DE69214351T2

DE69214351T2 - Suitable tunnel structure for suppressing pressure disturbances caused by high speed trains

Info

Publication number: DE69214351T2
Application number: DE1992614351
Authority: DE
Inventors: Nobumasa Sugimoto
Original assignee: NONLINEAR TECHNOLOGIES Inc
Current assignee: Nobumasa Sugimoto Osaka Jp
Priority date: 1991-05-30
Filing date: 1992-05-13
Publication date: 1997-03-13
Anticipated expiration: 2012-05-14
Also published as: EP0515912B1; DE69214351D1; EP0515912A2; EP0515912A3; JP3126165B2; JPH04353193A

Description

1. FIELD OF THE INVENTION

Die vorliegende Erfindung bezieht sich auf einen stoßfreien Tunnel für Hochgeschwindigkeitszüge, in dem die Ausbreitung von Druckstörungen, die durch das Fahren der Hochgeschwindigkeitszüge erzeugt sind, unterdrückt werden kann und in dem insbesondere das Auftreten einer akustischen Stoßwelle vermieden werden kann.The present invention relates to a shock-free tunnel for high-speed trains in which the propagation of pressure disturbances generated by the running of the high-speed trains can be suppressed and in particular the occurrence of an acoustic shock wave can be avoided.

2. STATE OF THE ART

Es ist wahrscheinlich, daß Hochgeschwindigkeitszüge in der Zukunft innerhalb eines Tunnels, insbesondere eines rohrförmigen Durchganges im allgemeinen, infolge Umwelt-, Geräusch- und Wetterproblemen fahren müssen. Druckstörungen, die durch Fahren von Zügen erzeugt sind, breiten sich längs eines Tunnels in der Form von Schall aus. Dann werden sie, da der Tunnel die Rolle eines Wellenleiters für Schall spielt, weit abwärts ohne jegliche geometrische Streuung übertragen. Während ihre Intensität hauptsächlich von dem Verhältnis der Zug-Querschnittsfläche zu derjenigen eines Tunnels abhängt, so wird ein um so intensiverer Schall erzeugt, je schneller der Zug fährt. Es tritt ein neues Geräuschproblem in dem Tunnel auf, der der Ausbreitung von sogenannten nichtlinearen akustischen Wellen zugeordnet ist.It is likely that high-speed trains will have to travel inside a tunnel, especially a tubular passage in general, in the future due to environmental, noise and weather problems. Pressure disturbances generated by train travel propagate along a tunnel in the form of sound. Then, since the tunnel plays the role of a waveguide for sound, they are transmitted far downwards without any geometrical dispersion. While their intensity depends mainly on the ratio of the train's cross-sectional area to that of a tunnel, the faster the train travels, the more intense the sound generated. A new noise problem arises in the tunnel, which is associated with the propagation of so-called nonlinear acoustic waves.

Wenn selbst gegenwärtig der Hochgeschwindigkeitszug (Shinkansen) in den Tunnel rast, so tritt tatsächlich am anderen Ende des Tunnels der Knallton auf. Da die Zuggeschwindigkeit hoch wird, wird dieses Problem ernster, wenn nicht geeignete Maßnahmen ergriffen werden. So kann geplant werden, daß Magnetschwebezüge innerhalb von Tunnels so weit als möglich fahren. Tatsächlich ist die gegenwärtige Testlinle nahezu in Tunnels über einer Strecke von 40 km aufgebaut. Wenn die Größe der Druckstörungen in einem derart langen Tunnel unerwartet hoch wird, dann neigen Profile von Druckstörungen aufgrund der Nichtlinearität steilgemacht zu sein, um gegebenenfalls zum Auftreten von Stoßwellen unerwartet weit im Tunnel zu führen, selbst wenn die Zuggeschwindigkeit gut unterhalb der Schallgeschwindigkeit ist. Das Auftreten der Stoßwellen gibt nicht nur Veranlassung zu einem ernsteren Geräuschproblem, sondern auch zu einer Verschlechterung im Verhalten und der Haltbarkeit der Züge sowie der Tunnels.Even at present, when the bullet train (Shinkansen) rushes into the tunnel, the banging sound actually occurs at the other end of the tunnel. As the train speed becomes high, this problem becomes more serious unless appropriate measures are taken. For example, maglev trains can be planned to run inside tunnels as far as possible. In fact, the current test line is almost built inside tunnels over a distance of 40 km. When the magnitude of pressure disturbances in such a long tunnel becomes unexpectedly high, pressure disturbance profiles tend to be steepened due to nonlinearity, eventually leading to the occurrence of shock waves unexpectedly far inside the tunnel, even when the train speed is well below the speed of sound. The occurrence of shock waves not only gives rise to a more serious noise problem, but also to deterioration in the performance and durability of the trains and tunnels.

Für die Verringerung dieses Problems ist es wesentlich, das Verhältnis der Zugquerschnittsfläche zu derjenigen des Tunnels abzusenken. Dieses Verhältnis ist auf 21 % für den Shinkansen eingestellt, während es für die Magnetschwebezüge auf 12 % vermindert wird. Der kleinere Wert dieses Verhältnisses bedeutet die größere Tunnel- Querschnittsfläche und auch höhere Kosten im Bau.To reduce this problem, it is essential to lower the ratio of the train cross-sectional area to that of the tunnel. This ratio is set at 21% for the Shinkansen, while it is reduced to 12% for the maglev trains. The smaller value of this ratio means the larger tunnel cross-sectional area and also higher construction costs.

Das zum Stand der Technik zählende Dokument DE-A1- 37 41 343 A1 offenbart einen Tunnel für Hochgeschwindigkeitszüge, der sich durch die folgenden beiden Punkte auszeichnet. Gemäß dem ersten Punkt führen von einem Haupttunnel einer oder mehrere Schächte zu dem freien Raum in der Außenseite des Tunnels, wobei verschiedene Typen von Öffnungen mit Reflektoren kombiniert sind. Der zweite Punkt liegt darin, daß von einem Mittelpunkt des Tunnels ein Stollen abgeht, dessen Länge die halbe Tunnellänge beträgt und dessen Ende geschlossen ist. In jedem Fall wird erwartet, daß die Reflexion an der mit Reflektoren kombinierten Öffnung oder an dem geschlossenen Ende zu einer Phasenänderung in Druckstörungen führt, um positive und negative Phasen zu kompensieren und Druckstörungen zu vermindern. Was den ersten Punkt anbelangt, so muß der Schacht offen zum freien Raum sein, selbst wenn die Reflektoren installiert sind. Dann muß der Schacht im Vergleich mit einer typischen Wellenlänge der Druckstörung ausreichend lang sein. Was den zweiten Punkt anbelangt, so sollte der Stollen in der sehr speziellen Weise angeordnet sein, wie dies angegeben ist. In diesem Fall muß der Stollen extrem lang für einen langen Tunnel sein. Hier bemerken wir die Definition des Schachtes und des Stollens unter einem physikalischen oder akustischen Gesichtspunkt der Ausbreitung der Druckstörungen. Gewöhnlich bedeuten der "Schacht" und der "Stollen" eine derartige Führung, daß deren Länge länger ist als eine typische Wellenlänge der Druckstörungen, so daß die Phase der Druckstörungen sich merklich längs des Schachtes oder des Stollens verändert und daher die Reflexion am Ende bedeutend wird.The prior art document DE-A1-37 41 343 A1 discloses a tunnel for high-speed trains, which is characterized by the following two points. According to the first point, one or more shafts lead from a main tunnel to the free space in the outside of the tunnel, whereby various types of openings combined with reflectors. The second point is that from a center of the tunnel a gallery extends, the length of which is half the length of the tunnel and the end of which is closed. In any case, the reflection at the opening combined with reflectors or at the closed end is expected to result in a phase change in pressure disturbances to compensate positive and negative phases and reduce pressure disturbances. As for the first point, the shaft must be open to free space even when the reflectors are installed. Then the shaft must be sufficiently long compared to a typical wavelength of the pressure disturbance. As for the second point, the gallery should be arranged in the very special way as indicated. In this case the gallery must be extremely long for a long tunnel. Here we note the definition of the shaft and the gallery from a physical or acoustic point of view of the propagation of the pressure disturbances. Usually, the "shaft" and the "tunnel" represent a path of such a length that their length is longer than a typical wavelength of the pressure disturbances, so that the phase of the pressure disturbances changes noticeably along the shaft or tunnel and therefore the reflection at the end becomes significant.

3. SUMMARY OF THE INVENTION

Es ist eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, einen stoßfreien Tunnel für Hochgeschwindigkeitszüge vorzusehen, der es ermöglicht, die Ausbreitung von Druckstörungen, die durch das Fahren von Hochgeschwindigkeitszügen erzeugt sind, selbst in einem Tunnel von einer kleineren Querschnittsfläche zu unterdrücken und insbesondere das Auftreten von akustischen Stoßwellen zu vermeiden.It is an object of the present invention to provide a shock-free tunnel for high-speed trains, which makes it possible to limit the propagation of pressure disturbances generated by the running of high-speed trains even in a tunnel of a smaller cross-sectional area and in particular to avoid the occurrence of acoustic shock waves.

Zur Lösung dieser Aufgabe sieht die vorliegende Erfindung einen stoßfreien Tunnel vor, wie dieser im Patentanspruch 1 angegeben ist.To solve this problem, the present invention provides a shock-free tunnel as defined in claim 1.

4. BRIEF DESCRIPTION OF THE DRAWINGS

Diese Erfindung kann vollständiger aus der folgenden Detailbeschreibung im Zusammenhang mit den begleitenden Zeichnungen verstanden werden, in welchen:This invention can be more fully understood from the following detailed description taken in conjunction with the accompanying drawings, in which:

Fig. 1 einen Tunnel zeigt, mit dem ein Hohlraum in einer Anordnung über Durchgänge verbunden ist,Fig. 1 shows a tunnel to which a cavity is connected in an arrangement via passages,

Fig. 2 einen Tunnel mit einem Seitentunnel zeigt, der in Abteile als ein Hohlraum durch eine Querwand unterteilt ist,Fig. 2 shows a tunnel with a side tunnel divided into compartments as a cavity by a transverse wall,

Fig. 3 zwei Tunnels zeigt, die einen Seitentunnel mit Verbindungsdurchgängen teilen, die geeignete Dämpfungseinrichtungen oder Querwände haben,Fig. 3 shows two tunnels sharing a side tunnel with connecting passages, having suitable damping devices or cross walls,

Fig. 4 einen Tunnel zeigt, mit dem zwei verschiedene Arten von Hohlräumen und Durchgängen verbunden sind,Fig. 4 shows a tunnel connecting two different types of cavities and passages,

Fig. 5 einen Tunnel mit einem Seitentunnel zeigt, der in zwei verschiedene Größen von Abteilen unterteilt und durch zwei verschiedene Größen von Durchgängen verbunden ist,Fig. 5 shows a tunnel with a side tunnel divided into two different sizes of compartments and separated by two different sizes of passages,

Fig. 6 eine geometrische Konfiguration des Problens veranschaulicht,Fig. 6 illustrates a geometric configuration of the problem,

Fig. 7 die Dispersionsbeziehung veranschaulicht, wobei (a) den Absolutwert des Imaginärteiles von 5, nämlich Si gegenüber ω&sub0;/ω zeigt, während (b) dessen Realteil Sr gegenüber ω&sub0;/ω angibt,Fig. 7 illustrates the dispersion relationship, where (a) shows the absolute value of the imaginary part of S, namely Si versus ω0/ω0 while (b) gives its real part Sr versus ω0/ω0,

Fig. 8 eine Entwicklung von Druckstörungen in dem Tunnel ohne die Anordnung von Resonatoren veranschaulicht, wobei der Normdruck f im Tunnel gezeigt ist und ein vertikaler Pfeil die Einheit von f mißt,Fig. 8 illustrates a development of pressure disturbances in the tunnel without the arrangement of resonators, where the standard pressure f in the tunnel is shown and a vertical arrow measures the unit of f,

Fig. 9 eine Entwicklung von Druckstörungen in dem Tunnel mit der Anordnung von Resonatoren mit k = 1 und Ω = 1 veranschaulicht, wobei (a) und (b) den Normdruck f und g in dem Tunnel bzw. in dem Hohlraum zeigen und der vertikale Pfeil die Einheit der jeweiligen Größe mißt,Fig. 9 illustrates a development of pressure disturbances in the tunnel with the arrangement of resonators with k = 1 and Ω = 1, where (a) and (b) show the standard pressure f and g in the tunnel and in the cavity respectively and the vertical arrow measures the unit of the respective size,

Fig. 10 eine Entwicklung von Druckstörungen in dem Tunnel mit der Anordnung von Resonatoren mit k = 1 und Ω = 1 veranschaulicht, wobei (a) und (b) den Normdruck f und g in dem Tunnel bzw. in dem Hohlraum zeigen und der vertikale Pfeil die Einheit der jeweiligen Größe mißt, undFig. 10 illustrates a development of pressure disturbances in the tunnel with the arrangement of resonators with k = 1 and Ω = 1, where (a) and (b) show the standard pressure f and g in the tunnel and in the cavity respectively and the vertical arrow measures the unit of the respective size, and

Fig. 11 eine Entwicklung von Druckstörungen in dem Tunnel mit der Anordnung von Resonatoren mit k = 1 und Ω = 10 veranschaulicht, wobei (a) und (b) den Normdruck f und g in dem Tunnel bzw. in dem Hohlraum zeigen und der vertikale Pfeil die Einheit der jeweiligen Größe mißt.Fig. 11 illustrates a development of pressure disturbances in the tunnel with the arrangement of resonators with k = 1 and Ω = 10, where (a) and (b) show the standard pressure f and g in the tunnel and in the cavity, respectively, and the vertical arrow measures the unit of the respective size.

5. DESCRIPTION OF THE PREFERRED EMBODIMENT

Die durch diese Erfindung beanspruchte Tunnelstruktur besteht, wie in Fig. 1 gezeigt ist, aus einem Haupttunnel 1 für die Züge und zahlreichen Hohlräumen 2, die außerhalb des Tunnels und in einer Anordnung axial mit jedem Hohlraum 2, der mit dem Tunnel durch einen Durchgang 3 verbunden ist, angeordnet sind. Hier ist der Hohlraum nicht notwendig eine Kugel, und beide Achsen des Tunnels und des Hohlraumes sind nicht notwendig senkrecht zueinander. Auch können die Durchgänge willkürlich um den Rand des Tunnels gelegen sein. Technik ist die obige Struktur realisierbar, wie dies in Fig. 2 gezeigt ist, indem ein Seitentunnel 4 parallel mit dem Haupttunnel angeordnet und dieser durch eine Querwand 5 in Abteile als ein Hohlraum unterteilt wird, welcher mit dem Tunnel durch Durchgänge verbunden ist. Jedoch sollte der axiale Abstand zwischen den benachbarten Resonatoren viel kleiner als eine charakteristische Wellenlänge der Druckstörungen sein. Dieses Erfordernis ist im fernen Feld erfüllt, da dort die charakteristische Wellenlänge durch die axiale Länge des Zuges bestimmt ist, so daß sich die Druckstörungen als ein Infraschall ausbreiten. Als eine Ausdehnung können zwei Tunnels den einen Seitentunnel 4 gemeinsam haben, wie dies in Fig. 3 gezeigt ist, wobei eine Verbindung durch die Durchgänge mit geeigneten Dämpfungseinrichtungen 6 vorliegt. Wenn zusätzlich verschiedene Arten der Anordnung verbunden werden, kann die Wirkung der Unterdrückung der Ausbreitung der Druckstörungen merklich gesteigert werden. Wie in Fig. 4 gezeigt ist, werden beispielsweise Hohlräume 7 und 8 von verschiedenen Volumina über Durchgänge 9 und 10 von verschiedener Größe mit jedem axialen Abstand verbunden. Diese Doppelanordnung kann realisiert werden, wie dies in Fig. 5 gezeigt ist, ohne zwei Seitentunnels anzuordnen, indem der eine Seitentunnel 11 in Abteile 12 von verschiedenen Volumina mit Durchgängen 13 von verschiedener Querschnittsfläche unterteilt wird.The tunnel structure claimed by this invention consists, as shown in Fig. 1, of a main tunnel 1 for the trains and numerous cavities 2 arranged outside the tunnel and in an axial array with each cavity 2 connected to the tunnel by a passage 3. Here, the cavity is not necessarily a sphere, and both axes of the tunnel and the cavity are not necessarily perpendicular to each other. Also, the passages may be arbitrarily located around the edge of the tunnel. In conventional technology, the above structure is realizable as shown in Fig. 2 by arranging a side tunnel 4 parallel to the main tunnel and dividing it by a transverse wall 5 into compartments as a cavity connected to the tunnel by passages. However, the axial distance between the adjacent resonators should be much smaller than a characteristic wavelength of the pressure disturbances. This requirement is fulfilled in the far field, since there the characteristic wavelength is determined by the axial length of the train, so that the pressure disturbances propagate as an infrasound. As an extension, two tunnels can have one side tunnel 4 in common, as shown in Fig. 3, with a connection through the passages with suitable damping devices 6. In addition, if different types of arrangement are connected, the effect of suppressing the propagation of the pressure disturbances can be noticeably increased. For example, as shown in Fig. 4, cavities 7 and 8 of different volumes are connected via passages 9 and 10 of different sizes with each axial distance. This double arrangement can be realized, as shown in Fig. 5, without arranging two side tunnels, by dividing the one side tunnel 11 into compartments 12 of different volumes with passages 13 of different cross-sectional area.

Eine Einheit des Hohlraumes und des Verbindungsdurchganges bildet den Resonator. Wenn dessen natürliche Frequenz nahe zu der charakteristischen Frequenz der Druckstörungen gewählt ist, wird erwartet, daß deren Energie in den Resonatoren absorbiert wird. Durch Anordnen zahlreicher Resonatoren in einer Anordnung wird dieser Effekt verstärkt. Was jedoch zu betonen ist, liegt darin, daß die Anordnung der Resonatoren nicht lediglich die Ausbreitung der Druckstörungen durch Absorbieren von deren Energie abfallen läßt, sondern auch deren Ausbreitungsgeschwindigkeit abhängig von der Frequenz macht. Mit anderen Worten, die Anordnung führt die Dispersion in akustische Wellen ein. Es ist mehr diese Dispersion als die Dissipation infolge der Absorption der Energie, was das Auftreten von Stoßwellen unterdrücken kann, indem durch die Nichtlinearität im Laufe der Ausbreitung erzeugte Hochfrequenzkomponenten verstreut werden.A unit of the cavity and the connecting passage forms the resonator. If its natural frequency is chosen close to the characteristic frequency of the pressure disturbances, their energy is expected to be absorbed in the resonators. By arranging numerous resonators in an array, this effect is enhanced. What is to be emphasized, however, is that the arrangement of the resonators not only reduces the propagation of the pressure disturbances by absorbing their energy, but also makes their propagation speed dependent on frequency. In other words, the arrangement introduces dispersion into acoustic waves. It is this dispersion rather than the dissipation due to the absorption of energy that can suppress the occurrence of shock waves by scattering high-frequency components generated by the nonlinearity in the course of propagation.

Zu diesem Zweck tritt ein wichtiges Problem auf, wie die Anordnung geeignet auszulegen ist. Für einen identischen Hohlraum und Durchgang, der axial mit gleichem Abstand verbunden ist, wird gezeigt, daß der Effekt der Anordnung der Resonatoren durch zwei Parameter gesteuert wird, die als der Koppelparameter κ und der Abstimmparameter Ω jeweils durchFor this purpose, an important problem arises as to how to design the arrangement appropriately. For an identical cavity and passage connected axially with equal spacing, it is shown that the effect of the arrangement of the resonators is controlled by two parameters, which are defined as the coupling parameter κ and the tuning parameter Ω, respectively by

κ = V/2&epsi;Ad und Ω = (w&sub0;/w)²,κ = V/2&epsi;Ad and Ω = (w₀/w)²,

definiert sind, wobei V, A und d jeweils das Hohlraumvolumen, die Tunnel-Querschnittsfläche und den axialen Abstand bedeuten, &epsi; {= [(γ + 1)/2γ]Δp/p&sub0;«1} ein Maß für die maximalen Druckstörungen Δp bezüglich des Atmosphärendruckes P&sub0; ist und γ das Verhältnis der spezifischen Wärmen für Luft bedeutet. Eine charakteristische Frequenz der Druckstörungen wird durch ω bezeichnet, während ω&sub0; die natürliche Frequenz des Resonators angibt, die gegeben ist durch (Ba&sub0;²/LV)1/2, wobei B und L jeweils die Durchgang-Querschnittsfläche und dessen Länge bedeutet und a&sub0; die Schallgeschwindigkeit ist.where V, A and d are the cavity volume, the tunnel cross-sectional area and the axial distance, respectively, ε {= [(γ + 1)/2γ]Δp/p₀«1} is a measure of the maximum pressure perturbations Δp with respect to the atmospheric pressure P₀ and γ is the ratio of the specific heats for air. A characteristic frequency of the pressure perturbations is denoted by ω, while ω₀ indicates the natural frequency of the resonator, which is given by (Ba₀²/LV)1/2, where B and L are the passage cross-sectional area and its length, respectively, and a₀ is the speed of sound.

Der Parameter κ bestimmt die Größe des Hohlraumvolumens V bezüglich des Tunnelvolumens je Abstand Ad, während das letztere Ω die Größe der Durchgang-Querschnittsfläche B und dessen Länge festlegt. Es wird gezeigt, daß die Anordnung der Resonatoren sehr wirksam ist, wenn κ groß genug gewählt ist, um 10 zu sein, während Ω größer als die Einheit ist. Für diese Doppelanordnung steuern zwei "Kopplungsparameter κi (i = 1, 2) und "Abstimmparameter Ωi (i = 1, 2) den Effekt der Anordnung:The parameter κ determines the size of the cavity volume V in terms of the tunnel volume per distance Ad, while the latter Ω determines the size of the passage cross-sectional area B and its length. It is shown that the arrangement of the resonators is very efficient if κ is chosen large enough to be 10 while Ω is larger than unity. For this double arrangement, two "Coupling parameter κi (i = 1, 2) and "Tuning parameter Ωi (i = 1, 2) the effect of the arrangement:

κi = Vi/2&epsi;Adi und Ωi = (ω0i/ω)²,κi = Vi/2&epsi;Adi and Ωi = (ω0i/ω)²,

wobei der Index i die jeweiligen Größen bezeichnet, die zu der Anordnung 1 und 2 gehören. Es wird gefunden, daß die Auswahl der Kopplungsparameter selbst kleiner als 10 ausreichend ist, wenn Ω&sub1; auf die Einheit eingestellt wird, während Ω&sub2; viel größer als die Einheit ist, beispielsweise Ω&sub1; = 1 und Ω&sub2; = 5 für κ&sub1; = κ&sub2; 1.where the index i denotes the respective quantities belonging to the arrangement 1 and 2. It is found that the choice of coupling parameters even smaller than 10 is sufficient when Ω1 is set to unity, while Ω2 is much larger than unity, for example Ω1 = 1 and Ω2 = 5 for κ1 = κ2 1.

5.1 FORMULATION OF THE PROBLEM

Beim Betrachten des Schallfeldes, das durch Fahren eines Zuges erzeugt ist, ist es wichtig, zwischen einem Nahfeld und einem Fernfeld von dem Zug zu unterscheiden. In dem Nahfeld werden zahlreiche Schallquellen identifiziert, um insbesondere der Zuggeometrie sowie derjenigen des Tunnels zugeordnet zu sein. In diesem Fall wird ein sehr kompliziertes Schallfeld von dreidimensionaler Natur aufgebaut, das einen weiten Bereich von Frequenzen einschließt. Bei Abstand von dem Zug werden jedoch die Hoch frequenzkomponenten in dem komplizierten Verhalten aufgrund der merklichen Dissipation schwächer, so daß nahezu eine eindimensionale Ausbreitung längs des Tunnels im Fernfeld überlebt.When considering the sound field generated by the movement of a train, it is important to distinguish between a near field and a far field from the train. In the near field, numerous sound sources are identified, particularly associated with the train geometry as well as that of the tunnel. In this case, a very complicated sound field of three-dimensional nature is established, encompassing a wide range of frequencies. However, at a distance from the train, the high frequency components in the complicated behavior become weaker due to significant dissipation, so that almost one-dimensional propagation along the tunnel survives in the far field.

Um dessen typische Frequenz zu bestimmen, sind keine anderen physikalischen Größen verfügbar als der Tunneldurchmesser D, die Zuggeschwindigkeit U und dessen axiale Länge 1. Diese Größen legen nahe, daß die Frequenz durch a&sub0;/l oder U/D bestimmt wird. Es sei angenommen, daß der Zug einer Länge von 200 m mit einer Geschwindigkeit von 150 m/s (540 km/h) in einem Tunnel eines Durchmessers von 10 m fährt. Die erstere Abschätzung liefert die Frequenz von einigen Hertz, während die letztere auch eine ähnliche Frequenz ergibt, selbst wenn der Doppler-Effekt berücksichtigt wird. Im Fernfeld breitet sich so der Infraschall aus.To determine its typical frequency, no other physical quantities are available than the tunnel diameter D, the train speed U and its axial Length 1. These quantities suggest that the frequency is determined by a₀/l or U/D. Suppose that the train of length 200 m travels at a speed of 150 m/s (540 km/h) in a tunnel of diameter 10 m. The former estimate gives the frequency of a few hertz, while the latter also gives a similar frequency even when the Doppler effect is taken into account. In the far field, the infrasound propagates in this way.

Für deren Größe könnte die maximale Größe der Druckstörungen erzeugt werden, wenn sich der Zug plötzlich in Bewegung mit einer konstanten Geschwindigkeit U setzt. Die lineare akustische Theorie sagt voraus, daß deren Größe grob gegeben ist durch βM/(1-M) bezüglich des Atmosphärendruckes, wobei β das Verhältnis der Zug-Querschnittsfläche zu derjenigen des Tunnels angibt und M (= U/a&sub0; < 1) die Mach-Zahl des Zuges bedeutet. Dies legt höhere Druckstörungen nahe, wenn sich die Zuggeschwindigkeit M der Einheit annähert. Da der Infraschall einer geringeren Dissipation bei der Ausbreitung unterworfen ist, ist es hochwahrscheinlich, daß die Nichtlinearität sich ansammelt, um gegebenenfalls das Auftreten von Stoßwellen in dem Fernfeld zu verursachen.For their magnitude, the maximum magnitude of the pressure disturbances could be generated when the train suddenly starts moving at a constant speed U. The linear acoustic theory predicts that their magnitude is roughly given by βM/(1-M) with respect to the atmospheric pressure, where β is the ratio of the train cross-sectional area to that of the tunnel and M (= U/a�0 < 1) is the train Mach number. This suggests higher pressure disturbances as the train speed M approaches unity. Since infrasound undergoes less dissipation during propagation, it is highly likely that the nonlinearity will accumulate to eventually cause the occurrence of shock waves in the far field.

Im Hinblick auf die obige physikalische Überlegung formulieren wir die Ausbreitung der Druckstörungen in dem Tunnel mit der Anordnung von Resonatoren, die in Fig. 1 gezeigt sind. Zur Vereinfachung seien identische Resonatoren mit axial gleichem Abstand verbunden, und dieser Abstand sei viel kleiner als die charakteristische Wellenlänge, so daß die Resonatoren als kontinuierlich verteilt längs des Tunnels angesehen werden können Bei der Formulierung wird der Effekt der Reibung an der Tunnelwand berücksichtigt, während der Effekt des Diffusionsvermögens des Schalles selbst vernachlässigt wird. Die Wandreibung ist wichtig bei der quantitativen Bewertung des Fernfeldverhaltens, da sie einen derart erblichen Effekt aufweist, um sich im Laufe der Ausbreitung anzusammeln.In view of the above physical consideration, we formulate the propagation of the pressure disturbances in the tunnel with the arrangement of resonators shown in Fig. 1. For simplicity, identical resonators are connected with the same axial distance, and this distance is much smaller than the characteristic wavelength, so that the resonators can be considered as continuously distributed along the tunnel. In the formulation the effect of friction on the tunnel wall is taken into account, while the effect of the diffusivity of the sound itself is neglected. Wall friction is important in the quantitative evaluation of the far-field behavior because it has such a hereditary effect to accumulate during propagation.

Indem diese Wandreibung berücksichtigt wird, leiten wir zuerst die nichtlinearen Wellengleichungen für die Fernfeldausbreitung der Druckstörungen im Tunnel mit der Anordnung von Resonatoren ab. Die Lineardispersionsbeziehung prüfend betrachten wir den Effekt der Anordnung von Resonatoren auf die Ausbreitung von infinitesimal kleinen Druckstörungen. Durch Lösen typischer Anfangswertprobleme für die Gleichungen beschreiben wir sodann den Effekt der Resonatoren bei der Ausbreitung der Druckstörungen und insbesondere bei der Unterdrückung des Auftretens von Stoßwellen.Taking this wall friction into account, we first derive the nonlinear wave equations for the far-field propagation of pressure disturbances in the tunnel with the arrangement of resonators. Checking the linear dispersion relation, we consider the effect of the arrangement of resonators on the propagation of infinitesimally small pressure disturbances. By solving typical initial value problems for the equations, we then describe the effect of the resonators on the propagation of pressure disturbances and, in particular, on the suppression of the occurrence of shock waves.

Für ein Fernfeldverhalten wird eine quasi-eindimensionale Ausbreitung für die akustische Hauptströmung in dem Tunnel mit Ausnahme einer dünnen Grenzschicht neben der Tunnelwand und einer Nähe der Öffnungen von den Resonatoren angenommen (vgl. Fig. 6). Hier wird der Term "quasi-eindimensional" in dem Sinn verwendet, daß sich der Querschnitt der akustischen Hauptströmung langsam längs des Tunnels verändert. Für diese Hauptströmung ist die Kontinuitätsgleichung gegeben durch: wobei und u teilweise die Mittelwerte der Dichte und der axialen Geschwindigkeit der Luft, gemittelt über den Querschnitt der Hauptströmung bedeuten und x und t die axiale Koordinate und die Zeit sind. Die rechte Seite stellt die Massenflußdichte νn in der Hauptströmung durch den Rand der Grenzschicht und die Öffnungen der Resonatoren dar, wobei νn die kleine Geschwindigkeit nach innen senkrecht zu der Grenze des Querschnittes der Hauptströmung ist und ds das Linienelement entlang hiervon bedeutet.For far-field behavior, a quasi-one-dimensional propagation is assumed for the main acoustic flow in the tunnel, with the exception of a thin boundary layer next to the tunnel wall and a proximity of the openings of the resonators (see Fig. 6). Here, the term "quasi-one-dimensional" is used in the sense that the cross-section of the main acoustic flow changes slowly along the tunnel. For this main flow, the continuity equation is given by: where u and u are the partial mean values of the density and axial velocity of the air averaged over the cross section of the main flow and x and t are the axial coordinate and time. The right side represents the mass flux density νn in the main flow through the edge of the boundary layer and the openings of the resonators, where νn is the small inward velocity perpendicular to the boundary of the cross section of the main flow and ds is the line element along it.

Das Diffusionsvermögen des Schalles wird vernachlässigt, so daß die Bewegungsgleichung für die Hauptströmung in der Axialrichtung gegeben ist durch: The diffusivity of sound is neglected, so that the equation of motion for the main flow in the axial direction is given by:

wobei p den mittleren Druck bedeutet, der über den Querschnitt der Hauptströmung gemittelt ist. Zusätzlich zu diesen beiden Gleichungen besteht zwischen p und die adiabatische Beziehung P/P&sub0; = ( / &sub0;γ, wobei der Index 0 die jeweiligen Gleichgewichtswerte angibt. Zum Schließen der Gleichungen ist es notwendig, den Massenfluß auf der rechten Seite von (1) aufgrund der Grenzschicht und den Resonatoren zu spezifizieren. Die Grenzschicht besteht aus zwei Schichten für die Geschwindigkeit und die Temperatur. Es ist bekannt, daß die Geschwindigkeit am Rand der Grenzschicht νb entsprechend zu νn in Termen der Geschwindigkeit der Hauptströmung gegeben ist durch: where p is the mean pressure averaged over the cross section of the main flow. In addition to these two equations, there is the adiabatic relationship between p and P/P�0 = ( / �0;γ), where the index 0 indicates the respective equilibrium values. To close the equations, it is necessary to specify the mass flow on the right-hand side of (1) due to the boundary layer and the resonators. The boundary layer consists of two layers for the velocity and the temperature. It is known that the velocity at the edge of the boundary layer νb corresponding to νn is given in terms of the velocity of the main flow by:

mit C = 1 + (γ - 1)/Pr1/2, wobei v die kinematische Viskosität und Pr die Prandtl-Zahl bedeuten. Die Geschwindigkeit νb ist gegeben durch das bestimmte Integral von u bezüglich der abgelaufenen Zeit t' bis t. Dieses Integral ist lediglich die x-Ableitung der partiellen Ableitung der Ordnung minus 1/2 für u und definiert durch: with C = 1 + (γ - 1)/Pr1/2, where v is the kinematic viscosity and Pr is the Prandtl number. The velocity νb is given by the definite integral of u with respect to the elapsed time t' to t. This integral is simply the x-derivative of the partial derivative of order minus 1/2 for u and is defined by:

Um einen anderen Beitrag des Massenflusses von dem Resonator abzuleiten, ist es erforderlich, dessen Antwort zu prüfen. Es sei angenommen, daß der Resonator aus dem Hohlraum des Volumens ν besteht und der Durchgang als ein Hals einer Querschnittsfläche B und einer Länge L gebildet ist und alle Längsabmessungen viel kürzer als eine charakteristische Wellenlänge der Druckstörungen sind. Unter der Annahme, daß das Hohlraumvolumen viel größer als dasjenige des Halses ist, wird die Bewegung in dem Hohlraum vernachlässigt, so daß lediglich die Erhaltung der Masse berücksichtigt wird:To derive another contribution of mass flow from the resonator, it is necessary to examine its response. Suppose that the resonator consists of the cavity of volume ν and the passage is formed as a throat of cross-sectional area B and length L and all longitudinal dimensions are much shorter than a characteristic wavelength of the pressure perturbations. Assuming that the cavity volume is much larger than that of the throat, the motion in the cavity is neglected so that only the conservation of mass is considered:

(5) Vδ c/δt=Bq,(5) Vδc/δt=Bq,

wobei Pc die gemittelte Dichte der Luft in dem Hohlraum ist und q den Massenfluß durch den Hals von dem Tunnel zu dem Hohlraum bedeutet. Die Komprimierbarkeit der Luft in dem Hals kann vernachlässigt werden, da die Halslänge viel kürzer ist als die charakteristische Wellenlänge. Damit ist der Massenfluß von dem Hals in den Tunnel νn konstant längs des Halses und gleich zu -q. Für die Luft in dem Hals kann die Bewegungsgleichung in der axialen Richtung über dem gesamten Querschnitt des Halses einschließlich der Grenzschicht wie folgt gemittelt werden: where Pc is the average density of the air in the cavity and q is the mass flow through the throat from the tunnel to the cavity. The compressibility of the air in the throat can be neglected since the throat length is much shorter than the characteristic wavelength. Thus the mass flow from the throat into the tunnel νn is constant along the throat and equal to -q. For the air in the throat, the equation of motion in the axial direction can be averaged over the entire cross section of the throat including the boundary layer as follows:

wobei γ die Axialkoordinate längs des Halses bedeutet und der Ursprung an der Öffnung zu dem Tunnel gelegen ist. Hier bedeuten , ν und p jeweils die Dichte der Luft in dem Hals, deren Geschwindigkeit in der y-Richtung und den Druck, wobei der Querstrich die gemittelte Größe über dem Querschnitt angibt. Der Wandbruchteil je Einheitsaxiallänge kann bewertet werden, indem die Grenzschicht nahe der Halswand geprüft wird. Da jedoch die Luft in dem Hals als inkompressibel betrachtet werden kann, haben wir lediglich die Grenzschicht für die Geschwindigkeit anders als in dem Fall für den Tunnel zu berücksichtigen. In dieser Konsequenz kann durch die folgende Integralgleichung gegeben werden: where γ is the axial coordinate along the throat and the origin is located at the opening to the tunnel. Here , ν and p are the density of the air in the throat, its velocity in the y-direction and the pressure, respectively, with the bar indicating the averaged size over the cross section. The wall fraction per unit axial length can be evaluated by examining the boundary layer near the throat wall. However, since the air in the throat can be considered incompressible, we only have to consider the boundary layer for the velocity different from the case for the tunnel. In this consequence, can be given by the following integral equation:

wobei r der hydraulische Radius des Halses ist. Da dieses Integral der Ableitung erster Ordnung der partiellen Ableitung von minus 1/2 für q bezüglich t entspricht, wird es als die Ableitung der Ordnung 1/2 bezeichnet.where r is the hydraulic radius of the neck. Since this integral of the first order derivative corresponds to the partial derivative of minus 1/2 for q with respect to t, it is called the derivative of order 1/2.

Für die Bewegung im Hals linearisieren wir, um die quadratische Momentflußdichte (wo nahe bei &sub0; ist) zu vernachlässigen, und integrieren (6) von einer Öffnung an der Tunnelseite γ = 0 zu der anderen an der Hohlraumseite y = 1. Hier bemerken wir wieder, daß ν, gemittelt über den Querschnitt, gleich ist zu q und daß q und unabhängig von γ sind. Es sei angenommen, daß der Druck bei γ = gleich zu demjenigen in dem Tunnel an dem Abschnitt ist, während der Druck bei γ = L gleich zu demjenigen in dem Hohlraum pc ist. Um q in (5) in Termen von pc auszudrücken, wird die adiabatische Beziehung als dpc/d c = a&sub0;² linearisiert. Dann leiten wir die Differentialgleichung für Pc' (= Pc - P&sub0; mit p' (= p - p&sub0; ab: For the motion in the neck, we linearize to neglect the quadratic moment flux density (where is close to ν0) and integrate (6) from one opening on the tunnel side γ = 0 to the other on the cavity side y = 1. Here we note again that ν, averaged over the cross section, is equal to q and that q and are independent of γ. Suppose that the pressure at γ = is equal to that in the tunnel at the section pc, while the pressure at γ = L is equal to that in the cavity pc. To express q in (5) in terms of pc, the adiabatic relation is linearized as dpc/dc = a₀². Then we derive the differential equation for Pc' (= Pc - P₀) with p' (= p - p₀):

wobei ω&sub0;² (= Ba&sub0;²/LV) die natürliche Frequenz des Resonators ist und die Ableitung der Ordnung 3/2 als diejenige definiert ist, die durch Differenzieren der Ableitung der Ordnung 1/2 einmal bezüglich der Zeit t erhalten ist.where ω0² (= Ba0²/LV) is the natural frequency of the resonator and the derivative of order 3/2 is defined as the one obtained by differentiating the derivative of order 1/2 once with respect to time t.

Wir vervollständigen nun den Massenfluß auf der rechten Seite von (1). Für die Resonatoren, die nahezu kontinuierlich mit dem axial gleichen Abstand d verteilt sind, sei deren Anzahidichte gegeben durch N (= 1/d). Dann kann der Massenfluß je Einheitsaxiallänge gegeben sein als: We now complete the mass flow on the right-hand side of (1). For the resonators, which are distributed almost continuously with the same axial distance d, their number density is given by N (= 1/d). Then the mass flow per unit axial length can be given as:

wobei R der hydraulische Radius des Tunnels ist und NB die Gesamtquerschnittsfläche der Öffnungen je Einheitsaxiallänge berücksichtigt. Somit werden (1), (2) und (8) für , u und p'c geschlossen. Indem die lokale Schallgeschwindigkeit a [= dp/d )1/2 = a&sub0;( / &sub0;)γ-1)/2] anstelle von verwendet wird, werden (1) und (2) schließlich zu den folgenden Gleichungen reduziert: where R is the hydraulic radius of the tunnel and NB considers the total cross-sectional area of the openings per unit axial length. Thus, (1), (2) and (8) are closed for , u and p'c. By using the local sound velocity a [= dp/d )1/2 = a�0;( / �0;)γ-1)/2] instead of , (1) and (2) are finally reduced to the following equations:

wobei das Vorzeichen vertikal geordnet ist und 1/R* defi niert ist als [1-NRB/2A]/R mit B/A = (r/R)². Die linken Seiten der Gleichungen beschreiben die wohlbekannte unstetige eindimensionale Strömung des komprimierbaren Gases, während die rechten Seiten die Effekte der Wandreibung und der Resonatoren eingeben. Um die Ausbreitung längs der positiven Richtung der x-Achse herauszugreifen, führen wir die nichtdimensionale Retardationszeit θ[= ω(t-x/a&sub0;ω: die charakteristische Frequenz der Druckstörungen] und die Fernfeldvariable X (= &epsi;ωx/a&sub0; ein, die der Ordnung der Nichtlinearität &epsi; (« 1) zugeordnet ist. Zusätzlich zu θ und X setzen wir [(γ + 1)/2]u/a&sub0; und [(γ + 1)/2γ] p'c/Po zu &epsi;f bzw. &epsi;g und vernachlässigen Terme höherer Ordnung in &epsi;. Dann sind die Gleichungen (1ω und (8) zu den folgenden Gleichungen reduziert: where the sign is vertically ordered and 1/R* is defined as [1-NRB/2A]/R with B/A = (r/R)². The left-hand sides of the equations describe the well-known unsteady one-dimensional flow of the compressible gas, while the right-hand sides introduce the effects of wall friction and resonators. To single out the propagation along the positive direction of the x-axis, we introduce the non-dimensional retardation time θ[= ω(tx/a�0ω: the characteristic frequency of the pressure perturbations] and the far-field variable X (= εωx/a�0) which is associated with the order of the nonlinearity ε (« 1). In addition to θ and X, we set [(γ + 1)/2]u/a�0 and [(γ + 1)/2γ] p'c/Po to εf and εg, respectively, and neglect higher order terms in ε. Then equations (1ω and (8) are reduced to the following equations:

sind die Konstanten. Hier bezeichnen δR und δr das Verhältnis der Grenzschichtdicke (ν/ω)1/2 zu dem Radius des Tunnels bzw. dasjenige des Halses, während κ und Ω das Kopplungsparameter bzw. der Abstimmparameter sind, durch die der Effekt der Anordnung der Resonatoren berücksichtigt wird.are the constants. Here, δR and δr denote the ratio of the boundary layer thickness (ν/ω)1/2 to the radius of the tunnel and that of the throat, respectively, while κ and Ω are the coupling parameter and the tuning parameter, respectively, which take into account the effect of the arrangement of the resonators.

Es seien nunmehr diese Koeffizienten numerisch bewertet. Als ein typisches Beispiel wird ein Tunnel eines Durchmessers von 10 m angenommen, wobei der Resonator eine sphärische Kapazität eines Durchmesser von 4 m und einen Hals eines Durchmessers von 1 m und einer Länge von 3 m hat. Dann ist die natürliche Frequenz ω&sub0; gegeben durch 4,8 Hz für a&sub0; = 340 m/s. Für eine charakteristische Frequenz ω = 5 Hz haben wir δR = 2,0 x 10&supmin;&sup4;/&epsi;, δr = 2,7 x 10&supmin;³ und κ = 21 x 10&supmin;²/&epsi; für d = 10 m (N = 0,1/m), mit γ = 1,4, Pr = 0,72 und ν = 1,45 x 10&supmin;&sup5; m²/s. Wenn der Druckpegel &epsi; zu 0,002 angenommen wird, nehmen δR und κ jeweils die Werte 0,1 und 10 an.Let us now evaluate these coefficients numerically. As a typical example, consider a tunnel of diameter 10 m, where the resonator has a spherical capacity of diameter 4 m and a neck of diameter 1 m and length 3 m. Then the natural frequency ω0 is given by 4.8 Hz for a0 = 340 m/s. For a characteristic frequency ω = 5 Hz we have δR = 2.0 x 10-4/ε, δr = 2.7 x 10-3 and κ = 21 x 10-2/ε for d = 10 m (N = 0.1/m), with γ = 1.4, Pr = 0.72 and ν = 1.45 x 10⊃min;⊃5; m²/s. If the pressure level ε is taken to be 0.002, δR and κ take the values 0.1 and 10, respectively.

5.2 LINEAR DISPERSION RELATIONSHIP

Bevor zu dem nichtlinearen Froblem weitergegangen wird, prüfen wir den Effekt der Anordnung der Resonatoren auf die Ausbreitung von Druckstörungen einer infinitesimal kleinen Amplitude. Unter der Annahme, daß f und g in der Form von exp[i(θ-SX)](S: Konstante) vorliegt und durch Linearisieren von (11) wird 5 komplex. Sein Imaginärteil Before moving on to the nonlinear problem, we examine the effect of the arrangement of the resonators on the propagation of pressure disturbances of an infinitesimally small amplitude. Assuming that f and g are in the form of exp[i(θ-SX)](S: constant) and by linearizing (11), 5 becomes complex. Its imaginary part

liefert die räumliche Dämpfungsrate bezüglich X. Der erste Term in der rechteckigen Klammer gibt den Eigenabfall aufgrund der Wandreibung ab, während der zweite Term die Verstärkung im Abfall durch die Anordnung der Resonatoren bedeutet. Fig. 7(a) zeigt den Absolutwert von Si gegenüber ω&sub0;/ω) (= Ω1/2). Es hat die maximale Dämpfungsrate Si = 21/2κ/δr bei ω&sub0;/ω = 1 + δ r/21/2 + ... . Wenn so ω&sub0; nahe zu ω gewählt ist, kann der Abfall gesteigert werden.gives the spatial damping rate with respect to X. The first term in the rectangular bracket gives the intrinsic decay due to wall friction, while the second term means the amplification in the decay due to the arrangement of the resonators. Fig. 7(a) shows the absolute value of Si versus ω0/ω) (= ω1/2). It has the maximum damping rate Si = 21/2κ/δr at ω0/ω = 1 + δ r/21/2 + ... . If ω0 is chosen so close to ω, the decay can be increased.

Andererseits entspricht der Realteil von S, nämlich Sr dem Inversen der Ausbreitungsgeschwindigkeit. Er ist gegeben durch: On the other hand, the real part of S, namely Sr, corresponds to the inverse of the propagation velocity. It is given by:

Fig. 7(b) zeigt Sr gegenüber ω&sub0;/ω (= Ω1/2). In der Grenze für ω&sub0;/ω T 0 nähert sich Sr an δr/21/2 für den Wert ohne die Anordnung, während in der anderen Grenze bei ω&sub0;/ω T ∞ sich Sr an δr/21/2 + κ annähert. Zwischen diesen Grenzen gibt die Anordnung von Resonatoren Veranlassung zu der Dispersion. Hier sei bemerkt, daß die Wandreibung selbst auch zu der Dispersion beiträgt, jedoch klein und sekundär im Vergleich mit derjenigen aufgrund der Anordnung der Resonatoren ist.Fig. 7(b) shows Sr versus ω0/ω1 (= ω1/2). In the limit for ω0/ω2 T 0, Sr approaches δr/21/2 for the value without the arrangement, while in the other limit at ω0/ω2 T ∞, Sr approaches δr/21/2 + ω2. Between these limits, the arrangement of resonators gives rise to the dispersion. Here it should be noted that the wall friction itself also contributes to the dispersion, but small and secondary. compared with that due to the arrangement of the resonators.

5.3 EFFECT OF THE ARRANGEMENT OF THE RESONATORS ON THE DEVELOPMENT OF PRESSURE DISTURBANCES

Durch Lösen eines Anfangs-(physikalisch: Grenz-)Wertproblems für (11) und (12) prüfen wir den Effekt der Anordnung der Resonatoren. Zu diesem Zweck ist es geeignet, diese in der "charakteristischen Form" auszudrücken. Längs den Charakteristiken, die durchBy solving an initial (physical: limit) value problem for (11) and (12) we check the effect of the arrangement of the resonators. For this purpose it is convenient to express them in the "characteristic form". Along the characteristics given by

(16) dθ/dX=-f,(16) dθ/dX=-f,

definiert sind, können (11) und (12) umgeschrieben werden are defined, (11) and (12) can be rewritten

Als eine typische Anfangsbedingung für f bei X = 0 betrachten wir ein Faar von positiven (Kompressions-) und negativen (Expansions-)Impulsen, die durch die Ableitung des Gauss'schen Impulses gegeben sind:As a typical initial condition for f at X = 0, we consider a set of positive (compression) and negative (expansion) impulses given by the derivative of the Gaussian impulse:

(19) f(θ,X=O)=- 2e θ exp(-θ²),(19) f(θ,X=O)=- 2e θ exp(-θ²),

wobei der Faktor (2e)1/2 eingeführt ist, um das Maximum von f zu normieren. Der Anfangswert für g wird als die Lösung für (18) bestimmt, wobei f durch (19) vorgeschrieben ist. Wenn die Wandreibung und die Anordnung der Resonatoren vernachlässigt werden, entwickelt sich das durch (19) gegebene Anfangsprofil in zwei Stoßwellen, die als die sogenannte N-Welle bekannt sind. Somit vergleichen wir die Entwicklung von (19) in dem Tunnel ohne die Anordnung und diejenige in dem Tunnel mit der Anordnung. Im folgenden werden δR und δr jeweils zu 0,1 und 0,01 festgelegt.where the factor (2e)1/2 is introduced to normalize the maximum of f. The initial value for g is determined as the solution to (18), where f is prescribed by (19). If the wall friction and the arrangement of the resonators are neglected, the (19) into two shock waves known as the so-called N-wave. Thus, we compare the evolution of (19) in the tunnel without the arrangement and that in the tunnel with the arrangement. In the following, δR and δr are set to 0.1 and 0.01, respectively.

Zunächst zeigt Fig. 8 die Entwicklung in dem Tunnel ohne die Anordnung der Resonatoren. Dieser Fall entspricht formal der Einstellung κ = 0 in (17). Hier entspricht f dem Druck p' in dem Tunnel bezüglich des Atmosphärendrukkes durch &epsi;f = [(γ + 1)/2γ]p'/p&sub0;. Es ist zu sehen, daß zwei Stoßwellen (d.h. Diskontinuität im Profil) bei X = 1,0265 bzw. X = 1,0530 auftreten. Es ist auch zu sehen, daß die Diskontinuität gerundet auf ihrer rechten Seite erscheint, und der lange Schwanz erscheint durch den einen Effekt aufgrund der Wandreibung. Für ω = 5 Hz und &epsi; = 0,002 entspricht die Einheit in X beim Durchgang etwa 5 km.First, Fig. 8 shows the evolution in the tunnel without the arrangement of the resonators. This case corresponds formally to the setting κ = 0 in (17). Here f corresponds to the pressure p' in the tunnel with respect to the atmospheric pressure by εf = [(γ + 1)/2γ]p'/p�0. It can be seen that two shock waves (i.e. discontinuity in the profile) appear at X = 1.0265 and X = 1.0530, respectively. It can also be seen that the discontinuity appears rounded on its right side, and the long tail appears due to the one effect due to wall friction. For ω = 5 Hz and ε = 0.002, the unit in X at the passage corresponds to about 5 km.

Wir zeigen nun die Entwicklung in dem Tunnel mit der Anordnung der Resonatoren. Der Kopplungsparameter κ ist zu der Einheit gewählt, während der Abstimmparameter Ω auch zur Einheit gewählt ist, so daß der große Abfall erwartet werden kann. Fig. 9(a) zeigt die Entwicklung von f von X = 0 bis X = 2. Die führende Stoßwelle tritt bei X = 0,8630 auf, während die nachlaufende bei X = 1,2960 in Erscheinung tritt. Ein Vergleichen dieser Figur mit einer ohne die Anordnung zeigt, daß die nachlaufende Stoßwelle früher auftritt und rascher anwächst sowie positiv wird. Fig. 9(b) zeigt die Entwicklung von g, wobei die Richtung von X umgekehrt genommen ist, so daß das Schwingungsanfangsprofil von g gesehen werden kann. Es wird gefunden, daß diese Abmessung des Resonators nutzlos für eine Unterdrückung des Auftretens von Stoßwellen ist.We now show the evolution in the tunnel with the arrangement of the resonators. The coupling parameter κ is chosen to be unity, while the tuning parameter Ω is also chosen to be unity, so that the large decay can be expected. Fig. 9(a) shows the evolution of f from X = 0 to X = 2. The leading shock wave appears at X = 0.8630, while the trailing one appears at X = 1.2960. Comparing this figure with one without the arrangement shows that the trailing shock wave appears earlier and grows more rapidly and becomes positive. Fig. 9(b) shows the evolution of g, with the direction of X reversed so that the oscillation initial profile of g. It is found that this dimension of the resonator is useless for suppressing the occurrence of shock waves.

Wir zeigen sodann die Entwicklung für einen größeren Wert des Kopplungsparameters κ = 10. Es ist aus (14) offenbar, daß die Dämpfungsrate mit κ zunimmt. Fig. 10(a) zeigt, daß sich das Anfangsprofil in Welligkeiten mit keinem Anzeichen für das Auftreten von Stoßwellen entwickelt. Fig. 10(b) zeigt die Entwicklung von g, das rasch abfällt. Somit wird gefunden, daß diese Abmessung des Resonators eine Ausbreitung von Druckstörungen und das Auftreten von Stoßwellen in dem Fernfeld unterdrücken kann.We then show the evolution for a larger value of the coupling parameter κ = 10. It is evident from (14) that the damping rate increases with κ. Fig. 10(a) shows that the initial profile evolves into undulations with no sign of the occurrence of shock waves. Fig. 10(b) shows the evolution of g, which rapidly decreases. Thus, it is found that this dimension of the resonator can suppress propagation of pressure disturbances and the occurrence of shock waves in the far field.

Für Ω « 1 oder Ω » 1 ist die lineare Dämpfungsrate klein. Für Ω = 0,1 wird gefunden, daß zwei Stoßwellen selbst für κ 10 auftreten. Jedoch entwickeln sich für Ω = 10, was ausreichend interessant ist, die Anfangsdruckstörungen glatt ohne jegliche Stoßwellen selbst für κ = 1, wie dies in Fig. 11 gezeigt ist, obwohl deren Größe nicht so ausdrücklich wie in dem in Fig. 10 gezeigten Fall infolge der kleinen Dämpfungsrate abfällt. Kein Auftreten von Stoßwellen resultiert in diesem Fall aus der Dispersion der akustischen Wellen infolge der Anordnung der Resonatoren. Um dies zu sehen, wird in (12) g angenähert für Ω » 1, durch For Ω « 1 or Ω » 1 the linear damping rate is small. For Ω = 0.1 it is found that two shock waves appear even for κ 10. However, for Ω = 10, which is sufficiently interesting, the initial pressure disturbances develop smoothly without any shock waves even for κ = 1, as shown in Fig. 11, although their magnitude does not drop as sharply as in the case shown in Fig. 10 due to the small damping rate. No occurrence of shock waves in this case results from the dispersion of the acoustic waves due to the arrangement of the resonators. To see this, in (12) g is approximated for Ω » 1 by

Indem diese in (11) eingesetzt wird und die kleinen Terme mit δr vernachlässigt werden, haben wir die wohlbekannte Korteweg-de-Vries-Gleichung. Diese Gleichung legt nahe, daß die Anordnung Veranlassung zu einer Dispersion höherer Ordnung gibt, die nunmehr im Wettbewerb mit der nichtlinearen Erhöhung treten kann, um das Auftreten von Stoßwellen zu unterdrücken. In diesem Fall wird erwartet, daß ein akustischer Soliton in einem fernen Fernfeld auftreten kann. Dieser akustische Soliton breitet sich eher in der Form eines Impulses als einer Stoßwelle aus, und seine Breite wird durch κ/Ω bestimmt. Wenn somit Ω extrem groß genommen wird, so daß κ/Ω klein wird, dann kann ein anderes Rauschproblem auftreten, das der Ausbreitung dieses Impulses zugeordnet ist.Substituting this into (11) and neglecting the small terms involving δr, we have the well-known Korteweg-de Vries equation. This equation suggests that the arrangement gives rise to a higher order dispersion which can now compete with the nonlinear enhancement to suppress the occurrence of shock waves. In this case, an acoustic soliton is expected to appear in a distant far field. This acoustic soliton propagates in the form of a pulse rather than a shock wave and its width is determined by κ/Ω. Thus, if Ω is taken extremely large so that κ/Ω becomes small, then another noise problem associated with the propagation of this pulse can arise.

Nach Prüfung der Entwicklungen in verschiedenen Fällen der Parameter κ und Ω wird, allgemein gesprochen, gefunden, daß für Ω 1 die Ausbreitung von Druckstörungen merklich unterdrückt ist, so daß das Auftreten von Stoßwellen vermieden werden kann, falls κ so groß wie 10 ist. Es wird auch gefunden, daß für einen festen Wert von κ, wie beispielsweise die Einheitsgröße, das Auftreten von Stoßwellen vermieden werden kann, solange Ω größer als die Einheit ist. Jedoch dauert die Ausbreitung der Druckstörungen über einen langen Abstand ohne Stoßwellen fort. Diese Resultate gelten selbst für kleinere Werte von δr, wie beispielsweise 0,0027.After examining the developments in various cases of the parameters κ and Ω, it is found, generally speaking, that for Ω 1, the propagation of pressure disturbances is noticeably suppressed, so that the occurrence of shock waves can be avoided if κ is as large as 10. It is also found that for a fixed value of κ, such as unity, the occurrence of shock waves can be avoided as long as Ω is larger than unity. However, the propagation of pressure disturbances over a long distance continues without shock waves. These results hold even for smaller values of δr, such as 0.0027.

Für andere Typen einer Anfangsbedingung wird die Entwicklung für einen einzelnen Impuls Gauss'scher Form geprüft, der gegeben ist durchFor other types of initial condition, the expansion is checked for a single impulse of Gaussian form, given by

(21) f(θ, X=0) = exp(-θ²).(21) f(θ, X=0) = exp(-θ²).

Dann wird bestätigt, daß die für die Bedingung (19) abgeleiteten Ergebnisse in ähnlicher Weise gelten.Then it is confirmed that the results derived for condition (19) hold similarly.

5.4 NONLINEAR EFFECT OF RESONATORS

Sodann prüfen wir den Fall mit einem hohen Druckpegel von &epsi;, wie beispielsweise &epsi; = 0,1 (entsprechend 175 dB in SPL). Da der Druckpegel zunimmt, wird die nichtlineare Antwort des Resonators insbesondere aufgrund des nichtlinearen Verlustes infolge der Jet-Strömung erhöht, die beim Verlasen der Mündung der Resonatoren gebildet ist. Dann wird (12) modifiziert, um die nichtlineare Antwort des Resonators &epsi;Ψ, einzuschließen: We then consider the case with a high pressure level of ε, such as ε = 0.1 (corresponding to 175 dB in SPL). As the pressure level increases, the nonlinear response of the resonator is increased, in particular due to the nonlinear loss due to the jet flow formed when leaving the mouth of the resonators. Then (12) is modified to include the nonlinear response of the resonator εΨ:

wobei &epsi;Ψ definiert ist als where εΨ is defined as

wobei Le die effektive Länge des Halses mit den Endkorrekturen bedeutet. Der erste Term stellt die Nichtlinearität infolge der adiabatischen Änderung in dem Hohlraum dar, und der zweite Term bedeutet den nichtlinearen Verlust infolge der Jet-Strömung. Beim Ableiten der Resonator-Antwort wird die Länge des Halses als viel kürzer als die charakteristische Wellenlänge angenommen, d.h. a&sub0;/ωLe » 1. Jedoch kann dieser Verlust vernachlässigt werden, indem &epsi; ausreichend klein gemacht ist. Wenn jedoch &epsi; groß wird, wird es insbesondere für einen kleinen Wert von Ω hervorragend, wohingegen der Effekt der Wandreibung klein wird im Vergleich mit der Nichtlinearität (vgl. die Definition von δR).where Le is the effective length of the throat with the final corrections. The first term represents the nonlinearity due to the adiabatic change in the cavity, and the second term represents the nonlinear loss due to the jet flow. In deriving the resonator response, the length of the throat is assumed to be much shorter than the characteristic wavelength, i.e. a₀/ωLe » 1. However, this loss can be neglected, by making ε sufficiently small. However, when ε becomes large, it becomes outstanding especially for a small value of Ω, whereas the effect of wall friction becomes small compared to the nonlinearity (cf. the definition of δR).

Hier bemerken wir die Endkorrekturen. Wenn die effektive Länge des Halses eingeführt wird, sollte demgemäß L in der Definition von ω&sub0; durch Le ersetzt werden. Zusätzlich können die Endkorrekturen für die Wandreibung auch durch Verlängern von L zu L' erfolgen, so daß die Definition von δr durch einen Faktor L'/Le multipliziert wird. In unserer Formulierung nehmen wir die Position ein, daß diese Größen experimentell zu bestimmen sind. Um die Diskussion jedoch zu vereinfachen, vernachlässigen wir die Endkorrekturen und setzen Le = L' = L, wobei wir bedenken, daß sie Ergebnisse quantitativ modifizieren können.Here we note the final corrections. Accordingly, when the effective length of the neck is introduced, L in the definition of ω0 should be replaced by Le. In addition, the final corrections for wall friction can also be made by extending L to L', so that the definition of δr is multiplied by a factor L'/Le. In our formulation we take the position that these quantities are to be determined experimentally. However, to simplify the discussion, we neglect the final corrections and set Le = L' = L, bearing in mind that they can modify results quantitatively.

Wie in einem Fall mit einem höheren Druckpegel betrachten wir einen anderen Tunnel eines kleineren Durchmessers von 7 m mit dem Resonator, der einen sphärischen Hohlraum eines Durchmessers von 6 m und den Hals eines Durchmessers von 2 m und eine Länge von 3 m hat. Für diesen Tunnel ist die natürliche Frequenz ω&sub0; gegeben durch 5,2 Hz und δR = 2,8 x 10&supmin;&sup4;/&epsi;, δr = 1,4 x 10&supmin;³ und κ = 1,5 x 10&supmin;¹/&epsi; für den gleichen Abstand d = 10 m. Wenn hier &epsi; zu 0,1 angenommen wird, dann ist κ, d.h. die effektive Abmessung des Resonators, viel kleiner als 10, jedoch nimmt nunmehr &epsi; (a&sub0;/ωL)² einen großen Wert von 1,3 an. Es sollte hier bemerkt werden, daß das Verhältnis V/Ad (= 2&epsi;κ) nicht groß angenommen werden kann, da es den Grad der Reflexion bei jedem Resonator steuert und die Ableitung der beherrschenden Gleichungen auf der Annahme einer kleinen Reflexion durch jeden Resonator, d.h. V/Ad « 1, beruht.As in a case with a higher pressure level, consider another tunnel of a smaller diameter of 7 m with the resonator having a spherical cavity of a diameter of 6 m and the neck of a diameter of 2 m and a length of 3 m. For this tunnel, the natural frequency ω0 is given by 5.2 Hz and δR = 2.8 x 10⁻⁴/ε, δr = 1.4 x 10⁻³ and κ = 1.5 x 10⁻¹/ε for the same distance d = 10 m. If here ε is taken to be 0.1, then κ, i.e. the effective dimension of the resonator, is much smaller than 10, however, now ε increases. (a₀/ωL)² assumes a large value of 1.3. It should be noted here that the ratio V/Ad (= 2εκ) cannot be assumed to be large, since it determines the degree of reflection at each resonator and the derivation of the governing equations is based on the assumption of a small reflection by each resonator, ie V/Ad « 1.

Der Effekt der Anordnung der Resonatoren wird geprüft. Es wird gefunden, daß für κ = Ω = 1 Stoßwellen von beiden Anfangsbedingungen (19) und (21) austreten, selbst wenn der nichtlineare Verlust berücksichtigt wird. Da jedoch Ω auf 10 ansteigt, gibt es überhaupt kein Anzeichen von Stoßwellen. Es wird bestätigt, daß die für kleinere Druckstörungen erhaltenen Ergebnisse noch für diesen Fall gelten.The effect of the arrangement of the resonators is checked. It is found that for κ = Ω = 1, shock waves emerge from both initial conditions (19) and (21), even when the nonlinear loss is taken into account. However, as Ω increases to 10, there is no sign of shock waves at all. It is confirmed that the results obtained for smaller pressure perturbations still hold for this case.

5.5 EFFECT OF DOUBLE ARRANGEMENT

Zusätzlich zu der einfachen Anordnung von Resonatoren prüfen wir den Effekt der Doppelanordnung. Für diese Anordnung steuern zwei Kopplungsparameter κi (i = 1, 2) und Abstimmparameter Ωi (i = 1, 2) den Effekt der Anordnung: In addition to the simple arrangement of resonators, we examine the effect of the double arrangement. For this arrangement, two coupling parameters κi (i = 1, 2) and tuning parameters Ωi (i = 1, 2) control the effect of the arrangement:

wobei der Index i die jeweiligen Größen bedeutet, die für die Anordnung 1 und 2 gültig sind. Die Fernfeldausbreitung der Druckstörungen wird durch die folgenden Gleichungen beschrieben: where the index i represents the respective quantities that are valid for arrangements 1 and 2. The far-field propagation of the pressure disturbances is described by the following equations:

wobei f, g&sub1; und g&sub2; dem in geeigneter Weise normierten Druck im Tunnel bzw. im Hohlraum der Anordnung 1 und 2 entsprechen und δri (i = 1, 2) durch den hydraulischen Radius jedes Halses definiert sind. Durch Lösen der Entwicklungsprobleme für (24) bis (26) wird gefunden, daß die Auswahl der Kopplungsparameter selbst kleiner als 10 ausreichend ist, wenn Ω gleich der Einheit gesetzt ist, während Ω&sub2; viel größer als die Einheit eingestellt ist, beispielsweise Ω&sub1; = 1 und Ω&sub2; = 5 für κ&sub1; = κ&sub2; = 1. Für diese Auswahl fallen die Anfangsdruckstörungen sehr rasch ab.where f, g1 and g2 correspond to the appropriately normalized pressure in the tunnel and in the cavity of the arrangement 1 and 2, respectively, and δri (i = 1, 2) is defined by the hydraulic radius of each neck. By solving the evolution problems for (24) to (26), it is found that the choice of coupling parameters even smaller than 10 is sufficient if Ω is set equal to unity, while Ω is set much larger than unity, for example Ω1 = 1 and Ω2 = 5 for κ1 = κ2 = 1. For this choice, the initial pressure perturbations decay very rapidly.

5.6. EFFECT OF THE INVENTION

Durch die numerische Simulation der räumlichen Entwicklungen der Druckstörungen in dem Tunnel mit der vorgeschlagenen Struktur wird bewiesen, daß die Anordnung der Resonatoren sehr wirksam beim Unterdrücken von Ausbreitung von Druckstörungen und insbesondere beim Austreten von Stoßwellen ist. Damit die Anordnung tatsächlich wirksam ist, sollte ein größerer Wert von κ für Ω = 1 gewählt werden, sofern die Grundannahme der kleinen Reflexion (V/Ad « 1) nicht verletzt ist. Wenn darüber hinaus die Doppel- (Mehrfach-)Anordnung angeschlossen werden kann, wird deren Effekt merklich gesteigert.Numerical simulation of the spatial developments of pressure disturbances in the tunnel with the proposed structure proves that the arrangement of resonators is very effective in suppressing the propagation of pressure disturbances and, in particular, the escape of shock waves. In order for the arrangement to be truly effective, a larger value of κ should be chosen for Ω = 1, provided that the basic assumption of small reflection (V/Ad « 1) is not violated. Moreover, if the double (multiple) arrangement can be connected, its effect is noticeably increased.

Zusätzlich ist es die bedeutende Erkenntnis, daß, wenn Ω auf einen größeren Wert als Einheit, beispielsweise 10, eingestellt ist, selbst ein kleinerer Wert von κ, wie beispielsweise Einheit, ausreichend für eine Unterdrükkung eines Austretens von Stoßwellen ist, wobei jedoch die Ausbreitung von Druckstörungen über eine lange Distanz fortdauert. Dies beruht auf der Dispersion höherer Ordnung, die durch die Anordnung der Resonatoren eingeführt ist.In addition, it is important to note that if Ω is set to a value larger than unity, for example 10, even a smaller value of κ, such as unity is sufficient to suppress the escape of shock waves, but the propagation of pressure disturbances continues over a long distance. This is due to the higher order dispersion introduced by the arrangement of the resonators.

Für Werte von Ω, die viel kleiner als die Einheit sind, beispielsweise 0,1 treten immer Stoßwellen selbst für einen großen Wert von κ auf. Dies beruht auf der Tatsache, daß für Ω « 1 die Anordnung lediglich eine Dispersion niedriger Ordnung einführt, die der Nichtlinearität nicht gegenwirken kann, um ein Austreten von Stoßwellen zu erlauben. Es wird schließlich geschlossen, daß, nach dem die Stoßwellen einmal gebildet sind, die Anordnung der Resonatoren inaktiv für diese ist und daher zuvor eine Dispersion der Druckstörungen wesentlich fur eine Unterdrückung des Austretens der Stoßwellen ist.For values of Ω much smaller than unity, for example 0.1, shock waves always occur even for a large value of κ. This is due to the fact that for Ω « 1 the arrangement only introduces a low order dispersion which cannot counteract the nonlinearity to allow shock waves to escape. It is finally concluded that once the shock waves are formed, the arrangement of resonators is inactive for them and therefore prior dispersion of the pressure perturbations is essential for suppressing the escape of the shock waves.

Claims

1. Impact-free tunnel for high-speed trains with:

a plurality of cavities (2) arranged outside the tunnel (1), each cavity (2) being connected to the tunnel (1) by a connecting passage (3), characterized in that

the cavities (2) are otherwise closed except for the connecting passages (3) to the tunnel (1), and

the cavities (2) are acoustically compact in the sense that their dimensions are much smaller than a typical wavelength of the pressure disturbances in the tunnel (2).

2. Impact-free tunnel according to claim 1, characterized in that the cavities (2) are arranged along the axial direction of the tunnel (1) and around the edge of the tunnel (1), the cavities (2) being different in size and shape (7, 8) and being connected by the connecting passages (3) which are different in size and shape (9, 10).

3. Impact-free tunnel according to claim 1 or 2, characterized in that the cavities in a side tunnel are arranged as compartments (4, 11, 12) and are connected to the tunnel (1) through the connecting passage (3, 13) by means of transverse walls (5) or suitable damping units (6).