DE102007044257A1

DE102007044257A1 - Verfahren zur tomographischen Rekonstruktion einer Messgröße aus einer der Messung zugänglichen Hilfsgröße

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Publication number: DE102007044257A1
Application number: DE102007044257A
Authority: DE
Original assignee: Forschungszentrum Juelich GmbH
Current assignee: Forschungszentrum Juelich GmbH; Fachhochschule Aachen
Priority date: 2007-09-17
Filing date: 2007-09-17
Publication date: 2009-03-19
Also published as: WO2009036726A1; DE112008003156A5; EP2191444A1; EP2191444B1

Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur tomographischen Rekonstruktion der Verteilung einer Messgröße innerhalb einer Probe aus Werten einer Hilfsgröße. Erfindungsgemäß werden bei der Ermittlung der Verteilung der Messgröße die Werte der Hilfsgröße anhand eines Relevanzmaßes gewichtet. Relevanzmaße können beispielsweise messen, wie stark der am bewerteten Ort gemessene Wert der Hilfsgröße auf Änderungen der Messgröße reagiert, wie groß die auflösbaren Strukturen in der rekonstruierten Verteilung der Messgröße sind, die bei einer Änderung des am bewerteten Ort gemessenen Wertes der Hilfsgröße geändert werden, oder wieviel Information über die gesamte Verteilung der Messgröße in dem am bewerteten Ort gemessenen Wert der Hilfsgröße enthalten ist. Dadurch wird es möglich, dass aus weit weniger aufgenommenen Werten der Hilfsgröße bessere Informationen über die Verteilung der Messgröße in der Probe gewonnen werden können als nach dem Stand der Technik.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur tomographischen Rekonstruktion einer Messgröße aus einer der Messung zugänglichen Hilfsgröße sowie Vorrichtungen zur Durchführung des Verfahrens.
Stand der Technik
In der Medizin, in der Sicherheitstechnik, bei der Exploration von Böden und bei der Untersuchung in Betrieb befindlicher experimenteller Aufbauten ist häufig die Verteilung einer Messgröße im Inneren einer Probe gesucht, die einer direkten Messung nur sehr ungenau, mit hohem Aufwand oder unter Inkaufnahme eines zerstörerischen Eingriffs in die Probe zugänglich ist. In derartigen Fällen wird eine Hilfsgröße gemessen, die mit der Verteilung der Messgröße in einem physikalischen Zusammenhang steht und die einer Messung besser zugänglich ist. Aus den Werten der Hilfsgröße wird anschließend durch tomographische Rekonstruktion auf die Verteilung der Messgröße im Inneren der Probe geschlossen. Beispielsweise ist in der Computertomographie die Dichteverteilung der Materie im Körper die Messgröße, und die Absorption von durch den Körper geleiteter Röntgenstrahlung wird als Hilfsgröße verwendet.
Tomographische Rekonstruktionen erfordern Messungen der Hilfsgröße an vielen Orten. Dies erfordert entweder eine große Anzahl an Detektoren, um Werte der Hilfsgröße an vielen Orten simultan zu messen, oder viel Messzeit, um mit einem oder mehreren beweglichen Detektoren die Werte an vielen Orten nacheinander zu messen.
Aufgabe und Lösung
Es ist daher die Aufgabe der Erfindung, die tomographische Rekonstruktion einer Messgröße im Inneren einer Probe mit einem geringeren Aufwand für die Auf nahme von Werten der Hilfsgröße durchführbar zu machen als nach dem Stand der Technik, wobei die Auflösung, mit der die Messgröße bestimmt werden kann, höchstens geringfügig abnehmen soll.
Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß gelöst durch ein Verfahren gemäß Hauptanspruch sowie durch Vorrichtungen zur Durchführung des Verfahrens gemäß Nebenansprüchen. Weitere vorteilhafte Ausgestaltungen ergeben sich jeweils aus den darauf rückbezogenen Unteransprüchen.
Gegenstand der Erfindung
Im Rahmen der Erfindung wurde ein Verfahren zur tomographischen Rekonstruktion der Verteilung einer Messgröße innerhalb einer Probe aus Werten einer Hilfsgröße gefunden.
Die Werte der Hilfsgröße können außerhalb der Probe gemessen werden. Sie können aber ausdrücklich auch innerhalb der Probe gemessen werden, beispielsweise, indem eine entsprechende Sonde in die Probe eingebracht wird.
Erfindungsgemäß werden bei der Ermittlung der Verteilung der Messgröße die Werte der Hilfsgröße an Hand eines Relevanzmaßes gewichtet.
Unter einem Relevanzmaß im Sinne dieser Erfindung ist jede Funktion zu verstehen, die einem Ort einen Zahlenwert zuordnet, welcher ein Maß für die Aussagekraft eines an diesem Ort gemessenen Wertes der Hilfsgröße hinsichtlich der Verteilung der Messgröße ist, und die zugleich nicht allein ein Maß für den Abstand des Orts von einem Bezugspunkt der Probe ist. Dieser Bezugspunkt kann beispielsweise der Mittelpunkt der Probe sein. Die konkrete Ausgestaltung des Relevanzmaßes ist davon abhängig, welche Art von Information im konkreten Anwendungsfall nachgefragt wird.
Ein Ort im Sinne dieser Erfindung befindet sich in einem Bezugssystem, in dem die Probe ruht. Somit ist es etwa für eine Messung der Hilfsgröße an zwei verschiedenen Orten unerheblich, ob der für diese Messung verwendete Detektor bewegt (beziehungsweise am Ort der zweiten Messung physisch ein zweites Mal vorhanden) ist oder ob die Probe bewegt, insbesondere translatiert oder gedreht, wird.
Ein Relevanzmaß muss nicht im gesamten Raum erklärt sein. Es kann beispielsweise nur auf einer Menge von Orten erklärt sein, die einer durch den Anwendungsfall vorgegebenen Zwangsbedingung genügen. Das Relevanzmaß kann beispielsweise nur auf der Menge derjenigen Orte erklärt sein, die überhaupt technisch oder finanziell für eine Messung der Hilfsgröße zugänglich sind, so dass relevante Orte sinnvollerweise nur aus dieser Menge ausgewählt werden können.
Ein Relevanzmaß muss nicht notwendigerweise durch eine analytische Formel beschreibbar sein und auch nicht stetig sein. Beispielsweise können die Werte des Relevanzmaßes ausschließlich durch numerische Simulation an Hand eines Modells der Probe bestimmbar sein. Solche numerischen Simulationen kann der Fachmann auch zu Hilfe nehmen, um für einen konkreten Anwendungsfall ein Relevanzmaß zu ermitteln. Soll beispielsweise die Probe auf das Vorliegen bestimmter Defekte untersucht werden, so kann er in einem ungestörten Modell der Probe diese Defekte einbringen, ihre Auswirkung auf die Werte der Hilfsgröße studieren und das Relevanzmaß so ausgestalten, dass es die Orte besonders hoch bewertet, an denen Messungen für eine zuverlässige Erkennung der Defekte besonders wichtig sind.
Es wurde erkannt, dass durch die erfindungsgemäße Gewichtung mit dem Relevanzmaß die relative Genauigkeit verbessert werden kann, mit der sich die Verteilung der Messgröße rekonstruieren lässt. Tomographische Rekonstruktion ist grundsätzlich die Lösung eines inversen Problems. Sie läuft in linearer Näherung auf die Lösung eines überbestimmten linearen Gleichungssystems hinaus. Dabei können kleine Änderungen in den gemessenen Werten der Hilfsgröße große Änderungen in der rekonstruierten Verteilung der Messgröße zur Folge haben. Die Gewichtung bewirkt, dass bei der widersprüchlichen Entscheidung, in welche Richtung sich die Lösung des überbestimmten Gleichungssystems entwickelt, die im Hinblick auf die wahre Verteilung der Messgröße glaubwürdigeren Stimmen lauter zu Wort kommen.
Beispielsweise können Messwerte der Hilfsgröße von Orten, an denen sie nur ungenau oder nur schwierig gemessen werden können, mit dem Wert Null gewichtet werden und somit bei der tomographischen Rekonstruktion ganz unberücksichtigt bleiben.
Zugleich kann auch der Aufwand für die Datenaufnahme verringert werden. Ist durch das Relevanzmaß vorab bekannt, an welchen Orten Messungen im Hinblick auf die Verteilung der Messgröße besonders lohnend sind, können Messungen vorteilhaft auf diese Orte eingegrenzt werden. Werden die Werte der Hilfsgröße mit mehreren ortsfesten Detektoren gemessen, sind für die gleiche Qualität der Rekonstruktion weniger Detektoren erforderlich. Werden die Werte der Hilfsgröße mit einem oder mehreren beweglichen Detektoren gemessen, die die Messorte jeweils anfahren, ist für die gleiche Qualität der Rekonstruktion eine geringere Messzeit erforderlich. Dadurch können dynamische Prozesse in der Probe auf einer kürzeren Zeitskala studiert werden.
Es kann auch in beliebigen Abstufungen sowohl die Genauigkeit verbessert als auch der Aufwand für die Datenaufnahme verringert werden. Diese Ziele schließen sich nicht gegenseitig aus: Überraschenderweise wurde festgestellt, dass gerade eine Reduktion der bei der tomographischen Rekonstruktion berücksichtigten Datenmenge eine Verbesserung der Genauigkeit bewirken kann.
In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird ein Relevanzmaß gewählt, dessen Wert auf insgesamt höchstens drei Vierteln, bevorzugt der Hälfte und ganz bevorzugt auf höchstens einem Viertel aller Punkte innerhalb eines beliebigen endlichen Abstands vom Mittelpunkt der Probe, auf denen es erklärt ist, einen vorgegebenen Schwellwert überschreitet. Ein solchermaßen ausgestaltetes Relevanzmaß liefert einen besonders guten zahlenmäßigen Kontrast zwischen für die Rekonstruktion aussagekräftigen und weniger aussagekräftigen Orten. Insbesondere liefert es eine Aussage darüber, in welchen Bereichen die Messungen vorteilhaft zu konzentrieren sind, wenn Detektoren oder Messzeit nur für Messungen an wenigen Orten zur Verfügung stehen. Wird die Hilfsgröße beispielsweise an Orten innerhalb der Probe gemessen, kann es sehr aufwändig sein, Sonden an eine große Anzahl solcher Orte einzubringen.
Als Schwellwert kann vorteilhaft das 1-Fache, bevorzugt das 2-Fache, des Durchschnittswerts des Relevanzmaßes über alle Punkte innerhalb des endlichen Abstands vom Mittelpunkt der Probe gewählt werden.
Jede in der Beschreibung oder in den Patentansprüchen formulierte Bedingung, bei der der Wert des Relevanzmaßes in Beziehung zu seinem Durchschnittswert auf einer Menge von Punkten gesetzt wird, ist dahingehend auszulegen, dass sie erst nach Multiplikation aller Werte des Relevanzmaßes mit einer beliebigen, von 0 verschiedenen Konstanten und/oder Addition einer beliebigen Konstanten zu allen Werten des Relevanzmaßes erfüllt zu sein braucht. Die erfindungsgemäße Wirkung hängt nicht von Absolutwerten des Relevanzmaßes ab, sondern von der Relation derjenigen Werte zueinander, die das Relevanzmaß verschiedenen möglichen Messorten für die Hilfsgröße zuordnet. Diese Relation wird weder durch Multiplikation aller Werte mit einer von 0 verschiedenen Konstanten noch durch Addition einer Konstanten zu allen Werten verändert.
Sofern im Sinne dieser Erfindung davon die Rede ist, dass das Relevanzmaß einen Wert über- oder unterschreitet, so bezieht sich dies auf den Betrag des Relevanzmaßes. Da ein Relevanzmaß im üblichen Sprachgebrauch nichtnegativ ist, wird hierauf aus Gründen der Lesbarkeit im Folgenden nicht mehr hingewiesen.
Das Relevanzmaß kann ein Maß dafür sein, wie stark der am bewerteten Ort gemessene Wert der Hilfsgröße auf Änderungen der Messgröße reagiert. Sei beispielsweise H der Vektor der an M Orten gemessenen Hilfsgröße, m der Vektor der an N Orten zu rekonstruierenden Messgröße und ist der Zusammenhang zwischen Änderungen dH von H und dm von m in linearer Näherung gegeben durch dH = S·dm mit einer M×N-Matrix S. Dann ist die Funktion Rk = ΣNl=1 Skl·Skl ein Relevanzmaß, das dem Ort, an dem der Wert k gemessen wurde, ein Maß dafür zuordnet, wie stark sich Änderungen der Messgröße m innerhalb der Probe auf den gemessenen Wert H_k der Hilfsgröße auswirken: Es gilt dHk = ΣNl=1 Skl·dml,worin die dH_k und die dm_l keine Skalare sein müssen, sondern bereits Vektoren sein können.
Das Relevanzmaß kann auch ein Maß für die Größe der auflösbaren Strukturen in der rekonstruierten Verteilung der Messgröße sein, die bei einer Änderung des am bewerteten Ort gemessenen Wertes der Hilfsgröße geändert werden. Beispielsweise lässt sich in der linearen Näherung die gesamte Rekonstruktion m der Verteilung der Messgröße als eine Linearkombination von Einzelbeiträgen schreiben, die jeweils allein auf einen gemessenen Wert H_k der Hilfsgröße zurückgehen. Damit die Verteilung m der Messgröße überhaupt Strukturen mit einer vom Anwender geforderten Ortsauflösung enthält, muss sie Einzelbeiträge enthalten, die derartige feine Strukturen aufweisen. Damit sie diese Einzelbeiträge enthält, müssen die Messwerte H_k der Hilfsgröße, auf die diese Beiträge zurückgehen, bei der Ermittlung der Verteilung m der Messgröße Berücksichtigung finden. In der Regel sind die Messwerte H_k, die besonders empfindlich auf Änderungen der Verteilung m der Messgröße reagieren, nicht dieselben, die Einzelbeiträge mit besonders feinen Strukturen zu der rekonstruierten Verteilung m beisteuern.
Das Relevanzmaß kann vorteilhaft auch ein Maß dafür sein, wieviel Information über die gesamte Verteilung der Messgröße in dem am bewerteten Ort gemessenen Wert der Hilfsgröße enthalten ist. Ein solches Maß kann beispielsweise dann besonders aussagekräftig sein, wenn unter Verwendung nur weniger Messwerte H_k der Hilfsgröße ein schneller Überblick über die Messgröße m im gesamten untersuchten Probenvolumen gewonnen werden soll. Die Matrix S im oben beispielhaft genannten Relevanzmaß R_k lässt sich als Singularwertzerlegung U·W·V^T schreiben, worin U eine orthogonale Matrix, W eine Diagonalmatrix mit den Singularwerten und V eine unitäre Matrix ist. Dann ist die Funktion R*k = ΣNl=1 Ukl·Ukl ein Maß dafür, wieviel Information der gemessene Wert H_k der Hilfsgröße über alle Spaltenvektoren der Matrix U und damit über die gesamte Verteilung m der Messgröße enthält.
Die hier genannten beispielhaften Kriterien für ein Relevanzmaß können je nach Anwendung beliebig miteinander kombiniert werden. So lassen sich etwa die hier beispielhaft genannten Relevanzmaße R_k und R_k* zu einem einzigen Maß R**k = ΣNl=1 Ukl·Wαll ·Ukl zusammenfassen, welches über den Parameter α einen beliebigen Übergang zwischen R_k und R_k* ermöglicht. Ein Wert von α = 1 entspricht R_k, während ein Wert von α = 0 R_k* entspricht.
In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung werden bei der Ermittlung der Verteilung der Messgröße keine Werte der Hilfsgröße berücksichtigt, die an Orten gemessen wurden, für die das Relevanzmaß eine vorgegebene Schwelle unterschreitet. Diese Selektion kann vor der eigentlichen Datenaufnahme erfolgen und so zu einer Einsparung an erforderlichen Detektoren und/oder an Messzeit führen. Überraschenderweise hat sich jedoch gezeigt, dass auch eine Selektion nach der Datenaufnahme, also ein Verwerfen bereits aufgenommener Messwerte von durch das Relevanzmaß als weniger relevant bewerteten Orten, die Qualität der Rekonstruktion verbessern kann. Ist die relevante Information über die Verteilung der Messgröße bereits vorhanden, kann diese durch Hinzufügen irrelevanter Information wieder zunichte gemacht werden. Dies ist der Tatsache geschuldet, dass die Lösung eines überbestimmten Gleichungssystems grundsätzlich eine Entscheidung zwischen mehreren widersprüchlichen Lösungen ist.
Die Überbestimmtheit wird beispielsweise durch unvermeidliche Messungenauigkeiten bewirkt. Bei, rein hypothetischer, absolut präziser Messung hätte das Gleichungssystem formal mehr Gleichungen als unbekannte. Jedoch wären die über zähligen Gleichungen linear abhängig, so dass das Gleichungssystem im Endeffekt gar nicht überbestimmt wäre.
Werden in obiger Nomenklatur die für weniger relevant erachteten Werte H_k der Hilfsgröße außer Acht gelassen, und wird eine entsprechende Matrix S mit weniger Zeilen neu aufgebaut, so verbessert sich die Kondition der Matrix S, die ein Maß für ihre lokale Invertierbarkeit ist. Das Gleichungssystem ist weniger durch irrelevante Information überbestimmt. Irrlevante Information wirkt sich im Besonderen durch die in ihr enthaltenen Messungenauigkeiten schädlich auf die Qualität der tomographischen Rekonstruktion aus.
Die vorgegebene Schwelle, unterhalb der ein Messort außer Betracht bleibt, hat in der Regel mindestens die Größenordnung des durchschnittlichen Werts des Relevanzmaßes für alle Messorte. Ihr genauer Wert kann beispielsweise durch Parameteroptimierung ermittelt werden. Das Ziel einer solchen Optimierung kann beispielsweise eine maximale Genauigkeit der tomographischen Rekonstruktion oder auch ein einstellbares Verhältnis zwischen Genauigkeit und Aufwand für die Datenaufnahme sein.
Die vorgegebene Schwelle kann das 1,5-Fache, bevorzugt das 2-Fache, des durchschnittlichen Werts des Relevanzmaßes für eine vorgegebene Menge an Messorten betragen. Diese Vorgabe kann beispielsweise darin bestehen, dass auf Grund experimenteller oder finanzieller Zwangsbedingungen Messungen nur auf einer bestimmten Menge an Messorten sinnvollerweise möglich sind.
Vorteilhaft liegen die Orte, an denen die Werte der Hilfsgröße gemessen werden, auf einer Quaderfläche, insbesondere auf einer Kubusfläche, um die Probe. Dann können beispielsweise die Messorte auf jeder Einzelfläche des Quaders von einem separaten, in zwei Dimensionen beweglichen Detektor angefahren werden.
Die Orte, an denen die Werte der Hilfsgröße gemessen werden, können aber auch auf einer elliptischen Fläche, insbesondere auf einer Kugelfläche, um die Probe liegen. Eine solche Form weist maximale Symmetrie auf. Ein einzelner, bei spielsweise entlang einer Spiralbahn auf der Fläche beweglicher Detektor kann verwendet werden, um alle Messorte für die Hilfsgröße anzufahren.
Grundsätzlich gibt es aber keine Einschränkung für die Orte, an denen die Hilfsgröße gemessen wird.
In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird eine elektrische Stromdichte als Messgröße gewählt. Diese erzeugt ein langreichweitiges Magnetfeld, das die meisten Materialien durchdringt und somit auch außerhalb der Probe messbar ist, wo es ohne zerstörerischen Eingriff in die Probe der Messung zugänglich ist. Vorteilhaft wird in diesem Fall also ein Magnetfeld als Hilfsgröße gewählt.
Werden eine elektrische Stromdichte als Messgröße und ein Magnetfeld als Hilfsgröße gewählt, so unterliegt die elektrische Stromdichte j zudem auf Grund der Maxwellschen Gleichungen Einschränkungen. Das Magnetfeld H im Außenraum der Probe ist durch die Stromdichte j innerhalb der Probe eindeutig festgelegt. Da die Stromdichte j über die elektrische Leitfähigkeit σ mit dem elektrischen Feld E zusammenhängt, für das gemäß der Maxwellschen Gleichungen ebenfalls Einschränkungen gelten, ist nicht jede Stromdichteverteilung j in der Probe zulässig. Die an N Punkten in der Probe gesuchte Stromdichteverteilung j kann somit unter der Zuhilfenahme der Nebenbedingung, dass sie gemäß der Maxwellschen Gleichungen zulässig sein muss, durch einen Satz N_c unabhängiger Variablen mit N_c < N ausgedrückt werden. Auf Grund der relativen Fehler der für die Messung der Hilfsgröße Magnetfeld verwendeten Messinstrumente gibt es ein N_R, für das W_kk → 0 für k > N_R angenommen werden kann. Der Zusammenhang zwischen Stromdichteverteilung j in der Probe und Magnetfeldverteilung H im Außenraum ist nun lokal eindeutig umkehrbar, wenn N_c = N_R gilt, also in der oben beschriebenen linearen Näherung nach Fortlassen aller durch Messungenauigkeiten dominierten Messwerte für das Magnetfeld der Rang N_R der Matrix S gleich der Anzahl N_c der physikalisch unabhängigen Stromwerte ist. N_c ist durch die Maschenweite festgelegt, mit der das Probenvolumen für die Aufstellung des linearen Gleichungssystems diskretisiert wird. Somit ist die durch die Maschenweite gegebene Auflösung, mit der die Stromdichteverteilung j in der Probe bestimmt werden kann, durch den relativen Fehler f_rel der Magnetfeldmessung bestimmt. Die Untergrenze für N_R ist gegeben durch die Bedingungen
In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung der Erfindung wird eine Brennstoffzelle als Probe gewählt. Eine in Betrieb befindliche Brennstoffzelle ist direkten Messungen der Stromdichte in ihrem Inneren nicht oder nur schwer zugänglich, da sie hierzu verändert werden muss, was wiederum zu schwer vorhersehbaren Veränderungen der Stromdichte führt. Durch Verwendung des Magnetfelds im Außenraum als Hilfsgröße und tomographische Rekonstruktion kann die Stromdichte zerstörungs- und beeinflussungsfrei als Messgröße bestimmt werden. Gerade in einer Brennstoffzelle, die nur eine recht geringe Spannung von etwa einem Volt liefert, entstehen in technisch relevanten Anwendungen hohe Ströme der Größenordnung 50 A und mehr. Diese Ströme erzeugen Magnetfelder, die sich sehr gut außerhalb der Brennstoffzelle messen lassen.
Im Rahmen der Erfindung wurden zwei Vorrichtungen zur Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens entwickelt. Jede dieser Vorrichtungen umfasst jeweils mindestens ein Messgerät für die Hilfsgröße sowie eine Auswerteeinheit zur Rekonstruktion der Verteilung der Messgröße aus den gemessenen Werten der Hilfsgröße. Das Messgerät kann dabei außerhalb der Probe angeordnet sein. Es kann aber auch innerhalb der Probe angeordnet sein; beispielsweise kann es eine Sonde sein, die in die Probe eingebracht worden ist. Es kann in der Lage sein, die Hilfsgröße an verschiedenen Orten im Raum zu messen. Es kann aber auch fest stehen, und es können Mittel, wie beispielsweise Mittel zur Drehung oder Translation der Probe, vorgesehen sein, die zu verschiedenen Zeiten die Werte der Messgröße aus verschiedenen Bereichen auf der Probe auf den Wert der Hilfsgröße am physischen Ort des Messgeräts einwirken lassen. Zur Vereinfachung wird ein Ort daher im Folgenden in einem Bezugssystem betrachtet, in dem die Probe ruht.
Die erste Ausführungsform der Vorrichtung ist gekennzeichnet durch eine Auswerteeinheit, die das Relevanzmaß auf Ortskoordinaten anzuwenden vermag. Diese Ausführungsform bietet volle Flexibilität für die Durchführung des Verfahrens: Es kann vorab entschieden werden, an welchen Orten überhaupt Messungen durchgeführt werden. Es kann aber auch eine große Sammlung an Werten H_k für die Hilfsgröße aufgenommen werden, wobei erst im Nachhinein die Orte, an denen diese Werte aufgenommen wurden, mit dem Relevanzmaß bewertet werden.
Alternativ kann die Auswerteeinheit eine Liste von Ortskoordinaten enthalten, an denen bei der Durchführung des Verfahrens die Werte der Hilfsgröße bestimmt werden. Diese Ortskoordinaten können bei der Herstellung der Auswerteeinheit vorab mit Hilfe des Relevanzmaßes ausgewählt und beispielsweise mittels eines Datenträgers in die Auswerteeinheit eingebracht worden sein. Daher kann die Liste zusätzlich zu den Ortskoordinaten auch die zugehörigen Werte des Relevanzmaßes enthalten.
In einer vorteilhaften Ausgestaltung dieser Ausführungsform sind für alle Ortskoordinaten der Liste die Werte des Relevanzmaßes mindestens 1,5-mal, bevorzugt mindestens 2-mal, so groß wie an jedem anderen Ort, an dem das Relevanzmaß erklärt ist. Diese Auswahl an Ortskoordinaten erfasst den kleinen Bruchteil der möglichen Messpunkte, der die meiste Information über die gesuchte Verteilung der Messgröße innerhalb der Probe enthält.
In einer weiteren vorteilhaften Ausgestaltung dieser Ausführungsform sind für alle Ortskoordinaten der Liste die Werte des Relevanzmaßes mindestens 1,5-mal, bevorzugt mindestens 2-mal, so groß wie sein Durchschnittswert über alle Orte, an denen das Relevanzmaß erklärt ist. Auch diese Auswahl an Ortskoordinaten erfasst den kleinen Bruchteil der möglichen Messpunkte, der die meiste Information über die gesuchte Verteilung der Messgröße innerhalb der Probe enthält.
Spezieller Beschreibungsteil
Nachfolgend wird der Gegenstand der Erfindung anhand von Figuren näher erläutert, ohne dass der Gegenstand der Erfindung dadurch beschränkt wird. Es ist gezeigt:
1: Schematische Skizze des Modells für eine experimentelle Direkt-Methanol-Brennstoffzelle.
2: Zweidimensionale Darstellung der Norm von Komponenten einiger Spaltenvektoren der Matrix U mit den Spaltenindizes i = 1 (Teilbild a), i = 7 (Teilbild b), i = 14 (Teilbild c), i = 19 (Teilbild d), i = 26 (Teilbild e) und i = 33 (Teilbild f).
3: Werte des Relevanzmaßes R_k* auf einem Quader um die modellhafte Brennstoffzelle an allen 5536 in Betracht gezogenen Orten (Teilbild a) und an den 868 Orten, an denen R_k* mindestens doppelt so groß ist wie der Durchschnitt aller 5536 insgesamt bestimmten Werte von R_k* (Teilbild b).
4: Logarithmen der Singularwerte der Matrix S, die die 5536 in 3a berücksichtigen Orte umfasst (Kurve A); Logarithmen der Singularwerte der Matrix S, die lediglich die in 3b berücksichtigten 868 Orte umfasst (Kurve B).
5: Logarithmus der relativen Präzision, mit der die Magnetfeldmessung durchgeführt werden muss (Ordinate), über der gewünschten Ortsauflösung der zu rekonstruierenden Stromverteilung j in Zentimetern (Abszisse).
6: Abhängigkeit der inversen Kondition der Matrix S (Ordinate) vom Anteil der möglichen Messorte für die Hilfsgröße, die diese Matrix S umfasst (Abszisse).
In 1 ist ein Modell einer experimentellen Direkt-Methanol-Brennstoffzelle skizziert, an dem das erfindungsgemäße Verfahren simulatorisch erprobt wurde. Das Herz der Zelle ist die Membran-Elektroden-Einheit (MEA). Sie besteht aus einer porösen Schicht, einer katalytischen Schicht, einer elektrolytischen Schicht (Nafion), einer zweiten katalytischen Schicht und einer zweiten porösen Schicht. Die katalytischen Schichten enthalten Platin beziehungsweise Platin-Ruthenium und sind jeweils in porösem Graphit eingebettet. Obwohl die MEA aus 5 Schichten besteht, hat sie nur eine Dicke von 0,6 mm. Die MEA wird von zwei nicht-magnetischen Stahlplatten, einer Graphitschicht, einer dünnen Titanschicht (in die Stahlplatten integriert) und einem Teflonrahmen (in 1 weggelassen) eingerahmt. Links unten in 1 ist der Minuspol und rechts unten in 1 der Pluspol der Brennstoffzelle angeschlossen. Der Arbeitspunkt ist mit 60 A Strom bei 0,4 A Spannungsabfall so gewählt, dass die elektrische Leitfähigkeit über die gesamte MEA homogen ist. Die Zelle hat im stromlosen Zustand eine Klemmenspannung von 0,7 V.
In 2 ist beispielhaft die Norm einiger Komponenten von Spaltenvektoren aus der Matrix U für die Brennstoffzelle aus 1 in Form zweidimensionaler Bilder aufgetragen, wobei der Schwärzungsgrad der Rasterung im Bild jeweils den Betrag der Norm angibt. Der Parameter i gibt jeweils den Spaltenindex des Vektors an. Die Rekonstruktion der Stromdichteverteilung aus den gemessenen Magnetfeldwerten ist eine Linearkombination von Spaltenvektoren aus der Matrix U. Die exemplarische Darstellung einiger dieser Spaltenvektoren in Bildform verdeutlicht daher, dass verschiedene Spaltenvektoren Informationsanteile mit stark verschiedener Ortsauflösung zur letztendlichen Rekonstruktion beisteuern. Daher ist es sinnvoll, ein Relevanzmaß zu wählen, welches ein Maß für die Größe der Strukturen in der rekonstruierten Verteilung der Messgröße Stromdichte ist, die bei einer Änderung des am bewerteten Ort gemessenen Wertes der Hilfsgröße Magnetfeld geändert werden. Für die Aufstellung der in 2 analysierten Matrix S erfolgte die Diskretisierung mit einer Auflösung von 0,35 cm senkrecht zur Ebene der MEA und ansonsten mit einer Auflösung von 2,75 cm.
In 3a sind die Werte des Relevanzmaßes R_k* für die Orte auf den sechs Ebenen aufgetragen, die die in 1 skizzierte modellhafte Brennstoffzelle begrenzen. Das Relevanzmaß R_k* wurde hier dahingehend modifiziert, dass die H_k bereits Vektoren sind. Es wurde auf zueinander parallelen Ebenen ausgewertet, die jeweils einen Abstand von 1 cm von der durch das Modell beschriebenen realen Brennstoffzelle haben. Der Gitterabstand der bewerteten Orte beträgt etwa 0,6 cm, so dass insgesamt 5536 Orte bewertet wurden. Die gemäß dem Relevanzmaß R_k* als für die Rekonstruktion am relevantesten eingestuften Messorte befinden sich auf der Vorder- und auf der Rückseite der Brennstoffzelle. Dies ist dadurch bedingt, dass sich auf diesen Ebenen die wahren Durchmesser zylindrischer Ströme am besten bestimmen lassen.
In 3b sind nur die 868 Werte des modifizierten Relevanzmaßes R_k* eingetragen, die verbleiben, wenn aus 3a alle Werte fortgelassen werden, die kleiner sind als das Doppelte des Durchschnitts aller insgesamt bestimmten Werte von R_k*. Um den relevanten Teil der Information über die Stromverteilung zu erfassen, ist es demnach nicht erforderlich, das Magnetfeld auf einer kompletten, die Brennstoffzelle umgebenden Quaderfläche zu messen. Stattdessen genügt es, das Magnetfeld in Teilbereichen zweier Einzelflächen dieses Quaders zu messen.
Wird das Magnetfeld lediglich an den in 3b eingetragenen 868 Orten anstatt an allen 5536 in 3a eingetragenen Orten bestimmt, verbessert sich die Kondition der Matrix S um den Faktor 1,4. In 4 sind die Logarithmen der Singularwerte der Matrix S, die die 5536 in 3a berücksichtigen Orte umfasst, (obere Kurve A), sowie die Logarithmen der Singularwerte der Matrix S, die lediglich die in 3b berücksichtigten 868 Orte umfasst (untere Kurve B), über ihren jeweiligen Indexnummern aufgetragen. Da große Singularwerte schneller abnehmen als kleine, muss die Reduktion der über das Magnetfeld aufzunehmenden Datenmenge um den Faktor 6,3 nicht mit einem Verlust an Auflösung in der tomographisch rekonstruierten Stromverteilung erkauft werden.
In 5 ist der Logarithmus der relativen Präzision, mit der die Magnetfeldmessung durchgeführt werden muss (Ordinate), über der gewünschten Ortsauflösung der zu rekonstruierenden Stromverteilung j in Zentimetern (Abszisse) aufgetragen. Der unteren Kurve A mit Kreisen als Symbolen liegt eine Matrix S zu Grunde, die alle 5536 Orte aus 3a umfasst. Der oberen Kurve B mit Sternchen als Sym bolen liegt eine Matrix S zu Grunde, die nur die 868 Orte aus 3b umfasst. Offenbar führt die drastische Reduktion der aufgenommenen Messpunkte dazu, dass eine vorgegebene Ortsauflösung auch mit unzuverlässigeren Messwerten für die Hilfsgröße Magnetfeld erzielt wird beziehungsweise bei einer gegebenen Messgenauigkeit für das Magnetfeld eine bessere Ortsauflösung in der rekonstruierten Stromverteilung erzielt wird.
In 6 ist das Inverse der Kondition der Matrix S (Ordinate), normiert auf den Wert, der sich für eine alle 5536 in 3a berücksichtigen Orte umfassende Matrix S ergibt, über dem Verhältnis der Anzahl der von der Matrix S umfassten Orte zum Maximum 5536 (Abszisse) aufgetragen. Je größer das Inverse der Kondition, desto besser ist die Matrix S lokal invertierbar und desto besser wird auch die tomographische Rekonstruktion der Stromdichte. Überraschenderweise verbessern sich die Kondition und damit auch die Rekonstruktion, wenn mehr als 80% der 5536 ursprünglich in Betracht gezogenen Messorte für das Magnetfeld unberücksichtigt bleiben (Maximum der Kurve). Bleiben noch mehr Messorte unberücksichtigt, wird also auf der Kurve ein rechts vom Maximum liegender Arbeitspunkt gewählt, so kann stufenlos ein Kompromiss zwischen Ersparnis an Aufwand für die Datenaufnahme und Qualität der tomographischen Rekonstruktion gewählt werden, vergleichbar mit der verlustbehafteten Kompression von Bild- oder Audiodateien.

Claims

Verfahren zur tomographischen Rekonstruktion der Verteilung einer Messgröße innerhalb einer Probe aus Werten einer Hilfsgröße, dadurch gekennzeichnet, dass bei der Ermittlung der Verteilung der Messgröße die Werte der Hilfsgröße an Hand eines Relevanzmaßes gewichtet werden.
Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass ein Relevanzmaß gewählt wird, dessen Wert auf insgesamt höchstens drei Vierteln, bevorzugt der Hälfte und ganz bevorzugt auf insgesamt höchstens einem Viertel aller Punkte innerhalb eines beliebigen endlichen Abstands vom Mittelpunkt der Probe, auf denen es erklärt ist, einen vorgegebenen Schwellwert überschreitet.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 2, dadurch gekennzeichnet, dass ein Relevanzmaß gewählt wird, welches ein Maß dafür ist, wie stark der am bewerteten Ort gemessene Wert der Hilfsgröße auf Änderungen der Messgröße reagiert.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass ein Relevanzmaß gewählt wird, welches ein Maß für die Größe der auflösbaren Strukturen in der rekonstruierten Verteilung der Messgröße ist, die bei einer Änderung des am bewerteten Ort gemessenen Wertes der Hilfsgröße geändert werden.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass ein Relevanzmaß gewählt wird, welches ein Maß dafür ist, wieviel Information über die gesamte Verteilung der Messgröße in dem am bewerteten Ort gemessenen Wert der Hilfsgröße enthalten ist.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, dass bei der Ermittlung der Verteilung der Messgröße keine Werte der Hilfsgröße berücksichtigt werden, die an Orten gemessen wurden, für die das Relevanz maß eine vorgegebene Schwelle unterschreitet.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, dass die Orte, an denen die Werte der Hilfsgröße gemessen werden, auf einer Quaderfläche, insbesondere auf einer Kubusfläche, um die Probe liegen.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, dass die Orte, an denen die Werte der Hilfsgröße gemessen werden, auf einer elliptischen Fläche, insbesondere auf einer Kugelfläche, um die Probe liegen.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 8, dadurch gekennzeichnet, dass eine elektrische Stromdichte als Messgröße gewählt wird.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass ein Magnetfeld als Hilfsgröße gewählt wird.
Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 10, dadurch gekennzeichnet, dass eine Brennstoffzelle als Probe gewählt wird.
Vorrichtung zur Durchführung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 11, umfassend mindestens ein Messgerät für die Hilfsgröße sowie eine Auswerteeinheit zur Rekonstruktion der Verteilung der Messgröße aus den gemessenen Werten der Hilfsgröße, gekennzeichnet durch eine Auswerteeinheit, die das Relevanzmaß auf Ortskoordinaten anzuwenden vermag.
Vorrichtung zur Durchführung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 11, umfassend mindestens ein Messgerät für die Hilfsgröße sowie eine Auswerteeinheit zur Rekonstruktion der Verteilung der Messgröße aus den gemessenen Werten der Hilfsgröße, gekennzeichnet durch eine Auswerteeinheit, die eine Liste von Ortskoordinaten enthält, an denen bei der Durchführung des Verfahrens die Werte der Hilfsgröße bestimmt werden.
Vorrichtung nach Anspruch 13, dadurch gekennzeichnet, dass die Liste zusätzlich zu den Ortskoordinaten Werte des Relevanzmaßes enthält.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 13 bis 14, dadurch gekennzeichnet, dass für alle Ortskoordinaten der Liste die Werte des Relevanzmaßes mindestens 1,5-mal, bevorzugt mindestens 2-mal, so groß sind wie an jedem anderen Ort, an dem das Relevanzmaß erklärt ist.
Vorrichtung nach einem der Ansprüche 13 bis 15, dadurch gekennzeichnet, dass für alle Ortskoordinaten der Liste die Werte des Relevanzmaßes mindestens 1,5-mal, bevorzugt mindestens 2-mal, so groß sind wie sein Durchschnittswert über alle Orte, an denen das Relevanzmaß erklärt ist.