ES2687868A1 - Procedure and software product to accelerate the steady state calculation of a squirrel-cage induction motor (Machine-translation by Google Translate, not legally binding) - Google Patents
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Landscapes
- Engineering & Computer Science (AREA)
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- Control Of Ac Motors In General (AREA)
Abstract
Description
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DESCRIPCIÓNDESCRIPTION
Procedimiento y producto de programa informático para acelerar el cálculo del estado estacionario de un motor de inducción de jaula de ardillaProcedure and product of a computer program to accelerate the calculation of the steady state of a squirrel cage induction motor
SECTOR TÉCNICO DE LA INVENCIÓNTECHNICAL SECTOR OF THE INVENTION
La presente invención se refiere a un método y producto de programa de ordenador para acelerar el cálculo del estado estacionario de un motor de inducción de jaula de ardilla. Más concretamente, se refiere a un método y producto de programa de ordenador de cálculo del estado estacionario de un motor de jaula de ardilla en el que las bobinas del estátor están alimentadas por corrientes periódicas.The present invention relates to a computer program method and product for accelerating the calculation of the steady state of a squirrel cage induction motor. More specifically, it refers to a computer program method and product for calculating the steady state of a squirrel cage motor in which the stator coils are fed by periodic currents.
ESTADO DE LA TÉCNICASTATE OF THE TECHNIQUE
La simulación numérica es una herramienta clave en la etapa de diseño de máquinas eléctricas ya que evita la construcción de prototipos innecesarios y reduce significativamente los costes y tiempo precisos para obtener nuevos diseños. Sin embargo, estas ventajas pueden verse mermadas si se requiere un tiempo de cálculo excesivo. Particularmente, en la simulación numérica de motores de inducción hay una demanda creciente por disponer de técnicas de simulación competitivas en términos de eficiencia computacional ya que el diseño de este tipo de dispositivo requiere, en general, simulaciones largas.Numerical simulation is a key tool in the design stage of electric machines since it avoids the construction of unnecessary prototypes and significantly reduces the costs and time required to obtain new designs. However, these advantages may be diminished if excessive calculation time is required. Particularly, in the numerical simulation of induction motors there is a growing demand for having competitive simulation techniques in terms of computational efficiency since the design of this type of device generally requires long simulations.
La simulación electromagnética de motores de inducción de jaula de ardilla mediante el método de elementos finitos implica resolver un sistema de ecuaciones en derivadas parciales (obtenido a partir de las ecuaciones de Maxwell) acoplado con ecuaciones de circuitos eléctricos. En el estado de la técnica, el modelo electromagnético más extendido describe la parte activa del motor utilizando un modelo de corrientes inducidas definido en una sección transversal del mismo, mientras que los anillos de la jaula de ardilla y las cabezas de bobina del estátor se representan mediante elementos del circuito. Como resultado, se obtiene un modelo matemático bidimensional (2D) formulado en el dominio del tiempo que requiere una discretización espacial y temporal para su aproximación numérica. Las incógnitas de este modelo son las corrientes y caídas de potencial en el circuito de la jaula de ardilla y el vector potencial magnético en la sección transversal del motor. En este tipo de motores, la dificultad más importante en la resolución del problema descrito radica en que el tiempo necesario para alcanzar el estado estacionario es, generalmente, muy elevado. Por ello, si el modelo no parte de condiciones iniciales adecuadas, su resolución puede suponer un altísimo coste computacional. Así, si se utiliza el denominado método deElectromagnetic simulation of squirrel cage induction motors using the finite element method involves solving a system of partial derivative equations (obtained from Maxwell's equations) coupled with electrical circuit equations. In the state of the art, the most extended electromagnetic model describes the active part of the motor using an induced currents model defined in a cross section thereof, while the squirrel cage rings and the stator coil heads are represented. through circuit elements. As a result, a two-dimensional (2D) mathematical model is formulated in the time domain that requires spatial and temporal discretization for its numerical approximation. The unknowns of this model are the currents and potential drops in the squirrel cage circuit and the magnetic potential vector in the motor cross section. In this type of engine, the most important difficulty in solving the problem described is that the time required to reach the steady state is generally very high. Therefore, if the model does not start with adequate initial conditions, its resolution may involve a high computational cost. Thus, if the so-called method of
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fuerza bruta, consistente en avanzar en tiempo hasta alcanzar una solución estacionaria, pueden ser necesarios más de diez días para alcanzar el estado estacionario, incluso con las prestaciones de los actuales equipos informáticos.brute force, consisting of advancing in time to reach a stationary solution, it may take more than ten days to reach steady state, even with the performance of current computer equipment.
Es evidente que una reducción significativa del tiempo de cálculo permite realizar un mayor número de simulaciones en la etapa previa al diseño de la máquina y ampliar el abanico de sus posibles configuraciones. Por ello, en los últimos años el problema de reducir el coste computacional para alcanzar el estado estacionario en la simulación numérica de motores de inducción ha sido abordado utilizando distintas metodologías, entre las que destacan las siguientes:It is evident that a significant reduction in the calculation time allows for a greater number of simulations in the stage prior to the design of the machine and to expand the range of its possible configurations. Therefore, in recent years the problem of reducing the computational cost to reach the steady state in the numerical simulation of induction motors has been addressed using different methodologies, among which the following stand out:
• Los métodos TPFEM (Time Periodic Finite Elements), que consisten en plantear el problema discretizado en tiempo en un intervalo donde la solución es periódica y resolver todos los pasos de tiempo de modo simultáneo (Takahashi, Y., et al., Time- Domain Parallel Finite-Element Method for Fast Magnetic Field Analysis of Induction Motors, IEEE Trans. Magn. 49(5) (2013) 2413-2416). Si bien se evita el realizar una resolución del problema en cada paso de tiempo hasta llegar al estado estacionario, esta técnica conduce a resolver sistemas no lineales con matrices extremadamente grandes y no simétricas. Por ello, son necesarias técnicas de paralelización efectivas que permitan abordar el tamaño del problema.• TPFEM (Time Periodic Finite Elements) methods, which consist of raising the problem discretized in time at an interval where the solution is periodic and solving all time steps simultaneously (Takahashi, Y., et al., Time- Domain Parallel Finite-Element Method for Fast Magnetic Field Analysis of Induction Motors, IEEE Trans. Magn. 49 (5) (2013) 2413-2416). While avoiding solving the problem at each time step until it reaches steady state, this technique leads to solving nonlinear systems with extremely large and non-symmetrical matrices. Therefore, effective parallelization techniques are necessary to address the size of the problem.
• Los métodos TP-EEC (Time Periodic - Explicit Error Correction), que pretenden acelerar la convergencia del modelo transitorio basándose en técnicas de corrección utilizadas en métodos iterativos más generales y en propiedades del método TPFEM (Katagiri, H., et al., Improvement of Convergence Characteristics for Steady-State Analysis of Motors With Simplified Singularity Decomposition-Explicit Error Correction Method, IEEE Trans. Magn. 47(6) (2011) 1786-1789).• TP-EEC (Time Periodic - Explicit Error Correction) methods, which aim to accelerate the convergence of the transitional model based on correction techniques used in more general iterative methods and properties of the TPFEM method (Katagiri, H., et al., Improvement of Convergence Characteristics for Steady-State Analysis of Motors With Simplified Singularity Decomposition-Explicit Error Correction Method, IEEE Trans. Magn. 47 (6) (2011) 1786-1789).
• Los métodos basados en proporcionar al modelo transitorio una condición inicial obtenida mediante la resolución de un modelo de corrientes inducidas no lineal planteado en el dominio de la frecuencia. La aproximación armónica del problema para determinar la condición inicial se basa en la hipótesis de que la variación temporal del vector potencial magnético se puede describir mediante una función exponencial compleja. Los efectos magnéticos no lineales se incluyen en esta aproximación mediante la introducción de la llamada curva de magnetización efectiva, mientras que el movimiento del rotor se considera mediante una modificación de la conductividad eléctrica de las barras (Stermecki, A., et al.,• Methods based on providing the transient model with an initial condition obtained by solving a nonlinear induced current model raised in the frequency domain. The harmonic approach of the problem to determine the initial condition is based on the hypothesis that the temporal variation of the magnetic potential vector can be described by a complex exponential function. Nonlinear magnetic effects are included in this approach by introducing the so-called effective magnetization curve, while rotor movement is considered by modifying the electrical conductivity of the bars (Stermecki, A., et al.,
Numerical analysis of steady-state operation of three-phase induction machines byNumerical analysis of steady-state operation of three-phase induction machines by
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an approximate frequency domain technique. Elektrotech. Inf. Tech 128(3) (2011) 81-85).an approximate frequency domain technique. Elektrotech Inf. Tech 128 (3) (2011) 81-85).
Una dificultad común a las técnicas TPFEM y TP-EEC es establecer la condición de periodicidad en los motores de inducción de modo que el método tenga un bajo coste computacional. Esto es debido a que el vector potencial magnético varía con frecuencias muy distintas en rotor y estátor, por lo que si se pretende trabajar con un período común en ambas partes del motor podría necesitarse un intervalo de tiempo muy grande. Sin embargo, es conveniente definir la condición de periodicidad en un período suficientemente corto de modo que los procedimientos descritos resulten ventajosos frente a un método de fuerza bruta. En los métodos TPFEM hay varias propuestas en este sentido basadas en el hecho de que la solución exhibe una simetría espacio-temporal, mientras que en los métodos TP- EEC se aplica la aceleración de la convergencia en los dos dominios por separado, o bien únicamente en uno de ellos.A common difficulty with TPFEM and TP-EEC techniques is to establish the periodicity condition in induction motors so that the method has a low computational cost. This is because the potential magnetic vector varies with very different frequencies in rotor and stator, so if you intend to work with a common period in both parts of the motor, a very large time interval may be required. However, it is convenient to define the periodicity condition in a sufficiently short period so that the procedures described are advantageous compared to a brute force method. In the TPFEM methods there are several proposals in this regard based on the fact that the solution exhibits a spatio-temporal symmetry, while in the TP-EEC methods the convergence acceleration in the two domains is applied separately, or only in one of them.
Los métodos citados enfocan el problema partiendo del modelo transitorio de corrientes inducidas acoplado con circuitos eléctricos. Este punto de partida conduce, en general, a problemas con alto coste computacional porque la condición de periodicidad afecta a un campo espacial, el vector potencial magnético, y a los elementos del circuito. Además, como se ha mencionado previamente, aparecen frecuencias distintas en cada parte del motor.The above methods approach the problem based on the transient model of induced currents coupled with electrical circuits. This starting point leads, in general, to problems with high computational cost because the periodicity condition affects a spatial field, the magnetic potential vector, and the circuit elements. In addition, as previously mentioned, different frequencies appear in each part of the engine.
DESCRIPCIÓN DE LA INVENCIÓNDESCRIPTION OF THE INVENTION
Dados los problemas presentados por los métodos de cálculo del estado estacionario de motores de inducción existentes en el estado de la técnica, surge la necesidad de un método que solucione al menos algunos de los problemas antes mencionados. Es objeto de la presente invención satisfacer dicha necesidad.Given the problems presented by the calculation methods of the steady state of induction motors existing in the state of the art, the need arises for a method that solves at least some of the aforementioned problems. It is the object of the present invention to satisfy said need.
La presente invención se refiere a un procedimiento para la aceleración del cálculo del estado estacionario de un motor de inducción de jaula de ardilla en el caso en que el motor es alimentado mediante corrientes periódicas en las bobinas del estator (100). El procedimiento de la presente invención permite calcular unas corrientes iniciales para las barras (102) de la jaula de ardilla del motor que, al ser utilizadas como dato inicial para resolver el sistema usual de ecuaciones en derivadas parciales que caracterizan el comportamiento electromagnético del motor, resultan en una considerable reducción de la parte transitoria de la solución. De esta forma, al precisarse un menor número de ciclos para alcanzar el estado estacionario de la máquina, se reduce el coste computacional y por tanto el tiempo necesario para realizar las simulaciones.The present invention relates to a process for accelerating the calculation of the steady state of a squirrel cage induction motor in the case where the motor is fed by periodic currents in the stator coils (100). The process of the present invention makes it possible to calculate initial currents for the bars (102) of the motor squirrel cage which, when used as initial data to solve the usual system of partial derivative equations that characterize the electromagnetic behavior of the motor, result in a considerable reduction of the transitory part of the solution. In this way, by requiring a smaller number of cycles to reach the steady state of the machine, the computational cost is reduced and therefore the time required to perform the simulations.
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En un primer aspecto la invención se refiere a un procedimiento de cálculo de un motor de inducción que aborda el problema de periodicidad temporal centrando esta condición en las corrientes de las barras (102) de la jaula de ardilla. De este modo, será posible trabajar únicamente con la frecuencia del rotor y con un número de incógnitas muy reducido en comparación con los métodos mencionados. Además, el coste computacional del método de cálculo objeto de la presente invención es independiente del tamaño del período del rotor.In a first aspect, the invention relates to a method of calculating an induction motor that addresses the problem of temporal periodicity by focusing this condition on the currents of the squirrel cage bars (102). In this way, it will be possible to work only with the rotor frequency and with a very small number of unknowns compared to the mentioned methods. In addition, the computational cost of the calculation method object of the present invention is independent of the size of the rotor period.
El cálculo de las corrientes iniciales adecuadas para reducir el transitorio se realiza mediante la resolución de un sistema de ecuaciones sobredeterminado que se obtiene siguiendo los pasos que se detallan a continuación.The calculation of the appropriate initial currents to reduce the transient is made by solving a system of overdetermined equations that is obtained by following the steps detailed below.
El procedimiento para el cálculo acelerado del estado estacionario de un motor de inducción de jaula de ardilla comprende las siguientes etapas:The procedure for the accelerated calculation of the steady state of a squirrel cage induction motor comprises the following steps:
a) Determinar las dimensiones y estructura del motor de inducción para determinar la geometría de su sección transversal, que está dividida en rotor (102, 104 y 106) y estator, siendo el rotor el compendio de todas las partes móviles, y siendo el resto el estátor. La geometría de la sección transversal incluye, por lo menos, las bobinas del estator, las barras de la jaula de ardilla, los núcleos ferromagnéticos de rotor y estator, el entrehierro y el eje del motor.a) Determine the dimensions and structure of the induction motor to determine the geometry of its cross section, which is divided into rotor (102, 104 and 106) and stator, the rotor being the digest of all moving parts, and the rest being The stator The cross section geometry includes, at least, the stator coils, the squirrel cage bars, the ferromagnetic rotor and stator cores, the air gap and the motor shaft.
b) Modelizar el circuito eléctrico correspondiente a la jaula de ardilla del motor, para ello se analiza la estructura de la jaula de ardilla situada en el rotor del motor de inducción para determinar así la topología del circuito eléctrico asociado. Dicho circuito, que es modelado por un grafo, está formado por los conductores asociados a las barras (202) de la jaula y las resistencias (200) asociadas a los anillos situados en los extremos del motor, que no se incluyeron en la geometría de la sección transversal. Los parámetros del circuito eléctrico de la jaula de ardilla comprenden las resistencias de los elementos del circuito eléctrico asociados a los anillos de la jaula de ardilla y la longitud l de las barras de la jaula de ardilla en la dirección del eje de rotación de la máquina.b) Model the electrical circuit corresponding to the squirrel cage of the motor, for this the structure of the squirrel cage located in the rotor of the induction motor is analyzed to determine the topology of the associated electrical circuit. Said circuit, which is modeled by a graph, is formed by the conductors associated with the bars (202) of the cage and the resistances (200) associated with the rings located at the ends of the motor, which were not included in the geometry of the cross section. The electrical circuit parameters of the squirrel cage include the resistance of the electrical circuit elements associated with the squirrel cage rings and the length l of the squirrel cage bars in the direction of the machine's axis of rotation .
c) Establecer las propiedades físicas de los materiales que constituyen las diferentes partes del motor para determinar: la reluctividad magnética v de los materiales que conforman el motor de inducción y la conductividad eléctrica a de las barras de las barras (202) de la jaula de ardilla.c) Establish the physical properties of the materials that constitute the different parts of the motor to determine: the magnetic reluctivity v of the materials that make up the induction motor and the electrical conductivity of the bars of the bars (202) of the cage of chipmunk.
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d) Determinar las condiciones en las que opera el motor, que comprende determinar la corriente periódica que traviesa las bobinas del estator y velocidad de rotación del rotor de la máquina.d) Determine the conditions under which the motor operates, which includes determining the periodic current through the stator coils and the rotational speed of the machine rotor.
e) Calcular la corriente inicial en las barras de la jaula de ardilla.e) Calculate the initial current in the squirrel cage bars.
f) Calcular el estado estacionario del motor de inducción mediante la resolución del modelo clásico de corrientes inducidas, o "eddy currents”, a partir de las corrientes iniciales obtenidas en la etapa anterior.f) Calculate the steady state of the induction motor by solving the classical model of induced currents, or "eddy currents", from the initial currents obtained in the previous stage.
El cálculo de la corriente inicial en las barras de la jaula de ardilla comprende plantear un modelo matemático, denominado en adelante modelo completo, que permite calcular los campos electromagnéticos en la sección transversal del motor. Este modelo tiene como incógnitas el potencial magnético vectorial en la sección transversal del motor y las corrientes y caídas de potencial en el circuito de la jaula de ardilla, y está constituido por dos submodelos acoplados: un submodelo distribuido obtenido a partir de las ecuaciones de Maxwell en baja frecuencia y un submodelo de parámetros concentrados asociado al circuito eléctrico de la jaula de ardilla. Así, el cálculo de la corriente inicial en las barras d ela jaula de ardilla comprende:The calculation of the initial current in the bars of the squirrel cage comprises proposing a mathematical model, hereinafter referred to as a complete model, which allows to calculate the electromagnetic fields in the cross section of the motor. This model has as a mystery the vector magnetic potential in the cross-section of the engine and the currents and potential drops in the squirrel cage circuit, and consists of two coupled submodels: a distributed submodel obtained from Maxwell's equations in low frequency and a submodel of concentrated parameters associated with the electric circuit of the squirrel cage. Thus, the calculation of the initial current in the squirrel cage bars comprises:
a. plantear un modelo matemático, modelo completo, para el cálculo de los campos electromagnéticos en la sección transversal del motor de inducción;to. propose a mathematical model, complete model, for the calculation of electromagnetic fields in the cross section of the induction motor;
b. transformar el modelo completo en un modelo simplificado mediante manipulaciones algebraicas para obtener un sistema de ecuaciones algebraico-diferenciales ordinarias;b. transform the complete model into a simplified model through algebraic manipulations to obtain a system of ordinary algebraic-differential equations;
c. transformar el modelo simplificado en un modelo reducido aproximado;C. transform the simplified model into an approximate reduced model;
d. resolver el modelo reducido aproximado mediante un método numérico; yd. solve the approximate reduced model using a numerical method; Y
e. obtener la corriente inicial en las barras de la jaula de ardilla a partir de la solución del modelo reducido aproximado.and. obtain the initial current in the bars of the squirrel cage from the solution of the approximate reduced model.
El planteamiento del modelo matemático completo comprende:The approach of the complete mathematical model includes:
a. plantear un submodelo distribuido basado en las ecuaciones de Maxwell para corrientes inducidas en régimen magnetostático transitorio, denominado submodelo distribuido de magnetostática, caracterizado por que las corrientes en las bobinas del estator y las barras del rotor se suponen uniformemente distribuidas;to. propose a distributed submodel based on Maxwell's equations for currents induced in a transient magnetostatic regime, called a magnetostatic distributed submodel, characterized in that the currents in the stator coils and rotor bars are assumed to be uniformly distributed;
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b. reescribir el submodelo distribuido cambiando el sistema de referencia convencional por otro móvil solidario con el rotor;b. rewrite the distributed submodel by changing the conventional reference system for another mobile in solidarity with the rotor;
c. plantear un submodelo de parámetros concentrados para el circuito eléctrico de la jaula de ardilla del rotor obtenido a partir de las leyes de Kirchhoff, incluyendo como dato las corrientes iniciales en las barras; yC. propose a sub-model of concentrated parameters for the electric circuit of the squirrel cage of the rotor obtained from Kirchhoff's laws, including as initial data the currents in the bars; Y
d. plantear el modelo completo mediante el acoplamiento del submodelo distribuido de magnetostática y del submodelo de parámetros concentrados.d. propose the complete model by coupling the distributed sub-model of the electrostatics and the sub-model of concentrated parameters.
A continuación, se transforma el modelo completo en un modelo simplificado mediante manipulaciones algebraicas para obtener un sistema de ecuaciones algebraico-diferenciales ordinarias cuyas incógnitas son las corrientes en las barras de la jaula de ardilla y un valor escalar, llamado multiplicador de Lagrange. Las manipulaciones algebraicas a llevar a cabo son las siguientes: en primer lugar, para cada tiempo t> 0, se define un operador Ft(w) con tantas componentes mb como barras (102) haya en el rotor del motor, Ft = (Ft,i,..,Ftm6); cada componente de este operador se define como el producto de la resistencia por unidad de longitud en cada barra por la integral en la sección transversal de dicha barra del producto entre la solución del submodelo distribuido de magnetostática en el tiempo t con dato w (independiente del tiempo) y la conductividad eléctrica de la barra. Seguidamente se utiliza la derivada temporal de este operador Ft( w ) para escribir el problema completo en términos de las corrientes y las caídas de potencial en el circuito de la jaula de ardilla. Por último, se eliminan las corrientes en los anillos y las caídas de potencial en toda la jaula de ardilla del sistema anterior mediante la introducción de una nueva incógnita escalar, el multiplicador de Lagrange.Next, the complete model is transformed into a simplified model by algebraic manipulations to obtain a system of ordinary algebraic-differential equations whose unknowns are the currents in the squirrel cage bars and a scalar value, called Lagrange multiplier. The algebraic manipulations to be carried out are the following: first, for each time t> 0, an operator Ft (w) with as many mb components as bars (102) is defined in the motor rotor, Ft = (Ft , i, .., Ftm6); Each component of this operator is defined as the product of the resistance per unit length in each bar by the integral in the cross-section of said product bar between the solution of the distributed sub-model of magnetostatics at time t with data w (independent of time) and the electrical conductivity of the bar. The temporary derivative of this operator Ft (w) is then used to write the complete problem in terms of the currents and potential drops in the squirrel cage circuit. Finally, the currents in the rings and the potential drops in the entire squirrel cage of the previous system are eliminated by introducing a new scalar mystery, the Lagrange multiplier.
El siguiente paso comprende obtener el modelo reducido aproximado transformando el modelo simplificado de la etapa anterior. Para ello, se calcula el período eléctrico en las barras de la jaula de ardilla, Tb, a partir del número de pares de polos del motor, la frecuencia de la corriente en las bobinas del estator (100) y la velocidad de rotación del rotor, y se integra en tiempo el modelo simplificado en los intervalos [0,t] y [0,7^]. A continuación, se intercambia el orden de integración en los términos que no involucran al operador Ft( w) y se elimina el término que involucra al operador Ft( w ) aplicado a las corrientes en las barras de la jaula de ardilla en todo el intervalo temporal [0,7^]. Finalmente, se aproximan las corrientes en las barras de la jaula de ardilla por el armónico principal de sus respectivos desarrollos en serie de Fourier (a frecuencia fb = 1/Tb) escrito en términos de una amplitud común a todas las barras, y diferentes ángulos de fase relativos al tiempoThe next step involves obtaining the approximate reduced model by transforming the simplified model of the previous stage. For this, the electrical period in the squirrel cage bars, Tb, is calculated from the number of pairs of motor poles, the frequency of the current in the stator coils (100) and the rotor rotation speed , and the simplified model is integrated in time in the intervals [0, t] and [0,7 ^]. Next, the order of integration is exchanged in terms that do not involve the Ft (w) operator and the term that involves the Ft (w) operator applied to the currents in the squirrel cage bars across the entire interval is removed. temporary [0.7 ^]. Finally, the currents in the squirrel cage bars are approximated by the main harmonic of their respective Fourier series developments (at frequency fb = 1 / Tb) written in terms of an amplitude common to all bars, and different angles phase relative to time
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inicial. Además, se escriben las fases relativas al tiempo inicial de la corriente en las barras de la jaula de ardilla en términos de una de ellas, considerando un desfase constante entre barras que es función de las condiciones de operación del motor, obteniendo de esta forma un sistema no lineal sobredetermiando de ecuaciones numéricas o modelo reducido aproximado.initial. In addition, the phases relative to the initial time of the current in the squirrel cage bars are written in terms of one of them, considering a constant lag between bars that is a function of the engine's operating conditions, thus obtaining a non-linear system overdetermining numerical equations or approximate reduced model.
Finalmente, en la última etapa se resuelve el modelo reducido aproximado, que es un sistema sobredeterminado de ecuaciones no lineales. En una realización particular de la invención el modelo reducido se resuelve mediante el método de mínimos cuadrados. A su vez, el sistema sobredeterminado requiere la resolución del submodelo distribuido de magnetostática que puede abordarse mediante diversas técnicas; en una realización particular se resuelve con el método de diferencias finitas, en otra realización particular se resuelve mediante el método de elementos finitos. Una vez encontrada una solución del modelo reducido aproximado, se utiliza el primer armónico de la corriente en las barras de la jaula de ardilla para calcular la aproximación de la corriente inicial en dichas barras. Estas corrientes se utilizan como dato inicial para calcular el estado estacionario del motor de inducción mediante un modelo clásico de corrientes inducidas, o "eddy currents’’.Finally, in the last stage the approximate reduced model is solved, which is an overdetermined system of nonlinear equations. In a particular embodiment of the invention the reduced model is solved by the least squares method. In turn, the overdetermined system requires the resolution of the distributed magnetostatic submodel that can be addressed by various techniques; in a particular embodiment it is solved with the finite difference method, in another particular embodiment it is solved by the finite element method. Once a solution of the approximate reduced model has been found, the first harmonic of the current in the squirrel cage bars is used to calculate the approximation of the initial current in said bars. These currents are used as initial data to calculate the steady state of the induction motor using a classic model of induced currents, or "eddy currents".
En otro aspecto la invención se refiere a un producto de programa informático que comprende instrucciones de programa para provocar que un sistema de computación realice el procedimiento para calcular el estado estacionario de un motor de inducción de jaula de ardilla según se ha descrito. En otro aspecto la invención se refiere a un producto de programa informático que está almacenado en unos medios de almacenamiento. En otro aspecto la invención se refiere a un producto de programa informático que es portado por una onda portadora.In another aspect the invention relates to a computer program product comprising program instructions to cause a computer system to perform the procedure to calculate the steady state of a squirrel cage induction motor as described. In another aspect the invention relates to a computer program product that is stored in storage media. In another aspect the invention relates to a computer program product that is carried by a carrier wave.
BREVE DESCRIPCIÓN DE LAS FIGURASBRIEF DESCRIPTION OF THE FIGURES
Las modalidades detalladas en las figuras se ilustran a modo de ejemplo y no a modo de limitación:The modalities detailed in the figures are illustrated by way of example and not by way of limitation:
La Figura 1 muestra una realización concreta del corte transversal de una máquina de inducción de jaula de ardilla, en la que además se han señalado los nombres de las diferentes partes a las que se hace referencia en la descripción de la realización concreta de la invención.Figure 1 shows a concrete embodiment of the cross section of a squirrel cage induction machine, in which the names of the different parts referred to in the description of the specific embodiment of the invention have also been indicated.
La Figura 2 muestra una realización concreta del grafo dirigido del circuito eléctricoFigure 2 shows a concrete embodiment of the directed graph of the electrical circuit
asociado a la jaula de ardilla del motor de inducción, en la que se ha realizado unaassociated with the squirrel cage of the induction motor, in which a
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numeración que correspondería a los nodos y aristas, además de una elección del sentido de las aristas.numbering that would correspond to the nodes and edges, in addition to a choice of the meaning of the edges.
DESCRIPCIÓN DETALLADADETAILED DESCRIPTION
A continuación se expone una descripción detallada de la invención para el caso particular de una posible realización haciendo referencia a las figuras.A detailed description of the invention is set forth below for the particular case of a possible embodiment with reference to the figures.
En primer lugar debe efectuarse un análisis de la geometría y de las propiedades físicas del motor de inducción concreto del cual se quiere simular el estado estacionario, comprendiendo las siguientes etapas:First of all, an analysis of the geometry and physical properties of the specific induction motor of which the stationary state is to be simulated must be carried out, comprising the following stages:
a) Estudiar las dimensiones y estructura del motor de inducción para determinar la geometría de su sección transversal, la cual se corresponderá con la configuración geométrica en el instante inicial de las simulaciones transitorias, que en el caso de esta forma de realización incluye (ver la Figura 1):a) Study the dimensions and structure of the induction motor to determine the geometry of its cross section, which will correspond to the geometric configuration at the initial moment of the transient simulations, which in the case of this embodiment includes (see the Figure 1):
• las barras de la jaula de ardilla (102),• squirrel cage bars (102),
• las bobinas del estator (100),• stator coils (100),
• los núcleos ferromagnéticos de rotor y estator (106, 110),• ferromagnetic rotor and stator cores (106, 110),
• el eje de la máquina (104),• the machine shaft (104),
• el entrehierro de la máquina que separa los núcleos del rotor y estator, el cual está compuesto por aire (108).• the air gap of the machine that separates the rotor and stator cores, which is composed of air (108).
Se utiliza la siguiente notación para las distintas partes: , i = 1, ...,mb, para las barras del rotor, ü¿, í = mb + 1,..., m, para las bobinas del estátor y üm+1 para la parte del dominio que no es conductora, es decir, el aire y los núcleos ferromagnéticos. En particular, la parte correspondiente al eje de la máquina será tratada como aire.The following notation is used for the different parts:, i = 1, ..., mb, for the rotor bars, ü¿, í = mb + 1, ..., m, for the stator coils and üm + 1 for the part of the domain that is not conductive, that is, air and ferromagnetic cores. In particular, the part corresponding to the axis of the machine will be treated as air.
El dominio üm+1se descompone en dos partes:The üm + 1 domain breaks down into two parts:
• ^m+i (correspondiente al rotor),• ^ m + i (corresponding to the rotor),
• ^m+i (correspondiente al estátor).• ^ m + i (corresponding to the stator).
Por lo tanto, el dominio bidimensional (2D) en el instante inicial será fl = U™i1ü¿. Se consideran que todas las secciones transversales definidas son conjuntos del plano xy mientras que el eje del motor se supone en la dirección z perpendicular al plano anterior. Los vectores ex, ey y ez denotan los elementos de una base ortonormal de R3 en las direcciones correspondientes.Therefore, the two-dimensional domain (2D) at the initial moment will be fl = U ™ i1ü¿. All defined cross sections are considered to be sets of the xy plane while the motor axis is assumed in the z direction perpendicular to the previous plane. The vectors ex, ey and ez denote the elements of an orthonormal base of R3 in the corresponding directions.
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b) Estudiar la estructura de la jaula de ardilla situada en el rotor del motor de inducción para determinar la topología del circuito eléctrico asociado que, en la realización particular presentada, está formado por los conductores asociados a las barras de la jaula y las resistencias asociadas a los anillos situados en los extremos del motor, que no se incluyen en la geometría de la sección transversal. En una realización particular de la invención el grafo correspondiente a la jaula de ardilla de mb barras (202) consta de 3mb aristas (206) y 2mb nodos (204).b) Study the structure of the squirrel cage located in the rotor of the induction motor to determine the topology of the associated electrical circuit which, in the particular embodiment presented, is formed by the conductors associated with the cage bars and the associated resistances to the rings located at the ends of the motor, which are not included in the cross section geometry. In a particular embodiment of the invention the graph corresponding to the squirrel cage of mb bars (202) consists of 3mb edges (206) and 2mb nodes (204).
c) Estudiar las propiedades físicas de los materiales que constituyen las diferentes partes del motor para determinar:c) Study the physical properties of the materials that constitute the different parts of the engine to determine:
• la reluctividad magnética v de los materiales que conforman el motor de inducción. En una realización particular de la invención se proporcionan reluctividad de los siguientes componentes: núcleos ferromagnéticos, bobinas del estátor y barras de la jaula de ardilla del rotor. La reluctividad de los materiales ferromagnéticos es, en general, una función no lineal.• magnetic reluctivity v of the materials that make up the induction motor. In a particular embodiment of the invention, reluctivity of the following components is provided: ferromagnetic cores, stator coils and squirrel cage bars of the rotor. The reluctivity of ferromagnetic materials is, in general, a non-linear function.
La conductividad eléctrica a de las barras de la jaula de ardilla; a partir de dicha conductividad, se define la resistencia por unidad de longitud de cada barra en la dirección del eje de rotación de la máquina que se denotará por a¿ y está definida de la forma:The electrical conductivity of the squirrel cage bars; from said conductivity, the resistance per unit length of each bar is defined in the direction of the axis of rotation of the machine to be denoted by a ¿and is defined as follows:
fnOi dxdyfnOi dxdy
,i = 1, ...,mb., i = 1, ..., mb.
(1)(one)
• Las resistencias Rt de los elementos del circuito eléctrico asociado a los anillos de la jaula de ardilla.• The Rt resistors of the electrical circuit elements associated with the squirrel cage rings.
• La longitud l de las barras de la jaula de ardilla en la dirección del eje de rotación de la máquina.• The length l of the squirrel cage bars in the direction of the axis of rotation of the machine.
d) Determinar las condiciones en las que opera el motor: corriente en las bobinas del estátor In, n = mb + 1, ...,m, en función del tiempo y velocidad de giro del rotor que se denota por nr. Las corrientes In son funciones periódicas en tiempo y su frecuencia se denota por fc.d) Determine the conditions in which the motor operates: current in the stator coils In, n = mb + 1, ..., m, based on the time and speed of rotation of the rotor denoted by nr. In currents are periodic functions in time and their frequency is denoted by fc.
En segundo lugar, se determina un modelo matemático (modelo completo) que permite calcular los campos electromagnéticos en la sección transversal del motor. Este modelo consta de dos partes principales: un submodelo distribuido obtenido a partir de las ecuaciones de Maxwell en baja frecuencia (submodelo distribuido de magnetostática) y un submodelo de parámetros concentrados asociado al circuito eléctrico de la jaula de ardilla.Secondly, a mathematical model (complete model) is determined that allows to calculate the electromagnetic fields in the cross section of the motor. This model consists of two main parts: a distributed submodel obtained from Maxwell's equations in low frequency (magnetostatic distributed submodel) and a concentrated parameter submodel associated with the electric circuit of the squirrel cage.
Estos dos submodelos estarán acoplados a través de las corrientes y una integral de la solución del submodelo distribuido de magnetostática en las barras del rotor.These two submodels will be coupled through the currents and an integral of the magnetostatic distributed submodel solution in the rotor bars.
Para la obtención del submodelo distribuido de magnetostática se consideran las ecuaciones de Maxwell en baja frecuencia (es decir, despreciando el término deIn order to obtain the distributed magnetostatic submodel, Maxwell's equations are considered at low frequency (that is, neglecting the term of
5 desplazamiento eléctrico en la ley de Ampére) en una sección transversal del motor y5 electric displacement in Ampére's law) in a cross section of the motor and
expresadas en términos del potencial magnético vectorial, que en coordenadas cartesianas tiene la forma A = (0,0,Az(x,y))J. Además, tanto en las bobinas del estátor como en las barras del rotor, la corriente se considera uniformemente distribuida ("stranded conductors”), con lo que se obtiene un modelo en el que el tiempo actúa como parámetro. Para laexpressed in terms of the vector magnetic potential, which in cartesian coordinates has the form A = (0,0, Az (x, y)) J. In addition, both in the stator coils and in the rotor bars, the current is considered uniformly distributed ("stranded conductors"), thus obtaining a model in which time acts as a parameter.
10 realización concreta que se presenta, el submodelo distribuido se reduce a:10 concrete embodiment presented, the distributed submodel is reduced to:
- curl (v curl A) curl (v curl A)
- y¿(0 " |fl¡l ez en fl¿(t),í = 1, ...,mb, (2) y¿ (0 "| fl¡l ez in fl¿ (t), í = 1, ..., mb, (2)
- curl (v curl A) curl (v curl A)
- h(t) lflil6z en fl¿,í = mb + 1, ...,m, (3) h (t) lflil6z in fl¿, í = mb + 1, ..., m, (3)
- curl (v curl A) curl (v curl A)
- = 0 en aire y núcleos, (4) = 0 in air and cores, (4)
- A TO
- = 0 sobre 3fl, (5) = 0 over 3fl, (5)
donde y¿(í), i = 1, ..., mb, son las corrientes en las barras de la jaula de ardilla en el instante í> 0, 7¿(í), í = mb + 1,m, son las corrientes en las bobinas del estátor en ese mismo instante y |fl¿| denota el área de cada sección fl¿ que es invariante con el tiempo. La función v tomará sobre cada dominio el valor correspondiente a la reluctividad del material que lo 15 conforma. A continuación, se reescribe el modelo distribuido cambiando el sistema de referencia a uno móvil solidario con el rotor, es decir, fl™+x es fijo y fl^lí se mueve de modo que en el tiempo í, el dominio fl^+í se ha movido a la posición r^fl^^) siendo rt la rotación cuya velocidad angular es la opuesta a la del rotor. Nótese que la zona de entrehierro puede incluirse en cualquiera de estos subdominios o puede dividirse en dos 20 partes (una de ellas perteneciente al rotor y la otra al estátor). De este modo, el sistema dewhere y¿ (í), i = 1, ..., mb, are the currents in the squirrel cage bars at the moment í> 0, 7¿ (í), í = mb + 1, m, are the currents in the stator coils at that moment and | fl¿ | It denotes the area of each section that is invariant over time. The function v will take on each domain the value corresponding to the reluctivity of the material that forms it. Next, the distributed model is rewritten by changing the reference system to a mobile one in solidarity with the rotor, that is, fl ™ + x is fixed and fl ^ l moves so that at time í, the domain fl ^ + í it has moved to the position r ^ fl ^^) where rt is the rotation whose angular velocity is the opposite of that of the rotor. Note that the air gap zone can be included in any of these subdomains or can be divided into two parts (one of them belonging to the rotor and the other to the stator). In this way, the system of
- ecuaciones resultantes es: resulting equations is:
- curl (v curl A) curl (v curl A)
- y¡(0 |fl¡l ez en fl¿, í = 1, ...,mb, y¡ (0 | fl¡l ez in fl¿, í = 1, ..., mb,
- curl (v curl A) curl (v curl A)
- /¡(O |fl¿|ez en rt(fl¿),í = mb + 1 / ¡(O | fl¿ | ez in rt (fl¿), í = mb + 1
- curl (v curl A) curl (v curl A)
- = 0 en aire y núcleos, = 0 in air and cores,
- A TO
- = 0 sobre 3fl, = 0 over 3fl,
Para la escritura del submodelo de parámetros concentrados, deben tenerse en cuenta las leyes de Kirchhoff y las leyes constitutivas de los elementos del circuito. En el caso concreto de la realización que se presenta, el submodelo de parámetros concentrados es:For the writing of the sub-model of concentrated parameters, the Kirchhoff laws and the constituent laws of the circuit elements must be taken into account. In the specific case of the embodiment presented, the sub-model of concentrated parameters is:
^y(t) = 0 (6)^ y (t) = 0 (6)
Dy(t) + <AJv(t) = 0 (7)Dy (t) + <AJv (t) = 0 (7)
donde y(t) e B?mb y v(t) e E2™6 son los vectores cuyas componentes son las corrientes en 5 las aristas y los voltajes en los nodos del grafo asociado al circuito, respectivamente, ^ es la matriz de incidencia (de dimensión 2mb x3mb) del grafo asociado al circuito y D es el operador diagonal dado por:where y (t) e B? mb and v (t) and E2 ™ 6 are the vectors whose components are the currents at the edges and the voltages at the nodes of the graph associated to the circuit, respectively, ^ is the incidence matrix ( of dimension 2mb x3mb) of the graph associated to the circuit and D is the diagonal operator given by:
(£j aAz(x,y,t)dxdy + yi(t)'J i = 1,...,mb,(£ j aAz (x, y, t) dxdy + yi (t) 'J i = 1, ..., mb,
fí¿y¿(í) i = mb+ 1,..,3mb.fí¿y¿ (í) i = mb + 1, .., 3mb.
El modelo completo se obtiene acoplando el submodelo distribuido de magnetostática (2)- (5) con el submodelo de parámetros concentrados (6)-(7), y añadiendo una condición inicial 10 para la corriente en las barras:The complete model is obtained by coupling the distributed magnetostatic submodel (2) - (5) with the concentrated parameter submodel (6) - (7), and adding an initial condition 10 for the current in the bars:
®¿(y¿(0) =® ¿(y¿ (0) =
y¿(0) = y°,í = i, ...,mb.y¿ (0) = y °, í = i, ..., mb.
Así, el modelo completo se escribe de la forma:Thus, the complete model is written as follows:
(8)(8)
- curl (vcurl A) curl (vcurl A)
- y¿(0 m¡iez en ü¿(í),í = 1, ...,mb, (9) y¿ (0 m¡iez in ü¿ (í), í = 1, ..., mb, (9)
- curl (vcurl A) curl (vcurl A)
- |fl¡| 6z enrt(fl¡),í = mb + 1, ...,m, (10) | fl¡ | 6z enrt (fl¡), í = mb + 1, ..., m, (10)
- curl (vcurl A) curl (vcurl A)
- = 0 en aire y núcleos, (11) = 0 in air and cores, (11)
- A TO
- = 0 sobre 3ü, (12) = 0 over 3ü, (12)
- <Ay(t) <Ay (t)
- = ^, (13) = ^, (13)
- 'Dy(t) + ¿lTm 'Dy (t) + ¿lTm
- = ^, (14) = ^, (14)
- y¿(0) and (0)
- = y“, í = 1, ...,mb. (15) = y “, í = 1, ..., mb. (fifteen)
A continuación, se reescribe el modelo completo de forma simplificada para obtener el modelo reducido, cuyas incógnitas son las corrientes en las barras de la jaula de ardilla y una incógnita escalar (multiplicador de Lagrange) asociada a la caída de potencial en una de 15 las barras. Para ello, se realizan los pasos siguientes:Next, the complete model is rewritten in a simplified way to obtain the reduced model, whose unknowns are the currents in the squirrel cage bars and a scalar unknown (Lagrange multiplier) associated with the potential drop in one of 15 bars. To do this, the following steps are performed:
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a) Para cada t> 0, se define el operador no lineal Ft:Rmb dado por:a) For each t> 0, the nonlinear operator Ft: Rmb given by:
Fti( w ): = ai I oAz(x,y, t) dxdy, i = l,...,mb,Fti (w): = ai I oAz (x, y, t) dxdy, i = l, ..., mb,
JaiJai
donde el campo A(x,y, t) = (0,0,Az(x,y, t))T es la única solución del submodelo distribuido de magnetostática (ecuaciones (2) a (5)) en el instante t considerando como dato la corriente en las barras dada por y = w.where the field A (x, y, t) = (0,0, Az (x, y, t)) T is the only solution of the magnetostatic distributed submodel (equations (2) to (5)) at time t considering as current the current in the bars given by y = w.
b) Gracias al operador Ft, y definiendo las matrices diagonales siguientes:b) Thanks to the Ft operator, and defining the following diagonal matrices:
(Lb)ij = lSiJ, (:Rb)iJ = laiSiJ, i,j = 1, ...,mb,(Lb) ij = lSiJ, (: Rb) iJ = laiSiJ, i, j = 1, ..., mb,
~)íj ~^í+m¡,^íj, i,j ~ 1, ■■■,3w.b — mb,~) íj ~ ^ í + m¡, ^ íj, i, j ~ 1, ■■■, 3w.b - mb,
se puede escribir el problema completo de forma simplificadayou can write the whole problem in a simplified way
- £b^ftFt(y + Jlby b(t) + (¿Lbym = 0, £ b ^ ftFt (y + Jlby b (t) + (¿Lbym = 0,
- (16) (16)
- Rry r(t) + (^r)Tv(t) =0, Rry r (t) + (^ r) Tv (t) = 0,
- (17) (17)
- Aby b(t) + JFyr(t) =0, Aby b (t) + JFyr (t) = 0,
- (18) (18)
- yb(0) =yb,°, yb (0) = yb, °,
- (19) (19)
donde yb es el vector cuyas componentes son las corrientes en las aristas del grafo correspondientes a las barras de la jaula de ardilla, yr es el vector cuyas componentes son las corrientes en las restantes aristas del grafo asociado a la jaula de ardilla y <Ab y Jlr son las partes de la matriz de incidencia del grafo correspondientes a las aristas que representan las barras y al resto de las aristas, respectivamente.where yb is the vector whose components are the currents in the edges of the graph corresponding to the squirrel cage bars, and r is the vector whose components are the currents in the remaining edges of the graph associated with the squirrel cage and <Ab y Jlr are the parts of the incidence matrix of the graph corresponding to the edges that represent the bars and the rest of the edges, respectively.
c) A continuación se obtiene el modelo reducido eliminando las incógnitas yr y v del sistema anterior mediante una serie de manipulaciones algebraicas. En una realización particular las incógnitas se eliminan expresando el vector de caídas de potencial de la forma:c) The reduced model is then obtained by eliminating the unknowns yr and v from the previous system through a series of algebraic manipulations. In a particular embodiment, the unknowns are eliminated by expressing the potential drop vector of the form:
v(t) = B~\Aby b(t) + A(t) (0),v (t) = B ~ \ Aby b (t) + A (t) (0),
donde e:=(1,.,1)Tel”6 y B esla matriz obtenida a partir de Ar^~1{Ar)T colocando números muy grandes en dos posiciones de la diagonal. En la presente invención el término números muy grandes hace referencia a números grandes en comparación con los órdenes de magnitud presentes en el sistema. En la realización concreta se propone elegir dichas posiciones como las correspondientes a los nodoswhere e: = (1,., 1) Tel ”6 and B is the matrix obtained from Ar ^ ~ 1 {Ar) T by placing very large numbers in two diagonal positions. In the present invention the term very large numbers refers to large numbers compared to the orders of magnitude present in the system. In the specific embodiment it is proposed to choose these positions as those corresponding to the nodes
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de los extremos de una misma barra de la jaula de ardilla y poner números del orden de 10so en dichas posiciones. Así, la incógnita escalar A(t) representa la caída de potencial a lo largo de esta barra; además, se verifica la ecuación (6) que en este caso se reduce a:of the ends of the same squirrel cage bar and put numbers of the order of 10so in these positions. Thus, the unknown scalar A (t) represents the potential drop along this bar; In addition, equation (6) is verified, which in this case is reduced to:
cAbyb{t) • = 0.cAbyb {t) • = 0.
d) De esta forma se obtiene el modelo reducido cuyas incógnitas son las corrientes en las barras de la jaula de ardilla y una incógnita escalar (multiplicador de Lagrange) asociada a la caída de potencial en una de las barras. Dicho modelo resulta ser el siguiente:d) In this way the reduced model is obtained whose unknowns are the currents in the squirrel cage bars and a scalar unknown (Lagrange multiplier) associated with the potential drop in one of the bars. This model turns out to be the following:
£b^Ft(yb(í)) + + (ctfh)TB_1(^h))yh(t) + A(t)(^h)T = 0,£ b ^ Ft (yb (í)) + + (ctfh) TB_1 (^ h)) and h (t) + A (t) (^ h) T = 0,
(20)(twenty)
(21)(twenty-one)
yb(0) = yb’°.yb (0) = yb ’°.
(22)(22)
El siguiente paso consiste en obtener el sistema reducido aproximado a partir del modelo reducido anterior. Para la realización de este paso se realizan los siguientes pasos:The next step is to obtain the approximate reduced system from the previous reduced model. To perform this step, the following steps are performed:
a) Calcular el período eléctrico de la corriente en las barras de la jaula de ardilla a partir del número de pares de polos p de la máquina, la frecuencia de la corriente en las bobinas del estátor, fc, y la velocidad de rotación del rotor nr:a) Calculate the electrical period of the current in the squirrel cage bars from the number of pairs of poles p of the machine, the frequency of the current in the stator coils, fc, and the rotational speed of the rotor nr:
6060
Y =__________Y = __________
60fc — p nr‘60fc - p nr ‘
b) Integrar en tiempo las ecuaciones (20) y (21) del modelo reducido en el intervalo [0, í], con te [0,r¡,] teniendo en cuenta la condición inicial (22) para obtener el sistema:b) Integrate in time equations (20) and (21) of the reduced model in the interval [0, í], with te [0, r¡,] taking into account the initial condition (22) to obtain the system:
t(y b(0) - F0(y-M)) + (xb + (cAi’)V1(^))t (y b (0) - F0 (y-M)) + (xb + (cAi ’) V1 (^))
+ J A (s)ds(<Ab)T (0) = 0+ J A (s) ds (<Ab) T (0) = 0
fF
yb (s)dsand b (s) ds
(23)(2. 3)
[y b (s)ds • Jo[y b (s) ds • Jo
^TÍO) -^ UNCLE) -
0.0.
(24)(24)
c) Integrar en tiempo las ecuaciones (23) y (24) en el intervalo [0,7^] para obtener el sistema:c) Integrate in time equations (23) and (24) in the interval [0,7 ^] to obtain the system:
¿b(f bFt(y \t))dt-F0(y b’°)Tb^ + (JZb + (cAb)TS-1(^b)) f y b(s)ds^dt¿B (f bFt (y \ t)) dt-F0 (and b ’°) Tb ^ + (JZb + (cAb) TS-1 (^ b)) f and b (s) ds ^ dt
55
++
(25)(25)
f b(f y b (s)ds) dí • (^by (°) = 0. (26)f b (f and b (s) ds) say • (^ by (°) = 0. (26)
d) Intercambiar el orden de integración en los términos de (25) y (26) que no involucran al operador Ft, obteniendo:d) Exchange the order of integration in the terms of (25) and (26) that do not involve the Ft operator, obtaining:
£b(f *Ft(y\t))dt - FQ(yb,°)Tb^ + (&> + (cAb)TB-\¿lb)) j \ fb -s)yb(s)ds£ b (f * Ft (y \ t)) dt - FQ (yb, °) Tb ^ + (&> + (cAb) TB- \ ¿lb)) j \ fb -s) and b (s) ds
+ (| \rb- s)A(s)ds^ (Ab)T (0) = 0,+ (| \ rb- s) A (s) ds ^ (Ab) T (0) = 0,
l 6(rb-s);yb(s)ds^(^b)T(e) = 0.l 6 (rb-s); and b (s) ds ^ (^ b) T (e) = 0.
e) Despreciar el primer término de la ecuación (27) obteniendo el sistema:e) Disregard the first term of equation (27) obtaining the system:
r^br ^ b
—LbF0(yb’0)Tb + (Rb + (c/lb)TB~1Ab) I (Tb -s)yb(s)ds—LbF0 (yb’0) Tb + (Rb + (c / lb) TB ~ 1Ab) I (Tb -s) and b (s) ds
JoJo
+ (f \rb - s)A(s)ds) (Aby (°) = 0,+ (f \ rb - s) A (s) ds) (Aby (°) = 0,
-s)y\s)ds • (^b)T(°) = 0.-s) and \ s) ds • (^ b) T (°) = 0.
(27)(27)
(28)(28)
(29)(29)
(30)(30)
f) Aproximar las corrientes en las barras de la jaula de ardilla por el armónico principal de sus respectivos desarrollos en serie de Fourier (a frecuencia fb:= 1/Tb), escritos en términos de una amplitud común Y y los ángulos de fase £>n, n = l,..,mb, relativos al tiempo inicialf) Approximate the currents in the squirrel cage bars by the main harmonic of their respective Fourier series developments (at frequency fb: = 1 / Tb), written in terms of a common amplitude Y and the phase angles £ > n, n = l, .., mb, relative to the initial time
y* (O -I -
(^b)T(^ b) T
00
eand
I (Ycos(2nfbt +pn)).I (Ycos (2nfbt + pn)).
-*n- * n
(31)(31)
g) Escribir las fases relativas al tiempo inicial pn, n = 1, ...,mb, en términos de una de ellas considerado un desfase constanteg) Write the phases relative to the initial time pn, n = 1, ..., mb, in terms of one of them considered a constant lag
2 np a =-----.2 np a = -----.
mbmb
Si la barra escogida para ello es la primera,If the bar chosen for this is the first,
Pn =Pi + (n — 1)a, n = 1,...,mb.Pn = Pi + (n - 1) a, n = 1, ..., mb.
(32)(32)
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h) Sustituir las componentes del vector de corrientes en las barras de la jaula de ardilla del sistema (29)-(30) por las corrientes aproximadas, obteniendo un sistema no lineal sobredeterminado de ecuaciones numéricas (modelo reducido aproximado),h) Substitute the components of the current vector in the squirrel cage bars of the system (29) - (30) with the approximate currents, obtaining an over-determined non-linear system of numerical equations (approximate reduced model),
-£bF0{Yv.1)Tb-1¡LY{jlb + (cAb)TB~1¿lb)Ü2 +^(Ab)- £ bF0 {Yv.1) Tb-1¡LY {jlb + (cAb) TB ~ 1¿lb) Ü2 + ^ (Ab)
2n2n
u2 -(c^)T^ -u2 - (c ^) T ^ -
b^T(0\ _b ^ T (0 \ _
e.and.
0.0.
0, (33)0, (33)
(34)(3. 4)
dondewhere
rTbrTb
/u:= I (/ u: = I (
JoJo
(Tb — s)A(s)ds,(Tb - s) A (s) ds,
y U1, u2 son vectores cuyas n-ésimas componentes, n=l,..,mb, son, respectivamente,and U1, u2 are vectors whose n-th components, n = l, .., mb, are respectively
ul, n:ul, n:
(Ab)T I ((Ab) T I (
enin
cos + (n—1)a)cos + (n — 1) a)
U2,n:U2, n:
(Ab)T I ((Ab) T I (
sin + (n — l)a).without + (n - l) a).
i) Eliminar la incógnita ^ en términos de la amplitud del armónico principal de la corriente en las barras de la jaula de ardilla y la fase del armónico principal de la corriente en una de las barras relativa al instante inicial:i) Eliminate the unknown ^ in terms of the amplitude of the main harmonic of the current in the squirrel cage bars and the phase of the main harmonic of the current in one of the bars relative to the initial moment:
, -i-i
(Rb + (cab)T B-1 Ab^ LbF0(Yv.1)Tb -(cdb)(Rb + (cab) T B-1 Ab ^ LbF0 (Yv.1) Tb - (cdb)
T'(!T '(!
eand
F — —F - -
CBb + (cAb)T B-1 ^b)~1(^b)T -(c^b)T ^CBb + (cAb) T B-1 ^ b) ~ 1 (^ b) T - (c ^ b) T ^
Así, el modelo reducido aproximado obtenido a partir de (33) - (34) se reduce a:Thus, the approximate reduced model obtained from (33) - (34) is reduced to:
-£bF0(Y:uí)Tb -Y^(3lb + (cAb)TB~1¿lb)Ü2 2 n- £ bF0 (Y: uí) Tb -Y ^ (3lb + (cAb) TB ~ 1¿lb) Ü2 2 n
H—H—
ato
{3lb + (cAb)T B~x Jlb) 1 £bF0(YUí)Tb -(cAb)T (({3lb + (cAb) T B ~ x Jlb) £ 1 bF0 (YUí) Tb - (cAb) T ((
enin
(¿iby(0) = 0,(¿Iby (0) = 0,
dondewhere
(35)(35)
a: = (!Rb + (cAb)T B~x Jlb) 1(¿lb)T (£) -(c^)7 ((a: = (! Rb + (cAb) T B ~ x Jlb) 1 (¿lb) T (£) - (c ^) 7 ((
\e/ \e¿\ e / \ e¿
Para efectuar la resolución del modelo reducido aproximado se ha escogido un método de mínimos cuadrados. De esta forma, si se definenTo effect the resolution of the approximate reduced model, a least squares method has been chosen. In this way, if defined
f(Y,píy. = -£bF0(YHí)Tb -Y2^(Xb + (c/lb)TB~1Ab)u2f (Y, p. = - £ bF0 (YHí) Tb -Y2 ^ (Xb + (c / lb) TB ~ 1Ab) u2
ll
H— aHe has
(3lb + (cAb)T B-1 Jlb) 1 £bF0(YU1)Tb -(cAb)T (( 16(3lb + (cAb) T B-1 Jlb) £ 1 bF0 (YU1) Tb - (cAb) T ((16
enin
VeGo
yY
y ^(Y,pi): = \l f(y,pi)\\22, se buscan Y y ^ tales quey ^ (Y, pi): = \ l f (y, pi) \\ 22, look for Y and ^ such that
0(7,£i) = mm {0(Z,y): ymín <Z<Ymax, 0 <y <2tt}.0 (7, £ i) = mm {0 (Z, y): ymin <Z <Ymax, 0 <and <2tt}.
En particular, el cálculo de F0(YÜ.1) involucra la resolución del submodelo distribuido de magnetostática con corrientes dato en las barras dadas por Yií1. Para ello, en esta realización concreta de la invención, este submodelo de magnetostática se discretiza 5 mediante técnicas de elementos finitos nodales, y se utilizan algoritmos iterativos para manejar las no linealidades de las leyes constitutivas de los materiales ferromagnéticos de los núcleos del motor.In particular, the calculation of F0 (YÜ.1) involves the resolution of the distributed sub-model of electrostatics with current data in the bars given by Yií1. To do this, in this specific embodiment of the invention, this sub-model of magnetostatics is discretized by means of finite nodal element techniques, and iterative algorithms are used to handle the non-linearities of the laws constituting the ferromagnetic materials of the motor cores.
Una vez encontrada la solución (Y,^1) del modelo reducido aproximado, se obtiene una corriente inicial para la corriente en las barras de la jaula de ardilla evaluando las 10 expresiones (31) en el instante t = 0.Once the solution (Y, ^ 1) of the approximate reduced model is found, an initial current for the current in the squirrel cage bars is obtained by evaluating the 10 expressions (31) at the time t = 0.
Finalmente, para calcular el estado estacionario del motor de inducción, se resuelve un modelo clásico de corrientes inducidas ("eddy currents”) con las condiciones iniciales obtenidas siguiendo el procedimiento anterior.Finally, to calculate the steady state of the induction motor, a classical model of induced currents ("eddy currents") is solved with the initial conditions obtained following the previous procedure.
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| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN113886987A (en) * | 2021-09-29 | 2022-01-04 | 哈尔滨理工大学 | Cage type rotor induction motor modeling method based on improved winding function method |
| CN113886987B (en) * | 2021-09-29 | 2023-06-30 | 哈尔滨理工大学 | Cage rotor induction motor modeling method based on improved winding function method |
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| Publication number | Publication date |
|---|---|
| ES2687868B2 (en) | 2019-07-29 |
| WO2019170937A1 (en) | 2019-09-12 |
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