CN117993251A - 一种固定网格下结构拓扑优化的高保真应力计算方法 - Google Patents
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Abstract
一种固定网格下结构拓扑优化的高保真应力计算方法，是以单元{0,1}解描述的拓扑结构为基础，通过连续两次线性密度过滤及单元密度线性插值得到全局的密度场函数。基于体积守恒条件确定密度场函数的密度阈值进而提取结构的光滑边界。利用扩展多尺度有限元对光滑边界穿过的结构边界单元进行精细化建模，并求得扩展多尺度有限元的等效刚度矩阵，进而获得结构的位移场。通过求解优化问题，确定与扩展多尺度有限元所等效单元的弹性矩阵。使用等效单元的弹性矩阵和扩展多尺度有限元求得的位移场，在高斯积分点处进行高精度的应力计算并以此进行灵敏度分析。使用序列近似整数规划算法求解基于应力的离散变量拓扑优化问题，迭代获取满足要求的结构拓扑设计。
Description
技术领域
本发明涉及一种固定网格下结构拓扑优化的高保真应力计算方法，适用结构拓扑优化设计领域。
背景技术
拓扑优化作为一种先进的结构设计方法，其可以在没有先验经验的前提下得到具有优异性能的结构设计方案。尤其是近年来出现的增材制造等先进制造技术，极大推动了拓扑优化方案的实现。为了保证拓扑优化设计出的结构具有足够的强度，应力这一结构强度指标需要考虑在拓扑优化的列式中。因此，为了得到合理的结构设计，基于应力拓扑优化具有十分重要的实际意义。
应力拓扑优化面临着三个重要的挑战性难题：应力奇异性，应力奇异性以及应力的高度非线性。其中，后两个挑战性难题是应力的本身属性，只能通过一些手段降低这些问题对优化的影响；而第一个挑战性难题有拓扑优化方法相关，其存在于含有中间密度的拓扑优化方法，对于离散变量拓扑优化方法，该难题可以自然克服。同时，在拓扑优化中，密度法具备最自由改变结构拓扑的能力。因此，使用密度法框架下的离散变量拓扑优化方法进行基于应力的拓扑优化设计具有更优异的性能，对于指导真实的结构设计具有重要的参考价值。
实现应力拓扑优化的前提是能够准确计算结构的应力场。最准确的应力计算方式是使用贴体网格对精确的几何构型进行应力分析。而在拓扑优化过程中，结构的几何构型一直在变化，如果对每一步的优化结构都使用贴体网格进行高精度应力计算，则需要重新进行网格剖分，这无疑会极大地增加计算代价，不利于拓扑优化的应用。为了拓扑优化的快速实现，以固定网格进行有限元离散是拓扑优化中最常采用的方法。在优化的整个过程中，结构分析是基于固定不变的背景网格，避免了网格重新剖分，极大提高了计算效率。但是这种基于固定背景网格的高效结构分析方法难以保证应力计算的准确性。这是因为固定网格与真实结构的不能完全契合，位于真实结构边界处的网格难以准确描述几何边界的形状。为了高效地实现固定网格下结构高精度的应力分析，扩展多尺度有限元法，有限元胞法，单元裁剪方法相继被提出。然而，这些方法为了进行有限元分析，均需要复杂的操作来确定细分单元的积分点位置，实施难度较大。因此，针对在固定网格下结构拓扑优化应力计算的难题，亟待发展一种能够准确、简单实施的高精度应力计算方法。
发明内容
针对应力拓扑优化下难以准确高效地进行应力计算的难题，本发明基于扩展多尺度有限元方法，发明了一种固定网格下的高保真应力计算方法，并基于此使用序列近似整数规划算法进行了离散变量应力拓扑优化设计。主要包括：对以单元{0,1}解描述的拓扑结构进行线性过滤得到全局的密度场函数；基于体积守恒条件确定密度阈值并提取结构的光滑边界；采用扩展多尺度有限元对结构边界单元进行建模；通过求解优化问题，确定与扩展多尺度有限元等效的各向同性单元；对等效单元进行应力计算；使用序列近似整数规划算法进行应力拓扑优化，迭代获取满足设计要求的结构拓扑设计。
本发明采用的技术方案如下：
一种固定网格下结构拓扑优化的高保真应力计算方法，包括如下步骤：
(1)对以单元{0,1}解描述的拓扑结构进行线性过滤得到全局的密度场函数。包括：
对单元密度(0/1)进行线性过滤，得到具有中间密度(0-1)的单元密度场；以中间密度单元为基础再次进行线性过滤，得到单元节点的密度；以单元节点为依据，通过逐个单元的线性插值获得结构设计域内的全局密度场函数。
(2)基于体积守恒条件确定密度阈值并提取结构的光滑边界。
(3)采用扩展多尺度有限元对结构边界单元进行建模。包括：
对边界单元进行细分，获得扩展多尺度有限元；根据结构边界在粗单元所处的位置确定粗单元内细单元上的密度分布；在粗单元周围施加线性边界条件，获得结构的局部平衡方程；通过求解局部平衡方程获得扩展多尺度有限元的数值形函数，并进而得到该扩展多尺度有限元的刚度矩阵；根据此刚度矩阵获得结构的位移场。
(4)通过求解优化问题，确定与扩展多尺度有限元等效的各向同性单元。包括：
根据各向同性假设，构造一个等效的单元，该单元的未知变量为材料的拉梅常数；建立目标函数为等效单元与扩展多尺度有限元的刚度阵相差最小的优化问题；求解该优化问题，获得等效拉梅常数，进而获得等效单元的弹性矩阵。
(5)使用等效单元的弹性矩阵和扩展多尺度有限元求得的位移场，在高斯积分点处进行高精度的应力计算。
(6)根据计算出的高精度应力场进行灵敏度分析，并使用序列近似整数规划算法求解基于应力的离散变量拓扑优化，迭代获取满足设计要求的结构拓扑设计。
本发明针对固定网格下拓扑优化结构的应力计算不精确的问题，建立了一个简单高效的高保真应力计算方法，是一种通用、准确和简便的高精度应力计算方法，它可以以较低的计算代价获得高精度的应力计算结果，并能很好的促使拓扑优化算法寻找的优化解。此外，这种高保真应力计算方法易嵌入到主流商业有限元软件，便于工程应用，为结构的应力计算和拓扑优化求解提供了高效的计算工具。
附图说明
图1为本发明一种固定网格下结构拓扑优化的高精度应力计算方法方法的实现流程图。
图2为本发明实例提供的单向拉伸杆件的有限元离散示意图。
图3为离散变量下光滑几何边界提取的流程示意图。
图4为扩展多尺度有限元构建示意图。
图5为本发明实例提供的L型梁示意图。
图6为本发明实例提供的L型梁优化构型图。
图7为本发明实例提供的L型梁优化构型的应力分布图。
具体实施方式
本发明针对结构拓扑优化领域中，固定网格下结构应力计算不准确的难题，发明了一种高保真的应力计算方法。该方法可以实现在固定网格下的高精度应力计算，不需要加密网格。本发明提供了一个单轴拉伸杆在固定网格下实现高精度应力计算的流程。图2为单向拉伸杆的有限元离散示意图。本发明实施例提供的高保真应力计算方法的具体实施步骤包括：
步骤(1)：构造线性过滤函数为
其中，xi为i点处的密度值，为过滤后感兴趣点e处的密度。域Ωe表示一个以点e为圆心，半径为Rden的圆(或三维情况下的球体)，它包含位于该区域内的所有点i。加权因子ωi是过滤函数的加权因子，其中dist(e,i)表示点e和点i之间的欧氏距离。
对以单元{0,1}解描述的拓扑结构，记此时的单元密度为首先使用(1)式所表示的线性过滤获得过滤后的单元密度/>以四节点单元为例，假设每个单元内的节点密度相同，并且一个单元内节点密度的总和等于该单元的密度，则单元内每个节点的密度为因此，对于节点i密度/>其为共享该节点i的单元内对应的节点密度之和，即
式中，Ii为共享同一节点的元素集合。
然后，再次使用(1)式所示的线性密度过滤函数对节点密度进行过滤，得到过滤后的节点密度一旦确定了节点密度，则采用线性插值方式可以得到单元内的局部密度场函数
式中，(ξ,η)为局部坐标系，Ni(ξ,η)为标准线性插值函数，ξi、ηi为第i个节点的局部坐标值。
由于不同单元所共享的同一个节点的密度值是相同的，则将所有的局部密度场函数相加就可以得到全局的密度场函数Φ。
步骤(2)：根据步骤(1)获得的全局密度场函数，可以定义结构拓扑χ为
式中，为确定结构边界的密度阈值，当密度阈值确定后结构的光滑边界便可以根据密度场函数获取。为了保证原拓扑结构与提取后的光滑边界结构的一致性，密度阈值/>是通过使其满足一下体积守恒条件来确定的
式中，Ω表示设计域，Ve表示第e个单元的体积。需要注意的是的取值范围为[0,1]，且式(5)有唯一解。在数值实现中，可以采用二分法求解/>
步骤(1)和步骤(2)的作用是进行光滑边界提取，其是在固定网格下进行高保真应力计算的基础。这两个步骤实施的流程参见图3。
步骤(3)：采用扩展多尺度有限元对结构边界单元进行建模。在固定网格下，结构应力计算在边界上会出现虚假的应力集中，这种虚假的应力是导致固定网格下结构应力难以精确计算的原因。为了更精准的描述边界单元的性质，同时不增加有限元计算的代价，采用扩展多尺度有限元方法对结构光滑边界经过的固定单元进行精细化建模。
扩展多尺度有限元利用两种类型的单元来离散设计域(示意图见图4)。首先用一组粗分辨率元素对设计域进行离散，然后再用细分辨率元素对设计域进行离散。扩展多尺度有限元方法的基本思想是通过构造数值形状函数来捕捉多尺度有限元分析中粗单元的小尺度特征。因此，其可以反映单元内材料的非均匀性，并且可以有效地解决粗分辨率单元的边值问题。
对于几何边界穿过的边界单元，利用扩展多尺度有限元的数值形状函数对其单元位移场进行插值。将细分辨率单元的第i个节点的坐标表示为(xi,yi)，该节点的位移可由相关粗单元中节点的位移插值为
式中，分别表示粗单元节点在x、y方向上的位移。/>表示数值形状函数的矩阵，可以表示为
其中，数值形函数引入了与传统有限元法的标准基函数不同的x和y方向的附加耦合项。根据式(6)和式(7)，细分辨率单元节点位移与相应的粗分辨率单元节点位移之间的关系可表示为
式中，M为粗分辨率单元内细分辨单元的节点数目。
通过求解(8)式即可获取数值型函数。为了能够求解方程(8)，我们可以令粗单元的所有节点的位移分量分别设置为1，并且需要沿粗单元的边界施加适当的边界条件。在此，可以对粗单元施加线性边界条件，如图4所示。值得注意的是，除了采用四节点粗分辨单元和线性边界条件外，还可以自由地选取更多的节点数和更复杂的边界条件来提高扩展多尺度有限元的精度。
一旦确定了数值形状函数，粗分辨率单元的等效刚度矩阵可以表示为
式中，Ke为粗单元中第e个精细单元的刚度矩阵，Ne为粗单元中细分辨率单元的个数。
需要注意的是，对于结构内部的单元无需采用扩展多尺度有限元进行建模，因为其本身的应力计算精度是可以保证的。通过将边界单元获得的等效刚度矩阵以及单元内部的刚度矩阵进行组集便可以得到全局刚度阵，进而可以获得全局位移。
步骤(4)：根据各向同性假设，为所有用扩展多尺度有限元描述的边界单元构造对应的等效单元。构造等效单元的目的是为了更方便地计算扩展多尺度有限元的应力。等效单元的未知变量为材料的拉梅常数。
以拉梅常数为变量描述的等效单元，应该尽可能具有与扩展多尺度有限元所构建的多分辨率单元具有相似的性质。为此，构造如下优化问题
式中，B为应变-位移矩阵，为待确定的弹性矩阵，其为对称正定矩阵。在(10)式中，采用两个单元的刚度矩阵来构造优化问题，通过最小化Frobenius范数来实现多分辨率单元与等效单元之间的等价。
步骤(5)：对单元密度为0/1的单元和边界单元分别进行应力计算。对于单元密度为0/1的单元，其应力计算公式为：σe＝DeBUe＝(EeD0)BUe (11)
其中，D0表示固体材料弹性矩阵，Ee表示密度为0/1单元的弹性模量，De表示实际材料的弹性矩阵，Ue表示单元的位移向量。
对于边界单元，其应力计算公式为：
综合(11)和(12)，结构全局的高精度应力场即可获得。
为了表明本发明方法的有效性，表1以图2所示单向拉伸杆件沿固定横截面上单元的应力值的精确解为参考，分别比较了采用直接计算和本发明所提出的高保真应力计算方法在应力计算上的差异。
表1
| 横截面单元编号 | 基准解(MPa) | 直接计算(MPa) | 高保真应力计算(MPa) |
| 1 | 0.05 | 0.0684 | 0.0524 |
| 4 | 0.05 | 0.0510 | 0.0515 |
| 7 | 0.05 | 0.0516 | 0.0514 |
| 10 | 0.05 | 0.0515 | 0.0513 |
| 13 | 0.05 | 0.0514 | 0.0512 |
| 16 | 0.05 | 0.0507 | 0.0511 |
| 19 | 0.05 | 0.0477 | 0.0508 |
从上表中可以看到，本发明所提出的一种固定网格下拓扑优化的高保真应力计算方法可以高精度计算结构的应力。
步骤(6)：根据步骤(5)所计算出的高精度应力场，进行灵敏度分析，使用序列近似整数规划算法求解基于应力的离散变量拓扑优化，迭代获取满足设计要求的结构拓扑设计。为了说明本发明所提出的固定网格下的高保真应力计算方法在应力拓扑优化有效性，以下结合L型梁的应力拓扑优化设计的算例进行阐述。
该L型梁算例的设计域、边界和加载条件如示意图5所示，其中L＝150mm，集中荷载F＝3N，整个设计域被离散为14400个四节点平面应力单元。扩展多尺度有限元中粗单元内的细单元数设置为100。为了缓解加载点的应力集中，将集中荷载等效分布在6个节点上。体积约束的阈值设置为0.4。该算例的具体计算步骤如下：
1.L型梁在体积约束下最小化结构最大应力的优化设计列式为
式中，ρe＝{0,1}表示的离散设计变量，ρ＝[ρ1,ρ2,…,ρn]为设计变量向量，Ve和V分别表示第e个单元的体积和体积分数阈值。式(13)中的第一个等式约束表示以拓扑χ为特征的结构的平衡方程，其中U为位移向量，F为外力向量，K为全局刚度矩阵。
2.对当前迭代步下的{0,1}优化解进行光滑边界提取，得到结构的光滑边界。
3.对结构光滑边界穿过的边界单元进行扩展多尺度有限元建模，得到扩展多尺度单元的刚度矩阵，并进行结构分析，得到结构的位移场。
4.求解式(10)所示的优化问题，得到边界单元的等效弹性矩阵。
5.使用第三步得到的位移场以及第四步得到的等效弹性矩阵，通过式(11)和式(12)计算整个结构的应力场。
6.根据计算出的高精度应力场进行灵敏度分析，使用序列近似整数规划方法结合体积下降的运动极限策略更新0/1设计变量.
7.收敛准则：判断体积是否小于阈值并且相邻五个迭代步的体积分数相对变化的平均值小于0.001，若满足，则迭代收敛，当前迭代步下的设计变量即为结构最优；若不满足，则从第2步起重复以上步骤，直到满足收敛准则的要求，最终获得此结构基于离散变量应力拓扑优化的最优设计。
图6和图7分别表示优化解对应的结构的光滑边界以及应力分布云图。可以发现，通过本发明所提出的固定网格下拓扑优化的高保真应力计算方法，可以有效的消除结构的虚假应力集中，帮助优化求解算法找到结构的优化解。
Claims (6)
1.一种固定网格下结构拓扑优化的高保真应力计算方法，其特征在于以下步骤：
(1)对以单元{0,1}解描述的拓扑结构进行线性过滤得到全局的密度场函数；包括：
对单元密度(0/1)进行线性过滤，得到具有中间密度(0-1)的单元密度场；
以中间密度单元为基础再次进行线性过滤，得到单元节点的密度；
以单元节点为依据，通过逐个单元的线性插值获得结构设计域内的全局密度场函数；
(2)基于体积守恒条件确定密度阈值并提取结构的光滑边界；
(3)采用扩展多尺度有限元对结构边界单元进行建模；包括：
对边界单元进行细分，获得扩展多尺度有限元；根据结构边界在粗单元所处的位置确定粗单元内细单元上的密度分布；在粗单元周围施加线性边界条件，获得结构的局部平衡方程；通过求解局部平衡方程获得扩展多尺度有限元的数值形函数，并进而得到该扩展多尺度有限元的刚度矩阵；根据此刚度矩阵获得结构的位移场；
(4)通过求解优化问题，确定与扩展多尺度有限元等效的各向同性单元；包括：
根据各向同性假设，构造一个等效的单元，该单元的未知变量为材料的拉梅常数；建立目标函数为等效单元与扩展多尺度有限元的刚度阵相差最小的优化问题；求解该优化问题，获得等效拉梅常数，进而获得等效单元的弹性矩阵；
(5)使用等效单元的弹性矩阵和扩展多尺度有限元求得的位移场，在高斯积分点处进行高精度的应力计算；
(6)根据计算出的高精度应力场进行灵敏度分析，并使用序列近似整数规划算法求解基于应力的离散变量拓扑优化，迭代获取满足设计要求的结构拓扑设计。
2.根据权利要求1所述的一种固定网格下结构拓扑优化的高保真应力计算方法，其特征在于，
步骤(1)中，构造线性过滤函数为：
其中：xi为i点处的密度值；为过滤后感兴趣点e处的密度；域Ωe表示一个以点e为圆心，半径为Rden的圆(或三维情况下的球体)，它包含位于该区域内的所有点i；加权因子ωi是过滤函数的加权因子，其中dist(e,i)表示点e和点i之间的欧氏距离；
对以单元{0,1}解描述的拓扑结构，记此时的单元密度为首先使用公式(1)所表示的线性过滤获得过滤后的单元密度/>对于节点i密度/>其为共享该节点i的单元内对应的节点密度之和，即：
式中，Ii为共享同一节点的元素集合；
然后，再次使用(1)式所示的线性密度过滤函数对节点密度进行过滤，得到过滤后的节点密度一旦确定了节点密度，则采用线性插值方式得到单元内的局部密度场函数
式中，(ξ,η)为局部坐标系，Ni(ξ,η)为标准线性插值函数，ξi、ηi为第i个节点的局部坐标值；
由于不同单元所共享的同一个节点的密度值是相同的，则将所有的局部密度场函数相加就可以得到全局的密度场函数Φ。
3.根据权利要求1所述的一种固定网格下结构拓扑优化的高保真应力计算方法，其特征在于，
步骤(2)中，根据步骤(1)获得的全局密度场函数，定义结构拓扑χ为
式中，为确定结构边界的密度阈值，当密度阈值确定后结构的光滑边界便可以根据密度场函数获取；为了保证原拓扑结构与提取后的光滑边界结构的一致性，密度阈值/>是通过使其满足一下体积守恒条件来确定的：
式中，Ω表示设计域，Ve表示第e个单元的体积；需要注意的是的取值范围为[0,1]，且式(5)有唯一解；在数值实现中，采用二分法求解/>
4.根据权利要求1所述的一种固定网格下结构拓扑优化的高保真应力计算方法，其特征在于，
步骤(3)中，采用扩展多尺度有限元对结构边界单元进行建模；在固定网格下，结构应力计算在边界上会出现虚假的应力集中，这种虚假的应力是导致固定网格下结构应力难以精确计算的原因；为了更精准的描述边界单元的性质，同时不增加有限元计算的代价，采用扩展多尺度有限元方法对结构光滑边界经过的固定单元进行精细化建模；
扩展多尺度有限元利用两种类型的单元来离散设计域；首先用一组粗分辨率元素对设计域进行离散，然后再用细分辨率元素对设计域进行离散；扩展多尺度有限元方法的基本思想是通过构造数值形状函数来捕捉多尺度有限元分析中粗单元的小尺度特征；因此，其可以反映单元内材料的非均匀性，并且可以有效地解决粗分辨率单元的边值问题；
对于几何边界穿过的边界单元，利用扩展多尺度有限元的数值形状函数对其单元位移场进行插值；将细分辨率单元的第i个节点的坐标表示为(xi,yi)，该节点的位移可由相关粗单元中节点的位移插值为
式中，分别表示粗单元节点在x、y方向上的位移；/>表示数值形状函数的矩阵，可以表示为
其中，数值形函数引入了与传统有限元法的标准基函数不同的x和y方向的附加耦合项；根据式(6)和式(7)，细分辨率单元节点位移与相应的粗分辨率单元节点位移之间的关系可表示为
式中，M为粗分辨率单元内细分辨单元的节点数目；
通过求解(8)式即可获取数值型函数；为了能够求解方程(8)，我们可以令粗单元的所有节点的位移分量分别设置为1，并且需要沿粗单元的边界施加适当的边界条件；在此，可以对粗单元施加线性边界条件；值得注意的是，除了采用四节点粗分辨单元和线性边界条件外，还可以自由地选取更多的节点数和更复杂的边界条件来提高扩展多尺度有限元的精度；
一旦确定了数值形状函数，粗分辨率单元的等效刚度矩阵可以表示为
式中，Ke为粗单元中第e个精细单元的刚度矩阵，Ne为粗单元中细分辨率单元的个数。
5.根据权利要求1所述的一种固定网格下结构拓扑优化的高保真应力计算方法，其特征在于，
步骤(4)中，根据各向同性假设，为所有用扩展多尺度有限元描述的边界单元构造对应的等效单元；构造等效单元的目的是为了更方便地计算扩展多尺度有限元的应力；等效单元的未知变量为材料的拉梅常数；
以拉梅常数为变量描述的等效单元，应该尽可能具有与扩展多尺度有限元所构建的多分辨率单元具有相似的性质；构造如下优化问题
式中，B为应变-位移矩阵，为待确定的弹性矩阵，其为对称正定矩阵；在(10)式中，采用两个单元的刚度矩阵来构造优化问题，通过最小化Frobenius范数来实现多分辨率单元与等效单元之间的等价。
6.根据权利要求1所述的一种固定网格下结构拓扑优化的高保真应力计算方法，其特征在于，
步骤(5)中，对单元密度为0/1的单元和边界单元分别进行应力计算；对于单元密度为0/1的单元，其应力计算公式为σe＝DeBUe＝(EeD0)BUe (11)
其中，D0表示固体材料弹性矩阵，Ee表示密度为0/1单元的弹性模量，De表示实际材料的弹性矩阵，Ue表示单元的位移向量；
对于边界单元，其应力计算公式为
综合(11)和(12)，结构全局的高精度应力场即可获得。
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