EP2321749A1 - Procede de realisation d'un systeme mecatronique flexible - Google Patents

Procede de realisation d'un systeme mecatronique flexible

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Publication number
EP2321749A1
EP2321749A1 EP09780332A EP09780332A EP2321749A1 EP 2321749 A1 EP2321749 A1 EP 2321749A1 EP 09780332 A EP09780332 A EP 09780332A EP 09780332 A EP09780332 A EP 09780332A EP 2321749 A1 EP2321749 A1 EP 2321749A1
Authority
EP
European Patent Office
Prior art keywords
criterion
blocks
response
flexible
frequency
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Withdrawn
Application number
EP09780332A
Other languages
German (de)
English (en)
Inventor
Mathieu Grossard
Christine Rotinat-Libersa
Nicolas Chaillet
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Centre National de la Recherche Scientifique CNRS
Commissariat a lEnergie Atomique et aux Energies Alternatives CEA
Original Assignee
Centre National de la Recherche Scientifique CNRS
Commissariat a lEnergie Atomique CEA
Commissariat a lEnergie Atomique et aux Energies Alternatives CEA
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Centre National de la Recherche Scientifique CNRS, Commissariat a lEnergie Atomique CEA, Commissariat a lEnergie Atomique et aux Energies Alternatives CEA filed Critical Centre National de la Recherche Scientifique CNRS
Publication of EP2321749A1 publication Critical patent/EP2321749A1/fr
Withdrawn legal-status Critical Current

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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
    • G06F30/23—Design optimisation, verification or simulation using finite element methods [FEM] or finite difference methods [FDM]

Definitions

  • the present invention relates to a method for producing a flexible mechatronic system.
  • Mechatronics is a discipline that is at the crossroads of mechanics and automation. Many systems are thus mechatronics. This is the case, for example, with robotic systems. The dimensions involved may be in the field of miniaturization, typically the field of micro robotics, or may be of the order of several meters as in the case of large poly-articulated robots.
  • a basic actuator may be in particular a single beam morphe, bi-morph or a multilayer actuator.
  • micro robots move using the so-called "stick-slip” technique as described in particular in S.Fablbusch et al "Flexible Microbotic System MINIMAN: Design, Actuation Principle and Control", Proc. of IEEE / ASME International Conference on Intelligent Advanced Mechatronics, pages 156-161, Atlanta, Georgia USA, 1999 and exploit the high bandwidth of piezoelectric actuators, which allow for high dynamic range motions and very high frequency utilization. fast.
  • compacters a large part of the existing work in optimizing flexible mechanisms is only concerned with the case of quasi-static applications, which can reveal sub-optimal structures in dynamic mode, or even inappropriate, resulting for example in the appearance of phase shifts or passive damping.
  • a first difficulty encountered is the prior identification of all the dominant modes. This necessary step allows the construction of an appropriate reduced model. However, it must meet a dual objective, firstly be of a reasonable order not to complicate a posteriori the synthesis of the regulator and secondly be as close as possible to the dynamic behavior of the real flexible system, which is usually strongly resonant.
  • a second difficulty lies in the choice to be adopted on the strategy and the actual synthesis of the control law against such systems with very oscillating behavior.
  • An object of the invention is to overcome the disadvantages of the aforementioned methods, allowing, for the realization of a flexible mechatronics system, to take into account very varied criteria to allow on the one hand to facilitate the calculation of a model reduced as precise as possible, and secondly to facilitate the control of the vibratory behavior of this type of structure.
  • the subject of the invention is a method for producing a flexible mechatronic system, comprising at least: a step of modeling the system by a finite element mesh;
  • criterion J 2 k is for example defined by the following relation:
  • the characterization step comprises another numerical criterion J / representative of the relative amplitude of the resonance peaks (43, 44) of said response as a function of the frequency, these resonance peaks being respectively chosen upstream and downstream of a pre-determined mode number.
  • the criterion J / is for example defined by the following relation: k
  • An embodiment is for example selected when the criterion J 2 k is greater than a given value.
  • the mesh may be composed of a combination of elementary blocks to be determined, each authorized block being formed of a predefined assembly of segments representing elementary beams, said mesh comprising at least one active block controllable by means of a control signal.
  • the mesh being composed of a combination of elementary blocks to be determined, each authorized block being formed of a predefined assembly of segments representing elementary beams, the mesh comprises at least one node controllable at means of a control signal.
  • the blocks are for example from a library of predefined blocks.
  • a command of an active block can be exerted by a deformation signal of at least one of its beams.
  • a static mechanical criterion is for example the displacement ⁇ x of the terminal node.
  • a mechanical criterion is the value of the force that it applies to the external environment F x , for example the clamping force.
  • Other mechanical criteria may be used, for example stresses, deformation energies or parasitic displacements.
  • the control signal is for example a voltage or electric current signal.
  • the system is for example a piezoelectric actuator, all the beams constituting an active block being controlled by a voltage signal.
  • FIG. 1 an example of a library of elementary flexible blocks used for reduced modeling of a flexible mechatronic system
  • FIG. 2 an illustration of a piezoelectric beam, the elementary part constituting a piezoelectric system or actuator;
  • FIG. 3 a curvilinear representation of the preceding piezoelectric beam represented by a segment and its orientation in a system of axes;
  • - Figure 4 a desired form, which can be considered ideal, frequency response of a flexible mechatronic system
  • - Figures 5a and 5b the locations of the poles and zeros of the frequency response of a co-located system, respectively unamortized and slightly damped;
  • FIG. 6 an example of a mesh of a flexible mechatronic system whose elementary blocks constituting it are to be defined, with a view to the design of the system;
  • FIGS. 7a to 7d examples of flexible system structures modeled by an assembly of blocks based on the previous grid
  • FIGS. 8 to 11 show illustrations of the open-loop frequency response of each of the preceding structures.
  • Figure 1 shows an example of a library of active and passive elementary flexible blocks used in a method of designing flexible mechanisms. This more general method is notably described in the following documents:
  • FIG. 1 comprises, for example, 36 passive elements and 19 elements made active by piezoelectric effect 4. This library makes it possible to construct a large variety of topologies of structures.
  • Each elementary block 1, 2, 4 is also constituted by a predefined assembly of elementary beams, or segment 3.
  • a goal of the design stage is therefore to seek an optimal distribution of flexible blocks in a given space, as well as the optimal set of parameters (optimization variables: materials, dimensions, boundary conditions including actuators 10) which define flexible mechatronic structures whose performances (objectives to be optimized) are the closest to those specified in a given specification. Variables and optimization criteria are used. For optimization variables, several parameters can be used to define structures.
  • Some of these parameters may or may not be optimized, including: o points fixed to the frame (number, location, degree of freedom concerned), o the topology of the structure (types of flexible blocks of the library, their nature -active and / or passive-and their arrangement), o the (or) matéhau (x) constituting the passive blocks and their thickness o l ' thickness and electrical potential difference between the upper electrode and the lower electrode (for active blocks, which are currently made of piezoelectric material) o unilateral contacts between the structure and the frame, or between two parts of the structure (number , degree of freedom concerned, play and location), o the actuators (number, type of actuation, action point, degree of freedom concerned and amplitude), o sensors (number and location only, at present) .
  • the mechanical criteria available, for a static model include: o Free movement of the degrees of freedom (ddls) output o Geometric advantage, ie amplification of the ratio displacement output on displacement input o Blocking force of degrees of freedom of output o Advantage mechanical, ie amplification of the ratio of the force output on the input force o Inverse of the strain energy o Inverse of the orthogonal displacements to the output displacement o Manipulation o Mass o Maximum mechanical stress o Critical buckling load.
  • This criterion considers in an absolute way all the first modes that are not very influential in the input-output behavior of the system, without being interested in the following modes. In addition, this method aims to minimize the influence of the first modes only.
  • a stochastic optimization method used is for example a genetic algorithm inspired by the code described in Deb K., et al., "A fast elitist non-dominated sorting genetic algorithm for multi-objective optimization: Nsga-ll", Proc. of the 6th Int. Conf. on Parallel Problem Solving from Nature, pp. 849-858, France, 2000.
  • the optimal design method uses this optimization principle which allows a real multicriteria optimization (without a priori weighting of one criterion compared to another criterion), and the use of discrete variables.
  • the structure of the algorithm is for example organized as follows:
  • a new cycle of synthesis and evaluation is carried out, and so on, until convergence of the algorithm (achievement of the global optimum); •
  • the design algorithm provides a set of pseudo-optimal solutions, restituted on one (or more in the case of more than 2 criteria) two-dimensional Pareto fronts. Then, the designer chooses and interprets the resulting structures that respond optimally to his specifications.
  • the optimization process is based on a stochastic optimization technique (genetic algorithm) in which the candidate solutions are considered as individuals of a population. They are parameterized by chromosomes, themselves made of genes. The entire population evolves with simplified operators inspired by genetics, such as breeding, mutation and crossbreeding.
  • the genotype of a flexible block assembly is encoded by an array of integers, each of the integers referring to the active and passive library blocks of FIG. 1.
  • the blocks For example, assets are dominant on passive blocks, which are themselves dominant on an empty block.
  • a modeling of the piezoelectric elementary flexible blocks 2 can be implemented. For this modeling, only displacements and forces contained in the plane of the structure are considered. For example, it is assumed that the flexible mechanisms are subjected to structural deformations, mainly resulting from the bending of the beams constituting the blocks as illustrated for example in Figure 1.
  • the model adopted for the blocks is obtained by considering Navier-Bernoulli's hypotheses.
  • the parameters defining the blocks are the thickness, the material, the width and the height (and the electrical potential difference between the upper and lower electrodes for the active blocks).
  • the characteristics of the material of each block are parameterized by its Young's modulus, its Poisson's ratio, its elastic limit, its density (and the piezoelectric coupling coefficients for the active blocks).
  • FIG. 2 illustrates a piezoelectric beam 20 with electrodes 21, 22 perfectly distributed on its upper and lower faces, polarized with potentials ⁇ -i, ⁇ 2 depending on the thickness, and oriented in an orthotropic reference (ei, e 2 , e 3 ). Under the effect of transverse piezoelectric coupling, a longitudinal strain Su is caused along the dimension L by the electric field E 3 depending on the thickness.
  • the piezoelectric coupling d, electrical permittivity ⁇ and compatibility s matrices are each represented by a scalar coefficient, d 31 , ⁇ 33 and sn respectively.
  • the constituent relationships of the piezoelectricity for the deformation Su and the electrical displacement D 3 as a function of the stress T 11 and of the electric field E 3 are in this case reduced to:
  • FIG. 3 illustrates a curvilinear representation of the piezoelectric beam 20, represented by a segment AB, and its orientation in a global reference system (O, x, y, z) with the forces R A , R B and the nodal moments H A , H B at the ends of the beam.
  • M b denotes the mass matrix
  • K b denotes the stiffness matrix
  • - G b denotes the electromechanical coupling matrix, which induces the piezoelectric loading to achieve contraction or elongation of the beam proportionally to the potential difference ⁇ i - ⁇ 2 ;
  • - ⁇ b ( ⁇ -i, ⁇ 2)
  • f is the vector of the electric potentials on the upper and lower faces of the piezoelectric beam;
  • the mass matrices M B , stiffness K B and coupling G B of each active block are obtained by matrix assembly of the mass matrices M b ', stiffness K b ', and coupling G b 'of each constituent beam of the blocks.
  • G 6 PG, where P is a marker change matrix conventionally obtained.
  • the matrices mass, stiffness and electromechanical coupling of all the blocks of the library are calculated numerically, and this, considering all the possible combinations of the different discrete values authorized by a designer for the optimization variables (materials , block size ). This calculation is done once. The results are kept in memory, which saves computing time during the iteration processes of the optimization steps.
  • the evaluation of the different criteria specified by the designer uses the computation of the model of static or dynamic behavior of the structures, according to which are considered static mechanical criteria, dynamic or oriented automatic.
  • ⁇ g refers to the nodal displacements of the lattice structure discretized into blocks, themselves discretized into beams.
  • ⁇ g denotes the electrical potentials applied to the upper and lower electrodes of each block, and Fr 9 the external mechanical forces applied to the system.
  • equation (3) is simplified according to:
  • two numerical criteria Ji and J 2 are used to evaluate the dynamic performance of input-output transfer of flexible mechatronic systems. More particularly, these two criteria make it possible to define an optimization strategy with a view to the subsequent control of the flexible mechatronic systems to be produced. Criteria Ji and J 2 relate to the open-loop response of these structures. In particular, they allow the frequency input-output response to respect certain templates and constraints on the controllability and observability of certain modes of vibration.
  • the criterion Ji relates in particular to the amplitude of the open-loop frequency response of a system and the criterion J 2 relates in particular to the phase of this frequency response.
  • Each element of u denotes an actuator (respectively sensor) whose degree of freedom is defined by a non-zero value in the corresponding column of E 9 (respectively line of
  • the eigenvalues are ranked in increasing order & f ⁇ ... ⁇ ⁇ p 2 , and ⁇ is chosen normalized with respect to the mass matrix M.
  • the evolution matrix A depends on the structure (natural frequencies and modal damping), the control matrix B (respectively C) depends on the location and nature of the actuators (respectively sensors).
  • FIG. 4 shows a desired shape for the open-loop frequency response of a flexible system, for example a structure consisting of a set of piezoelectric beams. This form is represented by a curve representative of the amplitude, expressed in dB, with respect to the pulsation, expressed in radians / seconds. To increase the control authority over the different modes, the amplitudes of the resonances must be maximized in the frequency band [0, ⁇ c ], or bandwidth 42, as illustrated by the major peaks 43 of the curve 41 to FIG.
  • the criterion Ji defined subsequently makes it possible, in particular, to evaluate whether the response of a system model approaches the ideal case of FIG. 4. In other words, the criterion Ji makes it possible to evaluate the reduction capacity of the system. model and its precision.
  • the interpretation that can be made of the HL standard of the transfer matrix makes it possible to write such a criterion for obtaining this form of frequency response. This standard characterizes the maximum amplifications that the system can produce on the input signals. Especially in the case of a SISO function (only one input, one output), the value of the maximum amplitude Gi of the i-th mode of the frequency response can be approximated, under the assumption of small depreciation, by :
  • HSV Hankel singular values associated with the state representation of the relation (6) are the values of the balanced grammar.
  • each HSV thus characterizes here the degree of controllability and observability of the vibratory mode of the system in question.
  • This model G r reflects the behavior of the complete system G with a difference, relative to HSV omitted, defined by the following relation:
  • G 1 representing the Hankel singular values (HSV) associated with the state representation of the relation (6) for the particular eigenmode No. i.
  • HSV Hankel singular values
  • Figures 5a and 5b illustrate the places of the poles, represented by x, and those of zeros, represented by o, of the frequency response of a colocalised respectively undamped and slightly damped system, in the complex plane where the abscissa represent the real response Re (s) and the ordinates represent the imaginary response lm (s).
  • a second criterion used by the method according to the invention, J 2 characterizes the co-location behavior of flexible systems.
  • One property of these systems, advantageously exploited by the invention, is the alternation of the poles and zeros in the complex half-plane. Such systems are at a minimum of phase and the phase response oscillates continuously between 0 ° and 180 ° respectively corresponding to the zeros and the poles of the response.
  • an evaluation function can be used to estimate whether the behavior of a given structure can be considered as being close to a collocated system, thus with simple stability criteria.
  • This evaluation function is the criterion J 2 , defined for the first k modes by the following relation:
  • C 1 and b x respectively represent the influence of the sensors and actuators on the frequency response input / output of the system.
  • the maximization of the criterion J 2 makes it possible to favor the structures which show an alternation of poles and zeros. This criterion therefore favors the structures whose first k static gains of Gj are of the same sign. In practice, this amounts to favoring systems with alternating poles and zeros for the first k modes.
  • FIG. 6 illustrates the mesh of the symmetrical part of a micro-actuator with the boundary conditions, with four blocks 61, 62, 63, 64 to be determined and nodes 65, 66, 67 admissible for blocking, these nodes being the three nodes at the bottom.
  • An output node 68 representing the so-called node effector, forming the terminal member of the actuator.
  • Figure 6 illustrates the problem specification.
  • the fixed data are the dimensions of the symmetrical part, the modal damping and the electric potential difference V fixed for the active blocks.
  • the modal damping is for example taken constant and equal to 1% for all resonance modes.
  • the mesh of Figure 6 is made in a plane O, x, y.
  • the symmetrical part has for dimensions L1 x L2, L1 being for example equal to 15mm and L2 to 9mm, for a thickness following z of 200 ⁇ m.
  • This part is formed of four blocks 61, 62, 63, 64 to be optimized, the blocks each having a dimension a which is specific to it according to the dimension L1 and a dimension b which is specific to it according to the dimension L2.
  • the active blocks are those having electrodes powered by the voltage V equal for example to 200 volts, to exploit the piezoelectric effect.
  • Passive blocks are made of the same material but without electrodes.
  • the size of the blocks may vary for a between a maximum value a max and a minimum value a min such that the ratio a max / a m i n may vary between 1 and 2.
  • the dimension b may vary between maximum value b max and a minimum value b min so that the ratio b max / b m i n can vary between 1 and 2.
  • the mechanical parameters to be optimized are, for example, the displacement along the x-axis and the clamping force along the x-axis of the output node 68.
  • the output node 68 should occur: - a displacement ⁇ x along the x axis the largest possible;
  • the control may be an electrical voltage exerting a deformation of the piezoelectric beams.
  • FIGS. 7a, 7b, 7c and 7d illustrate four examples of solutions respectively called A, B, C and D, from the four-dimensional Pareto front (because here four optimization criteria are considered) obtained at the convergence of the procedure. optimization, to analyze the contribution of the use of the criteria Ji and J 2 according to the invention during the optimization. The performances of the four structures are reported in the table below where ⁇ x represents the displacement of the effector 68 along the x axis and F x its clamping force along the same axis.
  • Figures 7a, 7b, 7c and 7d are the geometric representations of the four piezoelectric actuators.
  • the structures of these actuators are composed of an assembly of blocks, for example from the library of FIG. 1 and each formed of one or more segments 3 whose ends form nodes 70 in which the segments can be fixed to each other. to others.
  • the solid lines 71 represent the active blocks and the dashed lines 72 represent the passive blocks.
  • the two left blocks 61, 63 are passive, the right blocks 62, 64 are active, the middle node 66 being blocked.
  • the blocks at the top left 61 and at the bottom right 64 are passive, the blocks at the top right 62 and at the bottom left are active, the left nodes 65, 66 being blocked.
  • the left block at the bottom 63 is passive, the right blocks 62, 64 are active, the right nodes 66, 67 being blocked.
  • the left block at the bottom 63 is passive, all the other blocks 61, 62, 64 are active, the left nodes 65, 66 being blocked.
  • FIG. 8 presents, by a Bode diagram, the response of the displacement ⁇ x of the effector 68 following a voltage harmonic excitation for the structure A of FIG. 7a.
  • the amplitude of the response is represented by a first curve 81 as a function of the frequency and the phase is represented by a second curve 82 as a function of frequency.
  • the first curve departs from that of the ideal case expressed in Figure 4 for amplitude 81.
  • the second curve illustrates the strongly non-minimum phase character.
  • the phase curve 82 shows that the input-output transfer does not have the interesting property of alternating poles and zeros, which was illustrated in FIGS. 5a and 5b, expressed by continuous oscillations of the phase between 0 ° and -180. °, in the chosen spectrum.
  • FIG. 9 always shows, by a Bode diagram, the frequency response of the displacement ⁇ x of the effector 68 under the same conditions but for the structure B of FIG. 7b, by an amplitude curve 91 and a phase curve 92. remarks of the same order as those on structure A can be made.
  • the control authority on the first two resonance modes is correct as shown by the significant drop in gain after the second resonance 93 on the amplitude curve 91, which is confirmed by a fairly good value of the criterion Ji in the table. previous.
  • the character of continuous alternation between the poles and zeros is not observed in view of the phase curve 92 in the frequency domain of interest and J 2 is effectively 0.
  • Figure 10 illustrates the case of structure C of Figure 7c.
  • the frequency response has a resonance / antiresonance alternation that varies continuously up to the second resonance mode as shown by the amplitude curve 101 of the Bode diagram.
  • the amplitude of the fourth resonance 103 is almost as large as the amplitude of the first 104, which is confirmed by the very low value of criterion Ji, so that these high dynamic resonance modes can not be reasonably neglected in the synthesis of the reduced model, which would generate a phase of identification and controller synthesis infeasible given the very large number of dynamics that should be considered to achieve a specific model.
  • FIG. 11 illustrates the case of the structure D of FIG. 7d. It turns out that this structure can present an interesting compromise.
  • the form of its frequency response is the expected one, both in amplitude as illustrated by the curve 1 1 1 of the Bode diagram, where there is a sharp decrease after the second resonance 113, as compared with the continuous alternation of resonances and antiresonances in the frequency domain of interest.
  • This makes this structure a mechatronic system whose truncated model (limited to the first two resonances) will be precise, easy to identify and adapted to an easy synthesis of its regulator in view of the criterion J1, and whose stability of its subsequent loop control closed will be guaranteed in view of criterion J2.
  • the structure D appears as the one which presents the best compromise between the mechanical performances, related to the criteria ⁇ x and F x and the dynamic performances, with a view to the control, related to the criteria Ji and J 2 .
  • the preceding examples show that the criteria Ji and J 2 make it possible to take into account at the design stage certain characteristics of the dynamic response of a system, notably affecting its subsequent control. More specifically, they make it possible to design flexible systems that have frequency characteristics that are conducive to the implementation of simple, simple control laws and / or dedicated to flexible systems.

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Abstract

Le procédé comporte au moins: - une étape de modélisation du système par un maillage composé d'une combinaison de blocs élémentaires (61, 62, 63, 64) donnée, chaque bloc étant formé d'un assemblage prédéfini de segments représentant des poutres élémentaires, ledit maillage comportant au moins un bloc actif commandable au moyen d'un signal de commande; - une étape de simulation du comportement d'un noed terminal (68) du modèle en réponse en boucle ouverte à un signal de commande; - une étape de caractérisation de ladite réponse par au moins un critère mécanique statique (dx, Fx) et au moins un critère numérique J1 k représentatif de la décroissance des pics de résonance (43, 44) de ladite réponse en fonction de la fréquence; Les étapes précédentes peuvent être réitérées. Elles sont alors suivies d'une étape de sélection d'une conception en fonction des critères définis dans l'étape de caractérisation, le système étant réalisé à partir du modèle sélectionné.

Description

PROCEDE DE REALISATION D'UN SYSTEME MECATRONIQUE
FLEXIBLE
La présente invention concerne un procédé de réalisation d'un système mécatronique flexible.
La mécatronique est une discipline qui est au carrefour de la mécanique et de l'automatique De nombreux systèmes relèvent ainsi de la mécatronique. C'est le cas par exemple des systèmes robotiques. Les dimensions en jeu peuvent être du domaine de la miniaturisation, typiquement le domaine de la micro robotique, ou peuvent être de l'ordre de plusieurs mètres comme dans le cas des grands robots poly-articulés.
Si on considère à titre d'exemple le cas de la micro robotique, un concepteur doit appréhender à la fois deux problèmes, le problème de la miniaturisation et le problème de la commande de ces systèmes. La réalisation de micro robots par miniaturisation de robots traditionnels se heurte à des barrières technologiques et physiques. Les efforts de miniaturisation doivent être appliqués de front dans plusieurs domaines, notamment dans la conception de structures de transmission et d'actionneurs pour l'application de forces et de déplacements dans des volumes de l'ordre d'un centimètre cube. D'autres moyens d'actionnement et de mesure doivent être étudiés, pour atteindre les performances mécaniques, la commandabilité et l'observabilité visées. Cet effet d'échelle, ainsi que la nature des systèmes conçus, tous deux spécifiques de la micro robotique, rendent l'analyse et l'écriture des modèles dynamiques et cinématiques difficiles. Les mouvements sont alors difficilement prédictibles. Les comportements dynamiques sont fortement non-linéaires et les lois de commande sont en conséquence rendues complexes.
Il y a donc un besoin pour résoudre ce double problème rencontré lors de la conception d'un système relevant de la mécatronique, c'est-à-dire répondre à la fois aux performances mécaniques et aux exigences de commande. Plus généralement, il y a un besoin de répondre au problème de la conception optimale globale de structures mécatroniques, notamment flexibles, d'un double point de vue : mécanique et automatique. En effet, l'utilisation de seuls critères mécaniques, généralement statiques mais aussi quelquefois dynamiques, peut amener à un ensemble de solutions parmi lesquelles beaucoup ne sont pas aptes à être commandées en pratique. Dans le cas notamment des structures micro robotiques flexibles, des solutions sont connues. Le plus souvent, les structures micro robotiques flexibles sont rendues actives par actionnement piézoélectrique, une structure active étant une structure qui intègre son actionnement. En effet, les actionneurs piézoélectriques possèdent des propriétés intéressantes de résolution de force et de bande passante. En revanche, leur faible déformation, de l'ordre de 0,1 %, n'autorise pas de courses importantes et peut limiter les performances du système actionné dans certains cas. De nombreux travaux ont traité de l'optimisation paramétrique d'actionneurs piézoélectriques, cette optimisation étant orientée du point de vue de la mécanique statique. Les conceptions existantes sont essentiellement basées sur l'intuition et/ou l'expérience du concepteur et la méthode d'optimisation permet uniquement d'ajuster les valeurs des paramètres dimensionnels d'une forme prédéfinie. La plupart des optimisations concernent l'amélioration des performances mécaniques d'un actionneur basique, généralement ses débattements. Un actionneur basique peut être notamment une poutre simple uni morphe, bi-morphe ou un actionneur multicouche. Il existe aussi des méthodes implémentées qui permettent d'optimiser la forme d'une structure passive amplificatrice d'un actionneur piézoélectrique basique pour optimiser le débattement de l'assemblage qui en résulte, comme cela est notamment décrit dans l'article de M.Frecker et S.Canfield « Optimal design and expérimental validation of compilant mechanical amplifiers for piezoceramic stack actuators », Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol. 1 1 , pages 360-369, 2000. Une autre approche générale pour optimiser la conception de structures piézo-actionnées est d'optimiser simultanément ou séparément la taille de l'actionneur, mais pas sa forme. L'article de H.Maddisetty et M.Frecker « Dynamic topology optimization of compilant mechanisms and piezoceramic actuators » ASME Journal of Mechanical Design, Vol. 126, Iss. 6, pages 975- 983, 2004, décrit une solution où l'on optimise séparément la taille de l'actionneur, mais ni sa forme ni sa position. L'article de M.Abdalla et al « Design of a piezoelectric actuator and compilant mechanism combination for maximum energy efficiency », Smart Matehal and Structures, Vol. 14 pages 1421 -1430, 2005, décrit une solution où l'on effectue un chargement dynamique à fréquence donnée et on optimise simultanément la taille de l'actionneur.
A l'inverse de ces méthodes où les éléments piézoélectriques sont placés a priori sur la structure, plusieurs autres travaux traitent de l'emplacement optimal d'actionneurs sur une structure donnée, comme cela est notamment décrit dans R.Barboni et al « Optimal placement of PZT actuators for the control of beam dynamics », Smart Material and Structures, pages 1 10-120, 2000. Enfin, quelques études considèrent l'optimisation de la forme de l'actionneur piézoélectrique comme le montre par exemple E. C. NeIIi Silva et N.Kikuchi « Design of piezoelectric transducers using topology optimization », Smart Material and Structures, Vol. 8, pages 350-365, USA 1999. Toutes ces optimisations ne prennent pas en compte réellement l'optimisation simultanée de la structure et de l'actionneur, et encore moins l'optimisation complète du système y compris de ses conditions aux limites. D'autres formes d'optimisation connues prennent en compte uniquement l'aspect mécanique. A titre d'exemple, certains micro robots se déplacent en utilisant la technique dite de « stick-slip » comme décrit notamment dans S.Fablbusch et al « Flexible Microbotic System MINIMAN : Design, Actuation Principle and Control », Proc. of th IEEE/ASME International Conférence on Advanced Intelligent Mechatronics, pages 156-161 , Atlanta, Georgia USA, 1999 et exploitent la grande bande passante des actionneurs piéozoélectriques, qui permettent d'obtenir des mouvements à forte dynamique et une utilisation en régimes fréquentiels très rapides. Or une grande partie des travaux existants en optimisation de mécanismes flexibles dit « compilants » ne se sont intéressés qu'au cas d'applications quasi- statiques, qui peuvent révéler des structures sous-optimales en régime dynamique, voire inappropriées, entraînant par exemple l'apparition de déphasages ou d'amortissements passifs. Les méthodes qui incluent l'analyse et l'optimisation de réponses fréquentielles des structures actives s'intéressent très souvent à la maximisation, ou la minimisation dans le cas applicatif de l'amortissement actif, de l'amplification de débattements ou de forces à un chargement harmonique choisi, l'actionneur étant utilisé à une fréquence choisie, les performances en régime statique étant ignorées, voir l'article de H.Maddisetty et M.Frecker précité. Enfin ces méthodes n'envisagent que très rarement d'optimiser les relations entrées/sorties sur une bande fréquentielle plus large, notamment pour les applications d'amortissement.
En ce qui concerne la commande des systèmes flexibles, une première difficulté rencontrée est l'identification préalable de tous les modes dominants. Cette étape, nécessaire, permet la construction d'un modèle réduit approprié. Or, celui-ci doit répondre à un double objectif, d'une part être d'un ordre raisonnable pour ne pas complexifier a posteriori la synthèse du régulateur et d'autre part être le plus proche possible du comportement dynamique du système flexible réel, qui est généralement fortement résonant. Un certain nombre d'approches pour la réduction de modèles existent, parmi lesquels la technique basée sur la réalisation équilibrée. Cette technique est généralement fondée sur un ordre de réduction du modèle complet qui, en réalité, est de dimension quasi-infinie. De cette technique, il ressort la difficulté du choix de l'ordre pour le modèle réduit et par conséquent de la précision de ce dernier vis-à-vis du modèle non tronqué. Une deuxième difficulté réside notamment dans le choix à adopter sur la stratégie et la synthèse proprement dite de la loi de commande face à de tels systèmes au comportement très oscillant.
Un but de l'invention est de pallier les inconvénients des méthodes précitées, en permettant, pour la réalisation d'un système mécatronique flexible, de prendre en compte des critères très variés pour permettre d'une part de faciliter le calcul d'un modèle réduit le plus précis possible, et d'autre part de faciliter la commande du comportement vibratoire de ce type de structure. A cet effet, l'invention a pour objet un procédé de réalisation d'un système mécatronique flexible, comportant au moins : - une étape de modélisation du système par un maillage aux éléments finis;
- une étape de simulation du comportement d'un nœud terminal (68) du modèle en réponse en boucle ouverte à un signal de commande ;
- une étape de caractérisation de ladite réponse par au moins un critère mécanique et au moins un critère numérique J2 k représentatif de l'alternance des résonances et antirésonances de la réponse dans le domaine fréquentiel, dans une bande de fréquences choisie ; les étapes précédentes étant susceptibles d'être réitérées, ces étapes étant suivies d'une étape de sélection d'une conception obtenue en fonction des critères définis dans l'étape de caractérisation, le système étant réalisé à partir de la conception sélectionnée. Le critère J2 k est par exemple défini par la relation suivante :
où k est le nombre de premiers modes de résonance (93) de ladite réponse en fréquence et C1 et bx représentent respectivement l'influence des capteurs et actionneurs sur la réponse fréquentielle entrée/sortie du système. Dans une mise en œuvre possible, l'étape de caractérisation comporte un autre critère numérique J/ représentatif de l'amplitude relative des pics de résonance (43, 44) de ladite réponse en fonction de la fréquence, ces pics de résonance étant respectivement choisis en amont et en aval d'un numéro de mode pré-déterminé. Le critère J/ est par exemple défini par la relation suivante : k
Λ π— — i DiDl où k est le nombre des premiers modes devant être dominants (1 13) par rapport à tous les autres modes de ladite réponse en fréquence et D1 , défini à partir de la représentation d'état qui caractérise complètement la relation entrée/sortie du mécanisme, est la i-ème Valeur Singulière de Hankel du système flexible.
Un mode de réalisation est par exemple sélectionné lorsque le critère J2 k est supérieur à une valeur donnée.
Un mode de réalisation est par exemple sélectionné lorsque le critère J/ est supérieur à une valeur choisie par l'utilisateur/le concepteur. Le maillage peut être composé d'une combinaison de blocs élémentaires à déterminer, chaque bloc autorisé étant formé d'un assemblage prédéfini de segments représentant des poutres élémentaires, ledit maillage comportant au moins un bloc actif commandable au moyen d'un signal de commande.
Dans un autre mode de mise en œuvre possible, le maillage étant composé d'une combinaison de blocs élémentaires à déterminer, chaque bloc autorisé étant formé d'un assemblage prédéfini de segments représentant des poutres élémentaires, le maillage comporte au moins un nœud commandable au moyen d'un signal de commande.
Les blocs sont par exemple issus d'une bibliothèque de blocs prédéfinis.
Une commande d'un bloc actif peut s'exercer par un signal de déformation d'une au moins de ses poutres.
Un critère mécanique statique est par exemple le déplacement δx du nœud terminal.
Le nœud terminal étant un effecteur, un critère mécanique est la valeur de la force qu'il applique au milieu extérieur Fx, par exemple la force de serrage. D'autres critères mécaniques peuvent être utilisés, par exemple des contraintes, des énergies de déformation ou déplacements parasites.
Le signal de commande est par exemple un signal de tension ou de courant électrique.
Le système est par exemple un actionneur piézoélectrique, toutes les poutres constituant un bloc actif étant commandées par un signal de tension électrique.
D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront à l'aide de la description qui suit, faite en regard de dessins annexés qui représentent : - la figure 1 , un exemple de bibliothèque de blocs flexibles élémentaires utilisés pour une modélisation réduite d'un système mécatronique flexible ;
- la figure 2, une illustration d'une poutre piézoélectrique, partie élémentaire constitutive d'un système ou actionneur piézoélectrique ; - la figure 3, une représentation curviligne de la poutre piézoélectrique précédente représentée par un segment et son orientation dans un système d'axes ;
- la figure 4, une forme souhaitée, pouvant être considérée comme idéale, de réponse fréquentielle d'un système mécatronique flexible ; - les figures 5a et 5b, les lieux des pôles et des zéros de la réponse fréquentielle d'un système colocalisé, respectivement non amorti et légèrement amorti ;
- la figure 6, un exemple de maillage d'un système mécatronique flexible dont les blocs élémentaires le constituant sont à définir, en vue de la conception du système ;
- les figures 7a à 7d, des exemples de structures de systèmes flexibles modélisées par un assemblage de blocs basés sur le maillage précédent ; - les figures 8 à 1 1 , des illustrations de la réponse fréquentielle en boucle ouverte de chacune des structures précédentes.
La figure 1 présente un exemple de bibliothèque de blocs flexibles élémentaires actifs et passifs utilisée dans une méthode de conception de mécanismes flexibles. Cette méthode plus générale est notamment décrite dans les documents suivants :
- Grossard M., Rotinat-Libersa C, Chaillet N., Perrot Y., "Flexible building blocks method for the optimal design of compilant mechanisms using piezoelectric material", 12th IFToMM World Congress, Besançon, France, 2007;
- Grossard M., Rotinat-Libersa C, Chaillet N., "Gramian-based optimal design of a dynamic stroke amplifier compilant micro-mechanism", IEEE/RSJ International Conférence on Robots and Systems, San Diego, USA, 2007; - Bernardoni P., and al., "A new compilant mechanism design methodology based on flexible building blocks", Proceedings of Smart Structures - SPIE Modeling, Signal processing and Control Conférence, San Diego, USA, vol. 5383, pp. 244-254, USA, march 2004 ; - Rotinat-Libersa C, Perrot Y., Friconneau J. -P., "Potentialités of optimal design methods and associated numerical tools for the development of new micro- and nano- intelligent Systems based on structural compliance - An example -", IARP- IEEE/RAS-EURON Joint Workshop on Micro and Nano Robotics, Paris, France, 2006. La bibliothèque de la figure 1 comporte par exemple 36 éléments passifs et 19 éléments rendus actifs par effet piézoélectrique 4. Cette bibliothèque permet de construire une grande variété de topologies de structures. Chaque bloc élémentaire 1 , 2, 4 est par ailleurs constitué par un assemblage prédéfini de poutres élémentaires, ou segment 3.
La spécification du problème de conception optimale de systèmes flexibles considère, dans un encombrement donné, différentes conditions aux limites : les points de liaison entre le mécanisme et le bâti (position et liste des degrés de liberté bloqués), les entrées (actionneurs), les sorties (nœuds effecteurs), les contacts. Pour ce qui est de l'actionnement, plusieurs principes peuvent être envisagés :
• soit des actionneurs en force ou déplacement pouvant agir en des nœuds particuliers de la structure,
• soit des blocs actifs issus de la bibliothèque correspondante ; ces blocs peuvent être constitués de matériau piézoélectrique dont les surfaces supérieures et inférieures sont chacune recouvertes d'une surface conductrice (appelée électrode) et soumises à des potentiels électriques.
L'intérêt d'utiliser des blocs flexibles actifs de topologies variées au lieu de simples poutres piézoélectriques est que cela permet de coupler les degrés de liberté, pour générer des mouvements complexes dans un encombrement restreint.
Un but de l'étape de conception consiste donc à chercher une distribution optimale de blocs flexibles dans un encombrement donné, ainsi que le jeu optimal de paramètres (variables d'optimisation : matériaux, dimensions, conditions aux limites y compris actionneurs...) qui définissent des structures mécatroniques flexibles, dont les performances (objectifs à optimiser) sont les plus proches de celles spécifiées dans un cahier des charges donné. Des variables et des critères d'optimisation sont utilisés. En ce qui concerne les variables d'optimisation, plusieurs paramètres peuvent être utilisés pour définir les structures. Certains de ces paramètres peuvent être ou non optimisés, notamment : o les points fixés au bâti (nombre, emplacement, degré de liberté concerné), o la topologie de la structure (types de blocs flexibles de la bibliothèque, leur nature -actifs et/ou passifs-, et leur agencement), o le (ou les) matéhau(x) constituant les blocs passifs et leur épaisseur o l'épaisseur et la différence de potentiel électrique entre l'électrode supérieure et l'électrode inférieure (pour les blocs actifs, qui sont actuellement en matériau piézoélectrique) o les contacts unilatéraux entre la structure et le bâti, ou entre deux parties de la structure (nombre, degré de liberté concerné, jeu et emplacement), o les actionneurs (nombre, type d'actionnement, point d'action, degré de liberté concerné et amplitude), o les capteurs (nombre et emplacement uniquement, à l'heure actuelle).
Les critères mécaniques disponibles, pour un modèle statique, sont notamment : o Déplacement libre des degrés de libertés (ddls) de sortie o Avantage géométrique, i.e. amplification du ratio déplacement sortie sur déplacement entrée o Force de blocage des degrés de liberté de sortie o Avantage mécanique, i.e. amplification du ratio force sortie sur force entrée o Inverse de l'énergie de déformation o Inverse des déplacements orthogonaux au déplacement de sortie o Manipulabilité o Masse o Contrainte mécanique maximale o Charge critique de flambage.
D'autres critères liés à la mécanique sont disponibles pour un modèle dynamique. Ceux-ci utilisent une formulation propre au domaine de l'automatique, basée sur les grammiens de commandabilité et d'observabilité. Ces grammiens sont calculés à partir d'une représentation d'état qui a pour entrée un nœud actionné, ou commandé, et pour sortie un nœud unique comme décrit notamment dans le document « Gramian-based optimal design of a dynamic stroke amplifier compilant micro-mechanism » précité. Par exemple, dans ce document, deux critères sont :
• décaler la première résonnance du système au-delà d'une fréquence limite choisie. Ce critère considère de façon absolue tous les premiers modes peu influents dans le comportement entrée-sortie du système, sans s'intéresser aux modes suivants. En outre, ce procédé vise à minimiser l'influence des premiers modes uniquement.
• éviter la présence de résonnances dans un intervalle de fréquences choisies pour par exemple filtrer des mouvements indésirables transmis depuis la base vers la sortie.
Une méthode d'optimisation stochastique utilisée est par exemple un algorithme génétique inspiré du code décrit dans Deb K., and al., "A fast elitist non-dominated sorting genetic algorithm for multi-objective optimization: Nsga-ll", Proc. of the 6th Int. Conf. on Parallel Problem Solving from Nature, pp. 849-858, France, 2000. La méthode de conception optimale utilise ce principe d'optimisation qui permet une vraie optimisation multicritères (sans pondération a priori d'un critère par rapport à un autre), et l'utilisation de variables discrètes. Dans cette méthode, on conçoit un paramétrage discret adapté à la spécification de structures mécatroniques flexibles. La structure de l'algorithme est par exemple organisée comme suit :
• Au vu du cahier des charges du système à concevoir, le concepteur renseigne les valeurs admissibles pour les paramètres (qui sont les variables à optimiser) ; • L'algorithme synthétise des individus puis les évalue selon les critères choisis par le concepteur ;
• Les opérateurs stochastiques, propres aux algorithmes génétiques, modifient la description des structures par des manipulations sur leurs variables discrètes, de façon à synthétiser de nouvelles structures, qui sont ensuite évaluées comme à la génération précédente ;
• Un nouveau cycle de synthèse et d'évaluation est effectué, et ainsi de suite, jusqu'à convergence de l'algorithme (atteinte de l'optimum global) ; • Lorsque la convergence est atteinte, l'algorithme de conception fournit un ensemble de solutions pseudo-optimales, restituées sur un (ou plusieurs dans le cas de plus de 2 critères) fronts de Pareto bidimensionnels. Ensuite, le concepteur choisit et interprète les structures obtenues qui répondent de manière optimale à son cahier des charges. Le processus d'optimisation repose ainsi sur une technique d'optimisation stochastique (algorithme génétique) dans laquelle les solutions candidates sont considérées comme les individus d'une population. Elles sont paramétrées par des chromosomes, eux-mêmes fait de gènes. La population entière évolue avec des opérateurs simplifiés inspirés de la génétique, tels que la sélection, la mutation et le croisement. Par exemple, le génotype d'un assemblage de blocs flexibles est codé par une matrice d'entiers, chacun des entiers faisant référence aux blocs des bibliothèques actives et passives de la figure 1. Dans un exemple d'implémentation mise en œuvre, les blocs actifs sont par exemple dominants sur les blocs passifs, qui sont eux-mêmes dominants sur un bloc vide.
Une modélisation des blocs flexibles élémentaires piézoélectrique 2 peut être mise en œuvre. Pour cette modélisation, seuls les déplacements et forces contenus dans le plan de la structure sont considérés. Il est par exemple fait l'hypothèse que les mécanismes flexibles sont soumis à des déformations structurelles, résultant principalement des flexions des poutres constituant les blocs tels qu'illustrés par exemple par la figure 1. Ainsi, le modèle adopté pour les blocs est obtenu en considérant les hypothèses de Navier-Bernoulli. Les paramètres définissant les blocs sont l'épaisseur, le matériau, la largeur et la hauteur (et la différence de potentiel électrique entre les électrodes supérieure et inférieure pour les blocs actifs). Les caractéristiques du matériau de chaque bloc sont paramétrées par son module d'Young, son coefficient de Poisson, sa limite élastique, sa densité (et les coefficients de couplage piézoélectriques pour les blocs actifs). Avant d'obtenir la formulation du modèle des blocs piézoélectriques, un modèle de la poutre simple est tout d'abord nécessaire. La figure 2 illustre une poutre piézoélectrique 20 avec des électrodes 21 , 22 parfaitement réparties sur ses faces supérieures et inférieures, polarisées avec des potentiels φ-i, φ2 selon l'épaisseur, et orientée dans un repère d'orthotropie (e-i, e2, e3). Sous l'effet du couplage piézoélectrique transverse, une déformation longitudinale Su est occasionnée le long de la dimension L par le champ électrique E3 selon l'épaisseur. Considérant la forme unidimensionnelle des équations piézoélectriques selon l'axe longitudinal de la poutre, les matrices de couplage piézoélectrique d, de permittivité électrique ε et de compatibilité s sont chacune représentées par un coefficient scalaire, d31, ε33 et s-n respectivement. Les relations constitutives de la piézoélectricité pour la déformation Su et le déplacement électrique D3 en fonction de la contrainte T11 et du champ électrique E3 sont dans ce cas ramenées à :
La figure 3 illustre une représentation curviligne de la poutre piézoélectrique 20, représentée par un segment AB, et son orientation dans un système de repère global (O, x, y, z) avec les efforts RA, RB et les moments nodaux HA, HB aux extrémités de la poutre. Le champ de déplacement sur un élément de poutre piézoélectrique est décrit par ses composantes longitudinale u, tangentielle i/et rotationnelle w à l'abscisse curviligne xp (figure 3). Il est exprimé par rapport aux valeurs nodales correspondantes de la poutre, dans le système de coordonnées de la poutre RP = (A, Xp, yp, Zp ) :
Le principe d'Hamilton, généralisé aux systèmes électromécaniques, fournit le modèle du comportement dynamique de la poutre piézoélectrique décrit par exemple dans A.Preumont « Mechatronics : Dynamics of Electromechanical and Piezoelectric Systems (Solid Mechanics and its Applications) », published by Springer, September 25, 2006, :
Mbx\b + Kbx\b = GbΦb + Εrb (2) Les différentes matrices sont calculées sous les hypothèses d'un champ de déplacement interpolé aux nœuds de la poutre, par les fonctions de forme propres aux poutres de Navier-Bernoulli :
- Mb désigne la matrice masse ; - Kb désigne la matrice raideur ;
- Gb désigne la matrice de couplage électromécanique, qui induit le chargement piézoélectrique permettant de réaliser la contraction ou l'élongation de la poutre proportionnellement à la différence de potentiels φi - φ2 ; - Φb = (φ-i, φ2 )f est le vecteur des potentiels électriques sur les faces supérieures et inférieures de la poutre piézoélectrique ;
- Fr6 = (R* R^ H^ R* RB y H| )f est le vecteur des forces nodales mécaniques.
Tout comme pour les blocs passifs, les matrices de masse MB , raideur KB et couplage GB de chaque bloc actif sont obtenues par assemblage matriciel des matrices de masse Mb', raideur Kb', et couplage Gb' de chaque poutre constitutive des blocs. Chacune de ces dernières matrices est exprimée dans le repère global R'=(0, x, y, z) selon la formule de changement de base par :
M6 = PfM6P
K6 = P K6P
G6 = P G, où P est une matrice de changement de repère obtenue classiquement.
Avant de réaliser une optimisation, les matrices masse, raideur et couplage électromécanique de tous les blocs de la bibliothèque sont calculées numériquement, et ce, en considérant toutes les combinaisons possibles des différentes valeurs discrètes autorisées par un concepteur pour les variables d'optimisation (matériaux, taille des blocs...). Ce calcul est réalisé une seule fois. Les résultats sont gardés en mémoire, ce qui permet d'économiser du temps de calcul pendant les processus d'itération des étapes d'optimisation. Durant l'optimisation, l'évaluation des différents critères spécifiés par le concepteur fait appel au calcul du modèle de comportement statique ou dynamique des structures, selon que sont considérés des critères mécaniques statiques, dynamiques ou orientés automatique. Dans le cas dynamique et piézoélectrique (qui est le plus complet), les matrices (exprimées dans le repère R') de tous les blocs constitutifs de la structure sont assemblées pour décrire le comportement conservatif du mécanisme selon : M,ή, + K,η, = G,Φ, + Fr, (3)
Cet assemblage est réalisé pendant le processus d'optimisation pour chaque individu et à chaque génération. Dans la relation (3), ηg fait référence aux déplacements nodaux de la structure-treillis discrétisée en blocs, eux-mêmes discrétisés en poutres. Φg désigne les potentiels électriques appliqués aux électrodes supérieures et inférieures de chaque bloc, et Fr9 les forces mécaniques extérieures appliquées au système.
Dans le cas du calcul dynamique d'une structure purement passive, l'équation (3) se simplifie selon :
MA +κΛ =Fr, Les forces actionneurs sont considérées cette fois-ci comme toutes externes à la structure et comprises dans le terme Fr9.
Dans le cas du calcul du comportement statique d'une structure piézoélectrique, l'équation se ramène à : K η? =G Φ +Fr
Enfin, dans le cas du calcul du comportement statique d'une structure passive, l'équation se ramène à : K^ =Fr^ .
Selon l'invention, deux critères numériques Ji et J2 sont utilisés pour l'évaluation des performances dynamiques du transfert entrée-sortie des systèmes mécatroniques flexibles. Plus particulièrement, ces deux critères permettent de définir une stratégie d'optimisation en vue de la commande ultérieure des systèmes mécatroniques flexibles à réaliser. Les critères Ji et J2 portent sur la réponse en boucle ouverte de ces structures. Ils permettent notamment à la réponse fréquentielle entrée-sortie de respecter certains gabarits et certaines contraintes portant sur la contrôlabilité et l'observabilité jointes de certains modes de vibration. Le critère Ji porte notamment sur l'amplitude de la réponse fréquentielle en boucle ouverte d'un système et le critère J2 porte notamment sur la phase de cette réponse fréquentielle. Ces deux critères Ji et J2 permettent de caractériser respectivement les propriétés dynamiques d'un modèle de système, en amplitude et en phase. Une première difficulté rencontrée lors de la commande de systèmes flexibles est l'identification préalable des modes dominants. Cette étape, nécessaire, permet la construction d'un modèle réduit approprié devant, dans l'idéal, répondre à un double objectif, d'une part être d'un ordre raisonnable pour ne pas complexifier a posteriori la synthèse du régulateur et d'autre part être le plus proche possible du comportement dynamique du système flexible réel, qui est généralement fortement résonant.
Une deuxième difficulté réside notamment dans le choix à adopter sur la stratégie et la synthèse proprement dite de la loi de commande face à de tels systèmes au comportement très oscillant. Face à ce double problème, les deux critères Ji et J2 permettent d'une part de faciliter le calcul d'un modèle réduit le plus précis possible et d'autre part de faciliter la commande du comportement vibratoire de ces structures. Avant de formuler ces critères Ji et J2, on rappelle des équations modales du mouvement des structures flexibles.
Conformément au document de K.B.Lim et al « Actuators and sensor placement for control of flexible structure », in Control and Dynamics Systems : Advances in Theory and Applications, éd. London, Académie Press, 1993, chaque structure flexible synthétisée est définie comme un système linéaire de dimension finie, contrôlable et observable, possédant des pôles complexes conjugués faiblement amortis. Son comportement dynamique conservatif est régi par les équations matricielles différentielles du 2nd ordre suivantes :
MΛ +KΛ = E,U (4)
Chaque élément de u (respectivement y), dénote un actionneur (respectivement capteur) dont le degré de liberté est défini par une valeur non-nulle dans la colonne correspondante de E9 (respectivement ligne de
Fg).
La décomposition modale du système permet de rechercher une solution sous la forme :
Elle consiste en une combinaison linéaire des déformées modales Ψ; . q est le vecteur des déplacements modaux de dimension pχ1. La matrice des vecteurs propres Ψ = [ΨX ... Ψp] , et les pulsations propres associées sont obtenues comme solutions du problème conservatif suivant :
On suppose ici que l'amortissement n'a que peu d'influence sur le positionnement fréquentiel des résonances des structures flexibles. Les pulsations propres sont rangées par ordre croissant &f ≤... ≤ ωp 2 , et Ψ est choisie normalisée par rapport à la matrice masse M.
En remplaçant ηg par Ψq dans la relation (4) et multipliant à gauche par Ψf , les relations d'orthogonalité induites par la forme modale donnent : q + diag(^2)q = ΨfE^u
(5) y = F^Fq
Pour obtenir un modèle d'état des structures, on choisit par exemple le vecteur d'état x de dimension 2p x 1 défini par : x = ( qγ ύ\qι ... qp ωpqp )
Le triplet (A, B, C) de la représentation d'état dans l'espace modal x = Ax + Bu y = Cχ prend la forme particulière
A = , B1 = . C1 = 0 — F^ (6) ω 0 o OJ, 8
La matrice d'évolution A dépend de la structure (fréquences propres et amortissements modaux), la matrice de commande B (respectivement C) dépend de l'emplacement et de la nature des actionneurs (respectivement des capteurs). Dans la suite, on notera Ψ[Eg (de dimension Us) : bi , et F^ Ψ, (de dimension rχ1) : Cj. Dans le domaine fréquentiel, la matrice de transfert entre les entrées u et les sorties y est vue comme la somme de toutes les contributions modales : y(jω) = G{jω)u{jω) où la rxs matrice de transfert vaut : c,b,
G(jω) = ∑Gι (jω) = ∑ tι o^ - ω2 + 2jξιωιω ' La figure 4 présente une forme souhaitée pour la réponse fréquentielle en boucle ouverte d'un système flexible, par exemple d'une structure constituée d'un ensemble de poutres piézoélectriques. Cette forme est représentée par une courbe représentative de l'amplitude, exprimée en dB, par rapport à la pulsation, exprimée en radians/secondes. Pour augmenter l'autorité de contrôle sur les différents modes, les amplitudes des résonnances doivent être maximisées dans la bande fréquentielle [ 0, ωc ], ou bande passante 42, telles qu'illustrées par les pics importants 43 de la courbe 41 à l'intérieur de cette bande de fréquences 42. Au contraire, les amplitudes des pics de résonnance 44 après la pulsation de coupure ωc doivent être minimisées pour limiter la marge de gain et limiter les phénomènes dits de « spillover ». Le critère Ji défini par la suite permet notamment d'évaluer si la réponse d'un modèle de système s'approche du cas idéal de la figure 4. En d'autres termes, le critère Ji permet d'évaluer la capacité de réduction du modèle et sa précision. L'interprétation qu'il est possible de faire de la norme HL de la matrice de transfert, rend possible l'écriture d'un tel critère pour l'obtention de cette forme de réponse fréquentielle. Cette norme caractérise les amplifications maximales que le système peut produire sur les signaux d'entrée. En particulier dans le cas d'une fonction SISO (une seule entrée, une seule sortie), la valeur de l'amplitude maximale Gi du i-ème mode de la réponse fréquentielle peut être approximée, sous l'hypothèse de faibles amortissements, par :
Par ailleurs, les valeurs singulières de Hankel (HSV) associées à la représentation d'état de la relation (6) sont les valeurs du grammien équilibré. Ce grammien est une matrice diagonale positive définie par r = diag(σ! ) , qui caractérise le degré de contrôlabilité et d'observabilité jointes, de chaque composante du vecteur d'état. Dans le présent cas de représentation nodale, chaque HSV caractérise donc ici le degré de contrôlabilité et d'observabilité du mode vibratoire du système en question. Dans le cas de faibles amortissements, les HSV sont définies par : c,b. o, =
II s'ensuite donc que IGJ00 = I^ .
Pour que les k premiers modes résonants, où k < p, soient dominants, ils doivent garantir d'importantes HSV, pour une bonne contrôlabilité/observabilité. Le modèle réduit aux k premiers modes, G1-, est défini selon la relation suivante :
GΓ (J«) = ∑G, (J«) ι=l
Ce modèle Gr reflète le comportement du système complet G avec un écart, relatif aux HSV omises, défini par la relation suivante :
ι=k+l
Pour rendre les k premiers modes dominants et améliorer simultanément la précision du modèle tronqué à ces k premiers modes, le critère d'optimisation J1, fonction d'évaluation, s'écrit donc :
G1 représentant les valeurs singulières de Hankel (HSV) associées à la représentation d'état de la relation (6) pour le mode propre particulier n°i. Ce critère a une fonction d'indicateur, de note, de telle sorte que plus J1 κ est grand plus le système présente de bonnes contrôlabilité et observabilité simultanément pour les k premiers modes et de mauvaises contrôlabilité et observabilité simultanément pour les autres modes. En pratique, ce critère favorisera les systèmes pour lesquels seuls les k premiers modes sont dominants.
Les figures 5a et 5b illustrent les lieux des pôles, représentés par des x, et ceux des zéros, représentés par des o, de la réponse fréquentielle d'un système colocalisé respectivement non amorti et légèrement amorti, dans le plan complexe où les abscisses représentent la réponse réelle Re(s) et les ordonnées représentent la réponse imaginaire lm(s). Un second critère utilisé par le procédé selon l'invention, J2, caractérise le comportement de colocalisation des systèmes flexibles. Une propriété de ces systèmes, avantageusement exploitée par l'invention, est l'alternance des pôles et des zéros dans le demi-plan complexe. De tels systèmes sont à minimum de phase et la réponse en phase oscille continûment entre 0° et 180° correspondant respectivement aux zéros et aux pôles de la réponse. Les systèmes colocalisés sont connus pour ces propriétés intéressantes, qui permettent d'assurer une stabilité de leur commande en boucle fermée. Selon l'invention, une fonction d'évaluation peut être utilisée pour estimer si le comportement d'une structure donnée peut être considéré comme étant proche d'un système colocalisé, donc à critères de stabilité simple. Cette fonction d'évaluation est le critère J2, défini pour les k premiers modes par la relation suivante :
Jk - ∑signicfr) où SIgH(C^1) = +1 ou -1 selon que le signe de l'argument de la réponse complexe est respectivement positif ou négatif, signicfa ) étant égal 0 si l'argument est nul. La somme sur l'indice i concerne tous les modes contenus dans le spectre fréquentiel des k premiers modes.
C1 et bx représentent respectivement l'influence des capteurs et actionneurs sur la réponse fréquentielle entrée/sortie du système. Dans le cas SISO notamment, la maximisation du critère J2 permet de favoriser les structures qui montrent une alternance des pôles et des zéros. Ce critère favorise donc les structures dont les k premiers gains statiques de Gj sont de même signe. En pratique, cela revient à favoriser les systèmes présentant une alternance de pôles et de zéros pour les k premiers modes.
La figure 6 illustre le maillage de la partie symétrique d'un micro-actionneur avec les conditions aux limites, avec quatre blocs 61 , 62, 63, 64 à déterminer et des nœuds 65, 66, 67 admissibles pour le blocage, ces nœuds étant les trois nœuds du bas. Un nœud de sortie 68 représentant le nœud dit effecteur, formant l'organe terminal de l'actionneur. A titre d'exemple, l'optimisation globale réalisée par le procédé selon l'invention est appliquée pour concevoir ce micro-actionneur, plus particulièrement pour concevoir une structure monolithique piézoélectrique, à actionneur intégré, pour des tâches de micromanipulation. La spécification du problème prend ici en compte quatre critères d'optimisation simultanément :
- deux critères mécaniques statiques, les maximisations du déplacement δx et de la force Fx du nœud effecteur 68 de la structure ;
- les deux critères Ji et J2 caractérisant le transfert entre l'actionnement intégré et le nœud effecteur 68.
Dans cet exemple, on choisit de prendre k = 2, c'est-à-dire de ne considérer que les deux premiers modes de résonnance, pour la détermination des critères Ji et J2. Dans ce cas précis, le critère J2 ne peut prendre que deux valeurs discrètes. La valeur maximale est 2, cas de colocalisation, ou 0, cas de non localisation.
Enfin, la synthèse optimale est réalisée dans cet exemple pour un mécanisme symétrique réalisé dans un matériau piézoélectrique. La figure 6 illustre la spécification du problème. Les données fixes sont les dimensions de la partie symétrique, l'amortissement modal et la différence de potentiel électrique V fixée pour les blocs actifs. L'amortissement modal est par exemple pris constant et égal à 1 % pour tous les modes de résonance. Le maillage de la figure 6 est réalisé dans un plan O, x, y. La partie symétrique a pour dimensions L1 x L2, L1 étant par exemple égale à 15mm et L2 à 9mm, pour une épaisseur suivant z de 200μm. Cette partie est formée de quatre blocs 61 , 62, 63, 64 à optimiser, les blocs ayant chacun une dimension a qui lui est propre selon la dimension L1 et une dimension b qui lui est propre selon la dimension L2. Les blocs actifs sont ceux possédant des électrodes alimentées, par la tension V égale par exemple à 200 volts, pour exploiter l'effet piézoélectrique. Les blocs passifs sont faits du même matériau mais sans électrodes. La taille des blocs peut varier pour a entre une valeur maximum amax et une valeur minimum amin de telle façon que le rapport amax/amin puisse varier entre 1 et 2. De même, la dimension b peut varier entre une valeur maximum bmax et une valeur minimum bmin de telle façon que le rapport bmax/bmin puisse varier entre 1 et 2. Dans l'exemple de la figure 6, les paramètres mécaniques à optimiser sont par exemple le déplacement selon l'axe x et la force de serrage selon l'axe x du nœud de sortie 68. En d'autres termes, lorsque la structure est commandée en tension, le nœud de sortie 68 doit produire : - un déplacement δx selon l'axe x le plus grand possible ;
- une force de serrage Fx selon l'axe x la plus grande possible. La commande peut être une tension électrique exerçant une déformation des poutres piézoélectriques.
Les figures 7a, 7b, 7c et 7d illustrent quatre exemples de solutions appelées respectivement A, B, C et D, issues du front de Pareto de dimension quatre (car ici quatre critères d'optimisation sont considérés) obtenu à la convergence de la procédure d'optimisation, pour analyser l'apport de l'utilisation des critères Ji et J2 selon l'invention au cours de l'optimisation. Les performances des quatre structures sont reportées dans le tableau ci- dessous où δx représente le déplacement de l'effecteur 68 le long de l'axe x et Fx sa force de serrage le long de ce même axe.
Solutions Résultats des critères sélectionnées δx Fx Ji J2
A 15,55 μm 1 ,26 N 2,24 0
B 11 ,74 μm 1 ,26 N 21 ,00 0
C 12,34 μm 0,63 N 0,28 2
D 10,69 μm 0,84 N 5842,35 2
Les figures 7a, 7b, 7c et 7d sont les représentations géométriques des quatre actionneurs piézoélectriques. Les structures de ces actionneurs sont composées d'un assemblage de blocs, issus par exemple de la bibliothèque de la figure 1 et formés chacun d'un ou plusieurs segments 3 dont les extrémités forment des nœuds 70 en lesquels les segments peuvent se fixer les uns aux autres.
Les lignes en trait plein 71 représentent les blocs actifs et les lignes en pointillés 72 représentent les blocs passifs. Dans l'exemple de la figure 7a, les deux blocs de gauche 61 , 63 sont passifs, les blocs de droites 62, 64 sont actifs, le nœud du milieu 66 étant bloqué. Dans l'exemple de la figure 7b, les blocs en haut à gauche 61 et en bas à droite 64 sont passifs, les blocs en haut à droite 62 et en bas à gauche sont actifs, les nœuds de gauche 65, 66 étant bloqués. Dans l'exemple de la figure 7c, le bloc de gauche en bas 63 est passif, les blocs de droites 62, 64 sont actifs, les nœuds de droite 66, 67 étant bloqués. Dans l'exemple de la figure 7d, le bloc de gauche en bas 63 est passif, tous les autres blocs 61 , 62, 64 sont actifs, les nœuds de gauche 65, 66 étant bloqués.
Dans le cadre d'une optimisation classique, c'est-à-dire uniquement avec les deux critère mécaniques statiques δx, Fx, seules les solutions A et B auraient été retenues dans une première étape car répondant à l'optimisation ci- dessus, à savoir un déplacement δx selon l'axe x le plus grand possible et une force de serrage Fx la plus grande possible. Les solutions A et B maximisent en effet ces deux critères mécaniques. Les solutions C et D auraient été écartées et supprimées du front de Pareto du fait de leurs performances mécaniques statiques moins bonnes. Mais il s'avère que la structure A possède de mauvaises performances dynamiques en vue de sa commande ultérieure comme l'illustre la figure 8 et que confirment les critères Ji et J2.
La figure 8 présente par un diagramme de Bode la réponse du déplacement δx de l'effecteur 68 suite à une excitation harmonique en tension pour la structure A de la figure 7a. L'amplitude de la réponse est représentée par une première courbe 81 en fonction de la fréquence et la phase est représentée par une deuxième courbe 82 en fonction de la fréquence. La première courbe s'éloignede celle du cas idéal exprimé à la figure 4 pour l'amplitude 81. La second courbe illustre le caractère fortement non à minimum de phase. La courbe en phase 82 montre que le transfert entrée- sortie n'a pas la propriété intéressante d'alternance de pôles et de zéros, qui était illustrée aux figures 5a et 5b, exprimée par oscillations continues de la phase entre O° et -180°, dans le spectre choisi. En effet une discontinuité 83 apparaît rompant la succession continue des pôles et des zéro, correspondant à la succession de deux antirésonances entre les deux premières résonances 84, 85 et effectivement J2 est égal à 0 dans le tableau précédent. Par ailleurs, l'autorité de contrôle sur ces deux premières résonances est faible en comparaison des autres modes. En effet les pics 84, 85 qui les représentent ne sont pas maximisés par rapport aux autres pics 86 placé en dehors de la bande de fréquence d'intérêt, et dont la valeur de l'amplitude n'est pas réduite, correspondant à une absence de chute du gain, ce qui est confirmé par la faible valeur de J-i.
La figure 9 présente toujours par un diagramme de Bode la réponse fréquentielle du déplacement δx de l'effecteur 68 dans les mêmes conditions mais pour la structure B de la figure 7b, par une courbe en amplitude 91 et une courbe en phase 92. Des remarques du même ordre que celles sur la structure A peuvent être faites. L'autorité de contrôle sur les deux premiers modes de résonance est correcte comme le montre la chute importante du gain après la deuxième résonnance 93 sur la courbe d'amplitude 91 , ce qui est confirmé par une assez bonne valeur du critère Ji dans le tableau précédent. Cependant, on n'observe pas le caractère d'alternance continue entre les pôles et les zéros au vu de la courbe de phase 92 en dans le domaine fréquentiel d'intérêt et J2 vaut effectivement 0.
La figure 10 illustre le cas de la structure C de la figure 7c. Dans ce cas où le critère J2 est égal à 2, la réponse fréquentielle présente une alternance résonance / antirésonance qui varie bien continûment jusqu'au second mode de résonance comme le montre la courbe d'amplitude 101 du diagramme de Bode. En revanche, il existe des modes de résonance de plus haute fréquence qui sont aussi dominants que certains modes du domaine fréquentiel d'intérêt. Par exemple, l'amplitude de la quatrième résonance 103 est presque aussi importante que l'amplitude de la première 104, ce que confirme la très faible valeur du critère J-i, si bien que ces modes résonants à haute dynamique ne peuvent être raisonnablement négligés dans la synthèse du modèle réduit, ce qui engendrerait une phase d'identification et de synthèse de régulateur infaisables vu le nombre très important de dynamiques qu'il faudrait considérer pour aboutir à un modèle précis.
Enfin, la figure 1 1 illustre le cas de la structure D de la figure 7d. Il s'avère finalement que cette structure peut présenter un compromis intéressant. La forme de sa réponse fréquentielle est bien celle attendue, aussi bien en amplitude comme l'illustre la courbe 1 1 1 du diagramme de Bode, où il y a une nette décroissance après la deuxième résonance 113, qu'en ce qui concerne l'alternance continue des résonances et des antirésonances dans le domaine fréquentiel d'intérêt. Cela fait de cette structure un système mécatronique dont le modèle tronqué (limité aux deux premières résonances) sera précis, facile à identifier et apte à une synthèse aisée de son régulateur au vu du critère J1 , et dont la stabilité de sa commande ultérieure en boucle fermée sera garantie au vu du critère J2. La structure D apparaît comme celle qui présente le meilleurs compromis entre les performances mécaniques, liées aux critères δx et Fx et les performances dynamiques, en vue de la commande, liées aux critères Ji et J2. Les exemples précédents montrent que les critères Ji et J2 permettent de prendre en compte dès l'étape de conception certaines caractéristiques de la réponse dynamique d'un système, influant notamment sur sa commande ultérieure. Plus précisément, ils permettent de concevoir des systèmes flexibles qui présentent des caractéristiques fréquentielles propices à lïmplémentation de lois de commande classiques, simples et/ou dédiées aux systèmes flexibles.

Claims

REVENDICATIONS
1. Procédé de réalisation d'un système mécatronique flexible, caractérisé en ce qu'il comporte au moins :
- une étape de modélisation du système par un maillage aux éléments finis; - une étape de simulation du comportement d'un nœud terminal (68) du modèle en réponse en boucle ouverte à un signal de commande ;
- une étape de caractérisation de ladite réponse par au moins un critère mécanique (δx, Fx) et au moins un critère numérique J2 k représentatif de l'alternance des résonances et antirésonances de la réponse dans le domaine fréquentiel, dans une bande de fréquences choisie ; les étapes précédentes étant susceptibles d'être réitérées, ces étapes étant suivies d'une étape de sélection d'une conception obtenue en fonction des critères définis dans l'étape de caractérisation, le système étant réalisé à partir de la conception sélectionnée.
2. Procédé selon la revendication 1 , caractérisé en ce que le critère J2 k est défini par la relation suivante :
Jk - ∑signicfr) où k est le nombre de premiers modes de résonance (93) de ladite réponse en fréquence et C1 et bι représentent respectivement l'influence des capteurs et actionneurs sur la réponse fréquentielle entrée/sortie du système.
3. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que l'étape de caractérisation comporte un autre critère numérique J/ représentatif de l'amplitude relative des pics de résonance (43, 44) de ladite réponse en fonction de la fréquence, ces pics de résonance étant respectivement choisis en amont et en aval d'un numéro de mode prédéterminé.
4. Procédé selon la revendication 3, caractérisé en ce que le critère J/ est défini par la relation suivante :
où k est le nombre des premiers modes devant être dominants (1 13) par rapport à tous les autres modes de ladite réponse en fréquence et O1 , défini à partir de la représentation d'état qui caractérise complètement la relation entrée/sortie du mécanisme, est la i-ème Valeur Singulière de Hankel du système flexible.
5. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'un mode de réalisation est sélectionné lorsque le critère
J2 k est supérieur à une valeur donnée.
6. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'un mode de réalisation est sélectionné lorsque le critère J/ est supérieur à une valeur choisie par l'utilisateur/le concepteur.
7. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le maillage est composé d'une combinaison de blocs élémentaires (61 , 62, 63, 64) à déterminer, chaque bloc autorisé étant formé d'un assemblage prédéfini de segments représentant des poutres élémentaires (3), ledit maillage comportant au moins un bloc actif (71 ) commandable au moyen d'un signal de commande.
8. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 6, caractérisé en ce que le maillage étant composé d'une combinaison de blocs élémentaires
(61 , 62, 63, 64) à déterminer, chaque bloc autorisé étant formé d'un assemblage prédéfini de segments représentant des poutres élémentaires (3), ledit maillage comporte au moins un nœud commandable au moyen d'un signal de commande.
9. Procédé selon l'une quelconque des revendications 7 ou 8, caractérisé en ce que les blocs sont issus d'une bibliothèque de blocs prédéfinis.
10. Procédé selon l'une quelconque des revendications 7 à 9, caractérisé en ce qu'une commande d'un bloc actif s'exerce par un signal de déformation d'une au moins de ses poutres.
11. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce qu'un critère mécanique statique est le déplacement δx du nœud terminal (68).
12. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le nœud terminal (68) étant un effecteur, un critère mécanique est la valeur de la force qu'il applique au milieu extérieur Fx.
13. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le signal de commande est un signal de tension ou de courant électrique.
14. Procédé selon l'une quelconque des revendications précédentes, caractérisé en ce que le système est un actionneur piézoélectrique, toutes les poutres constituant un bloc actif étant commandées par un signal de tension électrique.
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