ES2297964B1 - Filtro incremental inteligente. - Google Patents
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Abstract
Filtro incremental inteligente.
Nuevo sistema de procesamiento digital de
señales en tiempo real o nueva clase de filtro IIR adaptativo,
dirigido al modelado robusto y estable de cualquier tipo de proceso
con el fin de realizar su aplicación principalmente en el campo del
control automático de sistemas, caracterizado porque:
a) La estructura del filtro para modelar o
predecir en tiempo real la dinámica instantánea de cualquier sistema
físico mono o multivariable es un modelo lineal que utiliza valores
incrementales de los vectores de entrada y salida del proceso.
b) La trayectoria guía de referencia o de
aprendizaje tiene que ser limitada y físicamente realizable con
ganancia estática unidad, y tiene que reinicializarse
constantemente con las salidas medidas del proceso.
c) El nuevo algoritmo de aprendizaje se obtiene
de hacer nulo el error instantáneo de estimación entre el incremento
de la salida del proceso y el incremento de la salida producida por
el modelo incremental del filtro.
Description
Filtro incremental inteligente.
La presente invención se encuadra en el sector
técnico del tratamiento digital de señales en tiempo real, dirigido
al modelado robusto y estable de cualquier tipo de proceso con el
fin de realizar su aplicación principalmente en el campo del
control automático de sistemas.
El tratamiento digital de señales en tiempo real
dirigido al modelado lineal de procesos, implementa métodos
recursivos de aprendizaje que intentan la rápida convergencia entre
la salida del proceso y la salida predicha por sus modelos cuando
ambos son sometidos a la misma señal de excitación o control con el
fin de hacer seguir al proceso una determinada trayectoria de
referencia hacia un valor constante de consigna u operación del
sistema, siendo el error instantáneo entre la salida del proceso y
la trayectoria de referencia la base para el ajuste recursivo de
los parámetros de los modelos lineales de estos métodos.
Actualmente, estos métodos están basados en la
perspectiva de la optimización, cuyos ejemplos más significativos
son el de los Mínimos Cuadrados y el Filtro de Kalman, o en la
estimación paramétrica del gradiente, cuyos ejemplos más
significativos son el Filtro de Wiener, LMS (Least Mean Square) y
RLS (Recursive Least Squares).
Los métodos basados en la perspectiva de la
optimización dan el mismo peso a toda la información de entradas y
salidas en la minimización de su índice de rendimiento, en
consecuencia, estos métodos pierden con el tiempo su capacidad de
aprendizaje y no se puede esperar de ellos un rendimiento
satisfactorio si los parámetros del proceso varían a lo largo del
tiempo.
Es decir, estos métodos van perdiendo su
capacidad de aprendizaje cuando el proceso no cumple las
condiciones de filtrado óptimo, las cuales requieren la
invariabilidad o estacionariedad del proceso.
La introducción del denominado Factor de Olvido
intenta superar la problemática previamente descrita, dando menos
peso a la información pasada e impidiendo la tendencia de
disminución de la capacidad de aprendizaje de estos algoritmos de
optimización. Sin embargo, de esta forma, se puede dar menos peso o
dejar de tener en cuenta información valiosa para la identificación
de los parámetros del modelo lineal del proceso y dar más peso o
llegar a resolver la minimización del índice de rendimiento con
información poco significativa.
Los métodos del gradiente están basados en que
la actualización de los parámetros del modelo del proceso se
realiza tomando la dirección contraria del gradiente de la
hipersuperficie de error cuadrático medio en función de los
parámetros del modelo en el correspondiente valor actual de estos
parámetros y moverse sobre dicha hipersuperficie en la citada
dirección una determinada cantidad, con el fin de ir acercándose al
mínimo de dicha hipersuperficie. La anterior cantidad se denomina
"step-size" o paso de adaptación y determina
la velocidad de aprendizaje que se desea imprimir al sistema.
Los métodos de gradiente no presentan problemas
cuando el proceso puede ser modelado mediante un Filtro de
Respuesta Impulsiva Finita (FIR), ya que la función de
transferencia de estos filtros no tiene polos y en consecuencia la
hipersuperficie de error cuadrático medio tiene un único
mínimo.
No obstante, los FIRs en si mismo presentan
algunas limitaciones, que hacen pensar en la necesidad de utilizar
Filtros de Respuesta Impulsiva Infinita (IIRs), filtros con ceros y
polos en su función de transferencia.
Por ejemplo, supóngase que un canal utilizado
para transmitir una señal d(n) introduce un eco, de
forma que la señal recibida es:
donde |\alpha| < 1 es la
atenuación y N es el retardo asociado al
canal.
La función de transferencia en el Plano Z de la
señal recibida es:
\vskip1.000000\baselineskip
Si \alpha y N fueran conocidos, el
cancelador ideal para recuperar la señal d(n) de la
señal recibida u(n) sería un filtro IIR con una
función de transferencia de la forma:
Como generalmente \alpha y N no son
conocidos y posiblemente varíen con el tiempo, sería más apropiado
utilizar para el cancelador de eco un filtro IIR adaptativo que un
filtro FIR.
Aunque sería posible utilizar un filtro FIR, el
orden del mismo para lograr una buena estimación de
d(n) sería demasiado alto. Para observar esta
afirmación, se puede expandir H(z) en una serie
geométrica de la siguiente
forma:
forma:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Si p es suficientemente grande, de modo
que |\alpha|^{p} << 1, se puede truncar la serie anterior,
obteniéndose una aproximación con un número finito de términos:
A partir de esta función de transferencia se
puede considerar para el cancelador de eco un filtro FIR adaptativo
o variable con el tiempo de la forma:
donde b_{n} (i) es
el coeficiente i en el instante de tiempo
n.
Sin embargo, si \alpha \approx 1 (lo que
origina que p sea grande), o si N >> 1,
entonces el orden del filtro N_{p} necesario para obtener
una buena aproximación sería demasiado alto como para considerarlo
una solución viable.
Además, el gran número de coeficientes implica
costos computacionales altos, mucha memoria, y acumulación de
errores numéricos asociados a la gran cantidad de parámetros
ajustables. En cambio, un filtro IIR con pocos parámetros,
consiguientemente con poca carga computacional, lograría resultados
notoriamente mejores, al contener implícitamente todos los términos
de la serie.
Sin embargo, los IIRs adaptativos o variables
con el tiempo presentan algunas dificultades que limitan, en un
principio, su utilización en filtrado con aprendizaje,
principalmente se presentan dos problemas:
- \bullet
- Estabilidad: Al presentar una función de transferencia con polos, cuyos coeficientes son recalculados en cada iteración del algoritmo de aprendizaje del gradiente, en principio, no se puede asegurar que el filtro permanezca estable.
- Los polos y ceros de la función de transferencia se irán moviendo en el plano complejo conforme se aplica el algoritmo, para garantizar la estabilidad tanto de la función de transferencia del modelo [y(z)/u(z)] como de su inversa [u(z)/y(z)] estos polos y ceros deberán permanecer dentro del circulo unidad, sino, el filtro y su inversa se volverán inestables.
- Es por esto, que frecuentemente se hace necesario, un mecanismo de monitoreo de la ubicación de los polos y ceros del filtro, para asegurar su estabilidad directa e inversa, lo que implica un mayor número de cálculos a realizar en cada iteración.
- \bullet
- Convergencia: Las hipersuperficies de error cuadrático medio de los IIRs adaptativos no presentan un único mínimo como en el caso de los FIRs. Son en general superficies no conexas, que presentan por lo tanto mínimos locales. Como los algoritmos del gradiente son sensibles a las condiciones iniciales, la solución puede converger a un mínimo local, resultando una solución sub-óptima.
Con frecuencia multitud de procesos críticos en
el mundo del control automático son de dinámica variable con el
tiempo e incluso desconocida, multivariables con interacciones
desconocidas entre sus entradas y salidas, no lineales, con
retardos variables con el tiempo y están sometidos a ruidos y
perturbaciones aleatorias. En este contexto cabe la pregunta:
¿Existe actualmente metodologías de procesamiento digital de
señales o filtrado que puedan garantizar de forma práctica y
sencilla el modelado robusto y estable en tiempo real de este tipo
de procesos sin presentar los problemas de perdida de capacidad de
aprendizaje de los métodos basados en la perspectiva de la
optimización, o los problemas de estabilidad y convergencia de los
métodos basados en el algoritmo del gradiente?. El objetivo del
Filtro Incremental Inteligente objeto de esta patente es responder
a esta pregunta, lo que se presenta como una línea de interés
estratégico en el mundo del control automático.
El Filtro Incremental Inteligente es una nueva
clase de Filtro IIR Adaptativo o método de procesamiento digital de
señales en tiempo real caracterizado porque:
- a)
- La estructura del modelo o filtro seleccionada para modelar o predecir en tiempo real la dinámica instantánea de cualquier sistema físico mono o multivariable utiliza valores incrementales de los vectores de control, salida y perturbaciones medibles con respecto a sus valores en un instante o varios instantes de filtrado o control anteriores, y tiene en cuenta los retardos puros o variables de las variables de entrada (vectores de control y de las perturbaciones medibles) al proceso respecto a sus variables de salida.
- b)
- Selecciona una trayectoria guía de referencia con ganancia estática unidad para guiar al proceso hasta cualquier valor constante de consigna u operación, que pude variar su velocidad de aproximación a dicho punto de consigna durante la operación de filtrado, pero que durante esta operación de filtrado se reinicializa constantemente con las salidas medidas del proceso.
Como se demostrará posteriormente el
cumplimiento conjunto de estas dos primeras características del
Filtro Incremental Inteligente asegurará que no sea necesario
conocer ninguna característica del proceso para garantizar que la
salida de éste tienda hacia el constante punto de consigna deseado,
es decir, para garantizar la estabilidad y la convergencia, y
también garantizará la cancelación de perturbaciones constantes que
darían lugar a potenciales desviaciones del punto de consigna, sin
hacer ninguna suposición sobre los errores de modelado lo que da
robustez a esta metodología de filtrado.
Todo esto justifica porque el Filtro Incremental
Inteligente objeto de esta patente selecciona esta estructura
incremental para modelar las interrelaciones entre las variables de
entrada y salida del proceso, y esta estructura variable para la
trayectoria guía de referencia.
- c)
- Definiendo:
- \bullet
- El Error de Estimación "a priori" [e(k/k-1)] como la diferencia entre el incremento de la salida del proceso y el incremento de la salida producida por el modelo incremental de este filtro sin ajustar por el mecanismo de aprendizaje cuando ambos reciben el mismo incremento de la señal de control calculada en un instante de filtrado o de control anterior con el fin de guiar al proceso según cualquier trayectoria guía de referencia limitada y físicamente realizable.
- \bullet
- Y el Error de estimación "a posteriori" [e(k/k)] como la diferencia entre el incremento de la salida del proceso y el incremento de la salida producida por el modelo incremental de este filtro ya ajustado por el mecanismo de aprendizaje cuando ambos reciben el mismo incremento de la señal de control calculada en un instante de filtrado o de control anterior con el fin de guiar al proceso según cualquier trayectoria guía de referencia limitada y físicamente realizable.
El nuevo mecanismo de aprendizaje no responde a
ningún algoritmo de identificación paramétrica basado en la
perspectiva de optimación o en el algoritmo del gradiente, sino a
un nuevo algoritmo de ajuste paramétrico basado en garantizar en
cada instante consecutivo de filtrado la reducción del error de
estimación "a posteriori" [e(k/k)],
independientemente de la invariabilidad o estacionariedad del
proceso, mediante la descomposición del vector error de estimación
"a priori" [e(k/k-1)] en
la combinación lineal de dos sumandos que verifiquen las siguientes
condiciones:
- 1.
- Uno de los sumandos producto de esta descomposición cumplirá en cada instante de filtrado o de control la condición de hacer nulo el error de estimación "a priori" [e(k/k-1)].
- 2.
- Y el otro sumando producto de esta descomposición en cada instante de filtrado o de control cumplirá la condición de ser igual al error de estimación "a priori" [e(k/k-1)] definido anteriormente.
Del cumplimiento de la primera condición se
deducirá el nuevo algoritmo de aprendizaje.
Para modelar el sistema o predecir su salida en
cada instante de filtrado o de control, se utilizará un modelo
lineal para representar las interrelaciones entre las variables de
entrada y salida del proceso, esta linealización estará
representada por el siguiente modelo en incrementos Autorregresivo
de Promedios Móviles (ARMA) o Filtro IIR en Incrementos:
donde:
En este modelo lineal instantáneo seleccionado
para el proceso:
- \bullet
- \Delta\hat{y}(k +1/k) representa la estimación del incremento de la variable de salida del proceso (el circunflejo sobre \Deltay(k+1/k) es el distintivo de "estimada") en el instante de filtrado o de control k+1, con los datos obtenidos hasta el instante de control anterior k, y se obtiene a partir del valor en k de los parámetros de adaptación del modelo del proceso, a_{i}(k), b_{i}(k) y c_{i}(k), y de los valores medidos de los incrementos de la salida del proceso \Deltay(k+1-i) y de las perturbaciones medibles que actúan sobre dicha salida \Deltaw(k+1-i-Rw) y de los calculados de la señal de control \Deltau(k+1-i- Ru), en los sucesivos instantes de tiempo (k+1-i).
- Todos los parámetros anteriores pueden ser escalares (Procesos Monovariables, SISO: Single Input-Single Output o MISO: Múltiple Inputs-Single Output) o vectores (Procesos Multivariables o MIMO: Multiple Inputs-Multiple Outputs). Identificando estos modelos de la forma Y x Z, donde Y es el número de entradas (variables de control y/o perturbaciones medibles) y Z es el número de salidas del proceso.
- \bullet
- k representa el número de períodos de filtrado o de control, es decir, si T es el período de filtrado o de control, que suele elegirse constante para facilitar la programación de este algoritmo, aunque no es indispensable, cuando nos referimos al instante k, nos estamos refiriendo al instante de tiempo kT, y cuando nos referimos a los instantes (k+1-i) nos estamos refiriendo a los instantes de tiempo (k+1-i)T.
- \bullet
- Se llama retardo puro (RP) de una variable de entrada respecto a la variable de salida del proceso, al número de períodos de filtrado o de control transcurridos desde que se produce un cambio en dicha variable de entrada hasta que comienza la correspondiente respuesta de la variable de salida del proceso. Entonces, si las variables de control y de perturbación medible tienen retardos puros variables conocidos, Ru y Rw serán respectivamente, como se explicará más adelante, sus mínimos retardos puros.
- \bullet
- Y \Delta(k) representa el efecto de las perturbaciones no medibles en la salida del proceso en el instante k.
Este modelo matemático lineal en diferencias
o incrementos describirá la dinámica instantánea del
proceso.
El horizonte de predicción [k,
k+\lambda] no representa durante el cálculo de la propagación
del modelo incremental del proceso un tiempo real, sino un
escenario ficticio utilizado solamente para evaluar la evolución
futura del proceso.
Obteniéndose fácilmente el siguiente algoritmo
recursivo para calcular el incremento de la salida predicha del
proceso en el instante k+\lambda:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
En estas ecuaciones:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
son los incrementos futuros de
estas variables de entrada al proceso y en consecuencia
desconocidos.
Por lo que imponiendo la condición de que los
incrementos de la acción de control y de las perturbaciones
medibles se mantengan constantes durante el horizonte de predicción
\lambda:
\vskip1.000000\baselineskip
\newpage
para calcular el incremento de la
salida predicha del proceso en cada instante k+j como
función de los incrementos de las variables de entrada y salida del
proceso hasta el instante k, se deduce
que:
Teniendo en cuenta que:
se deduce
que:
donde:
La trayectoria guía de referencia guiará al
proceso hasta su punto óptimo de operación y podría ser, en un
principio, cualquiera, pero para garantizar la estabilidad y la
convergencia en el aprendizaje de este filtro, como se demostrará
más adelante, deberá ser limitada y físicamente realizable, con
ganancia estática unidad, siendo la entrada de su función de
transferencia cualquier punto de consigna constante que se desee
que alcance el proceso, y durante la operación de filtrado tiene
que reinicializarse constantemente con las salidas medidas del
proceso.
Esta metodología de filtrado tomará, por su
simplicidad, como dinámica de la trayectoria guía de
referencia:
donde:
- \bullet
- y_{r}(k + \lambda/k) representa la salida del proceso deseada al final del horizonte de predicción (\lambda), con los datos obtenidos hasta el instante k.
- \bullet
- y(k) representa la salida medida del proceso en el instante k.
- \bullet
- y_{sp} (k + \lambda) representa el punto de operación constante que se desea que alcance el proceso durante el mantenimiento del horizonte de predicción (\lambda).
- \bullet
- 0 < \eta < 1 representa la velocidad de cambio de aproximación a la consigna instantánea:
- -
- Si \eta = 0 \Rightarrow y_{r} (k + \lambda/k) = y_{sp} (k + \lambda), es decir, el punto de consigna deseado al final del horizonte de predicción se alcanza en un único instante de filtrado o control.
- -
- Si \eta = 1 \Rightarrow y_{r} (k + \lambda/k) = y(k), es decir, el punto de consigna deseado al final del horizonte de predicción se alcanzaría en infinitos instantes de control.
Por tanto, cuanto más pequeño sea el valor de
\eta mayor será la velocidad de cambio de aproximación al punto
de consigna instantáneo deseado.
Si además, se específica un Incremento Máximo de
la Trayectoria Guía de Referencia entre dos Instantes Consecutivos
de Control (IMT_{máx} =
\Deltay_{r-máx}), entonces para un
determinado valor del horizonte de predicción (\lambda) si el
incremento de la trayectoria guía de referencia entre dos instantes
consecutivos de control a lo largo del anterior horizonte de
predicción es superior al valor seleccionado para esta variable,
dicho incremento será limitado al valor de dicha variable. De esta
forma se garantiza que la evolución de la variable de salida del
proceso, en cada transición en su aproximación hacia la consigna,
no sobrepase éste valor, deduciéndose que:
si:
En general, si a lo largo del horizonte de
predicción se detecta que el incremento de la señal de salida del
proceso entre dos instantes consecutivos de control es superior a
IMT_{máx}, se recomienda, si es posible, que en vez de
utilizar la expresión anteriormente deducida se aumente el valor de
la Velocidad de Cambio de Aproximación, con el fin de disminuir el
incremento de la señal de salida del proceso entre dos instantes
consecutivos de control, siempre que no sea critico el tiempo
requerido para que el proceso alcance el punto de consigna, ya que
la anterior acción aumentará este tiempo.
En consecuencia la ecuación de la trayectoria
guía seleccionada:
- \bullet
- Reinicializa permanente la salida deseada para el aprendizaje a partir de la evolución del proceso.
- \bullet
- Permite modificar en cada instante la consigna haciendo seguir al proceso trayectorias que optimicen alguna o todas las variables que influyen en su rendimiento.
- \bullet
- Permite modificar en cada instante la velocidad de cambio de aproximación a la consigna instantánea controlando el esfuerzo de las acciones de control.
Pasando al plano Z, la dinámica del proceso y
las anteriores ecuaciones de la salida predicha, suponiendo nulas,
sin perdida de generalidad, las perturbaciones medibles, y de la
trayectoria guía de referencia en el instante de filtrado o de
control k+\lambda, se obtiene que:
- \bullet
- Suponiendo que la dinámica del proceso se describe por la siguiente ecuación temporal y función de transferencia discreta en el Plano Z, con una perturbación desconocida p(z) que se sumará a la acción de control:
- donde:
- \bullet
- Ecuación de la salida predicha en el instante de control k+\lambda:
- donde:
\vskip1.000000\baselineskip
\newpage
- Pasando al plano Z esta última ecuaciones, teniendo en cuenta que:
- se obtiene:
- donde:
- Despejando de esta ecuación u(z), se obtiene:
- y sustituyendo este valor en la ecuación de la función de transferencia del proceso:
- se obtiene:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
- donde \Psi*_{\lambda} (z^{-1}) es el polinomio característico:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
- \bullet
- Ecuación de la salida deseada de referencia en el instante de control k+\lambda:
\vskip1.000000\baselineskip
- donde:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
- Sustituyendo y_{r}(z) = H_{\lambda}(z^{-1})y(z) + F_{\lambda}(z^{-1})y_{sp}(z) en las últimas ecuaciones por y_{p}(z), se obtiene:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
- donde \Psi_{\lambda}(z^{-1}) es el polinomio característico:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
- La estabilidad de la función de transferencia y(z)/y_{sp}(z), suponiendo nula la perturbación p(z), significa que, dada una secuencia limitada de puntos de consigna, las salidas del proceso también serán limitadas. Y la estabilidad de la función de transferencia u(z)/y_{sp}(z), suponiendo también nula la perturbación p(z), implica que la acción de control generada para obtener una limitada secuencia de puntos de consigna es también limitada. En ambos casos la condición de estabilidad es que el polinomio \Psi_{\lambda}(z^{-1}) tenga sus raíces dentro del circulo de radio unidad z = 1.
- Una similar consideración puede hacerse para las funciones de transferencia y(z)/y_{p}(z) e u(z)/y_{p}(z). El polinomio característico que determina la estabilidad en este caso es \Psi*_{\lambda}(z^{-1}). Comparando las ecuaciones de estos dos polinomios característicos:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
- puede observarse que su diferencia esta en el término H_{\lambda}(z^{-1}), que es seleccionado para definir la trayectoria guía de referencia.
Para examinar el efecto que tiene el hacer el
horizonte de predicción mayor que uno sobre la estabilidad,
convergencia y robustez, se hará que \lambda tienda a
infinito.
Haciendo tender \lambda a infinito, teniendo
en cuenta el teorema del valor final, se tiene que:
Como:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
lo que verifica que la trayectoria
de referencia tiene ganancia estática igual a 1, es decir
que:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
en consecuencia se tendrá
que:
aquí se verifica que los requisitos
que han de imponerse a la trayectoria guía de referencia es que
debe reinicializarse constantemente con las salidas medidas del
proceso y tener ganancia estática
unidad.
Este análisis determina que no es necesario
conocer ninguna característica del proceso para garantizar que la
salida de éste tienda hacia el constante punto de consigna y que se
cancelan las perturbaciones constantes que darían lugar a
potenciales desviaciones del punto de consigna si se utiliza una
formulación incremental del modelo del proceso y una trayectoria
guía de referencia que se reinicialice constantemente con las
salidas medidas del proceso y tenga ganancia estática unidad.
También es importante señalar la robustez de
este resultado, ya que no se ha hecho ninguna suposición sobre las
condiciones iniciales y sobre los errores de modelado.
Este resultado, por tanto, elimina de forma
práctica y sencilla el problema de convergencia de los métodos
basados en la estimación paramétrica del gradiente.
Ahora haciendo de nuevo tender \lambda a
infinito, teniendo en cuenta el teorema del valor final, se tiene
que:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
como:
La Ganancia Estática del Proceso se define
como:
en
consecuencia:
De aquí se deduce que las raíces de estos dos
polinomios característicos tienden hacia las raíces del polinomio
característico de la función de transferencia del proceso
A(z^{-1}), que es el denominador de dicha función de
transferencia, y como por definición éste es estable sus raíces
estarán dentro del circulo de radio unidad z = 1.
Además, se dice que un proceso tiene Inversa
Inestable:
cuando el polinomio
B(z^{-1}) tiene sus raíces fuera del circulo de
radio unidad z = 1, lo que significa que la señal de control
aplicada al proceso para que éste siga una trayectoria de
referencia alejada de su
\hbox{propia dinámica tenderá a
infinito.}
Por lo tanto, de acuerdo con el anterior
resultado, existirá un \lambda_{0} a partir del cual (\lambda
\geq \lambda_{0}) las raíces de los dos polinomios
característicos:
estarán dentro del circulo de radio
unidad z = 1, y en consecuencia las funciones de
transferencia:
serán estables, es decir, que a
partir de ser \lambda \geq \lambda_{0} cualquiera que sea el
deseado punto del consigna y la perturbación, siempre que ésta sea
limitada, la salida del proceso y(z) y la señal de
control u(z) para seguir a dicho punto de consigna
serán limitadas independientemente de si proceso tiene o no
"Inversa Inestable", es decir, si las raíces del
polinomio B(z^{-1}) de la función de transferencia
del proceso tiene sus raíces fuera del circulo
unidad.
Este resultado, por tanto, también elimina de
forma práctica y sencilla el problema de estabilidad tanto directa
como inversa de los métodos basados en la estimación paramétrica
del gradiente.
Estas características de la formulación
incremental del modelo del proceso y de la trayectoria guía de
referencia son las que justifican la elección de dicho modelo y
dicha trayectoria para la aplicación de esta nueva metodología de
filtrado adaptativo.
En este apartado se deduce el algoritmo de
aprendizaje o de adaptación, que es la clave del éxito y la
verdadera innovación del Filtro Incremental Inteligente objeto de
esta patente.
Según el análisis efectuado hasta el momento, se
pueden extraer dos características esenciales asociadas con la
aplicación de esta tecnología de filtrado. Una es que en cada
instante consecutivo de filtrado o control el incremento de la
salida del proceso siga los sucesivos incrementos de la salida
predicha por el modelo incremental del filtro producidos por el
incremento de la señal de control calculada, en un instante de
filtrado o control anterior, para que el incremento de la
trayectoria guía de referencia y el incremento de la salida
predicha por el modelo incremental del filtro coincidan al final
del horizonte de predicción, dando lugar a la "Trayectoria del
Proceso", para alcanzar el punto de consigna, y la otra es
que la trayectoria guía de referencia, además de verificar las
condiciones anteriormente expuestas, deberá ser limitada y
físicamente realizable, lo que significa que el incremento de la
señal de control aplicada al proceso para que éste siga dicha
trayectoria tiene que ser también limitada.
En la práctica, si se dispone a priori de
un "buen" modelo que describa la relación dinámica entre los
incrementos de las entradas y salidas del proceso, y dicha relación
dinámica no variará en el tiempo, éste modelo podría utilizarse
para hacer seguir a la variable de salida del proceso la salida
deseada para la misma, mediante el sencillo calculo de los
incrementos de la variable de control, es decir, se podría
fácilmente controlar el proceso.
Sin embargo, en la mayoría de los casos es
difícil obtener a priori información precisa sobre el
proceso. No obstante, incluso si dicha información estuviera
disponible, el proceso podría variar frecuentemente su dinámica y
en consecuencia su evolución temporal.
Por tanto, el propósito de agregar un mecanismo
de aprendizaje es el de identificar dichos cambios, en estos
procesos variables con el tiempo, con el fin de alcanzar resultados
satisfactorios en el guiado de la variable de salida del proceso,
los cuales serían obtenidos si la dinámica instantánea del proceso
fuese conocida.
En consecuencia los objetivos que se puede
esperar obtener del Filtrado Incremental Inteligente pueden
resumirse en los dos puntos siguientes:
- 1.
- Después de un cierto tiempo de aprendizaje, el incremento de la salida del proceso seguirá al incremento de la salida predicha por el modelo incremental del filtro, producido por el incremento de la señal de control calculada, en un instante de filtrado o control anterior, para que el incremento de la trayectoria guía de referencia y el incremento de la salida predicha por el modelo incremental del filtro coincidan al final del horizonte de predicción, con un error de seguimiento que será siempre limitado, irá disminuyendo y será cero o estará acotado en el límite.
- 2.
- La trayectoria guía de referencia debe ser limitada y físicamente realizable, lo que significa, como se indicó anteriormente, que la acción de control aplicada al proceso para que éste siga dicha trayectoria además de tener que ser también limitada debe de ser capaz de cumplir el primer objetivo de esta tecnología de filtrado.
- De hecho, el límite de la acción de control considerada en este segundo objetivo en las aplicaciones prácticas es físicamente impuesta por los límites del actuador. Por otra parte, el límite de la trayectoria guía de referencia esta asociada con el limitado rango de variación de los sensores que permiten la medida de las variables del proceso.
Ahora se traducirán los anteriores intuitivos
objetivos de filtrado a su formulación matemática.
El primer aspecto a considerar concierne al
mecanismo de aprendizaje que ajusta los parámetros del modelo
incremental del proceso, con el propósito de hacer que en cada
instante el incremento de la salida producida por este modelo esté
lo más cerca posible del incremento de la salida del proceso cuando
ambos reciben el mismo incremento de la señal de control. Por lo
que parece lógico caracterizar la actuación del mecanismo de
aprendizaje por la diferencia entre los incrementos de las salidas
del proceso y del modelo incremental del proceso.
Esta diferencia es representada por el error de
estimación "a posteriori" e(k/k)
definido como:
donde el subíndice m significa
variable
medida.
Una buena solución para diseñar el mecanismo de
aprendizaje es, como ya se ha visto que el error
e(k/k) \rightarrow 0 cuando k
\rightarrow \infty desde cualesquiera condiciones
iniciales.
Sin embargo, este resultado sólo cumple el
primer objetivo deseado para la actuación del mecanismo de
aprendizaje. De hecho, el segundo objetivo conduce a establecer la
condición de que las entradas y salidas del proceso estén
limitadas. Así si el modelo del proceso en su formulación
incremental:
se expresa en forma
matricial:
donde:
el cumplimiento del segundo
objetivo es equivalente a decir que \Delta\phi (k) este
limitado.
Como según el primer objetivo una buena solución
para diseñar el mecanismo de aprendizaje sería que el error "a
posteriori" e(k/k) \rightarrow 0
cuando k \rightarrow \infty desde cualesquiera
condiciones iniciales, donde:
lo que equivale a que las salidas
del modelo se irán aproximando a las del proceso real, y como los
incrementos de la trayectoria guía de referencia tenderán también a
cero a medida que el proceso se aproxima al constante punto de
consigna, es decir,
como:
se deduce que los incrementos de
las entradas y salidas del proceso deben tender también a cero a
medida que nos aproximamos al constante punto de consigna, es
decir:
lo que se traduce en
que:
Si 501 entonces se verificará el
criterio de actuación:
ya que desde que la suma de los
cuadrados del error s(k_{t}) es una secuencia no
decreciente que puede empezar a crecer desde el instante en que
empieza a operar el mecanismo de aprendizaje, esta secuencia estará
limitada ya que sus incrementos tienden a cero, es decir, ya que
502 .
Este criterio de actuación se utilizará para
demostrar que el algoritmo de aprendizaje, en el caso ideal en el
que no existen ruidos ni perturbaciones aleatorias que actúen sobre
el proceso, asegura que el 503 .
Es importante observar que este error puede
tender a cero, e incluso llegar a ser cero, sin que la función
s(k_{t}) haya alcanzado su limite superior, e
incluso estando significativamente alejado de él. Es decir, la
función s(k_{t}) es no decreciente, pero al menos en
intervalos puede ser no creciente al ser nulo el error de
predicción.
Si el proceso es descrito por la ecuación:
se tendrá
que:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
donde:
- \bullet
- [\theta – \theta(k)]^{T} es el Vector de Error de Identificación Paramétrica en el instante de filtrado o de control k.
- \bullet
- \Delta\phi(k - 1) es el Vector de Incrementos de las Entradas y Salidas en el instante de filtrado o control k-1.
La ortogonalidad entre [\theta –
\theta(k)]^{T} y \Delta\phi(k - 1) implica
que:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
esto significa que el sistema a
alcanzado un punto de equilibrio local, el punto de equilibrio
absoluto será alcanzado cuando \theta(k) =\theta
cumpliéndose la condición de que el criterio de
actuación:
haya alcanzado su valor
máximo.
Cuando [\theta – \theta(k)]^{T} y
\Delta\phi(k - 1) son ortogonales, es decir, cuando se
alcanza la condición de ortogonalidad, significa que
\theta(k) no tenderá hacia \theta cuando k
\rightarrow \infty. Esta es la razón porque, desde el punto de
vista de la identificación, esta condición de ortogonalidad ha sido
considerada indeseable. Pero es importante subrayar que en la
metodología de filtrado objeto de esta patente la condición de
ortogonalidad hace posible el control del proceso de la forma
deseada sin una completa identificación de sus parámetros. En
consecuencia, más que identificar el proceso, lo importante es
predecir bien.
Si el modelo incremental del proceso es descrito
por la ecuación:
en el instante de filtrado o de
control k, después de aplicar al proceso el incremento de la
señal de control \Deltau(k - 1) que hace que el
incremento de la salida predicha del modelo incremental del proceso
sea igual al incremento de la salida deseada en ese instante, y
después de medir el incremento de la salida del proceso
\Deltay_{m}(k) y de calcular el error "a
priori" e(k/k - 1) =
\Deltay_{m}(k) -
\Delta\hat{\mathit{y}}(k/k - 1), los únicos datos de que
se disponen
son:
Si se consideran, en un principio, nulas las
perturbaciones no medibles y los ruidos, es decir, si se consideran
únicamente errores de modelado, y se puede determinar un vector
\theta_{p}(k) que cumpla la condición de
ortogonalidad:
entonces cualquier vector
\theta(k) perteneciente al
hiperplano:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
cumplirá también la condición de
ortogonalidad, por lo que el vector de parámetros, que multiplican
al vector de incrementos de entradas y salidas
\Delta\phi(k - 1), del modelo real del proceso será un
vector de dicho hiperplano, en el supuesto que el modelo real del
proceso sea del mismo orden que su modelo
incremental.
Tomando un modelo incremental de primer orden
para deducir el algoritmo de aprendizaje, extendiendo
posteriormente, sin perdida de generalidad, los resultados a
sistemas de cualquier orden, se tendrá que:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
de
donde:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
donde \alpha_{a}(k) y
\alpha_{b}(k) pueden tener, en un principio, cualquier
valor distinto de
cero.
\global\parskip0.900000\baselineskip
Ahora, el vector \Psi(k) se
descompondrá en la combinación lineal de un vector paralelo a
\Gamma(k)[\Phi(k)] más otro P(k)
perpendicular también a \Gamma(k), por lo que este último
vector será el vector buscado por cumplir la condición de
ortogonalidad, es decir:
donde:
en consecuencia, si se encuentran
estos dos vectores se cumplirán las condiciones impuestas para la
descomposición del error de estimación "a priori"
e(k/k -
1).
Por tanto, si:
y
si:
entonces:
\newpage
\global\parskip1.000000\baselineskip
es decir, \Omega^{T} (k)
= [\Deltay(k) a(k) b(k)]
es el vector que se busca, por cumplir la condición de
ortogonalidad, es decir, la primera condición impuesta a la
descomposición del error de estimación "a priori"
e(k/k - 1) ya
que:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Por tanto, se tendrá que:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
como \Gamma(k) es
perpendicular a P(k) \Rightarrow \Gamma^{T}
(k)P(k) = 0, se
deduce:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
en consecuencia,
si:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
En consecuencia:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
cumpliéndose la segunda condición
impuesta para la descomposición de e(k/k -
1).
Ahora, se tendrá que:
\vskip1.000000\baselineskip
\newpage
Si:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
donde:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
entonces:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Por tanto:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Como:
\vskip1.000000\baselineskip
En consecuencia:
De aquí, también se deduce que:
En consecuencia:
Generalizando, se tendrá que:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Estas son las expresiones del Algoritmo de
Aprendizaje del Filtro Incremental Inteligente, donde G(k)
se denominará Ganancia de Adaptación.
De estas ecuaciones se deduce que si se
selecciona B(k) =0 no se produce la actualización de
los parámetros de adaptación \theta(k) en ese instante de
filtrado o de control k \Rightarrow B(k)
\neq 0.
Además para el Vector de Error de Identificación
\theta - \theta(k)se tendrá que:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Imponiendo la condición de que [\theta -
\theta(k)] < [\theta - \theta(k -1)] se
tendrá que:
- [I + B(k)\Delta\phi(k - 1)\Delta\phi^{T} (k - 1)] > 1 \Rightarrow Su determinante tiene que ser mayor que 1:
\vskip1.000000\baselineskip
En consecuencia con este nuevo algoritmo de
aprendizaje siempre se cumplirá que [\theta - \theta(k)]
\leq [\theta - \theta(k - 1)] ya que B(k)
\geq 0.
Como se ha mencionado anteriormente, si
505 se verificará el criterio de actuación:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
ya que desde que la suma de los
cuadrados del error s(k_{t}) es una secuencia no
decreciente que puede empezar a crecer desde el instante en que
empieza a operar el mecanismo de aprendizaje, esta secuencia estará
limitada ya que sus incrementos tienden a cero, es decir, ya que
506 . Este criterio de actuación se utilizará para
demostrar que el algoritmo adaptativo de filtrado garantiza que
507 .
Es importante observar que este error puede
tender a cero, e incluso llegar a ser cero, sin que la función
s(k_{t}) haya alcanzado su limite superior, e
incluso estando significativamente alejado de él. Es decir, la
función s(k_{t}) es no decreciente, pero al menos en
intervalos puede ser no creciente al ser nulo el error de
predicción. Esta circunstancia implicaría, en el caso de que el
vector de incrementos de entradas/salidas sea acotado, que el
incremento de la salida del proceso fuera, por lo tanto, igual al
incremento de la salida deseada.
En consecuencia, se ha deducido que alcanzar el
objetivo de filtrado deseado no requiere necesariamente que los
parámetros de adaptación del modelo incremental coincidan con los
parámetros del proceso. Es decir, que para controlar adecuadamente,
no es necesario que el error de identificación paramétrica sea
nulo, y por tanto, también no es necesario que el orden del modelo
incremental del filtro y del proceso coincidan.
Ahora se va a demostrar que como:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
se cumple la anterior premisa ya
que:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
si el proceso es descrito por la
ecuación:
\vskip1.000000\baselineskip
\newpage
se tendrá
que:
Si:
Este resultado prueba que el límite
\delta^{2} = \delta^{2} [B(k)] depende del
tamaño del error de los parámetros de identificación en el instante
inicial y de la matriz B(k).
Si:
intuitivamente se puede asociar la
distancia de s(k_{t}) al límite \delta^{2} con
la mitad del cuadrado de la norma euclídea del error de los
parámetros de identificación, como esta distancia decrece, puede
deducirse que el cuadrado de la norma del error de los parámetros
de identificación también disminuirá, y como esta norma es siempre
positiva, sus incrementos tienen que tender a cero, lo que implica
que los incrementos de los parámetros del modelo incremental del
filtro tiendan también a cero, o lo que es lo mismo
que:
Lo cual también se podía haber deducido de la
relación:
ya que
si:
Por tanto, dando una adecuada secuencia de
incrementos de señales de control se tendrá que el incremento de la
salida predicha seguirá al incremento de la trayectoria guía de
referencia:
De las ecuaciones:
se deduce que cuanto más grande sea
B(k) menor será el valor de \delta^{2}
[B(k)] y de \delta^{2}(k), por lo que se
reducirá el número de actualizaciones de los parámetros de
adaptación, es decir, el mecanismo de aprendizaje perderá su
capacidad de adaptación, lo que es equivalente a decir que
si:
Como:
si:
y según de las anteriores
deducciones, se tendrá
que:
si:
en consecuencia al ser
\alpha(k) \geq 0, la función \alpha(k) =
f [B(k)] tendrá un máximo \alpha_{máx}
(k) = f [B_{máx} (k)] y este valor
B_{máx} (k) podría utilizarse en cada instante de
filtrado o de control para calcular la Ganancia de Adaptación
G(k) ya que en este caso la magnitud de las adaptaciones
serían máximas con el fin de lograr una convergencia de los
parámetros del modelo incremental lo más rápida
posible.
Ahora, parece necesario introducir una
valoración para determinar si la información de entradas y salidas
del proceso que recibe el Mecanismo de Aprendizaje en cada instante
de control es "buena" para la adaptación o, por el contrario,
puede ser "perjudicial".
En el caso ideal obviamente toda la información
recibida es buena. Para este caso, la ganancia variable
G(k) nunca tiende a cero, es decir, el mecanismo de
adaptación nunca pierde su capacidad de adaptación y los
incrementos de los parámetros del modelo incremental tenderán a cero
únicamente en el caso que el error de estimación tienda a cero. De
esta forma, si cambiaran los parámetros del proceso, el mecanismo
de aprendizaje volvería a utilizar su capacidad de adaptación para
obtener la convergencia en términos de error de estimación e
incremento paramétrico.
Una característica importante a observar en el
Mecanismo de Aprendizaje es que se ejecuta continuamente en cada
instante k, es decir, ajusta los parámetros de adaptación en
cada instante k. En el caso ideal, el único origen del error
de estimación es el error de estimación paramétrica. Por ello es
lógico adaptar los parámetros de forma continua para lograr una
convergencia lo más rápida posible.
La situación es diferente en presencia de ruidos
y perturbaciones aleatorios, dado que ellos también contribuyen al
error de estimación. El problema nace justamente del hecho de que
su contribución es impredecible, dado que los ruidos y
perturbaciones aquí considerados no son medibles.
Si se tuviera un cierto conocimiento de la
magnitud del ruido y perturbaciones que puedan afectar de forma
impredecible a la salida del proceso, se tendría que:
- \bullet
- Si el error de estimación "a priori" fuera del mismo orden, o inferior, que el máximo nivel que puede alcanzar la señal de perturbación, es posible que dicho error fuese debido más a la señal de perturbación que al error de identificación paramétrica. En este caso, la adaptación debería pararse.
- \bullet
- Si el error de estimación "a priori" fuese mayor que dicho nivel máximo, podría asegurarse que dicho error de estimación es debido principalmente al error de identificación paramétrica y, en consecuencia, la adaptación debería ejecutarse.
De acuerdo con toda esta exposición parece
razonable establecer un criterio de parada o de ejecución de la
adaptación. El Filtrado Incremental Inteligente realizará esta
valoración, ya que a priori es imposible tener un
conocimiento aproximado del máximo nivel de ruidos y perturbaciones
aleatorias que actuarán sobre el proceso a controlar, de tal forma
que, cuando se ejecute la adaptación, se garantice la mejora de un
índice de rendimiento preestablecido.
Este índice de rendimiento podría ser, en un
principio, la Reducción del Valor Absoluto del Error de
Identificación Paramétrica en cada ejecución del Mecanismo de
Aprendizaje. Por tanto, la ganancia variable G(k)
nunca tendería hacia cero y, en consecuencia, el mecanismo
adaptativo de filtrado nunca perdería su capacidad de adaptación.
Pero esta condición:
como ya se ha demostrado se
verifica siempre que el proceso (\theta) no varíe entre dos
instantes consecutivos de ejecución del algoritmo de aprendizaje
debido a la estructura de éste, y en ausencia de ruidos y
perturbaciones aleatorias, en consecuencia, este índice de
rendimiento no servirá como criterio para parar o activar la
adaptación, ya que no se sabría si su incumplimiento es debido a
una variación temporal del proceso, no teniéndose que parar en este
caso la adaptación, o a ruidos y perturbaciones
aleatorias.
En el Filtrado Incremental Inteligente como la
Ganancia Variable de Adaptación obedece a la expresión:
donde:
para garantizar que
G(k) \rightarrow 0 únicamente cuando el error de
estimación "a posteriori" tienda a cero
(e(k/k) \rightarrow 0), entonces e(k/k
- 1) deberá ser un cero del mismo o mayor orden que
\Delta\phi(k - 1), es decir, e(k/k - 1)
deberá tender a cero igual o más rápidamente que \Delta\phi(k
-1).
En consecuencia, el Filtrado Incremental
Inteligente tomará como índice de rendimiento para parar la
adaptación que se verifique la condición que:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
de esta forma, se detectarán los
ruidos y las perturbaciones que harían que G(k)
\rightarrow 0 por la tendencia a cero del vector de incrementos de
entradas y salidas del proceso más que por la tendencia a cero de
los errores de estimación de identificación
paramétrica.
En estos casos, se mantendrá el valor de los
parámetros de adaptación hasta el siguiente instante de control o
se reinicializarán a sus valores iniciales.
De esta forma, también se elimina el problema de
la perdida de capacidad de aprendizaje de los métodos basados en la
perspectiva de la optimización.
Se llama retardo puro (RP) de una
variable de entrada respecto a la variable de salida del proceso,
al número de períodos de filtrado o control transcurridos desde que
se produce un cambio en la variable de entrada hasta que comienza
la correspondiente respuesta de la variable de salida del
proceso.
Si RP es nulo o pequeño comparado con el
período de filtrado o de control, el efecto de la variable de
entrada del instante k sobre la salida del proceso se
detectará en el siguiente período de control k + 1. Sin
embargo, si RP tiene un valor determinado de períodos de
control, el efecto de la variable de entrada del instante k sobre
la salida del proceso no se detectará hasta el instante k +
RP + 1, es decir, para que el efecto de un cambio en la señal
de entrada se detectará en la salida del proceso en el instante
k + 1 habría que producir dicho cambio en el instante
k-RP.
El mecanismo de aprendizaje del filtro será
capaz de determinar automáticamente la magnitud en períodos de
control de los retardos puros de un determinado proceso, siendo
el número de parámetros de adaptación b_{i}(k)
iguales a cero igual al número de períodos de control del retardo
puro de la variable de control, y el número de parámetros de
adaptación c_{i}(k) iguales a cero igual al número
de períodos de control del retardo puro de la perturbación
medible.
medible.
Si los tiempos de retardo puro, medidos en
períodos de control, de las entradas al proceso no varían con el
tiempo, la elección del período de control será igual o mayor que
el mayor de esos retardos puros y el número de parámetros para las
diferentes señales de entrada/salida del modelo del proceso, en la
mayor parte de los casos será igual a 2, es decir, el modelo del
proceso será de 2° orden.
Sin embargo, si el tiempo de retardo puro para
las señales de entrada al proceso varia a lo largo de la operación
del Filtro Incremental Inteligente, se elegirá un número de
parámetros para estas señales que permita al mecanismo de
aprendizaje de los correspondientes parámetros b_{i} y
c_{i} seguir de forma adecuada las variaciones de dicho
tiempo de retardo.
Por lo tanto, si se quieren retener Z parámetros
b_{i} en el modelo del proceso distintos de cero, es
aconsejable elegir el período de control (T), el número de
estos parámetros (NB) y el valor del retardo puro (RP)
de la siguiente forma:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
donde RP_{\text{mín}} y
RP_{máx} son los límites mínimo y máximo, respectivamente,
del posible rango de variación del retardo puro medido en períodos
de
control.
En el modelo del proceso, el número de retardos
puros de \Deltau que efectivamente existen quedará
definido por la ecuación:
\vskip1.000000\baselineskip
En consecuencia, aún en el caso más desfavorable
en el que el número de retardos puros fuera igual a
RP_{máx}, todavía quedarían Z parámetros b_{i}
para identificar la dinámica del proceso:
Una consideración análoga es válida para la
elección del número de parámetros y de retardos puros relacionados
con otras señales de entrada.
Con el fin de independizar la elección del
período de control de los retardos puros de las variables de
entrada al proceso, el modelo del proceso para la aplicación del
filtro será de la siguiente forma:
donde Ru y Rw son los
límites mínimos, respectivamente, del posible rango de variación
del retardo puro de la señal de control y de la perturbación
medible medido en períodos de
control.
Por tanto, para un horizonte de predicción
\lambda, suponiendo nulas las perturbaciones medibles, el
incremento de la salida predicha del proceso tendrá la
expresión:
Es importante señalar que la elección del número
de parámetros b_{i}(k) (NB) debe siempre
garantizar la existencia de algún b_{i} (k) \neq
0, con el fin de poder calcular el incremento de la señal de
control.
La Figura representa el Diagrama de Bloques del
Filtro Incremental Inteligente aplicado al Control de Sistemas.
Como se ha demostrado hasta ahora el Filtro
Incremental Inteligente puede ser utilizado para el modelado
robusto y estable en tiempo real de cualquier tipo de procesos
incluidos los procesos con dinámica variable con el tiempo e
incluso desconocida, multivariables con interacciones desconocidas
entre sus entradas y salidas, no lineales, con retardos variables
con el tiempo y estando sometidos a ruidos y perturbaciones
aleatorias sin presentar los problemas de perdida de capacidad de
aprendizaje de los métodos basados en la perspectiva de la
optimización, o los problemas de estabilidad y convergencia de los
métodos basados en el algoritmo del gradiente.
Para explicar el modo de realización del Filtro
Incremental Inteligente en el campo del control automático se
explicará su aplicación en el control de un sistema SISO (Single
Input/Single Out) genérico.
Debido a la imposibilidad de tener un
conocimiento preciso "a priori" de los retardos
variables de las entradas del proceso y del horizonte de predicción
mínimo que garantice una evolución estable del proceso, la
estrategia del Filtro Incremental Inteligente por defecto, será:
Los parámetros de operación que se deben
seleccionar para cada proceso a filtrar son:
- \bullet
- El Período de Muestreo [P_{M} (sg)], que es el intervalo de tiempo entre sucesivas tomas de valores de la variable de salida del proceso y de la perturbación medible, cuando esta exista, es decir, este período determina la frecuencia con que el filtro recibirá información procesada de los sensores.
- \bullet
- El Período de Control [P_{C} (sg)], el Período de Control determina la frecuencia con que el filtro realizará las acciones de filtrado, por lo que el Período de Control también puede definirse como el número de períodos de muestreo entre dos acciones consecutivas de control.
- \bullet
- El Punto de Consigna (SP).
\newpage
- \bullet
- El tiempo en que se requiere, sólo en el caso que se requiera, que el proceso alcance el punto de consigna (t_{sp}).
- \bullet
- Y los límites de la señal de control establecidos por las restricciones del actuador, es decir, el máximo valor de la señal de control (u_{máx}) y el mínimo valor de la señal de control (u_{\text{mín}}) que produzca una variación en la salida del proceso.
Para conducir la salida del proceso hacia el
punto de consigna se tomará como trayectoria guía de
referencia:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
Los datos de entrada de la Trayectoria Guía
de Referencia serán:
\bullet Iniciales:
- \ding{226}
- El Incremento Máximo de la Trayectoria Guía de Referencia entre dos Instantes Consecutivos de Control (IMT_{máx} = \Deltay_{r - máx}).
- \ding{226}
- Velocidad de Cambio de Aproximación al constante Punto de Consigna al final del Horizonte de Predicción (\eta), que dependerá del tiempo en que se requiera que el proceso alcance el punto de consigna y del Incremento Máximo de la Trayectoria Guía de Referencia entre dos instantes consecutivos de control.
- \ding{226}
- Horizonte de Predicción (HP: En Períodos de Control):
- El criterio recomendado para seleccionar el valor del Horizonte de Predicción, será elegir para este valor algo más de la mitad de los períodos de control requeridos para que el proceso alcance el punto de consigna.
\bullet Recursivos:
- \ding{226}
- La última salida medida del proceso y_{m}(k).
Los datos de salida de la Trayectoria Guía de
Referencia será el incremento de la salida deseada al finalizar
el horizonte de predicción:
Este bloque será el encargado de calcular el
incremento de la señal de control de forma que el incremento de la
salida del proceso sea igual al incremento de la trayectoria guía
de referencia al final del horizonte de predicción.
Los datos de entrada del Modelo Incremental
del Filtro serán:
\bullet Recursivos:
- \ding{226}
- De la Trayectoria Guía de Referencia, el incremento de la salida deseada al final del horizonte de predicción:
- \ding{226}
- Del Mecanismo de Aprendizaje, el valor de todos los parámetros que intervienen en la expresión:
\newpage
- donde:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
- Los datos de salida del Modelo Incremental del Filtro será el incremento de la señal de control que hace que el incremento de la salida del proceso sea igual al incremento de ta salida de la trayectoria guía de referencia al final del horizonte de predicción:
\vskip1.000000\baselineskip
\vskip1.000000\baselineskip
- Como:
- para que r^{\lambda} (k) \neq 0 con el fin de poder calcular \Deltau(k) alguno de los parámetros b_{i}(k) del modelo filtro deberá ser distinto de cero.
- En el caso que u_{\text{mín}} > u(k) = u(k - 1) + \Deltau(k) > u_{máx} el Modelo Incremental del Filtro informará a la Trayectoria Guía de Referencia de estas anomalías para que éste disminuya, cuando u_{\text{mín}} > u(k), o aumente, cuando u(k) > u_{máx}, la longitud del horizonte de predicción, y con el nuevo valor de la longitud del horizonte de predicción se repetirán los cálculos anteriores en el Modelo Incremental del Filtro hasta conseguir que la señal de control este dentro de su rango de variación.
- Esta última señal de control será la que aplicará el Modelo Incremental del Filtro al proceso.
Los datos de entrada del Mecanismo de
Aprendizaje serán:
\bullet Iniciales:
- \ding{226}
- Número de Parámetros y Retardos Puros del Modelo Incremental:
- Para configurar la estructura del modelo incremental del filtro, se debe fijar el número de parámetros correspondientes a las distintas variables que intervienen en el modelo, a_{i}(k) (NA), b_{i}(k) (NB) y y c_{i}(k) (NC), así como los retardos puros o tiempos muertos de las variables de entrada al proceso (Ru y Rw).
- \ding{226}
- Valores Iniciales de los Parámetros del Modelo Incremental del Filtro:
- En el caso que no se conozcan se supondrán estos valores iniciales nulos se dará al proceso un incremento de la señal de control dentro de su rango de variación y se iniciará el proceso de aprendizaje, con el fin de identificar estos valores iniciales antes de empezar a realizar las acciones de control.
- Siempre es preferible, si es posible, actuar el Filtro Incremental Inteligente durante un "Período de Entrenamiento" para establecer estos parámetros iniciales.
- \ding{226}
- Nivel de Ruido (NR):
- Este valor indica las máximas variaciones que pueden observarse en el incremento de la salida del proceso medida cuando éste se encuentra centrado alrededor del punto de consigna, sin que actúe el mecanismo de aprendizaje.
- Este parámetro debe elegirse aproximadamente igual a la amplitud de la banda en la que oscila la salida del proceso de forma estacionaria, cuando la variable o variables de entrada al proceso se encuentran en equilibrio, y tendrá como objeto el parar la actuación del mecanismo de aprendizaje siempre que la señal de salida del proceso se encuentre dentro de este nivel de ruido.
- \ding{226}
- Constante de Filtrado (CF):
- En general, tanto las medidas de la variable del proceso como de las perturbaciones medibles contendrán ruido de medida variable y perturbaciones aleatorias. Por ello cada una de ellas deberá filtrarse con el fin de obtener una mejor estimación de las mismas, por lo que será necesario establecerse para cada variable medible una constante de filtrado. El filtrado realizado para cada variable en cuestión será de primer orden y se ejecutará en cada instante de muestreo, de acuerdo con la siguiente ecuación:
- El nuevo valor filtrado es pues el resultado de una medida ponderada entre el valor medido y el valor filtrado previo. El valor que se puede asignar a CF está entre 0 y 1. Cuando este valor es igual a 1, el nuevo valor filtrado será igual al medido y, en consecuencia, se habrá puesto toda la confianza en la variable medida y en la práctica no se filtrará. En el extremo opuesto, si el valor de CF fuera igual a 0, el valor de la variable filtrada nunca variaría, es decir, no se tendría ninguna confianza en el valor medido de la variable.
- La utilización de este simple mecanismo de filtrado es generalmente de gran utilidad cuando existe un elevado nivel de ruido en la medida y al mismo tiempo existe un número significativo de instantes de muestreo en el período de control, obteniéndose un valor filtrado que será ventajoso utilizar para mejorar el rendimiento del mecanismo de aprendizaje.
- La elección del valor de CF no suele ser critica y podrá ser modificada durante la operación de este Filtro Adaptativo.
- \ding{226}
- Velocidad de Aprendizaje (VA):
- Esta variable multiplicará a la Ganancia de Adaptación [G(k)] permitiendo reducir su valor. En consecuencia, el valor de este parámetro podrá variar entre 0 y 1, si su valor se elige igual a O, la adaptación se inhibirá, si su valor se elige igual a 1, la adaptación tendrá lugar de acuerdo con el algoritmo de aprendizaje, y si se elige un valor intermedio para VA, el valor de la ganancia de adaptación se reducirá proporcionalmente.
- La elección de este parámetro dependerá del nivel del ruido presente en la información que procesa el mecanismo de aprendizaje. En presencia de un nivel de ruido reducido, la velocidad de adaptación podrá elegirse alta (cercana a 1), o máxima (igual a 1). Sin embargo, cuando el nivel de ruido es considerable, es aconsejable reducir la velocidad de adaptación, tanto más cuanto mayor sea et nivel de ruido. De esta forma, se pretende minimizar las excursiones erróneas en la evolución del vector de parámetros del modelo incremental, que podrían producirse debido a la presencia del mencionado nivel de ruido en la información de entradas/salidas que procesa el mecanismo de aprendizaje. Al reducir la velocidad de adaptación, el algoritmo de aprendizaje guiará la evolución de los parámetros del modelo incremental de forma prudente en la buena dirección, con menores desviaciones, que tendrán un menor impacto negativo en la acción de control.
\bullet Recursivos:
- \ding{226}
- La última salida medida del proceso y_{m}(k + 1).
- \ding{226}
- El incremento de la salida deseada al final del horizonte de predicción calculada por la Trayectoria Guía de Referencia.
- \ding{226}
- El Incremento Instantáneo de la Señal de Control \Deltau(k)
- Como seguridad el Mecanismo de Aprendizaje calculará cada vez que actualice los parámetros de adaptación el Signo de la Ganancia Estática (SG) del Modelo Incremental actualizado:
Entonces si:
\bullet SG > 0:
- \ding{226}
- \Deltau > 0:
- -
- \Deltay_{m} > 0 \Rightarrow No será necesario reinicializar los parámetros de adaptación.
- -
- \Deltay_{m} < 0 \Rightarrow Será necesario reinicializar a sus valores iniciales los parámetros de adaptación.
- \ding{226}
- \Deltau < 0:
- -
- \Deltay_{m} > 0 \Rightarrow Será necesario reinicializar a sus valores iniciales los parámetros de adaptación.
- -
- \Deltay_{m} < 0 \Rightarrow No será necesario reinicializar los parámetros de adaptación.
\bullet SG < 0:
- \ding{226}
- \Deltau > 0:
- -
- \Deltay_{m} > 0 \Rightarrow Será necesario reinicializar a sus valores iniciales los parámetros de adaptación.
- -
- \Deltay_{m} < 0 \Rightarrow No será necesario reinicializar los parámetros de adaptación.
- \ding{226}
- \Deltau < 0:
- -
- \Deltay_{m} > 0 \Rightarrow No será necesario reinicializar los parámetros de adaptación.
- -
- \Deltay_{m} < 0 \Rightarrow Será necesario reinicializar a sus valores iniciales los parámetros de adaptación.
- En cada período de filtrado o control (k) el Mecanismo de Aprendizaje determinará, con el incremento de la salida de control calculada por el Modelo Incremental del Filtro, para que el incremento de la salida deseada y el incremento de la salida predicha del proceso coincidan al final del Horizonte de Predicción (\lambda), el incremento predicho de la salida del proceso en el siguiente período de control (k+ 1):
- donde:
- se aplicará al proceso dicho incremento de la señal de control y se medirá y filtrará su salida durante los períodos de muestreo para determinar su incremento en el siguiente instante de control (k+1).
- Con el error el Mecanismo de Aprendizaje actualizará los parámetros del modelo del filtro, con la salida del proceso la Trayectoria Guía de Referencia determinará el incremento de la salida deseada en el instante \lambda + 1 y el Modelo Incremental, con los nuevos valores de los parámetros de adaptación, calculará el nuevo incremento de la señal de control \Deltau(k + 1) = \Deltau(k + \lambda + 1) para que el incremento de la salida deseada y el incremento de la salida predicha del proceso manteniendo esta señal de control coincidan en el instante \lambda + 1, y así sucesivamente.
- Es decir, el Filtro objeto de esta patente utilizará los incrementos predichos por el modelo incremental durante el Horizonte de Predicción como incrementos de la salida deseada, es decir, la dinámica predicha del proceso, recurriendo únicamente a la expresión de los incrementos de la salida deseada de la Trayectoria Guía de Referencia para determinar el incremento de la señal de control para que el incremento de la salida deseada en los sucesivos instantes de control (\lambda + k) coincida con el incremento predicho de la salida del proceso en dichos instantes.
- En consecuencia, la estrategia del Filtro Incremental Inteligente es capaz de mantener la estabilidad del sistema de control ante procesos con inversa inestable y de tener en cuenta retardos desconocidos o variables con el tiempo con tal de que el horizonte de predicción sea suficientemente largo y se establezca un número de parámetros b_{i} en el modelo incremental que permita al Mecanismo de Aprendizaje identificar el retardo desconocido y variable mediante la estimación a cero de los correspondientes primeros parámetros b_{i}.
- Por tanto, la operación del Filtro Incremental Inteligente se representarse en el diagrama de bloques de la Figura.
Claims (3)
1. Nuevo sistema de procesamiento digital
adaptativo de señales o nueva clase de filtro IIR adaptativo,
denominado Filtro Incremental Inteligente, para el modelado robusto
y estable en tiempo real de cualquier tipo de proceso, procesos con
dinámica invariable o variable con el tiempo e incluso desconocida,
mono o multivariables, con interacciones conocidas o desconocidas
entre sus entradas y salidas, lineales o no lineales, sin o con
retardos fijos o variables con el tiempo y sometidos o no a ruidos y
perturbaciones aleatorias, sin presentar los problemas de perdida
de capacidad de aprendizaje de los métodos de estimación
paramétrica basados en la perspectiva de la optimización, o los
problemas de estabilidad y convergencia de los métodos basados en
el algoritmo del gradiente, caracterizado porque:
- a)
- La estructura del filtro para modelar o predecir en tiempo real la dinámica instantánea de cualquier sistema físico mono o multivariable es un modelo lineal que utiliza valores incrementales de los vectores de control, perturbaciones medibles y salida del proceso con respecto a sus valores en un instante o varios instantes de filtrado o control anteriores, y tiene en cuenta los retardos fijos o variables de las variables de entrada (vectores de control y de las perturbaciones medibles) al proceso respecto a sus variables de salida.
- b)
- La trayectoria guía de referencia, que sólo determinará la salida deseada del proceso al final de un determinado horizonte de predicción (que no representa un tiempo real sino un escenario ficticio utilizado solamente para evaluar la evolución futura del proceso) de varios períodos de filtrado o control, tiene que ser limitada y físicamente realizable con ganancia estática unidad, siendo la entrada de su función de transferencia cualquier punto de consigna constante que se desee que alcance el proceso, y durante la operación de filtrado tiene que reinicializarse constantemente con las salidas medidas del proceso.
En esta trayectoria el punto de consigna
constante que se desea que alcance el proceso podrá ser modificado
en cada instante para hacer seguir al proceso trayectorias que
optimicen alguna o todas las variables que influyen en su
rendimiento, y se podrá variar su velocidad de aproximación a dicho
punto de consigna durante la operación de filtrado.
- c)
- En cada instante consecutivo de filtrado o control el incremento de la salida deseada para el proceso no será el valor del incremento de la trayectoria guía de referencia en ese instante, sino el incremento de la salida predicha por el modelo incremental del filtro en ese mismo instante de control producido por el incremento de la señal de control calculada, en un instante de filtrado o control anterior, para que el incremento de la trayectoria guía de referencia y el incremento de la salida predicha por el modelo incremental del filtro coincidan al final del horizonte de predicción.
- d)
- Definiendo la diferencia entre el incremento de la salida del proceso y el incremento de la salida producida por el modelo incremental de este filtro, cuando ambos reciben el mismo incremento de la señal de control calculada en un instante de filtrado o de control anterior con el fin de que el incremento de la trayectoria guía de referencia y el incremento de la salida predicha por et modelo incremental del filtro coincidan al final del horizonte de predicción, cuando el modelo del filtro esta sin ajustar por el mecanismo de aprendizaje como Error de Estimación "a priori" [e(k/k - 1)], y cuando esta ajustado como Error de estimación "a posteriori" [e(k/k)].
El nuevo mecanismo de aprendizaje no responde a
ningún algoritmo de estimación paramétrica basado en la perspectiva
de optimación o en el algoritmo del gradiente, sino a un nuevo
algoritmo de ajuste paramétrico basado en garantizar en cada
instante consecutivo de filtrado la reducción del error de
estimación "a posteriori" [e(k/k)]
mediante la descomposición del vector error de estimación "a
priori" [e(k/k - 1)] en la combinación lineal
de dos sumandos que verifiquen las siguientes condiciones:
- 1.
- Uno de los sumandos producto de esta descomposición cumplirá en cada instante de filtrado o de control la condición de hacer nulo el error de estimación "a priori" [e(k/k - 1)].
- 2.
- Y el otro sumando producto de esta descomposición en cada instante de filtrado o de control cumplirá la condición de ser igual al error de estimación "a priori" [e(k/k - 1)] definido anteriormente.
Del cumplimiento de la primera condición se
deduce el nuevo algoritmo de aprendizaje.
- e)
- El criterio seleccionado para detener el mecanismo de aprendizaje manteniendo o reinicializando los parámetros de adaptación del modelo incremental del filtro, con el fin de no perder su capacidad de aprendizaje, es que el valor absoluto del error de estimación "a priori" [e(k/k - 1)] sea mayor que la norma euclídea del vector de incrementos de entradas/salidas del proceso.
2. Sistema de procesamiento digital adaptativo
de señales en tiempo real, según la reivindicación 1,
caracterizado porque el software desarrollado para su
aplicación práctica, tanto en tiempo real (on-line)
u off-line, podrá implementarse en cualquier tipo
de plataforma hardware de cálculo digital (microprocesador,
ordenador, etc) y con cualquier tipo de sistema operativo.
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| ES200500492A ES2297964B1 (es) | 2005-03-03 | 2005-03-03 | Filtro incremental inteligente. |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| ES200500492A ES2297964B1 (es) | 2005-03-03 | 2005-03-03 | Filtro incremental inteligente. |
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|---|---|---|---|
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| US5426597A (en) * | 1994-04-26 | 1995-06-20 | The United States Of America As Represented By The Secretary Of The Navy | Adaptive infinite impulse response (IIR) filter system |
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