CN116562071A - 一种各向异性网格质量的判断方法 - Google Patents

一种各向异性网格质量的判断方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种各向异性网格质量的判断方法，包括如下步骤：对于已经生成的四边形网格或三角形网格，在其背景网格中找到其u、v两个方向向量的理想长度，通过做平行线补成一个完整的平行四边形，即实际网格所对应的理想四边形网格；将四边形网格或三角形网格分别进行转换，使转换后的图形能够表征原网格的各向异性特性，并与理想四边形中心重合，计算两图形的重合面积；根据重合面积判断实际网格和理想网格的相似程度，确定网格质量。本发明通过将实际网格与背景网格中的理想网格做比较，可以较为准确的判断各向异性网格的质量。将网格质量转换为计算两个图形重合区域的面积，计算结果更为直观，便于理解，计算步骤少，速度快。

Description

一种各向异性网格质量的判断方法
技术领域
本发明涉及网格生成质量技术领域，尤其涉及一种各向异性网格质量的判断方法。
背景技术
随着计算机科学技术的迅速发展，数值仿真技术在越来越多的领域得到应用，而网格生成是数值仿真的前步骤，网格的质量会直接影响数值分析的精度与速度。因此，研究网格的高效生成及高质量生成是一个非常有意义的课题。
经过几十年国内外众多专家学者的不断努力突破，结构化网格的生成方法已日趋成熟。而现在非结构化网格生成算法已经由各向同性网格开始向各项异性网格发展。
现有各向同性网格的质量判断方法如下：
三角形网格单元的评价指标主要包括：单元内角，单元扭曲角，接近正三角形的程度。
单元内角：即三角形三个内角大小。
单元扭曲角：这一指标表征了单元在单元面内的扭曲程度。如图1所示，其定义为：对应边中点连线的夹角中最小角的余角，即三角形单元扭曲角θskew＝90°－min(α1，α2，α3)，α1、α2、α3为中内角。
接近正三角形的程度：在各项同性的三角形网格中，正三角形是最优的。一般的，使用以下公式来判断一个三角形与正三角形的接近程度：
其中，α为三角形三条边的向量。最后计算出的值介于0和1之间，α的值越接近1，表明这个单元的形状与正三角形越接近，此时的单元质量越高，当α＝1时，则表明此时就是正三角形单元，单元质量是最优的。
四边形网格单元的评价指标主要包括：
单元边长比：对于四边形单元，最长边的边长与最短边的边长之比成为这个四边形单元的边长比，为了保证最后网格的质量，应适当对其进行控制，最理想的边长比是1，也就是正方形单元。
单元扭曲角：四边形单元扭曲角是指两对边中点连线所夹角中，较小角的余角。单元扭曲角介于0°和90°之间。如图2所示，单元扭曲角越小，说明这个单元的畸变程度越小。计算公式如下：
θ＝90°-min(δ1，δ2)
单元翘曲角：在曲面中生成的四边形，由于三点能确定一个面，第四个点很少能落在这个面上，这样就会产生空间的二面角，单元翘曲角定义为这两个二面角中的较大值。如图3所示，翘曲角越大，说明这四个点不共面程度越大。在实际生成网格时，这也代表此处的网格过于稀疏，需要通过网格加密来改善翘曲角。
雅克比比率：雅克比比率描述的是一个单元与理想单元接近程度的度量，雅克比比率的取值范围是从-1到1，其中，1代表最优的理想单元，接近0则是某个角的角度接近180°，小于0则表示出现了凹单元。如图4所示，雅克比比率的计算公式如下：
|J|1＝|l1l4sinθ1|＝|(x2-x1)(y4-y1)-(x4-x1)(y2-y1)|
计算|J|2、|J|3、|J|4的方法与|J|1形式相同。
上述是一些常见的网格质量判断的标准，但都是基于各向同性网格的。由于实际中某些复杂性工程问题的解具有各向异性的特点，为采用更少的网格单元数及更好的单元质量来进行有限元分析，以实现高效求解，各向异性剖分单元则是一种有效的前处理技术。对于各向异性网格，现有的方法是引入黎曼度量来实现网格质量判断。
各向同性网格和各向异性网格都是相对于度量空间的。如定义在欧氏空间度量场中的各向同性网格，网格节点沿任意方向的尺寸值相同。但对于欧氏空间度量场中的各向异性网格而言，网格节点沿特征向量的尺寸值是不同的。而在黎曼度量张量场中，各向异性网格节点沿任意方向的尺寸值都是一样的。因此可通过引入黎曼度量以实现各向异性的质量判断。
如在文献《变度量各向异性网格生成算法和各向异性椭圆偏微分方程匹配网格》中，各向异性度量的定义为给定二维区域上存在黎曼度量M，其为对称正定矩阵，将其进行正交分解如下：
式中：Λ为尺寸场；λ1和λ2为特征值；h1和h2是在向量方向的期望尺寸；E为方向场；e1和e2为单位正交化特征向量，θ为旋转角度函数。
黎曼度量矩阵控制下的椭圆如图5所示，假如Ω上有两点p和q距离足够小，则两点间的度量变化细微，则可以求得两点在给定度量场中的近似距离：
式中：Mavg＝(M(p)+M(q))/2是两点度量平均值。
同样，可以给出在给定度量场中的近似三角形面积公式：
式中：
S(Δabc)是Δabc在Euclid的面积。各向异性网格质量公式为：
式中：SM(t)是近似三角形面积；LM(ti)是三角形边长。当qt＝1时，即三角形在当前度量下为等边三角形。为比较网格优劣，使用平均网格质量qavg作为判定依据，且设网格总数为N，则：
该各向异性网格质量的判断方法存在以下问题：
(1)在计算公式中，要求两点p和q距离足够小，两点间的度量变化细微，因此使用Mavg＝(M(p)+M(q))/2来代替两点度量平均值，但是在实际使用此方法时，网格的大小不一定满足限制条件，对于较大的网格，其相邻节点的距离也会较大，如果二维区域上存在黎曼度量是非线性变化的，则Mavg＝(M(p)+M(q))/2来代替两点度量平均值的公式会使计算结果产生一定的误差，极大的影响网格质量判断。
(2)在进行每个网格的质量判断时，需要进行大量的矩阵计算，网格总数为N时，需要对N个网格的质量求平均值，会耗费大量的时间，极大的影响了计算效率。
由于各向异性网格单元在不同方向上的尺寸值不同，所以需要建立合适的背景网格来定义空间某点处的尺寸值。通过每个节点处在特征向量u,v两个方向的尺寸值来指导各向异性网格的生成。在进行网格生成时，对于形状比较复杂的模型，不可避免地会产生质量较差的网格单元。然而，网格质量对于求解的精度有很大的影响。所以，当自动生成的初始网格的质量较差时，为保证仿真分析过程能够正常进行，就必须对初始网格进行质量优化。这时，就有必要建立一套网格质量评价标准，为网格优化的方向做出科学的指引。
发明内容
本发明目的是提出一种各向异性网格质量的判断方法。
为了实现上述目的，本发明提供如下技术方案：
本发明提供一种各向异性网格质量的判断方法，包括如下步骤：
S1：对于已经生成的四边形网格或三角形网格，在其背景网格中找到其u、v两个方向向量的理想长度，通过做平行线补成一个完整的平行四边形，即实际网格所对应的理想四边形网格；
S2：将四边形网格或三角形网格分别进行转换，使转换后的图形能够表征原网格的各向异性特性，并与理想四边形中心重合，计算两图形的重合面积；
S3：根据重合面积判断实际网格和理想网格的相似程度，确定网格质量。
进一步地，对于四边形网格，步骤S2中重合面积计算过程为：首先将四边形网格等比例放大或者缩小，使其面积与理想四边形网格面积相等，后与理想四边形中心重合，并将实际四边形投影到理想四边形平面，计算重合面积S重合，重合面积越接近理想网格的面积，网格质量越高。
进一步地，步骤S3中，对于已经生成的四边形网格，网格质量Q四边形＝α1*α2，α1＝min(S实，S理)/max(实，理)，α2＝S重合/S理，其中S实为实际四边形网格的面积，S理为理想四边形网格的面积，α1和α2为设置的两个参数，α1代表实际网格面积与理想网格面积的接近程度，α2代表实际四边形在u、v方向的各向异性尺寸与其所在位置的理想四边形网格u、v方向的各向异性尺寸的接近程度。
进一步地，步骤S2中，对于已经生成的三角形网格，首先需要将三角形网格转换成各向异性四边形网格。
进一步地，三角形网格转换成各向异性四边形网格的过程为：获取三角形网格的理想网格的u，v方向，分别将u、v方向所在的直线沿上下左右平移，使四条边组成的平行四边形正好包围住三角形，此时的平行四边形表示三角形u、v两个方向的各向异性特征。
进一步地，对于三角形网格，步骤S2中重合面积计算过程为：将转换后的四边形网格等比例放大或者缩小，使其面积与理想四边形网格面积相等，后与理想四边形中心重合，并将实际四边形投影到理想四边形平面，计算重合面积S重合，重合面积越接近理想网格的面积，网格质量越高。
进一步地，对于已经生成的三角形网格，网格质量Q三角形＝β1*β2*β3，β1＝2*S三角形/S平行四边形，β2＝min(S平行四边形，S理)/max(S平行四边形，S理)，β3＝S重合/S理，其中，S平行四边形为转换后的四边形网格的面积，S理为理想四边形网格的面积，β1、β2、β3为设置的三个参数，β1代表实际三角形网格与转换后的平行四边形面积的接近程度，β2代表转换后的平行四边形与理想网格面积的接近程度，β3代表转换后的平行四边形在u、v方向的各向异性尺寸与其所在位置的理想四边形网格u、v方向的各向异性尺寸的接近程度。
与现有技术相比，具有以下有益效果：
本发明提供的一种各向异性网格质量的判断方法，通过将实际网格与背景网格中的理想网格做比较，可以较为准确的判断各向异性网格的质量。将网格质量转换为计算两个图形重合区域的面积，计算结果更为直观，便于理解，计算步骤少，速度快。本方法可以为网格优化的方向做出科学的指引，生成质量更高的各向异性网格。
附图说明
为了更清楚地说明本申请实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明中记载的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为单元扭曲角定义。
图2为单元扭曲角示意图。
图3为单元翘曲角示意图。
图4为雅克比比率示意图。
图5为黎曼度量矩阵控制下的椭圆。
图6为本发明提供的理想的u、v方向及尺寸。
图7为本发明提供的理想四边形。
图8为本发明提供的转换后的图形与理想四边形的重合面积。
图9为本发明实施例1提供的实际四边形网格。
图10为本发明实施例1提供的理想的u、v方向。
图11为本发明实施例1提供的理想四边形。
图12为本发明实施例1提供的缩放后的实际四边形
图13为本发明实施例1提供的缩放后的四边形与理想四边形的重合区域。
图14为本发明提供的三角形网格转换后的四边形一。
图15为本发明提供的三角形网格转换后的四边形二。
图16为本发明提供的不同三角形网格转换后的相同四边形。
图17为本发明实施例2提供的三角形网格。
图18为本发明实施例2提供的三角形网格转换后的四边形。
图19为本发明实施例2提供的三角形网格所对应的理想四边形网格。
图20为本发明实施例2提供的三角形网格转换后的四边形缩放后与理想四边形的重合区域。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
在非结构化网格的生成中，为了能更加精确地控制每个地方的长度尺度，一般都会采用背景网格技术。用以确定各处网格的尺寸大小。背景网格是在实际网格生成前生成的，预先在待生成网格区域内，布置好每个地方所需要的特征长度，如在变化平缓的区域，要生成尺度较大的网格，而在变化剧烈或者形状尖锐的地方，则需要尺度很小的网格，这些信息都是存储在背景网格中的。由于这些信息不可能精确到区域内的每个点，所以是布置一系列点来存储这些信息，其余点的信息由这些点差值获取，这些用来存储信息的点的生成方式，与生成网格点的方式相同或相似，所以这套点就被称为背景网格。
为了存储每个点处各个方向的特征长度，不可能将所有方向全部列出来，因此，很多研究人员采用黎曼度量的方式来存储背景网格中各个方向的尺度，这样，只需要存储椭圆的长短轴长度以及椭圆的旋转角度这三个量就可以表示一个椭圆状的各向异性尺度
为了便于存储，本发明将背景网格的数据进行简化，只要保存某点沿的u向和v向的旋转角度以及理想尺寸值，我们可以很容易的得到各向异性的任意方向的尺寸，同时可以求出所在位置的理想网格的形状。
在此基础上，本发明提出了一种更适用于各向异性网格的质量判断方法——投影面积法，主要包括四边形网格和三角形网格的质量判断。对于已经生成的网格，我们希望其尽可能满足背景网格中对应位置的各向异性特性，即同时满足u、v两个方向向量的理想长度，此时生成的各向异性的网格质量最优。
生成的网格后，可以在其背景网格中找到其u、v两个方向向量的理想长度，如图6所示，通过做平行线补成一个完整的平行四边形，即实际网格所对应的理想四边形网格，如图7所示。
之后将四边形网格或三角形网格分别按一定规则进行转换，使转换后的图形代表原网格的各向异性特性，并与理想四边形中心重合，计算两图形的重合面积，如图8所示，由此判断实际网格和理想网格的相似程度，确定网格质量，重合面积与理性网格的面积之比越大，网格质量越高。
下面以四边形网格和三角形网格的质量判断方法为例，具体介绍本发明的方法。
(1)四边形网格质量判断
对于已生成的四边形网格，其网格质量的优劣体现在以下两个方面：
1、实际四边形网格面积是否接近其所在位置的理想四边形网格面积。
2、实际四边形在u、v方向的各向异性尺寸是否接近其所在位置的理想四边形网格u、v方向的各向异性尺寸。
因此我们设置了两个参数α1、α2，分别表征四边形网格在以上两个方面的性质，网格质量Q四边形＝α1*α2。
α1＝min(S实，S理)/max(S实，S理)
其中S实为实际四边形网格的面积，S理为理想四边形网格的面积，α1越接近1，表示实际网格面积与理想网格面积越接近，网格质量越高。
α2＝S重合/S理
判断实际四边形网格的各向异性，首先将网格等比例放大或者缩小，使其面积与理想四边形网格面积相等，后与理想四边形中心重合，并将实际四边形投影到理想四边形平面，计算重合面积S重合,重合面积越接近理想网格的面积，α2越接近1，网格质量越高。所以用Q四边形＝α1*α2来表示四边形的网格质量，Q四边形＝1时，网格最理想。
实施例1
如图9所示，为实际四边形网格，短边40，长边60，夹角60°，则S实＝2077。
如图10所示，为实际四边形网格所在位置的背景网格中存储的u、v方向Su、Sv及长度，做平行线组成平行四边形PUQV，即此实际四边形网格所对应的理想四边形网格，如图11所示，S理＝1736，α1＝min(S实，S理)/max(S实，S理)＝0.8358。
如图12所示，对实际四边形网格等比例缩放，使其面积等于理想四边形面积，再将缩放后的四边形与理想四边形中心重合，如图13所示，计算重合面积S重合＝1256，α2＝S重合/S理＝0.7235。
所以此实际四边形的网格质量为Q四边形＝α1*α2＝0.6047。
(2)三角形网格质量判断
由于背景网格中的理想网格都是以四边形的格式存储，而将实际三角形网格向理想四边形投影的方法较为困难。所以首先需要将三角形网格转换成各向异性四边形网格。对于实际三角形网格，得到其理想网格的u，v方向，分别将u、v方向所在的直线沿上下左右平移，使四条边组成的平行四边形可以正好包围住三角形，此平行四边形可以表示三角形u、v两个方向的各向异性特征。如图14和15为同一个三角形网格在两组不同的u、v方向lAB、lAD方向下转换成的两个平行四边形。之后使用四边形网格质量的判断方法，通过重合面积计算三角形网格质量。
我们设置了三个参数β1、β2、β3，表征三角形网格的性质，网格质量Q三角形＝β1*β2*β3
β1＝2*S三角形/S平行四边形
对于三角形ADE、BDE、CDE，若其理想网格的u、v方向为lAE、lFE，平移这两条直线，同时做两条直线的平行线，最终四条边可以刚好包围住三角形且不从三角形中穿过，形成平行四边形AEFD，如图16所示，可以看出三个不同三角形网格转换后的平行四边形相同，但是三角形ADE更符合背景网格中的各向异性，质量最好，三角形CDE的质量最差。三角形的面积如果是转换后的平行四边形面积的一半，网格质量最好，此时β1为1，随着β1逐渐减小，网格质量逐渐变差。用参数β1来表示此性质。
其中S平行四边形为转换后的四边形网格的面积，S理为理想四边形网格的面积，β2越接近1，表示实际网格面积与理想网格面积越接近，网格质量越高。
β3＝S重合/S理
将转换后的四边形网格等比例放大或者缩小，使其面积与理想四边形网格面积相等，后与理想四边形中心重合，并将实际四边形投影到理想四边形平面，计算重合面积S重合，重合面积越接近理想网格的面积，β3越接近1，网格质量越高。所以用Q三角形＝β1*β2*β3来表示三角形的网格质量，Q三角形＝1时，网格最理想。
实施例2
图17为实际的三角形网格S三角形＝451，其在背景网格中的u、v方向为lAB、lAD，转换后的平行四边形为ABCD，如图18所示，面积为S平行四边形＝1777，β1＝2*S三角形/S平行四边形＝0.5076。
图19为三角形网格所对应的理想四边形网格，面积为S理＝1818，β2＝min(S平行四边形，S理)/max(S平行四边形，S理)＝0.9774，将转换后的四边形缩放后与理想四边形中心重合，如图20所示，计算重合面积S重合＝1532，β3＝S重合/S理＝0.8423。
本发明通过实际网格与背景网格中的理想网格做比较，可以较为准确的判断各向异性网格的质量。将网格质量转换为计算两个图形重合区域的面积，计算结果更为直观，便于理解，计算步骤少，速度快。本方法可以为网格优化的方向做出科学的指引，生成质量更高的各向异性网格。
以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换，但这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (7)

1.一种各向异性网格质量的判断方法，其特征在于，包括如下步骤：
S1：对于已经生成的四边形网格或三角形网格，在其背景网格中找到其u、v两个方向向量的理想长度，通过做平行线补成一个完整的平行四边形，即实际网格所对应的理想四边形网格；
S2：将四边形网格或三角形网格分别进行转换，使转换后的图形能够表征原网格的各向异性特性，并与理想四边形中心重合，计算两图形的重合面积；
S3：根据重合面积判断实际网格和理想网格的相似程度，确定网格质量。
2.根据权利要求1所述的各向异性网格质量的判断方法，其特征在于，对于四边形网格，步骤S2中重合面积计算过程为：首先将四边形网格等比例放大或者缩小，使其面积与理想四边形网格面积相等，后与理想四边形中心重合，并将实际四边形投影到理想四边形平面，计算重合面积S重合，重合面积越接近理想网格的面积，网格质量越高。
3.根据权利要求1所述的各向异性网格质量的判断方法，其特征在于，步骤S3中，对于已经生成的四边形网格，网格质量Q四边形＝α1*α2，α1＝min(S实，S理)/max(实，理)，α2＝S重合/S理，其中S实为实际四边形网格的面积，S理为理想四边形网格的面积，α1和α2为设置的两个参数，α1代表实际网格面积与理想网格面积的接近程度，α2代表实际四边形在u、v方向的各向异性尺寸与其所在位置的理想四边形网格u、v方向的各向异性尺寸的接近程度。
4.根据权利要求1所述的各向异性网格质量的判断方法，其特征在于，步骤S2中，对于已经生成的三角形网格，首先需要将三角形网格转换成各向异性四边形网格。
5.根据权利要求4所述的各向异性网格质量的判断方法，其特征在于，三角形网格转换成各向异性四边形网格的过程为：获取三角形网格的理想网格的u，v方向，分别将u、v方向所在的直线沿上下左右平移，使四条边组成的平行四边形正好包围住三角形，此时的平行四边形表示三角形u、v两个方向的各向异性特征。
6.根据权利要求1所述的各向异性网格质量的判断方法，其特征在于，对于三角形网格，步骤S2中重合面积计算过程为：将转换后的四边形网格等比例放大或者缩小，使其面积与理想四边形网格面积相等，后与理想四边形中心重合，并将实际四边形投影到理想四边形平面，计算重合面积S重合，重合面积越接近理想网格的面积，网格质量越高。
7.根据权利要求1所述的各向异性网格质量的判断方法，其特征在于，步骤S3中，对于已经生成的三角形网格，网格质量Q三角形＝β1*β2*β3，β1＝2*S三角形/S平行四边形，β2＝min(S平行四边形，S理)/max(S平行四边形，S理)，β3＝S重合/S理，其中，S平行四边形为转换后的四边形网格的面积，S理为理想四边形网格的面积，β1、β2、β3为设置的三个参数，β1代表实际三角形网格与转换后的平行四边形面积的接近程度，β2代表转换后的平行四边形与理想网格面积的接近程度，β3代表转换后的平行四边形在u、v方向的各向异性尺寸与其所在位置的理想四边形网格u、v方向的各向异性尺寸的接近程度。
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