DE102010010391A1

DE102010010391A1 - Method for demonstration of Couette-flow between two coaxial cylinders rotating relative to each other for teaching physics, involves providing process gas in cylinder rotatable by motor, and identifying resulting gas flow by indicators

Info

Publication number: DE102010010391A1
Application number: DE201010010391
Authority: DE
Inventors: Dr. Bschorr Oskar; Rudolf Hirschmanner
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 2010-03-05
Filing date: 2010-03-05
Publication date: 2011-11-24

Abstract

The method involves providing a process gas (11) under continuum condition with Knudsen numbers less than one in an outer cylinder (12) that is rotatable by a rotation motor (14), and identifying resulting gas flow by indicators i.e. impeller. A time constant is utilized for determining an adjustment of stationary flow of the process gas by a pressure reduction of the process gas. A set of dilator components is provided for illustrating rotation phenomena of the gas.

Description

Gegenstand ist ein Demonstrationsmodell für Couette-Strömungen in Gasen, primär für den Physikunterricht und ebenfalls als Exponat.Subject is a demonstration model for Couette currents in gases, primarily for physics lessons and also as an exhibit.

Apparativ am nächsten kommt die 1873 von Crookes erfundene Lichtmühle. Sie besteht aus einem evakuierten Glaskolben mit einem drehbar gelagerten Flügelrad. Die Flügelflächen sind aus wärmeisolierenden Glimmerblättchen, deren eine Seite spiegelnd und die andere geschwärzt ist. Bei Lichteinfall kommt es zur Rotation des Flügelrades. Die nahe liegende Vermutung mit dem Lichtdruck als Ursache kam nicht in Betracht; gegenüber der absorbierenden Fläche weist die reflektierende den doppelten Lichtdruck auf und das Flügelrad müsste sich mit der schwarzen Fläche voraus drehen. Tatsächlich besteht der umgekehrte Drehsinn. Auch eine Nachrechnung zeigt, dass die zu erwartenden Lichtdrücke größenmäßig nicht in Frage kommen. Die nächste Erklärung, dass in einer freien Molekularströmung die Gasmoleküle von der bestrahlten, schwarzen Seite mit höherer Geschwindigkeit reflektiert werden musste ebenfalls fallen gelassen werden. Die Molekularströmung verlangt freie Weglängen der Gasmoleküle größer/gleich der Kolbenabmessung, also Knudsen-Zahlen größer eins, Kn > 1. Tatsächlich erreicht die Lichtmühle ihr Optimum bei einem Kolbendruck von ca 5 [Pa] entsprechend einer freien Weglänge von 1,5 mm und mit einer Knudsen-Zahl Kn << 1 und es liegt ein reines Gaskontinuum vor. Bei einer Lichteinstrahlung besteht am schwarzen Flügelrad eine Übertemperatur und es kommt zu einem Wärmefluss. Nach BWK Bd. 40 Nr. 7/8. S. 313–316. „Radiometerkräfte an einer Flammenfront” verursacht ein resultierender Wärmestrom q [W/m²] eine Druckdifferenz Δp → q/c₀ [Pa] zwischen der Wärmequelle und der -senke. (c₀ [m/s] = mittlere thermische Molekülgeschwindigkeit). Bei einem mittleren Abstand d [m] zwischen Flügelrad als Wärmequelle und Glaskolben als Senke ist die Zeitkonstante σ = d²/α [s] mit der sich das Wärme- und damit das Druckfeld einstellen bei Normaldruck zu klein. Die Temperaturleitzahl α = λ/ρc_v [m²/s] (c_v = spezifische Wärme bei konstantem Volumen) eines Gases ist umgekehrt proportional zur Dichte ρ [kg/m³] und ist deshalb bei einem Unterdruck von 5 [Pa] in der Crookes-Lichtmühle um den Faktor 20000 höher als bei Atmosphärendruck. Ein weiteres Indiz für den q/c₀-Effekt liefert die Rückrotation des Flügelrades bei Abkühlung des Glaskolbens. Hier nimmt die geschwärzte Flügelseite aufgrund der höheren Emission eine niedere Temperatur an und mit einer Umkehrung des Wärmestroms q wirkt auch die Druckdifferenz Δp in Gegenrichtung.Apparatively closest is the 1873 by Crookes invented light mill. It consists of an evacuated glass bulb with a rotatably mounted impeller. The wing surfaces are made of heat-insulating mica flakes, one side of which is reflective and the other blackened. When the light comes in it comes to the rotation of the impeller. The obvious assumption with the light pressure as the cause was out of the question; opposite to the absorbing surface, the reflective has twice the light pressure and the impeller would have to rotate ahead with the black surface. In fact, there is the reverse sense of rotation. A recalculation also shows that the expected light pressures are out of the question. The next explanation, that in a free molecular flow the gas molecules had to be reflected from the irradiated, black side with higher speed had to be dropped as well. The molecular flow requires free path lengths of the gas molecules greater than or equal to the piston dimension, ie Knudsen numbers greater than one, Kn> 1. In fact, the light mill reaches its optimum at a piston pressure of about 5 [Pa] corresponding to a free path of 1.5 mm and a Knudsen number Kn << 1 and there is a pure gas continuum. When exposed to light, there is an excess temperature at the black impeller and there is a heat flow. To BWK Vol. 40 No. 7/8. Pp. 313-316. "Radiometer forces on a flame front" causes a resulting heat flow q [W / m ² ] a pressure difference Δp → q / c ₀ [Pa] between the heat source and the sink. (c ₀ [m / s] = mean thermal molecular velocity). At a mean distance d [m] between impeller as heat source and glass bulb as sink, the time constant σ = d ² / α [s] with which the heat and thus the pressure field set at normal pressure is too small. The temperature coefficient α = λ / ρc _v [m ² / s] (c _v = specific heat at constant volume) of a gas is inversely proportional to the density ρ [kg / m ³ ] and is therefore at a negative pressure of 5 [Pa] in the Crookes light mill by a factor of 20,000 higher than at atmospheric pressure. Another indication of the q / c ₀ effect is provided by the back rotation of the impeller when the glass bulb cools down. Here the blackened wing side assumes a lower temperature due to the higher emission and with a reversal of the heat flow q the pressure difference Δp also acts in the opposite direction.

Demgegenüber besteht der klassische Couette-Versuch aus zwei koaxialen, relativ zueinander rotierenden Zylindern. Für die im Zwischenraum gegebene Couette-Strömung wird ebenfalls die Kontinuumsbedingung mit Kn << 1 unterstellt. Ausgeschlossen sei der Bereich der Taylor-Instabilität mit Taylorzahlen Ta < 40. Ein maßgebender Versuchsparameter ist die Zeitkonstante τ [s] mit der sich stationäre Couette-Strömung einstellt. Bei einem Spaltabstand d [m] und einer kinematischen Viskosität υ [m²/s] des Gases ist τ = d²/υ. In den 1 bis 3 sind dazu verschiedene Ausführungsformen gezeigt. Natürliches Arbeitsmedium ist einmal Luft, zum andern auch niedrigmolekulare Gase wie Wasserstoff und Helium und das andere Extrem mit schweren Gasen und Dampfen. Um die Taylor-Instabilität auszuschließen und um kurze Einstellzeiten zu erreichen, wird die kinematische Gasviskosität durch eine Druckabsenkung vergrößert. Der theoretische Hintergrund dazu ist in den 4 bis 8 zusammengestellt. Speziell sind in den 4 und 5 die strömungsbedingten, irreduziblen Verformungen in Tabellenform aufgelistet. Die 6 und 7 beziehen sich auf zwei einfache Modellströmungen, die Zylinderrotation und die Kugelexpansion. Zur Redundanz ist in 8 eine alternative Ableitung wiedergegeben.In contrast, the classic Couette test consists of two coaxial, relatively rotating cylinders. The continuum condition with Kn << 1 is also assumed for the Couette flow given in the intermediate space. Excluded is the range of Taylor instability with Taylor numbers Ta <40. An authoritative experimental parameter is the time constant τ [s], which sets steady-state Couette flow. With a gap distance d [m] and a kinematic viscosity υ [m ² / s] of the gas, τ = d ² / υ. In the 1 to 3 For this purpose, different embodiments are shown. Natural working medium is once air, on the other hand also low-molecular gases such as hydrogen and helium and the other extreme with heavy gases and vapors. To exclude the Taylor instability and to achieve short response times, the kinematic gas viscosity is increased by a pressure drop. The theoretical background is in the 4 to 8th compiled. Especially in the 4 and 5 the flow-related, irreducible deformations are listed in tabular form. The 6 and 7 refer to two simple model flows, the cylinder rotation and the sphere expansion. To the redundancy is in 8th reproduced an alternative derivative.

Das Ausführungsbeispiel in 1 zeigt ein Demonstrationsmodell 10 für eine Couette-Rotation. Dazu befindet sich ein Arbeitsgas 11 konzentrisch zwischen einem Außenzylinder 12 und einem Innenzylinder 13. Der Außenzylinder 12 kann über einen Motor 14 in Drehung versetzt werden.The embodiment in 1 shows a demonstration model 10 for a Couette rotation. For this purpose there is a working gas 11 concentric between an outer cylinder 12 and an inner cylinder 13 , The outer cylinder 12 can be via a motor 14 be set in rotation.

Um in kurzer Zeit einen stationären Strömungszustand frei von Taylor-Wirbeln zu erreichen ist der Druck des Arbeitsgases 11 herabgesetzt. Der Innenzylinder 13 ist auf einer Nadel 15 drehbar gelagert, besitzt keinen eigenen Antrieb und wird über die Couette-Rotation mitbewegt. Eine höhere Unterdruckfestigkeit haben die in den 2 und 3 vorgesehenen Außenkugeln 22 und 32. In diesen befindet sich jeweils das Arbeitsgas 21 und 31 und die Rotation wird wieder durch die Motore 24 und 34 aufrechterhalten. Um im Modell 20 den Rotationseffekt sichtbar zu machen dient ein frei drehbares Flügelrad 23 und im Ausführungsbeispiel 30 ein bei Schwenkung der Außenkugel 31 abwechselnd in beide Fallrichtungen wirksamer Sandstrahl 33. Alternativen dazu sind im Arbeitsgas 31 schwebende Aerosole oder Strömungsfäden mit minimaler Biege- und Torsionssteifigkeit.In order to achieve a stationary flow state free of Taylor vortices in a short time, the pressure of the working gas 11 reduced. The inner cylinder 13 is on a needle 15 rotatably mounted, has no own drive and is moved via the Couette rotation. A higher vacuum resistance have in the 2 and 3 provided outer balls 22 and 32 , In each of these is the working gas 21 and 31 and the rotation is back through the motors 24 and 34 maintained. To be in the model 20 to visualize the rotation effect serves a freely rotatable impeller 23 and in the embodiment 30 one at pivoting the outer ball 31 alternating sandblasting in both directions 33 , Alternatives to this are in the working gas 31 suspended aerosols or flow filaments with minimal bending and torsional rigidity.

Zu 4 und 5: Die Gasströmung sei durch die vektorielle Gasgeschwindigkeit v = v(x, y, z, t) [m/s] vorgegeben. Nach dem Fundamentalsatz der Kinematik lässt sich der Strömungsgradient ∇v = Σ∇v _# [l/s] auf drei orthogonale Grundkomponenten # = Dil, Rot und Dev zurückführen: Die Dilatation (Dil) umfasst die formtreue Volumenveränderung, ausgedrückt durch div v = U··∇v. [l/s]. Die Rotation (Rot) wird durch rot v = U·x∇v [l/s] wiedergegeben und betrifft die volumen- und formtreue Drehung. Bei der Deviation (Dev) mit dem Operator dev v = Uxx∇v [l/s] handelt es sich um eine volumentreue, rotationsfreie Verformung mit dem symmetrischen, spurlosen Tensor dev v. Rein formal wird zunächst jedem Verformungstyp # ein eigener Viskositätskoeffizient η_# [Pas] und ein Spannungstensor S_# = η_#(∇v)_# [Pa] zugeordnet. (U = Einheitsdyade. Vektor und Tensor durch Unterstreichung gekennzeichnet. a·b = Skalarprodukt. a × b = Vektorprodukt).To 4 and 5 The gas flow is given by the vectorial gas velocity v = v (x, y, z, t) [m / s]. According to the fundamental theorem of kinematics, the flow gradient ∇ v = Σ∇ v _# [l / s] can be traced back to three orthogonal basic components # = Dil, Red and Dev: The dilation (Dil) comprises the faithful volume change expressed by div v = U ·· ∇ v . [L / s]. The rotation (red) is represented by red v = U × x v [l / s] and relates to the volume and shape true rotation. Deviation (Dev) with the operator dev v = U xx∇ v [l / s] it is a volume-faithful, rotation-free deformation with the symmetric, traceless tensor dev v . Formally, first, each deformation type # is assigned its own viscosity coefficient η _# [Pas] and a stress tensor S _# = η _# (∇ v ) _# [Pa]. ( U = unit dyad, vector and tensor indicated by underlining, a · b = dot product, a × b = vector product).

In 6 und 7 werden die Verformungstypen (∇v)_# für die Zylinder-Rotation und die Kugel-Expansion aufgestellt und daraus die Spannungstensoren S_# gebildet. In 6/hi wird daraus die in Umfangsrichtung wirkende Scherspannung σ_rφ [Pa] bestimmt und dem bekannten gaskinetischen Modell nach 6/klm gegenübergestellt. Dieselbe Bilanz wird in 7/hi und 7/klm für die in Strömungsrichtung wirkende Spannung σ_rr [Pa] bei Expansion aufgestellt. Wie der Abgleich nach 6/n zeigt, lassen sich die einzelnen Viskositätskoeffizienten η_# auf die Newtonsche Scherviskosität η (8f) zurückführen und erhält nach 6/o den Spannungstensor S und nach 6/p die reibungsbedingte Volumenkraft f = div S = ηΔv [N/m³].In 6 and 7 The deformation types (∇ v ) _{# are set up} for the cylinder rotation and the sphere expansion and the stress tensors S _{# are} formed from this. In 6 From this, hi is used to determine the shear stress σ _rφ [Pa] acting in the circumferential direction and to _follow the known gas kinetic model 6 / klm faced. The same record will be in 7 / hi and 7 / klm for the acting in the flow direction stress σ _rr [Pa] set up during expansion. Like the balance after 6 / n, the individual viscosity coefficients η _{# can be} based on Newton's shear viscosity η ( 8f ) and receives after 6 / o the stress tensor S and after 6 / p the friction-induced volume force f = div S = ηΔ v [N / m ³ ].

Die Ableitung nach 8 geht zurück auf die Publikation: „Deduktion der Transportgleichungen für ein Modellgas aus der Molekülstatistik”. Z. Flugwiss. Weltraumforsch. 16 (1992) 396–405 . Dabei ist es notwendig, die in 8/b wiedergegebene Korrektur c*c* :→ [c + v]{c + v + rs·∇v} vorzunehmen. Da es hier ausschließlich um den Geschwindigkeitsgradienten ∇v geht, werden mit den Einschränkungen in 8/d die anderen Gradienteneffekte (∇T, ∇ρ, ∇p) ausgeblendet. Die Integration des Impulstensors in 8/ll' ist weitgehend elementar und man erhält in 8/mm' über die Impulserhaltung die Gleichung für die kompressible Gasströmung mit der viskositätsbedingten Kraft f = ηΔv. Mit der Substitution v = vt lässt sich diese in 8/m'' in den t,n,b-Koordinaten des begleitenden Dreibeins nach 8/f und den kinematischen Radien nach 8/g ausdrücken. Dabei sind R_K der Krümmungs- und R_G der Divergenzkreis. Der Term ρv²/R_K [N/m³] beschreibt die Zentrifugalkraft bei gekrümmter und der Term ρv²/R_G [N/m³] die Divergenzkraft bei divergierender Stromröhre. (1/R_G = Gaußsche Krümmung der Stromfläche). Kombiniert man die Gleichungen 8/m' mit der Massenerhaltung nach 8/k' so wird die Kompressibilität wegtransformiert und man erhält die inkompressible Navier-Stokes-Gleichung, nach 8/n' in koordinatenfreier bzw. in 8n'' in der t,n,b-Schreibweise. Die Inkompressibilität mit der Dichte ρ = const. erlaubt in 8/o die Umstellung ρ∇(½v²) = ∇(½ρv²). – Der Einfachheit und der Übersichtlichkeit wegen wurde in den 6 bis 8 jeweils einatomiges Idealgas ohne innere Molekülfreiheitsgrade unterstellt.The derivative after 8th goes back to the publication: "Deduction of the transport equations for a model gas from the molecular statistics". Z. flight knowledge. Space researchers. 16 (1992) 396-405 , It is necessary that in 8th / b) correction c * c *: → [ c + v ] { c + v + r s · ∇ v }. Since this is all about the speed gradient ∇ v , with the limitations in 8th / d hides the other gradient effects (∇T, ∇ρ, ∇p). The integration of the impulse tensor into 8th / ll 'is largely elementary and you get in 8th / mm 'via the momentum conservation the equation for the compressible gas flow with the viscosity-related force f = ηΔ v . With the substitution v = v t can this in 8th / m '' in the t , n , b coordinates of the accompanying tripod 8th / f and the kinematic radii 8th / g express. R _{K of} the curvature and R _{G are} the divergence circle. The term ρv ² / R _K [N / m ³ ] describes the centrifugal force in curved and the term ρv ² / R _G [N / m ³ ] the diverging force at divergent current tube. (1 / R _G = Gaussian curvature of the stream surface). Combine the equations 8th / m 'with the mass conservation according to 8th / k ', the compressibility is transformed away and the incompressible Navier-Stokes equation is obtained 8th / n 'in coordinate-free or in 8n '' in the t , n , b notation. The incompressibility with the density ρ = const. allowed in 8th / o the conversion ρ∇ (½v ² ) = ∇ (½ρv ² ). - For simplicity and clarity was in the 6 to 8th each assumes a monatomic ideal gas without inner molecular degrees of freedom.

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Zitierte Nicht-PatentliteraturCited non-patent literature

BWK Vol. 40 No. 7/8. Pp. 313-316. "Radiometer forces on a flame front" [0002]
"Deduction of the transport equations for a model gas from the molecular statistics". Z. flight knowledge. Space researchers. 16 (1992) 396-405 [0008]

Claims

Method and device for demonstrating Couette flows between two coaxial, relatively rotating cylinders, characterized in that a working gas 11 . 21 . 31 under continuum condition with Knudsen numbers Kn << 1 and with Taylor stability in one of a spin motor 14 . 24 . 34 driven outer container 12 . 22 . 32 and the resulting gas flow through indicators 13 . 23 . 33 is indicated.

Method and device according to claim 1, characterized in that the time constant σ ≈ d ² / υ which determines the setting speed of the stationary flow by a pressure reduction of the working gas 11 . 21 . 31 is shortened.

Method and device according to claim 1, characterized in that for explaining the rotational phenomena of the working gases 11 . 21 and 31 the dimensionally true, dilatatory component (∇ v ) _Dil, = 1/3 U div v the viscosity η _Dil = 3η, the positive and volumetric, rotational component (∇ v ) _red = ½ U x red v the viscosity η _red = 2η and the volume-faithful, deviatoric component (∇ v ) _Dev = dev v is assigned the viscosity η _Dev = 0 with the symmetrical, traceless tensor dev v .

Method and device according to claim 2, characterized in that for the assumed as ideal working gases 11 . 21 and 31 with the classical Newtonian shear viscosity η the stress tensor S = η∇ v and the friction-induced volume force f = ηΔ v is determined.