DE894927C

DE894927C - Electrical calculator

Info

Publication number: DE894927C
Application number: DEA5102D
Authority: DE
Inventors: Horst Dr-Ing Tischner
Original assignee: AEG AG
Current assignee: AEG AG
Priority date: 1942-12-04
Filing date: 1942-12-05
Publication date: 1953-10-29

Description

Elektrisches Rechengerät Die Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung der Ordnung n besteht aus einer Summe von Exponentialfunktionen A@ - ePZ , t , wobei AA den Höchstwert und t die Zeit bedeutet. Der Exponent kann entweder reell oder imaginär oder komplex sein, je nachdem die Lösung einen gedämpften Vorgang oder eine ungedämpfte Schwingung oder eine gedämpfte bzw. in ihrer Amplitude wachsende Schwingung darstellt. Die Aufgabe, die bei der Behandlung einer Differentialgleichung stets zu lösen ist, besteht darin, die zz Wurzeln Pz der charakteristischen Gleichung vom Grade n.Electrical calculator The solution of a linear homogeneous differential equation of order n consists of a sum of exponential functions A @ - ePZ , t , where AA is the maximum value and t is the time. The exponent can either be real or imaginary or complex, depending on whether the solution represents a damped process or an undamped oscillation or a damped or amplitude increasing oscillation. The problem that must always be solved when dealing with a differential equation is to find the zz roots Pz of the characteristic equation of degree n.

aJn + a, P"z 1 + a2Pn-2 + . . . (i) + an-2P2 + an-lp + an - O zu berechnen, wobei die Koeffizienten a. . a1 ' * ' an, reell sind. Bei einer Differentialgleichung zweiter Ordnung ist diese Aufgabe leicht durch die Berechnung der Wurzeln einer Gleichung zweiten Grades zu lösen. Dagegen bereitet die Lösung der charakteristischen Gleichung erhebliche Schwierigkeiten, wenn die Differentialgleichung höheren als dritten Grades ist. Dann führen nur noch Näherungsverfahren zum Ziele.AJN + a, P "z 1 + a2Pn-2 + (i) + a n-2P2 + an-lp + to -... to calculate O, where the coefficients a a1 '*' to, real are Bei... A differential equation of the second order can easily solve this problem by calculating the roots of an equation of the second order, whereas the solution of the characteristic equation causes considerable difficulties if the differential equation is higher than the third order.

Bei technischen Aufgaben wird man im allgemeinen einem graphischen Verfahren den Vorzug geben. Eines dieser Verfahren besteht in einer vektoriellen Darstellung der charakteristischen Gleichung. Setzt man in (i) P -- v - ei%, wobei r zunächst konstant mit einem beliebigen Zahlenwert eingesetzt wird, so entsteht aus (i) Der Wert y - ei% ist ein Vektor vom Betrag y, der mit der positiven reellen Achse in der Gaußschen Zahlenebene den Winkel p einschließt (vgl. Fig. i). Zu dem Vektor a11_17 ei 91 wird gemäß Gleichung (2) a11_2 r2. ei 29, geometrisch addiert usf., bis zum Vektor a. r11 . ein IP. Trifft der letzte Punkt des Kurvenzuges den Punkt -an auf der reellen Achse, so ist r ei P eine Wurzel der charakteristischen Gleichung mit y cos p als Realanteil und r sin 99 als Imaginäranteil. Für die quadratische Gleichung p2 @-- 2 p + 1o = o sind in Fig. 2 drei Kurven mit verschiedenen Werten von r dargestellt, wobei der Winkel verändert wird. Da die Gleichung von der zweiten Ordnung ist, wird der Nullpunkt zweimal umschlungen. Für r = 4,00 liegt der Punkt - an = - ro innerhalb der Kurve; für r = 2,oo liegt er außerhalb. Dagegen wird für r = 3,16 der Punkt - zo getroffen. Damit ist der absolute Betrag des konjugiert komplexen Wurzelpaares gefunden. Den zum Wurzelpaar gehörigen Winkel erhält man, indem man den Radiusvektor 2 r 6'P sucht, der nach der Addition mit r2 ei 191 durch den Punkt - ro geht.For technical tasks, preference will generally be given to a graphic process. One of these methods is a vector representation of the characteristic equation. If one sets in (i) P - v - ei%, where r is initially used as a constant with an arbitrary numerical value, then from (i) The value y - ei% is a vector of magnitude y which includes the angle p with the positive real axis in the Gaussian plane of numbers (cf. FIG. I). According to equation (2), a11_2 r2 becomes the vector a11_17 ei 91. ei 29, added geometrically, etc., up to the vector a. r11 . an IP. If the last point of the curve meets the point -an on the real axis, then r ei P is a root of the characteristic equation with y cos p as the real component and r sin 99 as the imaginary component. For the quadratic equation p2 @ - 2 p + 1o = o, three curves with different values of r are shown in FIG. 2, the angle being changed. Since the equation is of the second order, the zero point is looped around twice. For r = 4.00 the point - an = - ro lies within the curve; for r = 2, oo it lies outside. On the other hand, for r = 3.16, the point - zo is hit. With this the absolute value of the conjugate complex root pair is found. The angle belonging to the pair of roots is obtained by looking for the radius vector 2 r 6'P which, after addition with r2 ei 191, goes through the point - ro.

Das Verfahren erweist sich zwar bei einer Gleichung zweiten Grades als reichlich umständlich, ist jedoch grundsätzlich bis zu Gleichungen beliebig hoher Ordnung durchführbar.The procedure proves to be true with an equation of the second degree as rather cumbersome, but is basically arbitrary up to equations high order feasible.

In Fig. 3 sind drei Kurven für eine Gleichung vom achten Grade dargestellt. Die Absolutbeträge von vier Wurzeln liegen zwischen r = 0,5 und z,o, die restlichen zwischen r = z,o und 2,o. Das an sich schon sehr lange bekannte Verfahren wurde dadurch vereinfacht, daß man die Überlagerung der einzelnen Vektoren maschinell mit mechanischen Getrieben vornahm. Der Isograph stellt ein Gerät dar, mit dem man die Zeit zum Aufzeichnen eines Kurvenzuges erheblich reduzieren konnte (Bell, Laboratories Record, Dezember 1937, S. 13o bis x40). So soll man mit wissenschaftlich nicht vorgebildeten Hilfskräften eine Gleichung achten Grades mit ausschließlich komplexen Wurzeln in einem Tage mit 0,3 °/o Fehler lösen können.In Fig. 3, three curves are shown for an eighth degree equation. The absolute values of four roots are between r = 0.5 and z, o, the rest between r = z, o and 2, o. The process, which has long been known per se, has been simplified by superimposing the individual vectors by machine using mechanical gears. The isograph is a device with which the time to record a curve could be reduced considerably (Bell, Laboratories Record, December 1937, pp. 13o to x40). Thus, with scientifically not trained assistants, one should be able to solve an equation of the eighth degree with exclusively complex roots in one day with 0.3 % error.

Für viele technische Zwecke ist es jedoch wünschenswert, die Zeit zum Lösen der charakteristischen Gleichung noch weiter zu verringern. Im folgenden wird ein Verfahren angegeben, mit dem man bei der gleichen Genauigkeit die Zeit zur Lösung ganz erheblich reduzieren kann. Der Grundgedanke der Erfindung besteht darin, die Kurven nicht zu zeichnen, sondern sie auf elektrischem Wege zu erzeugen. Der Endpunkt eines Vektors vom Betrag r, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit co dreht, wobei co t dem veränderlichen Winkel q2 entspricht, kann mit einem Braunschen Rohre sichtbar gemacht werden. Einem Plattenpaar wird die Spannung U cos a) t = URe (ei w t), dem anderen die Spannung U sin co t = U Im (ei", 1) zu- geführt: Es entsteht ein Kreis, dessen Radius r der Spannung U proportional ist. Überlagert man den Spannungen U cos Co t bzw. U sin co t die Spannungen Uli cos A au t bzw. Uw siny co t, mit ,u < n und ganzzahlig entsprechend Gleichung (2), so entsteht schließlich auf dem Schirm des Braunschen Rohres der gleiche Kurvenzug, den man durch schrittweises Konstruieren oder mit dem Isographen in erheblich längerer Zeit erhalten hätte. Die Kurve wird unter Verwendung von technischem Wechselstrom (c) = 2 n 50 sec-') in der Sekunde 5omal durchlaufen, so daß sie dem Auge als geschlossener Linienzug erscheint. Den Winkel, bei dem die Kurve durch den Wert - a" geht, erhält man später, indem man eine Helldunkelsteuerung durch den Wehnelt-Zylinder des Braunschen Rohres einsetzt. Die Phasenlage dieser Steuerung wird so eingestellt, daß der Lichtzeiger auf dem Schirm des Braunschen Rohres nur dann erscheint, wenn dieser durch den auf dem Schirm gekennzeichneten Punkt - an geht.For many technical purposes, however, it is desirable to further reduce the time for solving the characteristic equation. In the following, a method is given with which the time for the solution can be reduced quite considerably with the same accuracy. The basic idea of the invention is not to draw the curves, but to generate them electrically. The end point of a vector of magnitude r, which rotates with the angular velocity co, where co t corresponds to the variable angle q2, can be made visible with a Braun tube. A pair of plates, the voltage U cos a) t = URe (ei wt), the other of the voltage U sin co t = U Im (ei "guided to-1): The result is a circle whose radius r of the voltage U proportional If the voltages U cos Co t or U sin co t are superimposed on the voltages Uli cos A au t or Uw siny co t, with, u <n and an integer according to equation (2), then finally appears on the screen of the Braun tube of the same curve, which would have been obtained by stepwise construction or with the isograph in considerably long time. the curve is prepared using an industrial alternating current (c) = 2) in the second n 50 sec- 'through 5omal so that they appears to the eye as a closed line of lines. The angle at which the curve passes through the value - a "is obtained later by using a chiaroscuro control through the Wehnelt cylinder of the Braun tube. The phase position of this control is set so that the light pointer only appears on the screen of the Braun tube when it goes through the point marked on the screen - on.

An Hand der Fig. q. wird - das Verfahren näher erläutert. Aus einem Generator G, der die Grundfrequenz Co liefert, etwa einem Röhrensender oder dem Lichtnetz, werden mit einer an sich bekannten Verzerrerschaltung Z, höhere Harmonische erzeugt. Bei einer Gleichung vom 2o. Grade braucht man also 2o Harmonische. Diese Harmonischen werden über Phasenschieber I2 bis In Resonanz- oder Siebkreisen S1 bis Sn zugeführt und durch diese voneinander getrennt.With reference to Fig. Q. - the procedure is explained in more detail. From a generator G, which supplies the fundamental frequency Co, for example a tube transmitter or the lighting network, a distortion circuit Z, known per se, generates higher harmonics. With an equation of 2o. So you just need 2o harmonics. These harmonics are fed in via phase shifters I2 to In resonance or filter circuits S1 to Sn and are separated from one another by these.

Die einzelnen Harmonischen werden an Eichleitungen Elf bis Ei" gelegt. An diese werden die Eichleitungen E21 bis E2" angeschaltet. Während an den Eichleitungen E11 bis Ein die Koeffizienten ao bis an eingestellt werden, dienen die Eichleitungen E21 bis E211 zum Einstellen der Werte r, r2, r3, - r11-2, r11-1, r11. Zweckmäßig wird ein gemeinsames Handrad zum Bedienen der Eichleitungen E21 bis E211 vorgesehen, damit mit- einem einzigen Handgriff sämtliche Eichleitungen bedient werden können. Die Eichleitungen Eil bis El n und E21 bis E2n werden in logarithmischer Abstufung gebaut, jedoch so, daß man sie wie die in der Fernmeldetechnik üblichen Eichleitungen in mehrere Dekaden aufteilt. Die an den Ausgangsklemmen der Eichleitungen E2 i bis E 2 n auftretenden Spannungen werden nun überlagert und über einen Verstärker V2 einem Plattenpaar Q-2 eines Braunschen Rohres B zugeführt. Die Summe der Spannungen stellt den Realanteil von Gleichung (2) dar. An die Ausgangsklemmen der Eichleitungen E21 bis E2 n werden hochohmige Phasenschieber P1 bis Pn angeschlossen, die eine um 11/2 phasenverschobene Spannung und damit als Summe den Imaginäranteil von Gleichung (2) ergeben. Diese Spannung wird über den Verstärker V1 dem Plattenpaar Q, zugeführt. Damit erhält man auf dem Schirm des Braunschen Rohres den oben beschriebenen Kurvenzug und damit die Möglichkeit, den Absolutbetrag der Wurzeln zu bestimmen.The individual harmonics are placed on attenuators Elf to Ei ". The attenuators E21 to E2" are connected to these. While the coefficients ao to an are set on the attenuators E11 to Ein, the attenuators E21 to E211 are used to set the values r, r2, r3, -r11-2, r11-1, r11. A common handwheel for operating the attenuators E21 to E211 is expediently provided so that all of the attenuators can be operated with a single movement. The attenuators Eil to El n and E21 to E2n are built in logarithmic gradation, but in such a way that they are divided into several decades like the attenuators customary in telecommunications technology. The voltages occurring at the output terminals of the attenuators E2 i to E 2 n are now superimposed and fed to a pair of plates Q-2 of a Braun tube B via an amplifier V2. The sum of the voltages represents the real component of equation (2). High- resistance phase shifters P1 to Pn are connected to the output terminals of the attenuators E21 to E2 n , which generate a voltage that is 11/2 out of phase and thus the sum of the imaginary component of equation (2) result. This voltage is the pair of plates Q supplied via the amplifier V1. This gives the curve described above on the screen of the Braun tube and thus the possibility of determining the absolute value of the roots.

An den Generator G ist ein zweiter Verzerrer Z2 über den verstellbaren Phasenschieber P' angeschlossen. Der Verzerrer Z2 liefert kurzzeitige Spannungsspitzen, welche den Wehnelt-Zylinder W des Braunschen Rohres über einen Verstärker V3 so steuern, daß beim Auftreten einer Spannungsspitze der Lichtzeiger auf dem Schirm des Braunschen Rohres erscheint. Durch die Vorstellung des Phasenschiebers P' wird jeweils ein anderer Punkt des Kurvenzuges sichtbar. Man kann also mit P' den Punkt erfassen, der mit dem Punkt -°a11 aus Gleichung (2) identisch ist.To the generator G is a second distortion Z2 via the adjustable Phase shifter P 'connected. The distortion Z2 delivers short-term voltage peaks, which the Wehnelt cylinder W of the Braun tube via an amplifier V3 so control that when a voltage spike occurs, the light pointer on the screen of the Braun tube appears. The idea of the phase shifter P 'becomes a different point of the curve is visible in each case. So you can use P 'to get the point which is identical to the point - ° a11 from equation (2).

Claims

PATENT CLAIMS: e.g. Electric calculator for determining the roots of algebraic equations of a higher degree, characterized in that the polar curve of the equation is generated electrically and on the screen a Braun tube is made visible.

2. Apparatus according to claim i, characterized characterized that with a distortion the harmonics of a fundamental frequency, for example the mains frequency, and these are applied to attenuators via phase shifters get with which the coefficients of the algebraic equation and the absolute amounts of the roots searched for.

3. Apparatus according to claim z and 2, characterized characterized in that the two pairs of plates of the Braun tube are behind the Attenuators added up voltages with a phase shift of @ z / 2 in each case for the individual harmonics. q ..

Device according to claims i to 3, characterized in that the argument of the roots by a chiaroscuro control of the Wehnelt cylinder is determined by a phase shifter and a distortion.

5. Apparatus according to claim i, characterized in that with an audio frequency machine the fundamental frequency and its harmonics are generated and these via phase shifter get into attenuators with which the coefficients of the algebraic equation and the absolute amounts of the searched roots are set.