CN116907776A - 一种高速电主轴整机振动特性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种高速电主轴整机振动特性分析方法，包括如下步骤：步骤S1、对高速角接触球轴承进行了准静态分析，分析高速角接触球轴承在轴向力、径向力和扭矩共同作用下的平衡条件；步骤S2、加入离心力和陀螺力矩来模拟高速旋转下的滚动体受力；步骤S3、基于高速角接触球轴承的滚动体受力，采用集中质量法对高速电主轴的动力学进行建模，以此计算出高速电主轴的固有频率、临界转速和主振型。本发明可以使得高速电主轴整机振动特性使得计算过程更加简单、耗时更短且有效，计算结果接近真实。

Description

一种高速电主轴整机振动特性分析方法

技术领域

本发明涉及高速电主轴技术领域，特别涉及一种高速电主轴整机振动特性分析方法。

背景技术

电主轴工作转速很高，通常在20000rpm左右的转速下运作，其中轴承单元和主轴单元是影响电主轴稳定性的因素之一。轴承为电主轴的支承部分，高速电主轴的转轴通过轴承与外壳部分相连，主轴部分的振动会通过轴承传递到外壳上，而轴承刚度也会对转轴部分在高速旋转时的精度和稳定性有直接影响，电主轴的支承轴承性能会极大影响电主轴整体的振动特性，故还需要对轴承单元进行建模研究。

由于角接触球轴承可以承受径向和轴向载荷，因此大部分电主轴选择角接触球轴承做为支承元件。轴承刚度是衡量其性能的重要指标。在电主轴高速旋转的过程中，轴承刚度并非固定不变的。如随着电主轴转速的升高，轴承内圈会产生很大的膨胀，从而导致其刚度发生变化；又如电主轴高速旋转的过程中产生热量而导致轴承刚度小幅度增加；同时离心力、过盈量、轴承预紧力等变化都会对轴承刚度造成影响。

近年来，学者们不断从系统不平衡、临界转速、振幅-频率特性等方面研究电主轴的动力学问题。电主轴结构复杂，轴段连续，自由度无限大，即有无限多的自然频率和振动模式。转子动力学模型是描述电主轴动态特性的最常用的理论模型。轴承-转子模型是目前电主轴最为常用的等效模型，但大多数模型都没有考虑到在轴承高速运转时滚动体会受到离心力和陀螺力矩的影响。

因此，在构建高速电主轴的过程中，必须尽可能多地考虑这些因素，使得分析计算结果更接近实际值。

发明内容

本发明的目的在于，提供一种高速电主轴整机振动特性分析方法。本发明可以使得高速电主轴整机振动特性使得计算过程更加简单、耗时更短且有效，计算结果接近真实。

本发明的技术方案：一种高速电主轴整机振动特性分析方法，包括如下步骤：

步骤S1、对高速角接触球轴承进行了准静态分析，分析高速角接触球轴承在轴向力、径向力和扭矩共同作用下的平衡条件；

步骤S2、加入离心力和陀螺力矩来模拟高速旋转下的滚动体受力；

步骤S3、基于高速角接触球轴承的滚动体受力，采用集中质量法对高速电主轴的动力学进行建模，以此计算出高速电主轴的固有频率、临界转速和主振型。

上述的高速电主轴整机振动特性分析方法，所述步骤1的具体步骤是根据高速角接触球轴承的结构，计算轴承节圆直径：

式中：D_m为节圆直径；D_i为内径；D_o为外径；

由于轴承存在一定的径向间隙P_d和轴向间隙P_e，表示为：

P_d＝D_i-D_o-2D_b；

当轴向游隙消除后且在不受任何外力时，轴承滚动体和轴承沟道的接触角为初始接触角α₀，其计算公式为：

此时轴承内圈和外圈沟道的曲率中心和滚动体的中心在同一条直线上，其距离表示为：

式中，O_o、O_i分别表示内、外圈沟道的曲率中心，D_b表示滚动体的直径，r_o、r_i分别表示内、外圈沟道的曲率半径，分别表示内、外圈沟道与滚动体直径的比值；

对于角接触球轴承的滚动体，内圈和外圈的接触点近似为一个椭圆面，根据赫兹接触理论，有效接触半径表示如下：

式中：R为曲率半径；R_x为x方向的有效接触半径；R_y为y方向的有效接触半径；R_I1为接触体1在平面I上的有效接触半径；R_I2为接触体2在平面I上的有效接触半径；R_II1为接触体1在平面II上的有效接触半径；R_II2为接触体2在平面II上的有效接触半径；

设曲率对凸面为正，对凹面为负，由推导出：

其中R_ix和R_iy分别代表内环在X和Y方向的有效接触半径；R_ox和R_oy分别代表外环在X和Y方向的有效接触半径；ρ为曲率；ρ_iI1为接触体1在平面I上相对于内圈的曲率；ρ_iII1为接触体1在平面II上相对于内圈的曲率；ρ_iI2为接触体2在平面I上相对于内圈的曲率；ρ_iII2为接触体2在平面II上相对于内圈的曲率；ρ_oI1为接触体1在平面I上相对于外圈的曲率；ρ_oII1为接触体1在平面II上相对于外圈的曲率；ρ_oI2为接触体2在平面I上相对于外圈的曲率；ρ_oII2为接触体2在平面II上相对于外圈的曲率；

由于外滚道接触的两个横截面是凹形的，其曲率和以及曲率差表示为：

式中：γ为无量纲；α′为实际接触角；

而内滚道接触的横截面与外滚道相反，则其曲率和以及曲率差表示为：

当高速角接触球轴承承受单一的轴向预紧力时，轴承中的每个滚动体都承受相同的载荷，从而产生相同的变形，预紧力F_r和实际接触角α′之间的关系表示为：

式中，Q为外部载荷；Z为滚动体数量；δ_n为法线接触变形，即和/>之间的差值，/>和/>分别是内圈和外圈在受到轴向力之前和之后的曲率中心的距离；δ为接触变形；K_n为刚度系数：

其中，G_i为外圈柔度系数；G_o为内圈柔度系数；G₁为柔度系数；

当电主轴进入工作状态时，高速角接触球轴承受到离心力的影响，滚动体与外圈的接触点会向上移动；内圈沟槽的曲率中心在载荷作用下发生小的位移；此时轴承内外圈沟槽的曲率中心和滚动体中心不再在同一条直线上；

设外圈固定，所有的滚动体都对称地分布在节圆上，在径向载荷、轴向载荷和力矩载荷的共同作用下，轴承的内圈将发生轴向相对位移、径向相对位移和旋转相对角位移，内圈沟道曲率中心轨迹的半径为：

滚动体在任一位置ψ处时，沟道曲率中心的间距s表示为：

式中：δ_a为相对轴向位移；δ_r为相对径向位移；

则工作接触角度α表示为：

根据载荷-位移关系公式，并结合静力平衡条件下受力分析，得到平衡条件：

根据实际受力情况输入参数联立非线性方程组，并通过Newton-Raphson方法进行迭代求解得到参数δ_a、δ_r和Φ。

前述的高速电主轴整机振动特性分析方法，所述步骤2的具体步骤如下：

根据准静态下的高速角接触球轴承的轴承内部滚动情况，以O为轴承的旋转中心,XOY为轴承的旋转平面，Z为轴向方向，Δψ为两个滚动元件之间的角度差，ψ_j为第j个球的方位角：

根据轴承受力前后的变化，内、外圈滚道曲率中心到滚动体中心的距离l_ij、l_oj需要加入内、外载荷接触形变量δ_ij、δ_oj：

l_oj＝(f₀-0.5)D_b+δ_oj；l_ij＝(f_i-0.5)D_b+δ_ij；

再以A_1j、A_2j分别表示轴承在受力后滚动体处内、外圈沟道曲率中心轨迹之间的轴向距离和径向距离，表示为：

轴承内圈受到离心力的作用而略微膨胀，膨胀而产生的微小位移用u_r来表示：

式中，Ω为电主轴转动的角速度；E为轴承材料的弹性模量；v为轴承材料的泊松比；

滚动体和内圈以及外圈的接触角表示：

式中：X_1j、X_2j分别表示轴承在受力后和轴承外圈沟道曲率中心轨迹在轴向和径向距离；

根据勾股定理得到：

则载荷平衡方程写为：

其中，Q_ij为内滚道法向接触力，Q_oj为外滚道法向接触力；λ_ij为内滚道力矩分配系数；λ_oj为外滚道力矩分配系数；F_cj为离心力，M_gj为陀螺力矩；

陀螺力矩和离心力表示为：

其中，m_b为滚动体质量；ω_i为内圈轴向自转角速度；ω为电主轴自转角速度；J为滚动体的惯性矩；Ω_b为滚动体公转角速度；r为无量纲，可以表示为Db/Dm；ω_b为滚动体自转角速度；ξ代表滚动元件的速度矢量节点圆角，γ'为无量纲，表示为：

根据以上公式，则未知数X_1j、X_2j、δ_ij和δ_oj用Newton-Raphson方法求解，在得到上述四个参数后，以此推断出内、外圈沟道曲率中心轨迹随着滚动体方位角的变化而变化；

同时高速角接触球轴承的整体刚度表示为:

其中K_r,K_a,K_θ分别代表轴承的轴向刚度、径向刚度和角刚度；K_ij为第j个滚动体相对于内圈的刚度；K_oj为第j个滚动体相对于外圈的刚度；α_ij为第j个滚动体相对于内圈的接触角；α_oj为第j个滚动体相对于外圈的接触角。

前述的高速电主轴整机振动特性分析方法，所述步骤3的具体步骤如下：

步骤3.1、整体传递矩阵构建：采用矩阵传递法对电主轴进行分析，将整个高速电主轴分为两段，I段为转子部分，II段为外壳部分，整体用Z_i来表示，电主轴系统分为N个节点，N-1个轴段，定义系统的第i个节点状态矢量为：

其中：Q为剪力，M为弯矩，θ为转角，y为挠度，右上角I和II分别代表转子节点和外壳节点的传递节点矢量；

对于高速电主轴的集中质量单元，高速电主轴共有N个集中质量点，对第i个质量点做受力分析得质量点的受力方程：

其中，m为单元质量，J_p和J_d分别表示单元的极转动惯量和径向转动惯量，ω为单元进动频率，Ω为单元转动频率，在元件被等效成质量点时，认为Ω＝ω；K_r为轴承轴向刚度；K_θ为角刚度；y_i为第i个节点的挠度变化；M_i为第i个节点的弯矩变化；θ_i为第i个节点的转角变化；

第i个集中质量点左右两边的状态向量关系表示为：

{Z}_i+1＝[U]_i{Z}_i；式中：[U]为集中质量点的传递矩阵；

此时转子和外壳仍为独立状态，角接触球轴承为两者耦合处建立协调条件，在非耦合处仍保持相互独立，用[U^I]，[U^II]来分别表示转子部分和外壳部分的集中质量点的节点状态：

当质量点没有支承元件时，K_r＝K_θ＝0；

对于高速电主轴的无质量弹性梁，转轴离散成N-1段轴段，每两个质量点之间由一根轴段来连接；在剪力和弯矩的影响下，轴段受力后的变形，根据力的平衡条件和变形条件写出受力方程：

式中：字母下标i、i+1分别为轴段左侧和右侧；E为材料的弹性模量，Δl_i为第i个轴段的长度；I为该段梁的截面惯性矩，EI为弹性梁单元界面的抗弯刚度；其中k_t为截面系数，A_r为截面积，G为剪切弹性模量；

利用来简化方程，用[B]来表示弹性梁的传递矩阵

若不考虑弹性梁受剪切效应的影响，则υ＝0；

对于高速电主轴的刚性圆盘，圆盘在运动时，圆盘中心A在圆盘平面上绕O’点作圆周运动，此时主轴本身就在以Ω的角速度转动，同时主轴又在以ω的角速度围绕O_Z轴转动，根据受力分析得受力方程为

式中：J_p为极转动惯量，J_d为直径转动惯量，/>Ω表示电主轴转动的角速度，ω表示电主轴自转角速度；K_sj为圆盘收到的支承反力，K_r和K_θ分别为支承的径向刚度和角刚度，

用[D]来表示刚性圆盘的传递矩阵：

至此可建立子传递矩阵，将集中质量单元和弹性梁视为一个组合单元子矩阵，用[P]来表示，[P]_i＝[B]_i[U]_i；

其中，分别表示转轴集中质量和外壳集中质量与弹性轴组合而成的子传递矩阵，外壳部分没有转子，因此[Q]_i只在I段出现。用[Q]来代表圆盘和轴段的组合单元子矩阵[Q]_i＝[B]_i[D]_i；

用[T^P]和[T^Q]分别来表示集中质量单元、刚性圆盘和弹性梁节点的子矩阵：

由于外壳节点和外界仍需连接，K_c、K_ch分别代表电主轴外壳与外部固定连接处的径向刚度和角刚度，则整体传递矩阵需和耦合矩阵[C]相乘：

则在转子部分和外壳连接处存在以下传递关系

步骤3.2、高速电主轴的固有频率、临界转速及主振型；

对高速电主轴构建传递矩阵：

其中A_N-1＝T_N-1T_N-2…T₂T₁为第一个节点到第N个节点单元的连乘矩阵，大小仍为8×8矩阵；

将电主轴两端均视为自由端，则在起始截面有Q^I＝0，M^I＝0，Q^II＝0，M^II＝0，即Z₁＝Z_N＝(0 0 θ^I y^I 0 0 θ^II y^II)；将系统状态矢量分为和/>来分别表示，原式变为：

联立两式写为齐次线性方程组：

式中：a_ij为电主轴所有子传递矩阵连乘后得到的整体矩阵A_N-1中第i行第j列的元素；

当Δ(ω²)＝0，齐次方程组存在非零解：

对上式进行求解便得到电主轴的临界转速ω和与之对应的固有频率把ω代回到便得到整体系统边界点的状态矢量Z₁，逐级传递便求出系统各个节点的状态矢量；最后提取各个节点矢量中的y值，并归一化至(-1,1)范围内即求出固有频率f所对应的主振型。

与现有技术相比，本发明利用集中参数方法简化了高速电主轴的结构，综合考虑了外壳质量、轴承受力，主要针对高速电主轴的整体结构的模态、临界转速和主阵型，旨在优化设计、改善性能和可靠性，减少振动引起的问题和故障，可以解决以下技术问题：

1.设备寿命与可靠性：通过求解临界转速，可以确定电主轴系统的工作范围，确保在正常工作转速范围内使用。这有助于避免共振现象和自激振动，减少由振动引起的设备疲劳、零件损坏和寿命缩短。

2.加工质量与精度：高速电主轴在加工过程中的振动会直接影响加工质量和精度。通过求解主振型，可以了解主要振动模态的振动形态和相对重要性，有助于优化设计、改善结构刚度和减少振动，提高加工质量和精度。

3.声噪问题：高速电主轴振动产生的噪声会对工作环境和操作人员的健康产生负面影响。通过求解主振型，可以确定主要振动模态和其频率，从而针对关键的振动源进行噪声控制和减振措施，降低噪声水平。

4.设备稳定性与安全性：临界转速的求解有助于确定电主轴系统的稳定工作范围，避免超过临界转速导致的设备失稳和安全隐患。通过优化设计和控制振动，可以提高电主轴系统的稳定性和安全性能。

5.性能优化与设计改进：通过求解临界转速和主振型，可以评估不同设计方案的振动特性和工作性能，从而优化电主轴的结构和参数，提高其性能、效率和可靠性。

本发明相比于有限元方法拥有以下优点：

1.简化建模：不需要进行复杂的网格划分和离散化处理，只需要对系统的基本元件进行建模，因此较为简单，在后续的求解计算中更加高效。

2.快速计算：传递矩阵法通过对系统进行离散，将其转化为代数方程组，可以直接计算系统的特征值和特征向量。相比有限元软件的迭代求解方法，传递矩阵法可以更快地得到结果。

3.参数化分析：传递矩阵法中的参数可以进行灵活调整，例如材料参数、结构尺寸等，可以方便地进行参数化分析，对系统的不同设计方案或工况进行评估和优化。

附图说明

图1为角接触球轴承几何参数示意图；

图2是角接触球轴承受力模型示意图；

图3是接触体的几何关系示意图；

图4是几何结构下的载荷位移；

图5是轴承与轴向载荷的接触角；

图6是实际接触角随轴向预紧力的变化图；

图7是轴向刚度随轴向预紧力的变化图；

图8是变形量随轴向预紧力的变化图；

图9是联合作用下的内圈变形图；

图10是轴承的滚动体分布和坐标系；

图11是第j个球的移位球心和凹槽曲率中心的位置；

图12是滚动体受力示意图；

图13是内外圈沟道的曲率中心轨迹变化示意图；

图14是内、外圈的接触角的变化示意图；

图15是内、外圈的负载接触形变化示意图；

图16是滚动元件和内、外圈之间的轴向刚度示意图；

图17是滚动元件和内、外圈之间的径向刚度示意图；

图18是电主轴二维剖面图；

图19是电主轴系统集中质量示意图；

图20是主轴质量点受力图；

图21是外壳质量点受力图；

图22是主轴和外壳耦合示意图；

图23是主轴受力示意图；

图24是刚性圆盘受力示意图；

图25是高速电主轴一阶主振型；

图26是高速电主轴二阶主振型；

图27是高速电主轴三阶主振型；

图28是高速电主轴四阶主振型。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步的说明，但并不作为对本发明限制的依据。

实施例：一种高速电主轴整机振动特性分析方法，包括如下步骤：

步骤S1、对高速角接触球轴承进行了准静态分析，分析高速角接触球轴承在轴向力、径向力和扭矩共同作用下的平衡条件；具体的，如图1所示，图1为角接触球轴承的简单结构二维图，由滚动体、内外圈和保持架四个零件构成：根据图1的高速角接触球轴承的结构，计算轴承节圆直径：

式中：D_m为节圆直径；D_i为内径；D_o为外径；

对角接触球轴承进行更加细致的标注，其受力模型和几何尺寸如图2所示，由于轴承存在一定的径向间隙P_d和轴向间隙P_e，表示为：

P_d＝D_i-D_o-2D_b；

当轴向游隙消除后且在不受任何外力时，轴承滚动体和轴承沟道的接触角为初始接触角α₀，其计算公式为：

此时轴承内圈和外圈沟道的曲率中心和滚动体的中心在同一条直线上，其距离表示为：

式中，O_o、O_i分别表示内、外圈沟道的曲率中心，D_b表示滚动体的直径，r_o、ri分别表示内、外圈沟道的曲率半径，分别表示内、外圈沟道与滚动体直径的比值；

如图3所示，对于角接触球轴承的滚动体，内圈和外圈的接触点近似为一个椭圆面，根据赫兹接触理论，有效接触半径表示如下：

式中：R为曲率半径；R_x为x方向的有效接触半径；R_y为y方向的有效接触半径；R_I1为接触体1在平面I上的有效接触半径；R_I2为接触体2在平面I上的有效接触半径；R_II1为接触体1在平面II上的有效接触半径；R_II2为接触体2在平面II上的有效接触半径；

设曲率对凸面为正，对凹面为负，由推导出：/>

其中R_ix和R_iy分别代表内环在X和Y方向的有效接触半径；R_ox和R_oy分别代表外环在X和Y方向的有效接触半径；ρ为曲率；ρ_iI1为接触体1在平面I上相对于内圈的曲率；ρ_iII1为接触体1在平面II上相对于内圈的曲率；ρ_iI2为接触体2在平面I上相对于内圈的曲率；ρ_iII2为接触体2在平面II上相对于内圈的曲率；ρ_oI1为接触体1在平面I上相对于外圈的曲率；ρ_oII1为接触体1在平面II上相对于外圈的曲率；ρ_oI2为接触体2在平面I上相对于外圈的曲率；ρ_oII2为接触体2在平面II上相对于外圈的曲率；

由于外滚道接触的两个横截面是凹形的，其曲率和以及曲率差表示为：

式中：γ为无量纲；α′为实际接触角；

而内滚道接触的横截面与外滚道相反，则其曲率和以及曲率差表示为：

当高速角接触球轴承承受单一的轴向预紧力时，轴承中的每个滚动体都承受相同的载荷，从而产生相同的变形，图4为几何结构下的载荷位移；图5为轴承与轴向载荷的接触角，则预紧力F_r和实际接触角α′之间的关系表示为：

式中，Q为外部载荷；Z为滚动体数量；δ_n为法线接触变形，即和/>之间的差值，/>和/>分别是内圈和外圈在受到轴向力之前和之后的曲率中心的距离；δ为接触变形；K_n为刚度系数：

其中，G_i为外圈柔度系数；G_o为内圈柔度系数；G为柔度系数；

根据上述方程可以得出实际接触角、轴向刚度、轴向位移和轴向预紧力之间的关系。如图6-图8所示(可以看出实际接触角、轴向刚度、轴向位移会随预紧力增大而线性增长)，图6为实际接触角随轴向预紧力的变化图；图7为轴向刚度随轴向预紧力的变化图；图8为变形量随轴向预紧力的变化图。

当电主轴进入工作状态时，高速角接触球轴承受到离心力的影响，滚动体与外圈的接触点会向上移动；内圈沟槽的曲率中心在载荷作用下发生小的位移；此时轴承内外圈沟槽的曲率中心和滚动体中心不再在同一条直线上；假设外圈是固定的，所有的滚动体都对称地分布在节圆上，在径向载荷、轴向载荷和力矩载荷的共同作用下，轴承的内圈将发生轴向相对位移、径向相对位移和旋转相对角位移，如图9所述，则内圈沟道曲率中心轨迹的半径为：

滚动体在任一位置ψ处时，沟道曲率中心的间距s表示为：

式中：δ_a为相对轴向位移；δ_r为相对径向位移；

则工作接触角度α表示为：

根据载荷-位移关系公式，并结合静力平衡条件下受力分析，得到平衡条件：

根据实际受力情况输入参数联立非线性方程组，并通过Newton-Raphson方法进行迭代求解得到参数δ_a、δ_r和Φ。

步骤S2、加入离心力和陀螺力矩来模拟高速旋转下的滚动体受力；具体的，根据准静态下的高速角接触球轴承的轴承内部滚动情况，如图10所示，以O为轴承的旋转中心,XOY为轴承的旋转平面，Z为轴向方向，Δψ为两个滚动元件之间的角度差，ψ_j为第j个球的方位角：

如图11所示，根据轴承受力前后的变化，可以建立滚动体和轴承内、外圈的变形受力图，由于外圈固定一般固定在固定件上，因此一般认为外圈沟道曲率中心是固定的，内、外圈滚道曲率中心到滚动体中心的距离l_ij、l_oj需要加入内、外载荷接触形变量δ_ij、δ_oj：

l_oj＝(f₀-0.5)D_b+δ_oj；l_ij＝(f_i-0.5)D_b+δ_ij；

再以A_1j、A_2j分别表示轴承在受力后滚动体处内、外圈沟道曲率中心轨迹之间的轴向距离和径向距离，表示为：

轴承内圈受到离心力的作用而略微膨胀，膨胀而产生的微小位移用u_r来表示：

式中，Ω为电主轴转动的角速度；E为轴承材料的弹性模量；v为轴承材料的泊松比；

根据图11的几何关系，滚动体和内圈以及外圈的接触角表示：

式中：X_1j、X_2j分别表示轴承在受力后和轴承外圈沟道曲率中心轨迹在轴向和径向距离；

根据勾股定理得到：

从图12的滚动体受力分析中可以得到载荷平衡方程写为：

其中，Q_ij为内滚道法向接触力，Q_oj为外滚道法向接触力；λ_ij为内滚道力矩分配系数；λ_oj为外滚道力矩分配系数；F_cj为离心力，M_gj为陀螺力矩；

陀螺力矩和离心力表示为：

其中，m_b为滚动体质量；ω_i为内圈轴向自转角速度；ω为电主轴自转角速度；J为滚动体的惯性矩；Ω_b为滚动体公转角速度；r为无量纲，可以表示为Db/Dm；ω_b为滚动体自转角速度；ξ代表滚动元件的速度矢量节点圆角，γ'为无量纲，表示为：

根据以上公式，则未知数X_1j、X_2j、δ_ij和δ_oj用Newton-Raphson方法求解，在得到上述四个参数后，以此推断出内、外圈沟道曲率中心轨迹随着滚动体方位角的变化而变化，如图13所示。进一步地推导出每个滚动体与内外圈之间的接触角和载荷接触形状变量，图14为内、外圈的接触角的变化；图15为内、外圈的负载接触形变化。

角接触球轴承作为支撑元件，其刚度将对整个高速电主轴产生很大影响。图16显示了不同方位角下滚动元件和内、外圈之间的轴向刚度，图17显示了不同方位角下滚动元件和内、外圈之间的径向刚度。

高速角接触球轴承的整体刚度表示为:

其中K_r,K_a,K_θ分别代表轴承的轴向刚度、径向刚度和轴向刚度；K_ij为第j个滚动体相对于内圈的刚度；K_oj为第j个滚动体相对于外圈的刚度；α_ij为第j个滚动体相对于内圈的接触角；α_oj为第j个滚动体相对于外圈的接触角。

下表1为本实施例的轴承刚度的计算结果：

表1

步骤S3、基于高速角接触球轴承的滚动体受力，采用集中质量法对高速电主轴的动力学进行建模，以此计算出高速电主轴的固有频率、临界转速和主振型；

本步骤中，采用矩阵传递法对电主轴进行分析需要对其进行结构简化，将整机视为转轴-轴承-转子-外壳系统，需要构建假设：

1、有较大质量、较大转动惯量的零部件等效为刚体，主轴按轴径的变化分为若干段，每段主轴的质量和转动惯量平均分配到两侧作为集中质量点，两个质量点之间用一根不考虑质量的弹性梁来联结。

2、由于电主轴使用的轴承为角接触球轴承，因此将其轴承简化为支承弹簧。如此电主轴就简化为一系列集中质量、弹性梁、弹簧、刚性圆盘组成的系统。

3、转子与外壳的对应节点对其处需要进行耦合，将转轴、转子节点矢量和外壳节点矢量进行耦合，转子和外壳的单元传递矩阵在传递的过程中都需乘以耦合矩阵。

4、为了方便整体传递矩阵的耦合计算，在结构无法对齐处加入无质量、无长度的弹性轴虚段来保证外壳与转子具有相同的单元数。

按照以上建模原则，图18便是对电主轴简化后的集中质量模型，其中1-主轴，2-迷宫盖，3-轴承压盖，4-外壳，5-前角接触球轴承，6-轴向螺母，7-定子，8-电机转子，9-后法兰盘，10-编码器，11-编码器防护罩，12-尾部防水迷宫，13-后角接触球轴承。图19是电主轴系统集中质量示意图。图19中，为了方便整体传递矩阵的计算，在外壳的前后端加入虚轴段来保证主轴和外壳的耦合传递；其次对于转子此类有较大转动惯量的部件，将其离散后等效为刚性圆盘；再将前、后角接触球轴承视为仅有角刚度和径向刚度的弹簧支承元件，在主轴和外壳耦合处加入支承耦合矩阵；最后在电主轴外壳与固定处加入耦合矩阵，此时可以得到电主轴的转轴-轴承-转子-外壳集中参数模型。

具体步骤如下：

步骤3.1、整体传递矩阵构建：采用矩阵传递法对电主轴进行分析，将整个高速电主轴分为两段，I段为转子部分，II段为外壳部分，整体用Z_i来表示，电主轴系统分为N个节点，N-1个轴段，定义系统的第i个节点状态矢量为：

其中：Q为剪力，M为弯矩，θ为转角，y为挠度，右上角I和II分别代表转子节点和外壳节点的传递节点矢量；

对于高速电主轴的集中质量单元，高速电主轴共有N个集中质量点，对第i个质量点做受力分析，如图2和图21所示，得质量点的受力方程：

其中，m为单元质量，J_p和J_d分别表示单元的极转动惯量和径向转动惯量，ω为单元进动频率，Ω为单元转动频率，在元件被等效成质量点时，认为Ω＝ω；K_r为轴承轴向刚度；K_θ为角刚度；y_i为第i个节点的挠度变化；M_i为第i个节点的弯矩变化；θ_i为第i个节点的转角变化；

第i个集中质量点左右两边的状态向量关系表示为：

{Z}_i+1＝[U]_i{Z}_i；式中：[U]为集中质量点的传递矩阵；

此时转子和外壳仍为独立状态，角接触球轴承为两者耦合处建立协调条件，在非耦合处仍保持相互独立，如图22所示，用[U^I]，[U^II]来分别表示转子部分和外壳部分的集中质量点的节点状态：

特别地，当质量点没有支承元件时，K_r＝K_θ＝0；

对于高速电主轴的无质量弹性梁，转轴离散成N-1段轴段，每两个质量点之间由一根轴段来连接；在剪力和弯矩的影响下，轴段受力后的变形图如图23所示，根据力的平衡条件和变形条件可以写出受力方程

式中：字母下标i、i+1分别为轴段左侧和右侧；E为材料的弹性模量，N/mm²，Δl_i为第i个轴段的长度；I为该段梁的截面惯性矩(mm⁴)，EI为弹性梁单元界面的抗弯刚度(N·mm⁴)；其中k_t为截面系数(通常实心圆轴的截面系数为0.866，薄壁空心圆轴截面系数为2/3)，A_r为截面积(mm²)，G为剪切弹性模量(N/mm²)；

利用来简化方程，用[B]来表示弹性梁的传递矩阵

特别地，若不考虑弹性梁受剪切效应的影响，则υ＝0；

对于高速电主轴的刚性圆盘，电主轴中的转子因为有较大的转动惯量和质量，无法等效成一个集中质量点，因此离散等效为多个刚性圆盘，对离散后的刚性圆盘进行受力分析，可以得到受力分析图，如图24所示为单个圆盘，圆盘在运动时，圆盘中心A在圆盘平面上绕O’点作圆周运动，此时主轴本身就在以Ω的角速度转动，同时主轴又在以ω的角速度围绕O_Z轴转动，忽略油膜刚度、支撑座刚度等根据受力分析得受力方程为：

式中：J_p为极转动惯量，J_d为直径转动惯量，/>Ω表示电主轴转动的角速度，ω表示电主轴自转角速度；K_sj为圆盘收到的支承反力，K_r和K_θ分别为支承的径向刚度和角刚度，

本实施例不考虑支承反力和支承弹簧刚度，用[D]来表示刚性圆盘的传递矩阵：

至此可建立子传递矩阵，将集中质量单元和弹性梁视为一个组合单元子矩阵，用[P]来表示，[P]_i＝[B]_i[U]_i；

其中，分别表示转轴集中质量和外壳集中质量与弹性轴组合而成的子传递矩阵，外壳部分没有转子，因此[Q]_i只在I段出现。用[Q]来代表圆盘和轴段的组合单元子矩阵[Q]_i＝[B]_i[D]_i；

用[T^P]和[T^Q]分别来表示集中质量单元、刚性圆盘和弹性梁节点的子矩阵：

由于外壳节点和外界仍需连接，K_c、K_ch分别代表电主轴外壳与外部固定连接处的径向刚度和角刚度，则整体传递矩阵需和耦合矩阵[C]相乘：

则在转子部分和外壳连接处存在以下传递关系

步骤3.2、高速电主轴的固有频率、临界转速及主振型；

对高速电主轴构建传递矩阵：

其中A_N-1＝T_N-1T_N-2…T₂T₁为第一个节点到第N个节点单元的连乘矩阵，大小仍为8×8矩阵；

将电主轴两端均视为自由端，则在起始截面有Q^I＝0，M^I＝0，Q^II＝0，M^II＝0，即Z₁＝Z_N＝(0 0 θ^I y^I 0 0 θ^II y^II)；将系统状态矢量分为和/>来分别表示，原式变为：

联立两式写为齐次线性方程组：

式中：a_ij为电主轴所有子传递矩阵连乘后得到的整体矩阵A_N-1中第i行第j列的元素；

当Δ(ω²)＝0，齐次方程组存在非零解：

对上式进行求解便得到电主轴的临界转速ω和与之对应的固有频率把ω代回到便得到整体系统边界点的状态矢量Z₁，逐级传递便求出系统各个节点的状态矢量；最后提取各个节点矢量中的y值，并归一化至(-1,1)范围内即求出固有频率f所对应的主振型。

表2显示了用集中质量法得到的高速电主轴的固有频率和相应的临界速度

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表2

图25-图28高速电动主轴的前四阶主阵型。图25是一阶主阵型，图26是二阶主阵型，图27是三阶主阵型，图28是四阶主阵型。

为了验证本发明结果的准确性，实施例中使用Workbench对电主轴进行了有限元建模和仿真，经过试验，表3显示了高速电动主轴的固有频率以及通过工作台模拟得到的相应临界速度：

表3

结果表明：

(1)对于只承受轴向力的角接触球轴承，内部滚动体的接触角将随着力的增加而线性增加，整体的轴向刚度也是如此。

(2)对于承受轴向、径向和力矩的角接触球轴承，考虑到离心力和陀螺仪力矩，其刚度、接触角和变形在方位角为0度时最小，在180度时达到最大。

(3)集中参数模型与有限元模型相比，使用的节点少，消耗的时间少，编程和计算过程简单。基于矩阵传递法的集中参数化模型可以有效地计算出高速电主轴的固有频率、临界转速和主振型。与各阶相比，其误差分别为1.9％、0.13％、7.4％和3.7％。

综上所述，本发明可以使得高速电主轴整机振动特性使得计算过程更加简单、耗时更短且有效，计算结果接近真实。

Claims (4)

1.一种高速电主轴整机振动特性分析方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤S1、对高速角接触球轴承进行了准静态分析，分析高速角接触球轴承在轴向力、径向力和扭矩共同作用下的平衡条件；

步骤S2、加入离心力和陀螺力矩来模拟高速旋转下的滚动体受力；

步骤S3、基于高速角接触球轴承的滚动体受力，采用集中质量法对高速电主轴的动力学进行建模，以此计算出高速电主轴的固有频率、临界转速和主振型。

2.根据权利要求1所述的高速电主轴整机振动特性分析方法，其特征在于：所述步骤1的具体步骤是根据高速角接触球轴承的结构，计算轴承节圆直径：

式中：D_m为节圆直径；D_i为内径；D_o为外径；

由于轴承存在一定的径向间隙P_d和轴向间隙P_e，表示为：

P_d＝D_i-D_o-2D_b；

当轴向游隙消除后且在不受任何外力时，轴承滚动体和轴承沟道的接触角为初始接触角α₀，其计算公式为：

此时轴承内圈和外圈沟道的曲率中心和滚动体的中心在同一条直线上，其距离表示为：

式中，O_o、O_i分别表示内、外圈沟道的曲率中心，D_b表示滚动体的直径，r_o、r_i分别表示内、外圈沟道的曲率半径，分别表示内、外圈沟道与滚动体直径的比值；

对于角接触球轴承的滚动体，内圈和外圈的接触点近似为一个椭圆面，根据赫兹接触理论，有效接触半径表示如下：

式中：R为曲率半径；R_x为x方向的有效接触半径；R_y为y方向的有效接触半径；R_I1为接触体1在平面I上的有效接触半径；R_I2为接触体2在平面I上的有效接触半径；R_II1为接触体1在平面II上的有效接触半径；R_II2为接触体2在平面II上的有效接触半径；

设曲率对凸面为正，对凹面为负，由推导出：

其中R_ix和R_iy分别代表内环在X和Y方向的有效接触半径；R_ox和R_oy分别代表外环在X和Y方向的有效接触半径；ρ为曲率；ρ_iI1为接触体1在平面I上相对于内圈的曲率；ρ_iII1为接触体1在平面II上相对于内圈的曲率；ρ_iI2为接触体2在平面I上相对于内圈的曲率；ρ_iII2为接触体2在平面II上相对于内圈的曲率；ρ_oI1为接触体1在平面I上相对于外圈的曲率；ρ_oII1为接触体1在平面II上相对于外圈的曲率；ρ_oI2为接触体2在平面I上相对于外圈的曲率；ρ_oII2为接触体2在平面II上相对于外圈的曲率；

由于外滚道接触的两个横截面是凹形的，其曲率和以及曲率差表示为：

式中：γ为无量纲；α′为实际接触角；

而内滚道接触的横截面与外滚道相反，则其曲率和以及曲率差表示为：

当高速角接触球轴承承受单一的轴向预紧力时，轴承中的每个滚动体都承受相同的载荷，从而产生相同的变形，预紧力F_r和实际接触角α′之间的关系表示为：

Q＝K_nδ^1.5；

式中，Q为外部载荷；Z为滚动体数量；δ_n为法线接触变形，即和/>之间的差值，和/>分别是内圈和外圈在受到轴向力之前和之后的曲率中心的距离；δ为接触变形；K_n为刚度系数：

其中，G_i为外圈柔度系数；G_o为内圈柔度系数；G₁为柔度系数；

当电主轴进入工作状态时，高速角接触球轴承受到离心力的影响，滚动体与外圈的接触点会向上移动；内圈沟槽的曲率中心在载荷作用下发生小的位移；此时轴承内外圈沟槽的曲率中心和滚动体中心不再在同一条直线上；

设外圈固定，所有的滚动体都对称地分布在节圆上，在径向载荷、轴向载荷和力矩载荷的共同作用下，轴承的内圈将发生轴向相对位移、径向相对位移和旋转相对角位移，内圈沟道曲率中心轨迹的半径为：

滚动体在任一位置ψ处时，沟道曲率中心的间距s表示为：

式中：δ_a为相对轴向位移；δ_r为相对径向位移；

则工作接触角度α表示为：

根据载荷-位移关系公式，并结合静力平衡条件下受力分析，得到平衡条件：

根据实际受力情况输入参数联立非线性方程组，并通过Newton-Raphson方法进行迭代求解得到参数δ_a、δ_r和Φ。

3.根据权利要求2所述的高速电主轴整机振动特性分析方法，其特征在于：所述步骤2的具体步骤如下：

根据准静态下的高速角接触球轴承的轴承内部滚动情况，以O为轴承的旋转中心,XOY为轴承的旋转平面，z轴为轴向方向，Δψ为两个滚动元件之间的角度差，ψ_j为第j个球的方位角：

根据轴承受力前后的变化，内、外圈滚道曲率中心到滚动体中心的距离l_ij、l_oj需要加入内、外载荷接触形变量δ_ij、δ_oj：

l_oj＝(f₀-0.5)D_b+δ_oj；l_ij＝(f_i-0.5)D_b+δ_ij；

再以A_1j、A_2j分别表示轴承在受力后滚动体处内、外圈沟道曲率中心轨迹之间的轴向距离和径向距离，表示为：

轴承内圈受到离心力的作用而略微膨胀，膨胀而产生的微小位移用u_r来表示：

式中，Ω为电主轴转动的角速度；E为轴承材料的弹性模量；v为轴承材料的泊松比；

滚动体和内圈以及外圈的接触角表示：

式中：X_1j、X_2j分别表示轴承在受力后和轴承外圈沟道曲率中心轨迹在轴向和径向距离；

根据勾股定理得到：

则载荷平衡方程写为：

其中，Q_ij为内滚道法向接触力，Q_oj为外滚道法向接触力；λ_ij为内滚道力矩分配系数；λ_oj为外滚道力矩分配系数；F_cj为离心力，M_gj为陀螺力矩；

陀螺力矩和离心力表示为：

其中，m_b为滚动体质量；ω_i为内圈轴向自转角速度；ω为电主轴自转角速度；J为滚动体的惯性矩；Ω_b为滚动体公转角速度；r为无量纲，可以表示为Db/Dm；ω_b为滚动体自转角速度；ξ代表滚动元件的速度矢量节点圆角，γ'为无量纲，表示为：

根据以上公式，则未知数X_1j、X_2j、δ_ij和δ_oj用Newton-Raphson方法求解，在得到上述四个参数后，以此推断出内、外圈沟道曲率中心轨迹随着滚动体方位角的变化而变化；

同时高速角接触球轴承的整体刚度表示为:

其中K_r,K_a,K_θ分别代表轴承的轴向刚度、径向刚度和角刚度；K_ij为第j个滚动体相对于内圈的刚度；K_oj为第j个滚动体相对于外圈的刚度；α_ij为第j个滚动体相对于内圈的接触角；α_oj为第j个滚动体相对于外圈的接触角。

4.根据权利要求3所述的高速电主轴整机振动特性分析方法，其特征在于：所述步骤3的具体步骤如下：

步骤3.1、整体传递矩阵构建：采用矩阵传递法对电主轴进行分析，将整个高速电主轴分为两段，I段为转子部分，II段为外壳部分，整体用Z_i来表示，电主轴系统分为N个节点，N-1个轴段，定义系统的第i个节点状态矢量为：

其中：Q为剪力，M为弯矩，θ为转角，y为挠度，右上角I和II分别代表转子节点和外壳节点的传递节点矢量；

对于高速电主轴的集中质量单元，高速电主轴共有N个集中质量点，对第i个质量点做受力分析得质量点的受力方程：

其中，m为单元质量，J_p和J_d分别表示单元的极转动惯量和径向转动惯量，ω为单元进动频率，即电主轴自转角速度，Ω为单元转动频率，即电主轴公转角速度，在元件被等效成质量点时，认为Ω＝ω；K_r为轴承轴向刚度；K_θ为角刚度；y_i为第i个节点的挠度变化；M_i为第i个节点的弯矩变化；θ_i为第i个节点的转角变化；

第i个集中质量点左右两边的状态向量关系表示为：

{Z}_i+1＝[U]_i{Z}_i；式中：[U]为集中质量点的传递矩阵；

此时转子和外壳仍为独立状态，角接触球轴承为两者耦合处建立协调条件，在非耦合处仍保持相互独立，用[U^I]，[U^II]来分别表示转子部分和外壳部分的集中质量点的节点状态：

当质量点没有支承元件时，K_r＝K_θ＝0；

对于高速电主轴的无质量弹性梁，转轴离散成N-1段轴段，每两个质量点之间由一根轴段来连接；在剪力和弯矩的影响下，轴段受力后的变形，根据力的平衡条件和变形条件写出受力方程：

式中：字母下标i、i+1分别为轴段左侧和右侧；E为轴承材料的弹性模量，Δl_i为第i个轴段的长度；I为该段梁的截面惯性矩，EI为弹性梁单元界面的抗弯刚度；其中k_t为截面系数，A_r为截面积，G为剪切弹性模量；

利用来简化方程，用[B]来表示弹性梁的传递矩阵

若不考虑弹性梁受剪切效应的影响，则υ＝0；

对于高速电主轴的刚性圆盘，圆盘在运动时，圆盘中心A在圆盘平面上绕O’点作圆周运动，此时主轴本身就在以Ω的角速度转动，同时主轴又在以ω的角速度围绕O_Z轴转动，根据受力分析得受力方程为

式中：J_p为极转动惯量，J_d为直径转动惯量，/>Ω表示电主轴转动的角速度，ω表示电主轴自转角速度；K_sj为圆盘收到的支承反力，K_r和K_θ分别为支承的径向刚度和角刚度，

用[D]来表示刚性圆盘的传递矩阵：

至此可建立子传递矩阵，将集中质量单元和弹性梁视为一个组合单元子矩阵，用[P]来表示，[P]_i＝[B]_i[U]_i；

其中，分别表示转轴集中质量和外壳集中质量与弹性轴组合而成的子传递矩阵，外壳部分没有转子，因此[Q]_i只在I段出现。用[Q]来代表圆盘和轴段的组合单元子矩阵[Q]_i＝[B]_i[D]_i；

用[T^P]和[T^Q]分别来表示集中质量单元、刚性圆盘和弹性梁节点的子矩阵：

由于外壳节点和外界仍需连接，K_c、K_ch分别代表电主轴外壳与外部固定连接处的径向刚度和角刚度，则整体传递矩阵需和耦合矩阵[C]相乘：

则在转子部分和外壳连接处存在以下传递关系

步骤3.2、高速电主轴的固有频率、临界转速及主振型；

对高速电主轴构建传递矩阵：

其中A_N-1＝T_N-1T_N-2…T₂T₁为第一个节点到第N个节点单元的连乘矩阵，大小仍为8×8矩阵；

将电主轴两端均视为自由端，则在起始截面有Q^I＝0，M^I＝0，Q^II＝0，M^II＝0，即Z₁＝Z_N＝(0 0 θ^I y^I 0 0 θ^II y^II)；将系统状态矢量分为和/>来分别表示，原式变为：

联立两式写为齐次线性方程组：

式中：a_ij为电主轴所有子传递矩阵连乘后得到的整体矩阵A_N-1中第i行第j列的元素；

当Δ(ω²)＝0，齐次方程组存在非零解：

对上式进行求解便得到电主轴的临界转速ω和与之对应的固有频率把ω代回到便得到整体系统边界点的状态矢量Z₁，逐级传递便求出系统各个节点的状态矢量；最后提取各个节点矢量中的y值，并归一化至(-1,1)范围内即求出固有频率f所对应的主振型。