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Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Steuerung einer Anlage, bei dem das zukünftige Verhalten beobachtbarer Größen die Grundlage für die Steuerungsfunktion bildet und bei dem Szenarien in Baumstruktur erzeugt werden und bei der Szenarienreduktion Repräsentanten gebildet werden. Ferner betrifft die Erfindung Computerprogrammprodukte mit Programmcodemitteln zur Durchführung des Verfahrens.
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Insbesondere betrifft das Verfahren die Erzeugung von Szenarien für mehrstufige stochastische Optimierungsprobleme. Das Verfahren eignet sich zur Simulation von Problemen mit Arbitragemöglichkeiten.
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Das dieser Erfindung zu Grunde liegende technische Problem liegt darin, dass es auch bei der Verwendung sehr schneller Computer sehr lange dauert, wenn mit komplexen Systemen gearbeitet wird.
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Bei stochastischen Optimierungsproblemen wird, wie bei der (deterministischen) Optimierung, versucht, eine Zielfunktion mit Hilfe von Steuerungen beziehungsweise Entscheidungen zu optimieren. Hierbei können verschiedene Teile des Modells stochastischen Einflüssen unterliegen.
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Diese stochastischen Parameter, die in der Zielfunktion oder den die Restriktionen beschreibenden Gleichungen beziehungsweise Ungleichungen auftreten, können durch einen (mehrdimensionalen) stochastischen Prozess dargestellt werden. Ein solcher stochastischer Prozess besitzt einen endlichen, diskreten (Zeit-)Horizont, wobei der Startwert des Prozesses als bekannt vorausgesetzt werden kann.
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Bei mehrstufigen stochastischen Optimierungsproblemen wird zusätzlich gefordert, dass die Entscheidungen einer Stufe nur von den bis dahin vorhandenen Informationen abhängen (der Entscheidungsprozeß ist somit rekursiv), das heißt von den Realisierungen des stochastischen Prozesses bis zu dieser (Zeit-)Stufe. Dies wird durch zusätzliche Nebenbedingungen, den Nichtantizipativitätsrestriktionen, erreicht.
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Um zwei- oder mehrstufige stochastische Optimierungsprobleme zu lösen, müssen im Allgemeinen numerische Verfahren verwendet werden. Hierzu muss der (kontinuierliche) stochastische Prozess durch einen Prozess mit endlich vielen Szenarien ersetzt werden, das heißt es muss die multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung des stochastischen Prozesses durch eine diskrete Verteilung ersetzt werden.
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Nach der Modellierung des multivariaten stochastischen Prozesses existieren bisher drei Methoden zu dessen Diskretisierung
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- Büschelgenerierung: Erzeugung von endlich vielen Szenarien durch die Berechnung unabhängiger Realisierungen des Prozesses. Durch den in allen Szenarien gleichen Startwert entsteht mit dieser Methode ein Szenarienbüschel.
- Baumreduktion: Erzeugung eines Szenarienbüschels nach der oben genannten Methode zur Büschelgenerierung und Zusammenfassen von Szenarien, die sich bis zu einem (Zeit-)Schritt ähnlich verhalten. Durch Variation des Schrittparameters erhält man mit dieser Methode Szenarienbäume.
- t-äre Baumgenerierung: Ausgehend vom Startwert werden bis zur nächsten (Zeit-)Stufe t Szenarien erzeugt. Deren Endpunkte bilden die Startpunkte zur Generierung von jeweils weiteren t Szenarien bis zur nächsten (Zeit-)Stufe. Iterativ erhält man mit dieser Methode einen t-ären Baum.
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Bei stochastischen Prozessen mit hoher Volatilität oder insbesondere, wenn einzelne Prozesse einen Sprungprozess beinhalten, muss der kontinuierliche stochastische Prozess durch eine hohe Anzahl diskreter Szenarien ersetzt werden, um hinreichend gut repräsentiert zu werden (1). Da sich mit der Anzahl an Szenarien auch das entsprechende Optimierungsproblem vergrößert, ist bei der numerischen Lösung des Problems die Anzahl an Szenarien durch Speicher und Rechenleistung begrenzt.
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Insbesondere bei Verwendung von Sprungprozessen kann das kontinuierliche Problem mit heutigen Computern und Lösungsprogrammen häufig nicht mehr adäquat durch Szenarienbüschel repräsentiert und gelöst werden. Ein weiteres Problem dieser Methode ist, dass jedes Szenario nach dem Start bei der Optimierung für sich allein ein Optimum erreichen kann, so dass eine überschätzende oder eine unterschätzende Lösung berechnet wird.
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Durch eine nachträgliche Baumreduktion können größere Szenarienbüschel der numerischen Lösung zugeführt werden. Hier zeigt sich bei hoher Volatilität der Prozesse und der Anwesenheit von Sprungprozessen neben der Abhängigkeit von der verbleibenden Anzahl an Szenarien eine große Abhängigkeit der Lösung von der Auswahl der Repräsentanten gleichartiger Szenarien. Die Auswahl eines existierenden Szenarios, zum Beispiel des Median, führt bei der Lösung des Optimierungsproblems zu einer Fehleinschätzung des Zielergebnisses aufgrund der szenarioimmanenten Arbitragemöglichkeiten.
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Daher wird in der Erfindung zur Repräsentanz mehrerer Szenarien eine verteilungsabhängige Mittelwertbildung über die zu repräsentierenden Szenarien vorgenommen.
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Ein weiteres Problem bei der nachträglichen Baumreduktion aus einem Szenariobüschel ist das Auffinden (Clustern) gleichartiger Szenarien innerhalb der betrachteten Zeitbereiche. Insbesondere bei Prozessen, die eine Rückkehr zum Mittelwert (Mean-Reversion) modellieren, führt die hieraus resultierende stationäre Verteilung in Konvergenz dazu, dass der resultierende Baum sich im Extremfall an einem beliebigen Zeitpunkt von einem deterministischen Szenario zum vollen Büschel aufspaltet (2).
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Bei der Erzeugung eines t-Baumes wächst die Anzahl an Szenarien mit der Anzahl an (Zeit-)Schritten exponentiell an. Daher können mit dieser Methode nur Optimierungsprobleme mit wenigen (Zeit-)Schritten gelöst werden.
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Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, für Optimierungsprobleme mit beliebig vielen endlichen (Zeit-)Schritten eine Szenarienstruktur zu erzeugen, die einen rekursiven Entscheidungsprozess beschreibt und dabei den kontinuierlichen Prozess möglichst genau und (lokal) stabil approximiert. Dabei wird im Unterschied zur t-ären Baumgenerierung mit beliebig vielen endlichen (Zeit-)Schritten eine Szenarienstruktur erzeugt, die im Unterschied zum Szenariobüschel einen rekursiven Entscheidungsprozess beschreibt.
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Diese Aufgabe wird mit einem gattungsgemäßen Verfahren gelöst, bei dem iterativ zwischen Knoten mehr als 1000 Szenarienstrukturen generiert und reduziert werden, um lokal die multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung des stochastischen Prozesses asymptotisch zu approximieren. Dabei werden in der Praxis sehr viele (10000 und mehr) Szenarienstrukturen generiert.
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Das Verfahren kombiniert die Eigenschaft der t-ären Baumgenerierung, einen rekursiven Entscheidungsprozess zu modellieren, bei dem in jedem Szenario und in jedem (Zeit-)Schritt mehrere Fortsetzungen des Szenarios möglich sind, mit der Stabilitätseigenschaft der Baumreduktion, die durch das zu reduzierende Büschel vorgegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung stabil zu approximieren.
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Das erfindungsgemäße Verfahren teilt sich in mehrere Verfahrensschritte auf:
- a) Festlegung der Entscheidungsschritte beziehungsweise Entscheidungs-(Zeit-)Punkte.
- b) Festlegung der Anzahl an Verzweigungsknoten zu jedem Entscheidungs-(Zeit-)Punkt.
- c) Festlegung der Anzahl an Szenarien, auf die die in jedem Knoten des vorigen Entscheidungs-(Zeit-)Punkts erzeugten Szenarien reduziert werden, auf Basis der in b festgesetzten Anzahl an Verzweigungsknoten zum nächsten Entscheidungs-(Zeit-)Schritt.
- d) Iterative Erzeugung von Szenarienbüscheln zwischen Entscheidungs-(Zeit-)Punkten, wobei als Startwert der Szenearienerzeugung entweder der Startwert des zugrundeliegenden stochastischen Prozesses (erster Iterationsschritt) oder die jeweiligen Endwerte der im vorangehenden Iterationsschritt erzeugten und reduzierten Szenarien verwendet werden.
- e) Reduktion der in c erzeugten Szenarienbüschel auf die in d festgesetzte Anzahl an Szenarien (Baumreduktion).
- Schritt a): Im vorgeschlagenen Verfahren geschieht die Festlegung der Entscheidungsschritte durch direkte Vorgabe. Alternativ können Entscheidungsschritte durch eine Voruntersuchung des Verhaltens des zugrundeliegenden stochastischen Prozesses mit Monte-Carlo-Methoden erfolgen. Hierzu wird ein hinreichend großes Szenarienbüschel erzeugt und einer Baumreduktion mit vorgegebener Schrittweite unterworfen. Es wird als vorteilhaft vorgeschlagen, für diese Voruntersuchung nur strukturelle Teilprozesse zu berücksichtigen und Störterme wie etwa vorhandene Sprungprozesse nicht zu berücksichtigen.
- Schritt b): Die Festlegung der Anzahl an Verzweigungsknoten basiert auf einer Vorgabe der Anzahl an Knoten zum letzten Entscheidungs-(Zeit-)Punkt und der Standardabweichung des zugrundeliegenden wesentlichen stochastischen Prozesses an den Entscheidungs-(Zeit-)Punkten. Hierbei ist der wesentliche stochastische Prozess derjenige Teilprozess, der für die Zunahme der Unsicherheit bei Erhöhung der Entscheidungsschritte verantwortlich ist (zumeist ein Diffusionsterm). Die Anzahl an Knoten zum letzten Entscheidungs-(Zeit-)Punkt kann wieder durch direkte Vorgabe oder durch eine vorher durchgeführte Baumreduktion erfolgen. Wenn die Standardabweichung des zugrundeliegenden Prozesses an den Entscheidungs-(Zeit-)Punkten bekannt ist oder berechnet werden kann, bestimmt sich die Anzahl an Knoten an einem beliebigen Entscheidungs-(Zeit-)Punkt aus der Anzahl an Knoten zum End-(Zeit-)Punkt anteilig zur jeweiligen Standardabweichung am betreffenden Entscheidungs-(Zeit)Punkt zur Standardabweichung zum End-(Zeit-)Punkt. Alternativ kann die Anzahl an Verzweigungsknoten auch mit einer vorher durchgeführten Baumreduktion mit denselben Entscheidungs-(Zeit-)Punkten bestimmt werden.
Anmerkung zu Schritt b): Bei Prozessen mit zeitabhängiger Volatilität kann es zu temporärer Abnahme der Standardabweichung des stochastischen Prozesses kommen. Hierbei ist zu beachten, dass bei Entscheidungs-(Zeit-)Punkten mit kleinerer Standardabweichung als beim vorhergehenden Entscheidungs-(Zeit-)Punkt die Knotenanzahl des vorhergehenden Entscheidungs-(Zeit-)Punkts übernommen werden muss, um eine mit den Entscheidungs-(Zeit-)Punkten monoton wachsende Knotenanzahl zu gewährleisten. Bei solchen Prozessen übernimmt der Entscheidungs-(Zeit)Punkt mit der höchsten Standardabweichung die Rolle des End-(Zeit)Punkts.
Prozesse, die per se keine Zunahme der Unsicherheit beinhalten, sind in der Regel ungeeignete Modelle für die stochastische Optimierung und sollten entsprechend abgeändert werden. So kann bei Mean-Reversion-Prozessen der gegebenenfalls zeitabhängige, aber deterministische Mittelwert durch einen stochastischen Mittelwert ersetzt werden, zum Beispiel durch Addition eines Wiener Prozesses auf den deterministischen Mittelwert.
- Schritt c): Die Anzahl an Szenarien, auf die die in jedem Knoten erzeugten Szenarien reduziert werden, bestimmt sich aus der Anzahl an Knoten des nächsten Entscheidungs-(Zeit-)Punkts. Diese Anzahl wird anteilig bezüglich der Wahrscheinlichkeit des Szenarios, dessen Endwert der Startwert des in diesem Knoten generierten Szenarienbüschels war, berechnet.
- Schritte d und e): Beginnend mit dem vorgegebenen Startwert wird eine sehr hohe Anzahl an Szenarien als Büschel generiert. Als End-(Zeit-)Punkt kann der nächste Entscheidungs-(Zeit-)Punkt (Variante 1) oder der Endzeitpunkt (Variante 2) verwendet werden. Dieses Szenarienbüschel wird mit einer Baumreduktion mit den zwei (Zeit-)Schritten Start und erster Entscheidungs-(Zeit-)Punkt auf die für den ersten Entscheidungs-(Zeit)Punkt bestimmte Anzahl an Knoten reduziert. Für jedes Szenario werden, ausgehend vom ersten Entscheidungs-(Zeit-)Punkt mit dem Wert des Szenarios an diesem Entscheidungs-(Zeit-)Punkt als Startwert wieder eine sehr hohe Anzahl an Szenarien generiert, wobei abhängig von der im ersten Schritt gewählten Variante als End-(Zeit-)Punkt der nächste Entscheidungs-(Zeit-)Punkt oder der End-(Zeit-)Punkt gewählt wird. Jedes dieser Szenarienbüschel wird auf die in c bestimmte Anzahl Szenarien nach der im ersten Schritt beschriebenen Baumreduktion reduziert. Diese iterative Erzeugung und Reduktion wird bis zum End-(Zeit-)Punkt wiederholt.
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Ein Computerprogramm mit Computerprogrammcodemitteln zur Durchführung des beschriebenen Verfahrens ermöglicht es, das Verfahren als Programm auf einem Computer auszuführen.
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Ein derartiges Computerprogramm kann auch auf einem computerlesbaren Datenspeicher gespeichert sein.
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Der Stand der Technik, das erfindungsgemäße Verfahren und ein Vergleich der Ergebnisse sind in der Zeichnung dargestellt und werden im Folgenden beschrieben. Es zeigt
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1 einen Szenarienbaum nach Baumreduktion zwischen äquidistanten Entscheidungspunkten,
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2 einen Szenarienbaum bei einer Baumreduktion von 1000 Realisierungen eines Mean-Reversion-Prozesses auf 125 Szenarien,
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3 eine Darstellung von 100 durch das beschriebene Verfahren aus einem Wiener-Prozess erzeugten Szenarien und
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4 einen Vergleich der Ergebnisse der stochastischen Optimierung des beschriebenen Optimierungsproblems unter Verwendung verschiedener Szenariostrukturen.
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Der in 1 gezeigte Szenarienbaum beschreibt eine Baumreduktion zwischen äquidistanten Entscheidungspunkten ti = 100i mit i = 0...10 (x-Achse) auf 52 Szenarien. Die oberen Blätter des Baumes gehören zu Sprungszenarien, die ab ihrem Sprungzeitpunkt aus der Baumstruktur ausgekoppelt werden.
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Einen Szenarienbaum bei einer Baumreduktion von 1000 Realisierungen eines Mean-Reversion-Prozesses auf 125 Szenarien beschreibt die 2.
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Die 3 zeigt einen mit dem vorgeschlagenen Verfahren erzeugten Szenariobaum mit einem zugrundeliegenden Wiener Prozess und drei Entscheidungspunkten.
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Dabei werden 100 durch das beschriebene Verfahren aus einem Wiener-Prozess erzeugte Szenarien mit Entscheidungszeitpunkten t0 = 0, t1 = 50 und t2 = 100 dargestellt. Hervorgehoben sind ±2t0.5-Umgebungen für ausgewählte Knoten ab den Entscheidungszeitpunkten t0 und t1.
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In 4 werden die Ergebnisse einer stochastischen Optimierung des folgenden Optimierungsproblems verglichen.
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Ein Speicher, der zu Beginn mit Wasser mit einer bestimmten Temperatur gefüllt ist, kann pro Zeitschritt (Tagesschritte) bis zu einer Menge Wasser vom Markt aufnehmen oder bis zu einer gewissen Menge an den Markt abgeben. Die Wassertemperatur der aufgenommenen und abgegebenen Wassermengen folgt einem stochastischen Prozess, der durch ein Mean-Reversion-Jump-Diffusion Modell beschrieben wird. Die Aufgabe ist, die erwartete Temperatur im Speicher nach fünf Wochen zu ermitteln.
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Hierzu wurden verschiedene Szenarienstrukturen herangezogen. Büschelgenerierung mit 3000, 2000 und 1000 Szenarien (Bü 3000, Bü 2000 und Bü 1000). Büschelreduktionen (das heißt eine Baumreduktion mit den Entscheidungszeitpunkten Startzeitpunkt und Endzeitpunkt) von 10000 Szenarien auf 1000, 500, 200 und 100 Szenarien (BüR 10000-1000, Bü 10000-500, Bü 10000-200 und Bü 10000-100) sowie die vorgeschlagene Baumgenerierung mit 3000, 2000, 1000, 500, 200 und 100 Szenarien.
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Die Büschelgenerierungen erzielen jeweils die höchste Temperatur, was als Überschätzung aufgrund der Arbitragemöglichkeiten innerhalb der Szenarien interpretiert werden kann. Bei der Büschelreduktion haben durch das Zusammenfassen und Gewichten der Szenarien die extremeren, die Temperatur erhöhenden Szenarien weniger Einfluss auf das Ergebnis als die nahe dem Mittelwert liegenden Szenarien. Bereits bei dem gewählten kurzen Zeithorizont und der mäßigen Volatilität des stochastischen Prozesses führt dies zu einer erheblichen Instabilität der Ergebnisse bezüglich der Anzahl der verbleibenden Szenarien. Die Baumreduktion ist bei einer Zusammenfassung der Szenarien im vorderen Bereich hinreichend stabil, jedoch nicht mehr bei echter Szenarienreduktion.
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Das vorgeschlagene Verfahren zeigt von allen untersuchten Reduktionsmethoden die besten Stabilitätseigenschaften bezüglich der Ergebnisse der stochastischen Optimierung.
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Das beschriebene Verfahren eignet sich auch für andere Aufgaben. Beispielsweise hilft das Verfahren bei der Steuerung von Anlagen, bei denen das zukünftige Verhalten beobachtbarer Größen die Grundlage für die Steuerungsfunktion bildet.
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Dies ermöglicht es beispielsweise als Originalinput historische Wetterdaten wie Sonnenintensität, Windgeschwindigkeit und Niederschlagsmenge einzugeben, während als Ausgangswert der Stromverbrauch zu bestimmten Tageszeiten angesetzt wird. Durch eine entsprechende Optimieren wird der Response so optimiert, dass die Ausgabe immer stabiler und somit der Ausgabefehler immer geringer wird. Danach kann das Netz für Prognosen verwendet werden, indem prognostizierte Wetterdaten eingegeben werden und zu erwartende Stromverbrauchswerte ermittelt werden.
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Während für derartige Berechnungen mit einem herkömmlichen Prozess im praktischen Einsatz viele zeitaufwändige Untersuchungen zum Finden der optimalen Szenarien notwendig waren, erlaubt das erfindungsgemäße Verfahren ein Ergebnis innerhalb weniger Sekunden oder Minuten.
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Das beschriebene Verfahren ermöglicht somit eine starke Reduktion der benötigten Zeit beispielsweise bei einem vorgegebenen künstlichen neuronalen Netz. Darüber hinaus kann auch das benötigte Netz verkleinert werden, ohne dass dadurch die Qualität der Ergebnisse leidet.
