DE1920977A1

DE1920977A1 - Slide rule for calculating with hyperbolic functions

Info

Publication number: DE1920977A1
Application number: DE19691920977
Authority: DE
Inventors: Jaeger Dipl-Ing Rolf
Original assignee: Dennert and Pape Aristowerke KG
Current assignee: Dennert and Pape Aristowerke KG
Priority date: 1969-04-24
Filing date: 1969-04-24
Publication date: 1970-10-29

Description

Rechenstab für das Rechnen mit hyperbolischen Funktionen.Slide rule for calculating with hyperbolic functions.

Die Erfindung betrifft einen Rechenstab für das Rechnen mit hyperbolischen Funktionen, mit mindestens einer Grundskala und mindestens einer der Grundskala zugeordneten und gegenüber dieser unverschiebbar angeordneten Sinus-Hyperbolicus-Skala für das Aufsuchen des Arguments eines dann an der Grundskala, ablesbaren sinh-Wertes. The invention relates to a slide rule for calculating with hyperbolic Functions, with at least one basic scale and at least one of the basic scale assigned and opposite this immovably arranged hyperbolic sine scale for looking up the argument of a sinh value that can then be read on the basic scale.

Es ist bekannt, Rechenstäbe für das Rechnen mit hyperbolischen Funktionen mit Skalen auszurüsten, die das Ablesen des Sinus-Hyperbolicus bzw. des Tangens-Hyperbolicus an der Grundskala zu einem an den betreffenden Skalen eingestellten Argument ermöglichen. Der Cosinus-Hyperbolicus muß bei diesen Rechenstäben jedoch umständlich berechnet werden. Die Erfindung zielt darauf ab. einen Rechenstab der genannten Art so auszubilden, daß auch der Cosinus-Hyperbolicus direkt ablesbar ist, wobei jedoch gleichzeitig auch die Vielseitigkeit des Rechenstabes für Rechnungen allgemeiner Art gesteigert werden soll. It is known, slide rules for calculating with hyperbolic functions Equip with scales that allow reading of the hyperbolic sine resp. of the hyperbolic tangent on the base scale to one set on the relevant scales Enable argument. However, the hyperbolic cosine must be used for these calculation rods cumbersome to be calculated. The invention aims to do this. a slide rule of the called type in such a way that the hyperbolic cosine can also be read directly is, but at the same time also the versatility of the slide rule for calculations general kind should be increased.

Dies wird erfindungsgemäß bei einem Rechenstab der genannten Art dadurch erreicht, daß der Grundskala und der Sinus-Hyperbolicus-Skala zugeordnet und gegenüber diesen Skalen unverschiebbar angeordnet eine Skala der Funktion vorgesehen ist für das Ablesen des cosh-Wertes eines an der Sinus-Hyperbolicus-Skala eingestellten Arguments.According to the invention, this is achieved with a slide rule of the type mentioned in that a scale of the function is assigned to the basic scale and the hyperbolic sine scale and arranged immovably with respect to these scales is intended for reading the cosh value of an argument set on the hyperbolic sine scale.

In technisch-räumlicher Ausdrucksweise lassen sich diese Aussagen über den Funktionsinhalt der erfindungsgemäß vorzusehenden Skalen auch ausdrücken durch Angaben über die gegenseitigen Abstände der Teilungsstriche: Bei der Grundskala ändern sich die Abstände der Teilungsstrichkentsprechend der Funktion ig x, und die ganze Skalenlänge umfaßt eine Dekade der Werte von x, wobei es gleichgültig ist, in welcher Dekade die Werte von x liegen 3ei der Sinus-Hyperbolicus-Skala ändern sich die Abstände der Tedlungsstriche nach der Funktion lg(arsinh x) und bei der Skala der Funktior nach dem Gesetz lg In diesem Fall hängt der Abstand der Teilungsstriche außerdem noch von der gewählten Dekade der Werte von x ab. Die gegenseitige Zuordnung der Skalen bedeutet eine solche räumliche Anordnung der Skalen, daß die Teilungsstriche der einander zugeordneten Skalen, die denselben Werten von z entsprechen, insbesondere Skalenanfang und -ende, lotrecht übereinander liegen.In technical-spatial expression, these statements about the functional content of the scales to be provided according to the invention can also be expressed by information about the mutual spacing of the graduation marks: In the basic scale, the distances between the graduation marks change according to the function ig x, and the entire scale length comprises a decade of values of x, whereby it does not matter in which decade the values of x are located. On the hyperbolic sine scale, the spacing of the lines changes according to the function lg (arsinh x) and on the scale of the functor according to the law lg In this case, the distance between the division lines also depends on the selected decade of values for x. The mutual assignment of the scales means such a spatial arrangement of the scales that the graduation lines of the scales assigned to one another, which correspond to the same values of z, in particular the beginning and end of the scale, are perpendicular to one another.

Diese Ausbildung des Rechenschiebe ermöglicht es einerseits, zu einem an der Sinus4Hyperbolicus-Skala eingestellten Argument nicht nur an der Brtmdskala den sinh-Wert, sondern an der zusätzlichen Skala auch den cosh-Wert abzulesen gemäß der Beziehung cosh x = Andererseits aber werden durch diese zusätzliche Skala die Funktion y = selbst bzw. ihre Umkehrfunktion x = die beide bei bestimmten Berechnungen häufig vorkommen, für die direkte Ablesung zur Verfügung gestellt. Es wird daher durch die Anordnung einer einzigen zusätzlichen Skala eine Verbesserung des Gebrauchswertes dna Rechenstabes in zweifacher Hinsioht erzielt.This design of the slide rule makes it possible on the one hand not only to read the sinh value on the Brtmdscale for an argument set on the Sinus4Hyperbolicus scale, but also to read off the cosh value on the additional scale according to the relationship cosh x = On the other hand, the function y = itself or its inverse function x = both of which occur frequently in certain calculations, are made available for direct reading. By arranging a single additional scale, an improvement in the utility value of the slide rule is achieved in two respects.

Eine andere Möglichkeit, den Cosinus-Hyperbolicus direkt ablesbar zu machen, welche erfindungsgemäß vorzugsweise in Kombination mit der erstgenannten Möglichkeit vorgesehen wird, besteht darin, daß der Grundskala zugeordnet und gegenüber dieser unverschiebbar angeordnet eine Cosinus-Hyperbolicus-Skala vorgesehen ist, bei der die Abstände der Teilungsstriche sich nach der Funktion lg (arcosh x) ändern, für das Aufsuchen des Arguments eines dann an der Grundskala abzulesen den cosh-Wertes. Another possibility to read the hyperbolic cosine directly to make which, according to the invention, preferably in combination with the former Possibility is provided, is that the basic scale assigned and opposite this immovably arranged a cosine hyperbolic scale is provided, in which the distances between the graduation lines change according to the function lg (arcosh x), to look for the argument of a then read off the cosh value on the basic scale.

Die Skalen für sinn, cosh bzw. The scales for sinn, cosh or

gelten jeweils nur für eine Dekade der Grundskala. Besonders vorteilhaft ist es, eine Sinus-Hyperbolicus-Skala und eine Skala der Funktion so auszubilden, daß sie der Dekade der x-Werte zwisich schen 0,1 und 1 entsprechen, mit anderen Worten, daß die Abstände ihrer Teilungsstriche entsprechend den Funktionen lg (arsinh x) bzw. Ig wobei x zwischen 0,1 und 1 liegt, ändern.are only valid for one decade of the basic scale. It is particularly advantageous to have a hyperbolic sine scale and a function scale in such a way that they correspond to the decade of the x values between 0.1 and 1, in other words that the distances between their graduation lines correspond to the functions Ig (arsinh x) and Ig where x is between 0.1 and 1, change.

Bei dieser Skalenanordnung hat die erfindungsgemäße Anbringung der Skala der Funktion außer dem bereits genannten Vorteil, sowohl eine Ablesung dieser Funktion als auch des Cosinus Hyperbolicus zu ermöglichen, den weiteren und überraschenden Vorteil, daß sie in dem genannten Zahlenbereich eine maximal genaue Ablesung des Cosinus Hyperbolious ermöglicht, was nachstehend noch erläutert wird. Vorzugsweise sind zwei Paare von einander zugeordneten Skalen der Funktionen sich x und vorgesehen, wobei das eine Skalenpaar für die x-Werte in der Dekade zwischen 1 und 10 und das andere Skalenpaar für die x-Werte in der Dekade zwischen 0,1 und1 vorgesehen ist.In this scale arrangement, the inventive attachment of the scale has the function In addition to the already mentioned advantage of enabling both this function and the hyperbolic cosine to be read, the further and surprising advantage that it enables the hyperbolic cosine to be read as accurately as possible in the stated range of numbers, which will be explained below. Preferably two pairs of scales of the functions x and each other assigned to one another are provided, one pair of scales being provided for the x values in the decade between 1 and 10 and the other pair of scales being provided for the x values in the decade between 0.1 and 1.

Vorzugsweise wird die Skalenanordnung so getroffen, daß die bzw. jede Sinus-Hyperbolicus-Skala unmittelbar neben der zugehörigen Skala der Funktion angeordnet ist.The scale arrangement is preferably made such that the or each hyperbolic sine scale is immediately adjacent to the associated scale of the function is arranged.

Bei Anbringung einer Cosinus-Hyperbolicus-Skala wird diese vorteilhafterweise unmittelbar neben der Sinus-Hyperbolicus-Skala und insbesondere zwischen dieser und der Grundskala angeordnet. If a hyperbolic cosine scale is attached, this is advantageous right next to the hyperbolic sine scale and especially between it and the basic scale.

Alle Skalen der Hyperbi-Funktionen werden vorteilhafterweise auf dem Körper des Rechenstabes angeordnet. All scales of the Hyperbi functions are advantageously based on arranged on the body of the slide rule.

Eine Ausfühnüngsform der Erfindung ist in der Zeichnung beispieSweise dargestellt. Die Zeichnung zeigt die Vorderieite (oben ) und die Rückseite (unten eines Zweiseiten-Reehenstabes, der aus zwei Körperleisten 1, 2, die durch Stege 4,5 starr miteinander verbunden sind, sowie der an den Körperleisten verschiebbar geführten Zunge 3 besteht. Der übliche, auf dem Körper verschiebbare durchsichtige Läufer mit Strichmarke ist mit 6 bezeichnet. One embodiment of the invention is shown in the drawing, for example shown. The drawing shows the front (top) and the back (bottom a two-sided reehenstab, which consists of two body strips 1, 2, which are through webs 4.5 are rigidly connected to each other, as well as the slidable on the body strips guided tongue 3 consists. The usual one on the Body slidable transparent runner with a line mark is denoted by 6.

Die Vorderseite des dargestellten Rechenstabes weist eine besonders für das Rechnen mit e-Funktionen geeignete Skalenanordnung auf, wobei beiderseits der unteren Trennfuge zwischen Zunge und Körper die Grundskalen C und D und beiderseits der oberen Trennfuge zwischen Zunge und Körper die um jrversetzten Grundskalen CF und DF angeordnet sind, die obere Körperleiste von oben nach unten die Skalen LLoo für e-0,001x, LLo1 für e 0,01x, für für e-0,1x und LL03 für e-x aufweist, die untere Körperleiste in analoger Weise von oben nach unten die Skalen für LL3 für eX, LL2 für e a x, LL1 für eOiOlX und LL0 für e0,001x trägt, und auf der Zunge unmittelbar neben der Grundskala C und der um t versetzten Grundskala CF jeweils die zugehörige Reziprokskala CI Tür x bzw. CIF für 1 und x zwischen diesen noch die Skala L für lg x angeordnet sind. The front of the slide rule shown has a special one suitable scale arrangement for calculating with e-functions, with both sides the lower parting line between tongue and body the basic scales C and D and on both sides of the upper parting line between tongue and body, the basic scales CF offset by jr and DF are arranged, the upper body bar from top to bottom the scales LLoo for e-0.001x, LLo1 for e 0.01x, for for e-0.1x and LL03 for e-x, the lower one Body bar in an analogous manner from top to bottom the scales for LL3 for eX, LL2 for e a x, LL1 for eOiOlX and LL0 for e0.001x, and immediately on the tongue in addition to the basic scale C and the basic scale CF offset by t, the associated Reciprocal scale CI door x or CIF for 1 and x between these also the scale L for lg x are arranged.

Auf diese Anordnung an sich bekannter Skalen braucht im einzelnen nicht näher eingegangen zu werden.This arrangement of known scales needs in detail not to be discussed in more detail.

Die Rückseite des Rechenstabes weist ebenfalls an sich bekannte- Skalen auf, nämlich beiderseits der unteren Trennfuge zwischen Zunge und Körper die Grundskalen C und D , beiderseits der oberen Trennfuge die beiden Quadratskalen A und B für X X auf der oberen Körperleiste die Skala K für x und auf der unteren Körperleiste die Skala DI für x sowie auf der Zunsowie ge zwischen den Skalen B und C von oben nach unten die Skala T für das Winkelargument des trigonometrischen Tangens und Kotangens, die Skala ST für das Winkelargument des Kreisbogens, die Skala S für das Winkelargument des trigonometrischen Sinus und Kosinus, sowie die Skala P für die Funktion Sechs weitere Skalen sind für das Rechnen mit hyperbolischen Funktionen vorgesehen. Dem Wertebereich der Grundskala 1#x#10 sind die Skalen Sh2 für das Argument des Sinus Bpperbolicus, die Skala Ch für das Argument des Cosinus Hyperbolicus und die Skala H2 für die Funktion zugeordnet. Für ein auf der Skala Sh2 eingestelltes ArgKument (z.B. 2) findet man in der Grundskala D den Sinus Hyperbolicus (z.B. sich 2 = ),65), ebenso zu einem in der Ch-Skala eingestellten Argument (z.B. 2) in der Grundskala D den Cosinus Hyperbolicus (z.B. cosh 2 = 3,76). Außerdem hat man für die Ablesung des Kosinus-Hyperbolicus eine weitere Möglichkeit, indem man an dem in der Skala S82 eingestellten Argument (z.B. 2) ausgeht und in der Skala H2 den zugehörigen Cosinus Hyperbolicus (z.B. cosh 2.= 3,76) abliest. In der Nåhe des linken Skalenendes ist die Ablesung des Cosinus Hyperbolicus mittels der Skalen Sh 2 und H2 etwas genauer als mittels der Skalen Ch und D.The back of the slide rule also has known scales, namely on both sides of the lower parting line between tongue and body the basic scales C and D, on both sides of the upper parting line the two square scales A and B for XX on the upper body bar the scale K for x and on the lower body bar the DI scale for x and on the taper and ge between the scales B and C from top to bottom the scale T for the angular unit of the trigonometric tangent and cotangent, the scale ST for the angular unit of the arc, the scale S for the Angle unit of the trigonometric sine and cosine, as well as the scale P for the function Six additional scales are provided for calculating with hyperbolic functions. The range of values of the basic scale 1 # x # 10 are the scales Sh2 for the argument of the sine Bpperbolicus, the scale Ch for the argument of the cosine hyperbolicus and the scale H2 for the function assigned. For an argument set on the Sh2 scale (e.g. 2), the hyperbolic sine is found in the basic scale D (e.g. 2 =), 65), as is the case for an argument set in the Ch scale (e.g. 2) in the basic scale D den Hyperbolic cosine (e.g. cosh 2 = 3.76). There is also another option for reading the hyperbolic cosine by starting with the argument set in scale S82 (e.g. 2) and reading the associated hyperbolic cosine (e.g. cosh 2. = 3.76) in scale H2. Near the left end of the scale, reading the hyperbolic cosine using the Sh 2 and H2 scales is somewhat more accurate than using the Ch and D.

Die Skala H2 bietet außerdem, unabhängig vom Rechnen mit Hyperbel-Funktionen, die Möglichkeit, direkt die Funktion bzw. umgekehrt die Funktion x = abzulesen, ebenfalls im Wertebereich der Grundskala zwischen 1 und 10. Auch die Skalen Sh2 und CH können natürlich für die umgkehrte Ablesung dienen, indem man an der Grundskala D einen Ausgangswert (z.B. 3) einstellt und dann an der Skala Sh 2 den zugehörigen Area-Sinus-Hyperbolicus (z.B. arsinh 3 = 1;82) bzw.The scale H2 also offers the possibility of using the function directly, independently of calculating with hyperbolic functions or vice versa the function x = can also be read off, also in the value range of the basic scale between 1 and 10. The scales Sh2 and CH can of course also be used for the reverse reading by setting an initial value (e.g. 3) on the basic scale D and then setting the associated area on the Sh 2 scale. Hyperbolic sine (e.g. arsinh 3 = 1; 82) or

an der Skala Ch den Area-Cosinus-Hyperbolicus (z.B.arcosh 3 = 1,76) abliest. Da die Skalen Sh2 und Ch zur Grundskala D, bei der die Abstände der Teilungsstriche sich gemäß der Funktion ig x ändern, im Verhältnis Area-Sinus-Hyperbolicus bzw. Area-Cosinus-Hyperbolicus stehen, ändern sich bei diesen Funktionen die Abstände der Teilungsstriche gemäß den Funktionen lg (arsinh x) bzw. lg (arcosh x).on the Ch scale, the hyperbolic area cosine (e.g. arcosh 3 = 1.76) reads. Since the scales Sh2 and Ch to the basic scale D, in which the distances between the graduation lines change according to the function ig x, in the area-sine-hyperbolic or Area-cosine hyperbolic are, the distances change for these functions the division lines according to the functions lg (arsinh x) or lg (arcosh x).

Dem Wertebereich der Grundskala 0,1 = x = 1 sind die Skalen Th für das Argument des Tangens-Hyperbolicus, Shl für das Argument des Sinus Hyperbolicus und H1 für die Funktion zugeordnet. Zu einem an der Skala Th oder der Skala Sh 1 eingestellten Argument (z.B. 0,4) findet man in der Grundskala D den zugehörigen Tangens-Hyperbolicus bzw. Sinus-Hyperbolicus-Wert (tanh 0,4 = 0,380 bzw. sinn 0,4 = 0,411).The range of values of the basic scale 0.1 = x = 1 are the scales Th for the argument of the hyperbolic tangent, Shl for the argument of the hyperbolic sine and H1 for the function assigned. For an argument set on the Th or Sh 1 scale (e.g. 0.4), the associated hyperbolic tangent or hyperbolic sine value is found in the basic scale D (tanh 0.4 = 0.380 or meaning 0.4 = 0.411).

Ferner kann man zu einem an der Skala Sh1 eingestellten Argument (z.B. 0>4) in der Skala H1 den Cosinus Hyperbolicus (z.B. cosh OJ4 = 1,081) ablesen. Diese Ablesemöglichkeit für den Cosinus Hyperbolicus ist wesentlich genauer als eine etwa durch Anbringung einer der Skala Shl entsprechenden Ch-Skala ermöglichte Ablesung auf der Grundskala: Da sich im Bereich der Argumente zwischen 0,1 und 1 der Cosinus Hyperbolicus nur zwischen 1, 005 und 1,5 ändert, stünde auf der Grundskala hierfür nur der entsprechende Bereich der x-Werte zur Verfügung, der etwa 1/7 der gesamten Skalenlänge ausmacht; Bei der arfindungsgemäß gegebenen Ablesemöglichkeit mittels der Skala steht dagegen für die Cosinus-Hyperbolicus-Werte von 1,005 bis 1>5 die gesamte Basislänge des Rechenstabes zur Verfügung, was eine etwa 7-fache Ablesegenauigkeit bedeutet Für Argumente, die kleiner als 0,1 bzw. größer als 10 sind, sind besondere Skalen der hyperbolischen Funktionen nicht erforderlich, da im ersten Fall im Rahmen der bei einem Rechenstab gegebenen Ablesegenauigkeit cosh 1 = 1 und sinh x = tanh x = x gesetzt werden können, während für x # 10 mit hinreichender Genauigkeit cosh x = sich x = x 1/2 ex soWie tanh x - 1 gilt.Furthermore, for an argument set on the Sh1 scale (e.g. 0> 4), the hyperbolic cosine (e.g. cosh OJ4 = 1.081) can be read on the H1 scale. This reading option for the hyperbolic cosine is much more accurate than a reading made possible by attaching a Ch scale corresponding to the Shl scale: Since in the range of the arguments between 0.1 and 1 the hyperbolic cosine is only between 1.005 and 1 , 5 changes, only the corresponding range of x-values would be available on the basic scale, which makes up about 1/7 of the entire length of the scale; With the possibility of reading according to the invention by means of the scale on the other hand, the entire base length of the slide rule is available for the hyperbolic cosine values from 1.005 to 1> 5, which means about 7 times the reading accuracy. Arguments that are smaller than 0.1 or larger than 10 are special scales of the hyperbolic functions is not necessary, since in the first case cosh 1 = 1 and sinh x = tanh x = x can be set within the framework of the reading accuracy given with a slide rule, while for x # 10 cosh x = x = x 1 with sufficient accuracy / 2 ex as well as tanh x - 1 applies.

Claims

Slide rule for calculating with hyperbolic functions, with at least one basic scale and at least one of the basic scale assigned and in relation to this immovable sine hyperbolic scale for finding the argument of a sinh value then readable on the basic scale, characterized by the fact that the basic scale (D) and the hyperbolic sine scale (Shl or Sh2) and a scale (H1 or H2) of the function arranged in such a way that they cannot be moved is provided for reading the cosh value of an argument set on the hyperbolic sine scale.

2 slide rule, in particular according to claim 1, characterized g e k e n n -z e i c h n e t that it is assigned to the basic scale (D) and cannot be moved in relation to this arranged a cosine hyperbolic scale (Ch) is provided, in which the distances the division lines change according to the function lg (arcosh x) for searching the argument of a cosh value then to be read on the basic scale.

3. slide rule according to claim 1 or 2, characterized in that a hyperbolic sine scale (Sh 1) and a scale (H1) of the function are designed so that they correspond to the decade of x values between 0.1 and 1.

4. slide rule according to claim 1 or 2, characterized in that two associated pairs of scales of the functions x and are provided, one pair of scales (Sh 1, Hl) being provided for the x values in the decade between 0.1 and 1 and the other pair of scales (Sh2, H2) for the x values in the decade between 1 and io .

5. Slide rule according to one of claims 1 to 4, characterized in that each hyperbolic sine scale (Shl, Sh2) is immediately adjacent to the assigned scale (H1 or H2) of the function is arranged.

6. slide rule according to claim 2, characterized in that g e k e n n z e i c h n e t, that the hyperbolic cosine scale is immediately adjacent to the hyperbolic sine scale and in particular is arranged between this and the basic scale.

7. slide rule according to one of claims 1 to 6, characterized g e -k e n Note that all the scales of hyperbolic functions on the body of the slide rule are arranged.

8. slide rule according to one of claims 1 to 7, characterized g e -k e n nz e i c h n e t that the slide rule on training as a two-sided slide rule one side has the following scales from top to bottom. On the upper body bar ~ the Scales 112, Sh2, Th, K and A, on the tongue the scales B, T, ST, S, P, C and on the lower body bar the scales D, DI, Ch, Sh1 and H1.

9. slide rule according to claim 8, characterized in that g e k e n n z e i c h -n e t that the slide rule on the other side from top to bottom the following scales carries the scales LL00, LL01, LL02, IL03 and DF, on the tongue the scales CF, CIF, L, CI and C, and on the lower one The body renders the scales D, LL3, LL2, Lt1 and LL0.