CN117932719A - 一种求解悬索结构的非线性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及结构设计技术领域，且公开了一种求解悬索结构的非线性分析方法，包括以下步骤：1)确定悬索结构的两端边界节点信息和悬索的物理参数，(节点信息包括：两端边界节点坐标和悬索的无应力长度(L₀)；悬索的物理参数包括：悬索的弹性模量(E)、悬索的横截面积(A)、悬索每延米无应力的自重(q)和外荷载(F)，即在无需提前假定悬索的线形方程和不增加单元内部结点自由度个数的情况下，高精度地描述悬索结构的非线性行为。使用的新悬索单元(不考虑弯曲刚度和剪切刚度)，其单元基于几何精确梁理论的应变—位移几何关系，构建预定义内力场，通过高精度的内力场来定义悬索单元列式，故能较好的提高悬索结构求解的精度。

Description

一种求解悬索结构的非线性分析方法

技术领域

本发明涉及结构设计技术领域，更具体地涉及一种求解悬索结构的非线性分析方法。

背景技术

悬索结构因其结构轻盈，用材少，能有效节约建造成本，造型优美多样，适合大跨度结构等优点，被越来越广泛地应用在实际工程中，例如悬索屋盖、大跨度悬索桥和斜拉桥等。悬索单元是一种只承受拉力的柔性单元，不承受压力和弯矩，在受到外荷载时表现出高度非线性，在结构中会承受较大的位移和转动。当下，悬索单元已经被广泛用于悬索结构的有限元分析中，其主要可以分为以下几类：①通过修正物理量类，②以直代曲近似类，③运用插值函数近似的有限元方法，④提前假设悬索特定线形函数类。

现有技术的不足之处：上述修正物理量法在考虑斜拉索垂度影响的非线性分析过程中，通常分级施加荷载并逐步迭代修正结果以提高精度，而悬索两端的累加位移与索力增量并不存在线性关系，因此此方法将导致索力和悬索拉伸量之间关系的不闭合，以直代曲近似类方法引入了许多附加自由度，增加了结构求解方程的规模，这往往容易导致计算无法收敛，运用插值函数近似的有限元方法通过引入高次函数作为单元的插值函数，近似考虑垂度的影响，分析精度较修正参数类有很大的提高，但是随着节点数的增加，自由度个数会增加，单元的列式会越趋复杂，不易得出刚度表达式，也不能精确描述悬索的非线性行为，提前假设悬索特定线形函数类对于张拉的比较紧的悬索结构而言，此类方法得出的刚度矩阵复杂，刚度矩阵的表达式适用性不强，且在实际工程中悬索结构的线形不一定严格满足悬链线和抛物线假定，目前尚未有一种新的悬索单元，可以在无需提前假定悬索线形方程且不增加单元内部结点与自由度个数的情况下，精确地描述悬索结构的非线性行为。因此发明一种基于此类悬索单元的悬索结构的非线性分析方法，具有重要的现实意义。

发明内容

为了克服现有技术的上述缺陷，本发明提供了一种求解悬索结构的非线性分析方法，以解决上述背景技术中存在的问题。

本发明提供如下技术方案：一种求解悬索结构的非线性分析方法，包括以下步骤：

1)确定悬索结构的两端边界节点信息和悬索的物理参数，(节点信息包括：两端边界节点坐标和悬索的无应力长度(L₀)；悬索的物理参数包括：悬索的弹性模量(E)、悬索的横截面积(A)、悬索每延米无应力的自重(q)和外荷载(F)；

2)基于几何精确梁理论中的应变—位移的几何关系，构建预定义内力场，得到新悬索单元的单元列式，几何精确梁理论考虑了大变形和大转动的效应，通过该理论应变和变形的精确关系构建的预定义内力场具有较高的精度；

3)以沿悬索弧长坐标进行积分，对新悬索单元构建单元列式方程，对方程进行线性化，得到新悬索单元的增量方程组和切线刚度矩阵；

4)组装所有单元的切线刚度矩阵和增量方程，构建整体结构的残差向量和整体结构的增量方程体系；

5)采用荷载控制的牛顿-拉夫逊法和力的收敛判定准则，分析悬索结构在外荷载作用下的结构响应；

优选的，所述新悬索单元(不考虑弯曲刚度和剪切刚度)列式的构建是基于几何精确梁理论中的应变—位移几何关系，见下式：

ε_G(s)＝r_1,s(s)cosθ(s)+r_2,s(s)sinθ(s)-1

截面轴向刚度记为D(s)，那么拉索的轴力N_G(s)

在整体坐标下，水平和竖向力分量记为N₁(s)和N₂(s)，悬索的微分平衡方程表示为

N_1,s(s)＝0

N_2,s(s)-q(s)＝0

r_1,s(s)N₂(s)-r_2,s(s)N₁(s)＝0。

优选的，所述水平方向内力沿悬索轴线不变，即N₁(s)＝H，而竖直方向内力沿悬索轴线可表示为：

上式的积分是沿着悬索弧长的坐标积分，位置向量的表达式为：

便于表达，整理上式得到：

利用边界条件，在s＝0和s＝L，可以得：

满足变形协调条件：

上述方程构成非线性系统，共有6个未知量，包括两个内力参数和两端的位置向量。

推导增量方程如下式：

得到刚度矩阵形式如下：

优选的，所述步骤四阶段涉及到了一个悬索结构找形，在有限元建模阶段并不需要严格知道悬索的线形方程去得到多节点坐标，从而模拟悬索的结构响应，只需知道两端边界的节点坐标和无应力索长，通过边界上的变形协调和内外力平衡，对水平和竖向力进行不断地迭代修正，使得满足无应力索长(L₀)，不断逼近已知的边界点，得到正确的悬索线形后，组装单元的切线刚度矩阵，得到整体结构的切线刚度矩阵。

优选的，所述求解整体结构的增量方程组：

需要计算整体结构的残差向量和整体结构的节点荷载向量/>直至满足收敛判定条件为止，平衡迭代的收敛条件表示为：

式中：tol^g为容差参数，收敛容差参数设置为tol^g＝10^-8。

本发明的技术效果和优点：

1.本发明采用了一种新的悬索单元，即在无需提前假定悬索的线形方程和不增加单元内部结点自由度个数的情况下，高精度地描述悬索结构的非线性行为。使用的新悬索单元(不考虑弯曲刚度和剪切刚度)，其单元基于几何精确梁理论的应变—位移几何关系，构建预定义内力场，通过高精度的内力场来定义悬索单元列式，故能较好的提高悬索结构求解的精度。

2.本发明采用的新悬索单元不受线形的要求，因为其求解使用的并非是悬索坐标对水平方向的积分，而是直接按悬索弧形坐标进行积分，其能较精确的描述悬索结构的线形。

3.提出的一种求解悬索结构的非线性分析方法，采用的是内力场定义的单元，建模时只需知道起始边界节点坐标信息和无应力索长(L₀)，即可通过边界上的变形协调和内外力平衡条件，对内力进行修正，使得在满足无应力索长的情况下不断迭代逼近已知的边界点，最后得到悬索在仅承受自重或预应力作用下的自平衡线形。

附图说明

图1为本发明的新悬索单元构形示意图。

图2为本发明的悬索结构的初始几何构形示意图。

图3为本发明的悬挂式索环结构的平面图和透视图。

具体实施方式

下面将结合本发明中的附图，对本发明中的技术方案进行清楚、完整地描述，另外，在以下的实施方式中记载的各结构的形态只不过是例示，本发明所涉及的求解悬索结构的非线性分析方法并不限定于在以下的实施方式中记载的各结构，在本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动的前提下所获得的所有其他实施方式都属于本发明保护的范围。

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合数值模拟算例，对本发明进一步详细说明。此处所描述的具体数值模拟算例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

参本发明提供了一种求解悬索结构的非线性分析方法，流程说明：首先确定两边界节点的坐标等几何信息，确定每段悬索的无应力长度(L₀)和悬索的物理参数(包括：悬索的弹性模量(E)、悬索的横截面积(A)、悬索每延米无应力的自重(q)和外荷载(F))，其次基于几何精确梁理论中应变—位移的几何关系建立预定义内力场，通过内力场沿悬索弧形坐标进行积分，通过不断修正内力至满足边界点上变形协调和内外力的平衡条件，得到悬索结构的初始状态(即仅承受自重或预应力作用下的自平衡状态，不考虑外部荷载的作用，该状态提供了分析结构在外部荷载作用下所必须的所有初始条件)，最后使用牛顿—拉夫逊法(Newton-Raphson)和收敛判定准则，分析悬索结构在工作状态下(外荷载作用下所达到的平衡状态)的结构响应。

需要注意的是：在整体增量方程系统中，各单元的分量应视为独立未知量，就一般而言，具有刚性连接的两个单元，其交点处的增量位移形状态分量是一致的，所以在整体结构的增量方程系统中应被设置为相同的未知量。

遵循牛顿—拉夫逊法(Newton-Raphson)迭代格式，在每一个迭代步i＝0,1,2,...中求解如下所示的整体结构的增量方程组

上式：K^g,i为整体结构的切线刚度矩阵，为整体结构的残差向量，Δd^g为整体结构的增量状态向量。通过求解上式，可以得到Δd^g，将Δd^g与之前的状态向量d^g,i，相加即可更新整个结构的状态向量，d^g,i+1＝d^g,i+Δd^g给定的几何非线性分析问题的平衡路径可以通过采用一个标准的Newton-Raphson法迭代，并由荷载控制得到。

在迭代收敛判定方面，平衡迭代的收敛条件表示为：

式中：tol^g为容差参数，为整体结构的节点荷载向量，/>为整体结构的残差向量。除非另有说明，收敛容差参数一般设置为tol^g＝10^-8。在实施增量迭代求解时，增量未知量/>和/>可通过求解整个结构的增量方程组得到。通过累加更新得到每个单元的和/>的值。

通过求解微分方程组，可以得到的数值解，初始条件为/>采用对内力参量进行求导的方法求解微分方程。当得到/>的数值解时，可以确定所有的量，如f_a，f_b，h₀和B。

本数值模拟算例中一种求解悬索结构的非线性分析方法通过内力场而非位移场进行有限元模拟，可以在不知道线形且不增加整体结构自由度的情况下精确的求解，在受外荷载作用下的悬索结构非线性响应。这不仅保证了求解精度，还提高了整体结构的求解效率。

数值模拟算例1：

本算例展示了一个两端点固定，跨度为304.8m的悬索结构。此问题首先由Michalos和Birnstiel提出，之后又有几位研究人员进行了其它方法的进一步分析。结构的初始几何构形和结构相关的详细参数数据见图2和表1。

表1悬索结构参数

悬索仅在自重作用下悬挂于结点1和结点3，同时在结点2位置上施加竖直向下的集中力F＝35.586kN。采用本发明一种求解悬索结构的非线性分析方法，将所求2结点的位移结果与前其它研究人员的研究结果进行比较，详见表2。

表2悬索结构当前位移结果与之前结果的比较

通过对比可以看出，本发明所提出的一种求解悬索结构的非线性分析方法在仅受集中荷载的悬索结构中获得的位移结果与前研究中所给出的位移结果非常一致。

数值模拟算例2：

该算例旨在验证所提发明在松弛的索网结构中的适用性。此结构是内径为35m、外径为75m的轴对称索环结构，最外层索段固定于结点9、10、11、12、13、14、15和16，该结构采用8个径向和8个切向的新索单元进行有限元模拟，结构从初始状态释放仅在自重作用下发生变形，求得最终平衡状态下的内部各结点的坐标值。结构的初始几何构形和结构详细数据源图3和表3所示。

表3悬挂式索环结构参数

对于此结构问题之后又有几位研究人员运用不同的方法进行数值分析，使用本发明对结构进行有限元建模和分析得到整个结构的最终平衡状态下内环相关结点的坐标，与前研究人员不同方法计算所得的坐标进行比较，见表4。

表4结构最终平衡状态下的结点坐标(单位：m)比较

比较可以得出，所提发明在计算结构节点坐标与前研究人员所给坐标相差无异，这进一步说明本发明所提的一种求解悬索结构的非线性分析方法在松弛索网结构找形中的可靠性和适用性。

最后应说明的几点是：首先，在本申请的描述中，需要说明的是，除非另有规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，可以是机械连接或电连接，也可以是两个元件内部的连通，可以是直接相连，“上”、“下”、“左”、“右”等仅用于表示相对位置关系，当被描述对象的绝对位置改变，则相对位置关系可能发生改变；

其次：本发明公开实施例附图中，只涉及到与本公开实施例涉及到的结构，其他结构可参考通常设计，在不冲突情况下，本发明同一实施例及不同实施例可以相互组合；

最后：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种求解悬索结构的非线性分析方法，其特征在于：包括以下步骤：

1)确定悬索结构的两端边界节点信息和悬索的物理参数，(节点信息包括：两端边界节点坐标和悬索的无应力长度(L₀)；悬索的物理参数包括：悬索的弹性模量(E)、悬索的横截面积(A)、悬索每延米无应力的自重(q)和外荷载(F)；

2)基于几何精确梁理论中的应变—位移的几何关系，构建预定义内力场，得到新悬索单元的单元列式，几何精确梁理论考虑了大变形和大转动的效应，通过该理论应变和变形的精确关系构建的预定义内力场具有较高的精度；

3)以沿悬索弧长坐标进行积分，对新悬索单元构建单元列式方程，对方程进行线性化，得到新悬索单元的增量方程组和切线刚度矩阵；

4)组装所有单元的切线刚度矩阵和增量方程，构建整体结构的残差向量和整体结构的增量方程体系；

5)采用荷载控制的牛顿-拉夫逊法和力的收敛判定准则，分析悬索结构在外荷载作用下的结构响应。

2.根据权利要求1所述的一种求解悬索结构的非线性分析方法，其特征在于：所述新悬索单元(不考虑弯曲刚度和剪切刚度)列式的构建是基于几何精确梁理论中的应变—位移几何关系，见下式：

ε_G(s)＝r_1,s(s)cosθ(s)+r_2,s(s)sinθ(s)-1

截面轴向刚度记为D(s)，那么拉索的轴力N_G(s)

在整体坐标下，水平和竖向力分量记为N₁(s)和N₂(s)，悬索的微分平衡方程表示为

N_1,s(s)＝0

N_2,s(s)-q(s)＝0

r_1,s(s)N₂(s)-r_2,s(s)N₁(s)＝0。

3.根据权利要求2所述的一种求解悬索结构的非线性分析方法，其特征在于：所述水平方向内力沿悬索轴线不变，即N₁(s)＝H，而竖直方向内力沿悬索轴线可表示为：

上式的积分是沿着悬索弧长的坐标积分，位置向量的表达式为：

便于表达，整理上式得到：

利用边界条件，在s＝0和s＝L，可以得：

满足变形协调条件：

上述方程构成非线性系统，共有6个未知量，包括两个内力参数和两端的位置向量。

推导增量方程如下式：

得到刚度矩阵形式如下：

4.根据权利要求1所述的一种求解悬索结构的非线性分析方法，其特征在于：所述步骤四阶段涉及到了一个悬索结构找形，在有限元建模阶段并不需要严格知道悬索的线形方程去得到多节点坐标来模拟悬索的结构响应，只需知道两端边界的节点坐标和无应力索长，通过边界上的变形协调和内外力平衡，对水平和竖向力进行不断地迭代修正，使得满足无应力索长(L₀)，不断逼近已知的边界点，得到正确的悬索线形后，组装单元的切线刚度矩阵，得到整体结构的切线刚度矩阵。

5.根据权利要求1所述的一种求解悬索结构的非线性分析方法，其特征在于：所述求解整体结构的增量方程组：

需要计算整体结构的残差向量和整体结构的节点荷载向量/>直至满足收敛判定条件为止，平衡迭代的收敛条件表示为：

式中：tol^g为容差参数，收敛容差参数设置为tol^g＝10^-8。