DE102022204213B3 - Verfahren und Decoder zur Fehlerkorrektur einer empfangenen Nachricht - Google Patents

Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Fehlerkorrektur einer über einen Kommunikationskanal empfangenen Nachricht, die ein mit einem Fehler (e) behaftetes Wort (y) umfasst, wobei in dem Wort (y) ein Codewort (c) eines linearisierten Reed-Solomon-Codes, welcher durch eine Kontrollmatrix (H) beschrieben wird, enthalten ist. Das Codewort (c) ist in eine vorgegebene Anzahl (f) an Blöcken (c(1), ..., c(ℓ)) aufgeteilt und jeder Block (c(i)für alle i = 1, ..., ℓ) hängt von einem Auswertungsparameter (αi) ab. Beim Verfahren wird aus dem Wort (y) und der transponierten Kontrollmatrix (HT) ein Syndrom (s = (s0, ..., sn-k-1)) und aus dem Syndrom (s = (s0, ..., sn-k-1)) ein Syndrompolynom (s(x)) ermittelt. Es wird eine von dem Syndrompolynom (s(x)) abhängige Gleichung gelöst, durch die ein Schiefpolynom (p(x)) bestimmt wird, dessen Nullstellenraum der Zeilen- oder Spaltenraum des gesuchten Fehlers (e) ist. Der Grad des Schiefpolynoms beschreibt ein Fehlergewicht. Eine Basis (B) des Nullstellenraums wird probabilistisch bestimmt, indem eine reduzierte Norm (Nm(a)), die von einem vorgegebenen Schiefpolynomring abhängig ist, verarbeitet wird, wobei die Basis (B) des Nullstellenraums den Zeilen- oder Spaltenraum des Fehlers (e) aufspannt. Der Fehler (e) wird durch eine Zeilen- oder Spalten-Auslöschungsdecodierung erhalten, wodurch das Codewort (c) aus dem empfangenen Wort (y) bestimmt werden kann.

Description

• Die Erfindung betrifft ein Verfahren und einen Decoder zur Fehlerkorrektur einer über einen Kommunikationskanal empfangenen Nachricht, die ein mit einem Fehler behaftetes Wort umfasst, wobei in dem Wort ein Codewort eines linearisierten Reed-Solomon-Codes, welcher durch eine Kontrollmatrix beschrieben wird, enthalten ist, und wobei das Codewort in eine vorgegebene Anzahl an Blöcken aufgeteilt ist und jeder Block von einem Auswertungsparameter abhängt.
• Schiefpolynome sind eine spezielle Klasse von nicht-kommutativen Polynomen, die von Ore [1] eingeführt wurden und zur Konstruktion von fehlerkorrigierenden Codes in verschiedenen Decodiermetriken [2, 3] genutzt werden. Dabei besteht das Problem der Suche nach Nullstellen der Schiefpolynome unter Berücksichtigung der sog. verallgemeinerten Operatorauswertung. Das Problem des Auffindens von Nullstellen bei Schiefpolynomen kann wie folgt beschrieben werden:
• Für die Potenz einer Primzahl q sei ${\mathbb{F}}_q$

  

  ein endlicher Körper der Ordnung q und ${\mathbb{F}}_q{}^m$

  

  ein Erweiterungskörper von ${\mathbb{F}}_q$

  

  des Grades m. Mit ${\mathbb{F}}_{q^m}^{*}$

  

  wird die multiplikative Gruppe von ${\mathbb{F}}_q{}^m$

  

  bezeichnet, d.h. ${\mathbb{F}}_{q^m}^{*}={\mathbb{F}}_q{}^m\backslash \left\{0\right\}.$

  

  Unter einer fest gewählten, geordneten Basis von ${\mathbb{F}}_q{}^m$

  

  über ${\mathbb{F}}_q,$

  

  kann jedes Element $a\in {\mathbb{F}}_q{}^m$

  

  eindeutig durch einen (Spalten-)Vektor $a\in {\mathbb{F}}_q{}^m$

  

  der Länge m repräsentiert werden. Wenn $a={\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^m{a}_i{b}_i$

  

  in Bezug auf die geordnete ${\mathbb{F}}_q-\text{Basis }B=\left\{b_1,b_2,b_3,\dots ,b_m\right\}\subseteq {\mathbb{F}}_q{}^m\text{ von }{\mathbb{F}}_q{}^m$

  

  gilt, lautet der korrespondierende Vektor (α₁, ..., α_m) ∈. Für eine Menge $A\subseteq {\mathbb{F}}_q{}^m$

  

  wird mit ${\langle A\rangle }_q\text{ der }{\mathbb{F}}_q$

  

  - lineare Unterraum von ${\mathbb{F}}_q{}^m$

  

  bezeichnet, der durch die Elemente von

  

  aufgespannt wird. $\sigma :{\mathbb{F}}_q{}^m\to {\mathbb{F}}_q{}^m$

  

  bezeichnet einen Automorphismus des endlichen Körpers ${\mathbb{F}}_{q^m}.$

  

  Für zwei beliebige Elemente $a\in {\mathbb{F}}_{q^m}\text{ und }c\in {\mathbb{F}}_{q^m}^{*}$

  

  definiert man: $$a^c:=\sigma \left(c\right)a{c}^{-1}$$

  
• Zwei Elemente a, b $a,b\in {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  werden als σ-konjugiert bezeichnet, wenn ein Element $c\in {\mathbb{F}}_{q^m}^{*}$

  

  existiert, so dass b = a^c gilt. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  und unterteilt daher ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  in Konjugationsklassen, wie in [4] beschrieben ist. Die Menge $$C\left(a\right):=\left\{a^c:c\in {\mathbb{F}}_{q^m}^{*}\right\}$$

  

  heißt Konjugationsklasse von $a\in {\mathbb{F}}_{q^m},C\left(0\right)$

  

  wird triviale Konjugationsklasse genannt.
• Ein Schiefpolynom ist ein Polynom der Form $$ƒ\left(x\right)={\mathrm{\Sigma }}_i{ƒ}_i{x}^i$$

  

  mit einer endlichen Anzahl an Koeffizienten ${ƒ}_i\in {\mathbb{F}}_{q^m},$

  

  die ungleich 0 sind. Der Grad deg(f) eines Schiefpolynoms f ist definiert als max{i: f_i ≠ 0}, wenn f ≠ 0 ist, und -∞ andernfalls.
• Die Menge der Schiefpolynome mit Koeffizienten in ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  bildet zusammen mit gewöhnlicher Polynomaddition und der Multiplikationsregel $$xa=\sigma \left(a\right)x,\forall a\in {\mathbb{F}}_{q^m}$$

  

  einen nicht-kommutativen Ring, der mit ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  bezeichnet ist. Der Schiefpolynomring ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  umfasst verschiedene Polynomringe als Spezialfälle. Wenn σ die Identität ist, fällt der Schiefpolynomring mit dem gewöhnlichen Polynomring ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x\right]$

  

  zusammen. Wenn σ der Frobenius-Automorphismus ist, d.h. σ =^.q, ist der Schiefpolynomring ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  isomorph zu dem linearisierten Polynomring ${\mathbb{L}}_{q^m}\left[x\right],$

  

  der aus Polynomen der Form ∑_if_ix^qi mit endlich vielen Koeffizienten ${ƒ}_i\in {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  ungleich 0 besteht [5].
• Für Schiefpolynome $a\left(x\right),b\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  mit deg (b) ≤ deg (a) gibt es eine eindeutige Zerlegung $$a\left(x\right)=b\left(x\right)q_L\left(x\right)+r_L\left(x\right)=q_R\left(x\right)b\left(x\right)+r_R\left(x\right)$$

  

  mit deg(r_L) < deg (b) und deg(r_R) < deg (b), wie [1] beschreibt. Wenn r_L(x) = 0 ist, wird b(x) als ein linker Teiler von a(x) bezeichnet. Entsprechend wird b(x) als rechter Teiler von a(x) bezeichnet, wenn r_R(x) = 0 ist.
• Es gibt einen linken (ldiv) und einen rechten (rdiv) Divisionsalgorithmus, so dass (q_L(x),r_L(x)) = ldiv(a(x),b(x)) und (q_R(x),r_R(x)) = rdiv(a(x),b(x)) ist [1]. Der monische größte gemeinsame rechte Teiler (ggrT) von zwei Polynomen $a\left(x\right),b\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  wird mit ggrT(a(x), b(x)) bezeichnet.
• Für jedes Element $a\in {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  und i >0 wird eine reduzierte Norm definiert (siehe [4]): $$N_i\left(a\right)={\sigma }^{i-1}\left(a\right){\sigma }^{i-2}\left(a\right)\dots \sigma \left(a\right)a$$

  

  Weiterhin wird der Operator $$D_a\left(b\right):=\sigma \left(b\right)a$$

  

  für jedes $a,b\in {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  definiert sowie dessen Potenzen $$D_a^{i+1}\left(b\right)=D_a\left(D_a^i\left(b\right)\right)={\sigma }^i\left(b\right)N_i\left(a\right)$$

  

  für ganze Zahlen i ≥ 0, wobei $D_a^0\left(b\right)=b$

  

  gilt (siehe [3], Proposition 32).
• Die verallgemeinerte Operatorauswertung des Schiefpolynoms $ƒ\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  an einem Element $b\in {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  in Bezug auf den Auswertungsparameter $a\in {\mathbb{F}}_{q^m}^{*}$

  

  ist definiert als (siehe [3, 6]) $$ƒ{\left(b\right)}_a={\mathrm{\Sigma }}_i{ƒ}_i{D}_a^i\left(b\right).$$

  
• Für zwei Schiefpolynome $ƒ,g\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  und Elemente $a,b\in {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  ist die verallgemeinerte Operatorauswertung des Produktes f · g an b in Bezug auf den Auswertungsparameter a gegeben durch (siehe [7]) $$\left(ƒ\cdot g\right){\left(b\right)}_a=ƒ{\left(g{\left(b\right)}_a\right)}_a.$$

  
• Ist $\sigma :{\mathbb{F}}_{q^m}\to {\mathbb{F}}_{q^m}\text{ mit }m\to x^q$

  

  der Frobenius-Automorphismus, fällt die verallgemeinerte Operatorauswertung mit dem Auswertungsparameter a=1 mit der entsprechenden linearisierten Polynomauswertung zusammen, die definiert ist als $${\mathbb{L}}_{q^m}\left[x\right]\times {\mathbb{F}}_{q^m}\to {\mathbb{F}}_{q^m},\left({\mathrm{\Sigma }}_i{ƒ}_i{x}^{q^i},b\right)\to {\mathrm{\Sigma }}_i{ƒ}_i{b}^{q^i}.$$

  
• Linearisierte Reed-Solomon-Codes wurden zuerst von Martínez-Peñas in [3] definiert.
• Für einen Vektor $\beta =\left({\beta }^{\left(1\right)}|\cdots |{\beta }^{\left(\mathcal{l}\right)}\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}^n,$

  

  dessen Komponenten β⁽ⁱ⁾ für alle i = 1, ..., ℓ eweils ${\mathbb{F}}_q-\text{linear}$

  

  unabhängige Elemente von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  enthalten, und für einen Vektor a = (a₁, a₂, ..., a_ℓ), der aus Repräsentanten verschiedener nicht-trivialer Konjugationsklassen von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  besteht, ist der linearisierte Reed-Solomon-Code der Länge n und der Dimension k gegeben als $$LRS\left(\sigma ,\beta ,a,\mathcal{l};n,k\right):=\left\{\left(ƒ{\left({\beta }^{\left(1\right)}\right)}_{a_1}|\cdots |ƒ{\left({\beta }^{\left(\mathcal{l}\right)}\right)}_{a_{\mathcal{l}}}\right),ƒ\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right],\text{deg}\left(ƒ\right)<k\right\}.$$

  

  wobei f(β⁽ⁱ⁾)_ai für i = 1, ..., ℓ den Vektor bezeichnet, der durch elementweise Anwendung der verallgemeinerten Operatorauswertung f (·)_ai aus β⁽ⁱ⁾ hervorgeht.
• Da für einen festen Auswertungsparameter α die verallgemeinerte Operatorauswertung eine ${\mathbb{F}}_q-\text{lineare}$

  

  Abbildung bildet, bildet die Menge der Nullstellen eines Schiefpolynoms einen ${\mathbb{F}}_q-\text{linearen}$

  

  Unterraum von ${\mathbb{F}}_{q^m}.$

  

  Bildet $B=\left\{b_1,b_2,\dots ,b_r\right\}\subset {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  eine Basis für den besagten ${\mathbb{F}}_q-\text{linearen}$

  

  Nullstellenraum (oder Kern) eines Schiefpolynoms $p\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  in Bezug auf die verallgemeinerte Operatorauswertung mit einem Auswertungsparameter $a\in {\mathbb{F}}_{q^m}^{*},$

  

  so ergibt sich (siehe [8, Proposition 1.3.4]) $$\text{dim}\left({\langle B\rangle }_q\right)=r\le \text{deg}\left(p\right).$$

  
• Gleichheit gilt genau dann, wenn p(x) ein Teiler von $\left(x^m-N_m\left(a\right)\right)$

  

  ist, wobei $\left(x^m-N_m\left(a\right)\right)$

  

  das Schiefpolynom ist, das alle Elemente von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  in Bezug auf die verallgemeinerte Operatorauswertung mit dem Auswertungsparameter a als Nullstellen besitzt.
• Die Elemente eines Vektors a = (a₁, a₂, ..., a_ℓ) können als verschiedene Auswertungsparameter für die verallgemeinerte Operatorauswertung aufgefasst werden.
• Angenommen, a enthält Repräsentanten von paarweise verschiedenen nicht-trivialen Konjugationsklassen von ${\mathbb{F}}_{q^m}\text{ und }{B}_i=\left\{b_1^{\left(i\right)},b_2^{\left(i\right)},\dots ,b_{r_i}^{\left(i\right)}\right\}\subset {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  bildet eine Basis für den ${\mathbb{F}}_q-\text{linearen}$

  

  Nullstellenraum (oder Kern) des Schiefpolynoms p(x) ∈ ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  in Bezug auf die verallgemeinerte Operatorauswertung mit dem Auswertungsparameter a_i für alle i = 1, ..., ℓ. Hieraus ergibt sich (siehe [8, Proposition 1.3.7]) $${\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathcal{l}}\text{dim}}\left({\langle B_i\rangle }_q\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathcal{l}}{r}_i}\le \text{deg}\left(p\right).$$

  

  wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn p(x) ein Teiler von ${\mathrm{\Pi }}_{i=1}^{\mathcal{l}}\left(x^m-N_m\left(a_i\right)\right)$

  

  ist, d.h. wenn p(x) das Schiefpolynom, das an allen Elementen von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  in Bezug auf jeden der Auswertungsparameter a₁, a₂, ..., a_ℓ verschwindet, teilt. Damit kann das Problem der Nullstellenberechnung für Schiefpolynome formuliert werden.
• Problem der Nullstellenberechnung für Schiefpolynome
• Gegeben sind das Schiefpolynom $p\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  und ein Vektor a = (a₁, a₂, ..., a_ℓ), der Repräsentanten von paarweise verschiedenen nicht-trivialen Konjugationsklassen von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  enthält. Es muss ein Tupel $B=\left(B_1,B_2,\dots ,B_{\mathcal{l}}\right)$

  

  gefunden werden, wobei $B_i\subseteq {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  eine Basis für den ${\mathbb{F}}_q-\text{linearen}$

  

  Nullstellenraum von p(x) in Bezug auf die verallgemeinerte Operatorauswertung mit dem Auswertungsparameter a_i für alle i = 1, ..., ℓ ist. Das Problem der Nullstellenberechnung (nachfolgend Problem 1) tritt in vielen Anwendungen, wie z.B. in syndrombasierten Decodieralgorithmen für rangmetrische Codes [9, 10, 11] und für die Decodierung von Codes in Summenrang- und Summenunterraummetrik [2, 3], auf.
• Ein herkömmlicher Ansatz zur Lösung des oben beschriebenen Problems 1 besteht darin, Basen für die rechten Kerne der m × m Transformationsmatrizen zu berechnen, die den ${\mathbb{F}}_q-\text{linearen}$

  

  Abbildungen entsprechen, die durch die verallgemeinerte Operatorauswertung von p(x) mit den Auswertungsparametern a₁, a₂, ..., a_ℓ beschrieben werden (siehe z.B. [12], Kapitel 11.1). Ist $B=\left\{b_1,b_2,\dots ,b_m\right\}$

  

  eine Basis von ${\mathbb{F}}_{q^m}\ddot{\text{u}}\text{ber }{\mathbb{F}}_q,$

  

  dann kann jede Transformationsmatrix ${\mathbf{P}}_I\in {\mathbb{F}}_q^{m\times m},$

  

  die der ${\mathbb{F}}_q-\text{linearen}$

  

  $$

  

  Abbildung entspricht, die durch die verallgemeinerte Operatorauswertung von p(x) mit dem Auswertungsparameter a_i gegeben ist, durch die Erweiterung des Vektors (p(b₁)_ai , p(b₂)_ai , ..., p(b_m)_ai über ${\mathbb{F}}_q$

  

  erhalten werden.
• Die Berechnung des rechten Kerns einer Matrix P_i hat dabei die Komplexität von m^ω Operationen, wobei ω < 2, 37286 der Matrixmultiplikationskoeffizient ist [13]. Vernachlässigt man den Aufwand für die Erstellung der Transformationsmatrizen P₁, ..., P_ℓ, hat der herkömmliche Ansatz eine Gesamtkomplexität von ℓm^ω Operationen in ${\mathbb{F}}_q.$

  
• Ein Nachteil des herkömmlichen Ansatzes des Problems der Nullstellenberechnung eines Schiefpolynoms durch Berechnung von Basen für die rechten Kerne der ${\mathbb{F}}_q-\text{linearen}$

  

  $$

  

  Transformationsmatrizen mit Hilfe des in [12, Kapitel 11.1] beschriebenen Verfahrens ist die Komplexität, die in der Größenordnung von ℓm^ω und damit superquadratisch ist.
• Ein im Vergleich zum herkömmlichen Ansatz effizienterer Ansatz zur Lösung eines Spezialfalls des Problems 1 wurde von Skachek und Roth in [14] vorgeschlagen. Der als probabilistischer Skachek-Roth-Algorithmus bezeichnete Algorithmus ermöglicht es, eine Basis des Nullstellenraums für ein linearisiertes Polynom p(x) zu finden, d.h. für ein Element des Schiefpolynomrings ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right],$

  

  wobei σ der Frobenius-Automorphismus ist und die verallgemeinerte Operatorauswertung mit dem einzigen Auswertungsparameter a = 1 betrachtet wird, mit der Komplexität 0 (m deg(p)) in ${\mathbb{F}}_{q^m}.$

  

  Der Skachek-Roth-Algorithmus (siehe [14, ]) ist nachfolgendend dargestellt:
• Die Eingabe besteht aus einem Schiefpolynom $p\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]\text{ mit }\sigma ={\cdot }^q.$

  
• Die Ausgabe ist eine Basis

  

  des ${\mathbb{F}}_q-\text{linearen}$

  

  Nullstellenraums von p(x) unter Berücksichtigung der verallgemeinerten Operatorauswertung mit dem Auswertungsparameter a=1.

  
• Der Nachteil des effizienteren Skachek-Roth-Algorithmus besteht darin, dass dieser lediglich einen speziellen Fall des Problems 1 löst, nämlich den Fall, dass ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  mit dem linearisierten Polynomring, d.h. σ =·^q, dem Frobenius-Automorphismus,und a = (1), d.h. dem einzigen Auswertungsparameter 1, übereinstimmt.
• In [17] wird vorgeschlagen, bestehende Dekodieralgorithmen für drei Codeklassen in verschiedenen Metriken zu beschleunigen: Interleaved Gabidulin Codes in der Rang-Metrik, interleaved Gabidulin-Codes in der Unterraum-Metrik und linearisierte Reed-Solomon-Codes in der Summenrang-Metrik. Die Geschwindigkeitssteigerungen werden durch Algorithmen erreicht, die die zugrundeliegenden Rechenprobleme der Decoder auf ein gemeinsames Werkzeug reduzieren: die Berechnung von linken und rechten Näherungsbasen von Matrizen über schiefe Polynomringe. Um dies zu erreichen, ist eine schiefe Analogie des bestehenden PM-Basis-Algorithmus für Matrizen über gewöhnlichen Polynomen beschrieben. Im Fall von linearisierten Reed-Solomon-Codes resultiert dies in einer Dekodierkomplexität in der Größenordnung von $M_{q,m}\left(n\right)$

  

  Operationen in ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  unter Vernachlässigung logarithmischer Faktoren, was den Kosten einer Multiplikation von zwei Schiefpolynomen aus ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  mit Grad höchstens n entspricht.
• Es ist Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein gegenüber dem Stand der Technik verbessertes Verfahren für eine Fehlerkorrektur anzugeben, welches eine verringerte Komplexität aufweist und gleichzeitig die Möglichkeit bietet, mehr als einen Auswertungsparameter sowie einen beliebigen Automorphismus σ zu verwenden.
• Diese Aufgabe wird durch ein Verfahren gemäß den Merkmalen des Anspruchs 1, ein Computerprogrammprodukt gemäß den Merkmalen des Anspruchs 12 und einen Decoder gemäß den Merkmalen des Anspruchs 13 gelöst. Vorteilhafte Ausgestaltungen ergeben sich aus den abhängigen Ansprüchen.
• Es wird ein Verfahren zur Fehlerkorrektur einer über einen Kommunikationskanal empfangenen Nachricht vorgeschlagen, die ein mit einem Fehler (e) behaftetes Wort (y) umfasst, wobei in dem Wort (y) ein Codewort (c) eines linearisierten Reed-Solomon-Codes, welcher durch eine Kontrollmatrix (H) beschrieben wird, enthalten ist, und wobei das Codewort (c) in eine vorgegebene Anzahl (ℓ) an Blöcken (c⁽¹⁾, ..., c^(ℓ)) aufgeteilt ist und jeder Block c⁽ⁱ⁾ für alle i = 1, ..., ℓ von einem Auswertungsparameter (α_i) abhängt.
• Bei diesem Verfahren wird im Schritt a) aus dem Wort (y) und der transponierten Kontrollmatrix (H^T) ein Syndrom (s = (s₀, ..., s_n-k-1)) und aus dem Syndrom (s = (s₀, ..., s_n-k-1)) ein Syndrompolynom (s(x)) ermittelt. In Schritt b) wird eine von dem Syndrompolynom (s(x)) abhängige Gleichung gelöst, durch die ein Schiefpolynom (p(x)) bestimmt wird, dessen Nullstellenraum der Zeilen- oder Spaltenraum des gesuchten Fehlers (e) ist, wobei der Grad des Schiefpolynoms das Fehlergewicht beschreibt. In Schritt c) wird eine Basis (

  

  ) des Nullstellenraums probabilistisch bestimmt, indem eine reduzierte Norm $\left(N_m\left(a\right)\right),$

  

  die von einem vorgegebenen Schiefpolynomring abhängig ist, verarbeitet wird, wobei die Basis (

  

  ) des Nullstellenraums den Zeilen- oder Spaltenraum des Fehlers (e) aufspannt. In Schritt d) wird der Fehler (e) durch eine Zeilen- oder Spalten-Auslöschungsdecodierung erhalten, wodurch das Codewort (c) aus dem empfangenen Wort (y) bestimmt werden kann.
• Das vorgeschlagene Verfahren basiert auf dem Skachek-Roth-Algorithmus zur Nullstellenberechnung und weist gegenüber diesem jedoch den Vorteil auf, dass nicht nur ein einziger Auswertungsparameter, sondern eine Vielzahl an Auswertungsparametern berücksichtigt werden kann. Das Verfahren weist eine geringere Komplexität auf als der aus dem Stand der Technik bekannte herkömmliche Ansatz, der ${\mathbb{F}}_q-\text{lineare}$

  

  Transformationsmatrizen nutzt. Im Gegensatz zum Skachek-Roth-Algorithmus funktioniert das vorgeschlagene Verfahren für Schiefpolynomringe ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  mit jedem Automorphismus σ und vielen Auswertungsparametern.
• Das Verfahren kann in jedem Kommunikationssystem, das Decodieralgorithmen verwendet, welche es erfordern, Nullstellen von Schiefpolynomen im Hinblick auf die verallgemeinerte Operatorauswertung aufzufinden, eingesetzt werden.
• Gemäß einer weiteren zweckmäßigen Ausgestaltung wird der Nullstellenraum dadurch berechnet, dass ein zweites Schiefpolynom minimalen Grades g_i (x) mit gleichem Nullstellenraum wie das Schiefpolynom (p(x)) bezüglich der verallgemeinerten Operatorauswertung und bezüglich dem fixierten Auswertungsparameter (α_i) bestimmt wird.
• Gemäß einer weiteren zweckmäßigen Ausgestaltung wird ein drittes Schiefpolynom h_i(x) bestimmt, dessen Bild der Nullstellenraum von g_i (x) ist.
• Gemäß einer weiteren zweckmäßigen Ausgestaltung wird die Basis (

  

  ) des Nullstellenraums derart bestimmt, dass dieser durch eine Anzahl (f) verschiedener Auswertungsparameter (a_i, wobei i = 1, ..., ℓ) in Unterräume unterteilt wird. Insbesondere werden die Basen $\left({\mathfrak{B}}_1,\dots ,{\mathfrak{B}}_{\mathcal{l}}\right)$

  

  der Unterräume des Nullstellenraums iterativ bestimmt.
• Eine weitere zweckmäßige Ausgestaltung sieht vor, dass die Basen $\left({\mathfrak{B}}_1,\dots ,{\mathfrak{B}}_{\mathcal{l}}\right)$

  

  der Unterräume des Nullstellenraums unabhängig voneinander bestimmt werden. Insbesondere wird die Basis (

  

  ) des Nullstellenraums durch Vereinigung der iterativ berechneten Basen $\left({\mathfrak{B}}_1,\dots ,{\mathfrak{B}}_{\mathcal{l}}\right)$

  

  der Unterräume des Nullstellenraums erzeugt.
• Eine weitere Ausgestaltung sieht vor, dass die Anzahl (f) der verschiedenen Auswertungsparameter (a_i) durch die Zahl nicht-trivialer Konjugationsklassen begrenzt ist. Eine weitere bevorzugte Ausgestaltung sieht vor, dass die Auswertungsparameter (α_i) aus verschiedenen nicht-trivialen Konjugationsklassen bezüglich des Schiefpolynomrings gewählt sind.
• Gemäß einer weiteren zweckmäßigen Ausgestaltung sind die Auswertungsparameter (a_i) und die reduzierten Normen $\left(N_m\left(a_i\right)\right)$

  

  Elemente eines endlichen Körpers $\left({\mathbb{F}}_{q^m}\right).$

  

  Zweckmäßigerweise wird die reduzierte Norm $\left(N_m\left(a\right)\right)$

  

  ermittelt gemäß: $$N_m\left(a\right)={\sigma }^{m-1}\left(a\right){\sigma }^{m-2}\left(a\right)\dots \sigma \left(a\right)a,$$

  

  wobei $\sigma :={\mathbb{F}}_{q^m}\to {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  ein Automorphismus des endlichen Körpers ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  ist.
• Es wird ferner ein Computerprogrammprodukt vorgeschlagen, das direkt in den internen Speicher eines digitalen Computers geladen werden kann und Softwarecodeabschnitte umfasst, mit denen die Schritte des hierin beschriebenen Verfahrens gemäß einer oder mehrerer Ausgestaltungen ausgeführt werden, wenn das Produkt auf einem Computer läuft.
• Es wird ferner ein Decoder zur Fehlerkorrektur einer über einen Kommunikationskanal empfangenen Nachricht vorgeschlagen, der eine Recheneinheit umfasst, die dazu ausgebildet ist, das hierin beschriebene Verfahren gemäß einem oder mehrerer Ausgestaltungen auszuführen.
• Die Erfindung wird nachfolgend näher anhand eines Ausführungsbeispiels und der Zeichnungen erläutert. Es zeigen:
• 1 einen Ablaufplan, der die notwendigen Schritte zur Durchführung einer Fehlerkorrektur gemäß dem erfindungsgemäßen Verfahren illustriert;
• 2 einen Ablaufplan, in dem der gegenüber Skachek-Roth verbesserte erfindungsgemäße Algorithmus illustriert ist; und
• 3 ein Diagramm, dass die Ausführungszeit des herkömmlichen Vorgehens zur Nullstellenberechnung für Schiefpolynome und des erfindungsgemäßen Verfahrens in Abhängigkeit von einem Erweiterungsgrad m zeigt.
• Das erfindungsgemäße Verfahren zur Fehlerkorrektur nutzt zur Lösung des oben beschriebenen Problems ein probabilistisches Verfahren mit einer Gesamtkomplexität in der Größenordnung von O (ℓm deg(p)) Operationen in ${\mathbb{F}}_{q^m}.$

  

  Das Verfahren basiert auf folgenden Überlegungen, um einen effizienten Skachek-Roth-ähnlichen Algorithmus zur Lösung von Problem 1 zu ermöglichen.
• Ein Schiefpolynom $g\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  ist ein rechter Teiler von $x^m-N_m\left(a\right)$

  

  für ein festes $a\in {\mathbb{F}}_{q^m}^{*}$

  

  genau dann, wenn g(x) auch ein linker Teiler von $x^m-N_m\left(a\right)$

  

  ist. Dies kann man wie folgt einsehen: Unter der Annahme, dass g(x) ein rechter Teiler von $x^m-N_m\left(a\right)$

  

  ist, ergibt sich $$x^m-N_m\left(a\right)=h\left(x\right)g\left(x\right)$$

  

  für ein $h\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right].$

  

  Andererseits gilt $$x^m-N_m\left(a\right)=g\left(x\right)q\left(x\right)+r\left(x\right)$$

  

  für $q\left(x\right),r\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  mit deg(r) < deg(g). Die Multiplikation der Gleichung (15) von links mit h(x) ergibt $h\left(x\right)\left(x^m-N_m\left(a\right)\right)=h\left(x\right)g\left(x\right)q\left(x\right)+h\left(x\right)r\left(x\right)=\left(x^m-N_m\left(a\right)\right)q\left(x\right)+h\left(x\right)r\left(x\right).$

  

  $$

  
• Durch die Produktregel in Gleichung (10) verschwinden die beiden Polynome $h\left(x\right)\left(x^m-N_m\left(a\right)\right)\text{ und }\left(x^m-N_m\left(a\right)\right)q\left(x\right)$

  

  bei allen Elementen ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  in Bezug auf den verallgemeinerten Operatorauswertungsparameter a. Daher muss auch h(x)r(x) auf allen Elementen von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  in Bezug auf den verallgemeinerten Operatorauswertungsparameter a verschwinden. Da deg(r) < deg(g) ist, gilt $$\text{deg}\left(h\cdot r\right)<\text{deg}\left(h\cdot g\right)=\text{deg}\left(x^m-N_m\left(a\right)\right)=m.$$

  

  Nach [8, Proposition 1.3.7] kann das Schiefpolynom h(x)r(x) nicht mehr ${\mathbb{F}}_q-\text{linear}$

  

  unabhängige Nullstellen als seinen Grad haben, der höchstens m - 1 ist, was impliziert, dass h(x)r(x) = 0 und daher r(x) = 0 ist, was bedeutet, dass g(x) auch ein linker Teiler von $x^m-N_m\left(a\right).$

  
• Angenommen, dass das Schiefpolynom g(x) ein linker Teiler von $x^m-N_m\left(a\right)$

  

  ist, ergibt sich $$x^m-N_m\left(a\right)=g\left(x\right)h\left(x\right)$$

  

  für ein $h\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right].$

  

  Ähnlich wie zuvor gilt gleichzeitig $$x^m-N_m\left(a\right)=q\left(x\right)g\left(x\right)+r\left(x\right)$$

  

  für $q\left(x\right),r\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  mit dem Grad deg(r) < deg(g). Durch Multiplikation der Gleichung (17) von rechts mit h(x) erhält man $$\begin{array}{l}\left(x^m-N_m\left(a\right)\right)h\left(x\right)=q\left(x\right)g\left(x\right)h\left(x\right)+r\left(x\right)h\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x^m-N_m\left(a\right)\right)+\\ r\left(x\right)h\left(x\right).\end{array}$$

  
• Nach der Produktregel gemäß Gleichung (10) verschwinden die beiden Polynome $\left(x^m-N_m\left(a\right)\right)h\left(x\right)\text{ und }q\left(x\right)\left(x^m-N_m\left(a\right)\right)$

  

  auf allen Elementen von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  in Bezug auf den verallgemeinerten Operatorauswertungsparameter a. Daher muss r(x)h(x) auch auf allen Elementen von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  im Hinblick auf den verallgemeinerten Operatorauswertungsparameter α verschwinden. Durch die gleiche Argumentation über den Grad von r(x)h(x) wie zuvor kann geschlossen werden, dass r(x) = 0 gilt, was zeigt, dass g(x) auch ein rechter Teiler von $x^m-N_m\left(a\right)$

  

  ist. $p\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  sei ein Schiefpolynom mit einem Nullstellenraum $\nu \subseteq {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  in Bezug auf den verallgemeinerten Operatorauswertungsparameter $a\in {\mathbb{F}}_{q^m}^{*}.$

  

  Es wird weiter angenommen, dass $g\left(x\right)=ggrT\left(x^m-N_m\left(a\right),p\left(x\right)\right)$

  

  gilt. Dann ist g(x) ein Minimalpolynom des Grades deg(g) = dim(V), das auf V in Bezug auf den verallgemeinerten Operatorauswertungsparameter a verschwindet.
• Es sei $\nu \subseteq {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  ein d-dimensionaler ${\mathbb{F}}_q-\text{linearer}$

  

  Unterraum von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  und es sei $g\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  mit deg(g) = dim(V) das monische minimale Polynom, das auf Vim Hinblick auf die verallgemeinerte Operatorauswertung mit dem Auswertungsparameter $a\in {\mathbb{F}}_{q^m}^{*}$

  

  verschwindet.
• Dann gilt:
• 1. Es gibt ein monisches Polynom $h\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$
  
  des Grades m - d, dessen ${\mathbb{F}}_q-\text{lineares}$
  
  $$
  
  Bild in Bezug auf die verallgemeinerte Operatorauswertung mit dem Auswertungsparameter a V ist.
• 2. $$x^m-N_m\left(a\right)=g\left(x\right)h\left(x\right)=h\left(x\right)g\left(x\right)$$
  
• Mit V^⊥ ist der Dualraum von V bezeichnet, d.h. ein Raum derart, dass V∩V^⊥ = {0} und $\nu \cup {\nu }^{\perp }={\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  gilt. $h\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  sei das monische Minimalpolynom von Grad m - d, das auf V^⊥ unter Berücksichtigung der verallgemeinerten Operatorauswertung mit dem Auswertungsparameter α verschwindet. Da die verallgemeinerte Operatorauswertung mit einem festen Auswertungsparameter a eine ${\mathbb{F}}_q-\text{lineare}$

  

  Abbildung bildet, erhält man durch den Rangsatz, dass die Dimension des Bildes von h(x) in Bezug auf den Auswertungsparameter a dem Wert d entsprechen muss. Da V∩V^⊥ = {0} und $\nu \cup {\nu }^{\perp }={\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  gilt, erfüllt h(x) die Eigenschaft 1.
• Durch die Produktregel erhält man (g · h)(c)_a = g(h(c)_a)_a für jedes $c\in {\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  und daher verschwindet g(x)h(x) auf allen Elementen von ${\mathbb{F}}_{q^m}.$

  

  Da deg(g · h) = m gilt, erhält man $g\left(x\right)h\left(x\right)=x^m-N_m\left(a\right).$

  

  Aus der Konstruktion folgt, dass der Nullstellenraum von h(x) in Bezug auf den Auswertungsparameter a V^⊥ ist. Da g(x) ein minimales Polynom mit dem Nullstellenraum V ist, entspricht sein Bild V^⊥. Daher kann durch die Produktregel geschlossen werden, dass auch h(x)g(x) auf allen Elementen von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  verschwindet, was Gleichung (18) beweist.
• Dies hat zur Folge, dass das Bild von h(x) durch Berechnung des Nullstellenraums von g(x) und umgekehrt berechnet werden kann (siehe z.B. [12, 14, 15] für die entsprechende Eigenschaft von linearisierten Polynomen). Darauf basierend kann ein probabilistischer Algorithmus zur Nullstellenberechnung für Schiefpolynome unter Berücksichtigung der verallgemeinerten Operatorauswertung, basierend auf Skachek und Roth's Methode gebildet werden, der die Grundlage des erfindungsgemäßen Verfahrens bildet.
• Die Eingabe des Verfahrens wird durch ein Schiefpolynom $p\left(x\right)\in {\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  und einen Vektor a = (a₁, a₂, ..., a_ℓ), der Repräsentanten von verschiedenen nicht-trivialen Konjugationsklassen von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  enthält, gebildet. Die Ausgabe ist ein Tupel $B=\left(B_1,B_2,\dots ,B_{\mathcal{l}}\right),$

  

  $$

  

  wobei $B_i$

  

  eine Basis des ${\mathbb{F}}_q-\text{linearen}$

  

  Nullstellenraums von p(x) in Bezug auf den Auswertungsparameter a_i für alle i = 1, ..., ℓ ist.
• Der Algorithmus umfasst die folgenden Schritte

  
• Diese Schritte sind in 2 als Ablaufplan visualisiert. Der Ablaufplan in 1 zeigt die Einbettung der in 2 dargestellten Schritte in ein Verfahren zur Fehlerkorrektur einer empfangenen Nachricht.
• Wie oben beschrieben, werden in Schritt S204 des Ablaufs in 2 ein Schiefpolynom p(x) und die Auswertungsparameter α₁, ... α_ℓ, die aus verschiedenen nicht-trivialen Konjugationsklassen eines endlichen Körpers bezüglich des Schiefpolynomrings, in dem das Schiefpolynom p(x) liegt, stammen, als Eingangsgrößen verarbeitet. In Schritt S205 wird i, welche eine Variable ist, die die Anzahl an Schleifen bestimmt, auf 1 gesetzt. In Schritt S206 wird überprüft, ob i ≤ i gilt. Wird in Schritt S206 festgestellt, dass i ≤ i ist (Pfad „Ja“), so wird mit Schritt S209 fortgefahren. Es wird ein Schiefpolynom minimalen Grades g_i(x) mit gleichem Nullstellenraum wie das Schiefpolynom p(x) bezüglich der verallgemeinerten Operatorauswertung und bezüglich des fixierten Auswertungsparameters α_i bestimmt. In Schritt S210 erfolgt die Bestimmung des Schiefpolynoms h_i(x), dessen Bild der Nullstellenraum von g_i (x) ist.
• In Schritt S211 erfolgt eine probabilistische Bestimmung einer Basis $B_i$

  

  des Bildes von h_i(x). Dann wird der Zähler um 1 erhöht (Schritt S212). Solange in Schritt S206 i ≤ ℓ ist, werden die Schritte S209 bis S212 wiederholt. Wird in Schritt S206 festgestellt, dass i ≤ ℓ nicht erfüllt ist (Pfad „Nein“), wird in Schritt S207 als Ergebnis des Verfahrens die Basis B des Nullstellenraums des Schiefpolynoms p(x) bezüglich der verallgemeinerten Operatorauswertung bezüglich aller Auswertungsparameter a₁, a₂, ... , a_ℓ als Vereinigung der berechneten Basen $B=\left(B_1,B_2,\dots ,B_{\mathcal{l}}\right)$

  

  erhalten. Schritt S207 wird somit nach f Durchläufen durchgeführt.
• Im Flussdiagramm der 1 sind die Schritte S204 bis S207 und S209 bis S212 als Schritte S104 bis S107 und S109 bis S112 dargestellt. In Schritt S101 erfolgt zunächst eine Codierung der zu übertragenen Daten als Codewort c eines linearisierten Reed-Solomon-Codes, welcher durch eine Kontrollmatrix H beschrieben wird, wobei c in f Blöcke c⁽ⁱ⁾ aufgeteilt ist und jeder Block c⁽ⁱ⁾ für alle i = 1, ..., ℓ von einem Auswertungsparameter α_i abhängt. In Schritt S102 erfolgt die Übermittlung des Codeworts c über einen Kommunikationskanal und der Erhalt eines mit einem Fehler e behafteten Worts y = c + e. Ab Schritt S103 werden die Schritte im Decoder des Empfängers durchgeführt. In Schritt S103 erfolgt die Berechnung eines Syndroms s = (s₀, ..., s_n-k-1) aus dem empfangenen Wort y und der transponierten Kontrollmatrix H^T durch s = yH^T. Die dem Schritt S104 vorgelagerten Schritte S101 bis S103 stellen somit den Empfang einer Nachricht und vorbereitende Verarbeitungsschritte dar. Der abschließende Schritt S108, der auf Schritt S107 folgt, bestimmt den Fehler e durch Spalten- oder Zeilen-Auslöschungsdecodierung und das Codewort c als Differenz aus erhaltenem Wort y und Fehler e.
• Für den Fall, dass Teile des Nullstellenraums von p(x) bekannt sind, können die korrespondierenden Basen $B_i$

  

  mit den bekannten Basisvektoren initialisiert werden. Die „for“-Schleife in Zeile 1 kann parallelisiert werden, da die Aufgaben innerhalb der Schleife unabhängig voneinander sind. Dies ermöglicht eine schnelle Implementierung des erfindungsgemäßen Verfahrens.
• Bei der Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von rechts, „ggrT“ in Zeile 2, werden höchstens $M\left(m\right)$

  

  Operationen in ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  benötigt, wobei $M\left(m\right)$

  

  die Komplexität der Multiplikation von zwei Schiefpolynomen aus ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  des Grades m bezeichnet. Die Linksdivision, ldiv in Zeile 4, erfordert $M\left(m\right)$

  

  Operationen in ${\mathbb{F}}_{q^m}.$

  

  Der Grad von h_i (x) entspricht m - r_i und entspricht daher der Dimension des ${\mathbb{F}}_q-\text{linearen}$

  

  Nullstellenraums von h_i(x) für alle i = 1, ..., ℓ. Da jedes $b_j^{\left(i\right)}$

  

  zufällig aus ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  ausgewählt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass $$h_i{\left(b_j^{\left(i\right)}\right)}_{a_i}\notin \langle \left\{h_i{\left(b_1^{\left(i\right)}\right)}_{a_i},h_i{\left(b_2^{\left(i\right)}\right)}_{a_i},\dots ,h_i{\left(b_{j-1}^{\left(i\right)}\right)}_{a_i}\right\}\rangle q$$

  

  ist $$\frac{q^m-q^{m-r_i+j}}{q^m}=1-q^{j-r_i}.$$

  
• Daher ist die erwartete Anzahl von Berechnungen derart, dass Gleichung (19) gilt: $$\frac{1}{1-q^{j-r_i}}=1+\frac{1}{q^{r_i-j}-1}\le 2$$

  
• Für einen Auswertungsparameter α_i beträgt die erwartete Gesamtzahl der zufällig ausgewählten Elemente $${\displaystyle \sum {}_{j=1}^{r_i}\left(1+\frac{1}{q^{r_i-j}}\right)}<r_i+2.$$

  
• Die erwartete Gesamtzahl der Operationen für einen Auswertungsparameter α_i ist dann $${\displaystyle \sum _{j=1}^{r_i}\left({\text{C}}_{\text{ev}}+{\text{C}}_{\text{chk}}\right)}\left(1+\frac{1}{q^{r_i-j}}\right),$$

  

  wobei C_ev die Komplexität der Berechnung einer verallgemeinerten Operatorauswertung $h_i{\left(b_j^{\left(i\right)}\right)}_{a_i}$

  

  ist und C_chk die Komplexität der Überprüfung, ob ein Element von ${\mathbb{F}}_{q^m}$

  

  im Unterraum gemäß Zeile 7 des Algorithmus enthalten ist. Hieraus ergibt sich die Gesamtkomplexität des vorgeschlagenen Verfahrens zu 0 (ℓm deg(p)) Operationen in ${\mathbb{F}}_{q^m}.$

  
• Um die Leistung des eingangs beschriebenen herkömmlichen Verfahrens und des erfindungsgemäß vorgeschlagenen Verfahrens zu bewerten, sind die durchschnittlichen Ausführungszeiten für dieselben zufällig ausgewählten Polynome aus ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  mit einem Grad kleiner als (q - 1)m für q = 5 und verschiedene Erweiterungsgrade m in 3 verglichen. Die erhebliche Beschleunigung des vorgeschlagenen Verfahrens gegenüber dem Stand der Technik, insbesondere für größere Erweiterungsgrade m, ist daraus ohne weiteres ersichtlich. Für jeden Simulationspunkt wurde die Ausführungszeit über 100 Polynome mit einem Grad kleiner als (q - 1)m ermittelt, die zufällig aus ${\mathbb{F}}_{q^m}\left[x;\sigma \right]$

  

  gewählt wurden.
• Referenzen
• [1] O. Ore, „Theory of Non-Commutative Polynomials", Annals of Mathematics, S. 480-508, 1933.
• [2] U. Martínez-Peñas and F. R. Kschischang, „Reliable and Secure Multishot Network Coding using Linearized Reed-Solomon Codes", IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 65, Nr. 8, S. 4785-4803, 2019.
• [3] U. Martínez-Peñas, „Skew and Linearized Reed-Solomon Codes and Maximum Sum Rank Distance Codes over any Division Ring", Journal of Algebra, Vol. 504, S. 587-612, 2018.
• [4] T.-Y. Lam and A. Leroy, „Vandermonde and Wronskian Matrices over Division Rings", Journal of Algebra, Vol. 119, Nr. 2, S. 308-336, 1988.
• [5] O. Ore, „On a Special Class of Polynomials", Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 35, Nr. 3, S. 559-584, 1933.
• [6] A. Leroy, „Pseudolinear Transformations and Evaluation in Ore Extensions", Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin, Vol. 2, Nr. 3, S. 321-347, 1995.
• [7] U. Martínez-Peñas, „Private Information Retrieval from Locally Repairable Databases with Colluding Servers“, in IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT). IEEE, 2019, S. 1057-1061.
• [8] X. Caruso, „Residues of Skew Rational Functions and Linearized Goppa Codes“, arXiv preprint arXiv:1908.08430v1, 2019.
• [9] G. Richter and S. Plass, „Error and Erasure Decoding of Rank-Codes with a Modified Berlekamp-Massey Algorithm“, ITG Fachbericht, S. 203-210, 2004.
• [10] D. Silva, „Error Control for Network Coding“, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 2009.
• [11] D. Silva, F. R. Kschischang, and R. Kötter, „A Rank-Metric Approach to Error Control in Random Network Coding", IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 54, Nr. 9, S. 3951-3967, Sep. 2008.
• [12] E. R. Berlekamp, Algebraic Coding Theory (revised edition). World Scientific, 2015.
• [13] F. Le Gall, „Powers of Tensors and Fast Matrix Multiplication", in Proceedings of the 39th international symposium on symbolic and algebraic computation, 2014, S. 296-303.
• [14] V. Skachek and R. M. Roth, „Probabilistic Algorithm for Finding Roots of Linearized Polynomials", Designs, Codes and Cryptography, Vol. 46, Nr. 1, S. 17-23, 2008.
• [15] E. Ben-Sasson and S. Kopparty, „Affine Dispersers from Subspace Polynomials", SIAM Journal on Computing, Vol. 41, Nr. 4, S. 880-914, 2012.
• [16] „SageMath.“, [Online]. Verfügbar: https://www.sagemath.org
• [17] H. Bartz, T. Jerkovits, S. Puchinger and J. Rosenkilde, „Fast Decoding of Codes in the Rank, Subspace, and Sum-Rank Metric," in IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 67, No. 8, S. 5026-5050, Aug. 2021.

Claims (14)

1. Verfahren zur Fehlerkorrektur einer über einen Kommunikationskanal empfangenen Nachricht, die ein mit einem Fehler (e) behaftetes Wort (y) umfasst, wobei in dem Wort (y) ein Codewort (c) eines linearisierten Reed-Solomon-Codes, welcher durch eine Kontrollmatrix (H) beschrieben wird, enthalten ist, und wobei das Codewort (c) in eine vorgegebene Anzahl (f) an Blöcken (c⁽¹⁾, ..., c^(ℓ) aufgeteilt ist und jeder Block (c⁽ⁱ⁾ für alle i = 1, ..., ℓ) von einem Auswertungsparameter (α_i) abhängt, bei dem a) aus dem Wort (y) und der transponierten Kontrollmatrix (H^T) ein Syndrom (s = (s₀, ..., s_n-k-1)) und aus dem Syndrom (s = (s₀, ..., s_n-k-1)) ein Syndrompolynom (s(x)) ermittelt wird, b) eine von dem Syndrompolynom (s(x)) abhängige Gleichung gelöst wird, durch die ein Schiefpolynom (p(x)) bestimmt wird, dessen Nullstellenraum der Zeilen- oder Spaltenraum des gesuchten Fehlers (e) ist, wobei der Grad des Schiefpolynoms dessen Fehlergewicht beschreibt; c) eine Basis (B) des Nullstellenraums probabilistisch bestimmt wird, indem eine reduzierte Norm $\left(N_m\left(a\right)\right),$

   

   die von einem vorgegebenen Schiefpolynomring abhängig ist, verarbeitet wird, wobei die Basis (B) des Nullstellenraums den Zeilen- oder Spaltenraum des Fehlers (e) aufspannt; und d) der Fehler (e) durch eine Zeilen- oder Spalten-Auslöschungsdecodierung erhalten wird, wodurch das Codewort (c) aus dem empfangenen Wort (y) bestimmt werden kann.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass der Nullstellenraum dadurch berechnet wird, dass ein zweites Schiefpolynom minimalen Grades g_i(x) mit gleichem Nullstellenraum wie das Schiefpolynom (p(x)) bezüglich der verallgemeinerten Operatorauswertung und bezüglich dem fixierten Auswertungsparameter (α_i) bestimmt wird.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass ein drittes Schiefpolynom h_i (x), dessen Bild der Nullstellenraum von g_i (x) ist, bestimmt wird.
4. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Basis (B) des Nullstellenraums derart bestimmt wird, dass dieser durch eine Anzahl (f) verschiedener Auswertungsparameter (a_i, wobei i = 1, ..., ℓ) in Unterräume unterteilt wird.
5. Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass die Basen $\left(B_1,\dots ,B_{\mathcal{l}}\right)$

   

   der Unterräume des Nullstellenraums iterativ bestimmt werden.
6. Verfahren nach Anspruch 4 oder 5, dadurch gekennzeichnet, dass die Basen $\left(B_1,\dots ,B_{\mathcal{l}}\right)$

   

   der Unterräume des Nullstellenraums unabhängig voneinander bestimmt werden.
7. Verfahren nach Anspruch 5 oder 6, dadurch gekennzeichnet, dass die Basis (B) des Nullstellenraums durch Vereinigung der iterativ berechneten Basen $\left(B_1,\dots ,B_{\mathcal{l}}\right)$

   

   der Unterräume des Nullstellenraums erzeugt wird.
8. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Anzahl (f) der verschiedenen Auswertungsparameter (a_i) durch die Zahl nicht-trivialer Konjugationsklassen begrenzt ist.
9. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Auswertungsparameter (a_i) aus verschiedenen nicht-trivialen Konjugationsklassen bezüglich des Schiefpolynomrings gewählt sind.
10. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Auswertungsparameter (a_i) und die reduzierten Normen $\left(N_m\left(a_i\right)\right)$

    

    Elemente eines endlichen Körpers $\left({\mathbb{F}}_{q^m}\right)$

    

    sind.
11. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die reduzierte Norm (N_m,(a)) ermittelt wird gemäß: $$N_m\left(a\right)={\sigma }^{m-1}\left(a\right){\sigma }^{m-2}\left(a\right)\dots \sigma \left(a\right).$$

    

    wobei $\sigma :{\mathbb{F}}_{q^m}\to {\mathbb{F}}_{q^m}$

    

    ein Automorphismus des endlichen Körpers ${\mathbb{F}}_{q^m}$

    

    ist.
12. Computerprogrammprodukt, das direkt in den internen Speicher eines digitalen Computers geladen werden kann und Softwarecodeabschnitte umfasst, mit denen die Schritte gemäß einem der Ansprüche 1 bis 11 ausgeführt werden, wenn das Produkt auf einem Computer läuft
13. Decoder zur Fehlerkorrektur einer über einen Kommunikationskanal empfangenen Nachricht, die ein mit einem Fehler (e) behaftetes Wort (y) umfasst, wobei in dem Wort (y) ein Codewort (c) eines linearisierten Reed-Solomon-Codes, welcher durch eine Kontrollmatrix (H) beschrieben wird, enthalten ist, und wobei das Codewort (c) in eine vorgegebene Anzahl (f) an Blöcken (c⁽¹⁾, ..., e^(ℓ)) aufgeteilt ist und jeder Block (c⁽ⁱ⁾ für alle i = 1, ..., ℓ) von einem Auswertungsparameter (a_i) abhängt, wobei der Decoder eine Recheneinheit umfasst, die dazu ausgebildet ist, a) aus dem Wort (y) und der transponierten Kontrollmatrix (H^T) ein Syndrom (s = (s₀, ..., s_n-k-1)) und aus dem Syndrom (s = (s₀, ..., s_n-k-1)) ein Syndrompolynom (s(x)) zu ermitteln; b) eine von dem Syndrompolynom (s(x)) abhängige Gleichung zu lösen, durch die ein Schiefpolynom (p(x)) bestimmt wird, dessen Nullstellenraum der Zeilen- oder Spaltenraum des gesuchten Fehlers (e) ist, wobei der Grad des Schiefpolynoms dessen Fehlergewicht beschreibt; c) eine Basis (B) des Nullstellenraums probabilistisch zu bestimmen, indem eine reduzierte Norm $\left(N_m\left(a\right)\right),$

    

    die von einem vorgegebenen Schiefpolynomring abhängig ist, verarbeitet wird, wobei die Basis (B) des Nullstellenraums den Zeilen- oder Spaltenraum des Fehlers (e) aufspannt; und d) den Fehler (e) durch eine Zeilen- oder Spalten-Auslöschungsdecodierung zu bestimmen, wodurch das Codewort (c) aus dem empfangenen Wort (y) bestimmt werden kann.
14. Decoder nach Anspruch 13, der zur Durchführung der Schritte eines oder mehrerer der Ansprüche 1 bis 11 ausgebildet ist.

Images