CN1372165A - 光纤过程层析成像技术中的像素分配及平面光路设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于过程层析成像技术领域。涉及光纤过程层析成像技术像素分配及平面光路设计方法,像素分配方法是,根据工程应用中图像重建的分辨率和圆形平面上非测量区域所占比例的要求,设计圆形平面沿半径方向所划分的等间隔的同心圆的个数、非测量区域所占同心圆的个数以及圆形平面总的像素个数的方法。平面光路设计方法是,根据像素分配方法所得到的参数(测量区域与非测量区域同心圆的个数),设计圆形截面传感单元的个数以及每个传感单元发射光线的个数的方法。通过该方法,可以使具有一定像素个数的圆形平面的光路设计得到优化。本发明方法设计简单,像素结构与光路结构新颖,提取的信息量大、效率高,适用范围广,易于实用化。

Description

光纤过程层析成像技术中的像素分配及平面光路设计方法

技术领域

本发明属于层析成像技术领域，特别涉及光纤过程层析成像技术中应用于圆形截面的像素分配及平面光路设计方法。

背景技术

层析成像技术所研究的对象是物体在某一截面上的信息，与传统的传感技术不同，它利用发射源与探测器组成的传感器阵列，对该截面上的相关参量进行测量，测量数据经过一定算法处理后，信息就可以被提取出来，并以图像的形式显示在显示屏上。

X射线层析成像技术是最早实用化的层析成像技术，它利用X射线作为信息的载体，利用探测器阵列对携带人体某断层信息的X射线进行探测，X射线源与探测器阵列位置相对固定，通过平移及旋转等方法就可以得到人体中需要诊断的部位在不同角度和方位下的投影数据，根据一定的图像重建算法，就可以得到反映该部位情况的截面信息的重建图像，许多截面重叠在一起就可以得到整个诊断部位的信息。

目前，层析成像技术已经广泛地应用于医疗与工业上，不同种类的层析成像技术一般是由不同种类的传感器构成的。其种类主要包括X-射线、γ-射线、中子、离子、正电子、微波、超声波、电容、电阻、电磁感应以及光学等层析成像技术。

光纤层析成像技术(OFT)是一种以光纤传感器为核心元件的新型层析成像技术。光纤传感器的使用使光纤层析成像技术具有以下独特的优点：

其一、体积小，可以应用于较小的或不规则的空间中。

其二、由于光对媒质的分布以及衰减特性非常敏感，即使在浓度很低的情况下都能保持较高的灵敏度，可以应用于浓度较低的二相流或多相流的测量中。。

其三、由于光纤或光缆的使用，携带相关信息的光信号可通过光纤传输到远离现场的传感器中，信号处理也可以在远端进行，这使得光纤层析成像技术可以将应用环境中不利的影响(如高温，高压以及腐蚀性的环境)降低到很小。

其六、现场测量不带电，比较安全。

其七、由于光纤传感器具有高的响应速度和宽的动态范围，利用分布在不同地点的光纤层析成像系统可以建立光纤测量网络。

光纤层析成像技术主要包括光纤相干层析成像技术和光纤过程层析成像技术。光纤相干层析成像技术是一门将光纤干涉技术和共焦扫描显微技术相结合的技术，在医疗诊断以及生物组织的研究中受到了广泛的重视。光纤过程层析成像技术主要应用于工业过程监测与控制领域，如对二相流或多相流中各组分的含量，分布及流速进行测量等。

光纤过程层析成像技术主要包括像素分配、光路结构以及图像重建算法，其中，像素分配是指将被测量的截面分成面积相等的若干单元，每一单元都具有均匀的光衰减特性，相当于把测量截面的媒质进行数字化采样，被测截面划分的像素单元越多，图像重建的分辨率越大，像素单元的面积称为绝对分辨率，测量区域中像素单元数目的倒数称为相对分辨率；光路结构设计是指，根据像素分配的特点，设计光纤传感器的分布以及光路中光线的布局，以便利用最少的光线覆盖测量区域中所有的像素单元；图像重建算法是指利用像素分配、光路结构的特点以及光在媒质中的传输特性，对携带媒质信息的投影数据进行处理并以图像的形式表现出来的过程。

目前，光纤过程层析成像技术中像素分配原则是，将被测截面划分为以正方形像素为单元的像素平面，每个像素的面积相等。该像素分配原则的不足之处在于：

第一、大部分的工业应用中，被测量的空间都是圆柱形空间，其层析成像所研究的截面为圆形截面。正方形像素不能正好覆盖圆形截面，在圆形截面的边缘，正方形像素必然被圆周分成两部分。

第二、该像素划分规则，将给图像重建带来人为的误差。因为，圆形截面边缘的像素的面积与其他像素的面积不相等。

第三、大量有用信息被像素形状及排列的规则性所掩盖。

现有的光纤过程层析成像技术的光路结构主要有以下几种：

1、正交投影结构：该结构是光纤过程层析成像系统中应用最广泛的结构。结构中有两种相互正交的投影，每种投影都由等间隔的平行光束组成，光源与探测器一一对应。两种正交光线分别与正方形像素单元的两条正交的边平行。该结构优点是平面光路以及像素分配结构简单；缺点是大量有用信息被光线在像素中长度的一致性所掩盖，重建图像的噪声很大。

2、直线投影结构：该结构与正交投影结构相类似，也包含两种相互正交的投影，不同之处在于光线与正方形像素单元成45°角。

3、三直线投影结构：该结构包含三种等间隔的平行光线，相互之间成120°角。由于投影光线的增多，其重建精度比直线投影结构高，但不能根本解决第1种光路结构中所提到的不足。

4、正交投影与直线投影复合结构：该结构将正交投影结构与直线投影结构相结合，使投影的数目进一步增加，从而进一步提高了重建的精度，但也不能根本解决第1种光路结构中所提到的不足。

5、三扇形光束投影结构：此结构中有三个光源分别发出扇形光束，光源与光探测器不再一一对应。每一光源发出若干角度间隔相等的光束，对应相同个数的光探测器。该结构使得光源的数目大大减少，特别是在可以旋转扫描的情况下尤为明显，因而系统的成本也相应下降，较多的投影数目可以保证一定的精度，每条光线在其通过的像素单元中的光路长度不再相等，因此，也大大增加了信息量。

6、四扇形光束投影结构：此结构中有四个光源分别发出扇形光束，其它特征与第5种光路结构大致相同，投影数目更多。

以上所描述的光纤过程层析成像技术的光路结构归纳起来有以下一些不足之处：

其一、以上六种光路结构基本上沿用了X-射线层析成像技术中现有的光路结构，由于光线的强度比X-射线小，使得第5和6两种光路结构用于光纤过程层析成像技术中受至很大的限制。

其二、第1、2、3和第4种光路结构与正方形像素分配规则相结合，使得每一条光线在该光线通过的像素单元中的光路长度基本相同，大量的有用信息在图像重建时失去。

其三、第1、2、3和第4种光路结构在实验室中得到了实现，光源与光探测器分别固定在管壁的周围，这种光源及光探测器的安装方式在很多实际的工程应用中不合适。如测量深达几千米的油井中原油的含水率，光源及探测器就需要考虑很多复杂的问题。

层析成像技术中所用的图像重建算法主要有反向投影法、代数迭代法以及解析法。目前在光纤过程层析成像技术中最常用的图像重建算法是反向投影法。在X-射线层析成像技术中，X-射线源与探测器阵列相对固定，探测器的数目比较多，源-探测器采用圆周扫描以及平移的方式获取投影数据，投影数据量大，可以满足图像重建的精度要求，但对于光纤过程层析成像技术而言，一般光源及光探测器采用位置固定的方式，投影数据量受到很大的限制，在这种情况下，利用反向投影法可以带来很大的噪声。

发明内容

本发明的目的在于为克服已有技术的不足之处，提出一种光纤过程层析成像技术的像素分配以及光路设计方法。利用本发明方法中像素分配规则，可以根据工程应用中图像重建的分辨率和圆形平面上非测量区域所占比例的要求，设计出圆形平面沿半径方向所划分的等间隔的同心圆的个数、非测量区域所占同心圆的个数以及圆形平面总的像素个数，进一步利用本发明中的光路设计方法可以设计出圆形平面上传感单元的个数以及每个传感单元发射光线的个数的最优化值。本发明设计方法实现简单，能够对像素分配与光路结构进行优化处理，所设计的像素结构与光路结构新颖、效率高、应用范围广。

本发明提出一种新型的光纤过程层析成像技术像素分配及光路设计方法，其特征在于，包括以下内容：

1)将被测圆形截面沿半径方向分成m个等间距的同心圆，构成m层，以位于中心的最小同心圆面积的1/4作为一个像素单元的面积；

2)将其它的各同心圆环面积沿圆周等分成所说的一个像素单元的面积的整数倍，如中心最小的同心圆面沿圆周4等分，将与之相邻的第一个圆环面沿圆周12等分，将第二个圆环面沿圆周等20等分，依此类推。像素单元的总个数为n；

3)将该圆形截面分为两部分，中心部分为非测量区域，包含中心最小圆面以及多个与之相邻的圆环面，用于放置光纤过程层析成像实用系统的支撑结构；其余的圆环面组成的部分为测量区域，用于通过待测的流体媒质和光线；

4)根据工程应用中图像重建的相对或绝对分辨率和圆形平面上非测量区域所占比例的要求，确定圆形平面沿半径方向所划分的等间隔的同心圆的个数、非测量区域所占同心圆的个数以及圆形平面总的像素个数的关系如下：

圆形截面总的层数m与像素单元总数n之间的关系为：

          n＝4m²                                      (1)

像素分配规则如下：

如果中心非测量区域的半径q与圆形截面的半径p之比为：

          η＝q/p                                      (2)其中，η为一个不可约分数，p、q为正整数，当测量的相对分辨率满足以下关系时：

          α＝1/[4k²(p²-q²)]                      (3-1)或者当测量的绝对分辨率满足以下关系时：

          X＝πR²/4k²p²                           (3-2)上式中，k为正整数，R为圆形截面的半径；

被测圆形截面，可以分成km层，其中得到最小的层数为： $m=1/\left[2\sqrt{\mathrm{\α}(1-{\mathrm{\η}}^2)}\right]---(4-1)$ 或者： $m=R\sqrt{\mathrm{\π\χ}}/2\mathrm{\χ}---(4-2)$ 中心非测量区的所占的层数为km′，其中得到最小的层数数为： $m^{\′}=\mathrm{\η}/[2\sqrt{\mathrm{\α}(1-{\mathrm{\η}}^2)}--(5-1)$ 或者： $m^{\′}=\mathrm{R\η}\sqrt{\mathrm{\π\χ}}/2\mathrm{\χ}---(5-2)$ 被测圆形截面总的像素单元数为：

          n＝k²/[α(1-η²)]                       (6-1)或者：

          n＝k²πR²/x                             (6-2)当被测圆形截面的总层数以及中心非测量区的所占的层数最小时，得到被测圆形截面总的像素单元数为：

          n＝1/[α(1-η²)]                         (7-1)或者：

          n＝πR²/x                                (7-2)

本发明的像素分配方法是根据实际应用中提出的中心非测量区域所占比例η和所应达到的测量分辨率x或α，对圆形截面的总的划分层数m、中心非测量区域所占的层数m′以及圆形截面像素的总数n进行设计的。

由(2)、(3-1)、(3-2)式可见，测量分辨率x或α与中心非测量区域所占比例η之间具有内在的联系。因此，实际的应用中，应当根据(2)、(3-1)、(3-2)式对η与x或α进行折衷考虑，此是该方法的先决条件。

该像素分配设计方法中所用参数定义如下：

m：圆形截面同心圆的数目，即圆形截面总的层数。

m′：中心非测量区域所占同心圆的数目，即非测量区域所占的层数。

n：圆形截面总的像素个数。

η：中心非测量区域与圆形截面半径之比。

x：测量的绝对分辨率，即测量区域像素单元的面积。

α：测量的相对分辨率，即测量区域像素单元面积与该区域面积之比。

本发明采用如上述像素分配方法的平面光路设计方法，其特征在于，包括以下步骤：1)将被测圆形截面的最外圆周均匀等分，构成u个传感单元，每一个传感单元由ρ条发射光纤和ρ条接收光纤组成；2)每一个传感单元的发射光纤向依次相邻的顺时针方向的ρ个传感单元发光，并接收来自于逆时针方向依次相邻的ρ个传感单元发出的ρ条光线，每一个传感单元发射和接收光线的数目与该单元中发射光纤的数目相等；3)平面光路设计的原则是，测量区域中每一像素单元都有光线通过，非测量区域不能有光线通过，传感单元与发射光线数应当最小。为了满足上述原则，传感单元数u和每一单元发射光线数ρ应当满足以下条件：A、光线1在第m层中： $u>\frac{\mathrm{\π}}{\arccos \left(\frac{m-1}{m}\right)}---\left(8\right)$ B、将第m′+1层沿半径方向等分为3个同心圆，第ρ条光线应当通过中间一层： $\frac{u}{\mathrm{\π}}\arccos \frac{3m^{\′}+2}{3m}\≤\mathrm{\ρ}\≤\frac{u}{\mathrm{\π}}\arccos \frac{3m^{\′}+1}{3m}---\left(9\right)$ C、光线数ρ与传感单元数u应当满足的关系：a、u为偶数时： $\mathrm{\ρ}\≤\frac{u}{2}-1---(10-1)$ b、u为偶数时： $\mathrm{\ρ}\≤\frac{u-1}{2}---(10-2)$

光线通过每一层有两种不同的情况：

其一，光线在圆环内是一条完整的弦，

其二，光线被圆环分隔成两段；

第j条光线通过时是一条完整的弦的层数σ_j，由下式确定：

       mcos(jπ/u)＜σ_j≤mcos(jπ/u)+1          (11)其中，σ_j为正整数；

a、当第k层有完整的弦时，ρ和u的关系如下：

其中：k＝σ_j为层数，j＝1，2，…ρ为发射光线的序号，∑为所有角度范围并集的角度和；

b、当第k层没有完整的弦时，ρ和u的关系如下：其中，σ_j＜k＜σ_j-1为层数，j＝2，3，…ρ为发射光线的序号，∑为所有角度范围并集的角度和；

上两式中： ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ijk}}=[\frac{(2i+j-2)\mathrm{\π}}{u}-\arccos \left(\frac{m}{k}\cos \left(\frac{\mathrm{j\π}}{u}\right)\right),\frac{(2i+j-2)\mathrm{\π}}{u}+\arccos \left(\frac{m}{k}\cos \left(\frac{\mathrm{j\π}}{u}\right)\right)]--\left(14\right)$ ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{i\λk}}^{\′}=[\frac{(2i+\mathrm{\λ}-2)\mathrm{\π}}{u}-\arccos \left(\frac{m}{k}\cos \left(\frac{\mathrm{\λ\π}}{u}\right)\right),\frac{(2i+\mathrm{\λ}-2)\mathrm{\π}}{u}-\arccos \left(\frac{m}{k-1}\cos \left(\frac{\mathrm{\λ\π}}{u}\right)\right)]--\left(15\right)$ ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{i\λk}}^{\′\′}=[\frac{(2i-\mathrm{\λ}-2)\mathrm{\π}}{u}+\arccos \left(\frac{m}{k-1}\cos \left(\frac{\mathrm{\λ\π}}{u}\right)\right),\frac{(2i-\mathrm{\λ}-2)\mathrm{\π}}{u}+\arccos \left(\frac{m}{k}\cos \left(\frac{\mathrm{\λ\π}}{u}\right)\right)]--\left(16\right)$ 其中，θ_ijk为发射光线在某层中只有一段时，该弦对应的角度范围；θ′_iλk和θ″_iλk为发射光线在某层中有两段时，两个线段分别对应的角度范围，θ′_iλk为角度较小的一段；4)根据3)中所列的全部关系式，就可以得到传感单元数u和每一单元发射光线数ρ的最优化值。

该平面光路设计方法中所用到的参数定义如下：

u：圆形截面传感单元的数目。

ρ：每一传感单元发射光线的数目。

平面光路设计方法，对于圆形截面的单元数以及每个单元的发射光线数无法给出一个简洁的表达式，只能利用数值的方法求解。本发明具有如下特点：

(1)方法设计简单。

(2)所设计的像素结构与光路结构新颖。

(3)与其它光纤过程层析成像相比，相同数目的光纤传感器，提取的信息量大、效率高。

(4)适用范围广，易于实用化。

附图说明

图1为本发明的实施例一的像素分配及光路结构总体示意图。

图2为本发明的实施例一的光路结构中的一个传感单元的示意图。

具体实施方式

本发明应用于二相流测量中的光纤过程层析成像素分配方法及平面光路设计方法实施例一，如图1、2所示，具体内容如下：

由光纤过程层析成像技术的像素分配设计方法，本实施例设定测量的相对分辨率为2％，中心非测量区域的半径与圆形截面的半径之比为1/4，由公式(2)可得：p＝4，q＝1，由公式(3-1)可得，α＝1/60k²，当k＝1时，α＝1.67％，可以满足设计要求的分辨率和中心非测量区域的半径与圆形截面的半径之比。因此，由公式(4-1)与公式(5-1)可得，m＝4，m′＝1，由公式(1)可得圆形平面像素单元的总数为n＝64；由平面光路设计方法，通过公式(8)-(16)所进行的数值解可以得到，传感单元数u＝8，每一传感单元的发射光线数为ρ＝3。

图1中，被测圆形截面11：由8个相对独立的传感单元12组成，均匀分布于圆形截面的最外圆周。

每一个传感单元都向顺时针方向依次相邻的三个传感单元发光，并且接收来自于逆时针方向依次相邻的三个传感单元发出的光。

为了便于图像的重建，根据光线所在位置的不同，可分为三类光线：外层光线17、中层光线18、内层光线19。整个圆形区域有64个像素单元，其分配规则为：中心圆平面13沿圆周4等分、第二圆环平面14沿圆周12等分、第三圆环平面15沿圆周20等分、第四圆环平面16沿圆周28等分。每个像素单元的面积等于中心最小圆面的1/4。

中心圆平面13：为非测量区域，放置光纤过程层析成像的中心支撑机械结构，被测量的媒质与光线都不经过此处。

本实施例的光纤传感单元21如图2所示，具体内容如下：

传输光纤束22：包含6条传输光纤，其中3条为入射光纤，另外3条为出射光纤。入射光纤25传输来自于远端的光源发出的入射光，出射光纤26将携带媒质信息的出射光信号27传输到远端的光电转换及信号处理单元中。光纤准直器24将入射光纤发出的光变换为近似的平行光。

对24条携带被测圆平面内部信息的光线的光强进行处理，并利用代数迭代图像重建算法，就可以得到重建图像，图像重建算法描述如下：

(1)由于测量的对象是二相流，因此，圆形截面中的测量区域的每一个像素单元的光衰减情况只有两种。

(2)由于外层光线通过最少的像素单元，因此，计算从外层光线开始，首先计算外层光线经过二相流后光衰减的所有可能情况，再将测量得到的每条外层光线的光衰减值(可能是光强，也可能是转换成的电压值，视具体情况而定)与之比较，最接近的值对应的媒质的分布就是该光线所在光路上媒质分布。

(3)其次计算中层光线，在外层光线的计算中得到的像素单元的光衰减值可以直接带入。计算方法与(2)相同。

(4)最后计算内层光线。计算方法也与(2)相同。

(5)利用计算中得到的像素单元的光衰减值，得到圆形截面的二相流的媒质分布图，在计算机等显示设备上显示出来。

Claims (3)

1、一种光纤过程层析成像技术中的像素分配方法，其特征在于，对被测圆形截面进行像素分配；包括以下步骤：

1)将被测圆形截面沿半径方向分成m个等间距的同心圆，构成m层，以位于中心的最小同心圆面积的1/4作为一个像素单元的面积；

2)将其它的各同心圆环面积沿圆周等分成所说的一个像素单元的面积的整数倍，像素单元的总个数为n；

3)将该圆形截面分为两部分，中心部分为非测量区域，包含中心最小圆面以及多个与之相邻的圆环面，用于放置光纤过程层析成像实用系统的支撑结构；其余的圆环面组成的部分为测量区域，用于通过待测的流体媒质和光线；

4)根据工程应用中图像重建的相对分辨率α和圆形平面上非测量区域所占比例η的要求，确定圆形平面沿半径方向所划分的等间隔的同心圆的层数m、非测量区域所占同心圆的个数m′以及圆形平面总的像素个数n；关系如下：

圆形截面总的层数m与像素单元总数n之间的关系为：

          n＝4m²                                       (1)

像素分配规则如下：

如果中心非测量区域的半径q与圆形截面的半径p之比为：

         η＝q/p                                        (2)其中，η为一个不可约分数，p、q为正整数，当测量的相对分辨率α满足以下关系时：

         α＝1/[4k²(p²-q²)]                          (3)上式中，k为正整数；

被测圆形截面，可以分成km层，其中得到最小的层数m为： $m=1/\left[2\sqrt{\mathrm{\α}(1-{\mathrm{\η}}^2)}\right]---\left(4\right)$ 中心非测量区的所占的层数为km′，其中得到最小的层数m′为： $m^{\′}=\mathrm{\η}/[2\sqrt{\mathrm{\α}(1-{\mathrm{\η}}^2)}---\left(5\right)$ 被测圆形截面总的像素单元数n为；

          n＝k²/[α(1-η²)]                            (6)当被测圆形截面的总层数以及中心非测量区的所占的层数最小时，得到被测圆形截面总的像素单元数n为：

          n＝1/[α(1-η²)]                              (7)

2、一种光纤过程层析成像技术中的像素分配方法，其特征在于，对被测圆形截面进行像素分配；包括以下步骤：

1)将被测圆形截面沿半径方向分成m个等间距的同心圆，构成m层，以位于中心的最小同心圆面积的1/4作为一个像素单元的面积；

2)将其它的各同心圆环面积沿圆周等分成所说的一个像素单元的面积的整数倍，像素单元的总个数为n；

3)将该圆形截面分为两部分，中心部分为非测量区域，包含中心最小圆面以及多个与之相邻的圆环面，用于放置光纤过程层析成像实用系统的支撑结构；其余的圆环面组成的部分为测量区域，用于通过待测的流体媒质和光线；

4)根据工程应用中图像重建的绝对分辨率x和圆形平面上非测量区域所占比例的要求，确定圆形平面沿半径方向所划分的等间隔的同心圆的个数、非测量区域所占同心圆的个数以及圆形平面总的像素个数的关系如下：

圆形截面总的层数m与像素单元总数n之间的关系为：

          n＝4m²                                        (1)

像素分配规则如下：

如果中心非测量区域的半径q与圆形截面的半径p之比为：

          η＝q/p                                        (2)其中，η为一个不可约分数，p、q为正整数，当测量的绝对分辨率x满足以下关系时：

          x＝πR²/4k²p²                               (3)上式中，k为正整数，R为圆形截面的半径；

被测圆形截面，可以分成km层，其中得到最小的层数m为： $m=R\sqrt{\mathrm{\π\χ}}/2\mathrm{\χ}---\left(4\right)$ 中心非测量区的所占的层数为km′，其中得到最小的层数m′为： $m^{\′}=\mathrm{R\η}\sqrt{\mathrm{\π\χ}}/2\mathrm{\χ}---\left(5\right)$ 被测圆形截面总的像素单元数n为：

           n＝k²πR²/x                                  (6)当被测圆形截面的总层数以及中心非测量区的所占的层数最小时，得到被测圆形截面总的像素单元数n为：

           n＝πR²/x                                     (7)

3、一种采用如权利要求1或2所述的像素分配方法的平面光路设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)将被测圆形截面的最外圆周均匀等分，构成u个传感单元，每一个传感单元由ρ条发射光纤和ρ条接收光纤组成；

2)每一个传感单元的发射光纤向依次相邻的顺时针方向的ρ个传感单元发光，并接收来自于逆时针方向依次相邻的ρ个传感单元发出的ρ条光线，每一个传感单元发射和接收光线的数目与该单元中发射光纤的数目相等；

3)应当满足以下条件：

(1)光线1在第m层中： $u>\frac{\mathrm{\π}}{\arccos \left(\frac{m-1}{m}\right)}---\left(1\right)$

(2)将第m′+1层沿半径方向等分为3个同心圆，第ρ条光线应当通过中间一层： $\frac{u}{\mathrm{\π}}\arccos \frac{3m^{\′}+2}{3m}\text{\≤\ρ\≤}\frac{u}{\mathrm{\π}}\arccos \frac{3m^{\′}+1}{3m}---\left(2\right)$

(3)光线数ρ与传感单元数u应当满足的关系：

a、u为偶数时： $\mathrm{\ρ}\≤\frac{u}{2}-1---(3-1)$

b、u为偶数时： $\mathrm{\ρ}\≤\frac{u-1}{2}---(3-2)$ 光线通过每一层有两种不同的情况：其一，光线在圆环内是一条完整的弦，其二，光线被圆环分隔成两段；第j条光线通过时是一条完整的弦的层数σ_j，由下式确定：

     mcos(jπ/u)＜σ_j≤mcos(jπ/u)+1                 (4)其中，σ_j为正整数；

c、当第k层有完整的弦时，ρ和u的关系如下：

其中：k＝σ_j为层数，j＝1，2，…ρ为发射光线的序号，∑为所有角度范围并集的角度和；

d、当第k层没有完整的弦时，ρ和u的关系如下：

其中，σj＜k＜σ_j-1为层数，j＝2，3，…ρ为发射光线的序号，∑为所有角度范围并集的角度和；

上两式中： ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ijk}}=[\frac{(2i+j-2)\mathrm{\π}}{u}-\arccos \left(\frac{m}{k}\cos \left(\frac{\mathrm{j\π}}{u}\right)\right),\frac{(2i+j-2)\mathrm{\π}}{u}+\arccos \left(\frac{m}{k}\cos \left(\frac{\mathrm{j\π}}{u}\right)\right)]--\left(7\right)$ ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{i\λk}}^{\′}=[\frac{(2i+\mathrm{\λ}-2)\mathrm{\π}}{u}-\arccos \left(\frac{m}{k}\cos \left(\frac{\mathrm{\λ\π}}{u}\right)\right),\frac{(2i+\mathrm{\λ}-2)\mathrm{\π}}{u}-\arccos \left(\frac{m}{k-1}\cos \left(\frac{\mathrm{\λ\π}}{u}\right)\right)]--\left(8\right)$ ${\mathrm{\θ}}_{\mathrm{i\λk}}^{\′\′}=[\frac{(2i-\mathrm{\λ}-2)\mathrm{\π}}{u}+\arccos \left(\frac{m}{k-1}\cos \left(\frac{\mathrm{\λ\π}}{u}\right)\right),\frac{(2i-\mathrm{\λ}-2)\mathrm{\π}}{u}+\arccos \left(\frac{m}{k}\cos \left(\frac{\mathrm{\λ\π}}{u}\right)\right)]--\left(9\right)$ 其中，θ_ijk为发射光线在某层中只有一段时，该弦对应的角度范围；θ′_iλk和θ″_iλk为发射光线在某层中有两段时，两个线段分别对应的角度范围，θ′_iλk为角度较小的一段；

4)根据3)中所列的全部关系式，就可以得到传感单元数u和每一单元发射光线数ρ的最优化值。

Images