CN116523063A - 一种量子典型相关性分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明设计了一种量子典型相关性分析方法。该方法将典型主成分分解问题转化为矩阵乘积的特征值分解问题。考虑到高维变量矩阵乘积及特征值分解的困难性，方法首先将问题涉及的两组变量转化为约化密度矩阵,并基于相位估计、受控旋转、测量等量子操作设计了密度矩阵乘积操作来实现变量矩阵乘积操作。最后，设计了量子特征值分解方法实现了典型主成分的提取。相比经典典型相关性分析方法，本发明在数据维度上实现了指数级加速，为进一步实现量子分类、回归等算法奠定了基础。
Description
技术领域：
本发明属于量子机器学习领域，主要涉及量子典型相关性分析方法的设计。
背景技术：
量子计算是基于量子力学定律的计算范式。量子计算可以有效地处理具有指数维度的希尔伯特空间中的数据，利用量子效应，如干涉或纠缠，量子计算展现出比经典计算强大的计算能力，可以高效地解决部分经典计算机难以解决的问题。量子方法主要利用量子属性和技术[1-6]来加速经典方法。近年来，研究者提出采用量子方法来加速高维数据处理和分析，并用于实现数据分类[7-10]、聚类[11-12]、降维[13-17]等任务。矩阵运算是数据分析中常用的数学方法，2009年，Harrow、Hassidim和Lloyd首先提出了利用相位估计和哈密顿量模拟等实现线性系统求解，该方法实现了量子矩阵求拟运算，也称为HHL算法[18]。该算法的提出掀起了量子机器学习的热潮，随后，Lloyd等设计了采用密度矩阵求幂的方法实现量子主成分分析方法(QPCA)[19]。Rebentrost等提出了采用相位估计和矩阵求逆运算实现量子支持向量机(QSVM)[20]。Schuld等设计了矩阵伪逆方法实现量子线性回归[21]。Cong提出了量子判别分析方法[22]，该方法利用Hermitian矩阵乘积链实现降维和分类。这些量子方法大多聚焦机器学习中的基础问题，相比经典方法实现了指数级加速，为量子机器学习的研究奠定了基础[23,24]。
多变量数据对的特征提取是多模态识别和信息融合不可或缺的一部分，其目的是从两组特征向量中提取特征对。典型相关分析(CCA)和偏最小二乘(PLS)是广泛用于多变量数据对的特征提取技术[25]。CCA作为一种重要的多元分析方法，主要用于构建两组多维变量的线性相关关系，其基本思路是将两组变量之间的相关性转化为两个具有代表性的变量之间的相关性。CCA能够有效挖掘两组变量之间的内在联系，具有较强的分析数据变化能力。近年来，CCA在医疗数据分析、自动驾驶和远程监控等领域中有着广泛的应用。CCA中涉及的数据信息通常嵌入到复杂的高维空间中，且运算过程涉及高维矩阵计算。因此，随着数据规模的增大，CCA的计算复杂度急剧增加，在经典计算机上实现高维CCA具有较大的挑战性。
针对经典典型相关性分析存在的计算复杂度高的问题，受量子计算在矩阵运算中的指数加速优势的启发。本发明致力于利用量子态的叠加特性，设计一种高效的量子典型相关性分析方法。该方法采用约化密度矩阵实现了两组变量矩阵乘积的构建，并通过一系列密度矩阵乘积操作及量子特征值分解操作实现了主成分提取。相比经典典型相关性分析方法，在密度矩阵为非稀疏但低秩情况下，量子CCA在数据维度上实现了指数加速。量子CCA方法的提出为实现基于典型相关性分析的分类、回归方法奠定了基础。
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发明内容：
本发明设计了一种量子典型相关性分析方法。该方法将典型主成分分解问题转化为矩阵乘积的特征值分解问题。考虑到高维变量矩阵乘积及特征值分解的困难性，首先将问题涉及的两组变量转化为约化密度矩阵,并基于相位估计、受控旋转、测量等量子操作设计了密度矩阵乘积操作来实现变量矩阵乘积操作。最后，设计了量子特征值分解方法实现了典型主成分的提取。本发明相比经典典型相关性分析方法在数据维度上实现了指数级加速，为进一步实现量子分类、回归等方法奠定了基础。
1.量子典型相关性分析方法
设训练数据集包含m个样本，和/>分别表示训练数据集从不同视角获得的两组变量信息。典型相关性分析的主要目标是从X和Y中提取具有最大相关性的典型主成分F1＝XTa1和G1＝YTb1，其核心工作是构建投影主轴a1和b1使F1和G1具有最大相关性。通过拉格朗日乘子法，求解投影主轴a1和b1问题可转化为广义特征值分解
其中，投影主轴为最大广义特征值/>对应的特征向量。设/> 为两组变量X和Y构建的组合矩阵，组合投影主轴为/>则公式(1)转化为/>设/>则/>通过一系列矩阵变换，典型相关性分析转化为对矩阵乘积/>的特征值分解。
在执行量子典型相关性分析之前需要构建组合矩阵S1和S2对应的量子态。首先，设为X和Y的组合矩阵，则S1＝MMT，基于|φX>和|φY>构建M的量子态
其中，NM为归一化常量。|φM>的密度矩阵ρM＝|φM><φM|可以写成奇异值分解的形式其中，/>和/>为M的归一化奇异值，/>和/>对应于其左奇异向量，/>和/>对应于右奇异向量。随后，对ρM的第2个寄存器求偏迹，得到约化密度矩阵/>其幅度正比于矩阵S1＝MMT。
随后，构建表示的约化密度矩阵/>设/>为X和Y的组合矩阵，采用幅度编码构建Z对应的量子态为
其中，NZ为归一化常量。|φZ>的密度矩阵ρZ＝|φZ><φZ|的奇异值分解形式为其中，/>和/>为Z的奇异值，/>和/>为左奇异向量，/>和/>为右奇异向量。|φZ>的密度矩阵为ρZ＝|φZ><φZ|，对ρZ的第2个寄存器求偏迹，得到约化密度矩阵/>其幅度正比于矩阵/>根据S2＝S'2-S1,则/>的幅度正比于组合矩阵S2。
量子密度矩阵乘积法求解组合投影主轴的步骤如下。
步骤A，采用相位估计等操作构建对应于矩阵的量子态|δ3>。
A.1准备量子态|0>a|φM>b,c为输入，寄存器a用于存储预测的特征值，寄存器b和c存储状态|φM>。设κ为条件数，特征值阈值μ＝1/2κ，/>可以进一步描述为
其中，为密度矩阵/>的特征值(按降序排列)，/>为对应的特征向量。以|0>a|φm>b,c为输入，通过模拟系统/>执行相位估计，得到状态
经过该操作，寄存器a中存储了的特征值/>
A.2计算矩阵S1的逆矩阵。根据矩阵求拟的性质，求解需要提取寄存器a中的特征值/>并将其转化为/>到量子态的幅度。为了降低计算复杂度，求解过程只选取满足条件/>的特征值。添加初值为|0>的辅助寄存器d，执行受寄存器a控制的旋转操作于寄存器d，得到状态
其中，
A.3执行逆相位估计作用于寄存器a,b和c，得到状态
寄存器a没有被直接丢弃，其将用于步骤B的计算。|δ3>可以进一步写成
其中，|G1>为d寄存器为|0>的垃圾态。不考虑垃圾态|G1>，|δ3>关于寄存器c和d的约化密度矩阵正比于矩阵
步骤B，通过量子线性系统运算及偏迹操作，构建表示矩阵的量子态ρ2。
B.1在执行乘法操作之前，采用标准Suzuki-Trotter方法模拟哈密顿演化其中/>首先，将演化时间t分为n个时间片Δt；然后，应用哈密顿演化/>和/>构建/>最后，通过重复n次哈密顿演化/>得到/>
B.2|δ3>表示为特征值分解形式/>其中r2是/>的特征值/>中满足/>的数量，/>是/>的特征向量。设|(δ3)j>为寄存器c采用标准计算基时|δ3>的第j个元素，/>为|δ3>j在ρs2特征向量子空间/>中的投影。采用量子态|δ3>为输入，通过模拟系统/>执行相位估计，得到状态
其中，寄存器a被重复利用，这里用于存储的特征值/>|G2>为与|δ4>中第1项正交的垃圾态。
B.3添加初态为|0>的辅助寄存器e,执行受寄存器a控制的旋转操作于辅助寄存器e，得到状态
其中，|G3>表示寄存器d和e不为|1>|1>的垃圾态。
B.4采用状态|1>|1>测量寄存器d和e，执行逆相位估计并丢掉寄存器a，得到状态其中，/>|δ6>相当于/>与|δ3>对应的向量内积。为了进一步得到/>对应的量子态，对|δ6>的寄存器c求偏迹，得到约化密度矩阵/>其正比于矩阵/>
步骤C，对量子态ρ2执行特征值分解，得到对应于的量子态/>
首先，添加初态为|0>的辅助寄存器f，以为输入，通过模拟系统/>在状态执行相位估计，得到状态/>其中，/>是ρ2的特征值，是对应的特征向量，rs是密度矩阵ρ2的秩。最后，通过量子态采样操作得到对应于ρ2最大特征值的特征向量/>其正比于/>
步骤D，执行量子线性系统算法(HHL)，构建典型主轴对应的量子态
根据首先，以/>为输入，通过模拟/>执行相位估计操作，随后，执行旋转角度为/>的受控旋转操作，其中/>最后，通过逆相位估计得到输出状态/>其正比于主轴/>
2、时间复杂度分析
量子典型相关分析方法的时间复杂度主要由A、B、C、D四步决定。步骤A的主要工作是通过相位估计和受控旋转构建对应的量子态。由于受控旋转操作只需要1步便可以实现，该阶段的时间复杂度主要由相位估计决定，方法采用量子QRAM黑盒实现量子态/>准备，其时间复杂度为O(log(m(n+p))。设κ为条件数，ε为准确率，相位估计只考虑位于[1/κ,1]范围内的特征值。由于哈密顿演化时间t需满足O(κ/ε)，则构建/>需要O(κ2/ε3)个/>因此，步骤A的时间复杂度为O(log(m(n+p))κ2ε-3)。步骤B的时间复杂度主要由相位估计决定。设κ也是/>的条件数，则该阶段的相位估计具有与步骤A相同的时间复杂度。相比于步骤A，步骤B增加了测量操作，|δ5>需要测量O(κ3)次才能以较高的概率得到状态|δ6>。采用幅度放大替换测量操作，则只需要测量O(κ1.5)次，因此，步骤B的时间复杂度为步骤C的时间复杂度主要由相位估计决定，设ρ2的条件数也是κ，步骤B实现了ρ2的构建，其时间复杂度为O(log(m(n+p))κ3.5ε-3),模拟/>实现相位估计操作需要O(κ2/ε3)个ρ2，则步骤C的时间复杂度为O(log(m(n+p))κ5.5ε-6)。步骤D中HHL算法的主要工作是模拟/>来实现相位估计，其时间复杂度为O(log(m(n+p))κ5.5ε-6)，得到输出量子态需要执行O(κ0.5)次幅度估计，则步骤D的时间复杂度为O(log(log(m(n+p))κ6ε-6)。由于ε取值较小，相对于步骤D,步骤A，B，C的时间复杂度可以忽略不计，所以总时间复杂度为与经典典型相关性分析的时间复杂度O(poly(m,n,p))相比，在密度矩阵为非稀疏但低秩情况下，量子典型相关性分析方法在维度n,p和数据规模大小m上实现了指数加速。
附图说明：
图1表示实现量子典型相关性分析的量子电路概图。Reg.a,Reg.b,Reg.c,Reg.d,Reg.e表示5个输入寄存器。‘/’表示一组量子位，Ry表示受控旋转门，H表示Hadamard门，FT+表示拟傅里叶变换，表示系统模拟的酉操作，U+表示与虚线框中表示的相位估计相对应的逆相位估计，最右边的虚线框表示以模拟/>实现相位估计的HHL算法，电路的最终输出为/>
Claims (1)
1.提出一种量子典型相关性分析方法，实现两组变量的相关性分析，本专利共包括以下过程：
采用约化密度矩阵准备组合矩阵S1和S2的量子态。设典型相关性分析的两组变量为X和Y，为其组矩阵。设a1和b1为使两组变量X和Y具有最大相关性的投影主轴。采用拉格朗日乘子法将典型相关性分析转化为求解矩阵S1和S2中最大广义特征值对应的特征向量/>即求解/>其中/>对应于最大广义特征值。采用量子方法求解特征向量/>的基本步骤如下：
(1)采用幅度编码准备组合矩阵对应的量子态|φM>，对ρM＝|φM><φM|求偏迹得到S1对应的量子态/>其中，/>和/>矩阵M的归一化奇异值，和/>为对应的左奇异向量。其次，设/>为X和Y的另一个组合矩阵，采用幅度编码准备Z的量子态|φZ>，对ρZ＝|φZ><φZ|求偏迹得到S′2对应的量子态其中，/>和/>为Z的归一化奇异值，/>和/>为对应的左奇异向量。根据S2＝S'2-S1，则S2的量子态对应于/>
(2)准备对应的量子态|δ3>。
首先，准备量子态|0>a|φM>b,c为输入，模拟系统执行相位估计，得到量子态其次，添加初态为|0>的辅助寄存器d，执行受寄存器a控制的条件旋转操作/>于寄存器d，得到状态最后，执行逆相位估计得到状态/>其对应于/>的量子态。
(3)基于|δ3>构建的量子态ρ2。
首先，采用|δ3>为输入，模拟系统执行相位估计，其中/>得到状态其中/>为ρs2对应于特征向量/>的特征值。其次，执行受寄存器a控制的受控旋转/>作用于辅助寄存器e，得到状态然后，采用状态|1>|1>测量寄存器d和e，执行逆相位估计并丢掉寄存器a，得到状态/>其中，最后，对寄存器c求偏迹，得到其正比于求解构建典型主轴的矩阵/>
(4)对量子态ρ2执行特征值分解，得到对应于的量子态/>
首先，添加初态为|0>的辅助寄存器f，以为输入，模拟系统/>执行相位估计，得到状态/>其中/>是ρ2的特征值，/>是对应的特征向量。通过采样得到对应于最大特征值的特征向量/>其正比于/>
(5)执行HHL算法，构建典型主轴对应的量子态/>
设为输入，模拟系统/>执行相位估计操作，随后执行旋转角度为/>的受控旋转操作，其中/>最终通过逆相位估计操作得到输出状态/>其正比于主轴/>
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