EP1996367A1 - Procede de determination de la forme d'un bain de fusion apparaissant lors de la mise en uvre d'un procede de soudage - Google Patents

Procede de determination de la forme d'un bain de fusion apparaissant lors de la mise en uvre d'un procede de soudage

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EP1996367A1
EP1996367A1 EP07712534A EP07712534A EP1996367A1 EP 1996367 A1 EP1996367 A1 EP 1996367A1 EP 07712534 A EP07712534 A EP 07712534A EP 07712534 A EP07712534 A EP 07712534A EP 1996367 A1 EP1996367 A1 EP 1996367A1
Authority
EP
European Patent Office
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solid
temperature
points
melt
shape
Prior art date
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Withdrawn
Application number
EP07712534A
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German (de)
English (en)
Inventor
Duc Dung Doan
Franck Gabriel
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Commissariat a lEnergie Atomique et aux Energies Alternatives CEA
Original Assignee
Commissariat a lEnergie Atomique CEA
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Filing date
Publication date
Application filed by Commissariat a lEnergie Atomique CEA filed Critical Commissariat a lEnergie Atomique CEA
Publication of EP1996367A1 publication Critical patent/EP1996367A1/fr
Withdrawn legal-status Critical Current

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    • B—PERFORMING OPERATIONS; TRANSPORTING
    • B23—MACHINE TOOLS; METAL-WORKING NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • B23K—SOLDERING OR UNSOLDERING; WELDING; CLADDING OR PLATING BY SOLDERING OR WELDING; CUTTING BY APPLYING HEAT LOCALLY, e.g. FLAME CUTTING; WORKING BY LASER BEAM
    • B23K31/00—Processes relevant to this subclass, specially adapted for particular articles or purposes, but not covered by any single one of main groups B23K1/00 - B23K28/00
    • B23K31/02—Processes relevant to this subclass, specially adapted for particular articles or purposes, but not covered by any single one of main groups B23K1/00 - B23K28/00 relating to soldering or welding
    • B—PERFORMING OPERATIONS; TRANSPORTING
    • B23—MACHINE TOOLS; METAL-WORKING NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • B23K—SOLDERING OR UNSOLDERING; WELDING; CLADDING OR PLATING BY SOLDERING OR WELDING; CUTTING BY APPLYING HEAT LOCALLY, e.g. FLAME CUTTING; WORKING BY LASER BEAM
    • B23K9/00—Arc welding or cutting
    • B23K9/10—Other electric circuits therefor; Protective circuits; Remote controls
    • B23K9/1006—Power supply
    • B23K9/1043—Power supply characterised by the electric circuit
    • B23K9/1056—Power supply characterised by the electric circuit by using digital means
    • B23K9/1062—Power supply characterised by the electric circuit by using digital means with computing means

Definitions

  • the invention relates to a method for determining the shape of a liquid metal melt occurring during the implementation of a method of welding a first part and a second part.
  • the direct method is to attempt to solve the problem of heat transfer in the two parts of welded structure, the melted part and the solid part. To do this, we must resolve the Navier equations Stored in the liquid, the energy conservation equations taking into account the interaction between the energy arc and the part, the interaction between the liquid part and the solid part, and the equations of the transfer of heat in the solid.
  • the equivalent source method consists of giving a priori a form of the energy source and then solving a problem of nonlinear conduction of heat in the parts to be assembled.
  • the parameters of this source of energy are identified by an inverse problem from the temperature measured in the solid and the macrography of the welding bath (cf ref [2] or ref [3]).
  • This method provides access to the thermal loading of the welding process but:
  • the present invention relates to a method for determining the shape of a melt which overcomes these disadvantages.
  • This process is characterized by the following steps: a) a welding method is chosen; b) a two-dimensional or three-dimensional virtual bath shape is chosen according to the welding method chosen in step (a); c) model the shape of the virtual melt by a mathematical function that contains parameters to identify; d) calculating the temperature field in a virtual solid surrounding the melt by imposing boundary conditions; e) making a real copy of the first and second pieces; f) they are welded using the process chosen in step (a), which reveals a real melt and solid zone; g) measuring the temperature in M points of the real solid zone, M being at least equal to the number of parameters to be identified; h) comparing the temperatures measured in step (g) with the calculated temperatures at the same points in step (d) by calculating the function
  • the mathematical function that contains parameters to be identified is a Bezier curve or surface.
  • the mathematical function that contains parameters to be identified is a Bézier surface defined by the equation: mn TYl Tl
  • step (j) the Levenberg-Marquardt algorithm is used to choose another form of virtual bath.
  • step (d) the temperature field is calculated in a virtual solid surrounding the melt by solving the following equation system: dT s (x, y) r -, hp
  • T (x, y) T f (x, y) eF (3)
  • step (d) the temperature field is calculated in a virtual solid surrounding the melt by solving the following equation system:
  • the welding process is chosen from the group comprising TIG, MIG / MAG, electron beam, plasma, laser, hybrid welding processes.
  • the degree of the Bézier curve is equal to 3 or 4 in 2D and the degree of the Bézier surface is between 2x3 and 4x3 in 3D.
  • Figure 1 illustrates a Bezier curve with four control points
  • Figure 2 is a macrography of a non-debonding melt
  • FIG. 3 is a view of a curve of
  • FIG. 5 is a view of a curve of
  • FIG. 6 is a diagram illustrating an example of a two-dimensional melt
  • Figures 7 to 9 are three Bézier curves of degree 4 (of order 5)
  • Fig. 10 is a diagram of the welding process
  • FIG. 11 is a diagram of the spatial domain in 2D case
  • Figure 12 is a diagram of the spatial domain in 3D case
  • Figure 13 illustrates the Bezier surface of degree 3x2 with its control points
  • Figure 14 illustrates the temperature field calculated in 3D case.
  • the shape of the bath is parameterized with a Bézier curve of degree n (or a Bézier surface of degree m ⁇ n).
  • the classical definition of Bézier curves and surfaces is based on the family of Bernstein polynomials. These polynomials were used by Bernstein for the polynomial approximation of functions. They are used in the description of the Bézier model by the definition points named also Bézier points or "points of control".
  • the Bezier curve with four control points is then formulated as follows:
  • This curve passes through the points Po (x0, y0) and P3 (x3, y3). Its tangent to these points is the line connecting Po (xO, yO) to Pi (xl, yl) and the connecting line
  • FIG. 2 shows a macrography of the fusion front of a non-emergent weld and in FIG. 3 the parametrization of this fusion front by a Bezier curve of degree 3.
  • FIG. 4 shows the macrography of the melting front of an open weld and in FIG. 5 the parametrization of this fusion front by another Bezier curve of degree 3.
  • FIG. 3 shows a macrography of the melting front of an open weld and in FIG. 5 the parametrization of this fusion front by another Bezier curve of degree 3.
  • FIG. 3 shows only half of the fusion front has been shown.
  • FIGS. 7 to 9 show Bezier curves of order 5.
  • a parametric surface is the extension of the parametric curve in which we have two parameters u and v which each vary in [0,1].
  • P (u, v) passes through all points on the Bézier surface.
  • P 13 is the control point
  • mxn is the degree of the Bézier surface
  • the surface is continuous in the convex envelope of polygon P 00 , P 0n , P m0 , P mn . "The control of the surface is global. • The Bezier surface is independent of the axis system to which it is attached.
  • melts can be configured in three dimensions.
  • the fusion front F is interpreted by the coordinates of the control points.
  • F (P 0 , Pi ..., PN) where N is the number of parameters to identify.
  • M M measuring points to identify N parameters, then M ⁇ N.
  • F (P 0 , Pi ..., P N ) is known, the temperature field in the solid T (F) can be obtained by solving the heat transfer problem. It also means that the temperature field changes when we modify the shape of F (P 0 , Pi, ..., P N ).
  • coefficient of sensitivity ie the derivative of the temperature in relation to the parameters to be identified
  • the sensitivity matrix is defined as follows:
  • T 1 T 0 + [(J (T 0) YJ (T 0) + (P 0 Q 0 Y (J (T 0) Y [YT (T 0)]
  • ⁇ o is a positive scalar appointed damping parameter
  • ⁇ o is a diagonal matrix
  • the objective of the term ⁇ o ⁇ o is to dampen the oscillations and instabilities due to the misplaced nature of the problem.
  • the damping parameter ⁇ o is chosen large at the beginning of the iterative procedure (the method is then close to the method of the steepest slope) then, is reduced when one approaches the solution (the method joins the method of Gauss).
  • Example 1 two-dimensional fusion front. It is desired to weld two plates 2.4 end to end. Each of the plates has a width L y , a length 2L x and a thickness e.
  • a torch 6 generates an electric arc having sufficient intensity to melt the metal and form a melt 8. It travels with a constant speed u along the x-axis on the edge of the two plates 2 and 4.
  • the bath 8 melting zone is moved at the same speed as the torch 6.
  • a melting zone 10 is formed behind the displacement of the melt 8.
  • the objective is to find by the inverse method the shape of the bath and the temperature field in the solid region with the minimum of parameters to identify.
  • the thermal field in the solid is determined by considering the temperature imposed on the liquid-solid interface, equal to the melting temperature T f .
  • This curve is based on four control points Po, Pi, P2 and P3 (that is to say eight coordinates in two-dimensional case), and has the formula:
  • X to identify remains limited.
  • some coordinates of the control points may be constrained a priori by the physical nature of the problem.
  • T (x, y) T f (x, y) eT (3)
  • the temperature field T (x, y; F) in the solid is accessed for the form of the melt of step 1.
  • the temperature Y m in the solid is measured in a number of M measuring points 12 at least equal to the number of parameters to be identified (3 as we have seen above).
  • M 5 is chosen (ie 5 temperature measurements are made using a single thermocouple). Only one thermocouple is needed to have multiple measurement points. In quasi stationary, the different positions x m correspond to different recording times x m -uxt m , therefore, one can have several measurement points using a single thermocouple.
  • Example 2 3D case opening. As in the case of the two-dimensional example, it is desired to weld two plates end to end.
  • Each of the plates has a width L y , a length 2L x and a thickness e (see Figure 12).
  • the problem is physically defined as follows: an electric arc of sufficient intensity moves with a constant speed along the x-axis and is applied to the edge of two metal plates. A melt is formed and moves at the same speed as the electric arc.
  • the assumptions made to define this problem are as follows: • At torch speed u constant, the transfers are non-stationary in a reference linked to the plate. However, by using a reference linked to the torch, a quasi-steady state is obtained: the shape of the molten bath remains constant in this frame while the material enters and leaves the field of study. The mobile repository of the torch is therefore used for the analysis of the inverse problem.
  • the shape of the liquid-solid interface F is parameterized by a Bézier surface.
  • the thermal field in the solid is determined by considering the temperature imposed on the liquid-solid interface, equal to the melting temperature T f .
  • Step 1
  • T (x, y, z) T f in (x, y, z) eT (5)
  • S is the area of the section of the room and its perimeter Adiabatic conditions (2) are considered on the edges of the computational domain without loss of generality.
  • the temperature is imposed (5)
  • the temperature field T (x, y, z; F) in the solid is accessed for the melt form of step 1.
  • This estimated field is represented in FIG. 14.
  • thermocouples the temperature Y m in the solid in a number of points M at least equal to the number of parameters to be identified (9 as has been seen above) .
  • M 10 is chosen (ie 10 temperature measurements are made using a single thermocouple). Only one thermocouple is needed to have multiple measurement points. In quasi stationary, the different positions xm correspond to different recording times x m -uxt m , therefore, one can have several measurement points using a single thermocouple.

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Abstract

Procédé de détermination de la forme d'un bain de fusion. Selon le procédé : a) on choisit un procédé de soudage; b) on choisit une forme bidimensionnelle ou tridimensionnelle de bain virtuel; c) on modélise la forme du bain de fusion virtuel par une fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier; d) on calcule le champ de température dans un solide virtuel entourant le bain de fusion en imposant des conditions aux limites; e) on fabrique un exemplaire réel de la première et de la seconde pièces (2, 4); f) on les soude au moyen du procédé choisi; g) on mesure la température en M points de la zone solide réelle, h) on compare les températures mesurées à l'étape (g) aux températures calculées, aux mêmes points, à l'étape (d) en calculant la fonction (I) en deux dimensions ou la fonction (II) en trois dimensions i) on compare S(G)à une valeur prédéfinie; j) si S(G) est supérieur à la valeur prédéfinie, on choisit une autre forme de bain virtuel et on réitère les étapes (c) à (h) jusqu'à ce que S(G) soit inférieur à la valeur prédéfinie; k) si ou lorsque S(G) est inférieur à la valeur prédéfinie, on accepte la forme du bain de fusion virtuel qui a permis de calculer S(G) comme valeur réelle et on accepte le champ de température calculé à partir de cette forme comme le champ de température réel.

Description

PROCEDE DE DETERMINATION DE LA FORME D'UN BAIN DE FUSION APPARAISSANT LORS DE LA MISE EN ŒUVRE D'UN
PROCEDE DE SOUDAGE
DESCRIPTION
DOMAINE TECHNIQUE
L' invention concerne un procédé de détermination de la forme d'un bain de fusion de métal liquide apparaissant lors de la mise en œuvre d'un procédé de soudage d'une première pièce et d'une seconde pièce.
Pour améliorer la productivité et réduire les coûts, les industriels de l'automobile, de l'aéronautique, etc. s'orientent de plus en plus vers des outils de simulation. C'est le cas en particulier en ce qui concerne les opérations de soudage.
L'un des enjeux industriels majeurs de l'assemblage par soudage concerne la prédiction des effets mécaniques du procédé (contraintes résiduelles, distorsions, résistance à la fatigue...). Ces effets sont directement dépendants des évolutions de températures imposées par le procédé de soudage i.e. le chargement thermique du procédé.
Pour pouvoir accéder à ce chargement thermique du procédé, deux méthodes sont couramment utilisées : la méthode directe et la méthode dite de la source équivalente. La méthode directe consiste à tenter de résoudre le problème de transfert de chaleur dans les deux parties de structure soudée, la partie fondue et la partie solide. Pour ce faire, il faut résoudre les équations de Navier Stockes dans le liquide, les équations de conservation d'énergie en tenant compte de l'interaction entre l'arc d'énergie et la pièce, l'interaction entre la partie liquide et la partie solide, et les équations du transfert de chaleur dans le solide.
L'ensemble des équations ci-dessus n'a jamais été résolu dans sa totalité. En effet, la complexité du problème est telle qu'une partie seulement de ce problème a trouvé des solutions pour des effets particuliers, par exemple l'effet de tension de surface, l'effet Marangoni .
La méthode de la source équivalente consiste à donner a priori une forme de la source d'énergie pour ensuite résoudre un problème de conduction non linéaire de la chaleur dans les pièces à assembler. Les paramètres de cette source d'énergie sont identifiés par un problème inverse à partir de la température mesurée dans le solide et la macrographie du bain de soudage (cf. réf [2] ou réf [3]).
Cette méthode permet d' accéder au chargement thermique du procédé de soudage mais :
• Le modèle de source est spécifique à chaque procédé de soudage. • On impose une solution qui n'est pas nécessairement représentative de la physique des processus mis en œuvre.
• La simulation des températures au voisinage du bain de fusion est difficile à réaliser. La présente invention a pour objet un procédé de détermination de la forme d'un bain de fusion qui remédie à ces inconvénients.
Ce procédé se caractérise par les étapes suivantes : a) on choisit un procédé de soudage ; b) on choisit une forme bidimensionnelle ou tridimensionnelle de bain virtuel en fonction du procédé de soudage choisi à l'étape (a) ; c) on modélise la forme du bain de fusion virtuel par une fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier ; d) on calcule le champ de température dans un solide virtuel entourant le bain de fusion en imposant des conditions aux limites ; e) on fabrique un exemplaire réel de la première et de la seconde pièces ; f) on les soude au moyen du procédé choisi à l'étape (a), ce qui fait apparaître un bain de fusion et une zone solide réels ; g) on mesure la température en M points de la zone solide réelle, M étant au moins égal au nombre de paramètres à identifier ; h) on compare les températures mesurées à l'étape (g) aux températures calculées, aux mêmes points, à l'étape (d) en calculant la fonction
Λ M 2
S(F) =—V\T(xm,ym;F)-Ym\ en deux dimensions
Mf
ou la fonction en trois dimensions ; i) on compare 1^(T) à une valeur prédéfinie ; j) si 5*(r) est supérieur à la valeur prédéfinie, on choisit une autre forme de bain virtuel et on réitère les étapes (c) à (h) jusqu'à ce que «S*(r) soit inférieur à la valeur prédéfinie ; k) si ou lorsque S(T) est inférieur à la valeur prédéfinie, on accepte la forme du bain de fusion virtuel qui a permis de calculer S(T) comme valeur réelle et on accepte le champ de température calculé à partir de cette forme comme le champ de température réel.
Grâce à ces caractéristiques, on fait abstraction des phénomènes thermiques complexes qui se passent dans le liquide, ce qui simplifie le problème à résoudre de manière très importante en réduisant beaucoup le nombre des paramètres à déterminer. De plus, en accédant au champ de températures et à S(F) , on accède également à la quantité d'énergie qui traverse le front de fusion.
Avantageusement, mais non nécessairement, la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une courbe ou une surface de Bézier.
Dans le cas d'un front de fusion bidimensionnel la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une courbe de Bézier définie par l'équation :
où P(t) passe par tous les points de la courbe de Bézier, où P1 est le point de contrôle, n le degré de la courbe de Bézier, N=n+1 le nombre de points de n contrôle P1, te [0,1] et B (t) sont des polynômes de i
Bernstein .
Dans le cas d'un front de fusion tridimensionnel la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une surface de Bézier définie par l'équation : m n TYl Tl
P(u,v) = ∑∑B . (u)B .(v)P, avec u e [0,l],v e [0,1]
I =O j = O l J
Bm(u) = — — u (1 - u)" i i\(m - i)\
BH(v) = vJ (1 - v)"-}
J JKn - J)I où P (u, v) passe par tous les points de la surface de Bézier, P13 est le point de contrôle, mxn est le degré de la surface de Bézier il y a (m+l)x(n +l) points de contrôle dont (m+1) points dans la direction « i » et (n+1) points dans la direction « j » ; m n B (u),B (y) sont des polynômes de Bernstein. i J Avantageusement à l'étape (j), on utilise l'algorithme de Levenberg-Marquardt pour choisir une autre forme de bain virtuel.
Dans le cas d'un bain bidimensionnel, à l'étape (d) , on calcule le champ de température dans un solide virtuel entourant le bain de fusion en résolvant le système d'équation suivant : dTs(x,y) r -, hp
Pscsu ^x = V [Z3VT1 (x, y)]-γ(Ts- Tιmp ) (x, y) , :Ω :D
— — = 0 en y = L ; — — = 0 en x = - L1 et — — = 0 en y = 0 ( 2 ) dy dx dy
T=Timp en x=+L2 ; T(x,y)=Tf (x, y) eF (3)
avec : λs Conductivité du solide, Ts Température dans le Wm-1K"1 solide, 0C ps Masse volumique du solide, Te Température extérieure, kg m"3 0C c Capacité thermique Timp Température imposée, massique, J kg"1 K"1 °ç u Vitesse du moyen de Tf Température de fusion, soudage, m s"1 °C
F Interface Liquide-Solide Ωs Domaine solide h Coefficient d'échange α émissivité
Dans le cas d'un bain tridimensionnel, à l'étape (d) , on calcule le champ de température dans un solide virtuel entourant le bain de fusion en résolvant le système d'équation suivant :
Pfi ju dTΛX dχ'y'Z) - V [AV Ts (x, y, z)] (x,y,z)eΩs (1)
— —=0en y = LΛ>; — — = 0 en x = -L, et — — = 0 en y = 0 ιo\ dy y dx dy dT(x, v,zn) -λs — g^ +hT(x,y,zQ) = hTe enz = zQ=0 (3) dT(x,y, z )
- + hT{x,y,z *eepD) > = hTe en z = z "eepD = e : 4 ) dz
T=Timp en x=+L2 ; T ( x , y, z ) =Tf [ x , y, z ) eF : 5 )
Le plus souvent le procédé de soudage est choisi dans le groupe comprenant les procédés de soudage TIG, MIG/MAG, par faisceau d'électrons, plasma, laser, hybride.
Pour la plupart des besoins, le degré de la courbe de Bézier est égal à 3 ou 4 en 2D et le degré de la surface de Bézier est compris entre 2x3 et 4x3 en 3D.
D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront encore à la lecture de la description qui suit d'exemples de réalisation faite en référence aux figures annexées. Sur ces figures : la figure 1 illustre une courbe de Bézier avec quatre points de contrôle ; la figure 2 est une macrographie d'un bain de fusion non débouchant ; - la figure 3 est une vue d'une courbe de
Bézier de degré 3 correspondant à la macrographie de la figure 2 ; la figure 4 est une macrographie d'un bain de fusion débouchant ; - la figure 5 est une vue d'une courbe de
Bézier de degré 3 correspondant à la macrographie de la figure 4 ; la figure 6 est un schéma qui illustre un exemple de bain de fusion bidimensionnel ; les figures 7 à 9 sont trois courbes de Bézier de degré 4 (d'ordre 5) ; la figure 10 est un schéma du procédé de soudage ; - la figure 11 est un schéma du domaine spatial en cas 2D ; la figure 12 est un schéma du domaine spatial en cas 3D ; la figure 13 illustre la surface de Bézier de degré 3x2 avec ses points de contrôle ; la figure 14 illustre le champ de température calculé en cas 3D.
Différents procédés de soudage (M. I. G, M. A. G, Laser, faisceau d'électrons, hybride...) donnent différentes formes de bain fondu. Pour avoir accès à des formes très libres avec le minimum de paramètres conformément à l'invention, on paramètre la forme du bain avec une courbe de Bézier de degré n (ou une surface de Bézier de degré mxn) . La définition classique des courbes et des surfaces de Bézier s'appuie sur la famille des polynômes de Bernstein. Ces polynômes ont été utilisés par Bernstein pour l'approximation polynomiale des fonctions. Ils sont utilisés dans la description du modèle de Bézier par les points de définition nommés aussi points de Bézier ou encore « points de contrôle ». Les propriétés essentielles de ces polynômes proviennent de leur intervention à l'intérieur de la formule du binôme lors du développement de (t+(l-t))n avec n un entier naturel non nul . Pour avoir les fonctions de base de Bernstein, on écrit le chiffre 1 sous la forme : l=(t+(l-t))n.
Ainsi, dans le cas 2D : La valeur de n définit le degré du polynôme de Bernstein et également le nombre de points de contrôle (N=n+1), donc, le type de la courbe de Bézier.
Par exemple, pour n=3 on a :
I=I3= (t+ (1-t) )3=(l-t)3+3 (l-t)2t+3 (1-t) t2+t3 donc, les fonctions basiques sont :
B0(t) = (l-t)3
Bl(t)=3(l-t)2t
B2 (t)=3 (1-t) t2
B3 (t)=t3 et bien sûr on a
BO (t)+Bl (t)+B2 (t)+B3 (t)=l, Vt
Pour construire une courbe, on a besoin ensuite de 4 points de contrôle. Dans le plan (x, y) par exemple, on désigne ces quatre points de contrôle par P0(x0, yO), Pi (xl, yl), P2(x2, y2), P3(x3, y3) (voir figure 1) .
La courbe de Bézier avec quatre points de contrôle est alors formulée comme suit :
P(t)=B0 (t)P0+Bl (t)Pi+B2 (t)P2+B3 (t)P3, te [0, 1] ou bien sous forme vectorielle
(xOBO (t) +xlBl (t) +x2B2 (t) +x3xB3 (t) , ylBl (t)+y2B2 (t)+y3B3 (t) )
Cette courbe passe par les point Po(xO,yO) et P3(x3,y3) . Sa tangente à ces points est la ligne reliant Po(xO,yO) à Pi(xl,yl) et la ligne reliant
P3(x3,y3) à P2(x2,y2) . La forme de la courbe dépend de la position de Pi(xl,yl) et P2(x2,y2). On peut formuler de façon générale l'équation de la courbe de Bézier de degré n (ordre n+1) de la manière suivante : n
P(t) = ∑Bn(t)Pι
n
B (t) sont des polynômes de Bernstein. i
Plusieurs études en soudage nous donnent des formes possibles de zone de fusion, donc, de front de fusion de plusieurs procédés de soudage. Ce front est caractérisé par certaines formes : parabole, conique, triangle ou des formes plus compliquées comme à renflement ou en tête de clou. En utilisant la courbe de Bézier de degré 1 à 4, on peut interpréter la plupart de ces formes. On décrira maintenant les courbes de Bézier de degré 3 et 4, dont l'application est très large.
La courbe de Bézier de degré 3 (n=3) est définie par les équations suivantes : P(t) = (l-t)3P0+3 (l-t)2tPi+3 (1-t) t2P2+t3P3 O≤t≤l P' (t)=-3 (l-t)2P0+3 (1-t) (l-3t)Pi+3t (2-3t)P3+3t2P3
En étudiant les formes possibles de la courbe de Bézier de degré trois (figure 1), on montre qu'avec quatre points de contrôle on arrive à interpréter la plupart des formes de front de fusion. A titre d'illustration, on a représenté sur la figure 2 une macrographie du front de fusion d'une soudure non débouchante et sur la figure 3 la paramétrisation de ce front de fusion par une courbe de Bézier de degré 3. Sur la figure 4 on a représenté la macrographie du front de fusion d'une soudure débouchante et sur la figure 5 la paramétrisation de ce front de fusion par une autre courbe de Bézier de degré 3. Dans le cas de la figure 3 comme dans le cas de la figure 5, la moitié seulement du front de fusion a été représenté. On voit donc qu'avec des formes de courbe de Bézier de degré 3 on arrivera à interpréter la plupart des formes possibles du front de fusion. Notons que pour les quatre points de contrôle, les deux points P0 et P3 sont imposés par la macrographie parce qu' ils sont visibles directement sur la macrographie et qu' il est clair qu' il restent les même tout au long du processus (voir figure 6) . La question est donc de déterminer Pi et P2 tels que la forme de la macrographie est retrouvée.
Avec les courbes de Bézier de degré 3 (d'ordre 4) on peut paramétrer :
• La plupart des formes de front de fusion du procédé faisceau d'électrons sauf le cas de renflement .
• Les formes simples du front de fusion en cas de soudage laser.
• Toutes les formes de front de fusion en cas de soudage TIG débouchant et non-débouchant et en cas de soudage MIG/MAG.
La courbe de Bézier de degré 4 (n=4) est définie par l'équation suivante :
P(t) = (l-t)4P0+4 (l-t)3tPi+6 (l-t)2t2P2+4 (1- t ) t3P3+t4P4 O≤t≤l Mis à part le procédé de soudage hybride qui crée des zones de fusion plus complexes on peut paramétrer la plupart des formes de front créées lors du soudage. Evidemment, il est alors plus difficile de paramétrer les fronts car on a ici une courbe d' ordre 5 ayant 5 points de contrôle dont on ne connaît en général que deux par avance. En plus de toutes les formes accessibles aux courbes de Bézier d'ordre 1 à 4, on a représenté sur les figures 7 à 9 des courbes de Bézier d'ordre 5.
Avec la courbe de Bézier de degré 4 (d'ordre 5) on peut paramétrer :
• Toutes les formes simplifiées du front de fusion obtenues par soudage, (faisceaux d'électrons) et laser en occultant les effets d'instabilité.
• Toutes les formes de front de fusion dans le cas du soudage TIG débouchant et non-débouchant et dans le cas du soudage MIG/MAG.
• Les formes simples de front de fusion dans le cas du soudage hybride.
Dans le cas d'un bain de fusion tridimensionnel :
La définition d'une surface paramétrique est l'extension de la courbe paramétrique dans laquelle on a deux paramètres u et v qui varient chacun dans [0,1] .
Pour avoir les fonctions de base de Bernstein, on écrit le chiffre 1 sous la forme : l=(u+ (1-u) )m et l=(v+ (1-v) )n. La valeur mxn définit le degré de la surface de Bézier. Généralement, la surface de Bézier est formulée comme suit : m n m n
P(u,v) = ∑∑B \u)B Xv)Pyavecue[0,\],ve[0,\] ι=0 j=0
m m\
B . («) = — -K1O-K)' i ι\(m-i)\
n «ι
B (v) = vJ(l-v)n~J
J JKn-J)I
Où P(u,v) passe par tous les points de la surface de Bézier. P13 est le point de contrôle, mxn est le degré de la surface de Bézier, il y a (m+l)x(n+l) points de contrôle dont (m+1) points dans la direction
« i » et (n+1) points dans la direction « j » ; m n
B (u),B (v) sont des polynômes de Bernstein. 1 J
On a des propriétés générales pour des surfaces de degré mxn (ordre (m +l)x(n+l) ) :
•La surface passe par les points de contrôle extrémités POo, Pon, Pmo, Pmn-
•La surface P(u,v) est continue et a des dérivées continues à tous les ordres. «Chaque point de contrôle exerce une attraction sur la portion de la surface proportionnelle aux coefficients bi-variés du polynôme de Bernstein.
•La surface est continue dans l'enveloppe convexe de polygone P00, P0n, Pm0, Pmn. «Le contrôle de la surface est global. •La surface de Bézier est indépendante du système d'axes auxquels elle est rapportée.
Avec les surfaces de Bézier de degré 3x3 :
Piu,v)f∑ 3 |BR"mV(,uΛ)BR"πω(y)P,igj
I = Oj = O ' J
=P00(l-u)3(l-v)3 + P01(l-u)33v(l-v)2+P02(l-u)33v2(l-v) +P03 (l-u)V + P103u (1-u)2 (l-v)3+Pu3u (l-u)23v(l-v)2+P123u (l-u)23v2 (1-v) +P133u (1-u) 2v3 + P203u2 (1-u) (l-v)3+P213u2 (1-u) 3v(l-v)2+P223u2 (1-u) 3v2 (l-v)+P233u2 (1-u) v3 + P30U3 (1-v) 3+P3iU33v(l-v)2 + P32u33v2 (1-v) +P33U3V3 ou encore mieux de degré 4x3 :
=P00 (1-u) 4 (1-v) 3 + P01 (1-u) 43v (1-v) 2+P02 (1-u) 43v2 (1-v) +P03 (1-u) V + P104u (1-u)3 (l-v)3+P114u (1-u) 33v (l-v)2+P124u (1-u) 33v2 (1-v) +P134u (1-u) 3V3 + P206u2 (1-u) 2 (1-v) 3+P216u2 (1-u) 23v (1-v) 2 + P226u2 (1-u) 23v2 (1-v) +P236u2 (l-u)2v3 + P304u3 (1-u) (l-v)3+P314u3 (1-u) 3v(l-v)2+P02 (1-u) 2+P324u3 (1-u) 3v2 (l-v)+P334u3 (1- u)v3
+ P40U4 (1-v) 3+P41u43v (1-v) 2+P42u43v2 (1-v) +P43U4V3
On peut paramétrer la plupart des bains de fusion en trois dimensions.
Comment on modifie la forme du front de fusion F.
1. Le front de fusion F est interprété par les coordonnées des points de contrôle. On peut écrire F (P0, Pi..., PN) OÙ N est le nombre des paramètres à identifier. On utilise M points de mesure pour identifier N paramètres, alors M≥N. Quand F (P0, Pi..., PN) est connu, on peut obtenir le champ de température dans le solide T (F) en résolvant le problème de transfert de chaleur. Cela veut dire également que le champ de température change quand on modifie la forme de F (P0, Pi, ..., PN) . On introduit maintenant le terme coefficient de sensibilité i.e. la dérivée de la température par rapport aux paramètres à identifier
La matrice de sensibilité est définie comme suit :
2. On fait un essai et on mesure la température à des points de mesure bien définis Ym, m=l , ..., M où M est le nombre des points de mesure (Figure 11 ou Figure 12 pour 3D) ) .
3. Pour débuter le calcul, on se donne des paramètres initiaux c'est-à-dire T0(P™,P"1,...,P™1) , avec F0 on résout le problème de transfert de chaleur dans le solide pour obtenir le champ de température T (F0) . On extrait ensuite la valeur de température à des points de mesure.
4. On calcule la fonction
ou la fonction en 3D.
5. Si S(Fo)>ε on modifie la forme du front de fusion T1=T0 +[(J(T0)YJ(ro)\\j(ro)f[Y-T(T0)] (Méthode de
Gauss)
On peut également utiliser la méthode de Levenberg Marquardt
T1=T0 +[(J(T0)YJ(T0)+(P0Q0Y(J(T0)Y[Y-T(T0)] où μo est un scalaire positif nommé paramètre d'amortissement et Ωo est une matrice diagonale. L'objectif du terme μoΩo est d'amortir les oscillations et les instabilités dues au caractère mal posé du problème. Le paramètre d'amortissement μo est choisi grand au début de la procédure itérative (la méthode est alors proche de la méthode de la plus forte pente) puis, est réduit lorsque l'on se rapproche de la solution (la méthode rejoint la méthode de Gauss) .
6. On reboucle le calcul jusqu'à la convergence.
EXEMPLES
Exemple 1 : front de fusion bidimensionnel . On souhaite souder bout à bout deux plaques 2,4. Chacune des plaques a une largeur Ly, une longueur 2Lx et une épaisseur e. Une torche 6 génère un arc électrique possédant une intensité suffisante pour fondre le métal et former un bain de fusion 8. Elle se déplace avec une vitesse constante u le long de l'axe x sur le bord des deux plaques 2 et 4. Le bain de fusion 8 se déplace à la même vitesse que la torche 6. Une zone de fusion 10 est formée en arrière du déplacement du bain de fusion 8. L'objectif est de retrouver par la méthode inverse la forme du bain et le champ de température dans la région solide avec le minimum de paramètres à identifier.
Les hypothèses prises pour définir ce problème sont les suivantes :
• A vitesse de torche u constante, les transferts sont non stationnaires dans un référentiel lié à la plaque. Toutefois en utilisant un repère lié à la torche on obtient un régime quasi-stationnaire : la forme du bain fondu reste constante dans ce repère pendant que la matière entre et sort du domaine d'étude. Le référentiel mobile de la torche est donc utilisé pour l'analyse du problème inverse.
• Les variations de température dans la direction Oz sont supposées négligeables par rapport à celles dans le plan (Ox, Oy) , et le problème de transfert est ainsi considéré comme bidimensionnel. • La forme de l'interface liquide-solide F est paramétrée par une courbe de Bézier.
• La position des points de mesure dans le domaine solide est constante dans le référentiel de la torche.
En régime quasi-stationnaire, le champ thermique dans le solide est déterminé en considérant la température imposée à l'interface liquide-solide, égale à la température de fusion Tf. Mise en œuvre du procédé
- Etape 1
On choisit une forme de Fo du bain de fusion et sa paramétrisation par une courbe de Bézier d'ordre
4 (ou de degré 3) . Cette courbe se base sur quatre points de contrôle Po, Pi, P2 et P3 (c'est-à-dire huit coordonnées en cas bidimensionnel) , et a pour formule :
P(t) = (l-t)3P0+3 (l-t)2tPi+3 (1-t) t2P2+t3P3 O≤t≤l
Cette approche a plusieurs avantages : d'une part la courbe de Bézier assure la régularité de la forme, d'autre part la taille du vecteur paramètres
X à identifier reste limitée. De plus, certaines coordonnées des points de contrôle peuvent être contraintes a priori par la nature physique du problème. Dans le cas étudié ici, les coordonnées de P3 sont connues, de plus grâce à la condition de symétrie par rapport à l'axe « Oy » P0x - P1x, P2x - P3x , la dimension du vecteur paramètres X, i.e le nombre de paramètres à identifier est ainsi limitée à trois : dim(X)=3 avec X=(P0x, Piy, P2Y) • le vecteur paramètre X initial est : χimPut=(0.5,0.5,0.5) . Etape 2
La forme du bain de fusion étant donnée à l'étape 1 et donc le vecteur X initial, on résout le système d'équations décrivant le champ de température dans le domaine solide en régime quasi-stationnaire pour ce bain : pscsu dTÀ^y) = V[λsVTs(x,y)]-^-(Ts-Tιmp)(x,y) ε Ωs (1) ox S
T ;; . 00eennxx == --LLιιeett —— - - = 0 en y = 0
T=Timp en x=+L2, T(x,y)=Tf (x,y) eT (3)
Avec :
λs Conductivité du solide, Ts Température dans le
Wm-1K"1 solide, 0C ps Masse volumique du τe Température extérieure, solide, kg m ^
C Capacité thermique Timp Température Imposée, 0C massique, J kg^KT1 u Vitesse de la torche, m Tf Température de fusion, s"1 °C
F Interface Liquide-Solide Ωs Domaine solide h Coefficient d'échange α émissivité
ps=7200 kg.m , pscp=4000000 J. m" .K"1, λs=50 W. m"1. K1, Tf=1450°C, Timp=20°C, u=10mm.s"1, Ly=50 mm, Lx=300 mm, Li=540 mm, L2=60 mm, α = 0.9 (émissivité) .
Le deuxième terme à droite dans l'équation
(1) sert à exprimer les pertes thermiques, S est l'aire de la section de la pièce et p son périmètre. Des conditions adiabatiques (2) sont considérées sur les bords du domaine de calcul sans perte de généralité. La température est imposée (3) sur le front de fusion ainsi qu'au bord x=+L2, voir figure 11. Les hachures représentent les parties de la pièce qui sont suffisamment loin du bain fondu. Il n'y a donc pas de flux thermique et de température imposés.
On accède ainsi au champ de température T(x,y ;F) dans le solide pour la forme du bain de fusion de l'étape 1.
Etape 3
On mesure alors, par exemple à l'aide d'un thermocouple situé à une distance ytc du bord de la plaque ou d'une caméra infrarouge, la température Ym dans le solide en un nombre de M points de mesure 12 au moins égal au nombre de paramètres à identifier (3 comme on l'a vu plus haut) . Dans notre exemple, on choisit M=5 (ie on effectue 5 mesures de températures à l'aide d'un seul thermocouple) . On n'a besoin que d'un seul thermocouple pour avoir plusieurs points de mesure. En quasi stationnaire, les différentes positions xm correspondent à différents temps d' enregistrement xm -uxtm , donc, on peut avoir plusieurs points de mesure en utilisant un seul thermocouple. On calcule la fonction
On obtient alors les résultats suivants après 15 itérations :
Sans s'intéresser à ce qui se passe dans la partie liquide, on arrive donc de façon satisfaisante à décrire la forme du bain de fusion et on accède ainsi au chargement thermique du procédé.
Exemple 2 : Cas 3D débouchant. Comme dans le cas de l'exemple bidimensionnel, on souhaite souder bout à bout deux plaques .
Chacune des plaques a une largeur Ly, une longueur 2Lx et une épaisseur e (voir figure 12) .
Le problème est défini physiquement comme suit : un arc électrique possédant une intensité suffisante se déplace avec une vitesse constante le long de l'axe x et s'applique sur le bord de deux plaques en métal. Un bain de fusion est formé et se déplace à la même vitesse que l'arc électrique. Les hypothèse prises pour définir ce problème sont les suivants : • A vitesse de torche u constante, les transferts sont non stationnaires dans un référentiel lié à la plaque. Toutefois en utilisant un repère lié à la torche on obtient un régime quasi-stationnaire : la forme du bain fondu reste constante dans ce repère pendant que la matière entre et sort du domaine d'étude. Le référentiel mobile de la torche est donc utilisé pour l'analyse du problème inverse.
• La forme de l'interface liquide-solide F est paramétrée par une surface de Bézier.
• La position des points de mesure dans le domaine solide est constante dans le référentiel de la torche .
En régime quasi-stationnaire, le champ thermique dans le solide est déterminé en considérant la température imposée à l'interface liquide-solide, égale à la température de fusion Tf.
Mise en œuvre du procédé
Etape 1 :
On choisit une forme F0 du bain de fusion et sa paramétrisation par une surface de Bézier d'ordre 4x3 (ou de degré 3x2) . Cette surface se base sur douze points de contrôle Po,Pi,P2, , P12 (Figure 13) (c'est-à- dire trente six coordonnées en cas tridimensionnel), et a pour formule :
=P00(l-u)2 (l-v)3+P01 (l-u)23v(l-v)2+P02 (1-u) 23v2 ( 1-v) +P03 (l-u)V + PiO2u(l-u) (1-V)3 + P112U(1-U) 3V(1-V)2+P122U(1-U) 3V2(1-V)+P132U(1-U)V3 +P20U2 (1-v) 3+P21u2 (1-v) 2+P22u23v2 (1-v) +P23U2V3 ue[0,l ; ve [0,1]
Cette approche a plusieurs avantages : d'une part la surface de Bézier assure la régularité de la forme, d'autre part la taille du vecteur paramètres X à identifier reste limitée. De plus certaines coordonnées des points de contrôle peuvent être contraintes a priori par la nature physique du problème. Dans le cas étudié ici, les coordonnées de
P20, P23, Poo, P03 sont connues, de plus grâce aux conditions de symétrie par rapport à l'axe « y » on a :
P21x= P20x/ PlOx/ Pl2x= Pl3x
On impose PiOz= PiIz= Pi2z= Pi3z/ alors la dimension du vecteur paramètres X, ie le nombre de paramètres à identifier est ainsi limitée à neuf : dim(X)=9 avec
X=[PuIy, Pθ2y, PlOx, Pl3x, PlIy, Pl2y, PlOz, ?21y ?22y]
Le vecteur paramètre X initial est : χinPut= ( 0.2 , 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2)
Etape 2
La forme du bain de fusion étant donnée à l'étape 1 et donc le vecteur X initial, on résout le système d'équations décrivant le champ de température dans le domaine solide en régime quasi-stationnaire pour ce bain :
PscsudTΛx^Z) =V[λsVTs(x,y,z)] (x,y,z)eΩs (1)
dT dT dT
—L = O en y = L ; — '- = 0 en x = -Lx et — L = 0 en y = 0 (2) dy dx dy dT(x,y,zQ)
-λ. hT(x,y,Z()) = hT en Z-Zn-O [3) dz
dT{x,y,zeD)
+ " ' h"T \(^x,,yy,,^zeepD)) - = hTe enz = z "eep=e (4) dz
T=Timp en x=+L2, T(x,y,z)=Tf en (x,y,z)eT (5)
Avec : λs Conductivité du solide, Ts Température dans le
Wm-1K"1 solide, 0C ps Masse volumique du Te Température extérieure, solide, kg m u
C Capacité thermique Timp Température Imposée, 0C massique, J kg^KT1 u Vitesse de la torche, m Tf Température de fusion, s"1 °C
F Interface Liquide-Solide Ωs Domaine solide h Coefficient d'échange α émissivité
ps=7200 kg. m"3, pscp=4000000 J. m"3. K"1, λc-SOW.m"1. K1, Tf=1450°C, Timp=20°C, u=10mm.s"1.
L^ — 300 mm , L — 60 mm , L1 — 540 mm , L2 — 60 mm , e — 3 mm , h = 24AxW4CcT161 W. m'2. IC1, a = 0.9 (émissivité) .
S est l'aire de la section de la pièce et p son .périmètre Des conditions adiabatiques (2) sont considérées sur les bords du domaine de calcul sans perte de généralité. La température est imposée (5)
(Dans le problème 3D, c'est sur l'équation (5) qu'on sur le front de fusion ainsi qu'au bord x=+L2, voir figure 12.
On accède ainsi au champ de températures T(x,y, z ;F) dans le solide pour la forme du bain de fusion de l'étape 1. On a représenté ce champ estimé sur la figure 14.
Etape 3
On mesure alors, par exemple à l'aide d'un ou plusieurs thermocouples, la température Ym dans le solide en un nombre de points M au moins égal au nombre de paramètres à identifier (9 comme on l'a vu plus haut) . Dans notre exemple, on choisit M=IO (i.e on effectue 10 mesures de températures à l'aide d'un seul thermocouple). On n'a besoin que d'un seul thermocouple pour avoir plusieurs points de mesure. En quasi stationnaire, les différentes positions xm correspondent à différents temps d' enregistrement xm -uxtm , donc, on peut avoir plusieurs points de mesure en utilisant un seul thermocouple.
On calcule la fonction
On obtient alors les résultats suivants après 25 itérations : yirnput Nombre Erreur estimée en (%)
(Pθly t Pθ2γ t PlOx/ Pl3x/ PlIy/ d' itérations Pl2γ/ PlOz/ P∑ly/ P 22γ/ IMI i )2
Ψ\\
(0.2 O ? , 0.2, 0.2, 0.2, 2.985 25 7.8
0.2, 0.2 , 0.2 ,0.2 )
Sans s'intéresser donc à ce qui se passe dans la partie liquide, on arrive donc de façon satisfaisante à décrire la forme du bain de fusion et donc on accède ainsi au chargement thermique du procédé .
REFERENCES
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Acier Inoxydable (321& 304L) , Mémoire de DRT (Diplôme de Recherche Technologique) , Université de Nantes, France 2003.
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Distribution Energétique induite par un faisceau d'électrons dans un matériau métallique-Application au cas du soudage d'un acier, Mémoire de Thèse, Université de Bretagne du Sud, France 2005.

Claims

REVENDICATIONS
1. Procédé de détermination de la forme d'un bain de fusion de métal liquide apparaissant lors de la mise en œuvre d'un procédé de soudage d'une première pièce et d'une seconde pièce, dans lequel : a) on choisit un procédé de soudage ; b) on choisit une forme bidimensionnelle ou tridimensionnelle de bain virtuel en fonction du procédé de soudage choisi à l'étape (a) ; c) on modélise la forme du bain de fusion virtuel par une fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier ; d) on calcule le champ de température dans un solide virtuel entourant le bain de fusion en imposant des conditions aux limites ; e) on fabrique un exemplaire réel de la première et de la seconde pièces (2, 4) ; f) on les soude au moyen du procédé choisi à l'étape (a), ce qui fait apparaître un bain de fusion
(8) et une zone solide réels ; g) on mesure la température en M points de la zone solide réelle, M étant au moins égal au nombre de paramètres à identifier ; h) on compare les températures mesurées à l'étape (g) aux températures calculées, aux mêmes points, à l'étape (d) en calculant la fonction
S(Y) en deux dimensions 1 M 2 ou la fonction S(Y) =—∑[τ(xm,ym,zm;Y)-Ym] en
IVl m_] trois dimensions i) on compare S (F) à une valeur prédéfinie ; j) si S (F) est supérieur à la valeur prédéfinie, on choisit une autre forme de bain virtuel et on réitère les étapes (c) à (h) jusqu'à ce que S (F) soit inférieur à la valeur prédéfinie ; k) si ou lorsque S (F) est inférieur à la valeur prédéfinie, on accepte la forme du bain de fusion virtuel qui a permis de calculer S (F) comme valeur réelle et on accepte le champ de température calculé à partir de cette forme comme le champ de température réel.
2. Procédé selon la revendication 1, caractérisé en ce que la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une courbe ou une surface de Bézier.
3. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une courbe de Bézier définie par l'équation :
P(t) = ∑Bn(t)P où Bn(t) = Cnt'(l-tγ-',Cn= "l avec i = \,..n;N = n+\
où P(t) passe par tous les points de la courbe de Bézier, où P1 est le point de contrôle, n le degré de la courbe de Bézier, N=n+1 le nombre de points n de contrôle P, te [0,1] et B (t) sont des polynômes de i
Bernstein .
4. Procédé selon la revendication 2, caractérisé en ce que la fonction mathématique qui contient des paramètres à identifier est une surface de Bézier définie par l'équation : m " m n P(μ,v) = ∑∑# . (μ)B (v)Pg avec u e [0,1], v e [0,1]
I =O j = O I J
Bm{u) = — — u'Q - uY i i\(m - i)\
n . . n\
B (v) = - n-j
TT^ (I - V) J β(n - j)l
où P (u, v) passe par tous les points de la surface de Bézier, P13 est le point de contrôle, (mxn) est le degré de la surface de Bézier, il y a (m+l)x(n+l) points de contrôle dont (m+1) points dans la direction « i » et (n+1) points dans la direction m n « j » ; B (u),B (y) sont des polynômes de Bernstein. i J
5. Procédé selon l'une des revendications 1 à 4, caractérisé en ce que , à l'étape (j), on utilise l'algorithme de Levenberg-Marquardt pour choisir une autre forme de bain virtuel.
6. Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, caractérisé en ce que en cas de bain de fusion bidimensionnel , à l'étape (d) , on calcule le champ de température dans un solide virtuel entourant le bain de fusion en résolvant le système d'équation suivant :
Pscsu^^--VμsVTs(x,y)]-lf(Ts-Tιmp) (x,y)eΩs (1)
T=Timp en x=+L2, T(x,y)=Tf (x,y)eF (3)
avec : λs Conductivité du solide, Ts Température dans le Wm-1K"1 solide, 0C ps Masse volumique du solide, Te Température extérieure, kg m"3 0C c Capacité thermique Timp Température imposée, massique, J kg"1 K"1 °Q u Vitesse du moyen de Tf Température de fusion, soudage, m s"1 °ç
F Interface Liquide-Solide Ωs Domaine solide h Coefficient d'échange α émissivité.
7. Procédé selon l'une des revendications 1 à 5, caractérisé en ce que en cas de bain de fusion tridimensionnel, à l'étape (d) , on calcule le champ de température dans un solide virtuel entourant le bain de fusion en résolvant le système d'équation suivant : PMdTΛX£'Z) =V[λ,VT,(x,y,z)] (x,y,z)≡Ωs :D
_L = O en y = L ;— s- = 0 en x = -Lx et -^ = O en j = 0 (2) ôy y dx dy
dT(x, V-Zn) ~λs — QZ ° +hT(x,y,zQ) = hTe enz = zQ=0 (3)
dT(x,y,zep)
K — + hT(x,y,zep) = hTe enz = z =e (4,
T=Timp en x=+L2, T(x,y,z)=Tf en (x,y,z)eT (5)
avec : λs Conductivité du solide, Ts Température dans le
Wm-1K"1 solide, 0C ps Masse volumique du solide, Te Température extérieure, kg m"3 0C c Capacité thermique Timp Température imposée, massique, J kg"1 K"1 °Q u Vitesse du moyen de Tf Température de fusion, soudage, m s"1 °ç
F Interface Liquide-Solide Ωs Domaine solide h Coefficient d'échange α émissivité
8. Procédé selon l'une des revendications 1 à 7, caractérisé en ce que le procédé de soudage est choisi dans le groupe comprenant les procédés de soudage TIG, MIG/MAG, par faisceau d'électrons, plasma, laser, hybride.
9. Procédé selon l'une des revendications 2 à 7, caractérisé en ce que le degré de la courbe de Bézier est égal à 3 ou 4 en deux dimensions.
10. Procédé selon l'une des revendications
2 à 7, caractérisé en ce que le degré de la surface de Bézier est compris entre 2x3 et 4x3 en trois dimensions .
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