CN117254909B - 一种快速生成高概率原根的计算方法、系统及存储介质 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种快速生成高概率原根的计算方法、系统及存储介质，所述方法包括：步骤1：随机选取一个大奇数P，并判定P是否为一个大质数；步骤2：重复执行步骤1，直至确定P为大质数为止；步骤3：随机选取一个整数，1<<P‑1，并计算mod P的雷建德符号值；步骤4：重复执行步骤3，直至，则判定为原根。
Description
技术领域
本发明涉及网络安全技术领域，具体涉及一种快速生成高概率原根的计算方法、系统及存储介质。
背景技术
在离散对数型密码系统中，大质数与原根/>这两个参数相当重要且关系到系统的安全性。为了降低计算复杂度，现有方法通常先利用概率式的质性判定方法产生/>，然后再利用费马定理去验证原根/>的阶是否最大，这两个参数产生的过程都需要用到模指数运算，计算复杂度皆为/>。然而，前面产生大质数/>的方法是属于概率式的，后面产生原根/>的方法却是确定式的，这意味着/>是不是原根其实也是一个概率问题，这样产生原根/>的计算复杂度较大，从而导致整体系统的复杂度也较大。
而目前验证原根方法为：先将P-1分解后，/>，然后逐一计算算式是否成立，/> 1 mod P 或/> 1 mod P , i=2,3,...k，总共需要k次模指数运算，若所有算式皆成立，才可判定所任选的/>为原根。
其次，当P是一个非常大的质数时，P-1可能包含很大的因子相乘的复合数，这时就很难进行分解，因为这是一个大数分解的数学难题。
所以，现有技术方法的缺点有至少如下两点：(1)需要k次模指数运算，每次计算复杂度为，整体计算复杂度过高，特别是在一些计算资源受限的装置中较难实现。(2)若P-1无法完全分解，则无法正确判别原根/>，且错误概率非常高。
发明内容
本发明提供了一种在数论中生成和判别原根的计算方法，可直接应用于离散对数型密码系统中，降低信息安全与网络安全所需的计算复杂度。本发明能直接用较低的计算复杂度产生概率式的原根，对降低整体系统复杂度有所助益。
有鉴于此，本发明第一方面提供了一种快速生成高概率原根的计算方法，所述方法包括：
步骤1：随机选取一个大奇数P，并判定P是否为一个大质数；
步骤2：重复执行步骤1，直至确定P为大质数为止；
步骤3：随机选取一个整数，1</><P-1，并计算/>mod P的雷建德符号值/>；
步骤4：重复执行步骤3，直至，则判定/>为原根。
可选地，结合第一方面，在一种可能的实现方式中，所述方法还包括：确定是一个原根的概率步骤，其中，所述确定/>是一个原根的概率步骤具体包括：
假设，表示存在一个平方根/>满足：/>；
由于，则，/>的阶等于/>，当/>时，/>一定不是一个原根；
满足的/>总个数为：/>，其中，k≥2；
其中，阶为原根的非同余整数总个数为：
；
则隐含/>是一个原根的概率为：/>。
本发明第二方面提供了一种快速生成高概率原根的计算系统，所述系统包括：存储器和至少一个处理器，所述存储器中存储有指令，所述存储器和所述至少一个处理器通过线路互连；所述至少一个处理器调用所述存储器中的所述指令，以使得所述装置执行如本发明第一方面或第一方面的任意一种可能的实现方式中所述的快速生成高概率原根的计算方法。
本发明第三方面提供了一种计算机可读存储介质，所述计算机可读存储介质上存储有计算机程序，所述计算机程序被处理器执行时，实现如本发明第一方面或第一方面的任意一种可能的实现方式中所述的快速生成高概率原根的计算方法。
本发明提出的快速判别原根的方法为：直接计算/>mod P 的雷建德符号值/>，若/>，则/>为原根的正确概率趋近于1。
与现有技术对比，本发明所需的计算复杂度仅为，远低于现有技术需要k次的计算复杂度/>。同时，不需进行P-1的因子分解，易于直接实现。
附图说明
图1为本申请提供的一种快速生成高概率原根的计算方法流程图；
图2为本申请提供的一种快速生成高概率原根的计算系统示意图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本申请的说明书和权利要求书及上述附图中的术语“第一”、“第二”等是用于区别类似的对象，而不必用于描述特定的顺序或先后次序。应该理解这样使用的数据在适当情况下可以互换，以便这里描述的实施例能够以除了在这里图示或描述的内容以外的顺序实施。此外，术语“包括”和“具有”以及他们的任何变形，意图在于覆盖不排他的包含，例如，包含了一系列步骤或模块的过程、方法、系统、产品或设备不必限于清楚地列出的那些步骤或模块，而是可包括没有清楚地列出的或对于这些过程、方法、产品或设备固有的其它步骤或模块。
本发明涉及一种在数论中生成和判别原根的计算方法，可直接应用于离散对数型密码系统中，降低信息安全与网络安全所需的计算复杂度。本发明在数论中的主要应用：(1)离散对数问题（Discrete Logarithm Problem）：原根可以用于解决离散对数问题，即找到一个整数 k，使得给定的底数 a、模数 p 和指数 x 满足 a^k ≡ x (mod p)。这个问题在密码学中有广泛的应用，如椭圆曲线密码学和Diffie-Hellman密钥交换算法。(2)素数生成：原根可以帮助生成大素数。如果一个素数 p 的一个原根可以找到，那么可以使用它来测试其他数字是否为素数。这在RSA加密算法等密码学协议中非常有用。(3)密码学：原根在许多密码学算法中发挥关键作用，包括Diffie-Hellman密钥交换、椭圆曲线密码学和ElGamal加密等。原根的性质可以用于实现安全的密钥交换和加密。(4)数字签名：原根也可以用于数字签名算法，如DSA（Digital Signature Algorithm）。DSA使用了离散对数问题的性质，其中原根是一个关键的组成部分。(5)随机数生成：原根可以用于生成伪随机数序列，这在许多计算机应用中都有用。通过适当选择原根和模数，可以生成具有良好统计性质的伪随机数序列。
在离散对数型密码系统中，大质数与原根/>这两个参数相当重要且关系到系统的安全性。为了降低计算复杂度，现有方法通常先利用概率式的质性判定方法产生/>，然后再利用费马定理去验证原根/>的阶是否最大，这两个参数产生的过程都需要用到模指数运算，计算复杂度皆为/>。然而，前面产生大质数/>的方法是属于概率式的，后面产生原根/>的方法却是确定式的，这意味着/>是不是原根其实也是一个概率问题，如果能直接用较低的计算复杂度产生概率式的原根/>，相信对降低整体系统复杂度会有助益。
现有技术验证原根方法为：先将P-1分解后，/>，然后逐一计算算式是否成立，/> 1 mod P 或/> 1 mod P , i=2,3,...k，总共需要k次模指数运算，若所有算式皆成立，才可判定所任选的/>为原根。具体的：
步骤1：将大质数按照如下方式分解：/>，其中，k≥2；
步骤2：计算1 mod P ，若算式成立，则执行步骤3；否则，执行步骤5；
步骤3：将i的值设定为2；
步骤3.1：计算1 mod P，若算式成立，则执行步骤4；否则，执行步骤5；
步骤4：将i+1的值赋给i，并循环执行步骤3.1，直至i= k+1时结束循环，并确定选定的为原根，结束算法。
步骤5：确定选定的不为原根，结束算法。
其次，当P是一个非常大的质数时，P-1可能包含很大的因子相乘的复合数，这时就很难进行分解，因为这是一个大数分解的数学难题。
所以，现有技术方法的缺点有二：(1)需要k次模指数运算，每次计算复杂度为，整体计算复杂度过高，特别是在一些计算资源受限的装置中较难实现。(2)若P-1无法完全分解，则无法正确判别原根/>，且错误概率非常高。
本发明提出的快速判别原根的方法为：直接计算/>mod P 的雷建德符号值/>，若/>，则/>为原根的正确概率趋近于1。
与现有技术对比，本发明所需的计算复杂度仅为，远低于现有技术需要k次的计算复杂度/>。同时，不需进行P-1的因子分解，易于直接实现。
本发明利用雷建德符号值来判定原根/>，假设/>，且/>，则隐含/>是一个原根的概率为/>。
证明: 假设，这表示存在一个平方根/>满足：
；
又因为：；
所以，的阶等于/>，也就是说当/>时，/>一定不是一个原根。
另一方面，满足的/>总个数为：
；
其中，阶为(即原根) 的非同余总个数为：
；
由上面两式相除得知，隐含/>是一个原根的概率为
， 得证。
特别是在离散对数型密码系统中，通常会选择一个强质数，所以利用雷建德符号值来判别原根的正确概率为/>。然而，当/>时，/>(因为)，但是实际的/>的阶仅等于2(因为/>)，也就是说虽然会通过/>的测试，但它却不是一个原根(阶不等于/>)。
一般来说，任选的，也就是/>的总个数要减1，这时用雷建德符号值来判别原根的正确概率为/>，本发明方法等同一个确定式方法，而不再是一个概率式方法了。如果P不是一个强质数，P-1也必须包含一个很大的因子/>，这时用雷建德符号值来判别原根/>的正确概率趋近于1。
由此可见，相比现有技术方法，本发明用雷建德符号值来判别原根/>的方法具有计算复杂度低的优点，并且不需因数分解P-1，易于实现。
具体的，本申请提供了一种快速生成高概率原根的计算方法，请参见图1，该方法包括：
步骤1：随机选取一个大奇数P，并判定P是否为一个大质数；
步骤2：重复执行步骤1，直至确定P为大质数为止；
步骤3：随机选取一个整数，1</><P-1，并计算/>mod P的雷建德符号值/>；
步骤4：重复执行步骤3，直至，则判定/>为原根。
在一些实施方式中，所述方法还包括：确定是一个原根的概率步骤，其中，所述确定/>是一个原根的概率步骤具体包括：
假设，表示存在一个平方根/>满足：/>；
由于，则，/>的阶等于/>，当/>时，/>一定不是一个原根；
满足的/>总个数为：/>，其中，k≥2；
其中，阶为原根的非同余整数总个数为：
；
则隐含/>是一个原根的概率为：/>。
图2是本发明实施例提供的一种快速生成高概率原根的计算系统的结构示意图，该一种快速生成高概率原根的计算系统300可因配置或性能不同而产生比较大的差异，可以包括一个或一个以上处理器（central processing units，CPU）310（例如，一个或一个以上处理器）和存储器320，一个或一个以上存储应用程序333或数据332的存储介质330（例如一个或一个以上海量存储设备）。其中，存储器320和存储介质330可以是短暂存储或持久存储。存储在存储介质330的程序可以包括一个或一个以上模块（图示没标出），每个模块可以包括对快速生成高概率原根的计算系统300中的一系列指令操作。更进一步地，处理器310可以设置为与存储介质330通信，在快速生成高概率原根的计算系统300上执行存储介质330中的一系列指令操作。
快速生成高概率原根的计算系统300还可以包括一个或一个以上电源340，一个或一个以上有线或无线网络接口350，一个或一个以上输入输出接口360，和/或，一个或一个以上操作系统331，例如Windows Serve，Mac OS X，Unix，Linux，FreeBSD等等。本领域技术人员可以理解，图2示出的快速生成高概率原根的计算系统结构并不构成对快速生成高概率原根的计算系统的限定，可以包括比图示更多或更少的部件，或者组合某些部件，或者不同的部件布置。
本发明还提供一种计算机可读存储介质，该计算机可读存储介质可以为非易失性计算机可读存储介质，该计算机可读存储介质也可以为易失性计算机可读存储介质，所述计算机可读存储介质中存储有指令，当所述指令在计算机上运行时，使得计算机执行所述快速生成高概率原根的计算方法的步骤。
所属领域的技术人员可以清楚地了解到，为描述的方便和简洁，上述描述的系统，装置和单元的具体工作过程，可以参考前述方法实施例中的对应过程，在此不再赘述。
所述集成的单元如果以软件功能单元的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，可以存储在一个计算机可读取存储介质中。基于这样的理解，本发明的技术方案本质上或者说对现有技术做出贡献的部分或者该技术方案的全部或部分可以以软件产品的形式体现出来，该计算机软件产品存储在一个存储介质中，包括若干指令用以使得一台计算机设备（可以是个人计算机，服务器，或者网络设备等）执行本发明各个实施例所述方法的全部或部分步骤。而前述的存储介质包括：U盘、移动硬盘、只读存储器（read-only memory，ROM）、随机存取存储器（random access memory，RAM）、磁碟或者光盘等各种可以存储程序代码的介质。
在本申请所提供的实施例中，应该理解到，所揭露的方法，在没有超过本申请的精神和范围内，可以通过其他的方式实现。当前的实施例只是一种示范性的例子，不应该作为限制，所给出的具体内容不应该限制本申请的目的。例如，一些特征可以忽略，或不执行。
本发明方案所公开的技术手段不仅限于上述实施方式所公开的技术手段，还包括由以上技术特征任意组合所组成的技术方案。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也视为本发明的保护范围。
以上对本发明实施例所提供的一种快速生成高概率原根的计算方法、系统及存储介质进行了详细介绍，本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处，综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。尽管参照前述实施例对本申请进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本申请各实施例技术方案的精神和范围。
Claims (3)
1.一种快速生成高概率原根的计算方法，所述方法应用于网络安全技术领域中的离散对数型密码系统，用于降低信息安全与网络安全所需的计算复杂度，其特征在于，所述方法包括：
步骤1：随机选取一个大奇数P，并判定P是否为一个大质数；
步骤2：重复执行步骤1，直至确定P为大质数为止；
步骤3：随机选取一个整数，1</><P-1，并计算/> mod P的雷建德符号值/>；
步骤4：重复执行步骤3，直至，则判定/>为原根；
所述方法还包括：确定是一个原根的概率步骤，其中，所述确定/>是一个原根的概率步骤具体包括：
假设，表示存在一个平方根/>满足：/>；
由于，则，/>的阶等于/>，当/>时，/>一定不是一个原根；
满足的/>总个数为：/>，其中，k≥2；
其中，阶为原根的非同余整数总个数为：
；
则隐含/>是一个原根的概率为：/>。
2.一种快速生成高概率原根的计算系统，其特征在于，所述系统包括：存储器和至少一个处理器，所述存储器中存储有指令，所述存储器和所述至少一个处理器通过线路互连；所述至少一个处理器调用所述存储器中的所述指令，以执行如权利要求1所述的快速生成高概率原根的计算方法。
3.一种计算机可读存储介质，所述计算机可读存储介质上存储有计算机程序，其特征在于，所述计算机程序被处理器执行时，实现如权利要求1所述的快速生成高概率原根的计算方法。
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Legal Events
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| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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