DE19508700C1 - Fixed frequency zero-harmonic scanning system showing object movements - Google Patents
Fixed frequency zero-harmonic scanning system showing object movementsInfo
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Abstract
Description
Die Erfindung bezieht sich auf eine Vorrichtung gemäß dem Oberbegriff des Anspruchs 1. Derartige Vorrichtungen werden zum Messen von Positionsänderungen zweier relativ zu einander beweglicher Objekte benötigt. Hierbei kommen insbesondere fotoelektrische, magnetische, induktive oder kapazitive Abtastprinzipien zum Einsatz.The invention relates to a device according to the preamble of claim 1. Such devices are used to measure changes in position relative to two moving objects. In particular, photoelectric, magnetic, inductive or capacitive scanning principles.
Alle Abtastmethoden arbeiten nach dem gleichen Grundprinzip, gemäß dem eine perio dische Meßteilung an einer Abtasteinheit mit Abtastfeldern vorbeigeführt wird und dadurch einzelne Abtastsignale gewonnen werden, die einen periodischen, dreieckähnlichen Ver lauf aufweisen. Das Maximum der Abtastsignale ist erreicht, wenn die Felder der Meß teilung voll den Abtastfeldern der Abtasteinheit gegenüber stehen, während sich das Mini mum einstellt, wenn sich die Felder der Meßteilung in der Lücke zwischen den Abtastfeldern befinden. Die Überlagerung der untereinander phasengleichen Abtast signale ergibt ein dreieckähnliches Summensignal, das einen Rückschluß auf die Relativ bewegung zwischen Meßteilung und Abtasteinheit zuläßt. Die Periode der einzelnen Ab tastsignale und somit auch die Periode des Summensignals hängt von der Periode der Meßteilung ab.All scanning methods work on the same basic principle, according to which a perio Dische measuring graduation is guided past a scanning unit with scanning fields and thereby individual scanning signals are obtained, which a periodic, triangular Ver have run. The maximum of the scanning signals is reached when the fields of the measuring face the scanning fields of the scanning unit while the Mini mum is set if the fields of the measuring division are in the gap between the Scan fields. The superposition of the in-phase samples signals gives a triangle-like sum signal, which is a conclusion on the relative movement between the measuring graduation and the scanning unit. The period of each Ab tactile signals and thus the period of the sum signal depends on the period of Graduation from.
Für viele Meßaufgaben hat ein weitgehend oberwellenfreies sinusförmiges Abtastsignal Vorteile. Es hat daher nicht an Versuchen gefehlt, durch eine zweckmäßige Ausgestaltung der Abtasteinheit einer Sinusform der Abtastsignale möglichst nahe zu kommen. So ist aus der DE 34 12 128 C1 eine Vorrichtung mit einer Abtasteinheit bekannt, deren Abtast felder zur Filterung bis zur N-ten-Oberwelle aus N-Teilfeldern bestehen. Benachbarte Teil felder weisen in Meßrichtung entweder einen konstanten Versatz und eine nach einer Sinusfunktion variierte Breite oder aber einen nach einer Arcus-Sinusfunktion variierten Versatz und eine konstante Breite auf. Jeder Gruppe von Abtastfeldern ist ein Abtast element zugeordnet, wobei Gruppen von Abtastelementen zueinander in Differenz ge schaltet sind. Zur Unterdrückung der Oberwellen bis zum N-ten Grad sind bei dieser Vor richtung 2N Felder erforderlich, wobei die Bandbreite möglichst hoch sein sollte und alle Abtastfelder mit gleichmäßiger Intensität abgefragt, d. h. bei optischen Systemen gleich mäßig ausgeleuchtet, werden müssen. For many measuring tasks it has a largely harmonic-free, sinusoidal scanning signal Benefits. There has been no shortage of attempts, through an appropriate design to come as close as possible to the sampling unit of a sinusoidal shape of the sampling signals. So is DE 34 12 128 C1 discloses a device with a scanning unit, the scanning of which fields for filtering up to the Nth harmonic consist of N subfields. Neighboring part fields have either a constant offset in the measuring direction and one after one Sine function varied width or one varied according to an arc sine function Offset and a constant width. Each group of sample fields is one sample element assigned, groups of scanning elements to each other in difference ge are switched. To suppress the harmonics up to the Nth degree are in front of this direction 2N fields required, the bandwidth should be as high as possible and all Query scanning fields with uniform intensity, d. H. the same for optical systems moderately illuminated.
Diese Forderungen sind in der Praxis nicht erfüllbar, deshalb wird in DE 42 02 560 A1 vor geschlagen, lediglich die Oberwellen der 3. oder 5. Ordnung zu eliminieren. Gemäß dieser Druckschrift sind zur Filterung der 3. Oberwelle drei Abtastfelder vorgesehen, deren Abtastfeldmitten zueinander einen Versatz von 40° aufweisen, d. h. die beiden links und rechts zum mittleren Abtastfeld angeordneten Abtastfelder haben eine um 40° verlängerte Periode. Zum Filtern der 5. Oberwelle sind fünf Abtastfelder vorgesehen, deren Abtast feldmitten einen Versatz von 22° bzw. 62° aufweisen. Die Überlagerung der gegenüber dem mittleren Abtastsignal versetzten Abtastsignale ergibt ein sinusähnliches Summen signal, bei dem die Oberwellen nur "mit hinreichender Qualität" ausgefiltert sind.These requirements cannot be met in practice, which is why DE 42 02 560 A1 beaten to only eliminate 3rd or 5th order harmonics. According to this In the publication, three scanning fields are provided for filtering the 3rd harmonic Scanning field centers have an offset of 40 ° to one another, i. H. the two left and to the right of the central scanning field, the scanning fields are 40 ° longer Period. To filter the 5th harmonic, five scanning fields are provided, their scanning have an offset of 22 ° or 62 ° in the middle of the field. The overlay of the opposite The scanning signals offset from the middle scanning signal result in a sine-like hum signal in which the harmonics are only filtered out "with sufficient quality".
In der DE 44 27 080 A1 wird bemängelt, daß eine Verschiebung der Abtastfeldmitten d. h. der Symmetrieachsen der Abtastfelder um stetig zu- oder abnehmende Beträge dazu führt, daß Signalanteile mit einer größeren Phasendifferenz bei weit auseinander liegenden Abtaststellen erzeugt werden. Hieraus resultierende Nachteile sollen dadurch vermieden werden, daß man Abtastfeld-Verschiebungen verwendet, deren Folge von einer geordneten Reihenfolge abweicht.DE 44 27 080 A1 criticizes that a shift of the scanning field center d. H. the axes of symmetry of the scanning fields by continuously increasing or decreasing amounts leads that signal components with a larger phase difference at far apart lying sampling points are generated. The disadvantages resulting from this are said to be avoid using scanning field shifts, the consequence of in an orderly order.
Während man sich bei den bisher beschriebenen bekannten Vorrichtungen einer Folge von Abtastfeldern bedient, die sich von einem mittleren Abtastfeld nach links und rechts erstrecken und bei denen die Anzahl der Abtastfelder folglich ungerade ist, geht man bei einer aus der EP 0 638 784 A2 bekannten Vorrichtung davon aus, daß sich Oberwellen und ihre ganzzahligen Vielfachen herausfiltern lassen, wenn die Breite der Abtastfelder der Abtasteinheit und der Meßteilung jeweils in definierter Weise von der halben Periode der Meßteilung abweicht, also das Verhältnis Lücke : Steg ≠ 1 ist. Durch diese Maßnahme geht das dreieckähnliche Signal in ein trapezähnliches Signal über, da es jetzt etwas länger dauert, bis die schmaleren Felder die breiteren durchlaufen haben. Für das Trapez gilt die ReihenentwicklungWhile looking at the known devices of a sequence described so far served by scan fields that move from a middle scan field to the left and right extend and where the number of scan fields is consequently odd, one goes with a device known from EP 0 638 784 A2 assume that harmonics and filter out their integer multiples when the width of the scan fields the scanning unit and the measuring division each in a defined manner from half the period deviates from the measuring division, i.e. the ratio gap: web ≠ 1. By this measure the triangle-like signal changes into a trapezoid-like signal because it is now something takes longer until the narrower fields have passed through the wider ones. For the trapeze the series development applies
wobeiin which
den von Null ausgehenden ansteigenden oder abfallenden Teil des Trapezes kennzeichnet. the rising or falling part of the Features trapezes.
Durch geeignete Wahl von ϕ kann der Koeffizient sin nϕ zu Null gemacht und somit die Oberwelle der n-ten Ordnung zum Verschwinden gebracht werden. Nach der Lehre der EP 0 638 784 A2 können jedoch nur zwei Oberwellen eliminiert werden, da zur Variation des Lücke-Steg-Verhältnises nur die Abtasteinheit und die Meßteilung zur Verfügung steht. Von Nachteil ist weiterhin, daß die in der Praxis nicht-parallelen Lichtstrahlen sowie Beugungseffekte an den Gittern zu einer Verfälschung der Abbildung führen. Da sich dadurch das Lücke-Steg-Verhältnis ändert, wird die Filterwirkung eingeschränkt.By a suitable choice of ϕ the coefficient sin nϕ can be made zero and thus the Harmonic of the nth order can be made to disappear. According to the teaching of EP 0 638 784 A2, however, only two harmonics can be eliminated because of the variation of the gap-bridge ratio, only the scanning unit and the measuring division are available stands. Another disadvantage is that the non-parallel light rays in practice as well Diffraction effects on the gratings lead to a distortion of the image. That I thereby changing the gap-land ratio, the filter effect is restricted.
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, eine Vorrichtung der in Betracht gezogenen Gattung zu schaffen, die bei einfachem Aufbau ein zumindest annähernd sinusförmiges Abtastsignal liefert, das frei von Oberwellen mindestens der n-ten Ordnung ist.The invention has for its object a device of the considered To create genus, which with a simple structure an at least approximately sinusoidal Provides scanning signal that is free of harmonics of at least the nth order.
Diese Auf gabe wird erfindungsgemäß durch die Lehre des Anspruches 1 gelöst. Vorteilhafte Weiter bildungen der Erfindung ergeben sich aus den Unteransprüchen.This on gift is solved according to the invention by the teaching of claim 1. Advantageous Next Formations of the invention emerge from the subclaims.
Die Erfindung wird im folgenden anhand der beigefügten Zeichnungen näher erläutert. Es zeigen:The invention is explained in more detail below with reference to the accompanying drawings. Show it:
Fig. 1 eine aus zwei Abtastfeldern bestehende Abtasteinheit, Fig. 1 is a scanning unit consisting of two scanning fields,
Fig. 2 die Überlagerung von zwei dreieckförmigen Abtastsignalen und die noch im Summensignal verbliebenen Oberwellen, Fig. 2 shows the superposition of two triangular shaped scanning signals, and the still remaining in the sum signal harmonics,
Fig. 3 eine aus zwei Gruppen von Abtastfeldern bestehende Abtasteinheit, Fig. 3 is a composed of two groups of scanning fields scanning unit,
Fig. 4 eine aus vier Abtastfeldern bestehende Abtasteinheit, Fig. 4 is a scanning unit consisting of four scanning fields,
Fig. 5 die Überlagerung von vier dreieckförmigen Abtastsignalen und die noch im Summensignal verbliebenen Oberwellen, Fig. 5, the superposition of four triangular scanning signals and the still remaining in the sum signal harmonics
Fig. 6 eine aus acht Abtastfeldern bestehende Abtasteinheit, Fig. 6 is a scanning fields consisting of eight scanning unit,
Fig. 7 die Überlagerung von acht dreieckförmigen Abtastsignalen und die noch im Summensignal verbliebenen Oberwellen, Fig. 7 shows the superposition of eight triangular scanning signals and the still remaining in the sum signal harmonics,
Fig. 8 die Überlagerung von 16 dreieckförmigen Abtastsignalen. Fig. 8 shows the superposition of 16 triangular scanning signals.
In Fig. 1, Version A, weisen die von den Mitten der Abtastfelder A₁ und A₂ der Abtast einheit T gebildeten Symmetrieachsen S₁ und S₂ gegenüber der halben Periode π der Meßteilung M eine verkürzte halbe PeriodeIn Fig. 1, version A, the symmetry axes S₁ and S₂ formed by the centers of the scanning fields A₁ and A₂ of the scanning unit T with respect to half the period π of the measuring graduation M have a shortened half period
auf. Dies hat zur Folge, daß die Abtastfelder A₁ und A₂ Abtastsignale D₁ und D₂ liefern, die gegenüber einem Abtastsignal, das von Abtastfeldern ohne verkürzte Periode geliefert werden würde, den Phasenversatzon. The result of this is that the scanning fields A₁ and A₂ deliver scanning signals D₁ and D₂, compared to a scan signal provided by scan fields with no shortened period would be the phase shift
haben, wobei das Vorzeichen des Phasenversatzes von der Bewegungsrichtung der Meßteilung M gegenüber der Ab tasteinheit T abhängt.have the sign of the phase offset from the direction of movement of the measuring division M with respect to the Ab probe unit T depends.
Da der dreieckförmige Verlauf der Abtastsignale D₁, D₂ mit der ReihenentwicklungSince the triangular shape of the scanning signals D₁, D₂ with the series development
beschrieben werden kann, die aus der Reihenentwicklung des Trapezes mitcan be described from the series development of the trapeze with
hervorgeht, bedeutet ein Phasenversatz vonresults in a phase shift of
für die in den Abtast signalen D₁ bzw. D₂ enthaltene n-te Oberwelle cos nx einen Phasenversatz vonfor those in the scan signals D₁ or D₂ contained nth harmonic cos nx a phase shift of
Bei der Überlagerung der Abtastsignale D₁ und D₂ zu einem Summensignal löschen sich die n-ten Oberwellen gegenseitig aus, da ihr Phasenabstand π ist, sie also gegenphasig zueinander sind. Im Summensignal ist die n-te Oberwelle nicht mehr enthalten. Fig. 2 zeigt die Verhältnisse für n = 3, also die 3. Oberwelle. Im Summensignal ist die 9. Ober welle ebenfalls eliminiert, da die in den Abtastsignalen D₁ und D₂ enthaltenen 9. Ober wellen als ganzzahliges Vielfaches der 3. Oberwellen umWhen the scanning signals D 1 and D 2 are superimposed to form a sum signal, the nth harmonics cancel each other out because their phase spacing is π, that is to say they are in phase opposition to one another. The nth harmonic is no longer contained in the sum signal. Fig. 2 shows the conditions for n = 3, that is the 3rd harmonic. In the sum signal, the 9th harmonic wave is also eliminated, since the 9th harmonic waves contained in the scanning signals D₁ and D₂ as an integral multiple of the 3rd harmonic wave
verschoben sind, sie also zueinander einen Phasenabstand 3 π haben, was Gegen phasigkeit und damit Auslöschung bedeutet. are shifted, that is to say they have a phase spacing of 3π, which is opposite phase and therefore extinction.
Die Beseitigung der 3. und 9. Oberwelle findet in gleicher Weise statt, wenn die Periode der Abtastfelder A₁, A₂ nicht verkürzt, sondern verlängert wird, Fig. 1, Version B. Die Abtastsignale D₁ und D₂ vertauschen dadurch lediglich ihre Phasenlage miteinander, was auf das Ergebnis ohne Einfluß ist. Für den Abstand zwischen den von den Mitten der Abtastfelder A₁, A₂ gebildeten Symmetrieachsen S₁ und S₂ gilt deshalb zur Beseitigung der n-ten OberwelleThe elimination of the 3rd and 9th harmonic takes place in the same way if the period of the scanning fields A₁, A₂ is not shortened but extended, Fig. 1, version B. The scanning signals D₁ and D₂ thereby only swap their phase position with one another, what has no influence on the result. For the distance between the symmetry axes S₁ and S₂ formed by the centers of the scanning fields A₁ and S₂ therefore applies to eliminating the nth harmonic
Die Abtastfelder A₁, A₂ können jeweils auch eine Gruppe A₁′ bzw. A₂′ von q 1 Abtastfeldern sein, Fig. 3. In Analogie zur Mitte der einzelnen Abtastfelder hat jede Gruppe A₁′, A₂′ eine Symmetrieachse S₁ bzw. S₂. Weisen die Symmetrieachsen zu einander den AbstandThe scanning fields A₁, A₂ can also be a group A₁ 'or A₂' of q 1 scanning fields, Fig. 3. In analogy to the center of the individual scanning fields, each group A₁ ', A₂' has an axis of symmetry S₁ or S₂. If the axes of symmetry are spaced from each other
auf, so wird die n-te Oberwelle eliminiert. m legt den Abstand zwischen den Symmetrie achsen S₁ und S₂ der Abtastfelder A₁, A₂ bzw. der Gruppen A₁′, A₂′ als Vielfaches von 2 π fest, hat also keinen Einfluß auf die Phasenlage der einzelnen Abtastsignale.on, the nth harmonic is eliminated. m sets the distance between the symmetry axes S₁ and S₂ of the scanning fields A₁, A₂ or the groups A₁ ', A₂' as multiples of 2 π fixed, so it has no influence on the phase position of the individual scanning signals.
Die Anwendung dieses Prinzips zur Beseitigung der 3. und 5. Oberwelle zeigt Fig. 4. Die von den Mitten der Abtastfelder A₁, A₂ gebildeten Symmetrieachsen S₁ und S₂ haben jeweils den AbstandThe application of this principle for eliminating the 3rd and 5th harmonic is shown in Fig. 4. The symmetry axes S₁ and S₂ formed by the centers of the scanning fields A₁, A₂ each have the distance
zueinander, damit jeweils die 3. Oberwelle beseitigt wird. Zwei Abtastfelder A₁, A₂ bilden jeweils eine Gruppe A₁₁ und A₁₂ mit der jeweils mittig zwischen A₁ und A₂ im Abstand a liegenden Symmetrieachse S₁₁ bzw. S₁₂. Ist zwischen den beiden Symmetrieachsen S₁₁ und S₁₂ der Abstandto each other, so that the 3rd harmonic is eliminated. Form two scanning fields A₁, A₂ each have a group A₁₁ and A₁₂, each centered between A₁ and A₂ at a distance lying axis of symmetry S₁₁ or S₁₂. Is S₁₁ between the two axes of symmetry and S₁₂ the distance
so wird die 5. Oberwelle beseitigt. Im Summensignal sind die 3., 5. und 9. Oberwelle somit nicht mehr enthalten, Fig. 5. so the 5th harmonic is eliminated. The 3rd, 5th and 9th harmonic are therefore no longer contained in the sum signal, FIG. 5.
Zur Beseitigung der 7. Oberwelle kann dieses Prinzip erneut angewandt werden, Fig. 6. Die Gruppen A₁₁, A₁₂ werden ein weiteres Mal angeordnet und jeweils zu einer überge ordneten Gruppe A₂₁ und A₂₂ zusammengefaßt.To eliminate the 7th harmonic this principle can be applied again, Fig. 6. The groups A₁₁, A₁₂ are arranged one more time and combined to form a superordinate group A₂₁ and A₂₂.
Jeweils mittig zwischen den Gruppen A₁₁, A₁₂ im Abstand b befindet sich die Symmetrie achse S₂₁ bzw. S₂₂ der übergeordneten Gruppe A₂₁ bzw. A₂₂. Ist zwischen den beiden Symmetrieachsen S₂₁ und S₂₂ der AbstandThe symmetry is located in the middle between the groups A₁₁, A₁₂ at distance b axis S₂₁ or S₂₂ of the parent group A₂₁ or A₂₂. Is between the two Axis of symmetry S₂₁ and S₂₂ the distance
so wird auch die 7. Oberwelle beseitigt. Im Summensignal sind die 3., 5., 7. und 9. Ober welle nicht mehr enthalten, Fig. 7.this also eliminates the 7th harmonic. The 3rd, 5th, 7th and 9th harmonic waves are no longer contained in the sum signal, FIG. 7.
Nach dem gleichen Prinzip kann die noch verbliebene 11. Oberwelle beseitigt werden, indem die in Fig. 6 gezeigten übergeordneten Gruppen A₂₁, A₂₂ ein zweites Mal ange ordnet und zwischen den zwei Symmetrieachsen S₃₁ und S₃₂ (nicht gezeichnet) der noch höheren Gruppen der AbstandAccording to the same principle, the remaining 11th harmonic can be eliminated by arranging the parent groups A₂₁, A₂₂ shown in FIG. 6 a second time and between the two axes of symmetry S₃₁ and S₃₂ (not shown) of the even higher groups of distance
eingehalten wird. Im Summensignal sind die 3., 5., 7., 9. und 11. Oberwelle nicht mehr enthalten, Fig. 8. Auf gleiche Weise können weitere Oberwellen, sofern erforderlich, be seitigt werden, wobei sich mit jeder Oberwelle die Anzahl der Abtastfelder bzw. Abtast gruppen verdoppelt.is observed. In the sum signal, the 3rd, 5th, 7th, 9th and 11th harmonic are no longer included, Fig. 8. In the same way, further harmonics can be eliminated if necessary, with the harmonic number of the scanning fields or sampling groups doubled.
Die Breite der Abtastfelder kann, wie allgemein üblich, der halben Periode π der Meß teilung entsprechen. Dies ist nicht zwingend. Wird, wie weiter oben ausgeführt, die Breite schmaler oder auch breiter als π gemacht, so erhalten die Abtastsignale einen trapez förmigen Verlauf. Hierdurch wird zwar die Amplitude der einzelnen Oberwellen beeinflußt, der Oberwellengehalt ist aber unverändert. Da die Oberwellen, wie beschrieben, unab hängig von der Höhe der Amplituden nach dem Prinzip der Gegenphasigkeit beseitigt werden, ist eine von π abweichende Breite der Abtastfelder ohne Einfluß.The width of the scanning fields can, as is customary, half the period π of the measurement division. This is not mandatory. As explained above, the width made narrower or wider than π, the scanning signals receive a trapezoid shaped course. Although this affects the amplitude of the individual harmonics, however, the harmonic content is unchanged. Since the harmonics, as described, are independent depending on the level of the amplitudes eliminated according to the principle of antiphase width of the scanning fields deviating from π has no influence.
Claims (3)
daß die Abtasteinheit (T) mindestens zwei Gruppen (A₁₁, A₁₂) mit jeweils mindestens zwei Abtastfeldern (A₁, A₂) aufweist,
daß der Abstand zwischen den Symmetrieachsen (S₁, S₂) der Abtastfelder (A₁, A₂) der jeweiligen Gruppe (A₁₁, A₁₂) ungleich dem Abstand zwischen den Symmetrieachsen (S₁₁, S₁₂) der Gruppen (A₁₁, A₁₂) ist, und daß die Abstände betragen mitn = 3 oder 5 oder 7 oder 11 . . . und m = O oder 1 oder 2 . . . (Fig. 4).2. Device according to claim 1 for obtaining a sinusoidal signal free of harmonics at least up to the nth order, characterized in that
that the scanning unit (T) has at least two groups (A₁₁, A₁₂), each with at least two scanning fields (A₁, A₂),
that the distance between the axes of symmetry (S₁, S₂) of the scanning fields (A₁, A₂) of the respective group (A₁₁, A₁₂) is not equal to the distance between the axes of symmetry (S₁₁, S₁₂) of the groups (A₁₁, A₁₂), and that the distances with n = 3 or 5 or 7 or 11. . . and m = O or 1 or 2. . . ( Fig. 4).
daß die Abtasteinheit (T) mindestens vier Gruppen (A₁₁, A₁₂) mit jeweils mindestens zwei Abtastfeldern (A₁, A₂) aufweist,
daß jeweils zwei Gruppen (A₁₁, A₁₂) eine übergeordnete Gruppe (A₂₁, A₂₂) mit einer neuen Symmetrieachse (S₂₁, S₂₂) bilden,
daß die Abstände zwischen den Symmetrieachsen (S₁, S₂) der Abtastfelder (A₁, A₂), die Abstände zwischen den Symmetrieachsen (S₁₁, S₁₂) der Gruppen (A₁₁, A₁₂) und die Abstände zwischen den Symmetrieachsen (S₂₁, S₂₂) der über geordneten Gruppen (A₂₁, A₂₂) sämtlich ungleich zueinander sind und daß die Abstände betragen mitn = 3 oder 5 oder 7 oder 11 . . . und in = 0 oder 1 oder 2 . . . (Fig. 6).3. Device according to claim 2, characterized in
that the scanning unit (T) has at least four groups (A₁₁, A₁₂), each with at least two scanning fields (A₁, A₂),
that two groups (A₁₁, A₁₂) form a superordinate group (A₂₁, A₂₂) with a new axis of symmetry (S₂₁, S₂₂),
that the distances between the axes of symmetry (S₁, S₂) of the scanning fields (A₁, A₂), the distances between the axes of symmetry (S₁₁, S₁₂) of the groups (A₁₁, A₁₂) and the distances between the axes of symmetry (S₂₁, S₂₂) of the parent Groups (A₂₁, A₂₂) are all unequal to each other and that the distances with n = 3 or 5 or 7 or 11. . . and in = 0 or 1 or 2. . . ( Fig. 6).
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