-
Die
vorliegende Erfindung betrifft ein Anti-SPA (aus dem Englischen „Simple
Power Attack") Berechnungsverfahren
einer modularen Exponentierung in einer einen Chiffrierungsalgorithmus
mit öffentlichem
Schlüssel
um- setzenden elektronischen Komponente.
-
Derartige
Angriffe werden in den Veröffentlichungen
von Kocher P. et al. unter dem. Titel „Differential Power Analysis" Lecture Notes in
Computer Science; Band 1666, DE, Berlin, Springer, 1999, Seiten
388-397, XP000863414 ISBN: 3-540-66347-9 und von Messerges T. S.
et al., unter dem Titel „Power
Analysis Attacks of Modular Exponentiation in Smartcards" Cryptographic Hardware
and Embedded Systems, First International Workshop, CHE'99, Worcester,. MA;
USA, 12.-13. August 1999, Proceedings (Lecture Notes in Computer
Science Volume 1717), Seiten 144-157, XP000952221 1999, Berlin, Deutschland,
Springer Verlag, Deutschland ISBN:3-540-66646-X beschrieben.
-
Die
Merkmale kryptographischer Algorithmen mit öffentlichem Schlüssel sind
bekannt: durchgeführte
Berechnungen, verwendete Parameter. Die einzige Unbekannte ist der
im Speicherprogramm enthaltene private Schlüssel. Die ganze Sicherheit dieser
kryptographischen Algorithmen hängt
von diesem in der Karte enthaltenen privaten und der Außenwelt
dieser Karte unbekannten Schlüssel
ab. Dieser private Schlüssel
kann nicht einzig und allein durch die Kenntnis der am Eingang angewendeten Meldung
und der chiffrierten, als Rückantwort
gelieferten Meldung oder der Kenntnis des öffentlichen Schlüssels erschlossen
werden.
-
Es
ist jedoch vorgekommen, dass auf dem Verbrauch von Strom oder einer
Analyse des Stromverbrauchs basierende Angriffe von außen auftreten, wenn
der Mikroprozessor einer Karte dabei ist, den kryptographischen
Algorithmus zur Unterzeichnung einer Meldung, zum Dechiffrieren
einer Meldung abwickelt, was es Dritten mit unlauteren Absichten
ermöglicht,
den in dieser Karte enthaltenen privaten Schlüssel herauszufinden. Diese
Angriffe werden SPA-Angriffe genannt, nach dem angelsächsischen Akronym
für Single
Power Analysis.
-
Das
Prinzip dieser SPA-Angriffe beruht auf der Tatsache, dass der Stromverbrauch
des die Anweisungen ausführenden
Mikroprozessors je nach den manipulierten Daten variiert.
-
Insbesondere,
wenn eine vom Mikroprozessor ausgeführte Anweisung eine Manipulation
von Daten von Bit zu Bit erfordert, gibt es zwei unterschiedliche
Stromprofile, je nachdem, ob dieses Bit eine Wertigkeit von „1" oder „0" hat. Wenn der Mikroprozessor
ein „0" manipuliert, besteht
typischerweise in diesem Ausführungsmoment
eine erste Amplitude des verbrauchten Stroms, und wenn der Mikroprozessor
eine „1" manipuliert, besteht
eine zweite, von der ersten unterschiedliche Amplitude des verbrauchten
Stroms.
-
Somit
nutzt der SPA-Angriff die Unterschiedlichkeit des Verbrauchsprofils
des Stroms in der Karte während
der Ausführung
einer Anweisung gemäß dem Wert
des manipulierten Bits. In vereinfachter Weise besteht die Durchführung eines
SPA-Angriffs in der Identifizierung einer oder mehrerer besonderer Perioden
der die Ausführung
einer die Daten Bit für Bit
manipulierenden Anweisung umfassenden Abwicklung des Algorithmus
und in der Unterscheidung zweier unterschiedlicher Verbrauchsprofile
für Strom, wobei
eines der Manipulation eines Bits gleich „0" und die andere einem Bit gleich „1" entspricht. Die Analyse
erfolgt auf einer Kurve oder eventuell auf n Kurven derselben Abwicklung
des Algorithmus, dessen Mittelwert zur Geräuschunterdrückung gebildet wurde.
-
Die
modulare Exponentierung wird durch die folgende mathematische Formel
definiert: R = XY mod
N,in der:
Y ein Exponent ist, der eine Größe von k
Bits hat;
N ein Modulus ist, der eine Größe von k' Bits hat.
-
X
eine bekannte Variable ist, die eine Größe von k" Bits hat;
R das Ergebnis der modularen
Exponentierungsoperation ist und eine Größe von k' Bits hat.
-
Man
kann die klassischen, bekannten und nachstehend beschriebenen Algorithmen
A oder B verwenden.
-
Der
für die
Berechnung der oben genannten mathematischen Formel verwendete klassische
Algorithmus A lautet wie folgt:
- – Man initialisiert
R mit 1 : R = 1;
- – Man
durchläuft
die binäre
Darstellung von Y des Bits mit mit Y(k-1) bezeichneter hoher Wertigkeit zum
Bit mit niedriger Wertigkeit Y(0);
bei jedem Bit Y(i) – wobei
i von (k-1) bis 0 variiert – führt man
die zusätzliche
Operation R = R2 durch.
-
Wenn
das Bit Y(i) gleich 1 ist, wird eine zusätzliche Stufe ausgeführt, die
aus folgender Operation besteht: R = R·X.
-
Wenn
Y zum Beispiel gleich 5 ist, ist seine binäre Darstellung: 101;
Wenn
man den obigen Algorithmus anwendet:
- – führt man
für das
erste Bit [Y(2) = 1] R = R2 durch, gefolgt
von der Operation: R·X
= X, ergibt das Ergebnis R = X;
- – führt man
für das
zweite Bit [Y(1) = 0] die Opera tion R = R2 aus,
ergibt das Ergebnis R = X2;
- – führt man
für das
dritte Bit [Y (0) = 1] die Operation R = (R2)2 aus, gefolgt von der Operation R = R·X, ergibt
das Ergebnis R = (X2)2 =
X5.
Zur Erinnerung – man nimmt das vorherige R
immer wieder auf.
-
Selbstverständlich werden
alle für
das Beispiel Y gleich 5 beschriebenen mathematischen Operationen
Modu-lo N durchgeführt, was
die Arbeit mit einem Register r einer Größe von k' Bits erlaubt.
-
Der
für die
Berechnung der oben genannten mathematischen Formel benutzte klassische
Algorithmus B lautet wie folgt:
- – Man initialisiert
R mit 1 und Z mit X: R = 1 und Z = X, wobei Z eine Variable ist:
- – Man
durchläuft
die binäre
Darstellung von Y des Bits von niedriger Wertigkeit Y(0) zum Bit
mit hoher Wertigkeit Y(k-1);
Für jedes Bit Y(i) – wobei
i von 0 bis (k-1) variiert – führt man
die zusätzliche
Operation: Z = Z2 durch, unabhängig von
i größer als
0;
Wenn das Bit Y(i) gleich 1 ist, wird eine zusätzliche
Stufe durchgeführt,
die aus der Operation : R = R·Z
besteht.
-
Wenn
Y zum Beispiel gleich 5 ist, ist seine binäre Darstellung 101.
-
Wenn
man den obigen Algorithmus anwendet:
- – Erhält man für das erste
Bit Y(0) = 1; führt
man die Operation Z2 nicht durch (denn i
= 0) und führt die
Operation: R = R·Z
= X durch.
- – Erhält man für das zweite
Bi [Y(1)] = 0 , führt man
die Operation Z2 = X2 durch;
ist R unverändert,
denn Y(1) = 0;
- – Erhält man für das dritte
Bit [Y(2) = 1], führt
man die Operation: Z = Z2 = X4 durch,
und da Y(2) gleich 1 ist, führt
man ebenfalls die Operation R = R·Z durch und erhält damit
X5.
-
Zur
Erinnerung nimmt man das vorherige R und das vorherige Z immer wieder
auf.
-
Selbstverständlich werden
alle für
das Beispiel Y gleich 5 beschriebenen mathematischen Operationen
Modulo N durchgeführt,
was die Arbeit mit den Registern r und z einer Größe von k' Bits zulässt.
-
Dennoch
wird dieser Algorithmus B selten in einer elektronischen Komponente
vom Typ Chipkarte benutzt, denn er erfordert mehr Speicherplatz
(zusätzliches
Register z einer Größe von k' Bits).
-
Es
ist festzustellen, dass man auf den oben erklärten klassischen Algorithmen
A und B in Abhängigkeit
von jedem Bit von Y eine Operation durchführt, wenn das Bit gleich 0
ist und zwei Operationen, wenn das Bit gleich 1 ist. Diese Algorithmen
A und B werden für
den RSA genutzt. Zu Erinnerung: Das Chiffrierungssystem RSA ist
das am häufigsten
genutzte Chiffrierungssystem mit öffentlichem Schlüssel. Es
kann als Chiffrierungsverfahren oder als Unterschriftsverfahren
eingesetzt werden. Das Chiffrierungssystem RSA wird in Chipkarten
für bestimmte Anwendungen
derselben verwendet. Die auf einer Chipkarte möglichen RSA-Anwendungen sind
der Zugang zu Datenbanken, zu Bankenanwendungen, zu Telezahlungsanwendungen,
wie zum Beispiel Pay-TV, die Ausgabe von Benzin oder die Zahlung der
Autobahnmaud. Diese Liste von Anwendungen erhebt selbstverständlich keinen
Anspruch auf Vollständigkeit.
-
Das
Prinzip des RSA-Chiffrierungssystems ist folgendes. Es kann in drei
unterschiedliche Teile unterteilt werden, und zwar:
- 1) Die Erzeugung des RSA-Schlüsselpaares;
- 2) Die Chiffrierung einer unchiffrierten Nachricht in einer
chiffrierte Nachricht und
- 3) Die Dechiffrierung einer chiffrierten Nachricht in eine unchiffrierte
Nachricht.
-
Eine
RSA-Chiffrierungsnachricht besteht darin, dass man eine Zahl c chiffriert,
die gleich einer durch die Operation: C = Me mod
N dargestellten Nachricht Me mod N ist,
in der e der öffentliche
Chiffrierungsexponent ist und N der Modulus.
-
Eine
RSA-Dechiffrierungsoperation besteht darin, dass man eine Nachricht
M' berechnet, die gleich
M ist, wenn man genau und richtig dechiffriert, und durch die Operation M' =
Cd mod Ndargestellt wird, in der d
der private Dechiffrierungsexponent ist und N der Modulus.
-
Es
ist festzustellen, dass der RSA direkt eine modulare Exponentierungsoperation
ist.
-
Es
stellt sich heraus, dass d ein geheimes, da privates Element ist;
es ist daher festzustellen, dass d äquivalent zu Y des klassischen
Algorithmus A oder B ist, der zu Beginn der Beschreibung beschrieben
wurde. Dennoch können
diese für
den RSA verwendeten Algorithmen durch einfaches Studium des Stromverbrauchs
der die Erfindung umsetzenden elektronischen Komponente angegriffen
werden.
-
Wenn
man nämlich
berücksichtigt,
dass die Unterschrift S einer „Quadratoperation" (operation square)
genannten und mit der Referenz S(SQU) bezeichneten Operation R2 für
den Algorithmus A und Z2 für den Algorith mus
B, von der Unterschrift S der „Multiplikationsoperation" (operation multiply)
genannten und mit der Referenz S (MUL) bezeichneten Operation R·X für den Algorithmus
A und Z·R
für den Algorithmus
B unterschiedlich ist, dann besteht der Stromverbrauch bei der zuvor
beschriebenen Ausführung
des Algorithmus A oder B aus einer Folge von direkt von Y abhängigen Unterschriften
S (SQU) und S (MUL).
-
Im
Fall des Algorithmus A hat man bei Y gleich 5 zum Beispiel die folgende
Folge von Unterschriften:
[S(SQU), S(MUL)], [S(SQU)], [S(SQU),
S(MUL)], wobei die Unterschriftenfolge [S(SQU)] gefolgt von (S(MUL)]
einem Bit von gleich 1 und die Unterschrift (S(SQU)] gefolgt von
der Unterschrift [S(SQU)] einem Bit von gleich 0 entspricht.
-
Wenn
man die Unterscheidung zwischen S(SQU) und S(MUL) vornehmen kann,
kann man durch einfaches Betrachten des Stromverbrauchs den gesamten
Wert Y herausfinden. Wenn man diesen Angriff auf den oben beschriebenen
RSA anwendet, findet man Y = d, das der private Dechiffrierungsexponent
ist, der per Definition geheim bleiben muss, was daher sehr störend ist.
-
Die
vorliegende Erfindung erlaubt die Behebung dieses bedeutenden Nachteils.
-
Um
jedoch die erfinderische Tätigkeit
der Erfindung deutlich hervorzuheben, ist es sinnvoll, ein Weiterbildungsbeispiel
der wenn auch fehlerhaften Algorithmen A und B zu beschreiben.
-
Im
klassischen Algorithmus A oder B geht man davon aus, dass die Komponente,
die die Erfindung umsetzt, über
eine optimierte, mit SQU bezeichnete, „Square" (Quadrat) genannte Operation verfügt, die
R2 effizienter ausrechnet als die mit MUL bezeichnete
Operation „Multiply" (Multiplizieren).
-
Die
erste Parade gegen den Angriff besteht in der anschließlichen
Verwendung der Operation MUL. In diesem Fall bleibt nur noch die
Unterschrift der Operation „Multiply" bestehen, was die
Unterscheidung irgendeiner, die Zurückrechnung des Wertes Y erlaubenden
Information nicht mehr zulässt. Genauer
gesagt hat die mathematische Operation „Multiply" zwei Operanden V und W und wird durch folgende
Formel definiert: MUL (V, W) = V·W.
-
Theoretisch
schützt
man sich, doch in der Praxis wird die Operation MUL (V, V) oder
die Operation MUL (V, W) eingesetzt; es besteht also immer noch
ein Unterschied beim Stromverbrauch, da die Operanden unterschiedlich
sind. Es handelt sich nicht um eine zuverlässige Lösung.
-
Die
vorliegende Erfindung besteht aus einem Berechnungsverfahren einer
modularen Exponentierung gemäß Definition
in den unabhängigen
Ansprüchen
1 und 2, das die Verhinderung des oben soeben erwähnten Nachteils
ermöglicht.
-
Man
verwendet zwei Register R1 und R2 und einen Indikator I, der gleich Null
ist, wobei „0" bedeutet, dass sich
das Ergebnis im Register R1 befindet, oder
das gleich eins ist, wobei „1" bedeutet, dass sich das
Ergebnis im Register R2 befindet; dadurch
wird die Anzeige erlaubt, in welchem Register sich das richtige
Ergebnis befindet.
-
Der
Algorithmus der Erfindung, der den Algorithmus A wieder aufnimmt,
besteht in der Ausführung
durch die folgenden Initialisierungsstufen a und b und die Berechnungsstufen
c, d, e und f, die k-mal ausgeführt
werden, wobei k die Größe Y hat,
wobei die Stufen nachstehend beschrieben werden:
- a)
Man initialisiert R1 = 1
- b) Man initialisiert I = 0;
für jedes Bit Y(i) der binären Darstellung
von Y führt
man die vier folgenden Stufen c, d, e, und f von „0" bis „k-1" durch; man durchläuft die
binäre Darstellung
von Y des Bits hoher Gewichtung Y(k-1) zum Bit niedriger Gewichtung
Y(0);
- c) Wenn I = 0, führt
man die Operation R2 = (R1)2 durch;
Wenn I = 1, führt man
die Operation R1 = (R2)2 durch;
- d) Man vervollständigt
I, das heißt,
es ändert
den Wert, jedoch nur, von „0" zu „1" oder von „1" zu „0"
- e) Man wiederholt die Testoperation auf I:
Wenn I = 0,
führt man
die Operation R2 = R1·X durch;
Wenn
I = 1, führt
man die Operation R1 = R2·X durch;
- f) Wenn Y(i) gleich 1 ist, dann vervollständigt man I: wenn Y(i) gleich
0 ist, dann behält
man I unverändert
bei.
-
Somit
führt man
unabhängig
vom Wert Y immer eine SQU-Operation und eine MUL-Operation durch.
In der Stufe d verfügt
man daher über
eine der beiden folgenden Unterschriften: S(R2 = SQU (R1)) oder
S(R1 = SQU (R2)).
-
In
der Stufe f verfügt
man ebenfalls über
eine der beiden folgenden Unterschriften: S(R1 =
MUL (R2, X)) oder S (R2 =
MUL (R1, X)).
-
Die
Unterschriften der Stufe c sind äquivalent,
denn sie verwenden dieselben Operanden und führen dieselbe Operation (SQU)
durch.
-
Die
Unterschriften der Stufe e sind äquivalent,
denn sie verwenden dieselben Operanden und führen dieselbe Operation (MUL)
durch.
-
Infolgedessen
ist es nicht mehr möglich,
den Wert Y zurückzurechnen,
der eine Folge von Operationen (SQU) und (MUL) ist. Die Anwendung
der vorliegenden Erfindung lässt
die Berechnung einer modularen Exponentiation auf gesicherte Weise
in einer einen Algorithmus mit einem einen modularen Exponentierungsalgorithmus
erfordernden öffentlichen Schlüssel umsetzenden
elektronischen Komponente zu.
-
Der
Algorithmus der vorliegenden Erfindung, die den klassischen Algorithmus
B wieder aufnimmt, besteht in der Ausführung durch die folgenden Initialisierungsstufen
a und b und der folgenden Berechnungsstufen c, d und e, die k-mal
ausgeführt
werden, wobei k die Größe Y hat.
- a) Man initialisiert R1 =
1 und Z = X;
- b) Man initialisiert I = 0;
-
Für jedes
Bit von Y(i) der, binären
Darstellung von Y führt
man die drei Stufen c, d und e durch, wobei i von „0" bis „k-1" variiert; man durchläuft die
binäre
Darstellung von Y des Bits niedriger Wertigkeit Y(0) zum Bit hoher
Wertigkeit Y(k-1),
- c) Man führt die Operation: Z: = Z2 durch;
- d) Wenn I = 0, führt
man die Operation: R2: = R1·Z durch;
Wenn
I = 1, führt
man die Operation: R1 = R2·Z durch;
- e) Wenn Y(i) = 0, dann behält
man I unverändert bei
und wenn Y(i) = 1, dann vervollständigt man I.
-
Somit
führt man
unabhängig
vom Wert Y immer eine Operation SQU und eine Operation MUL durch.
In der Stufe c verfügt
man daher über
die folgende Unterschrift: S(SQU).
-
In
der Stufe d verfügt
man über
eine der beiden folgenden Unterschriften: S(R1 =
MUL (R2, Z) oder S(R2 =
MUL (R1, Z)). Die Unterschriften der Stufe
d sind äqui valent,
denn sie verwenden dieselben Operanden und führen dieselbe Operation (MUL) durch.
-
Infolgedessen
ist es nicht mehr möglich,
den Wert Y zurückzurechnen,
der eine Operationsfolge (SQU) und (MUL) ist. Die Anwendung der
vorliegenden Erfindung erlaubt die Berechnung einer modularen Exponentierung
auf gesicherte Weise in einer einen Algorithmus mit einem einen
modularen Exponentierungsalgorithmus erfordernden öffentlichem Schlüssel umsetzenden
elektronischen Komponente.
-
Wie
im erfindungsgemäßen Beispiel
verwendet man den DAS, der eine Variante des Algorithmus der Unterschriften
von Schnorr und ElGamal ist.
-
Zur
Unterzeichnung der Stufen m werden die folgenden Stufen realisiert:
-
- 1) Erzeugung einer zufälligen Anzahl K;
- 2) Berechnung von r = (gkmodp) modq
wobei
g, p et q ganze, öffentliche,
der Außenwelt außerhalb
der Chipkarte bekannte Zahlen sind;
- 3) Berechnung von s = (K–1 (H(m) + x·r)) modq,
wobei
H() die Zerlegungsfunktion und x ein privater Schlüsse ist.
-
Das
Paar (r, s) entspricht der Unterschrift der Nachricht m.
-
Es
ist festzustellen, dass K geheim ist.
-
Die
Stufe 2 besteht teilweise aus einer modularen Exponentierung: r' =
gKmdp und r = r' modq.
-
Wenn
die modulare Exponentierung mit dem klassischen Algorithmus A oder
B wie zuvor beschrieben durchgeführt
wird, lässt
ein SPA-Angriff das Zurückrechnen
des Wertes k zu. In Kenntnis von k kann der Angreifer, da s, m und
r bekannt sind, den geheimen Schlüssel x berechnen. Damit hat
er den Schlüssel
der Unterschrift herausgefunden, und das System ist geknackt. Es
ist daher vorzuziehen, die vorliegende Erfindung oder ihre Ausführungsvariante zur
Durchführung
der modularen Exponentierung der Stufe 2 des vorliegenden Beispiels
einzusetzen.
-
Da
die Berechnungsmethode des Algorithmus in der vorliegenden Erfindung
das Zurückrechnen
von k durch Studium des Stromverbrauchs nicht zulässt, kann
der Angreifer somit nicht den Wert des privaten Schlüssels x
zurückrechnen.