CN116680447A - 高效稳定的（子）图（矩阵）同构算法 - Google Patents

高效稳定的（子）图（矩阵）同构算法 Download PDF

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    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
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    • G06F16/90—Details of database functions independent of the retrieved data types
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    • G06F17/10—Complex mathematical operations

Abstract

发明了一个基于子图与图对撞（等价于建立约束条件方程组，然后解之）的高效稳定的图（矩阵）同构算法，理论上证明了对绝大多数图（矩阵），存在时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n)的多项式算法，其中n是图的顶点数。此算法能在普通微机上轻松处理10万个顶点的（正则）图。此算法可轻松扩展到矩阵同构(图是矩阵的特例),也可以扩展到某些类别的子图（矩阵）同构。本发明非常适合采用多线程并行技术。

Description

高效稳定的（子）图（矩阵）同构算法
技术领域
（子）图（矩阵）同构算法属于数学和计算机领域。
背景技术
现在世界上有5种以上实际使用的图同构方法，但都不是多项式时间算法，故程序运行总时间不可预测，对内存需求巨大，当图较大时，比如有100000个顶点的(正则)图，即使用超算中心，也无能为力。是否存在多项式算法，是个未解的数学问题，具有极大的理论和实用价值。数学家和计算机专家多数预测：图同构应该存在多项式时间算法，而子图同构则相反。目前，理论上最好的结果是2015年的一篇89页的论文：存在准多项式的图同构算法，目前还没有通过同行审核。
发明内容
发明了一个基于图对撞使得图顶点分裂的高效稳定的图同构算法，理论上证明了对绝大多数图，存在时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(n) 的多项式算法，其中n是图的顶点数。经过实测，性能远远超过现有的算法，具体请参看下文中的对比试验数据。此算法可轻松扩展到矩阵同构(图同构只是矩阵同构的特例), 也可以扩展到子图（矩阵）同构。
定义
G 或者K : 简单连通图
d(G): G 的顶点度序列（从大到小排列）
G(v,w,...): G 中的顶点v，w，...
n(G): G的顶点个数
正则图：任意点的顶点度都是相同的图
Gr,n : 顶点个数为n的正则图 G，r 为G 中任意点的顶点度
G/(v,w...) : G删除顶点v,w...后的导出子图
算法介绍
如果 K ≌ G , 那么必有 d(G) = d(K)。
从一个简单的例子开始
假设 d(K) = [ 10, 10 , 9 , 9 , 9 , 9 , 8 , 8, 7, 5 , 3, 2] = d(G), 且K， G的顶点都分别标记为0到11中的一个数字（K一共有12个顶点），并且
d(K)映射到 K的顶点: [ 5, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 0, 8, 7, 11, 10 ]
d(G)映射到 G的顶点 : [ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10, 11]
K中的顶点按照顶点度的相同与否，必然可以分为数个数组, 比如 K(5,1), K(2,3,4,6) 等。
G中的顶点按照顶点度的相同与否，必然可以分为数个数组, 比如 G(0,1), G(2,3,4,5) 等。
如果K ≌ G，必然有K(5,1) 映射到G(0,1)， K(2,3,4,6)映射到 G(2,3,4,5) 等，即有下面的数组上下一一对应：
K: [(5,1), (2,3,4,6), (9,0), (8), (7), (11),(10)]
G: [(0,1), (2,3,4,5), (6,7), (8), (9), (10),(11)] ----- (1)
但目前不知道 K(5) 映射到 G(0) 还是 G(1)，也不知道K(9)映射到G(6)还是G(7)等等，即有不确定性存在。
令 K1 = K/(8,7,11,10)
令 G1 = G/(8,9,10,11)
如果 K ≌ G , 必有 K1≌ G1，故必有d(K1) = d(G1) 。
假设: d(K1) = d(G1) = [7,7,6,6,5,5,4,4]
映射到K1顶点 : [(5,2),(1,3),(4,9),(6,0)]
映射到G1顶点 : [(0,4),(1,2),(5,6),(3,7)] ----- (2)
结合 (1) and (2)，即等价于K1和K碰撞，G1和G碰撞, 必然有如下的一一对应:
K: [(5),(1),(3),(4),(2),(9),(6),(0),(8),(7),(11),(10)]
G: [(0),(1),(2),(5),(4),(6),(3),(7),(8),(9),(10),(11)] -----(3)
结果是每个数组的维度都是1, 故不确定性完全消失了！
即经过一次碰撞，立刻建立了唯一可能的映射关系，效率惊人的高！
因为(3)式是G和K 同构的必要条件，故需要验证是否真的同构（此步骤很容易）。
如果经过一次碰撞，不能建立合法的映射关系，就可以判定K和 G不同构。
碰撞理论类似于两个原子高速迎面对撞，互相撞的粉碎，如果这两个原子同构，则撞出来的粒子必然要一一对应，若无合法的对应关系，则不同构。
但生活不会如此美好，不可能每次都能一次碰撞就能彻底解决对应关系。好消息是，随机选取不同的子图，经过不超过20次碰撞（理论上非常粗糙的估计，设能被分开的数组碰撞后分开的概率是p ，1/2 ≤ p < 1, 那么经过20次碰撞，没有被分开的概率为（1-p）^20，几乎为0，若仔细分析，p 取值往往非常接近于1，当数组的维度大于2时）会来到一个不太可能再被分割的状态，即无论将来产生何种子图与母图对撞，对应关系都不太可能发生变化: 此时要么已经建立了唯一可能的完全确定的对应关系（好消息），要么是有未确定的（表面看上去是坏消息）。后者可能真的是坏消息，但也有可能是意想不到的好消息：任意数组中的点是等价的！换句话，我们找到了所有的可能的自同构！
例如, 如果d(G) = [5,5,5,5,5,5,5,5,4,4], d(G1)= [0,0] 或 [4,4,4,4,4,4,4,4], 它要么是好消息，即顶点度为5的8个点彼此等价，顶点度为4的2个点彼此等价, 要么是坏消息。
乐观主义者基于好消息假设可以直接给予一个随机映射，并检验是否同构。若不同构，则进入悲观主义者的行动。
悲观主义者在顶点度为4 （或者5，实际上为了节约计算时间，往往选择数组维度小的）的顶点上做两次试探性测试：假设 G(3,4) 和K(1,2)顶点度都是 4，映射G(3) 到 K(1) 或 K(2) （没有其它可能性）, 然后继续碰撞，不超过20次，就进入下一个不可分割状态！
需要进入试探性阶段的图，都具有特殊的结构。虽然容易构造出特殊图，但当n 足够大时（比如n > 99），在所有同阶图中的比例是非常小的，几乎可忽略不计。很特殊的一个例子是正则图Gr,n，可能需要n次试探，才能判定同构与否。
可喜点的是，绝大多数图（矩阵）是不需要进入任何试探阶段的，往往在10次（而不是理论预期的20次）碰撞后就消除了任何不确定性，或者在1-2次碰撞后就被判定为不同构。所以这是一个非常高效且稳定的算法。对绝大多数图（矩阵）而言，此算法的时间复杂度为O(n^2), 空间复杂度为O(n)。
极端情况下的算法复杂度，目前还不清楚，可能需要群论的知识来分析。可以合理的猜测，极端情况下的多数判定，时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度依然为O(n)，最坏情况下，时间复杂度可能是O(n^log(n))，空间复杂度可能是O(nlog(n))。这个问题，值得在理论上进一步探讨。希望在广泛的实际应用中，能找到一个最坏案例，加深对特殊图结构的理解。
对比测试结果
在MACBOOK PRO，CPU i7, 内存16G，SageMath 8.7测试环境下。
以每三行为一组
第一行：新方法测试10个随机图所花时间（以秒为单位），图顶点数，新方法所花时间总和 / 系统本有方法所花时间总和。
第二行：系统本有方法测试10个随机图所花时间。
第三行：新方法碰撞次数。
非正则图测试对比：
[1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 1.5, 2.0, 1.5, 2.0, 1.5, 1.5] 2000 比例 0.25
[8.0, 8.0, 8.0, 8.0, 8.0, 8.0, 8.0, 8.0, 8.0, 8.0]
[6, 7, 6, 6, 6, 8, 6, 8, 7, 7]
[6, 5, 4, 6, 5, 5, 5, 5, 5, 5] 4000 比例 0.132812500000000
[39, 39, 38, 39, 38, 38, 39, 38, 38, 38]
[6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 6, 6, 6]
[11, 13, 16, 12, 16, 12, 11, 10, 12, 14] 6000 比例 0.122942884801549
[102, 103, 104, 104, 104, 104, 104, 103, 102, 103]
[6, 7, 8, 6, 8, 6, 6, 6, 7, 8]
[21, 26, 22, 19, 20, 21, 18, 19, 19, 26] 8000 比例 0.103431372549020
[202, 202, 204, 204, 210, 204, 203, 203, 204, 204]
[6, 8, 7, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 8]
正则图测试对比：
[1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 500 比例 0.550000000000000
[2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2]
[8, 10, 8, 9, 10, 8, 10, 8, 8, 8]
[13, 12, 12, 12, 11, 16, 12, 12, 11, 12] 1000 比例 0.288056206088993
[46, 42, 42, 42, 42, 42, 44, 43, 42, 42]
[10, 10, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8]
[98, 96, 99, 94, 96, 98, 98, 109, 99, 97] 2000 比例 0.139455782312925
[702, 699, 698, 711, 709, 704, 706, 704, 710, 713]
[10, 8, 9, 10, 8, 9, 8, 8, 8, 9]
对正则图，新方法的效率即使在单线程的测试环境下，也达到很高的程度，比如2000个顶点时，比例 0.139455782312925，而非正则图，比例 0.25。如果开n个线程，效率将得到几乎n倍速的提高。
对子图（子矩阵）判定，因为有强大的概率论和顶点度序列对应这两个高效工具，故可以提供很强的剪枝能力，减少搜索空间。
结论
此算法不仅实用性非常强，而且理论上也非常重要，可能是证明P≠NP的一个切入点。

Claims (2)

1.一种突破性的稳定高效的图（矩阵）G，K同构算法，即基于子图和母图的碰撞，导致母图极度分裂，从而在G，K的顶点中建立必要的一一对应。
定义：
G 或者K : 简单连通图
d(G): G 的顶点度序列（从大到小排列）
G(v,w,...): G 中的顶点v，w，...
正则图：任意点的顶点度都是相同的图
G/(v,w...) : G删除顶点v,w...后的导出子图
算法介绍：
如果 K ≌ G , 那么必有 d(G) = d(K)。
从一个简单的例子开始
假设 d(K) = [ 10, 10 , 9 , 9 , 9 , 9 , 8 , 8, 7, 5 , 3, 2] = d(G), 且K， G的顶点都分别标记为0到11中的一个数字（K一共有12个顶点），并且
d(K)映射到 K的顶点: [ 5, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 0, 8, 7, 11, 10 ]
d(G)映射到 G的顶点 : [ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10, 11]
K中的顶点按照顶点度的相同与否，必然可以分为数个数组, 比如 K(5,1), K(2,3,4,6) 等。
G中的顶点按照顶点度的相同与否，必然可以分为数个数组, 比如 G(0,1), G(2,3,4,5) 等。
如果K ≌ G，必然有K(5,1) 映射到G(0,1)， K(2,3,4,6)映射到 G(2,3,4,5) 等，即有下面的数组上下一一对应：
K: [(5,1), (2,3,4,6), (9,0), (8), (7), (11),(10)]
G: [(0,1), (2,3,4,5), (6,7), (8), (9), (10),(11)] ----- (1)
但目前不知道 K(5) 映射到 G(0) 还是 G(1)，也不知道K(9)映射到G(6)还是G(7)等等，即有不确定性存在。
令 K1 = K/(8,7,11,10)
令 G1 = G/(8,9,10,11)
如果 K ≌ G , 必有 K1≌ G1，故必有d(K1) = d(G1) 。
假设: d(K1) = d(G1) = [7,7,6,6,5,5,4,4]
映射到K1顶点 : [(5,2),(1,3),(4,9),(6,0)]
映射到G1顶点 : [(0,4),(1,2),(5,6),(3,7)] ----- (2)
结合 (1) and (2)，即等价于K1和K碰撞，G1和G碰撞, 必然有如下的一一对应:
K: [(5),(1),(3),(4),(2),(9),(6),(0),(8),(7),(11),(10)]
G: [(0),(1),(2),(5),(4),(6),(3),(7),(8),(9),(10),(11)] -----(3)
结果是每个数组的维度都是1, 故不确定性完全消失了！
即经过一次碰撞，立刻建立了唯一可能的映射关系，效率惊人的高！
因为(3)式是G和K 同构的必要条件，故需要验证是否真的同构（此步骤很容易）。
如果经过一次碰撞，不能建立合法的映射关系，就可以判定K和 G不同构。
碰撞理论类似于两个原子高速迎面对撞，互相撞的粉碎，如果这两个原子同构，则撞出来的粒子必然要一一对应，若无合法的对应关系，则不同构。
但生活不会如此美好，不可能每次都能一次碰撞就能彻底解决对应关系。好消息是，随机选取不同的子图，经过不超过20次碰撞（理论上非常粗糙的估计，设能被分开的数组碰撞后分开的概率是p ，1/2 ≤ p < 1, 那么经过20次碰撞，没有被分开的概率为（1- p）^20，几乎为0，若仔细分析，p 取值往往非常接近于1，当数组的维度大于2时）会来到一个不太可能再被分割的状态，即无论将来产生何种子图与母图对撞，对应关系都不太可能发生变化:此时要么已经建立了唯一可能的完全确定的对应关系（好消息），要么是有未确定的（表面看上去是坏消息）。后者可能真的是坏消息，但也有可能是意想不到的好消息：任意数组中的点是等价的！换句话，我们找到了所有的可能的自同构！
例如, 如果d(G) = [5,5,5,5,5,5,5,5,4,4], d(G1)= [0,0] 或 [4,4,4,4,4,4,4,4],它要么是好消息，即顶点度为5的8个点彼此等价，顶点度为4的2个点彼此等价, 要么是坏消息。
乐观主义者基于好消息假设可以直接给予一个随机映射，并检验是否同构。若不同构，则进入悲观主义者的行动。
悲观主义者在顶点度为4 （或者5，实际上为了节约计算时间，往往选择数组维度小的）的顶点上做两次试探性测试：假设 G(3,4) 和K(1,2)顶点度都是 4，映射G(3) 到 K(1) 或K(2) （没有其它可能性）, 然后继续碰撞，不超过20次，就进入下一个不可分割状态！
需要进入试探性阶段的图，都具有特殊的结构。虽然容易构造出特殊图，但当n 足够大时（比如n > 99），在所有同阶图中的比例是非常小的，几乎可忽略不计。很特殊的一个例子是正则图Gr,n，可能需要n次试探，才能判定同构与否。
可喜点的是，绝大多数图（矩阵）是不需要进入任何试探阶段的，往往在10次（而不是理论预期的20次）碰撞后就消除了任何不确定性，或者在1-2次碰撞后就被判定为不同构。所以这是一个非常高效且稳定的算法。对绝大多数图（矩阵）而言，此算法的时间复杂度为O(n^2), 空间复杂度为O(n)。
极端情况下的算法复杂度，目前还不清楚，可能需要群论的知识来分析。可以合理的猜测：极端情况下的多数判定，时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度依然为O(n)，最坏情况下，时间复杂度可能是O(n^log(n))，空间复杂度可能是O(nlog(n))。这个问题，值得在理论上进一步探讨。
2.碰撞的思想，也可以用于子图（子矩阵）同构判定，虽然目前还没有找到子图（子矩阵）同构的多项式算法，但碰撞的这个思想，可以大大的增强剪枝能力，减少搜索空间。
此算法对内存要求极低，且天然适合多线程并行，尤其是对正则图或子图同构。
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CN103559125B (zh) * 2013-10-25 2015-12-09 北京广利核系统工程有限公司 一种利用图同构验证编译器的方法
CN104636560B (zh) * 2015-02-12 2018-06-05 西安科技大学 一种基于子图同构的高风险区域自动识别方法
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