de las superficies capaces depende exclusivamente del número de celdillas detectoras de las retículas, número de canales de energía y distancia de las retículas, que además comprende tabular los resultados obtenidos para una aplicación inmediata en la generación de imágenes radiológicas de otros objetos.

10. Método de acuerdo a cualquier de las reivindicaciones anteriores donde los rayos X son policromáticos.

11. Sistema para generar una imagen radiológica de baja dosis de un objeto caracterizado por que comprende:

- una fuente emisora de rayos X (7);

- un colimador (5) dispuesto a continuación de la fuente configurado para colimar los rayos X emitidos;

- una primera retícula matricial espectrométrica (9) dispuesta perpendicularmente a la fuente y en posición centrada a una distancia di, configurada para obtener lecturas de energía detectada como respuesta a la radiación del haz recibido;

- una segunda retícula matricial espectrométrica (11 ) dispuesta a una distancia d2 de la fuente y en paralelo con la primera retícula, configurada para obtener lecturas de energía detectada como respuesta a la radiación del haz recibido;

- un procesador (13) configurado para recibir las lecturas de energía de las retículas, calcular la componente de dispersión Compton basándose en dichas lecturas de energía y generar una imagen radiológica digital del objeto restando dicha componente de dispersión.

12. Sistema de acuerdo a la reivindicación 11 donde las retículas matriciales espectrométricas comprenden una pluralidad de celdillas detectoras espectrométricas de estado sólido simple.

13. Sistema de acuerdo a cualquiera de las reivindicaciones 11-12 donde la primera retícula y la segunda retícula tienen un número diferente de celdillas detectoras espectrométricas y están colocadas en cualquier geometría plana.

14. Sistema de acuerdo a cualquiera de las reivindicaciones 11-13 que además comprende un dispositivo de visualización conectado con el procesador, configurado para mostrar las imágenes radiológicas digitales de los objetos a estudio.

15. Sistema de acuerdo a cualquiera de las reivindicaciones 11-14 donde la fuente emisora de rayos X es una fuente emisora de rayos X policromáticos.