DE102006035089A1 - Method for determination of state charge electronic density, involves determining electronic density of charge from measured current, where transmission coefficient derivative is considered after voltage - Google Patents

Method for determination of state charge electronic density, involves determining electronic density of charge from measured current, where transmission coefficient derivative is considered after voltage Download PDF

Info

Publication number
DE102006035089A1
DE102006035089A1 DE102006035089A DE102006035089A DE102006035089A1 DE 102006035089 A1 DE102006035089 A1 DE 102006035089A1 DE 102006035089 A DE102006035089 A DE 102006035089A DE 102006035089 A DE102006035089 A DE 102006035089A DE 102006035089 A1 DE102006035089 A1 DE 102006035089A1
Authority
DE
Germany
Prior art keywords
states
sample
electronic density
density
electronic
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Withdrawn
Application number
DE102006035089A
Other languages
German (de)
Inventor
Berndt Dr.rer.nat. Koslowski
Christof Dietrich
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Universitaet Ulm
Original Assignee
Universitaet Ulm
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Universitaet Ulm filed Critical Universitaet Ulm
Priority to DE102006035089A priority Critical patent/DE102006035089A1/en
Publication of DE102006035089A1 publication Critical patent/DE102006035089A1/en
Withdrawn legal-status Critical Current

Links

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01Q—SCANNING-PROBE TECHNIQUES OR APPARATUS; APPLICATIONS OF SCANNING-PROBE TECHNIQUES, e.g. SCANNING PROBE MICROSCOPY [SPM]
    • G01Q60/00—Particular types of SPM [Scanning Probe Microscopy] or microscopes; Essential components thereof
    • G01Q60/10—STM [Scanning Tunnelling Microscopy] or apparatus therefor, e.g. STM probes
    • G01Q60/12—STS [Scanning Tunnelling Spectroscopy]

Landscapes

  • Physics & Mathematics (AREA)
  • Spectroscopy & Molecular Physics (AREA)
  • Health & Medical Sciences (AREA)
  • General Health & Medical Sciences (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Nuclear Medicine, Radiotherapy & Molecular Imaging (AREA)
  • Radiology & Medical Imaging (AREA)
  • Measurement Of Length, Angles, Or The Like Using Electric Or Magnetic Means (AREA)

Abstract

The method involves applying a voltage (V) between a charge and the needle point of a raster tunnel microscope, where current is measured by the needle as a function of the voltage. The current and its derivative are delivered to the voltage after the voltage is in connection with a transmission coefficient. The electronic density of charge is determined from the measured current. The derivative of the transmission coefficient is considered after the voltage with the determination of the electronic density of state charge.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Bestimmung der elektronischen Zustandsdichte in elektrisch leitfähigen oder halbleitenden Materialien mit einem Rastertunnelmikroskop.The The invention relates to a method and a device for determination the electronic density of states in electrically conductive or Semiconducting materials with a scanning tunneling microscope.

Seit Erfindung der Rastertunnelmikroskopie wurden erhebliche Anstrengungen unternommen, die Möglichkeiten der Rastertunnelmikroskopie über die Aufnahme von Topographien mit atomarer Auflösung hinaus zu erweitern, indem versucht wurde, den Bildgebungsprozess zu verstehen und zusätzliche Informationen über das Analyseobjekt zu erhalten. Die grundlegendste Information ist, insbesondere im Hinblick auf die Theorie des Tunnelns, die elektronische Zustandsdichte (DOS) der Probe.since Invention of scanning tunneling microscopy has been a considerable effort taken the opportunities the scanning tunneling microscopy over to expand the recording of topographies with atomic resolution by: was trying to understand the imaging process and additional information about to get the analysis object. The most basic information is especially with regard to the theory of tunneling, the electronic Density of states (DOS) of the sample.

Nach dem Stand der Technik ist eine Bestimmung der elektronischen Zustandsdichte nur qualitativ und äußerst ungenau möglich. Eine quantitative Möglichkeit der Bestimmung besteht nicht.To The prior art is a determination of the electronic density of states only qualitative and very inaccurate possible. A quantitative possibility the provision does not exist.

Die Aufgabe des hier beschriebenen Verfahrens ist es, dem Experimentator ein zuverlässiges Werkzeug zur Verfügung zu stellen, mit dem er die experimentellen Daten akkurat auf die elektronische Zustandsdichte, vorzugsweise getrennt für die Spitze und die Probe, übertragen kann.The The task of the method described here is to the experimenter a reliable one Tool available with which he accurately maps the experimental data to the electronic density of states, preferably separated for the tip and the sample transferred can.

Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es daher, ein Verfahren anzugeben, mit welchem es möglich ist, die elektronische Zustandsdichte mit einem Rastertunnelmikroskop quantitativ zu bestimmen. Diese Aufgabe wird durch das Verfahren gemäß Anspruch 1 gelöst. Vorteilhafte Weiterbildungen des Verfahrens werden in den abhängigen Ansprüchen gegeben. Anspruch 19 gibt darüberhinaus ein Rastertunnelmikroskop an, mit welchem das beschriebene Verfahren durchgeführt werden kann.task the present invention is therefore to provide a method with which it is possible the electronic density of states with a scanning tunneling microscope to be determined quantitatively. This task is performed by the procedure according to claim 1 solved. Advantageous developments of the method are given in the dependent claims. Claim 19 is moreover a scanning tunneling microscope, with which the method described carried out can be.

Beschreibung der ErfindungDescription of the invention

Der Startpunkt der Rechnung ist der Tunnelstrom entsprechend der eindimensionalen Wentzel-Kramers-Brillouin-Näherung (WKB-Näherung). Der Tunnelstrom I in Abhängigkeit von der Energie E und der Probenspannung V zwischen dem Untersuchungsobjekt und der Spitze (engl. sample bias) ist dann

Figure 00020001
worin ρS und ρT die Proben- bzw. die Spitzenzustandsdichte, T der Transmissionskoeffizient und f12 eine Fensterfunktion f12(E, V) = f(E – V) – f(E) mit der Fermi-Dirac-Verteilung f ist. Hier wie im Folgenden werden atomare Hartree-Einheiten verwendet, wobei alle Konstanten, inklusive der Spitzenoberflächenkontaktfläche, gleich 1 gesetzt werden. Die Beschreibung erfolgt hier zunächst im Bezugssystem der Probe. Man beachte, dass die in Gleichung (1) verwendete elektronische Zustandsdichte nicht die totale Zustandsdichte, wie sie aus Bandstrukturrechnungen bestimmt wird, ist, sondern beispielsweise eine gewichtete Zustandsdichte, wenn das Tunneln im k-Raum selektiv erfolgt. Entsprechend der WKB-Näherung ist der Transmissionskoeffizient
Figure 00030001
wobei die Spannung gleich Null ist und wobei z der Abstand zwischen Spitze und Probe ist, und wobei Φ die effektive Höhe der Tunnelbarriere ist. Eine Spannungsabhängigkeit des Transmissionskoeffizienten wird durch die Trapeznäherung einbezogen, was
Figure 00030002
ergibt. Der Faktor 1/2 unter der Wurzel wird für eine genauere Beschreibung und um daran zu erinnern, dass dieser Faktor von einem spannungsabhängigen Transmissionskoeffizienten herrührt, durch 1/α ersetzt. α ist hierbei eine Zahl nahe 2 und muss experimentell aus spannungsabhängigen Barrieremessungen bestimmt werden.The starting point of the calculation is the tunneling current according to the one-dimensional Wentzel-Kramers-Brillouin approximation (WKB approximation). The tunneling current I as a function of the energy E and the sample voltage V between the object to be examined and the tip (sample bias) is then
Figure 00020001
where ρ S and ρ T are the sample and peak state densities, T is the transmission coefficient, and f 12 is a window function f 12 (E, V) = f (E-V) -f (E) with the Fermi-Dirac distribution f , Hereunder, atomic Hartree units are used, with all constants, including the peak surface contact area, set equal to one. The description is made here first in the frame of reference of the sample. Note that the electronic density of states used in equation (1) is not the total density of states as determined from band structure calculations but, for example, a weighted density of states when tunneling in k-space is selective. According to the WKB approximation, the transmission coefficient is
Figure 00030001
where the voltage is zero and where z is the distance between the tip and the sample, and where Φ is the effective height of the tunnel barrier. A voltage dependence of the transmission coefficient is included by the trapezoid approximation, which
Figure 00030002
results. The factor 1/2 below the root is replaced by 1 / α for a more detailed description and to remind that this factor is due to a voltage-dependent transmission coefficient. α is a number close to 2 and must be determined experimentally from voltage-dependent barrier measurements.

Man berechnet die Ableitung des Tunnelstroms und erhält

Figure 00030003
worin verwendet wurde, dass ∂Vf12(E, V) ≈ δ(E – V). Darüberhinaus wurde die für die vorliegende Betrachtung wesentliche Relation
Figure 00040001
verwendet. Man beachte, dass ∂VT(E, V) = – 1 / α ∂ET(E, V), was allerdings für die folgende Analyse nicht verwendet wird.One calculates the derivative of the tunnel current and receives
Figure 00030003
wherein it was used that ∂ V f 12 (E, V) ≈ δ (E - V). Moreover, the relation essential to the present consideration became
Figure 00040001
used. Note that ∂ V T (E, V) = - 1 / α ∂ E T (E, V), which is not used for the following analysis.

Fürs erste wird die Zustandsdichte der Spitze auf 1 gesetzt, ρT = 1 womit ∂VρT verschwindet. Damit verschwindet der dritte Term auf der rechten Seite von (2b), so dass sich ergibt

Figure 00040002
For now, the state density of the peak is set to 1, ρ T = 1, so that ∂ V ρ T vanishes. Thus, the third term disappears on the right side of (2b), so that results
Figure 00040002

An diesem Punkt wird der zweite Term normalerweise vernachlässigt, was zu dem erwünschten und einfachen Ergebnis ∂VI(V) ∝ ρS(V) führt.At this point, the second term is normally neglected, resulting in the desired and simple result ∂ V I (V) α ρ S (V).

Vergleicht man jedoch das Argument des Integrals in Gleichung (3) mit dem Argument des Integrals in Gleichung (1), so findet man, dass das erstere das Argument des Tunnelstrom-Integrals multipliziert mit einer langsam veränderlichen Funktion

Figure 00040003
ist.However, if one compares the argument of the integral in equation (3) with the argument of the integral in equation (1), one finds that the former multiplies the argument of the tunnel current integral with a slowly varying function
Figure 00040003
is.

Man kann nun den Mittelwertsatz der Integralrechnung ausnutzen und den Mittelwert auf

Figure 00040004
setzen. Glei chung (3) ergibt dann
Figure 00050001
One can now take advantage of the mean value theorem of integral calculus and the mean value
Figure 00040004
put. Equation (3) then yields
Figure 00050001

Um die elektronische Zustandsdichte der Probe ρS zu erhalten, löst man (4) nach ρS auf und erhält

Figure 00050002
wobei der Zustandsdichte der Index „e" hinzugefügt wurde, um deutlich zu machen, dass ρSe eine genäherte oder wiederhergestellte Zustandsdichte ist, welche aus dem – später experimentell bestimmten – Tunnelstrom und dessen Ableitung hergeleitet wurde. Relation (5a) ist besonders interessant, weil sich hier eine Abstandsabhängigkeit der Tunnelspektroskopie manifestiert. Nach Gleichung (5a) trägt die Ableitung ∂VI die volle spektroskopische Information für kleine Abstände zwischen Spitze und Probe. Mit größeren Abständen zwischen Spitze und Probe verschiebt sich allerdings die spektroskopische Information durch die zunehmende Energiedispersivität der Tunnelbarriere (vgl. (2c)) auf den Tunnelstrom. Theoretisch eröffnet die Abstandsabhängigkeit die Möglichkeit, den absoluten Spitze-Probe-Abstand durch Vergleich von I–V-Spektren, welche bei hinreichend unterschiedlichen Spitze-Probe-Abständen gemessen wurden, zu bestimmen. Eine Wechselwirkung zwischen der Spitze und der Probe oder, in der Praxis, eine beschränkte Messgenauigkeit oder ein eingeschränkter Bereich von Abständen könnten dieser Möglichkeit entgegenstehen.In order to obtain the electronic density of states of the sample ρ S , solve (4) for ρ S and obtain
Figure 00050002
where the density of states is added to the index "e" to make it clear that ρ Se is an approximated or reconstructed density of states derived from the - later experimentally determined - tunneling current and its derivative Relation (5a) is of particular interest because there is a gap here dependency of tunnel spectroscopy. According to equation (5a), the derivative ∂ V I carries the full spectroscopic information for small distances between tip and sample. With larger distances between the tip and the sample, however, the spectroscopic information shifts to the tunnel current due to the increasing energy dispersivity of the tunnel barrier (see (2c)). Theoretically, the distance dependence offers the possibility of determining the absolute peak-to-sample separation by comparison of I-V spectra measured at sufficiently different peak-to-probe distances. Interaction between the tip and the sample, or, in practice, limited measurement accuracy or a limited range of distances, could preclude this possibility.

In einem typischen Rastertunnelmikroskop-Experiment sind Werte für z und Φ 7 Å bzw. 4 eV, was zu

Figure 00050003
führt. Der Tunnelstrom trägt also zur Zustandsdichte der Probe die gleiche Menge an Information bei wie die Ableitung des Tunnelstroms. Aus experimenteller Sicht ist das Wichtige an Gleichung (5a), dass auf der rechten Seite der Gleichung ausschließlich bekannte Parameter stehen: die Höhe der Tunnelbarriere Φ, und auch α kann gemessen werden, so dass der Transmissionskoeffizient aus der WKB-Näherung bekannt ist. Durch die Abstandsabhängigkeit von Tunnelspektren kann auch der Abstand zwischen Spitze und Probe z aus dem Experiment hergeleitet werden.In a typical scanning tunneling microscope experiment, values for z and Φ are 7 Å and 4 eV, respectively
Figure 00050003
leads. The tunnel current thus contributes to the density of states of the sample the same amount of information as the derivative of the tunneling current. From an experimental point of view, the important thing about equation (5a) is that on the right side of the equation are only known parameters: the height of the tunnel barrier Φ, and also α can be measured so that the transmission coefficient is known from the WKB approximation. The distance dependence of tunnel spectra can also be used to derive the distance between peak and sample z from the experiment.

Es kann schließlich (5a) weiter verfeinert werden, indem der Mittelwert für eine konstante Zustandsdichte der Probe analytisch berechnet wird und eine Näherung zweiter Ordnung angewendet wird. Man erhält dann

Figure 00060001
Finally, it can be further refined (5a) by analytically calculating the mean constant density state of the sample and applying a second order approximation. You get then
Figure 00060001

Um den Effekt der obigen Näherung zu demonstrieren, wird der Tunnelstrom I, seine Ableitung ∂VI und die genäherte Zustandsdichte der Probe ρSe für eine konstante Zustandsdichte der Probe ρS = 1 berechnet. Zum Vergleich wurde außerdem die normierte Leitfähigkeit

Figure 00060002
berechnet. Die Ergebnisse sind in 2(a) gezeigt. In einem weiten Energiebereich von ± 2 eV zeigt der Tunnelstrom die wohlbekannte parabolische Leitfähigkeit (gepunktete Kurve in 2(a)). Die normierte Leitfähigkeit (gestrichelte Kurve in 2(a)) reduziert die parabolische Komponente um ungefähr 50%, enthält aber immer noch einen signifikanten parabolischen Anteil und ist ähnlich nutzlos als ein befriedigendes Maß für die Zustandsdichte der Probe wie die Ableitung des Tunnelstroms ∂VI. Die genäherte Zustandsdichte der Probe ρSe reproduziert al lerdings die eingegebene Zustandsdichte bis auf eine Genauigkeit von + 0.5/–0.2% in einem Energiebereich ± 1 eV und + 0.8/– 10% in einem Energiebereich ± 2 eV (durchgezogene Kurve in 2(a)). Für positive Spannungen ist ρSe beinahe konstant und beinahe unabhängig von der Spannung, während für negative Spannungen der Fehler mit abnehmender Spannung stark zunimmt. Dies kommt daher, dass der Strom I eine ungerade Funktion der Spannung ist und seine Ableitung ∂VI gerade ist. Als Konsequenz ist die Funktion in Klammern auf der rechten Seite von Gleichung (5) groß für positive Spannungen und wird sehr klein für negative Spannungen, näherungsweise gleich
Figure 00070001
Ein Fehler durch die parabolische Näherung in (5) hat daher für negative Spannungen einen stärkeren Einfluss auf das Ergebnis als für positive Spannungen.To demonstrate the effect of the above approximation, the tunneling current I, its derivative ∂ V I and the approximate density of states of the sample ρ Se are calculated for a constant density of states of the sample ρ S = 1. For comparison, the normalized conductivity was also used
Figure 00060002
calculated. The results are in 2 (a) shown. In a wide energy range of ± 2 eV, the tunnel current shows the well-known parabolic conductivity (dotted curve in 2 (a) ). The normalized conductivity (dashed curve in 2 (a) ) reduces the parabolic component by about 50%, but still contains a significant parabolic fraction and is similarly useless as a satisfactory measure of the sample's state density, such as the derivative of the tunneling current ∂ V I. However, the approximated density of states of the sample ρ Se reproduces the entered density of states up to an accuracy of + 0.5 / -0.2% in an energy range ± 1 eV and + 0.8 / - 10% in an energy range ± 2 eV (solid curve in 2 (a) ). For positive voltages ρ Se is almost constant and almost independent of the voltage, while for negative voltages the error increases strongly with decreasing voltage. This is because the current I is an odd function of the voltage and its derivative ∂ V I is even. As a consequence, the function in brackets on the right side of equation (5) is large for positive voltages and becomes very small for negative voltages, approximately equal
Figure 00070001
An error due to the parabolic approximation in (5) therefore has a stronger influence on the result for negative voltages than for positive voltages.

Das Ergebnis von Gleichung (5) ist noch eindrucksvoller, wenn die Rechnung für eine Zustandsdichte der Probe durchgeführt wird, welche drei Gauss'sche Kurven enthält, deren Zentren bei –1/–0.15/+1 eV (Fläche 2/0.3/2 und Bereite 1/0.15/1 eV) liegen. Die Situation ist in 2(b) gezeigt. Die gewählten Zustandsdichten variieren über- ungefähr eine Größenordnung über einen Bereich der Spannungen von ± 2 eV (kurz gestrichelte Kurve in 2b). Die berechnete Ableitung ∂VI (gepunktete Kurve in 2b) sowie die normierte Leitfähigkeit ∂lnI/∂lnV (gestrichelte Kurve in 2b) produziert ein Maximum bei ungefähr +1 eV, welche in ∂VI um +0.1 eV verschoben ist und in ∂lnI/∂lnV um –0.2 eV verschoben ist. Die Ableitung und daher die normierte Leitfähigkeit werden für V > 1.8 eV negativ, was eine Gauss'sche Anpassung bei positiven Spannungen an eine der Kurven verbie tet. Beide Leitfähigkeiten reproduzieren die thermisch verbreiterte Spitze bei ungefähr –0.15 eV. In ∂lnI/∂lnV ist diese Spitze um 30 meV nach –0.12 eV verschoben. In beiden Leitfähigkeiten führt der ursprüngliche Peak bei –1 eV nur zu einer Schulter. Aus diesen Kurven wird klar, dass eine quantitative Analyse der Zustandsdichte der Probe, insbesondere ein Vergleich der Signaturen über den gesamten Spannungsbereich von ±2 eV, weder durch die Betrachtung von ∂VI noch von ∂lnI/∂lnV möglich ist. Andererseits reproduziert die wiederhergestellte Zustandsdichte der Probe nach Gleichung (5), ρSe, die ursprüngliche Zustandsdichte mit einer überraschenden Genauigkeit (durchgezogene Kurve in 2b). Das Anpassen dreier Gauss-Funktionen an ρSe reproduziert die Positionen der Spitzen bis auf eine Genauigkeit von ±6 meV, was zu einem Spannungsschritt in der Rechnung (5 meV) korrespondiert. Die Flächen der Spitzen werden mit einer Genauigkeit von besser als 4% für negative Spannungen und besser als 1% für positive Spannungen reproduziert. Die Spitze bei –0.15 eV verbreitete sich signifikant um 33 meV durch thermische Verbreiterung bei T = 300 K. Folgerichtig erscheint die Spitze mit reduzierter Höhe bei erhaltener Fläche.The result of equation (5) is even more impressive when calculating the density of states of the sample containing three Gaussian curves centered at -1 / -0.15 / + 1 eV (area 2 / 0.3 / 2 and Ready 1 / 0.15 / 1 eV). The situation is in 2 B) shown. The selected state densities vary over an order of magnitude over a range of voltages of ± 2 eV (short dashed curve in FIG 2 B ). The calculated derivative ∂ V I (dotted curve in 2 B ) and the normalized conductivity ∂lnI / ∂lnV (dashed curve in 2 B ) produces a maximum at about +1 eV, which is shifted by +0.1 eV in ∂ V I and shifted by -0.2 eV in ∂lnI / ∂lnV. The derivative, and therefore the normalized conductivity, becomes negative for V> 1.8 eV, which is a Gaussian fit at positive voltages the curves are bent. Both conductivities reproduce the thermally broadened peak at about -0.15 eV. In ∂lnI / ∂lnV this peak is shifted by 30 meV to -0.12 eV. In both conductivities, the original peak at -1 eV results in only one shoulder. From these curves, it becomes clear that a quantitative analysis of the density of states of the sample, in particular a comparison of the signatures over the entire voltage range of ± 2 eV, neither by the consideration of ∂ V I nor ∂lnI / ∂lnV is possible. On the other hand, the recovered state density of the sample of Equation (5), ρ Se , reproduces the original density of states with surprising accuracy (solid curve in FIG 2 B ). Matching three Gaussian functions to ρ Se reproduces the positions of the peaks to an accuracy of ± 6 meV, which corresponds to a voltage step in the calculation (5 meV). The areas of the tips are reproduced with an accuracy of better than 4% for negative voltages and better than 1% for positive voltages. The peak at -0.15 eV spread significantly by 33 meV due to thermal broadening at T = 300 K. Consequently, the peak appears reduced in height with preserved area.

Auch wenn die gezeigte Rechnung eine erhebliche Verbesserung gegenüber früheren Überlegungen darstellt, wurde Gleichung (5) doch für konstante Zustandsdichten der Probe (und der Spitze) hergeleitet. Verändert sich die Zustandsdichte der Probe im Bereich der betrachteten Spannungen zu sehr, so könnte Gleichung (5) eine relativ grobe Näherung sein, weil der Mittelwert dann eine Funktion von ρS selbst ist. Wie oben gezeigt, führt dies vor allem bei negativen Spannungen zu Fehlern. Die folgende Rechnung zeigt, wie dieses Problem numerisch behoben werden kann.Although the calculation shown represents a significant improvement over previous considerations, equation (5) was derived for constant state densities of the sample (and the peak). If the density of states of the sample changes too much in the range of the stresses considered, equation (5) could be a relatively rough approximation, since the mean value is then a function of ρ S itself. As shown above, this leads to errors especially at negative voltages. The following calculation shows how this problem can be solved numerically.

Numerische Berechnung der wiederhergestellten elektronischen ZustandsdichteNumerical calculation of the recovered electronic density of states

Gleichung (3) kann so umgeschrieben werden, dass ρS auf einer Seite alleine steht. Man erhält dann

Figure 00090001
Equation (3) can be rewritten such that ρ S stands on one side alone. You get then
Figure 00090001

Der Einfachheit halber wurde hier für den Tunnelstrom die Näherung, dass die Temperatur gleich Null ist, verwendet. Dadurch ergeben sich für das Integral endliche Grenzen. Zum Vergleich wurden die Berechnungen auch unter Einbeziehung der Fermi-Verteilung und mit unendlichen Grenzen durchgeführt, ohne dass sich nennenswerte Änderungen ergaben. Gleichung (6) kann numerisch durch das Neumannsche Näherungsverfahren gelöst werden, welches hier lautet:

Figure 00090002
For the sake of simplicity, the approximation that the temperature is zero was used here for the tunnel current. This results in finite limits for the integral. For comparison, the calculations were also carried out using the Fermi distribution and with infinite limits, without any significant changes. Equation (6) can be solved numerically by Neumann's approximation method, which is:
Figure 00090002

Als Eingabefunktion ρS,1 startet man normalerweise mit ∂VI oder mit ∂VI/T(E, V). Für die vorliegenden Rech nungen wird die Näherung ρSe von ρS verwendet, was zu einer deutlich schnelleren Konvergenz von ρS,n gegen die numerische Lösung ρSr führt, welche durch wiederholtes Anwenden von Gleichung (7) auf die Zustandsdichte der Probe ρS,n erhalten wird.The input function ρ S, 1 is usually started with ∂ V I or with ∂ V I / T (E, V). For the present calculations, the approximation ρ Se of ρ S is used, which leads to a significantly faster convergence of ρ S, n to the numerical solution ρ Sr , which is achieved by repeatedly applying equation (7) to the density of states of the sample ρ S , n is obtained.

3 zeigt den Effekt der wiederholten Anwendung des Neumannschen Näherungsverfahrens auf die Zustandsdichte der Probe, wenn die Originalzustandsdichte ρS, mit welcher der Tunnelstrom und seine Ableitung berechnet wurde, eine Heavyside-Stufenfunktion bei –0.5 eV war. Diese Zustandsdichte kann als Modell des Schockley-artigen Oberflächenzustands von Au(111) angesehen werden. In diesem Falle zeigt die Ableitung ∂VI eine Stufenfunktion bei V = –0.5 eV auf einem parabolischen Hintergrund (gepunktete Kurve in 3). Die Höhe der Stufe entspricht ungefähr der gleichen Leitfähigkeit wie verglichen mit dem Hintergrund und ähnelt wieder kaum der usprünglichen Zustandsdichte. Die Normierung der Leitfähigkeit verbessert die Ähnlichkeit mit der Originalzustandsdichte nicht signifikant (gestrichelte Kurve in 3). Andererseits reproduziert die wiederhergestellte Zustandsdichte ρSe die thermisch ausgeschmierte Stufe von Null links der Stufe bis zum konstanten Wert von Eins rechts der Stufe genau (durchgezogene Kurve in 3). Für abnehmende Spannung allerdings steigt ρSe auf –0.33 anstatt bei Null zu bleiben. Offensichtlich ist die Näherung des Mittelwertes für diese Wahl der Zustandsdichte der Probe zu ungenau. Durch Anwendung von nur 5 Iterationen erreicht die Zustandsdichte ρS,n ihren endgültigen Wert sehr gut mit |ρS,6| < 0.007 für V < –0.5 eV. Eine restliche Abweichung von Null links der Stufe oder von Eins rechts der Stufe resultiert aus numerischen Fehlern beim Durchführen der Integration und der Dif ferentiation. 3 shows the effect of the repeated application of the Neumann approximation method on the density of states of the sample when the original state density ρ S at which the tunnel current and its derivative was calculated was a heavies step function at -0.5 eV. This density of states can be considered as a model of the Schockley-type surface state of Au (111). In this case, the derivative ∂ V I shows a step function at V = -0.5 eV on a parabolic background (dotted curve in 3 ). The height of the step corresponds approximately to the same conductivity as compared with the background and hardly resembles the original density of states. The normalization of the conductivity does not significantly improve the similarity with the original state density (dashed curve in FIG 3 ). On the other hand, the restored state density ρ Se accurately reproduces the thermally scorched stage from zero left of the stage to the constant value of one right of the stage (solid curve in FIG 3 ). For decreasing voltage, however, ρ Se increases to -0.33 instead of remaining at zero. Obviously, the approximation of the mean value for this choice of the density of states of the sample is too inaccurate. By applying only 5 iterations, the density of states ρ S, n reaches its final value very well with | ρ S, 6 | <0.007 for V <-0.5 eV. A residual deviation from zero to the left of the level or to the right of the level results from numerical errors in performing the integration and the differentiation.

Es muss nicht erwähnt werden, dass die obige Prozedur ebenso gut für die Bestimmung der elektronischen Zustandsdichte eines Halbleiters geeignet ist. Beim Modellieren der Halbleiterzustandsdichte als Eins außerhalb und Null innerhalb der Bandlücke im Bereich ±1 eV reproduziert die näherungsweise Zustandsdichte ρSe das Leitungsband mit einer Genauigkeit von besser als 1% und die Valenzbandkante mit einer Genauigkeit von 2%, wobei die Zustandsdichte bei –2 eV auf 0.75 abfällt. Nach 5 Iterationen reproduziert die wiederhergestellte Zustandsfunktion ρS,6 die Originalzustandsfunktion mit einer Genauigkeit von –0/+0.7% (die thermische Verbreiterung der Bandkanten nicht beachtend).Needless to say, the above procedure is equally well suited for determining the electronic density of states of a semiconductor. When modeling the semiconductor state density as unity outside and zero within the band gap in the range ± 1 eV, the approximate state density ρ Se reproduces the conduction band with an accuracy of better than 1% and the valence band edge with an accuracy of 2%, with the state density at -2 eV drops to 0.75. After 5 iterations, the restored state function ρ S, 6 reproduces the original state function with an accuracy of -0 / + 0.7% (disregarding the thermal broadening of the band edges).

Einbeziehung der Zustandsdichte der SpitzeInclusion of the density of states the top

Auch wenn der obige Formalismus ausgesprochen erfolgreich ist, wäre die Einbeziehung einer energieabhängigen Zustandsdichte der Spitze äußerst wünschenswert. Dies geschieht hier dadurch, dass zuerst die obige Rechnung für eine beliebige Zustandsdichte der Spitze ρT(E) durchgeführt wird und dann versucht wird, die numerische Prozedur zu verallgemeinern, um ρS,n und ρT,n zu optimieren.Although the above formalism is extremely successful, the inclusion of an energy-dependent density of states at the top would be highly desirable. This is done by first performing the above calculation for any density of states of the peak ρ T (E) and then trying to generalize the numerical procedure to optimize ρ S, n and ρ T, n .

Wird die Spannungsabhängigkeit der Zustandsdichte der Spitze beibehalten, lautet die Gleichung (3)

Figure 00110001
Figure 00120001
wo verwendet wurde, dass –∂VρT(E – V)= ∂EρT(E – V). Die Integralgleichung wird damit
Figure 00120002
If the voltage dependence of the state density of the peak is maintained, the equation (3) is
Figure 00110001
Figure 00120001
where it was used that -∂ V ρ T (E - V) = ∂ E ρ T (E - V). The integral equation becomes so
Figure 00120002

Dies ist die Integralgleichung für die Zustandsdichte des Untersuchungsobjektes (der Probe). Um die Integralgleichung für die Zustandsdichte der Spitze zu erhalten, wechselt man das Bezugssystem von der Probe zu der Spitze. Dies führt zu einer Gleichung, welche gleich der Gleichung (9) ist, wenn man die Indizes der Zustandsdichten austauscht. Bedenkt man, dass der Strom, welcher an der Spitze gemessen wird, das negative des an der Probe gemessenen Stroms ist, und dass die Spannung an der Probe die negative Spannung an der Spitze ist, findet man VT = –V, IT(VT) = –I(VT) = –I(-V), ∂VTIT(VT) = ∂VI(–V), wobei der Index ‚T' anzeigt, dass eine Größe im Bezugssystem der Spitze gemessen wird. Die Integralgleichung für die Zustandsdichte der Spitze lautet dann:

Figure 00120003
This is the integral equation for the density of states of the object to be examined (the sample). To obtain the integral equation for the state density of the peak, one changes the reference system from the sample to the peak. This leads to an equation which is equal to equation (9) when exchanging the indices of the state densities. Considering that the current measured at the peak is the negative of the current measured on the sample, and that the voltage at the sample is the negative voltage at the peak, one finds V T = -V, I T ( V T) = -I (V T) = -I (V) ∂ V T I T (V T) = ∂ V I (-V), the index T indicates' that a size in the reference system of the tip is measured. The integral equation for the density of states of the peak is then:
Figure 00120003

Man beachte, dass diese Gleichung die gleiche wie Gleichung (9) im entsprechenden Bezugssystem ist, a ber ∂VI muss bei V = 0 gespiegelt werden, weil ∂VI im Bezugssystem der Probe gemessen wurde. Im Hinblick auf die numerische Rechnung ist dies sehr bequem, weil die gleiche Routine in beiden Fällen verwendet werden kann, wobei nur die Rolle von ρS und ρT vertauscht werden muss und ∂VI gespiegelt werden muss.Note that this equation is the same as Equation (9) in the corresponding frame of reference. A over ∂ V I must be mirrored at V = 0 because ∂ V I was measured in the frame of reference of the sample. With regard to the numerical calculation, this is very convenient because the same routine can be used in both cases, whereby only the role of ρ S and ρ T must be interchanged and ∂ V I must be mirrored.

Zwei Vorgehensweisen zum unabhängigen Finden der Zustandsdichten der Spitze und der Probe aus dem Tunnelstrom und seiner Ableitung sind denkbar. Die erste ist, die Zustandsdichte der Spitze für eine bestimmte Spitze mit einer bekannten Zustandsdichte der Probe zu kalibrieren und daraus eine unbekannte Zustandsdichte der Probe zu bestimmen. Allerdings wäre das Kalibrieren nur angemessen, wenn die Stabilität der Spitze über eine hinreichende Zeitdauer gewährleistet werden könnte. Ein „Kalibrieren" auf einer niedrigeren Ebene könnte durch vergleichende Tunnelspektroskopie erreicht werden, z.B. durch Vergleich der Rastertunnelspektroskopie an verschiedenen Orten der Probe und Zuordnen verschiedener Merkmale zu diesen Orten und Zuordnen gängiger Merkmale zu der Spitze. Die zweite Vorgehensweise besteht darin, die Integralgleichungen für die Probe und die Spitze abwechselnd zu lösen. Im Allgemeinen ist das Ergebnis nicht eindeutig, weil das Lösen der Integralgleichungen für jede Seite die verbleibende Information dieser Seite zuordnet und daher das Resultat von den Details des Ablaufes der Rechnung und einer vernünftigen Erklärung der sich ergebenden Zustandsdichte abhängt.Two Procedures for Independent Find the state densities of the tip and the sample from the tunneling current and its derivation are conceivable. The first is the density of states the top for a certain peak with a known density of states of the sample to calibrate and from this an unknown density of states of the sample to determine. However, that would be Calibration only appropriate if the stability of the tip over a sufficient period of time guaranteed could be. A "calibrate" to a lower one Level could can be achieved by comparative tunneling spectroscopy, e.g. by Comparison of the scanning tunneling spectroscopy at different locations of the Sample and assign various features to these locations and assignments common Characteristics to the top. The second approach is to the integral equations for to alternately loosen the sample and the tip. In general, that is Result is not unique, because solving the integral equations for every Page assigns the remaining information to this page and therefore the result of the details of the procedure of the bill and one reasonable statement the resulting density of states depends.

Die zweite Vorgehensweise könnte ausgereift werden, wenn zusätzlich Informationen über die Zustandsdichten erhältlich sind, welche geeignet sind, die Zustandsdichten im Laufe der Iteration auf Selbstkonsistenz zu überprüfen. Zu diesem Zweck kann man sich z.B. die Abstandsabhängigkeit der Tunnelspektren nutzbar machen. 4(a) zeigt das prinzipielle Verhalten einer bestimmten Kombination von Proben- und Spitzenzustandsdichte. Die Probenzustandsdichte ist Eins plus zwei Gauss-Spitzen bei ±1 eV (Breite 0.1 eV, Fläche 0.2 eV) und die Spitzenzustandsdichte enthält 3 Gauss-Spitzen bei ±1.3 eV und 0 eV (Breite 1 eV, Fläche 1.33 eV) (vgl. den unteren Einsatz in 4(a)). Es sind berechnete ∂I/∂V-V Kurven für Spitze-Probe-Abstände von 0.1, 0.3, 0.5 und 0.7 nm gezeigt. Diese ∂I/∂V-V Kurven wurden zum besseren Vergleich auf ihre Leitfähigkeit bei verschwindender Spannung normiert. Die zwei Spitzen bei ±1 eV in den ∂1/∂V-V Kurven resultieren beide aus den zwei Spitzen in der Probenzustandsdichte, welche die gleiche Intensität in der Eingangszustandsdichte haben. Die Spitze bei +1 eV in der ∂I/∂V-V Kurve, welche zu der Spitze bei +1 eV in der Probenzustandsdichte korrespondiert, ist größer als die Spitze bei –1 eV, weil der Transmissionskoeffizient der Barriere für Zustände der Probe bei größeren Energien größer ist. Die Spitze bei +1 eV wird mit größer werdendem Spitze-Proben-Abstand größer, weil der Transmissionskoeffizient für

Figure 00140001
auf welchen die gezeichneten Kurven normiert wurden, schneller mit größer werdendem Abstand abnimmt als für
Figure 00140002
Mit dem gleichen Argument nimmt die Spitze bei –1 eV ab. Für Spitzenzustände ist die Situation allerdings genau andersrum: Unbesetzte Zustände (E > 0) treten bei negativen Spannungen auf aber erfahren einen höheren Transmissionskoeffizienten und zeigen entsprechend stärkere Abstandsabhängigkeit für V < 0 als die Spitze bei –1.3 eV in der gezeigten ∂I/∂V-V-Kurve.The second approach could be matured if, in addition, information on the state densities is available, which are suitable for checking the state densities for self-consistency during the course of the iteration. For this purpose, one can, for example, make use of the distance dependence of the tunnel spectra. 4 (a) shows the principal behavior of a given combination of sample and peak density. The sample state density is one plus two Gauss peaks at ± 1 eV (width 0.1 eV, area 0.2 eV), and the peak state density contains 3 Gauss peaks at ± 1.3 eV and 0 eV (width 1 eV, area 1.33 eV) (see lower insert in 4 (a) ). Calculated ∂I / ∂VV curves for peak-to-peak distances of 0.1, 0.3, 0.5 and 0.7 nm are shown. These ∂I / ∂VV curves were normalized for better comparison with their conductivity at vanishing voltage. The two peaks at ± 1 eV in the ∂1 / ∂VV curves both result from the two peaks in the sample state density that have the same intensity in the input state density. The peak at +1 eV in the ∂I / ∂VV curve, which corresponds to the peak at +1 eV in the sample state density, is larger than the peak at -1 eV, because the transmission coefficient of the barrier for states of the sample at higher energies is larger. The peak at +1 eV increases with increasing peak-to-sample distance, because the transmission coefficient for
Figure 00140001
on which the drawn curves have been standardized, decreases faster with increasing distance than for
Figure 00140002
With the same argument, the peak decreases at -1 eV. However, the situation is exactly the other way around for peak states: Unoccupied states (E> 0) occur at negative voltages but experience a higher transmission coefficient and show correspondingly greater distance dependence for V <0 than the peak at -1.3 eV in the ∂I / ∂VV shown -Curve.

Im Folgenden wird die Abstandsabhängigkeit weiter a nalysiert. Zuerst wird die Ableitung von ∂VI nach dem Abstand numerisch berechnet, ∂z∂VI, und mit ∂VI normiert, d.h. es wird ∂z∂VI/∂VI berechnet. Das Quadrat, (∂z∂VI/∂VI)2 ist ein Maß für die Höhe der Barriere und wird im Folgenden differentielle Barrierenhöhe Φ ^ genannt. Man beachte, dass dieses ähnlich zur normalerweise verwendeten Definition der Barrierehöhe (∂zI/I)2 ist, welche im Allgemeinen keine signifikante Spannungsabhängigkeit zeigt, sodass näherungsweise (∂zI/I)2 = Φ unabhängig von der Tunnelspannung gilt. Andererseits wählt Φ ^ gerade die Zustände an den Fermi-Niveaus aus, wie unten gezeigt wird. In 4(b) wird die differentielle Barrierenhöhe Φ ^ gezeigt, wie sie aus den in 4(a) gezeigten Daten bei einem Abstand zwischen Spitze und Probe von 0.3 nm berechnet wurden (durchgezogene Kurve). Außerdem ist die differentielle Barrierenhöhe für konstante Zustandsdichten der Spitze und der Probe bei dem gleichen Abstand (gestrichelte Kurve) und die Barrierenhöhe für Zustände an den Fermi-Niveaus der Spitze bzw. der Probe (durchgezogene gerade Linien) gezeigt. Aus 4(b) ist offensichtlich, dass Φ ^ für die Zustandsdichte mit Spitze von der differentiellen Barrierenhöhe für konstante Zustandsdichten in Richtung der Barriere jener Seite abweicht, welche die Zustandsdichte der anderen Seite bezüglich V = 0 überwiegt. Auf diese Weise ergibt sich zusätzliche Information, wie die Zustandsdichte der Spitze und der Probe bei einer gegebenen Energie bezüglich der bei verschwindender Spannung miteinander in Verbindung stehen.In the following, the distance dependence is further analyzed. First, the derivative of ∂ V I is numerically calculated according to the distance, ∂ z ∂ V I, and normalized with ∂ V I, ie ∂ z ∂ V I / ∂ V I is calculated. The square, (∂ z ∂ V I / ∂ V I) 2 is a measure of the height of the barrier and will be called differential barrier height Φ ^ in the following. Note that this is similar to the normally used definition of barrier height (∂ z I / I) 2 , which generally shows no significant voltage dependence, so that approximately (∂ z I / I) 2 = Φ is independent of the tunneling voltage. On the other hand, φ ^ just selects the states at the Fermi levels, as shown below. In 4 (b) the differential barrier height Φ ^ is shown, as shown in the 4 (a) calculated data at a distance between tip and sample of 0.3 nm were calculated (solid curve). Also shown is the differential barrier height for constant state densities of the tip and the sample at the same distance (dashed curve) and the barrier height for states at the Fermi levels of the tip and the sample, respectively (solid straight lines). Out 4 (b) It is obvious that Φ ^ for the peak density of states deviates from the differential barrier height for constant state densities in the direction of the barrier of the side which outweighs the density of states of the other side with respect to V = 0. In this way, additional information arises as to how the density of states of the tip and the sample at a given energy are related to each other at vanishing voltage.

Um die obige Idee zu bekräftigen, wird analytisch die Ableitung ∂z∂VI für konstante Zustandsdichten der Spitze und der Probe, ρS = ρT = 1 berechnet, und in Bezug auf den Transmissionskoeffizienten für verschwindende Spannung normiert. Dies ergibt,

Figure 00160001
To corroborate the above idea, analytically, the derivative ∂ z ∂ V I for constant state densities of the tip and the sample, ρ S = ρ T = 1, is calculated and normalized with respect to the transmission coefficient for vanishing voltage. This results in
Figure 00160001

In Worten ist ∂z∂VIn nur das gewichtete Mittel der inversen Zerfallslänge für Zustände am Fermi-Niveau der Spitze, welche die Probe testen, bei einer Energie von E = V (erster Term in Gleichung (11)) und für Zustände am Fermi-Niveau des Analyseobjektes (die Probe) die Zustände der Spitze bei einer Energie von E = –V testen (zweiter Term in Gleichung (11)). Ein Beispiel für (∂z∂VIn) 2 ist in 4(b) gezeigt (gestrichelte Kurve). Das Gewicht der Zustände an den entsprechenden Fermi-Niveaus ist durch die relative Transmission entsprechend ihres Wertes bei verschwindender Spannung gegeben. Wir verwenden dieses Argument und verallgemeinern (11), um die Zustandsdichte als variabel in der Energie einzubeziehen und erhalten

Figure 00160002
In words, ∂ z ∂ V I n is only the weighted average of the inverse decay length for states at the Fermi level of the tip testing the sample at energy of E = V (first term in equation (11)) and for states at Fermi level of the analysis object (the sample) test the states of the peak at an energy of E = -V (second term in equation (11)). An example of (∂ z ∂ V I n ) 2 is in 4 (b) shown (dashed curve). The weight of the states at the respective Fermi levels is given by the relative transmission according to their value at vanishing voltage. We use this argument and generalize (11) to include and obtain the density of states as variable in energy
Figure 00160002

Gleichung (12) stellt einen direkten funktionalen Zusammenhang zwischen der Zustandsdichte der Probe und der Zustandsdichte der Spitze im Zusammenhang mit der gemessenen Relation ∂z∂VI/∂VI her, welche verwendet werden kann, um die Selbstkonsistenz der wiederhergestellten Zustandsdichten zu testen. Man beachte, dass die vorgeschlagene Prozedur für große Abstände zwi schen Spitze und Probe versagt, weil dann ∂z∂VI/∂∂I gegen die Barriere der Spitze oder Probe, je nachdem welche kleiner ist, läuft und selbst eine wesentliche Veränderung der Zustandsdichte der anderen Seite nur zu einer kleinen Änderung der differentiellen Barriere führt. Man beachte auch, dass der Selbstkonsistenz-Test in der Praxis durch eine begrenzte Genauigkeit der gemessenen Daten und den begrenzten zugänglichen Bereich des Spitzen-Proben-Abstandes behindert werden könnte, begleitet von Effekten, welche nicht in obige Betrachtung einbezogen wurden, wie z.B. eine Wechselwirkung zwischen Spitze und Probe oder eine abstandsabhängige Barrierenhöhe.Equation (12) establishes a direct functional relationship between the density of states of the sample and the density of states of the peak associated with the measured relation ∂ z ∂ V I / ∂ V I, which can be used to test the self-consistency of the restored state densities. Note that the proposed procedure fails for large peak-to-sample distances because then ∂ z ∂ V I / ∂ ∂ I runs against the barrier of the tip or sample, whichever is smaller, and even a substantial change in the density of states the other side only leads to a small change in the differential barrier. It should also be noted that in practice the self-consistency test could be hampered by limited accuracy of the measured data and the limited accessible range of the peak-to-sample distance, accompanied by effects that were not included in the above consideration, such as interaction between tip and sample or a distance-dependent barrier height.

Die Konsistenzprüfung, die im Laufe der Rechungn die Selbstkonsistenz herbeiführt, ist eine Zwangsbedingung, die auf pS bzw. ρT ausgeübt wird. Man startet also z.B. mit ρS,1 = ρSe und ρT = 1 und mithilfe von Gleichung (12) wird anschließend ρT = (ρS,1) als Funktion von ρS,1 ausgedrückt. Ein Abbruch der Rechung erfolgt nur dann, wenn festgestellt wird, dass die Rechung konvergiert. Dann muss der Ablauf der Rechung angepasst werden. Letztendlich lässt sich keine Vorhersage über die Konvergenz machen. Man geht davon aus, dass das Verfahren die Richtige Lösung liefert, wenn die Rechung konvergiert.The consistency check, which in the course of the calculations leads to self-consistency, is a constraint imposed on p S or ρ T. Thus, for example, one starts with ρ S, 1 = ρ Se and ρ T = 1, and with the help of equation (12) ρ T = (ρ S, 1 ) is then expressed as a function of ρ S, 1 . A break of the calculation takes place only if it is determined that the calculation is converging. Then the procedure of the calculation must be adapted. Ultimately, there is no prediction about convergence. It is believed that the method provides the correct solution when the computation converges.

Erweiterungenextensions

Die obigen Betrachtungen beruhen auf zwei Punkten. Der erste führt zu Gleichungen (4) und (5), in dem die Ableitung des expliziten Transmissionskoeffizienten T gebildet wurde, wodurch es möglich wurde, den Mittelwertsatz auf das verbleibende Integral anzuwenden, welches der experimentell zugängliche Tunnelstrom war. Die einzige Erfordernis an den Transmissi onskoeffizienten ist, dass er sich im wesentlichen selbst reproduziert, wenn die Ableitung nach E gebildet wird, was insbesondere der Fall ist, wenn T eine Exponentialfunktion ist. Die einzige Änderung, die vorgenommen werden muss, wenn ein anderer Transmissionskoeffizient verwendet wird, ist, dass der Mittelwert entsprechend angepasst wird.The The above considerations are based on two points. The first leads to equations (4) and (5), in which the derivative of the explicit transmission coefficient T was formed, making it possible was to apply the mean theorem to the remaining integral, which is the experimentally accessible one Tunnel current was. The only requirement for transmissivity coefficients is that he essentially reproduces himself when the Derivative is formed after E, which is the case in particular when T is an exponential function. The only change that will be made if another transmission coefficient is used, is that the mean is adjusted accordingly.

Das beschriebene Verfahren ist keineswegs auf eindimensionales Tunneln beschränkt. Die wesentliche Vorraussetzung besteht lediglich darin, dass sich der Transmissionskoeffizient durch Differentiation im Wesentlichen reproduziert bzw. der Tunnelstrom mit Hilfe der WKB-Näherung beschrieben werden kann.The The method described is by no means one-dimensional tunneling limited. The essential prerequisite is only that the transmission coefficient by differentiation substantially reproduced or described the tunnel current using the WKB approximation can be.

Der zweite Punkt ist die Lösbarkeit der Integralgleichung. Die Integralgleichung ist eine direkte Konsequenz der Gleichung (1), worin das Bilden der Ableitung von (1) nach der Spannung V die Integralgleichung in eine Form überführt, welche die Anwendung des Neumannschen Näherungsschemas erlaubt.Of the second point is the solvability the integral equation. The integral equation is a direct consequence the equation (1) wherein forming the derivative of (1) after the Voltage V converts the integral equation into a form which the application of the Neumann approximation schemes allowed.

Die Integralgleichungen (6), (7), (9) und (10) müssen also bei Verwendung eines anderen Transmissionskoeffizienten so umgeschrieben werden, dass sie dessen Ableitung nach der Spannung richtig berücksichtigen. Die einzige Einschränkung, die hier besteht, ist also die, die für das mathematische Objekt "Integralgleichung" selbst besteht. Dies ist die stetige Differenzierbarkeit der verwendeten Funktionen, die für physikalische Funktionen zumindest nach thermischer Verschmierung gegeben ist. So verbleibt als letzte Voraussetzung die Tatsache, dass der Tunnelstrom in der Form von Gleichung (1) geschrieben werden kann, oder in anderen Worten, es bleibt die Frage nach der Gültigkeit der WKB-Näherung. Nach aktuellem Stand der Literatur ist dies in weiten Bereichen mit ausreichender Genauigkeit der Fall (d.h. die Selbstenergie der Elektronen verschwindet im Bereich der Tunnelbarriere).The integral equations (6), (7), (9) and (10) must therefore be rewritten using a different transmission coefficient so that they take into account its derivative after the voltage properly. So the only restriction that exists here is the one that holds for the mathematical object "Integralglei This is the constant differentiability of the functions used for physical functions, at least after thermal smearing, leaving as a last requirement the fact that the tunneling current can be written in the form of equation (1), or in In other words, the question remains as to the validity of the WKB approximation and, according to the current state of the literature, this is the case in a wide range with sufficient accuracy (ie the self-energy of the electrons disappears in the area of the tunnel barrier).

Wir zeigen dies am Beispiel des Oberflächenzustandes von Au(111) oder Cu(111) (vgl. 3), indem wir unsere Betrachtung auf dreidimensionales Tunneln erweitern. In diesem Fall taucht im Transmissionskoeffizient nicht die Energie E, sondern nur die Komponente E⊥ = E–E|| senkrecht zur Barriere mit der Energiekomponente E|| parallel zur Barriere auf. Da nun der Oberflächenzustand eine fast perfekte parabolische Dispersion zeigt und diese natürlich immer parallel zur Oberfläche ist, wird die Energiekomponente senkrecht zur Barriere zu E⊥ = E0 mit E0 dem Ansatz des Oberflächenbandes (E0 = –0.47 eV im Falle von Au(111)). Der Transmissionskoeffizient wird damit zu

Figure 00190001
und hängt damit nicht mehr explizit von der Integrationsvariable E ab. Somit lässt sich der Faktor unter dem Integral in Gleichung (3), der durch Differentiation des Transmissionskoeffizienten nach der Tunnelspannung entsteht, direkt vor das Integral ziehen und es ergibt sich die analytische und exakte Lösung
Figure 00190002
We show this with the example of the surface state of Au (111) or Cu (111) (cf. 3 ) by expanding our consideration to three-dimensional tunneling. In this case, not the energy E appears in the transmission coefficient, but only the component E⊥ = E-E || perpendicular to the barrier with the energy component E || parallel to the barrier. Since the surface state shows an almost perfect parabolic dispersion and this course is always parallel to the surface, the energy component perpendicular to the barrier becomes E⊥ = E 0 with E 0 the approach of the surface band (E 0 = -0.47 eV in the case of Au ( 111)). The transmission coefficient is thus too
Figure 00190001
and thus no longer explicitly depends on the integration variable E. Thus, the factor below the integral in Equation (3), which arises by differentiating the transmission coefficient after the tunneling voltage, can be pulled directly in front of the integral, resulting in the analytic and exact solution
Figure 00190002

1 zeigt ein Energiediagramm einer Tunnelverbindung inkl. einer angelegten Spannung. Die Symbole sind: die Fermi-Energie der Probe und der Spitze, EF1 bzw. EF2, die Barrierenhöhe Φ und die angelegte Spannung V (hier in eV). 1 shows an energy diagram of a tunnel junction including an applied voltage. The symbols are: the Fermi energy of the sample and the tip, E F1 and E F2 , the barrier height Φ and the applied voltage V (here in eV).

2 zeigt die berechnete Ableitung des Tunnelstroms ∂VI, die normierte Leitfähigkeit ∂lnI/∂lnV und die angenäherte Zustandsfunktion der Probe ρSe als Funktionen der angelegten Spannung V für konstante Zustandsdichte der Spitze ρT = 1 bei einer Temperatur von T = 300 K. 2(a) zeigt die Rechnung für die konstante Zustandsdichte der Probe ρS = 1; 2 shows the calculated derivative of the tunnel current ∂ V I, the normalized conductivity ∂lnI / ∂lnV and the approximate state function of the sample ρ Se as functions of the applied voltage V for constant density of states of the peak ρ T = 1 at a temperature of T = 300 K. 2 (a) shows the calculation for the constant density of states of the sample ρ S = 1;

2(b) zeigt die Rechnung für eine Zustandsdichte der Probe, welche aus drei Gauss-Spitzen zusammengesetzt ist: zwei Spitzen liegen bei ±1 eV, deren volle Breite beim halben Maximum (FWHM) 1 eV ist und deren Fläche A±2 = 2 eV ist, und eine Gauss-Spitze bei –0.15 eV, mit einer vollen Breite bei halbem Maximum von 0.15 eV und einer Fläche von A–0.15 = 0.3 eV. Zum Vergleich ist auch die Originalzustandsdichte ρS in 2(b) gezeigt (Φ = 4 eV, z = 7 Å, α = 2). 2 B) shows the calculation for a density of states of the sample, which is composed of three Gaussian peaks: two peaks are at ± 1 eV, whose full width at half maximum (FWHM) is 1 eV and whose area is A ± 2 = 2 eV, and a Gauss peak at -0.15 eV, with a full width at half maximum of 0.15 eV and an area of A -0.15 = 0.3 eV. For comparison, the original state density ρ S in 2 B) (Φ = 4 eV, z = 7 Å, α = 2).

3 zeigt den Effekt der Anwendung des Neumannschen Näherungsschemas auf die genäherte Zustandsdichte der Probe für ρT = 1. Die Originalzustandsdichte ρ ist eine Stufenfunktion (ρS(E) = Θ(E + 0.5 eV) als ein Modell für den Schockley-artigen Oberflächenzustand von Au(111). Der Einsatz ist eine Vergrößerung des interessierenden Bereichs (Φ = 4 eV, z = 7 Å, α = 2, T = 300 K). 3 shows the effect of applying the Neumann approximation scheme on the approximated density of states of the sample for ρ T = 1. The original state density ρ is a step function (ρ S (E) = Θ (E + 0.5 eV) as a model for the Schockley-like surface state of Au (111) The insert is an enlargement of the region of interest (Φ = 4 eV, z = 7 Å, α = 2, T = 300 K).

4(a) zeigt abstandsabhängige I–V-Spektren, welche für eine Zustandsdichte der Probe berechnet wurden, welche Eins mit zwei Gausschen Spitzen bei ±1 eV (Breite 0.1 eV, Fläche 0.2 eV) ist und einer Zustandsdichte der Spitze, welche drei Gausssche Spitzen enthält, die bei ±1.3 eV und 0 eV zentriert sind (jeweils Breite 1 eV und Fläche 1.33 eV)(der Einsatz links unten zeigt die Situation für T = 0 K). Der Einsatz oben links ist eine Vergrößerung der I–V-Kurven bei –1 eV, welcher die entgegengesetzte Veränderung mit dem Abstand im Vergleich zur Spitze bei +1 eV betont. Zum besseren Vergleich wurden die Spektren auf die Leitfähigkeit bei Null normiert (Φ = 4 eV, α = 2). 4 (a) shows distance-dependent I-V spectra calculated for a state density of the sample which is one with two Gaussian peaks at ± 1 eV (width 0.1 eV, area 0.2 eV) and a peak density of states containing three Gaussian peaks are centered at ± 1.3 eV and 0 eV (each width 1 eV and area 1.33 eV) (the insert at the bottom left shows the situation for T = 0 K). The insert at the top left is an enlargement of the I-V curves at -1 eV, which emphasizes the opposite change with the distance compared to the peak at +1 eV. For better comparison, the spectra were normalized to zero conductivity (Φ = 4 eV, α = 2).

4(b) zeigt die differentielle Barrierenhöhe (∂z∂VI/∂VI)2, welche berechnet wurde durch numerisches Ableiten von ∂VI für die gleichen Zustandsdichten wie in 4(a) für z = 0.3 nm. Die gestrichelte Kurve ist ∂z∂VI für den Fall, dass die Zustandsdichten der Probe und der Spitze gleich Eins sind und dass z = 0.3 nm ist. Die dünnen Geraden korrespondieren zu den Barrierenhöhen, welchen die Zustände der Probe bei einer Energie von E = V (Φ – V/2) und die Zustände der Spitze bei einer Energie von E = –V(Φ + V/2) erfahren (Φ = 4 eV, α = 2, T = 0 K). 4 (b) shows the differential barrier height (∂ z ∂ V I / ∂ V I) 2 , which was calculated by numerically deriving ∂ V I for the same state densities as in 4 (a) for z = 0.3 nm. The dashed curve is ∂ z ∂ V I for the case that the state densities of the sample and the peak are equal to one and that z = 0.3 nm. The thin straight lines correspond to the barrier heights which the states of the sample experience at an energy of E = V (Φ-V / 2) and the states of the peak at an energy of E = -V (Φ + V / 2) (Φ = 4 eV, α = 2, T = 0K).

Claims (21)

Verfahren zur Bestimmung der elektronischen Zustandsdichte von Proben aus elektrisch leitfähigen oder halbleitenden Materialien mit einem Rastertunnelmikroskop, wobei zwischen einer Probe und der Spitze einer Nadel eines Rastertunnelmikroskops eine Spannung V angelegt wird, wobei ein Strom I durch die Nadel in Abhängigkeit von der Spannung V gemessen wird, wobei der Strom I und dessen Ableitung nach der Spannung V in Zusammenhang mit einem Transmissionskoeffizienten T gebracht wird, und wobei mit diesem Zusammenhang zumindest aus dem gemessenen Strom I die elektronische Zustandsdichte ρs der Probe bestimmt wird, dadurch gekennzeichnet, dass bei der Bestimmung der elektronischen Zustandsdichte der Probe ρs die Ableitung des Transmissionskoeffizienten T nach der Spannung V berücksichtigt wird.Method for determining the electronic density of states of samples of electrically conductive or semiconducting materials with a scanning tunneling microscope, wherein between a sample and the tip of a needle of a scanning tunneling microscope, a voltage V is applied, wherein a current I is measured by the needle in dependence on the voltage V. , wherein the current I and its derivative after the voltage V in conjunction with a transmission coefficient T is brought, and with this connection at least from the measured current I, the electronic density of states ρ s of the sample is determined, characterized in that in determining the electronic density of states of the sample ρ s the derivative of the transmission coefficient T after the voltage V is taken into account. Verfahren nach dem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass der Strom I in der WKB-Näherung beschrieben wird und über diese WKB-Näherung mit dem Transmissionskoeffizienten T in Zusammenhang gebracht wird, und dass die elektronische Zustandsdichte der Probe ρs aus einer Ableitung des Stroms I in der WKB- Näherung nach der Spannung V bestimmt wird, welche in Hartree-Einheiten lautet:
Figure 00240001
wobei ρT die elektronische Zustandsdichte der Spitze der Nadel und f12(E, V) = f(E – V) – f(E) eine Fenster-Funktion mit der Fermi-Dirac-Verteilung f bezeichnen.Method according to the preceding claim, characterized in that the current I is described in the WKB approximation and is related by this WKB approximation to the transmission coefficient T, and that the electronic density of states of the sample ρ s from a derivative of the current I in the WKB approximation after the voltage V, which is in Hartree units:
Figure 00240001
where ρ T denotes the electronic state density of the tip of the needle and f 12 (E, V) = f (E-V) -f (E) denotes a window function with the Fermi-Dirac distribution f. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass der Transmissionskoeffizient T in Hartree-Einheiten die Form
Figure 00240002
hat, wobei Φ die Tunnelbarriere zwischen der Spitze der Nadel und der Probe bezeichnet, z den Abstand zwischen der Probe und der Spitze der Nadel, α eine experimentell zu bestimmende Zahl nahe 2 und E eine Energie.Method according to one of the preceding claims, characterized in that the transmission coefficient T in Hartree units is the shape
Figure 00240002
where Φ denotes the tunneling barrier between the tip of the needle and the sample, z the distance between the sample and the tip of the needle, α an experimentally determined number near 2, and E an energy. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die elektronische Zustandsdichte der Spitze der Nadel ρT als konstant angenommen wird und/oder dass die elektronische Zustandsdichte der Probe ρs ausgehend von einer Gleichung für die Ableitung des Stroms I nach der Spannung V
Figure 00250001
bestimmt wird, wobei Term einen von der Ableitung ∂T/∂V des Transmissionskoeffizienten T nach der Spannung V abhängigen Term bezeichnet.Method according to one of the preceding claims, characterized in that the electronic density of states of the tip of the needle ρ T is assumed to be constant and / or that the electronic density of states of the sample ρ s starting from an equation for the derivation of the current I to the voltage V
Figure 00250001
where Term denotes a term dependent on the derivative ∂T / ∂V of the transmission coefficient T after the voltage V. Verfahren nach dem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass gegebenenfalls Term durch Näherung des Integrals
Figure 00250002
bestimmt wird.Method according to the preceding claim, characterized in that optionally term by approximation of the integral
Figure 00250002
is determined. Verfahren nach einem der beiden vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass gegebenenfalls
Figure 00250003
Method according to one of the two preceding claims, characterized in that optionally
Figure 00250003
 Verfahren nach einem der Ansprüche 4 oder 5, dadurch gekennzeichnet, dass gegebenenfalls
Figure 00250004
Method according to one of claims 4 or 5, characterized in that optionally
Figure 00250004
 Verfahren nach Anspruch 4, dadurch gekennzeichnet, dass
Figure 00250005
wobei Φ die Tunnelbarriere zwischen der Spitze der Nadel und der Probe bezeichnet, z den Abstand zwi schen der Probe und der Spitze der Nadel, α eine experimentell zu bestimmende Zahl nahe 2, E eine Energie und f12(E, V) = f(E – V) – f(E) eine Fenster-Funktion mit der Fermi-Dirac-Verteilung f(E) = 1/(exp(E/(k·Temp)) + 1), wobei Temp die Temperatur bezeichnet und k die Boltzmann-Konstante.A method according to claim 4, characterized in that
Figure 00250005
where Φ denotes the tunnel barrier between the tip of the needle and the sample, z the distance between the sample and the tip of the needle, α an experimentally determined number close to 2, E an energy and f 12 (E, V) = f ( E - V) - f (E) a window function with the Fermi-Dirac distribution f (E) = 1 / (exp (E / (k · Temp)) + 1), where Temp denotes the temperature and k the Boltzmann constant. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4 oder 8, dadurch gekennzeichnet, dass die Temperatur als verschwindend oder gleich Null angenommen wird.Method according to one of claims 1 to 4 or 8, characterized characterized in that the temperature as vanishing or equal Zero is assumed. Verfahren nach einem der beiden vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die elektronische Zustandsdichte ρs der Probe aus der Gleichung
Figure 00260001
iterativ berechnet wird, indem in einem ersten Schritt aus einem Ansatz für die elektronische Zustandsdichte der Probe ρs(V) eine numerische Darstellung der elektronischen Zustandsdichte der Probe ρs(V) für eine Auswahl an Spannungen V im Bereich der angelegten Spannungen berechnet wird, in einem zweiten Schritt die numerische Darstellung der elektronischen Zustandsdichte der Probe ρs(V) auf der rechten Seite der obigen Gleichung als ρs(E) eingesetzt wird, in einem dritten Schritt eine neue numerische Darstellung der elektronischen Zustandsdichte der Probe ρs dadurch berechnet wird, dass die rechte Seite der Gleichung numerisch ausgewertet wird, und wobei der zweite und der dritte Schritt mehrmals nacheinander mit der jeweiligen neuen numerischen Darstellung von ρs(V) wiederholt werden.Method according to one of the two preceding claims, characterized in that the electronic density of states ρ s of the sample from the equation
Figure 00260001
is calculated iteratively by calculating in a first step from an approach for the electronic density of states of the sample ρ s (V) a numerical representation of the electronic density of states of the sample ρ s (V) for a selection of voltages V in the range of applied voltages, in a second step, the numerical representation of the electronic density of states of the sample ρ s (V) on the right side of the above equation is used as ρ s (E), in a third step, a new numerical representation of the electronic density of states of the sample ρ s calculated is that the right side of the equation is evaluated numerically, and wherein the second and the third step are repeated several times in succession with the respective new numerical representation of ρ s (V). Verfahren nach dem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass der zweite und der dritte Schritt so oft hintereinander ausgeführt werden, bis der Betrag der Differenz der in dem zweiten Schritt eingesetzten numerischen Darstellung der elektronischen Zustandsdichte der Probe ρs und der im dritten Schritt berechneten neuen Darstellung der elektronischen Zustandsdichte der Probe ρs für alle oder den größten Teil der Auswahl an Spannungen zwischen Null und einem vorbestimmten Grenzwert liegt, vorteilhafterweise gleich Null im Rahmen der Rechengenauigkeit, ist.Method according to the preceding claim, characterized in that the second and third te step are performed so often until the amount of the difference of the used in the second step numerical representation of the electronic density of states of the sample ρ s and the third step calculated new representation of the electronic density of states of the sample ρ s for all or most of the Selection of voltages between zero and a predetermined limit, advantageously equal to zero in the context of computing accuracy, is. Verfahren nach einem der beiden vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass der Ansatz für die elektronische Zustandsdichte der Probe ρs(V) proportional zu oder gleich
Figure 00270001
ist oder die nach einem Verfahren nach einem der Ansprüche 6 oder 7 bestimmte elektronische Zustandsdichte der Probe ist.Method according to one of the two preceding claims, characterized in that the approach for the electronic density of states of the sample ρ s (V) is proportional to or equal to
Figure 00270001
or which is determined by a method according to any one of claims 6 or 7 certain electronic density of states of the sample. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass die elektronische Zustandsdichte der Spitze ρT aus der Gleichung
Figure 00270002
bestimmt wird und die elektronische Zustandsdichte ρs der Probe aus der Gleichung
Figure 00280001
bestimmt wird.Method according to one of claims 1 to 3, characterized in that the electronic density of states of the peak ρ T from the equation
Figure 00270002
is determined and the electronic density of states ρ s of the sample from the equation
Figure 00280001
is determined. Verfahren nach dem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass die elektronische Zustandsdichte der Probe ρs(V) und der Spitze ρT(V) gemeinsam iterativ berechnet werden indem in einem ersten Schritt aus einem Ansatz für die elektronische Zustandsdichte der Probe ρs(V) eine numerische Darstellung der elektronischen Zustandsdichte der Probe ρs(V) und aus einem Ansatz für die elektronische Zustandsdichte der Spitze ρT(V) eine numerische Darstellung der elektronischen Zustandsdichte der Spitze ρT(V) für eine Auswahl an Spannungen V im Bereich der angelegten Spannungen berechnet wird, in einem zweiten Schritt die numerischen Darstellungen der elektronischen Zustandsdichten ρs(V) und ρT(V) auf den rechten Seiten der Bestimmungsgleichungen aus dem vorhergehenden Anspruch als ρs(E) bzw. ρT(E) eingesetzt werden, in einem dritten Schritt neue numerische Darstellungen der elektronischen Zustandsdichten ρs(V) und ρT(V) dadurch berechnet werden, dass die rechten Seiten numerisch ausgewertet werden, und wobei der zweite und der dritte Schritt mehrmals nacheinander mit den jeweils neuen Darstellungen von ρs(V) und ρT(V) wiederholt werden.Method according to the preceding claim, characterized in that the electronic density of states of the sample ρ s (V) and the peak ρ T (V) are calculated together iteratively by starting in a first step from an approach for the electronic density of states of the sample ρ s (V ) a numerical representation of the electronic density of states of the sample ρ s (V) and from an approach for the electronic density of states of the peak ρ T (V) a numerical representation of the electronic density of states of the peak ρ T (V) for a selection of voltages V in the range the applied voltages is calculated, in a second step the numerical representations of the electronic state densities ρ s (V) and ρ T (V) on the right sides of the determination equations from the preceding claim as ρ s (E) and ρ T (E) In a third step, new numerical representations of the electronic state densities ρ s (V) and ρ T (V) are calculated by: the right sides are numerically evaluated, and wherein the second and the third step are repeated several times in succession with the respective new representations of ρ s (V) and ρ T (V). Verfahren nach dem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass der zweite und der dritte Schritt so oft hintereinander ausgeführt werden, bis die Beträge der Differenzen der im zweiten Schritt eingesetzten Zustandsdichten und den im dritten Schritt berechneten Zustandsdichten für alle oder den größten Teil der Auswahl an Spannungen zwischen Null und einem vorbestimmten Grenzwert liegt, vorzugsweise gleich Null im Rahmen der Rechengenauigkeit, ist.Method according to the preceding claim, characterized characterized in that the second and the third step so often in a row be executed until the sums the differences of the state densities used in the second step and the state densities calculated in the third step for all or the biggest part the selection of voltages between zero and a predetermined one Limit value, preferably equal to zero in terms of computational accuracy, is. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass die elektronische Zustandsdichte der Spitze und der Probe gemeinsam iterativ berechnet werden, indem in einem ersten Schritt aus einem Ansatz für die elektronische Zustandsdichte der Probe ρs eine numerische Darstellung für die elektronische Zustandsdichte der Probe ρs für eine Auswahl an Spannungen V im Bereich der angelegten Spannungen berechnet wird, in einem zweiten Schritt aus der numerischen Darstellung für die elektronische Zustandsdichte der Probe ρs eine numerische Darstellung der elektronischen Zustandsdichte der Spitze ρT mit Hilfe der Gleichung
Figure 00290001
bestimmt wird, in einem dritten Schritt die numerische Darstellung der Zustandsdichten ρs und ρT auf der rechten Seite der Gleichung
Figure 00290002
als ρs bzw. ρT eingesetzt werden, in einem vierten Schritt eine neue numerische Darstellung der elektronischen Zustandsdichte der Probe ρs dadurch berechnet wird, dass die rechte Seite obiger Gleichung numerisch ausgewertet wird, und wobei der zweite bis vierte Schritt mehrmals nacheinander mit den jeweils neuen Darstellungen von ρs bzw. ρT wiederholt werden.Method according to one of claims 1 to 3, characterized in that the electronic Zu As a first step, the density of the peak and the sample are calculated iteratively by computing in a first step from an approach for the electronic density of states of the sample ρ s a numerical representation for the electronic density of states of the sample ρ s for a selection of voltages V in the range of applied voltages is, in a second step from the numerical representation for the electronic density of states of the sample ρ s a numerical representation of the electronic density of states of the peak ρ T using the equation
Figure 00290001
is determined, in a third step, the numerical representation of the state densities ρ s and ρ T on the right side of the equation
Figure 00290002
are used as ρ s and ρ T , in a fourth step, a new numerical representation of the electronic density of states of the sample ρ s is calculated by numerically evaluating the right side of the above equation, and wherein the second to fourth step several times successively with the in each case new representations of ρ s or ρ T are repeated. Verfahren nach dem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass der zweite bis vierte Schritt so oft hintereinander ausgeführt werden, bis die Beträge der Differenzen der im dritten Schritt eingesetzten Zustandsdichten und der im vierten Schritt berechneten Zustandsdichten für alle oder den größten Teil der Auswahl an Spannungen zwischen Null und einem vorbestimmten Grenzwert liegt, vorzugsweise gleich Null im Rahmen der Rechengenauigkeit, ist.Method according to the preceding claim, characterized characterized in that the second to fourth step so often in a row accomplished be until the amounts the differences of the state densities used in the third step and the state densities calculated in the fourth step for all or most of the Selection of voltages between zero and a predetermined limit lies, preferably equal to zero in terms of computing accuracy, is. Verfahren nach einem der vier vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass der Ansatz für die elektronische Zustandsdichte der Probe ρs proportional zu oder gleich
Figure 00300001
ist oder die nach einem der Ansprüche 6 oder 7 bestimmte elektronische Zustandsdichte der Proben ist und der Ansatz für die elektronische Zustandsdichte der Spitze ρT proportional zu oder gleich
Figure 00300002
ist oder eine Konstante ist.Method according to one of the four preceding claims, characterized in that the approach for the electronic density of states of the sample ρ s proportional to or equal to
Figure 00300001
or the electronic density of states of the specimens determined according to any one of claims 6 or 7 and the approach for the electronic density of states of the peak ρ T is proportional to or equal to
Figure 00300002
is or is a constant. Verfahren nach einem der Ansprüche 14 oder 15, dadurch gekennzeichnet, dass nach dem dritten Schritt jeweils die neuen numerischen Darstellungen der elektronischen Zustandsdichten der Probe ρs und der Nadel ρT miteinander auf Konsistenz überprüft werden und das Verfahren abgebrochen wird, wenn sie nicht konsistent sind.Method according to one of claims 14 or 15, characterized in that after the third step in each case the new numerical representations of the electronic state densities of the sample ρ s and the needle ρ T are checked for consistency and the method is aborted if they are not consistent , Verfahren nach einem der Ansprüche 14 oder 15, dadurch gekennzeichnet, dass nach dem dritten Schritt überprüft wird, ob die elektronischen Zustandsdichten ρs und ρT der Relation
Figure 00310001
genügen und das Verfahren abgebrochen wird, wenn sie der Relation nicht genügen.Method according to one of claims 14 or 15, characterized in that after the third step, it is checked whether the electronic state densities ρ s and ρ T of the relation
Figure 00310001
suffice and the process is terminated if they do not satisfy the relation. Rastertunnel-Elektronenmikroskop, dadurch gekennzeichnet, dass zumindest aus einem durch eine Nadel des Rastertunnel-Elektronenmikroskops fließenden Strom die elektronische Zustandsdichte der Probe ρs in einem Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche bestimmbar ist.Scanning tunneling electron microscope, characterized in that at least from a current flowing through a needle of the scanning tunneling electron microscope, the electronic density of states of the sample ρ s in a method according to one of the preceding claims can be determined.
DE102006035089A 2006-07-28 2006-07-28 Method for determination of state charge electronic density, involves determining electronic density of charge from measured current, where transmission coefficient derivative is considered after voltage Withdrawn DE102006035089A1 (en)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
DE102006035089A DE102006035089A1 (en) 2006-07-28 2006-07-28 Method for determination of state charge electronic density, involves determining electronic density of charge from measured current, where transmission coefficient derivative is considered after voltage

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
DE102006035089A DE102006035089A1 (en) 2006-07-28 2006-07-28 Method for determination of state charge electronic density, involves determining electronic density of charge from measured current, where transmission coefficient derivative is considered after voltage

Publications (1)

Publication Number Publication Date
DE102006035089A1 true DE102006035089A1 (en) 2008-01-31

Family

ID=38859413

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
DE102006035089A Withdrawn DE102006035089A1 (en) 2006-07-28 2006-07-28 Method for determination of state charge electronic density, involves determining electronic density of charge from measured current, where transmission coefficient derivative is considered after voltage

Country Status (1)

Country Link
DE (1) DE102006035089A1 (en)

Cited By (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US9381790B2 (en) 2012-07-09 2016-07-05 Nissan Motor Co., Ltd. Air conditioning device for vehicle

Cited By (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US9381790B2 (en) 2012-07-09 2016-07-05 Nissan Motor Co., Ltd. Air conditioning device for vehicle

Similar Documents

Publication Publication Date Title
EP3098581B1 (en) Method for correcting background signals in a spectrum
DE102015201271A1 (en) Method and system for determining the local quality of surface data extracted from volume data
DE102007020065A1 (en) Method for the creation of mass occupation images on the basis of attenuation images recorded in different energy ranges
DE102011113138A1 (en) Apparatus and method for measuring surfaces
DE112020004471T5 (en) Inference device, training device, inference method and training method
EP3649614B1 (en) Method for determining uncertainties in measurement data from the measurement of an object
DE69912072T2 (en) METHOD FOR FAST AUTOMATIC SPECTRAL ADJUSTMENT
EP2102886B1 (en) Electron microscope and a method for measuring the defocus spread or the infromation limit
DE102017121490A1 (en) Method for characterizing materials with inclusions
DE102006035089A1 (en) Method for determination of state charge electronic density, involves determining electronic density of charge from measured current, where transmission coefficient derivative is considered after voltage
DE2724919A1 (en) METHOD OF MEASURING PHYSICAL PROPERTIES OF THIN BODIES WITH THE AID OF ULTRA RED RADIATION
DE60037235T2 (en) METHOD FOR DETERMINING A TRUE SPECTRUM FROM A MEASURED SPECTRUM
WO2018153575A1 (en) Method and device for multiple edge detection
DE102008003037B3 (en) Method for determining physical characteristics of atmospheric particles, involves preparing vertical profile of optical characteristic of particles and determining vertical profile of physical characteristic of particle by inversion method
DE102020131310A1 (en) Fatigue estimation method; and method of creating a database for fatigue estimation
DE112020000365T5 (en) Method for determining a flow velocity distribution of rough underlayer
EP3803357A1 (en) Method for evaluating core electron spectra
DE102018103715A1 (en) Method for compressing measured data
WO2018153511A1 (en) Method and device for detecting corners
DE102011006400B4 (en) Method for determining the proportion of scattered radiation in 2D X-ray images
WO2001073404A1 (en) Method for determining an index of refraction
DE112017006114T5 (en) DNA ANALYSIS DEVICE AND DNA ANALYSIS METHOD USING THE TERAHERTZWELLE
DE102020134372A1 (en) Procedure for measuring the amount of substance in a mixture of substances
DE102021107759A1 (en) Method for determining luminescence lifetimes of a luminescent sample
DE102023128845A1 (en) CORRECTION DEVICE, METHOD AND PROGRAM

Legal Events

Date Code Title Description
R012 Request for examination validly filed
R079 Amendment of ipc main class

Free format text: PREVIOUS MAIN CLASS: G01N0013120000

Ipc: G01Q0060120000

R012 Request for examination validly filed

Effective date: 20130719

R079 Amendment of ipc main class

Free format text: PREVIOUS MAIN CLASS: G01N0013120000

Ipc: G01Q0060120000

Effective date: 20130807

R119 Application deemed withdrawn, or ip right lapsed, due to non-payment of renewal fee