CN1692351A

CN1692351A - 铁轨和其它车辆导轨用的通用螺旋曲线、转弯曲线、道岔导曲线和摆动曲线的设计方法

Info

Publication number: CN1692351A
Application number: CN 03812137
Authority: CN
Inventors: 路易斯·T·Jr·克劳德
Original assignee: Individual
Current assignee: Individual
Priority date: 2002-03-29
Filing date: 2003-03-28
Publication date: 2005-11-02

Abstract

现有的设计铁轨和其它车辆导轨的过渡曲线的方法首先是为轨道或导轨的倾斜角选取一个倾斜函数，其为距离的函数，然后要求过渡曲线的曲率能够保证沿曲线每一点的向心加速度和重力加速度在轨道或导轨平面上的分量相等，对表达上面的平衡关系的等式进行积分，确定过渡曲线的形状。本发明通过一种用Gegenbauer正交多项式来定义基本倾斜函数的方法对现有技术进行补充，所述倾斜函数包括能产生简单螺旋曲线和其它复杂形状的倾斜函数(例如转弯曲线、道岔导曲线、摆动曲线)。各个不同形状的倾斜函数是由多个基本倾斜函数的加权组合来定义的，这样的倾斜函数能够得到具有良好动态特性的且比用先前的设计法设计的形状通用的过渡曲线。为了高速行驶或由于现有螺旋的形状已经严重偏离原始设计形状导致无法修复而必须重新恢复成一条直线，从而需要延长螺旋曲线时，得到的通用螺旋可用于补偿偏移量的不足。

Description

铁轨和其它车辆导轨用的通用螺旋曲线、转弯曲线、道岔导曲线和摆动曲线的设计方法

背景技术

铁轨几何规划学中使用的传统元素包括直线(曲率为零)，圆弧(曲率为非零常数)，和螺旋曲线(曲率沿曲线单调变化)。当两段具有不同曲率的轨道相遇时，除了特殊情况以外，通常使用螺旋形铁轨来连接这两段轨道，这段螺旋形铁轨两端的曲率和罗盘方位角分别和它所相接的轨道端点的曲率和罗盘方位角相匹配。在地面上的几何形状中，螺旋形轨道是一种传统上常用的设计。在过去两个世纪中，工程师们还设计和使用了其它许多特定的形状。

在发明人为Louis T.Klauder，专利名称为“基于对机动车倾斜运动进行控制的铁轨弯曲过渡的螺旋形设计的方法”(这里称作KS法)的国际专利申请PCT/US01/41074中，描述了一种设计铁路轨道螺旋曲线的方法，并且描述了由这种方法设计得到的几种特定的轨道形状。KS法并没有首先把螺旋看作一种形状，而是把它看作是帮助沿轨道行驶的车辆改变其倾斜角(roll angle)或环绕角(bank angle)的手段，使其从适于得到重力以在一段轨道上提供向心加速的一个数值，变为适于在具有不同向心加速度的下一段得到重力的另一数值。

下面引入一些专用术语，用于描述一般领域的轨道和导轨的几何特性，KS法以及本发明的方法将车辆运行速度定义为v，将轨道的罗盘方位角定义为沿轨道运行的距离s的函数b(s)。将曲率定义为罗盘方位角相对于距离的一阶导数，即db(s)/ds。如果满足式(1)，向心加速度在轨道平面上的分量就将由重力提供：

v²db(s)/ds cos(r(s))＝g sin(r(s)) (1)

其中g表示重力加速度，r(s)是描述轨道在距离s处的倾斜角或环绕角，cos和sin是常用的三角函数。方程式(1)称为平衡方程，v称为平衡速度。

用KS设计法设计螺旋曲线时，首先要在曲线长度范围内选择r(s)的函数形式。接下来的任务是：对平衡方程(1)进行积分，得到罗盘方位角b(s)；分别对cos(b(s))和sin(b(s))进行积分，得到沿着螺旋曲线的点的x坐标和y坐标；确定函数r(s)的参数，使得到的螺旋曲线和具有定常曲率的相邻轨道精密吻合。如果需要，还要对前面两步积分方法进行迭代来求解。如果过渡形状的末端和与之相邻的直线或者圆弧轨道的端点重合，并且过该形状在重合端点处的罗盘方位角以及曲率和相邻的直线或者圆弧段轨道在该点的罗盘方位角和曲率一致，就实现了精密对接。r(s)中最重要的参数通常是螺旋曲线的长度。

引入近似法来简化方程(1)(平衡方程)和对cos(b(s))和sin(b(s))的积分，从而得到x和y。最常用的简化方法就是用1来代替余弦函数，用正弦函数自变量角度的弧度值来代替它的正弦函数值。这种近似方法被统称为“小角度”近似法。如果倾斜函数(roll function)是s的多项式，并且运用上述“小角度”近似法，那么在KS设计法中以及在本发明中的所有积分过程就有直接的闭合解，从而避免了繁复的数值积分和迭代过程。这种简化法提供了很好的近似，使得r(s)和b(s)两者在整个过渡曲线中都小于0.1。即使上述两个角度不是那么小，然而这种近似法仍然是具有实际应用价值的几何方法，尽管在数学上不是非常完美。

本发明的方法利用了一个已知原理，那就是轨道倾斜轴不一定设在轨道平面内，它可以距离轨道平面有一定高度，而这个高度也是螺旋曲线的一个参数。

本发明的方法解决了铁轨过渡曲线几何学领域中现存的两个问题。当改进现有的铁道以使车辆具有更高的运行速度时出现第一个问题。如果对于一个特定的曲线，通过增加超高(即外侧轨道和内侧轨道高度之差)来实现速度的增加，而不改变该段曲线的半径或者该段曲线的路径，那么这段曲线和相邻直线轨道之间的偏差就不会被改变，连接它们的标准录像曲线的长度也不会改变，偏差是曲线的圆形延长线和直线轨道的延长线之间的最小距离。在这种情况下通常需要寻求某些方法来增加螺旋曲线的长度。过去，曾使用传统的螺旋和圆弧线来解决这个问题，具体实例可以参见Henryk Baluch在1982年10月的《国际铁道》上发表的文章“过渡长度增加的优化”。

当现有的螺旋形曲线(alignment)由于列车运行而产生形变，需要制定计划对其进行矫正时，出现另一个问题。这个问题是，是否，以及如果应当，如何用数学方法定义应被修复的螺旋轨道的形状。如果一个系统处于测量轨道相对于参照物的位置的适当位置，原始形状使用数学方法予以限定且现有形状没有偏离原始形状太远，则该螺旋轨道能够被修复为原状。当上述条件没有完全满足时，实践中采用平滑矫正法，这样沿着矫正后的轨道测量出来的曲率就与以前形变的轨道的曲率的运动平均值的某种形式接近。由于这样矫正得到的轨道并没有数学表达式，随着时间变迁，轨道会产生形变。

发明内容

本发明的方法通过首先引入一组新的基本过渡几何形状，补充并扩展了的先前介绍过的KS法，所述几何形状不同于螺旋曲线，它们被称为转弯曲线、道岔导(jogs)曲线和摆动曲线。在对运行车辆的动态响应上，这些新的几何形状几乎不会引起任何不期望的波动，也非常适合在特定的轨道位置上用作过渡曲线。可以用沿曲线长度上的几个物理量的净变化来表征这几种基本几何形状的特征。

从螺旋曲线的一端到另一端，曲率会有净变化。通常方位角也会有净变化，但是当单一螺旋连接对称反向的曲线时方位角就不会变化。

从转弯曲线的一端到另一端，方向角会有净变化，但曲率是不变的。图1所示是转弯曲线的一个例子。转弯曲线是连接两段罗盘方位角相差不大的直线轨道的最佳的几何形状。

道岔导曲线用来提供两段相互平行但具有位移的直线部分之间的过渡，从道岔导曲线的一端到另一端，方向角和曲率都没有净变化。图2给出了道岔导曲线的一个例子。道岔导曲线为连接了两条平行且具有适当位移的直线轨道提供了好的几何形状。道岔导曲线的几何形状便于在高速行进中转换轨道。

其次，本发明指出，基本螺旋曲线、转弯曲线和道岔导曲线的优选的倾斜函数可以方便的用1、2、3阶的Gegenbauer正交多项式来表示。而4阶和4阶以上的Gegenbauer正交多项式可以用来表示相应阶数的摆动曲线的倾斜函数。除了通过引入Gegenbauer多项式(下标为n)的大整数值进行推广外，还利用希腊小写字母表示的非整数上标(这里记作m+1/2)进行二次推广。本发明中并不限制m为≥1的整数，它可以是≥1的任何实数，而2是比较常用的数值。

第三，本发明的过渡曲线设计方法首先从基本的几何形状(如螺选曲线、转弯曲线、道岔导曲线、摆动曲线)开始，然后在其倾斜函数中加入具有一个或多个高阶或低阶形状的倾斜函数，每个倾斜函数都有一个可调系数，从而使得原始形状灵活多变。这种方法尤其适用于设计用数学方法定义的螺旋，所述螺旋具有良好动态性能，和简单的螺旋曲线不同，本发明设计的螺旋曲线和现有的变形的轨道螺旋线的差别并不是很大，见图5。本发明也适用于需要加长现有螺旋曲线以使轨道具有更高运行速度的情况。通常在这种情况下，不希望用移动整个轨道曲线的方法来增加螺旋曲线的偏移量。图4示出了为了这个目的而设计的一个增大的螺旋曲线。

在另外一个例子中，通过组合螺旋曲线和道岔导曲线倾斜函数项，其中道岔导曲线倾斜函数项起主导作用，可以为从一段轨道到相邻的另外一段同心轨道的过渡部分提供很好的几何形状，该过渡部分比连接两段同心铁轨的简单改进的螺旋曲线要短很多。在根据Gegenbauer多项式来组合基本倾斜函数时，不同的基本倾斜函数可用具有不同m值的Gegenbauer多项式表示，但是在所有基本倾斜函数中使用共同的m值，将会更加受欢迎。

从四阶摆动曲线的一端到另一端，虽然曲率不变，且邻近轨道的延长量相等，但是方位角有一点变化。图3所示是用近似法算出的四阶摆线，其结果是它的方位角的净变化为0。通常，可以通过增加小弯曲因子与转弯曲线的倾斜函数的乘积的方法来增大摆动曲线的倾斜函数，通过调整弯曲因子使增大后的摆动曲线具有期望的零或者非零的方向角的净变化。当直线轨道需要作小的横向偏移以避开某些障碍物时，四阶摆动曲线就是很好的几何图形。当直线轨道需要先作小的横向侧移，然后向相反方向移动来避开位于相对的轨道上的连续障碍物时，五阶摆线就提供了一种很好的形状。

第四，通过使用上述基本和增大的倾斜函数，并引入近似法(如在背景知识介绍中已经提到方法)来简化方程式(1)(平衡方程)以及三角函数sin(b(s))和cos(b(s))的积分，分别得到沿过渡曲线的x，y坐标值，从而得到与上述图形相似的几何形状。

第五，如果对于上面描述的基本或增大的倾斜函数之一，将每一个Gegenbauer多项式用定义它们的有限项的和来代替的话，就要用乘法，然后把那些伴随倾斜函数具有相同的距离幂指数的项合并起来，就得到一个与Gegenbauer多项式似乎不相关的倾斜函数。如果这个倾斜函数由一个单一函数来表示，而不是由这里定义的基本函数的组合来表示，则它仍然和本发明中公开的倾斜函数等价。

附图说明

图1，2和3分别表示简单的转弯曲线，道岔导曲线和摆动曲线。

图4示出了一个增加了转弯曲线后的螺旋曲线。

图5所示是增加了各种更高阶组合的螺旋曲线。

具体实施方式

本发明公开了建立新型的倾斜函数的方法，这些方法在KS法中能够用来构造铁道和导轨的曲线过渡形状。借助这些新型的倾斜函数，KS法能够建立比目前可获得的螺旋形状更加灵活的螺旋曲线。使用该方法还能构造称作转弯曲线、道岔导曲线，以及摆动曲线的过渡形状，如上所述，这些曲线具有和螺旋线不同的特性，且它们之间也有不同之处。本发明还公开了设计转弯曲线、道岔导曲线和摆动曲线时采用的“小角度”近似法。

根据本发明的第一方面，为了定义一组基本倾斜函数，定义了阶数是整数n的基本倾斜函数，它是用其相对于沿曲线的距离的二阶导数定义的，所述阶数为整数n的基本倾斜函数必须具有以下形式

k_n(a²-s²)^(m)C_n ^(m+1/2)(s/a)，n＞0 (2)

其中，C_n ^α(x)是标准Gegenbauer正交多项式，在标准文献如Abramowitz和Stegun的“数学函数手册”，第22章，美国政府印刷所，1964，华盛顿中定义了所述多项式C_n ^α(x)，k_n是可调系数；a是轨道过渡曲线长度的二分之一；s是沿曲线的长度(以曲线中点为参考点)；m不必是≥1的实数，最有用的m值为2。然而，当m＝1.5、2.5或3时，也会得到有实用价值的曲线形状。m并不一定为半整数。但是当m不是半整数时，C_n ^(m+1/2)(s/a)中会包括x的非整数幂，这样计算就变得非常复杂。

当n＝1时，倾斜角相对于由s两次积分等式(2)得到的距离的表达式可以写为

j₁(将(a²-t²)^(m+2)从-a到s对t积分) (3)

当n＞1时，表达式为

j_n(a²-s²)^(m+2)C_n-2 ^(m+5/2)(s/a)，n＞1 (4)

其中j_n是一个新的定常系数。当m是半整数，可以得到方程式(3)的积分的闭合形式。例如，当m＝2时，倾斜角相对于距离的表达式(3)可以写为

j₁(a+s)⁴(16a³-29a²s+20as²-5s³) (5)

这里j₁已经被重新定义过。

根据本发明的第二方面，为了构造KS法中使用的倾斜函数，阶数为1、2、3、4...的基本倾斜函数可以直接单独使用，也可以线性组合起来使用，其中“线性组合”是指具有不同系数的一列项的和。由一组具有相同m值的基本倾斜函数线性组合而成的倾斜函数可以用下面的有序符号来表示，即{m；0.0，1.0，0.5}；其中，分号后面由逗号隔开的数值表示相对于非常少见的j_n＝1.0的情况，第1、2、3、4...阶基本曲线的j_n系数值。前面已经描述了几个使用多个基本倾斜函数的线性组合的例子。

2阶和3阶基本倾斜函数可以分别产生转弯曲线和道岔导曲线。如前所述，如果采用”小角度”简化的计算方法，4阶倾斜函数自身可以产生典型的摆动曲线。当不采用”小角度”简化时，摆动曲线的典型表达式是{2；0，0.01，0.0，1.0}，调整小的转弯分量的参数，以使沿摆动曲线长度的罗盘方位角的变化为零。

当采用本发明的方法来构造螺旋曲线的倾斜函数时，其中所述倾斜函数通过增加转弯分量和/或其它高阶的分量而增大，优选采用标准的KS法，而不采用”小角度”简化法。

本发明的第三方面是在KS法中应用”小角度”简化法，用来简化转弯曲线、道岔导曲线，以及摆动曲线的设计过程。当使用本发明的方法来构造适用于工程实际的转弯曲线、道岔导曲线、摆动曲线的倾斜函数时，罗盘方位角值通常都是被限定在一个足够小的范围之内，这样，选择合适的坐标，就可以满意地在KS法中采用”小角度”简化法。在这种情况下，以闭合的形式积分平衡方程式(1)得到b(s)，并积分三角函数sine和cosine得到沿着曲线方向的x和y坐标值。这样，就可以在闭合形式下得到为了使曲线形状实现理想过渡j_n和a必须取得的数值，从而简化了计算过程。下面介绍“小角度”简化过程在转弯曲线设计中的应用。也指出了针对道岔导曲线和摆动曲线，计算类似结果时存在的不同之处，本领域的熟练技术人员很容易再现具体细节。另外，使用几个已知的计算软件中的任何一个(例如Derive、Mathematica或者Maple)，对导出相关的公式很有帮助。当然，如果在实践中使用简化处理，必须意识到，曲率和超高的关系和平常的情况有一些不同，在选择设计中使用的平衡速度v时需要考虑这一点。

对于一个m＝2的简单转弯曲线，由表达式(4)得到

r(s)＝k(a²-s²)⁴ (6)

其中k是一个待定的常数。在图1的坐标系中，表示单位数值从0到s的积分的x实际上就成了s，说明s不再表示沿着转弯曲线的距离，而是x的坐标。采用”小角度“简化法，b(s)就不再是方位角，而成为其切线(下面把它记为bt(s)用于提示)。简化的平衡方程的积分用下式表示：

bt(x)＝gkx(315a⁸-420a⁶x²+378a⁴x⁴-180a²x⁶+35x⁸)/(315v²) (7)

y坐标是x的函数，记为y(x)，它是bt(x)从-a到x的积分。不考虑积分常数，积分得到：

-gk(193a¹⁰-315a⁸x²+210ax⁴-126a⁴x⁶+45a²x⁸-7x¹⁰)/(630v²) (8)

当把积分下限设为-a，式(8)中的y(x)项在转弯曲线的每一个端点即为0。有必要把转弯曲线端点的实际高度在加入上述结果中，即

atan(turn/2) (9)

式中tum表示由转弯曲线连接的两段直线段轨道的方位角之差。从倾斜轴路径向下移动轨道，移动距离为突出量，由下式表示

h sin(r(x)) (10)

其中h表示倾斜轴高于轨道平面的高度。这样，轨道的y坐标的表达式为

y_track(x)＝y(x)+atan(turn/2)-hsin(r(x) (11)

主要的约束条件是转弯曲线的转弯角应取正确的值。这一条件可以表示为

bt(x)＝tan(turn/2) (12)

因此常数k必须设为

k＝315v²tan(turn/2)/(128a⁹g) (13)

半长a值的选取必须服从两个第二约束条件，这两个约束条件都是用来设定a的下限。其中一个约束条件是轨道的倾斜角度不可以超过允许的最大值max_roll。最大的倾斜度发生在转弯曲线的中间，这个约束条件可以写为

a_roll_lim＝315v²tan(turn/2)/(128gmax_roll) (14)

在上式中，a_roll_lim是a的第一个下限。另外一个第二条件约束条件就是倾斜角度对距离的导数要不大于最大允许值max_r_veloc。

当时，dr(x)/dx取得最大值，这个约束条件具有以下形式

a_twist_lim＝9(308700)^1/4v(tan(turn/2))^1/2/(98(g max_r_veloc)^1/2) (15)

上式中a_twist_lim是半长的另外一个下限。

在这个简化方法中，沿着转弯曲线的距离是x的函数，可以通过对下面表达式的数值积分得到：

1/(cos(arctan(bt(x)-arctan(hcos(r(x))dr/dx))) (16)

沿着转弯曲线的实际长度将略大于2a。

当把小角度简化法应用于道岔导曲线和摆动曲线时，可以得到bt(x)和y(x)的表达式，但是这些表达式是基于适合曲线形状的r(s)得到的。

对于道岔导曲线，采用图2所示的坐标系，在为得到y(x)而进行的积分运算中，下限可方便地被设为0。主要的约束条件是用jog_dist表示的在道岔导曲线长度上的横向位移应该等于道岔导曲线所连接的平行直线轨道之间的特定距离。和转弯曲线的情况相似，第二约束条件是倾斜角和轨道扭曲度都不能超过选定的极限值。倾斜角和倾斜速度的最大值分别发生在x＝a/3和x＝0处。道岔导曲线的半长处的下限是

a_roll_lim＝4(1155jog_dist)^1/2v/(81(gmax_roll)^1/2) (17)

以及

a_twist_lim＝(6930jog_distv²)^1/3/(8(gmax_r_veloc)^1/3) (18)

在摆动曲线中应用“小角度”近似法时，摆动曲线从直线铁轨偏移一定距离swing_dist，然后回到那条直线铁轨，使用图3所示的坐标系，会发现y(x)和(g/v²)(a²-x²)⁶成比例。和“小角度”近似法一致，将正弦函数从上述(10)式中去掉，而直接用它的自变量(弧度值)。从直线到轨道的最大距离位于摆动曲线的中心，这个距离是y(0)+hr(0)。主要约束条件是摆动曲线离直线的最大偏移量必须等于swing_dist.使用这一约束条件就可以确定方程(4)中的参数j₄。使用第二约束条件可以得到下式

a_roll_lim＝2(3h max_roll+3 swing_dist)^1/2v(g max_roll)^1/2 (19)

和

a_twist_lim＝-4i(h/g)^1/2v sin(theta/3) (20)

i是-1的平方根，且

theta＝arcsin(i(hg)^1/2swing_dist NC/(h² max_r_veloc v)) (21)

其中

NC＝(1517158400(3)^1/2/526153617+454246400/58461513)^1/2 (22)上述a_twist_lim表达式可从一个三次方程式的解得到。使用已知的数学分析软件如Derive，可以很容易地进行求解。

Claims

1.一种构造设计铁路轨道和其它机动车导轨的过渡曲线时使用的倾斜函数的方法，其中设计过渡曲线需要用到倾斜函数，且所述方法包括下面的

步骤：

定义一组基本倾斜函数；以及

以至少一个基本倾斜函数的线性组合来构建倾斜函数，把每一个基本倾斜函数的系数视为所构建的倾斜函数的参数，当提及单个基本倾斜函数而未提及其系数时，视为该函数包括系数。

2.按照权利要求1的方法，其中，在KS法中使用倾斜函数来进行过渡曲线的设计，且所述方法进一步包括下面几个步骤：

选取一个基本倾斜函数，该函数指定多个导轨的倾斜角是距离和可调参数的函数；

通过要求轨道曲线的曲率满足平衡方程，使得在导轨平面上的向心加速度分量和重力加速度分量在沿着连接两个相邻轨道的过渡曲线的每一点上均相等；

给定可调参数，通过下面两个步骤来得到所求的过渡曲线：通过对平衡方程积分，得到过渡曲线的随距离变化的罗盘方位角，然后通过对罗盘方位角的正弦和余弦函数进行积分，分别得到沿过渡曲线的点的x坐标和y坐标，从而确定对于给定的可调参数的过渡曲线，进而限定计算得到的曲线形状；

确定参数值，使得计算得到的曲线形状连接两段相邻导轨；以及在迭代运算步骤中，重复上面的积分过程。

3.按照权利要求2的方法，其中要求向心加速度分量和重力加速度分量相等，且对于给定的可调参数值，确定过渡曲线的步骤进一步包括小角度简化法，所述简化法包括如果余弦或正弦函数的自变量是倾斜角或者罗盘方位角，那么余弦函数可以用1来代替，而正弦函数可以用它的自变量弧度值来代替，从而将曲线的曲率直接定义为倾斜函数和一个与位置无关的因子的乘积。

4.按照权利要求1到3之一的方法，其进一步包括：通过倾斜角相对于距离的二阶导数来定义基本倾斜函数，该基本倾斜函数由标准Gegenbauer正交多项式C_n ^α(c)表示为

d²r(s)/ds²＝j_n(a²-s²)^mC_n ^(m+1/2)(s/a)

其中n是≥1的整数，m是≥1.0的实数，a是过渡曲线的1/2长，s是沿过渡曲线的、相对于过渡曲线中点的距离，r(s)是距离s的倾斜角函数，j_n是一个常数，且其中不将基本倾斜函数定义为n＝1的一个单独的基本倾斜函数的线性组合而成的函数。

5.按照权利要求4的方法，其中，m是选自由1.5、2、2.5和3组成的数组中的一个实数。

6.按照权利要求1到5之一的方法，用于设计通用的螺旋过渡曲线，该方法进一步包括选择一个以上的基本倾斜函数的线性组合的步骤，以使得倾斜角在对于过渡曲线的长度上的净变化不为零。

7.按照权利要求6的方法，其进一步包括调节通用螺旋线的参数的步骤，从而使得螺旋线连接一段直线轨道和一段弯曲轨道，当离开直线轨道段以后，螺旋线首先转向远离弯曲轨道的方向，然后改变自身曲率的方向，连接弯曲轨道，通用的螺旋线能够比传统的螺旋线更长，且不会因相邻的轨道段之间缺少足够的偏移量而受到限制。

8.按照权利要求6的方法，其进一步包括调节通用螺旋线的参数的步骤，使得该螺旋曲线连接两段导轨，且与相应的简单螺旋曲线相比，通用螺旋线的形状更接近现有的需要改进布局的导轨过渡曲线。

9.按照权利要求6的方法，其进一步包括调节通用螺旋线的参数的步骤，使得该螺旋曲线连接两段导轨，且设计通用螺旋线的形状，以避开附近的障碍物。

10.按照权利要求1到5之一的方法，用于转弯曲线，该方法包括以下步骤：

选择包括至少一个基本倾斜函数的一组基本倾斜函数的线性组合，

使得沿过渡曲线长度上的倾斜角的净变化为0；以及

选择基本倾斜函数，使得转弯曲线提供连接两段互不平行的直线导轨的过渡曲线。

11.按照权利要求1到5之一的方法，用于设计转弯曲线，其包括以下步骤：

选择包括至少一个基本倾斜函数的一组基本倾斜函数的线性组合，使得沿过渡曲线长度上的倾斜角的净变化为0；

选择基本倾斜函数，使得转弯曲线提供连接两段圆心不同但半径相同的圆弧导轨的过渡曲线，且使得两段导轨的圆心的连线和转弯曲线端点的连线是平行的。

12.按照权利要求1到5之一的方法，用于设计道岔导过渡曲线，其进一步包括以下几个步骤：

选择基本的倾斜函数，使得道岔导曲线提供连接两段导轨的过渡曲线，所述两段导轨是相互平行但不在一条直线上的直线。

13.按照权利要求12的方法，其进一步包括调整道岔导曲线的参数的步骤，使得道岔导曲线能限定两段导轨之间的转线轨道的至少大部分长度的形状，所述轨道是连接位于两条轨道上的并排平行的直线轨道。

14.按照权利要求1到5之一的方法，用于设计道岔导过渡曲线，该方法进一步包括以下几个步骤：

选择包括至少一个基本倾斜函数的一组基本倾斜函数的线性组合，使得倾斜角在过渡曲线长度上的净变化基本为0；以及

选择基本的倾斜函数，使得道岔导曲线提供连接两段导轨的过渡曲线，所述两段导轨都是圆弧曲线，它们具有基本相同的半径且基本是圆心的。

15.按照权利要求14的方法，其进一步包括调整道岔导曲线的参数的步骤，使得道岔导曲线能限定两段导轨之间的转线轨道的至少大部分长度的形状，所述轨道是位于两条轨道上的并排平行的直线双轨，它们是半径基本相等的圆弧。

16.按照权利要求1到5之一的方法，用于设计过渡的摆动曲线，该方法进一步包括以下几个步骤：

选择包括至少一种基本倾斜函数的一组基本倾斜函数的线性组合，使得沿过渡曲线长度上的倾斜角的净变化为0；以及

选择基本倾斜函数，使得如果该过渡曲线的一端连接到一条特定的直线，那么该过渡曲线的另一端也连接到同一直线上，从而该摆动曲线能够使另一直线绕过附近的障碍物。

17.按照权利要求1到5之一的方法，用于设计摆动曲线，该方法进一步包括以下几个步骤：

选择包括至少一种基本倾斜函数的一组基本倾斜函数的线性组合，使得沿过渡曲线长度上的倾斜角的净变化为0；

选择基本倾斜函数，使得如果该过渡曲线的一端连接到一条特定的圆弧，那么该过渡曲线的另一端也连接到同一圆弧上，从而该摆动曲线能够使另一相同的圆弧绕过附近的障碍物。