CN116664714B - 一种基于x射线微束传输模型的ct算法 - Google Patents

一种基于x射线微束传输模型的ct算法 Download PDF

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Abstract

本发明提出一种基于X射线微束传输模型的CT算法，涉及X射线成像领域。本发明CT算法采用了X射线微束传输模型，并在微束管道内部对吸收、相移、折射、聚束或扩束、散射五种成像信号进行微束投影积分；所述投影积分能推导出直线投影积分；根据基于X射线微束传输模型的CT算法推导出的成像信号采集方法、成像信号重建方法与利用相位梯度或相位拉普拉斯重建折射率实部减小量的重建公式。本发明通过引入微束的概念，将X射线经过物体的传播过程抽象成微束传输模型，并完成了该模型的几何光学描述。本发明所提出的微束可以有效地描述X射线在局部的衍射效应，因此具备实现X射线变向信号的投影积分。

Description

一种基于X射线微束传输模型的CT算法
技术领域
本发明涉及X射线成像领域，具体涉及一种基于X射线微束传输模型的CT算法。
背景技术
在传统的X射线CT理论中，入射X射线被抽象成互不干扰、沿直线向前传播的透射线。而X射线本质上属于电磁波的一种，其传播特性由麦克斯韦方程组描述。对于单色X射线而言，可以从亥姆霍茨(Helmholtz)方程出发，在缓变振幅近似条件下，推导出适用于X射线波段的抛物面波动方程(Pfeiffer, F., et al., Nanometer focusing properties ofFresnel zone plates described by dynamical diffraction theory. PhysicalReview B, 2006. 73(24): p. 245331.)，其简称为PWE，下文以PWE代指X射线波段的抛物面波动方程。
当忽略X射线经过物体时的衍射效应，PWE方程可以简化成投影近似模型(Giewekemeyer, K., et al., X-ray propagation microscopy of biological cellsusing waveguides as a quasipoint source. Physical Review A, 2011. 83(2): p.023804.)。而传统CT理论中的直线传播模型与投影近似等效，折射率分布中的吸收项与相位项可以沿直线路径积分，符合Radon变换的直线积分条件。从理论上讲，为了给X射线变向信号建立严谨的CT理论，必须考虑X射线经过物体时的衍射效应。
PWE方程的求解需要考虑物体折射率分布的边界条件，是一种需要整体求解的数学模型。而传统的CT模型建立在X射线沿直线传播的条件上，并考察直线传播路径上样品对X射线的吸收和相移，是一种典型的可以从局部区域求解的数学模型。
另一方面，样品对入射X射线有吸收、相移、折射、聚束或扩束、散射五种作用，发展出X射线的五种成像机制。分别为吸收成像、相移成像、微分相位成像、相位拉普拉斯成像以及散射成像。在这五种成像机制中，虽然已经根据直线传播近似，为吸收成像和相移成像建立起基于Radon变换和逆Radon变换（J. Radon, “Über die Bestimmung von Funktionendurch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten”, Berichte überdie Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zuLeipzig, Mathematisch-Physische Klasse, Leipzig: Teubner 69, 262–277 (1917).）的CT理论，但是不能把直线传播近似应用于变向信号（相位微分信号、相位拉普拉斯信号和散射方差信号），否则就会产生逻辑矛盾。迄今为止，X射线在样品中的变向传播和Radon变换直线传播要求之间的矛盾一直没有得到圆满的解决，还未为X射线五种成像机制建立起一个逻辑自洽的CT理论以及应用方案、方法。
发明内容
针对前文所述的X射线在样品中的变向传播和Radon变换直线传播要求之间的矛盾这一历史遗留难题，本发明提出一种基于X射线微束传输模型的CT算法，推导了X射线变向信号的微束投影积分与Radon变换，为吸收、相移、折射、聚束或扩束、散射五种成像信号建立了统一的CT算法。上述五种成像信号对应的物理量分别为：线性吸收系数、折射率实部减小量、折射率实部减小量的梯度、折射率实部减小量的拉普拉斯、线性扩散系数。
所述基于X射线微束传输模型的CT算法具体包含以下步骤：
A1 建立X射线微束传输模型；
A2 根据X射线微束传输模型划分微束管道；
A3 推导五种成像信号的微束投影积分；
A4 推导五种成像信号的直线投影积分；
A5 推导五种成像信号的采集公式
A6 推导五种成像信号的重建公式；
A7 推导利用相位梯度信号或相位拉普拉斯信号重建折射率实部减小量的重建公式。
所述X射线微束传输模型是将X射线光束抽象成独立的微束，而且每个X射线微束拥有各自的传输管道，称作微束管道。在每个微束管道内部考虑X射线与样品相互作用时的投影效应与衍射效应，进而解决了PWE方程与传统CT直线传播模型之间的矛盾。
所述微束管道需要结合X射线光束的传播特点进行构造。所述X射线光束的传播特点可以分为平行束、发散束、汇聚束。
本发明以平行束CT为例进行说明,但需要说明的是仅为举例说明,并不用于对本发明的保护范围进行限定。相关的理论公式进行必要的坐标变换后，可以得出发散束和汇聚束的相关公式，并且可以推广到扇束、锥束和螺旋X射线CT。
所述平行束CT的微束管道的截面如图5所示，其中X射线光束截面的全局坐标为（x,y）；微束的全局离散坐标为（h,j），其中h，j为整数；单个微束管道的局部坐标为。
所述单个微束管道的坐标系为，此时管道内部的位置矢量，z为光轴方向。根据单色波复振幅表达式，可以构造出单色准平面波复振幅A的表达式
(1)，
其中I0为入射光强，Φ为相位。相位Φ和光程的关系为
(2)，
其中 k = 2π/λ，λ为 X 射线波长。根据几何光学的光线方程，光程的梯度可以表达为，
(3)，
其中 n 是折射率，为光线切向矢量，代表了光的传播方向。
进一步地，所述五种成像信号的微束投影积分可以在单个微束管道内部进行推导，具体步骤如下：
S1 根据X射线的光线方程推导三个衍生方程，分别为X射线的光线方向导数方程：
(4)，
X 射线的光线微分方程：
(5)，
X 射线的光线拉普拉斯方程：
(6)，
其中δ是折射率实部减小量，β为折射率虚部，s 为 X 射线的光线弧长；
S2 推导光程函数和相位函数的曲线路径积分。X射线在样品中的传播路径不是严格的直线，如图7所示，其中p为分辨单元半径，L为样品到像面距离。根据式(4)，沿光线路径对折射率积分，可得
(7)，
其中。把式(2)代入式(7)，得
(8)，
S3 推导线性吸收系数的曲线路径积分。把式(8)代入式(1)，X射线的复振幅可以表达为光线弧长的函数，有
(9)，
根据式(9)，样品中X射线光强和线性吸收系数的关系为
(10)，
其中 I 为光强，μ为线性吸收系数。在式(10)中，计算光强的数学运算 I = AA ∗，消除了δ，也消除了δ对光强产生的作用，保留了β，也保留了β对光强产生的作用；
S4 推导折射率实部减小量的曲线路径积分。根据βδ，在式(8)中忽略β，可得样品中X射线相位和折射率实部减小量的关系为
(11)，
S5 推导折射率梯度的曲线路径积分。根据式(5)，沿光线路径对折射率实部减小量梯度积分，参考图7，切线方向单位矢量的微分实际上就成为折射角增量/>，，可得样品中X射线折射角和折射率实部减小量梯度的关系为
(12)，
S6 推导折射率拉普拉斯的曲线路径积分。根据式(6)，沿光线路径对折射率实部减小量拉普拉斯积分，可得样品中X射线相位拉普拉斯和折射率实部减小量拉普拉斯的关系为
(13)，
其中；
S7 推导线性扩散系数的曲线路径积分。根据式(5)，分辨单元内部不连续的颗粒状分布，会对X射线产生杂乱无章的折射，形成X射线的散射，如图8所示。沿光线路径对线性散射系数做路径积分，可得样品中X射线的散射角方差和线性散射系数的关系为
(14)，
其中σ2为 X 射线的散射角方差，α为线性散射系数；
S8 推导微束管道坐标系下五种成像信号沿传播方向的投影积分。在微束管道的直角测量坐标系下，把光线弧长s看作三维直角坐标的函数，则式(10)、式(11)、式(12)、式(13)和式(14)可以分别表达为
(15)，
(16)，
(17)，
(18)，
(19)，
探测器的像素阵列是二维离散阵列，设p为像素直径，L为样品到探测器的距离，如图7或图8所示，只要出射X射线的折射角或者出射X射线的散射角偏差满足小角度偏转条件，即
(20)，
则从探测器的视角观察，这条光线从光源传播到探测器一直沿着直线传播，在式(15)-式(19)中，可以用z替换,用dz替换ds；
于是，在小角度偏转条件下，式(15)-式(19)中曲线路径积分都可以转化为直线路径积分。当X射线从物体出射后，μ = 0，δ = 0，，/>，α = 0，直线路径积分就不再随上限 z 变化。设微束管道的出射面和探测器面重合，此时z = zout，并考虑到，/>,可得
(21)，
(22)，
(23)，
(24)，
(25)，
其中，式(22)中的，/>为从微束管道入射面到出射面的常数距离；式(23)中的/> 为投影面内的梯度算子，/>和/>分别为轴和轴的单位矢量；式(24)中的/>投影面内的拉普拉斯算子；
S9 推导五种成像信号的微束投影积分。式(21)-式(25)是在小角度偏转条件下，五种成像信号在微束管道内部沿z轴的直线积分公式。它们的物理意义为一束X射线，即多条光线，在微束管道内部与样品相互作用后，五种成像信号在管道的出射面上的投影分布。若当前被考察的微束管道的离散坐标为(h,j)，则该管道出射面上投影积分的平均值可以表示为
(26);
其中MBPh,j是微束投影积分算符；表示五种成像信号中的任意一种，既可以是标量信号，也可以是矢量信号；Qh,j为对应微束管道的积分区域；而则表示对投影分布在局部坐标/>上取平均值；分别将式(21)-式(25)带入式(26)，可以得到五种成像信号在离散坐标(h,j)下的微束直线投影积分公式，分别为:
(27)，
(28)，
(29)，
(30)，
(31)，
式(27)-式(31)表示五种成像信号的微束投影积分；这些微束投影积分符合直线投影积分的条件，因此满足Radon变换的直线路径积分条件。
进一步，所述五种成像信号的直线投影积分的推导步骤如下：
S21 当微束管道趋于无穷小，即当时，式(26)描述的离散坐标可以演化为成像信号在连续坐标(x,y,z)下的直线投影积分，具体推导公式如下：
(32)；
S22 在式 (32)的推导过程中，依然要满足式 (20)所表达的小角度偏转条件，否则相应的微束投影积分会引入噪声。在微束管道趋于无穷小时，式 (20)表达的小角度偏转条件可以改写为，
,/>(33);
S23 式(33)表示在微束管道趋于无穷小的过程中，有效的投影信号应当始终保持在管道内部，而无效的信号会转化成噪声。此时，式(27)-式(31)表示的五种成像信号的离散投影积分可以改写为以下连续坐标下的直线投影积分：
(34)，
(35)，
(36)，
(37)，
(38)，
根据式(29)，在X射线经过样品的路径上，选取一连串由、/>和dz构成微分体积元，/>，每个微分体积元在/>轴方向产生的偏转角为/>，在/>轴方向产生的偏转角为/>，考虑到/>和/>在样品中随机改变正负，偏转角/>和/>的方向随机交替变化，X射线从样品出射时的偏转角可以根据下式估算：
(39)，
(40)，
估算结果表明，偏转角约为微弧度量级。根据样品到探测器距离约为0.1~1m，可以估算出偏转位移约为0.1~1mm；这表明探测器可以把大部分从样品出射的X射线作为投影直线；
S24 随着微束管道趋于无穷小，会有越来越多的光线不满足式（33）所表达的极限下的小角度偏转条件，成为无效信号，给投影积分带来不可避免的噪声。式(34)-式(38)所述的五种成像信号的直线投影积分公式右侧的采集信号应当写成有效信号与无效信号的和，具体表达式为
(41)，
(42)，
(43)，
(44),
（45）；
式(41)-式(45)也是本发明的重要内容之一。
一种用于所述一种基于X射线微束传输模型的CT算法的应用方案，所述应用方案包括根据基于X射线微束传输模型的CT算法推导出的成像信号采集方法、成像信号重建方法与利用相位梯度或相位拉普拉斯重建折射率实部减小量的重建公式。
进一步，根据前文所述的基于X射线微束传输模型的CT理论所推导出的微束投影积分和直线投影积分可应用于推导五种成像信号的CT采集公式，其步骤如下：
S31 建立样品坐标系(x',y',z'),设样品转轴y轴和y'轴平行，即y=y',Φ为x轴和 x'轴的转角；R表示 Radon 变换，R-1表示逆 Radon 变换，表示狄拉克函数，和分别为沿 x轴的傅里叶变换和逆变换，ρ为沿 x 轴的空间频率;
S32 根据式(34)可得线性吸收系数的Radon变换，也是采集线性吸收系数投影积分的公式:
(46),
S33 根据式(35)可得折射率实部减小量的Radon变换，也是采集折射率实部减小量投影积分的公式:
(47),
S34-1 根据式(36)可得折射率实部减小量梯度的Radon变换，也是采集折射率实部减小量梯度投影积分的公式:
(48),
S34-2 式(48)是一个矢量Radon变换，需要求出其三个分量的Radon变换;设、和/>分别为x轴、y轴和z轴上的单位矢量，/>、/>和/>分别为x'轴、y'轴和z'轴上的单位矢量，并且有，
(49),
S34-3 分别用、/>和/>点乘式(48)，并代入式(49)，得采集折射率实部减小量分别沿x'轴、y'轴和z'轴导数的投影积分公式，
(50),
(51),
(52),
S35 根据式(37)可得折射率实部减小量拉普拉斯的Radon变换，也是采集折射率实部减小量拉普拉斯投影积分的公式，有
(53),
S36 根据式(38)可得线性扩散系数的Radon变换，也是采集线性扩散系数投影积分的公式，有
(54)。
进一步，根据前文所述的基于X射线微束传输模型推导出的微束投影积分和直线投影积分可应用于推导五种成像信号的CT重建公式，其步骤如下：
S41 推导线性吸收系数的重建公式；求式(46)的逆Radon变换，可得线性吸收系数的重建公式，
(55)，
S42 推导折射率实部减小量的重建公式；求式(47)的逆Radon变换，可得折射率实部减小量的重建公式，
(56)，
其中，逆 Radon 变换的作用对象是Φ，而不是Φ-Φ0，其原因在于Φ0为常数，Φ0的傅里叶变换为零；
S43 推导折射率梯度的重建公式；分别求式(50)、式(51)和式(52)的逆Radon变换，得
(57)，
(58)，
(59)，
把式(57)、式(58)和式(59)按照矢量分量加法规则相加，可推导出折射率实部减小量梯度的重建公式
(60)，
S44 推导折射率实部减小量拉普拉斯的重建公式；求式(53)的逆Radon变换，可得折射率实部减小量拉普拉斯的重建公式，
(61)，
S45 推导线性扩散系数的重建公式；求式(54)的逆Radon变换，可得线性扩散系数的重建公式，
(62)。
进一步，根据前文所述的基于X射线微束传输模型推导出的微束投影积分和直线投影积分，还可以推导利用相位梯度或相位拉普拉斯重建折射率实部减小量的重建公式，推导思路是先把相移用相位梯度或相位拉普拉斯表达出来，然后代入式(56)，其步骤如下：
S51 用相位梯度表达的相移如下
(63)，
其中和分别为沿 y 轴的傅里叶变换和逆变换，ν为沿 y 轴的空间频 率;
S52 把式(63)代入式(56)，得利用相位梯度重建折射率实部减小量的公式
(64)，
S53 用相位拉普拉斯表达的相移如下
(65)，
S54 把式(65)代入式(56)，得利用相位拉普拉斯重建折射率实部减小量的公式(66)。
本发明的益处在于：
本发明通过引入微束的概念，将X射线经过物体的传播过程抽象成微束传输模型，并完成了该模型的几何光学描述。本发明所提出的微束可以有效地描述X射线在局部的衍射效应，因此具备实现X射线变向信号的投影积分。
在微束管道内部，从几何光学的光线方程出发，推导了五种成像信号的曲线路径积分。在微束直径逐渐趋于无穷小的过程中，微束投影积分也随之逐步演化为传统CT理论中的直线路径积分。推导了五种成像信号的Radon变换及其逆变换，给出了五种成像机制的CT采集公式和重建公式。
附图说明
图1为X射线微束传输模型的CT算法推导步骤图。
图2为X射线光束中平行束示意图。
图3为X射线光束中发散束示意图。
图4为X射线光束中汇聚束示意图。
图5为平行束CT的微束管道的截面示意图。
图6为五种成像信号的微束投影积分在单个微束管道内部进行推导流程图。
图7为X射线在样品中的直线传播路径示意图。
图8为X射线在样品中的散射传播路径示意图。
图9为直线投影积分推导流程图。
图10为成像信号采集公式推导流程图。
具体实施方式
不失一般性，本发明以单色平行束X射线CT作为研究背景，相关的理论公式进行必要的坐标变换后，可以推广到扇束、锥束和螺旋X射线CT。
如图1所示，所述基于X射线微束传输模型的CT算法具体包含以下步骤：
A1 建立X射线微束传输模型；
A2 根据X射线微束传输模型划分微束管道；
A3 推导五种成像信号的微束投影积分；
A4 推导五种成像信号的直线投影积分；
A5 推导五种成像信号的采集公式
A6 推导五种成像信号的重建公式；
A7 推导利用相位梯度信号或相位拉普拉斯信号重建折射率实部减小量的重建公式。
所述X射线微束传输模型是将X射线光束抽象成独立的微束，而且每个X射线微束拥有各自的传输管道，称作微束管道。在每个微束管道内部考虑X射线与样品相互作用时的投影效应与衍射效应，进而解决了PWE方程与传统CT直线传播模型之间的矛盾。
所述微束管道需要结合X射线光束的传播特点进行构造。所述X射线光束的传播特点可以分为平行束、发散束、汇聚束。
如图2所示，所述平行束是指X射线光束由平行传播的X射线组成，传播过程中X射线光束不会发生明显的发散和汇聚，例如同步辐射大科学装置的光束线站上经过准直的X射线束、X射线聚焦镜汇聚形成的具有一定焦深的焦点光斑等。所述平行束的微束管道是横截面为矩形的管道，且管道之间相互平行，在X射线传播过程中依然保持平行。
如图3所示，所述发散束是指X射线光束在向前传播过程中逐渐发散，光束截面尺寸越来越大，例如医学影像上常用的锥束CT就是发散束。所述发散束的微束管道是横截面为扇形的微束管道，在X射线传播过程中逐渐发散。
如图4所示，所述汇聚束是指X射线光束在向前传播过程中逐渐汇聚，光束截面尺寸越来越小，例如天文学上X射线望远镜中的成像X射线束就是汇聚束。所述汇聚束的微束管道是横截面为扇形的微束管道，在X射线传播过程中逐渐汇聚。
所述平行束CT的微束管道的截面如图5所示，其中X射线光束截面的全局坐标为（x,y）；微束的全局离散坐标为（h,j），其中h，j为整数；单个微束管道的局部坐标为。
所述平行束CT的坐标（h,j）为的微束管道的局部坐标范围为Qh,j，其表达式为：
所述X射线微束传输模型的表达式为：
其中，A为复振幅，Ain为微束管道入射面，Aout为微束管道出射面，Propagation为求解PWE方程的光场传播算符。
所述单个微束管道的坐标系为，此时管道内部的位置矢量，z为光轴方向。根据单色波复振幅表达式，可以构造出单色准平面波复振幅A的表达式
(1)，/>
其中I0为入射光强，Φ为相位。相位Φ和光程的关系为
(2)，
其中 k = 2π/λ，λ为 X 射线波长。根据几何光学的光线方程，光程的梯度可以表达为，
(3)，
其中 n 是折射率，为光线切向矢量，代表了光的传播方向。
需要说明的是，图7、图8中object为样品,detector为探测器,from the source为从光源射出的光束；如图6所示，所述五种成像信号的微束投影积分可以在单个微束管道内部进行推导，具体步骤如下：
S1 根据X射线的光线方程推导三个衍生方程，分别为X射线的光线方向导数方程：
(4)，
X 射线的光线微分方程：
(5)，
X 射线的光线拉普拉斯方程：
(6)，
其中δ是折射率实部减小量，β为折射率虚部，s 为 X 射线的光线弧长；
S2 推导光程函数和相位函数的曲线路径积分。X射线在样品中的传播路径不是严格的直线，如图7所示，其中p为分辨单元半径，L为样品到像面距离。根据式(4)，沿光线路径对折射率积分，可得
(7)，
其中。把式(2)代入式(7)，得
(8)，
S3 推导线性吸收系数的曲线路径积分。把式(8)代入式(1)，X射线的复振幅可以表达为光线弧长的函数，有
(9)，
根据式(9)，样品中X射线光强和线性吸收系数的关系为
(10)，
其中 I 为光强，μ为线性吸收系数。在式(10)中，计算光强的数学运算 I = AA ∗，消除了δ，也消除了δ对光强产生的作用，保留了β，也保留了β对光强产生的作用；
S4 推导折射率实部减小量的曲线路径积分。根据βδ，在式(8)中忽略β，可得样品中X射线相位和折射率实部减小量的关系为/>
(11)，
S5 推导折射率梯度的曲线路径积分。根据式(5)，沿光线路径对折射率实部减小量梯度积分，参考图7，切线方向单位矢量的微分实际上就成为折射角增量/>，，可得样品中X射线折射角和折射率实部减小量梯度的关系为
(12)，
S6 推导折射率拉普拉斯的曲线路径积分。根据式(6)，沿光线路径对折射率实部减小量拉普拉斯积分，可得样品中X射线相位拉普拉斯和折射率实部减小量拉普拉斯的关系为
(13)，
其中；
S7 推导线性扩散系数的曲线路径积分。根据式(5)，分辨单元内部不连续的颗粒状分布，会对X射线产生杂乱无章的折射，形成X射线的散射，如图8所示。沿光线路径对线性散射系数做路径积分，可得样品中X射线的散射角方差和线性散射系数的关系为
(14)，
其中σ2为 X 射线的散射角方差，α为线性散射系数；
S8 推导微束管道坐标系下五种成像信号沿传播方向的投影积分。在微束管道的直角测量坐标系下，把光线弧长s看作三维直角坐标的函数，则式(10)、式(11)、式(12)、式(13)和式(14)可以分别表达为
(15)，
(16)，
(17)，
(18)，
(19)，
探测器的像素阵列是二维离散阵列，设p为像素直径，L为样品到探测器的距离，如图7或图8所示，只要出射X射线的折射角或者出射X射线的散射角偏差满足小角度偏转条件，即
(20)，
则从探测器的视角观察，这条光线从光源传播到探测器一直沿着直线传播，在式(15)-式(19)中，可以用z替换,用dz替换ds；
于是，在小角度偏转条件下，式(15)-式(19)中曲线路径积分都可以转化为直线路径积分。当X射线从物体出射后，μ = 0，δ = 0，，/>，α = 0，直线路径积分就不再随上限 z 变化。设微束管道的出射面和探测器面重合，此时z = zout，并考虑到，/>,可得
(21)，
(22)，
(23)，
(24)，
(25)，
其中，式(22)中的，/>为从微束管道入射面到出射面的常数距离；式(23)中的/> 为投影面内的梯度算子，/>和/>分别为轴和轴的单位矢量；式(24)中的/>投影面内的拉普拉斯算子；
S9 推导五种成像信号的微束投影积分。式(21)-式(25)是在小角度偏转条件下，五种成像信号在微束管道内部沿z轴的直线积分公式。它们的物理意义为一束X射线，即多条光线，在微束管道内部与样品相互作用后，五种成像信号在管道的出射面上的投影分布。若当前被考察的微束管道的离散坐标为(h,j)，则该管道出射面上投影积分的平均值可以表示为
(26);
其中MBPh,j是微束投影积分算符；表示五种成像信号中的任意一种，既可以是标量信号，也可以是矢量信号；Qh,j为对应微束管道的积分区域；而则表示对投影分布在局部坐标/>上取平均值；分别将式(21)-式(25)带入式(26)，可以得到五种成像信号在离散坐标(h,j)下的微束直线投影积分公式，分别为:
(27)，
(28)，
(29)，
(30)，
(31)，
式(27)-式(31)表示五种成像信号的微束投影积分；这些微束投影积分符合直线投影积分的条件，因此满足Radon变换的直线路径积分条件。
如图9所示，所述五种成像信号的直线投影积分的推导步骤如下：
S21 当微束管道趋于无穷小，即当时，式(26)描述的离散坐标可以演化为成像信号在连续坐标(x,y,z)下的直线投影积分，具体推导公式如下：
(32)；
S22 在式 (32)的推导过程中，依然要满足式 (20)所表达的小角度偏转条件，否则相应的微束投影积分会引入噪声。在微束管道趋于无穷小时，式 (20)表达的小角度偏转条件可以改写为，
,/>(33);
S23 式(33)表示在微束管道趋于无穷小的过程中，有效的投影信号应当始终保持在管道内部，而无效的信号会转化成噪声。此时，式(27)-式(31)表示的五种成像信号的离散投影积分可以改写为以下连续坐标下的直线投影积分：
(34)，
(35)，
(36)，
(37)，/>
(38)，
当X射线在微束管道内部传输时，其中必然存在偏离出管道的光线。这些偏离光线一方面为线性衰减系数的路径积分做出贡献，另一方面在路径积分所在的管道周围产生噪声。
偏离管道而产生的噪声，属于利用微束传输模型近似PWE方程的模型误差。由于实际应用过程中样品的情况千差万别，这种模型误差具有极强的随机性。这也说明只有选择恰当的微束管道参数，微束传输模型才能以比较高的精度近似PWE方程。而随着管道尺度的减小，微束传输模型的精度也随之降低。因此在实际应用中，比如设计CT系统时，不能无限制地追求高分辨率的探测器，而应当从系统模型角度出发，选取最佳的参数。
研究表明，偏离管道的光线是小概率事件。第一，是小量，/>是更小的量，因而X射线在微束管道内部小角度偏转是大概率事件，大角度偏转是小概率事件。第二，是有界函数，其随坐标的变化不是单调的，而是随机起伏的，因而X射线在样品中单调改变方向是小概率事件，随机交替改变方向是大概率事件。第三，根据式(29)，在X射线经过样品的路径上，选取一连串由/>、/>和dz构成微分体积元，/>，每个微分体积元在/>轴方向产生的偏转角为/>，在/>轴方向产生的偏转角为，考虑到/>和/>在样品中随机改变正负，偏转角/>和/>的方向随机交替变化，X射线从样品出射时的偏转角可以根据下式估算：
(39)，
(40)，
估算结果表明，偏转角约为微弧度量级。根据样品到探测器距离约为0.1~1m，可以估算出偏转位移约为0.1~1mm；这表明探测器可以把大部分从样品出射的X射线作为投影直线；
S24 随着微束管道趋于无穷小，会有越来越多的光线不满足式（33）所表达的极限下的小角度偏转条件，成为无效信号，给投影积分带来不可避免的噪声。式(34)-式(38)所述的五种成像信号的直线投影积分公式右侧的采集信号应当写成有效信号与无效信号的和，具体表达式为
(41)，
(42)，
(43)，
(44),/>
（45）；
式(41)-式(45)也是本发明的重要内容之一。
式(27)-式(31)表示五种成像信号的离散投影积分。由于实际情况下，探测器的分辨单位不可能无穷小，因此我们在实际应用中所遇到的的X射线投影积分，都是上述公式表达的离散投影。这些离散投影积分符合直线积分的条件，因此满足Radon变换的直线路径积分条件，也对应着离散Radon变换与离散逆Radon变换。也就是我们采用数值计算的方法进行CT重建的数学基础。五种成像信号对应的离散Radon变换与离散逆Radon变换的数学公式，本文不予赘述。
一种用于一种基于X射线微束传输模型的CT算法的基于CT算法的应用方案，所述应用方案包括根据基于微束传输模型的CT算法推导出的成像信号采集方法、成像信号重建方法与利用相位梯度或相位拉普拉斯重建折射率实部减小量的重建公式。
如图10所示，根据前文所述的基于微束传输模型的CT理论所推导出的微束投影积分和直线投影积分可应用于推导五种成像信号的CT采集公式，其步骤如下：
S31 建立样品坐标系(x',y',z'),设样品转轴y轴和y'轴平行，即y=y',Φ为x轴和 x'轴的转角；R表示 Radon 变换， R-1表示逆 Radon 变换，表示狄拉克函数，和分别为沿 x轴的傅里叶变换和逆变换，ρ为沿 x 轴的空间频率;
S32 根据式(34)可得线性吸收系数的Radon变换，也是采集线性吸收系数投影积分的公式:
(46),
S33 根据式(35)可得折射率实部减小量的Radon变换，也是采集折射率实部减小量投影积分的公式:
(47),
S34-1 根据式(36)可得折射率实部减小量梯度的Radon变换，也是采集折射率实部减小量梯度投影积分的公式:
(48),
S34-2 式(48)是一个矢量Radon变换，需要求出其三个分量的Radon变换;设、/>和/>分别为x轴、y轴和z轴上的单位矢量，/>、/>和/>分别为x'轴、y'轴和z'轴上的单位矢量，并且有，
(49),
S34-3 分别用、/>和/>点乘式(48)，并代入式(49)，得采集折射率实部减小量分别沿x'轴、y'轴和z'轴导数的投影积分公式，
(50),
(51),
(52),
S35 根据式(37)可得折射率实部减小量拉普拉斯的Radon变换，也是采集折射率实部减小量拉普拉斯投影积分的公式，有
(53),
S36 根据式(38)可得线性扩散系数的Radon变换，也是采集线性扩散系数投影积分的公式，有
(54)。
进一步，根据前文所述的基于微束传输模型推导出的微束投影积分和直线投影积分可应用于推导五种成像信号的CT重建公式，其步骤如下：
S41 推导线性吸收系数的重建公式；求式(46)的逆Radon变换，可得线性吸收系数的重建公式，
(55)，
S42 推导折射率实部减小量的重建公式；求式(47)的逆Radon变换，可得折射率实部减小量的重建公式，
(56)，
其中，逆 Radon 变换的作用对象是Φ，而不是Φ-Φ0，其原因在于Φ0为常数，Φ0的傅里叶变换为零；
S43 推导折射率梯度的重建公式；分别求式(50)、式(51)和式(52)的逆Radon变换，得
(57)，
(58)，
(59)，
把式(57)、式(58)和式(59)按照矢量分量加法规则相加，可推导出折射率实部减小量梯度的重建公式
(60)，
S44推导折射率实部减小量拉普拉斯的重建公式；求式(53)的逆Radon变换，可得折射率实部减小量拉普拉斯的重建公式，
(61)，
S45 推导线性扩散系数的重建公式；求式(54)的逆Radon变换，可得线性扩散系数的重建公式，
(62)。
进一步，根据前文所述的基于微束传输模型推导出的微束投影积分和直线投影积分，还可以推导利用相位梯度或相位拉普拉斯重建折射率实部减小量的重建公式，推导思路是先把相移用相位梯度或相位拉普拉斯表达出来，然后代入式(56)，其步骤如下：
S51 用相位梯度表达的相移如下
(63)，
其中和分别为沿 y 轴的傅里叶变换和逆变换，ν为沿 y 轴的空间频 率;
S52 把式(63)代入式(56)，得利用相位梯度重建折射率实部减小量的公式
(64)，
S53 用相位拉普拉斯表达的相移如下
(65)，/>
S54 把式(65)代入式(56)，得利用相位拉普拉斯重建折射率实部减小量的公式(66)。
对于本领域技术人员而言，显然本发明不限于上述示范性实施例的细节。因此，无论从哪一点来看，均应将实施例看作是示范性的，而且是非限制性的，本发明的范围由所附权利要求而不是上述说明限定，因此旨在将落在权利要求的等同要件的含义和范围内的所有变化囊括在本发明内。
此外，应当理解，虽然本说明书按照实施方式加以描述，但并非每个实施方式仅包含一个独立的技术方案，说明书的这种叙述方式仅仅是为清楚起见，本领域技术人员应当将说明书作为一个整体，各实施例中的技术方案也可以经适当组合，形成本领域技术人员可以理解的其他实施方式。

Claims (5)

1.一种基于X射线微束传输模型的CT成像方法，其特征在于CT成像方法是一种采用了X射线微束传输模型的CT算法；所述X射线微束传输模型是将X射线光束抽象成独立的微束，而且每个X射线微束拥有各自的传输管道，称作微束管道；
所述微束管道结合X射线光束的传播特点进行构造；所述X射线光束的传播特点分为平行束、发散束、汇聚束；在每个微束管道内部考虑X射线与样品相互作用时的投影效应与衍射效应；所述X射线微束传输模型在微束管道内部对吸收、相移、折射、聚束或扩束、散射五种成像信号进行微束投影积分；
所述五种成像信号对应的物理量分别为：线性吸收系数、折射率实部减小量、折射率实部减小量的梯度、折射率实部减小量的拉普拉斯、线性扩散系数；所述投影积分能推导出直线投影积分；
所述CT算法具体包含以下步骤：
A1建立X射线微束传输模型；
A2根据X射线微束传输模型划分微束管道；
A3推导五种成像信号的微束投影积分：
所述微束投影积分：
当X射线从物体出射后，μ＝0，δ＝0，α＝0，直线路径积分就不再随上限z变化，设微束管道的出射面和探测器面重合，此时z＝zout，并考虑到可得
其中，式(22)中的为从微束管道入射面到出射面的常数距离；式(23)中的/>为投影面内的梯度算子，/>和/>分别为轴和轴的单位矢量；式(24)中的/>投影面内的拉普拉斯算子；
当考察的微束管道的离散坐标为(h,j)时，该管道出射面上投影积分的平均值可以表示为:
其中MBPh,j是微束投影积分算符；表示五种成像信号中的任意一种，既可以是标量信号，也可以是矢量信号；Qh,j为对应微束管道的积分区域；而则表示对投影分布在局部坐标/>上取平均值；分别将式(21)-式(25)带入式(26)，可以得到五种成像信号在离散坐标(h,j)下的微束直线投影积分公式，分别为:
式(27)-式(31)表示五种成像信号的微束投影积分；这些微束投影积分符合直线投影积分的条件，因此满足Radon变换的直线路径积分条件；
A4推导五种成像信号的直线投影积分：
所述直线投影积分为：
在微束管道趋于无穷小的过程中，有效的投影信号应当始终保持在管道内部，而无效的信号会转化成噪声；此时，式(27)-式(31)表示的五种成像信号的离散投影积分可以改写为以下连续坐标下的直线投影积分：
式(34)-式(38)所述的五种成像信号的直线投影积分公式右侧的采集信号为有效信号与无效信号的和，具体表达式为：
I(x，y)＝Isignal(x，y)+Inoise(x，y) (41)，
Φ(x，y)＝Φsignal(x，y)+Φnoise(x，y) (42)，
σ2(x，y)＝σ2 signal(x，y)+σ2 noise(x，y) (45)；
A5推导五种成像信号的采集公式：
其中采集线性吸收系数投影积分的公式为
采集折射率实部减小量投影积分的公式为
采集折射率实部减小量梯度投影积分的公式为
采集折射率实部减小量分别沿x′轴、y′轴和z′轴导数的投影积分公式为
采集折射率实部减小量拉普拉斯投影积分的公式为
采集线性扩散系数投影积分的公式为
A6推导五种成像信号的重建公式：
其中线性吸收系数的重建公式为
折射率实部减小量的重建公式为
折射率实部减小量梯度的重建公式为
折射率实部减小量拉普拉斯的重建公式为
线性扩散系数的重建公式为
A7推导利用相位梯度信号或相位拉普拉斯信号重建折射率实部减小量的重建公式：
相位梯度重建折射率实部减小量的公式为
相位拉普拉斯重建折射率实部减小量的公式为
2.如权利要求1所述的一种基于X射线微束传输模型的CT成像方法，其特征在于：所述步骤A5成像信号采集方法的具体步骤为：
S31建立样品坐标系(x',y',z'),设样品转轴y轴和y'轴平行，即y＝y',Φ为x轴和x'轴的转角；R表示Radon变换，R-1表示逆Radon变换，表示狄拉克函数，/>和/>分别为沿x轴的傅里叶变换和逆变换，ρ为沿x轴的空间频率；
S32根据式(34)可得线性吸收系数的Radon变换，也是采集线性吸收系数投影积分的公式:
S33根据式(35)可得折射率实部减小量的Radon变换，也是采集折射率实部减小量投影积分的公式:
S34-1根据式(36)可得折射率实部减小量梯度的Radon变换，也是采集折射率实部减小量梯度投影积分的公式:
S34-2式(48)是一个矢量Radon变换，需要求出其三个分量的Radon变换；设和分别为x轴、y轴和z轴上的单位矢量，/>和/>分别为x'轴、y'轴和z'轴上的单位矢量，并且有，
S34-3分别用和/>点乘式(48)，并代入式(49)，得采集折射率实部减小量分别沿x'轴、y'轴和z'轴导数的投影积分公式，
S35根据式(37)可得折射率实部减小量拉普拉斯的Radon变换，也是采集折射率实部减小量拉普拉斯投影积分的公式，有
S36根据式(38)可得线性扩散系数的Radon变换，也是采集线性扩散系数投影积分的公式，有
3.如权利要求1所述的一种基于X射线微束传输模型的CT成像方法，其特征在于：所述步骤A6推导五种成像信号的重建公式的具体步骤为：
S41推导线性吸收系数的重建公式；求式(46)的逆Radon变换，可得线性吸收系数的重建公式，
S42推导折射率实部减小量的重建公式；求式(47)的逆Radon变换，可得折射率实部减小量的重建公式，
其中，逆Radon变换的作用对象是Φ，而不是Φ-Φ0，其原因在于Φ0为常数，Φ0的傅里叶变换为零；
S43推导折射率梯度的重建公式；分别求式(50)、式(51)和式(52)的逆Radon变换，得
把式(57)、式(58)和式(59)按照矢量分量加法规则相加，可推导出折射率实部减小量梯度的重建公式
S44推导折射率实部减小量拉普拉斯的重建公式；求式(53)的逆Radon变换，可得折射率实部减小量拉普拉斯的重建公式，
S45推导线性扩散系数的重建公式；求式(54)的逆Radon变换，可得线性扩散系数的重建公式，
4.如权利要求1所述的一种基于X射线微束传输模型的CT成像方法，其特征在于：所述步骤A7推导利用相位梯度信号的重建公式的具体步骤为：
所述利用相位梯度重建折射率实部减小量的重建公式，推导思路是先把相移用相位梯度表达出来，然后代入式(56)，其步骤如下：
S51用相位梯度表达的相移如下
其中和/>分别为沿y轴的傅里叶变换和逆变换，ν为沿y轴的空间频率；
S52把式(63)代入式(56)，得利用相位梯度重建折射率实部减小量的公式
5.如权利要求1所述的一种基于X射线微束传输模型的CT成像方法，其特征在于：所述步骤A7推导利用相位拉普拉斯信号重建折射率实部减小量的具体步骤为：
所述利用相位拉普拉斯重建折射率实部减小量的重建公式，推导思路是先把相移用相位拉普拉斯表达出来，然后代入式(56)，其步骤如下：
S53用相位拉普拉斯表达的相移如下
S54把式(65)代入式(56)，得利用相位拉普拉斯重建折射率实部减小量的公式
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