CN117150150A - 一种基于图信号处理的群体推荐方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及群体推荐技术领域，公开了一种基于图信号处理的群体推荐方法，包括以下步骤：构造包含异构节点与信息的统一异构图；基于节点相似性的滤波器设计；基于图信号处理的多语义路径融合偏好预测。本发明中的群体推荐方法的输入包括用户‑物品交互关系、群体‑物品交互关系、群体‑用户交互关系，随后构建多跳路径上的用户‑用户相似性图结构、物品‑物品相似性图结构，根据用户‑用户相似性图结构还可以得到群体‑用户亲和力图结构。随后将这些图结构数据通过图傅里叶变换映射到频谱域上，在频谱域上设计了两种低通滤波器来对信号进行平滑，最后基于语义的一致性来融合相似性信息，并最终输出预测结果；大幅度降低了模型运行时间。
Description
技术领域
本发明涉及群体推荐技术领域，具体涉及一种基于图信号处理的群体推荐方法。
背景技术
近些年来随着各类社交媒体飞速发展，人们在日常生活中组成团体共同参加活动(例如，家庭一起看电影、公司员工聚餐、度假旅游等)变得越来越流行与方便。在这些场景中个性化推荐系统由于其本身的限制，直接将其应用在群体活动场景中时推荐性能低下，这就导致了开展面向一组用户推荐令人满意的群体活动的研究已经成为推荐系统的一项重要任务，群体推荐随之兴起。与个性化推荐从历史行为中挖掘每个用户的偏好并推荐满足其个人兴趣的活动不同的是，群体推荐需要整合群体内用户的不同偏好，并推荐满足其共同兴趣的活动。同时，群体用户也会因为各种因素而变动，很多用户出于某一目的短暂地形成某一群体，待活动结束后又很快解散，导致对于持久性群体和临时性群体的推荐也存在着很大的差异。
先前关于群体推荐的工作通常侧重于聚合不同用户的偏好来预测群体兴趣。传统的聚合方法基于预定义的启发式规则，如均值策略、最小痛苦策略等,但是这些策略过于简单，无法充分对群体决策过程进行建模。随后也有一些基于深度学习的模型被提出,通过采用注意力机制来学习用户的决策权重达到了较好的性能。此外，部分模型通过集成自监督学习也达到了优秀的性能。这些基于深度学习的模型虽然性能有所提高，但它引入了大量待学习参数，一方面使得模型训练时间变长，另一方面使得模型的许多细节无法得到一个全面的解释。
发明内容
为解决上述技术问题，本发明提供一种基于图信号处理的群体推荐方法。以往的图神经网络关注信号在空间域的变换，而图信号处理更关注的是在频谱域上的变换，通过图傅里叶变换将信号映射到频谱域上，在频谱域上可以更好地利用信号处理的技术来对信号进行变换，再通过傅里叶逆变换推导出空间域中的图信号。具体来说，本发明构建了包括多种异构节点与连接的统一图结构，在此基础上利用多跳路径来获得相似性图信息；随后利用多跳路径构建了用户与物品相似性图，从而挖掘更深层次的协同过滤信号；最后设计了低通滤波器来对获得群体-物品评分和群体-用户亲和信号并将这些信号融合，最终得到群体偏好。
为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：
一种基于图信号处理的群体推荐方法，群体推荐方法的输入为用户-物品交互关系、群体-用户隶属关系和群体-物品交互关系，输出为群体偏好；具体包括以下步骤：
步骤一、构造统一异构图：
将社交关系、用户-物品交互关系、群体-用户隶属关系融合在一个统一异构图中，用以增强群体-物品交互关系；统一异构图具有携带协同过滤信息的多跳路径，包括节点相似性路径和群体用户亲和力路径；根据节点相似性路径、群体用户亲和力路径，以及用户-物品交互关系的邻接矩阵、群体-物品交互关系的邻接矩阵/>、群体-用户交互关系的邻接矩阵/>，通过矩阵乘法并进行拉普拉斯归一化操作，计算得到用户-用户相似图结构和物品-物品相似图结构；通过群体-用户隶属关系和用户-用户相似图结构得到群体-用户亲和力图结构；用户-用户相似图结构、物品-物品相似图结构和群体-用户亲和力图结构统一称为图结构；
步骤二、基于节点相似性的滤波器设计
提出取不同图结构中的交互信号，通过图傅里叶变换将交互信号变换到频域空间，将得到的各个频率向量通过频率响应函数进行平滑，得到频率空间的信号/>；最后通过图逆傅里叶变换将信号/>转换为输出信号/>：
；
其中，为不同图结构的特征向量矩阵；/>是输入信号，表示用户-物品交互关系、群体-用户隶属关系或群体-物品交互关系中的交互信号，记图滤波器，/>是图滤波器/>的频率响应矩阵，/>为频率响应函数，/>代表n种不同的频率，表示对角矩阵；相比于现在多数神经网络模型，这样做只需要高效的矩阵运算就可以达到神经网络模型的效果，甚至有可能超越。另一方面，在频率角度有明确的公式指导，使得基于图信号处理的方法对于每一步骤都有较好的可解释性。
将理想低通滤波器的频率响应函数和线性低通滤波器的频率响应函数分别代入到不同图结构对应的图滤波器/>的表达式中，通过得到的图滤波器的理想表示/>和线性表示/>，得到物品-物品相似性滤波器/>和用户-用户相似性滤波器/>；
步骤三，基于图信号处理的多语义路径融合偏好预测：
将得到的物品-物品相似性滤波器、用户-用户相似性滤波器/>，以及表示交互关系的邻接矩阵/>、/>、/>代入到频域角度的变换公式中，从而得到群体对物品的偏好预测/>、用户对物品的偏好预测/>和群体对用户的亲和力预测/>，变换公式如下：
；/>；/>；
随后融合、/>、/>，得到最终的群体偏好/>：/>；其中，/>表示融合权重。
进一步地，所述节点相似性路径，包括与同一个用户交互的物品相似性路径、与同一群体交互的物品相似性路径/>、与同一个物品交互的用户相似性路径/>，以及与同一群体交互的用户相似性路径/>；群体用户亲和力路径记为；其中/>表示物品，/>表示用户，/>表示群体；
所述物品-物品相似图结构包括有相同用户的物品-物品相似性图结构、有相同群体的物品-物品相似性图结构/>；所述用户-用户相似图结构包括有相同物品的用户-用户相似图结构/>、有相同群体的用户-用户相似图结构/>。
进一步地，步骤一中，计算得到物品-物品相似图结构时，通过和用户-物品交互关系的邻接矩阵/>得到有相同用户的物品-物品相似性图结构/>，具体包括：
；
；
；
其中，表示拉普拉斯归一化前的、有相同用户的物品-物品相似性图结构；分别表示/>上关于用户的度矩阵、关于物品的度矩阵，即/>，，上标/>表示转置；/>是/>的归一化矩阵，表示用户与物品之间的相似性。
进一步地，步骤一中，计算得到物品-物品相似图结构时，通过和群体-物品交互关系的邻接矩阵/>，得到有相同群体的物品-物品相似性图结构/>，具体包括：
；
；
；
其中，表示拉普拉斯归一化前的、有相同群体的物品-物品相似性图结构；分别表示/>上关于群体的度矩阵、关于物品的度矩阵，即/>，，上标/>表示转置；/>是/>的归一化矩阵，表示群体与物品之间的相似性。
进一步地，步骤一中，计算得到用户-用户相似图结构时，通过和用户-物品交互关系的邻接矩阵/>，得到有相同物品的用户-用户相似图结构/>，具体包括：
；
；
；
其中，表示拉普拉斯归一化前的、有相同物品的用户-用户相似性图结构；分别表示/>上关于用户的度矩阵、关于物品的度矩阵，即/>，，上标/>表示转置；/>是/>的归一化矩阵，表示用户与物品之间的相似性。
进一步地，步骤一中，计算得到用户-用户相似图结构时，通过和群体-用户交互关系的邻接矩阵/>，得到有相同群体的用户-用户相似图结构/>，具体包括：
；
；
；
其中，表示拉普拉斯归一化前的、有相同群体的用户-用户相似性图结构；分别表示/>上关于群体的度矩阵、关于用户的度矩阵，即，/>，上标/>表示转置；/>是/>的归一化矩阵，表示群体与用户之间的相似性。
进一步地，所述将理想低通滤波器的频率响应函数和线性低通滤波器的频率响应函数/>分别代入到不同图结构对应的图滤波器/>的表达式中，通过得到的图滤波器的理想表示/>和线性表示/>，得到物品-物品相似性滤波器/>和用户-用户相似性滤波器/>，具体包括：
将理想低通滤波器的频率响应函数和线性低通滤波器的频率响应函数分别代入到图滤波器/>的表达式中，得到图滤波器的理想表示/>和线性表示/>，并以超参数α控制/>和/>的比例，得到不同图结构的混合频率滤波器；混合频率滤波器包括/>对应的第一混合频率滤波器/>、/>对应的第二混合频率滤波器/>、/>对应的第三混合频率滤波器/>，以及/>对应的第四混合频率滤波器；其中：
第一混合频率滤波器为：/>；/>表示对应的图滤波器的理想表示，/>为/>对应的图滤波器的线性表示；
第二混合频率滤波器为：/>；/>表示对应的图滤波器的理想表示，/>为/>对应的图滤波器的线性表示；
第三混合频率滤波器为：/>；/>表示对应的图滤波器的理想表示，/>为/>对应的图滤波器的线性表示；
第四混合频率滤波器为：/>；/>表示对应的图滤波器的理想表示，/>为/>对应的图滤波器的线性表示；
通过、/>、/>、/>，得到物品-物品相似性滤波器/>和用户-用户相似性滤波器/>：
；
；
为控制比例的超参数。
与现有技术相比，本发明的有益技术效果是：
与现有的基于神经网络的群体推荐模型相比，本发明提出的基于图信号处理的群体推荐方法，包括统一异构图的构造、基于节点相似性的滤波器设计、基于图信号处理的多语义路径融合偏好预测三部分。统一的异构图中包含了群体推荐中的各类二分图结构，通过这种方式可以有效的缓解数据稀疏的问题，同时它使得本发明可以研究多跳路径进而构建各类相似性图。基于节点相似性的滤波器设计使得本发明对各类相似性进行平滑，从而过滤掉会影响推荐性能的噪声点。此外它同时考虑到组内用户和部分在组外但却对群体有影响的用户，从而可以更全面的计算群体用户亲和力。基于图信号处理的多语义路径融合偏好预测通过将用户-物品交互信号、群体-物品交互信号、群体-用户亲和力信号结合起来对用户及群体进行推荐，从而提高了推荐性能。整个方法都是基于无参数方法来处理的，与基于神经网络的方法相比，其不需要复杂的神经网络可学习参数，对每一个公式的内容都有显式的物理含义（即相似性、亲和力等），同时基于图信号处理的计算方式只需要高效的矩阵分解及运算，大幅度降低了模型运行时间，因而具有较好的实用性和再现性。
附图说明
图1为本发明中的群体推荐方法的流程图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的一种优选实施方式作详细的说明。
群体推荐任务通常被定义为：给定一系列群体交互数据、群体用户隶属关系作为输入数据，确定用户偏好及群体偏好。这些偏好可以用于为群体活动提供准确的推荐。
群体推荐方法的输入是群体推荐中常用的三种交互关系：用户-物品交互关系、群体-物品交互关系、群体-用户交互关系，随后构建多跳路径上的用户-用户相似性图结构、物品-物品相似性图结构，根据用户-用户相似性图结构还可以得到群体-用户亲和力图结构。随后将这些图结构数据通过图傅里叶变换映射到频谱域上，在频谱域上设计了两种低通滤波器来对交互关系的交互信号进行平滑，交互信号可以直接从交互关系数据中得到，最后基于语义的一致性来融合相似性信息，并最终输出预测结果。
具体来说，本发明提出的一种基于图信号处理的群体推荐方法，该方法包括以下几个关键步骤：(1)构造包含异构节点与信息的统一异构图；(2)基于节点相似性的滤波器设计；(3)基于图信号处理的多语义路径融合偏好预测。总体流程如图1所示。
(1)统一异构图的构造
在群体推荐中，常用的输入数据有群体-物品交互关系、用户-物品交互关系、群体-用户隶属关系等。群体-物品交互关系通常是非常稀疏的，直接使用群体-物品交互关系会导致推荐性能下降。在本发明中，通过将社交关系、用户-物品交互关系、群体-用户隶属关系等融合在一个统一异构图中，用这些关系来增强群体-物品的交互关系，以此来缓解数据稀疏的问题。在统一异构图中，可以观察到携带协同过滤信息的多跳路径，主要将多跳路径分为两类：
1)节点相似性路径。统一异构图中存在两种不同的相似性即物品-物品相似性、用户-用户相似性。具体来说两跳路径、/>（i为物品，u为用户，g为群体）反映了与同一个用户或同一个群体交互的物品相似性；/>、/>反映了与同一个物品或同一个群体交互的用户相似性。需要注意的是，路径越长，所带来的噪声越大，本发明中仅考虑两跳以内的路径。
2)群体用户亲和力路径。统一异构图中还存在另外一种两跳路径，该路径反映了群体/>的偏好会受到用户/>的影响，从而对物品i产生兴趣。在群体用户亲和力路径下，与群体有较大亲和力的用户会对该群体的偏好产生更大的影响。
假设在本发明的输入数据中有个用户、/>个物品、/>个群体，分别作为用户节点、物品节点、群体节点，构成统一异构图，/>、/>、/>分别代表用户-物品交互关系、群体-物品交互关系、群体-用户交互关系上的邻接矩阵。根据以上五种路径/>、/>、/>、/>、/>，通过矩阵乘法的形式得到四种图结构，并对图结构进行拉普拉斯归一化操作，图结构的形式为矩阵。以两跳路径/>为例，计算公式如下：
；
；
；
其中，表示拉普拉斯归一化前的、有相同用户的物品-物品相似性图结构，分别表示用户-物品交互关系中邻接矩阵/>上关于用户的度矩阵、关于物品的度矩阵，即/>，/>，/>表示对角矩阵。/>是关于的归一化矩阵，表示用户与物品之间的相似性，/>表示有相同用户的物品-物品相似性图结构。从随机行走的角度来看，边的权重决于边连接的节点的度。用户交互的物品越多，单个物品描述用户的能力就越低，用户与物品之间的相似性就越低。因而本发明考虑这种结合用户、物品的度的归一化方式。
(2)基于节点相似性的滤波器设计
在前面已经构建了四种拉普拉斯归一化的图结构，由于是一个实对称矩阵，可以通过/>对其进行分解，/>、/>、/>同样如此。但需要特别注意的是，/>并不是一个同构图，因而不对其进行分解。
随后本发明从频域角度来定义相应交互关系的输出信号，其主要由以下三个步骤组成：(1)提出取不同图结构中的交互信号，通过图傅里叶变换，即/>，将交互信号变换到频域空间；(2)通过频率响应函数/>对各个频率向量进行平滑，得到频率空间的信号/>；(3)通过图逆傅里叶变换，即/>，将信号/>转换为输出信号/>：
；
其中，为不同图结构的特征向量矩阵，/>是输入信号，表示各交互关系上的交互信号。记图滤波器/>，/>是图滤波器/>的频率响应矩阵，函数/>为频率响应函数，/>代表不同频率（频率数量为n）。由于不同的频率响应函数对应着不同的滤波效果，因此通过设计不同的滤波器来改变频率响应函数。
a)基于混合频率滤波器的信号平滑
在本发明中组合了理想低通滤波器和线性低通滤波器来平滑信号。理想低通滤波器是指低于一定频率的信号全部截断，在信号处理中它平滑了全局信号，理想低通滤波器对应的频率响应函数定义为：
；
代表预先设定的频率阈值。
线性低通滤波器是为了衰减较高频率中的内容，同时保留较低频率中的属性，在信号处理中它平滑了局部信号，线性低通滤波器的频率响应函数定义为：
；
将上述两个频率响应函数分别代入到图滤波器公式中，得到两种图滤波器的表示/>和/>，之后以一个超参数α来控制全局平滑信号和局部平滑信号的比例，最后两跳路径/>对应的第一混合频率滤波器/>被定义为：
同理，可以得到表示节点相似性的其他三种路径上的混合频率滤波器，即：
第二混合频率滤波器；
第三混合频率滤波器；
第四混合频率滤波器。
关于群体用户亲和力路径中的路径，一方面其本身包含在两跳路径中，另一方可以通过利用群体-用户交互关系与用户-用户相似性图结构计算得到，因而不需要专门对群体用户亲和力路径中/>对应的图结构设计滤波器。
b)基于语义一致性的滤波器组合
根据上述所构造的节点相似性路径上的混合频率滤波器，本发明组合了语义表达一致的混合频率滤波器，即表示物品-物品相似性的、/>，用户-用户相似性的/>、，得到最终的物品-物品相似性的滤波器/>、用户-用户相似性的滤波器/>。公式如下：
；
；
为控制比例的超参数。
(3)基于图信号处理的多语义路径融合偏好预测
将得到的两种滤波器、/>和邻接矩阵/>、/>、/>作为输入信号，代入到频域角度的变换公式中，从而得到群体对物品的偏好预测/>、用户对物品的偏好预测/>，以及群体对用户的亲和力预测/>，公式如下：
；
；
；
其中，是通过用户相似性计算得到的。与同一个物品交互的用户相似性路径中，显然包含了一些不在群体内但却对该群体有影响的用户，因此这种方式不仅考虑到了在群体内部用户的影响，还考虑到了群体外对群体内用户有一定影响的用户。随后融合/>、/>、/>得到最终的群体偏好/>：
；
其中，为用来控制/>和/>的评分权重，/>是指基于群体-用户亲和力、利用用户的个人偏好来补充群体表征得到的最终偏好。
对于本领域技术人员而言，显然本发明不限于上述示范性实施例的细节，而且在不背离本发明的精神或基本特征的情况下，能够以其他的具体形式实现本发明。因此无论从哪一点来看，均应将实施例看作是示范性的，而且是非限制性的，本发明的范围由所附权利要求而不是上述说明限定，因此旨在将落在权利要求的等同要件的含义和范围内的所有变化囊括在本发明内，不应将权利要求中的任何附图标记视为限制所涉及的权利要求。
此外，应当理解，虽然本说明书按照实施方式加以描述，但并非每个实施方式仅包含一个独立技术方案，说明书的这种叙述方式仅仅是为了清楚起见，本领域技术人员应当将说明书作为一个整体，各实施例中的技术方案也可以经适当组合，形成本领域技术人员可以理解的其他实施方式。
Claims (7)
1.一种基于图信号处理的群体推荐方法，群体推荐方法的输入为用户-物品交互关系、群体-用户隶属关系和群体-物品交互关系，输出为群体偏好；具体包括以下步骤：
步骤一、构造统一异构图：
将社交关系、用户-物品交互关系、群体-用户隶属关系融合在一个统一异构图中，用以增强群体-物品交互关系；统一异构图具有携带协同过滤信息的多跳路径，包括节点相似性路径和群体用户亲和力路径；根据节点相似性路径、群体用户亲和力路径，以及用户-物品交互关系的邻接矩阵、群体-物品交互关系的邻接矩阵/>、群体-用户交互关系的邻接矩阵/>，通过矩阵乘法并进行拉普拉斯归一化操作，计算得到用户-用户相似图结构和物品-物品相似图结构；通过群体-用户隶属关系和用户-用户相似图结构得到群体-用户亲和力图结构；用户-用户相似图结构、物品-物品相似图结构和群体-用户亲和力图结构统一称为图结构；
步骤二、基于节点相似性的滤波器设计：
提出取不同图结构中的交互信号，通过图傅里叶变换将交互信号变换到频域空间，将得到的各个频率向量通过频率响应函数进行平滑，得到频率空间的信号/>；最后通过图逆傅里叶变换将信号/>转换为输出信号/>：
；
其中，为不同图结构的特征向量矩阵；/>是输入信号，表示用户-物品交互关系、群体-用户隶属关系或群体-物品交互关系中的交互信号，记图滤波器，/>是图滤波器/>的频率响应矩阵，/>为频率响应函数，/>代表n种不同的频率，表示对角矩阵；
将理想低通滤波器的频率响应函数和线性低通滤波器的频率响应函数分别代入到不同图结构对应的图滤波器/>的表达式中，通过得到的图滤波器的理想表示/>和线性表示/>，得到物品-物品相似性滤波器/>和用户-用户相似性滤波器/>；
步骤三，基于图信号处理的多语义路径融合偏好预测：
将得到的物品-物品相似性滤波器、用户-用户相似性滤波器/>，以及表示交互关系的邻接矩阵/>、/>、/>代入到频域角度的变换公式中，从而得到群体对物品的偏好预测/>、用户对物品的偏好预测/>和群体对用户的亲和力预测/>，变换公式如下：
；/>；/>；
随后融合、/>、/>，得到最终的群体偏好/>：/>；其中，/>表示融合权重。
2.根据权利要求1所述的基于图信号处理的群体推荐方法，其特征在于：所述节点相似性路径，包括与同一个用户交互的物品相似性路径、与同一群体交互的物品相似性路径/>、与同一个物品交互的用户相似性路径/>，以及与同一群体交互的用户相似性路径/>；群体用户亲和力路径记为/>；其中/>表示物品，/>表示用户，/>表示群体；
所述物品-物品相似图结构包括有相同用户的物品-物品相似性图结构、有相同群体的物品-物品相似性图结构/>；所述用户-用户相似图结构包括有相同物品的用户-用户相似图结构/>、有相同群体的用户-用户相似图结构/>。
3.根据权利要求2所述的基于图信号处理的群体推荐方法，其特征在于：步骤一中，计算得到物品-物品相似图结构时，通过和用户-物品交互关系的邻接矩阵/>得到有相同用户的物品-物品相似性图结构/>，具体包括：
；
；
；
其中，表示拉普拉斯归一化前的、有相同用户的物品-物品相似性图结构；/>分别表示/>上关于用户的度矩阵、关于物品的度矩阵，即/>，，上标/>表示转置；/>是/>的归一化矩阵，表示用户与物品之间的相似性。
4.根据权利要求2所述的基于图信号处理的群体推荐方法，其特征在于：步骤一中，计算得到物品-物品相似图结构时，通过和群体-物品交互关系的邻接矩阵/>，得到有相同群体的物品-物品相似性图结构/>，具体包括：
；
；
；
其中，表示拉普拉斯归一化前的、有相同群体的物品-物品相似性图结构；/>分别表示/>上关于群体的度矩阵、关于物品的度矩阵，即/>，，上标/>表示转置；/>是/>的归一化矩阵，表示群体与物品之间的相似性。
5.根据权利要求2所述的基于图信号处理的群体推荐方法，其特征在于：步骤一中，计算得到用户-用户相似图结构时，通过和用户-物品交互关系的邻接矩阵/>，得到有相同物品的用户-用户相似图结构/>，具体包括：
；
；
；
其中，表示拉普拉斯归一化前的、有相同物品的用户-用户相似性图结构；/>分别表示/>上关于用户的度矩阵、关于物品的度矩阵，即/>，，上标/>表示转置；/>是/>的归一化矩阵，表示用户与物品之间的相似性。
6.根据权利要求2所述的基于图信号处理的群体推荐方法，其特征在于：步骤一中，计算得到用户-用户相似图结构时，通过和群体-用户交互关系的邻接矩阵/>，得到有相同群体的用户-用户相似图结构/>，具体包括：
；
；
；
其中，表示拉普拉斯归一化前的、有相同群体的用户-用户相似性图结构；分别表示/>上关于群体的度矩阵、关于用户的度矩阵，即，/>，上标/>表示转置；/>是/>的归一化矩阵，表示群体与用户之间的相似性。
7.根据权利要求2所述的基于图信号处理的群体推荐方法，其特征在于：所述将理想低通滤波器的频率响应函数和线性低通滤波器的频率响应函数/>分别代入到不同图结构对应的图滤波器/>的表达式中，通过得到的图滤波器的理想表示/>和线性表示/>，得到物品-物品相似性滤波器/>和用户-用户相似性滤波器/>，具体包括：
将理想低通滤波器的频率响应函数和线性低通滤波器的频率响应函数分别代入到图滤波器/>的表达式中，得到图滤波器的理想表示/>和线性表示/>，并以超参数α控制/>和/>的比例，得到不同图结构的混合频率滤波器；混合频率滤波器包括/>对应的第一混合频率滤波器/>、/>对应的第二混合频率滤波器/>、/>对应的第三混合频率滤波器/>，以及/>对应的第四混合频率滤波器；其中：
第一混合频率滤波器为：/>；/>表示/>对应的图滤波器的理想表示，/>为/>对应的图滤波器的线性表示；
第二混合频率滤波器为：/>；/>表示/>对应的图滤波器的理想表示，/>为/>对应的图滤波器的线性表示；
第三混合频率滤波器为：/>；/>表示/>对应的图滤波器的理想表示，/>为/>对应的图滤波器的线性表示；
第四混合频率滤波器为：/>；/>表示/>对应的图滤波器的理想表示，/>为/>对应的图滤波器的线性表示；
通过、/>、/>、/>，得到物品-物品相似性滤波器/>和用户-用户相似性滤波器/>：
；
；
为控制比例的超参数。
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