DE19933314A1

DE19933314A1 - Procedure for calculating structures using the finite element method

Info

Publication number: DE19933314A1
Application number: DE19933314A
Authority: DE
Inventors: Armin Fix
Original assignee: DaimlerChrysler AG
Current assignee: Daimler AG
Priority date: 1999-07-16
Filing date: 1999-07-16
Publication date: 2001-02-15
Also published as: WO2001006420A2

Abstract

Verfahren zur Berechnung von Strukturen mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode mit den Schritten: Idealisierung der zu berechnenden Struktur durch Volumenelemente und Festlegung der Eck-Knotenpunkte in der idealisierten Struktur, Zerlegung der Volumenelemente mit Hexaeder-, Pentaeder- und Pyramiden-Form in Tetraeder, so daß die zu idealisierende Struktur eine Teilelement-Struktur aus Tetraedern ist, Beschreibung des Verschiebungszustands für jedes Tetraeder-Element durch ein vollständiges Polynom dritter Ordnung je Koordinatenrichtung, Bestimmung der Polynom-Koeffizienten durch Zuordnungen zwischen den Knotenfreiheitsgraden, den Faktoren zur Beschreibung der individuellen Tetraedergeometrie und den jeweiligen Polynom-Koeffizienten, wobei als Knotenfreiheitsgrad für jeden Knoten-Eckpunkt der Verschiebungsvektor und die drei Ableitungen dieses Vektors und der Verschiebungsvektor für die Flächenmitten-Knoten jedes Tetraederelements verwendet wird, Elimination der Flächenmitten-Knotenpunkte, Integration und Lösung des gestellten mechanischen Problems mittels der Systemmatrix.Process for the calculation of structures with the help of the finite element method with the steps: idealization of the structure to be calculated by volume elements and definition of the corner nodes in the idealized structure, decomposition of the volume elements with hexahedron, pentahedron and pyramid shape in tetrahedron , so that the structure to be idealized is a sub-element structure of tetrahedra, description of the state of displacement for each tetrahedron element by a complete third-order polynomial per coordinate direction, determination of the polynomial coefficients by assignments between the degrees of freedom of the nodes, the factors for describing the individual tetrahedron geometry and the respective polynomial coefficients, the displacement vector and the three derivatives of this vector and the displacement vector for the surface center nodes of each tetrahedral element being used as the degree of freedom for each node vertex, elimination of the surface center node points, integration and solution of the mechanical problem posed using the system matrix.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Berechnung von Strukturen mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode, das sich insbesondere auch zur Berechnung von Schalenstrukturen eignet.The invention relates to a method for calculating structures with the help the finite element method, which is particularly useful for calculation of shell structures.

Finite Elementeverfahren laufen üblicherweise in folgenden drei Schritten ab: einem Aufbereitungsschritt zur Idealisierung der zu berechnenden Struktur, einem Analyseschritt, d. h. einem Berechnungsschritt zur Berechnung der in der zu berechnenden Struktur auftretenden Verformungen, Spannungen, Dehnungen, Stabilitätsgrößen und dynamischen Lasten, und einem Auswer tungsschritt zur Darstellung der Ergebnisse. In dem Berechnungsschritt wer den bei der Finite-Elemente-Methode allgemein auf der Basis einer Vielzahl von finiten Elementen, die im Vorverarbeitungsschritt zur Idealisierung der zu berechnenden Struktur in einer räumlichen Anordnung definiert worden sind, Systemmatrizen und zusammen mit den äußeren Kräften Lastmatrizen gebil det, um daraus Verschiebunggrößen an den Knotenpunkten der gewählten finiten Elemente zu berechnen. Die Systemmatrizen werden dabei aus soge nannten Elementmatrizen zusammengesetzt, d. h. aus Matrizen, die aus je dem einzelnen zur Idealisierung der Struktur verwendeten finiten Element ermittelt werden. Finite element processes usually take place in the following three steps: a preparation step to idealize the structure to be calculated, an analysis step, d. H. a calculation step for calculating the in the structure, deformations, stresses, Strains, stability quantities and dynamic loads, and a Auswer step to present the results. In the calculation step who that of the finite element method generally based on a large number of finite elements used in the preprocessing step to idealize the calculating structure have been defined in a spatial arrangement, System matrices and together with the external forces load matrices det, from this, displacement quantities at the nodes of the selected to calculate finite elements. The system matrices are made up of so-called named element matrices composed, d. H. from matrices, each from the individual finite element used to idealize the structure be determined.

Zur Bildung der Elementmatrizen wurden bisher Volumenelemente mit Poly nom-Ansätzen niedriger Ordnung, d. h. bis zur zweiten Ordnung, verwendet. Dadurch konnte die berechnungstechnische Funktionsfähigkeit bei der Lö sung der Ansätze beherrscht werden. Bei diesem Verfahren hatte der Benut zer die kinematischen Freiheitsgrade für jeden Systemknoten der idealisier ten Struktur manuel, dabei individuell festzulegen und zu steuern.Solid elements with poly were previously used to form the element matrices low order nom approaches, d. H. up to the second order. This enabled the calculation functionality at Lö approach can be mastered. With this procedure the user had zer the kinematic degrees of freedom for each system node the idealized manual structure, thereby defining and controlling individually.

Bei dem Verfahren nach dem Stand der Technik werden für die finiten Ele mente unterschiedliche geometrische Formen und kinematische Formulie rungen verwendet. Als geometrische Formen können dabei beispielsweise Scheibenelemente, Plattenelemente, Schalenelemente, Stäbe oder Balken oder auch Volumenelemente vorgesehen sein. Die Auswahl der entsprechen den geometrischen Formen für die finiten Elemente erfolgt in Abhängigkeit der Gestalt und mechanischen Funktion der zu idealisierenden Struktur bzw. deren Strukturteile. Dabei werden beispielsweise bei schlanken Strukturteilen als finite Elemente Balken oder Stäbe verwendet, während bei flächigen Strukturen bzw. Strukturteilen Scheiben, Platten oder Schalen verwendet werden. Die Auswahl der jeweiligen geometrischen Formen steht im Ermes sen des Benutzers, d. h. sie bemißt sich nach der Erfahrung und Einschätzung des Benutzers. In vielen Fällen stellt sich erst nach Durchführung eines Be rechnungsdurchlaufes und nach Analyse der Ergebnisse sowie nach Vergleich mit Versuchsergebnissen heraus, welche Qualität die Idealisierung der Struk tur und deren Berechnung aufweist. In vielen Fällen ist eine nochmalige ver besserte Idealisierung der Struktur nötig, die jedoch wiederum manuell auf grund qualitativer Bewertungen der Berechnungs- und Versuchsergebnisse zu erfolgen hat. Diese Verfahren nach dem Stand der Technik sind somit sehr arbeitsaufwendig und machen umfangreiche Versuche an der zu berechnen den Struktur erforderlich, um die Berechnungsergebnisse zu perfektionieren. Zudem bleibt die Qualität der insgesamt erreichbaren Ergebnisse begrenzt und benutzerabhängig.In the method according to the prior art for the finite elements different geometric shapes and kinematic form stanchions used. As geometric shapes, for example Disc elements, plate elements, shell elements, bars or beams or volume elements can also be provided. The selection of the match The geometric shapes for the finite elements are dependent the shape and mechanical function of the structure to be idealized or their structural parts. For example, in the case of slim structural parts used as finite elements beams or bars, while with flat Structures or structural parts of panes, plates or shells are used become. The selection of the respective geometric shapes is in Ermes user, d. H. it is based on experience and assessment of the user. In many cases, it only arises after a Be calculation and after analysis of the results and after comparison with test results, what quality the idealization of the structure structure and their calculation. In many cases, a repeated ver better idealization of the structure necessary, but this in turn manually due to qualitative evaluations of the calculation and test results has taken place. These prior art methods are therefore very great labor intensive and make extensive attempts to calculate the the structure required to perfect the calculation results. In addition, the quality of the overall achievable results remains limited and user dependent.

Vor Anwendung von Finite-Elemente-Methoden wurde zur Berechnung von Strukturen eine sogenannte Kraftgrößenmethode angewendet, bei der als Unbekannte aus äußeren Kräften abgeleitete innere Kräfte verwendet wer den. Aus diesen inneren Kräften wurden die Spannungen, Dehnungen und Verschiebungen ermittelt, wobei die Verschiebungen nur ungenau ermittelt werden konnten, da diese nur indirekt errechenbare Größen sind. Mit einer Verbesserung der Leistungsfähigkeit der verwendeten Rechenanlagen wurde die Kraftgrößenmethode durch die Finite-Elemente-Methode ersetzt, wobei eine sogenannte Verschiebungsmethode angewendet wurde, bei der Ver schiebungen als Unbekannte verwendet werden. Bei dieser Methode werden in Abhängigkeit der ermittelten Verschiebungen die gesuchten Dehnungen und Spannungen berechnet. Außerdem sind nach dem Stand der Technik auch Kombinationen aus der Kraftgrößenmethode und der Verschiebungsme thode bekannt. Derartige kombinierte Verfahren bieten jedoch keine signifi kante Verbesserung hinsichtlich der Ergebnisgenauigkeit im Vergleich zur reinen Verschiebungsmethode.Before applying finite element methods, was used to calculate Structures applied a so-called force size method, in which as Unknown internal forces derived from external forces are used the. From these internal forces the tensions, strains and Displacements are determined, the displacements being determined only imprecisely could be because these are only indirectly calculable quantities. With a Improvement in the performance of the computer systems used the force size method is replaced by the finite element method, where a so-called displacement method was used, in which ver shifts are used as unknowns. With this method the desired strains depending on the determined displacements and stresses are calculated. They are also state of the art also combinations of the force size method and the displacement measurement known method. However, such combined methods do not offer any signifi edge improvement in the accuracy of results compared to pure shift method.

Ein Nachteil sowohl der Verschiebungsmethode als auch der kombinierten Verfahren ist, daß sie einen großen Rechenaufwand benötigen. Ein weiterer Nachteil ist, daß sie zu numerischer Empfindlichkeit neigen, d. h. die Ergeb nisqualität hängt im hohen Maße von der richtig gewählten Feinheit der Idea lisierung der zu berechnenden Struktur ab, wobei sich diese nach der Ein schätzung des Benutzers bestimmt. Bei sehr feinmaschig idealisierten Struk turen werden häufig auch unverhältnismäßig hohe Verformungswerte errech net. Mit Verfahren nach dem Stand der Technik konnten weiterhin viele Sta bilitätsprobleme z. B. Beulprobleme nicht gelöst werden. Insbesondere die Berechnung von gekrümmten und gefalteten Schalen konnte in vielen Fällen nicht gelöst werden, da die Faltung der Struktur zu Kompatibilitätsdefekten bei der Analyse führte.A disadvantage of both the shift method and the combined one The procedure is that they require a great deal of computing effort. Another The disadvantage is that they tend to be numerically sensitive, i. H. the results nis quality depends to a large extent on the correctly selected fineness of the idea lization of the structure to be calculated, which changes according to the user estimate. With a very fine mesh idealized structure structures are often also calculated with disproportionately high deformation values net. With state-of-the-art methods, many sta balance problems z. B. Bump problems cannot be solved. especially the Calculation of curved and folded shells could in many cases cannot be solved because the folding of the structure to compatibility defects led in the analysis.

Es ist daher die Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren zur Berechnung von Strukturen mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode zu schaffen, die bei im Ver gleich zum Stand der Technik vergleichbarer Rechenkapazität zu einer Steige rung der Ergebnisqualität führt, wobei die numerische Stabilität insbesondere bei schlanken Elementen gewährleistet sein muß. Mit dem zu schaffenden Verfahren sollen auch mathematisch aufwendige mechanische Stabilitäts probleme gelöst werden können. Außerdem soll der Einfluß der benutzerab hängigen Vorgehensweise erheblich reduziert und eingegrenzt werden.It is therefore the object of the invention to provide a method for calculating To create structures with the help of the finite element method, which is used in ver computing capacity comparable to the state of the art to a crate result quality, with numerical stability in particular must be guaranteed for slim elements. With the one to be created Methods are also said to be mathematically complex mechanical stability problems can be solved. In addition, the influence of the user dependent approach can be significantly reduced and limited.

Diese Aufgabe wird mit den Merkmalen des Anspruchs 1 gelöst. Alternative Ausführungsformen sind in den Unteransprüchen angegeben.This object is achieved with the features of claim 1. alternative Embodiments are specified in the subclaims.

Nach dem erfindungsgemäßen Verfahren entfällt die Auswahl der Element- Typen, d. h. der geometrischen Formen der finiten Elemente, bei der Idealisie rung der zu berechnenden Struktur, da erfindungsgemäß ausschließlich Vo lumenelemente zur Idealisierung der Struktur verwendet werden. Das erfin dungsgemäße Verfahren betrachtet die zur Idealisierung definierten Volu menelemente, soweit sie nicht als Tetraeder definiert worden sind, als Ver bundelemente und setzt sie aus Tetraedern zusammen. Bei schlanken Struk turen und Schalenstrukturen ist es ausreichend, über die Dicke der Struktur nur eine Lage von Volumenelementen vorzusehen. Erfindungsgemäß werden also keine ein- und zweidimensionalen Elemente, also auch keine Schalenele mente oder Stabelemente, zur Idealisierung der Struktur verwendet. Dadurch wird die Durchführung der Idealisierung der zu berechnenden Struktur syste matisiert und vereinfacht, ohne daß die Ergebnisgenauigkeit dadurch beein trächtigt wird. Durch die Verwendung ausschließlich von Volumenelementen als Finite Elemente für die idealisierte Struktur werden die nach dem Stand der Technik üblichen Einschränkungen der Kirchhoff'schen Biegung sowie der sogenannten Schubbiegung nach Reissner-Mindlin aufgegeben. Nach der Kirchhoff'schen Vorgehensweise wird angenommen, daß der ebene, normale Querschnitt der idealisierten Struktur bei einer Beanspruchungen, z. B. einer Biegung, normal und eben erhalten bleibt. Nach der Reissner-Mindlin- Annahme werden Schubverzerrungen bei Biegebeanspruchung zwar berück sichtigt, aber normale, ebene Querschnitte bleiben auch erhalten. Durch Ver zicht auf diese Annahmen oder Einschränkungen zusammen mit der Verwen dung von Polynom-Ansatzfunktionen dritter Ordnung für den Verschiebungs zustand jedes Tetraeder-Teilelements bezüglich jeder Koordinatenrichtung lassen sich Unstetigkeiten in der Struktur berechnungstechnisch genauer modellieren. Nach dem Stand der Technik ist die Annahme, daß der Quer schnitt der zu berechnenden Struktur eben bleibt, eine Einschränkung, durch die die Abweichungen bei der Berechnung der Strukturen groß werden, was zu unkalkulierbaren Ungenauigkeiten bei der Berechnung der Struktur führen kann. Auch bei der Beschreibung des Verschiebungszustandes jedes Te traeder-Elements, wie es in einem nachfolgendem Schritt erfolgt, werden die se Einschränkungen auch nicht - wie im Stand der Technik - indirekt wieder eingeführt, da hierfür erfindungsgemäß Polynom-Ansatzfunktionen dritter Ordnung verwendet werden, die geeignet sind, den allgemeinen Verschie bungszustand ohne Einschränkungen zu beschreiben.According to the method according to the invention, the selection of the element Types, d. H. of the geometrical forms of the finite elements, in the idealization tion of the structure to be calculated, since according to the invention only Vo lumen elements can be used to idealize the structure. That invented The method according to the invention considers the volume defined for idealization menu elements, unless they have been defined as tetrahedra, as ver bundle elements and assembles them from tetrahedra. With a slim structure structures and shell structures, it is sufficient to determine the thickness of the structure to provide only one layer of volume elements. According to the invention So no one- and two-dimensional elements, so no shell element elements or rod elements used to idealize the structure. Thereby the implementation of the idealization of the structure to be calculated becomes a system matatised and simplified without affecting the accuracy of the result is pregnant. By using only volume elements as finite elements for the idealized structure are those according to the status the usual technology limitations of the Kirchhoff bend and the so-called thrust bend after Reissner-Mindlin abandoned. After Kirchhoff's approach is assumed that the level, normal Cross-section of the idealized structure in case of stresses, e.g. B. one Bend, remains normal and even. After the Reissner-Mindlin Assumption, shear distortions in bending are taken into account visible, but normal, flat cross sections are also retained. By ver waive these assumptions or restrictions together with the user Third-order polynomial function for the shift state of each tetrahedral sub-element with respect to each coordinate direction discrepancies in the structure can be calculated more precisely model. According to the prior art, the assumption is that the cross average of the structure to be calculated remains, a limitation which the deviations in the calculation of the structures become large what lead to incalculable inaccuracies in the calculation of the structure can. Also when describing the state of displacement of each Te traeder elements, as is done in a subsequent step, are the These restrictions are not - as in the prior art - indirect again introduced, since for this polynomial approach functions according to the third Order are used, which are suitable, the general diff describe the condition of the exercise without restrictions.

Weiterhin werden erfindungsgemäß für die Verformungen Polynomansätze verwendet, die zumindest dritte Ordnung aufweisen. Dadurch ergibt sich zum Vergleich beim Stand der Technik eine wesentlich bessere Annäherung der realen Verformungszustände für die zu berechnende Struktur.Furthermore, according to the invention, polynomial approaches are used for the deformations used that have at least third order. This results in Comparison in the prior art a much better approximation of the real deformation states for the structure to be calculated.

Erfindungsgemäß werden für die Eck-Knotenpunkte der idealisierten Struktur als Freiheitsgrade die Translationen in allen drei Richtungen des Raumes so wie die Ableitungen erster Ordnung zu diesen Translationen vorgesehen. Zu sätzlich werden nach der Erfindung die Verschiebungen der Flächen-Mitten knoten der Tetraeder-Idealisierungs- und -Teilemente vorübergehend einge führt. Demgegenüber sind die Freiheitsgrade bei Verfahren nach dem Stand der Technik abhängig von den jeweils verwendeten Finite-Elementtypen zu definieren. Aus diesem Grund mußten bei Verfahren nach dem Stand der Technik die Freiheitsgrade durch den Benutzer mit relativ großen Überle gungsaufwand eingegeben oder gesteuert werden, da beispielsweise an Übergangsstellen verschiedenartiger Finite-Element-Typen, z. B. beim Über gang von Stabelementen zu Scheibenelementen, schwer zu ermittelnde Übergangs-Randbedingungen vorzugeben sind. Ähnliche Probleme ergeben sich bei Verwendung von Elementtypen, die in bestimmten Richtungen nur eine sehr geringe oder gar keine Steifigkeit aufweisen. Bei dem Verfahren nach der Erfindung dagegen sind wegen der Verwendung von Volumenele menten alle Steifigkeiten in allen Richtungen a priori vorhanden, so daß keine von den verwendeten Elementtypen abhängige Überlegungen anzustellen sind. Vielmehr ergibt sich die Möglichkeit einer einheitlichen Vorgehensweise für sämtliche Strukturtypen, die auch automatisiert werden kann.According to the invention, for the corner nodes of the idealized structure translations in all three directions of space as degrees of freedom as the first order derivatives of these translations are provided. To In addition, according to the invention, the shifts in the area centers knot the tetrahedral idealization and sub-elements temporarily leads. In contrast, the degrees of freedom in methods according to the state technology depending on the finite element types used define. For this reason, procedures according to the state of the Technology the degrees of freedom by the user with relatively large excess can be entered or controlled, for example, to Transition points of different types of finite elements, e.g. B. when over passage from bar elements to disc elements, difficult to determine Transitional boundary conditions are to be specified. Similar problems arise themselves when using element types that are in certain directions only have very little or no rigidity. In the process however, according to the invention are due to the use of volume elements All stiffnesses exist in all directions a priori, so that none considerations dependent on the element types used are. Rather, there is the possibility of a uniform procedure for all structure types, which can also be automated.

Ein weiterer Vorteil der Erfindung ist, daß durch die Verwendung ausschließ lich von Volumenelementen mit heute üblichen Konstruktions-Werkzeugen auf die Ergebnisse des erfindungsgemäßen Verfahrens angewendet werden können, so daß das im erfindungsgemäßen Verfahren entwickelte dreidimen sionale Modell natürlich, d. h. formgetreu übernommen werden kann.Another advantage of the invention is that it excludes through use Lich of volume elements with today's common construction tools be applied to the results of the method according to the invention can, so that the three-dimensional developed in the inventive method sional model of course, d. H. can be adopted true to form.

Im folgenden wird die Erfindung anhand der beigefügten Figuren beschrieben. Es zeigen:The invention is described below with reference to the attached figures. Show it:

Fig. 1 eine schematische Darstellung eines Hexaeders als eines erfin dungsgemäß zur Struktur-Idealisierung verwendeten Verbund- oder Volumenelements in perspektivischer Darstellung, das nach einer ersten Variante in fünf Tetraeder - vier peripheren und einem zen tralen Tetraeder im Volumeninnern - nach dem erfindungsgemäßen Verfahren geteilt wird, wobei der fünfte, vollständig im Inneren des Hexaeders liegende Tetraeder separat dargestellt ist, Fig. 1 is a schematic representation of a hexahedron as a composite or volume element according to the invention used for structure idealization in a perspective view, which is divided according to a first variant into five tetrahedra - four peripheral and one central tetrahedron inside the volume - according to the inventive method , the fifth tetrahedron lying completely inside the hexahedron being shown separately,

Fig. 2 eine perspektivische Darstellung eines Hexaeders als eines erfin dungsgemäß zur Struktur-Idealisierung verwendeten Volumenele ments, das nach einer zweiten Variante - in systematischer Ergän zung/Abwandlung der ersten Variante nach der Fig. 1 - nach der Erfindung in fünf Tetraeder geteilt wird, wobei der fünfte, vollstän dig im Inneren des Hexaeders liegende Tetraeder separat darge stellt ist, Fig. 2 is a perspective view of a hexahedron as a OF INVENTION dung according to the structure-idealization Volumenele used ments which, according to a second variant - is according to the invention in five tetrahedrons divided, - wetting in a systematic comple / modification of the first variant of the figure 1. the fifth tetrahedron lying completely inside the hexahedron is shown separately,

Fig. 3 eine perspektivische Darstellung eines Pentaeders, der alternativ als Verbundelement vorgesehen werden kann, der erfindungsge mäß nach einer ersten Variante in drei Tetraeder geteilt wird, Shows a perspective view of a pentahedron, which may alternatively be provided as a composite element, the erfindungsge Mäss is divided in a first variant in three tetrahedrons. 3,

Fig. 4 eine perspektivische Darstellung eines als Verbunedelement ver wendeten Pentaeders, das neben der Teilungsnaht der ersten Vari ante der Fig. 3 nach einer zweiten Variante aus drei entegegenge setzt orientierten Tretraedern geteilt wird, Fig. 4 is a perspective view of a ver as Verbunedelement applied pentahedron, in addition to the division seam of the first Vari of Figure 3 ante. According to a second variant of three sets entegegenge oriented treadwheels is divided,

Fig. 5 eine perspektivische Darstellung eines als Verbundelement ver wendeten Pyramide, die erfindungsgemäß nach einer ersten Vari ante in zwei Tetraeder geteilt wird, Shows a perspective view of a composite element as ver applied pyramid ante according to the invention according to a first Vari is divided into two tetrahedron. 5,

Fig. 6 eine perspektivische Darstellung einer als Verbundelement ver wendbaren Pyramide, die erfindungsgemäß nach einer zweiten Va riante aus zwei systematisch alternativen Tetraedern zusammenge setzt ist,Is set Fig. 6 is a perspective view of a composite element as ver reversible pyramid riante according to the invention according to a second volume Va together of two alternative systematically tetrahedrons

Fig. 7 eine Draufsicht auf einen Tretraeder, der erfindungsgemäß sowohl als Verbundelement als auch als Teilelement eines Verbundele ments nach den Fig. 1 bis 6 verwendbar ist und Fig. 7 is a plan view of a tetrahedron, which can be used according to the invention both as a composite element and as a partial element of a composite element according to FIGS . 1 to 6 and

Fig. 8 eine schematische Darstellung des Ablaufs des erfindungsgemäßen Verfahrens. Fig. 8 is a schematic flow diagram of the process of the invention.

Die Fig. 1 bis 7 zeigen verschiedene Ausführungsformen für Volumenelemen te, die dem erfindungsgemäßen Verfahren zur Berechnung von Strukturen mittels der Finite-Element-Methode verwendbar sind. Dabei werden in der zu idealisierenden Struktur Knotenpunkte definiert, die die Eckpunkte für die jeweils verwendeten Volumenelemente bilden. In dem erfindungsgemäßen Verfahren werden die als Idealisierungs-Elemente verwendeten Volumenele mente, soweit diese nicht selbst Tetraeder sind, in Gruppen aus Tetraedern zerlegt. Da diese Volumenelemente aus Tetraedern zusammengesetzt sind, werden sie als Verbundelemte bezeichnet. In den Fig. 1 und 2 ist beispielhaft dargestellt, wie ein als Verbund- oder Volumenelement verwendeter Hexa eder aus fünf Tetraedern aufgebaut sein kann. Der Aufbau aus Tetraedern ist in den Fig. 3 und 4 für den Pentaeder und in den Fig. 5 und 6 für die Pyramide gezeigt. Das erfindungsgemäße finite Element-Verfahren erfolgt dann auf der Basis der Tetraeder-Anordnungen. In der Darstellung der Fig. 1 bis 7 stellen die dicken durchgezogenen Linien sichtbare Kanten, die dünnen durchgezo genen Linien sichtbare Diagonalen, die gestrichelten Linien unsichtbare Kan ten und die gepunkteten Linien unsichtbare Diagonalen dar. Figs. 1 to 7 show different embodiments for te Volumenelemen, the element method finite usable to the inventive method for the calculation of structures by means of the. Nodes are defined in the structure to be idealized, which form the corner points for the volume elements used in each case. In the method according to the invention, the volume elements used as idealization elements, insofar as they are not themselves tetrahedra, are broken down into groups of tetrahedra. Since these volume elements are composed of tetrahedra, they are referred to as composite elements. In Figs. 1 and 2 is shown an example of how a substance used as composite or volume element Hexa Eder may be composed of five tetrahedrons. The structure of tetrahedra is shown in FIGS. 3 and 4 for the pentahedron and in FIGS. 5 and 6 for the pyramid. The finite element method according to the invention is then carried out on the basis of the tetrahedron arrangements. In the representation of FIGS. 1 to 7, the thick solid lines represent visible edges, the thin durchgezo genes lines visible diagonals th dotted lines invisible Kan and the dotted lines are invisible diagonals.

Das in der Fig. 1 dargestellte Idealisierungs-Element ist ein Hexaeder 1. In der Fig. 1 ist dargestellt, wie dieses erfindungsgemäß in Tetraeder zerlegt wird. Dabei bleiben die Eckpunkte 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 als Eck-Knotenpunkte für die Tetraeder-Teilelemente 11, 12, 13, 14, 15 erhalten. The idealization element shown in FIG. 1 is a hexahedron 1 . In Fig. 1 it is shown how this is achieved according decomposed into tetrahedrons. The corner points 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 remain as corner nodes for the partial tetrahedral elements 11 , 12 , 13 , 14 , 15 .

In der Fig. 2 ist eine alternative Zerlegung eines Hexaeders 1 als Idealisie rungs-Element dargestellt. Auch hier bleiben die Eck-Knotenpunkte 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 bei der Zerlegung des Hexaeders 1 in die Tetraeder 11, 12, 13, 14 erhalten.In Fig. 2 an alternative decomposition of a hexahedron 1 is shown as an idealization element. Here too, the corner nodes 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 are retained when the hexahedron 1 is broken down into the tetrahedra 11 , 12 , 13 , 14 .

Eine Zerlegung eines Pentaeders 21 mit den Eckpunkten 22, 23, 24, 25, 26, 27 in die Tetraeder 28, 29, 30 ist in Fig. 3 dargestellt. Eine alternative Zerle gung dazu ist in der Fig. 4 dargestellt.A decomposition of a pentahedron 21 with the corner points 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 into the tetrahedra 28 , 29 , 30 is shown in FIG. 3. An alternative decomposition to this is shown in FIG. 4.

Eine Zerlegung einer Pyramide 30 in zwei Tetraeder 31, 32 mit den Eck-Kno tenpunkten 33, 34, 35, 36, 37 ist in der Fig. 5 dargestellt. Eine alternative Zerlegung ist in der Fig. 6 gezeigt.A decomposition of a pyramid 30 into two tetrahedra 31 , 32 with the corner nodes 33 , 34 , 35 , 36 , 37 is shown in FIG. 5. An alternative disassembly is shown in FIG. 6.

In der Fig. 7 ist ein Tetraeder 40 dargestellt, der entweder Idealisierungs- Element oder ein Teilelement ist, in das bzw. in die Volumenelemente wie Hexaeder, Pentaeder, Pyramiden erfindungsgemäß zerlegt werden. Der Te traeder hat die Eck-Knotenpunkte 41, 42, 43, 44 und die Flächen-Mitten knoten 46, 47, 48, 49, wobei der Flächenmitten-Knoten 49 in der Darstellung der Fig. 7 durch den Eck-Knotenpunkt 42 verdeckt und nicht gezeigt ist. FIG. 7 shows a tetrahedron 40 , which is either an idealization element or a partial element, into or into which the volume elements such as hexahedra, pentahedra and pyramids are broken down according to the invention. The tetrahedron has the corner nodes 41 , 42 , 43 , 44 and the surface center nodes 46 , 47 , 48 , 49 , the surface center node 49 in the illustration of FIG. 7 being covered by the corner node 42 and is not shown.

Zur Durchführung der erfindungsgemäßen Berechnungsverfahren anhand der Tetraeder-Volumenelemente (Fig. 7) werden die vier Eckpunkte der jeweiligen Tetraeder, d. h. die primären Knotenpunkte, und sogenannte Flächenmitten knoten, d. h. sekundäre Knotenpunkte, als geometrische Bezugspunkte oder Strukturkoppelpunkte verwendet. Dabei werden erfindungsgemäß allgemeine Tetraeder-Formen, insbesondere unregelmäßige und auch schlanke, spitze Formen verwendet.To carry out the calculation method according to the invention on the basis of the tetrahedron volume elements ( FIG. 7), the four corner points of the respective tetrahedra, ie the primary nodes, and so-called surface centers, ie secondary nodes, are used as geometric reference points or structure coupling points. General tetrahedral shapes, in particular irregular and also slender, pointed shapes, are used according to the invention.

Allgemein basieren Finite-Elemente-Verfahren auf einem Energieansatz, nach dem die durch äußere Kräfte auf die Struktur und den durch diese bewirkten Weg gebildete äußere Energie mit einer inneren Energie der Struktur gleich gesetzt wird. Dabei ist die innere Energie = E ε², wobei E das jeweilige elasti zitätsmodul und ε gleich der Dehnung als Ableitung der Verschiebung an ei nem beliebigen Punkt des Volumenelements ist. Mit Hilfe dieses Ansatzes läßt sich auf den Verschiebungszustand beliebiger Punkte innerhalb der Struktur schließen. Um den Verschiebungszustand in einem beliebigen Struk turpunkt zu berechnen, werden allgemein Funktionen für den Verschiebungs zustand bei einem beliebigen Punkt innerhalb eines finiten Elements aufge stellt. Bei diesen Ansatzfunktionen werden Funktionen mit unbekannten Po lynomkoeffizienten verwendet, die in eindeutiger Beziehung zu den Freiheits graden in den Knotenpunkten des jeweiligen Volumenelements stehen. Diese Relation zwischen den unbekannten Polynomkoeffizienten und den Freiheits graden an den Knotenpunkten des jeweiligen Volumenelements, d. h. den Knotenfreiheitsgraden, wird bestimmt durch die geometrische Form des ver wendeten Volumenelements und die Art der Ansatzfunktion.In general, finite element methods are based on an energy approach, according to which the external energy formed on the structure and the path caused by it are equated with an internal energy of the structure. The internal energy = E ε ² , where E is the respective modulus of elasticity and ε is the elongation as a derivative of the displacement at any point on the volume element. This approach can be used to infer the state of displacement of any points within the structure. In order to calculate the state of displacement at any structure point, functions for the state of displacement at any point within a finite element are set up. In these approach functions, functions with unknown polynomial coefficients are used, which are clearly related to the degrees of freedom in the nodes of the respective volume element. This relation between the unknown polynomial coefficients and the degrees of freedom at the nodes of the respective volume element, ie the degrees of freedom of the node, is determined by the geometric shape of the volume element used and the type of approach function.

Bei der erfindungsgemäßen Idealisierung der zu berechnenden Struktur ist die idealisierte Struktur gegebenenfalls nach einer Zerlegung der zunächst verwendeten Volumenelemente in Tetraeder gemäß Fig. 1 bis 6 vollständig aus Tetraedern aufgebaut. Dabei werden für den Verschiebungszustand, d. h. für die Verschiebungen im gesamten Bereich eines Tetraeders als Ansatz funktion für jede Koordinatenrichtung ein vollständiges Polynom dritter Ord nung, die sogenannte kubische Polynom-Form, verwendet. Die Ansatzfunkti on unter Berücksichtigung der Diskretisierungsmatrix beinhaltet eine geome trische Beschreibung des betreffenden Tetraeders, insbesondere dessen Ver schiebungszustandes. Sie wird gebildet mittels bekannter Methoden unter Verwendung der sogenannten Pascal'schen Funktionalschemen. In verkürzter Schreibweise hat dieses Polynom für den Verschiebungsansatz folgende Form:
R = . {q} = a₁ + a₂x + a₃y + a₄z + a₅x² + a₆xy + a₇y² . . . + a₂₀z³, wobei R ei ne Verschiebungskomponete in einer Koordinaten-Richtung an einer beliebi gen Stelle im Tetraeder-Element, eine Zeilenmatrix für die Polynom- Ansatzfunktionen und {q} eine Spaltenmatrix für die Polynom-Koeffizienten ist.In the idealization of the structure to be calculated according to the invention, the idealized structure is, if appropriate, completely composed of tetrahedra after the volume elements initially used have been broken down into tetrahedra according to FIGS. 1 to 6. A complete third order polynomial, the so-called cubic polynomial form, is used as an approach function for each coordinate direction for the state of displacement, ie for the displacements in the entire area of a tetrahedron. The approach function taking into account the discretization matrix includes a geometric description of the tetrahedron in question, in particular its displacement state. It is formed using known methods using the so-called Pascal functional schemes. In abbreviated form, this polynomial has the following form for the shift approach:
R =. {q} = a ₁ + a ₂ x + a ₃ y + a ₄ z + a ₅ x ² + a ₆ xy + a ₇ y ² . , , + a ₂₀ z ³ , where R ei ne displacement component in a coordinate direction at any point in the tetrahedral element, a row matrix for the polynomial approach functions and {q} is a column matrix for the polynomial coefficients.

Die voranstehende Polynom-Ansatzfunktion bezieht sich dabei lediglich auf eine Raumkoordinate; bei Betrachtung aller drei Koordinaten ergeben sich somit für jedes Volumenelement sechzig Unbekannte.The above polynomial approach function only refers to a spatial coordinate; when considering all three coordinates, thus sixty unknowns for each volume element.

Die Koeffizienten a₁ bis a₂₀ je Raumkoordinate bilden die zunächst unbekann ten Polynom-Ansatzkoeffizienten. Bei einem Ansatz in Form des vollständigen kubischen Polynoms für das Tetraedervolumen, wie er erfindungsgemäß vor gesehen ist, ergeben sich dabei immer für jede Koordinate zwanzig unbe kannte Polynom-Ansatzkoeffizienten. Diese dreimal zwanzig Polynom-Ansatz koeffizienten sind für jedes Tetraederelement zu bestimmen. Dafür sind ma thematisch dreimal zwanzig Zuordnungen oder Bestimmungsgleichungen er forderlich.The coefficients a ₁ to a ₂₀ per spatial coordinate form the initially unknown polynomial approach coefficients. With an approach in the form of the complete cubic polynomial for the tetrahedron volume, as seen according to the invention, there are always twenty unknown polynomial approach coefficients for each coordinate. These three times twenty polynomial approach coefficients are to be determined for each tetrahedral element. This requires three thematic assignments or determination equations three times.

Erfindungsgemäß werden für jedes Tetraederelement diese dreimal zwanzig Zuordnungen aus zwei Beiträgen gebildet: Zum einen wird jeder Knotenpunkt beschrieben durch einen Verschiebungsvektor sowie durch die drei Ableitun gen dieses Raumvektors nach den drei verwendeten Koordinaten, zum an dern werden für jeden Tetraeder sekundäre Knotenpunkte definiert. Diese sekundären Knotenpunkte sind Flächenmitten-Knoten oder Schwerpunkte aller vier Seitenflächen jedes Tetraederelements. Für jeden dieser Mittenkno ten werden lediglich die Freiheitsgrade der Verschiebungen eingebracht, nicht aber deren Ableitungen. Somit ergeben sich pro Tetraeder und pro Ko ordinatenrichtung 16 + 4 = 20 Zuordnungen. Werden insgesamt alle drei Ko ordinatenrichtungen betrachtet, ergeben sich somit 60 Zuordnungen. Diese Zuordnungen ergeben sich nach üblichen mathematischen Verfahren, die im Stand der Technik bekannt sind. In Form einer mathematischen Formulierung haben sie folgende Form:
{Verschiebungs-Vektor für die primären und sekundären Knotenfreiheitsgra de} = [Formmatrix oder Diskretisierungsmatrix, die die inviduelle Tetraeder geometrie enthält] {Vektor der Polynomkoeffizienten}.According to the invention, these three times twenty assignments are formed from two contributions for each tetrahedron element: firstly, each node is described by a displacement vector and by the three derivatives of this space vector according to the three coordinates used, and secondly, secondary nodes are defined for each tetrahedron. These secondary nodes are surface center nodes or centers of gravity of all four side surfaces of each tetrahedral element. Only the degrees of freedom of the displacements are introduced for each of these center nodes, but not their derivatives. This results in 16 + 4 = 20 assignments per tetrahedron and per coordinate direction. If all three coordinate directions are considered in total, there are 60 assignments. These assignments result from the usual mathematical methods known in the prior art. In the form of a mathematical formulation, they have the following form:
{Displacement vector for the primary and secondary nodal freedom grades} = [shape matrix or discretization matrix containing the individual tetrahedron geometry] {vector of the polynomial coefficients}.

Da diese Zuordnung, die durch die Diskretisierungs- oder Form-Matrix be schrieben wird, eindeutig ist, kann diese Gruppe von Zuordnungen invertiert werden, d. h. nach den Vektor mit dem unbekannten Polynomkoeffizienten aufgelöst werden, wobei die Verschiebungsgrößen als unbekannte Rechen größen eingeführt werden. Auf diese Weise sind diese Polynomkoeffizienten aufgrund von Matrizenoperationen bestimmbar.Since this assignment, which is determined by the discretization or form matrix is written, is unique, this group of assignments can be inverted become, d. H. for the vector with the unknown polynomial coefficient to be resolved, the displacement quantities as unknown calculations sizes are introduced. In this way, these are polynomial coefficients can be determined based on matrix operations.

Die Bildung von Formmatrizen aus gegebenen geometrischen Elementen, so wie die Definition von Zuordnungen zwischen Freiheitsgraden der verwende ten geometrischen Elemente und den Unbekannten von Ansatzfunktionen bezüglich deren Knotenpunkten, sind allgemein nach dem Stand der Technik bekannt. Erfindungsgemäß werden jedoch bestimmte Finite-Elementtypen, nämlich Tetraeder, zur Idealisierung von zu berechnenden Strukturen verwen det, für deren innere Verschiebungszustände ganz speziell ein Ansatz mit voll ständigem kubischen Polynom und 20 Ansatzfuntionen gewählt wird. Zur De finition der erforderlichen Zuordnungen zur Bestimmung der Polynomkoeffizi enten werden erfindungsgemäß primäre und sekundäre Knoten definiert.The formation of form matrices from given geometric elements, see above how to use the definition of mappings between degrees of freedom geometrical elements and the unknowns of approach functions with regard to their nodes, are generally state of the art known. According to the invention, however, certain finite element types, namely tetrahedra, to idealize structures to be calculated det, for their inner displacement states a very special approach with full constant cubic polynomial and 20 approach functions is selected. To De Definition of the necessary assignments to determine the polynomial coefficient According to the invention, primary and secondary nodes are defined.

Dabei sind die primären Knoten die geometrischen Eckpunkte der Tetraeder. Diese primären Knoten werden mittels deren räumlichen Verschiebung sowie der Ableitungen dieser räumlichen Verschiebung nach den Koordinatenrich tungen erster Ordnung definiert. Die Freiheitsgrade in den primären Knoten sind wie folgt definiert:
The primary nodes are the geometrical corner points of the tetrahedra. These primary nodes are defined by means of their spatial displacement and the derivatives of this spatial displacement according to the first order coordinate directions. The degrees of freedom in the primary nodes are defined as follows:

Die Größen x, y, z stehen für die drei Raumkoordinaten und die Größen u, v, w für die Komponenten des zugeordneten Verschiebungsvektors.The sizes x, y, z stand for the three spatial coordinates and the sizes u, v, w for the components of the assigned displacement vector.

Die sekundären Knoten gehen dagegen nur mit ihren Verschiebungen in die Zuordnungen ein. Diese werden mit Verfahren nach dem Stand der Technik zur Vereinfachung des weiteren Ablaufs durch Kondensation und/oder Re duktion am Verbundelement, z. B. am Hexaeder nach den Fig. 1 und 2, am Pentaeder nach den Fig. 3 und 4, an der Pyraminde nach den Fig. 5 und 6, eliminiert. Wenn der Tetraeder als Volumenelement verwendet wird, werden die Flächenmitten-Knoten durch Reduktion eliminiert. Dies geschieht da durch, daß die Verschiebungen in den Flächenknoten durch die Verschiebun gen in den benachbarten Eckknoten beschrieben werden. Bei der Kondensa tion handelt es sich um eine exakte Elimination der Gleichungen für die Flä chenmitten-Knoten durch entsprechende mathematische Operationen. Bei der Reduktion werden die Verschiebungen in den Flächenmitten-Knoten durch die davon unabhängigen Verschiebungen in den benachbarten Eckkno ten ausgedrückt. Da die Kondensationsverfahren exakt sind, besteht grund sätzlich das Ziel, soweit wie möglich die Flächen-Mittenknoten durch Kon densation zu eliminieren. Diese Verfahrensschritte sind Stand der Technik.The secondary nodes, on the other hand, only enter the assignments with their shifts. These are with methods according to the prior art to simplify the further process by condensation and / or reduction on the composite element, for. B. on the hexahedron according to FIGS. 1 and 2, on the pentahedron according to FIGS . 3 and 4, on the pyramid according to FIGS . 5 and 6, eliminated. If the tetrahedron is used as a volume element, the surface center nodes are eliminated by reduction. This is done by the fact that the displacements in the surface nodes are described by the displacements in the neighboring corner nodes. The condensation is an exact elimination of the equations for the area center nodes by appropriate mathematical operations. In the reduction, the displacements in the area center nodes are expressed by the displacements in the neighboring corner nodes, which are independent thereof. Since the condensation methods are exact, the basic aim is to eliminate the surface center nodes by condensation as far as possible. These process steps are state of the art.

In den nächsten Verfahrenschritten werden nach üblicherweise verwendeten Energieprinzipien aus den ermittelten Gleichungen für die Tetraeder-Eckkno ten, die den Verschiebungszustand für den jeweiligen gegebenenfalls aus dem entsprechenden Verbundelement gebildeten Tetraeder beschreiben, Volumenintegrale über jeden dieser Tetraeder gebildet. Daraus werden die sogenannten Element-Streifigkeitsmatrizen für jeden dieser Tetraeder defi niert. Die Energieanteile jedes Tetraeders werden gegebenenfalls zu den Energieanteilen eines Verbundelements, also z. B. eines Hexaeders, eines Pentaeders oder einer Pyramide, zusammengesetzt. Aus den Verbundele ment-Streifigkeitsmatrizen werden wiederum die System-Streifigkeitsmatri zen zusammengesetzt, wobei die gleichen Energiemethoden verwendet wer den. Die System-Streifigkeitsmatrizen bilden bekanntermaßen die Grundlage für die Lösungsgleichungen des jeweils gestellten Strukturproblems. Bei spielsweise können bei Vorgabe äußerer Kräfte mittels der System-Streifig keitsmatrix die Verschiebungen in den Knotenpunkten der idealisierten Struk tur berechnet werden.In the next procedural steps are usually used Energy principles from the determined equations for the tetrahedron corner kno ten, which may indicate the state of displacement for the respective describe the corresponding composite element formed tetrahedron, Volume integrals are formed over each of these tetrahedra. From this become the so-called element streak matrices for each of these tetrahedra defi kidney. The energy shares of each tetrahedron may become the Energy shares of a composite element, e.g. B. a hexahedron, one Pentahedron or a pyramid, composed. From the composite elements System streak matrices in turn become the system streak matrices zen composed using the same energy methods the. The system streak matrices are known to form the basis for the solution equations of the respective structural problem. At for example, when specifying external forces using the system strip ness matrix the shifts in the nodes of the idealized structure be calculated.

Zur Verbesserung der Ergebnisgenauigkeit kann zusätzlich folgender Verfah rensschritt vorgesehen werden:
An Stellen der zu berechnenden Struktur an denen diese mittels Verbunde lementen idealisiert worden sind, die in Tetraeder als Teilelemente zerlegt werden, erfolgt diese Zerlegung erfindungsgemäß je Verbundelement auf grund beider Zerlegungsvarianten. Beispielsweise erfolgt die Zerlegung eines zur Idealisierung verwendeten Hexaeders nach der ersten (Fig. 1) und in einer weiteren Idealsierung nach der zweiten Variante (Fig. 2). Ebenso erfolgt die Zerlegung jedes Pantaeders sowohl nach Fig. 2 als auch nach Fig. 3. Die Zer legung der Pyramide erfolgt sowohl nach Fig. 5 als auch nach Fig. 6. Dadurch wird eine durch den Benutzer idealisierte Struktur durch das erfindungsge mäße Verfahren auf zwei sich ergänzende Weisen in Tetraeder zerlegt. Auf diesen beiden aufgrund verschiedener Zerlegungen der verwendeten Verbun delemente hervorgegangenen Teilelement-Strukturen werden die beschrie benen Berechnungsverfahren jeweils eigens angewendet, so daß jede ideali sierte Struktur zweimal berechnet wird.In order to improve the accuracy of the results, the following procedural step can also be provided:
In places of the structure to be calculated at which these elements have been idealized by means of composites, which are broken down into tetrahedra as partial elements, this decomposition takes place according to the invention for each composite element on the basis of both decomposition variants. For example, a hexahedron used for idealization is broken down according to the first ( FIG. 1) and in a further idealization according to the second variant ( FIG. 2). Likewise, the decomposition of each pantahedron is carried out both according to FIG. 2 and according to FIG. 3. The decomposition of the pyramid is carried out both according to FIG. 5 and according to FIG. 6 two complementary ways decomposed into tetrahedra. The described calculation methods are applied to each of these two sub-element structures resulting from different decompositions of the composite elements used, so that each idealized structure is calculated twice.

Auf diese Weise wird jeder Knotenpunkt der idealisierten Struktur systema tisch gleich gewichtet, da jede Vierecksfläche eines Verbundelements auf beide möglichen Arten in Dreiecksflächen zerlegt wird. Bei einer Zerlegung eines Verbundelements, z. B. eines Hexaeders, sind einzelne Eck-Knoten einer viereckigen Seitenfläche Teilnehmer an mehreren Tetraeder-Elementen. Z. B. ist der Eck-Knoten 2 des Hexaeders der Fig. 1 an den Tetraedern 11, 13, 15 beteiligt, während der Eck-Knoten 3 nur dem Tetraeder 11 zugeordnet ist. Werden die beschriebene Berechnung nur aufgrund einer bestimmten Zerle gung eines Verbundelements durchgeführt, ergibt sich numerisch eine unter schiedliche Bewertung von zu mehreren Tetraedern gehörende Eck-Knoten im Vergleich zu anderen. Diese unterschiedliche Bewertung führt zu Ungenauig keiten, die durch die zweifache Idealisierung beseitigt werden können.In this way, each node of the idealized structure is systematically weighted equally, since each quadrangular surface of a composite element is broken down into triangular surfaces in both possible ways. When disassembling a composite element, e.g. B. a hexahedron, individual corner nodes of a square side surface are participants in several tetrahedron elements. For example, the corner node 2 of the hexahedron of FIG. 1 is involved in the tetrahedra 11 , 13 , 15 , while the corner node 3 is only assigned to the tetrahedron 11 . If the described calculation is carried out only on the basis of a certain decomposition of a composite element, there is a numerical different evaluation of corner nodes belonging to several tetrahedra compared to others. This different assessment leads to inaccuracies, which can be eliminated by double idealization.

Berechnungstechnisch werden bei der Bildung von Teilelement-Strukturen nach beiden Varianten die jeweils ermittelten Teilelemente (Tetraeder)- Steifigkeiten addiert. Die Steifigkeiten der Tetraeder, die zur Idealisierung der Struktur ursprünglich verwendet worden sind, werden verdoppelt. Daraus er gibt sich in etwa der doppelte Wert für die jeweilige Teilelement-Steifigkeit bzw. deren inneren Energie sowie für die Gesamt-Steifigkeit bzw. die innere Energie der gesamten Struktur. Dieser doppelte Wert wird im weiteren Ver fahren dadurch eliminiert, daß beispielsweise dieser Wert wiederum halbiert wird oder die äußeren Lasten verdoppelt werden. Auch andere mathemati sche Verfahren sind möglich.In terms of calculation technology, the formation of sub-element structures according to both variants the respectively determined partial elements (tetrahedra) - Stiffness added. The stiffness of the tetrahedra used to idealize the Structure originally used will be doubled. From that he there is approximately twice the value for the respective partial element stiffness or their internal energy as well as for the overall stiffness or the internal Energy of the whole structure. This double value will be used later in Ver drive eliminated by, for example, halving this value again or the external loads will be doubled. Other mathematics too procedures are possible.

Das erfindungsgemäße Verfahren wird im folgenden zusammenfassend an hand der Fig. 8 beschrieben: Bei dem erfindungsgemäßen Verfahren zur Be rechnung von Strukturen mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode wird vor zugsweise zunächst eine Finiten-Elemente-Methode (FEM)-Vorverarbeitung 101 durchgeführt. Dabei wird die zu berechnende Struktur für nachfolgende Schritte vorbereitet, wobei z. B. Konturlinien oder Außenkonturen geglättet oder unwichtige Details der zu berechnenden Struktur entfernt werden. Das durch die FEM-Vorverarbeitung 101 aufbereitete Modell 102 wird dann in ei nem Schritt der Idealisierung 103 durch ein Maschennetz beschrieben. Das Maschennetz definiert sich durch die Idealisierung der zu berechnenden Struktur durch Volumenelemente, die aus Hexaedern, Pentaedern, Pyramiden oder Tetraedern gestaltet sind. Die Größe und Form der Volumenelemente ergibt sich aus der Form der zu berechnenden Struktur bzw. des aufbereite ten Modells 102, wobei das aus der Idealisierung 103 entstehende idealisier te Modell 104 mit seinen Eck-Knotenpunkten von der Kontur des aufbereite ten Modells 102 bestimmt ist. Das idealisierte Modell 104 stellt eine mög lichst gute Annäherung an die räumliche Gestalt des aufbereiteten Modells 102 dar. Es können bei der Idealisierung jedoch auch andere Aspekte nach bestehendem Fachwissen eine Rolle spielen, z. B. angenommene Kraftverläu fe oder Gesichtspunkte der Lagerung der Struktur. Das idealisierte Modell 104 ist - soweit es das beschriebene Berechnungsverfahren betrifft - aus schließlich aus Volumenelemente gebildet. Dabei haben die Volumenelemen te, die selbst wieder aus Tetraedern zusammengestzt werden können, in den nachfolgenden Schritten die Funktion von Verbundelementen. In einem nach folgenden Schritt erfolgt eine Zerlegung 105 der Volumenelemente, soweit sie in dem idealisierten Modell 104 nicht als Tetraeder ausgestaltet sind, bzw. der Verbundelemente in Tetraeder nach den voranstehenden anhand der Fig. 1 bis 6 gemachten Ausführungen. Das Ergebnis der Zerlegung 105 ist, das idealisierte Modell 104 in eine Teil-Element-Struktur 106 ausschließlich aus Tetraedern umgeformt ist. Gegebenenfalls werden Zusatzinformationen 107 über die verwendeten Volumenelementen, also über die verwendeten Hexa eder, Pentaeder und Pyramiden, berücksichtigt und der Zerlegung 105 zuge führt. In einem nachfolgenden Schritt 108 erfolgt die Beschreibung des Ver schiebungszustands für jedes Tetraeder-Element durch ein vollständiges Po lynom 109 dritter Ordnung je Koordinantenrichtung. In einem weiteren Schritt 110 erfolgt die Bestimmung der Polynom-Koeffizienten durch Zuord nungen zwischen den Knotenfreiheitsgraden, Faktoren zur Beschreibung der individuellen Tetraeder-Geometrie und dem jeweiligen Polynom-Koeffizienten. Als Knotenfreiheitsgrad wird für jeden Knoten-Eckpunkt der Verschiebungs vektor und die drei Ableitungen dieses -Vektors sowie der Verschiebungsvek tor für die Flächenmitten-Knoten jedes Tetraeder-Elements verwendet. In ei nem Schritt 111 werden die Teilelement-Tetraeder, soweit sie im Schritt 105 aus einer Zerlegung hervorgegangen sind, wieder in die Volumenelemente, wie sie im Schritt 105 erzeugt worden sind, bzw. in Verbundelemente zu sammengesetzt, so daß sich ein Verbundaufbau 112 daraus ergibt. Gleichfalls wird im Schritt 111 eine Elimination der Flächenmitten-Knotenpunkte vorge nommen. Im nachfolgenden Schritt 113 erfolgt der Aufbau der Systemmatrix aus den Verbundelementen 112, d. h. die Verschiebungen und Ableitungen werden über alle Volumenelemente aufsummiert und dadurch die Systemma trix gebildet. Abschließend erfolgt im Schritt 115 die Lösung des gestellten mechanischen Problems mittels der Systemmatrix 114.The method according to the invention is described in the following in summary with reference to FIG. 8: In the method according to the invention for the calculation of structures with the aid of the finite element method, a finite element method (FEM) preprocessing 101 is preferably carried out first. The structure to be calculated is prepared for subsequent steps. B. contour lines or outer contours smoothed or unimportant details of the structure to be calculated removed. The model 102 prepared by the FEM preprocessing 101 is then described in a step of idealization 103 by a mesh network. The mesh network is defined by the idealization of the structure to be calculated using volume elements made of hexahedron, pentahedron, pyramid or tetrahedron. The size and shape of the volume elements result from the shape of the structure to be calculated or the prepared model 102 , the idealized model 104 resulting from the idealization 103 having its corner nodes being determined by the contour of the prepared model 102 . The idealized model 104 represents the best possible approximation to the spatial shape of the prepared model 102. However, other aspects based on existing specialist knowledge may also play a role in the idealization, e.g. B. assumed Kraftverläu fe or aspects of the storage of the structure. The idealized model 104 - insofar as it relates to the calculation method described - is formed exclusively from volume elements. The volume elements, which can themselves be composed of tetrahedra, have the function of composite elements in the subsequent steps. In a subsequent step, the volume elements are disassembled 105 , provided that they are not configured as tetrahedra in the idealized model 104 , or the composite elements in tetrahedra according to the above statements made with reference to FIGS. 1 to 6. The result of the decomposition 105 is that the idealized model 104 is transformed into a partial element structure 106 exclusively from tetrahedra. If necessary, additional information 107 about the volume elements used, that is to say about the hexahedron, pentahedron and pyramids used, is taken into account and the decomposition 105 is supplied. In a subsequent step 108 , the displacement state for each tetrahedron element is described by a complete third order polynomial 109 per coordinate direction. In a further step 110 , the polynomial coefficients are determined by assignments between the degrees of freedom of the knot, factors for describing the individual tetrahedron geometry and the respective polynomial coefficient. As the degree of freedom of the node, the displacement vector and the three derivatives of this vector as well as the displacement vector for the area center nodes of each tetrahedron element are used for each vertex of the node. In a step 111 , the sub-element tetrahedra, insofar as they resulted from a decomposition in step 105 , are reassembled into the volume elements as generated in step 105 or into composite elements, so that a composite structure 112 results therefrom results. Likewise, an elimination of the area center nodes is carried out in step 111 . In the subsequent step 113 , the system matrix is constructed from the composite elements 112 , ie the displacements and derivatives are added up over all volume elements and the system matrix is thereby formed. Finally, in step 115 the mechanical problem is solved by means of the system matrix 114 .

In dem bestehenden Verfahren ist eine Tetraeder-Schleife 121 und eine Vo lumenelement-Schleife 122 eingebaut. Bei der Tetraeder-Schleife 121 geht es um die Berechnung der Tetraeder, aus denen die Volumenelemente zusam mengesetzt sind. Die Tetraeder-Schleife 121 ist also nur erforderlich für die Volumenelemente, die im Schritt 105 in Tetraeder zerlegt worden sind. Für jeden aus einem Volumenelement in der Zerlegung 105 entstehenden Te traeder ist eine Schleife 121 durchzuführen. Auf diese Weise liegen als Er gebnis des Schritts 111 die Steifigkeiten für die Volumenelemente, wie sie im idealisierten Modell 104 vorgesehen waren, vor. Um im Schritt 113 die Sy stemmatrix zu bilden, ist die Volumenelement-Schleife 122 erforderlich. Es ist für jedes Volumenelement, wie es im idealisierten Modell 104 vorgesehen ist, ein Anteil an Steifigkeit oder Energie für die Systemmatrix vorzusehen und je Volumenelemt aufzuaddieren. Nachdem die Schleife 122 für jedes Volumen element durchlaufen ist, sind alle Anteile in der Systemmatrix 114 einge bracht. Der abschließende Schritt der Systemlösung und der Nachbearbei tung 115 erfolgt nach Verfahren nach dem Stand der Technik. Zur Systemlö sung gehört die Berechnung der unbekannten Verschiebungen und zur Nach bearbeitung gehört die Auswertung der Verschiebungs- und Spannungser gebnisse.A tetrahedron loop 121 and a volume element loop 122 are built into the existing method. The tetrahedron loop 121 is about the calculation of the tetrahedra from which the volume elements are composed. The tetrahedron loop 121 is therefore only required for the volume elements which have been broken down into tetrahedra in step 105 . A loop 121 must be carried out for each tetrahedron resulting from a volume element in the decomposition 105 . In this way, as a result of step 111, the stiffnesses for the volume elements as provided in the idealized model 104 are available. In order to form the system matrix in step 113 , the volume element loop 122 is required. For each volume element, as is provided in the idealized model 104 , a proportion of stiffness or energy must be provided for the system matrix and added up for each volume element. After the loop 122 has run through for each volume element, all parts in the system matrix 114 are introduced. The final step of the system solution and the post-processing 115 takes place according to methods according to the prior art. The system solution includes the calculation of the unknown displacements and the postprocessing includes the evaluation of the displacement and stress results.

Das erfindungsgemäße Verfahren kann mit anderen Verfahren nach dem Stand der Technik kombiniert sein. So kann ein Teil einer zu berechnenden Struktur mit dem erfindungsgemäßen Verfahren und ein anderer Teil der Struktur mit einem Verfahren nach dem Stand der Technik berechnet werden, bei dem auch andere Elemente als Volumenelemente zur Idealisierung der Struktur verwendet werden.The method according to the invention can be used with other methods according to the State of the art combined. So part of a can be calculated Structure with the method according to the invention and another part of the Structure can be calculated using a method according to the prior art, where other elements than volume elements to idealize the Structure can be used.

Ein Vorteil der Erfindung ist, daß die kleinsten Volumenelemente, über deren Volumen zur Bildung deren Steifigkeitsmatrizen integriert wird, erfindungs gemäß ausschließlich Tetraeder sind, so daß sich eine hohe numerische Sta bilität des erfindungsgemäßen Verfahrens ergibt, da Tetraeder sogenannte Simplexformen sind, über die mathematisch exakt, beispielsweise mittels Bessel-Funktionen, integriert werden kann. Nur bei Verwendung von Te traedern als Idealisierungs- oder auch als Teil-Elemente, können die Polynom- Ansatzfunktionen dritter Ordnung numerisch stabil verarbeitet werden. Zur Eliminierung der Flächenmittenknoten der Tetraeder-elemente werden wahl weise Kondensations- oder Reduktionsverfahren nach dem Stand der Technik angewendet. Vorzugsweise werden Kondensationsverfahren angewendet, die exakt sind, so daß sie die numerische Stabilität des Programms verbessern.An advantage of the invention is that the smallest volume elements, over their Volume to form whose stiffness matrices are integrated, fiction are exclusively tetrahedra, so that a high numerical sta bility of the method according to the invention results because so-called tetrahedra Simplex forms are about the mathematically exact, for example by means of Bessel functions that can be integrated. Only when using Te traed as idealization or as partial elements, the polynomial Third-order batch functions are processed numerically stable. For Elimination of the area center nodes of the tetrahedron elements is a choice wise condensation or reduction process according to the prior art applied. Condensation methods are preferably used which are exact so that they improve the numerical stability of the program.

Die Verwendung von Tetraedern als kleinste Volumenelemente, über die zu den Elementsteifigkeitsmatrizen integriert werden, liegt darin, daß auch sehr schlanke Tetraeder, d. h. Tetraeder mit einem Höhen-Seitenverhältnis von über 100, noch numerisch stabil sind. Der Grund liegt darin, daß die Te traeder numerisch exakt integriert werden können.The use of tetrahedra as the smallest volume elements over which to the element stiffness matrices are integrated, that is also very slim tetrahedra, d. H. Tetrahedra with an aspect ratio of over 100, are still numerically stable. The reason is that the Te can be integrated numerically exactly.

Durch die hohe Rechengenauigkeit, die das erfindungsgemäße Verfahren auf der Basis der vollständigen kubischen Polynom-Ansatzfunktionen unter Ein führung der vollen Ableitungsfreiheitsgrade liefert, wird die erfolgreiche Ana lyse aller bekannten statischen und dynamischen Festigkeits- und Stabilitäts probleme ermöglicht. Unter letzterem Begriff sind auch die mathematisch sensiblen Formulierungen zur geometrisch nichtlinearen Problematik der gro ßen Verformungen und der Strukturstabilität zu verstehen. Due to the high computational accuracy, the method according to the invention the basis of the full cubic polynomial approach functions under one the full degree of freedom of derivation, the successful Ana lysis of all known static and dynamic strength and stability problems. The latter term also includes mathematics sensitive formulations on the geometrically nonlinear problem of large to understand deformations and structural stability.

Die hohe Ergebnisqualität des erfindungsgemäßen Verfahrens aufgrund der kubischen Polynom-Ansatzfunktionen eröffnet die Möglichkeit, alle auf der Basis von 3D-Modellen nach heutigen Verfahren erstellte Konstruktionen di rekt, d. h. mit einem sehr geringen Umformungs- und Formalisierungsauf wand, als 3D-Volumen-Modelle in der FE-Berechnungstechnik zu simulieren. Die bislang übliche Modellierung der Strukturen als Stabwerke, spezielle Schalen, Faltwerke und 3D-Teilanalysen kann entfallen und wird durch eine einheitliche Volumenmodellierung ersetzt. Durch diese Vorgehensweise wer den anwenderabhängige und modellierungsbedingte Ungenauigkeiten weit gehend reduziert. Der hohe Ansatzgrad der Polynom-Ansastzfunktionen er möglicht es, relativ grobe Maschennetze zur Idealisierung der zu berechnen den Struktur einzuführen. So genügt über die Dicke allgemeiner Schalen strukturen eine Elementreihe aus Verbundelementen, z. B. Hexaedern, zur Idealisierung der Struktur.The high quality of results of the method according to the invention due to cubic polynomial approach functions opens up the possibility of all on the Construction based on 3D models using today's methods rect, d. H. with a very low conversion and formalization rate wall, to simulate as 3D volume models in FE calculation technology. The usual modeling of structures as bar structures, special Shells, folding mechanisms and 3D partial analyzes can be omitted and is made possible by a uniform volume modeling replaced. By doing this, who the user-dependent and modeling-related inaccuracies going reduced. The high degree of approach of the polynomial approach functions makes it possible to calculate relatively coarse meshes to idealize the to introduce the structure. So enough about the thickness of general shells structure a row of elements from composite elements, e.g. B. hexahedra Idealization of the structure.

Die Spannungen in den Knotenpunkten der idealisierten Struktur, werden durch das erfindungsgemäße Verfahren eindeutig berechnet und brauchen nicht wie bei konventionellen Verfahren elementabhängig ermittelt zu wer den. Der Grund liegt darin, daß bei dem erfindungsgemäßen Verfahren die Ableitungen der Verschiebungen in den Systemknoten der idealisierten Struk tur eindeutig definiert sind, so daß daraus auch die Dehnungen und über die Werkstoffgesetze auch die Spannungen in diesen Punkten eindeutig definiert sind. Da diese Lösungen in bezug auf die System-Knotenpunkte vorliegen, sind sie unabhängig von dem zu dem jeweiligen System-Knotenpunkt gehö renden Finite-Element. Dadurch erübrigt sich die Mittelwertbildung bzw. Ex trapolation an diesen System-Knotenpunkten, wie sie im Stand der Technik vorgenommen werden muß, da die Dehnungen, Verschiebungen und Span nungen an diesen Punkten elementabhängig ausgerechnet werden. Dies ist dadurch möglich, da die Ableitungen in den Freiheitsgraden verwendet wer den und in die Polynom-Ansatzfunktionen eingegangen sind, rechentechnisch direkt erfaßt werden können. Demgegenüber sind beim Stand der Technik die Ableitungen der Verschiebungen näherungsweise für die Elemente auf der Systemebene in einem Postprozessingverfahren zu bestimmen.The tensions in the nodes of the idealized structure will clearly calculated and required by the method according to the invention not to be determined depending on the element as in conventional methods the. The reason is that in the method according to the invention Deriving the shifts in the system nodes of the idealized structure ture are clearly defined, so that the strains and the Materials laws also clearly defined the stresses in these points are. Since these solutions are available in relation to the system nodes, they are independent of the one belonging to the respective system node finite element. This eliminates the need for averaging or Ex trapolation at these system nodes, as in the prior art must be made because of the strains, displacements and chip at these points are calculated depending on the element. This is This is possible because the derivatives are used in the degrees of freedom which and have gone into the polynomial approach functions, computationally can be recorded directly. In contrast, in the prior art Derivatives of the displacements approximately for the elements on the Determine system level in a post-processing procedure.

Die Brauchbarkeit der erfindungsgemäß ermittelten Spannungen an dem Sy stem-Knotenpunkten wird auch dann gewährleistet, wenn bei der Idealisie rung der Struktur ein grobes Maschennetz verwendet wurde, da die Span nungen nicht aus einer Mittelwertbildung oder Extrapolation ermittelt werden. Daraus ergeben sich signifikante Vorteile bei Analysen zu einem Rißfortschritt oder zu Kerbspannungen in der zu berechnenden Struktur, weil Spannungs spitzen erfindungsgemäß zuverlässig identifiziert werden.The usability of the voltages on the sy determined according to the invention stem nodes are also guaranteed if the idealisie a coarse mesh network was used because the span can not be determined from averaging or extrapolation. This results in significant advantages when analyzing crack propagation or notch stresses in the structure to be calculated because of stress according to the invention can be reliably identified.

Darüber hinaus besteht durch das erfindungsgemäße Verfahren die Möglich keit, die Automatisierung für die Erstellung des Finite-Element-Modells voll ständig zu perfektionieren und weitgehend unabhängig von den individuellen Gepflogenheiten des Anwenders zu machen. Neben der Steigerung der Er gebnisgenauigkeit werden dadurch potentionelle Fehlerquellen durch un sachgemäße Struktur-Idealisierungen ausgeschlossen.In addition, the method according to the invention offers the possibility automation for the creation of the finite element model constantly perfecting and largely independent of the individual Custom of the user. In addition to increasing the Er result accuracy are potential sources of error by un proper structural idealizations excluded.

Bei Verfahren nach dem Stand der Technik vernachlässigte geometrische Strukturdetails wie Dickensprünge, Exzentzitäten, Radiusübergänge können in der Finite-Element-Methode wegen der Idealisierung der Struktur aus schließlich mit Volumenelementen quantitativ berücksichtigt werden. Auch Materialinhomogenitäten, wie diese bei Faserverbundwerkstoffen und Plasti zierungen auftreten, können simuliert werden.Geometric methods neglected in prior art methods Structural details such as thickness changes, eccentricities, radius transitions can in the finite element method because of the idealization of the structure finally be taken into account quantitatively with volume elements. Also Material inhomogeneities, such as those in fiber composites and plastics adornments can be simulated.

Claims

1. Procedure for calculating structures using the finite element method with the steps:

- Idealization of the structure to be calculated by volume elements that have the shape of a hexahedron, pentahedron, a pyramid or a tetrahedron, and definition of the corner nodes in the idealized structure,
- Decomposition of the volume elements with hexahedron, pentahedron and pyramid-shaped into tetrahedra, so that the structure to be idealized has only partial elements in tetrahedral shape,
- Description of the state of displacement for each tetrahedron element using a complete third-order polynomial per coordinate direction,
- Determination of the polynomial coefficients by assignments between the degrees of node freedom, factors for describing the individual tetrahedron geometry and the respective polynomial coefficients, the node vector being the displacement vector and the three derivatives of this vector for each node vertex, and the displacement vector for the area center nodes every tetrahedral element is used
- elimination of the area center nodes,
Addition of the displacements and derivatives of each tetrahedral sub-element and formation of the system matrix,
- Solution of the mechanical problem posed using the system matrix.

2. Method for calculating structures with the help of finite elements mente method according to claim 1, characterized in that the Third-order approach functions are complete and by means of the Pascal ' functional diagram.

3. Procedure for the calculation of structures using the finite Element method according to claims 1 or 2, characterized net that the elimination of the area center nodes by means of reduction process ren is done.

4. Procedure for the calculation of structures with the help of finite elements mente method according to one of the preceding claims, thereby ge indicates that the elimination of the area center nodes using Kon condensation process.

5. Method for calculating structures with the help of finite elements mente method according to one of the preceding claims, thereby ge indicates that the formation of the sub-elements from a volume element takes place in two complementary geometric variants and the successor steps due to a superposition of the results from both variants results.